1

有限要素のマネージメント[４-３-A] 構造要素の使い方とその特性

金沢工業大学 工学基礎実技教育課程 柴 原 正 和金沢工業大学 工学設計教育センター長 服 部 陽 一

Email: shiba@neptune.kanazawa-it.ac.jp

‘04.06.20 第5期非線形CAE勉強会

2

お 詫 び

資料の作成が遅れ、旧バージョンの資

料を印刷してお持ち頂いた方に迷惑を

お掛けいたしましたことを深くお詫び申

し上げます。

新バージョンの資料は本勉強会のHP上に、必ずアップロードしておきますので、

御容赦願います。

3

･ 形状関数[N]とは？

･ [B]マトリックスとは？

･ [D]マトリックスとは？

･ FEM応力･ひずみ解析の流れ

確 認 事 項

4

形状関数[N]とは？

{ } { }ne hu =

形状関数[N]とは、要素内の変位{u}eと節点変位{hn}を結びつけるマトリックスであり、内挿関数、変位関数とも呼ばれている。

具体的には、

i

j

kui

vi

x

y

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

k

k

j

j

i

i

kji

kjie

vuvuvu

NNNNNN

vu

000000

[N]

[ ]N

5

[B]マトリックスとは？

{ } [ ]{ }nhB=ε

[B]マトリックスとは、変位-ひずみ関係を規定するマトリックスである。

具体的には、形状関数を用いて以下の通りである。(微小変形の場合)

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

=

k

k

j

j

i

i

kkjjii

kji

kji

vuvuvu

xN

yN

xN

yN

xN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

000

000

ε

i

j

kui

vi

x

y

ひずみ 変位

6

[D]マトリックスとは？[D]マトリックスとは、材料のもつ特性を表すマトリックスである。すなわち、応力-ひずみ関係を定義する際に用いられる。

等方弾性平面応力状態における応力-ひずみ関係を以下に示す。

}]{[}{ εσ D=応力 ひずみ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x E

γεε

ννν

νν

ν

ντσσ

2100

01

11

011

1

1 E：ヤング率

ν：ポアソン比

7

FEM応力･ひずみ解析の流れ

要素選択・要素分割

力学的･幾何学的境界条件の設定

[B]マトリックス、[D]マトリックスの作成

[B]と[D]を用いて剛性マトリックス[K]の作成

{u}=[K]-1{F}により全体の節点変位{u}を算出

[B]と[D]を用いて[ひずみ{ε}→応力{σ}] を算出

↓

↓

↓

↓

8

要素の選択の際には何に注意しますか？

①要素形状は何角形？何面体？

→ [N]マトリックスの決定

②構造要素で十分？ソリッドモデルが必要？

→ [D]マトリックスの決定

③材料的非線形性は考慮すべき？

→ [D]マトリックスの決定

④幾何学的非線形性は考慮すべき？

→ [B]マトリックスの決定・

・

・

9

要素形状は何角形？何面体？

・形状による要素の分類 (2D要素)

・ 形状による要素の分類 (3D要素)

・ 1次要素と2次要素

Contents

10

形状による要素の分類 (2D要素)2D 平面応力、平面ひずみ、軸対称、シェル要素

4節点四角形要素 (1次要素)3節点三角形要素 (1次要素)

1

3

2 1

4 3

2

8節点四角形要素 (2次要素)

1

8

7 6

2

4

3

5

6節点三角形要素 (2次要素)

1

2 3

6

5

4

11

形状による要素の分類 (3D要素)

8 7

5

1

4

2

6 3

13

2

4

4節点四面体要素 (１次要素)

8 7

5

1

4

2

63

9

18

14

10

19

13

15

17

11 16

12

20

20節点六面体要素 (2次要素)

3

2

1

5

78

104

69

10節点四面体要素 (2次要素)

8節点六面体要素 (１次要素)

12

1次要素と2次要素

･ 精度が高い･ 要素内でひずみが線形変化･ 要素境界部が曲線

･ 要素内でひずみが一定･ 要素境界部が直線

3節点三角形要素 (1次要素)

1

3

2

6節点三角形要素 (2次要素)

1

2 3

6

5

4

13

構造要素で十分？3Dソリッドモデルが必要？

・ ３Dソリッドモデルの特徴・ 構造要素を用いる際の注意事項

・ 平板の曲げ要素について

・ 平面応力要素

・ 平面ひずみ要素

・ 軸対象要素

・ 一般化平面ひずみ要素 ・・・・・・

Contents

14

構造要素で十分？3Dソリッドモデルが必要？

3Dソリッドモデルの特徴<メリット>平面応力や平面ひずみ、軸対称などの知識がなくても容易に解析できる。

<デメリット>[K]マトリックスが大きくなるため、解析時間がかかる。

15

構造要素で十分？3Dソリッドモデルが必要？

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−+−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

γγγεεε

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ννν

τττσσσ

)1(22100000

0)1(2

210000

00)1(2

21000

000111

0001

11

00011

1

)21)(1()1(

,

,

,

zwyvxu

z

y

x

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

ε

ε

ε

zv

yw

zv

yw

yu

xv

zx

yz

xy

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

γ

γ

γ

3D応力-ひずみ関係

3D変位-ひずみ関係

16

3Dソリッド要素 or 構造要素？

構造要素を用いる際の注意事項

曲げ要素・平面応力要素・平面ひずみ要素・シェル要

素等の特性を十分把握した上で、構造をモデル化し

使用する必要がある。

その特性は、変位-ひずみ関係、応力-ひずみ関係に

集約される。

17

平板の曲げ要素について

z

y

x板厚：t

18

Kirchhoffの仮定

変形前に板の中央面に垂直であった線素は、変形後も垂直を保つ。

⇒⇒εεxx, , εεyyは板厚方向に線形に変化は板厚方向に線形に変化 2

2

xwzx ∂

∂−=ε

z

x, y

曲げ変形のみを考慮

19

平板の曲げ理論 (1)

変位-ひずみ関係式

2

2

xwzx ∂

∂−=ε

2

2

ywzy ∂

∂−=ε

yxwzxy ∂∂

∂−=

2

γ

0,0

0

≅∂∂

+∂∂

=≅∂∂

+∂∂

=

≅∂∂

=

xw

zu

zv

ywzw

zxyz

z

γγ

ε

xwz

∂∂

z

xz

ｚ xwz

∂∂

w

変形前

変形後

z 2

2

xw

∂∂

曲率に比例板厚方向に線形変化

20

0=== zxzyz ττσ E：ヤング率

ν：ポアソン比

平板の曲げ理論 (2)

応力ｰひずみ関係式

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x E

γεε

υυυ

υυ

υ

ντσσ

2100

01

11

011

1

1

21

平板の曲げ理論 (3)

面内応力の厚さ方向の積分 ：曲げモーメント(Mx,My)せん断応力の厚さ方向の積分 ：ねじりモーメント(Mxy)

0

-t/2

t/2z ∫−

=2/

2/

t

t xx zdzM σ

∫−=

2/

2/

t

t yy zdzM σ

∫−=

2/

2/

t

t xyxy zdzM τ

○モーメントの定義

x､y

22

平板の曲げ理論 (4)

{ } { }Txyyx

T κκκκ ,,=T

yxw

yw

xw

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂

−∂∂

−∂∂

−=2

2

2

2

2

2,,

曲率、ねじれ率の定義

23

板曲げ要素

変形前に板の中央面に垂直であった線素は、変形後も垂直を保つ。

(Kirchhoffの仮定)

[ ]{ }κκκκ

νν

νAD

MMM

xy

y

x

xy

y

x

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2/)1(000101

)1(12 2

3

ν−=

EtDDは板の曲げ剛性 ：

xwz

∂∂

z

xz

ｚxwz

∂∂

w

xwz

∂∂

z

xzz

ｚxwz

∂∂

w

変形前

変形後

E：ヤング率ν：ポアソン比

t ：板厚

24

平面応力要素

板厚方向の応力ゼロと仮定

板厚方向に関する剪断応力もゼロ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x E

γεε

ννν

νν

ν

ντσσ

2100

01

11

011

1

1

E：ヤング率ν：ポアソン比

y

xt≒0

)1/()( νεενε −+−= yxz

00

===

zxyz

z

ττσ

25

平面応力要素

解析例 (Fish Bone型高温割れ試験の解析)

26

平面ひずみ要素

z方向完全拘束面外の剪断ひずみはゼロ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

xy

y

x

v

E

γεε

νν

νν

νυν

ντσσ

2100

021

121

02121

1

1

解析対象断面

E：ヤング率ν：ポアソン比

)( yxz σσνσ +=

00

===

zxyz

z

γγε

x

y

z

27

平面ひずみ要素

解析例 (狭開先溶接時の梨形ビード割れの解析)

80 mm

30 mm

80 mm

30 mm

解析対象断面

28

[ ]{ }n

rz

z

r

hN

rz

r

z

r

wu

rz

r

z

r

rw

zu

ruzwru

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

01

0

0

01

0

0

γεεε

θ

軸対称要素

応力-ひずみ関係

( )( )( )

( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

−+−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

rz

z

r

rz

z

r

E

γεεε

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ννν

τσσσ

θθ

1221000

0111

01

11

011

1

2111

i

j

kui

wi

r

z

変位-ひずみ関係

rz

r

θ

29

軸対称要素

中心軸

2D化

解析対象断面

30

軸対称要素

ru

rrur

=−+

=π

ππεθ 22)(2

メモ

31

軸対称要素

Q：Heat Input

解析例

スポットレーザー割れ試験時

のひずみ解析

解析対象面

32

一般化平面ひずみ要素

平面ひずみに加え、以下

の2つの自由度を有する

1. 解析対象断面の厚さ方向への平均的変化

2. 解析対象断面のy軸周りの回転θ

x

y

θ

33

その他の要素

平面シェル要素曲げ要素(面外変形)+平面応力要素(面内変形)Kirchhoffの仮定

梁要素

曲げ、ねじり、軸力、せん断を考慮することができる。

せん断、曲げ、軸力についてはシェル要素と同様に扱うことができる。

棒要素

軸方向のみに荷重が負荷され、軸方向のみに変位やひずみが発生すると仮定。

34

力学的非線形性は考慮すべき？

・ 力学的非線形性とは？

・ 力学的非線形特性 (応力-ひずみ関係)

・ 力学的非線形問題

・ 熱変形解析例 (1)

・ 熱変形解析例 (2)

Contents

35

力学的非線形性とは？

⇒真ひずみ ε

例) 軟鋼の応力-ひずみ線図

①

②

①：弾性状態②：塑性状態

σ σ

ε/2

で評価する必要がある

E

全ひずみ ε

応力

σ

][][ pe DD ⇒

線 形 非 線 形

36

力学的非線形特性(応力-ひずみ関係)

(c)連結点入力型

(b)指数硬化型

(a)線形硬化型

各 種 構 造 用 材 料E：ヤング率ν：ポアソン比σY0：初期降伏応力

(σY1, εp1), (σY2, εp

2), (σY3εp

3), ・・・：降伏応力-相当塑性ひずみ関係における連結点座標

ア ル ミ な どE：ヤング率n：ポアソン比σY0：初期降伏応力

a：加工硬化係数n：加工硬化指数

軟 鋼 な どE：ヤング率

ν：ポアソン比

σY0：初期降伏応力

H’：加工硬化係数

相当塑性ひずみ εp

σY0

(σY1,εp1)(σY2,εp

2)

(σY3,εp3)

降伏応力σ

Y ・・・

相当塑性ひずみ εp

降伏応力σ

Y

σY0

H’

降伏応力σ

Y

σY=σY0+H’εp

相当塑性ひずみ εp

弾性範囲 塑性範囲

E

全ひずみ ε

応力σ

解析に必要な定数

37

力学的非線形問題

その他、力学的非線形問題には、

塑性加工

熱変形・熱応力

クリープ

破壊・割れ・き裂進展 (諸説あるが・・・)

などが挙げられる。

pe ε∆ε∆ε∆ +=

Tpe ε∆ε∆ε∆ε∆ ++=

cTpe ε∆ε∆ε∆ε∆ε∆ +++=

38

力学的非線形特性(材料の温度依存性)

材料定数の温度依存性

0

2

4

6

8

10

0 500 1000 1500

Material Properties

線膨張係数(×10-5 ℃-1)

密度(×10-3 g/mm3)

熱伝導率

(×10-2 J/mm/sec/℃)

熱伝達係数

(×10-5 J/mm2/sec/℃)

比熱(×10-1 J/g/℃)

ヤング率(×105 MPa)

降伏応力(×102 MPa)

Temparature(℃)

ポアソン比(×10-1)

39

熱変形解析例 (レーザーフォーミング) (1)

40

熱変形解析例(レーザーフォーミング)(1)+0.004

+0.001

-0.001

-0.003

-0.005

-0.007

-0.008

+30

+20

+10

-0

-10

-20

-30

(℃)

(Kgf/mm2)

温度分布

変形図

+80

+70

+60

+50

+40

+30

+20

０．１ｍｍ

０ ｍｍ

XYZ

塑性ひずみ分布 εpy

応力分布 σy

41

温度分布

割れ方向変位

熱変形解析例 (高温割れ解析) (2)

42

幾何学的非線形性は考慮すべき？

・ 幾何学的非線形性とは？

・ 幾何学的非線形特性 (変位-ひずみ関係)

Contents

43

幾何学的非線形性とは？

例) 平板の座屈 (大たわみ解析)

下図の様な薄板平板の圧縮過程においては、圧縮

変位が大きくなると、たわみが急激に大きくなる。こ

の現象をFEMにおいて解析するためには、非線形

の変位-ひずみ関係を導入する必要がある。

44

幾何学的非線形特性 (変位-ひずみ関係)

非線形成分

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

=

yw

xw

yxwz

xv

yu

xw

xwz

yv

xw

xwz

xu

xy

y

x

2

2

2

2

2

2

2

2

,21

,21

γ

ε

ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

yw

xw

xw

xw

2

2

21

21

面内成分 曲げ成分

シェル要素

45

3節点1次要素の定式化

・三角形平面応力要素

・要素内の変位場の仮定

・節点変位と定数の関係

・任意点の変位と節点変位の関係

・要素内のひずみと節点変位の関係

・応力-ひずみマトリックス・剛性マトリックス

Contents

46

三角形平面応力要素

kk vY ,kk uX ,

ii vY ,ii uX ,

jj vY ,jj uX ,

i

k

j

{ } { }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

k

k

j

j

i

i

n

k

k

j

j

i

i

n

YXYXYX

F

vuvuvu

h ,

三角形平面応力要素

47

要素内の変位場の仮定

[ ]{ }α

αααααα

αααααα

gyx

yxyxyx

vu

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

6

5

4

3

2

1

654

321

10000001

要素内の変位場をx,yの1次式で仮定する

48

節点変位と定数の関係

各節点の座標を代入し、節点変位{hn}と未定定数{αn}の関係を得る

{ } [ ]{ }n

k

k

j

j

i

i

kk

kk

jj

jj

ii

ii

k

k

j

j

i

i

n G

yxyx

yxyx

yxyx

vuvuvu

h α

αααααα

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

10000001

10000001

10000001

49

任意点の変位と節点変位の関係

以上の2式より、要素内の任意点の変位{u,v}Tと

節点変位{hn}の関係を得る

[ ][ ] { } { }nkji

kjin h

NNNNNN

hGg ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== −

0000001

∆++= 2/)( ycxbaN iiii⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

−=−=

jki

kji

ikkii

xxc

yybyxyxa

kk

jj

ii

yxyxyx

111

21

=∆

ここで、

Δは三角形の面積を表す

[ ]{ }nhN=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

vu

50

要素内のひずみと節点変位の関係

要素内のひずみに{u,v}Tを代入すると要素内のひずみと節点変位の関係が求まる (変位-ひずみ関係)

{ } [ ]{ }n

k

k

j

j

i

i

kkjjii

kji

kji

xy

y

x

hB

vuvuvu

bcbcbcccc

bbb

yu

xv

yvxu

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= 000000

21∆

γεε

ε

[B]は要素内で一定⇒ ひずみ、応力は要素内で一定

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

−=−=

jki

kji

ikkii

xxc

yybyxyxa

51

応力-ひずみマトリックス

応力-ひずみマトリックス[D]は次式で表される。

{ } [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

xy

y

x

xy

y

x

Dγεε

τσσ

σ

等方弾性体に対する平面応力問題では次のように表される。

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=2/)1(00

0101

1 2

υυ

υ

υED

52

剛性マトリックス

[B]及び[D]マトリックスが要素内一定であることを考慮

すると、剛性マトリックス[K]は次のようになる。

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] ∆== ∫∫ tBDBdxdytBDBK T

A

T

t：板厚

53

剛性マトリックス

剛性マトリックス：[K]

および

平衡方程式：{F}=[K]{u}は、仮想仕事の原理や最小ポテンシャルエネルギー

の原理より導出される。

54

仮想仕事の原理と最小ポテンシャルエネルギーの原理

支配方程式と変分原理

仮想仕事の原理

最小ポテンシャルエネルギーの原理

Contents

55

仮想仕事の原理 1

境界Sσに外力 を作用させ

ると、応力σx , σy , σz , τxy , τyz , τzxと

ひずみ εx , εy , εz , γxy , γyz , γzxが発生

し、釣り合い状態になる。その物体に

微小な仮想変位 δu, δv, δw を与えた

状態を考える。ただし、この仮想変位

は幾何的境界条件Suに影響を与えな

いものとする。

ZYX ,,

SuV

( )ZYX ,,

Sσ(δu,δv,δw)

表面力：

体積力:(Fx,Fy,Fz)

56

仮想仕事の原理2

仮想変位により外力のなす仮想仕事 (仮想外部仕事)

dSwZvYuXWSe ∫∫ ++=

σ

δδδδ )(

仮想変位により内力のなす仮想仕事 (仮想内部仕事)

∫∫∫∫∫∫

++−

+++++=

V zyx

V xyxyzxzxyzyzzzyyxxi

dVwFvFuF

dVW

)(

)(

δδδ

δγτδγτδγτδεσδεσδεσδ

57

仮想仕事の原理3

仮想仕事の原理

釣り合い状態にある物体では、仮想仕事の間に内力のなす仮想仕事と外力のなす仮想仕事は等しい。

ei WW δδ =

0)()(

)(

=++−++−

+++++

∫∫∫∫∫∫∫∫

dSwZvYuXdVwFvFuF

dV

SV zyx

V xyxyzxzxyzyzzzyyxx

σ

δδδδδδ

δγτδγτδγτδεσδεσδεσ

58

最小ポテンシャルエネルギーの原理 1

3次元弾性体の単位体積あたりに蓄えられるエネルギーは、次式で表される。

)(21

xyxyzxzxyzyzzzyyxxA γτγτγτεσεσεσ +++++=

Aを弾性体全体に渡って積分すると、ひずみエネルギーが求められる。

∫∫∫=V

dVAU

A : ひずみエネルギー密度関数U : ひずみエネルギー

59

最小ポテンシャルエネルギーの原理 2

物体力と表面力が有するポテンシャルエネルギーは次のように表せる

∫∫∫∫∫ +++++=σ

ΦSV zyx dSwZvYuXdVwFvFuF )()(

全ポテンシャルエネルギーΠ は

ΦΠ −= U

60

最小ポテンシャルエネルギーの原理 3

最小ポテンシャルエネルギーの原理

幾何学的境界条件を満足する全ての許容変位場の中で、真の変位場が全ポテンシャルエネルギーを最小にする

0=−= ΦδδΠδ U

ここに

xyxyzxzxyzyzzzyyxxA δγτδγτδγτδεσδεσδεσδ +++++=

dSwZvYuXdxdydzwFvFuFSV zyx ∫∫∫∫∫ ++−++=

σ

δδδδδδΦδ )()(

61

剛性マトリックスと平衡方程式の導出

・ 仮想仕事の原理の適用

・ 最小ポテンシャルエネルギーの原理の適用

Contents

62

仮想仕事の原理の適用(平衡方程式および剛性マトリックスの導出)

節点力{Fn}が作用し、節点変位{hn}、ひずみ{ε}、応力{σ}、

が生じた状態で要素は釣り合い状態にあるとする。ここで仮

想変位{δhn}を与えると、仮想仕事δWeが生じる。すなわち、

節点力{Fn}のなす仮想外部仕事は次式で表される。

{ } { }nT

ne FhW δδ =

仮想仕事の原理の適用

63

仮想仕事の原理の適用(平衡方程式および剛性マトリックスの導出)

仮想節点変位によって生じた仮想ひずみ{δε}が生じる。

内力のなす仮想内部仕事は次のように表される。

{ } { }

{ } [ ]{ } { } [ ] [ ][ ]{ }

{ } [ ] [ ][ ][ ]{ }nV

TTn

V nTT

nV

T

V

Ti

hdVBDBh

dVhBDBhdVD

dVW

∫∫∫

∫

=

==

=

δ

δεδε

σδεδ

[ ]eK ･･･要素剛性マトリックス

64

仮想仕事の原理の適用(平衡方程式および剛性マトリックスの導出)

仮想仕事の原理を適用しδWe=δWiとすると、次式が導かれる

{ } { } { } [ ] { }neT

nnT

n hKhFh δδ =

任意の節点変位{δhn}Tについて上式が成立するためには、

次式が成り立てばよい｡

{ } [ ] { }ne

n hKF = ･･･平衡方程式

65

最小ポテンシャルエネルギーの原理の適用(平衡方程式および剛性マトリックスの導出)

要素が釣り合い状態にあるとき、全ポテンシャルエネルギーは次式で表される｡

{ } { } { } { }

{ } [ ]{ } { } { }

{ } [ ] [ ][ ]{ } { }⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

−=

∫

∫

∫

nV nTT

n

nT

nV

T

nT

nV

T

FdVhBDBh

FhdVD

FhdV

21

21

21

εε

σεΠ

66

最小ポテンシャルエネルギーの原理の適用(平衡方程式および剛性マトリックスの導出)

{ } [ ] [ ][ ]{ } { }

{ } [ ] { } { }( ) 0

21

=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫

nneT

n

nV nTT

n

FhKh

FdVhBDBh

δ

δΠδ

ただし､

[ ] [ ] [ ][ ]∫=V

Te dVBDBK ・・・要素剛性マトリックス

ここで､任意{δhn}Tについて式(C)が成立するためには次式が成り立てばよい｡

[ ] { } { } 0=− nne FhK ・・・平衡方程式

・・・(C)

67

お わ り に

68

お わ り に

今回の講演においては、特に構造要素の特性に

ついて具体的に示した。構造要素を使用する場

合には以下の点に留意する必要がある。

構造要素を使用する場合には、用いる要素の[B]マトリックスおよび[D]マトリックスの特性を知っておく必要がある。

高次要素を用いる場合には、その形状関数の特性を

把握しておく必要がある。

ソリッド要素を用いるか否かは、解析精度･解析コ

ストを考慮し決定する必要がある。

69

塑性理論と有限要素法 (付録)

・ 弾塑性解析

Contents

70

弾塑性解析

弾性範囲内での応力-ひずみ関係式は、応力増分とひずみ増分の間でも成立する。

{ } [ ]{ }εσ dDd e=

[De]は弾性範囲内での応力-ひずみマトリックスで、平面応力状態の場合次式で表せる

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=2/)1(00

0101

1 2

υυ

υ

υED

平面応力状態では、von Misesの降伏条件に従うと、次式の降伏関数が満足されると降伏が始まる。

2222 3 στσσσσ =++−= xyyyxxf

すなわち、 2Yf σ=

71

弾塑性解析

降伏開始後のひずみ増分は、弾性と塑性のひずみ増分の和となる。

{ } { } { }Pe ddd εεε +=

塑性ひずみ増分{dεP}は、降伏曲面に対して垂直に生じると仮定すると、次式が成立する。

{ } dffd P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=σ

λε

ここで、{ }σ

στ

τσ

σσ

σdfdfdfdfdf

T

xyxy

yy

xx ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

とすると、式(E)は次のようになる。

(E)

{ } { }σσσ

λε dffdT

P

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=

72

弾塑性解析

塑性変形開始後、塑性変形仕事増分dWPは応力{σ}の元で次のように表せる。

{ } { }PTPxyxy

Pyy

Pxx

P dddddW εσγτεσεσ =++=

上式に式(E)を代入すると、

{ } dfFdW TP

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=σ

σλ

次式で定義される相当ひずみ増分を導入する。

PP ddW εσ=式(F)と式(G)は等価なので、

{ } { }{ }P

T df

df εσσ

σλ∂∂

=

(F)

(G)

(H)

73

弾塑性解析

1軸引張応力を考える.この場合相当応力と相当ひずみの関係は、試験から求められる相当応力-相当ひずみ関係を示すことになる。加工効果係数H’は、

PddHεσ

=′

(Ｉ)を(Ｈ)に代入すると、

{ } { }{ } { } { }{ } { }

Hdf

fHd

fdf

T

TT ′∂∂

∂∂=

′∂∂=

σσσσ

σσσσ

σλ

また、弾性ひずみ増分と応力増分の間には次の関係が成り立つ。

{ } [ ]{ } [ ]{ } { }( ) [ ]{ } [ ] dffDDddDdDd ePePeee

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

−=−==σ

λεεεεσ (K)

(J)

(I)

74

弾塑性解析

(I)と(J)からλdfについて解くと、次式が得られる

{ } [ ]{ } [ ]{ }

{ }εσσ

σλ dfDfcH

DfdfeT

eT

∂∂∂∂+′∂∂

=/

ここに､

{ } { }σσσ

∂∂=

fc T (M)

(K)と(M)より、塑性時の応力-ひずみ関係が求まる

{ } [ ]{ }εσ dDd P=ここに

[ ] [ ] [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ }σσ

σσ∂∂∂∂+′

∂∂∂∂−=

fDfcHDffDDD

eT

eTeeP

/(O)

(L)

75

弾塑性解析

式(O)中の[DP]は塑性の応力-ひずみマトリックスであり、平面応力状態では次式で表される

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=266261

622221

6121211

sssssssssssssss

sDD eP

ここに、

)1/(

)1/()(

)1/()(

2)9/4(

6

22

21

6112

υτ

υσυσ

υσυσ

τσσσ

+=

−′−′=

−′−′=

′+′+′+′=

ES

ES

ES

SSSHS

xy

xy

yx

xyyx

P

xyyyxx

xyy

yxx

ddH εσ

τσσσσσ

σσσ

σσσ

/

3

3/)2(

3/)2(

2222

=′

++−=

−=′

−=′

76

弾塑性解析

塑性時の応力-ひずみマトリックスは、材料定数の他にその時々の横領成分やひずみ成分の関数であり、変形と共に時々刻々変化するものである.

微小変形する要素の剛性マトリックスは、 [D] 及び[B]を用いて、

[ ] [ ] [ ][ ]∫=V

T dVBDBK

と表されるが、弾性状態では[D]=[De]とし、塑性状態では[D]=[DP]として計算をする.