國立屏東大學科普傳播學系

數理教育碩士班碩士論文

Department of Science Communication

National Pingtung University

Master’s Thesis

以漸層鷹架教學模組提升六年級學生代數文字題

解題表現之研究

The research on improving the learning performance of students'

word problems solving through the progressive scaffolding

instruction model

指導教授：徐偉民 博士

Advisor : Dr. Hus, Wei-Min

研 究 生：陳皇君

Student : Chen, Huang-Chun

中 華 民 國 一 百 零 六 年 五 月 二 十 六 日

I

致 謝 詞

修習研究所課程並不難，但如何完成一篇論文對許多人而言是相當艱辛

的，此刻的我心中的石塊終於可以放下了，有種釋懷的感覺，感謝讓我蛻變

的所有一切。此篇論文的完成承蒙許多人的支持以及鼓勵，讓我在曾經想要

放棄之時卻又見到一絲曙光。

首先感謝我的指導教授徐偉民老師，在論文撰寫期間給予的教導與督

促，並且從中學習到對於研究的執著與態度，徐老師一絲不苟的作風，嚴謹

求實的態度，踏踏實實的精神，也讓我在做事的態度與習慣上終生受益。

在論文口試期間內，感謝林志隆教授及郭文金老師所給予的寶貴意見與

指正，讓此篇碩士論文更臻於完善，在此表示深摯的謝忱。感謝同學國緯的

相挺、感謝一路上幫助我的朋友們，相信往後會有更多的挑戰我們也會一起

度過。

最後感謝妻子瓊婉的支持，在辛苦耕耘論文的長夜一路的陪伴，在每次

受挫折及遇到困難時給予鼓勵。

II

III

以漸層鷹架教學模組提升六年級學生代數

文字題解題表現之研究

摘 要

本研究主要透過漸層鷹架教學模組，來提升學生數學代數文字題之學習

表現。研究者以 Polya 的解題步驟為基礎，輔以 Mayer數學解題歷程中所需

要的知識類型，發展出漸層鷹架教學模組，透過學生解題歷程中所需鷹架的

協助，應用於文字題解題教學中，探討漸層鷹架教學模組的實施歷程以及對

於六年級學生學習數學文字題的學習成效。有數學中、低成就各兩位學生參

與本研究，歷經五百四十分鐘的教學後，結果顯示：一、學生由看到不會的

題目無從下手，導致胡亂湊答案的狀況，轉變成從了解題意、概念連結、列

出有結構性的計算式最後解題成功。二、由前、後測卷的答對率比較上，四

位學生答對率都有明顯的提升。三、由鷹架層次紀錄表的分析，每一位學生

在接受漸層鷹架協助後皆有進步，學生在漸層鷹架教學模組教學的幫助下，

解題能力有提升。由各種資料結果，都可以顯示，漸層鷹架教學模組實施解

題教學，對四位中低成就的六年級學生文字題學習表現有所助益。

關鍵字：代數文字題、解題步驟、解題知識、漸層鷹架教學模組

IV

V

The research on improving the learning performance of

students' word problems solving through the progressive

scaffolding instruction model

ABSTRACT

The purpose of the study is to improve students’ learning

performance on algebra word problems solving through the

progressive scaffolding instruction model (PSIM). Based on the steps

of Polya problem-solving, the researcher, supplemented by the type of

knowledge needed in the process of Mayer's math problem solving,

developed the PSIM and applied it through the help of the progressive

scaffolding in students’ problem solving, this study investigate the

implementation process of the PSIM and the effect on the sixth grade

students with learning mathematical word problems. There are four

students, two of them are low achievements; the other two are

medium, involved in the study, after five hundred and forty minutes of

teaching, the results demonstrate as follows: First, the students are

from without understanding the meaning of the problem and knowing

how to solve it to understanding the meaning of the problem, to well

concept connect, writing structural sentences and finally finding the

answer. Second, by comparing the correct answer ratio pre-test and

post-test, the four students have a significant ratio of improvement on

word problems solving. Third, by the PSIM record table analysis, each

student has made great progress obviously after accepting the help of

PSIM. With the PSIM, each student’s problem solving ability also has

a great improvement. As shown by various data, implementing

problem solving teaching with the PSIM has a great help to those four

students in word problem learning.

VI

Key words : algebra word problem, problem-solving steps,

knowledge of problem solving,

progressive scaffolding instruction model

VII

目錄

致謝詞 ………………………………………….……......................................Ⅰ

摘要 ………………………………………….……...........................................Ⅲ

ABSTRACT ………………………………………….....................................Ⅴ

目錄 ………………………………………….……...........................................Ⅶ

表次………………………………………….…….............................................Ⅸ

圖次………………………………………….…….............................................Ⅹ

第一章 緒論

第一節 研究背景與動機 …………………………………………..……..... 1

第二節 研究目的 ………………………………………….……….…...…. 3

第三節 名詞釋義 ………………………………………….…….….….…. 4

第四節 研究範圍與限制 …………………………………….….….….…. 4

第二章 文獻探討

第一節 數學解題理論 ………………………………..……….…..………. 5

第二節 鷹架理論 ………………….…………………..….……...…....…. 13

第三節 數學解題與鷹架理論相關之研究 ……....….……..…..….…….. 17

第三章 研究方法

第一節 行動研究 ………………………………………….……..….…… 27

VIII

第二節 研究流程與架構 …..…………………………......….....………... 28

第三節 研究對象 …..….………………………………………..…..……. 34

第四節 研究工具 …..….……………………………………..….………. 35

第五節 前測卷與後測卷信效度 …..….…………………..…….………. 55

第六節 資料整理與分析 …..….………………………………................ 56

第四章 研究結果

第一節 教學前的前測結果分析 …………………...….……...……..….. 59

第二節 漸層鷹架教學模組實施歷程 …..…………………….……...…. 69

第三節 教學實施後的後測結果 …..………….………….…………...… 85

第五章 結論與建議

第一節 研究結論 ………………...….…………………...…..………... 105

第一節 研究建議 ………………...….…………………...…..………... 107

參考書目

中文文獻 ....................................................................................................... 109

英文文獻 ....................................................................................................... 113

附錄

附錄一 漸層對話式鷹架教學前測卷計算題 ............................................. 115

附錄二 漸層對話式鷹架教學前測卷文字題 ............................................. 117

附錄三 漸層對話式鷹架教學後測卷 ......................................................... 119

IX

表 次

表 2-1 Mayer 的解題成份與知識類型 ........................................................... 7

表 2-2 數學解題歷程相關研究 .................................................................... 12

表 3-3-1 前測卷-計算題的雙向細目表 ........................................................ 47

表 3-3-2 前測卷-文字題雙向細目表 ............................................................ 49

表 3-3-3 後測卷雙向細目表 ......................................................................... 51

表 3-4 鷹架層次紀錄表 ................................................................................ 54

表 4-1 教學前學生計算題前測結果分析統計表 ........................................ 59

表 4-2 教學前學生文字題前測結果分析統計表 ……...…......................... 64

表 4-3 鷹架層次紀錄表 ………………………………...…......................... 72

表 4-4 教學前學生文字題前測錯誤題型分析統計表 ................................ 86

表 4-5 教學後學生文字題後測結果分析統計表 ....................................... 87

表 4-6 教學實施後學生文字題後測錯誤題型分析統計表 ....................... 87

表 4-7 漸層鷹架平均得分說 …………………………...…........................ 91

表 4-8 S1知識類型及層次鷹架綜合得分 ................................................ 93

表 4-9 S2知識類型及層次鷹架綜合得分 ................................................ 95

表 4-10 S3 知識類型及層次鷹架綜合得分 .............................................. 97

表 4-11 S4 知識類型及層次鷹架綜合得分 .............................................. 99

表 4-12 S1 協助層次鷹架得分表 ……………..............…...................... 100

表 4-13 S2 協助層次鷹架得分表 ……………..............…...................... 101

表 4-14 S3 協助層次鷹架得分表 ……………..............…...................... 102

表 4-15 S4 協助層次鷹架得分表 ……………..............…...................... 102

X

圖 次

圖 3-1 研究準備階段流程圖 ……............................................................... 29

圖 3-2 課程實施階段流程 …....................................................................... 30

圖 3-3 課程實施後分析階段流程 ............................................................... 30

圖 3-4 研究架構圖流程圖 …....................................................................... 34

圖 4-1 學生解題範例一 .............................................................................. 60

圖 4-2 學生解題範例二 .............................................................................. 60

圖 4-3 學生解題範例三 .............................................................................. 60

圖 4-4 學生解題範例四 .............................................................................. 61

圖 4-5 學生解題範例五 .............................................................................. 61

圖 4-6 學生解題範例六 .............................................................................. 61

圖 4-7 學生解題範例七 .............................................................................. 61

圖 4-8 學生解題範例八 .............................................................................. 61

圖 4-9 學生解題範例九 .............................................................................. 61

圖 4-10 學生解題範例十 ............................................................................ 62

圖 4-11 學生解題範例十一 ........................................................................ 62

圖 4-12 學生解題範例十二 ........................................................................ 62

圖 4-13 學生解題範例十三 ........................................................................ 63

圖 4-14 學生解題範例十四 ........................................................................ 65

圖 4-15 學生解題範例十五 ........................................................................ 65

圖 4-16 學生解題範例十六 ........................................................................ 65

圖 4-17 學生解題範例十七 ........................................................................ 65

圖 4-18 學生解題範例十八 ........................................................................ 65

圖 4-19 學生解題範例十九 ........................................................................ 66

圖 4-20 學生解題範例二十 ........................................................................ 66

圖 4-21 學生解題範例二十一 .................................................................... 66

XI

圖 4-22 學生解題範例二十二 .................................................................... 66

圖 4-23 學生解題範例二十三 .................................................................... 67

圖 4-24 學生解題範例二十四 .................................................................... 67

圖 4-25 學生解題範例二十五 .................................................................... 67

圖 4-26 學生解題範例二十六 .................................................................... 67

圖 4-27 教學實施學生於黑板練習範例 .................................................... 70

圖 4-28 教學題目學生作答示範 ................................................................ 75

圖 4-29 教學題目學生作答示範 ................................................................ 84

圖 4-30 S1後測卷學生作答範例 .............................................................. 89

圖 4-31 S2後測卷學生作答範例 .............................................................. 89

圖 4-32 S3後測卷學生作答範例 .............................................................. 90

圖 4-33 S4後測卷學生作答範例 .............................................................. 90

1

第一章 緒論

本章分為第一節研究背景與動機、第二節研究目的、第三節名詞釋義以

及第四節研究限制共四節分別說明。

第一節 研究背景與動機

在數學教學的領域中，數學解題教學一直是各個學者、數學教育研究者

及教師們最注重的課題，如何透過教師的教導以及培養提升學生問題解決的

能力，即是本研究的主題。

「解題」這一個主題，無論時空如何的變遷，科技如何發達，任何人都

得去面對，解決職場上或生活上的問題。而如何設法去解決問題，得由每個

人自己決定。雖然我們可以經由科技的幫助，找到答案；但還是得有人們的

智慧才能思考推理解決方案，才能解決問題。教學者必須讓學生具備基本

「解決問題」的能力，讓他們在進入實際的世界時，會使用這些基本能力以

及思考推理，去解決所面對的問題（教育部，2003）。

美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics

NCTM,1989）明確指出數學為學習問題解決的方式，問題解決（problem

solving）是數學學習課程的核心主軸。更在其 1989 年出版中小學課程及評

量標準中提出「數學即是解題」。 2000 年 NCTM 頒布的《學校數學的原則

與標準》( Principles and Standards for School Mathematics ) 仍將「成為數學

問題解決者」列為重點之一。國民中小學九年一貫課程綱要 (教育部，

2003) 的基本理念、課程目標以及基本能力中都題及”問題解決”。教育部民

國九十二年《國民教育九年一貫課程綱要》總綱就把「培養獨立思考與解決

問題的能力」列為國民教育十大基本要求之一。數學領域目標也強調發展學

生解決數學問題的能力，期望學生達成「發展形成數學問題與解決問題的能

2

力」，並透過數學學習激勵多樣性的獨立思維方式，激盪各種想法，激發創

造力(教育部，2003)。由此可知，國內外對於學習數學的主軸為培養學生數

學問題解決能力。

數學教學強調學生從日常生活經驗中，吸取相關數學知識，培養學生喜

歡數學，主動學習數學的態度，提高問題解決能力，並強調與其他各領域連

結。學生在數學課最常問的是：「 為什麼要學習數學，日常生活中又用不到

這麼困難的數學題目，只要會加、減、乘、除就好了。」而我們也需要讓學

生了解，學習數學是要培養學生的邏輯思考及問題解決的能力，面對未來成

年後，遇到問題能面對問題、分析問題、推演各種解決問題的方式，然後嘗

試各種解決問題方式實施，最後成功解決問題，而這些步驟都需要良好的邏

輯思考能力及問題解決能力。

黃德祥（2007）更指出數學扮演的是一個「關鍵過濾器」（critical

filter）的角色，可以決定未來一個人成功與否的重要指標。而數學學習的成

敗與個人潛能的發揮、職業選擇與日常生活適應之關聯極為密切（楊招謨，

2008）。數學一直是我國的國中、小學學生最討厭不喜歡且感到學習困難的

科目（邱上真，詹世宜，王惠川，吳建志，1995），而且越到高年級就有越

多學生害怕數學，認為自己不能有效學習數學，學生面對文字題的問題解決

更是學生揮之不去的夢靨，而且由於年級增加較抽象課程增加所遇到的困難

越大，面對這問題應當從教學方法著手。

工商社會雙薪家庭多，大部分的家長會把小孩丟給安親班去輔導學生的

學習，很多安親班只會讓學生不斷的做練習直到他把題目跟做法背誦下來，

如此小孩並不知其一，不了解題目的意思，靠著題目提供的數字胡亂湊答案

，甚至得到錯誤的解題觀念。到了國中之後七年級之後，相對的其數學成績

會非常的明顯的落差。導致後續在國中七到九年級的學習，是一段非常痛苦

的歷程。那麼如何可以改變學生在五六年級階段就可以啟發他的學習能力及

邏輯能力就是一個相當重要的課題。

3

多數學生會依據過去解題基模去揣測題目並實施解題，教學時教師也會

依據其教書經驗揣測學生的程度而實施教學，臆測學生的學習狀況判斷是否

完成教學目標與學生的互動少之又少。因為無法真正了解學生的問題所在導

致老師的教學認知與學生的學習成效有相當的落差。因此如何建立一個使教

師教學以及學生學習有效率的教學模組是本研究的主要動機。

在國小高年級階段，對多數的學生而言數學文字題是令他們在數學學習

上卻步，且學習成效不佳的單元（羅綸新，劉宛枚，2012）。 數學文字題的

解題知識除了基處的運算計算能力外，還包含語意知識及數學概念的理解應

用。學生若無法了解題意，無法找出解關鍵的文字，也就無法了解題意，進

而無法解題（邱志賢，毛國楠，2001）。

為協助學生提升數學文字題之學習成效，研究者發展漸層鷹架教學模組

，以 Polya 的解題步驟為基礎，輔以利用 Mayer 由認知心理學的角度所提出

數學解題的歷程；解題兩階段歷程、四項成份及五種知識類型，來補足

Polya 解題步驟中的解題所需相關概念及知識。對應教師的教學行動中，學

生解題所需的認知鷹架，再細分每一步驟中的解題行為，貼近學生近側發展

區（ZDP）所需的鷹架協助。分析教師應給予的適當鷹架，搭配師生對話的

方式使學生聚焦在解題上，教師也因為師生對話，更確切了解學生對於每個

解題步驟的困難疑惑，會更能提供適切鷹架協助，教師能補足學生所需要的

語言知識、語意知識、基模知識、策略性知識、程序性知識對學生解題能力

產生貢獻，而發展出漸層鷹架教學模組。研究者將透過質性研究方式，探討

漸層鷹架教學模組的實施，對於六年級學生學習數學代數文字題問題解決的

成效。

第二節 研究目的

根據上述，研究者希望達成下列的研究目的：

一、探究漸層鷹架教學模組實施教學前，小學六年級學生文字題解題之

4

表現。

二、探討以漸層鷹架教學模組方式實施教學，對小學六年級學生文字題

解題的學習歷程。

三、探討以漸層鷹架教學模組方式實施教學後，小學六年級學生文字題

解題的表現。

第三節 名詞釋義

一、漸層鷹架教學模組：研究者自行發展之教學模組，以 Polya 的解題步驟

及 Mayer 由認知心理學解題五種知識類型為理論基礎，對應教師的教

學行動中，細分每一步驟中的解題行為，再貼近學生近側發展區

（ZDP）所需的鷹架給予適當協助的教學模組。

二、代數文字題：代數文字題是將日常的實際生活情境融入數學問題之中，

透過文字敘述的方式出題，文字題是中小學數學課本中常出現的數學解

題類型，常常需要使用代數(未知數)解題，本研究將簡稱為文字題。

第四節 研究範圍與限制

本研究由於為質性的行動研究，取樣方式為方便取樣以及為了詳實紀錄

研究狀況，選取兩位低數學成就及兩位中數學成就共四位學生參與研究，探

討以漸層鷹架教學模組提升六年級學生文字題解題表現之研究，因此有其研

究範圍與限制，不宜過度推論於其他單元範圍的教學成果及多數學生的學習

成果。

5

第二章 文獻探討

由前述研究目的，如何提升學生文字題解題表現需將數學解題歷程細分

。解決數學問題，大致可分為文字敘述轉換成計算式及計算問題。解決計算

事實的問題並不是教學上的難題，只需要多練習即可解決。而是文字題轉換

成計算式問題解決比較複雜，從了解題意、擬定計劃、執行計劃、驗算並回

顧，整個的解題流程是複雜的。教師在教學過程中，如何了解學生在解題步

驟中的解題的困難點，協助學生思考，提升學生解題能力，引導學生如何使

用正確步驟與方法並運用與應用於解題上，對影響數學解題歷程因素需多加

了解探討，因此研究者將分成三節：一、數學解題理論，二、鷹架理論，三

、數學解題與鷹架理論相關之研究等來討論。

第一節 數學解題理論

關於解題的理論眾多，研究者將 Polya 解題歷程、Mayer 解題理論、

Lester 解題理論、Schoenfeld 解題理論以及 Krulik 和 Rudnick 解題理論分

述如後。

壹、Polya 解題歷程

Polya（1945）為最早提出數學解題歷程模式的學者，並且在「怎樣解

題」（How to Solve It）著作中，將數學的解題歷程分成四個階段：

一、了解問題：透過題目線索尋找目前已知的條件、未知的條件和重要的關

鍵字。

了解問題的未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？滿足條件是否

足夠？要解答未知數的條件是否足夠？並嘗試把條件的各個部份分開並

且能否把它們寫下來？

6

二、擬定計畫：可以在各已知的條件與未知的條件之間找出聯結，並擬定出

解題的方法和策略。

找出已知數與未知數之間的關聯，並且試著想想具有相同未知數或相似

未知數的熟悉問題。如果找不出直觀的關聯，可能要考慮輔助的問題，

利用迂迴的方式找出關聯。

三、實施計畫：根據擬定的計畫實際計算求解。根據擬定好的解題計畫付諸

實現，採用各種可行的解題策略並仔細檢查每一個步驟，進行解題的工

作並且確定每一個解題步驟與證明步驟都是正確的。

四、驗算與回顧：獲得的解答後，進行驗算的工作。然後重新的思索整個解

題歷程並統合相關的解題經驗。

Polya 的解題步驟提供了學生們解決數學問題時，非常良好的思考與解

題模式，也提供教師在實施教學時利用這樣的解題步驟教導學生時，藉由

Polya 解題步驟建立教學步驟，建立適當鷹架完成教學目標。Polya 認為：＂

如果教育未能對智力的發展作出貢獻，這樣的教育顯然是不完全的＂，數學

教師要盡一切可能增進學生問題解決的能力。傳統直接教學模式較缺乏學生

思考與發言分享的學習歷程，很少與學生做討論進而刺激學生進一步思考。

若學生學習缺少深層思考，如此的數學教學對於學生的解題能力發展貢獻必

然不足，透過互動式教學模式的改變可對於解題能力的發展貢獻再強化。

Polya 問題解決的研究重點集中在啟發法（heuristic）上，目標並不是要

發現可以機械地用來解決一切問題的 ＂萬能方法＂（Polya 也明確指出，這

樣的萬能方法也是不存在的 ），而是希望能透過對於解題過程的各種提醒觸

發引導增進解題成功經驗，並總結出一般的方法或模式，累積解題基模這些

解題基模在以後的解題活動中就可起到啟發和指導的作用。因此在教室的數

學課堂上教師應該不只是教導數學知識更該教導學生應用數學的能力、思考

能力、判斷能力。

7

貳、Mayer 解題理論

Mayer（1992）從認知心理學的角度來探討數學解題的兩歷程、四項成

份及五種知識類型：解題兩歷程中每個歷程又包括兩個解題成分，並且需要

五個知識類型來支撐四項成分完成解題任務。由表 2-1 表列 Mayer 的解題成

份與知識類型。

表 2-1 Mayer 的解題成份與知識類型

兩大歷程 四項成份 五種知識類型

表徵問題 問題轉譯

語意知識

事實知識

問題整合 基模知識

問題解決 解題計劃及監控 策略知識

解題執行 程序性知識

Mayer 解題的兩個歷程︰

一、表徵問題（problem representation）

將問題敘述轉譯為一個自我可以理解意思內化的心理表徵，包含問題給

予狀態（已知條件），目標狀態（欲求解答）及考慮允許的操作（各種解題

方式嘗試）。

表徵問題包含兩成份：

(一) 問題轉譯（problem translation）

問題轉譯是指將每一個敘述句轉譯為內在表徵，也就是去理解語句之間

的關係，並將每一個敘述句加以轉譯成解題者自己可以理解的詞句，並

且組織脈絡，初擬解題策略方向方法及可行性。要達成問題轉譯也就是

需要具有「語意知識」、「事實知識」。

「語意知識」和「事實知識」說明如下：

1. 語意知識︰學生在理解題意階段時容易犯三類錯誤，第一類回憶錯誤

8

與遺漏錯誤（某一句話完全未能回憶出來）、第二類細目的錯誤（在

敘述句中，一變數轉變為另一變數）、第三類轉變的錯誤（敘述句從

關係句轉變為指定句的錯誤）。語意知識是用來理解問題中理解語句

之間關係敘述（relational statements）的能力，有一些解題的困難可

能是因為理解敘述問題的句子的困難，教師在教學的過程中，透過對

話式鷹架教學可利用教學步驟克服學生的理解題意的錯誤，利用鷹架

在適當時機給予適當的輔助把問題解決對於問題中的關係性敘述理解

困難，幫助學生把理解問題後，把問題對應到兒童所擁有的概念性知

識的架構，轉化成為內在心智的表徵。

2. 事實知識︰包含單位轉換的問題，比例問題、數線上左或右位置相對

應的問題等等的數學事實知識，若數學知識能力不足對解題成敗亦有

影響。

(二) 問題整合（problem integration）

問題整合包含認識問題的類型、辨認有關或無關的敘述、決定解答問題

所需要的條件訊息、利用圖表或圖畫來表示問題等，能夠將題目敘述整

合而成連貫一致的問題表徵。這種將問題給定的敘述整理需要有解題基

模來支持，問題整合需要有「基模知識」。 亦即解決應用問題的一個重

要成份是將題目的所有敘述句整合成連貫一致的表徵。

1. 學生對應問題的基模︰學生能使用他們的基模來正確的判斷什麼資訊

與問題有關以及什麼資訊與問題無關。當解題者使用錯誤的基模來判

斷或決定哪一個訊息是解題必須納入的時候，就會出現解題錯誤，因

此許多解題錯誤便發生在問題整合方面。Mayer 在研究中，顯示學生

在回憶出現率較多的問題比出現率較少的問題更易於回憶成功，因此

例行性問題比較容易回憶成功，並且學生對一些常解決的典型的問題

類型較具有這些典型問題的基模，可以提供回憶成功。

2. 學生的基模之間的發展差異︰Silver(1977)發現好的解題者比較差的解

題者擁有更多有效的解題基模。解決應用問題較差的學生傾向於根據

9

表面題意敘述來歸類解題基模，而解應用問題較好的學生則依據其數

學結構來歸類解題基模。很顯然的，解題者成功地解答應用問題和發

展出問題型態的有效基模是相關聯的，由於基模知識是成功解題的重

心，教師教學時利用對話以及多方思考可以促進學生增進解題基模，

增加判斷與決定哪些解題資訊使用和如何使用，形成有效能的成功解

題基模以及解題經驗。

二、問題解決（problem solution）

解題者透過搜尋各個解題基模並且嘗試各種方法找出一條通過這個問題

解決的路徑，持續地應用到問題，直到目標達成。

(一)解題計劃及監控

解題計劃及監控包括理解題目所給的資訊條件轉換成「 數字語句 」或

「方程式」或「必需的運算列式」來表示問題、建立次目標、下結論等，能

夠按題意想出解題的列式計算順序及監控解題計劃也就是解題策略的形成，

如此就需要有「策略知識 」，策略知識是支持寫出計算式和提供解題策略的

知識，因此在解題過程中策略知識對於解題計劃及監控是重要成分，解題計

劃及監控是數學解題上頗具決定性的成份。

(二)解題執行

解題執行包括執行單純計算、執行連續計算等，能夠準確的和有效的執

行解題計劃。也就是執行問題轉譯，問題整合，解題計劃與監控需要運用算

術法則執行，執行解題計劃需要有「程序性知識 」，也就是關於如何執行加

減乘除運算、去括號步驟、等量公理解未知數、開根號…等的程序知識。

根據以上的解題兩大歷程與四項成分需要，Mayer(1982)分類出解題所

需的五種知識類型︰

(一) 語意知識（ linguistic knowledge）：英文或其他語言能力，能認識及唸出

題目中的字詞的能力及關於如何轉譯問題中的敘述。

(二) 事實知識（semantic knowledge）：現實世界事物的知識，如一公尺等於

10

一百公分等。

(三) 基模的知識（schematic knowledge）：將問題訊息結構成「有意義的 」

整體與熟悉的問題型態產生相關。例如，依內容情境有關的分類（如水

流問題，植樹問題等）。或者依問題結構的分類（如合併、改變、比較

等的加減法分類）。

(四) 策略性知識（strategic knowledge）：如何使用數種以獲得的知識來計畫

和檢視問題的解答的技能，關於如何執行的一些程序，如制訂子目標。

(五) 程序性知識（procedural knowledge）：如何表現一系列運算的知識，關

於如何逼近（approach）問題答案，如分割 0.09 成 38.88 份。

參、Lester 解題理論

Lester（1980）把數學解題分為六個階段：

第一階段：問題的知覺（problem awareness）。

解題者對於所面臨的情境，要知覺到是個問題，並且有想要解決問

題的意願。

第二階段：問題理解（problem comprehension）。這個階段包括兩個子階段：

1. 轉譯（translation）：解題者將問題提供的訊息轉譯成解題者能夠了

解的名詞。

2. 內化（internalization）：解題者挑選尋找相關的訊息，且判斷這些訊

息的相關程度。

第三階段：目標分析（goal analysis）

將問題轉化便於應用在熟悉的策略與技巧。

第四階段：計畫的發展（plan development）。

解題者在這個階段擬定一個計畫，認清可行的解題策略。

第五階段：計畫的執行（plan implementation）。

解題者徹底實施擬好的計畫。

第六階段：程序和解答的評估（procedures and solution evaluation）。

從目標分析到發現解題的過程評估，以及檢核答案是否有意義。

11

Lester（1980）認為解題歷程從問題的知覺開始，著重解題者的解題意

願。在程序和解答的評估結束中，強調解題者的檢核能力。他將每一個階段

解題者的重要任務區分出來，著重於各階的區分和先後順序。

肆、Schoenfeld 解題理論

Schoenfeld（1985）提出數學解題策略的基模大綱（schematic outline），

認為數學解題歷程主要可分為六大階段：

第一階段：讀題（reading）

在讀題的階段，解題者應該注意是否正確的理解題意，及題目所

要求的目標，並評估解題者現有的知識能力與題目關係。

第二階段：分析（analysis）

分析題目所給的條件，整理出與解題有關的條件，根據題意列出

解題策略並判斷其可行性。

第三階段：探索（exploration）

在解題過程中，解題者搜尋與解題相關之知識與條件，並判斷解

題策略是否合理。

第四階段：計畫（planning）

主要目標是解題策略計畫是否完整，策略計畫的執行是否有順序

；在過程中，解題者是否有對部分或全面的層面監控或評量。

第五階段：執行（implementation）

解題執行解題策略。

第六階段：驗證（verification）

重新檢查計算過程，有無驗證答案及如何檢驗。各階段間的連

結，監控執行策略，評估解題方向的正確性。

Schoenfeld 以綜觀的方法分析解題歷程，並列出每一個階段解題分析時

應注意的相關問題。Schoenfeld 的解題歷程，著重在每一個策略的執行，且

認為每一個步驟的決策，皆與解題者的後設認知行為相關。在驗證方面，提

出用不同方法檢查解法，不但評估解題過程，同時也評量解題者自己對解題

結果的信心。

12

伍、Krulik 和 Rudnick 解題理論

Krulik 和 Rudnick（1989）發展出數學解題歷程模式，其解題歷程分成

五個步驟並配合解題子技巧，解題步驟為：

第一步驟：閱讀問題（exploration）

判別事實真相、題目種類，解題者以自己的語意知識了解題目，

並思考問題、想像問題。

第二步驟：探究問題

探究分析資料的合理性，少了什麼或多了什麼？用圖像表徵及代

數等方式整理和呈現資料，搜尋運算的概念及解題策略。

第三步驟：選擇策略

理解算式、回顧舊經驗，嘗試解題並猜測結果，選擇適合的解題

策略。

第四步驟：解決問題

執行計算、使用各種計算的技巧。

第五步驟：驗算

檢查驗算結果的正確性與合理性。

Krulik 和 Rudnick 認為解題歷程中，這五步驟沒有順序及連貫性，希望

解題者在得到答案後，進一步反省與擴展其他解法，包含檢查答案是否符合

題目的所求、是否合理與數學計算是否正確（馬秀蘭、吳德邦，2009）。

將上述研究及數學解題歷程步驟之相關研究整理如下表 2-2

表 2-2 數學解題歷程相關研究

理論提出者 步驟一 步驟二 步驟三 步驟四 步驟五 步驟六

Polya(1945) 了解問題 擬定計劃 執行計劃 回顧解答

Schoenfeld

(1985) 讀題 分析 探討 計畫 執行 驗證

Lester(1985) 問題知覺 問題理解 目標分析 計畫發展 計畫執行 程序和解

答的評估

13

Krulik 和

Rudnick(1989) 閱讀問題 探究問題 選擇策略 解決問題 驗算

Mayer(1992) 問題轉譯 問題整合 解題計劃

及監控 解題執行

綜觀以上學者所發展的解題歷程及步驟，大部分都皆由 Polya 的解題步

驟而衍生出的解題歷程。由於研究者考量本研究的適切性，故研究者採取

Polya 的解題步驟，為漸層鷹架教學模組的主要實施參考步驟。而 Mayer 的

解題歷程所包含的各項知識成份，為本研究搭建各個層次所需要知識的重要

依據，故研究者依 Mayer 的解題歷程所需各項解題知識，為研究教師提供

學生鷹架輔助認知的指標。

第二節 鷹架理論

壹、Vygotsky 的近側發展區以及認知發展論

俄國心理學家 Vygotsky（1976）認為，學習是發生在社會文化脈絡下，

經由人際之間的互動（社會關係），將外在知識納入個人的心智架構中，也

就是說學習新的知識需要透過與其他人互動。換言之，Vygotsky 認為認知發

展與他人的影響有密切的關係（Vygotsky, 1978）。Vygotsky 從社會歷史的觀

點研究兒童心理的發展，強調兒童透過各種與他人互動以及相處交流的機會

而產生知識的歷程。

Vygotsky（1986）也認為兒童獲取學習經驗並不一定由衝突而來，並且

強調知識的形成要由能力較好的成人或同伴與學習者互動，同時在學習者的

最佳發展區（zone of proximal development）產生知識移轉以及概念發展，促

使學習者更高層次的心智發展，例如概念性思考、邏輯性記憶、自我調節能

力等。因此在數學教育上，師生互動、生生互動有助於學生學習新的數學知

識與概念，並且在最佳發展區內的溝通與互動，學生的學習才有良好效果。

14

Vygotsky 同時也認為透過人與人之間的互動，個體問題解決的能力若經

由能力較高者的從旁支援、協助，則其效果將會優於個體獨自問題解決的能

力。個人獨自解決問題即為「實際發展層次（real level of development）」，而

透過能力較高者協助能達到「潛在發展層次（potential level of

development）」，此兩個層次間的差距，則稱為「 近側發展區（ZPD）」 或

「最佳發展區」。互動的雙方必須有某種程度的差異，這種差異不是權力的

差異，而是對問題了解程度或處理能力的不同，雙方透過不斷的討論和觀點

的分享等語言的互動，就能促使兒童的認知概念有所發展，亦即最佳發展區

。最佳發展區是指兒童自己實力所能達到的水平與經別人給予協助後所可能

達到的水平，兩種水平間的差距。這種情形下，能力較好的成人或同伴經由

溝通互動所給予的協助，即稱為鷹架作用 (scaffolding)(張春興，1998)。

我們可以依據這樣的理論，教學過程中融入與學生對談與互動成為幫助

學童建立知識的重要歷程。然而在有限的教學時間中，自由式的討論教學，

時常會使討論的主題失焦，需要靠教學經驗充足的教師掌控全場，而教學經

驗較少的教師對於討論式教學掌握與拿捏較辛苦。如何使大部分的教師在教

學中透過有規則與效率的引導學生思考的教學對話，牽引教學對話方向正確

，而且透過教師的引導學生，漸漸能提升解題能力，達成數學教育對學生解

題能力發展做出貢獻。

由 Vygotsky 的認知發展論即可理解，教師在教學前不僅要了解學童實際

的認知發展，更重要的是要評估學童的潛在能力，經由不同的情境安排、教

學方法，教師與學童、學童與學童之間產生動態的互動，激發學童主動的學

習，以提升學童認知發展，另外在各個互動的過程中，教師在適當時機提供

適切的鷹架，對於學生提升學習與認知有密切關係。

15

貳、鷹架理論

對於教師所需建立的「鷹架」（scaffolding）一詞是由 Wood、Bruner 以

及 Ross 於 1976 年所提出的，它的主要意義是指：兒童內在的心理能力之成

長有賴成人或能力較強的同儕協助，而這種協助應該建立在學習者當時的認

知組織特質上。 Wood 等三人也整理出鷹架在學習上的所能提供的六種支援

：引發學童參與、指出所欲學習事物的關鍵特徵、示範、減輕學習時的負擔

、進行學習活動方向管理及掌控學習過程挫折。這些由成人或專家及同儕所

提供的學習支援，可以幫助學童發展學習的能力，進而使學童最後能自行完

成學習的工作（Wood , Bruner & Ross, 1976）。換言之教師在教導學生在學習

的過程中，教師所採取的支持性協助即為「鷹架 」，學生在學習時若沒有任

何人的協助，學生難以達到更高的目標。因此若教師提供鷹架，則能幫助學

生達到進一步的目標。透過教學者或同儕協下，給予相關知識重點提示並提

供相關演示，可減少學習者自行摸索所花費的時間與精力，期望學習者能夠

完成超出原本自己能力的工作，這種協助的過程就稱為鷹架而此種協助過程

是一個暫時性的支援，並不是長久的，當學習者能力提昇，能夠展出自我的

知識並主導學習，教學者便可漸漸退出。在 ZPD 的理論中，將之稱為學習

責任的轉移(Transfer of Responsibility)。(Rogoff & Gardner, 1984 )

經由教學引導達到近側發展區，教師此時提升學生各種知識發展包含認

知與解題技巧，當學生的各種知識發展包含認知與解題技巧達到目標時，教

師的支持性協助將逐漸減少，進而在學生有解決問題能力時，教師開始增加

學生自己的解題責任也逐漸甚至完全撤離對學生的鷹架輔助。因此教師建立

適當適切鷹架可以幫助學生地認知發展外更可以幫助學生學新的知識並且視

學生的學習狀況及內化程度而決定鷹架的建立程度。所以鷹架除了可以加速

學生對既有知識的建立，同時可以內化新的資訊。

16

一、鷹架的來源與互動對話

陳定邦(2003)依據鷹架的來源，將鷹架分成教學者鷹架以及同儕鷹架。

而對於鷹架提供者與學習者及各學習者之間，鷹架建立的最直接的方式是對

話互動討論。

(一) 教學者鷹架

Lemke (1990) 數學學習不是一種制式的問與答規則，教師應減少慣用的

問答方式，重視學習的社會互動過程，改以由學習者提問、個別或小組報告

、對話、互相討論等方式來安排組織課程。 Gallas (1995)認為教師重複制式

化的述說與提問，會逐漸減弱學習者的觀察能力，教師過度主導的學習，無

法激起學習者思考的潛能。教師在以教師為中心的教學時，學生會習慣性地

未經詳細思考接收學習知識的訊息導致思考潛能受限，教師應於教學前備課

階段設計好的課程講述方式、開放性的提問方式與技巧，激起學生思考的潛

能。因此數學學習與溝通需良好的語言傳達能力，透過對話訓練可以強化數

學語言及語意知識，並且提升學習氣氛激發思考潛能。Bently 和 Watts (1992)

認為數學教育應該協助學習者學習溝通技巧，去傳達個人知覺，才能提昇學

習者的數學能力。

(二) 同儕鷹架

Phillips 和 Soltics (1991)指出，學習不該是一個孤獨的研究者，必須與他

人溝通、互動，以獲得引導或接受新的刺激 。 Wheatley (1991)也認為學習者

必須親自去與他人互動獲得真實的了解某些概念，透過思考他人的理解方式

，再自行組織或適應重整本身的基模，以獲得新的知識與概念。Piaget 認為

，同儕互動有助於認知的發展，同儕在互動過程中，可能引發認知衝突產生

認知失衡，釐清認知失衡後調適再重新建立認知平衡後的基模建構；同儕鷹

架教學模式，可提供學習者練習與決定使用細緻化策略的機會，有助於學習

者在認知層次上的提升（引自陳育琳， 2006）。

17

Bently 和 Watts(1992)主張，當學習者能在數學課室中進行溝通時，表示

他們的思慮已經做了重新的澄清與運轉。並且針對溝通的功能性，提出三種

形式，包括（引自陳育琳，2006）：

第一種形式：解釋（explication）

溝通能讓學習者將想法解釋清楚，並澄清學習者真切思慮

的過程。

第二種形式：預期（expectation）

溝通能使學習者監測自己的想法，並預期所有可能的結論

發展，以及隱含的想法發展過程。

第三種形式：探究（exploration）

溝通能促進學習者採用其他的觀點來檢測自己的概念，溝通

過程能使學習者重新建構他們的想法，思考接下來的發展。

透過溝通學生會進行深入性的思考，檢視自我對題意的認知並提出觀點

與教師及同儕溝通、解釋自己想法時監測自己的解釋是否合乎邏輯並且可以

討論過程中運用邏輯概念預測發展及結論。針對鷹架教學的設計，使用循序

漸進的教學模式設計，不斷碰觸學生的近側發展區，教師與同儕為鷹架的提

供者利用溝通互動作為鷹架搭建工具，激發思考潛能、建立或提升概念認知

，增加解題基模並回顧解題過程強化後設認知，然後逐漸撤除鷹架責任轉移

，完成教學任務。本研究主要以教學者鷹架為研究主要使用之鷹架。

第三節 數學解題與鷹架理論相關之研究

研究者根據解題理論整理相關的研究並了解研究之發展趨勢，故依研究

發表時間排列如下：

一、以 Mayer 解題理論為主的相關研究

研究者 研究對象 研究主題

18

蔡明典

(2009)

七年級 認知解題策略教學對國中數學學習障礙學生一元一

次方程式應用問題解題成效之研究

研究結果

1. 「認知解題策略」教學能提升國中數學學習障礙

學生一元一次方程式文字題的解題能力。

2. 經「認知解題策略」教學介入後，數學學習障礙

學生在不同題型之一元一次方程式應用問題的解

題表現上，有明顯的差異。

3. 在教學介入撤除一段時間後，「認知解題策略」

對提升學習障礙學生一元一次方程式文字題的解

題能力有維持的成效。

4. 認知策略的教學能促使數學學習障礙學生運用不

同的問題解決策略，並減少不適當的解題方法。

劉仁傑

(2013)

六年級

圖示解題策略應用於國小六年級原住民學童解數學

文字題之研究

研究結果

教學後各組學生解決數學文字題的能力都有明顯提

升，並且有良好的學習保留表現。

李銘豐

(2014) 六年級

以 Mayer 的解題模式探討國小六年級學童在代數數

學文字題的解題表現

19

研究結果

1. 國小六年級學童在整體數學文字題的解題表現屬

中等程度，其中「問題轉譯」的表現最佳，其次

依序為「問題整合」、「解題計畫與監控」、「執行

計畫」。

2. 國小六年級學童數學文字題解題整體的表現與閱

讀理解能力有顯著正相關，並且國小六年級學童

數學文字題解題各解題成份的表現與閱讀理解能

力有顯著正相關。

3. 不同閱讀理解能力的國小六年級學童在數學文字

題各解題成份與解題整體的表現有顯著差異。

4. 不同性別的國小六年級學童在數學文字題各解題

成份與解題表現並沒有顯著差異，但就平均分數

來看，女學童比男學童好。

國小六年級不同語文閱讀理解能力學童在數學文字

題解題歷程，在「問題轉譯」與「問題整合」方面，

不論高、低分組學童者，在基礎題、進階題或是應用

題，都有相同的表現；在「解題計畫與監控」與「執

行計畫」方面，高分組學高分組學童的思考邏輯及計

算能力表現較佳。

張惠美

(2014)

六年級 以 Mayer 解題理論融入國小六年級文字問題

研究結果

Mayer 的解題策略，並採用問題轉譯、問題整合、

解題計劃與監控和執行計劃四大解題歷程，運用簡

化問題、畫圖表及列表找規律等數學解題策略來引

導學生學習，學生經由討論講解、並透過填空式引

導學習進行解題歷程。

20

彭宜芳

(2015)

七年級 運用數學解題能力訓練系統對國中七年級學生的數

學學習影響之探討-以數學文字題為例

研究結果

數學解題能力訓練系統下引導進行訓練，可培養學

習者更有步驟地進行解題，不但能提升情意面向，

也能使學習成效及數學解題能力達到最佳。

對於 Mayer 的認知教學，在研究上對於教學者比較常使用的是減少認

知上的阻礙，藉由 Mayer 解題認知理論融入課程設計、電腦輔助、教具使

用以及圖像顯示來降低學習者的認知阻礙。也有經由後設認知融入課程設計

教學，以及測試目前學生對於 Mayer 解題策略應用程度及學生學習成就之

關係。對於 Mayre 解題策略理論中五項解題知識的部分，以往較多研究都

針對：

一、減輕學生認知負擔或題意理解，教師提供語文事實知識以及語意知識進

行教學。

二、利用後設認知給予學生幫助，促進學生思考能力並使學生專注於解題並

且提高學生學習動機。

三、採用問題轉譯、問題整合或將解題成數個步驟，逐步教學，但對於資淺

教師對於語言知識、事實知識、語意知識、基模知識、策略知識、程序

性知識的提供時機與如何提供、是直接教學或是透過師生討論或是生生

討論這些教學操作模式若不是研究人員或資深有經驗的教師實施教學，

對於資淺或經驗較少的教師有較大的困難度。

若能循序漸進地依照學生所需的知識的類型，針對性的補足學生需要的知識

類型，幫助學生有效率地學習解題能力。

根據解題理論相關研究整理出與 Polyar 解題理論相關的研究，並了解

研究之發展趨勢，故依研究發表時間排列如下：

21

二、以 Polyar 解題理論為主的相關研究

研究者 研究對象 研究主題

李坤峰

(2008)

九年級 「Polya 怎樣解題」專題課程教學對九年級學生數

學學習成效影響之研究

研究結果

1. 針對國民中學基本學力測驗題型之解題能力，學

生接受 「Polya 怎樣解題」專題課程教學，其

能力的提昇有顯著的差異。

2. 而接受傳統方式教學之學生，在解題能力上亦有

進步，但未達顯著水準。

賴宛秀

(2010)

八年級 Polya 解題策略融入八年級數學教學之行動研究

研究結果

1. 超過半數學生覺得 Polya 解題策略在瞭解問題階

段的幫助最大，而在擬訂計畫階段的助益性最

小。

2. 學生認為其在回顧階段的「一題多解」部分獲益

最多，且有 94%的學生都可以接受此種教學方

式。

陳毅偉

(2013)

九年級 Polya 解題策略對九年級學生數學解題行為之影響─

以三角形三心為例

研究結果

1. 教學實驗後大多數學生將 Polya 解題策略內化為

自身的解題行為。

2. 教學實驗後學生在四個解題階段的數學解題行為

有顯著差異，其中以了解問題階段的數學解題行

為差異最大。

許瑞霖 九年級 運用 Polya 解題策略融入二次函數教學之行動研究

22

(2013)

研究結果

大多數學生在 Polya 解題教學後，在瞭解問題階段

明顯有很大進步，而在擬定計畫、執行計畫階段與

回顧階段雖無明顯進步，但解題習慣都比 Polya 解

題教學教學前細膩。

方妙如

(2014)

以認知學徒制實施 Polya 解題策略教學之研究

研究結果

1. 學生在瞭解問題階段之解題行為有明顯改變。

2. 學生在擬定計畫階段之解題行為最難表達。

3. 學生在執行計劃階段之解題行為變得更周詳。

4. 學生在回顧階段之解題行為改變最多。

陳書緯

(2016)

五年級 合作學習與 Polya 解題策略對國小五年級學童數學

學習成效之研究

研究結果

1. 學生在「瞭解問題階段」中的解題行為表現最

佳。

2. 在「擬定計畫階段」中的解題行為，除了表達困

難外，且認為「尋找關聯性」的策略最為困擾。

「擬定計畫」與「執行計畫」此兩階段相輔相

成。「驗算與回顧階段」的解題行為改變最需時

間。

Polya 的解題步驟相關研究中，大部分研究的研究者教學為按照四個步

驟逐一教學，對於研究的結果也有成效。但學生在解題時，雖按照步驟實施

解題，也會遇到解題時需要各種的解題知識之補充，教師也按照步驟解題時

遇到的困難給予直接幫助，直接教學易導致學生解題思考減少。若是能夠在

教學的步驟中更細分讓教學者更加能夠確認教學時學生的需求提供相關概念

，而且加入師生互動討論提升學生專注於數學解題教學思考及增進學習動機

，教學活動就能更加豐富與增加成效。

23

因本研究之研究主題為漸層鷹架教學模組，研究者整理與鷹架理論相關

之研究，並了解研究之發展趨勢，故依研究發表時間排列如下：

三、以鷹架理論為主的相關研究

研究者 研究對象 研究主題

楊靜芳

(2008)

在認知學徒的環境中鷹架輔助機制對概念學習成效

影響之研究

研究結果

鷹架輔助機制的介入，對不同性別、不同實驗組別

的受試者之學習成效並無造成影響，對中數學能力

組的學生跟高數學能力組的受試者也無造成影響；

但對低數學能力組的受試者有所助益。

陳柏村

(2012)

六年級 運用鷹架理論在國小六年級數學教學之行動研究

研究結果

運用鷹架理論在六年級的數學教學上對教師而言可

以改善教學技巧，教學前先瞭解學生的先備經驗，為

學生預備友善的學習環境。

黃卉珍

(2012)

七年級 探討雙重鷹架在多重表徵的動態幾何環境中對解題

過程之影響－以二元一次方程式為例

研究結果

學習單與先備知識交互作用下，使用轉譯型學習單

的學生在表徵轉譯與問題解決的學習成效上，達到

鷹架的目的，其中以高先備知識學生的學習成效最

為明顯對於低先備知識學生，其學習成效則無明顯

差異。

蔡佳霏

(2012) 二年級

利用教師鷹架與同儕鷹架促進二年級學生數學解題

能力之研究

24

研究結果

1. 鷹架的運作提升學生對於題意的理解。

2. 透過學生的最近發展區，鷹架之運作有助於提升

學生數學建模及解題能力到達他們自力難以到達

的程度。

3. 鷹架運作能提升學生問題表徵的能力。

4. 在多元解題的數學同儕鷹架運作下，學生的解題

歷程更加精緻化。

5. 透過不同層次同儕鷹架的搭建，有助於多元化學

生的解題策略及提升學生的解題表現。

6. 鷹架教學對於促進學生的後設認知與解題自我監

控能力具有正面的影響。

楊郁玲

(2014)

六年級 運用鷹架策略於數學作業以改善學生學習成效之行

動研究

研究結果

1. 同張作業概念提示應先於解題步驟及情境應用

2. 善用不同鷹架特性以適應單元內容性質

3. 鷹架作業有助於增進學生數學自我效能

4. 鷹架作業有助於改善學生數學定期評量成績

5. 不同鷹架有助於提升學生作業正確率

6. 研究者在數學鷹架作業行動中，獲得教學專業成

長、提升專業能力

依據上述鷹架相關研究列表以及其他相關鷹架研究，可以了解過去研究

相關鷹架的搭建方式大致為：

一、教學者在教學時對直接學生搭建鷹架，教學者行使的鷹架需要事先對學

生的學習經驗，與目前數學程度有所了解，以及教學者需要教學經驗。

可以從眼神、肢體動作、語言看出學生的近側發展區給予適當鷹架，以

便於應付在實施教學時，發生超過事前模擬備課的意外狀況。

25

二、教學者針對於觀察某一個特定教學策略目的而設計的鷹架，例如後設認

知鷹架、情境鷹架，策略教學鷹架、序列式問題鷹架、圖像表徵、知識

鷹架、多重表徵鷹架…….等，而發展設計的教學鷹架。

三、教學者利用電腦設計遊戲提高學習者學習興趣以及圖像化幫助減輕認知

負擔設計的教學鷹架。

四、利用同儕間的互動而產生的鷹架

上述各種鷹架都是各教學者想要幫助學生所做的努力，研究者認為教學

最直接能夠抓住學生注意力的鷹架是同儕與教學者，教師可能對於電腦教學

或後設認知等設計課程上產生困難，因此如何建立適當的鷹架並使教學者能

在教學時，最直接的鷹架教學技巧能使用於師生互動及生生互動為最佳選擇

，但是如何互動才能對教學效益最有幫助卻是一個問題。

教學者如何了解學生的目前程度，目前教學者的作法為教學行動前觀看

學生的之前學習資料，臆測學生程度逕行設計教案、根據學生以往成績猜測

學生近側發展區而模擬教學方式，而這樣的鷹架搭建教學對於較資深的教師

比較容易，但對於較資淺的教師則面臨比較大的困難教學挑戰，對於學生的

學習更面臨學習成效低落。研究者期望教師能在教學的當下，透過互動的教

學模式運用漸層式的鷹架搭建系統直接針對學生的問題在近側發展區搭建有

效的鷹架，期望教學成功。

故本研究發展漸層鷹架教學模組，根據 Polya 的解題步驟為基礎，輔以

利用 Mayer 由認知心理學的角度所提出數學解題的歷程兩階段、四項成份

及五種知識類型補足 Polya 解題步驟對應於教師的教學行動中學生解題所需

的認知鷹架，再細分每一步驟中的解題行為貼近學生近側發展區(ZDP)所需

的鷹架協助，斟酌教師應給予的適當鷹架，搭配師生對話的方式使學生聚焦

在解題上，教師也因為師生對話更確切了解學生對於各解題步驟爭的困難疑

惑會更能提供適切鷹架協助，教師能補足學生所需要的語言事實知識、語意

26

知識、基模知識、策略性知識、程序性知識對學生解題能力產生貢獻，而發

展出漸層鷹架教學模組。更對於需要補足的各項知識所需搭建的鷹架分為語

意知識與語意理解鷹架、概念鷹架、策略鷹架，另外將後設認知鷹架分為後

設認知監控與調整鷹架(運算歷程)以及後設認知檢視與辨識結果鷹架(解題整

體合理性)兩部分。

27

第三章 研究方法

教師是課堂教學的實施者，了解教學目標帶領學生朝教學目標前進。教

師亦是課室的主控者，掌握教室所有的教學資源，利用這些資源提升教學成

效，因此教師對於課室的學生學習以及教學成效的影響重大，因此必須常常

對於自己的教學實施進行檢討與反省，修正自己的教學步驟和教學策略。因

此也可以說教師本身是教學的改革者，必須懷著自我批判的精神，來評價自

己的教學是否符合自己的教學目標，符合教學的期待。

數學教師於教學時，主要目的是要引導學生在數學學習過程中，理解概

念因知之而學習之，提升學生的學習興趣及學習成效。研究者希望透過漸層

鷹架教學模組讓學生在學習數學文字題時，當於學習上出現學習問題時，能

於適當時機給予適當協助，了解學生學習進度與狀況，儘量讓學生在學習近

側發展區建構數學概念，促進學生思考數學問題的能力，建立學生數學學習

的溝通能力。因此漸層鷹架教學模組為研究者歷經多年的教學經驗，及在學

習數學教育教學課程中所延伸出的教學方式，期望幫助研究者本身或者是幫

助其他教師，進行更有效率的教學。但因不知其對學生的數學學習學習成效

為何？故研究者將以行動研究法於研究實施過程中隨時修改教學策略，研擬

較佳之教學方式。

第一節 行動研究

行動研究 (action research) 是由教師本身成為研究者在教學環境中，所

執行的系統性探索，蒐集自身的教學實況、學生的學習效果，以蒐集得的資

料發展反思性實務，使教學行動朝向正向變革(蔡美華、王文科，2008)，以

改進學生的學習成效及促進教師的教學專業發展。行動研究的過程是實務工

作者(即研究者)，針對教學實施工作場域所遭遇的問題進行研究，並結合專

28

家及同儕的協助，採取有計畫的行動來解決實際所遭遇的問題。發展一套改

變現狀或解決問題為主的行動策略，並記錄評估該行動策略的實施歷程及實

施成效(吳明隆，2001)。

行動研究主要是教師針對課堂上的問題來提出一個解決方法，研究者在

多年的教學經驗以及與其他教師及同儕討論中，察覺許多學生對於應用題也

就是文字題的解題一直有學習上的困難，也因為國小的文字題基礎沒學好，

會影響到國中的各個階段的文字題學習成效，因此研究者由文獻中了解文字

與代數問題解題的方式，結合 Polya 解題步驟、Mayer 的解題成分與知識及

Vygotsky 近側發展區的鷹架教學，發展出漸層鷹架教學模組期待本教學模組

可以幫助教師教學實施，提升學生的學習效率。由於想要清楚確切理解漸層

鷹架教學模組地使用成效是否完善，並且在模組不夠完整時再修正。

研究者為提升自我教學專業及利用對話式漸層鷹架模組實施提高學生學

習成效，以行動研究方法來探究自我教學成長，以實用性取向探討反省自我

的教學，了解教學模組對課程實施的優缺點，修改修正適合學生的漸層鷹架

教學模操作模式。因此本研究主要採用實用取向來分析研究者的教學及漸層

鷹架教學模組設計之適切性，以作為研究者教學的省思及修正，以期能較好

的教學成效，故研究決定採用行動研究進行研究並符合行動研究的精神。

第二節 研究流程與架構

本節將分為針對研究流程與研究架構，詳細說明研究的方法、流程以及

架構。

壹、研究流程

本研究採行動研究法，研究目的為發展漸層鷹架教學模組，提升小學六

年級學生文字題解題表現，並檢驗其實施的可行性，以及漸層鷹架教學模組

之實施成效。研究實施參與者為國小六年級學生，學生們在國小一至五年級

29

的數學課程就已經接觸過所謂的文字題，本研究先實施前測了解學生目前對

於文字代數題的起始程度，分析學生目前先備知識再實施教學。

在教學時實施錄影，了解師生互動狀況以及生生互動狀況，擬照漸層鷹

架教學模組的教學步驟逐一實施，課後實行教師反思錄音並記錄狀況，檢視

教學缺失後修正教學方式、問答方式、互動方式；是否生生互動需要多些時

間，給學生思考時間是否足夠，以及教師教學時是否應該更注意提問方式或

者解釋方式，可讓漸層鷹架教學模組的教學成效更加完善。使學生學習效率

更佳，以及提升使用漸層鷹架教學模組的教師教學成效更好。

經過一連串的反思與修正以後，並對學生進行上課前期、試驗期、中期

發展期、後期成熟穩定期等各教學階段，與學生進行訪談以瞭解學生對此教

學模組的學習喜好、學習感受及接受度，並自我評估學習成效是否比傳統教

學或以往經驗的學習方式更佳，對學生的文字題目進行後測，以評估學生學

習成效。研究流程圖分三個：一、研究準備階段 (圖 3-1)、二、課程實施階

段(圖 3-2)、三、課程實施後分析階段(圖 3-3)。

圖 3-1 研究準備階段流程圖

確定研究主題

搜尋相關文獻

擬定行動計畫

設計漸層鷹架教學模組

30

圖 3-2 課程實施階段流程圖

圖 3-3 課程實施後分析階段流程圖

一、研究準備階段

在多年的教學經驗中，研究者發現多數的學生對於文字題的解題，有較

多的學習困難，學生容易犯的錯誤很多。例如沒耐心把題目看完、未看清楚

題目的陳述，就把題目所提供的各個數字按照自己的猜測想像列出錯誤的算

式，輕易下筆解題，或者是看不懂題目不知如何寫成計算式，或者是不了解

解題的數學概念無法下筆導致解題失敗，也因為解題失敗產生挫折感而更害

對話式漸層鷹架教學模組實施

觀察與測驗

評估與反思

修正教學方式

資料整理與分析

歸納與討論

結論與建議

31

怕文字題，陷入對於解文字題的惡性循環，以致於每次在解文字題的時候因

為缺乏信心，草草了事、不假思索，喪失了數學學習最重要的意義就是培養

思考的精神。

也由於文字題包含的許多的數學概念，例如因數與倍數問題、一般的面

積問題、倍率問題、買賣賺賠問題、折扣問題年齡問題、比例問題成正比與

成反比、速率問題，日常生活中所遇到的各種問題，以及學生更頭痛的濃度

問題、船速與水流問題、去回平均速率等，讓學生害怕解數學文字題。在國

小六年級上學期的第三次月考就會學習到代數的解題，一般的學生對於學習

文字題有比較多的困難。例如：哥哥的錢是弟弟少十元的 3 倍，或是哥哥的

錢給弟弟 50 元兩人的錢就一樣多，學生通常沒有辦法把他寫成計算式，原

因是不了解題意，或是不知如何把文字列成算式。

事實上學生要直接把文字敘述轉成算式是比較困難的，我們如何協助學

生把文字敘述轉成算式，就變成重要的教學任務。接下來的任務就是協助學

生算式計算成答案，並且學生須了解給一個解題計算的意義，在計算時能夠

了解，並且檢驗自己的計算流程是否正確，是教師的第二個重要任務。然後

把計算出來的答案驗證，是否合題意、是否解題正確，最後回顧自己的解題

行動，轉換成新的解題基模，是教師的第三個重要任務。而這些任務需要教

師的逐步實施。並且有著複雜的教與學的交互作用，需要教師有計畫的實施

，如何實施才能夠真正的幫助學生，不僅完成解題更能夠對其解題能力產生

貢獻。

因此研究者體認學生解題發生困難的各種原因，以及概念上的不易理解

的問題，希望幫助學生解決文字題學習的困難，希望各種解題的理論參考文

獻，選擇 Polya 的解題步驟以及 Mayer 的解題認知理論，透過 Vygotsky 鷹

架理論設法使教學行動能在近側發展區發展，設計出漸層鷹架教學模組，期

望能夠幫助克服學生解題上的困難，以及提升使用漸層鷹架教學模組之教學

者教學能力與效率，以上為本研究初期的準備階段。

32

二、課程實施階段

研究者於漸層鷹架教學模組設計完成後，於研究所相關課堂上與同儕研

討，任課教授及同儕給予意見，將專家及同儕意見整合，再修正漸層鷹架教

學模組。研究計畫之漸層鷹架教學模組實施於研究者工作之補習班，參與研

究之學生為該補習班國小六年級選出的四位學生，課程實施為每週兩堂課，

每週星期二及星期五上課，上課時間每堂九十分鐘，預計課程實施為六堂課

，共五百四十分鐘。

教學實施方式是於補習班內使用漸層鷹架教學模組來實施教學。於每堂

課程施實結束後，研究者依據學生反應，來修改漸層鷹架教學模組的實施方

式。例如：對學生的提問方式，或者是對題目的提醒方式，以及控制學習成

就較優的同儕，使用緩和的步驟不要直接提出算式。或是研究者教學說話的

語，是否能讓學生安心對話與互動談論等等，於下一堂課上課前再修改一次

修正實施方式。並對參與研究之學生，於每堂課後施以課後測驗，研究者可

依學生的隨堂測驗表現，來評估學生的學習成效，隨時修改上課對話及鷹架

架設方式實施方式。其次研究者於下課後，對課堂上的教學實施做反思與課

程實施錄影資料，將兩者所提供資料分析後，再修正實施方式，依上述流程

實施研究至課程結束止。

三、課程實施後分析階段

研究者於課程實施後，針對研究過程中所蒐集之資料加以分析整理，並

對參與研究的學生實施後測，研究者將學生成績統計分析，以了解學生的學

習成效。

後測資料為了解學生對於漸層鷹架教學模組課程實施後，學生的文字題

解題的學習成效。依後測卷的答題狀況，與前測卷的答題狀況。做詳細分析

比較，了解學生的解題情形，詳細作質性分析，了解學生的學習成效。

33

此外研究者另行製作解題鷹架層次紀錄表，本研究於漸層鷹架教學模組

課程實施期間，對於學生記錄對話式漸層式鷹架教學在哪一個層次受到幫助

，可以分析學生對於鷹架的需求，提供教師作為教學參考並分析漸層鷹架教

學模組的實施成效，以上為認知方面資料分析。

情意方面資料分析於每次上課時間錄影錄音，並且記錄學生上課的互動

以及發言的情形，進行分析學生在上課時互動狀況，了解學生對於對話式鷹

架漸層教學模組實施教學的喜愛程度，並且教師與每次課程實施後，自我反

思檢討當次上課的情形，依據教師上課狀況記錄分析學生對於上課的喜好程

度，以上資料可以了解學生對此種教學方式的喜好。

貳、研究架構

本研究以 Polya 的解題步驟為基礎，輔以利用 Mayer 由認知心理學的角

度所提出數學解題的歷程；解題兩階段歷程、四項成份及五種知識類型，來

補足 Polya 解題步驟中的解題所需相關概念及知識。對應教師的教學行動中

，學生解題所需的認知鷹架，再細分每一步驟中的解題行為，貼近學生近側

發展區（ZDP）所需的鷹架協助。對於學生理解題意、擬訂計畫、實施計劃

以及驗算與回顧的各個解題過程中，解題者產生對應的內在解題歷程：讀題

思考及理解題意歷程，尋求解題策略歷程，執行計算時自我調控監控歷程，

利用後設認知檢視回顧歷程以及教師在面對學生的各個解題歷程中，分析教

師應給予的適當鷹架策略及鷹架架設層次，搭配師生對話的方式使學生聚焦

在解題上，教師也因為師生對話，更確切了解學生對於每個解題步驟的困難

疑惑，會更能提供適切鷹架協助，教師能補足學生所需要的語言知識、語意

知識、基模知識、策略性知識、程序性知識對學生解題能力產生貢獻，而發

展出漸層鷹架教學模組。研究者將透過質性研究方式，探討漸層鷹架教學模

組的實施，對於六年級學生學習數學文字題問題解決的成效。研究架構圖流

程圖，如圖 3-4。

34

反

思

修

正

圖 3-4 研究架構圖流程圖

第三節 研究對象

研究者因工作場域之因素，故採取方便取樣，研究場域為研究者工作之

高雄市某私立文理補習班，研究者對象為研究者同儕所教授的國小六年級學

生，由於研究者同儕長期教授該補習班六年級的學生，對於該班的學生成績

較為了解，並且加上前測卷的篩選挑選 4 位適合本研究的學生，選擇數學中

成就兩位、低成就兩位學生，精細的瞭解 4 位學生的師生對話互動能夠做詳

細的記錄。

對話式漸層鷹架教學模組

Mayer（1992）認知心理學的數學解題理論

Polya解題步驟Vygotsky的認知發展論及近

側發展區

進行實際教學

35

參與研究的四位學生分別以 S1、S2、S3、S4 來標註說明，以下將對四

位學生的先備知識及相關資料做說明。

S1：父母離異與父親祖母同住，學業成績多為祖母管教，在校成績屬中上程

度；父親較不注重孩子學業成績，祖母負責督導及督促學生的學習。

S2：國小四年級時學校數學月考成績四十幾分，父母因學生數學成績不佳，

五年時才會送補習班另作加強，後學校數學成績有提升至七十幾分，父

母教養方式為開放不給壓力，父母雙薪家庭經濟狀況富裕。

S3：國小五年級學校月考數學成績四十幾分，父母害怕學生會因成績不佳而

放棄數學科的學習，故到補習班加強學習，成績慢慢有進步至數學月考

成績七十幾分，母親為家庭主婦，父親單薪，但家庭經濟狀況為小康，

從小計算就不熟練容易計算錯誤，對課業不積極需要時時緊盯其學習狀

況的學生。

S4：父母經營回收資源業，經濟狀況佳、為獨生女，父母很疼愛，在校成績

中等，小學三年級時因數學成績不佳，平時考四十幾分，才到補習班加

強學習。

第四節 研究工具

本研究工具有設計漸層鷹架教學模組與漸層鷹架教學模組教學實施、

文字題相關認知測驗卷以及教學實施資料蒐集與相關工具將分述如後。

壹、設計漸層鷹架教學模組

在數學課程學習上，有為數不少的學生對於文字題的解題，有著非常大

的困難。學生常常未看清楚題或沒看完題目就直接進行解題，所寫出的答案

錯誤百出，或是沒耐心思考解題方式，以及對題意了解困難而解題失敗，對

於文字體的解題產生非常多的畏懼。亦或列完算式，計算產生錯誤，仔細看

清楚題意而不知道如何下筆，不知道如何寫出應有的計算式，導致解題失敗

36

，還有寫出計算式後發生計算困難。如計算技巧不佳，拆括號、先乘除後加

減的計算方式錯誤產生解題失敗，沒有將檔案帶入驗算、沒有監控自己的解

題計算而產生錯誤。研究者認為如果能夠學生能回顧自己所有解題過程，可

增加解題經驗，更可以培養邏輯觀念。綜合上述原因，為協助學生提升數學

文字題之學習成效，研究者發展出漸層鷹架教學模組。

以 Polya 的解題步驟為基礎，輔以利用 Mayer 由認知心理學的角度所提

出數學解題的歷程；解題兩階段歷程、四項成份及五種知識類型，來補足

Polya 解題步驟中的解題所需相關概念及知識。對應教師的教學行動中，學

生解題所需的認知鷹架，再細分每一步驟中的解題行為，貼近學生近側發展

區（ZDP）所需的鷹架協助。分析教師應給予的適當鷹架，搭配師生對話的

方式使學生聚焦在解題上，教師也因為師生，更確切了解學生對於每個解題

步驟的困難疑惑，會更能提供適切鷹架協助，教師能補足學生所需要的語言

知識、語意知識、基模知識、策略性知識、程序性知識對學生解題能力產生

貢獻，而發展出漸層鷹架教學模組。整理如表 3-1 之內容詳細說明如後。

鷹架搭建類別與對應架搭建層次：

一、語意知識與語意理解鷹架

層次一：學生自行讀題理解題目文字意思與情境並可以表達。

層次二：教師讀題，在題意重點處斷句，幫助學生理解題目文字意思與情

境並可以表達。

層次三：教師指出題意中重點情境加以提示，幫助學生理解題目文字意思

與情境並可以表達。

層次四：教師直接解說，並連結題意中各個情境，幫助學生理解題目文字

意思與情境之間關係。

二、概念鷹架

層次一：學生自行搜尋與紀錄解題概念並判斷有用的概念資訊。

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層次二：教師把學生提出的解題概念與連結有用的概念，或學生提出的資

訊記錄在黑板上，幫助學生連結相關解題概念整理，促進解題思

考並找出未發現的解題概念。

層次三：教師提示幫助學生找出尚未提出的相關解題概念並理解與連結相

關概念。

層次四：教師對學生直接提出並說明所有相關概念。

三、策略鷹架

層次一：學生自行利用已知概念列出算式。

層次二：教師提示學生運用題目已知概念，讓學生自己列出算式。

層次三：教師與學生討論是否有未考慮或遺漏之概念與算式。

層次四：教師直接列出或補足應列出之解題算式。

四、後設認知監控與調整鷹架(運算歷程)

層次一：學生計算並自我檢視是否計算有問題。

層次二：教師檢視學生計算，是否有計算錯誤，請學生自行改進。

若是計算迷思，則到層次三教師針對計算迷思講解。

若是計算能力缺乏，則到層次四計算能力缺乏補救教學。

層次三：教師講解學生計算錯誤與迷思

層次四：教師直接解題及計算能力缺乏補救教學

五、後設認知檢視與辨識結果鷹架(解題整體合理性)

層次一：學生把答案帶入題目中驗算，自我檢視答案是否合理並符合題

意，請學生解說題目與回顧解題過程。

層次二：教師提示學生，如何把答案帶入題目中驗算，共同檢視答案是否

合理並符合題意，請學生解說題目與回顧解題過程。

層次三：教師從題目到列式重新再解說一遍，建立連貫性的解題整體觀念

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，再請學生解說題目與回顧解題過程。

層次四：教師幫助學生一同回顧與討論，建立解相關概念題的解題基模。

貳、漸層鷹架教學模組

課程依漸層鷹架教學模組實施教學，其中對話與互動為本模組的重要實

施成份，因此對於對話式教學的實施，教師須注意的是給學生營造一個良好

的發言互動環境。讓學生在無壓力之下專心思考，並且說出自己的解題思慮

及預備解題行為模式及有無更多的想法，以便於教師捕捉收集學生所給予的

訊息，方便教師判斷訊息給予適當鷹架。也可以使同儕之間的互動讓學習成

就高的同學生幫助學習成就較低的，學生促使討論有良好的互動。

對話式鷹架教學示範題目：

5 年前，爸爸的年齡是弟弟的 6 倍，爸爸今年 35 歲，弟弟今年幾歲？

1. 瞭解題意→語意知識與語意理解鷹架

教師利用漸層鷹架教學模組幫助學生瞭解題意，並給予漸層鷹架協助，

補足語意知識

對話式鷹架教學示範對話 說明 對應鷹架種類與層次

語意知識與語意理解

鷹架：

同學們，你們有看懂題目

嗎？(仔細地念一遍看看)

學生讀題

層次一：

學生自行讀題理解語

意情境並可以表達

可不可以跟老師說這個題

目是在說什麼？

請學生以自己的話說

出題意

老師念一遍題目給你們聽

聽看。注意聽喔！（念題

目時，注意斷句與語氣）

嘗試問出學問題所

在。

了解哪關鍵字學生需

層次二：

老師讀題，在題意重

點處斷句

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老師讀題…有沒又看不懂

的字或意思呢？

要搭鷹架。

哪個意思需要老師解釋

呢？

那你們懂�