书书书

高 等 学 校 教 材

有 限 元 素 法

中的变分原理基础

王生楠　编

　　【内容简介】　本书对泛函极值问题的经典变分原理及弹性、塑性、几何非线性问题的广义变分原理作了

比较系统的介绍。主要内容包括弹性静力学小位移变形理论的经典变分原理、完全或不完全广义变分原 理、

混合变分原理、分区变分原理，弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理，能量泛函在结构力学中的转换形式

及其应用，大位移变形弹性理论的变分原理基础和塑性力学变分原理简介等。对于如何利用泛函离散化为有

限元模型的过程，作者通过较多实例进行了说明，目的是使读者对各类变分原理与建立有限元模型之间的关

系获得比较清晰的了解。

本书可作为高等院校高年级本科生 或 研 究 生 的 教 材，亦 可 供 具 有 一 定 基 础 的 科 技 人 员 自 修 及 从 事 结 构

分析的工程技术人员参考。

　图书在版编目 （ＣＩＰ）数据

　有限元素法中的变分原理基础／王生楠编—西安：西北工业大学出版社，２００５１　ＩＳＢＮ７ ５６１２ １８８７ ７

　Ⅰ有…　Ⅱ王…　Ⅲ变分学　Ⅳ０１７６

　中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字 （２００５）第００９７９４号

出版发行：西北工业大学出版社

通信地址：西安市友谊西路１２７号　　邮编：７１００７２电　　话：（０２９）８８４９３８４４　８８４９１７５７网 址：ｗｗｗ．ｎｗｐｕｐ．ｃｏｍ印 刷 者：陕西沣源印务有限公司

开 本：７８７ｍｍ×１０９２ｍｍ　１／１６印 张：１１．１２５字 数：２８０千字

版 次：２００５年１月第１版　　２００５年１月第１次印刷

定 价：１５．００元

前　言

　　《有限元素法中的变分原理基础》（西北工业大学讲义，姜炳光编，１９８７年９月）经过了１７年的教学使用，获得了良好的教学效果。该讲义在内容

和编排上不断地得到改进，并增加了若干新内容以体现变分原理和有限元

素法学科前沿的新进展和新成果，使得该讲义逐渐成为一本理论与应用相

结合的有特色的研究生教材。本书在这个基础上编写，并与此讲义同名。本教材的侧重点在于变分原理在有限元素法中的应用，并兼顾理论的

系统性和完整性。为此，书中首先介绍了泛函极值问题的基础知识及初步

应用，然后从常用的最小位能原理和最小余能原理出发，并逐步引申到引用

拉格朗日乘子法（ＬａｇｒａｎｇｅＭｕｌｔｉｐｌｅＭｅｔｈｏｄ）的完全及不完全广义变分原

理和对分区集合体的分区（Ｓｕｂｒｅｇｉｏｎ）广 义 变 分 原 理，这 其 中 涉 及 以 混 合

（Ｍｉｘｅｄ）模型和杂交（Ｈｙｂｒｉｄ）模型为基础的变分原理；在此基础上，针对不

同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素刚度特性和推导元素刚度

矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。

全书共分９章，第１章概括介绍了全书的基本内容；第２～４章介绍了

泛函极值问题的一些基本概念和基础知识；第５章为弹性静力学小位移变

形理论的变分原理；第６章为弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理；第

７章为能量泛函的转换形式及其应用；第８章为大位移变形弹性理论的变

分原理基础；第９章为塑性力学变分原理简介。在本教材编写中，参考和引用了许多著名专家和学者的论著和研究成

果，在此，笔者对他们卓有成效的和创造性的工作表示深深的敬意。在本教材编写、出版中得到了西北工业大学研究生院的资助，同时还得

到西北工业大 学 飞 机 系 黄 玉 珊 先 生 基 金 会 的 资 助，在 此 一 并 表 示 衷 心 的

感谢。感谢研究生邹艳梅、于红艳、方旭和舒茂盛在电子文档输入过程中所做

的辛苦工作。变分原理在有限元素法中的应用是极其广泛的，本教材所涉及的内容

只是基础性的和局部的。限于编者水平，书中难免存在不妥乃至错误之处，敬请读者批评指正。

编　者

２００４年１０月

目　录

　　　　　　　　

第１章　引言 １…………………………………………………………………

１１　连续体问题及其离散化求解 １……………………………………

１２　等价于微分方程的积分表达形式 ２………………………………

１３　变分原理 ４…………………………………………………………

１４　极大值、极小值或鞍点 ５……………………………………………

１５　修正变分原理，拉格朗日乘子 ６……………………………………

１６　变分原理与有限元模型 ８…………………………………………

第２章　泛函极值问题的一些基本概念 １０…………………………………

２１　泛函的极大值和极小值问题 １０……………………………………

２２　求解泛函极值的欧拉方程 １０………………………………………

２３　含多个待定函数的泛函及其欧拉方程，哈密顿原理 １５…………

２４　含多个自变量的函数的泛函及其极值问题 １９……………………

第３章　条件极值问题的变分法 ３１…………………………………………

３１　函数的条件极值问题，拉格朗日乘子 ３１…………………………

３２　泛函在约束条件Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）＝０（ｉ＝１，２，…，ｋ）下的极值问题 ３３……………………………………………………

３３　泛函在积分约束条件

　∫ｘ２

ｘ１Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）ｄｘ＝αｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）

下的极值问题 ３５……………………………………………………

第４章　待定边界泛函的变分问题 ３９………………………………………

４１　泛函为∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）ｄｘ的边界待定的变分问题 ３９……………

４２　泛函∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｙ′，ｚ′）ｄｘ的边界待定的变分问题 ４３…………

４３　泛函∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′，ｙ″）ｄｘ的边界待定的变分问题 ４５…………

—Ⅰ—

第５章　弹性静力学小位移变形理论的变分原理 ５４……………………………………………

５１　小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理 ５４…………………………………

５２　小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理 ５７……………………………………

５３　小位移弹性理论的分区变分原理 ６４……………………………………………………

５４　对应于不同变分原理的元素特性 ７１……………………………………………………

第６章　弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理 ８４…………………………………………

６１　基本方程与边界条件回顾 ８４……………………………………………………………

６２　虚功原理和功的互等定理 ８８……………………………………………………………

６３　最小位能原理 ９０…………………………………………………………………………

６４　最小余能原理 ９１…………………………………………………………………………

６５　二类自变量广义变分原理 ９３……………………………………………………………

６６　三类自变量广义变分原理 ９９……………………………………………………………

第７章　能量泛函的转换形式及其应用 １０２………………………………………………………

７１　总位能泛函转换形式及其应用 １０２……………………………………………………

７２　总余能泛函转换形式及其应用 １０７……………………………………………………

７３　混合泛函变分原理及其变换形式 １１２…………………………………………………

７４　杂交模型对应的泛函及其应用 １１９……………………………………………………

７５　混合分区变分原理及混合有限元法及其应用 １３１……………………………………

第８章　大位移变形弹性理论的变分原理基础 １３６………………………………………………

８１　大位移变形弹性理论的Ｌａｇｒａｎｇｅ法 １３６………………………………………………

８２　大位移变形弹性理论的最小位能原理 １３８……………………………………………

８３　大位移变形弹性理论的余能驻值定理 １４０……………………………………………

８４　大位移非线性弹性理论的广义变分原理 １４１…………………………………………

８５　大位移变形弹性理论的不完全的广义变分原理 １４４…………………………………

８６　弹性动力学问题的变分原理 １４９………………………………………………………

第９章　塑性力学变分原理简介 １５４………………………………………………………………

９１　塑性力学形变理论的变分原理 １５４……………………………………………………

９２　塑性力学形变理论的广义变分原理 １６１………………………………………………

９３　塑性流动理论的变分原理 １６３…………………………………………………………

参考文献 １７２…………………………………………………………………………………………

—Ⅱ—

书书书

第１章 　 引 　 言

１１　 连续体问题及其离散化求解

在工程技术和物理学中，许多连续体问题（如弹性力学问题）都是以微分方程及施加于未

知函数的边界条件的形式提出的，所有这类问题都可以用有限元素法来求解。这类问题 最 一 般 的 提 法 是：寻 求 未 知 函 数ｕ，使 得 它 在 某 个“域”（体 积、面 积 等）Ω 内

（见图１ １）满足某个微分方程组

Ａ（ｕ）＝

Ａ１（ｕ）

Ａ２（ｕ）熿

燀

燄

燅＝０ （１ １）

并在该域的边界Γ上满足某些边界条件

Ｂ（ｕ）＝

Ｂ１（ｕ）

Ｂ２（ｕ）熿

燀

燄

燅＝０ （１ ２）

这里，Ａ，Ｂ是某种形式的微分算子，所求的未知函数可以是一个标量，也可以是由若干变量组

成的一个向量。类似地，微分方程可以是单个方程，也可以是联立方程组。

图１ １　 连续体问题的域Ω及其边界Γ

连续体问题只有通过数学运算才能精确求解，在这里，可采用的数学方法通常会使这种求

解过程限于过分简单的问题之中。为了克服这类连续体问题的不易处理性，数学家和工程师们

不断地提出各种离散化方法，且都包含着这样的一种近似：“当离散变量的数目增加时，它如所

—１—

希望的那样逼近于真实的连续解”。为实现连续体问题的离散化，数学家和工程师采用了不同的方法。数学家从连续体问题的

微分方程出发，建立了可直接应用于这些方程的一般方法，如有限差分近似法、各种加权残值

近似法以及求适当定义的泛函的极值近似方法，而工程师则是通过建立实际离散单元与连续

区域的有限部分之间的模拟这种更直观的方法来处理连续体问题。“有限单元”一词的产生正

是源于这种工程上的“直接模拟”的观点。有限元素法是一种近似解法，它寻求以下形式的近似解：

ｕ≈槇ｕ＝∑

ｒ

ｉ＝１Ｎｉａｉ ＝Ｎａ （１ ３）

式中Ｎｉ 是通过自变量（像坐标ｘ，ｙ，ｚ等）给定的形状函数，它在有限元素法中起着重要作用；

而参数ａｉ 的全部或一部分是未知量。

决定未知参数ａｉ 所需的方程可以通过下面的积分表达形式来建立：

∫ΩＧ（槇ｕ）ｄΩ＋∫Γｇ（槇ｕ）ｄΓ＝０ （１ ４）

式中Ｇ及ｇ是已知的函数或算子。如果微分方程是线性的，即如果可以把式（１ １）和式（１ ２）写成

Ａ（ｕ）≡Ｌｕ＋ｐ＝０，　 在Ω内 （１ ５）

Ｂ（ｕ）≡Ｍｕ＋ｔ＝０，　 在Γ上 （１ ６）式中Ｌ和Ｍ 是线性微分算子，则积分表达式（１ ４）将产生以下形式的线性方程组：

Ｋａ＋ｆ＝０ （１ ７）这里

Ｋｉｊ ＝∑ｍ

ｅ＝１Ｋｅｉｊ，　ｆｉ ＝∑

ｍ

ｅ＝１ｆｅｉ （１ ８）

１２　 等价于微分方程的积分表达形式

因为微分方程组式（１ １）必须在域Ω中的每个点处都成立，所以就有

∫ΩｖＴＡ（ｕ）ｄΩ≡∫Ω

（ｖ１Ａ１（ｕ）＋ｖ２Ａ２（ｕ）＋…）ｄΩ＝０ （１ ９）

式中ｖ是一组任意的函数，其个数等于所涉及的方程（或ｕ的分量）的个数。如果边界条件式（１ ２）也要同时得到满足，那么既可以通过选择函数 槇ｕ来保证满足，也可

以要求对任意的一组函数珋ｖ有

∫Γ珋ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ≡∫Γ

（珔ｖ１Ｂ１（ｕ）＋珔ｖ２Ｂ２（ｕ）＋…）ｄΓ＝０ （１ １０）

事实上，若积分表达形式

∫ΩｖＴＡ（ｕ）ｄΩ＋∫Γ珋ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ＝０ （１ １１）

对于一切ｖ和珋ｖ都满足，就等价于式（１ １）及式（１ ２）得到了满足。上面的讨论隐含地假设了像式（１ １１）中那样的积分是能够计算出来的。这就给ｖ，珋ｖ或ｕ

所属的允许函数族加上了某些限制。一般来说，应避免使积分中任一项变成无限大的函数。因

—２—

此，在式（１ １１）中，限于ｖ和珋ｖ为有限单值函数，因此对前述表达形式的成立没有限制。在函数ｕ１，ｕ２，… 上施加的限制，取决于算子Ａ（ｕ）（或Ｂ（ｕ））中所含的微分阶次。如果在

Ａ（ｕ）或Ｂ（ｕ）的任一项中出现ｎ阶导数，那么函数ｕ１，ｕ２，… 必须具有ｎ－１阶连续的导数（称为Ｃｎ－１ 连续性）。

在许多情况下，可以对式（１ １１）实行分部积分，并用如下表达形式来代替它：

∫ΩＣｖＴＤ（ｕ）ｄΩ＋∫ΓＥ珋ｖＴＦ（ｕ）ｄΓ＝０ （１ １２）

式中算子Ｃ和Ｆ中所含导数的阶次比算子Ａ和Ｂ中所含导数的阶次要低。这样做是以提高ｖ和

珋ｖ的连续性为代价，从而降低了对函数ｕ所要求的连续性阶次。表 达式（１ １２）是比方程式（１ １）、式（１ ２）、式（１ １１）所给出的原始问题更“容许的”，它

被称为这些方程的弱形式，而往往这一弱形式比原始的微分方程在物理上更现实。这是因为原

始的微分方程对真实解提出了过高的“光滑性”要求。式（１ １１）和式（１ １２）表达的积分形式形成了有限元素法的基础。对弹性固 体 力 学 问 题，体 积Ｖ 内 的 微 元 体 的 平 衡 方 程 可 以 用 对 称 的 笛 卡 儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ

（１５９６—１６９０年），法国哲学家、数学家）应力张量的分量写成

σｘｘｘ ＋

τｘｙｙ ＋

τｘｚｚ

τｙｘｘ ＋

σｙｙｙ ＋

τｙｚｚ

τｚｘｘ ＋

τｚｙｙ ＋

σｚｚ

熿

燀

燄

燅ｚ

＋

ｂｘｂｙｂ

熿

燀

燄

燅ｚ

＝熿

燀

燄

燅

０００

（１ １３）

式中ｂＴ ＝ ［ｂｘ　ｂｙ　ｂｚ］表示作用于单位体积上的力。在固体力学中，这六个应力分量是三个

位移分量的某个一般函数，即

ｕＴ ＝ ［ｕｘ（ｘ，ｙ，ｚ）　ｕｙ（ｘ，ｙ，ｚ）　ｕｚ（ｘ，ｙ，ｚ）］ （１ １４）因此，方程式（１ １３）可以看成是一般形式的方程式（１ １），即Ａ（ｕ）＝０。

对任意的一组函数ｖ＝δｕ，有

δｕＴ ＝ ［δｕｘ　δｕｙ　δｕｚ］ （１ １５）我们可以将积分表达式（１ ９）写成

∫ＶδｕＴＡ（ｕ）ｄＶ ＝∫Ｖ δｕｘ σｘｘｘ ＋τｘｙｙ ＋τｘｚｚ ＋ｂ（ ）ｘ ＋δｕｙ（…）＋δｕｚ［ ］（…）ｄＶ （１ １６）

利用分部积分及格林公式，并引入虚应变以及边界上的应力平衡条件，可以将式（１ １６）改写成

∫ＶδεＴσｄＶ－∫ＶｕＴｂｄＶ－∫ΓδｕＴｔｄＶ ＝０ （１ １７）

式中

ｔＴ ＝ ［ｔｘ　ｔｙ　ｔｚ］ （１ １８）表示作用于固体表面的单位面积上的表面力。

式（１ １７）表达了弹性固体力学问题的虚功原理。可见，虚功原理就是平衡方程的弱形式，它对线性以及非线性应力 应变（或应力 应变率）关系都成立。

对于固体力学问题，我们建立有限元素法的公式系统所必需的积分表达形式，它可以通过

—３—

式（１ １７）表示的虚功原理给出。

１３　 变分原理

什么是变分原理？它们对于连续体问题的近似解有什么用处？

“变分原理”是针对以下积分形式定义的标量（泛函）Π而言的

Π＝∫ΩＦ ｕ，ｘ

ｕ，２

ｘ２ｕ（ ），… ｄΩ＋∫ΓＥ ｕ，ｘｕ，

２

ｘ２ｕ（ ），… ｄΓ （１ １９）

式 中ｕ是未知函数，Ｆ和Ｅ是给定的算子。对于小变化的δｕ，使Π取得驻值的函数ｕ就是连续体

问题的解。因此，对于连续体问题的解，有变分为零，即

δΠ ＝０ （１ ２０）这就叫做变分原理。

如果能够找到一个“变分原理”，那么就可以立即建立起来以适合于有限元分析的标准积

分形式，从而求得近似解的方法。设试探函数展开式为通常的形式

ｕ≈槇ｕ＝∑

ｎ

ｉ＝１Ｎｉａｉ （１ ２１）

式中ａｉ 为待定参数。将其代入式（１ １９），并取泛函Π的一阶变分为零，即

δΠ ＝Πａ１δａ１＋Πａ２δ

ａ２＋…＋Πａｎδａｎ ＝Πａδ

ａ＝０ （１ ２２）

上式应对任意的δａ均成立，于是得到方程组

Πａ ＝

Πａ１Πａ２

Πａ

熿

燀

燄

燅ｎ

＝０ （１ ２３）

由此可求出参数ａｉ。因为Π的原始定义是借助于区域积分和边界积分而给出的，所以这些方程

具有有限元素法所必需的积分形式。如果泛函Π能 事 先 确 定 下 来，就 能 直 接 由 式（１ ２３）规 定 的 求 导 数 导 出 有 限 元 素 法 的

方程。如果泛函Π是“二次泛函”，即函数ｕ及其导数以幂次不超过２的形式出现，则将式（１ ２３）

化为类似于式（１ ７）的标准线性形式

Πａ ≡

Ｋａ＋ｆ＝０ （１ ２４）

并且可以证明，矩阵Ｋ此时总是对称的。可以看出，如果泛函是“二次的”，就有方程式（１ ２４），泛函可以写成

Π＝ １２ａＴＫａ＋ａＴｆ （１ ２５）

进一步考察式（１ １９）和式（１ ２０），为了使泛函Π取驻值，经过某些微分运算之后，可以

—４—

得出

δΠ ＝∫ΩδｕＴＡ（ｕ）ｄΩ＋∫ΓδｕＴＢ（ｕ）ｄΓ＝０ （１ ２６）

因为上式必须对于任意的变分δｕ都成立，则必有

Ａ（ｕ）＝０，　 在Ω内

Ｂ（ｕ）＝０，　 在Γ ｝上（１ ２７）

如果Ａ（ｕ）＝０正好对应于控制该问题的微分方程，而Ｂ（ｕ）＝０对应其边界条件，则称这个原

理为自然变分原理。式（１ ２７）称为欧拉（Ｅｕｌｅｒ（１７０７—１７８３年），瑞士数学家、物理学家）方程，它对应要求Π取驻值的变分原理。

容易证明，对于任一变分原理都可以建立相应的欧拉方程组；但反之不成立。仅仅某些形

式的微分方程是变分泛函的欧拉方程。对于式（１ １７）表述的弹性固体力学问题的虚功原理，如果把δε，δｕ看成是实量的变分

（或微分），就可以写出虚功原理的另一种表达形式，即总位能原理

δΠ ＝δ∫Ｖ槇Ｕ（ε）ｄＶ－∫ＶｕＴｂｄＶ－∫ΓｕＴｔｄ（ ）Ｖ ＝０ （１ ２８）

式中 槇Ｕ（ε）为变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）。这意味着为了保证弹性体的平衡，就

必须使总位能对于容许位移的变分取驻值。可以证明：在弹性情况下，总位能不仅是驻值，而且是极小值。有限元素法就是在假设的位

移模型的约束下，寻求这种极小值。

１４　 极大值、极小值或鞍点

在变分原理中，都简单地假设在解点处δΠ＝０，或泛函取驻值。而在实际中，则往往希望知

道Π是取极大值、极小值或处于“鞍点”。如果涉及的是极大值或极小值，则近似解将总是“有界

的”，即所给出的Π的近似值不是小于就是大于正确解。这本身就有实际意义。在 初等微积分中，当考察单变量ａ的函数Π的驻点时，通过研究ｄΠ随ｄａ的变化率，并由二

阶导数ｄ２Πｄａ２

的符号决定Π是否为极大值、极小值或驻点（鞍点），如图１ ２所示。

图１ ２　 单变量函数Π的极大值、极小值及鞍点

类似地，在变分学中，我们将考察δΠ 的变化。注意到式（１ ２２）所给出的δΠ 的一般形式，

—５—

其二阶变分可写为

δ２Π＝δ（δΠ）≡δ δΠδ（ ）ａ

Ｔ

δ（ ）ａ ＝δａＴδδΠδ（ ）ａ ＝δａＴＫδａ （１ ２９）

如果δ２Π总是为负（即δ２Π＜０），则显然Π达到极大值；如果δ２Π总是为正（δ２Π＞０），则Π达

到极小值；但如果δ２Π的符号不确定（δ２Π＝０），则仅表明驻点的存在。因为δａ是任意向量，则上述论断等价于要求矩阵Ｋ对于极大值为负定的，或对于极小值

为正定的。因此，矩阵Ｋ的形式在变分问题中是十分重要的。

１５　 修正变分原理，拉格朗日乘子

除了自然变分原理外，还有另一类变分原理，人们称之为“人造（或修正）”变分原理。对于

任何可用微分方程描述的问题，总是能够建立这种人造变分原理，其办法是利用称为拉格朗日

（Ｌａｇｒａｎｇｅ（１７３６—１８１４年），法国著名数学家、力学家）乘子的附加变量扩大未知函数的数目。现在考察在未知函数ｕ服从某组附加微分关系

Ｃ（ｕ）＝０，　 在Ω内 （１ ３０）的条件下，使泛函Π取驻值的问题。

应用拉格朗日乘子将约束条件引入泛函Π的表达式中，形成另一个泛函

Π ＝Π＋∫ΩλＴＣ（ｕ）ｄΩ （１ ３１）

式中λ是定义在域Ω 内的独立坐标的某组未知函数，称为拉格朗日乘子。新泛函Π 中参与变

分的独立变量是ｕ和λ，其变分为

δΠ ＝δΠ＋∫ΩδλＴＣ（ｕ）ｄΩ＋∫Ω

λＴδＣ（ｕ）ｄΩ （１ ３２）

只要Ｃ（ｕ）＝０（因此δＣ＝０），且δΠ ＝０，新泛函的变分就为零。可以用类似的方式在域Ω内的某些点或边界上引进约束。例如，要求未知函数ｕ服从

Ｅ（ｕ）＝０，　 在Γ上 （１ ３３）就要在原来的泛函中增加一项

∫ΓλＴＥ（ｕ）ｄΓ （１ ３４）

式中λ现在是定义在Γ上的未知函数。如果约束Ｃ施加在域Ω内的一点或某些点处，则只要把这些点处的λＴＣ（ｕ）加到泛函Π中

就引进了约束。因此，总是能够引进附加函数λ，并修正泛函以包含任意给定的约束，这是显然的。对于新

的泛函，在“离散化”求解过程中，必须对未知函数ｕ和λ同时进行离散。例如

槇ｕ＝∑Ｎｉａｉ ＝Ｎａ，　槇λ＝∑槇Ｎｉｂｉ ＝ 槇Ｎｂ （１ ３５）

并且将得到方程组

Πｃ ＝

ΠａΠ

熿

燀

燄

燅ｂ

＝０，　ｃ＝ ［］ａｂ （１ ３６）

—６—

由此可解得两组参数ａ和ｂ。与原来的问题相比，“约束”问题导致了较多的未知参数，并使求

解复杂化。这表面上看来有些不合理，但以后将看到拉格朗日乘子在建立某些物理变分原理中

的实际应用。在实际应用中，拉格朗日乘子将得到明确的物理意义。有必要研究一下由式（１ ３１）的修正泛函导出的方程的形式。如果原始泛函Π给出其欧拉

方程组为

Ａ（ｕ）＝０ （１ ３７）则有

δΠ ＝∫ΩδｕＴＡ（ｕ）ｄΩ＋∫Ω

δλＴＣ（ｕ）ｄΩ＋∫ΩλＴδＣ（ｕ）ｄΩ （１ ３８）

如果约束是线性方程

Ｃ（ｕ）＝Ｌ１（ｕ）＋Ｃ１ ＝０ （１ ３９）将试探函数式（１ ３５）代入式（１ ３８），可以得出

δΠ ＝δａＴ∫ΩＮＴＡ（槇ｕ）ｄΩ＋δｂＴ∫Ω

槇ＮＴ（Ｌ１槇ｕ＋Ｃ１）ｄΩ＋δａＴ∫Ω

（Ｌ１Ｎ）Ｔ槇λｄΩ＝０

（１ ４０）因为上式必须对一切变分δａ和δｂ均成立，就得到方程组

∫ΩＮＴＡ（槇ｕ）ｄΩ＋∫Ω

（Ｌ１Ｎ）Ｔ槇λｄΩ＝０

∫Ω

槇ＮＴ（Ｌ１槇ｕ＋Ｃ１）ｄΩ＝

烍

烌

烎０（１ ４１）

对于线性算子Ａ，式（１ ４１）中第一个方程的第一项就是通常的非约束变分近似

Ｋａ＋ｆ＝０ （１ ４２）方程式（１ ４１）可写成线性方程组

ＫｃＣ＝Ｋ ＫａｂＫＴａｂ［ ］０ ［］ａｂ ＋ ｆ［］ｇ ＝０ （１ ４３）

式中

ＫＴａｂ ＝∫Ω

槇ＮＬ１ＮｄΩ，　ｇ＝∫Ω

槇ＮＴＣ１ｄΩ （１ ４４）

显然方程组是对称的，但现在对角线上具有等于零的系数，因此与Π 有关的变分原理只是驻

值原理。虽然拉格朗日乘子是为了迫使原始变分原理满足某些外加约束，而作为一种必要的数学

虚构而引进的，但以后就会发现，在大多数物理问题中，这些拉格朗日乘子都对应着原始数学

模型的一些重要的物理量。可以直接从式（１ ３１）中建立的变分泛函的定义和对应于它的第二

个欧拉方程以及约束方程，求得拉格朗日乘子的物理意义。式（１ ３２）中列出的变分δΠ，通过其前两项提供了对应于泛函Π的原始欧拉方程以及约

束方程，其最后一项总是可以改写成

∫ΩλＴδＣ（ｕ）ｄΩ＝∫Ω

δｕＴＲ（λ，ｕ）ｄΩ＋ｂ．ｔ． （１ ４５）

它要求

Ｒ（λ，ｕ）＝０ （１ ４６）这个式子提供了拉格朗日乘子λ的物理意义。

—７—

本书第５章以及以后的各章中，经常涉及这种识别λ物理意义的工作。用相应的物理量替换修正泛函中的拉格朗日乘子λ，就得到一种修正变分原理。在修正变

分原理中，强加的约束条件将被自动满足。采用修正变分原理使问题的未知函数或参数恢复到原来的数目，这对计算是有利的。

１６　 变分原理与有限元模型

变分原理为建立有限元模型和有限元公式系统提供了理论基础。不同的变分原理将可能

导引出不同的元素特性（如刚度矩阵、柔度矩阵、混合矩阵）和有限元公式。在弹性固体力学中，总位能原理和总余能原理所对应的泛函是单变量。这种单一变量的能

量泛函总是要求自变函数事先满足一定的条件，而自变函数另外尚需满足的条件则通过泛函

的极值条件得到满足。在变分原理中，总位能原理导引出了位移协调元，但力的平衡性是近似

满足的；总余能原理导引出了应力平衡元，但位移的协调性是近似满足的。我们注意到这种“近似满足”在物理意义上是指总体上满足，而不是指处处满足，在数学上则表现为在定义域积分

意义下的满足。正如我们所了解的，基于总位能原理的位移协调元是建造有限元模型的常规做法，它的应

用最广，方法和程序也最为简便。但这种做法因为单元间位移完全协调的要求太苛刻，在薄板

弯曲等Ｃ１ 连续性问题中遇到麻烦，从而引发了多种有限元新模型，如位移非协调元、应力杂交

元，拟协调元等。拉格朗日乘子法引出了所谓的广义或混合变分原理。与总位能原理或总余能原理所要求

的泛函相比，在广义或混合变分原理的泛函中，由于放松了位移的协调性要求和力的平衡性要

求（如元素交界面处的面力或位移的连续性要求），即将事先强加于位移的或应力的约束条件

用拉格朗日乘子引进到泛函表达式中，而使原先的约束变分原理变为无约束的或仅部分约束

的变分原理，但其代价是增加了许多附加变量，且极值性不能被保证。广义或混合变分原理在

板弯曲问题中得到了广泛和有效的应用。本书将在５．２节介绍小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理。也可以仅在单元边界上定义拉格朗日乘子或某些其他的基本变量，而在单元内部采用该

场另外的变量。我们把这种方法称为界面变量法或杂交法，它是混合变分原理在采用界面变量

时的特殊情况。界面变量法或杂交法的一般步骤是：在每个单元内定义协调或平衡的场，由于这个场不能

保证单元之间的协调性或平衡性，所以需要通过只定义在界面上的拉格朗日乘子来强加这种

协调性或平衡性。显然，这种处理的具体形式有很多种。因为这样定义的一个协调场或平衡场，其全部或部分待定参数只与一个单元有关，并可因此而在单元级上消去，从而显著地减少了单

元集合体问题中变量的总数。本书将在５．４节中介绍基于位能原理的位移杂交单元和基于余能原理的应力杂交单元的

一般性做法，并在第７章中介绍一些用于薄板弯曲问题的杂交单元。传统的变分原理采用整体插值，而有限元素法则是把整体分割为有限个元素的集合体，采

用的是分区插值。将分区概念引入变分原理，用分区插值代替整体插值，并且放松各个分区交

界面上的连续性要求，就得到了所谓的分区广义变分原理。分区广义变分原理为建立新型的有

—８—

限元模型提供了坚实的理论基础。分区变分原理是基于传统变分原理的一种修正变分原理，所不同的是，后者可被看做是在

单元水平上进行的修正与混合，而分区变分原理则是在弹性体整体水平上进行的修正与混合。本书在５．３节中详细介绍了小位移弹性理论的分区变分原理，并对有限元素法的单元集

合体进行了分区变分原理的公式推导。常规的混合 杂交模型只是在单元水平上采用混合法，而混合分区变分原理则是在结构

整体水平上采用混合法。混合分区变分原理在理论上解决了两类不同单元（应力元、位移元）的耦合和收敛问题，其在实际应用中（如求解含有应力集中的问题）是非常成功的，原因是巧

妙地把应力元与位移元、奇异元与常规元、解析解与数值解加以结合，使每一种方法能在各自

的分区范围内发挥其长处，从而从整体上获得最佳效果。本书在７．５节中介绍了基于混合分区变分原理的混合有限元法的一般步骤。在详细介绍弹性固体力学的一般性变分原理的基础上，本书在５．４节中介绍了各类变分

原理、建立有限元模型之间的关系和一般性处理方法以及对应于不同变分原理的元素刚度特

性。第７章介绍了各种能量泛函在结构力学中的转换形式及其应用的具体实例，其中包括总位

能泛函、总余能泛函、混合泛函变分原理及其变换形式、应力或位移杂交模型对应的泛函及其

应用，以及混合分区变分原理、混合有限元法及其应用。

—９—

第２章 　 泛函极值问题的一些基本概念

２１　 泛函的极大值和极小值问题

如果函数ｙ（ｘ）在ｘ＝ｘ０ 附近的任意点上的值都不大（小）于ｙ（ｘ０），也即ｄｙ＝ｙ（ｘ）－ｙ（ｘ０）≤０（≥０）时，则称函数ｙ（ｘ）在ｘ＝ｘ０ 上达到极大（极小）值，而且在ｘ＝ｘ０ 上，有

ｄｙ＝０ （２ １）对于泛函Π［ｙ（ｘ）］，也有类似的定义。如果泛函Π［ｙ（ｘ）］在任何一条与ｙ＝ｙ０（ｘ）接近的

曲线上的值不大（或不小）于Π［ｙ０（ｘ）］，也就是说，如果δΠ＝Π［ｙ（ｘ）］－Π［ｙ０（ｘ）］≤０（≥０）时，则称泛函Π［ｙ（ｘ）］在曲线ｙ＝ｙ０ 上达到极大值（或极小值），而且在ｙ＝ｙ０（ｘ）上，有

δΠ ＝０ （２ ２）在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要。凡说到泛函的极大（或极小）值，主要

是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最

小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明

这些曲线有几阶的接近度。如同对一般函数极大（极小）值的讨论一样，如果泛函在ｙ＝ｙ０（ｘ）的曲线上有强极大（极

小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的ｙ（ｘ）而言是极大（极小）值，而且对于

那些只是函数接近但导数不接近的ｙ（ｘ）而言，也是极大（极小）值。所以泛函在ｙ＝ｙ０（ｘ）曲

线上是强极大（极小）值时，也必在ｙ＝ｙ０（ｘ）上是弱极大（极小）值；反之，则不然，即泛函在

ｙ＝ｙ０（ｘ）曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值。因为有可能对于那些只

是函数接近但导数不接近的ｙ（ｘ）而言，有一个比函数与导数都接近的ｙ（ｘ）所求的极大（极

小）值更大（小）的极大（极小）值存在，所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。

２２　 求解泛函极值的欧拉方程

变分法的早期工作是设法将泛函驻值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻值问题转

化为微分方程时，第一步工作就完成了，下一步便是求解这一微分方程。这种求解方法在实际

应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法（里兹法）以后，人们才认识

到直接从泛函极值出发，比从微分方程式出发更为有效与方便，这样的处理方法可以充分发挥

电子计算机的作用。于是人们研究的目标有了转移，即把原来从泛函驻值问题化为微分方程问

—０１—

题，转化为把微分方程问题转变为定义一个泛函，从而成为泛函求驻值的问题。对于前一种问

题，欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一类问题，虽然现在

已做了大量工作，但仍不成熟。目前较多采用的方法，还是根据微分方程的物理和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻值问题，然后再进行核对，看它是否与原

来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将会经常用到。现在研究由最简单泛函式（２ ３）的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲

线ｙ＝ｙ（ｘ）的边界是固定不变的，而且有ｙ（ｘ１）＝ｙ１，ｙ（ｘ２）＝ｙ２，函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）将被看做

是三阶可微的。

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ［ｘ，ｙ（ｘ），ｙ′（ｘ）］ｄｘ （２ ３）

首先，用拉格朗日法来求泛函的变分，即

Π［ｙ＋εδｙ］＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ［ｘ，ｙ＋εδｙ，ｙ＋εδｙ′］ｄｘ

于是有

　　　　　　　　　εΠ［ｙ＋εδｙ］＝∫

ｘ２

ｘ１

ｙＦ［ｘ，ｙ＋εδｙ，ｙ′＋εδｙ′］δｙ｛ ＋

ｙ′Ｆ［ｘ，ｙ＋εδｙ，ｙ′＋εδｙ′］δｙ ｝′ｄｘ

让ε→０，得

δΠ ＝εΠ［ｙ＋εδｙ］｜ε→０ ＝∫

ｘ２

ｘ１

Ｆｙδｙ＋

Ｆｙ′δｙ［ ］′ｄｘ （２ ４）

式中

Ｆｙ ＝

ｙＦ（ｘ，ｙ，ｙ′），　Ｆｙ′＝

ｙ′Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）

而且

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ′δｙ

′ｄｘ＝∫ｘ２

ｘ１

ｄｄｘＦｙ′δ［ ］ｙ － ｄｄｘ Ｆｙ（ ）′δ｛ ｝ｙ ｄｘ

对于固定边界条件，因为有δｙ（ｘ２）＝δｙ（ｘ１）＝０，所以

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ′δｙ

′ｄｘ＝－∫ｘ２

ｘ１

ｄｄｘＦｙ（ ）′δｙｄｘ （２ ５）

将式（２ ５）代入式（２ ４），得到变分极值条件为

δΠ ＝∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙｄｘ＝０ （２ ６）

根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＝０ （２ ７）

这里必须指出，式（２ ７）中的第二项是对ｘ的全导数，而不是偏导数，且Ｆ＝Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′），所以

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＝ ２Ｆ

ｘｙ′＋２Ｆｘｙ′

ｄｙｄｘ＋

２Ｆｙ′２

ｄｙ′ｄｘ ＝Ｆｘｙ′″＋Ｆｙｙ′″ｙ′＋Ｆｙ′ｙ′″ｙ″

（２ ８）

式中Ｆｘｙ′″，Ｆｙｙ′″，Ｆｙ′ｙ′″都是Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）对ｘ，ｙ，ｙ′的二阶偏导数。ｙ′＝ｄｙｄｘ，ｙ″＝ｄ

２ｙｄｘ２，所以欧拉方

—１１—

程式（２ ７）也可以写成

Ｆｙ′－Ｆｘｙ′″－Ｆｙｙ′″ｙ′－Ｆｙ′ｙ′″ｙ″＝０ （２ ９）这就是１７４４年由欧拉得出的著名方程，该方程也被称为欧拉 拉格朗日方程。

式（２ ９）是关于ｙ（ｘ）的一个二阶微分方程，其积分常数有两个，即ｃ１ 和ｃ２，它的积分曲线

ｙ＝ｙ（ｘ，ｃ１，ｃ２）叫做极值曲线，只有在这簇极值曲线上，泛函式（２ ３）才能达到极值。积分常

数由极值曲线通过ｙ（ｘ１）＝ｙ１，ｙ（ｘ２）＝ｙ２ 这两个端点条件所决定。把泛函的变分作为泛函增量的主部，也同样会得到欧拉方程式（２ ７）及式（２ ８）。求泛函

增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如式（２ ３），因为积分限是固定（不变）的，所以有

δΠ ＝δ∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）ｄｘ＝∫

ｘ２

ｘ１δＦ（ｘ，ｙ，ｙ′）ｄｘ

其δＦ 是由ｙ，ｙ′增量引起的，其主部为

δＦ（ｘ，ｙ，ｙ′）＝Ｆｙδｙ＋Ｆｙ′δｙ

′

于是便得到式（２ ４），这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。这里还应指出，对于式（２ ９）这样的欧拉方程，应注意如下四种特殊的情况。情况一：Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）和ｘ无关，即

Ｆ＝Ｆ（ｙ，ｙ′） （２ １０）于是式（２ ９）可以写成

Ｆｙ′－Ｆｙｙ′″ｙ′－Ｆｙ′ｙ′″ｙ″＝０ （２ １１）上式可以简化为

ｄｄｘＦ－Ｆｙ′ｙ（ ）′ ＝０ （２ １２）

经一次积分后，得

Ｆ－Ｆｙ′ｙ′＝ｃ１ （２ １３）

式中ｃ１ 为积分常数。情况二：Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）和ｙ无关，即

Ｆ＝Ｆ（ｘ，ｙ′） （２ １４）代入式（２ ７），得

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＝０ （２ １５）

经积分，得

Ｆｙ′＝

ｃ （２ １６）

式中ｃ为积分常数。情况三：Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）和ｙ′无关，即

Ｆ＝Ｆ（ｘ，ｙ） （２ １７）于是其欧拉方程为

Ｆｙ′（ｘ，ｙ）＝０ （２ １８）

—２１—

它不是微分方程，也不包含什么特定常数，在一般情况下，不存在所讨论的变分问题，只在个别

的情况下，当曲线（式（２ １８））通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。情况四：Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）是ｙ′的线性函数，即

Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）＝Ｐ（ｘ，ｙ）＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｙ′ （２ １９）于是其欧拉方程为

Ｐｙ＋

Ｑｙｙ′－ｄＱｄｘ＝０

（２ ２０）

但是由于

ｄＰｄｙ＝

Ｑｘ＋

Ｑｙｙ′ （２ ２１）

所以式（２ ２０）可以简化为

Ｐｙ－

Ｑｘ ＝

０ （２ ２２）

这也不是一个微分方程式，因为它没有ｙ′项，一般来说它不满足固定端点条件，因此，变分问

题根本不存在。现在将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方

程中。研究泛函

Π［ｙ（ｘ）］＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ［ｘ，ｙ（ｘ），ｙ′（ｘ），ｙ″（ｘ），…，ｙ（ｎ）（ｘ）］ｄｘ （２ ２３）

的极值，其中泛函Ｆ被认为对于ｙ（ｘ），ｙ′（ｘ），ｙ″（ｘ），…，ｙ（ｎ）（ｘ）是ｎ＋２阶可微的，并且假定端

点上有固定条件

ｙ（ｘ１）＝ｙ１，ｙ′（ｘ１）＝ｙ１′，ｙ″（ｘ１）＝ｙ１″，…，ｙ（ｎ－１）（ｘ１）＝ｙ（ｎ－１）１

ｙ（ｘ２）＝ｙ２，ｙ′（ｘ２）＝ｙ２′，ｙ″（ｘ２）＝ｙ２″，…，ｙ（ｎ－１）（ｘ２）＝ｙ（ｎ－１）烍烌

烎２

（２ ２４）

端 点上不仅给出函数值，而且还给出直至ｎ－１阶导数的值。我们假定极值将在２ｎ阶可微曲线

ｙ＝ｙ（ｘ）上达到。用上述相同的求泛函变分方法，可以证明

δΠ ＝∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙδｙ＋

Ｆｙ′δｙ

′＋Ｆｙ″δｙ″＋…＋ Ｆｙ（ｎ）δｙ

（ｎ｛ ｝） ｄｘ （２ ２５）

式中用简略符号δｙ代替δｙ（ｘ），δｙ（ｋ）代替δｙ（ｋ）（ｘ）＝ ｄｋ

ｄｘｋ［δｙ（ｘ）］。

积分式（２ ２５）中的第二项可进行一次分部积分，得

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ′

ｄｄｘ（δｙ）ｄｘ＝Ｆｙ′δｙ

ｘ２

ｘ１－∫

ｘ２

ｘ１

ｄｄｘＦｙ（ ）′δｙｄｘ （２ ２６）

将积分式（２ ２５）中第三项进行两次分部积分，得

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ″

ｄ２

ｄｘ２（δｙ）ｄｘ＝Ｆｙ″δｙ

′ｘ２

ｘ１－ ｄｄｘ

Ｆδｙ（ ）″δｙ

ｘ２

ｘ１＋∫

ｘ２

ｘ１

ｄ２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）″δｙｄｘ （２ ２７）

同样地，将其最后一项经过ｎ次分部积分后，得

　　　　　∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ（ｎ）

ｄｎ

ｄｘｎ（δｙ）ｄｘ＝ Ｆ

ｙ（ｎ）δｙ（ｎ－１）

ｘ２

ｘ１－ ｄｄｘ

Ｆｙ（ｎ（ ）） ｙ（ｎ－２） ｘ２

ｘ１＋…＋

（－１）ｎ∫ｘ２

ｘ１

ｄｎ

ｄｘｎＦｙ（ｎ（ ））δｙｄｘ （２ ２８）

—３１—

根据变分法的预备定理，当式（２ ２５）为零时，得

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）″ ＋…＋（－１）ｎ ｄ

ｎ

ｄｘｎＦｙ（ｎ（ ）） ＝０ （２ ２９）

这是ｙ＝ｙ（ｘ）的２ｎ阶微分方程式，一般称为泛函式（２ ２３）的欧拉 泊松方程，而它的积分

曲线就是所讨论的变分问题的解（极值曲线）。这个方程的解通常有２ｎ个特定常数，是由２ｎ个

端点条件，即式（２ ２４）决定的。

图２ １　 梁在横向载荷作用下的弯曲

【例２ １】　 梁在横向载荷作用下的弯曲问题，就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一个例子。设梁的抗弯刚度为ＥＪ，两端固定，在横向分布载荷

ｑ（ｘ）作用 下 发 生 弯 曲 变 形（或 称 挠 度）ｗ（ｘ），如 图

２ １所示。端点固定条件为

ｗ（０）＝ｗ′（０）＝０ｗ（Ｌ）＝ｗ′（Ｌ）＝ ｝０ （２ ３０）

在梁达到平衡时，其总位能达到最小值。梁的位能等

于梁在弯曲时所储存的弯曲能，它等于

Ｕ ＝∫Ｌ

０

１２ＥＪχ

２ｄｘ （２ ３１）

式中χ为梁弯曲后的曲率，它和挠度ｗ（ｘ）的关系为

χ＝

ｄ２ｗｄｘ２

１＋ ｄｗｄ（ ）ｘ［ ］２

３２≈ｄ

２ｗｄｘ２

这里假定挠度很小，略去高次项。式（２ ３１）可以写成

Ｕ ＝∫Ｌ

０

１２ＥＪ

ｄ２ｗｄｘ（ ）２ ２

ｄｘ

载荷ｑ（ｘ）在变形ｗ（ｘ）上的位能为

Ｖ ＝－∫Ｌ

０ｑ（ｘ）ｗ（ｘ）ｄｘ （２ ３２）

于是，梁所形成的总位能Π为

Π＝Ｕ＋Ｖ ＝∫Ｌ

０

１２ＥＪ

ｄ２ｗｄｘ（ ）２ ２

－ｑ（ｘ）ｗ（ｘ［ ］）ｄｘ （２ ３３）

梁的平衡条件为ｗ（ｘ）使 总 位 能 达 到 最 小 值，即δΠ ＝０。于 是 利 用 变 分 计 算 和 固 定 端 条 件

式（２ ３０），得

δΠ ＝∫Ｌ

０ＥＪｄ

４ｗｄｘ４ －ｑ

（ｘ［ ］）δｗ（ｘ）ｄｘ＝０ （２ ３４）

利用变分法的预备定理，求得梁的平衡方程为

ＥＪｄ４ｗｄｘ４ －ｑ

（ｘ）＝０

这就是欧拉 泊松方程。式（２ ３４）在静力学中被称为虚位移原理，δｗ（ｘ）就是满足端点位移

约束条件的虚位移。下面讨论另一种形式的泛函，即

—４１—

Π（Φ，Φｘ，Φｙ）＝ＲＦ（Φ，Φｘ，Φｙ）ｄｘｄｙ＋∫Ｓｃ

Ｇ（Φ）ｄｓ （２ ３５）

的欧拉方程，式中Φｘ ＝Φｘ，Φｙ ＝Φｙ

。

函数Φ（ｘ，ｙ）在域Ｒ内连续，其边界Ｓ由Ｓｂ 和Ｓｃ 组成，其中

Φ＝Φｂ，　 在Ｓｂ 上

Φｂ 为给定的。现在对式（２ ３５）泛函取一次变分，得到

δΠ ＝Ｒ

ＦΦδΦ＋

ＦΦｘδΦｘ＋

ＦΦｙδΦ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＋∫Ｓｃ

ＧΦδΦ

ｄｓ （２ ３６）

因为

δΦｘ ＝δΦｘ ＝ｘδΦ

，　δΦｙ ＝δΦｙ ＝ｙδΦ

式（２ ３６）等号右边第一个积分中的末尾两项可化为

　　　　　Ｒ

ＦΦｘδΦｘ＋

ＦΦｙδΦ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝Ｒ

ｘ

ＦΦｘ（ ）δΦ ＋ｙ

ＦΦｙ（ ）［ ］δΦ ｄｘｄｙ－

Ｒ

Ｆｘ

ＦΦ（ ）ｘ ＋ｙ Ｆ

Φ（ ）［ ］ｙδΦｄｘｄｙ

利用高等数学中的格林公式

Ｒ

Ｑｘ＋

Ｐ（ ）ｙ ｄｘｄｙ＝∫Ｓ

（Ｑｄｙ－Ｐｄｘ）

上式可化为

　　　　　Ｒ

ＦΦｘδΦｘ＋

ＦΦｙδΦ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝∫Ｓ

ＦΦｘ（ ）δΦ ｄｙ－ Ｆ

Φｙ（ ）δΦ ｄ［ ］ｘ －

Ｒ

Ｆｘ

ＦΦ（ ）ｘ ＋ｙ Ｆ

Φ（ ）［ ］ｙδΦｄｘｄｙ

将ｄｙ＝ｌｘｄｓ，ｄｘ＝－ｌｙｄｓ（ｌｘ，ｌｙ 为周边法线的方向余弦）代入上式，并引入边界Ｓｂ 上的给定

条件，再代回式（２ ３６）中，可得

Ｒ

ＦΦ－

ｘ

ＦΦ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

Φ（ ）［ ］ｙδΦｄｘｄｙ＋∫Ｓｃ

ＧΦ＋

ｌｘＦΦｘ ＋ｌｙＦΦ［ ］

ｙδΦｄｓ＝０

因为δΦ 为在不同域的任意变分量，由变分法的预备定理，可以求得欧拉方程为

ＦΦ－

ｘ

ＦΦ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

Φ（ ）ｙ ＝０，　 在Ｒ域内 （２ ３７ａ）

及

ＧΦ＋

ｌｘＦΦｘ ＋ｌｙＦΦｙ

＝０，　 在Ｓｃ 上 （２ ３７ｂ）

２３　含多个待定函数的泛函及其欧拉方程，哈密顿原理

下面把２．２节的泛函极值和欧拉方程推广到含多个待定函数的泛函极值问题中。设有泛函

—５１—

Π［ｙ１，ｙ２，…，ｙｉ］＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｉ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｉ′，…，ｙ（ｎ）１ ，ｙ（ｎ）２ ，…，ｙ（ｎ）ｉ ）ｄｘ

（２ ３８）式 中ｙｋ＝ｙｋ（ｘ）（ｋ＝１，２，…，ｉ）为ｉ个待定函数，ｙｋ′＝ｙｋ′（ｘ），ｙｋ″＝ｙｋ″（ｘ），…，ｙ（ｎ）ｋ ＝ｙ（ｎ）ｋ （ｘ）分别表示ｙｋ（ｘ）的１阶，２阶，…，ｎ阶的导数，设这些函数有端点值

ｙｋ（ｘ１）＝ｙｋ１，ｙｋ′（ｘ１）＝ｙｋ１′，…，ｙ（ｎ）ｋ （ｘ１）＝ｙ（ｎ）ｋ１ｙｋ（ｘ２）＝ｙｋ２，ｙｋ′（ｘ２）＝ｙｋ２′，…，ｙ（ｎ）ｋ （ｘ２）＝ｙ（ｎ）ｋ

烍烌

烎２（２ ３９）

对所有的ｘ，ｙｋ，ｙ（ｊ）ｋ （ｊ＝１，２，…，ｎ；ｋ＝１，２，…，ｉ）而言，Ｆ都是（ｎ＋２）阶可微的，待定曲线

ｙｋ（ｘ）（ｋ＝１，２，…，ｉ）是２ｎ阶可微的。泛函Π［ｙ１，ｙ２，…，ｙｉ］的变分极值条件为

　　　　　　δΠ ＝∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ１δｙ１＋

Ｆｙ１′δｙ１

′＋Ｆｙ１″δｙ１″＋…＋ Ｆｙ（ｎ）

１δｙ（ｎ）

１ ＋…［ ＋

Ｆｙｉδｙｉ＋

Ｆｙｉ′δｙｉ

′＋Ｆｙｉ″δ″ｙｉ″＋…＋ Ｆｙ（ｎ）

ｉδｙ（ｎ）］ｉ ｄｘ＝０ （２ ４０）

通过分部积分，并利用端点固定的条件，即利用

δｙｋ（ｘ１）＝０，　δｙｋ（ｘ２）＝０

δｙ（ｊ）ｋ （ｘ１）＝０，　δｙ（ｊ）

ｋ （ｘ２）＝０（ｊ＝１，２，…，ｎ；ｋ＝１，２，…，ｉ

烍烌

烎）

（２ ４１）

后，可以把式（２ ４０）化为

　　　δΠ ＝∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ１－

ｄｄｘ

Ｆｙ１（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ１（ ）″ －…＋（－１）ｎ ｄ

ｎ

ｄｘｎＦｙ（ｎ）（ ）［ ］

１δｙ１ｄｘ＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ２－

ｄｄｘ

Ｆｙ２（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ２（ ）″ －…＋（－１）ｎ ｄ

ｎ

ｄｘｎＦｙ（ｎ）（ ）［ ］

２δｙ２ｄｘ＋…＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙｉ－

ｄｄｘＦｙｉ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙｉ（ ）″ －…＋（－１）ｎ ｄ

ｎ

ｄｘｎＦｙ（ｎ）（ ）［ ］

ｉδｙｉｄｘ＝０

（２ ４２）利用与第２．３节中的相同方法，可以得到ｉ个欧拉方程，即

Ｆｙｋ－

ｄｄｘ

Ｆｙｋ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙｋ（ ）″ －…＋（－１）ｎ ｄ

ｎ

ｄｘｎＦｙ（ｎ）（ ）ｋ

＝０　（ｋ＝１，２，…，ｉ）

（２ ４３）这是决定ｙ１，ｙ２，…，ｙｉ 的ｉ个待定函数的ｉ个微分方程式组。

现在研究力学中的 一 个 基 本 变 分 原 理：哈 密 顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）原 理（或 称 为 最 小 作 用 量 原

理），该原理可叙述为：质点系满足某些约束条件的运动，必使积分“作用量”

Ａ＝∫ｔ２

ｔ１

（Ｔ－Ｕ）ｄｔ （２ ４４）

为极值（最小值）。其中Ｔ，Ｕ 分别表示质点系的动能和位能，ｔ为时间。满足某些约束条件是指

质点系满足下列边值条件：当ｔ＝ｔ１ 时，　　　　［ｘｉ（ｔ），ｙｉ（ｔ），ｚｉ（ｔ）］＝ ［ｘｉ（ｔ１），ｙｉ（ｔ１），ｚｉ（ｔ１）］当ｔ＝ｔ２ 时，　　　　［ｘｉ（ｔ），ｙｉ（ｔ），ｚｉ（ｔ）］＝ ［ｘｉ（ｔ２），ｙｉ（ｔ２），ｚｉ（ｔ２ ｝）］ （２ ４５）

如果质点的质量为ｍｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），坐标为（ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ），作用在质点上的力Ｆｉ 是以－Ｕ—６１—

为力函数（即势函数）的，则

Ｆｘｉ ＝－Ｕｘｉ，　Ｆｙｉ ＝－Ｕｙｉ

，　Ｆｚｉ ＝－Ｕｚｉ　（ｉ＝１，２，…，ｎ） （２ ４６）

而势函数Ｕ 只依赖于质点的坐标，这是一个保守力场，即

Ｕ ＝Ｕ（ｘ１，ｙ１，ｚ１；ｘ２，ｙ２，ｚ２；…，ｘｎ，ｙｎ，ｚｎ） （２ ４７）动能是

Ｔ＝ １２∑ｎ

ｉ＝１ｍｉ（ｘ２ｉ ＋ｙ２ｉ ＋ｚ２ｉ） （２ ４８）

式中ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ 分别代表ｄｘｉｄｔ，ｄｙｉｄｔ，ｄｚｉｄｔ，最小作用量原理（即哈密顿原理）要求

δＡ ＝δ∫ｔ２

ｔ１

（Ｔ－Ｕ）ｄｔ＝∫ｔ２

ｔ１

（δＴ－δＵ）ｄｔ＝０ （２ ４９）

式中

δＴ ＝∑ｎ

ｉ＝１ｍｉ（ｘｉδｘｉ＋ｙｉδｙｉ＋ｚｉδｚｉ）

δＵ ＝∑ｎ

ｉ＝１

Ｕｘｉδ

ｘｉ＋Ｕｙｉδｙｉ＋Ｕｚｉδｚ（ ）ｉ ＝－∑

ｎ

ｉ＝１

（Ｆｘｉδｘｉ＋Ｆｙｉδｙｉ＋Ｆｚｉδｚｉ） （２ ５０）

通过分部积分，并由约束条件式（２ ４５）有，δｘｉ（ｔ１），δｙｉ（ｔ１），δｚｉ（ｔ１）和δｘｉ（ｔ２），δｙｉ（ｔ２），δｚｉ（ｔ２）都等于零，即得

∫ｔ２

ｔ１∑ｎ

ｉ＝１ｍｉ（ｘｉδｘｉ＋ｙｉδｙｉ＋ｚｉδｚｉ）ｄｔ＝－∫

ｔ２

ｔ１∑ｎ

ｉ＝１ｍｉ（̈ｘｉδｘｉ＋ｙ̈ｉδｙｉ＋̈ｚｉδｚｉ）ｄｔ （２ ５１）

于是哈密顿原理可以写为

∫ｔ２

ｔ１∑ｎ

ｉ＝１

［（ｍｉ̈ｘｉ－Ｆｘｉ）δｘｉ＋（ｍｉ̈ｙｉ－Ｆｙｉ）δｙｉ＋（ｍｉ̈ｚｉＦｚｉ）δｚｉ］ｄｔ＝０ （２ ５２）

由于δｘｉ，δｙｉ，δｚｉ 为任意的独立变分，所以得到欧拉 泊松方程

Ｆｘｉ ＝ｍｉ̈ｘｉ，　Ｆｙｉ ＝ｍｉ̈ｙｉ，　Ｆｚｉ ＝ｍｉ̈ｚｉ　（ｉ＝１，２，…，ｎ） （２ ５３）这就是ｎ个质点的３ｎ个牛顿运动方程式。

从上述的讨论中不难发现，最小位能原理等价于静力平衡方程。而哈密顿原理等价于牛顿

运动方程。如果运动还受另外一组独立关系

Φｊ（ｔ，ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ；ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ；ｚ１，ｚ２，…，ｚｎ）＝０　（ｊ＝１，２，…，ｍ；ｍ＜３ｎ）（２ ５４）

的约束，则独立变量只剩 下３ｎ－ｍ 个。如 果 我 们 用３ｎ－ｍ 个 新 的 变 量（或 称 广 义 坐 标）ｑ１，

ｑ２，…，ｑ３ｎ－ｍ 来表示原来的变量ｘｉ，ｙｉ，ｚｉ，即

ｘｉ＝ｘｉ（ｑ１，ｑ２，…，ｑ３ｎ－ｍ，ｔ）

ｙｉ＝ｙｉ（ｑ１，ｑ２，…，ｑ３ｎ－ｍ，ｔ）

ｚｉ＝ｚｉ（ｑ１，ｑ２，…，ｑ３ｎ－ｍ，ｔ）（ｉ＝１，２，…，ｎ

烍

烌

烎）

（２ ５５）

则Ｕ，Ｔ可以表示为

Ｕ ＝Ｕ（ｑ１，ｑ２，…，ｑ３ｎ－ｍ，ｔ）

Ｔ＝Ｔ（ｑ１，ｑ２，…，ｑ２ｎ－ｍ，ｑ１，ｑ２，ｑ３ｎ－ｍ，ｔ ｝） （２ ５６）

—７１—

于是哈密顿原理或最小作用量原理可以写成

δＡ ＝∫ｔ２

ｔ１∑３ｎ－ｍ

ｉ＝１

（Ｔ－Ｕ）ｑｉ δｑｉ＋Ｔｑｉδ

ｑ［ ］ｉ ｄｔ＝０ （２ ５７）

经过部分积分可化为

δＡ ＝∫ｔ２

ｔ１∑３ｎ－ｍ

ｉ＝１

（Ｔ－Ｕ）ｑｉ ＋ｄｄｔ

Ｔｑ（ ）［ ］

ｉδｑｉｄｔ＝０ （２ ５８）

其欧拉 泊松方程为

（Ｔ－Ｕ）ｑｉ －ｄｄｔ

Ｔｑ（ ）ｉ ＝０　　（ｉ＝１，２，…，３ｎ－ｍ） （２ ５９）

习惯上，人们把

Ｌ＝Ｔ－Ｕ （２ ６０）称为拉格朗日函数。于是哈密顿原理又可以写成

δＡ ＝δ∫ｔ２

ｔ１Ｌｄｔ＝∑

３ｎ－ｍ

ｉ＝１∫ｔ２

ｔ１

Ｌｑｉ－

ｄｄｔＬｑ（ ）［ ］

ｉδｑｉｄｔ （２ ６１）

而欧拉 泊松方程为

Ｌｑｉ－

ｄｄｔＬｑ（ ）ｉ ＝０　（ｉ＝１，２，…，３ｎ－ｍ） （２ ６２）

在理论力学领域中，式（２ ６２）就是著名的拉格朗日方程。

图２ ２　 耦合摆的运动

上面将ｑｉ 称为“广义坐标”，式（２ ５９）和式（２ ６２）都

是用广义坐标表示的。其优点是不一定要用真正的坐标或

位移来表示，这样就显得更为灵活与方便。【例２ ２】　如图２ ２所示的耦合摆，它们之间以弹簧

相连，若略去摆的重量，取θ１，θ２，θ３ 为广义坐标，于是其动

能和势能分别为

Ｔ＝２ｍａ２（θ２１＋θ２２＋θ２３） （２ ６３）

　　Ｕ＝ １２Ｋａ２（ｓｉｎθ１－ｓｉｎθ２）２＋１２Ｋａ

２（ｓｉｎθ２－ｓｉｎθ３）２＋

２ｍｇａ［（１－ｃｏｓθ１）＋（１－ｃｏｓθ２）＋（１－ｃｏｓθ３）］（２ ６４）

对于微振幅的摆动而言，ｓｉｎθ≈θ，１－ｃｏｓθ≈ １２θ２，于是

Ｕ ＝ １２Ｋａ２［（θ１－θ２）２＋（θ２－θ３）２］＋ｍｇａ（θ２１＋θ２２＋θ２３） （２ ６５）

拉格朗日方程为

Ｌθ１－

ｄｄｔＬθ（ ）１ ＝０，Ｌθ２－ｄｄｔ Ｌθ（ ）２ ＝０，Ｌθ３－ｄｄｔ Ｌθ（ ）３ ＝０ （２ ６６）

将Ｌ＝Ｔ－Ｕ 代入式（２ ６６），即得

４ｍｇａ２̈θ１ ＝－Ｋａ２（θ１－θ２）－２ｍｇａθ１４ｍｇａ２̈θ２ ＝－Ｋａ２（２θ２－θ１－θ２）－２ｍｇａθ２４ｍｇａ２̈θ３ ＝－Ｋａ２（θ３－θ２）－２ｍｇａθ

烍烌

烎３

（２ ６７）

由式（２ ６７）即可求得θ１，θ２，θ３。

—８１—

我们也可以在式（２ ５４）的ｍ个约束条件下用广义坐标来求非保守系统的拉格朗日方程。非保守系统没有这样一个势函数Ｕ，但我们可以把外力Ｆｘｉ，Ｆｙｉ，Ｆｚｉ 对δｘｉ，δｙｉ，δｚｉ做的功用广

义坐标ｑｋ 的变分δｑｋ 对广义力Ｑｋ 做的功来表示。设

∑ｎ

ｉ＝１

（Ｆｘｉδｘｉ＋Ｆｙｉδｙｉ＋Ｆｚｉδｚｉ）＝∑３ｎ－ｍ

ｋ＝１Ｑｋδｑｋ （２ ６８）

因为

δｘｉ＝∑３ｎ－ｍ

ｋ＝１

ｘｉｑｋδｑｋ

，　δｙｉ＝∑３ｎ－ｍ

ｋ＝１

ｙｉｑｋδｑｋ

，　δｚｉ＝∑３ｎ－ｍ

ｋ＝１

ｚｉｑｋδｑｋ

将其代入式（２ ６８），有关δｑｋ 的系数给出

Ｑｋ ＝∑ｎ

ｉ＝１Ｆｘｉｘｉｑｋ＋

Ｆｙｉｙｉｑｋ＋

Ｆｚｉｚｉｑ（ ）ｋ （２ ６９）

这就是广义力的表达式。于是，在非保守力系下的最小作用量原理可以写成

δＡ ＝∫ｔ２

ｔ１δＴ＋∑

３ｎ－ｍ

ｋ＝１Ｑｋδｑ（ ）ｋ ｄｔ＝０ （２ ７０）

或

δＡ ＝∑３ｎ－ｍ

ｋ＝１∫ｔ２

ｔ１

Ｔｑｋ－

ｄｄｔＴｑｋ＋

Ｑ（ ）ｋδｑｋｄｔ＝０ （２ ７１）

由在非保守力场中的运动方程（即拉格朗日方程），得

ｄｄｔＴｑ（ ）ｋ －Ｔｑｋ ＝Ｑｋ　（ｋ＝１，２，…，３ｎ－ｍ） （２ ７２）

广义坐标在理论力学中受到重视的原因不止一个。广义坐标使力学系统的描述不受坐标

选用的限制。如果我们把一组广义坐标ｑｉ 置换为另一组广义坐标

ｑｉ＝ｑｉ（ｑ１，ｑ２，…，ｑｐ），　 其中ｉ＝１，２，…，ｐ则哈密顿原理为

δＡ ＝δ∫ｔ２

ｔ１

（Ｔ－Ｕ）ｄｔ＝０ （２ ７３）

给出拉格朗日方程（运动方程）为

Ｌｑｉ－

ｄｄｔＬｑ（ ）· ＝０　（ｉ＝１，２，…，ｐ） （２ ７４）

其形状和坐标无关。用广义坐标的变分原理较易求得近似解。

２４　 含多个自变量的函数的泛函及其极值问题

许多平面问题，如弹性板的弯曲、平面应力或应变问题、轴对称问题等都有ｘ，ｙ或ｒ，ｚ两

个自变量。其他问题诸如弹性振动、平面热传导、弹塑性理论等有３个或４个自变量，这一类问

题在力学物理中非常重要，也是变分法中的主要方面。这类泛函极值问题本质是类似的。首先研究泛函

—９１—

Π［ｗ（ｘ，ｙ）］＝ＳＦ ｘ，ｙ，ｗ（ｘ，ｙ），ｘ

ｗ（ｘ，ｙ），ｙｗ（ｘ，ｙ［ ］）ｄｘｄｙ （２ ７５）

的极值问题。其中函数ｗ（ｘ，ｙ）在域Ｓ的边界Ｃ上的值已经给出，即在边界Ｃ上ｗ（ｘ，ｙ）为已

知，为

ｗｘ ＝

ｗｘ，　ｗｙ ＝ｗｙ （２ ７６）

式（２ ７５）表达的泛函的变分便可以写成

δΠ ＝Ｓ

Ｆｗδ

ｗ＋Ｆｗｘδｗｘ＋Ｆｗｙ

δｗ［ ］ｙ ｄｘｄｙ （２ ７７）

根据函数变分的定义，有δｗｘ ＝δｗｘ ＝ｘδｗ，δｗｙ ＝δｗｙ ＝

ｙδｗ，且

Ｆｗｘδ

ｗｘ ＝ ｘＦｗｘδ（ ）ｗ －ｘ

Ｆｗ（ ）ｘ δｗ

Ｆｗｙδｗｙ ＝ ｙ

Ｆｗｙδ（ ）ｗ －ｙ

Ｆｗ（ ）ｙδｗ

将其代入式（２ ７７），得

　　　　　　　　　δΠ ＝Ｓ

Ｆｗ－

ｘ

Ｆｗ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

ｗ（ ）［ ］ｙδｗｄｘｄｙ＋

Ｓ

ｘ

Ｆｗｘδ（ ）ｗ ＋ｙ

Ｆｗｙδ（ ）［ ］ｗ ｄｘｄｙ （２ ７８）

根据格林公式（Ｇｒｅｅｎｆｏｒｍｕｌａ），则ｆ（ｘ，ｙ），ｇ（ｘ，ｙ）两个连续函数有

ｆｘ＋

ｇ（ ）ｙ ｄｘｄｙ＝∮Ｃ

（ｆｄｙ－ｇｄｘ）＝∮Ｃ（ｆｓｉｎα－ｇｃｏｓα）ｄｓ （２ ７９）

图２ ３　 边界的切线和法线

式中ｓ为边界围线Ｃ的弧长，以逆时针为正，顺时针

为负，α为切线和ｘ轴的夹角（见图２ ３）。并且有以

下关系式

ｄｘ＝ｃｏｓαｄｓ，　ｄｙ＝ｓｉｎαｄｓｘ＝ｎｓｉｎα＋ｓｃｏｓαｙ＝－ｎｃｏｓα＋ｓｓｉｎ ｝α （２ ８０）

ｓ＝ｘｃｏｓα＋ｙｓｉｎαｎ＝ｘｓｉｎα－ｙｃｏｓ｝α （２ ８１）

并有

ｘ ＝

ｓｘｓ＋

ｎｘｎ＝

ｃｏｓαｓ＋ｓｉｎαｎ

ｙ＝

ｓｙｓ＋

ｎｙｎ＝

ｓｉｎαｓ－ｃｏｓα

烍

烌

烎ｎ

（２ ８２）

或

ｓ＝

ｘｓｘ＋

ｙｓｙ＝

ｃｏｓαｘ＋ｓｉｎαｙ

ｎ＝

ｘｎｘ＋

ｙｎｙ＝

ｓｉｎαｘ－ｃｏｓα

烍

烌

烎ｙ

（２ ８３）

以上各式在简化二维问题时都是很有用的。按式（２ ７９），可得

—０２—

Ｓ

ｘ

Ｆｗｘδ（ ）ｗ ＋ｙ

Ｆｗｙδ（ ）［ ］ｗ ｄｘｄｙ＝∮Ｃ

Ｆｗｘ

ｓｉｎα－Ｆｗｙｃｏｓ（ ）αδｗｄｓ （２ ８４）

在边界Ｃ上，ｗ（ｘ，ｙ）已知，为ｗｃ（ｘ，ｙ）。对于通过ｗｃ（ｘ，ｙ）的任意ｗ（ｘ，ｙ）的变分δｗ 在边界

Ｃ上均恒等于零。因此式（２ ８４）右侧围线积分应该恒等于零，于是式（２ ７８）可化为

δΠ ＝Ｓ

Ｆｗ－

ｘ

Ｆｗ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

ｗ（ ）［ ］ｙδｗｄｘｄｙ （２ ８５）

当泛函达到极值时，δΠ ＝０，根据变分法基本预备定理，得

Ｆｗ－

ｄｄｘ

Ｆｗ（ ）ｘ － ｄｄｙ Ｆ

ｗ（ ）ｙ ＝０ （２ ８６）

这就是决定ｗ（ｘ，ｙ）（在边界上满足ｗ＝ｗｃ（ｘ，ｙ））的微分方程，也称为欧拉方程式。【例２ ３】　 弦的振动问题是和式（２ ７５）类似的泛函变分问题。设有均匀弦ＡＢ，单位长度的密度为ρ，弦内拉力为Ｎ，ｘ＝０，ｘ＝Ｌ的两端固定。单位长度

弦的横向位移ｗ（ｘ，ｔ）既是ｘ的函数，也是时间ｔ的函数。整个弦的动能为

Ｔ＝ρ２∫ｌ

０

ｗ（ ）ｔ

２

ｄｘ （２ ８７）

弦内由于变形所积蓄的弹性变形能（即势能）等于弦内拉力（即两端的拉力Ｎ）和弦长增

长的总量的乘积。弦的元素ｄｘ在变形后增长到 １＋ ｗ（ ）ｘ槡

２

ｄｘ，因此势能为

Ｕ ＝Ｎ∫ｔ

０１＋ ｗ

（ ）ｘ槡２

－｛ ｝１ｄｘ≈Ｎ∫ｌ０ １２ ｗ（ ）ｘ２

ｄｘ （２ ８８）

这里略去了 ｗ（ ）ｘ 的高次项。为了寻求运动方程，我们可以利用哈密顿原理，即寻求ｗ（ｘ，ｔ），使

弦在ｔ１ ＜ｔ＜ｔ２ 中的作用量为最小，即求泛函

Ａ＝∫ｔ２

ｔ１Ｌｄｔ＝∫

ｔ２

ｔ１

（Ｔ－Ｕ）ｄｔ＝ １２∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρｗ（ ）ｔ

２

－Ｎ ｗ（ ）ｘ［ ］２ ｄｘｄｔ （２ ８９）

的极值。ｗ（ｘ，ｔ）应满足固定条件

ｗ（０，ｔ）＝０，　ｗ（ｌ，ｔ）＝０ （２ ９０）和满足初始和结束时弦的形状条件

ｗ（ｘ，ｔ１）＝ｗ１（ｘ），　ｗ（ｘ，ｔ２）＝ｗ２（ｘ） （２ ９１）

δＡ ＝０的变分极值条件给出

δＡ ＝∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρｗｔδｗｔ －Ｎｗｘ

δｗ［ ］ｘ ｄｘｄｔ＝０ （２ ９２）

根据式（２ ９０）和式（２ ９１），有δｗ（０，ｔ）＝δｗ（ｌ，ｔ）＝δｗ（ｘ，ｔ１）＝δｗ（ｘ，ｔ２）＝０，所以

　　　　　∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρｗｔδｗｔｄｘｄｔ＝－∫

ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρ２ｗｔ２δ

ｗｄｘｄｔ＋∫ｌ

０ρｗｔδ［ ］ｗ ｔ２

ｔ１ｄｘ＝

－∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρ３ｗｔ２δ

ｗｄｘｄｔ （２ ９３）

　　　　　∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０Ｎｗｘδｗｘｄｘｄｔ＝－∫

ｔ２

ｔ１∫ｌ

０Ｎ

２ｗｘ２δ

ｗｄｘｄｔ＋∫ｔ２

ｔ１Ｎｗｘδ［ ］ｗ ｌ

０ｄｔ＝

－∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０Ｎ

３ｗｘ２δ

ｗｄｘｄｔ （２ ９４）

—１２—

最后式（２ ９２）可以写成

δＡ ＝∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０Ｎ

２ｗｘ２ －ρ

２ｗｔ［ ］２ δｗｄｘｄｔ＝０ （２ ９５）

根据变分预备定理，可得到弦振动的欧拉方程

２ｗｘ２ －

ρＮ２ｗｔ２ ＝

０ （２ ９６）

在以下的公式推导中，将用到下面诸微积分定理进行简化。（１）格林（Ｇｒｅｅｎ）定理／高斯（Ｇａｕｓｓ）定理

Ω

Ａｘ＋

Ａｙ＋

Ａ（ ）ｚ ｄΩ＝Ｓ

（Ａｃｏｓα＋Ｂｃｏｓβ＋Ｃｃｏｓγ）ｄｓ （２ ９７）

式中Ａ，Ｂ，Ｃ为Ω 中和Ｓ上的连续函数，Ｓ为闭域Ω 的界面，α，β，γ为界面Ｓ的外法线ｎ和ｘ，

ｙ，ｚ轴之间的方向角。（２）格林定理的形式之一

ΩＵ ２ＶｄΩ－Ω

ＵｘＶｘ＋

ＵｙＶｙ＋

ＵｚＶ ）ｚ ｄΩ＝Ｓ

ＵＶｎｄｓ （２ ９８）

式中Ｖｎ

为Ｖ 对外法线方向ｎ的导数，２ ＝ ２

ｘ２＋２

ｙ２＋

２

ｚ２。

这一公式很容易证明，因为

Ｖｎ ＝

Ｖｘｘｎ＋

Ｖｙｙｎ＋

Ｖｚｚｎ＝

Ｖｘｃｏｓα＋Ｖｙ

ｃｏｓβ＋Ｖｚｃｏｓγ

利用分部积分对式（２ ９８）右边第一项进行运算，以其中第一项为例，有

ΩＵ

２Ｖｘ２ｄΩ＝－Ω

ＵｘＶｘｄΩ＋Ｓ

ＵＶｘｃｏｓαｄｓ

整理后即得到式（２ ９８）。（３）格林定理

Ω（Ｕ ２Ｖ－Ｖ ２Ｕ）ｄΩ＝Ｓ

ＵＶｎ－

ＶＵ（ ）ｎ ｄｓ （２ ９９）

该式可以由式（２ ９８）进行证明。使用这些定理，我们便可以证明下列常见的欧拉方程。（１）泛函

Π［ｗ（ｘ，ｙ，ｚ）］＝ΩＦ ｘ，ｙ，ｚ，ｗ，ｗｘ

，ｗｙ，ｗ（ ）ｚ ｄｘｄｙｄｚ （２ １００）

为极值的必要条件是δΠ ＝０，其欧拉方程为

Ｆｗ－

ｘ

Ｆｗ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

ｗ（ ）ｙ －ｚ Ｆｗ（ ）ｚ ＝０ （２ １０１）

式中ｗｘ ＝ｗｘ，ｗｙ ＝ｗｙ

，ｗｚ ＝ｗｚ，其边界条件为ｗ（ｘ，ｙ，ｚ）在Ω的表面上为已知，即在边

界上δｗ ＝０。（２）泛函

Π［ｗ（ｘ，ｙ）］＝ＳＦ ｘ，ｙ，ｗ，ｗｘ

，ｗｙ，２ｗｘ２

，２ｗｙ２

，２ｗ

ｘ（ ）ｙ ｄｘｄｙ （２ １０２）

为极值的必要条件是δΠ ＝０，其欧拉方程为

—２２—

Ｆｗ－

ｘ

Ｆｗ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

ｗ（ ）ｙ ＋２

ｘ２Ｆｗ（ ）ｘｘ

＋ ２

ｘｙＦｗｘ（ ）ｙ ＋

２

ｙ２Ｆｗ（ ）ｙｙ

＝０

（２ １０３）

式 中ｗｘ＝ｗｘ，ｗｙ＝ｗｙ

，ｗｘｘ ＝２ｗｘ２

，ｗｘｙ ＝２ｗ

ｘｙ，ｗｙｙ ＝

２ｗｙ２

。其边界条件为ｗ（ｘ，ｔ）和ｗｎ

在边界Ｃ上为已知，ｎ为外向法线，也即在边界Ｃ上δｗ ＝０，δｗｎ ＝０。

（３）泛函

Π［ｗ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）］＝∫ｔ２

ｔ１ΩＦ ｘ，ｙ，ｚ，ｔ，ｗ，ｗｘ

，ｗｙ，ｗｚ，ｗ（ ）ｔ ｄｘｄｙｄｚｄｔ

（２ １０４）为极值的必要条件是δΠ ＝０，其欧拉方程为

Ｆｗ－

ｘ

Ｆｗ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

ｗ（ ）ｙ －ｚ Ｆｗ（ ）ｚ －ｔ Ｆ

ｗ（ ）ｔ （２ １０５）

式中ｗｘ ＝ｗｘ，ｗｙ ＝ｗｙ

，ｗｚ ＝ｗｚ，ｗｔ＝ｗｔ

。其边界条件为ｗ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）在Ω的表面Ｓ上已

知，即在边界Ｓ上，无论在（ｔ１，ｔ２）内任何时间，δｗ ＝０，其起始和终止条件为ｗ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ１）和

ｗ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ２）为已知，即当ｔ＝ｔ１，ｔ２ 时，Ω中的任意点δｗ ＝０。（４）泛函

Π［ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）］＝∫ｔ２

ｔ１ＳＦ ｘ，ｙ，ｔ，ｗ，ｗｘ

，ｗｙ，２ｗｘ２

，２ｗｙ２

，２ｗ

ｘｙ，ｗ（ ）ｔ ｄｘｄｙｄｔ

（２ １０６）为极值的必要条件是δΠ ＝０，其欧拉方程为

Ｆｗ－

ｘ

Ｆｗ（ ）ｘ －ｙ Ｆ

ｗ（ ）ｙ －ｔ Ｆｗ（ ）ｔ ＋

２

ｘ２Ｆｗ（ ）ｘｘ

＋２

ｙ２Ｆｗ（ ）ｙｙ

＋ ２

ｘｙＦｗｘ（ ）ｙ ＝０ （２ １０７）

式中ｗｘ ＝ｗｘ，ｗｙ ＝ｗｙ

，ｗｔ＝ｗｔ，ｗｘｘ ＝

２ｗｘ２

，ｗｘｙ ＝ ２ｗ

ｘｙ，ｗｙｙ ＝

２ｗｙ２

。其边界条件为

ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）和ｗｎ

在边界Ｃ 上 为 已 知，即 在 边 界Ｃ上 不 论ｔ１ ≤ｔ≤ｔ２ 内 的 哪 个 时 间，δｗ ＝

ｎδｗ ＝０，其起始和终止条件为ｗ（ｘ，ｙ，ｔ１），ｗ（ｘ，ｙ，ｔ２）为已知，即在ｔ＝ｔ１，ｔ＝ｔ２ 时Ｓ上任意

点的δｗ ＝０。下面列出几个常见的例子。【例２ ４】　 泛函

Π＝Ω

ｗ（ ）ｘ

２

＋ ｗ（ ）ｙ

２

＋ ｗ（ ）ｚ［ ］２ ｄｘｄｙｄｚ （２ １０８）

的变分极值问题。由上式取极值必要条件δΠ ＝０，可得到欧拉方程

２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ２

＋２ｗｚ２ ＝

０ （２ １０９）

这是三维的拉普拉斯方程，ｗ（ｘ，ｙ，ｚ）在边界Ｓ上的值为给定的，即有δｗ ＝０。—３２—

【例２ ５】　 泛函

Π＝Ω

ｗ（ ）ｘ

２

＋ ｗ（ ）ｙ

２

＋ ｗ（ ）ｚ

２

＋２ｗρ（ｘ，ｙ，ｚ［ ］）ｄｘｄｙｄｚ （２ １１０）

的变分极值问题。给出的欧拉方程是三维泊松方程

２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ２

＋２ｗｚ２ ＝ρ

（ｘ，ｙ，ｚ） （２ １１１）

ｗ（ｘ，ｙ，ｚ）在边界Ｓ上的值为已知的，即有δｗ ＝０。【例２ ６】　 泛函

Π１ ＝Ｄ２Ｓ

２ｗｘ（ ）２ ２

＋ ２ｗｙ（ ）２ ２

＋２ ２ｗ

ｘ（ ）ｙ［ ］２ ｄｘｄｙ－Ｓｑ（ｘ，ｙ）ｗｄｘｄｙ

（２ １１２ａ）或泛函

Π２ ＝Ｄ２Ｓ

２ｗｘ（ ）２ ２

＋ ２ｗｙ（ ）２［ ］２ ｄｘｄｙ－Ｓ

ｑ（ｘ，ｙ）ｗｄｘｄｙ

（２ １１２ｂ）或泛函

Π３ ＝Ｄ２Ｓ

２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ（ ）２ ２

－２（１－μ）２ｗｘ２

２ｗｙ２

－ ２ｗｘ（ ）ｙ［ ］｛ ｝２

ｄｘｄｙ－Ｓｑ（ｘ，ｙ）ｗｄｘｄｙ

（２ １１２ｃ）式中Ｄ为抗弯刚度，μ为泊松比，ｑ（ｘ，ｙ）为平板所受的横向分布载荷。

式（２ １１２ａ）、式（２ １１２ｂ）和式（２ １１２ｃ）的变分极值条件，都给出同一个四阶欧拉方程

Ｄ ２ ２ｗ＝Ｄ ４ｗｘ４ ＋

２ ４ｗｘ２ｙ２

＋４ｗｙ（ ）４ ＝ｑ（ｘ，ｙ） （２ １１３）

例２ ６中的三个泛函都被用于板弯曲问题。但必须指出，这三个泛函虽然给出了相同的欧

拉方程，却代表着不同的边界条件。考虑式（２ １１２ａ）表示的泛函，首先对其进行变分

δΠ１ ＝ＤＳ

２ｗｘ２

２δｗｘ２ ＋

２ｗｙ２

２δｗｙ２

＋２２ｗ

ｘｙ２δｗｘ［ ］ｙ ｄｘｄｙ－Ｓ

ｑδｗｄｘｄｙ

（２ １１４）利用分部积分，式（２ １１４）等号右边第一、二、三项可分解为

２ｗｘ２

２δｗｘ２ ＝

ｘ

２ｗｘ２

δｗ（ ）ｘ －ｘ

３ｗｘ３δ（ ）ｗ ＋

４ｗｘ４δ

ｗ

２ｗｙ２

２δｗｙ２

＝ ｙ２ｗｙ２

δｗ（ ）ｙ －ｙ

３ｗｙ３δ（ ）ｗ ＋

４ｗｙ４δｗ

２ｗｘｙ

２δｗｘｙ＝

ｘ

２ｗｘｙ

δｗ（ ）ｙ －ｙ

３ｗｘ２ｙ

δ（ ）ｗ ＋ ４ｗｘ２ｙ２

δ

烍

烌

烎ｗ

（２ １１５）

或

２ｗｘｙ

２δｗｘｙ＝

ｙ

２ｗｘｙ

δｗ（ ）ｘ －ｘ

３ｗｘｙ２

δ（ ）ｗ ＋ ４ｗｘ２ｙ２

δｗ

合并式（２ １１５）中各式，可得

　　　２ｗｘ２

２δｗｘ２ ＋

２ｗｙ２

２δｗｙ２

＋２２ｗ

ｘｙ２δｗｘｙ＝

—４２—

　　（２ ２ｗ）δｗ＋ｘ２ｗｘ２

δｗｘ ＋

２ｗｘｙ

δｗ［ ］ｙ ＋ｙ

２ｗｘｙ

δｗｘ ＋

２ｗｙ２

δｗ［ ］ｙ －

　　 ｘｘ

２（ ）ｗδ［ ］ｗ －ｙｙ

２（ ）ｗδ［ ］ｗ （２ １１６）

根据格林公式（式（２ ７９）），有

　　　Ｓ

ｘ

２ｗｘ２

δｗｘ ＋

２ｗｘｙ

δｗ［ ］ｙ ＋ｙ

２ｗｘｙ＋

２ｗｙ２

δｗ［ ］｛ ｝ｙ ｄｘｄｙ＝

　　∮Ｃ

２ｗｘ２

δｗｘ ＋

２ｗｘｙ

δｗ［ ］ｙ ｓｉｎα－ ２ｗ

ｘｙδｗｘ ＋

２ｗｙ２

δｗ［ ］ｙ ｃｏｓ｛ ｝αｄｓ

（２ １１７）

Ｓ

ｘ

２ｗｘ δ［ ］ｗ ＋ｙ

２ｗｙ δ［ ］｛ ｝ｗ ｄｘｄｙ＝∮Ｃ

２ｗｘ

ｓｉｎα－２ｗｙ

ｃｏｓ｛ ｝αδｗｄｓ（２ １１８）

图２ ４　 边界正交坐标

在边界Ｃ上，如果ｗ已知，即δｗ＝０，式（２ １１８）等号

右边边界围线积分等于零。如果周边Ｃ上ｗ 为已知，那么

ｗｎ

也一定是已知的。在边界Ｃ上，δｗ ＝０，（δｗ）ｎ

。现在证

明式（２ １１７）等号右边边界围线积分等于零，为了证明这

点，引进（ｎ，ｓ）边界正交坐标（见图２ ４），坐标ｄｘ，ｄｙ，ｄｓ，

ｄｎ之间的变换关系见式（２ ８２）和式（２ ８３）。这里α是ｓ的

函数，即α＝α（ｓ），而且有

αｓ ＝

１ρｓ，　αｎ ＝

０ （２ １１９）

式中ρｓ 为 边 界 曲 线 的 曲 率 半 径，当 曲 率 中 心 在Ｓ 域 内 部 时 其 为 正，在 外 侧 时 为 负。利 用

式（２ ８３），可以证明

２ｗｘ２ｓｉｎα－

２ｗｘｙ

ｃｏｓα＝ ｘｗ（ ）ｘ ｓｉｎα－ｙ ｗ（ ）ｘ ｃｏｓα＝ ｎ ｗ（ ）ｘ （２ １２０）

同样，可以证明

２ｗｘｙ

ｓｉｎα－２ｗｙ２ｃｏｓα＝ ｎ

ｗ（ ）ｙ （２ １２１）

于是，式（２ １１７）中被积函数可以写成

　　　　　 ２ｗｘ２

δｗｘ ＋

２ｗｘｙ

δｗ（ ）ｙ ｓｉｎα－ ２ｗ

ｘｙδｗｙ ＋

２ｗｙ２

δｗ（ ）ｙ ｃｏｓα＝

　　 ｎｗ（ ）ｘ δｗｘ ＋ｎ

ｗ（ ）ｙ δｗｙ （２ １２２）

这里必须指出，不能把式（２ ８２）和式（２ ８３）中的ｘ，ｙ

直接代入ｎｗ（ ）ｘ ，

ｎｗ（ ）ｙ 来计算

式（２ １２２），因为式（２ ８２）所表示的ｗｘ，ｗｙ，是在周边Ｃ上的导数极限，它们只是ｓ的函数，且

对法线ｎ的 导 数 一 定 等 于 零。式（２ １２２）中 的ｎｗ（ ）ｘ ，

ｎｗ（ ）ｙ 应 该 是 边 界 线 附 近 的

ｎｗ（ ）ｘ ，

ｎｗ（ ）ｙ 在ｎ→０时的极限，即

—５２—

ｎｗ（ ）ｘ Ｃ

＝ｌｉｍｎ→０

ｎｗ（ ）ｘ

ｎｗ（ ）ｙ Ｃ

＝ｌｉｍｎ→０

ｎｗ（ ）

烍

烌

烎ｙ

（２ １２３）

取边界正交坐标（ｎ，ｓ），这一坐标不在边界Ｃ上，如图２ ４所示。同样有以下关系：

ｘ ＝

ｃｏｓα ｓ ＋ｓｉｎαｎ

ｙ＝

ｓｉｎα ｓ ＋ｃｏｓα

烍

烌

烎ｎ　 在ｓ 上 （２ １２４）

且 ｓ ＝

ρｓρｓ＋ｎ

ｓ

（２ １２５）

所以

　　　　ｌｉｍｎ→０

ｎｗ（ ）ｘ ＝ｌｉｍ

ｎ→０

ｎ

ρｓυｓ＋ｎ

ｗｓｃｏｓα＋ｗｎ

ｓｉｎ｛ ｝α ＝ｌｉｍｎ→０

ρｓρｓ＋ｎ

２ｗｎｓ－

ρｓ（ρｓ＋ｎ）

２ｗ［ ］ｓ ×ｃｏｓα＋

２ｗｎ２ｓｉｎ｛ ｝α ＝

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ［ ］ｓ ｃｏｓα＋

２ｗｎ２ｓｉｎα

同样可得

ｌｉｍｎ→０

ｎｗ（ ）ｙ ＝ ２ｗ

ｎｓ－１ρｓｗ［ ］ｓ ｓｉｎα－

２ｗｎ２ｃｏｓα

于是式（２ １２２）可以化为

　　　　　 ｎｗ（ ）ｘ δｗｘ ＋ｎ

ｗ（ ）ｙ δｗ［ ］ｙ Ｃ

＝

　　 ２ｗｎｓ－

１ρｓｗ［ ］ｓ ｃｏｓα＋

２ｗｎ２ｓｉｎ｛ ｝α δｗ

ｓｃｏｓα＋δｗｎ

ｓｉｎ（ ）α ＋　　 ２ｗ

ｎｓ－１ρｓｗ［ ］ｓ ｓｉｎα－

２ｗｎ２ｃｏｓ｛ ｝α δｗ

ｓｓｉｎα－δｗｎ

ｃｏｓ（ ）α ＝　　 ２ｗ

ｎｓ－１ρｓｗ（ ）ｓ δｗ

（ ）ｓ ＋２ｗｎ２

δｗｎ ＝

　　ｓ２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ δ［ ］ｗ － ３ｗ

ｎｓ２－ｓ１ρｓｗ［ ］ｓ δｗ＋

２ｗｎ２

δｗｎ

（２ １２６）

而且，根据边界的封闭性，有

∮ｃｓ ２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ δ［ ］ｗ ｄｓ＝－∑

ｉ

ｋ＝１Δ

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ

δｗｋ （２ １２７）

式中Δ ２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ

δｗｋ 代表边界Ｃ上第ｋ角点的增值量（注意Ｃ的方向走向，ｋ角点增量

顺序），这里假设共有ｉ个不连续角点，δｗｋ 为ｋ角点的δｗ 值。

最后，从式（２ １１７）导出

　　　　Ｓ

ｘ

２ｗｘ２

δｗｘ ＋

２ｗｘｙ

δｗ［ ］ｙ ＋ｙ

２ｗｘｙ

δｗｘ ＋

２ｗｙ２

δｗ［ ］｛ ｝ｙ ｄｘｄｙ＝

—６２—

　　∮ｃ ２ｗｎ２

δｗｎ － ３ｗ

ｎｓ２－ｓ１ρｓｗ［ ］ｓ δ｛ ｝ｗ ｄｓ－∑

ｉ

ｋ＝１Δ

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ

δｗｋ

（２ １２８）同样，利用式（２ ８３）中的第二式，可以从式（２ １１８）中证明

Ｓ

ｘ

２ｗｘ δ（ ）ｗ ＋ｙ

２ｗｙ δ（ ）［ ］ｗ ｄｘｄｙ＝∮Ｃ

２ｗｎ δ

ｗｄｓ （２ １２９）

最后，得出Π１ 的极值（必要）条件为

　　　　　　　δΠ１ ＝Ｓ（Ｄ ２ ２ｗ－ｑ）δｗｄｘｄｙ＋∮Ｃ

Ｄ２ｗｎ２

δｗｎｄｓ－

∮ＣＤ ｎ

２ｗ＋２ｗｓ（ ）２ －ｓ１ρｓｗ［ ］ｓ δｗｄｓ－

Ｄ∑ｉ

ｋ＝１Δ

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ

δｗｋ ＝０ （２ １３０）

如果在边界Ｃ上，ｗ和ｗｎ

为已知，包括边界为固定的，则有

δｗ ＝０，　δｗｎ ＝０　 在边界Ｃ上

δｗｋ ＝０ 在角点ｋ＝１，２，…，ｉ烍烌

烎上

（２ １３１）

利用式（２ １３１）的条件和变分法的预备定理，由式（２ １３０）就可得到欧拉方程，这里指板的平

衡方程为

Ｄ ２ ２ｗ－ｑ＝０ （２ １３２）

如果在边界Ｃ的一部分Ｃ１ 上，ｗ和ｗｎ

都是未知的，在Ｃ１ 边界上，ｗ和ｗｎ

均不等于零，它

们可以是任选的。利用变分法预备定理，则在Ｃ１ 上必须满足的条件为

ｎ

２ｗ＋２ｗｓ（ ）２ －ｓ１ρｓｗｓ ＝０

２ｗ２ｎ ＝

烍

烌

烎０　 在Ｃ１ 边界上 （２ １３３）

如 果在角点ｋ１ 上，ｗ也是未知的，则在那里δｗ不等于零。利用变分法的预备定理，在ｋ１ 角点上

必须满足角点条件

Δ ２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ１

＝０　 在角点ｋ１ 上 （２ １３４）

将式（２ １３３）及式（２ １３４）的条件称为自然边界条件。凡变分法中因边界值事先未给定而由驻值要求所引起的必须满足的边界条件，统称为自

然边界条件。例如式（２ １３３）就是在式（２ １１２ａ）的泛函变分中，因一部分边界Ｃ１上的ｗ和ｗｎ

未知，而必须满足的两个自然边界条件。对另外两个泛函Π２ 和Π３ 所代表的自然边界条件，读者可自行推导。有关以上问题的详细

论述可参阅文献［１］。【例２ ７】　 梁的弯曲振动问题。梁弯曲振动时，梁的弹性变形能Ｕ 为

Ｕ ＝ １２∫ｌ

０ＥＪ

２ｗｘ（ ）２ ２

ｄｘ （２ １３５）

—７２—

梁的动能为

Ｔ＝∫ｌ

０

１２ρｗ（ ）ｔ

２

ｄｘ （２ １３６）

式中ρ为梁单位长度的质量，ｗ（ｘ，ｔ）为梁的弯曲挠度。根据哈密顿原理，ｗ（ｘ，ｔ）由

δＡ ＝δ∫ｔ２

ｔ１

（Ｔ－Ｕ）ｄｔ＝０ （２ １３７）

决定，即

δＡ ＝ １２δ∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρｗ（ ）ｔ

２

－ＥＪ ２ｗｘ（ ）２［ ］２ ｄｘｄｔ＝∫

ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρｗｔδｗｔ －ＥＪ

２ｗｘ２

２δｗｘ［ ］２ ｄｘｄｔ

因为ｗ（ｘ，ｔ１），ｗ（ｘ，ｔ２）已知，所以δｗ（ｘ，ｔ１）＝δｗ（ｘ，ｔ２）＝０，于是

　　　∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρｗｔδｗｔｄｘｄｔ＝∫

ｔ２

ｔ１∫ｌ

０

ｔρ

ｗｔδ（ ）ｗ －ｄｄｔρ

ｗ（ ）ｔ δ［ ］ｗ ｄｘｄｔ＝

∫ｌ

０ρｗｔδ［ ］ｗ ｔ２

ｔ１ｄｌ－∫

ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρ２ｗｔ２δ

ｗｄｘｄｔ－∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρ２ｗｔ２δ

ｗｄｘｄｔ

（２ １３８）因为ｗ（０，ｔ），ｗ（ｌ，ｔ），ｗｘ（０，ｔ），ｗｘ（ｌ，ｔ）已知，所以

δｗ（０，ｔ）＝δｗ（Ｌ，ｔ）＝０，　 ｘδｗ（０，ｔ）＝ ｘδ

ｗ（ｌ，ｔ）＝０ （２ １３９）

于是

　　　∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ＥＪ

２ｗｘ２

２δｗｘ［ ］２ ｄｘｄｔ＝∫

ｔ２

ｔ１∫ｌ

０

ｘ

ＥＪ２ｗｘ２

δｗ［ ］ｘ｛ －

ｘ

ｘ

ＥＪ２ｗｘ（ ）２ δ［ ］ｗ ＋

２

ｘ２ＥＪ

２ｗｘ（ ）２ δ ｝ｗ ｄｘｄｔ＝

∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０

２

ｘ２ＥＪ

２ｗｘ（ ）２ δｗｄｘｄｔ＋

∫ｔ２

ｔ１ＥＪ

２ｗＸ２

δｗｘ －ｘ

ＥＪ２ｗｘ（ ］２ δ［ ］ｗ ｌ

０ｄｔ＝

∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０

２

ｘ２ＥＪ

２ｗｘ（ ）２ δｗｄｘｄｔ （２ １４０）

最后得到

δＡ ＝－∫ｔ２

ｔ１∫ｌ

０ρ２ｗｔ２ ＋

２

ｘ２ＥＪ

２ｗｘ（ ）［ ］２ δｗｄｘｄｔ （２ １４１）

根据变分法预备定理，得出梁的振动方程为

ρ２ｗｔ２ ＋

２

ｘ２ＥＪ

２ｗｘ（ ）２ ＝０ （２ １４２）

如果ＥＪ为常数，则上式可以写成

４ｗｘ４ ＋

ρＥＪ２ｗｘ２ ＝

０

如果端点条件ｗ及ｗｘ

未知，则相应的自然边界条件为

当ｔ＝ｔ１ 及ｔ＝ｔ２ 时，　　ｗｔ ＝０ （２ １４３ａ）

—８２—

当ｘ＝０及ｘ＝ｌ时，　　２ｗｘ２ ＝

０ （２ １４３ｂ）

当ｘ＝０及ｘ＝ｌ时，　　 ｘＥＪ

２ｗｘ（ ）２ ＝０ （２ １４３ｃ）

显然，式（２ １４３ａ）相 当 于 起 始 及 终 结 速 度 为 零；式（２ １４３ｂ）相 当 于 梁 两 端 弯 矩 为 零；式（２ １４３ｂ）与式（２ １４３ｃ）相加表示自由端的条件；单独的式（２ １４３ｃ）表示在端点处剪力

为零。【例２ ８】　薄板弯曲振动问题。设薄板的抗弯刚度为Ｄ，横向位移为ｗ（ｘ，ｙ，ｔ），泊松比为

μ。弯矩Ｍｘ，Ｍｙ 及扭矩Ｍｘｙ 与位移的关系式分别为

Ｍｘ ＝－Ｄ ２ｗｘ２ ＋μ

２ｗｙ（ ）２

Ｍｙ ＝－Ｄ ２ｗｘ２ ＋μ

２ｗｙ（ ）２

Ｍｘｙ ＝－Ｄ（１－μ）２ｗｘ

烅

烄

烆 ｙ板的弯曲应变能等于

　　　　Ｕ ＝－Ｓ

１２Ｍｘ

２ｗｘ２ ＋

Ｍｙ２ｗｙ２

＋２Ｍｘｙ ２ｗ

ｘ（ ）ｙ ｄｘｄｙ＝１２Ｓ

Ｄ ２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ（ ）２ ２

＋２（１－μ）２ｗｘ（ ）ｙ

２

－２ｗｘ２

２ｗｙ［ ］｛ ｝２ ｄｘｄｙ （２ １４４）

板的动能为

Ｔ＝ １２Ｓρ（ｘ，ｙ）

ｗ（ ）ｔ

２

ｄｘｄｙ （２ １４５）

根据哈密顿原理，其泛函为

　　　　Ａ＝∫ｔ２

ｔ１

（Ｔ－Ｕ）ｄｔ＝

１２∫

ｔ２

ｔ１Ｓρ（ｘ，ｙ）

ｗ（ ）ｔ

２

ｄｘｄ［ ］ｙ ｄｔ－１２∫

ｔ２

ｔ１ＳＤ

２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ（ ）２ ２

＋２（１－μ）２ｗｘ（ ）ｙ

２

－２ｗｘ２

２ｗｙ［ ］｛ ｝２ ｄｘｄｙｄｔ

（２ １４６）

其变分为

　　　　δＡ ＝－∫ｔ２

ｔ１ＳＤ ２ ２ｗ＋ρ

２ｗｔ［ ］２ δｗｄｘｄｙｄｔ－

∫ｔ２

ｔ１∮ＣＤ μ

２ｗ＋（１－μ）２ｗｎ［ ］２ δｗｎｄｓｄｔ＋

∫ｔ２

ｔ１∮ＣＤ ｎ

２ｗ＋（１－μ）２ｗｓ［ ］２ －（１－μ）ｓ１ρｓ

ｗ｛ ｝ｓ δｗｄｓｄｔ＋

Ｓρ（ｘ，ｙ）

ｗｔδ［ ］ｗ ｔ２

ｔ１ｄｘｄｙ＋∫

ｔ２

ｔ１

（１－μ）∑ｉ

ｋ＝１ＤΔ

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ

δｗｋｄｔ＝０

（２ １４７）

—９２—

如 果在边界上，ｗ及ｗｎ

为已知，并ｗ（ｘ，ｙ，ｔ１）及ｗ（ｘ，ｙ，ｔ２）为已知，可由式（２ １４７）最后导出

板的振动方程为

Ｄ ２ ２ｗ＋ρ２ｗｔ２ ＝

０

如果在边界上，ｗ及ｗｎ

不是已知的，则会有相应的自然边界条件。

—０３—

第３章 　 条件极值问题的变分法

３１　 函数的条件极值问题，拉格朗日乘子

这里概要地说明在给定的约束条件下，函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。

对于一个函数，如Ｆ（ｘ，ｙ），其绝对极小值由下面条件求得：

Ｆｘ ＝

Ｆｘ（ｘ，ｙ）＝０

Ｆｙ ＝

Ｆｙ（ｘ，ｙ）＝烍

烌

烎０

（３ １）

解式（３ １），可以得出相应的解ｘ１，ｙ１，将ｘ１ 与ｙ１ 代入函数Ｆ（ｘ，ｙ）则可获得函数的绝对极小

（极大）值。如果给定一约束条件φ（ｘ，ｙ），则表示Ｆ（ｘ，ｙ）要在给定的约束条件φ（ｘ，ｙ）的情形下，求

Ｆ（ｘ，ｙ）的极值。显然，在这种带有约束条件下求极值，相当于缩小了所求范围，如果存在极值

的话，那么，这个极值不是绝对极小（或极大）值，而是相对值，它总大于（或等于）无条件时的

极小值，或总小于（或等于）无条件时的极大值。对这类条件极值问题，一般多采用所谓的拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法可以如此理

解，Ｆ（ｘ，ｙ）的极值条件可以写成

ｄＦ＝Ｆｘｄｘ＋Ｆｙ

ｄｙ＝０ （３ ２）

约束条件可以写成

Φ（ｘ，ｙ）＝０ （３ ３）因此式（３ ２）中的ｄｘ，ｄｙ不是独立的，而是与式（３ ３）的微分关系式

Φｘｄｘ＋Φｙ

ｄｙ＝０ （３ ４）

连系着的。假定Φｙ ≠

０，解式（３ ４），得

ｄｙｄｘ＝－

ΦｘΦｙ

（３ ５）

而式（３ ２）可化为

—１３—

ｄＦ＝ Ｆｘ＋

Ｆｙｄｙｄ（ ）ｘ ｄｘ＝ Ｆ

ｘ－Ｆｙ

ΦｘΦ

烄

烆

烌

烎ｙ

ｄｘ＝０ （３ ６）

于是把式（３ ６）与式（３ ３）连在一起，是求解极值点ｘ１，ｙ１ 的两个方程式。如果用拉格朗日乘子法，便可构造以下函数，如

Ｆ（ｘ，ｙ，λ）＝Ｆ（ｘ，ｙ）＋λΦ（ｘ，ｙ） （３ ７）式中λ称为拉格朗日乘子。Ｆ（ｘ，ｙ，λ）的极值条件为

ｄＦ ＝ Ｆｘ＋λ

Φ（ ）ｘ ｄｘ＋ Ｆ

ｙ＋λΦ（ ）ｙ ｄｙ＋Φ（ｘ，ｙ）ｄλ＝０ （３ ８）

这里把ｄｘ，ｄｙ，ｄλ都看做是独立的任意变量，于是由式（３ ８）可得到

Ｆｘ＋λ

Φｘ ＝

０，　Ｆｙ＋λΦｙ ＝

０，　Φ（ｘ，ｙ）＝０ （３ ９）

消去λ，得

Ｆｘ－

Ｆｙ

ΦｘΦｙ

＝０，　Φ（ｘ，ｙ）＝０ （３ １０）

这与式（３ ３）和式（３ ６）完全相同，所以采用的拉格朗日乘子法与上面介绍的方法是等价的。现在在约束条件

Φ１（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝０

Φ２（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝０

　　

Φｋ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝

烍

烌

烎０

（３ １１）

下求函数

Ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ） （３ １２）的极值，其中ｋ＜ｎ。同样可用拉格朗日乘子法，设拉格朗日乘子为λ１，λ２，…，λｋ，并用

Ｆ ＝Ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ）＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ） （３ １３）

把Ｆ 看做ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，λ１，λ２，…，λｋ 的ｎ＋ｋ个独立变量的函数，求其极值

ｄＦ ＝∑ｎ

ｊ＝１

Ｆｘｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｘ［ ］

ｊｄｘｊ＋∑

ｋ

ｉ＝１Φｉｄλｉ （３ １４）

由于ｘｊ，λｉ 都是独立变量，于是由ｄＦ ＝０，得

Ｆｘｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｊｘｊ

＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ）

Φｉ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ烍烌

烎）（３ １５）

这是求解ｎ＋ｋ个变量的ｎ＋ｋ个方程。式（３ １５）还可以通过以下方法求得：式（３ １２）的变分极值要求

ｄＦ＝∑ｎ

ｊ＝１

Ｆｘｉｄｘｊ ＝０ （３ １６）

—２３—

因为有式（３ １１）的ｋ个约束条件，所以这些ｘｊ 中只有ｎ－ｋ个是独立的。从式（３ １１）的ｋ个

约束条件可以求得下列微分条件

∑ｎ

ｊ＝１

Φｉｘｊｄｘｊ ＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ） （３ １７）

将式（３ １７）乘以λｉ，并与式（３ １６）相加，得

ｄＦ＋∑ｎ

ｊ＝１λｉ∑Φｉｘｊ

ｄｘｊ ＝∑ｎ

ｊ＝１

Ｆｘｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｘ［ ］

ｊｄｘｊ ＝０ （３ １８）

这里的λｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）是任选的，如果选择ｋ个待定的λｉ，使下面ｋ个条件

Ｆｘｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｘｊ

＝０　（ｊ＝１，２，…，ｋ） （３ １９）

得到满足，则式（３ １８）就可以写成

∑ｎ

ｊ＝ｋ＋１

Ｆｘｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｘ［ ］

ｊｄｘｊ ＝０ （３ ２０）

这里ｄｘｊ（ｊ＝ｋ＋１，ｋ＋２，…，ｎ）是作为独立量出现的，于是

Ｆｘｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｘｊ

＝０　（ｊ＝ｋ＋１，ｋ＋２，…，ｎ） （３ ２１）

将式（３ １９）、式（３ ２１）及式（３ １１）合在一起，即可得到式（３ １５）的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗日乘子法。

３２　 泛函在约束条件Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）＝０（ｉ＝１，２，…，ｋ）下的极值问题 　

　 泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。定理３ １　 泛函

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ；ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）ｄｘ （３ ２２）

在约束条件

Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ；ｋ＜ｎ） （３ ２３）下的变分极值问题所确定的函数ｙ１，ｙ２，ｙ３，…，ｙｎ（ｘ），必须满足由泛函

Π ＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ＋∑

ｋ

ｉ＝１λｉΦ［ ］ｉ ｄｘ＝∫

ｘ２

ｘ１Ｆｄｘ （３ ２４）

的变分极值问题所确定的欧拉方程

Ｆ

ｙｊ－ ｄｄｘ

Ｆ

ｙｊ（ ）′ ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ２５）

式中λｉ（ｘ）（ｉ＝１，２，…，ｋ）为ｋ个拉格朗日乘子。这里把ｙｊ 和λｉ（ｘ）都看做是泛函Π 的变量，

所以Φｉ ＝０同样也可以看做是泛函Π 的欧拉方程。式（３ ２５）也可以写成

Ｆｙｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ（ ）′ ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ２６）

现在让我们证明这个定理。

—３３—

首先求泛函式（３ ２２）的变分，它经过分部积分（用端点给定不变的条件）后，得

δΠ ＝∑ｎ

ｊ＝１∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ（ ）′δｙｊｄｘ （３ ２７）

注意到这里的δｙｊ 不是独立的，而是与约束条件式（３ ２３）相关联的。设λｉ（ｘ）（ｉ＝１，２，…，ｋ）为特定函数，于是有

Πｉ ＝∫ｘ２

ｘ１λｉΦｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ）ｄｘ＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ） （３ ２８）

经变分得

δΠｉ ＝∑ｎ

ｊ＝１∫ｘ２

ｘ１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ

ｙ［ ］ｊ ｄｘ　（ｉ＝１，２，…，ｋ） （３ ２９）

把式（３ ２７）和式（３ ２９）相加，记Π ＝Π＋∑ｋ

ｉ＝１Πｉ，得极值条件

δΠ ＝∑ｎ

ｊ＝１∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ（ ）［ ］′ δｙｊｄｘ＝０ （３ ３０）

因为λｉ（ｘ）是ｉ＝１，２，…，ｋ个任意特定函数，假定这ｋ个函数是由下列ｋ个线性方程决定

∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｉ＋

Ｆｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ（ ）′ ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｋ） （３ ３１）

这里只要求行列式

Φｉｙｊ

＝

Φ１ｙ１

Φ２ｙ１

… Φｋｙ１

Φ１ｙ２

Φ２ｙ２

… Φ２ｙ２

Φ１ｙｋ

Φ２ｙｋ

… Φｋｙｋ

≠０ （３ ３２）

就可以从式（３ ３１）中求得待定的拉格朗日乘子的解。根据式（３ ３１），变分方程式（３ ３０）中，剩下的变分项只有关系到δｙｋ＋１，δｙｋ＋２，…，δｙｎ 等的ｎ－ｋ项了。即

δΠ ＝ ∑ｎ

ｊ＝ｋ＋１∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ（ ）［ ］′ δｙｊｄｘ＝０ （３ ３３）

这ｎ－ｋ项δｙｊ（ｊ＝ｋ＋１，ｋ＋２，…，ｎ）都是独立任意的。运用了变分法预备定理后，得

Ｆｙｊ

＋∑ｋ

ｊ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ

ｄｄｘ

Ｆｙｊ（ ）′ ＝０　（ｊ＝ｋ＋１，ｋ＋２，…，ｎ） （３ ３４）

将式（３ ３１）和式（３ ３４）相加，便可证明式（３ ２６）是正确的，即证明了上述定理。下面来讨论对于约束条件Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）＝０的泛函极值问题。对于泛函

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）ｄｘ （３ ３５）

在约束条件

Φｉ ＝ （ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ；ｋ＜ｎ） （３ ３６）下的变分极值问题所确定的函数ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ（ｘ），必须满足由泛函

Π ＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ＋∑

ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φ［ ］ｉ ｄｘ＝∫

ｘ２

ｘ１Ｆｄｘ （３ ３７）

—４３—

的变分极值问题确定的欧拉方程

Ｆ

ｙｊ－ ｄｄｘ

Ｆ

ｙｊ（ ）′ ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ３８）

或

Ｆｙｊ

－∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ′

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ［ ］′ ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ３９）

在式（３ ３７）的变分中，把ｙｊ（ｊ＝１，２，…，ｎ）和λｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）都看做是Π 的变量，所以

Φｉ ＝０也同样可以看做是泛函Π 的欧拉方程。

３３　 泛函在积分约束条件∫ｘ２

ｘ１Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，

　　　　 ｙ２′，…，ｙｎ′）ｄｘ＝αｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）下的极值问题 　

定理３ ２　 泛函

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）ｄｘ （３ ４０）

在约束条件

∫ｘ２

ｘ１Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ；ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）ｄｘ－αｉ ＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ），αｉ 为常数

（３ ４１）下的变分极值所确定的函数ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ（ｘ）必须满足泛函

　　　　　　　Π ＝∫ｘ２

ｘ１Ｆｄｘ＋∑

ｋ

ｉ＝１λｉ∫

ｘ２

ｘ１Φｉｄｘ－α（ ）ｉ ＝

∫ｘ２

ｘ１Ｆ＋∑

ｋ

ｉ＝１λｉΦ［ ］ｉ ｄｘ－∑

ｋ

ｉ＝１λｉαｉ ＝∫

ｘ２

ｘ１Ｆｄｘ－∑

ｋ

ｉ＝１λｉαｉ （３ ４２）

的变分极值问题所确定的欧拉方程

Ｆ

ｙｊ－ ｄｄｘ

Ｆ

ｙｊ′＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ４３）

在式（３ ４２）的变分中，我们把ｙｊ（ｊ＝１，２，…，ｎ）和λｉ（ｉ＝１，２，…，ｋ）（ｋ＜ｎ）都看做泛函的

变量，但λｉ 在这里是待定常量。所以式（３ ４０）同样可以看做是泛函Π 的欧拉方程。式（３ ４３）也可以写成

Ｆｙｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ′

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｙｊ（ ）′ ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ４４）

现在可以引进新的未知函数，把约束条件∫ｘ２

ｘ１Φｉｄｘ＝αｉ 的极值问题，化为Φｉ＝０型的条件极值

问题，引进符号

ｚｉ（ｘ）＝∫ｘ

ｘ１Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）ｄｘ　（ｉ＝１，２，…，ｋ） （３ ４５）

因此有ｚｉ（ｘ１）＝０，ｚｉ（ｘ２）＝αｉ，对ｘ求导，得

ｚｉ′（ｘ）＝Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）　（ｉ＝１，２，…ｋ） （３ ４６）

—５３—

因此，约束条件式（３ ４０）可 以 由 式（３ ４６）来 代 替。于 是，我 们 的 极 值 问 题 就 变 为 泛 函 式

（３ ４１）在约束条件式（３ ４６）下的变分极值问题。根据定理３ １，这种极值问题可以化为求

泛函

Π ＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ＋∑

ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）［Φｉ－ｚｉ′（ｘ｛ ｝）］ｄｘ＝∫

ｘ２

ｘ１Ｆｄｘ （３ ４７）

的无条件极值问题，其中

　　　　　　Ｆ ＝Ｆ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）＋

∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）［Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′）－ｚｉ′（ｘ）］ （３ ４８）

把ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′，ｚ１′，ｚ２′，…，ｚｎ′，λ１，λ２，…，λｎ 当做独立函数，式（３ ４７）在变分后

得到欧拉方程

Ｆ

ｙｊ－ ｄｄｘ

Ｆ

ｙｊ′＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ４９）

ｄｄｘＦ

ｚｉ′ ＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ） （３ ５０）

Φｉ－ｚｉ′（ｘ）＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ） （３ ５１）把式（３ ４８）代入式（３ ４９）及式（３ ５０）中，进一步简化为

Ｆｙｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ′

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉ（ｘ）Φｉｙ［ ］

ｊ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ５２）

ｄｄｘλｉ

（ｘ）＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ） （３ ５３）

Φｉ－ｚｉ′（ｘ）＝０　（ｉ＝１，２，…，ｋ）由式（３ ５３）可证明λｉ 都是常数，式（３ ５２）为

Ｆｙｊ

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｙｊ

－ ｄｄｘＦｙｊ′

＋∑ｋ

ｉ＝１λｉΦｉｙｊ［ ］′ ＝０　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ５４）

而式（３ ５１）就是约束条件式（３ ４６），式（３ ５４）共有ｎ个方程，也就是泛函

Π ＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ＋∑

ｋ

ｉ＝１λｉΦ（ ）ｉ ｄｘ－∑

ｋ

ｉ＝１λｉαｉ （３ ５５）

的欧拉方程。其中Ｆ＝Ｆ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，ｙｎ′），Φｉ＝Φｉ（ｘ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ，ｙ１′，ｙ２′，…，

ｙｎ′），λｉ 为拉格朗日乘子，且λｉ 都是常数。显然，式（３ ５５）与式（３ ４２）相同，由此，定理得到

证明。还应当指出，欧拉方程组的通解中有２ｎ个积分常数ｃ１，ｃ２，…，ｃ２ｎ 和ｋ个拉格朗日乘子λ１，

λ２，…，λｋ，这２ｎ＋ｋ个常数由约束方程式（３ ４１）及边界条件

ｙｊ（ｘ１）＝ｙｊ，　ｙｊ（ｘ２）＝ｙｊ　（ｊ＝１，２，…，ｎ） （３ ５６）来确定。

【例３ １】　 在周长已定的情况下，求其所围面积为最大的曲线。本题的约束条件为周长Ｌ为已知，即

Ｌ＝∫Ｓ

０

ｄｓｄ（ ）ｓ

２

＋ ｄｙｄ（ ）ｓ槡

２

ｄｓ＝∫Ｓ

０ｘ′２＋ｙ′槡 ２ｄｓ （３ ５７）

现在要求在满足式（３ ５７）的条件下，求泛函（即所围面积）

—６３—

Ｐ＝Ｓｄｘｄｙ＝ １２∫

Ｓ

０（ｘｙ′－ｙｘ′）ｄｓ （３ ５８）

的极值，这里ｘ＝ｘ（ｓ），ｙ＝ｙ（ｓ）。该问题相当于求无条件泛函

Ｒ ＝∫Ｓ

０

１２（ｘｙ′－ｙｘ′）＋λ（ｘ′２＋ｙ′２）［ ］１２ ｄｓ－λＬ （３ ５９）

的极值。将Ｆ 记为

Ｆ ＝ １２（ｘｙ′－ｙｘ′）＋λ（ｘ′２＋ｙ′２）

１２

则有

Ｆ

ｘ ＝ １２ｙ′，　Ｆ

ｙ ＝ １２ｘ′

Ｆ

ｘ′ ＝１２ｙ＋

λｘ′（ｘ′２＋ｙ′２）

１２

，　Ｆ

ｙ′ ＝１２ｘ＋

λｙ′（ｘ′２＋ｙ′２）

烍

烌

烎１２

（３ ６０）

如果ｓ为弧长，则ｘ′２＋ｙ′２ ＝１，则式（３ ６０）中的后两式可以表示为

Ｆ

ｘ′ ＝－１２ｙ＋λｘ′

，　Ｆ

ｙ′ ＝－１２ｙ＋λｙ′

（３ ６１）

代入欧拉方程，可得

ｙ′－λｘ″＝０，　ｘ′＋λｙ″＝０ （３ ６２）积分一次，得

ｙ－λｘ′＝ｃ１，　ｘ＋λｙ′＝ｃ２ （３ ６３）消去ｙ，得

λ２ｘ″＋ｘ－ｃ２ ＝０ （３ ６４）它的解为

ｘ＝Ａｓｉｎｓλ ＋Ｂｃｏｓｓ

λ ＋ｃ２ （３ ６５）

将式（３ ６５）代入式（３ ６３）的前一式，可得

ｙ＝Ａｃｏｓｓλ －Ｂｓｉｎｓ

λ ＋ｃ１ （３ ６６）

根据封闭围线条件，ｘ（Ｌ）＝ｘ（０），ｙ（Ｌ）＝ｙ（０），有

ＡｓｉｎＬλ ＋

Ｂ ｃｏｓＬλ －（ ）１ ＝０Ａ ｃｏｓＬλ －（ ）１ －ＢｓｉｎＬλ ＝

烍

烌

烎０（３ ６７）

式（３ ６７）中，Ａ，Ｂ不等于零的解的条件是其方程系数行列式等于零，即

ｓｉｎＬλ

ｃｏｓＬλ －

１

ｃｏｓＬλ －

１ －ｓｉｎＬλ

＝０ （３ ６８）

ｃｏｓＬλ －（ ）１ ２

＋ｓｉｎ２Ｌλ ＝０

或

ｃｏｓＬλ ＝１ （３ ６９）

—７３—

其解为

Ｌλ ＝２πｎ　 或 　λ＝ Ｌ

２πｎ　（ｎ＝１，２，…） （３ ７０）

由式（３ ６７）第二式，可得

Ｂ＝ ｌｉｍＬλ→２πｎ

ｃｏｓＬλ －（ ）１ｓｉｎＬλ

Ａ ＝－ｌｉｍＬλ→２πｎ

ｓｉｎＬλ

ｃｏｓＬλ ＋

１Ａ＝０

于是式（３ ６５）和式（３ ６６）可以写成

ｘ＝Ａｓｉｎ２ｎπｓＬ ＋Ｃ２

ｙ＝Ａｃｏｓ２ｎπｓＬ ＋Ｃ烍

烌

烎１（３ ７１）

消去ｓ，得一族圆

（ｘ－Ｃ２）２＋（ｙ－Ｃ１）２ ＝Ａ２ （３ ７２）式中，Ａ为圆的半径，且有Ｌ＝２πＡ，圆心坐标为（Ｃ２，Ｃ１），故可知最大面积应该是一个圆。

—８３—

书书书

第４章 　 待定边界泛函的变分问题

４１　 泛函为∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）ｄｘ的边界待定的变分问题

在第２、第３章中，泛函积分限都是已知的，在边界或端点上，ｙ（ｘ）的边界值是一定的，且

是不变的。而对于那些边界限已给，但ｙ（ｘ）的边界值不固定的问题而言，都可以找到相应的自

然边界条件。总的来讲，所有这类问题的边界都是预先给定的。这类问题极多，如由梁给出了两

端的坐标物理参数及几何尺寸，而板同样也给出了边界的相应参数等等。但也有其他情况，其

边界并不是给定而是待定的，如弹塑性问题就属于这一类问题。当物体受力时，在物体内部既

有弹性区域，又有塑性区域，而弹性区域的交界面并不是事先给定的，这个交界面总是在总体

平衡和内部应力分布相互制约下达到的，是由一定的受力状态待定的边界面、交界面决定的，也属于待定边界变分问题的目的之一。类似这类问题是很多的，如接触问题也是如此。因为接

触面是随受力情况而变化的，所以接触面的尺寸不能事先给出。现在从最简单的变分泛函开始。设泛函

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）ｄｘ （４ １）

泛函的积分限ｘ１及ｘ２可以都是待定的，也可以一个为已给，而另一个为待定的。下面先来研究

ｘ１ 已给，ｘ２ 待定的终点待定问题。这类问题往往对终点也有限制，如限制终点在某已知曲线

（曲面）上等，或其他限制终点变化的约束条件。这类终点待定的变分原理虽然属于最简单的待定边界的变分问题，但它反映了这类问题

的基本特点，也反映了处理这类问题的基本原理。对于边界是给定不变的变分问题，其欧拉方程为

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＝０ （４ ２）

在固定的边界条 件 下，使 泛 函 式（４ １）达 到 极 值ｙ（ｘ），其 必 得 欧 拉 方 程 式（４ ２）的 解。式

（４ ２）是一个ｙ（ｘ）的二阶微分方程，其解中有两个积分常数ｃ１ 和ｃ２。于是，它的解就可以写

成ｙ＝ｙ（ｘ，ｃ１，ｃ２）。这两个常数由ｙ（ｘ）通过已给定的两个端点条件来决定。也就是说，在一切

通过ｙ１＝ｙ（ｘ１）及ｙ２＝ｙ（ｘ２）两点的曲线中选取一个ｙ（ｘ），使式（４ １）的泛函达到极值，则

这条曲线ｙ（ｘ）一定是式（４ ２）的欧拉方程的解。这里可以看到欧拉方程式（４ ２）和两端点固

定条件，是式（４ １）泛函达到极值问题在边界固定条件下的充分和必要条件。但对于边界待定

—９３—

的变分问题而言，则并非如此。例如，（ｘ１，ｙ１）端固定，而（ｘ２，ｙ２）端待定，则欧拉方程的解ｙ＝ｙ（ｘ，ｃ１，ｃ２）的ｃ１ 与ｃ２ 两个常数就只有一个固定点（ｘ１，ｙ１）条件决定它们，显然这是不够的，当

然是不充分。如果两个端点都是待定的边界，就是连一个条件也没有，ｃ１ 和ｃ２ 更缺少条件来确

定了。其实ｙ（ｘ）仅仅满足欧拉方程，而对边界待定的变分问题而言，还不能保证δΠ ＝０。为了

保证δΠ＝０，一定得有其他的端点条件，这些条件可以用来决定ｃ１和ｃ２。所以，对于边界待定的

变分问题，欧拉方程是必要的，但不是充分的，我们一定可以从δΠ＝０的条件中导出补充的边

界（端点）条件来代替固定端点条件。

一般说来，因为待定边界不是事先给定的，所以我们在选择ｙ（ｘ）的范围就放宽了。它不受

固定边界条件的限制，就是说有更多的曲线ｙ（ｘ）可以参加比较选择，求得的最小泛函值一定

会比固定边界的泛函的极小值小；而求得的最大值也一定比固定边界的泛函的极大值大。这一

结论是显而易见的。

下面来研究式（４ １）所表示的泛函在ｘ２ 为待定时的极值问题，并推导其补充端点条件。

Π的变分来源于ｘ２ 的变分δｘ２ 及ｙ（ｘ）的变分δｙ，即

ΔΠ＝∫ｘ２＋δｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）ｄｘ－∫

ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）ｄｘ （４ ３）

或写为

ΔΠ＝∫ｘ２＋δｘ２

ｘ２Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）ｄｘ＋∫

ｘ２

ｘ１

［Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）－Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）］ｄｘ

（４ ４）这里，（ｘ１，ｙ１）为固定边界，它是已给的、不变的，而在选择ｙ（ｘ）中，它却可以变到通过另一点

（ｘ２＋δｘ２，ｙ２＋δｙ２）的函数，如图４ １所示。

图４ １　 终点待定的变分问题

式（４ ４）的第一项可以用中值定理化简，即

∫ｘ２＋δｘ２

ｘ２Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）ｄｘ＝Ｆ

ｘ＝ｘ２＋θδｘ２δｘ２　（０＜θ＜１）

我们认为Ｆ满足一定的连续条件，有

Ｆ｜ｘ＝ｘ２＋θｘ２ ＝Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）｜ｘ＝ｘ２＋ε１当δｘ２ →０，δｙ２ →０时，ε１ →０。因此

—０４—

∫ｘ２＋δｘ２

ｘ２Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）ｄｘ＝Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）｜ｘ＝ｘ２δｘ２＋ε１δｘ２

当δｘ２，δｙ２ 都很小时，可化为

∫ｘ２＋δｘ２

ｘ２Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）ｄｘ＝Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）｜ｘ＝ｘ２δｘ２ （４ ５）

式（４ ４）的第二项中的积分函数可以用泰勒级数展开，当δｙ，δｙ′很小时，它可以表示为

∫ｘ２

ｘ１

［Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）－Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）］ｄｘ＝∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙδｙ＋

Ｆｙ′δｙ［ ］′ｄｘ （４ ６）

通过分部积分得

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙδｙ＋

Ｆｙ′δｙ［ ］′ｄｘ＝ Ｆ

ｙ′δ［ ］ｙ ｘ２

ｘ１＋∫

ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙｄｘ

因为ｙ（ｘ）在ｘ１ 点已给且不变，所以δｙ１ ＝０，于是

Ｆｙ′δ［ ］ｙ ｘ２

ｘ１＝Ｆｙ′δｙ ｘ＝ｘ２

（４ ７）

必须注意，δｙ｜ｘ＝ｘ２ 和δｙ２ 是不同的，如图４ ２所示，当极值曲线由ＡＢ（Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２））移至ＡＣ（Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｃ（ｘ２＋δｘ２，ｙ２＋δｙ２））时，δｙ｜ｘ＝ｘ２ 表示极值曲线ｙ（ｘ）在ｘ＝ｘ２ 时的增

量，它相当于线段ＢＤ，而δｙ２ 为ｙ２ 的变分，表示Ｂ点移到Ｃ点时ｙ（ｘ）的增量，它相当于线段

ＦＣ，即

ＢＤ ＝δｙ｜ｘ＝ｘ２，　ＦＣ＝δｙ２

图４ ２　 终点待定的变分问题

由于

ＥＣ＝ｙ′（ｘ２）δｘ２，　ＢＤ ＝ＦＣ－ＥＣ所以有

δｙ｜ｘ＝ｘ２ ＝δｙ２－ｙ′（ｘ２）δｘ２ （４ ８）从而得到

　　　　　　∫ｘ３

ｘ１

［Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′）－Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）］ｄｘ＝

　　∫ｘ３

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙｄｘ＋Ｆｙ′δｙ｜ｘ＝ｘ２

［δｙ２－ｙ′（ｘ２）δｘ２］ （４ ９）

—１４—

将式（４ ５）和式（４ ９）代入式（４ ４），在δｘ２，δｙ２，δｙ很小时，有

δΠ ＝∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙｄｘ＋Ｆｙ′ ｘ＝ｘ２

δｙ２＋ Ｆ－ｙ′Ｆｙ［ ］′ ｘ＝ｘ２δｘ２ （４ １０）

一般情形下，端点（ｘ２，ｙ２）不是独立的，它可以沿某一已给曲线，例如

ｙ２ ＝ｆ（ｘ２） （４ １１）而移动。于是，有δｙ２ ＝ｆ′（ｘ２）δｘ２，而式（４ １０）就给出了极值条件

δΠ ＝∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙｄｘ＋ Ｆ－ｙ′Ｆｙ′＋ｆ

′（ｘ）Ｆｙ［ ］′ ｘ＝ｘ２

δｘ２ ＝０ （４ １２）

从式（４ １２）中很容易看到，ｙ（ｘ）满足了欧拉方程，但还不能使δΠ达到零，除非在端点ｘ＝ｘ２上还满足补充条件

Ｆ－ｙ′Ｆｙ′＋ｆ′（ｘ）Ｆ

ｙ′＝０　（ｘ＝ｘ２） （４ １３）

所以，欧拉方程

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ′＝０

（４ １４）

只有在始点定点条件

ｙ１ ＝ｙ（ｘ１） （４ １５）及终点待定条件式（４ １１）和补充条件式（４ １３）在一起时，泛函式（４ １）的极值问题才有充

分和必要的条件求解。在这三个条件中，有两个条件可用来决定待定积分常数ｃ１ 和ｃ２，第三个

条件用来决定待定的端点坐标ｘ２。补充条件式（４ １３）表示一个函数ｙ（ｘ）的斜率ｙ′（ｘ）和已知端点曲线ｆ（ｘ）的斜率ｆ′（ｘ）

之间的关系，式（４ １３）称为交接条件（或贯截条件）。一般说来，满足定点条件式（４ １５）的欧

拉方程式（４ １４）的解中，尚有一个积分常数未定，或可以写成ｙ＝ｙ（ｘ，ｃ１）。在利用了待定端

点条件式（４ １１）和补充条件式（４ １３）之后，总能确定ｃ１ 与ｘ２ 这两个待定量，而在这样决定

的一条曲线上，泛函必为极值。如果边界点（ｘ１，ｙ１）也是待定的，也可以假定它能沿着一条曲线ｙ１＝ｇ（ｘ１）移动，则也能

证明，在这一待定始点（ｘ１，ｙ１）上有下面的交接条件

Ｆ＋（ｇ′－ｙ′）Ｆｙ′＝０　　（ｘ＝ｘ１） （４ １６）

现在证明正交的交接定理。泛函

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｎ（ｘ，ｙ）１＋ｙ′槡 ２ｄｘ （４ １７）

在待定始点和待定终点条件下的极值解ｙ＝ｙ（ｘ），在 交 接 处 与 端 点 曲 线ｙ１ ＝ｇ（ｘ１），ｙ２ ＝ｆ（ｘ２）相正交。

本问题中

Ｆ＝Ｎ（ｘ，ｙ）１＋ｙ′槡 ２ （４ １８）所以有

Ｆｙ′＝

Ｎ（ｘ，ｙ）ｙ′１＋ｙ′槡 ２

（４ １９）

—２４—

在终点和始点的交接条件式（４ １３）与式（４ １６）变为

Ｎ（ｘ１，ｙ１）１＋ｙ′槡 ２１＋［ｇ′（ｘ１）－ｙ１′］Ｎ

（ｘ１，ｙ１）ｙ１′１＋ｙ′槡 ２

１

＝０

Ｎ（ｘ２，ｙ２）１＋ｙ′槡 ２２＋［ｆ′（ｘ２）－ｙ２′］Ｎ

（ｘ２，ｙ２）ｙ２′１＋ｙ′槡 ２

２

＝烍

烌

烎０

（４ ２０）

如果ｇ１′＝ｇ′（ｘ１），ｆ２′＝ｆ′（ｘ２），则上式可以化简为

Ｎ（ｘ１，ｙ１）（１＋ｇ１′ｙ１′）１＋ｙ′槡 ２

１

＝０，　Ｎ（ｘ２，ｙ２）＝（１＋ｆ２′ｙ２′）１＋ｙ′槡 ２

２

＝０

一般说来，当Ｎ（ｘ１，ｙ１）及Ｎ（ｘ２，ｙ２）不等于零时，则有

ｇ１′ｙ１′＝－１，　ｆ２′ｙ２′＝－１ （４ ２１）

式（４ ２１）中指出：ｙ１＝ｇ（ｘ１）和ｙ１＝ｙ（ｘ１）两曲线在ｘ１ 端正交，ｙ２＝ｆ（ｘ２）和ｙ２＝ｙ（ｘ２）两曲线在ｘ２ 端正交，此定理得到了证明。

４２　 泛函∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｙ′，ｚ′）ｄｘ的边界待定的变分问题

设泛函

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｙ′，ｚ′）ｄｘ （４ ２２）

其上限ｘ２ 是待定的，变分为

　　　　　　　　δΠ ＝∫ｘ２＋δｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｚ＋δｚ，ｙ′＋δｙ′，ｚ′＋δｚ′）ｄｘ－

∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｙ′，ｚ′）ｄｘ （４ ２３）

或

　　　　　δΠ ＝∫ｘ２＋δｘ２

ｘ２Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｚ＋δｚ，ｙ′＋δｙ′，ｚ′＋δｚ′）ｄｘ＋

∫ｘ２

ｘ１

［Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｚ＋δｚ，ｙ′＋δｙ′，ｚ′＋δｚ′）－Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ，ｙ′，ｚ′）］ｄｘ

（４ ２４）利用中值定理，并在第二个积分里保留δｙ，δｚ，δｙ′，δｚ′的线性部分，得到

δΠ ＝Ｆｘ＝ｘ２δｘ２＋∫

ｘ２

ｘ１

Ｆｙδｙ＋

Ｆｚδｚ＋Ｆｙ′δｙ

′＋Ｆｚ′δ［ ］ｚ′ｄｘ （４ ２５）

通过分部积分，得到

　　　　　　　δΠ ＝Ｆｘ＝ｘ２δｘ２＋ Ｆ

ｙ′δ［ ］ｙｘ＝ｘ２

＋ Ｆｚ′δ［ ］ｚ

ｘ＝ｘ２＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙ＋ Ｆ

ｚ－ｄｄｘＦ（ ）［ ］ｚ′ δ｛ ｝ｚ ｄｘ （４ ２６）

根据式（４ ８）的推导，可以得出δｙ｜ｘ＝ｘ２，δｚ｜ｘ＝ｘ２ 和δｙ２，δｚ２ 的关系为

δｙ２ ＝δｙ｜ｘ＝ｘ２＋ｙ′（ｘ２）δｘ２，　δｚ２ ＝δｚ｜ｘ＝ｘ２＋ｚ′（ｘ２）δｘ２ （４ ２７）将式（４ ２７）代入式（４ ２６），即得

—３４—

　　　　　δΠ ＝ Ｆ－ｙ′Ｆｙ′－ｚ′Ｆ［ ］ｚ′ ｘ＝ｘ２

δｘ２＋Ｆｙ′ ｘ＝ｘ２δｙ２＋Ｆｚ′ ｘ＝ｘ２

δｚ２＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙ＋ Ｆ

ｚ－ｄｄｘＦ（ ）［ ］ｚ′ δ｛ ｝ｚ ｄｘ （４ ２８）

按δｘ２，δｙ２，δｚ２ 之间关系不同划分出下列各种情况：（１）δｘ２，δｙ２，δｚ２，δｙ，δｚ都是独立的。这是最一般情况，由δΠ ＝０给出欧拉方程

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＝０，　Ｆｚ－

ｄｄｘＦ（ ）ｚ′ ＝０ （４ ２９）

同时给出ｘ＝ｘ２ 处的边界条件为

Ｆ－ｙ′Ｆｙ′－ｚ′Ｆ［ ］ｚ′ ｘ＝ｘ２

＝０，　Ｆｙ′ ｘ＝ｘ２＝０，　Ｆｚ′ ｘ＝ｘ２

＝０ （４ ３０）

于 是可以利用欧拉方程式（４ ２９）和极值曲线通过固定点（ｘ１，ｙ１，ｚ１）的条件和ｘ＝ｘ２ 处的边

界条件式（４ ３０）这三个边界条件，来决定本题的极值曲线和ｘ２ 的待定值。（２）边界点（ｘ２，ｙ２，ｚ２）可以沿某一曲线ｙ２＝ｆ（ｘ２），ｚ２＝ｇ（ｘ２）任意移动。这里指出δｘ２，

δｙ２，δｚ２ 之间并不独立，它们之间有下列关系：

δｙ２ ＝ｆ′（ｘ２）δｘ２，　δｚ２ ＝ｇ′（ｘ２）δｘ２ （４ ３１）将式（４ ３１）代入式（４ ２８），化简为

　　　　　　　　δΠ ＝ Ｆ＋（ｆ′－ｙ′）Ｆｙ′＋（ｇ′－ｚ′）Ｆ［ ］ｚ′ ｘ＝ｘ２

δｘ２＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙ＋ Ｆ

ｚ－ｄｄｘＦ（ ）［ ］ｚ′ δ｛ ｝ｚ ｄｘ （４ ３２）

由δΠ ＝０给出相同的欧拉方程

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＝０，　Ｆｚ－

ｄｄｘＦ（ ）ｚ′ ＝０ （４ ３３）

同时给出ｘ＝ｘ２ 处的补充边界条件

Ｆ＋（ｆ′－ｙ′）Ｆｙ′＋（ｇ′－ｚ′）Ｆ［ ］ｚ′ ｘ＝ｘ２

＝０ （４ ３４）

这也代表了极值曲线和已给端点曲线ｙ２＝ｆ（ｘ２），ｚ２＝ｇ（ｘ２）之间的交接条件。当从欧拉方程

式（４ ３３）中求解极值曲线时，它必须满足：①在ｘ１ 处通过固定点（ｘ１，ｙ１，ｚ１）；②在ｘ２ 点满足

ｙ２ ＝ｆ（ｘ２），ｚ２ ＝ｇ（ｘ２）；③ 在ｘ２ 点满足交接条件式（４ ３４）。（３）边界点（ｘ２，ｙ２，ｚ２）可以沿某一曲面φ（ｘ２，ｙ２，ｚ２）＝０任意移动。这里δｘ２，δｙ２，δｚ２也不

是完全独立的，它满足

δφ＝φｘ２δ

ｘ２＋φｙ２δｙ２＋φｚ２δ

ｚ２ ＝０ （４ ３５）

解出δｚ２，将它代入式（４ ２８），则式（４ ２８）可以化为

　　　　　δΠ ＝ Ｆ－ｙ′Ｆｙ′－ｚ′Ｆｚ′－

φｘφｚ

Ｆ

熿

燀

燄

燅ｚ′

ｘ＝ｘ２

δｘ２＋ Ｆｙ′－

φｙφｚ

Ｆ

熿

燀

燄

燅ｚ′

ｘ＝ｘ２

δｙ２＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］′ δｙ＋ Ｆ

ｚ－ｄｄｘＦ（ ）［ ］ｚ′ δ｛ ｝ｚ ｄｘ （４ ３６）

由δΠ ＝０给出欧拉方程

—４４—

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＝０，　Ｆｚ－

ｄｄｘＦ（ ）ｚ′ ＝０ （４ ３７）

同样，也给出了极值曲线和曲面φ（ｘ２，ｙ２，ｚ２）＝０的交接条件

Ｆ－ｙ′Ｆｙ′－ｚ′＋

φｘφ

烄

烆

烌

烎ｚ

Ｆ

熿

燀

燄

燅ｚ′

ｘ＝ｘ２

＝０

Ｆｙ′－

φｙφｚ

Ｆ

熿

燀

燄

燅ｚ′

ｘ＝ｘ２

＝

烍

烌

烎

０

（４ ３８）

当从式（４ ３７）中解出极值曲线时，其端点条件为：① 在ｘ１ 处通过固定点（ｘ１，ｙ１，ｚ１）；② 在ｘ２点满足φ（ｘ２，ｙ２，ｚ２）＝０；③ 在ｘ２ 点满足交接条件式（４ ３８）。

不论那种情况，在待定端点ｘ２ 上的三个独立的边界条件必须得到满足。在这个变分问题

中，欧拉方程式（４ ２９）中有四个积分常数，其中两个由（ｘ１，ｙ１，ｚ１）的固定边界条件决定，还有

两个积分常数和ｘ２ 值共三个待定量则由式（４ ３８）和φ（ｘ２，ｙ２，ｚ２）的三个ｘ２ 处的边界条件

决定。当然，如果ｘ１ 点也是可以移动的待定边界，那么其处理过程与上面所讨论的完全相似，这

里就不再重复。

４３　 泛函∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′，ｙ″）ｄｘ的边界待定的变分问题

对泛函

Π＝∫ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′，ｙ″）ｄｘ （４ ３９）

的极值问题，假定ｘ１，ｘ２ 为已知不变，而且在ｘ１，ｘ２ 处有固有边界条件

ｙ（ｘ１）＝ｙ１，ｙ′（ｘ１）＝ｙ１′，ｙ（ｘ２）＝ｙ２，ｙ′（ｘ２）＝ｙ２′这类固定边界的变分问题在第２章中已做了介绍。现在要讨论的是边界条件为待定的情况，如果边界ｘ１ 已给且固定，且有

ｙ（ｘ１）＝ｙ１，　ｙ′（ｘ１）＝ｙ１′ （４ ４０）而ｘ２ 为待定的问题，这时Π的变分可以写成

　　　　　δΠ ＝∫ｘ２＋δｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′，ｙ″＋δｙ″）ｄｘ－∫

ｘ２

ｘ１Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′，ｙ″）ｄｘ＝

∫ｘ２＋δｘ２

ｘ２Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′，ｙ″＋δｙ″）ｄｘ＋

∫ｘ２

ｘ１

［Ｆ（ｘ，ｙ＋δｙ，ｙ′＋δｙ′，ｙ″＋δｙ″）－Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′，ｙ″）］ｄｘ （４ ４１）

略去高次项，利用中值定理，可将上式简化为

δΠ ＝Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′，ｙ″）ｘ＝ｘ２δｘ２＋∫

ｘ２

ｘ１

Ｆｙδｙ＋

Ｆｙ′δｙ

′＋Ｆｙ″δｙ（ ）″ｄｘ （４ ４２）

通过分部积分，并利用固定边界条件式（４ ４０），可以证明

—５４—

　　　　　　　　δΠ ＝ Ｆδｘ２＋Ｆｙ′δｙ＋Ｆｙ″δｙ

′－ ｄｄｘＦｙ（ ）″δ［ ］ｙ

ｘ＝ｘ２＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）［ ］″ δｙｄｘ （４ ４３）

这里，δｘ２，δｙ｜ｘ＝ｘ２，δｙ′｜ｘ＝ｘ２ 并 不 是 相 互 独 立 的，而 是 有 下 列 关 系 联 系 着 的（见 式（４ ８）的

推导）：

δｙ２ ＝δｙ｜ｘ＝ｘ２＋ｙ′（ｘ２）δｘ２

δｙ２′＝δｙ′｜ｘ＝ｘ２＋ｙ″（ｘ２）δｘ烍烌

烎２（４ ４４）

或

δｙ｜ｘ＝ｘ２ ＝δｙ２－ｙ′（ｘ２）δｘ２ ＝δｙ２－ｙ２′δｘ２

δｙ′｜ｘ＝ｘ２ ＝δｙ２′－ｙ″（ｘ２）δｘ２ ＝δｙ２′－ｙ２″δｘ烍烌

烎２（４ ４５）

式中ｙ′（ｘ２）＝ｙ２′，ｙ２″（ｘ２）＝ｙ２″。将式（４ ４５）代入式（４ ４３），得

　　　　　　　　δΠ ＝ Ｆ－ｙ′Ｆｙ′－ｙ″Ｆｙ″＋ｙ

′ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］″ ｘ＝ｘ２

δｘ２＋

Ｆｙ′－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］″ ｘ＝ｘ２

δｙ２＋Ｆｙ″ ｘ＝ｘ２δｙ２′＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）［ ］″ δｙｄｘ （４ ４６）

如果δｘ２，δｙ２，δｙ２′，δｙ都是独立的，δΠ ＝０给出：欧拉方程

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）″ ＝０ （４ ４７）

补充边界条件

Ｆ－ｙ′Ｆｙ′－ｙ″Ｆｙ″＋ｙ

′ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］″ ｘ＝ｘ２

＝０

Ｆｙ′－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］″ ｘ＝ｘ２

＝０

Ｆｙ″ ｘ＝ｘ２

＝

烍

烌

烎０

（４ ４８）

补充边界条件 式（４ ４８）和 固 定 边 界 条 件 式（４ ４０）加 在 一 起，便 可 以 决 定 由 解 欧 拉 方 程

式（４ ４７）的极值曲线ｙ＝ｙ（ｘ，ｃ１，ｃ２，ｃ３，ｃ４，ｘ２）中的五个待定量ｃ１，ｃ２，ｃ３，ｃ４，ｘ２。一般说来，δｘ２，δｙ２，δｙ２′并不都是独立的，它们可能有各种各样的联系。（１）点（ｘ２，ｙ２）可以在曲线

ｙ２ ＝φ（ｘ２） （４ ４９）上任意移动。于是有

δｙ２ ＝φ′（ｘ２）δｘ２ （４ ５０）将式（４ ５０）代入式（４ ４６），消去δｙ２，得

　　　　　　　δΠ ＝ Ｆ＋（φ′－ｙ′）Ｆｙ′－

ｄｄｘＦｙ（ ）″ －ｙ″Ｆｙ［ ］｛ ｝″ ｘ＝ｘ２

δｘ２＋

Ｆｙ″ ｘ＝ｘ２

δｙ２＋∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）［ ］″ δｙｄｘ （４ ５１）

—６４—

δΠ ＝０时，给出欧拉方程式（４ ４７）和有关边界条件

Ｆ＋（Φ′－ｙ′）Ｆｙ′－ｄｄｘＦｙ（ ）″ －ｙ″Ｆｙ［ ］｛ ｝″ ｘ＝ｘ２

＝０ （４ ５２ａ）

Ｆｙ″ ｘ＝ｘ２

＝０ （４ ５２ｂ）

求解欧拉方程时，在ｘ＝ｘ２ 端，仍有三个条件，即式（４ ４９）、式（４ ５２ａ）和式（４ ５２ｂ）。（２）点（ｘ２，ｙ２）可以在曲线

ｙ２ ＝φ（ｘ２） （４ ５３）上任意移动，而且点（ｘ２，ｙ２）上的极值曲线的端点斜率ｙ′（ｘ２）＝ｙ２′为ｘ２ 的另一函数，即

ｙ２′＝（ｘ２） （４ ５４）这里应该注意，（ｘ２）并不一定等于φ′（ｘ２），也包括了（ｘ２）＝φ′（ｘ２）的情况，于是有

δｙ２ ＝φ′（ｘ２）δｘ２，　ｙ２′＝′（ｘ２）δｘ２ （４ ５５）从式（４ ４６）中消去δｙ２，δｙ２′得

　　　　　δΠ ＝ Ｆ＋（φ′－ｙ′）Ｆｙ′－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］″ －（′－ｙ″）Ｆｙ｛ ｝″ ｘ＝ｘ２

δｘ２＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）［ ］″ δｙｄｘ （４ ５６）

当δΠ ＝０时给出欧拉方程式（４ ４７）和边界条件

Ｆ＋（φ′－ｙ′）Ｆｙ′－

ｄｄｘＦｙ（ ）［ ］″ －（′－ｙ″）Ｆｙ｛ ｝″ ｘ＝ｘ２

＝０ （４ ５７）

所以，求解欧拉方程时，在ｘ＝ｘ２ 端，仍有三个条件，即式（４ ５３）、式（４ ５４）和式（４ ５７）。（３）在点（ｘ２，ｙ２）上，也可以存在着某一种ｘ２，ｙ２，ｙ２′之间的关系

φ（ｘ２，ｙ２，ｙ２′）＝０ （４ ５８）于是，δｘ２，δｙ２，δｙ２′之间有关系

δφ＝φｘ２δ

ｘ２＋φｙ２δｙ２＋φｙ２′δｙ２

′＝０ （４ ５９）

设φｙ２′≠

０，则有

δｙ２′＝－

φｘ２φｙ２′

δｘ２－

φｙ２φｙ２′

δｙ２ （４ ６０）

把式（４ ６０）代入式（４ ４６）中，得

　　　　　　δΠ ＝ Ｆ－ｙ′Ｆｙ′＋ｙ′ｄｄｘ

Ｆｙ（ ）″ － ｙ″＋φ

／ｘ２φ／ｙ２（ ）′ Ｆｙ２［ ］″ ｘ＝ｘ２

δｘ２＋

Ｆｙ′－

ｄｄｘＦｙ（ ）″ －φ／ｙ２φ／ｙ２′

Ｆｙ［ ］″ ｘ＝ｘ２

δｙ２＋

∫ｘ２

ｘ１

Ｆｙ－

ｄｄｘＦｙ（ ）′ ＋ ｄ

２

ｄｘ２Ｆｙ（ ）［ ］″ δｙｄｘ （４ ６１）

当δΠ ＝０时，给出欧拉方程式（４ ４７）和有关端点条件

Ｆ－ｙ′Ｆｙ′＋ｙ′ｄｄｘ

Ｆｙ（ ）″ － ｙ″＋φ

／ｘ２φ／ｙ２（ ）′ Ｆｙ２［ ］″ ｘ＝ｘ２

＝０ （４ ６２）

—７４—

Ｆｙ′－

ｄｄｘＦｙ（ ）″ －φ／ｙ２φ／ｙ２′

Ｆｙ［ ］″ ｘ＝ｘ２

＝０ （４ ６３）

这指出求解欧拉方程式（４ ４７）时，在ｘ＝ｘ２ 端仍有三个条件，即式（４ ５８）、式（４ ６２）及

式（４ ６３）。【例４ １】　有一悬臂梁（见图４ ３）受均匀载荷，长度Ｌ，在其下垫一圆垫，其半径为Ｒ，问

梁和圆垫接触区的大小。设梁的截面抗弯刚度ＥＪ为常数。

图４ ３　 受均匀载荷悬臂梁

本例中，Ａ点为待定端点，其条件为

ｗ（ｘ１）＝ｘ２１

２Ｒ，　ｗ′（ｘ１）＝ｘ１Ｒ

（４ ６４）

Ｂ点为自由端，其条件为

ｗ″（Ｌ）＝０，　ｗ（Ｌ）＝０ （４ ６５）梁的ＯＡ 段中的挠度为ｗ（ｘ）

ｗ（ｘ）＝ｘ２

２Ｒ　（０≤ｘ≤ｘ１）

而且

ｗ″（ｘ）＝ １Ｒ ＝常数 　（０≤ｘ≤ｘ１）

梁在ＯＡ 段的弯曲能为

Ｕ１ ＝ １２ＥＪ∫ｘ１

０［ｗ″（ｘ）］２ｄｘ＝ １２ＥＪ

ｘ１Ｒ２

ＡＢ 段的弯曲能为

Ｕ２ ＝ １２ＥＪ∫Ｌ

ｘ１

［ｗ″（ｘ）］２ｄｘ

均布载荷ｑ在ＯＡ 段中做的功等于

Ｖ１ ＝∫ｘ１

０ｑｘ

２

２Ｒｄｘ＝ｑ６Ｒｘ

３１

在ＡＢ 中段所做的功为

Ｖ２ ＝∫Ｌ

ｘ１ｑｗｄｘ

—８４—

梁的总势能Π为

Π＝Ｕ１＋Ｕ２－Ｖ１－Ｖ２ ＝ １２ＥＪｘ１Ｒ２－

ｑ６Ｒｘ

３１＋∫

Ｌ

ｘ１Ｆ（ｗ，ｗ″）ｄｘ （４ ６６）

式中

Ｆ（ｗ，ｗ″）＝ １２ＥＪｗ″２－ｑｗ （４ ６７）

变分时注意ｘ１ 是待定可变的，于是有

δΠ ＝ １２ＥＪ

１Ｒ２－

ｑ２Ｒｘ（ ）２１ δｘ１－Ｆ（ｗ，ｗ″）δｘ１＋∫

Ｌ

ｘ１

Ｆｗδ

ｗ＋Ｆｗ″δ（ ）ｗ″ｄｘ① （４ ６８）

式中ｗ１ 为ｗ（ｘ１），ｗ１″为ｗ″（ｘ１），通过分部积分

　　　　　∫Ｌ

ｘ１

Ｆｗδ

ｗ＋Ｆｗ″δ（ ）ｗ″ｄｘ＝ Ｆｗ″δ［ ］ｗ′

Ｌ

ｘ１－ ｄｄｘ

Ｆ（ ）ｗ″δ［ ］ｗ Ｌ

ｘ１＋

∫Ｌ

ｘ１

Ｆｗ＋

ｄ２

ｄｘ２Ｆ（ ）［ ］ｗ″ δｗｄｘ （４ ６９）

在利用了端点条件后，可以证明

Ｆｗ″δ［ ］ｗ′

Ｌ

ｘ１＝ ［ＥＪｗ″δｗ′］Ｌｘ１ ＝－［ＥＪｗ″δｗ′］ｘ１ （４ ７０）

ｄｄｘ

Ｆ（ ）ｗ″δ［ ］ｗ Ｌ

ｘ１＝ ［ＥＪｗδｗ］Ｌｘ１ ＝－［ＥＪｗδｗ］ｘ１ ＝－ＥＪｗ（ｘ１）δｗ１－ｘ１Ｒδｘ［ ］１

（４ ７１）式中已利用了下面关系（见式（４ ８）的推导）

δｗ１′＝δｗ′｜ｘ１＋ｗ″（ｘ１）δｘ１

δｗ１ ＝δｗ｜ｘ１＋ｗ′（ｘ１）δｘ１ ＝δｗ｜ｘ１＋ｘ１Ｒδｘ

烍烌

烎１（４ ７２）

将以上式（４ ６７）及式（４ ６９）～ 式（４ ７２）的关系代入式（４ ６８），可得

　　　　　δΠ ＝ １２ＥＪ１Ｒ２＋

［ｗ″（ｘ１）］２－２ｘ１Ｒｗ（ｘ１｛ ｝）δｘ１－

ＥＪｗ″（ｘ１）δｗ１′＋ＥＪｗ（ｘ１）δｗ１＋∫Ｌ

ｘ１

Ｆｗ＋

ｄ２

ｄｘ２Ｆ（ ）［ ］ｗ″ δｗｄｘ （４ ７３）

①　　　　　　δ∫Ｌ

ｘ１Ｆ（ｗ，ｗ″）ｄｘ＝－δ∫

ｘ１

ＬＦ（ｗ，ｗ″）ｄｘ＝

－∫ｘ１＋δｘ１

ＬＦ（ｗ＋δｗ，ｗ″＋δｗ″）ｄｘ－∫

ｘ１

ＬＦ（ｗ，ｗ″）ｄ［ ］ｘ ＝

－∫ｘ１＋δｘ１

ＬＦ（ｗ＋δｗ，ｗ″＋δｗ″）ｄｘ［ ＋

∫ｘ１

ＬＦ（ｗ＋δｗ，ｗ″＋δｗ″）ｄｘ－∫

ｘ１

ＬＦ（ｗ，ｗ″）ｄ ］ｘ

利用中值定理，上式可化为

　　　　　　　δ∫Ｌ

ｘ１Ｆ（ｗ，ｗ″）ｄｘ＝－［Ｆ（ｗ，ｗ″）］ｘ＝ｘ１δｘ１－∫

ｘ１

Ｌ

Ｆｗδ

ｗ＋Ｆｗ″δ（ ）ｗ″ ｄｘ＝－Ｆ（ｗ１，ｗ１″）δｘ１＋∫

Ｌ

ｘ１

Ｆｗδ

ｗ＋Ｆｗ″δ（ ）ｗ″ ｄｘ—９４—

这里，δｗ１′，δｗ１ 和δｘ１ 都不是独立的，根据式（４ ６４）有

δｗ１′＝ ｄｄｘ［ｗ′（ｘ１）］δｘ１ ＝ １Ｒδｘ１

δｗ１ ＝ ｄｄｘ［ｗ（ｘ１）］δｘ１ ＝ｘ１Ｒδｘ

烍

烌

烎１（４ ７４）

于是，式（４ ７３）可以进一步化简为

δΠ ＝ １２ＥＪ１Ｒ２＋

［ｗ″（ｘ１）］２－２Ｒｗ″（ｘ｛ ｝）δｘ１＋∫

Ｌ

ｘ１

Ｆｗ＋

ｄ２

ｄｘ２Ｆ（ ）［ ］ｗ″ δｗｄｘ

（４ ７５）当取δΠ ＝０时，给出

１Ｒ－ｗ″

（ｘ１［ ］）２

＝０ （４ ７６）

Ｆｗ＋

ｄ２

ｄｘ２Ｆ（ ）ｗ″ ＝０，　ｘ１ ≤ｘ≤Ｌ （４ ７７）

式（４ ７７）的形式为

ＥＪｄ４ｗｄｘ４ －ｑ＝０

，　ｘ１ ≤ｘ≤ｌ （４ ７８）

式（４ ７８）的解为

ｗ（ｘ）＝ ｑ２４ＥＪｘ

４＋Ａｘ３＋Ｂｘ２＋Ｃｘ＋Ｄ （４ ７９）

利用式（４ ６４）和式（４ ６５）的端点条件，可以决定系数Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ

Ａ＝－ ｑ６ＥＪＬ

Ｂ＝ ｑ４ＥＪＬ

２

Ｃ＝ｘ１Ｒ －ｑ６ＥＪ

（３Ｌ２ｘ１－３Ｌｘ２１＋ｘ３１）

Ｄ＝－ｘ２１

２Ｒ＋ｑ２４ＥＪ

（６Ｌ２ｘ２１－８Ｌｘ３１＋３ｘ

烍

烌

烎４１

（４ ８０）

经过整理，ｗ（ｘ）可以写成

　　　　　ｗ（ｘ）＝ｘ１２Ｒ（２ｘ－ｘ１）＋ ｑ

２４ＥＪ［ｘ４－４Ｌｘ３＋６Ｌ２ｘ２＋

（１２Ｌｘ２１－１２Ｌ２ｘ１－４ｘ３１）ｘ＋（３ｘ４１－８Ｌｘ３１＋６Ｌ２ｘ２１）］　　（ｘ１ ≤ｘ≤Ｌ）（４ ８１）

现在利用式（４ ７６）来决定ｘ１，因为

ｗ″（ｘ）＝ ｑ２ＥＪ

（Ｌ－ｘ）２　 或 　ｗ″（ｘ１）＝ ｑ２ＥＪ

（Ｌ－ｘ１）２ （４ ８２）

所以，有

ｑ２ＥＪ

（Ｌ－ｘ１）２ ＝ １Ｒ　或 　ｘ１ ＝Ｌ－ ２ＥＩ

ｑ槡Ｒ （４ ８３）

现在可以从式（４ ８３）中看到：（１）当ｘ１ ＝０时，即悬臂梁的变形开始发生紧贴圆垫表面时，

—０５—

ｑ０ ＝２ＥＪＲｌ２

即当０≤ｑ≤ｑ０ 时，悬臂梁除Ｏ点外，不再接触圆垫面的任意点，这时将ｘ１ ＝０的条件代入

式（４ ８１）得到悬臂梁的挠度ｗ（ｘ）为

ｗ（ｘ）＝ ｑ２４ＥＪ

（ｘ４－４Ｌｘ３＋６Ｌ２ｘ２），　０≤ｑ≤ｑ０ （４ ８４）

式（４ ８４）也可以用材料力学方法获得。（２）当ｑ≥ｑ０ 时，从式（４ ８１）得到Ｂ点的挠度为

ｗ（Ｌ）＝ｘ１２Ｒ（２Ｌ－ｘ１）＋ ｑ

８ＥＪ（Ｌ－ｘ１）４ ＝Ｌ

２

２Ｒ－（Ｌ－ｘ１）２

２Ｒ ＋ ｑ８ＥＪ

（Ｌ－ｘ１）４

（４ ８５）用式（４ ８３）消去Ｌ－ｘ１ 得

Ｗ（Ｌ）＝Ｌ２

２Ｒ－ＥＪ２Ｒ２ｑ

，　ｑ≥ｑ０ （４ ８６）

从这里可以看到端点位移ｗ（Ｌ）和载荷ｑ不成正比，如果ｑ扩大１倍，位移并不随之扩大１倍。对于这类问题，迭加法并不适用。按上面的结论，很容易看到，当ｘ１＝Ｌ时，由式（４ ８３）可知，这时ｑ必须达到无限大，即可以说，几乎在理论上无法将一整条梁单纯用法向载荷使它完全贴

伏在圆垫表面上。本例原则上属于静定问题，在接触面上变形已知，在未接触段上弯矩分布已知。对于这类

问题，用力法来处理将更简单一些，其过程如下所述。

图４ ３中，ＯＡ 为接触段，变形后的曲率为１Ｒ，弯矩为－ＥＪＲ

，ＯＡ 段的应变能为

Ｕ１ ＝ １２ＥＪ（ ）Ｒ

２ １ＥＪｘ１

（４ ８７）

ＡＢ 段中的弯矩分布为１２ｑ（Ｌ－ｘ）２，全段弯曲应变能为

Ｕ２ ＝∫Ｌ

ｘ１

１２ＥＪ

１２ｑ（Ｌ－ｘ１）（ ）２ ２

ｄｘ （４ ８８）

全梁ＯＢ 的应变能为

Ｕ ＝Ｕ１＋Ｕ２ ＝ １２ＥＪＲ２ｘ１＋∫

Ｌ

ｘ１

ｑ２８ＥＪ

（Ｌ－ｘ１）４ｄｘ （４ ８９）

因为我们采用外力来表示内力时，梁的外力的平衡条件业已满足。ｘ１ 值的选择条件是梁的应

变能为极值。这是一个待定边界问题，积分下限为变分量。由式（４ ８９）得

δＵ ＝ １２ＥＪＲ２δｘ１－

ｑ２８ＥＪ

（Ｌ－ｘ１）４δｘ１ （４ ９０）

并由δＵ ＝０，有

ｘ１ ＝Ｌ－ ２ＥＩｑ槡Ｒ （４ ９１）

显然，式（４ ９１）与式（４ ８３）完全相同。【例４ ２】　设有一圆环，其抗弯刚度为ＥＪ，半径为Ｒ，在圆环上、下两方，各用一块刚性平

板相对挤压，使圆环在挤压下发生变形，其中上、下方都有一段圆环紧贴平板，压成平直形状

—１５—

（见图４ ４），设挤压力为Ｐ，问圆环上下方平直段的θ１ 是多少？

图４ ４　 挤压圆环

采用力法处理本题。在ＡＢ 段，原 来 的 曲 率 为１Ｒ，变 形 后 的 曲 率 为 零，所 以 曲 率 变 形 为

τ＝－１Ｒ，弯矩在Ｂ点处为Ｍ０ ＝ＥＪＲ

，这是一个常数，ＡＢ 段的弯曲应变能为

Ｕ１ ＝ １２ＥＪＭ

２０Ｒθ１ ＝ＥＪ２Ｒθ１

（４ ９２）

在ＢＣ段任意点Ｑ，考虑ＱＢ 段的平衡条件，得弯矩为

Ｍ ＝Ｍ０－Ｐ２（Ｒｓｉｎθ－Ｒｓｉｎθ１） （４ ９３）

式中Ｍ０ ＝ＥＪＲ，故式（４ ９３）为

Ｍ ＝ＥＪＲ －ＰＲ２（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１） （４ ９４）

ＢＣ的弯曲应变能为

Ｕ２ ＝∫π／２

θ１

１２ＥＪＭ

２Ｒｄθ＝∫π／２

θ１

Ｒ２ＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）２

ｄθ （４ ９５）

ＡＣ全段的应变能（忽略剪切与拉伸的应变能）为

Ｕ ＝ＥＪ２Ｒθ１＋∫π／２

θ１

Ｒ２ＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）２

ｄθ （４ ９６）

上式中θ１ 为变量，则θ１ 值的选择条件是使其应变能有极值。这是一个待定边界的变分问题，θ１为待定的，根据δＵ ＝０，可得

　　　　　　　δＵ ＝ＥＪ２Ｒδθ１－δ∫θ１

π／２

Ｒ２ＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）２

ｄθ＝

ＥＪ２Ｒδθ１－

Ｒ２ＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）２

θ＝θ１δθ１－

∫θ１

π／２

θ１

Ｒ２ＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）｛ ｝２ δθ１ｄθ＝ＥＪ２Ｒδθ１－

Ｒ２ＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）２

θ＝θ１δθ１＋

—２５—

∫π／２

θ１

ＲＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）ＰＲ２ｃｏｓθ１δθ１ｄθ＝

∫π／２

θ１

ＰＲ２２ＥＪ

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）ｃｏｓθ１δθ１ｄθ＝０因为δθ≠０，由上式可得

∫π／２

θ１

ＥＪＲ －ＰＲ２

（ｓｉｎθ－ｓｉｎθ１［ ］）ｄθ＝０积分得

ＥＪＲ

π２－θ（ ）１ －ＰＲ２ｃｏｓθ１＋ＰＲ２ π

２－θ（ ）１ ｓｉｎθ１ ＝０或

ｃｏｓθ１π２－θ１

－ｓｉｎθ１ ＝２ＥＪＰＲ２（４ ９７）

这是决定θ１ 的条件。当θ１ ＝０时，由式（４ ９７）可得

ｃｏｓθπ２－θ１

－ｓｉｎθ熿

燀

燄

燅１

θ１＝０

＝２ＥＪＰＲ２

或者

Ｐ１ ＝πＥＪＲ２（４ ９８）

这是接触区域开始压缩时的压力极限值，当Ｐ＜Ｐ１ 时，Ａ点垂直下沉，但仍保持一点接触；当

Ｐ＝Ｐ１ 时，Ａ点曲率等于零；当Ｐ＞Ｐ１ 时，接触面逐渐扩大，所以Ｐ１ 为点接触与区域接触的

临界压力。本例也可以用变形位移表示的圆环应变能来处理，此时该问题的泛函属于式（４ ３９）的形

式，且边界ｘ１（本题为θ１）为待定，因此，可以用本节的方法来计算。将这种处理方法留给读者

作为练习。

—３５—

第５章 　 弹性静力学小位移变形

　 理论的变分原理

　　 对连续体问题来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微

分方程），并在一定的边界条件下求得其解。这种解析方法，实际做起来往往会遇到很大的困

难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，而且满足不了实际需要。自从２０世纪５０年代

直刚法问世以来，就产生了利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何

形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算中的困

难问题得到解决。这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革。理论探讨上的深入及计算机

性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方

面的一个强有力的工具，无论在结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）及许多边缘学科等都得到广泛的应用。

有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教科书和著作中均有详细讨论，本

章不再赘述。变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个

较系统地了解。本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理做系统性的介绍，从一般常用的最

小位能原理和最小余能原理，引申到拉格朗日乘子法（ＬａｇｒａｎｇｅＭｕｌｔｉｐｌｅＭｅｔｈｏｄ）的完全及

不完全广义变分原 理 和 为 分 区 集 合 体 的 分 区（Ｓｕｂｒｅｇｉｏｎ）广 义 变 分 原 理，这 将 涉 及 以 混 合

（Ｍｉｘｅｄ）模型和杂交（Ｈｙｂｒｉｄ）模型为基础的变分原理。在此基础上，针对不同变分原理，进一

步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及

变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限

元模型之间的关系。

５１　 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理

设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为ｘｉ（ｉ＝１，２，３），体积为Ｖ 的弹性体中任意一点的位

移参数为ｕｉ（ｉ＝１，２，３）、应力分量为σｉｊ 以及应变分量εｉｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３）。由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。

（１）力的平衡方程为

σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０，　 在Ｖ 内 （５ １）

式中Ｆｉ 表示体力，σｉｊ，ｊ 表示应力分量σｉｊ 对坐标分量ｘｊ 的偏导数（以下相同）。

—４５—

（２）应变 位移关系式（几何关系）

εｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ），　 在Ｖ 内 （５ ２）

（３）应力 应变关系式（物理关系）

σｉｊ ＝ａｉｊｋｌεｋｌ （５ ３）

εｉｊ ＝ｂｉｊｋｌσｋｌ （５ ４）式中ａｉｊｋｌ 为弹性模量系数，ｂｉｊｋｌ 为劲度系数，ａｉｊｋｌ 和ｂｉｊｋｌ 都具有对称性。

（４）在弹性体的边界上，表面Ｓ可划分为两部分：外力已知的边界Ｓσ 及位移为已知的边界

Ｓｕ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即

Ｓ＝Ｓσ＋Ｓｕ （５ ５）在力的边界Ｓσ 上

σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ （５ ６）

式中Ｔｉ 为已知边界力，ｎｊ 为Ｓσ 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。在位移边界Ｓｕ 上

ｕｉ＝ｕｉ （５ ７）式中ｕｉ 为已知边界位移。式（５ ６）和式（５ ７）统称为“边界条件”。

上述的诸方程共有１５个，即３个平衡方程、６个应变 位移关系方程、６个物理关系方程。而未知变量也共计１５个：６个应力分量σｉｊ、６个应变分量εｉｊ 和３个位移分量ｕｉ。因此该问题是

可以求解的。小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）Ａ和余应变能泛函（余应变能密度）Ｂ可

表示为

Ａ（εｉｊ）＝ １２ａｉｊｋｌεｉｊεｋｌ（５ ８）

Ｂ（σｉｊ）＝ １２ｂｉｊｋｌσｉｊσｋｌ（５ ９）

不难看出，Ａ（εｉｊ）和Ｂ（σｉｊ）存在以下关系

εｉｊσｉｊ ＝Ａ（εｉｊ）＋Ｂ（σｉｊ） （５ １０）并且容易证明

εｉｊ ＝Ｂ（σｉｊ）σｉｊ

（５ １１）

σｉｊ ＝Ａ（εｉｊ）εｉｊ

（５ １２）

１虚功原理与总位能原理

这里用δεｉｊ 和δｕｉ 分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。则由虚功原理可写出虚功方程为

∫ＶσｉｊδεｉｊｄＶ－∫ＶＦｉδｕｉｄＶ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＝０ （５ １３）

式（５ １３）成立是有条件的，要求δεｉｊ 和δｕｉ在弹性体内部满足应变 位移关系和在位移边界上

满足给定位移边界条件，即

δεｉｊ ＝ １２（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ），　 在Ｖ 内 （５ １４）

—５５—

δｕｉ＝０，　 在Ｓｕ 上 （５ １５）虚功原理表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边

界条件所容许的任意虚位移，式（５ １３）成立。反过来，如果式（５ １３）对于为位移边界条件所

容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。值得提出的是，不管材料的应力 应变关系

是线性还是非线性，虚功原理都成立。如果用下面泛函表示弹性体的总位能Πｐ

Πｐ＝∫Ｖ［Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （５ １６）

对式（５ １６）取驻值，即一阶变分等于零，则

δΠｐ＝∫Ｖ［σｉｊδεｉｊ－Ｆｉδｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＝０ （５ １７）

将式（５ １３）与式（５ １７）作比较，显然，式（５ １７）就是式（５ １３）。所以，可以把式（５ １６）理

解为虚功原理的另一种表达形式。由于

∫ＶσｉｊδεｉｊｄＶ ＝∫Ｖσｉｊ １２（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ）ｄＶ ＝∫Ｖσｉｊδｕｉ，ｊｄＶ （５ １８）

利用格林公式，上式等号右边的积分可变换为

∫Ｖσｉｊδｕｉ，ｊｄＶ ＝∫ＳσｉｊｎｊδｕｉｄＳ－∫Ｖσｉｊ，ｊδｕｉｄＶ

并引用式（５ １５），则式（５ １７）可化为

∫Ｖ（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）δｕｉｄＶ＋∫Ｓσ

（Ｔｉ－σｉｊｎｊ）δｕｉｄＳ＝０

因为δｕｉ为独立量，则由总位能驻值条件可导出平衡方程式（５ １），即σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ＝０（在Ｖ内）及

力的边界条件式（５ ６），即σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ（在Ｓσ 上）。式（５ １６）表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变 位移关系式（５ ２）

和位移边界条

件式（５ ７）的所有容许的ｕｉ 中，实际的ｕｉ 使弹性体的总位能取最小值

。

２余虚功原理与总余能原理

余虚功原理中，可用δσｉｊ 表示弹性体内的应力变分，即虚应力。另外，用δＴｉ 表示弹性体指

定位移边界上的表面边界力的变分。与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为

∫ＶεｉｊδσｉｊｄＶ－∫ＳｕδＴｉｕｉｄＳ＝０ （５ １９）

余虚功原理在满足平衡方程式（５ １）及力的边界条件式（５ ６）的条件下成立，即满足式

（５ １）和式（５ ６）的变分形式的条件为

δσｉｊ，ｊ ＝０，　 在Ｖ 内 （５ ２０）

δＴｉ＝０，　 在Ｓσ 上 （５ ２１）现在定义下面的泛函为弹性体的总余能Πｃ

Πｃ＝∫ＶＢ（σｉｊ）ｄＶ－∫ＳｕＴｉｕｉｄＳ （５ ２２）

现在对式（５ ２２）取驻值，即δΠｃ＝０，则有

δΠｃ＝∫ＶδＢ（σｉｊ）ｄＶ－∫ＳｕｕｉδＴｉｄＳ＝０ （５ ２３）

—６５—

利用格林公式，上式中的体积分项可化为

∫ＶδＢ（σｉｊ）ｄＶ ＝∫ＶεｉｊδσｉｊｄＶ ＝∫Ｖｕｉ，ｊδσｉｊｄＶ ＝∫ＳｕｉｎｊδσｉｊｄＳ－∫Ｖｕｉδσｉｊ，ｊｄＶ

考虑到式（５ ２１），则式（５ ２３）可化为

∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）δσｉｊｎｊｄＳ－∫Ｖｕｉδσｉｊ，ｊｄＶ ＝０ （５ ２４）

又考虑到δσｉｊ 应满足式（５ ２０），且δσｉｊ 为独立量，则由Πｃ 的驻值条件可以导出位移边界Ｓｕ 上

的协调条件为

ｕｉ－ｕｉ ＝０ （５ ２５）式（５ ２２）表 达 了 弹 性 体 的 最 小 余 能 原 理：在 满 足 平 衡 方 程 式（５ １）

和 力 的 边 界 条 件

式（５ ６）的所有容许的应力σｉｊ 中，实际的应力σｉｊ 使弹性体的总余能取最小值

。上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函Πｐ

应满足的条件是式（５ ２）和式（５ ７），而最小余能原理的泛函Πｃ 应满足的条件是式（５ １）和

式（５ ６）。这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。

５２　 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理

一、完全广义变分原理

现在，利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。在５．１节的

讨论中，不论是总位能原理或总余能原理，其能量泛函的提出都是附带一定条件的，即在满足

一定条件下提出的。如果利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中

去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。于是就形成了下面的完全广义变分原理。

１基于总位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理

现在，给 总 位 能 原 理 的 初 始 满 足 条 件 即 应 变 位 移 关 系 式（５ ２）和 位 移 边 界 条 件

式（５ ７），分别乘以定义在体积Ｖ内的和位移边界Ｓｕ 上的拉格朗日乘子λｉｊ 和μｊ，并与总位能

泛函Πｐ 相加组成新的泛函ΠＧｐ

　　　　　　　ΠＧｐ＝∫Ｖ［Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｉｕｉ］ｄＶ＋∫Ｖλｉｊ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ［ ］）ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

μｉ（ｕｉ－ｕｉ）ｄＳ （５ ２６）

式（５ ２６）中经受变分的独立量是εｉｊ，ｕｉ，λｉｊ 及μｉ，而不需要附加任何条件。对这些独立量进行

变分，有

　　　　　　　δΠＧｐ＝∫Ｖ Ａεｉｊ ＋λｉ（ ）ｊδεｉｊｄＶ＋∫Ｖ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ［ ］）δλｉｊｄＶ－１２∫Ｖλｉｊ（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ）ｄＶ－∫ＶＦｉδｕｉｄＶ＋

∫Ｓｕ

［μｉδｕｉ＋（ｕｉ－ｕｉ）δμｉ］ｄＳ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ

引用式（５ １８）及格林公式，上式第三个积分可化为

—７５—

１２∫Ｖλｉｊ（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ）ｄＶ ＝∫Ｖλｉｊδｕｉ，ｊｄＶ ＝∫Ｓ

λｉｊｎｊδｕｉｄＳ－∫Ｖλｉｊ，ｊδｕｉｄＶ将上式代入δΠＧｐ 式中，得

　　　　δΠＧｐ＝∫Ｖ （σｉｊ＋λｉｊ）δεｉｊ＋ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）δλｉｊ＋（λｉｊ，ｊ－Ｆｉ）δｕ［ ］｛ ｝ｉ ｄＶ＋

∫Ｓｕ

［（μｉ－λｉｊｎｊ）δｕｉ＋（ｕｉ－ｕｉ）δμｉ］ｄＳ－∫Ｓσ

（λｉｊｎｊ＋Ｔｉ）δｕｉｄＳ

由δΠＧｐ＝０可以导出以下各式

λｉｊ ＝－σｉｊ，　　　　　 在Ｖ 内 （５ ２７ａ）

εｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ），　在Ｖ 内 （５ ２７ｂ）

λｉｊ，ｊ－Ｆｉ ＝０，　 在Ｖ 内 （５ ２７ｃ）

μｉ ＝λｉｊｎｉ，　 在Ｓｕ 上 （５ ２７ｄ）

ｕｉ＝ｕｉ，　 在Ｓｕ 上 （５ ２７ｅ）

λｉｊｎｊ＋Ｔｉ ＝０，　 在Ｓσ 上 （５ ２７ｆ）显然，式（５ ２７ｃ）表示平衡方程，式（５ ２７ｂ）表示应变与位移的关系式，将式（５ ２７ａ）代入式

（５ ２７ｄ）中，则得μｉ＝－σｉｊｎｊ，将式（５ ２７ａ）带入式（５ ２７ｆ），得Ｔ＝σｉｊｎｊ，表示力边界上的给

定条件。从以上的推导中，可以清楚地看到完全广义变分原理可导出的平衡关系式（５ １）、应变

位移关系式（５ ２）、力的边界上的给定表面力式（５ ６）及位移边界上的指定位移式（５ ７）。将乘子λｉｊ，μｊ 分别用－σｉｊ，－σｉｊｎｊ 代替，则泛函ΠＧｐ 可写成下列形式

　　　　　　　ΠＧｐ＝∫Ｖ Ａ（εｉｊ）－ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ［ ］）σｉｊ－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｄＳ－∫Ｓｕ

σｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄｓ （５ ２８）

该式中经受变分的独立量有三类，共１５个，即εｉｊ，ｕｉ 和σｉｊ，没有约束条件。于是，式（５ ２８）表示的完全广义变分原理可叙述为：满足式（５ １）～ 式（５ ７）的解ｕｉ

，

εｉｊ，σｉｊ，必使得泛函ΠＧｐ 有驻值

。式（５ ２６）和式（５ ２８）表示的广义原理，也称为胡海昌 鹫津久一郎原理。现在再讨论另一种形式的完全广义变分原理，即 Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ Ｒｅｉｓｓｎｅｒ（海林格 赖斯纳）

变分原理，同属于无约束条件的广义变分。Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ Ｒｅｉｓｓｎｅｒ泛函由下式定义

ΠＲ ＝∫Ｖ［σｉｊｕｉ，ｊ－Ｂ（σｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）μｉｄＳ

式中经受变分的独立量是σｉｊ，ｕｉ 和拉格朗日乘子μｉ，没有约束条件。对上式泛函取一阶变分，由驻值条件，可得

　　　　　　　δΠＲ ＝δ∫Ｖσｉｊｕｉ，ｊｄＶ－∫ＶＢ（σｉｊ）σｉｊ

δσｉｊｄＶ－∫ＶＦｉδｕｉｄＶ－

∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）δμｉｄＳ＋∫ＳｕμｉδｕｉｄＳ＝０ （５ ２９）

上式等号右边第一个积分，可以进一步用分部积分展开，可得

δ∫Ｖσｉｊｕｉ，ｊｄＶ ＝∫ＳσｉｊｎｊδｕｉｄＳ－∫Ｖσｉｊ，ｊδｕｉｄＶ＋∫Ｖｕｉ，ｊδσｉｊｄＶ （５ ３０）

—８５—

将式（５ ３０）代入式（５ ２９），经过整理，可得

　　　　δΠＲ ＝－∫Ｖ（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）δｕｉｄＶ－∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）σｉｊ

－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ［ ］）δσｉｊｄＶ＋

∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）δｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（μｉ＋σｉｊｎｊ）δｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）δμｉｄＳ＝０

从上式中可以导出以下条件：平衡方程 σｉｊ＋Ｆｉ ＝０，　　 在Ｖ 内

力边界条件 σｉｊｎｊ－Ｔｉ ＝０，　 在Ｓσ 上

位移边界条件 ｕｉ－ｕｉ ＝０，　 在Ｓｕ 上

并且可以得到拉格朗日乘子的含义

μｉ ＝－Ｔｉ ＝－σｉｊｎｊ

如果引入关系式（５ １２），即εｉｊ ＝Ｂ（σｉｊ）σｉｊ

，则还可以得到

应变 位移关系 εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）＝０，　 在Ｖ 内

从而验证了在泛函ΠＲ 极值条件下，导出了弹性力学各类基本方程。将乘子μｉ 用－σｉｊｎｊ 代替，泛函ΠＲ 可以写为下列形式：

ΠＲ ＝∫Ｖ［σｉｊｕｉｊ－Ｂ（σｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）σｉｊｎｊｄＳ （５ ３１ａ）

式中经受变分的独立量共９个，即σｉｊ 和ｕｉ，而没有约束条件。从泛函ΠＲ 中不难看出，此种广义

变分属于二类自变量的广义变分，σｉｊ 和ｕｉ是独立假设的。ＨｅｌｌｉｎｇｅｒＲｅｉｓｓｅｎｅｒ泛函在构造弯曲

板有限元模型上得到广泛的应用（见第７．３节）。实际上，将物理关系引入式（５ ２８）消去应变分量εｉｊ，也可以得到式（５ ３１）。通过分部积分，泛函（５ ３１ａ）也可以写成另一形式

－ΠＲ ＝∫Ｖ［Ｂ（σｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ－∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｄＳ

（５ ３１ｂ）

２基于总余能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理

现在从总余能泛函Πｃ出发，将弹性体内的平衡条件式（５ １）及力的边界条件式（５ ６）分

别由定义在Ｖ 内和Ｓσ 上的拉格朗日乘子λｉ 和μｉ 引入，并形成下面的泛函

ΠＧｃ＝∫Ｖ［σｉｊεｉｊ－Ａ（εｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）λｉ］ｄＶ＋∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）μｉｄＳ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ

式中σｉｊ，εｉｊ，λｉ 和μｉ 均作为独立变量。对上式进行一阶变分，得

　　　　　　δΠＧｃ＝∫Ｖ［（σｉｊ－ａｉｊｋｌεｋｌ）δεｉｊ＋（εｉｊ－λｉ，ｊ）δσｉｊ＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）δλｉ］ｄＶ＋∫Ｓσ

［（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）δμｉ＋（μｉ＋λｉ）ｎｊδσｉｊ］ｄＳ＋

∫Ｓｕ

（λｉ－ｕｉ）ｎｊδσｉｊｄＳ （５ ３２）

上式中

∫Ｖ（εｉｊ－λｉ，ｊ）δσｉｊｄＶ ＝∫Ｖ εｉｊ－１２（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ［ ］）δσｉｊｄＶ （５ ３３）

—９５—

将式（５ ３３）代入式（５ ３２），则由式（５ ３２）可以得到以下驻值条件

σｉｊ ＝ａｉｊｋｌεｋｌ，　　　　　 在Ｖ 内 （５ ３４ａ）

εｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ），　 在Ｖ 内 （５ ３４ｂ）

σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０，　 在Ｖ 内 （５ ３４ｃ）

　Ｔｉ＝σｉｊｎｊ，　 在Ｓσ 上 （５ ３４ｄ）

μｉ ＝－λｉ，　 在Ｓσ 上 （５ ３４ｅ）

λｉ ＝ｕｉ，　 在Ｓｕ 上 （５ ３４ｆ）如果将上式得到的μｉ 和λｉ 代入ΠＧｃ 式，则泛函ΠＧｃ 可以写为下列形式

ΠＧｃ＝∫Ｖ［σｉｊεｉｊ－Ａ（εｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ－∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ

（５ ３５）

式中经受变分的独立量有三类，共１５个，即εｉｊ，ｕｉ 和σｉｊ，而没有约束条件。于是，式（５ ３５）表示的完全广义变分原理可叙述为：满足式（５ １）～ 式（５ ７）的解ｕｉ

，

εｉｊ，σｉｊ，必使得泛函ΠＧｃ 有驻值

。如果平衡条件式（５ １）及力的边界条件式（５ ６）分别由定义在Ｖ 内和Ｓσ 上的拉格朗日

乘子λｉ 和μｉ 引入到总余能泛函Πｃ，并形成下面的泛函

ΠＧｃ１ ＝∫Ｖ［Ｂ（σｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）λｉ］ｄＶ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ＋∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）μｉｄＳ

式 中经受独立变分的量是σｉｊ，λｉ和μｉ。可以证明，上述的泛函与式（５ ３１ｂ）的泛函是相同的，即

ΠＧｃ１ ＝∫Ｖ［Ｂ（σｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ－∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ

（５ ３６）这是一个属于二类自变量的广义变分，其中的σｉｊ 和ｕｉ 是独立假设的。

实际上，将物理关系引入式（５ ３５）消去应变分量εｉｊ，也可以得到式（５ ３６）。下面我们将进一步证明式（５ ２８）与式（５ ３５）的等价性。将式（５ ２８）与式（５ ３５）相加，

得到

ΠＧｐ＋ΠＧｃ＝∫Ｖ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）σｉｊ＋σｉｊ，ｊｕ［ ］ｉ ｄＶ－∫ＳσσｉｊｎｊｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

σｉｊｎｊｕｉｄＳ

利用分部积分

　　　　　　∫Ｖ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）σｉｊ＋σｉｊ，ｊｕ［ ］ｉ ｄＶ ＝∫Ｖ（ｕｉ，ｊσｉｊ＋σｉｊ，ｊｕｉ）ｄＶ ＝

∫ＳσσｉｊｎｊｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

σｉｊｎｊｕｉｄＳ

从而得到

ΠＧｐ＋ΠＧｃ＝０　 或 　ΠＧｐ＝－ΠＧｃ （５ ３７）式（５ ３７）证明了两种泛函的等价性。所以，完全变分原理的两种泛函，即ΠＧｐ 与ΠＧｃ 是等

价的，只是有正、负之差，但这对取驻值没有关系。从物理意义上也比较易于理解：由于小位移

线性弹性系统的完全变分原理，在泛函中全部地概括了所有的条件，因此构成了其等价性。而

对于一般总位能泛函Πｐ 与总余能泛函Πｃ，这一等价性并不成立，读者可以自行验证。

—０６—

二、有条件的不完全广义变分原理

我们已经讨论了不附带任何条件的完全变分原理，对泛函取驻值，导出了所有的需要满足

的条件。但实际情况也并非如此，譬如我们可以不要求完全变分原理的泛函，而只是在满足部

分的条件（即放松提出泛函的某些条件的要求下），再引用拉格朗日乘子法，从而组成不完全变

分原理的泛函。不完全变分原理较多用于有限元素法中，如混合模型、基于位能原理的位移杂

交模型或基于余能原理的应力杂交模型等。对于基于总位能原理的不完全广义变分原理现列举几例，概述如下：（１）在满足位移边界条件式（５ ６）的所有容许变量σｉｊ，εｉｊ，ｕｉ中，只有当σｉｊ，εｉｊ，ｕｉ为真实解

时，才使下面的泛函取驻值：

Πｍｐ１ ＝∫Ｖ Ａ（εｉｊ）＋ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）λｉ［ ］ｊ －Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （５ ３８）

式中σｉｊ，εｉｊ，ｕｉ 均为独立变量。当对式（５ ３８）取驻值时，有

　　　δΠｍｐ１ ＝∫Ｖ Ａεｉｊ

＋λｉ（ ）ｊδεｉｊ＋ εｉｊ－１２ｕｉ，ｊ－１２ｕｊ，（ ）ｉδλｉｊ－λｉｊδｕｉ，ｊ－Ｆｉδｕ［ ］ｉ ｄＶ－

∫ＳｕＴｉδｕｉｄＳ＝０ （５ ３９ａ）

利用格林公式，并引入Ａεｉｊ

＝σｉｊ，可以得到

∫Ｖλｉｊδｕｉ，ｊｄＶ ＝∫ＳλｉｊｎｊδｕｉｄＳ－∫Ｖλｉｊ，ｊδｕｉｄＶ （５ ３９ｂ）

将式（５ ３９ｂ）代入式（５ ３９ａ），同时注意到泛函是在满足位移边界式（５ ７）的条件下提出的，故式（５ ３９ｂ）等号右边第一项中的表面Ｓ只包含力的边界，式（５ ３９ａ）变为

　　　δΠｍｐ１ ＝∫Ｖ （σｉｊ＋λｉｊ）δεｉｊ＋ εｉｊ－１２ｕｉ，ｊ－１２ｕｊ，（ ）ｉδλｉｊ＋（λｉｊ，ｊ－Ｆｉ）δｕ［ ］ｉ ｄＶ－

∫Ｓσ

（λｉｊｎｊ＋Ｔｉ）δｕｉｄＳ＝０ （５ ４０）

因为δεｉｊ，δλｉｊ，δｕｉ 均为独立变量，由式（５ ４０）可导出

在体积Ｖ 内，有

λｉｊ ＝－σｉｊ （５ ４１ａ）

εｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ） （５ ４１ｂ）

σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０ （５ ４１ｃ）在力的边界Ｓσ 上，有

Ｔｉ＝－λｉｊｎｊ （５ ４１ｄ）将式（５ ４１ａ）代入式（５ ４１ｄ），得

Ｔｉ＝σｉｊｎｊ （５ ４１ｅ）将式（５ ４１ａ）代入式（５ ３８），则得泛函Πｍｐ１ 为

Πｍｐ１ ＝∫Ｖ Ａ（εｉｊ）－ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）σｉ［ ］ｊ －Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ

（２）在满足应变 位移关系式（５ ２）的所有容许的变量中，只有真实解才能使下面的泛函

—１６—

取驻值

Πｍｐ２ ＝∫Ｖ［Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）μｉｄＳ （５ ４２）

现在对Πｍｐ２ 取驻值，即δΠｍｐ２ ＝０，有

δΠｍｐ２ ＝∫Ｖ Ａεｉｊδεｉｊ－Ｆｉδｕ［ ］ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

［μｉδｕ＋（ｕｉ－ｕｉ）δμｉ］ｄＳ＝０

（５ ４３）引入式（５ １２），再利用格林公式，式（５ ４３）等号右边第一个积分中的第一项可化为

∫ＶσｉｊδεｉｊｄＶ ＝∫Ｖσｉｊδｕｉ，ｊｄＶ ＝∫ＳｕσｉｊｎｊδｕｉｄＳ－∫Ｖσｉｊ，ｊδｕｉｄＶ

将其代入式（５ ４３），得

　　　　　δΠｍｐ２ ＝－∫Ｖ（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）δｕｉｄＶ＋∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）δｕｉｄＳ＋

∫Ｓｕ

［（σｉｊｎｊ＋μｉ）δｕｉ＋（ｕｉ－ｕｉ）δμｉ］ｄＳ＝０

因为δｕｉ，δμｉ 为独立变量，故由上式可以导出以下条件：

在体积Ｖ 内 σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０ （５ ４４ａ）

在力的边界Ｓσ 上 Ｔｉ＝σｉｊｎｊ （５ ４４ｂ）在位移Ｓｕ 边界上 μｉ ＝－σｉｊｎｊ （５ ４４ｃ）

ｕｉ＝ｕｉ （５ ４４ｄ）现在将式（５ ４４ｃ）代入式（５ ４２），可得泛函Πｍｐ２ 为

Πｍｐ２ ＝∫Ｖ［Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）μｉｄＳ

（３）设位移边界条件为ｕｉ＝ｕｉ（ｉ＝１，２，３）。在满足其中一个位移边界条件如ｕ１＝ｕ１ 的所

有容许的ｕｉ，εｉｊ，σｉｊ 中，只有当ｕｉ，εｉｊ，σｉｊ 为真实解时，才会使下面的泛函有驻值：

　　　　　　Πｍｐ３ ＝∫Ｖ Ａ（εｉｊ）－ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ［ ］）σｉｊ－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

［（ｕ２－ｕ２）σ２ｊｎｊ＋（ｕ３－ｕ３）σ３ｊｎｊ］ｄＳ （５ ４５）

这种不完全满足位移边界的泛函，可以只满足其中一部分位移边界条件，如式（５ ４５）那

样，也可以满足其中的两个位移边界条件，而形成相应的泛函。具体推导读者可自行完成。（４）在满足一个应变 位移关系ε１１－ｕ１，１＝０的所有容许的位移ｕｉ、应变εｉｊ 及应力σｉｊ 中，

真实的ｕｉ，εｉｊ，σｉｊ 必使下面的泛函取驻值：

　　　　Πｍｐ４ ＝∫Ｖ Ａ（εｉｊ）－ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ［ ］）σｉｊ＋（ε１１－ｕ１，１）σ１１－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）σｉｊｎｊｄＳ （５ ４６）

基于总余能原理的不完全广义变分原理，其基本处理方法与上面类似，仍是利用拉格朗日

乘子法，使一部分条件乘以拉格朗日乘子，并将其作为泛函的一部分参与到泛函中去，而将另

一部分条件作为泛函提出的条件。按泛函提出满足不同的条件，也可将其划分为以下几种：（１）在满足力的边界条件式（５ ６）的所有容许的位移ｕｉ、应变εｉｊ 及应力σｉｊ 中，只有真实的

ｕｉ，εｉｊ，σｉｊ 才使下面的泛函有驻值：

—２６—

Πｍｃ１ ＝∫Ｖ［εｉｊσｉｊ－Ａ（εｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）λｉ］ｄＶ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ （５ ４７）

式中σｉｊ，εｉｊ 和拉格朗日乘子λｉ 均作为独立变量。在引用了式（５ １２）、式（５ ３）和式（５ ４），即

δＡ（εｉｊ）＝Ａ（εｉｊ）εｉｊ

δεｉｊ ＝ａｉｊｋｌεｋｌδεｉｊ

和格林公式，使

∫Ｖλｉδσｉｊ，ｊｄＶ ＝∫ＳλｉｎｊδσｉｊｄＳ－∫Ｖλｉ，ｊδσｉｊｄＶ

后，对式（５ ４７）取驻值，可得到

　　　　　δΠｍｃ１ ＝∫Ｖ［（σｉｊ－ａｉｊｋｌεｋｌ）δεｉｊ＋（εｉｊ－λｉ，ｊ）δσｉｊ＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）δλｉ］ｄＶ－∫Ｓｕ

（λｉ－ｕｉ）ｎｊδσｉｊｄＳ＝０

因为δεｉｊ，δλ，δσｉｊ 都是独立变量，故由上式可导出以下驻值条件：在体积Ｖ 内，有

σｉｊ ＝ａｉｊｋｌεｋｌ （５ ４８ａ）

σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０ （５ ４８ｂ）由

∫Ｖ（εｉｊ－λｉ，ｊ）δσｉｊｄＶ ＝∫Ｖ（ｕｉ－λｉ，ｊ）δσｉｊｄＶ ＝０可知，在体积Ｖ 内

ｕｉ＝λｉ （５ ４８ｃ）而在位移边界Ｓｕ 上

λｉ ＝ｕｉ （５ ４８ｄ）将式（５ ４８ｃ）及式（５ ４８ｄ）代入式（５ ４７）中，得

Πｍｃ１ ＝∫Ｖ［εｉｊσｉｊ－Ａ（εｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ

（２）在满足平衡方程式（５ １）的所有容许的ｕｉ，εｉｊ，σｉｊ 中，只有当ｕｉ，εｉｊ，σｉｊ 为真实解时，才使下面泛函取驻值

Πｍｃ２ ＝∫Ｖ［εｉｊσｉｊ－Ａ（εｉｊ）］ｄＶ＋∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）μｉｄＳ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ （５ ４９）

式中应力σｉｊ，应变εｉｊ，乘子μｉ 是作为独立变量的。对泛函式（５ ４９）取驻值，得

　　　　δΠｍｃ２ ＝∫Ｖ［（σｉｊ－ａｉｊｋｌεｋｌ）δεｉｊ－ｕｉδσｉｊ，ｊ］ｄＶ＋∫Ｓσ

［（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）δμｉ＋（μｉ＋ｕｉ）ｎｊδσｉｊ］ｄＳ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）ｎｊδσｉｊｄＳ＝０

推导上式，用了格林公式，使

∫ＶεｉｊδσｉｊｄＶ ＝∫Ｖｕｉ，ｊδσｉｊｄＶ ＝∫ＶｕｉｎｊδσｉｊｄＳ－∫Ｖｕｉδσｉｊ，ｊｄＶ由此可导出以下各式：

σｉｊ，ｊ－ａｉｊｋｌεｋｌ ＝０，　 在Ｖ 内 （５ ５０ａ）

　Ｔｉ＝σｉｊｎｊ，　 在Ｓσ 上 （５ ５０ｂ）

—３６—

μｉ ＝－ｕｉ，　 在Ｓσ 上 （５ ５０ｃ）

ｕｉ＝ｕｉ，　 在Ｓｕ 上 （５ ５０ｄ）现在将式（５ ５０ｃ）代入式（５ ４９）中，可得出泛函Πｍｃ２ 为

Πｍｃ２ ＝∫Ｖ［εｉｊσｉｊ－Ａ（εｉｊ）］ｄＶ－∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｊ）ｕｉｄＳ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ

（３）在满足一个（譬如全部共有三个）给定力边界条件如Ｔ１ ＝σ１ｊｎｊ 的所有容许的ｕｉ，εｉｊ，

σｉｊ 中，只有真实的ｕｉ，εｉｊ，σｉｉｊ 才使下列泛函取驻值

　　　　　　Πｍｃ３ ＝∫Ｖ［εｉｊσｉｊ－Ａ（εｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ－

∫Ｓσ

［（σ２ｊｎｊ－Ｔ２）ｕ２＋（σ３ｊｎｊ－Ｔ３）ｕ３］ｄＳ （５ ５１）

同样，如果要求泛函满足二个以上给定力边界的条件时，参考式（５ ５１）也不难求出其泛

函表达式。读者可以自行推导。

５３　 小位移弹性理论的分区变分原理

传统的变分原理采用整体插值，而有限元素法是把整体分割为有限个元素的集合体，采用

的是分区插值。将分区概念引入变分原理，用分区插值代替整体插值，并且放松各个分区交界

面上的连续性要求，就得到所谓的分区变分原理。分区变分原理是变分原理与分区概念相结合

的产物，它为建立新型的有限元模型提供了坚实的理论基础。设 一个连续的弹性体被划分为若干个分区或单元（见图５ １），其体积分别为Ｖｅ（ｅ＝１，２，

３，…，Ｎ）。任一分区ｅ的体积力为Ｆｅｉ，表面为Ｓｅ，Ｓｅ 一般由三部分组成：

Ｓｅ ＝Ｓｕｅ＋Ｓσｅ＋∑Ｓｅｅ′其 中，Ｓｕｅ 为Ｓｅ中包含给定位移ｕｉ的边界面；Ｓσｅ 为Ｓｅ中包含给定表面力Ｔｉ的边界面；Ｓｅｅ′ 为Ｓｅ与相邻分区ｅ′的交接面。

图５ １　 分区示意图

在分区变分原理中，各个分区按需要可任意定为位能

区（见图５ １中的分区（Ｖｐ１，Ｖｐ２，Ｖｐ３）或余能区（见图５ １中的分区（Ｖｃ１，Ｖｃ２，Ｖｃ３））。各个分区中独立变分的量可以任

意定为三类变量（位移ｕｉ，应力σｉｊ，应变εｉｊ）或两类变量（ｕｉ和σｉｊ）或一 类 变 量（ｕｉ 或σｉｊ）。相 邻 分 区 的 交 接 面 可 分 为

Ｓｐｐ，Ｓｃｃ，Ｓｐｃ 三类，Ｓｐｐ 表示其两侧都是位能区，Ｓｃｃ 的两侧都

是余能区，Ｓｐｃ 的一侧是位能区，另一侧是余能区。各个分区

的各类变量不仅可以独立变分，而且在边界面上可以要求

或不要求满足给定的位移或面力边界条件，在分区的交接

面上也可以要求或不 要 求 满 足 交 接 面 上 位 移 或 面 力 的 连 接 条 件（即 位 移 相 容 条 件 和 力 平 衡

条件）。小位移弹性理论的分区变分原理的泛函一般可写成如下形式

Π＝∑Ｖｐ

Πｐ－∑Ｖｃ

Πｃ－∑Ｓｐｐ

Ｈｐｐ－∑Ｓｃｃ

Ｈｃｃ－∑Ｓｐｃ

Ｈｐｃ （５ ５２）

上式等式右边各项的涵义为：第一项为各位能区Ｖｐ 的总位能Πｐ 或广义的总位能ΠＧｐ 之和，第—４６—

二 项为各余能区Ｖｃ的总余能Πｃ或广义的总余能ΠＧｃ之和，第三、四、五项分别表示相邻分区交

接面处的附加能量之和，取决于交接面的类型。根据分区的性质，我们可以把分区变分原理归结为以下三类：（１）位能分区变分原理。弹性体在整体上被分割成有限个位能区的集合体，并基于最小位

能原理导出的修正变分原理。（２）余能分区变分原理。弹性体在整体上被分割成有限个余能区的集合体，并基于最小余

能原理导出的修正变分原理。（３）混合分区变分原理。弹性体在整体上被分割成有限个位能区和余能区的集合体，是上

述两类修正变分原理的混合。分区变分原理是基于传统变分原理的一种修正变分原理，与５．２节的完全与不完全变分

原理不同的是，后者可以看做是在单元水平上进行修正与混合，而分区变分原理则是在弹性体

整体水平上进行修正与混合。下面我们将在传统变分原理的基础上，为有限元素的集合体进行

分区变分原理的公式推导。

一、位能分区变分原理

为了方便起见，现在用Ｖａ 和Ｖｂ 表示两个任意的相邻元素，用Ｓａｂ 表示Ｖａ 和Ｖｂ 的交接面，如图５ ２所示。另外引用两个符号Ｓａｂ ＝ ｛Ｓａｂ ∈Ｖａ｝和Ｓａｂ ＝ ｛Ｓａｂ ∈Ｖｂ｝来区别交接面是

属于Ｖａ 的还是属于Ｖｂ 的（这里Ｖａ 表示Ｖａ 的整个边界）。

图５ ２　Ｖａ，Ｖｂ，Ｓａｂ

１修正最小位能原理

将每个元素的广义位移表示为

ｕ（１）ｉ ，ｕ（２）ｉ ，…，ｕ（ａ）ｉ ，ｕ（ｂ）ｉ ，…，ｕ（Ｎ）ｉ 　ｉ＝１，２，３如果选择的每一个元素的位移函数满足下列要求：（１）在元素内，是连续的和单值的；（２）在元素的交接面上，满足位移相容条件，即

在Ｓａｂ 上，　ｕ（ａ）ｉ ＝ｕ（ｂ）ｉ （５ ５３）（３）若元素的边界包含有Ｓｕ，则该元素的位移函数应

满足位移边界条件式（５ ７）。这些位移函数的集合可以作为最小位能原理泛函的容

许位移函数，那么，元素集合体的最小位能原理的泛函就由下式给出

ΠＩｍｐ＝∑Πｐ＝∑∫Ｖａ［Ａ（ｕｉ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσαＴｉｕｉｄ｛ ｝Ｓ （５ ５４）

式（５ ５４）中经受变分的独立量是ｕ（ａ）ｉ ，Πｐ 是由式（５ １６）确定的元素Ｖａ 的总位能泛函。

２修正位能原理

如果我们放松元素交接面上的位移相容条件式（５ ５３），将约束条件式（５ ５３）利用定义

在Ｓａｂ 上的拉格朗日乘子λｉ 引入到式（５ ５４）的泛函表达式中，则形成下面的泛函

ΠＩｍｐ１ ＝∑Πｐ－∑∫Ｓａｂ

（ｕ（ａ）ｉ －ｕ（ｂ）ｉ ）λｉｄＳ （５ ５５）

式中的ｕ（ａ）ｉ 和λｉ 是经受变分的独立变量，并带有约束条件式（５ ７）。

对式（５ ５５）取驻值，有

—５６—

　　　　　　δΠＩｍｐ１ ＝－∑∫Ｖａ（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）δｕｉｄＶ＋∫Ｓσａ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）δｕｉｄ｛ ｝Ｓ ＋∑∫Ｓａｂ

（σ（ａ）ｉｊｎ（ａ）ｊ －λｉ）δｕ（ａ）ｉ ｄＳ＋∫Ｓｂａ

（σ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ＋λｉ）δｕ（ｂ）ｉ ｄＳ｛ －

∫Ｓａｂ

（ｕ（ａ）ｉ －ｕ（ｂ）ｉ ）δλｉｄ ｝Ｓ ＝０

由以上的驻值条件，可导出下列的关系式

σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０，　　　　　　 在Ｖａ 内 （５ ５６ａ）

　Ｔｉ＝σｉｊｎｊ，　 在Ｓσａ 上 （５ ５６ｂ）

λｉ ＝σ（ａ）ｉｊｎ（ａ）ｊ ，　 在Ｓａｂ 上；　λｉ ＝－σ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ，　在Ｓｂａ 上 （５ ５６ｃ）

ｕ（ａ）ｉ －ｕ（ｂ）ｉ ＝０，　 Ｓａｂ 上 （５ ５６ｄ）式中ｎ（ａ）ｉ 与ｎ（ｂ）ｉ 分别表示沿Ｓ

ａｂ 与Ｓｂａ 上外法线方向的方向余弦，对同一点来说，有

ｎ（ａ）ｊ ＝－ｎ（ｂ）ｊ显然，式（５ ５６ａ）为平衡方程式（５ １），式（５ ５６ｂ）为力的边界式（５ ６），式（５ ５６ｃ）为乘

子λｉ，式（５ ５６ｄ）为位移相容条件。令Ｔ（ａ）

ｉ 和Ｔ（ｂ）ｉ 分别等于σ（ａ）ｉｊｎ（ａ）ｊ 及σ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ，即有

Ｔ（ａ）ｉ ＝σ（ａ）ｉｊｎ（ａ）ｊ ，　Ｔ（ｂ）

ｉ ＝σ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ （５ ５７）式（５ ５７）指明了拉格朗日乘子λｉ 的物理意义，即λｉ 就等于Ｓａｂ 上的表面力Ｔ（ａ）

ｉ （注意Ｔ（ａ）ｉ 是

ｕ（ａ）ｉ 的函数记作Ｔ（ａ）ｉ ＝Ｔ（ａ）

ｉ （ｕ（ａ）ｉ ））。将λｉ ＝Ｔ（ａ）

ｉ 代入式（５ ５５），得到

ΠＩｍｐ１ ＝∑Πｐ－∑Ｈｐｐ１ （５ ５８）

而

Ｈｐｐ１ ＝∫ＳａｂＴ（ａ）ｉ （ｕ（ａ）ｉ －ｕ（ｂ）ｉ ）ｄｓ　 或 　∫Ｓａｂ

Ｔ（ｂ）ｉ （ｕ（ｂ）ｉ －ｕ（ａ）ｉ ）ｄＳ （５ ５９）

式（５ ５８）给出的原理被称为放松连续性要求的第一修正位能原理。这是因为在ΠＩｍｐ１ 中

放松了式（５ ５３）的要求，每一个元素的位移函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的位

移相容条件的要求。这里要指出的是，这个修正原理不再是最小原理，而仅仅保持其驻值性质。泛函ΠＩｍｐ１还可以作进一步的处理。若我们引进两个函数λ（ａ）ｉ 与λ（ｂ）ｉ ，它们分别定义在Ｓａｂ 与

Ｓｂａ 上，且服从下列关系式：

λ（ａ）ｉ ＋λ（ｂ）ｉ ＝０ （Ａ）由式（Ａ）的条件，可得

λｉ ＝λ（ａ）ｉ ，　－λｉ ＝λ（ｂ）ｉ （Ｂ）现在将式（Ｂ）代入式（５ ５５）中，等号右边末项积分的被积函数就变为

λ（ａ）ｉ ｕ（ａ）ｉ ＋λ（ｂ）ｉ ｕ（ｂ）ｉ （Ｃ）

并附带约束条件式（Ａ）。因此，可以引入一个定义在Ｓａｂ 上的新的拉格朗日乘子μｉ，将约束条件

式（Ａ）加入到泛函（５ ５５）中，于是式（５ ５５）可改写为等价形式，即

ΠＩｍｐ２ ＝∑Πｐ－∑Ｈｐｐ２ （５ ６０）

而

　　　　　　　　　Ｈｐｐ２ ＝∫Ｓａｂ

［λ（ａ）ｉ ｕ（ａ）ｉ ＋λ（ｂ）ｉ ｕ（ｂ）ｉ －μｉ（λ

（ａ）ｉ ＋λ（ｂ）ｉ ）］ｄＳ＝

—６６—

∫Ｓａｂλ（ａ）ｉ （ｕ（ａ）ｉ －μｉ）ｄＳ＋∫Ｓａｂ

λ（ｂ）ｉ （ｕ（ｂ）ｉ －μｉ）ｄＳ

式（５ ６０）被称为放松连续性要求的第二修正位能原理。式中经受变分的独立量是ｕ（ａ）ｉ ，λ（ａ）ｉ 和

μｉ，带有约束条件式（５ ７）。其中，在元素Ｖａ 中的ｕ（ａ）ｉ 及在Ｓ

ａｂ 上的λ（ａ）ｉ 与在元素Ｖｂ 中的ｕ（ｂ）ｉ 及

在Ｓｂａ 上的λ（ｂ）ｉ 都可以独立选取，但必须在元素交接面Ｓａｂ 上有共同的μｉ，以保证交接面处位移

的协调性。取式（５ ６０）的驻值，可得

　　　　　　δΠＩｍｐ２ ＝－∑∫Ｖａ［（σｉｊ，ｊ－Ｆｉ）δｕｉ］ｄＶ＋∫Ｓσａ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）δｕｉｄ｛ ｝Ｓ ＋∑∫Ｓａｂ

（Ｔ（ａ）ｉ －λ（ａ）ｉ ）δｕ（ａ）

ｉ ｄＳ＋∫Ｓｂａ

（Ｔ（ｂ）ｉ －λ（ｂ）ｉ ）δｕ（ｂ）

ｉ ｄＳ｛ －

∫Ｓａｂ

（ｕ（ａ）ｉ －μｉ）δλ（ａ）ｉ ｄＳ－∫Ｓｂａ

（ｕ（ｂ）ｉ －μｉ）δλ（ｂ）ｉ ｄＳ＋

∫Ｓａｂ

（λ（ａ）ｉ ＋λ（ｂ）ｉ ）δμｉｄ ｝Ｓ由此得到在Ｓａｂ 上的驻值条件为

λ（ａ）ｉ ＝Ｔ（ａ）ｉ （５ ６１ａ）

λ（ｂ）ｉ ＝Ｔ（ｂ）ｉ （５ ６１ｂ）

μｉ ＝ｕ（ａ）ｉ （５ ６１ｃ）

μｉ ＝ｕ（ｂ）ｉ （５ ６１ｄ）

及

λ（ａ）ｉ ＋λ（ｂ）ｉ ＝０ （５ ６１ｅ）式（５ ６１）的物理意义十分明显。将式（５ ６１ａ）和式（５ ６１ｂ）代入式（５ ６１ｅ），得

Ｔ（ａ）ｉ ＋Ｔ（ｂ）

ｉ ＝０ （５ ６１ｆ）式（５ ６１ｆ）表示在交接面Ｓａｂ 上，力是平衡的。

如果将驻值条件式（５ ６１ａ）和式（５ ６１ｂ）引入Ｈａｂ２ 中消去λ（ａ）ｉ 和λ（ｂ）ｉ ，就可以把Ｈｐｐ２ 改

写成另一形式为

Ｈｐｐ３ ＝∫ＳａｂＴ（ａ）ｉ （ｕ（ａ）ｉ －μｉ）ｄＳ＋∫Ｓｂａ

Ｔ（ｂ）ｉ （ｕ（ｂ）ｉ －μｉ）ｄＳ

并得到

ΠＩｍｐ３ ＝∑Πｐ－∑Ｈｐｐ３ （５ ６２）

这个原理被称为放松连续性要求的第三修正位能原理。式中经受变分的独立量是ｕ（ａ）ｉ 和μｉ，带有约束条件式（５ ７）。在这些变分的量中，Ｖａ 内的ｕ（ａ）ｉ 与Ｖｂ 内的ｕ（ｂ）ｉ 都可以独立选择，但是对

于Ｓａｂ 和Ｓｂａ，μ必须是共同的。

３修正广义位能原理

下面将从ΠＩｍｐ２ 出发，导出一种修正的广义变分原理。即满足平衡方程式（５ １）、应变 位

移关系式（５ ２）、物理关系式（５ ３）和式（５ ４）、位移边界条件式（５ ６）及力的边界条件式

（５ ７）和在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值

　　　　　　ΠＩｍＧｐ１ ＝∑∫Ｖａ Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｕｉ－σｉｊ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｉ，ｊ［ ］｛ ｝） ｄＶ｛ －

—７６—

∫ＳσａＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕａ

σｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄ ｝Ｓ －∑Ｈｐｐ２ （５ ６３）

式中经受变分的独立量是ε（ａ）ｉｊ ，σ（ａ）ｉｊ ，ｕ（ａ）ｉ ，λ（ａ）ｉ 和μｉ，而不带约束条件。可以证明，在Ｓａｂ 上，ΠｍＧｐ１ 的驻值条件也给出式（５ ６１ａ）～式（５ ６１ｅ）表示的方程。因此，

可以把ΠＩｍＧｐ１ 写成另一等价形式

　　　　　　ΠＩｍＧｐ２ ＝∑∫Ｖａ Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｕｉ－σｉｊ εｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｉ，ｊ［ ］｛ ｝） ｄＶ｛ －

∫ＳσａＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕａ

σｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄ ｝Ｓ －∑Ｈｐｐ４ （５ ６４）

式中

Ｈｐｐ４ ＝∫ＳａｂＴ（ａ）ｉ （ｕ（ａ）ｉ －μｉ）ｄＳ＋∫Ｓｂａ

Ｔ（ｂ）ｉ （ｕ（ｂ）ｉ －μｉ）ｄＳ

式（５ ６４）中经受变分的独立量是ε（ａ）ｉｊ ，σ（ａ）ｉｊ ，ｕ（ａ）ｉ 和μｉ，而不带约束条件。

４修正 Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ Ｒｅｉｓｓｎｅｒ原理

利用应变 位移关系式（５ ２），从泛函ΠＩｍＧｐ２ 中消去应变分量εｉｊ 就导致修正 ＨｅｌｌｉｎｇｅｒＲｅｉｓｓｎｅｒ泛函

　　　　　　　　　ΠＩｍＲ ＝∑∫Ｖａ［σｉｊｕｉ，ｊ－Ｂ（σｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ｛ －

∫ＳσａＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕａ

σｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄ ｝Ｓ －∑∫Ｓａｂ

［Ｔ（ａ）ｉ ｕ（ａ）

ｉ ＋Ｔ（ｂ）ｉ ｕ（ｂ）

ｉ －μｉ（Ｔ（ａ）ｉ ＋Ｔ（ｂ）

ｉ ）］ｄＳ （５ ６５）

式中经受变分的独立量是σ（ａ）ｉｊ ，ｕ（ａ）ｉ 和μｉ，而不带约束条件。利用分部积分，可以得到修正 Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ Ｒｅｉｓｓｎｅｒ泛函的另一表达式

　　　　　　－ΠＩｍＲ ＝∑∫Ｖａ［Ｂ（σｉｊ）＋（σｉｊ，ｊＦｉ）ｕｉ］ｄＶ－∫Ｓσａ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ｛ －

∫Ｓｕａσｉｊｎｊｕｉｄ ｝Ｓ －∑∫Ｓａｂ

（Ｔ（ａ）ｉ ＋Ｔ（ｂ）

ｉ ）μｉｄＳ （５ ６６）

式中经受变分的独立量是σ（ａ）ｉｊ ，ｕ（ａ）ｉ 和μｉ，没有约束条件。

二、余能分区变分原理

我们也可以从最小余能原理出发，导出有限元集合体的最小余能原理、修正余能原理以及

修正广义变分原理等。用下列记号来表示每个元素中的应力

σ（１）ｉｊ ，σ（２）ｉｊ ，…，σ（ａ）ｉｊ ，σ（ｂ）ｉｊ ，…，σ（Ｎ）ｉｊ 　ｉ，ｊ＝１，２，３如果选择的每一个元素的应力函数满足下列要求：（１）在元素中，是连续的和单值的，并且满足平衡方程式（５ １）。（２）在元素的交接面上，满足平衡条件，即

在Ｓａｂ 上，　Ｔ（ａ）ｉ ＋Ｔ（ｂ）

ｉ ＝０ （５ ６７）式中Ｔ（ａ）

ｉ 和Ｔ（ｂ）ｉ 是由式（５ ５７）定义的。

（３）如若元素的边界包含有Ｓσ，则该元素的应力函数应满足力边界条件（５ ６）。这些满足

上述条件的应力函数的集合可以作为最小余能原理泛函的容许函数，那么，元素集合体的最小

余能原理的泛函就可以由下式给出：—８６—

ΠＩｃ＝∑Πｃ＝∑∫ＶａＢ（σｉｊ）ｄＶ－∫ＳｕａＴｉｕｉｄ｛ ｝Ｓ （５ ６８）

式中经受变分的独立量是σ（ａ）ｉｊ ，Πｃ 是由式（５ ２２）确定的元素Ｖａ 的总余能泛函。如果放松元 素 交 接 面Ｓａｂ 上 的 平 衡 条 件 式（５ ６７），利 用 定 义 将 约 束 条 件 式（５ ６７）在

Ｓａｂ 上的拉格朗日乘子μｉ 引入到式（５ ６８）的泛函表 达 式 中，则 得 到 如 下 的 修 正 余 能 原 理 的

泛函

ΠＩｍｃ１ ＝∑Πｃ－∑∫Ｓａｂμｉ（Ｔ

（ａ）ｉ ＋Ｔ（ｂ）

ｉ ）ｄＳ （５ ６９）

式中经受变分的独立量是σ（ａ）ｉ ｊ和μｉ，并带有约束条件式（５ １）和式（５ ６）。把关于泛函ΠＩｍｃ１ 的

原理称为放松连续性要求的修正余能原理。因为在ΠＩｍｃ１ 中放松了对条件（２）的要求，每一个元

素内关于应力的函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的力的平衡条件的要求。这里要

指出，这个修正原理不再是最小原理，而仅仅保持其驻值性质。对式（５ ６９）的泛函进行一阶变分，可得到下列驻值条件：

ｕｉ－ｕｉ ＝０，　 在Ｓｕａ 上 （５ ７０ａ）

μｉ ＝ｕ（ａ）ｉ ，　　 在Ｓａｂ 上 （５ ７０ｂ）

μｉ ＝ｕ（ｂ）ｉ ，　　 在Ｓｂａ 上 （５ ７０ｃ）

将式（５ ７０ｂ）或（５ ７０ｃ）代入式（５ ６９），并将ΠＩｍｃ１ 写成以下形式

ΠＩｍｃ１ ＝∑Πｃ－∑Ｈｃｃ１ （５ ７１）

式中Πｃｃ１ 由

Ｈｃｃ１ ＝∫Ｓａｂ

（Ｔ（ａ）ｉ ＋Ｔ（ｂ）

ｉ ）ｕ（ａ）ｉ ｄＳ　 或 　∫Ｓａｂ

（Ｔ（ａ）ｉ ＋Ｔ（ｂ）

ｉ ）ｕ（ｂ）ｉ ｄＳ （５ ７２）

给出。若 将式（５ ７１）中的Πｃ替换为广义余能泛函ΠＧｃ（即式（５ ３５）），同样可以得到一种修正广

义余能原理，即 满 足 平 衡 方 程（５ １）、应 变 位 移 关 系 式（５ ２）、物 理 关 系 式（５ ３）和

式（５ ４）、位移边界条件式（５ ６）及力的边界条件式（５ ７）及在元素交接面上满足位移协调

条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值

　　　　　　　　ΠＩｍＧｃ＝∑∫Ｖａ［σｉｊεｉｊ－Ａ（εｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ｛ －

∫Ｓσａ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ－∫Ｓｕａσｉｊｎｊｕｉｄ ｝Ｓ －∑Ｈｃｃ１ （５ ７３）

式中经受变分的独立量是ε（ａ）ｉｊ ，σ（ａ）ｉｊ ，ｕ（ａ）ｉ 和μｉ，而不带约束条件。或下面的两类自变量的修正广义原理

　　　　　　　　ΠＩｍＧｃ１ ＝∑∫Ｖａ［Ｂ（σｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ｛ －

∫Ｓσａ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ－∫Ｓｕａσｉｊｎｊｕｉｄ ｝Ｓ －∑Ｈｃｃ１ （５ ７４）

式中经受变分的独立量是σ（ａ）ｉｊ ，ｕ（ａ）ｉ 和μｉ，而不带约束条件。以上变分过程，读者可自行进行验证。

三、混合分区变分原理

如果弹性体在整体上被分割为位能区和余能区的混合分区（见图５ １），则形成混合分区

—９６—

变分原理。混合分区变分原理在解决一些特殊结构问题（如裂纹问题）时是非常有效的。在混合分区时，我们用Ｖｐ表示所有位能区的集合，Ｖｃ表示所有余能区的集合，如对图５ １

所示的分区，有

Ｖｐ＝ ｛Ｖｐ１，Ｖｐ２，Ｖｐ３｝，　Ｖｃ＝ ｛Ｖｃ１，Ｖｃ２，Ｖｃ３｝同时用Ｓｐｐ 表示交接面两侧都是位能区，Ｓｃｃ 表示两侧都是余能区，Ｓｐｃ 表示一侧是位能区另一

侧是余能区。考虑两个任意的相邻分区Ｖａ 和Ｖｂ，如果Ｖａ∈Ｖｐ 和Ｖｂ∈Ｖｐ，或Ｖａ∈Ｖｃ 和Ｖｂ∈Ｖｃ，则

其交接面Ｓａｂ ＝Ｓｐｐ，或Ｓａｂ ＝Ｓｃｃ。交接面Ｓｐｐ 处的附加能量已由５．３节“位能分区变分原理”部

分给出，交接面Ｓｃｃ 处的附加能量已由５．３节“余能分区变分原理”部分给出。当相邻分区Ｖａ 和Ｖｂ，一个属于位能区，如Ｖａ∈Ｖｐ，一个则属于余能区，如Ｖｂ∈Ｖｃ 时，其

交接面Ｓａｂ ＝Ｓｐｃ。而交接面Ｓｐｃ 处的附加能量由

Ｈｐｃ＝－∫ＳａｂＴ（ｂ）ｉ ｕ（ａ）

ｉ ｄＳ＝－∫Ｓａｂσ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ｕ（ａ）

ｉ ｄＳ （５ ７５ａ）

给出。因为ｎ（ａ）ｉ ＝－ｎ（ｂ）ｉ ，式（５ ７５ａ）又可写成

Ｈｐｃ＝∫Ｓａｂσ（ｂ）ｉｊｎ（ａ）ｊ ｕ（ａ）

ｉ ｄＳ （５ ７５ｂ）

要证明式（５ ７５ｂ）是很容易的。不失一般性，假设全域由Ｖａ 和Ｖｂ 组成，即Ｖ＝Ｖａ＋Ｖｂ，且Ｖａ ∈Ｖｐ，Ｖｂ∈Ｖｃ。在Ｖａ 内选择位移ｕ（ａ）

ｉ ，并且在Ｖａ 内满足应变 位移关系式（５ ２），在Ｓｕａ上满足位移边界 条 件 式（５ ７），在Ｖｂ 内 选 择 应 力σ（ｂ）ｉｊ ，并 且 在Ｖｂ 内 应 力 满 足 平 衡 方 程 式

（５ １），在Ｓσｂ 上满足力的边界条件式（５ ６），则全域的能量泛函为

Π＝Π（ａ）ｐ －Π（ｂ）ｃ －Ｈｐｃ （５ ７６）其中

Π（ａ）ｐ ＝∫Ｖａ［Ａ（ｕ（ａ）ｉ ）－Ｆｉｕ（ａ）

ｉ ］ｄＶ－∫ＳａｂＴｉｕ（ａ）

ｉ ｄＳ　（即式（５ １６））

Π（ｂ）ｃ ＝∫ＶｂＢ（σ（ｂ）ｉｊ ）ｄＶ－∫Ｓｕｂ

σ（ｂ）ｉｊｎｊｕｉｄＳ　（即式（５ ２２））

Ｈｐｃ＝－∫Ｓａｂσ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ｕ（ａ）

ｉ ｄ

烍

烌

烎Ｓ

（Ａ）

我们要证明的是，在所有容许的位移ｕ（ａ）ｉ 及所有容许的应力σ（ｂ）ｉｊ 中，只有真实的ｕ（ａ）ｉ 及真

实的σ（ｂ）ｉｊ 才使式（５ ７６）的泛函有驻值。对式（５ ７６）的泛函取一阶变分。要注意的是Π（ａ）ｐ 所经受变分的量是位移ｕ（ａ）ｉ ，Π（ｂ）ｃ 所经受

变分的量是应力σ（ｂ）ｉｊ ，而Ｈｐｃ 所经受变分的量是ｕ（ａ）ｉ 和σ（ｂ）ｉｊ 。依据泛函提出的条件，则有

　　　　　　　

δΠ ＝δΠ（ａ）ｐ －δΠ（ｂ）

ｃ －δＨｐｃ

δΠ（ａ）ｐ ＝∫Ｖａ（σ

（ａ）ｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）δｕ（ａ）

ｉ ｄＶ＋∫Ｓσａ

（σ（ａ）ｉｊｎｊ－Ｔｉ）δｕ（ａ）ｉ ｄＳ＋

∫Ｓａｂσ（ａ）ｉｊｎ（ａ）ｊδｕ（ａ）

ｉ ｄＳ

δΠ（ｂ）ｃ ＝∫Ｓｕｂ

（ｕ（ｂ）ｉ －ｕｉ）δσ（ｂ）ｉｊｎｊｄＳ＋∫Ｓｂａｕ（ｂ）ｉδσ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ｄＳ

δΠｐｃ＝－∫Ｓａｂσ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊδｕ（ａ）

ｉ ｄＳ－∫Ｓｂａｕ（ａ）ｉδσ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ｄ

烍

烌

烎Ｓ

（Ｂ）

—０７—

从而导出驻值条件如下：

σ（ａ）ｉｊ，ｊ＋Ｆ＝０，　　　　 在Ｖａ 内

σ（ａ）ｉｊｎｊ ＝Ｔｉ，　 在Ｓσａ 上

ｕ（ｂ）ｉ －ｕｉ ＝０，　 在Ｓｕｂ 上

σ（ａ）ｉｊｎ（ａ）ｊ ＋σ（ｂ）ｉｊｎ（ｂ）ｊ ＝０，　在Ｓａｂ 上

ｕ（ｂ）ｉ ＝ｕ（ａ）ｉ ，　 在Ｓｂａ

烍

烌

烎上

（Ｃ）

显然，式（Ｃ）中的第４式和第５式就是在交接面Ｓａｂ 上的连续性要求。如果ｕ（ａ）ｉ 及σ（ｂ）ｉｊ 是真实解，则式（Ｃ）的条件都成立，从而有δΠ ＝０，即使式（５ ７６）的泛函取驻值。

式（５ ７６）表示的能量原理是有条件的。如果我们对位能区Ｖａ 和余能区Ｖｂ 分别采用完全

或不完全广义变分原理的泛函形式，同样可以得到混合分区的完全与不完全广义变分原理。例如：

（１）真实解ｕｉ，εｉｊ，σｉｊ，使

Π＝Π（ａ）ｐ －Π（ｂ）ｃ －Ｈｐｃ （５ ７７）

有驻值。式中Π（ａ）ｐ 由式（５ ２８）给出，Π（ｂ）ｃ 由式（５ ３５）给出。（２）真实解ｕｉ，σｉｊ，使

Π＝Π（ａ）ｐ －Π（ｂ）ｃ －Ｈｐｃ （５ ７８）

有驻值。式中Π（ａ）ｐ 由式（５ ３１）给出，Π（ｂ）ｃ 由式（５ ３６）给出。

５４　 对应于不同变分原理的元素特性

有限元素法采用离散化方法，借助数值计算，以决定其近似解。当然，随着离散化数学模型

的改善与数值计算水平的提高，其计算结果更逼近于精确解。改善有限元素法计算的措施之

一，是获得性能良好的元素刚度矩阵，而变分原理是有限元素法的基础。为此目的，本节准备利

用以上几节所讨论过的一些变分原理，进一步说明有限元素法中的元素刚度矩阵或柔度矩阵

特性及其形成的一般过程。

一、基于最小位能原理的元素刚度矩阵特性

最小位能原理的基本变量是位移及应变。有限元素法是以元素节点上的位移自由度来表

示这些分量的，如下面的一些我们在有限元素法中所使用的关系式。元素的内位移ｕ与节点位移Δ之间的关系式为

ｕ＝ＮΔ （Ａ）式中Ｎ为联系节点位移与元素内位移的转换矩阵，称为形函数矩阵。

元素的广义应变与节点位移之间的关系为

ε＝ＢΔ （Ｂ）式中ε为元素广义应变列阵；Δ为节点位移列阵；Ｂ为元素几何矩阵。

如果考虑到有初应变ε０ 的影响，则元素应力列阵σ为

σ＝Ｄ（ε－ε０） （Ｃ）式中Ｄ为弹性矩阵。

—１７—

将式（Ａ）、式（Ｂ）、式（Ｃ）代入式（５ １６）表示的总位能泛函中，可得

　　　　　　　　　Πｐ＝∫Ｖ［Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∑ΔｉＦｉ ＝

１２Δ

ＴＫΔ－ΔＴ（Ｆ０＋Ｆ＋Ｆｄ）

其中

Ｋ＝∫ＶＢＴＤＢｄＶ （５ ７９ａ）

Ｆ０ ＝∫ＶＢＴＤε０ｄＶ （５ ７９ｂ）

Ｆｄ＝∫ＳσＮＴＴｄＳ （５ ７９ｃ）

现在对总位能取驻值，即ΠｐΔ ＝０，得

ＫΔ＝Ｆ＋Ｆ０＋Ｆｄ （５ ８０）由式（５ ８０）可知，由最小位能原理可导出元素的刚度矩阵，所以最小位能原理导致“位

移法”。不难证明，若对总位能取二次变分，即δ２Πｐ，则有

δ２Πｐ＝δΔＴＫδΔ对于δΔ≠０的位移增量，能量总为正值，即δ２Πｐ＞０。表明总位能Πｐ 为极小，且元素刚度矩阵

是正定的。从虚功原理也可以得出式（５ ８０）。假设元素的节点虚位移为δΔ，相应的元素的虚应变和

虚内位移为

δε＝ＢδΔδｕ＝ＮδΔ

则由元素的虚功方程

∫ＶδεＴσｄＶ ＝∫ＳσδｕＴＴｄＳ＋∑δΔＴ

ｉＦｉ

并考虑到δ｛Δ｝的任意性，可得

∫ＶＢＴＤＢｄ（ ）Ｖ Δ＝∫ＶＢＴＤε０ｄＶ＋∫ＳσＮＴＴｄＶ＋Ｆ

此式即为式（５ ８０）。

图５ ３　 变截面杆元素

【例５ １】　试求图５ ３所示变截面杆元素的刚度

矩阵。设该杆元１和２端的横截面积分别为Ａ１ 和Ａ２，断面沿杆轴线的变化为线性的。

此杆沿ｘ轴方向的断面面积Ａ（ｘ）可写为

Ａ（ｘ）＝ １－ｘ（ ）Ｌ［ ］ｘＬＡ１Ａ［ ］２

杆的内位移为

ｕ＝ １－ｘ（ ）Ｌ［ ］ｘＬｕ１ｕ［ ］２

—２７—

元素应变ε为

ε＝ １Ｌ［－１　１］

ｕ１ｕ［ ］２

因而

Ｂ＝ １Ｌ［－１　１］

将其代入式（５ ７９ａ）中，可得

　　　　　Ｋ＝∫ＶＢＴＤＢｄＶ ＝ ＥＬ２∫Ｌ

０

－１［ ］１ ［－１　１］ １－ｘ（ ）Ｌ Ａ１＋ｘＬＡ［ ］２ ｄｘ＝Ｅ（Ａ１＋Ａ２）

２Ｌ１ －１－［ ］１ １

二、基于最小余能原理的元素柔度矩阵特性

与基于位能原理的节点位移相对应，在基于余能原理的离散化方法中，引入了节点力Ｆｆ，这时元素的内应力σ应该用节点力表示，并可表示为

σ＝ｚＦｆ这里应该指出的是，这些节点力Ｆｆ 应去掉静定基的支反力，以保证Ｆｆ 中各分量的独立性。元

素边界上的边界应力也同样用节点力Ｆｆ 表示，就是说式（Ａ）也适用于边界上的应力。为方便

起见，我们这里引用

Ｔ＝ＬＦｆ表示边界上的边界力。现在引用式（５ ２２）的总余能泛函，并代入式（Ａ）和式（Ｂ），可得

Πｃ＝ １２ＦＴｆｆＦｆ－ＦＴｆΔ （５ ８１）

式中

ｆ＝∫ＶｚＴＤ－１ｚｄＶ （５ ８２ａ）

Δ＝∫ＳｕＬＴｕｄＳ （５ ８２ｂ）

式（５ ８２ａ）表示元素柔度矩阵，式（５ ８２ｂ）表示元素给定的位移向量。

对式（５ ８１）取驻值，即ΠｃＦｆ

＝０，得

ｆＦｆ ＝Δ （５ ８３）显然，对总余能取驻值，将导出变形方程，并表现出元素的柔度矩阵ｆ。所以，由总余能原理将

导致“力法”的计算公式。

图５ ４　 梁元素

【例５ ２】　求图５ ４所示的悬臂梁的柔度矩阵。设梁的长度为Ｌ，断面面积不变。

梁自由端的节点力为

Ｆｆ ＝Ｆ１Ｍ［ ］１

元素的节点位移为

—３７—

Δ＝ｗ１θ［ ］１

梁的另一端为固定端，它提供了最小数目的约束，即静定基约束。梁的广义应力为

σ＝Ｍ ＝ｘＦ１＋Ｍ１ ＝ ［ｘ　１］Ｆ１Ｍ［ ］１＝ｚＦｆ

显然，式中

ｚ＝ ［ｘ　１］梁的广义弹性模量矩阵Ｄ＝ＥＪ，则由式（５ ２２），可得

Πｃ＝ １２ＥＪ∫Ｌ

Ｍ２ｄｘ－［Ｆ１　Ｍ１］Ｔｗ１θ［ ］１

Πｃ＝ １２［Ｆ１　Ｍ１］Ｔｆ

Ｆ１Ｍ［ ］１－［Ｆ１　Ｍ１］Ｔ

ｗ１θ［ ］１

其中，柔度矩阵为

ｆ＝ １ＥＪ∫Ｌ

ｘ［］１ ［ｘ　１］ｄｘ＝ Ｌ６ＥＪ

２Ｌ２ ３Ｌ３Ｌ［ ］６

三、基于Ｒｅｉｓｓｎｅｒ变分原理（式（５ ３１））的元素刚度特性

如果略去体力，式（５ ３１）给出的泛函ΠＲ 可写为

ΠＲ ＝∫Ｖ［σｉｊｕｉ，ｊ－Ｂ（σｉｊ）］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）ＴｉｄＳ （５ ８４）

这里我们取两种独立变量，即节点位移Δ与节点力Ｆｆ，元素的内应力和内应变与节点力

和节点位移的关系为

应力 　　　σ＝ｚＦｆ （Ａ）应变 　　　ε＝ＢΔ （Ｂ）

式中的节点力Ｆｆ 仍是指对应于静定基自由点上的节点力。元素边界上的位移与边界力，同样，也可以用节点位移与节点力表示为

边界上的位移 　　　ｕ＝ｙΔ （Ｃ）边界上的力 　　　　Ｔ＝ＬＦｆ （Ｄ）

将式（Ａ）、式（Ｂ）、式（Ｃ）、式（Ｄ）代入式（５ ８４）中，可得

ΠＲ ＝ＦＴｆＳ１２Δ－１２ＦＴｆＳ１１Ｆｆ－ΔＴＦ＋ＦＴｆ槇Δｆ （５ ８５）

式中

Ｓ１２ ＝∫ＶｚＴＢｄＶ－∫ＳｕＬＴｙｄＳ （５ ８６ａ）

Ｓ１１ ＝∫ＶｚＴＤ－１ｚｄＶ （５ ８６ｂ）

Ｆ＝∫ＳσｙＴＴｄＳ （５ ８６ｃ）

槇Δｆ ＝∫ＳｕＬＴｕｄＳ （５ ８６ｄ）

—４７—

式（５ ８５）中以Ｆｆ 和Δ为变量，对泛函ΠＲ 取驻值，可得

Ｓ１２Δ－Ｓ１１Ｆｆ－ 槇Δｆ ＝０ （Ｅ）

Ｓ１２ＴＦｆ－Ｆ＝０ （Ｆ）或写为

－Ｓ１１ Ｓ１２ＳＴ１２［ ］０

Ｆｆ［ ］Δ ＝槇Δｆ熿

燀

燄

燅Ｆ（５ ８７）

显然，式（５ ８７）为一混合形式的方程式，未知变量中 既 包 含 有 节 点 力Ｆｆ，又 包 含 有 节 点 位

移Δ。

图５ ５　 梁元素

这种 变 分 能 量 原 理 称 为 Ｒｅｉｓｓｎｅｒ变 分 原

理，以上各式均是基于此变分原理而求得的。【例５ ３】　 图５ ５为一梁元素，节点１与

节点２的受力情况如图所示。现假设元素之间

的位移是连续的，则ｕｉ－ｕｉ＝０（在位移表面Ｓｕ上），因 此 式（５ ８４）等 号 右 边 最 末 项 为 零。显

然，式（５ ８６ａ）第二项及式（５ ８６ｄ）均为零。节点位移Δ为

Δ＝ ［ｗ１　ｗ２　θ１　θ２］Ｔ （Ｇ）

对应于静定基的节点力可取Ｍ１ 和Ｍ２，即

Ｆｆ ＝ ［Ｍ１　Ｍ２］Ｔ （Ｈ）

梁的曲率与节点位移Δ之间关系式为

ｗ″＝Ｎ″Δ （Ｉ）

式中

Ｎ″＝ ２Ｌ２［３（２ξ－１）　－３（２ξ－１）　－Ｌ（３ξ－２）　－Ｌ（３ξ－１）］，　（ξ＝ｘ／Ｌ）

式（Ｉ）相当于ε＝ＢΔ，ｗ″相当于广义应变，Ｎ″相当于Ｂ矩阵，即

Ｂ＝Ｎ″ （Ｊ）

沿梁的弯矩Ｍ 呈线性分布，即

Ｍ ＝ ［１－ξ　ξ］Ｍ１Ｍ［ ］２

（Ｋ）

式（Ｋ）相当于σ＝ｚＦｆ，Ｍ 相当于广义应力，则ｚ矩阵为

ｚ＝ ［１－ξ　ξ］ （Ｌ）

边界位移为ｕ，节点位移为Δ，这里既是边界位移也是节点位移，所以矩阵ｙ＝Ｉ（Ｉ为单位方

阵）。

边界力Ｔ为

Ｔ＝ＬＦｆ （Ｍ）

其中

Ｔ＝ ［Ｆ１　Ｆ２　Ｍ１　Ｍ２］ （Ｎ）

—５７—

Ｌ矩阵为

Ｌ＝

－１／Ｌ －１／Ｌ

１／Ｌ １／Ｌ

１ ０

熿

燀

燄

燅０ １

（Ｏ）

将式（Ｌ）代入式（５ ８６ｂ）中，取Ｄ＝ ［ＥＪ］，则有

Ｓ１１ ＝∫ＶｚＴＤ－１ｚｄＶ ＝ Ｌ６ＥＪ

２ １［ ］１ ２（Ｐ）

将式（Ｌ）及式（Ｊ）代入式（５ ８６ａ）中，有

Ｓ１２ ＝∫ＶｚＴＢｄＶ ＝ １Ｌ－１ １ －Ｌ ０

１ －１ ０［ ］Ｌ （Ｑ）

将式（Ｎ）代入式（５ ８６ｃ），则有

Ｆ＝ ［Ｆ１　Ｆ２　Ｍ１　Ｍ２］ （Ｒ）

将式（Ｇ）、式（Ｈ）、式（Ｐ）、式（Ｑ）和式（Ｒ）代入式（５ ８７），得

－Ｓ１１ Ｓ１２ＳＴ１２

［ ］０

Ｍ１Ｍ２┄ｗ１ｗ２θ１θ

熿

燀

燄

燅１

＝

００┄Ｆ１Ｆ２Ｍ１Ｍ

熿

燀

燄

燅２

（Ｓ）

式（Ｓ）可分解为

Ｍ１Ｍ［ ］２＝Ｓ－１１１Ｓ１２

ｗ１ｗ２θ１θ

熿

燀

燄

燅２

，　ＳＴ１２Ｓ－１１１Ｓ１２

ｗ１ｗ２θ１θ

熿

燀

燄

燅２

＝

Ｆ１Ｆ２Ｍ１Ｍ

熿

燀

燄

燅２于是，求出该元素刚度矩阵为

Ｋ＝ＳＴ１２Ｓ－１１１Ｓ１２

四、基于位能原理的位移杂交模型（Ⅰ）的元素刚度特性

下面所讨论的位移杂交模型基于总位能原理。利用拉格朗日乘子法，建立的泛函能够较好

的满足元素与元素交接面边界上的位移协调或相互作用力之间的平衡关系。现要说明二种位移杂交模型，其中杂交模型（Ⅰ）是将元素的内位移以广义位移参数α表

示，而相邻元素交接面上的边界力却用一组独立的边界应力表示，这些边界应力又可以用节点

力Ｆｆ 表示之，此处Ｆｆ 为对应于静定基的节点广义力。杂交模型（Ⅱ）可以看做是杂交模型（Ⅰ）基础上的发展，它除了以广义参数α表示元素的内位移外，还用广义参数β表示其边界力。另

外，对于边界位移可以用此节点位移表示。这里，先说明杂交模型（Ⅰ）。如上所述，设α为广义位移参数，元素的内位移为ｕ，并用此广

—６７—

义位移参数表示为

ｕ＝ｐα （Ａ）元素边界上的位移也可以用此广义位移参数表示为

ｕ＝ｙα （Ｂ）式中ｐ和ｙ都是转换矩阵，如图５ ６所示。

图５ ６　 位移杂文模型（Ⅰ）

参数α又可分为两部分，刚体自由度所对应参数为αｓ，另一部分αｆ 为除去刚体自由度外

剩下的位移参数，故

α＝αｆα［ ］ｓ

（Ｃ）

将式（Ｃ）的关系式代入式（Ａ）中，由应变 位移关系式可以求出元素的内应变为

ε＝Ｃｆαｆ （Ｄ）

元素间的共同边界上的边界力Ｔ可以用节点力Ｆｆ 表示，有

Ｔ＝ＬＦｆ （Ｅ）

这里的Ｔ是指元素与元素之间的相互作用力。现在将式（Ｃ）代入边界位移ｕ中，则有

ｕ＝ｙα＝ ［ｙｆ　ｙｓ］αｆα［ ］ｓ

（Ｆ）

从 式（Ｆ）中可以发现，位移ｕ由两部分组成，即对应于刚体自由度的位移ｕｓ＝ｙｓαｓ 和对应于刚

体自由度以外的位移ｕｆ ＝ｙｆαｆ。从边界力位能的角度来看，对应于刚体自由度的位能为零，故计算泛函中边界力的位能时，边界力的位能只包含有如

ｕ＝ｕｆ ＝ｙｆαｆ （Ｇ）如果现在所讨论的元素为结构的内部元素，它没有结构的边界，其周围的边界都是各元素

的相邻边界，略去体力的影响，则式（５ １６）可改写为

ΠＨｐ１ ＝∫ＶＡ（εｉｊ）ｄＶ－∫ＳｎＴｉｕｉｄＳ （Ｈ）

式（Ｈ）中等号右边第二项表示在元素间的相交边界Ｓｎ 上边界力Ｔ的位能，将（Ｄ），（Ｅ），（Ｇ）各

式代入式（Ｈ）中，可得

ΠＨｐ１ ＝ １２αＴｆＨαｆ－αＴｆＪＦｆ （５ ８８）

—７７—

式（５ ８８）中

Ｈ＝∫ＶＣＴｆＤＣｆｄＶ （５ ８９ａ）

Ｊ＝∫ＳｎｙＴｆＬｄＳ （５ ８９ｂ）

式（５ ８８）中αｆ 为变量。现在对泛函ΠＨｐ１ 取驻值，即ΠＨｐ１ ＝０，则得

Ｈαｆ－ＪＦｆ ＝０ （Ｉ）由式（Ｈ）可得

αｆ ＝Ｈ－１ＪＦｆ （Ｊ）将式（Ｊ）代入式（５ ８８），可得

ΠＨｐ１ ＝－１２ＦＴｆｆＦｆ （５ ９０）

于是，求得元素柔度矩阵ｆ为

ｆ＝ＪＴＨ－１Ｊ （５ ９１）显然，从杂交模型（Ｉ）中，我们导出了元素的柔度矩阵，所以此方法将导致“力法”。

【例５ ４】　 对于图５ ５所示的梁元素，该梁元素的挠度表示为三次多项式，即

ｗ＝ａ１ｘ３＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ＋ａ４ ＝ ［ｐｆ　ｐｓ］αｆα［ ］ｓ

（Ｋ）

式中

ｐｓ ＝ ［ｘ　１］，　ｐｆ ＝ ［ｘ３　ｘ２］

αｓ ＝ａ３ａ［ ］４

，　αｆ ＝ａ１ａ［ ］２

则式（Ｄ）可表示为

ε＝ｗ″＝ ［６ｘ　２］ａ１ａ［ ］２＝Ｃｆαｆ （Ｌ）

边界位移可由式（Ｂ）确定，由挠度函数式（Ｋ），不难求出

ｕ＝

ｗ１θ１┄ｗ２θ

熿

燀

燄

燅２

＝

０ ０ ０ １０ ０ －１ ０Ｌ３ Ｌ２ Ｌ １

－３Ｌ２ －２Ｌ －

熿

燀

燄

燅１ ０

ａ１ａ２┄ａ３ａ

熿

燀

燄

燅４

＝ ［ｙｆ　ｙｓ］αｆ┄α

熿

燀

燄

燅ｓ（Ｍ）

元素的节点力为Ｆｆ，即

Ｆｆ ＝ ［ｆ１　Ｍ１］Ｔ （Ｎ）边界力在此情形下是十分简单的，即梁元素的所有与邻元相交的边界力，即

Ｔ＝ ［Ｆ１　Ｍ１　Ｆ２　Ｍ２］Ｔ （Ｏ）

由式（Ｅ）可写出边界力Ｔ为

Ｔ＝

Ｆ１Ｍ１Ｆ２Ｍ

熿

燀

燄

燅２

＝

１ ００ １－１ ０－Ｌ －

熿

燀

燄

燅１

Ｆ１Ｍ［ ］１＝ＬＦｆ （Ｐ）

—８７—

将式（Ｌ）中的Ｃｆ 代入式（５ ８９ａ）中，可得

Ｈ＝ＥＪ∫ＬＣＴｆｄｘ＝ＥＪＬ

１２Ｌ２ ６Ｌ６Ｌ［ ］４ （Ｑ）

将式（Ｍ）中的ｙｆ 及式（Ｐ）中的Ｌ代入式（５ ８９ｂ）中，得

Ｊ＝∫ＳｎｙＴｆＬｄＳ＝

２Ｌ３ ３Ｌ２

Ｌ２ ２［ ］Ｌ （Ｒ）

将式（Ｑ）和式（Ｒ）代入式（５ ９１），得

ｆ＝ＪＴＨ－１Ｊ＝ Ｌ６ＥＪ

２Ｌ２ ３Ｌ３Ｌ［ ］６

此式就是我们已熟悉的悬臂梁的元素柔度矩阵。

五、基于位能原理的位移杂交模型（Ⅱ）的元素刚度特性

在位移杂交模型（Ⅱ）中，除了以广义位移参数α表示元素的内位移ｕ外，还引用广义力参

数βｆ 表示边界力，而边界位移则用节点位移Δ表示。由位移杂交模型（Ⅱ）可以导出元素的刚

度矩阵，其推导过程如下。我们选择相邻元素边界上的协调位移为ｕ，该位移可用节点位移Δ表示为

ｕ＝ｙΔ，　 在Ｓｎ 上 （Ａ）如图５ ７所示。

图５ ７　 位移杂交模型（Ⅱ）

仍用广义位移参数α表示元素的内位移ｕ，得

ｕ＝ｐα （Ｂ）及应变为

ε＝Ｃｆαｆ （Ｃ）为了保证相邻元素间共同边界上的位移协调，这里将ｕｉ－ｕｉ ＝０的边界位移条件引入能

量泛函。共同边界上的边界力Ｔ可以用广义力参数βｆ 表示，这里βｆ 中的下标ｆ表示除去静定

基以外的广义力参数，有

Ｔ＝Ｌβｆ （Ｄ）则在共同相交元素边界上，边界力的位能等于

∫ＳｎＴｉ（ｕｉ－ｕｉ）ｄＳ （Ｅ）

如果这里仍取内部元素为讨论的对象，在忽略体力的情况下，总位能泛函可写为

—９７—

ΠＨｐ２ ＝∫ＶＡ（εｉｊ）ｄＶ－∫ＳｎＴｉ（ｕｉ－ｕｉ）ｄＳ （Ｆ）

现在，将式（Ａ）、式（Ｃ）、式（Ｄ）及边界位移ｕ＝ｙｆαｆ 代入式（Ｆ）中，则得

ΠＨｐ２ ＝ １２αＴｆＨαｆ－βＴｆＲΔ＋αＴｆＱβｆ （５ ９２）

式中

Ｈ＝∫ＶＣＴｆＤＣｆｄＶ （５ ９３ａ）

Ｒ＝∫ＳｎＬＴｙｄＳ （５ ９３ｂ）

Ｑ＝∫ＳｎｙＴｆＬｄＳ （５ ９３ｃ）

式（５ ９２）中，αｆ 与βｆ 都是独立变量。若对ΠＨｐ２ 取驻值，即ΠＨｐ２ ＝０，有

Ｈαｆ－Ｑβｆ ＝０ （Ｇ）

及

ＲΔ＋ＱＴαｆ ＝０ （Ｈ）

将式（Ｈ）等式左右均前乘以（ＱＴ）－１，则有

αｆ ＝ （ＱＴ）－１ＲΔ （Ｉ）

将式（Ｉ）代入式（Ｇ），可求出βｆ 的表达式为

βｆ ＝－Ｑ－１Ｈ（ＱＴ）－１ＲΔ （Ｊ）

将式（Ｉ）和式（Ｊ）代入式（５ ９２），则得

ΠＨＰ２ ＝ １２ΔＴＫΔ （Ｋ）

式（Ｋ）中

Ｋ＝ＲＴ（ＱＴＨ－１Ｑ）－１Ｒ （５ ９４）

式（５ ９４）即为元素的刚度矩阵。

【例５ ５】　 用图５ ５所示的简单梁元素来说明杂交模型（Ⅱ）的计算特点。

梁的应变ε及矩阵Ｈ 的求法与例５ ４相同，这里不再重复计算。梁元素边界位移ｕ就等于

节点位移，即

ｕ＝ ［ｗ１　θ１　ｗ２　θ２］Ｔ，　 在Ｓｎ 上

由式（Ａ）可知，ｙ为单位方阵，即

ｙ＝Ｉ如果取广义参数

β＝ ［β１　β２　β３　β４］Ｔ

则边界力为

Ｔ＝ ［Ｆ１　Ｍ１　Ｆ２　Ｍ２］Ｔ

Ｔ与参数β的关系式为式（Ｄ）。边界力Ｔ为一平衡力系，由平衡条件可知

Ｆ２ ＝－Ｆ１，　Ｍ２ ＝－Ｍ１－Ｆ１Ｌ则参数β与其对应，可表示为

—０８—

β３ ＝－β１　 及 　β４ ＝－β２－β１Ｌ现在取βｆ ＝ ［β１　β２］，于是，由式（Ｄ）可得

Ｔ＝

Ｆ１Ｍ１Ｆ２Ｍ

熿

燀

燄

燅２

＝

１ ０

０ １

－１ ０

－Ｌ －

熿

燀

燄

燅１

β１

β［ ］２＝Ｌβｆ

同时，由式（５ ９３ｂ）和式（５ ９３ｃ），可知

Ｒ＝１ ０ －１ －Ｌ０ １ ０ －［ ］１

及

Ｑ＝２Ｌ３ ２Ｌ２

Ｌ２ ２［ ］Ｌ将Ｈ，Ｒ，Ｑ代入式（５ ９４），即可求出梁的刚度矩阵Ｋ。

六、基于余能原理的应力杂交模型的元素刚度矩阵特性

根据最小余能原理的驻值条件导出的平衡模型将平衡关系处理的较好，而放松某些位移

协调关系，往往给计算带来误差。应力杂交模型利用拉格朗日乘子法，使元素与元素相交边界

上的位移协调关系得到了较好的满足。这里我们取中间元素作为讨论的对象。

与位移杂交模型类似，首先在元素内找到满足平衡条件的应力σ，而应力σ也可以用广义

参数βｆ 表示（见图５ ８）为

σ＝ｚβｆ （Ａ）

式中的βｆ 为保证应力σ满足平衡条件的组合。

图５ ８　 应力杂交模型示意图

另外，在元素与元素的共同边界上，另假设一独立的位移来定义它，该位移ｕ满足边界位

移的协调关系。它可以用节点位移Δ表示为

ｕ＝ｙΔ （Ｂ）在元素边界上，同样也可以用广义参数定义元素的边界力Ｔ，即

Ｔ＝Ｌβｆ （Ｃ）与一般余能泛函式（５ ２２）比较，这里将元素共同边界位移ｕ所形成的位能与应变余能共

同组成泛函ΠＨｃ，即

—１８—

ΠＨｃ＝∫ＶＢ（σｉｊ）ｄＶ－∫ＳｕＴｉｕｉｄＳ （５ ９５ａ）

将式（Ａ）、式（Ｂ）、式（Ｃ）代入式（５ ９５），可得

ΠＨｃ＝ １２βＴｆＨβｆ－βＴｆＧΔ （５ ９５ｂ）

式（５ ９５ｂ）中

Ｈ＝∫ＶｚＴＤ－１ｚｄＶ （５ ９６ａ）

Ｇ＝∫ＳｎＬＴｙｄＳ （５ ９６ｂ）

式（５ ９５ｂ）中的参数βｆ 为独立变量，利用ΠＨｃ 驻值条件，即δΠＨｃ＝０，可得

βｆ ＝Ｈ－１ＧΔ （Ｄ）将式（Ｄ）代入式（５ ９５ｂ）中，得

ΠＨｃ＝－１２ΔＴＫΔ （Ｅ）

式（Ｅ）中的刚度矩阵Ｋ为

Ｋ＝ＧＴＨ－１Ｇ （５ ９７）显然，由应力杂交模型所得到的是元素刚度矩阵，所以，这种杂交法仍属“位移法”的范畴。

【例５ ６】　 这里仍以图５ ５所示的简单梁为例来说明刚度矩阵Ｋ形成的过程。与前例相似，余应变能为

Ｕ（σ）＝ １２ＥＪ∫Ｌ

Ｍ２ｄｘ （Ｆ）

式（Ｆ）中的Ｍ 表示梁的内部弯矩，即

Ｍ ＝Ｍ１＋Ｆ１ｘ （Ｇ）这里取β１ ＝Ｍ１ 与β２ ＝Ｆ１ 作为广义参数，并由平衡条件得到

－Ｍ２ ＝β１＋β２Ｌ，　Ｆ２ ＝－β２于是式（Ｇ）可表示为

σ＝Ｍ ＝ ［１　ｘ］β１

β［ ］２＝ｚβｆ （Ｈ）

梁元素的边界力Ｔ可表示为

Ｔ＝

Ｆ１Ｍ１Ｆ２Ｍ

熿

燀

燄

燅１

＝

０ １１ ００ －１－０ －

熿

燀

燄

燅Ｌ

β１

β［ ］２＝Ｌβｆ （Ｉ）

梁元素的节点位移为

Δ＝ ［ｗ１　θ１　ｗ２　θ２］梁元素与相邻元素的共同边界上的位移为

ｕ＝ ［ｗ１　θ１　ｗ２　θ２］显然ｙ为单位方阵，即

ｙ＝Ｉ （Ｊ）

—２８—

将式（Ｈ）中的ｚ矩阵代入式（５ ９６ａ）中，得

Ｈ＝ １ＥＪ∫Ｌ

ｚＴｚｄｘ＝ １６ＥＪ

６Ｌ ３Ｌ２

３Ｌ２ ２Ｌ［ ］３ （Ｋ）

将式（Ｉ）中的Ｌ矩阵及式（Ｊ）代入式（５ ９６ｂ），可得

Ｇ＝０ １ ０ －１１ ０ －１ －［ ］Ｌ （Ｌ）

将式（Ｋ）与式（Ｌ）代入式（５ ９７），可求出元素刚度矩阵。

七、小结

本节列举了几种典型的有限元模型以及作为这些模型基础的变分原理。现将本节所讨论

过的变分原理的公式及其与有限元模型的关系总结于表５ １中。表 　５ １

变分原理 有限元模型 变 　　　　 量元素刚度Ｋ元素柔度ｆ

最小位

能原理Πｐ 协调模型 位移：ｕ＝ｙΔ　　Δ— 节点位移 Ｋ

ΠＨｐ１位移杂交

模型（Ⅰ）

位移：ｕ＝ｐα　　α— 位移参数

边界力：Ｔ＝ＬＦｆ　　Ｆｆ— 节点力ｆ

ΠＨｐ２位移杂交

模型（Ⅱ）

位移：ｕ＝ｐα　　α— 位移参数

边界力：Ｔ＝Ｌβｆ　　βｆ— 力参数

边界位移：ｕ｝＝ｙΔ　　Δ— 节点位移

Ｋ

最小余

能原理Πｃ 平衡模型 应力：σ＝ｚＦｆ　　Ｆｆ— 节点力 ｆ

ΠＨｃ应力杂交

模型

应力：σ＝ｚβｆ　　βｆ— 应力参数

边界位移：ｕ＝ｙΔ　　Δ— 节点位移Ｋ

Ｒｅｉｓｓｎｅｒ原理

ΠＲ 混合模型位移：ｕ＝ｙΔ　　Δ— 节点位移

应力：σ＝ｚＦｆ　　Ｆｆ— 节点力

［混合型］

或Ｋ

—３８—

第６章 　 弹性薄板小挠度弯曲

　　　　 问题的基础变分原理

　　 我们将平分板厚度的平面称为板的中面。一般的，将板的厚度ｔ不大于板中面最小尺寸的

１５

时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中

面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为

板的挠度。薄板弯曲的精确理论应满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大

的困难。１８５０年，Ｇ．Ｒ．基尔霍夫（ＫｉｒｃｈｈｏｆｆＧｕｓｔａｖＲｏｂｅｒｔ（１８２４—１８８７年），德国物理学家）除

采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似

理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的

中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力σｚ 与应力σｘ，σｙ 和τｘｙ 相比属于小

量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长。这也就是说，薄板中面内各点

都没有平行于中面的位移分量。用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较

复杂时，直接求解偏微分方程是比较困难的。以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的

一个重要途径。本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原

理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。

６１　 基本方程与边界条件回顾

取坐标平面ｘＯｙ与中面重合，ｚ轴垂直于中面，ｘ，ｙ和ｚ轴构成一个右手直角笛卡儿坐标

系。变形后的板内各点沿ｘ，ｙ和ｚ轴方向的位移分别用ｕ，ｖ和ｗ表示。由Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ假设，可以

得到

ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＝－ｚｗｘ，　ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）＝－ｚｗｙ

，　ｗ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｗ（ｘ，ｙ） （６ １）

并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，得到薄板中任意点的应变分量为

εｘ ＝－ｚ２ｗｘ２

，　εｙ ＝－ｚ２ｗｙ２

，　γｘｙ ＝－２ｚ２ｗ

ｘｙ（６ ２）

其余３个应变分量εｚ，γｘｚ 和γｙｚ 根据假设都等于零，即

εｚ ＝０，　γｘｚ ＝０，　γｙｚ ＝０ （６ ３）

—４８—

由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷ｑ（ｘ，ｙ）与剪力Ｑｘ，Ｑｙ 以及弯矩Ｍｘ，Ｍｙ

图６ １　 弯矩、扭矩和剪力的正方向

和 扭 矩 Ｍｘｙ（Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 统 称 为 内 力 矩）与

Ｑｘ，Ｑｙ 之间 的 关 系 式。这 里 要 注 意，Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ是单位中面宽度内的内力矩，它们的量纲是千克；

Ｑｘ，Ｑｙ 是单位中面宽度内的内力，它们的量纲是

千克／米。弯矩、扭矩和剪力 的 正 方 向 如 图６ １所示。

平衡方程为

Ｍｘ

ｘ ＋Ｍｘｙ

ｙ ＝Ｑｘ

Ｍｘｙ

ｘ ＋Ｍｙ

ｙ ＝Ｑｙ

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＝－ｑ（ｘ，ｙ

烍

烌

烎）

（６ ４）

在薄板弯曲理论中，剪力Ｑｘ，Ｑｙ 不产生应变，因而也不做功，因此可以从式（６ ４）中消去Ｑｘ，

Ｑｙ，得到

２Ｍｘ２ｘ ＋

２２Ｍｘｙｘｙ ＋

２Ｍｙ２ｙ

＋ｑ（ｘ，ｙ）＝０ （６ ５）

以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是对式（６ ５）而言。而内力Ｑｘ，Ｑｙ 不再被作为独立的量看

待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及板的材料性质。在小挠度弯曲理论中，与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ，与挠度ｗ

的关系为

ｋｘ ＝－２ｗｘ２

，　ｋｙ ＝－２ｗｙ２

，　ｋｘｙ ＝－２ｗ

ｘｙ（６ ６）

内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度 槇Ｕ 表示出来，若将 槇Ｕ 表示为ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ 的函数，则有

Ｍｘ ＝槇Ｕ

ｋｘ，　Ｍｙ ＝

槇Ｕｋｙ

，　Ｍｘｙ ＝ １２槇Ｕｋｘｙ

（６ ７）

这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，槇Ｕ 是ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ 的正定的二次

齐次函数。在各向同性的情况下，槇Ｕ 的算式为

槇Ｕ ＝ １２Ｄ［（ｋｘ＋ｋｙ）２－２（１－μ）（ｋｘｋｙ－ｋ

２ｘｙ）］ （６ ８）

将式（６ ８）代入式（６ ７），然后再将式（６ ６）代入，得到内力矩与挠度的关系式为

Ｍｘ ＝－Ｄ ２ｗｘ２ ＋μ

２ｗｙ（ ）２

Ｍｙ ＝－Ｄ ２ｗｙ２

＋μ２ｗｘ（ ）２

Ｍｘｙ ＝－（１－μ）Ｄ２ｗｘ

烍

烌

烎ｙ

（６ ９）

以上各式中Ｄ＝ Ｅｔ３１２（１－μ）

２，称为板的弯曲刚度。其中ｔ为板的厚度，μ为材料的泊松系数。

—５８—

如果我们定义κ为广义应变，Ｍ 为广义应力，即

κ＝

ｋｘｋｙ２ｋｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝

－２ｗｘ２

－２ｗｙ２

－２２ｗ

ｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

，　Ｍ ＝

ＭｘＭｙＭｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

（６ １０）

则有

Ｍ ＝Ｄκ （６ １１）

式中的Ｄ为弯曲刚度矩阵。式（６ ８）可以写为

槇Ｕ ＝ １２κＴＤκ （６ １２）

余应变能密度 槇Ｕ 可看做是内力矩Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 的函数，其值定义为

槇Ｕ ＝Ｍｘｋｘ＋Ｍｙｋｙ＋２Ｍｘｙｋｘｙ －槇Ｕ （６ １３）

并且有

ｋｘ ＝槇Ｕ

Ｍｘ，　ｋｙ ＝

槇Ｕ

Ｍｙ，　２ｋｘｙ ＝

槇Ｕ

Ｍｘｙ（６ １４）

同样，对于线性弹性体，槇Ｕ 是Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 的正定的二次齐次函数。

如果以广义应力Ｍ 表示余应变能密度，则有

槇Ｕ ＝ １２ＭＴＣＭ （６ １５）

式中Ｃ＝Ｄ－１。

式（６ １２）与式（６ １５）都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密

度与余应变能密度在数值上是相等的，即 槇Ｕ ＝ 槇Ｕ。

将式（６ ９）代入式（６ ５），得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为

Ｄ ４ｗｘ４ ＋

２ ４ｗｘ２ｙ２

＋４ｗｙ（ ）４ ＝ｑ（ｘ，ｙ） （６ １６ａ）

或

Ｄ ２ ２ｗ＝ｑ（ｘ，ｙ） （６ １６ｂ）

在处理具体问题时，经常会遇到坐标旋转而引起的变换。如果坐标由ｘＯｙ转变为ξＯη，如

图６ ２所示，则两个坐标系中坐标的关系为

ｘ＝ξｃｏｓθ－ηｓｉｎθ，　ｙ＝ξｓｉｎθ＋ηｃｏｓθ

ξ＝ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ，　η＝－ｘｓｉｎθ＋ｙｃｏｓ烍烌烎θ

（６ １７）

对于挠度ｗ，有ｗ（ｘ，ｙ）＝ｗ（ξ，η），从而

ｗξ＝ｗｘ

ｃｏｓθ＋ｗｙｓｉｎθ

ｗη＝－ｗｘ

ｓｉｎθ＋ｗｙｃｏｓ

烍

烌

烎θ（６ １８）

及二阶偏导为

—６８—

２ｗξ

２ ＝２ｗｘ２ｃｏｓ２θ＋２

２ｗｘｙ

ｓｉｎθｃｏｓθ＋２ｗｙ２ｓｉｎ２θ

２ｗη

２ ＝２ｗｘ２ｓｉｎ２θ－２

２ｗｘｙ

ｓｉｎθｃｏｓθ＋２ｗｙ２ｃｏｓ２θ

２ｗξη

＝２ｗｘ２ｃｏｓθｓｉｎθ＋

２ｗｘｙ

（ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ）＋２ｗｙ２ｃｏｓθｓｉｎ

烍

烌

烎θ

（６ １９）

弯矩、扭矩的变换公式为

Ｍξ＝Ｍｘｃｏｓ２θ＋２Ｍｘｙｓｉｎθｃｏｓθ＋Ｍｙｓｉｎ２θＭη ＝Ｍｘｓｉｎ２θ－２Ｍｘｙｓｉｎθｃｏｓθ＋Ｍｙｃｏｓ２θＭξη ＝－Ｍｘｃｏｓθｓｉｎθ＋Ｍｘｙ（ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ）＋Ｍｙｃｏｓθｓｉｎ

烍烌

烎θ

（６ ２０）

剪力的变换公式为

Ｑξ＝Ｑｘｃｏｓθ＋ＱｙｓｉｎθＱη ＝－Ｑｘｓｉｎθ＋Ｑｙｃｏｓ｝θ （６ ２１）

图６ ２　 坐标转换 图６ ３　 板的边界

在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，现简述如下：设Ω为板在ｘＯｙ平面上的定义域，板的边界为Ｃ，令ｎ为沿边界外向法线的方向，ｓ为边界

的切线，（ｎ，ｓ）的转向与（ｘ，ｙ）的转向是一致，如图６ ３所示。第一种边界为固支边界Ｃ１，在这种边界上，其挠度与法向斜率均为给定的，即有

ｗ＝ｗ，　ｗｎ ＝ｎ，　 在Ｃ１ 上 （６ ２２）

第二种边界为简支边界Ｃ２，在这种边界上，其挠度与法向弯矩为给定的，即有

ｗ＝ｗ，　Ｍｎ ＝Ｍｎ，　 在Ｃ２ 上 （６ ２３）

第三种边界为自由边界Ｃ３，在 自 由 边 界 上，作 用 在 边 界 上 的 力 为 给 定 的。从 内 力 和 力 矩

看，在边界上共有三个，即Ｍｎ，Ｍｎｓ，Ｑｎ，但其中并不完全独立，因为从做功角度来看，Ｍｎｓ 和Ｑｎ并不完全独立。事实上，若边界上的挠度有一变分δｗ，则Ｍｎｓ，Ｑｎ 在δｗ 上所做之功δｗ 是

δｗ ＝∫Ｃ３－Ｍｎｓδｗｓ ＋Ｑｎδ［ ］ｗ ｄｓ （６ ２４）

利用分部积分，上式又可以写成

δｗ ＝∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎδｗｄｓ－Ｍｎｓδｗ｜Ｃ３ （６ ２５）

由式（６ ２５）可知，切向扭矩Ｍｎｓ 可以分解为沿着周边边界Ｃ３ 的分布载荷Ｍｎｓ

ｓ及作用于Ｃ３ 两

—７８—

端的集中力｜Ｍｎｓ｜，而Ｃ３ 两端是支座（不是固支边便是简支边）。从实际板的受力进行分析，可以看到集中力｜Ｍｎｓ｜为作用在角点上，一般是影响到支座上的力，而对板的变形无影响。因此，

分布载荷Ｍｎｓ

ｓ与剪力Ｑｎ 构成沿自由边界Ｃ３ 上的分布力，这部分边界力的虚功为

∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎδｗｄｓ与δｗ 相对应的广义力为Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ，自由边的边界条件应取

Ｍｎ ＝Ｍｎ，　Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ ＝ｑ（ｓ），　 在Ｃ３ 上 （６ ２６）

ｑ（ｓ）为已知的作用在Ｃ３ 上的线分布载荷。

６２　 虚功原理和功的互等定理

力学上，可能位移是指满足位移连续条件的位移。在薄板弯曲问题中，只有一个广义位移

ｗ（ｘ，ｙ），因此，ｗ（ｘ，ｙ）可能作为可能位移的条件是：ｗ，ｗｘ，ｗｙ

是ｘ，ｙ的连续可导函数，并且

在边界上满足连续条件

ｗ＝ｗ，　ｗｎ ＝ｎ，　 在Ｃ１ 上

ｗ＝ｗ 在Ｃ２烍烌

烎上

（６ ２７）

同样，由可能位移ｗ按式（６ １０）也可得到相应的可能曲率。可能内力是指与某种外力保持平衡关系的内力。在薄板弯曲问题中，内力有Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ。

这三个内力组成一组可能内力的条件是：在板的内部满足平衡方程式（６ ５），在板的边界上满

足条件

Ｍｎ ＝Ｍｎ，　　　　　　　　　　 在Ｃ２ 上

Ｍｎ ＝Ｍｎ，　Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ ＝ｑ（ｓ）， 在Ｃ３烍烌

烎上（６ ２８）

根据能量守恒定理，外力在可能位移上所做的功等于可能内力在可能应变上所做的功，我们通常把这一关系叫做虚功原理。在薄板弯曲问题中，若把支座反力也看做外力，则虚功原理

的数学形式是

　　　　　　　　－ΩＭｘ

２ｗｘ２ ＋

２Ｍｘｙ ２ｗ

ｘｙ＋Ｍｙ

２ｗｙ（ ）２ ｄｘｄｙ＝

　　　Ωｑｗｄｘｄｙ＋∫Ｃ

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫ＣＭｎｗｎｄｓ （６ ２９）

上式中，ｗ为可能挠度，Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 是可能内力，它们之间可以完全独立且彼此无任何联系。下面给出式（６ ２９）的数学证明。为了书写简便，引入下面符号

ｌ＝ｃｏｓ（ｎ，ｘ），　ｍ＝ｃｏｓ（ｎ，ｙ）现在将ξ取为ｎ的方向，η取为ｓ的方向，则可以利用式（６ １８）、式（６ ２０）和式（６ ２１）等将Ｍｎ，

Ｍｎｓ，Ｑｎ，ｗｎ，ｗｓ

用Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ，Ｑｘ，ｗｘ，ｗｙ

表示出来，下面的证明中将用到这些公式。

—８８—

式（６ ２９）等号右边两个线积分可做如下化简（引用式（６ ２２）和式（６ ２３）的边界条件），并得到

　　　∫Ｃ

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫ＣＭｎｗｎｄｓ＝

　　∫ＣＱｎｗｄｓ－∫Ｃ

Ｍｎｗｎ＋Ｍｎｓｗ（ ）ｓ ｄｓ＝

　　∫Ｃ（Ｑｘｌ＋Ｑｙｍ）ｗｄｓ－∫Ｃ

（ｌ２Ｍｘ＋２ｌｍＭｘｙ ＋ｍ２Ｍｙ）ｌｗｘ＋

ｍｗ（ ）ｙ｛ ＋

　　［ｌｍ（Ｍｙ－Ｍｘ）＋（ｌ２－ｍ２）Ｍｘｙ］－ｍｗｘ＋

ｌｗ（ ）｝ｙ ｄｓ＝

　　∫Ｃ（Ｑｘｌ＋Ｑｙｍ）ｗｄｓ－∫Ｃ

ｌＭｘｗｘ＋

Ｍｘｙ ｍｗｘ＋

ｌｗ（ ）ｙ ＋ｍＭｙ

ｗ｛ ｝ｙ ｄｓ （６ ３０）

再将式（６ ４）的关系代入式（６ ２９）右边第一个积分项里的ｑ中，展开后为

　　　Ωｑｗｄｘｄｙ＝－Ω

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙ（ ）ｙ ｗｄｘｄｙ＝

－∫Ｃ（ｌＱｘ＋ｍＱｙ）ｗｄｓ＋Ω

Ｑｘｗｘ＋Ｑｙｗ（ ）ｙ ｄｘｄｙ＝

－∫Ｃ（ｌＱｘ＋ｍＱｙ）ｗｄｓ＋

Ω

Ｍｘ

ｘ ＋Ｍｘｙ

（ ）ｙｗｘ＋

Ｍｘｙ

ｘ ＋Ｍｙ

（ ）ｙ ｗ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝

－∫Ｃ（ｌＱｘ＋ｍＱｙ）ｗｄｓ＋∫Ｃ

ｌＭｘｗｘ＋

Ｍｘｙ ｍｗｘ＋

ｌｗ（ ）ｙ ＋ｍＭｙ

ｗ［ ］ｙ ｄｓ－

ΩＭｘ

２ｗｘ２ ＋

２Ｍｘ２ｗ

ｘｙ＋Ｍｙ

２ｗｙ（ ）２ ｄｘｄｙ （６ ３１）

将式（６ ３０）和式（６ ３１）代入式（６ ２９）等号的右边，可以证明其等号左边等于右边。虚功原理方程式（６ ２９），还可以表示为以下恒等式

　　　　　　Ω

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙ（ ）ｙ ｗ－Ｍｘ

２ｗｘ２ －

２Ｍｘｙ ２ｗ

ｘｙ－Ｍｙ

２ｗｙ｛ ｝２ ｄｘｄｙ＝

　　∫Ｃ

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗ－Ｍｎｗ｛ ｝ｎ ｄｓ （６ ３２）

式中，Ｑｘ，Ｑｙ 分别代表式（６ ４）中的前两个方程的缩写。这里所谓恒等式，是指公式（６ ３２）中

的Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ，ｗ是四个可以任意选取的函数。该式要求Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ，ｗ 具有一定连续可导

性质，例如要求ｗ的一阶导数应该是连续而且是可导的。利用上面说明的虚功方程式（６ ２９），我们很容易导出功的互等定理。在式（６ ２９）中，应

再次指明内力Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 与挠度ｗ 是彼此独立的，它们之间是无任何联系。现在有两组载荷

对同一块板作用，形成两组解，分别为

第一组：在载荷ｑ１ 的作用下，产生的内力与挠度为Ｍｘ１，Ｍｙ１，Ｍｘｙ１，ｗ１第二组：在载荷ｑ２ 的作用下，产生的内力与挠度为Ｍｘ２，Ｍｙ２，Ｍｘｙ２，ｗ２

分别形成的虚功方程为

第一组外载及内力取第二组的位移 ｗ２，２ｗ２ｘ２

，２ｗ２ｙ２

，２ｗ２ｘ（ ）ｙ 为虚位移，有

—９８—

　　　　　　　　Ωｑ１ｗ２ｄｘｄｙ＋∫Ｃ

Ｍｎｓ１

ｓ ＋Ｑｎ（ ）１ ｗ２ｄｓ－∫ＣＭｎ１ｗ２

ｎｄｓ＝

　　－ΩＭｘ１２ｗ２ｘ２ ＋

２Ｍｘｙ１２ｗ２ｘｙ＋

Ｍｙ１２ｗ２ｙ（ ）２ ｄｘｄｙ （６ ３３）

第二组外载及内力取第一组的位移 ｗ１，２ｗ１ｘ２

，２ｗ１ｙ２

，２ｗ１ｘ（ ）ｙ 为虚位移，有

　　　　　　　　Ωｑ２ｗ１ｄｘｄｙ＋∫Ｃ

Ｍｎｓ２

ｓ ＋Ｑｎ（ ）２ ｗ１ｄｓ－∫ＣＭｎ２ｗ１

ｎｄｓ＝

　　－ΩＭｘ２２ｗ１ｘ２ ＋

２Ｍｘｙ２２ｗ１ｘｙ＋

Ｍｙ２２ｗ１ｙ（ ）２ ｄｘｄｙ （６ ３４）

式（６ ３３）等号右边可以引用式（６ １１），从而得到

－ΩＭｘ１２ｗ２ｘ２ ＋

２Ｍｘｙ１２ｗ２ｘｙ＋

Ｍｙ１２ｗ２ｙ（ ）２ ｄｘｄｙ＝Ω

κＴ２Ｍ１ｄｘｄｙ （６ ３５）

考虑到Ｍ１ ＝Ｄκ１，Ｍ２ ＝Ｄκ２，则式（６ ３５）可写成

　　　　　ΩκＴ２Ｍ１ｄｘｄｙ＝Ω

κＴ２Ｄκ１ｄｘｄｙ＝

ΩκＴ１Ｄκ２ｄｘｄｙ＝Ω

κＴ１Ｍ２ｄｘｄｙ （６ ３６）

式（６ ３６）即是薄板的功的互等定理，还可以写成

　　　　　　　Ωｑ１ｗ２ｄｘｄｙ＋∫Ｃ

Ｍｎｓ１

ｓ ＋Ｑｎ（ ）１ ｗ２ｄｓ－∫ＣＭｎ１ｗ２

ｎｄｓ＝

　　Ωｑ２ｗ１ｄｘｄｙ＋∫Ｃ

Ｍｎｓ２

ｓ ＋Ｑｎ（ ）２ ｗ１ｄｓ－∫ＣＭｎ２ｗ１ｎｄｓ （６ ３７）

由于采用了线性的应力 应变关系，所以无论是外力功的互等定理式（６ ３７），还是内力

功的互等定理式（６ ３６），都是由能量守恒原理和线性性质产生的结果。

６３　 最小位能原理

考虑板在横向分布载荷ｐ（ｘ，ｙ）作用下处于平衡，并假定在板的边界上三种支持都存在。整个板的总位能包括两部分，一部分为板的应变能Ｕ，它的算式为

Ｕ ＝Ω

槇Ｕｄｘｄｙ （６ ３８）

槇Ｕ 为板的应变能密度，其算式如式（６ １２）。另一部分为外力包括分布载荷ｐ（ｘ，ｙ）及边界力的位能，可写为

Ｖ ＝－Ωｐｗｄｘｄｙ－∫Ｃ３

ｑｗｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３Ｍｎｗｎ

ｄｓ （６ ３９）

于是，整个板的总位能Π为

Π＝Ｕ＋Ｖ ＝Ω（槇Ｕ－ｐｗ）ｄｘｄｙ－∫Ｃ３

ｑｗｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３Ｍｎｗｎ

ｄｓ （６ ４０）

在最小位能原理中，挠度ｗ为惟一经受变分的自变函数，将这种变分称为“一个自变函数

的变分问题”。

—０９—

令ｗ是精确解，与ｗ相应的弯矩、剪力为Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ，Ｑｘ，Ｑｙ 等，它们满足方程式（６ ４）、

式（６ １１）和边界条件式（６ ２２）、式（６ ２３）及式（６ ２６）。令ｗ 为一个可能挠度，则最小位能

原理指 出 与 精 确 解ｗ 相 应 的 总 位 能Π（ｗ）小 于 任 何 与 其 他 可 能 挠 度 ｗ 相 应 的 总 位 能

Π（ｗ）。现在令

Δｗ＝ｗ －ｗ，　ｗ ＝ｗ＋Δｗ （６ ４１）

Δｗ满足下面的边界条件

Δｗ＝０，　Δｗｎ ＝０，　 在Ｃ１ 边界上

Δｗ＝０， 在Ｃ２ 边界上

（６ ４２）

与ｗ 相应的总位能Π（ｗ）为

Π（ｗ）＝Π（ｗ＋Δｗ）＝Π（ｗ）＋２Π１（ｗ，Δｗ）＋Π２（Δｗ） （６ ４３）式中Π２（Δｗ）是把式（６ ４１）代入式（６ ３８），以Δｗ代替ｗ 所得到的结果，即

Π２（Δｗ）＝ １２ΩΔκＴＤΔκｄｘｄｙ （６ ４４）

其中

Δκ＝ －２Δｗｘ２ 　－

２Δｗｙ２

　－２Δｗｘ｛ ｝ｙ

Ｔ（６ ４５）

而

　　　　　２Π１（ｗ，Δｗ）＝－ΩＭｘ

２Δｗｘ２ ＋

２Ｍｘｙ２Δｗｘｙ＋

Ｍｙ２Δｗｙ（ ）２ ｄｘｄｙ－

ΩｐΔｗｄｘｄｙ－∫Ｃ２

ｑΔｗｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３ＭｎΔｗｎ

ｄｓ （６ ４６）

根据式（６ ２９）的虚功方程，可以证明

２Π１（ｗ，Δｗ）＝０这样便有

Π（ｗ）＝Π（ｗ）＋Π２（Δｗ） （６ ４７）从式（６ ４４）可知，Π２（Δｗ）中，不论｛Δｗ｝为任何不全为零的组合，恒有Π２（Δｗ）＞０。因此有

Π（ｗ）＞Π（ｗ） （６ ４８）这便是最小位能原理。

若将最小位能原理写成变分的形式，则有

δΠ ＝０ （６ ４９）利用分部积分，参考式（６ ３０）的推导，由式（６ ４０），δΠ ＝０可以得到

　　　　　　　Ω－

２Ｍｘｘ２ －

２２Ｍｘｙｘｙ －

２ｗｙ２

－（ ）ｐδｗｄｘｄｙ＋　　∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑδｗｄｓ－∫Ｃ２

（Ｍｎ－Ｍｎ）δｗｎｄｓ＝０ （６ ５０）

６４　 最小余能原理

考虑与６．３节相同的薄板弯 曲 问 题。令ｗ，Ｍｘ，Ｍｘｙ，Ｍｙ，Ｑｘ，Ｑｙ 为 精 确 解，再 令 Ｍｓｘ，

—１９—

Ｍｓｘｙ，Ｍｓｙ，Ｑｓｘ，Ｑｓｙ 为一组可能内力，它们满足下列方程

Ｍｓｘ

ｘ ＋Ｍｓｘｙ

ｙ －Ｑｓｘ ＝０

Ｍｓｘｙ

ｘ ＋Ｍｓｙ

ｙ －Ｑｓｙ ＝０

Ｑｓｘｘ ＋

Ｑｓｘｙ ＋ｑ＝

烍

烌

烎０

（６ ５１）

和在边界Ｃ２，Ｃ３ 上的边界条件

在Ｃ２ 上，　　Ｍｓｎ ＝Ｍｎ （６ ５２ａ）

在Ｃ３ 上，　　Ｍｓｎ ＝Ｍｎ，　Ｍｓｎｓ

ｓ ＋Ｑｓｎ ＝ｑ （６ ５２ｂ）

系统的余能Π 包括两部分。一部分为余应变能Ｕ，它的算式为

Ｕ ＝Ω

槇Ｕｄｘｄｙ （６ ５３）

式中 槇Ｕ 为余应变能密度。对于线性的应力与应变关系，它可以表示为式（６ １５）。另一部分为已知的边界位移的余功Ｖ，它的算式为

Ｖ ＝－∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗｄｓ＋∫Ｃ１Ｍｎｎｄｓ （６ ５４）

整个板的总余能Π 为

Π ＝Ｕ ＋Ｖ ＝Ω

槇Ｕｄｘｄｙ－∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｘ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗｄｓ＋∫Ｃ１Ｍｎｎｄｓ （６ ５５）

总余能Π 为自变函数Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 的泛函。现在取

ΔＭｘ ＝Ｍｓｘ－Ｍｘ，　ΔＭｙ ＝Ｍｓｙ－Ｍｙ，　ΔＭｘｙ ＝Ｍｓｘｙ －ＭｘｙΔＱｘ ＝Ｑｓｘ－Ｑｘ，　ΔＱｙ ＝Ｑｓｙ－Ｑｙ

且满足下列方程和边界条件

ΔＭｘｘ ＋ΔＭｘｙｙ ＝ΔＱｘ

ΔＭｘｙｘ ＋ΔＭｙｙ ＝ΔＱｙ

ΔＱｘｘ ＋ΔＱｙｙ ＝

烍

烌

烎０

（６ ５６）

在Ｃ２ 上，　　ΔＭｎ ＝０ （６ ５７ａ）

在Ｃ３ 上，　　ΔＭｎ ＝０，　ΔＭｎｓｓ ＋ΔＱｎ ＝０ （６ ５７ｂ）

以上两式表示内力增量在边界上对应为零的外载荷。并有

Ｍｓ ＝Ｍ＋ΔＭ （６ ５８）于是有

　　　　　　　　　Π（Ｍｓ）＝Π（Ｍ＋ΔＭ）＝Π（Ｍ）＋２Π１（Ｍ，ΔＭ）＋Π２（ΔＭ） （６ ５９）

式中Π２（ΔＭ）为内力增量相应的余应变能，而中间一项代表

—２９—

　　　　　２Π１（Ｍ，ΔＭ）＝－ΩΔＭｘ

２ｗｘ２ ＋

２ΔＭｘｙ ２ｗ

ｘｙ＋ΔＭｙ

２ｗｙ（ ）２ ｄｘｄｙ－

∫Ｃ１＋Ｃ２

ΔＭｎｓｓ ＋ΔＱ（ ）ｎ ｗｄｓ＋∫Ｃ１

ΔＭｎｎｄｓ （６ ６０）

根据式（６ ２９）的虚功方程，可以证明

２Π１（Ｍ，ΔＭ）＝０这样式（６ ５９）可以化为

Π（Ｍｓ）＝Π（Ｍ）＋Π２（ΔＭ） （６ ６１）如果ΔＭ 不全为零，那么由式（６ １５）可知

Π２（ΔＭ）＞０于是可得到

Π（Ｍｓ）＞Π（Ｍ） （６ ６２）这便是最小余能原理。

将最小余能原理表达成变分形式，为

　　　　　　　δΠ ＝Ω－

２ｗｘ２δ

Ｍｘ－２２ｗ

ｘｙδＭｘｙ －

２ｗｙ２δＭ（ ）ｙ ｄｘｄｙ－

∫Ｃ１＋Ｃ２

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｗｄｓ＋∫Ｃ１ｎδＭｎｄｓ （６ ６３）

最小余能原理是一种条件变分原理，因为可能内力必须满足平衡条件式（６ ５１）。

Ｓｏｕｔｈｗｅｌｌ（索斯韦尔）指出，利用应力函数方法可以把以上条件变分问题化为无条件变分

问题。齐次方程的解可以用两个应力函数 槇φ与 槇ψ表示，如

Ｍ０ｘ ＝槇φｙ，　Ｍ０ｙ ＝

槇ψｘ，　Ｍ０ｘｙ ＝－１２

槇φｘ－

槇ψ（ ）ｙ

Ｑ０ｘ ＝ １２ｙ

槇φｘ＋

槇ψ（ ）ｙ ，　Ｑ０ｙ ＝－１２

ｘ

槇φｘ＋

槇ψ（ ）

烍

烌

烎ｙ

（６ ６４）

再令ＭＰｘ，ＭＰ

ｙ，ＱＰｘ，ＱＰｙ 是平衡方程的一组特解。于是可将内力表达为

Ｍｘ ＝ＭＰｘ ＋Ｍ０ｘ，　Ｍｙ ＝ＭＰ

ｙ ＋Ｍ０ｙＭｘｙ ＝ＭＰ

ｘｙ ＋Ｍ０ｘｙＱｘ ＝ＱＰｘ ＋Ｑ０ｘ，　Ｑｙ ＝ＱＰｙ ＋Ｑ０

烍烌

烎ｙ

（６ ６５）

将式（６ ６５）代入式（６ ６３），便可将余能Π 表示成自变量 槇φ和 槇ψ的泛函。自变量 槇φ和 槇ψ除满

足力的边界条件式（６ ５２）外，并不受其他条件的限制，这就把原来的条件变分原理转化为无

条件变分原理。

６５　 二类自变量广义变分原理

上面所介绍的两种变分原理都是最小值原理。在最小值原理中，自变量必须事前满足一定

的条件，所以称它们为条件变分原理。最小值原理虽然具有突出的优点，但用起来不够方便。而无条件广义变分原理，因为自变量可以独立自主变动，事前不受任何限制，用起来则方便多了。但也同时有着共同的缺点，就是所涉及的泛函都只取驻值，而不是极值。

广义的变分原理不过是拉格朗日乘子法在组成泛函过程的具体应用而已，或对拉格朗日

—３９—

乘子赋以力学上的说明。继续考虑前面两节中讨论过的问题，对同一块板的弯曲定义两个泛函如下：

　　　　Π２ ＝Ω－Ｍｘ

２ｗｘ２ －

２Ｍｘｙ ２ｗ

ｘｙ－Ｍｘｙ

２ｗｙ２

－Ｍｙ２ｗｙ２

－槇Ｕ －ｐ（ ）ｗ ｄｘｄｙ－

∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ （ｗ－ｗ）ｄｓ－∫Ｃ３ｑｗｄｓ＋

∫Ｃ１Ｍｎ ｗｎ－（ ）ｎ ｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３

Ｍｎｗｎｄｓ （６ ６６）

　　　　Π２ ＝Ω

槇Ｕ ＋ Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋（ ）ｐ［ ］ｗ ｄｘｄｙ－

∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑｗｄｓ＋∫Ｃ１

Ｍｎｎｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）ｗｎｄｓ （６ ６７）

利用式（６ ３２），注意到边界Ｃ＝Ｃ１＋Ｃ２＋Ｃ３ 的条件，可以证明

Π２＋Π２ ＝０ （６ ６８）

显然，当满足物理关系Ｍ ＝Ｄκ，及位移边界连续

ｗ－ｗ＝０，　 在Ｃ１＋Ｃ２ 边界上

ｗｎ－ｎ ＝

０，　 在Ｃ１ 边界上

的条件下，Π２ 就等于总位能Π。这里Π２ 的下标“２”表示这类泛函包括有二类变量的广义位能，一类为内力矩Ｍｘ，Ｍｙ 和Ｍｘｙ，另一类为挠度ｗ。

所谓二类变量广义变分原理，是指薄板弯曲问题的精确解，使二类变量广义位能和二类变

量广义余能取驻值。即把Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ，ｗ四个函数看做是彼此独立无关的函数，并且使它们

的变分不受任何限制，那么变分式

δΠ２ ＝０　 或 　δΠ２ ＝０ （６ ６９）

相当于薄板 弯 曲 问 题 中 的 全 部 方 程 和 边 界 条 件，即 平 衡 方 程 式（６ ４），内 力 矩 与 挠 度 关 系

式（６ １１），以及边界条件式（６ ２２）、式（６ ２３）和式（６ ２６）。现在证明上述结论。从公式（６ ６６）得到

　　　　　δΠ２ ＝Ω－

２ｗｘ２ －

槇Ｕ

Ｍ（ ）ｘ δＭｘ＋ －２ｗｙ２

－槇Ｕ

Ｍ（ ）ｙ δＭｙ｛ ＋

－２Ｍｘｙ ２ｗ

ｘｙ－槇Ｕ

Ｍｘ（ ）ｙ δＭｘ ｝ｙ ｄｘｄｙ＋Ω

－Ｍｘ２δｗｘ２ －

Ｍｙ２δｗｙ２

－２Ｍｘｙ２δｗｘｙ－ｐδ｛ ｝ｗ ｄｘｄｙ－

∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎδｗｄｓ－∫Ｃ１＋Ｃ２

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ （ｗ－ｗ）ｄｓ－∫Ｃ３ｑδｗｄｓ＋∫Ｃ１

Ｍｎδｗｎｄｓ＋∫Ｃ３

ｗｎ－（ ）ｎδＭｎｄｓ＋

∫Ｃ１＋Ｃ２Ｍｎδｗｎ

ｄｓ （６ ７０）

式（６ ３２）中将ｗ改为δｗ，有—４９—

　　　　　Ω－Ｍｘ

２δｗｘ２ －

Ｍｙ２δｗｙ２

－２Ｍｘｙ２δｗｘ（ ）ｙ ｄｘｄｙ＝

　 －Ω

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙ（ ）ｙ δｗｄｘｄｙ＋∫Ｃ

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎδｗｄｓ－∫ＣＭｎδｗｎｄｓ （６ ７１）

将上式代入式（６ ７０），经过整理后，可得

　　　　　δΠ２ ＝Ω－

２ｗｘ２ －

槇Ｕ

Ｍ（ ）ｘ δＭｘ＋ －２ｗｙ２

－槇Ｕ

Ｍ（ ）ｙ δＭｙ｛ ＋

－２２ｗ

ｘｙ－槇Ｕ

Ｍｘ（ ）ｙ δＭｘ ｝ｙ ｄｘｄｙ－Ω

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋（ ）ｐδｗｄｘｄｙ＋

∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑδｗｄｓ－∫Ｃ１＋Ｃ２

（ｗ－ｗ）δＭｎ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｄｓ－∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）δｗｎｄｓ＋∫Ｃ１

ｗｎ－（ ）ｎδＭｎｄｓ （６ ７２）

因为δＭｘ，δＭｙ，δＭｘｙ，δｗ（其中δＭｎｓ，δＭｎ，δＱｎ 均为任意独立自变函数的组合，故也为任意

的）为任意的，故有第一、二、三项形成物理关系式（６ １４），第四项为平衡方程式（６ ４），最后

的四个边界积分中的被积函数式分别表示了边界条件式（６ ２２）、式（６ ２３）及式（６ ２６）。由此

可知，因为由δΠ２ ＝０可以导出以上各方程，故精确解能使δΠ２ ＝０。二类变量广义变分原理既是最小位能原理的推广，也是最小余能原理的推广。从公式上来

看，Π２ 是Π 的推广，并表现得格外明显。在最小余能原理中，自变量内力要求满足平衡方程

式（６ ４）和有关力的边界条件。将这些方程和条件通过恰当的拉格朗日乘子λ１，λ２，λ３ 并入泛

函之中，得到

　　　　　　　槇Π ＝Ω

槇Ｕ ＋ Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋（ ）ｐλ｛ ｝１ ｄｘｄｙ－

∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑλ２ｄｓ＋∫Ｃ１

Ｍｎｎｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）λ３ｄｓ （６ ７３）

根据乘子λ１，λ２，λ３ 所满足的方程，可以求出其相应的关系。对式（６ ７３）取变分，可得

　　　　　 槇δΠ ＝Ωδ槇Ｕ ＋ Ｑｘ

ｘ ＋Ｑｙｙ ＋（ ）ｐδλ１＋ δＱｘ

ｘ ＋δＱｙ（ ）ｙ λ｛ ｝１ ｄｘｄｙ－∫Ｃ１＋Ｃ２

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑδλ２ｄｓ－∫Ｃ１

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎλ２ｄｓ＋∫Ｃ１δＭｎｎｄｓ＋

∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）δλ３ｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３δＭｎλ３ｄｓ （６ ７４）

对上式中右侧第一项，注意到式（６ １４）和式（６ １０），可以展开如下：

　　　　　　Ωδ槇Ｕｄｘｄｙ＝Ω

槇Ｕ

ＭｘδＭｘ＋

槇Ｕ

ＭｘｙδＭｘｙ ＋

槇Ｕ

ＭｙδＭ｛ ｝ｙ ｄｘｄｙ＝

Ω－

２ｗｘ２δ

Ｍｘ－２２ｗ

ｘｙδＭｘｙ －

２ｗｙ２δＭ｛ ｝ｙ ｄｘｄｙ

引用式（６ ３２），其中以δＭｘ，δＭｘｙ，δＭｙ，δＭｎｓ，δＭｎ，δＱｎ 代替原式中的Ｍｘ，Ｍｘｙ，Ｍｙ，

—５９—

Ｍｎｓ，Ｍｎ，Ｑｎ 等，得到下式

Ωδ槇Ｕｄｘｄｙ＝－Ω

δＱｘｘ ＋δＱｙ（ ）ｙ

ｄｘｄｙ＋∫Ｃ

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｗ－δＭｎｗ｛ ｝ｎ ｄｓ

（６ ７５）将式（６ ７５）代入式（６ ７４）中，经过整理可得

　　　　 槇δΠ ＝Ω

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋（ ）ｐδλ１ｄｘｄｙ＋Ω

δＱｘｘ ＋δＱｙ（ ）ｙ

（λ１－ｗ）ｄｘｄｙ＋

∫Ｃ１＋Ｃ２

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ （ｗ－ｗ）ｄｓ＋∫Ｃ３

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ （ｗ－λ２）ｄｓ－∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑδλ２ｄｓ＋∫Ｃ１ｎ－ｗ（ ）ｎ δＭｎｄｓ＋

∫Ｃ２＋Ｃ３λ３－ｗ（ ）ｎ δＭｎｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）δλ３ｄｓ （６ ７６）

因为δＱｘ，δＱｙ，δＭｎｓ，δＭｎ，δλ１，δλ２，δλ３ 为任意的，故由 槇δΠ ＝０可得

（１）Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋ｐ＝

０和λ１ ＝ｗ（在Ω内）；

（２）λ２ ＝ｗ（在Ｃ３ 边界上），λ３ ＝ｗｎ（在Ｃ２，Ｃ３ 边界上）；

（３）满足所有边界条件式（６ ２２）、式（６ ２３）和式（６ ２６）。将上面求出的λ１，λ２，λ３ 代回到式（６ ７３），便得到无条件广义余能泛函Π

２ 。现在再举薄板弯曲的例子，说明拉格朗日乘子法的应用。处理此类问题，关键在于灵活使

用拉格朗日乘子法。在有限元分析中，诸如“杂交元素”等，其实质都是利用拉格朗日乘子法处

理具体的变分问题。下面将讨论如何利用拉格朗日乘子法解决指定边界位移的薄板弯曲问题

的广义变分原理泛函。有一周边简支的薄板，设简支边与板不在同一平面上，而略有差异，其差别为ｗ（ｓ）。这里

ｗ（ｓ）就是边界上的指定位移，它属于泛函变分的约束条件。薄板的应变能为

Ｕ ＝ １２ΩＤ ２ｗ

ｘ２ ＋２ｗｙ（ ）２ ２

－２（１－μ）２ｗｘ２

２ｗｙ２

－ ２ｗｘ（ ）ｙ［ ］｛ ｝２

ｄｘｄｙ （６ ７７）

因为该板边界上位移是给定的，由此将引起板的挠度ｗ（ｘ，ｙ），即ｗ（ｘ，ｙ）是由边界指定位移

ｗ（ｓ）引起的，板上无外载荷作用，故知板的总位能就等于其应变能，即

Π＝Ｕ （６ ７８）

Ω为板的周边Ｃ所围的面积，在周边Ｃ上（也包括角点ｋ上）应满足条件

ｗ＝ｗ，　 在边界Ｃ上

ｗ＝ｗｋ，　 在角点ｋ＝１，２，…，ｉ烍烌

烎上（６ ７９）

因为周边简支（对扭转刚度不大的支持近似地可作这一假定），边的转角不受限制。最小位能原理指出：在满足式（６ ７９）的一切ｗ（ｘ，ｙ）中，使式（６ ７８）的势能Π最小的

ｗ（ｘ，ｙ）为本题的解。这一原理是在满足式（６ ７９）为前提下，提出的泛函变分问题，实质上属

于条件变分极值问题。将此条件变分极值问题转化为无条件变分问题。为此，我们可以利用拉格朗日乘子法，组

成新的泛函

—６９—

Π ＝Π＋∮Ｃλ（ｓ）（ｗ－ｗ）ｄｓ＋∑

ｉ

ｋ＝１λｋ（ｗｋ－ｗｋ） （６ ８０）

式中λ（ｓ），λｋ（ｋ＝１，２，…，ｉ）为待定的拉格朗日乘子，λ（ｓ）为周边坐标ｓ的函数，λｋ 为角点的

值。将Π 变分

δΠ ＝δΠ＋∮Ｃλ（ｓ）δｗｄｓ＋∑

ｉ

ｋ＝１λｋδｗｋ＋∮Ｃ

（ｗ－ｗ）δλｄｓ＋∑ｉ

ｋ＝１

（ｗｋ－ｗｋ）δλｋ

（６ ８１）对式（６ ８１）的变分可以作如下运算，则δΠ 可写为

　　　　　　δΠ ＝ΩＤ ２ｗ

ｘ２ ＋２ｗｙ（ ）２ ２δｗ

ｘ２ ＋２δｗｙ（ ）２［ －

（１－μ）２ｗｘ２

２δｗｙ２

＋２ｗｙ２

２δｗｘ２ －

２２ｗ

ｘｙ２δｗｘ（ ）］ｙ ｄｘｄｙ （６ ８２）

首先，利用分部积分，将式（６ ８２）中等号右边的第一项展开，可以化为

２ｗｘ２

２δｗｘ２ ＝

ｘ

２ｗｘ２

δｗ（ ）ｘ －ｘ

３ｗｘ３δ（ ）ｗ ＋

４ｗｘ４δ

ｗ

２ｗｙ２

２δｗｙ２

＝ ｙ２ｗｙ２

δｗ（ ）ｙ －ｙ

３ｗｙ３δ（ ）ｗ ＋

４ｗｙ４δｗ

２ｗｘ２

２δｗｙ２

＝ ｙ２ｗｘ２

δｗ（ ）ｙ －ｙ

３ｗｘ２ｙ

δ（ ）ｗ ＋ ４ｗｘ２ｙ２

δｗ

２ｗｙ２

２δｗｘ２ ＝

ｘ

２ｗｙ２

δｗ（ ）ｘ －ｘ

３ｗｘｙ２

δ（ ）ｗ ＋ ４ｗｘ２ｙ２

δｗ

将以上四式代入式（６ ８２）中等号右边的第一项，可得（暂不考虑积分）

　　　　Ｄ ２ｗ ２δｗｘ２ ＋

２δｗｙ（ ）２ ＝Ｄ ２ ２ｗδｗ＋ｘ

２ｗδｗ（ ）ｘ ＋ｙ

２ｗδｗ（ ）ｙ｛ －

ｘ

ｘ

２（ ）ｗδ［ ］ｗ －ｙｙ

２（ ）ｗδ［ ］｝ｗ

利用第２章中的式（２ ７９）和式（２ ８３），并将ｄｘ＝ｃｏｓαｄｓ及ｄｙ＝ｓｉｎαｄｓ代入，式（６ ８２）等号右边的第一项可写为

　　　　　ΩＤ ２ｗ

２δｗｘ２ ＋

２δｗｙ（ ）２ ｄｘｄｙ＝

ΩＤ （２ ２ｗ）δｗ＋ｘ

２ｗδｗ［ ］ｘ ＋ｙ

２ｗδｗ［ ］ｙ｛ －

ｘ

ｘ

２（ ）ｗδ［ ］ｗ －ｙｙ

２（ ）ｗδ［ ］｝ｗ ｄｘｄｙ＝

ΩＤ（２ ２ｗ）δｗｄｘｄｙ＋∮Ｃ

Ｄ ２ｗδｗ（ ）ｘ ｓｉｎα－ ２ｗδｗ

（ ）ｙ ｃｏｓ［ ］αｄｓ－∮ＣＤ

ｘ２（ ）ｗδｗｓｉｎα－

ｙ２（ ）ｗδｗｃｏｓ［ ］αｄｓ＝

ΩＤ（２ ２ｗ）δｗｄｘｄｙ＋∮Ｃ

Ｄ ２ｗδｗｎｄｓ－∮Ｃ

Ｄ ｎ

２（ ）ｗδｗｄｓ （６ ８３）

现在，再来分解式（６ ８２）中等号右边的第二项

　　　　　　－ΩＤ（１－μ）

２ｗｘ２

２δｗｙ２

＋２ｗｙ２

２δｗｘ２ －

２２ｗ

ｘｙ２δｗｘ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝

—７９—

－ΩＤ（１－μ）

ｘ

２ｗｙ２

δｗｘ －

２ｗｘｙ

δｗ［ ］ｙ｛ ＋

ｙ

２ｗｘ２

δｗｙ －

２ｗｘｙ

δｗ［ ］｝ｘ ｄｘｄｙ （６ ８４ａ）

利用第２章中的式（２ ７９）、式（２ ８２）和式（２ ８３），则式（６ ８４ａ）可化为

　　　　　　－ΩＤ（１－μ）

２ｗｘ２

２δｗｙ２

＋２ｗｙ２

２δｗｘ２ －

２２ｗ

ｘｙ２δｗｘ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝

－Ｄ（１－μ）∮Ｃ

２ｗｙ２

δｗｘ －

２ｗｘｙ

δｗ［ ］ｙ ｓｉｎα｛ －

２ｗｘ２

δｗｙ －

２ｗｘｙ

δｗ［ ］ｘ ｃｏｓ ｝αｄｓ （６ ８４ｂ）

分别利用式（２ ８４）展开式（６ ８４ｂ）第一项中的δｗｘ

及δｗｙ，并分别进行运算，可得

　　　　　　－ΩＤ（１－μ）

２ｗｘ２

２δｗｙ２

＋２ｗｙ２

２δｗｘ２ －

２２ｗ

ｘｙ２δｗｘ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝

－Ｄ（１－μ）∮Ｃ

２ｗδｗｎ － ２ｗ

ｘ２δｗｘ ＋

２ｗｘｙ

δｗ（ ）ｙ ｓｉｎα｛ ＋

２ｗｙ２

δｗｙ －

２ｗｘｙ

δｗ（ ）ｘ ｃｏｓ ｝αｄｓ＝

－Ｄ（１－μ）∮Ｃ

２ｗδｗｎ －

ｘｗ（ ）ｘ δｗｘ ＋ｘ

ｗ（ ）ｙ δｗ［ ］ｙ ｓｉｎα｛ －

ｙ

ｗ（ ）ｙ δｗｙ ＋ｙ

ｗ（ ）ｘ δｗ［ ］ｘ ｃｏｓ ｝αｄｓ （６ ８４ｃ）

利用式（２ ８２）和式（２ ８３），则式（６ ８４ｃ）可化为

　　　　　　－ΩＤ（１－μ）

２ｗｘ２

２δｗｙ２

＋２ｗｙ２

２δｗｘ２ －

２２ｗ

ｘｙ２δｗｘ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＝

－Ｄ（１－μ）∮Ｃ

２ｗ－２ｗｎ（ ）２ δｗｎ ＋ ３ｗ

ｎｓ２－ｓ１ρｓｗ（ ）ｓ δ｛ ｝ｗ ｄｓ＋

∑ｉ

ｋ＝１Ｄ（１－μ）

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ δｗｋ （６ ８５）

将式（６ ８３），式（６ ８５）代入式（６ ８２）中，然后再代入式（６ ８１），经过整理后，可得

　　　　　δΠ ＝ΩＤ ２ ２ｗδｗｄｘｄｙ＋∮Ｃ

（ｗ－ｗ）δλｄｓ＋

∑ｉ

ｋ＝１

（ｗｋ－ｗｋ）δｗｋ＋∮ＣＤ μ

２ｗ＋（１－μ）２ｗｎ［ ］２ δｗｎｄｓ＋

∮Ｃλ（ｓ）－Ｄｎ

２ｗ＋（１－μ）２ｗｓ［ ］２ ＋Ｄ（１－μ）ｓ１ρｓ

ｗ｛ ｝ｓ δｗｄｓ＋

∑ｉ

ｋ＝１λｋ－Ｄ（１－μ）

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ｛ ｝ｋδｗｋ （６ ８６）

由于δλ，δλｋ，δｗ，δｗｋ，δｗ（ ）ｎ 都是独立的变量，即可得到

２ ２ｗ＝０，　 在Ω内 （Ａ）

ｗ－ｗ＝０，　 在Ｃ上 （Ｂ）

—８９—

Ｄ μ２ｗ＋（１－μ）

２ｗｎ［ ］２ ＝０，　　　　　　 在Ｃ上 （Ｃ）

λ（ｓ）－Ｄｎ２ｗ＋（１－μ）

２ｗｓ［ ］２ ＋Ｄ（１－μ）ｓ１ρｓ

ｗｓ ＝

０，　在Ｃ上 （Ｄ）

ｗｋ－ｗｋ ＝０（ｋ＝１，２，…，ｉ），　 在角点ｋ上 （Ｅ）

λｋ－Ｄ（１－μ）２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ

＝０，　 在角点ｋ上 （Ｆ）

上式中的各式分别表示：式（Ａ）为板的平衡方程，即欧拉方程；式（Ｂ）为边界位移已知的约束

条件；式（Ｃ）为边界上弯矩为零的自然边界条件；式（Ｄ）、式（Ｆ）分别表示了拉格朗日算子的表

达式，这里的λ（ｓ）及λｋ分别代表了边界上的等效剪力和角点反力；式（Ｅ）为角点位移已知的约

束条件。

将式（Ｄ）中的λ（ｓ）及式（Ｆ）中的λｋ 代入式（６ ８０），即得

　　　　Π ＝ １２ΩＤ ２ｗ

ｘ２ ＋２ｗｙ（ ）２ ２

－２（１－μ）２ｗｘ２

２ｗｙ２

－ ２ｗｘ（ ）ｙ［ ］｛ ｝２

ｄｘｄｙ＋

∮ＣＤ ｎ

２ｗ＋（１－μ）２ｗｓ［ ］２ －（１－μ）ｓ１ρｓ

ｗ｛ ｝ｓ （ｗ－ｗ）ｄｓ＋

∑ｉ

ｋ＝１Ｄ（１－μ）

２ｗｎｓ－

１ρｓｗ（ ）ｓ ｋ

（ｗ－ｗｋ） （６ ８７）

在利用这个广义变分原理的泛函进行变分时，边界约束条件式（Ｂ），角点约束条件式（Ｅ）

以及式（Ｄ）、式（Ｆ）都是这个变分的自然边界条件。在近似计算中，这类自然边界条件是可以自

动近似满足的。

如果错误地使用拉格朗日乘子法，把原变分泛函中自然能满足的自然边界条件作为约束

边界条件处理时，广义变分的结果可以得到所设的拉格朗日乘子等于零。如果得到这样的结

果，则就直接告诉人们，原来认为是附加条件的约束条件实质上是原泛函的自然边界条件，所

设的拉格朗日乘子是多余的。同时，也说明拉格朗日乘子法具有自动防止错误的能力。

总之，如果所给条件并非原泛函的自然边界条件，则我们就能用待定的拉格朗日乘子把这

些条件吸收进入泛函表达式，并组成为新的泛函，然后通过变分唯一地决定这些乘子的物理意

义，这样就确定了包括一切约束条件在内的泛函，这种泛函称为“广义变分问题的泛函”。广义

变分原理实质上就是把有条件的变分泛函通过拉格朗日乘子法化为无条件的泛函变分原理。

广义变分的 泛函在变分中得到的自然边界条件，有一部分是原变分原理的自然边界条件，而

另一部分就是原变分原理的约束条件。在广义变分中，这些条件都按自然边界条件自然得到

满足。

６６　 三类自变量广义变分原理

二类变量的广义变分原理也可以推广应用于三类变量的广义变分原理。如果我们取ｗ，

ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ，Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 等七个三类彼此独立的函数，即ｗ为一类，ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ（曲率）为第

二类，Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 为第三类，同样也可以构成相应的无条件广义位能或广义余能泛函，其特

点与二类广义变分原理类似。

—９９—

继续考虑前面两节中讨论过问题，对同一块薄板的弯曲定义两个泛函如下：

　　　　　Π３ ＝Ω－ ２ｗｘ２ ＋

ｋ（ ）ｘ Ｍｘ－２ ２ｗ

ｘｙ＋ｋｘ（ ）ｙ Ｍｘｙ －

２ｗｙ２

＋ｋ（ ）ｙ Ｍｙ［ ＋

槇Ｕ－ｐ ］ｗ ｄｘｄｙ－∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ （ｗ－ｗ）ｄｓ－∫Ｃ３ｑｗｄｓ＋∫Ｃ１

Ｍｎ ｗｎ－（ ）ｎ ｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３Ｍｎｗｎ

ｄｓ （６ ８８）

　　　　　Π３ ＝Ω

Ｍｘｋｘ＋２Ｍｘｙｋｘｙ ＋Ｍｙｋｙ－槇Ｕ＋ Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋（ ）ｐ［ ］ｗ ｄｘｄｙ－

∫Ｃ１＋Ｃ２

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑｗｄｓ＋∫Ｃ１

Ｍｎｎｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）ｗｎｄｓ （６ ８９）

式中将应变能密度 槇Ｕ 看做是曲率ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ 的函数。利用恒等式（６ ３２）可以证明

Π３＋Π３ ＝０ （６ ９０）

Π３ 称为三类变量广义位能，Π３ 称为三类变量广义余能，下标“３”表示这类泛函包括有三

类变量（挠度、曲率和内力矩）。所谓三类变量广义变分原理，是指薄板弯曲问题的精确解使三类变量广义位能和三类变

量广义余能取驻值。即把ｗ，ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ，Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 七个函数看做是彼此独立无关的函

数，并且使它们的变分不受任何限制，那么变分式

δΠ３ ＝０　 或 　δΠ３ ＝０ （６ ９１）

相当于薄板弯曲问题中的全部方程和边界条件，即曲率与挠度关系式（６ ６），内力矩与曲率关

系式（６ ７），平衡方程式（６ ４），以及边界条件式（６ ２２）、式（６ ２３）、式（６ ２６）。为了证明上述论断，从Π

３ 出发比较方便。对式（６ ８９）取变分，得到

　　　　δΠ３ ＝Ω

Ｍｘ－槇Ｕ

ｋ（ ）ｘ δｋｘ＋ ２Ｍｘｙ －槇Ｕ

ｋｘ（ ）ｙ δｋｘｙ ＋ Ｍｙ－槇Ｕ

ｋ（ ）ｙδｋ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＋

ΩｋｘδＭｘ＋２ｋｘｙδＭｘｙ ＋ｋｙδＭｙ＋

δＱｘｘ ＋δＱｙ（ ）ｙ［ ］ｗ ｄｘｄｙ＋

Ω

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋（ ）ｐδｗｄｘｄｙ－∫Ｃ１＋Ｃ２

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫Ｃ３

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｗｄｓ＋∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑδｗｄｓ＋∫Ｃ１ｎδＭｎｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３

ｗｎδ

Ｍｎｄｓ＋∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）δｗｎｄｓ （６ ９２）

在恒等式（６ ３２）中把Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 改为δＭｘ，δＭｙ，δＭｘｙ，有

　　　　Ω

δＱｘｘ ＋δＱｙ（ ）ｙ

ｗｄｘｄｙ＝Ω

２ｗｘ２δ

Ｍｘ＋２ｗｙ２δＭｙ＋２

２ｗｘｙδ

Ｍｘ（ ）ｙ ｄｘｄｙ＋∫Ｃ

δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｗｄｓ－∫Ｃ

ｗｎδ

Ｍｎｄｓ

将上式代入式（６ ９２），经整理后得到

—００１—

　　　　δΠ３ ＝Ω

Ｍｘ－槇Ｕ

ｋ（ ）ｘ δｋｘ＋ ２Ｍｘｙ －槇Ｕ

ｋｘ（ ）ｙ δｋｘｙ ＋ Ｍｙ－槇Ｕ

ｋ（ ）ｙδｋ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＋

Ωｋｘ＋

２ｗｘ（ ）２ δＭｘ＋２ｋｘｙ ＋

２ｗｘ（ ）ｙδＭｘｙ ＋ ｋｙ＋

２ｗｙ（ ）２ δＭ［ ］ｙ ｄｘｄｙ＋

Ω

Ｑｘｘ ＋

Ｑｙｙ ＋（ ）ｐδｗｄｘｄｙ＋∫Ｃ１＋Ｃ２

（ｗ－ｗ）δＭｎｓ

ｓ ＋δＱ（ ）ｎ ｄｓ－∫Ｃ３

Ｍｎｓ

ｓ ＋Ｑｎ－（ ）ｑδｗｄｓ－∫Ｃ１

ｗｎ－（ ）ｎδＭｎｄｓ＋

∫Ｃ２＋Ｃ３

（Ｍｎ－Ｍｎ）δｗｎｄｓ （６ ９３）

由 此可见，如果ｗ，ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ，Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 是精确解，可使δΠ３ ＝０，反过来，从δΠ

３ ＝０也

可导出薄板弯曲问题的全部方程和边界条件。

—１０１—

书书书

第７章　能量泛函的转换形式及其应用

７１　 总位能泛函转换形式及其应用

５．１节中的式（５ １６）定义了总位能泛函，即

Πｐ＝∫Ｖ［Ａ（εｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ

该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即

εｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ），　　 在Ｖ 内

ｕｉ－ｕｉ ＝０，　　 在Ｓσ 上

这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，因此解的收敛性得到

保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。

图７ １　 一维弯曲梁

【例７ １】　弯曲梁的总位能泛函及其变换。图７ １所示的一维梁，承受横向分布载荷

ｐ（ｘ），简支端（ｘ＝Ｌ）作用一集中力矩Ｍ，梁的

另一端为固持。显然，其边界条件为

ｘ＝０，　ｗ（０）＝ｗ′（０）＝０

ｘ＝Ｌ，　ｗ（Ｌ）＝０及Ｍ（Ｌ）＝Ｍ（７ １）

总位能泛函根据定义可写为

Πｐ＝Ｕ＋Ｖ （７ ２）其中

Ｕ ＝ １２∫Ｌ

０ＥＪ（ｗ″）２ｄｘ　（应变能） （７ ３）

Ｖ ＝－∫Ｌ

０ｐｗｄｘ＋Ｍｗ′（Ｌ）　（外力位能） （７ ４）

上面各式中，ｗ表示挠度，它是坐标ｘ的函数，而ｗ′与ｗ″分别代表ｄｗｄｘ

及ｄ２ｗｄｘ２

。

现在对总位能取一阶变分，得

δΠｐ＝δＵ＋δＶ ＝∫Ｌ

０ＥＪｗ″δｗ″ｄｘ－∫

Ｌ

０ｐδｗｄｘ－Ｍδｗ′（Ｌ） （７ ５）

—２０１—

当弯曲刚度ＥＪ沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Ｇｒｅｅｎ公式，得

∫Ｌ

０ＥＪｗ″δｗ″ｄｘ＝ ［ＥＪｗ″δｗ′］Ｌ０－［ＥＪｗδｗ］Ｌ０＋∫

Ｌ

０ＥＪｗ（４）δｗｄｘ （７ ６）

将式（７ ６）代入式（７ ５）中，利用条件式（７ １），整理后可得

δΠｐ＝∫Ｌ

０［ＥＪｗ（４）－ｐ］δｗｄｘ＋［ＥＪｗ″｜ｘ＝Ｌ－Ｍ］δｗ′ （７ ７）

现令式（７ ７）的δΠｐ＝０，利用变分法中的预备定理，可得到

ＥＪｗ（４）－ｐ＝０ （７ ８）

ＥＪｗ″｜ｘ＝Ｌ－Ｍ ＝０ （７ ９）式（７ ８）即为平衡方程，与材料力学所导出的公式完全一致，式（７ ９）为力的边界条件，即相

当于式（７ １）中的最后一个公式。

以上的分析再次验证了总位能泛函的驻值条件是等价于平衡方程的。

应 当指出，方程式（７ ８）要求自变量即挠度ｗ具有四阶可微，而泛函式（７ ２）中最高可微

阶次为两次。显然，定义泛函Πｐ 的自变量的因次可能满足不了平衡方程式（７ ８）的要求。从这

一点来说，直接利用泛函式（７ ２）来导出的离散型式有限元素法模型，对自变量阶次的要求可

能要低得多，这给选择自变量的函数形式带来了方便。

在连续体力学中所求寻的解一般都具有高阶可微性，且满足微分方程及所有的边界条件。

有限元素法情形却不一样，它的解是用有限个自由度来表示的，且是分片光滑函数，这些函数

的可微性一般均低于微分方程式中导数的最高阶数。

图７ ２　 一维梁元素

【例７ ２】　图７ ２为一维梁元素，节点位

移分别为ｗ１，θ１，ｗ２，θ２，下标１代表为节点１的，下标２代表为节点２的，节点位移列阵为

　　　Δ＝ ［ｗ１　θ１　ｗ２　θ２］Ｔ （７ １０）因为节点位移有四个，我们以３次多项式表达

挠度ｗ，即

　　　ｗ＝ａ１＋ａ２ｘ＋ａ３ｘ２＋ａ４ｘ３ （７ １１）或

ｗ＝ｘα （７ １２）式中 　ｘ＝ ［１　ｘ　ｘ２　ｘ３］

α＝ ［ａ１　ａ２　ａ３　ａ４］Ｔ

显然，式（７ １１）的阶次并不满足平衡方程式（７ ８）。利用节点位移式（７ １０），可得

α＝ｃΔ （７ １３）则式（７ １２）化为

ｗ＝ｘｃΔ＝ＮΔ （７ １４）式（７ １４）中的矩阵Ｎ为位移插值函数，其物理涵意在一般有限元书中均有说明。

下面由式（７ １４）导出几何矩阵Ｂ，梁的弯曲应变为

ε＝－ｚ２ｗｘ２ ＝－

ｚＢΔ （７ １５）

式（７ １５）中的Ｂ阵为

—３０１—

Ｂ＝ ２

ｘ２Ｎ （７ １６）

将式（７ １４）中的Ｎ代入式（７ １６），可求出几何矩阵Ｂ为

Ｂ＝ Ｌ６Ｌ２２ｘＬ －（ ）１ 　 ２Ｌ ３ｘ

Ｌ －（ ）２ 　－６Ｌ２ ２ｘＬ －（ ）１ 　 ２Ｌ ３ｘＬ －（ ）［ ］１

最后，利用式（５ １６）求出梁的总位能泛函为

Πｐ＝ １２ΔＴ∫Ｌ

０ＢＴＤＢｄｘΔ－ΔＴ∫

Ｌ

０ＮＴｐｄｘ－ΔＴＦｅ （７ １７）

式中Ｄ＝ＥＪ为梁的抗弯模量，Ｊ＝Ａｚ２ｄｙｄｚ为梁横截面关于ｙ轴的惯性矩。

由泛函Πｐ 的驻值条件，即δΠｐ＝０，可得

ＫΔ＝ 槇Ｆｅ （７ １８）式中

槇Ｆｅ ＝∫Ｌ

０ＮＴｐｄｘ＋Ｆｅ （７ １９）

为梁元素的等效节点力。利用能量法求近似解的方法较多，其中ＲａｙｌｅｉｇｈＲｉｔｚ法是一种有效而应用得比较多的一

种方法。其主要是选用一系列满足位移边界条件的函数ｗｉ（ｉ＝１，２，…）来离散实际位移，如

ｗ＝∑ｎ

ｉ＝１ａｉｗｉ （７ ２０）

ａｉ 为待定参数。将上式代入总位能泛函中，得到以ａｉ 为独立变量的泛函如下：

Πｐ＝Πｐ（ａ１，ａ２，…，ａｎ）利用泛函驻值条件

δΠｐ＝∑ｎ

ｉ＝１

Πｐａｉδ

ａｉ＝０ （７ ２１）

得到一组代数方程式

Πｐａｉ ＝

０　（ｉ＝１，２，…，ｎ） （７ ２２）

譬如对于图７ １所示的一端固持一端简支的梁，式（７ １）表示其边界条件。现取

ｗ１ ＝ｘ２（ｘ－Ｌ），　ｗ２ ＝ｘ３（ｘ－Ｌ） （７ ２３）显然，式（７ ２３）是满足位移边界条件的两个连续函数。梁的可能挠度ｗ可取为

ｗ＝ａ１ｘ２（ｘ－Ｌ）＋ａ２ｘ２（ｘ－Ｌ） （７ ２４）

图７ ３　 弯曲板正向边界力

这类函数的形式甚多，这里不再列举。

【例７ ３】　 薄板的总位能泛函及其变换形式。

总位能泛函在薄板中也得到广泛应用。下面我

们讨论略去横向剪切效应的Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ板的总位能

泛函的形成过程。

图７ ３为 板 边 界 的 正 向 边 界 力 的 规 定，Ｖｚ，

Ｍｎ，Ｍｎｓ 表示给定的边界力，ｐ为分布法向载荷。其

应变能为

—４０１—

Ｕ ＝ １２Ａ（Ｍｘｋｘ＋Ｍｙｋｙ＋Ｍｘｙｋｘｙ）ｄｘｄｙ （７ ２５）

式中，ｋｘ，ｋｙ，ｋｘｙ 为板的曲率，表示为

ｋｘｋｙｋｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝

－２ｗｘ２

－２ｗｙ２

－２ｗ

ｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

（７ ２６）

ＭｘＭｙＭｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝Ｄ

１ μ ０

μ １ ０

０ ０（１－μ）

熿

燀

燄

燅２

－２ｗｘ２

－２ｗｙ２

－２２ｗ

ｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

（７ ２７）

式中Ｄ＝ Ｅｔ３１２（１－μ

２），μ是材料的泊松比。将式（７ ２６）和式（７ ２７）代入式（７ ２５）中，可求得

Ｕ ＝Ｄ２Ａ

２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ（ ）２ ２

－２（１－μ）２ｗｘ２

２ｗｙ２

－ ２ｗｘ（ ）ｙ［ ］｛ ｝２

ｄｘｄｙ （７ ２８）

给定边界上的外力由以下几部分组成：表面法向载荷ｐ、法向给定边界力矩Ｍｎ 及等效给

定剪力Ｖｚ＋Ｍｎｓ

ｓ，于是外力位能Ｖ 等于

Ｖ ＝－Ａｐｗｄｘｄｙ－∫Ｃ１

Ｍｎｗｎ－Ｖｚ＋Ｍｎｓ

（ ）［ ］ｓ ｄｓ （７ ２９）

式中Ｃ２ 表示力的给定边界，而用Ｃ２ 表示位移给定边界。

总位能泛函为

　　　　　Πｐ＝Ｄ２Ａ

２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ（ ）２ ２

－２（１－μ）２ｗｘ２

２ｗｙ２

－ ２ｗｘ（ ）ｙ［ ］｛ ｝２

ｄｘｄｙ－

Ａｐｗｄｘｄｙ－∫Ｃ１

Ｍｎｗｎ－Ｖｚ＋Ｍｎｓ

（ ）ｓ［ ］ｓｄｘｄｙ （７ ３０）

式（７ ３０）给出了薄板总位能泛函的一般形式。对于具体薄板（给定位移边界及力边界条件等

各种情形），上式应做相应调整。譬如如图７ ４所示的四边简支矩形板，若仅承受横向分布载荷ｐ，泛函式（７ ３０）只保留

其前两项积分，即

Πｐ＝Ｄ２Ａ

２ｗｘ２ ＋

２ｗｙ（ ）２ ２

－２（１－μ）２ｗｘ２

２ｗｙ２

－ ２ｗｘ（ ）ｙ［ ］｛ ｝２

ｄｘｄｙ－Ａｐｗｄｘｄｙ

（７ ３１）

如果利用ＲａｙｌｅｉｇｈＲｉｔｚ法求解，可取三角函数来求挠度ｗ，形式如下：

ｗ＝∑∞

ｍ＝１∑∞

ｎ＝１Ａｍｎｓｉｎｍπｘａ ｓｉｎ

ｎπｙｂ

（７ ３２）

对式（７ ３２）求导，并利用三角函数积分正交性，再代入式（７ ３１）后，可得

—５０１—

Ｕ ＝π４ａｂ８ Ｄ∑

∞

ｍ＝１∑∞

ｎ＝１Ａ２ｍｎ

ｍ２ａ２ ＋

ｎ２ｂ（ ）２

Ｖ ＝∫ａ

０∫ｂ

０ｐｗｄｙｄｘ＝

４π２ａｂ∑

∞

ｍ＝１∑∞

ｎ＝１

Ａｍｎｍｎ

（ｍ，ｎ为奇数）

０ （ｍ，ｎ为偶数

烅烄

烆 ）（７ ３３）

最后，利用总位能的驻值条件

ΠｐＡｍｎ

＝０ （７ ３４）

得到一组代数方程，从而求出系数Ａｍｎ，并得到挠度值ｗ。总位能原理泛函为位移协调元素模型的建立做出了贡献，其实质是由变分泛函直接形成

离散的有限元素模型，而不是通过变分运算得到微分方程。元素刚度矩阵的形成过程在有限元

专著中均可查到，这里只做简单的回顾。

图７ ４　 四边简支矩形板 图７ ５　 矩形弯曲板元

【例７ ４】　 图７ ５所示的矩形弯曲薄板的节点位移为

δｅ ＝ ［δ１　δ２　δ３　δ４］Ｔ （７ ３５）式中δｉ＝［ｗｉ　θｘｉ　θｙｉ］Ｔ（ｉ＝１，２，３，４），ｗｉ，θｘｉ，θｙｉ 分别表示节点挠度、转角等。通过双线性插

值函数，完成位移的离散，如

ｗ＝Ｎδｅ （７ ３６）式中

Ｎ＝ ［Ｎ１　Ｎｘ１　Ｎｙ１┊Ｎ２　Ｎｘ２　Ｎｙ２┊Ｎ３　Ｎ３ｘ　Ｎ３ｙ┊Ｎ４　Ｎ４ｘ　Ｎ４ｙ］

Ｎｉ，Ｎｘｉ，Ｎｙｉ（ｉ＝１，２，３，４）都是ｘ，ｙ的四次多项式（各式可查阅有限元素法教材）。广义应变与节点位移关系，是由几何矩阵Ｂ体现的，如

ε＝Ｂδｅ （７ ３７）几何矩阵Ｂ为３×１２矩阵

Ｂ＝－

２Ｎ１ｘ２

２Ｎｘ１ｘ２

２Ｎｙ１ｘ２

… ２Ｎｙ４ｘ２

２Ｎ１ｙ２

２Ｎｘ１ｙ２

２Ｎｙ１ｙ２

… ２Ｎｙ４ｙ２

２２Ｎ１ｘｙ

２２Ｎｘ１ｘｙ

２２Ｎｙ１ｘｙ

… ２２Ｎｙ４ｘ

熿

燀

燄

燅ｙ现将式（７ ３６）和式（７ ３７）代入总位能泛函，经过整理后，可得

—６０１—

Πｐ＝ １２（δｅ）ＴＫδｅ－（δｅ）Ｔ槇Ｆｅ （７ ３８）

式中，刚度矩阵

Ｋ＝∫ＶＢＴＤＢｄＶ （７ ３９）

等效节点力

槇Ｆｅ ＝∫ＡＮＴｐｄＡ＋Ｆｅ （７ ４０）

式（７ ４０）中Ｆｅ 为实际作用到节点上的载荷，由它组成了等效节点载荷的一部分。由驻值条件δΠｐ＝０，得到薄板弯曲时的刚度方程为

Ｋδｅ ＝ 槇Ｆｅ （７ ４１）

图７ ６　 薄板的屈曲失稳

【例７ ５】　现在讨论图７ ６所示薄板的屈曲失

稳情形。在失稳之前，我们假定在薄板的中面上承受

平面应力λσ０ｘ，λσ０ｙ 和λτ０ｘｙ，这里λ表示一比例常数。这些应力可视为初应力，它们均满足平衡条件和力

的边界条件（忽略体力）：

σｉｊ，ｊ ＝０，　　 在体积Ｖ 内

Ｔｉ＝σｉｊｎｊ，　 在Ｓσ 或Ｃ１ 上（７ ４２）

另一种边界为位移边界Ｃ２（或称Ｓｕ），对于总位

能泛函，则需要预先给定，如

ｕ＝ｖ＝ｗ＝０　 及 　ｗｎ ＝０，　 在Ｃ２ 上 （７ ４３）

薄板的中面力可以用单位长度上的力Ｎ０ｘ，Ｎ０ｙ 和Ｎ０ｘｙ 表示，这部分力可视为在失稳过程中

是不改变大小与方向的常量。由于中面的平面内的变形，这些力所做的功为

Ｖ ＝ １２λＡＮ０ｘ ｗ（ ）ｘ

２

＋Ｎ０ｙ ｗ（ ）ｙ

２

＋２Ｎ０ｘｙｗｘｗ［ ］ｙ ｄｘｄｙ （７ ４４）

注意积分号内的Ｎ０ｘ 等以压力为正，所以在积分号内各力在计算时均取正值。将式（７ ４４）代入总位能泛函，则可写出

　　　　　Πｐ＝ １２ＡＤ ２ｗ

ｘ２ ＋２ｗｙ（ ）２ ２

＋２（１－μ）２ｗｘ（ ）ｙ

２

－２ｗｘ２

２ｗｙ［ ］｛ ｝２ ｄｘｄｙ＋

１２λＡ

Ｎ０ｘ ｗ（ ）ｘ２

＋Ｎ０ｙ ｗ（ ）ｙ

２

＋１２Ｎ０ｘｙｗｘｗ［ ］ｙ ｄｘｄｙ （７ ４５）

式中挠度ｗ为独立变量，要求ｗ必须满足给定的边界条件如式（７ ４３）之Ｃ２ 边界等。经过对式

（７ ４５）泛函自变量的离散化，并按有限元素法刚度方程的形成过程，可求得一组特征方程，并由此求出其特征根，从而确定了失稳临界系数λｃｒ。

７２　 总余能泛函转换形式及其应用

由５．１节中的式（５ ２２）定义了总余能泛函为

Πｃ＝∫ＶＢ（σｉｊ）ｄＶ－∫ＳｕＴｉｕｉｄＳ

—７０１—

该泛函为单变量泛函，自变量为力或广义力，泛函成立的约束条件是自变量处处满足平衡方程

及力的边界条件，这与总位能原理是相对应的。它同总位能原理类似，也是属于两种不同场量

的经典变分原理。总余能原理在有限元素法中的应用中，不如总位能原理广泛，而它为构造应

力杂交模型做出了贡献，为有限元素法开辟了另一领域。为了与总位能泛函有所区分，这里用

Ｕ 和Ｖ 分别表示余应变能及外力余功，总余能泛函表示为

Πｃ＝Ｕ －Ｖ （７ ４６）式中

Ｕ ＝ １２∫ＶσＴｉｊＤσｉｊｄＶ （７ ４７ａ）

Ｖ ＝∫ＳｕＴＴｕｄＳ （７ ４７ｂ）

如果讨论的对象为平面应力板，则应力分量可以表示为

σ＝ ［σｘ　σｙ　τｘｙ］Ｔ （７ ４８）现在引用应力函数Φ，在不考虑体力的情形下，应力函数与应力分量的关系为

σｘ ＝２Φｙ２

，　σｙ ＝２Φｘ２

，　τｘｙ ＝－２Φ

ｘｙ（７ ４９）

应力函数应满足下面的平衡方程

σｘｘ ＋

τｘｙｙ ＝０，　τｘｙｘ ＋

σｙｙ ＝

０ （７ ５０）

现将式（７ ４９）代入式（７ ４８），式（７ ４８）又可以表示为

σ＝ΦｙｙΦｘｘ－Φｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝Φ″ （７ ５１）

显然，式（７ ５１）中的Φ″表示在二阶导数微分算子前乘应力函数Φ。以上引入应力函数的目的是为了用节点应力函数（包括导数）来离散元素应力，这和基于

位移法的有限元法中以节点位移来离散位移有相似之处。【例７ ６】　 对于图７ ７所示的边长为ａ和ｂ的矩形平面元素，其节点编号为ｉｊ（ｉ，ｊ＝１，

２），节点应力函数为

Φｅ ＝ ［Φｉｊ，Φｘｉｊ，Φｙｉｊ，Φｘｙｉｊ］Ｔ１６×１ （７ ５２）

图７ ７　 矩形平面板元素

用式（７ ５２）可以分别表示元素的４个节点参数。如果１１—２１边为应力给定的边，则应有：

—８０１—

σｙ｜η＝０ ＝σｘｙ

τｘｙ｜η＝０ ＝τｘｙ为了保证元素与元素之间的协调，这里采用了Ｈｅｒｍｉｔａｎ插值函数，对自然坐标（ξ，η）可分别写

出其各插值函数为

Ｎ１（ξ）＝１－３ξ２＋２ξ

３

Ｎ２（ξ）＝３ξ２－２ξ

３

Ｎｘ１（ξ）＝ａ（ξ－２ξ２＋ξ

３）

Ｎｘ２（ξ）＝ａ（ξ３－ξ

２

烍

烌

烎）

（７ ５３）

及

Ｎ１（η）＝１－３η２＋２η

３

Ｎ２（η）＝３η２－２η

３

Ｎｙ１（η）＝ｂ（η－２η２＋η

３）

Ｎｙ２（η）＝ｂ（η３－η

２

烍

烌

烎）

（７ ５４）

应力函数Φ可以由下式插值完成，即

Φ＝ＮΦｅ （７ ５５）形函数Ｎ展开后，为１６×１矩阵形式，如下：

　　　　Ｎ＝ ［Ｎ１（ξ）Ｎ１（η）　Ｎ１（ξ）Ｎ２（η）　Ｎ１（ξ）Ｎｙ１（η）　Ｎ１（ξ）Ｎｙ２（η）

Ｎ２（ξ）Ｎ１（η）　Ｎ２（ξ）Ｎ２（η）　Ｎ２（ξ）Ｎｙ１（η）　Ｎ２（ξ）Ｎｙ２（η）

Ｎｘ１（ξ）Ｎ１（η）　Ｎｘ１（ξ）Ｎ２（η）　Ｎｘ１（ξ）Ｎｙ１（η）　Ｎｘ１（ξ）Ｎｙ２（η）

Ｎｘ２（ξ）Ｎ１（η）　Ｎｘ２（ξ）Ｎ２（η）　Ｎｘ２（ξ）Ｎｙ１（η）　Ｎｘ２（ξ）Ｎｙ２（η）］ （７ ５６）

对应于形函数Ｎ的节点应力函数参数Φｅ 为

　　　　　　　Φｅ ＝ ［Φ１１　Φ１２　Φｙ１１　Φｙ１２　Φ２１　Φ２２　Φｙ２１　Φｙ２２

　Φｘ１１　Φｘ１２　Φｘｙ１１　Φｘｙ１２　Φｘ２１　Φｘ２２　Φｘｙ２１　Φｘｙ２２］ （７ ５７）

式中Φｘ，Φｙ，Φｘｙ 均表示Φ 对ｘ，ｙ及ｘｙ的导数。利用式（７ ５１）和式（７ ５５），元素应力可表示为

σ＝

ＮｙｘＮｘｘ－Ｎｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

Φｅ ＝ＧΦｅ （７ ５８）

将式（７ ５８）代入余应变能式（７ ４７ａ）中，式（７ ４７ａ）可以转换为

Ｕ ＝ １２（Φｅ）ＴｆΦｅ （７ ５９）

上式中的ｆ即为元素的柔度矩阵，为（１６×１６）的对称矩阵，且

ｆ＝∫ＶＧＴＤ－１ＧｄＶ （７ ６０）

为了保证元素与元素间的协调，则需要应力函数Φ及其导数Φｎ

沿边界保持连续的条件，

这种连续条件可以由双三阶 Ｈｅｒｍｉｔａｎ插值予以保证。这些元素均属于元素相交边界，对于那

些应力指定的边界，这些应力属于已知量或称为边界力，这部分边界力的平衡关系在应力函数

中难以得到满足。因此，对总位能泛函应做松弛处理，或者说以Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子项对总余能泛函

—９０１—

进行修正。对于图７ ７所示的１１—１２边界上的指定应力为σｙ 及τｘｙ 的情形

σｙ｜ｙ＝０ ＝２Φｘ２｜ｙ＝０ ＝

ＮｘｘΦｅ （７ ６１）

τｘｙ｜ｙ＝０ ＝－２Φ

ｘｙ｜ｙ＝０ ＝ＮｘｙΦｅ （７ ６２）

如果已知边界上指定的力为

Ｔ＝σｙ

τｘ

熿

燀

燄

燅ｙ（７ ６３）

图７ ８　 五次插值函数

从式（７ ６１）及式（７ ６２）中，边界应力σｘ，σｙ 还需要应力函数的二阶偏导Φｙｙ 与Φｘｘ，所以上述

的插值对边界来说是不够的，故必须引入满足二阶导数条件的五次插值函数，如图７ ８所示。为了与一般元素的应力函数有别，现在以Φｂ 表示其应力函数。其插值函数为

Ｑ１（ｓ）＝１－１０ｓ３＋１５ｓ４－６ｓ５

Ｑ２（ｓ）＝１０ｓ３－１５ｓ４＋６ｓ５

Ｑ３（ｓ）＝ｓ－６ｓ３＋８ｓ４－３ｓ５

Ｑ４（ｓ）＝－４ｓ３＋７ｓ４－３ｓ５

Ｑ５（ｓ）＝ １２（ｓ２－３ｓ３＋３ｓ４－ｓ５）

Ｑ６（ｓ）＝ １２（ｓ３－２ｓ４＋ｓ５

烍

烌

烎）

（７ ６４）

且

　　　　　　　　　　Φｂ ＝Ｑ１（ｓ）Φ（０）＋Ｑ２（ｓ）Φ（１）＋Ｑ３（ｓ）Φｓ（０）＋

Ｑ４（ｓ）Φｓ（１）＋Ｑ５（ｓ）Φｓｓ（０）＋Ｑ６（ｓ）Φｓｓ（１） （７ ６５）为了更简洁，这里的一般插值函数表示为

Ｃ１（ｓ）＝１－３ｓ２＋２ｓ３

Ｃ２（ｓ）＝３ｓ２－２ｓ３

Ｃ３（ｓ）＝ｓ－２ｓ２＋ｓ３

Ｃ４（ｓ）＝－ｓ＋ｓ

烍

烌

烎３

（７ ６６）

则应力函数Φｂ 为

Φｂ ＝Ｃ１（ｓ）Φ（０）＋Ｃ２（ｓ）Φ（１）＋Ｃ３（ｓ）Φｓ（０）＋Ｃ４（ｓ）Φｓ（１） （７ ６７）

—０１１—

如果图７ ７所示的元素为边界上的一个元素，为了满足式（７ ５１）的要求，该元素的应力

函数Φ可表示为

　　　　Φｂ ＝Ｃ１（ｙ）［Ｑ１（ｘ）Φ１１＋Ｑ２（ｘ）Φ２１＋Ｑ３（ｘ）Φｘ１１＋

Ｑ４（ｘ）Φｘ２１＋Ｑ５（ｘ）Φｘｘ１１＋Ｑ６（ｘ）Φｘｘ２１］＋

Ｃ２（ｙ）［Ｃ１（ｘ）Φ１２＋Ｃ２（ｘ）Φ２２＋Ｃ３（ｘ）Φｘ１２＋Ｃ４（ｘ）Φｘ２２］＋

Ｃ３（ｙ）［Ｃ１（ｘ）Φｙ１１＋Ｃ２（ｘ）Φｙ２１＋Ｃ３（ｘ）Φｘｙ１１＋Ｃ４（ｘ）Φｘｙ２１］＋

Ｃ４（ｙ）［Ｃ１（ｘ）Φｙ１２＋Ｃ２（ｘ）Φｙ２２＋Ｃ３（ｘ）Φｘｙ１２＋Ｃ４（ｘ）Φｘｙ２２］＝［Ｎ］｛Φ｝ （７ ６８）

这里形函数Ｎ的顺序可以重新按Φ 的对应顺序排列

　　　　　Φ＝ ［Φ１１　Φ２１　Φ２２　Φ１２┊Φｘ１１　Φｘ２１　Φｘ２２　Φｘ１２

Φｙ１１　Φｙ２１　Φｙ２２　Φｙ１２┊Φｘｙ１１　Φｘｙ２１　Φｘｙ２２　Φｘｙ１２┊Φｘｘ１１　Φｘｘ２１］＝［Φ　Φｘ　Φｙ　Φｘｙ　Φｘｘ］１８×１ （７ ６９）

及

Ｎ＝ ［Ｃ１（ｙ）Ｑ１（ｘ）　…　Ｃ１（ｙ）Ｑ６（ｘ）］ （７ ７０）

现 在利用式（７ ６８），将式（７ ６８）代入式（７ ６１）与式（７ ６２），并合并两式，合并结果如下

图７ ９　 两边承受给定应力的边界元素

ＮｘｘＮｘ［ ］

ｙΦ ＝ＣΦ （７ ７１）

再 利 用 力 的 边 界 条 件 Ｔｉ ＝σｉｊｎｊ，将 式（７ ７１）及

式（７ ６３）代入后，可得

ＣΦ ＝Ｔ （７ ７２）式（７ ７２）即为边界力平衡方程。

类似的，如果边界元素两边均承受已给定的应力，如σｘ（ｙ），σｙ（ｘ）及τｘｙ，如图７ ９所示，则边界力为

ｘ＝０，σｘ（ｙ）　 及 　τｘｙ（ｙ）

ｙ＝０，σｙ（ｘ）　 及 　τｘｙ（ｘ）对１１—２１及１１—１２两条边均需引用式（７ ６４）的插值函数。为清晰起见，ＮｉΦ中的各项可分别

表示为

Ｑ１（ｘ）Ｑ１（ｙ）Φ１１　Ｑ２（ｘ）Ｃ１（ｙ）Φ２１　Ｑ３（ｘ）Ｃ１（ｙ）Φｘ１１　Ｑ４（ｘ）Ｃ１（ｙ）Φｘ２１　Ｑ５（ｘ）Ｃ１（ｙ）Φｘｘ１１　Ｑ６（ｘ）Ｃ１（ｙ）Φｘｘ２１

Ｃ１（ｘ）Ｑ２（ｙ）Φ１２　Ｃ２（ｘ）Ｃ２（ｙ）Φ２２　Ｃ３（ｘ）Ｃ２（ｙ）Φｘ１２　Ｃ４（ｘ）Ｃ２（ｙ）Φｘ２２

Ｃ１（ｘ）Ｑ３（ｙ）Φｙ１１　Ｃ２（ｘ）Ｃ３（ｙ）Φｙ２１　Ｃ３（ｘ）Ｃ３（ｙ）Φｘｙ１１　Ｃ４（ｘ）Ｃ３（ｙ）Φｘｙ２１

Ｃ１（ｘ）Ｑ４（ｙ）Φｙ１２　Ｃ２（ｘ）Ｃ４（ｙ）Φｙ２２　Ｃ４（ｘ）Ｃ４（ｙ）Φｘｙ１２　Ｃ４（ｘ）Ｃ４（ｙ）Φｘｙ２２

Ｃ１（ｘ）Ｑ５（ｙ）Φｙｙ１１

Ｃ１（ｘ）Ｑ６（ｙ）Φｙｙ１２

（７ ７３）

式（７ ７３）中的Ｑ１（ｘ）Ｑ１（ｙ）为１０次多项式，这样的形函数为１０次函数。而且这种排列是十分

规律的，对任意扩大的各种力的边界都十分方便，其中包含有Ｑ５（ｓ）与Ｑ６（ｓ），所有的边界应力

均可得到满足。边界元素的节点参数由式（７ ７３）不难得出

—１１１—

　　　　　　　Φ＝ ［Φ１１　Φ２１　Φ２２　Φ１２┊Φｘ１１　Φｘ２１　Φｘ２２　Φｘ１２┊

Φｙ１１　Φｙ２１　Φｙ２２　Φｙ１２┊Φｘｙ１１　Φｘｙ２１　Φｘｙ２２　Φｘｙ１２┊

Φｘｘ１１　Φｘｘ２１┊Φｙｙ１１　Φｙｙ１２］ （７ ７４）

下一步是按照有限元素法常规过程进行，将各元素的局部自由度Φｅ 向结构总体自由度

Φｋ 过渡，如

Φｅ ＝ＬΦｋ （７ ７５）由于自变量应力函数对边界条件式（７ ７２）是松弛的，故式（５ ２２）的总余能泛函必须将

部分松弛条件以Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子相乘计入总余能泛函，参考式（７ ４７ａ），便得出如下形式的松弛

泛函：

Πｃ＝ １２（Φｋ）ＴｆΦｋ－λ（Ｔ－ＣΦｋ） （７ ７６）

取式（７ ７６）的驻值条件即δΠｃ＝０，自变量为Φｋ 及λ，于是有以下各式：

当ΠｃΦｋ

＝０时，ｆΦｋ＋ＣＴλ＝０ （７ ７７）

当Πｃλ ＝０时，－Ｔ＋ＣΦｋ ＝０ （７ ７８）

将式（７ ７７）与式（７ ７８）合并，得

ｆ ＣＴ

Ｃ［ ］０

Φｋ┈烅烄

烆烍烌

烎λ＝０┈烅烄

烆烍烌

烎Ｔ（７ ７９）

由式（７ ７９）等式左边的第一式，可得

Φｋ ＝－ｆ－１ＣＴλ （７ ８０）再取式（７ ７９）等式左边的第二式，并将式（７ ８０）代入，可得

－Ｃｆ－１ＣＴλ＝Ｔ取Ｆ＝－Ｃｆ－１ＣＴ，则上式可转化为

Ｆλ＝Ｔ及

λ＝Ｆ－１Ｔ （７ ８１）将式（７ ８１）代入式（７ ７７）中，则有

ｆΦｋ ＝ 槇Δ （７ ８２）式中

槇Δ＝－ＣＴＦ－１Ｔ （７ ８３）式（７ ８２）为最终公式，槇Δ不妨称为广义位移，ｆ为广义柔度矩阵。显然，它具有对称带状等特

点，因此，给计算带来了很大的方便。

７３　 混合泛函变分原理及其变换形式

由５．１节中的式（５ ３１）可知，混合泛函是二场量泛函，即应力场与位移场处于平等地位，显然该泛函与上面两种形式的泛函有别。该泛函定义（即式（５ ３１））为

—２１１—

ΠＲ ＝∫Ｖ［σｉｊｕｉ，ｊ－Ｂ（σｉｊ）］ｄＶ－∫ＳσｕｉＴｉｄＳ－∫Ｓｕ

Ｔｉ（ｕ－ｕｉ）ｄＳ （７ ８４）

混合变分原理泛函具有下列特点：首先，它是二变量变分原理，两种场变量 ——— 应力与位

移 ——— 在泛函中具有彼此独立的平等地位，这一点与不完全广义变分原理及各类杂交元素不

同，更不能理解混合变分原理只是某种单变量变分原理泛函的另一种表达形式，这是一种不正

确的理解。其次，对式（７ ８４）取驻值条件，可以导出弹性力学的平衡方程、协调关系、力的边界

条件（Ｓσ 上）及位移边界协调条件（Ｓｕ 上），所以，它是一种无条件变分原理。

如果将式（７ ８４）中等号右边第一项用分部积分展开，则有

∫Ｖσｉｊｕｉ，ｊｄＶ ＝∫ＳσｉｊｎｊｕｉｄＳ－∫Ｖσｉｊ，ｊｕｉｄＶ （７ ８５）

将它代入式（７ ８４），不难求得

　　　　　　　ΠＲ ＝－∫Ｖ［Ｂ（σｉｊ）＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ］ｄＶ＋∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ

∫ＳｕｕｉσｉｊｎｊｄＳ＝－Π

Ｒ （７ ８６）

显然，式（７ ８４）的泛函等于二变量广义泛函－ΠＲ，由５．２节可知，Π

Ｒ 是一个无条件的完全广

义泛函。

混合泛函在薄板分析中有较多的应用，所载的有关文献大都属于薄板分析方面的问题。因

为用Ｒｅｉｓｓｎｅｒ泛函表示薄板时，自变量（挠度ｗ）需要二阶导数，对实际假定ｗ 带来了不便。

Ｈｅｒｍａｎ则在原有的Ｒｅｉｓｓｎｅｒ泛函的基础上进行转化，形成了 ＨｅｒｍａｎＲｅｉｓｓｎｅｒ泛函。

Ｒｅｉｓｓｎｅｒ泛函用于薄板的弯曲，在边界条件

力的边界Ｓσ 上：　Ｑｎ ＝Ｑｎ，　Ｍｎ ＝Ｍｎ ＝０及ｑ＝ｑ （７ ８７）

位移边界Ｓｕ 上：　ｗｎ ＝ｗｎ　

（法向导数） （７ ８８）

的情形下，ΠＲ 泛函可写为

　　　　　　　　　ΠＲ ＝∫ＡＭＴκｄＡ－１２∫Ａ

ＭＴＤ－１ＭｄＡ－

∫ＡｑｗｄＡ－∫Ｓσ

ＱｎｗｄＳ＋∫ＳｕＭｎｗｎ－

ｗ（ ）ｎ ｄＳ （７ ８９）

式中κ为曲率，且

Ｍ ＝ ［Ｍｘ　Ｍｙ　Ｍｘｙ］，　κ＝ －２ｗｘ２　－

２ｗｙ２

　－２２ｗ

ｘ［ ］ｙ式（７ ８９）的泛函中，Ｍ 不要求连续，而曲率κ为挠度的二阶导数，需要一阶导数连续。构造这

样一个高阶导数的挠度模式，往往会给计算带来一些麻烦。所以，Ｈｅｒｍａｎ在Ｒｅｉｓｓｎｅｒ泛函的

基础上进行了改造，最后得到 Ｈｅｒｍａｎ泛函，其具体做法如下：

ΠＲ 第一项为

∫ＡＭＴκｄＡ＝∫Ａ

－Ｍｘ２ｗｘ２ －

Ｍｙ２ｗｙ２

－２Ｍｘｙ ２ｗ

ｘ｛ ｝ｙ ｄＡ （Ａ）

式中，各项可以经分部积分，得

—３１１—

－∫ＡＭｘ２ｗｘ２ｄｘｄｙ＝－∫Ｓ

ＭｘｗｘｌｄＳ＋∫Ａ

Ｍｘ

ｘｗｘｄｘｄｙ

－∫ＡＭｙ２ｗｙ２ｄｘｄｙ＝－∫Ｓ

ＭｙｗｙｍｄＳ＋∫Ａ

Ｍｙ

ｙｗｙｄｘｄｙ

－∫ＡＭｘｙ

２ｗｘｙ

ｄｘｄｙ＝－∫ＳＭｘｙｗｘｍｄＳ＋∫Ａ

Ｍｘｙ

ｘｗｘｄｘｄｙ

－∫ＡＭｘｙ

２ｗｘｙ

ｄｘｄｙ＝－∫ＳＭｘｙｗｙｌｄＳ＋∫Ａ

Ｍｘｙ

ｙｗｙｄｘｄ

烍

烌

烎ｙ

（Ｂ）

将式（Ｂ）代入式（Ａ），并引用变换公式ｌ＝ｃｏｓθ，ｍ＝ｓｉｎθ，得

图７ １０　 力矩变换

ｗｘ ＝－

ｍｗｓ＋

ｌｗｎ

ｗｙ ＝

ｌｗｓ＋

ｍｗ

烍

烌

烎ｎ

（Ｃ）

及弯矩Ｍｎ 及扭矩Ｍｎｓ 的公式（参考图７ １０所示力矩方

向），得

Ｍｎ ＝Ｍｘｃｏｓ２θ＋Ｍｙｓｉｎ２θ＋Ｍｘｙｓｉｎ２θＭｎｓ ＝ （Ｍｘ－Ｍｙ）ｓｉｎθｃｏｓθ＋Ｍｘｙｃｏｓ２ ｝θ （Ｄ）

将式（７ ８９）化为

　　　　　　ΠＨ ＝∫ＡＭ′Ｔｗ′ｄＡ－１２∫Ａ

ＭＴＤ－１ＭｄＡ－

∫ＡｑｗｄＡ－∫Ｓ

ＭＴｎｓｗｓｄＳ－∫Ｓσ

ＱｎｗｄＳ－∫ＳｕＭｎｗｎｄＳ （７ ９０）

式中

Ｍ′Ｔｗ′＝Ｍｘ

ｘｗｘ＋

Ｍｙ

ｙｗｙ＋

Ｍｘｙ

ｘｗｙ＋

Ｍｘｙ

ｙｗｘ

（７ ９１）

显然，Ｈｅｒｍａｎ泛函只需要挠度的一阶导数，也就是说，挠度函数要求连续，与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ泛函比

较，其对挠度函数的要求降低了。该泛函第三项周边积分中，第一项为单元的整个周边积分，第

二项是在应力边界Ｓσ 上进行的，第三项是在指定法向转角那一部分上进行的。

Ｈｅｒｍａｎ泛函同样属于二变量变分原理。对薄板来说，是取挠度ｗ与弯矩Ｍ 为自变量的，两者独立选取，这就与经典的单变量变分原理不同。因此，可以对挠度ｗ与力矩Ｍ 分别插值，如取挠度ｗ为

ｗ＝ＮｗΔｗ′＝Ｎｗ′Δｗｓ ＝

Ｚｓ烍

烌

烎Δ

（７ ９２）

及力矩Ｍ 为

Ｍ ＝Ｎｍ槇Ｍ

Ｍ′＝Ｎｍ′槇Ｍ

Ｍｎｓ ＝ρ槇Ｍ

Ｍｎ ＝ 槇

烍

烌

烎ＬＭ

（７ ９３）

—４１１—

式中Δ为元素节点广义位移；槇Ｍ 为对应于静定基的节点力，其取法与平衡模型相同。将式（７ ９２）和式（７ ９３）代入式（７ ９０）中，得

ΠＨ ＝ 槇ＭＴＳ１２Δ－１２槇ＭＴＳ１１槇Ｍ－ΔＴ槇Ｆ－槇ＭＴ槇Δｆ （７ ９４）

式中

Ｓ１２ ＝∫ＡＮｍ′ＴＮｗｄＡ－∫Ｓ

ρＴＺｓｄＳ （７ ９５ａ）

Ｓ１１ ＝∫ＡＮｍ

ＴＤ－１ＮｗｄＡ （７ ９５ｂ）

槇Ｆ＝∫ＡＮｗ

ＴｑｄＡ＋∫ＳσＮｗ

ＴＱｎｄＳ （７ ９５ｃ）

槇Δｆ ＝∫ＬＴｗｎｄＳ （７ ９５ｄ）

由式（７ ９４）的驻值条件，可得

Ｓ１２Δ－Ｓ１１槇Ｍ－ 槇Δｆ ＝０

ＳＴ１２槇Ｍ－ 槇Ｆ＝烍烌

烎０（７ ９６）

上式可并于一矩阵形式方程

－Ｓ１１ Ｓ１２ＳＴ１２［ ］０

槇Ｍ［ ］０＝

槇Δｆ槇

熿

燀

燄

燅Ｆ由式（７ ９６）第一式，可求得

槇Ｍ ＝Ｓ－１１１Ｓ１２Δ－Ｓ－１１１槇Δｆ （７ ９７）将式（７ ９７）代入式（７ ９６）的第二式中，整理后可得

ＫΔ＝Ｆ （７ ９８）式中，刚度矩阵

Ｋ＝ＳＴ１２Ｓ－１１１Ｓ１２ （７ ９９）等效节点力

Ｆ ＝ 槇Ｆ＋ＳＴ１２Ｓ－１１１槇Δｆ （７ １００）

图７ １１　 常弯矩三角形薄板元素

式（７ ９８）为混合变分泛函的刚度方程。【例７ ７】　混合变分泛函在常弯矩三角形薄板

元素中的变换及其应用。此种元素共有６个节点，如图７ １１所示，三个

角节点提供三个节点位移，如

Δ＝ ［ｗ１　ｗ２　ｗ３］Ｔ

而三个边中点节点提供的法向弯矩为

槇Ｍ ＝ ［Ｍ４　Ｍ５　Ｍ６］Ｔ

元素的挠度可用面积坐标插值，如

ｗ＝ ［Ｌ１　Ｌ２　Ｌ３］ｗ１ｗ２ｗ

熿

燀

燄

燅３＝ＮｗΔ （７ １０１）

将元素的弯矩假定为常弯矩，用β１，β２，β３ 表示，如

—５１１—

Ｍ ＝

ＭｘＭｙＭｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝β１

β２

β

熿

燀

燄

燅３

＝Ｉβ （７ １０２）

现在，我们用边中点的节点弯矩 槇Ｍ来表示这些常数，各边的ｘ轴的夹角为θ４，θ５，θ６，根据本节

式（Ｄ）中第一式，并利用弹性力学不难写出

Ｍｉ＝ｃｏｓ２θｉβ１＋ｓｉｎ２θｉβ２＋ｓｉｎ２θｉβ３　（ｉ＝４，５，６） （７ １０３）

并以矩阵方程表示为

槇Ｍ ＝Ｔβ （７ １０４）式中

Ｔ＝

ｃｏｓ２θ４ ｓｉｎ２θ４ ｓｉｎ２θ４ｃｏｓ２θ５ ｓｉｎ２θ５ ｓｉｎ２θ５ｃｏｓ２θ６ ｓｉｎ２θ６ ｓｉｎ２θ

熿

燀

燄

燅６利用式（７ １０４），不难求出

β＝Ｍ ＝Ｔ－１槇Ｍ （７ １０５）即可得

Ｎｍ ＝Ｔ－１ （７ １０６）由本节式（Ｄ）第二式，可求得边界上的扭矩如下：

Ｍｎｓ ＝

Ｍｎｓ４Ｍｎｓ５Ｍｎｓ

熿

燀

燄

燅６＝λβ （７ １０７）

式中

λ＝－ｓｉｎθ４ｃｏｓθ４ ｓｉｎθ４ｃｏｓθ４ ｃｏｓ２θ４－ｓｉｎθ５ｃｏｓθ５ ｓｉｎθ５ｃｏｓθ５ ｃｏｓ２θ５－ｓｉｎθ６ｃｏｓθ６ ｓｉｎθ６ｃｏｓθ６ ｃｏｓ２θ

熿

燀

燄

燅６再将式（７ １０５）代入式（７ １０７），得到

Ｍｎｓ ＝λＴ－１槇Ｍ ＝ρ槇Ｍ （７ １０８）式中

ρ＝λＴ－１

沿元素边界求切线方向导数，可以由式（７ １０１）求得

ｗｓ ＝

Ｌ１ｓｗ１＋Ｌ２ｓ

ｗ２＋Ｌ３ｓｗ３

给图７ １１的三角元素节点编号，可将面积坐标Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３ 用各边的切线坐标ｓ表示为

Ｌ１ ＝ｌ１２－ｓｌ１２ ＝ ｓｌ３１，　Ｌ２ ＝ｌ２３－ｓｌ２３ ＝ ｓｌ１２

，　Ｌ３ ＝ｌ２１－ｓｌ３１ ＝ ｓｌ２３式中ｌｉｊ 表示ｉｊ边的长度，及

ｗｓ ＝

ｗ（ ）ｓ ４

ｗ（ ）ｓ ５

ｗ（ ）ｓ

熿

燀

燄

燅６

＝Ｚｓ

ｗ１ｗ２ｗ

熿

燀

燄

燅３

＝ＺｓΔ （７ １０９）

—６１１—

式中

Ｚｓ ＝

－ １Ｌ１２１Ｌ１２

０

０ １Ｌ２３

１Ｌ２３

１Ｌ３１

０ － １Ｌ

熿

燀

燄

燅３１因为Ｎｍ 中各元素均为常数，所以Ｎｍ′＝０，由式（７ ９５ａ）和式（７ ９５ｂ）可求得

Ｓ１１ ＝∫ＡＮＴｗＤ－１ＮｗｄＡ

Ｓ１２ ＝－∫ＳρＴＺｓｄＳ

将Ｓ１１，Ｓ－１１１ 及Ｓ１２ 代入式（７ ９９），可求得元素刚度矩阵。同样，由式（７ ９５ｃ）和式（７ ９５ｄ）两式，

可求得 槇Ｆ及 槇Δｆ，或由式（７ １００）可求得等效载荷。在由元素向全系统总体坐标集合时，只要有

了元素刚度矩阵，则按常规过程集合可利用已有的程序进行即可。以上所介绍的混合泛函元素是 Ｈｅｒｍａｎ在１９６７年提出的，该元素的优点是简便低阶，它

只具有３×３阶 的 刚 度 矩 阵，但 计 算 精 度 则 偏 低。其 详 细 内 容 请 参 见：Ｌ．Ｈｅｒｍａｎ，“ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＢｅｎｄｉｎｇＡｎａｌｙｓｉｓｆｏｒＰｌａｔｅ”，Ｊ．Ｅｎｇ．Ｍｅｃｈ．ＤｉｖＡＳＣＥＥＭ５，１９６７，Ｐ１３～１６。

１９６９年Ｖｉｓｓｅｒ在这一模型的基础上，仍利用ＨｅｒｍａｎＲｅｉｓｓｎｅｒ泛函进行了一些改善，形成

了例７ ８中 的 三 角 元 素。其 详 细 内 容 请 参 见：Ｗ．Ｖｉｓｓｅｒ，“ＡＲｅｆｉｎｅＭｉｘｅｄ ＴｙｐｅＰｌａｔｅＢｅｎｄｉｎｇＥｌｅｍｅｎｔ”，Ｊ．ＡＩＡＡＶＯＬ７，ＮＯ．９，１９６９。

图７ １２　 线性弯曲三角形薄板元

【例７ ８】　混合模型变分泛函在线性弯曲三

角形薄板元素中的变换及其应用。为了提高计算精度，可采用高阶函数来表示

位移场与应力（弯矩）场。Ｖｉｓｓｅｒ提出了假定元素

弯矩为线性分布、挠度为二次曲线、每个元素仍取

６个节点（即三个角节点及三个边的中点）的三角

元素（见图７ １２）。将元素的挠度取为

ｗ＝α１＋α２ｘ＋α３ｙ＋α４ｘ２＋α５ｘｙ＋α６ｙ２

（７ １１０）或

ｗ＝Ｌα式中

Ｌ＝ ［１　ｘ　ｙ　ｘ２　ｘｙ　ｙ２］

α＝ ［α１　α２　α３　α４　α５　α６］Ｔ

元素弯矩为

Ｍ ＝

ＭｘＭｙＭｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝１ ｘ ｙ ０ ０ ０ ０ ０ ００ ０ ０ １ ｘ ｙ ０ ０ ００ ０ ０ ０ ０ ０ １ ｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

β１

β２

β

熿

燀

燄

燅９

＝ｄβ （７ １１１）

—７１１—

有了式（７ １１０）与式（７ １１１）两个基本模式，就具备了利用混合Ｈｅｒｍａｎ泛函的转换条件。这里将给出几个基本的矩阵，利用这些矩阵代入式（７ ９５）不会有任何困难，并可利用式（７ ９９）求出刚度矩阵。

首先，余应变能为

Ｕ ＝ １２∫ＡＭＴＤ－１ＭｄＡ＝ １２β

Ｔｆβ （７ １１２）

式中

ｆ＝ １２Ｅｔ３∫ＡｄＴ

１ μ ０－μ １ ００ ０ ２（１＋μ

熿

燀

燄

燅）ｄｄＡ＝ １２Ｅｔ３

Ｘ －μＸ ０－μＸ Ｘ ００ ０ ２（１＋μ）

熿

燀

燄

燅Ｘ及

Ｘ＝∫Ａ

１ ｘ ｙｘ ｘ２ ｘｙｙ ｘｙ ｙ

熿

燀

燄

燅２ｄＡ

再计算

∫ＡＭ′Ｔｗ′ｄＡ＝αＴｈβ （７ １１３）

式中ｈ为６×９矩阵，表示为

ｈ＝

　 　 　 　 　 　 　 　 　１ １

１ １２ｘ ２ｘｙ ｘ ｘ ｙ

２ｙ ２

熿

燀

燄

燅ｙ ６×９

Ｍ（ｉ）ｘ ，Ｍ（ｉ）

ｙ ，Ｍ（ｉ）ｘｙ 分 别 表 示ｉ 节 点（ｉ＝１，２，３）的 力 矩，它 们 是 参 数β 的 函 数，见

式（７ １１１）。变换后节点的力矩为Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３，…，Ｍ９，可由式（Ｄ）求得，且可用下列矩阵形

式给出

Ｍ１ Ｍ２ Ｍ９Ｍ７ Ｍ３ Ｍ４Ｍ６ Ｍ８ Ｍ

熿

燀

燄

燅５＝

ｃｏｓ２θ４ ｓｉｎ２θ４ ｓｉｎ２θ４ｃｏｓ２θ５ ｓｉｎ２θ５ ｓｉｎ２θ５ｃｏｓ２θ６ ｓｉｎ２θ６ ｓｉｎ２θ

熿

燀

燄

燅６

Ｍ（１）ｘ Ｍ（２）

ｘ Ｍ（３）ｘ

Ｍ（１）ｙ Ｍ（２）

ｙ Ｍ（３）ｙ

Ｍ（１）ｘｙ Ｍ（２）

ｘｙ Ｍ（３）ｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

（７ １１４）

挠度为三个角节点及三个边中点的挠度，如

Δ＝ ［ｗ１　ｗ２　ｗ３　ｗ４　ｗ５　ｗ６］ （７ １１５）而节点力矩为三个角节点的力矩，方向如图７ １２所示。

槇Ｍ ＝ ［Ｍ１　Ｍ２　Ｍ３　Ｍ４　…　Ｍ９］ （７ １１６）泛函线积分可计算如下：

∫Ｓ

ｗ｛ ｝ｓ

Ｔ

ＭｓｄＳ＝ΔｃＭｓ （７ １１７）

式中

Ｍｓ ＝ ［Ｍ（１）１２ 　Ｍ（１）

２３ 　Ｍ（１）３１ 　Ｍ（２）

１２ 　Ｍ（２）２３ 　Ｍ（２）

３１ 　Ｍ（３）１２ 　Ｍ（３）

２３ 　Ｍ（３）３１ ］ （７ １１８）

—８１１—

矩阵ｃ的求法可按如下步骤进行。因为ｗ＝ＮｗΔ，所以

ｗｓ ＝－

－ｍｘＮｗ ＋ｌｙ

Ｎ（ ）ｗ Δ现在令ＤＮ ＝－ｍｘ

Ｎｗ ＋ｌｙＮｗ，ｌ＝ｃｏｓθ，ｍ＝ｓｉｎθ。则上式可化为

ｗｓ ＝

ＤＮ·Δ （７ １１９）

而

　　　　　　　　ｗｓ ＝ｗ（ ）ｓ １２

　 ｗ（ ）ｓ ２１　 ｗ（ ）ｓ １３

　 ｗ（ ）ｓ ３１　 ｗ（ ）ｓ［

２３

ｗ（ ）ｓ ３２

　 ｗ（ ）ｓ ４　 ｗ（ ）ｓ ５

　 ｗ（ ）ｓ ］６ ９×１

（７ １２０）

将式（７ １１９）代入式（７ １２０），将各指定点的物理参数（ｌ，ｍ，ｘ，ｙ）也代入后，式（７ １２０）式可

化为

ｗｓ９×１ ＝

ｃＴ（９×６）Δ（６×１） （７ １２１）

以上过程说明了式（７ １１７）的由来。式（７ １１８）中Ｍ（ｉ）ｐｑ 表示节点ｉ沿着ｐｑ边的扭矩。在节点

ｉ的三个扭矩可用点ｉ的Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 表示为（见本节式（Ｄ））

Ｍ（ｉ）１２

Ｍ（ｉ）２３

Ｍ（ｉ）

熿

燀

燄

燅３１

＝

－ｓｉｎθ４ｃｏｓθ４ ｓｉｎθ４ｃｏｓθ４ ｃｏｓ２θ４

－ｓｉｎθ５ｃｏｓθ５ ｓｉｎθ５ｃｏｓθ５ ｃｏｓ２θ５

－ｓｉｎθ６ｃｏｓθ６ ｓｉｎθ６ｃｏｓθ６ ｃｏｓ２θ

熿

燀

燄

燅６

Ｍ（ｉ）ｘ

Ｍ（ｉ）ｙ

Ｍ（ｉ）ｘ

熿

燀

燄

燅ｙ利用式（７ １１４），并用三角元素的法向弯矩Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３，…，Ｍ９ 表示Ｍ（ｉ）

ｘ ，Ｍ（ｉ）ｙ 及Ｍ（ｉ）

ｘｙ（ｉ＝１，２，３）。

由于法向弯矩Ｍ７，Ｍ８，Ｍ９ 与相邻元素的未知量无关，可以利用式（７ ９６）的第一式，由

聚缩方法，便可以消去它们，使原有的Ｍ 由（９×１）阶降为（６×１）阶，即元素原有的自由度由

１５个（Ｍ１，Ｍ２，…，Ｍ９，ｗ１，ｗ２，…，ｗ６）降为１２个（Ｍ１，Ｍ２，…，Ｍ６，ｗ１，ｗ２，…，ｗ６）。

７４　 杂交模型对应的泛函及其应用

杂交模型对应的变分原理泛函是一种修正广义变分原理泛函，它有效地利用独立假定边

界场量，使边界相容条件得到满足，特别在某些结构，如薄板、薄壳及裂纹尖端应力计算中应用

的比较多，对复合材料也比较适用。关于原理介绍见第５章。

一、应力杂交模型泛函及其应用

应力杂交模型泛函定义为（见式（５ ９５））

Πｍｃ＝∑ｎ∫Ｖｎ

１２σｉｊｃｉｊｋｌσｋｌｄＶ－∫Ｓ

ＴｉｕｉｄＳ＋∫ＳσＴｉｕｉｄ（ ）Ｓ （７ １２２）

式（７ １２２）中，Ｓ为元素周边，它包括

Ｓ＝Ｓσｎ ＋Ｓｕｎ＋Ｓｎ （７ １２３）

—９１１—

式中，Ｓσｎ 为应力边界，Ｓｕｎ 为位移边界，Ｓｎ 为元素与元素间的共同边界。如果现在将式（７ １２３）

代入式（７ １２２）中，则呈现的泛函具有更清晰的涵意，即

　　　　　　　　　Πｍｃ＝∑ｎ∫Ｖｎ

１２σｉｊｃｉｊｋｌσｋｌｄＶ－∫Ｓｎ

（Ｔａｉ＋Ｔｂｉ）ｕｂｄＳ（ －

∫Ｓσｎ

（Ｔｉ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ－∫ＳｕｎＴｉｕｉｄ ）Ｓ （７ １２４）

上式为应力杂交泛函的另一种形式，式中Ｔａｉ，Ｔｂｉ 为相邻元素边界力。显然，式（７ １２４）泛函为

一种不完全广义变分原理泛函。就泛函本身性质来说，元素中的平衡方程应作为自变量的约束

条件。如果将位移边界条件ｕｉ－ｕｉ＝０（在Ｓｕｎ 上）代入式（７ １２４）末项，则式（７ １２４）可写为

Πｍｃ＝Πｃ－∫Ｓｎ

（Ｔａｉ＋Ｔｂｉ）ｕｂｄＳ－∫Ｓσｎ

（Ｔｉ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ （７ １２５）

式（７ １２５）等号右边末两项可视为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子的有关项，它起到了松弛泛函部分约束条件

的作用。【例７ ９】　 应力杂交元素之一：平面矩形元素。

图７ １３　 应力杂交元素：平面矩形元素

图７ １３为一平面矩形元素，矩形元素的边长为ａ，ｂ，坐标原点与节点１重合，ｘ，ｙ轴与两

边重合。首先假定元素内部的应力场为

σｘ ＝β１＋β２ｙσｙ ＝β３＋β４ｘ

τｘｙ ＝β

烍烌

烎５

（７ １２６）

则有

σ＝σｘσｙτｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝Ｚβ （７ １２７）

式中

Ｚ＝１ ｙ ０ ０ ００ ０ １ ｘ ０熿

燀

燄

燅０ ０ ０ ０ １该应力满足平衡方程（略去体力）

—０２１—

σｘｘ ＋

τｘｙｙ ＝０

τｘｙｘ ＋

σｙｙ ＝

烍

烌

烎０

由式（７ １２６）可求出作用于各元素边界上的边界力。例如，在边界１—２上

Ｔｘ１２ ＝－τｘｙ ＝－β５，　Ｔｙ１２ ＝－σｙ ＝－β３－β４ｙ在２—３边界上

Ｔｘ２３ ＝β１＋β２ｙ，　Ｔｙ２３ ＝β３同样，可求出其他两边界力，由此得到

Ｔ＝

Ｔｘ１２Ｔｙ

１２

Ｔｘ２３Ｔｙ

２３

Ｔｘ３４Ｔｙ

３４

Ｔｘ４１Ｔｙ

熿

燀

燄

燅４１

＝

　 　 　 　 －１　 　 －１ －ｘ 　１ ｙ 　 　 　　 　 　 　 １　 　 　 　 １　 　 １ ｘ 　－１ －ｙ 　 　 　　 　 　 　 －

熿

燀

燄

燅１

β１

β２

β３

β４

β

熿

燀

燄

燅５

＝Ｌβ （７ １２８）

现选择与应力完全独立的边界协调位移，且边界位移可分片假设，设各节点的位移为ｕｉ，

ｖｉ（ｉ＝１，２，３，４）。现假定沿元素的边界位移呈线性变化，即可用元素的节点表示边界位移。例

如，在边界２—３上的位移为

ｕ２３ ＝ １－ｙ（ ）ｂ ｕ２＋ｙｂｕ３ｖ２３ ＝ １－ｙ（ ）ｂ ｖ２＋ｙｂｖ３

对其他三条边也可以写出类似的式子。由此，可得到边界位移ｕｂ 如下：

ｕｂ ＝

ｕ１２ｖ１２ｕ２３ｖ２３ｕ３４ｖ３４ｕ４１ｖ

熿

燀

燄

燅４１

＝

１－ｘａ 　 ｘａ

　 １－ｘａ 　 １－ｘａ 　 　 　 　

　 　 １－ｙｂ 　 ｙｂ

　 　 　 １－ｙｂ 　 ｙｂ

　 　 　 　 ｘａ 　 １－ｘａ

　 　 　 　 　 ｘａ 　 １－ｘａ

１－ｙｂ 　 　 　 　 　 ｙｂ

　 １－ｙｂ 　 　 　 　 　 ｙ

熿

燀

燄

燅ｂ

ｕ１ｖ１ｕ２ｖ２ｕ３ｖ３ｕ４ｖ

熿

燀

燄

燅４

（７ １２９）—１２１—

或

ｕｂ ＝ｙΔ将式（７ １２７），式（７ １２８）与式（７ １２９）代入式（４ ９６ａ）和式（４ ９６ｂ）中，可得

Ｈ＝∫ＶＺＴＤ－１ＺｄＶＧ＝∫Ｓ

ＬＴｙｄＳ

如果讨论的元素为内元素，泛函式（７ １２２）等号右边末项为零，则元素的刚度矩阵为

Ｋｅ ＝ＧＴＨ－１Ｇ【例７ １０】　 应力杂交模型之二：裂纹尖端应力场的有限元法分析。

图７ １４　 应力杂交模型：裂纹尖端应力场的有限元法分析

图７ １４表示一开口型裂纹尖端的模型。断裂力学裂纹尖端应力分析中已给出以下公式

σ＝σｘσｙσｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝ Ｋ１２槡ｒ×

ｃｏｓθ２１－ｓｉｎθ２ｓｉｎ

３θ（ ）２ｃｏｓθ２

１＋ｓｉｎθ２ｓｉｎ３θ（ ）２

ｓｉｎθ２ｃｏｓθ２ｃｏｓ

３θ

熿

燀

燄

燅２

（７ １３０）

式中，Ｋ 为应力强度因子，ｒ为原点在尖端处的半径。首先假定应力，应力为

σ＝Ｐβ＋Ｐｓβｓ （７ １３１）该方程应满足平衡方程

σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０式（７ １３１）中，第一项Ｐβ的参数β由一般参数组成。当然它必须满足平衡方程，第二项Ｐｓβｓ是

式（７ １３０）的组合项，其中βｓ 是由强度因子ＫⅠ，ＫⅡ，… 所组成的，如

βｓ ＝ ［ＫⅠ，ＫⅡ，…］

由式（７ １３１）可以求出边界力Ｔｉ 的表达式为

Ｔｉ ＝Ｒβ＋Ｒｓβｓ （７ １３２）

—２２１—

用应力杂交模型计算裂纹尖端应力，可以直接求出各强度因子不需要二次换算，这给实际

应用带来方便。

其次，假定一独立的协调位移场，譬如我们取ｕｓ 为位移边界，ｕｂ 可以分片插值，它是独立

于元素内位移的，如取

ｕｂ ＝ｙΔ （７ １３３）

式中Δ为节点广义位移，ｙ为由插值函数组成的矩阵。

现将图７ １４的计算对象划分为两部分，在裂纹附近的元素为ｐ个，其应力由式（７ １３１）

表示，将受应力集中影响较小的外部区域划分为ｎ－ｐ个元素，这部分元素不需要考虑裂纹尖

端的影响，因此应力只需要计算式（７ １３１）等号右边第一项就够了（认为Ｐｓβｓ→０）。

将式（７ １３１）、式（７ １３２）及式（７ １３３）代入泛函Πｍｃ 中，经过整理，可得

　　　　　　　　　　Πｍｃ＝∑ｐ

ｎ＝１

１２β

ＴｓＨβ＋βＴＨｓβｓ（ ＋

１２β

ＴＨｓｓβｓ－βＴＧΔ－βＴｓＧｓΔ＋ＱＴ ）Δ ＋∑ｍ

ｎ＝ｐ＋１

１２β

ＴＨβ－βＴＧΔ＋ＱＴ（ ）Δ （７ １３４）

式中

Ｈ＝∫ＶｎＰＴＤ－１ＰｄＶ （７ １３５ａ）

Ｈｓ＝∫ＶｎＰＴＤ－１ＰｓｄＶ （７ １３５ｂ）

Ｈｓｓ ＝∫ＶｎＰＴｓＤ－１ＰｓｄＶ （７ １３５ｃ）

Ｇ＝∫ＳＲＴｙｄＳ （７ １３５ｄ）

Ｇｓ ＝∫ＳＲＴｓｙｄＳ （７ １３５ｅ）

ＱＴ ＝∫ＳσｎＴＴｙｄＳ （７ １３５ｆ）

以后可按泛函的驻值条件求刚度方程的标准过程进行，如取Πｍｃ

β＝０，则可得

当ｎ≤ｐ时，

Ｈβ＋Ｈｓβｓ－ＧΔ＝０ （７ １３６ａ）

当ｎ＞ｐ时，

Ｈβ－ＧΔ＝０ （７ １３６ｂ）

由式（７ １３６ａ）和式（７ １３６ｂ）两式，可分别求出

β＝Ｈ－１ＧΔ－Ｈ－１Ｈｓβｓ（７ １３６ｃ）

及

β＝Ｈ－１ＧΔ（７ １３６ｄ）

现将式（７ １３６ｃ）、式（７ １３６ｄ）分别代入式（７ １３４）中，得

—３２１—

　　　　　　　　　Πｍｃ＝∑ｐ

ｎ＝１－１２Δ

ＴＫΔ－βＴｓｍΔ＋１２β

Ｔｓｎβｓ＋ＱＴ（ ）Δ ＋

∑ｍ

ｎ＝ｐ＋１－１２Δ

ＴＫΔ＋ＱＴ（ ）Δ （７ １３７）

式中

Ｋ＝ＧＴＨ－１Ｇ （７ １３８ａ）

ｍ＝Ｇｓ－ＨＴｓＨ－１Ｇ （７ １３８ｂ）

ｎ＝Ｈｓｓ－ＨＴｓＨ－１Ｈｓ （７ １３８ｃ）

用总体节点位移Δ，将式（７ １３７）化为以下形式（具体变换过程在一般有限元素法中均有说

明，这里略去。）

Πｍｃ＝－１２ΔＴＫΔ －βｓ ＴＭΔ ＋１２β

ｓＴＮβｓ ＋ＱΔ （７ １３９）

式中Ｋ，βｓ ，Ｑ 为对应于Δ 的刚度矩阵、参数列阵及外力列阵。由Πｍｃ 的驻值条件δΠｍｃ（Δ，βｓ ）＝０，这里Δ 及βｓ 均为自变量，于是可求得

ＫΔ ＋ＭＴβｓ ＝Ｑ （７ １４０ａ）及

ＭΔ －Ｎβｓ ＝０ （７ １４０ｂ）以上两式可组合为

Ｋ ＭＴ

Ｍ －［ ］Ｎ

Δ

β［ ］ｓ＝Ｑ［ ］０ （７ １４０ｃ）

由式（７ １４０ｂ），可得

βｓ ＝Ｎ－１ＭΔ （７ １４１）将式（７ １４１）代入式（７ １４０ａ）中，可得

槇ＫΔ＝Ｑ （７ １４２）式中，刚度矩阵

槇Ｋ ＝Ｋ ＋ＭＴＮ－１Ｍ （７ １４３）这里所介 绍 的 方 法 是１９７１年 卞 学 璜 与 董 平 提 出 的，请 参 见：Ｐｒｏｃ．２ｎｄ Ｃｏｎｆ．Ｍａｔｒｉｘ

ＭｅｔｈｏｄｉｎＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＷｒｉｇｈｔＰａｔｔｅｒｓｏｎＡｉｒＦｏｒｃｅＢａｓｅＯｈｉｏ，１９７１，１０．Ｔ．Ｈ．Ｈ．Ｐｉａｎ＆Ｐ．Ｔｏｎｇ，ＥｌａｓｔｉｃＣｒａｃｋＡｎａｌｙｓｉｓｂｙＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＨｙｂｒｉｄＭｅｔｈｏｄ．ｐ６６１～６８２。

【例７ １１】　 应力杂交模型之三：分析复合材料层板间力的有限元模型。复合材料层合板是由若干纤维不同角度的层合板以基体结合而成。各层具有不同的物理

性质，一般为对称中面的层合板，如４５°，９０°，４５°或其他组合。为方便起见，总体坐标可取与对

称中面一致，如图７ １５所示的Ｏｘｙｚ坐标系，各层的局部坐标可取Ｏｘｙｚ，这里ｘｙ与ｘｙ一致。首先，选取满足平衡方程

σｘｘ ＋

τｘｙｙ ＋

τｘｚｚ ＝０

τｙｘｘ ＋

σｙｙ ＋

τｙｚｚ ＝０

τｚｘｘ ＋

τｚｙｙ ＋

σｚｚ ＝

烍

烌

烎０

（７ １４４）

—４２１—

应力参数βｉ 的式中τｉｊ ＝τｊｉ（ｉ，ｊ＝ｘ，ｙ，ｚ，且ｉ≠ｊ），如取

σｘ ＝β１＋β２ｘ＋β３ｙ＋β４ｚ＋β５ｘｚ＋β６ｙｚ

σｙ ＝β７＋β８ｘ＋β９ｙ＋β１０ｚ＋β１１ｘｚ＋β１２ｙｚ

τｘｙ ＝β１３＋β１４ｘ＋β１５ｙ＋β１６ｚ＋β１７ｘｚ＋β１８ｙｚ

τｙｚ ＝－β９ｚ－１２β１２ｚ

２－β１４ｚ－１２β１７ｚ

２－β２０

τｚｘ ＝－β２ｚ－１２β５ｚ

２－β１５ｚ－１２β１８ｚ

２－β１９

σｚ ＝

烍

烌

烎０

（７ １４５）

式（７ １４５）中共有２０个βｉ（ｉ＝１，２，…，２０），且假定层间正应力σｚ ＝０，即忽略了体力及σｚ 的

影响，则式（７ １４５）可写为

σｉ ＝Ｐβｉ （７ １４６）

图７ １５　 复合材料层合板

注意：在式（７ １４６）中，上标ｉ表示第ｉ层的应力，因

为各层均有独立的应力σｉ 及参数βｉ。

其次，考虑各层间剪应力的连续性。

层间剪应力满足Ｔ（ａ）ｉ －Ｔ（ｂ）

ｉ ＝０的边界条件（见

式（７ １２４））。且注意上、下层板表面剪应力为零，其

他各层间剪应力满足力的平衡关系，如下、上表面的

标号为ｉ＝１及ｎ，而层间剪应力下标１，２分别表示

层的下、上 表 面，如ｉ层 下 表 面 的 剪 应 力 为－τｉｘｚ１，

－τｉｙｚ１，而ｉ层上表面的剪应力为－τｉｘｚ２，－τｉｙｚ２，于是

可写出

τｉｘｚ２－τｉ＋１ｘｚ１ ＝０

τｉｙｚ１－τｉ＋１ｙｚ１ ＝烍烌

烎０（７ １４７）

式中，当上标为“０”或“ｎ＋１”时，则剪应力为零，即

τ０ｘｚ２ ＝τ０ｙｚ１ ＝τｎ＋１ｘｚ２ ＝τｎ＋１ｙｚ２ ＝０将式（７ １４５）代入式（７ １４７）中，则式（７ １４７）又可写成

ＴＡＢβ＝０ （７ １４８）

式中，矩阵ＴＡＢ 为ｎ×２０阶矩阵，此矩阵容易求得。

求元素周边边界上的位移ｕ，ｖ，ｗ的插值函数。

设第ｉ层中，节点ｊ（ｊ＝１，２，３，４）的位移可由总体坐标系的某函数统一假设。现设节点ｊ的位移为

ｕｊ（ｚ）＝ａｊ１＋ａｊ２ｚ０＋ａｊ３ｚ２０＋ａｊ４ｚ３０

ｖｊ（ｚ）＝ｂｊ１＋ｂｊ２ｚ０＋ｂｊ３ｚ２０＋ｂｊ４ｚ３０

ｗｊ（ｚ）＝ｗ烍

烌

烎ｊ

（７ １４９）

这时ｊ节点的广义位移可定义为

ｑｊ ＝ ［ａｊ１　ａｊ２　ａｊ３　ａｊ４　ｂｊ１　ｂｊ２　ｂｊ３　ｂｊ４　ｗｊ］Ｔ （７ １５０）

—５２１—

整个元素是由４个这样的位移定义的，如

ｑ＝

ｑ１

ｑ２

ｑ３

ｑ

熿

燀

燄

燅４ ３６×１

（７ １５１）

再由线性插值，可得到ｊ节点与ｊ＋１节点间边界上各点位移插值函数

ｕｊ（ｚ，ｓ）＝ｕｊ（ｚ）（１－ｓ）＋ｕｊ＋１（ｚ）ｓ

ｖｊ（ｚ，ｓ）＝ｖｊ（ｚ）（１－ｓ）＋ｖｊ＋１（ｚ）ｓ

ｗｊ（ｚ，ｓ）＝ｗｊ（１－ｓ）＋ｗｊ＋１

烍

烌

烎ｓ

（７ １５２）

可将式（７ １４９）代入式（７ １５２），ｉ层四周的边界位移ｕｉ 为

ｕｉ ＝Ｌｉｑ （７ １５３）

实际上，式（７ １５３）即是ｉ层的边界位移。

再求与边界位移相对应的边界力Ｔｉ。

第ｉ层的边界力极易确定，只要将各边（①，②，③，④四边，见图７ １５）相应的ｘ，ｙ坐标代

入式（７ １４５），即可定出，如

Ｔｉ ＝

Ｔ（１）ｘｙ

Ｔ（１）ｙ

Ｔ（１）ｙｚ

Ｔ（２）ｘ

Ｔ（２）ｘｙ

Ｔ（２）

ｘｚ

Ｔ（３）ｘｙ

Ｔ（３）ｙ

Ｔ（３）ｙｚ

Ｔ（４）ｘ

Ｔ（４）ｘｙ

Ｔ（４）

熿

燀

燄

燅ｘｚ

＝Ｒβｉ （７ １５４）

最后，将式（７ １４６）、式（７ １４８）、式（７ １５３）和式（７ １５４）代入式（７ １２４）中，对于层间剪切

应力的相应连续性可通过引入Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子法对泛函进行松弛，有

　　　　　　　Πｍｃ＝ １２∑ｎ

ｉ＝１∫ａ

０∫ｂ

０∫ｔｊ２

－ｔｊ２

（σｉ）Ｔｓｉσｉｄｘｄｙｄｚ－∑ｎ

ｉ＝１Ｓ（Ｔｉ）Ｔｕｉｄｓｄｚ＋

λＴＴＡＢβ＋∫ａ

０∫ｂ

０ｐ－σｚ｜ｚ０＝ｈ（ ）

２ ｗｄｘｄｙ＝

１２∑

ｎ

ｉ＝１

（βｉ）ＴＨｉβｉ－∑ｎ

ｉ＝１

（βｉ）ＴＧｑ＋λＴＴＡＢβ＋Ｑｑ （７ １５５）

其中

—６２１—

Ｈｉ ＝∫ａ

０∫ｂ

０∫ｔｊ２

－ｔｊ２

ＰＴＳｉＰｄｚｄｙｄｘ

Ｇｉ ＝∫ａ

０∫ｂ

０∫ｔｊ２

－ｔｊ２

ＲＴＬｉｄｚｄｙｄｘ

ＱＴ ＝∫ａ

０∫ｂ

０ｐＬｘｙｄｘｄｙ

Ｌｘｙ 为由插值函数组成的矩阵，即ｗ＝Ｎｉｗｉ，其中ｗｉ＝［ｗ１　ｗ２　ｗ３　ｗ４］Ｔ，或扩阶写成ｗ＝

Ｌｘｙｑ的形式。

如果取

Ｈ＝

Ｈ１

Ｈ２

Ｈ

熿

燀

燄

燅ｎ

，　Ｇ＝

Ｇ１

Ｇ２

Ｇ

熿

燀

燄

燅ｎ

则式（７ １５５）可写为

Πｍｃ＝ １２βＴＨβ－βＴＧｑ＋βＴＴＴＡＢλ＋ＱＴｑ （７ １５６）

给式（７ １５６）的Πｍｃ 取驻值，β与λ为自变量，则有

Ｈβ－Ｇｑ＋ＴＴＡＢλ＝０ （７ １５７ａ）

ＴＡＢβ＝０ （７ １５７ｂ）

由式（７ １５７ａ），可求出

β＝Ｈ－１（Ｇｑ－ＴＴＡＢλ） （７ １５８）

将式（７ １５８）代入式（７ １５７ｂ）中，可得

λ＝ＨＴ－１ＨＧｑ （７ １５９）

式中

ＨＴ＝ＴＡＢＨ－１ＴＴＡＢ

ＨＧ ＝ＴＡＢＨ－１Ｇ再将式（７ １５９）代入式（７ １５８）中，可求出β为

β＝ （Ｈ－１Ｇ－Ｈ－１ＴＴＡＢＨＴ－１ＨＧ）ｑ （７ １６０）

现将式（７ １５９）及式（７ １６０）代入式（７ １５６），得

Πｍｃ＝－１２ｑＴＫｑ＋ＱＴｑ （７ １６１）

式中，刚度矩阵

Ｋ＝ＧＴＨ－１Ｇ－ＨＧＴＨＴ－１ＴＡＢＨＧ （７ １６２）

求出刚度矩阵式（７ １６２）后，以后的过程与一般有限元素法相同。

二、位移杂交模型泛函及其应用

位移杂交泛函定义，如

—７２１—

Πｍｐ＝∫ＶＡ（εｉｊ）ｄＶ－∫Ｓｎ

（ｕｉ－ｕｉ）ＴｉｄＳ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （７ １６３）

式（７ １６３）还可以化为以下形式

Πｍｐ＝∫ＶＡ（εｉｊ）ｄＶ－∫ＳｎｕｉＴｉｄＳ＋∫Ｓｕ

ｕｉＴｉｄＳ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （７ １６４）

如果取位移广义变分参数为α，应力广义参数为β，元素广义节点位移为Δ。这里要指出的

是，参数α与β完全独立假定，彼此完全无联系。于是，将边界位移及应变均表示为

ｕ＝ｙα （７ １６５ａ）

ε＝ｃα （７ １６５ｂ）

ｕ＝ｙΔ （７ １６５ｃ）

边界力Ｔｉ 可以用参数β表示为

Ｔ＝Ｌβ （７ １６６）

于是式（７ １６４）可写成

Πｍｐ＝ １２αＴＨα－αＴＱβ＋βＴＲΔ－αＴＦ （７ １６７）

式中

Ｈ＝∫ＶＣＴＤＣｄＶ （７ １６８ａ）

Ｑ＝∫ＳｎｙＴＬｄＳ （７ １６８ｂ）

Ｒ＝∫ＳｎＬＴｙｄＳ （７ １６８ｃ）

Ｆ＝∫ＳσｙＴＴｄＳ （７ １６８ｄ）

由Πｍｐ 的驻值条件，可导出刚度矩阵为

Ｋ＝ＲＴＱ－１Ｈ（ＱＴ）－１Ｒ （７ １６９）

【例７ １２】　 位移杂交模型实例：矩形四节点平面元素（见图７ １６）。

图７ １６　 矩形四节点平面元素

—８２１—

矩形板的节点位移为

Δ＝ ［ｕ１　ｖ１┊ｕ２　ｖ２┊ｕ３　ｖ３┊ｕ４　ｖ４］Ｔ

设位移模式为

ｕ＝ａ１＋ａ２ｘ＋ａ３ｙ＋ａ４ｘｙｖ＝ａ５＋ａ６ｘ＋ａ７ｙ＋ａ８ｘ

烍烌

烎ｙ上式又可化为以下形式

ｕ＝ ａ１－ａ６－ａ３２（ ）ｙ ＋ａ６＋ａ３２ ｙ＋ａ２ｘ＋ａ４ｘｙ

ｖ＝ ａ５＋ａ６－ａ３２（ ）ｘ ＋ａ６＋ａ３２ ｘ＋ａ７ｙ＋ａ８ｘ烍

烌

烎ｙ（７ １７０ａ）

由于刚体位移并不形成应变，因此是否产生应变往往被作为鉴别位移属于刚体位移还是弹性

位移的准则。由式（７ １７０ａ）右边括号内的各式不难验证

εｓｘ ＝ｕｓｘ ＝０，　εｓｙ ＝

ｖｓｙ ＝

０，　γｓｘｙ ＝ｕｓｙ ＋

ｖｓｘ ＝

０

式中

ｕｓ ＝ａ１－ａ６－ａ３２，　ｖｓ ＝ａ５＋ａ６－ａ３２ ｘ

εｓｘ，εｓｙ，εｓｘｙ 为由ｕｓ，ｖｓ 引起的应变。如果现在将位移ｕ，ｖ表示为

ｕ＝ｕｓ＋ｕｆｖ＝ｖｓ＋ｖ

烍烌

烎ｆ（７ １７０ｂ）

显然，ｕｆ，ｖｆ 为弹性位移。且

ｕｆ ＝α１ｙ＋α２ｘ＋α３ｘｙｖｆ ＝α１ｘ＋α４ｙ＋α５ｘ

烍烌

烎ｙ（７ １７１ａ）

式中

α１ ＝ａ６＋ａ３２，　α２ ＝ａ２，　α３ ＝ａ４，　α４ ＝ａ７，　α５ ＝ａ８

现在将式（７ １７１ａ）表示成

ｕｆ ＝ｕｆｖ［ ］ｆ＝ｙ ｘ ｘｙ ０ ０

ｘ ０ ０ ｙ ｘ［ ］ｙ

α１

α２

α３

α４

α

熿

燀

燄

燅５

（７ １７１ｂ）

利用式（７ １７１ｂ），可以求出应变ε为

ε＝

εｘ

εｙγｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝

ｕｆｘ

ｖｆｙ

ｕｆｙ ＋

ｖｆ

熿

燀

燄

燅ｘ

＝

０ １ ｙ ０ ０

０ ０ ０ １ ｘ２ ０ ｘ ０

熿

燀

燄

燅ｙ

α１

α２

α３

α４

α

熿

燀

燄

燅５

＝Ｃα （７ １７２）

—９２１—

边界位移ｕ是由节点位移分片插值完成，因为分片插值且与元素位移有关，所以构造起来比较

容易，如

ｕ＝

ｕ１２

ｖ１２

ｕ２３

ｖ２３

ｕ３４

ｖ３４

ｕ４１

ｖ

熿

燀

燄

燅４１

＝

１－ｘａ 　 ｘａ

　 １－ｘａ 　 １－ｘａ 　 　 　 　

　 　 １－ｙｂ 　 ｙｂ

　 　 　 １－ｙｂ 　 ｙｂ

　 　 　 　 ｘａ 　 １－ｘａ

　 　 　 　 　 ｘａ 　 １－ｘａ

１－ｙｂ 　 　 　 　 　 ｙｂ

　 １－ｙｂ 　 　 　 　 　 ｙ

熿

燀

燄

燅ｂ

ｕ１ｖ１

ｕ２ｖ２

ｕ３ｖ３

ｕ４ｖ

熿

燀

燄

燅４

＝ｙΔ

（７ １７３）

元素应力是以广义应力参数β表示的，且所假定的应力满足力的平衡条件

σｘｘ ＋

τｘｙｙ ＝０

τｘｙｘ ＋σｙｙ ＝烅

烄

烆 ０

现假定应力为

σｘ ＝β１＋β２ｙ

σｙ ＝β３＋β４ｘ

τｘｙ ＝β

烍

烌

烎５

（７ １７４）

将对应的ｘ，ｙ值代入上式，可以得到边界力Ｔ为

Ｔ＝

Ｕ１２Ｖ１２Ｕ２３Ｖ２３Ｕ３４Ｖ３４Ｕ４１Ｖ

熿

燀

燄

燅４１

＝

　 　 　 　 －１

　 　 －１ －ｘ 　１ ｙ 　 　 　

　 　 　 　 １

　 　 　 　 １

　 　 １ ｘ 　

－１ －ｙ 　 　 　

　 　 　 　 －

熿

燀

燄

燅１

β１

β２

β３

β４

β

熿

燀

燄

燅５

＝Ｌβ （７ １７５）

与式（７ １７５）边界力相对应的边界位移，可以将相对应的边界坐标ｘ，ｙ值代入式（７ １７１ｂ）

中，得到

—０３１—

ｕ＝

ｕ１２ｖ１２

ｕ２３ｖ２３

ｕ３４ｖ３４

ｕ４１ｖ

熿

燀

燄

燅４１

＝

　 ｘ 　 　ｘ 　ｙ ａ ａｙａ 　 　 ｙ ａｙｂ ｘ ｂｘｘ 　 　 ｂ ｂｘ　 　 　 　ｙ 　 　

熿

燀

燄

燅ｙ

α１α２α３α４α

熿

燀

燄

燅５

＝ｙα （７ １７６）

利用已求出的式（７ １７３）、式（７ １７５）及式（７ １７６），可以计算Ｑ及Ｒ矩阵为

　　　　　　　　　　Ｑ＝∫ＳｙＴＬｄＳ＝∫Ｓ１２

ｙＴ１２Ｌ１２ｄｘ＋∫Ｓ２３ｙＴ２３Ｌ２３ｄｙ＋

∫Ｓ３４ｙＴ３４Ｌ３４ｄｘ＋∫Ｓ４１

ｙＴ４１Ｌ４１ｄｙ （７ １７７）

　　　　　　　　　　Ｒ＝∫ＳＬＴｙｄＳ＝∫Ｓ１２

ＬＴ１２ｙ１２ｄｘ＋∫Ｓ２３ＬＴ２３ｙ２３ｄｙ＋

∫Ｓ３４ＬＴ３４ｙ３４ｄｘ＋∫Ｓ４１

ＬＴ４１ｙ４１ｄｙ （７ １７８）

利用式（７ １７２）及弹性模量矩阵，可以求出Ｈ矩阵，如

Ｈ＝∫ＶＣＴＤＣｄＶ ＝ Ｅｔ１－μ

２∫ａ

０∫ｂ

０ＣＴ

１ μ ０

μ １ ０

０ ０ １－μ

熿

燀

燄

燅２

Ｃｄｙｄｘ （７ １７９）

利用Ｑ，Ｒ，Ｈ代入式（７ １６９），可求出刚度矩阵为

Ｋ＝ＲＴＱ－１Ｈ（ＱＴ）－１Ｒ具体计算从略。

７５　 混合分区变分原理及混合有限元法及其应用

前面介绍的混合模型或杂交模型只是在单元水平上采用混合法，而混合分区变分原理则

是在结构整体水平上采用混合法。混合分区变分原理在理论上解决了两类不同区域（余能区、势能区）和两类不同单元（应力元、位移元）并存及其耦合和收敛问题，在实际应用上（如求解

含有应力集中的问题）是非常成功的。成功的原因是巧妙地把应力元与位移元、奇异元与常规

元、解析解与数值解相结合，使每一种方法在各自的分区范围内发挥其长处，从而获得整体上

的最佳效果。混合分区变分原理构成了混合有限元法的基础，其特点是将弹性体划分为势能区单元和

余能区单元的混合分区体系，以势能区的节点位移和余能区的应力参数作为基本未知量，应用

混合分区变分原理导出分区混合有限元法的基本方程，并用于求解上述混合型基本变量。应用混合分区变分原理：

Π＝Πｐ（α）－Πｃ（β）＋Ｈｐｃ（α，β）＝ 驻值 （７ １８０）式中α是势能区的位移参数，β是余能区的应力参数，Πｐ 是势能区的总势能，Πｃ 是余能区的总

—１３１—

余能，Ｈｐｃ 是余能区和势能区交界面的附加能量。由驻值条件

Πα ＝

０

Πβ＝烍

烌

烎０

（７ １８１）

导出混合有限元法的基本方程，解出位移参数α和应力参数β。【例７ １３】　 混合分区变分原理应用实例：裂纹尖端应力场的混合有限元法分析。现以单边斜裂纹拉伸板为例，说明混合分区有限元法的基本概念和方法要点。首先是将整

个结构划分为势能区和余能区（见图７ １７）。

图７ １７　 单边斜裂弦拉伸板

余能区（ｃ区）——— 裂纹尖端附近的区域。该区域采用一个以裂纹尖端为圆心，以Ｒ为半径

的圆形单元。这是一个内含裂纹的应力奇异元，以应力参数Ｃ和Ｃ′为基本未知量。

Ｃ＝ ［ｃ１　ｃ２　…　ｃｍ］Ｔ （７ １８２）

Ｃ′＝ ［ｃ１′　ｃ２′　…　ｃｍ′］Ｔ （７ １８３）式中Ｃ和Ｃ′分别是 Ⅰ 型和 Ⅱ 型裂纹应力场相应的应力函数中前ｍ项的待定系数。

势能区（ｐ区）——— 上述奇异元以外的区域。该区域采用有限个八节点位移型等参元，以节

点位移Δ为基本未知量

Δ＝ ［ｕ１　ｖ１　ｕ２　ｖ２　…　ｕｎ　ｖｎ］Ｔ （７ １８４）这里，ｎ是势能区单元的节点总数。

基本变量Ｃ，Ｃ′和Δ将由混合分区变分原理能量泛函的驻值条件来确定。混合分区变分原

理的能量泛函如式（７ １８０）所列，其中

势能区的总势能Πｐ

Πｐ＝ １２ΔＴＫΔ－ΔＴＦ （７ １８５）

式中Ｋ是势能区单元系统的总刚度矩阵，Ｆ是等效节点载荷列阵。余能区的总余能为Πｃ。余能区奇异元的应力采用应力函数的前ｍ项

σ＝σｘσｙτｘ

熿

燀

燄

燅ｙ

＝ＦＣ＋Ｆ′Ｃ′ （７ １８６）

式中Ｆ和Ｆ′分别为 Ⅰ 型和 Ⅱ 型裂纹尖端应力场的形函数。—２３１—

Ｆ＝ ［Ｆ１　Ｆ２　…　Ｆｍ］ （７ １８７）

Ｆ′＝ ［Ｆ１′　Ｆ２′　…　Ｆｍ′］ （７ １８８）

图７ １８　 裂纹尖端附近应力场

在图７ １８所示的坐标系中，Ｆｋ 和Ｆｋ′可表示为

Ｆｋ ＝ １２ｋｒ（ ）Ｒ

ｋ２－１

２－（－１）ｋ－１２［ ］ｋｃｏｓ １２ｋ－（ ）１ （π－θ）＋１２ｋ－（ ）１ｃｏｓ １２ｋ－（ ）３ （π－θ）　　

２＋（－１）ｋ＋１２［ ］ｋｃｏｓ １２ｋ－（ ）１ （π－θ）－１２ｋ－（ ）１ｃｏｓ １２ｋ－（ ）３ （π－θ）　　

（－１）ｋ＋１２［ ］ｋｓｉｎ １２ｋ－（ ）１ （π－θ）－ 　

１２ｋ－（ ）１ｓｉｎ １２ｋ－（ ）３ （π－θ）

熿

燀

燄

燅　　

（７ １８９）

Ｆｋ′＝ １２ｋｒ（ ）Ｒ

ｋ２－１

２＋（－１）ｋ－１２［ ］ｋｓｉｎ １２ｋ－（ ）１ （π－θ）＋１２ｋ－（ ）１ｓｉｎ １２ｋ－（ ）３ （π－θ）　　

２－（－１）ｋ＋１２［ ］ｋｓｉｎ １２ｋ－（ ）１ （π－θ）－１２ｋ－（ ）１ｓｉｎ １２ｋ－（ ）３ （π－θ）　　

（－１）ｋ－１２［ ］ｋｃｏｓ １２ｋ－（ ）１ （π－θ）－ 　

１２ｋ－（ ）１ｃｏｓ １２ｋ－（ ）３ （π－θ）

熿

燀

燄

燅　　

（７ １９０）

式中ｋ＝１，２，…，ｍ。应力参数ｃ１，ｃ１′与应力强度因子ＫⅠ，ＫⅡ 的关系式为

ＫⅠ ＝ｃ１ ２π槡 Ｒ，　ＫⅡ ＝ｃ１′ ２π槡 Ｒ （７ １９１）余能区的总余能等于奇异元的余应变能，即

—３３１—

Πｃ＝ １２ＣＴＶＣ＋１２

（Ｃ′）ＴＶ′Ｃ″ （７ １９２）

式中

Ｖ＝ΩＦＴＤ－１ＦｄΩ （７ １９３）

Ｖ′＝Ω（Ｆ′）ＴＤ－１Ｆ′ｄΩ （７ １９４）

Ｄ－１ ＝ １Ｅ

１ －μ ０－μ １ ００ ０ ２（１＋μ

熿

燀

燄

燅）（７ １９５）

式中，Ｅ，μ分别是材料的弹性模量和泊松比。两区交界线上的附加能量Ｈｐｃ

Ｈｐｃ＝∫ΓＴｉｕｉｄｓ＝∫Γ（Ｔｘｕ＋Ｔｙｖ）ｄｓ （７ １９６）

式中，Ｔｘ 和Ｔｙ 是余能区在交界线Γ上的边界力，ｕ和ｖ是势能区在交界线上的边界位移

ＴｘＴ［ ］ｙ＝Ｌ（ＦＣ＋Ｆ′Ｃ′） （７ １９７）

［］ｕｖ ＝ＮΔ （７ １９８）

式中，Ｌ是交界线Γ的方向余弦矩阵，Δ是交界线Γ上的节点位移列阵，Ｎ是形函数矩阵。因此

得

Ｈｐｃ＝ＣＴＨΔ＋（Ｃ′）ＴＨ′Δ （７ １９９）其中

Ｈ＝∫ΓＦＴＬＴＮｄｓ （７ ２００）

Ｈ′＝∫Γ（Ｆ′）ＴＬＴＮｄｓ （７ ２０１）

将式（７ １８５）、式（７ １９２）、式（７ １９９）代入式（７ １８０）中，得

　　　　　　　　　　　Π＝ １２ΔＴＫΔ－ΔＴＦ－１２Ｃ

ＴＶＣ－

１２（Ｃ′）ＴＶ′Ｃ′＋ＣＴＨΔ＋（Ｃ′）ＴＨ′Δ （７ ２０２）

应用驻值条件δΠ ＝０，得

ΠＣ ＝

０，　－ＶＣ＋ＨΔ＝０ （７ ２０３ａ）

ΠＣ′＝

０，　－Ｖ′Ｃ′＋Ｈ′Δ＝０ （７ ２０３ｂ）

ΠΔ ＝

０，　ＫΔ＋ＨＴＣ＋（Ｈ′）ＴＣ′┄┄┄┄┄┄┄烅烄

烆烍烌

烎０＝Ｆ （７ ２０３ｃ）

由式（７ ２０３ａ）和式（７ ２０３ｂ）分别得到

Ｃ＝Ｖ－１ＨΔ，　Ｃ′＝ （Ｖ′）－１Ｈ′Δ （７ ２０４）—４３１—

将式（７ ２０４）代入式（７ ２０３ｃ），得

ＫΔ＋ＨＴＶ－１ＨΔ＋（Ｈ′）Ｔ（Ｖ′）－１Ｈ′Δ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄烅

烄

烆烍烌

烎０＝Ｆ （７ ２０５）

由 此解出Δ。将解出的Δ代入式（７ ２０４），解出Ｃ和Ｃ′，并由式（７ １９１）进一步求出应力强度因

子ＫⅠ，ＫⅡ。以上推导过程可参见参考文献［１３］。

—５３１—

第８章　大位移变形弹性理论的变分原理基础

８１　 大位移变形弹性理论的Ｌａｇｒａｎｇｅ法

大位移变形也称为有限变形。一般在研究弹性体的大位移变形时多采用Ｌａｇｒａｎｇｅ法。在

Ｌａｇｒａｎｇｅ法中，常利用变形前物体内一点的坐标，来决定该点在随后变形中的位置。本节首先

说明了大位移变形的应变、位移、应力之间的关系式及相关方程式的简要推导过程。将卡氏直角坐标ｘｉ（ｉ＝１，２，３）固定在空间，这个坐标值在变形过程中不改变，但随着各

点移动，坐标架的形状也发生改变。研究弹性体的变形，就是研究坐标架的变形。变形前弹性体

任 一点Ａ０的位置可由坐标系原点Ｏ至该点的矢量ｒ０（ｘ１，ｘ２，ｘ３）表示。设卡氏直角坐标系的基

向量（单位矢量）为ｉ１，ｉ２，ｉ３，则ｒ０ 可表示为

ｒ０ ＝ｉ１ｘ１＋ｉ２ｘ２＋ｉ３ｘ３ ＝ｉλｘλ （８ １）现假定Ａ０ 点变形后移至新的位置Ａ点，并用ｒ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）表示Ａ点的位置矢量，过Ａ０ 点

的微小正六面体的三个正交边ｉ１ｄｘ１，ｉ２ｄｘ２，ｉ３ｄｘ３ 也均发生相应的变形，从而形成过Ａ点的一

个新的平行六面体（注意一般不再是正六面体），平行六面体的三个边可分别由Ｅ１ｄｘ１，Ｅ２ｄｘ２，

Ｅ３ｄｘ３（Ｅ１，Ｅ２，Ｅ３ 称为格向量（ＬａｔｔｉｃｅＶｅｃｔｏｒ））给出，如图８ １所示。

图８ １　 无限小平行六面体的几何图形及平衡

设Ａ０Ａ＝ｕ，ｕ是位移向量，其可表示为

ｕ＝ｉ１ｕ１＋ｉ２ｕ２＋ｉ３ｕ３ ＝ｉλｕλ （８ ２）

—６３１—

而

ｄｒ０ ＝ｒ０ｘλｄｘλ ＝ｉλｄｘλ ＝δλμｉμｄｘλ （８ ３）

式中δλμ 称为Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ算子。

δλμ ＝１，　　μ＝λ０，　　μ≠｛ λ

（８ ４）

又因为ｒ＝ｒ０＋ｕ，有

ｄｒ＝ ｒｘλｄｘλ ＝

ｘλ（ｒ０＋ｕ）ｄｘλ （８ ５）

而

ｕｘλｄｘλ ＝ｉμｕμ，λｄｘλ （８ ６）

式（８ ６）中及本章中，（），λ 表示（）对于ｘλ 的微分，即（），λ ＝（）／ｘλ。将式（８ ３）、式（８ ６）代入式（８ ５）中，得

ｄｒ＝ （δλμ＋ｕμ，λ）ｉμｄｘλ ＝Ｅλｄｘλ （８ ７）式中

Ｅλ ＝ （δλμ＋ｕμ，λ）ｉμ （８ ８）且有

Ｅλμ ＝Ｅλ·Ｅμ ＝Ｅμλ （８ ９）在大位移条件下，应变可定义为

ｅλμ ＝１２（Ｅλμ－δλμ） （８ １０）

式中

δλμ ＝δλｋ·δμｋ （８ １１）将式（８ ８）和式（８ ９）代入式（８ １０）中，可得应变与位移之间的关系式

ｅλμ ＝１２［ｕλ，μ＋ｕμ，λ＋ｕｋ，λｕｋ，μ］＝ｅμλ

为了以后需要，将上式改写为下面形式

ｅｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）＝ｅｊｉ （８ １２）

式（８ １２）就是我们熟知的大位移应变 位移关系式，展开成一般形式，为下面６个方程

ｅｘｘ ＝ｕｘ＋１２

ｕ（ ）ｘ

２

＋ ｖ（ ）ｘ

２

＋ ｗ（ ）ｘ［ ］２

ｅｙｙ ＝ｖｙ＋１２

ｕ（ ）ｙ

２

＋ ｖ（ ）ｙ

２

＋ ｗ（ ）ｙ［ ］２

ｅｚｚ ＝ｗｚ＋１２

ｕ（ ）ｚ

２

＋ ｖ（ ）ｚ

２

＋ ｗ（ ）ｚ［ ］２

２ｅｘｙ ＝ｖｘ＋ｕｙ＋

ｕｘｕｙ＋

ｖｘｖｙ＋

ｗｘｗｙ ＝

２ｅｙｘ

２ｅｙｚ ＝ｗｙ＋ｖｚ＋

ｕｙｕｚ＋

ｖｙｖｚ＋

ｗｙｗｚ ＝

２ｅｚｙ

２ｅｚｘ ＝ｕｚ＋ｗｘ＋

ｕｚｕｘ＋

ｖｚｖｘ＋

ｗｚｗｘ ＝

２ｅ

烍

烌

烎ｘｚ

（８ １３）

—７３１—

下面导出平衡方程。作用在变形后六面体上的面力分别可写为

－σ１ｄｘ２ｄｘ３，　σ１ｄｘ２ｄｘ３＋ ｘ１（σ１ｄｘ２ｄｘ３）ｄｘ１

－σ２ｄｘ３ｄｘ１，　σ２ｄｘ３ｄｘ１＋ ｘ２（σ２ｄｘ３ｄｘ１）ｄｘ２

－σ３ｄｘ１ｄｘ２，　σ３ｄｘ１ｄｘ２＋ ｘ３（σ３ｄｘ１ｄｘ２）ｄｘ３

作用在变形六面体内的体力为Ｐｄｘ１ｄｘ２ｄｘ３。则变形六面体的力的平衡平衡方程式为

σλ，λ＋Ｐ＝０ （８ １４）而σλ 沿三个格向量方向上的分量分别为

σλ１Ｅ１，　σλ２Ｅ２，　σλ３Ｅ３ （８ １５）于是σλ 可写为

σλ ＝σλμＥμ ＝ （δμ，ｋ＋ｕｋ，μ）σλμｉｋ （８ １６）

而体力也可以用其分量Ｐλ 表示为

Ｐ＝Ｐλｉλ （８ １７）将式（８ １６）和式（８ １７）代入式（８ １４）中，得

［（δμλ＋ｕλ，μ）σｋμ］，ｋ＋Ｐλ ＝０ （８ １８）为了以后使用方便，将上式改写为如下形式

［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊ＋Ｆｉ ＝０ （８ １９）这里要注意的是，面积和体积都是对未变形的状态而言的。

外力已知的表面边界条件（在Ｓσ 上）可表示为

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ ＝Ｔｉ，　 在Ｓσ 上 （８ ２０）显然，在式（８ １９）和式（８ ２０）中，如果略去δｉｋ＋ｕｉ，ｋ 中之ｕｉ，ｋ，则化简为小位移的平衡条件和

力的边界条件。位移已给的边界条件（在Ｓｕ 上）可表示为

ｕｉ＝ｕｉ，　 在Ｓｕ 上 （８ ２１）

８２　 大位移变形弹性理论的最小位能原理

小位移变形的最小位能原理同样也适用于大位移变形。大位移变形的最小位能原理与小

位移变形的最小位能原理相同，只是用平衡方程式（８ １９）和表面外力边界条件式（８ ２０）两

式分别替代原方程中的平衡方程和力的边界条件即可。取最小位能泛函的一阶变分为

δΠⅠ ＝∫Ｖ Ａｅｉｊδｅｉｊ－Ｆｉδｕ［ ］ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ （８ ２２）

根据式（８ １２），应变 位移关系为

　　　　　　Ａｅｉｊδｅｉｊ ＝ １２

Ａｅｉｊ

（δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉδｕｋ，ｊ＋ｕｋ，ｊδｕｋ，ｉ）＝

Ａｅｉｊ

（δｕｉ，ｊ＋ｕｋ，ｉδｕｋ，ｊ）＝Ａｅｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕｋ，ｊ ＝

—８３１—

Ａｅｉｊ

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕ［ ］ｋ ，ｊ－ Ａｅｉｊ

（δｋ，ｉ＋ｕｋ，ｉ［ ］），ｊδｕｋ （８ ２３）

同时，利用格林公式，可以证明

∫Ｖ Ａｅｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕ［ ］ｋ ，ｊｄＶ ＝∫Ｓ

Ａｅｉｊ

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕｋｎｊｄＳ （８ ２４）

注 意到Ｓ＝Ｓσ＋Ｓｕ，且在Ｓｕ 上由于ｕｋ＝ｕｋ，所以δｕｋ＝０，上述积分只有在Ｓσ 上有值。于是有

∫Ｖ Ａｅｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕ［ ］ｋ ，ｊｄＶ ＝∫Ｓσ

Ａｅｉｊ

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕｋｎｊｄＳ （８ ２５）

式（８ ２２）可以写为

　　　　　　　　　　δΠⅠ ＝∫Ｖ －Ａｅｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ［ ］），ｊ

－Ｆ｛ ｝ｋδｕｋｄＶ＋∫Ｓσ

Ａｅｉｊ

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）ｎｊ－Ｔ［ ］ｋδｕ｛ ｝ｋ ｄＳ （８ ２６）

由泛函极值条件给出下面欧拉方程和边界条件为

Ａｅｉｊ

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ［ ］），ｊ－Ｆｋ ＝０，　 在Ｖ 内 （８ ２７）

Ａｅｉｊ

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）ｎｊ－Ｔｋ ＝０，　 在Ｓσ 上 （８ ２８）

将式（８ ２７）与式（８ １９），式（８ ２８）与式（８ ２０）相比较，显然可知

Ａｅｉｊ

＝σｉｊ （８ ２９）

式（８ ２９）为 应 力 应 变 关 系，故 由 最 小 位 能 原 理 泛 函ΠⅠ 的 极 值 条 件 可 以 得 到 平 衡 方 程

式（８ １９）和力的边界条件式（８ ２０）。以下证明它是最小。将ｕｉ＋δｕｉ 代入位能泛函

ΠⅠ（ｕｉ）＝∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ

中可得

ΠⅠ（ｕｉ＋δｕｉ）＝ΠⅠ（ｕｉ）＋δΠⅠ ＋δ２ΠⅠ

注意，这里的ｕｉ 是满足所有条件和方程的真解。根据式（８ ２２），有

δΠⅠ ＝０而

δ２ΠⅠ ＝∫Ｖ ２Ａ

ｅｉｊｅｋｌδｅｉｊδｅｋｌｄＶ ＝∫ＶδσｉｊδｅｉｊｄＶ （８ ３０）

对于线性物理关系，则有

σｉｊ ＝ａｉｊｋｌｅｋｌδσｉｊ ＝ａｉｊｋｌδｅｋｌ

将上式代入式（８ ３０），有

δ２ΠⅠ ＝∫ＶａｉｊｋｌδｅｉｊδｅｋｌｄＶ ≥０ （８ ３１）

由应δσｉｊ 与应变δｅｉｊ 所造成的应变能密度，一定为正值。而对于非线性的物理关系，一般材料的

应力 应变关系可以使得

—９３１—

２Ａｅｉｊｅｋｌ

δｅｉｊδｅｋｌ ≥０ （８ ３２）

所以δ２ΠⅠ 也是正值，这就证明了在极值函数ｕｉ 时

ΠⅠ（ｕｉ＋δｕｉ）≥ΠⅠ（ｕ１） （８ ３３）于是，大位移弹性理论的最小位能原理便得到了证明。

最小位能原理可叙述为：在满足大位移应变关系式（８ １２）

和边界条件中位移已给定的条

件式（８ ２１）的所有容许的ｕｉ 和ｅｉｊ 中，实际的ｕｉ 和ｅｉｊ必使弹性体的总位能

ΠⅠ ＝∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （８ ３４）

为最小值

。这里的应力 应变关系应用式（８ ２９）。这一原理与线性的最小位能原理相似，其差别只

是采用了非线性的应变 位移关系而已。

８３　 大位移变形弹性理论的余能驻值定理

余能原理在大位移变形弹性体中并不存在着极小值原理，而存在有余能驻值定理。大位移变形弹性理论的余能原理可叙述为：在满足大位移变形的平衡方程式（８ １９）

及边

界外力已给的边界条件式（８ ２０）的所有容许的σｉｊ，ｕｉ中，实际的应力σｉｊ 及位移ｕｉ

必使弹性体

的泛函

ΠⅡ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉ［ ］ｊ ｄＶ－∫Ｓｕｕｉ（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｄＳ （８ ３５）

为驻值

。Ｂ（σｉｊ）为余能密度，它满足

Ｂ（σｉｊ）＝ｅｉｊσｉｊ－Ａ（ｅｉｊ）

Ｂσｉｊ

＝ｅｉ烍烌

烎ｊ

（８ ３６）

注意到该原理属于两变量变分原理，原因是应力分量和位移是耦合的，不能再单纯地用应力分

量表达了。下面将证明，使式（８ ３５）的泛函ΠⅡ 为驻值的σｉｊ 和ｕｉ，必将满足边界位移式（８ ２１）。在

证明中，我们引用了应力 应变关系式（８ ３６）中的第二个式子，和应变 位移关系式（８ ２１）。对ΠⅡ 的变分式为

δΠⅡ ＝∫Ｖ Ｂσｉｊδσｉｊ＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊ＋ｕｋ，ｉδｕｋ，ｊσｉ（ ）ｊ ｄＶ－∫Ｓｕｕｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ

（８ ３７）利用了式（８ ３６）中的第二式及式（８ １２）以后

Ｂσｉｊδσｉｊ＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊ ＝

１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）δσｉｊ ＝ｕｋ，ｉ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）δσｉｊ （８ ３８）

而且，因为δｋｊ 为一常数，所以式（８ ３７）第三项可化为

ｕｋ，ｉσｉｊδｕｋ，ｊ ＝ｕｋ，ｉσｉｊδ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ） （８ ３９）所以，有

　　　　　　Ｂσｉｊδσｉｊ＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊ＋ｕｋ，ｉσｉｊδｕｋ，ｊ ＝ｕｋ，ｉδ

［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］＝

—０４１—

｛ｕｋδ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］｝，ｉ－ｕｋδ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］，ｉ （８ ４０）式（８ ４０）中，将等号右侧第一项利用格林公式化简后的形式如

∫Ｖ｛ｕｋδ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］｝，ｉｄＶ ＝∫Ｓｕｋδ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］ｎｉｄＳ

将上式代入式（８ ４０）后，δΠⅡ 可进一步化简为

　　　　　δΠⅡ ＝－∫Ｖｕｋδ［（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）σｉｊ］，ｉｄＶ＋∫Ｓｕｋδ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］ｎｉｄＳ－

∫Ｓｕｕｋδ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］ｎｉｄＳ （８ ４１）

因为自变函数ｕｋ，σｉｊ 满足平衡方程式（８ １９），而且Ｆｉ 为不变的，故只有

δ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］，ｉ ＝０，　 在Ｖ 内 （８ ４２）另外，因为在Ｓσ 边界上，满足外力已知条件式（８ ２０），所以只有

δ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］，ｉ ＝０，　 在Ｓσ 内 （８ ４３）因为Ｓ＝Ｓσ＋Ｓｕ，将式（８ ４２），式（８ ４３）代入式（８ ４１），式（８ ４１）可化为

δΠⅡ ＝－∫Ｓｕ

（ｕｋ－ｕｋ）δ［σｉｊ（δｋｊ＋ｕｋ，ｊ）］ｎｉｄＳ （８ ４４）

根据驻值条件δΠⅡ ＝０，给出

ｕｋ－ｕｋ ＝０ （８ ４５）式（８ ４５）就是式（８ ２１），也就是我们所要证明的。于是以上余能驻值定理就得到了证明。十

分明显，当ｕｋ 是小位移时，从式（８ ３５）中略去高级小量，即是第５章的小位移最小余能原理。以上证明可适用于线性与非线性弹性体。

８４　 大位移非线性弹性理论的广义变分原理

我们也可以仿照小位移线性弹性理论，利用拉格朗日乘子法，导出大位移非线性弹性理论

的有关的广义变分原理。最小位能原理（见８．２节）泛函中的ｕｉ，ｅｉｊ 必须满足应变 位移关系式（８ １２）和边界位

移已知的条件式（８ ２１）。设λｉｊ 和μｉ 为拉格朗日乘子，于是，可导出无条件广义变分泛函为

　　　　　ΠⅠ ＝∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫Ｓσ

ＴｉｕｉｄＳ＋

∫Ｖ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｊｕｋ，ｉ［ ］）λｉｊｄＶ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）μｉｄＳ （８ ４６）

把ｅｉｊ，ｕｉ，λｉｊ，μｉ 当作独立变量进行变分，得

　　　　　δΠⅠ ＝∫Ｖ Ａ

ｅｉｊ＋λｉ（ ）ｊδｅｉｊ＋ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δλｉｊ｛ －

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊδｕｋ，ｊ－Ｆｉδｕ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）δμｉｄＳ＋∫ＳｕμｉδｕｉｄＳ （８ ４７）

其中，利用应力 应变关系式（８ ２９），有

Ａｅｉｊ

＋λｉｊ ＝σｉｊ＋λｉｊ （８ ４８）

—１４１—

其次，利用格林公式

－∫Ｖ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊδｕｋ，ｊｄＶ ＝∫Ｖ［（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊ］，ｊδｕｋｄＶ－∫Ｓ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊｎｊδｕｋｄＳ

（８ ４９）式中ｎｊ 为表面外向法线单位矢量。把式（８ ４８），（８ ４９）代入式（８ ４７）得

　　　　　δΠⅠ ＝∫Ｖ （σｉｊ＋λｉｊ）δｅｉｊ＋ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）δλｉ［ ］｛ ｝ｊ ｄＶ＋

∫Ｖ｛［（σｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊ］，ｊ－Ｆｋ｝δｕｋｄＶ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）δμｉｄＳ－∫Ｓσ

［（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊｎｊ＋Ｔｉ］δｕｋｄＳ－

∫Ｓｕ

［（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊｎｊ－μｉ］δｕｋｄＳ＝０ （８ ５０）

因为δｅｉｊ，δλｉｊ，δμｋ，δμｉ 都是独立变分，由上式可得

σｉｊ＋λｉｊ ＝０， 在Ｖ 内 （８ ５１ａ）

ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）＝０， 在Ｖ 内 （８ ５１ｂ）

［（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊ］，ｊ－Ｆｋ ＝０， 在Ｖ 内 （８ ５１ｃ）

ｕｉ＝ｕｉ ＝０， 在Ｓｕ 内 （８ ５１ｄ）

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊｎｊ＋Ｔｉ ＝０， 在Ｓσ 内 （８ ５１ｅ）（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊｎｊ－μｉ ＝０， 在Ｓｕ 内 （８ ５１ｆ）

式（８ ５１ａ）～ 式（８ ５１ｆ）给出了待定的拉格朗日乘子λｉｊ 及μｉ，即

λｉｊ ＝－σｉｊ，　μｉ ＝－（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）σｉｊｎｊ （８ ５２）其余各式满足应变 位移关系式（８ ５１ｂ），平衡方程式（８ ５１ｃ），位移已给定的边界条件式

（８ ５１ｄ）和外力已给定的边界条件式（８ ５１ｅ），即满足了式（８ １２）、式（８ １９）、式（８ ２０）和

式（８ ２１），推导过程中我们只引用了物理关系式（８ ２９）。将式（８ ５２）代入式（８ ４６），即得到广义变分原理的泛函。于是，可得

变分原理 Ⅰ（基于最小位能原理导出的大位移非线性弹性理论的完全广义变分原理）满足式（８ １２）、式（８ １９）、式（８ ２０）和式（８ ２１）的解σｉｊ，ｅｉｊ，ｕｉ 必使下述泛函Π

Ⅰ

　　　　　ΠⅠ ＝∫Ｖ Ａ（ｅｉｊ）－ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）σｉｊ－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｉｊｎｊｄＳ （８ ５３）

取驻值。变分原理 Ⅱ（基于余能驻值原理导出的大位移非线性弹性理论的完全广义变分原理）满足式（８ １２）、式（８ １９）、式（８ ２０）和式（８ ２１）的解ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 必使下述泛函Π

Ⅱ

　　　　　ΠⅡ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉｊ＋［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋｕｉ＋Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫Ｓσ

［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ－Ｔｉ］ｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋｕｉｄＳ （８ ５４）

取驻值。式（８ ５４）的证明可以按以下步骤进行。上式的泛函是在式（８ ３５）的泛函基础上增加由

—２４１—

拉格朗日乘子组成的附加部分而形成下面的泛函

　　　　　ΠⅡ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉ［ ］ｊ ｄＶ－∫Ｓｕ

ｕｉ（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋｄＳ＋

∫Ｖ｛［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋ＋Ｆｉ｝λｉｄＶ＋∫Ｓσ

［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ－Ｔｉ］μｉｄＳ （８ ５５）

对式（８ ５５）中的σｉｊ，ｕｉ，λｉｊ，μｉ 取变分

　　　　　δΠⅡ ＝∫Ｖ Ｂ

（σｉｊ）σｉｊ

δσｉｊ＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊ＋ｕｋ，ｉσｉｊδｕｋ，［ ］ｊ ｄＶ－

∫Ｓｕｕｉδ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］ｎｋｄＳ＋∫Ｖ｛［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋ＋Ｆｉ｝δλｉｄＶ＋∫Ｖλδ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋｄＶ＋∫Ｓσ

［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ－Ｔｉ］δμｉｄＳ＋

∫Ｓσμｉδ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｉｊ］ｎｋｄＳ （８ ５６）

上式等号右边第四个积分，利用分部积分可化为下式

　　　　　∫Ｖλｉδ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋｄＶ ＝∫Ｓλｉδ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］ｎｋｄＳ－∫Ｖλｉ，ｋδσｊｋｄＶ－∫Ｓλｉδ（σｉｊｕｋ，ｊ）ｎｊｄＳ＋∫Ｖλｉδ（σｉｊｕｋ，ｊ），ｊｄＶ （８ ５７）

式（８ ５６）等号右边第一个积分中的第三项利用分部积分，可化为

　　　　　　　　∫Ｖｕｋ，ｉσｉｊδｕｋ，ｊｄＶ ＝∫Ｓｕｋδ（σｉｊｕｋ，ｊ）ｎｊｄＳ－

∫Ｖｕｋδ［ｕｋ，ｊσｉｊ］，ｉｄＶ－∫Ｖｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊｄＶ （８ ５８）

将式（８ ５７）和式（８ ５８）代入式（８ ５６），经过整理可得

　　　δΠⅡ ＝∫Ｖ ｅｉｊ－１２（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δσｉｊｄＶ＋

∫Ｓσ

（λｉ＋μｉ）δ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］ｎｋｄＳ＋∫Ｓｋ

（λｉ－ｕｉ）δ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］ｎｋｄＳ＋

∫Ｓσ

［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ－Ｔｉ］δμｉｄＳ－∫Ｓ（ｕｉ－λｉ）δ（σｉｊｕｋ，ｊ）ｎｊｄＳ＋

∫Ｖ｛［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋ＋Ｆｉ｝δλｉｄＶ＋∫Ｖ（λｉ－ｕｉ）δ（σｉｊ－ｕｋ，ｊ），ｊｄＶ （８ ５９）

取δΠⅡ ＝０，因为σｉｊ，ｕｉ，μｉ，λｉ 都是独立函数，相应的变分也独立，故由式（８ ５９）为零的条件，

并且由式中的第１，６，４项，可得

ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）＝０，　 在Ｖ 内 （８ ６０ａ）

［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋ＋Ｆｉ ＝０ （８ ６０ｂ）

（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ－Ｔｉ ＝０ （８ ６０ｃ）由式（８ ５９）中的第２项，第５项及第７项可知，拉格朗日乘子为位移，即

λｉ ＝－μｉ，　 在Ｓσ 上 （８ ６１）

λｉ ＝ｕｉ，　 在Ｖ 内和Ｓ上 （８ ６２）

式（８ ５９）中的第３项 给 出 了 位 移 给 定 边 界 条 件λｉ ＝ｕｉ，而 式（８ ６０ａ）、式（８ ６０ｂ）和 式

—３４１—

（８ ６０ｃ）分别得到应变 位移关系，平衡方程和力给定的边界条件。显然，以上为无条件的完

全变分原理，问题证毕。将式（８ ６１）、式（８ ６２）代入式（８ ５５），即可求得泛函式（８ ５４）。现在让我们证明大位移问题两个广义变分原理的等同性。从式（８ ５３）、式（８ ５４）可得

　　　　　ΠⅠ ＋Π

Ⅱ ＝∫Ｖ｛（ｕｉ，ｊ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）σｉｊ＋［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｉｋ］，ｋｕｉ｝ｄＶ－∫Ｓσ＋Ｓｕ

［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ］ｕｉｄＳ＝

∫Ｖ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｋｊｕｉ］，ｋｄＶ－∫Ｓ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ］ｕｉｄＳ （８ ６３）

利用格林公式，式（８ ６３）等号右边第一个积分可化为

∫Ｖ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｋｊｕｉ］，ｋｄＶ ＝∫Ｓ［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ］ｕｉｄＳ

所以ΠⅠ ＋Π

Ⅱ ＝０，这只是形式上的差别，实质上是解决相同物理问题的两个相同的泛函（只

差一个符号）。所以，对完全的广义的变分原理来说，基于位能和基于余能的广义变分原理，因

为其满足等同原理，使得两者无本质上的差别，这一概念是十分重要的。有时，将两种形式的泛

函统称为广义变分原理泛函，而在形式上可指明以“位能形式”和以“余能形式”表示而已。利用了式（８ ３６）的第一式后，我们可以分别从Π

Ⅰ 导出ΠⅠ ，从Π

Ⅱ 导出ΠⅡ ，即

　　　　　ΠⅠ ＝∫Ｖ －Ｂ（σｉｊ）＋１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）σｉｊ－Ｆｉｕ［ ］ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｄＳ （８ ６４）

　　　　　ΠⅡ ＝∫Ｖ ｅｉｊσｉｊ－Ａ（ｅｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉｊ＋［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋ］，ｋｕｉ＋Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫Ｓσ

［（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋ－Ｔｉ］ｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋｕｉｄＳ （８ ６５）

以上四个广义泛函并没有本质上的差别，只是ΠⅠ 和Π

Ⅱ 是以位能形式（Ａ（ｅｉｊ））表示的，而

ΠⅡ 和Π

Ⅰ 是以余能形式（Ｂ（σｉｊ））表示的。前者独立变量为ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 而后者独立变量为ｕｉ，σｉｊ。

８５　 大位移变形弹性理论的不完全的广义变分原理

大位移变形弹性理论也存在各种不同的不完全的广义变分原理，它们的泛函都可以通过

拉格朗日乘子法来完成，也可以给广义位能原理和余能原理中追加变分条件来完成。

一、大位移非线性弹性理论的不完全广义位能变分原理

变分原理ⅠＡ：在满足给定位移的边界条件式（８ ２１）的所有容许的ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 中，实际的

ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 必使下列广义泛函取驻值。

ΠⅠＡ ＝∫Ｖ Ａ（ｅｉｊ）－ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）σｉｊ－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ

（８ ６６）证明 　 泛函对自变量之一ｕｉ，只要求其满足位移边界，即ｕｉ＝ｕｉ（在Ｓｕ 上），显然

δｕｉ＝０，　 在Ｓｕ 上 （８ ６７）

—４４１—

现在用拉格朗日乘子λｉｊ 将应变 位移关系引入泛函，于是形成以下泛函

ΠⅠＡ ＝∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ－Ｆｉｕｉ）］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ＋∫Ｖ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）λｉｊｄＶ

（８ ６８）ΠⅠＡ 的变分为

　　　　　　　　　δΠⅠＡ ＝∫Ｖ Ａ（ｅｉｊ）ｅｉｊ

δｅｉｊ－Ｆｉδｕ［ ］ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＋

∫Ｖ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δλｉｊｄＶ＋

∫Ｖλｉｊ［δｅｉｊ－（δｕｉｊ＋ｕｋ，ｉδｕｋ，ｊ）］ｄＶ引用式（８ ２９）将上式化为

　　　　　　　　　δΠⅠＡ ＝∫Ｖ（σｉｊδｅｉｊ－Ｆｉδｕｉ）ｄＶ－∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＋

∫Ｖ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δλｉｊｄＶ＋∫ＶλｉｊδｅｉｊｄＶ－∫Ｖλｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕｋ，ｊｄＶ （８ ６９）

式（８ ６９）等号右边最后一项利用格林公式又可以化为

－∫Ｖλｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕｋ，ｊｄＶ ＝－∫Ｓσｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）ｎｊδｕｋｄＳ＋∫Ｖ［λｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）］，ｊδｕｋｄＶ

（８ ７０）式（８ ７０）式 等 号 右 侧 第 一 个 积 分 为 周 边Ｓ积 分，而Ｓ＝Ｓσ＋Ｓｕ。引 用 式（８ ６７），显 然

式（８ ７０）可写为

－∫Ｖλｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕｋ，ｊｄＶ ＝－∫Ｓσλｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）δｕｋｄＳ＋∫Ｖ［λｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）］，ｊδｕｋｄＶ

（８ ７１）把式（８ ７１）代入式（８ ６９）中，经过整理后可得

　　　　　δΠⅠＡ ＝∫Ｖ（σｉｊ＋λｉｊ）δｅｉｊｄＶ－∫Ｖ｛－［（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）λｉｊ］，ｊ＋Ｆｉ｝δｕｉｄＶ－∫Ｓσ

［λｉｊ（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）＋Ｔｉ］δｕｋｄＳ＋

∫Ｖ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δλｉｊｄＶ （８ ７２）

根据δΠⅠＡ ＝０的条件，且δｕｉ，δｅｉｊ，δλｉｊ 都是独立变分，所以得

σｉｊ＋λｉｊ ＝０，　 即λｉｊ ＝－σｉｊ，　　　　 在Ｖ 内 （８ ７３ａ）［（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）σｉｊ］，ｊ＋Ｆｉ ＝０， 在Ｖ 内 （８ ７３ｂ）

（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ， 在Ｓσ 内 （８ ７３ｃ）

ｅｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）＝０， 在Ｖ 内 （８ ７３ｄ）

式（８ ７３ｂ）、式（８ ７３ｃ）和式（８ ７３ｄ）中均引用了式（８ ７３ａ）的结果。显然式（８ ７３ａ）表示

λｉｊ ＝－σｉｊ，式（８ ７３ｂ）为 平 衡 方 程，式（８ ７３ｃ）为 在 给 定 力 的 边 界 上 力 的 边 界 条 件，式

（８ ７３ｄ）为应变 位移关系式。于是证明了变分原理ＩＡ的不完全变分原理。将式（８ ７３ａ）得

—５４１—

到的λｉｊ ＝－σｉｊ 代入式（８ ６８）即得到式（８ ６６）。列举下面几个不完全广义变分原理，不作证明。变分原理 ⅠＢ：在满足大位移应变关系式（８ １２）的所有容许的ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 中，实际的ｕｉ，

ｅｉｊ，σｉｊ 必使下列广义泛函取驻值。

ΠⅠＢ ＝∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ－Ｆｉｕｉ）］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）（δｉｊ＋ｕｉ，ｊ）σｊｋｎｋｄＳ（８ ７４）

变分原理 ⅠＣ：在满足位移边界中的一个给定位移边界如ｕ１－ｕ１ ＝０的所有容许的ｕｉ，

ｅｉｊ，σｉｊ 须使下列广义泛函取驻值。

　　　　　ΠⅠＣ ＝∫Ｖ Ａ（ｅｉｊ）－ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）σｉｊ－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕ２－ｕ２）（δ２ｉ＋ｕ２，ｉ）σｉｋｎｋｄＳ－

∫Ｓｕ

（ｕ３－ｕ３）（δ３ｉ＋ｕ３，ｉ）σｉｋｎｋｄＳ （８ ７５）

变分原理 ⅠＤ：在满足一个应变 位移关系式如２ｅ１１ ＝２ｕ１，１＋ｕｋ，１ｕｋ，１ 的所有容许的ｕｉ，

ｅｉｊ，σｉｊ 中，实际的ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 必使下列广义泛函取驻值。

　　　　　　　　ΠⅠＤ ＝∫Ｖ Ａ（ｅｉｊ）－ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）σｉｊ｛ ＋

ｅ１１－１２（２ｕ１，１＋ｕｋ，１ｕｋ，１［ ］）σ１１－Ｆｉｕ ｝ｉ ｄＶ－

∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（ｕｉ－ｕｉ）（δｋｉ＋ｕｋ，ｉ）σｉｊｎｊｄＳ （８ ７６）

还有的不完全广义变分原理满足一部分应变 位移关系式或满足一部分已知的位移边

界条件等等，这里不再一一列出。

二、大位移非线性弹性理论的不完全广义余能变分原理

变分原理 ⅡＡ：在满足边界外力已知的条件式（８ ２０）的所有容许的ｕｉ，σｉｊ 中，实际的ｕｉ，

σｉｊ 必使下列广义泛函取驻值。

　　　　　ΠⅡＡ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉｊ＋［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊｕｉ＋Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫Ｓｕ

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｕｉｄＳ （８ ７７）

证明 　 因为ｕｉ，σｉｊ 满足力的边界（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ ＝Ｔｉ（在Ｓσ 上），所以有

δ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊ ＝０ （８ ７８）首先，利用拉格朗日乘子法，将平衡方程式（８ １９）作为约束方程，用拉格朗日乘子将其引

入到原有的余能泛函式（８ ３５）中，组成如下的泛函

　　　　　　ΠⅡＡ① ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉ［ ］ｊ ｄＶ－∫Ｓｕ

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｕｉｄＳ＋

① 该式编者作了修改，与原著有别（增加了１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉｊ

项）。式（８ ８６）与此类同。

—６４１—

∫Ｖ｛［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｉｊ］，ｊ＋Ｆｉ｝λｉｄＶ （８ ７９）

式（８ ７９）的变分为

　　　　　δΠⅡＡ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）σｉｊ

δσｉｊ＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊ＋ｕｋ，ｉσｉｊδｕｋ，［ ］ｊ ｄＶ－

∫Ｓｕδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｕｉｄＳ＋∫Ｖ｛［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊ＋Ｆｉ｝δλｉｄＶ＋∫Ｖδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊλｉｄＶ （８ ８０）

利用格林公式，上式等号右侧第一个积分中的第三项和最后一个积分可化为

　　　　　∫Ｖｕｋ，ｊσｉｊδｕｋ，ｉｄＶ ＝∫Ｓｕｋδ（σｉｊｕｋ，ｉ）ｎｊｄＳ－∫Ｖｕｋδ（ｕｋ，ｉσｉｊ），ｊｄＶ－

∫Ｖｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊｄＶ （８ ８１）

　　　　　∫Ｖλｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊｄＶ ＝∫Ｓλｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ－∫Ｖλｉ，ｊδσｋｊｄＶ－∫Ｓλｉδ（ｕｉ，ｋσｋｊ）ｎｊｄＳ＋∫Ｖλｉδ（ｕｉ，ｋσｋｊ），ｊｄＶ （８ ８２）

将式（８ ８１）、式（８ ８２）代入式（８ ８０），并利用式（８ ７８）和式（８ ３６）的第二式，将其经过整

理并移项后，可得

　　　　　δΠⅡＡ ＝∫Ｖ ｅｉｊ－１２（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δσｉｊｄＶ＋

∫Ｓｕ

（λｉ－ｕｉ）δ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｉｊ］ｎｊｄＳ＋∫Ｓ（ｕｉ－λｉ）δ（ｕｉ，ｋσｋｊ）ｎｊｄＳ＋

∫Ｖ（λｉ－ｕｉ）δ（ｕｋ，ｉσｋｊ），ｊｄＶ＋∫Ｖ｛［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊ＋Ｆｉ｝δλｉｄＶ （８ ８３）

上式等号右侧第一个积分是由

∫Ｖ ｅｉｊ－１２（２λｉ，ｊ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δσｉｊｄＶ ＝∫Ｖ ｅｉｊ－１２（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δσｉｊｄＶ（８ ８４）

得到。根据式（８ ８３），当δΠⅡＡ ＝０时，δｕｉ，δσｉｊ，δλｉ 都是独立变分，所以，得

ｅｉｊ－１２（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）＝０，　　 在Ｖ 内 （８ ８５ａ）

λｉ－ｕｉ ＝０， 在Ｓｕ 上 （８ ８５ｂ）

ｕｉ－λｉ ＝０， 在Ｓ上 （８ ８５ｃ）

λｉ－ｕｉ ＝０， 在Ｖ 内 （８ ８５ｄ）

［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊ＋Ｆｉ ＝０， 在Ｖ 内 （８ ８５ｅ）式（８ ８５ｃ）和式（８ ８５ｄ）给出了拉格朗日乘子代表位移，式（８ ８５ａ）是应变 位移关系式，式（８ ８５ｅ）为平衡方程，式（８ ８５ｂ）为位移给定的边界条件。将式（８ ８５ｃ）和式（８ ８５ｄ）代入

式（８ ７９），即得到式（８ ７７）。因此，ΠⅡＡ 的泛函得到证明。

变 分原理ⅡＢ：在满足平衡方程式（８ １９）的所有容许的ｕｉ，σｉｊ 中，实际的ｕｉ，σｉｊ 必使下列

广义泛函取驻值。

—７４１—

　　　　　ΠⅡＢ① ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉｊ［ ］）ｄＶ－∫Ｓσ

［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔｉ］ｕｉｄＳ－

∫Ｓｕ

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｕｉｄＳ （８ ８６）

证明上式并不困难，我们可以取拉格朗日乘子 ，将给定力的边界条件作为约束条件，组成

新的泛函如下

　　　　　ΠⅡＢ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉ［ ］ｊ ｄＶ＋∫Ｓσ

［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔｉ］λｉｄＳ－

∫Ｓｕ

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｕｉｄＳ （８ ８７）

对式（８ ８７）取变分

　　　　　δΠⅡＢ ＝∫Ｖ Ｂσｉ（ ）ｊ δσｉｊ＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊ＋ｕｋ，ｉδｕｋ，ｊσｉ［ ］ｊ ｄＶ－

∫Ｓｕｕｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ＋∫Ｓσ

［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔｉ］δλｉｄＳ＋

∫Ｓσλｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ （８ ８８）

式（８ ８８）等号右侧最后一个积分可以化为

　　　　　　　∫Ｓσλｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ＝∫Ｓ

λｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ－

∫Ｓｕλｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ （８ ８９）

式（８ ８９）等号右侧第一个积分又可化为

　　　　　　　∫Ｓλｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ＝∫Ｖλｉ，ｊδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｄＶ＋

∫Ｖλｉ［δ（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊｄＶ （８ ９０）

因为ｕｉ，σｉｊ，λｉ 满足平衡方程［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊ＋Ｆｉ ＝０的条件，所以

δ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊ ＝０ （８ ９１）根据上式，则式（８ ９０）可化为

　　　　　　　∫Ｓλｉδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ＝∫Ｖλｉ，ｊδ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｄＶ ＝

∫Ｖλｉ，ｊδσｉｊｄＶ＋∫Ｓλｉδ（ｕｉ，ｋσｋｊ）ｎｊｄＳ－

∫Ｖλｉδ（ｕｉ，ｋσｋｊ），ｊｄＶ （８ ９２）

而式（８ ８８）等号右侧第一个积分中的末项，又可以化为

　　　　　　　∫Ｖｕｋ，ｉδｕｋ，ｊσｉｊｄＶ ＝∫Ｓｕｋδ（σｉｊｕｋ，ｊ）ｎｊｄＳ－

∫Ｖｕｋδ（ｕｋ，ｊσｉｊ），ｉｄＶ－∫Ｖｕｋ，ｉｕｋ，ｊδσｉｊｄＶ （８ ９３）

把式（８ ９２）代入式（８ ８９），再与式（８ ９３）一起代入式（８ ８８），并引用式（８ ３６）的第二式，经过整理后，可化为

　　　　　　δΠⅡＢ ＝∫Ｖ ｅｉｊ－１２（λｉ，ｊ＋λｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）δσｉｊｄＶ－—８４１—

∫Ｓｕ

（λｉ＋ｕｉ）δ［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］ｎｊｄＳ＋

∫Ｓσ

［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔｉ］δλｉｄＳ＋

∫Ｓ（λｉ＋ｕｉ）δ［ｕｉ，ｋσｋｊ］ｎｊｄＳ－∫Ｖ（λｉ＋ｕｉ）δ［ｕｉ，ｋσｋｊ］，ｊｄＶ （８ ９４）

当取δΠⅡＢ ＝０时，因为δｕｉ，δσｉｊ，δλｉ 都是独立变分，故有

ｅｉｊ－１２（λｉｊ＋λｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ）＝０，　　 在Ｖ 内 （８ ９５ａ）

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔｉ ＝０， 在Ｓσ 上 （８ ９５ｂ）

ｕｉ＋λｉ ＝０， 在Ｓ上 （８ ９５ｃ）

λｉ＋ｕｉ ＝０， 在Ｖ 内 （８ ９５ｄ）

λｉ＋ｕｉ ＝０， 在Ｓｕ 上 （８ ９５ｅ）显然，式（８ ９５ａ）和式（８ ９５ｂ）分 别 表 示 应 变 位 移 关 系 和 力 给 定 的 力 的 边 界 条 件；

式（８ ９５ｃ）和式（８ ９５ｄ）表示乘子λｉ 等于负的位移；式（８ ９５ｅ）表示位移给定的位移边界条

件。现在将式（８ ９５ｃ）和式（８ ９５ｄ）代入式（８ ８７）中，即可得到式（８ ８６）。以上问题已得到

证明。变分原理 ⅡＣ：在满足一个外力已知的条件如（δ１ｋ＋ｕ１，ｋ）σｋｊｎｊ ＝Ｔ１ 的所有容许的ｕｉ，σｉｊ

中，实际的ｕｉ，σｉｊ 必使下列广义泛函取驻值。

　　　　　ΠⅡＣ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉｊ＋［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊｕｉ－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－∫Ｓσ

［（δ２ｋ＋ｕ２，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔ２］ｕ２ｄＳ－∫Ｓσ

［（δ３ｋ＋ｕ３，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔ３］ｕ３ｄＳ－

∫Ｓｕ

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｕｉｄＳ （８ ９６）

变 分原理ⅡＤ：在满足一个平衡方程如［（δ１ｋ＋ｕ１，ｋ）σｋｊ］，ｊ＋Ｆ１＝０的所有容许的ｕｉ，σｉｊ 条

件下，实际的ｕｉ，σｉｊ 必使下列泛函取驻值。

　　　　　ΠⅡＤ ＝∫Ｖ Ｂ（σｉｊ）＋１２ｕｋ，ｉｕｋ，ｊσｉｊ＋［（δ２ｉ＋ｕ２，ｉ）σｉｋ］，ｋｕ２｛ ＋

［（δ３ｉ＋ｕ３，ｉ）σｉｋ］，ｋｕ３＋Ｆ２ｕ２＋Ｆ３ｕ ｝３ ｄＶ－∫Ｓσ

［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ－Ｔｉ］ｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊｕｉｄＳ （８ ９７）

还有其他情形的不完全广义余能泛函，此处就不一一列举了。除了上述的变分泛函外，尚有大位移变形非线性弹性理论的分区完全或不完全广义变分

原理，其实质上与小位移情形有些类似，同样这里也是由非线性应变 位移关系引起的某些

物理量之变化。限于篇幅，这里不再介绍，需要时可参阅文献［１］第８章的有关内容。

８６　 弹性动力学问题的变分原理

对 于弹性体动力学问题，所有位移ｕｉ，应变ｅｉｊ 和应力σｉｊ，都是空间坐标ｘｉ（ｉ＝１，２，３）和时

间坐标ｔ的函数，即

—９４１—

ｕｉ＝ｕｉ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｔ）

ｅｉｊ ＝ｅｉｊ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｔ）

σｉｊ ＝σｉｊ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｔ烍烌

烎）（８ ９８）

而体积力Ｆｉ 一般也可以是时间坐标ｔ的函数，即

Ｆｉ＝Ｆｉ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｔ） （８ ９９）

物体的单元体积ｄＶ在运动时，除了受体积力ＦｉｄＶ的作用外，还受到惯性力－ρ（ｄ２ｕｉ／ｄｔ２）的作

用，其中ρ＝ρ（ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｔ）为物体的密度。对于弹性体的平衡方程式（５ １）或式（８ １９）应该改写为动力方程

小位移时，　σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ－ρｄ２ｕｉｄｔ２ ＝０

（８ １００）

大位移时，　［（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊ］，ｊ＋Ｆｉ－ρｄ２ｕｉｄｔ２ ＝０

（８ １０１）

其他关系不变，如：

１小位移问题

（１）应变 位移关系为

ｅｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ） （８ １０２）

（２）应力 应变关系为

Ａｅｉｊ

＝σｉｊ （８ １０３）

σｉｊ ＝ａｉｊｋｌｅｋｌ　　（各向异性） （８ １０４）

σｉｊ ＝λｅｋｋδｉｊ＋２μｅｉｊ （８ １０５）或用应力表示应变

Ｂσｉｊ

＝ｅｉｊ （８ １０６）

ｅｉｊ ＝ｂｉｊｋｌσｋｌ （８ １０７）

ｅｉｊ ＝１＋νＥ σｉｊ－νＥσｋｋδｉｊ

（８ １０８）

（３）边界条件

σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ，　 在Ｓσ 上 （８ １０９）

ｕｉ＝ｕｉ， 在Ｓｕ 上 （８ １１０）

２大位移问题

（１）应变 位移关系式

ｅｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ） （８ １１１）

（２）应力 应变关系与小位移时相同。（３）边界条件为

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ ＝Ｔｉ，　 在Ｓσ 上 （８ １１２）

ｕｉ＝ｕｉ， 在Ｓｕ 上 （８ １１３）在动力学问题中，还必须知道物体在某一时刻的位移和速度，才能使解惟一地确定，这个

—０５１—

条件就是动力学问题的初始条件。一般，把已知初始值的时间取为ｔ＝０，则初始条件可表示为

在ｔ＝０时：　ｕｉ＝ｕｉ０，　ｕｉｔ ＝ｕｉ＝ｕｉ０ （８ １１４）

式中ｕｉ０，ｕｉ０ 是已知的ｘ，ｙ，ｚ的函数。如果把一个系统看做是能量守恒系统，则其位能泛函可以表示为

Ｕ ＝∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （８ １１５）

动能应该是

Ｔ＝ １２∫Ｖρ ｄｕｉｄ（ ）ｔ ｄｕｉｄ（ ）ｔ ｄＶ （８ １１６）

作用量为

Ｌ＝Ｔ－Ｕ ＝∫Ｖ １２ρｄｕｉｄ（ ）ｔ ｄｕｉｄ（ ）ｔ －Ａ（ｅｉｊ）＋Ｆｉｕ［ ］ｉ ｄＶ＋∫Ｓσ

ＴｉｕｉｄＳ （８ １１７）

它也被称为拉格朗日函数。最小作用量定理要求

δΠ ＝０，　Π＝∫ｔ２

ｔ１Ｌｄｔ （８ １１８）

这里的ｕｉ 在ｔ＝ｔ１ 和ｔ＝ｔ２ 两个积分限假定是已给定的，即在ｔ＝ｔ１ 时，　ｕｉ＝ｕｉ１　 或 　δｕｉ（ｔ１）＝０在ｔ＝ｔ２ 时，　ｕｉ＝ｕｉ２　 或 　δｕｉ（ｔ２）＝ ｝０ （８ １１９）

所以，弹性动力学的哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）原理为：在边界Ｓｕ 上满足给定边界位移式（８ １１０）

或

式（８ １１３），在Ｖ内满足应变 位移关系式（８ １０２）和式（８ １１１），在ｔ＝ｔ１ 和ｔ＝ｔ２

时满足

限定条件式（８ １１９）的条件下，

使泛函

Π＝∫ｔ２

ｔ１∫Ｖ１２ρｄｕｉｄ（ ）ｔ ｄｕｉ

ｄ（ ）ｔ －Ａ（ｅｉｊ）＋Ｆｉｕ［ ］ｉ ｄＶ＋∫ＳσＴｉｕｉｄ｛ ｝Ｓ ｄｔ （８ １２０）

为极值的ｕｉ 必导出问题的正确解。即必可导出满足动力学方程的式（８ １００）或式（８ １０１）

和

边界外力已知的条件式（８ １０９）和式（８ １１２）的ｕｉ

。

Π的变分极值给出

∫ｔ２

ｔ１δＴ－∫ＶσｉｊδｅｉｊｄＶ＋∫ＶＦｉδｕｉｄＶ＋∫Ｓσ

Ｔｉδｕｉｄ｛ ｝Ｓ ｄｔ （８ １２１）

式（８ １２１）也称为弹性动力学的虚功原理。现在让我们考虑问题的一个近似解。设

ｕｉ＝ｕｉ（ｘ１，ｘ１，ｘ３；ｑ１，ｑ２，…，ｑｎ，ｔ） （８ １２２）式中ｑ１，ｑ２，…，ｑｎ 为时间函数，也称为广义坐标。而且不论ｑ１，ｑ２，…，ｑｎ 是多少，ｕｉ 一定满足Ｓｕ上的位移已给定的边界条件。从式（８ １２２），我们得到

ｕｉ＝ｄｕｉｄｔ ＝∑ｎ

ｋ＝１

ｕｉｑｋｑｋ＋ｕｉｔ

（８ １２３）

δｕｉ＝∑ｎ

ｋ＝１

ｕｉｑｉδｑｋ

（８ １２４）

将式（８ １２３）和式（８ １２４）代入式（８ １１６）和Ａ（ｅｉｊ）中，我们就可以用ｑｋ 和ｑｋ 来表示拉格

朗日函数为

Ｌ ＝Ｔ－∫ＶＡ（ｅｉｊ）ｄＶ （８ １２５）

—１５１—

对Ｌ 取

　　　　　　∫ｔ２

ｔ１δＬｄｔ＝∫

ｔ２

ｔ１∑ｎ

ｋ＝１

Ｌ

ｑｋδｑｋ＋Ｌ

ｑｋδｑ（ ）［ ］ｋ ｄｔ＝

∑ｔ２

ｔ１

Ｌ

ｑｋδｑｋｔ２

ｔ１－∫

ｔ２

ｔ１∑ｎ

ｋ＝１

ｄｄｔＬ

ｑ（ ）ｋ－Ｌ

ｑ［ ］ｋδｑｋｄｔ＝

－∫ｔ２

ｔ１∑ｎ

ｋ＝１

ｄｄｔＬ

ｑ（ ）ｋ－Ｌ

ｑ［ ］ｋδｑｋｄｔ （８ １２６）

这里我们已经使用了积分限定条件式（８ １１９），即

δｑｋ（ｔ１）＝δｑｋ（ｔ２）＝０　　（ｋ＝１，２，…，ｎ） （８ １２７）如果引进广义力Ｑｋ，并定义广义力Ｑｋ 为

∫ＶＦｉδｕｉｄＶ＋∫ＳσＴｉδｕｉｄＳ＝∑

ｎ

ｋ＝１Ｑｋδｑｋ （８ １２８）

由式（８ １２８），可以得到

∑ｎ

ｋ＝１∫ＶＦｉｕｉｑｋｄＶ＋∫Ｓσ

ＴｉｕｉｑｋｄＳ－Ｑ｛ ｝ｋδｑｋ ＝０ （８ １２９）

因为δｑｋ 都是独立的，因此有

Ｑｋ ＝∫ＶＦｉｕｉｑｋｄＶ＋∫ＳσＴｉｕｉｑｋ

ｄＳ （８ １３０）

将式（８ １２６）和式（８ １２８）代入式（８ １２１），得

∫ｔ２

ｔ１∑ｎ

ｋ＝１

ｄｄｔＬ

ｑ（ ）ｋ－Ｌ

ｑｋ －Ｑ［ ］ｋδｑｋｄｔ＝０ （８ １３１）

根据变分预备定理，可以得到ｎ个独立的弹性体拉格朗日运动学方程为

ｄｄｔＬ

ｑ（ ）ｋ－Ｌ

ｑｋ －Ｑｋ ＝０　　（ｋ＝１，２，…，ｎ） （８ １３２）

这个关系式适用于大位移理论和小位移理论，它是研究颤振的基本动力学方程式。式（８ １２０）的 泛 函 是 在 已 给 定 边 界 位 移ｕｉ ＝ｕｉ 和 应 力 应 变 关 系 式（８ １０２）或

式（８ １１１）条件下的变分原理。显然，这是有条件的变分原理。如果利用了拉格朗日乘子后，通过变分，也可以化为弹性动力学广义变分原理：在ｔ＝ｔ１ 和ｔ＝ｔ２ 时，ｕｉ 是已给的条件下，

弹

性体动力学的ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 的正确解，

必使泛函

　　　　　　　　　Π＝∫ｔ２

ｔ１∫Ｖ１２ρｄｕｉｄｔｄｕｉｄｔ－Ａ

（ｅｉｊ）＋Ｆｉｕ［ ］ｉ｛ ＋

σｉｊ ｅｉｊ－１２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ＋ｕｋ，ｉｕｋ，ｊ［ ］）ｄＶ＋

∫ＳσＴｉｕｉｄＳ＋∫Ｓｕ

（δｉｋ ＋ｕｉ，ｋ）σｋｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄ ｝Ｓ ｄｔ （８ １３３）

为驻值。或：在ｔ＝ｔ１ 和ｔ＝ｔ２ 时，ｕｉ 是已给的条件下，使式（８ １３３）

中的广义泛函达到驻值的

ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ 必满足：① 动力学方程式（８ １０１）；② 应力 应变关系式（８ １０３）；③

应变 位移

关系式（８ １１１）和有关边界条件式（８ １１２）和式（８ １１３

）。若略去式（８ １３３）中的非线性项，即可简化为小位移变形动力学的泛函。需要指出的是，哈密顿原理族不是考虑弹性体动力学的初值问题，而是考虑时间上的边值

问题，即不用初始条件式（８ １１４），而用边值条件（限定条件）式（８ １１９）。可以说，哈密顿原理

—２５１—

族关心的是对ｔ瞬间运动方程和边界条件的推导，而对初始条件并未作严格的考虑。从这个意

义上说，在哈密顿原理及其有关的变分原理中，没有一个能完整地定义弹性体动力学问题。工程中的动力学问题常常不是哈密顿原理中考虑的问题。因此哈密顿原理很难直接用于

具体的工程问题，其主要的用途在于推导运动方程和其他理论方面的应用。哈密顿原理和虚功原理常常被用到涉及动力响应问题的有限元素法的数学公式推导中。

把所研究的弹性体划分为若干个有限元素的集合体，并应用哈密顿原理求得一组线性代数方

程，这组方程表示成矩阵形式如下：

Ｍ̈ｑ＋Ｃｑ＋Ｋｑ＝Ｆ （８ １３４）式中Ｍ，Ｃ和Ｋ 分 别 是 质 量、阻 尼 和 刚 度 矩 阵，ｑ是 结 点 位 移 向 量，Ｆ 是 外 载 荷 向 量。方 程

式（８ １３４）可以用模态叠加法或逐步积分法求解。详细内容可查阅有关文献。弹性动力学问题的其他变分原理，可进一步参阅文献［２，３，４］的相关内容。

—３５１—

第９章 　 塑性力学变分原理简介

９１　 塑性力学形变理论的变分原理

形变理论的特点是认为塑性体在瞬间，如果应变已知，则应力的决定是惟一的。但是反过

来，应力已知，应变的决定则可以是惟一的，也可以是不惟一的。例如，我们可以惟一的用应变

决定应力

σｉｊ ＝σｉｊ（ｅｋｌ） （９ １）但是，其逆关系可能是惟一的，也可能不是惟一的。

本章的变分原理推导，将只限于在加载过程中有不变的应力 应变关系，这就是说，只限

于单向加载的形变理论。因此，除材料服从屈服条件的限制以外，这种理论与第８章讨论的非

线性弹性理论没有什么区别。此外，我们还将本章的问题限定于小位移的范围。这样，我们讨论的全量的塑性形变理论的问题为

（１）平衡方程

σｉｊ＋Ｆｉ ＝０，　　 在Ｖ 内 （９ ２）（２）应变 位移关系

ｅｉｊ ＝ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ），　 在Ｖ 内 （９ ３）

（３）应力 应变关系（加载过程）

σｉｊ ＝σｉｊ（ｅｋｌ） （９ ４ａ）

ｅｋｌ ＝ｅｋｌ（σｉｊ） （９ ４ｂ）（４）边界条件

σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ，　　 在Ｓσ 上 （９ ５）

ｕｉ＝ｕｉ， 在Ｓｕ 上 （９ ６）

根据上面要 求，与 弹 性 理 论 一 样 我 们 引 出 应 变 能 密 度 和 余 应 变 能 密 度，即Ａ（ｅｉｊ）和

Ｂ（σｉｊ），并有最小位能原理和最小余能原理

Π＝∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ）－Ｆｉｕｉ］ｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （９ ７）

ΠＣ ＝∫ＶＢ（σｉｊ）ｄＶ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ （９ ８）

其中

—４５１—

Ａｅｉｊ

＝σｉｊ （９ ９ａ）

Ｂσｉｊ

＝ｅｉｊ （９ ９ｂ）

进一步说明的是，如果假定关系式（９ ４ｂ）是关系式（９ ４ａ）的惟一逆关系，并且反之亦

真，那么我们就可以用第５章（或第８章）的推演方法把最小位能原理变换成最小余能原理；亦可作相反的变换。这样，在这种假设的前提下，两个泛函式（９ ７）和式（９ ８）的驻值性质是确

定的。但是，其极大值和极小值确不能保证，除非对应力 应变关系做更详细的规定。以下将

通过几个具体的应力 应变关系来研究与形变理论有关的变分原理。

一、应变硬化材料

这里将研究正割模量理论的材料，其应力 应变关系为

σｉｊ′＝γｅｉｊ′ （９ １０）这里σｉｊ′与ｅｉｊ′代表应力偏量与应变偏量，即

σｉｊ′＝σｉｊ－１３σｋｋδｉｊ（９ １１ａ）

ｅｉｊ′＝ｅｉｊ－１３ｅｋｋδｉｊ（９ １１ｂ）

γ为一般标量，它和应变状态有关，从式（９ １０）可知

Σ＝γΓ （９ １２）式中

Σ＝ σｉｊ′σｉｊ槡 ′ （９ １３ａ）

Γ＝ ｅｉｊ′ｅｉｊ槡 ′ （９ １３ｂ）应该指出，应力偏量σｉｊ′和应变偏量ｅｉｊ′代表形变部分，它与体积变形无关。

从式（９ １３），有

Σ２ ＝σｉｊ′σｉｊ′ΣｄΣ＝σｉｊ′ｄσｉｊ′ （９ １４ａ）

ΓｄΓ＝ｅｉｊ′ｄｅｉｊ′ （９ １４ｂ）或写为变分形式

ΣδΣ＝σｉｊ′δσｉｊ′ （９ １５ａ）

ΓδΓ＝ｅｉｊ′δｅｉｊ′ （９ １５ｂ）假若Σ是Γ的单值连续函数，即

Σ＝Σ（Γ） （９ １６）而且

ΣΓ ＝γ＞０，　ｄΣｄΓ＞

０ （９ １７）

将式（９ １０）与式（９ １２）合并，有

σｉｊ′＝ΣΓｅｉｊ′ （９ １８ａ）

ｅｉｊ′＝ΣΓσｉｊ′ （９ １８ｂ）

—５５１—

在式（９ １８ａ）与式（９ １８ｂ）中，只有五个关系式是独立的，所以，还应该有第六个独立的关系

式，它就是可压缩性关系。可压缩性关系式可如下导出，设取

σ＝ １３σｋｋ，　ｅ＝ １３ｅｋｋ

（９ １９）

式（９ １１ａ）和式（９ １１ｂ）可写为

σｉｊ′＝σｉｊ－σδｉｊ，　ｅｉｊ′＝ｅｉｊ－ｅδｉｊ由应力 应变关系有

ｅｉｊ ＝σｉｊ２Ｇ－３υＥσδｉｊ

（９ ２０）

取式（９ ２０）三个应变之和，有

ｅｉｊ ＝ １３Ｋσｋｋ

（９ ２１）

或

σｋｋ ＝３Ｋｅｋｋ （９ ２２）式（９ ２２）即为“可压缩性关系”，其中Ｋ 是材料的体积模量，可由弹性模量Ｅ和泊松比μ表

示为

Ｋ ＝ Ｅ３（１－２μ）

（９ ２３）

利用以上关系，可以把正割模量理论的Ａ（ｅｉｊ）和Ｂ（σｉｊ）表示成

Ａ（ｅｉｊ）＝ Ｅ６（１－２μ）

ｅｋｋｅｌｌ＋∫Γ

０Σ（Γ）ｄΓ （９ ２４）

Ｂ（σｉｊ）＝（１－２μ）６Ｅ σｋｋσｌｌ＋∫

Σ

０Γ（Σ）ｄΣ （９ ２５）

将式（９ ２４）与式（９ ２５）代入式（９ ７）与式（９ ８）即得到正割模量理论材料的塑性力学变分

原理。这两个变分原理称为卡恰诺夫（Качаиов）变分原理。式（９ ２４）与式（９ ２５）等号右侧第一项为体积应变能强度。为了说明这个问题，不妨以线

弹性为例，用Ａｅ 表示线弹性应变能

Ａｅ ＝ １２σｉｊｅｉｊ ＝１２（σｉｊ′＋σδｉｊ）（ｅｉｊ′＋ｅδｉｊ）

当引用ｅｋｋ′＝０条件，上式可化为

Ａｅ ＝ ３２σｅ＋１２σｉｊ′ｅｉｊ′

（９ ２６）

对于非线性情形，可取

Ａ（ｅｉｊ）＝ ３２σｅ＋∫Γ

０Σ（Γ）ｄΓ （９ ２７）

将式（９ ２２）代入上式，则可化为

Ａ（ｅｉｊ）＝ Ｅ６（１－２μ）

ｅｋｋｅｌｌ＋∫Γ

０Σ（Γ）ｄΓ

即式（９ ２４）。同样，可以导出式（９ ２５）。卡恰诺夫原理 Ⅰ：对于一切容许的位移ｕｉ，使泛函式（９ ７）极小的ｕｉ

必为正割模量材料

塑性变形的正确解

。

—６５１—

证明驻值位能原理是根据δ２Π＞０，若略去自变量高次变分，则

δ（δｕｉ）＝δ２ｕｉ＝０ （９ ２８ａ）

δ（δｅｉｊ）＝δ２ｅｉｊ ＝０ （９ ２８ｂ）

δ（δσｉｊ）＝δ２σｉｊ ＝０ （９ ２８ｃ）则δ２Π相当于在讨论δ２Ａ的值是否大于零。其证明如下：

首先，在∫Γ

０Σ（Γ）ｄΓ积分中，自变量Γ为其上限，也是积分变量。所以，有

δ∫Γ

０Σ（Γ）ｄ（ ）Γ ＝Σ（Γ）δΓ （９ ２９）

于是，有

δＡ（ｅｉｊ）＝ Ｅ３（１－２μ）

ｅｋｋｅｌｌ＋Σ（Γ）δΓ （９ ３０）

再对式（９ ３０）取变分，有

δ２Ａ（ｅｉｊ）＝ Ｅ３（１－２μ）

δｅｋｋδｅｌｌ＋ｄΣｄΓ（δΓ）２＋Σ（Γ）δ（δΓ） （９ ３１）

把式（９ １５ｂ）即δΓ＝ １Γｅｉｊ′δｅｉｊ′代入上式，经过整理推导，可得

　　　　　　　δ２Ａ（ｅｉｊ）＝ Ｅ３（１－２μ）

δｅｋｋδｅｌｌ＋ΣΓ３［Γ２δｅｋｌ′δｅｋｌ′－（ｅｋｌ′δｅｋｌ′）２］＋

１Γ２ｄΣｄ（ ）Γ （ｅｋｌ′δｅｋｌ′）２① （９ ３２）

根据Ｓｃｈｗａｒｚ② 不等式，有

Γ２δｅｋｌ′δｅｋｌ′≥ （ｅｋｌ′δｅｋｌ′）２ （９ ３３）

且根据ｄΣｄΓ＞

０的条件，可证明

δ２Ａ≥０ （９ ３４）从而证明了

δ２Π≥０ （９ ３５）

① 参考文献［１］第５６９页和５７０页为２δ２Ａ与２δ２Ｂ，经推导无因数“２”——— 编者。

② 关于Ｓｃｈｗａｒｚ不等式的证明。因为

　　　　　　　　 （ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ２ｎ）－（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２ ＝

　　（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）２＋（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）２＋…＋（ａｎｂｎ－ａｎｂｎ）２

　 因为（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）２… 等都是正的，故有

∑ａ２ｎ∑ｂ２ｎ ≥ （∑ａｎｂｎ）２　 如果将上式中各项改为：设ａｎ 为ｅｉｊ′；ｂｎ 为δｅｉｊ′，则有

∑ａｎａｎ ＝ｅｉｊ′ｅｉｊ′＝Γ２

∑ｂｎｂｎ ＝δｅｉｊ′δｅｉｊ′

∑ａｎｂｎ ＝ｅｉｊ′δｅｉｊ′　 于是有

Γ２δｅｉｊ′δｅｉｊ′≥ （ｅｉｊ′δｅｉｊ′）２

—７５１—

卡恰诺夫原理 Ⅱ：对于一切满足平衡方程式（６ ２）和外力已给的表面边界条件式（９ ５

）的容许σｉｊ，使泛函式（９ ８）极小的σｉｊ 必为正割模量材料塑性应力问题的正确解

。此原理仍可沿用上面的过程进行证明，同样，需要证明δ２Ｂ＞０，具体证明过程如下：因为

Ｂ（σｉｊ）＝（１－２μ）６Ｅ σｋｋσｌｌ＋∫

Σ

０Γ（Σ）ｄΣ

对上式取一次、二次变分为

δＢ（σｉｊ）＝（１－２μ）３Ｅ σｋｋδσｌｌ＋Γ（Σ）δΣ

δ２Ｂ（σｉｊ）＝（１－２μ）３Ｅ δσｋｋδσｌｌ＋ｄΓｄΣ

（δΣ）２＋Γδ（δΣ）（９ ３６）

引用式（９ １５ａ），即将δΣ＝ １Σσｉｊ′δσｉｊ′代入上式，可得

　　　　　　　δ２Ｂ（σｉｊ）＝（１－２μ）３Ｅ δσｋｋδσｌｌ＋ΓΣ３

［Σ２δσｉｊ′δσｉｊ′－（σｉｊ′δσｉｊ′）２］＋

１Σ２ｄΓｄΣ（σｉｊ′δσｉｊ′）２ （９ ３７）

根据Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，有

Σ２δσｉｊ′δσｉｊ′≥ （σｉｊ′δσｉｊ′）２ （９ ３８）从而证明了δ２Ｂ（σｉｊ）＞０，并可由此证明了δ２ΠＣ ＞０，故最小定理得到了证明。

二、理想塑性材料

现在把正割模量材料抽象到服从密塞斯（ＶｏｎＭｉｓｅｓ）屈服条件的理想塑性材料。Σ Γ 关

图９ １　 理想塑性材料Σ Γ关系

系式可以由图９ １来表示。

对于Σ＜槡２ｋ的范围而言，其材料服从胡克定律，

当Σ＝槡２ｋ的时候，材料发生塑性流动，ｋ为纯剪时的

屈服极限。下面导出理 想 塑 性 材 料 的 应 力 应 变 关 系 式 和

有关Ａ，Ｂ的表达式。图９ １中描述Σ Γ关系曲线的折线可以表示为

Σ＝２ＧΓ　（Γ＜Γ０） （９ ３９）

Σ＝Σ０＋２β（Γ－Γ０）　（Γ≥Γ０） （９ ４０）

式中Ｇ＝ Ｅ２（１＋μ）

，而

Σ０ ＝槡２ｋ＝２ＧΓ０ （９ ４１）

β为一正的常数，对于理想塑性材料，它应该等于零。把式（９ ３９）和式（９ ４０）代入式（９ ２４）和式（９ ２５），经积分后，可得

Ａ＝ Ｅ６（１－２μ）

ｅｋｋｅｌｌ＋ＧΓ２，　Γ＜Γ０ （９ ４２ａ）

Ａ＝ Ｅ６（１－２μ）

ｅｋｋｅｌｌ＋ＧΓ２０＋槡２ｋ（Γ－Γ０），　Γ≥Γ０ （９ ４２ｂ）

—８５１—

Ｂ＝（１－２μ）６Ｅ σｋｋσｌｌ＋ １４ＧΣ

２ （９ ４３）

并由σｉｊ ＝Ａｅｉｊ，ｅｉｊ ＝Ｂσｉｊ

，得到应力 应变关系式为

σｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｅｉｊ′，　Γ＜Γ０ （９ ４４ａ）

σｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｅｋｋδｉｊ＋槡２ｋΓｅｉｊ′，　Γ≥Γ０ （９ ４４ｂ）

ｅｉｊ ＝１－２μ３Ｅ σｋｋδｉｊ＋１２Ｇσｉｊ′

，　Σ＜槡２ｋ （９ ４５ａ）

ｅｉｊ ＝１－２μ３Ｅ σｋｋδｉｊ＋１２Ｇσｉｊ′＋λσｉｊ′

，　Σ＝槡２ｋ （９ ４５ｂ）

这里λ是一个正的、未定的和有限的标量，由

ｌｉｍβ→０Σ→Σ０

Σ－Σ０２βΣ

＝λ （９ ４６）

定 义。满足式（９ ４４ａ）和式（９ ４４ｂ）或等价的式（９ ４５ａ）和式（９ ４５ｂ）构成关系的材料，被称

为汉盖（Ｈｅｎｃｋｙ）材料。对于这种材料，有下面的哈尔 卡门变分（Ｈａｒｒ Ｋàｒｍàｎ）原理成立。哈尔 卡门变分（Ｈａｒｒ Ｋàｒｍàｎ）原理：对于一切满足平衡方程σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ＝０，

外力已给边

界条件σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ（在Ｓσ 上），和σｉｊ′σｉｊ′≤２ｋ２ 的容许的σｉｊ 而言，

使泛函

ΠＣ１ ＝∫Ｖ １－２μ６Ｅ σｋｋσｌｌ＋１４Ｇσｋｌ′σｋｌ［ ］′ｄＶ－∫Ｓｕ

σｉｊｎｊｕｉｄＳ （９ ４７）

为极小的σｉｊ 必为汉盖材料塑性应力的正确解

。该原理由葛林堡（Ｇｒｅｅｎｂｅｒｇ）证明。首先将ｅｉｊ 分为两部分，即弹性部分ｅｅｉｊ 和塑性部分ｅｐｉｊ，

则由式（９ ４５ａ）和式（９ ４５ｂ），可写成

ｅｅｉｊ ＝１－２μ３Ｅ σｋｋδｉｊ＋１２Ｇσｉｊ′　　

弹性部分 （９ ４８）

ｅｐｉｊ ＝λσｉｊ′ 塑性部分 （９ ４９）于是，弹性区域和塑性区域的应力 应变关系，可以表示为

ｅｉｊ ＝ｅｅｉｊ　　　　　 弹性区域Ｖｅ　　　Σ＜槡２ｋ （９ ５０ａ）

ｅｉｊ ＝ｅｅｉｊ＋ｅｐｉｊ 塑性区域Ｖｐ　　　Σ＝槡２ｋ （９ ５０ｂ）

ΠＣ１ 的变分为

　　　　　　　　δΠＣ１ ＝∫Ｖ １－２μ３Ｅ σｋｋδｉｊ＋１２Ｇσｉｊ［ ］′δσｉｊｄＶ－∫Ｓｕ

δσｉｊｎｊｕｉｄＳ＝

∫ＶｅｅｉｊδσｉｊｄＶ－∫ＳｕδσｉｊｎｊｕｉｄＳ （９ ５１）

利用式（９ ５０ｂ）后，可得

∫ＶｅｅｉｊδσｉｊｄＶ ＝∫ＶｅｉｊδσｉｊｄＶ－∫ＶｐｅｐｉｊδσｉｊｄＶ （９ ５２）

式中２ｅｉｊ ＝ （ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ），所以

ｅｉｊδσｉｊ ＝ｕｉ，ｊδσｉｊ ＝ （ｕｉδσｉｊ），ｊ－ｕｉδσｉｊ，ｊ （９ ５３）式（９ ５２）可写为

—９５１—

∫ＶｅｅｉｊδσｉｊｄＶ ＝∫Ｓσ＋ＳｕｕｉδσｉｊｄＳ－∫Ｖｕｉδσｉｊ，ｊｄＶ－∫ＶｐｅｐｉｊδσｉｊｄＶ

代入式（９ ５１），可得

δΠＣ１ ＝－∫Ｖｕｉδσｉｊ，ｊｄＶ＋∫ＳσｕｉδσｉｊｎｊｄＳ＋∫Ｓｕ

δσｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄＳ－∫ＶｐσｐｉｊδσｉｊｄＶ（９ ５４）

根据平衡条件有δσｉｊ，ｊ ＝０（在Ｖ内）和外力已给边界条件有δσｉｊｎｊ＝０（在Ｓσ 上），则式（９ ５４）又可写为

δΠＣ１ ＝∫Ｓｕδσｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄＳ－∫ＶｐｅｐｉｊδσｉｊｄＶ （９ ５５）

取δΠＣ１ ＝０的极值条件，而在Ｓｕ 边界上δσｉｊ 为任意值，所以有

ｕｉ－ｕｉ ＝０ （９ ５６）及

δΠＣ１ ＝－∫ＶｐｅｐｉｊδσｉｊｄＶ ＝０ （９ ５７）

现在的问题是：是否当－∫ＶｐｅｐｉｊδσｉｊｄＶ＝０时，σｉｊ 就是问题的正确解？为了证明式（９ ５７）成立，

可以按下面过程进行。如果σｉｊ 为正确解，则它满足σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２ 的塑性条件；如果选用的σｉｊ 不

是正确解，则 它 不 满 足 塑 性 条 件，而 有σｉｊ′σｉｊ′ ≤２ｋ２。现 在 根 据 式（９ ４９）的 关 系 式，式（９ ５７）可写为

δΠＣ１ ＝－∫Ｖｐλσｉｊ′δσｉｊｄＶ　（λ＞０） （９ ５８）

根据Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，有

σｉｊ′σｉｊ′ ≤ σｉｊ′σｉｊ槡 ′ σｉｊ′σｉｊ′槡 ≤２ｋ２ （９ ５９）根据δσｉｊ 的变分定义，δσｉｊ ＝σｉｊ －σｉｊ ＝σｉｊ′ －σｉｊ′，所以

σｉｊ′δσｉｊ ＝σｉｊ′σｉｊ －σｉｊ′σｉｊ ＝σｉｊ′σｉｊ′ －σｉｊ′σｉｊ′ （９ ６０）根据式（９ ５９）和σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２ 的关系，所以，上式有

σｉｊ′δσｉｊ ≤０ （９ ６１）由式（９ ６０）可见，只有当σｉｊ′ ＝σｉｊ′（或σｉｊ ＝σｉｊ）时，式（９ ６１）中的等号才适用，将式（９ ６１）代入式（９ ５８），有

δΠＣ１ ≥０ （９ ６２）于是就证明了上述条件。只有当σｉｊ 为正确解时，δΠＣ１ 才等于零，否则δΠＣ１ 大于零。

如果，对ΠＣ１ 取二次变分，则得

δ２ΠＣ１ ＝∫Ｖ １－２μ３Ｅ δσｋｋδσｌｌ＋１２Ｇδσｋｌ′δσｋｌ［ ］′ｄＶ （９ ６３）

上式为二次式，则有

δ２ΠＣ１ ＞０ （９ ６４）所以，ΠＣ１ 的正确解是一个极小值。

三、汉盖（Ｈｅｎｃｋｙ）材料的一种特殊情况 ——— 刚塑性材料

此种塑性材料略去了弹性问题，认为材料是不可压缩的，且到处都处于塑性，其Σ Γ关系

—０６１—

图９ ２　 刚塑性材料Σ Γ关系

如 图９ ２所示。这种材料的应变能Ａ与余应变能Ｂ可

以表示为

Ａ＝槡２ｋΓ （９ ６５）

Ｂ＝０ （９ ６６）由图９ ２可知，应变能Ａ为

Ａ＝槡２ｋ ｅｉｊ′ｅｉｊ槡 ′ （９ ６７）由式（９ ９ａ）的关系式，可写为

ｅｉｊ ＝Ａｅｉｊ＝槡２ｋ ｅｉｊ′

ｅｉｊ′ｅｉｊ槡 ′（９ ６８）

在刚塑性材料中，假定材料是不可压缩的。故式（９ ６７）和式（９ ６８）均可写为

Ａ＝槡２ｋ ｅｉｊｅｉ槡 ｊ （９ ６９）

σｉｊ ＝槡２ｋ ｅｉｊｅｉｊｅｉ槡 ｊ

（９ ７０）

式（９ ７０）为应力 应变关系式。刚 塑性材料的最小位能原理：在一切满足位移边界ｕｉ＝ｕｉ，应变 位移关系２ｅｉｊ ＝（ｕｉ，ｊ

＋ｕｊ，ｉ）和不可压缩条件的ｕｉ 中，

正确解必使泛函

Π２ ＝槡２ｋ∫Ｖ ｅｉｊｅｉ槡 ｊｄＶ－∫ＶＦｉｕｉｄＶ－∫ＳσＴｉｕｉｄＳ （９ ７１）

为极小

。最小余能原理：在一切满足平衡方程σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ＝０，屈服条件σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２，和Ｓσ

上的外力

已知边界条件σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ 的应力分布σｉｊ 中，

正确解必使泛函

ΠＣ２ ＝－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ （９ ７２）

为极小

。以上两极小值定理的证明与一般情况原理相似，此处不再证明。

９２　 塑性力学形变理论的广义变分原理

下面将引用拉格朗日乘子法，将上述变分原理化为无条件的广义变分原理。

１正割模量材料的广义变分原理的位能形式

正割模量材料塑性力学问题的正确解ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ，必使下列泛函为驻值。

　　　Π ＝∫Ｖ Ｅ６（１－２μ）

ｅｋｋｅｌｌ＋∫Γ

０Σ（Γ）ｄΓ－ ｅｉｊ－１２ｕｉ，ｊ－

１２ｕｊ，（ ）ｉσｉｊ－Ｆｉｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－

∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

σｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄＳ （９ ７３）

２正割模量材料的广义变分原理的余能形式

正割模量材料塑性力学问题的正确解ｕｉ，σｉｊ，必使下列泛函为驻值。

　　　　　　　　ΠＣ ＝∫Ｖ

（１－２μ）６Ｅ σｋｋσｌｌ＋∫

Σ

０Γ（Σ）ｄΣ＋（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕ｛ ｝ｉ ｄＶ－

—１６１—

∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ－∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ （９ ７４）

３等效原理

正割模量材料的广义变分原理的位能形式和余能形式是等效的。现将式（９ ７３）和式（９ ７４）相加，合并与消去有关项，最后可得

Π ＋ΠＣ ＝∫Ｖ Ｅ

３（１－２μ）ｅｋｋｅｌｌ＋Σ（Γ）［ ］Γ ｄＶ－∫ＶｅｉｊσｉｊｄＶ （９ ７５）

上式等号右侧第二个积分又可化为

－∫ＶｅｉｊσｉｊｄＶ ＝－∫Ｖ［Ａ（ｅｉｊ）＋Ｂ（σｉｊ）］ｄＶ （９ ７６）

利用式（９ ２４）与式（９ ２５），则式（９ ７６）又可写为

－∫ＶｅｉｊσｉｊｄＶ ＝－∫Ｖ Ｅ３（１－２μ）

ｅｋｋｅｌｌ＋Σ（Γ）［ ］Γ ｄＶ （９ ７７）

于是，可证明Π ＋ΠＣ ＝０。

４理想塑性材料的广义变分原理的余能形式

理想塑性材料的塑性力学问题的正确解ｕｉ，σｉｊ，必使下列泛函为驻值。

　　　　　　　　ΠＣ１ ＝∫Ｖ １－２μ６Ｅ σｋｋσｌｌ＋

１４Ｇσｉｊ′σｉｊ′＋

（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕ［ ］ｉ ｄＶ－∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ－∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ （９ ７８）

５刚塑性材料的塑性力学问题的广义变分原理的位能形式

刚塑性材料的塑性力学问题的正确解ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ，必使下列泛函为驻值。

　　　　　　　　Π２ ＝∫Ｖ 槡２ｋ ｅｉｊｅｉ槡 ｊ － ｅｉｊ－

１２ｕｉ，ｊ－

１２ｕｊ，（ ）ｉσｉｊ－Ｆｉｕ［ ］ｉ ｄＶ－

∫ＳσＴｉｕｉｄＳ－∫Ｓｕ

σｉｊｎｊ（ｕｉ－ｕｉ）ｄＳ （９ ７９）

６刚塑性材料的塑性力学问题的广义变分原理的余能形式

刚塑性材料的塑性力学问题的正确解ｕｉ，ｅｉｊ，σｉｊ，必使下列泛函为驻值。

　　　　　　　　ΠＣ２ ＝∫Ｖ （σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｕｉ＋（σｉｊ′σｉｊ′－２Ｋ２）ｅｍｎｅ槡 ｍｎ

槡２［ ］ｋｄＶ－

∫ＳｕσｉｊｎｊｕｉｄＳ－∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｕｉｄＳ （９ ８０）

７等效原理

同样，可证明刚塑性材料广义变分原理位能形式和余能形式是等效的，即

Π２ ＋Π

Ｃ２ ＝０ （９ ８１）将式（９ ７９）与式（９ ８０）相加，其中把式（９ ８０）等号右侧第一个积分第一项用分部积分

化为

　　　　　　　　∫Ｖσｉｊ，ｊｕｉｄＶ ＝∫ＳσｉｊｎｊｕｉｄＳ－∫Ｖσｉｊｕｉ，ｊｄＶ ＝∫Ｓｕ＋Ｓσ

σｉｊｎｊｕｉｄＳ－∫Ｖ １２（ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）σｉｊｄＶ （９ ８２）

把式（９ ８２）代入式（９ ８０）中，经过消项，可得

—２６１—

Π２ ＋Π

Ｃ２ ＝－∫ＶｅｉｊσｉｊｄＶ＋∫Ｖσｉｊ′σｉｊ′ ｅｍｎｅ槡 ｍｎ

槡２ｋｄＶ （９ ８３）

将式（９ ７０）代入上式，并利用σｉｊ′σｉｊ ＝２ｋ２，则上式可化为

Π２ ＋Π

Ｃ２ ＝－∫Ｖ 槡２ｋｅｉｊｅｉ槡 ｊ

ｅｉｊｅｉｊｄＶ＋∫Ｖ２ｋ２ ｅｉｊｅｉ槡 ｊ

槡２ｋｄＶ ＝０

则其等效性得到了证明。

９３　 塑性流动理论的变分原理

一般说来，在塑性区域中应力 应变关系并不存在；应变不仅和最后的应力状态有关，也

和加载过程有关，所以其应力 应变关系只能用应力增量和应变增量的关系来代替原有的应

力 应变关系。这些增量与塑性的发展过程有关，这种理论称为增量理论，也称为流动理论。在流动理论中，我们采用欧拉描述法。设在某一瞬间ｔ时，物体在静力作用下处于平衡，设

应力状态σｉｊ 和它的加载历史是已知的，这时，在Ｓσ 上外力增量为ｄＴｉ，在Ｓｕ 上，位移增量为

ｄｕｉ。要计算体内的应力增量ｄσｉｊ 和体内发生位移ｄｕｉ。现在假定增量都很小，一切线性方程都

是满足的，有平衡方程（认为体力为常值）

ｄσｉｊ，ｊ ＝０ （９ ８４）应变 位移关系

ｄｅｉｊ ＝ １２（ｄｕｉ，ｊ＋ｄｕｊ，ｉ） （９ ８５）

应力增量与应变增量之间的关系仍为线性的，且有

Ａ（ｄｅｉｊ）

＝ｄσｉｊ，　 Ｂ（ｄσｉｊ）

＝ｄｅｉｊ

边界条件

ｄσｉｊｎｊ ＝ｄＴｉ，　 在Ｓσ 上 （９ ８６）

ｄｕｉ＝ｄｕｉ，　 在Ｓｕ 上 （９ ８７）这里除了应力增量与应变增量的关系之外，其他各方程都与小位移弹性理论相同。最后，

求得增量解，通过积分，就能求得塑性大变形的解。增量理论的最小位能原理与最小余能原理在形式上与小位移变分相同，此处从略。以下将根据不同塑性材料研究其变分问题。

一、应变硬化材料

应变硬化材料的应力 应变关系可以表示为

ｄｅｉｊ ＝（１－２μ）３Ｅ ｄσｋｋδｉｊ＋

ｄσｉｊ′２Ｇ ＋α

Ｈｆσｉｊｄｆ （９ ８８）

上式中的ｄｅｉｊ 可以分为两部分，即ｄｅｅｉｊ 和ｄｅｐｉｊ（弹性部分和塑性部分）两部分，即

ｄｅｉｊ ＝ｄｅｅｉｊ＋ｄｅｐｉｊ （９ ８９）式中

—３６１—

ｄｅｅｉｊ ＝（１－２μ）３Ｅ ｄｅｋｋδｉｊ＋

ｄσｉｊ′２Ｇ

（９ ９０）

ｄｅｐｉｊ ＝αＨｆσｉｊｄｆ （９ ９１）

式（９ ８８）和式（９ ９０）中的ｄσｉｊ′都是应力偏量

ｄσｉｊ′＝ｄσｉｊ－１３ｄσｋｋδｉｊ（９ ９２）

Ｈ 是待定σｉｊ 的正定函数，ｆ也是σｉｊ 的正定函数，函数ｆ（σｉｊ）称为屈服条件，而将

ｆ（σｉｊ）＝ｃ （９ ９３）称为屈服曲面，ｃ表示应变硬化的最后状态。一般情况下，在体内各点，ｃ可以是不同的值，它可

以是体内各点的函数。当ｆ（σｉｊ）＝ｃ时，　 屈服 　 （９ ９４ａ）当ｆ（σｉｊ）＜ｃ时，　 未屈服 （９ ９４ｂ）

ｆ（σｉｊ）的增量是用来表示加载、卸载和中性过程的，因为ｄｆ可以用ｄσｉｊ 来表示为

ｄｆ＝ｆσｉｊｄσｉｊ （９ ９５）

所以，对于任何一组应力增量来说，有三种受载过程

加载过程 　　ｄｆ＞０中性过程 　　ｄｆ＝０卸载过程 　　ｄｆ＜０

（９ ９６）

中性过程是指该点既无加载又无卸载过程。

根据不同的受载过程和屈服情况，式（９ ８８）中的α 可取不同的值，因为该式中Ｈｆσｉｊｄｆ

是有关塑性变形增量的一项，它在未屈服时，即ｆ（σｉｊ）＜ｃ时，不论加载或卸载时均不出现，这时，我们用α ＝０。而 在 屈 服 以 后，不 论 是 加 载 或 中 性 过 程，都 认 为 有 塑 性 形 变 发 生，这 时

α ＝１，也就是说Ｈｆσｉｊｄｆ这一项存在。但当卸载过程（指屈服之后，即ｆ（σｉｊ）＝ｃ），塑性变形

的增量便立刻消失，那时的应变增量只顺着弹性规律变化，所以，这一项也不存在，即α ＝０。因此，有如下规定：

在屈服条件下加载或中性过程

当ｆ（σｉｊ）＝ｃ，ｄｆ≥０时，　α ＝１在屈服条件下卸载过程

当ｆ（σｉｊ）＝ｃ，ｄｆ＜０时，　α ＝０在未屈服时，不论何种过程

当ｆ（σｉｊ）＜ｃ，ｄｆ≤ （≥）０时，　α ＝０参数ｃ也可以作为总塑性变形功的函数，即

ｃ＝Ｆ∫σｉｊｄｅｐｉ（ ）ｊ （９ ９７）

由式（９ ９３）和式（９ ９７），有

ｄｃ＝ｄｆ＝Ｆ′σｉｊｄｅｐｉｊ （９ ９８）把式（９ ９１）代入上式，并在两侧消去ｄｆ

—４６１—

ασｉｊｆσｉｊＨＦ′＝１ （９ ９９）

给式（９ ８８）等号两侧同时乘以ｆσｉｊ

，有

ｆσｉｊｄｅｉｊ ＝

（１－２μ）３Ｅ ｄσｋｋｆσｉｊ

δｉｊ＋ｄσｉｊ′２Ｇｆσｉｊ

＋α ｆσｉｊＨｆσｉｊｄｆ （９ １００）

式中根据ｆ（σｉｊ）的表达式，有

ｆσｉｊδｉｊ ＝０ （９ １０１）

而且

ｄσｋｋ ＝ Ｅ１－２μ

ｄｅｋｋ （９ １０２）

ｄσｉｊ′＝ｄσｉｊ－ Ｅ３（１－２μ）

ｄｅｋｋδｉｊ （９ １０３）

以ｆσｉｊ

乘以式（９ １０３），并引用式（９ １０１），得

ｆσｉｊｄσｉｊ′＝ｆσｉｊ

ｄσｉｊ ＝ｄｆ （９ １０４）

把式（９ １０１）和式（９ １０４）代入式（９ １００）中，得

ｆσｉｊｄｅｉｊ ＝ １２Ｇｄｆ＋α

ｆσｉｊＨｆσｉｊｄｆ （９ １０５）

由式（９ １０５），可解出Ｈｄｆ，得

Ｈｄｆ＝

ｆσｉｊｄｅｉｊ

１＋μＥＨ ＋α ｆσｉｊ

ｆσｉｊ

（９ １０６）

因为上式只有在ｆ（σｉｊ）＝ｃ，并处于加载和中性时，即ｄｆ≥０时，才起作用（α ＝１）。其他情况

下，此式并不起作用，所以上式改为以下形式，并不影响其结果。

αＨｄｆ＝αｆσｉｊｄｅｉｊ

１＋μＥＨ ＋ｆσｉｊ

ｆσｉｊ

（９ １０７）

利用式（９ １０２）和式（９ １０３），式（９ ８８）可以化为

ｄσｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｄｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｄｅｉｊ′－α ×２ＧｆσｉｊＨｄｆ （９ １０８）

再把式（９ １０７）代入式（９ １０８）后，得

ｄσｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｄｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｄｅｉｊ′－α２Ｇｆσｍｎ

ｄｅｍｎ

１＋μＥＨ ＋ｆσｉｊ

ｆσｋｌ

ｆσｉｊ

（９ １０９）

所以，从上式中不难看出，在塑性流动理论中，加载与卸载的关系不同，弹性常数Ｅ既和当时的

应力状态有关，也和增量开始前一阶段的受载历史有关。由上面各式也可以写出应变能增量密度Ａ（ｄｅｉｊ）和余能增量密度Ｂ（ｄσｉｊ），它们是

—５６１—

Ａ（ｄｅｉｊ）＝ Ｅ６（１－２μ）

ｄｅｋｋｄｅｌｌ＋Ｇｄｅｋｌ′ｄｅｋｌ′－αＧｆσｍｎ

ｄｅｍｎｆσｋｌｄｅｋｌ

１＋μＥＨ ＋ｆσｉｊ

ｆσｉｊ

（９ １１０）

Ｂ（ｄσｉｊ）＝（１－２μ）６Ｅ ｄσｋｋｄσｌｌ＋ １４Ｇｄσｉｊ′ｄσｉｊ′＋

１２α

Ｈ（ｄｆ）２ （９ １１１）

在式（９ １１０）和式（９ １１１）中，利用了ｅｋｋ′＝０的条件，于是，有ｄｅｋｌ′ｄｅｋｌ ＝ｄｅｋｌ′ｄｅｋｌ′及ｄσｋｌ′ｄσｋｌ ＝ｄσｋｌ′ｄσｋｌ′。

二、理想塑性材料

这种材料只是一种极限材料。这里Ｈｄｆ＝ｄｆβ，β为一正常数，一种极限情况为

ｌｉｍβ→０ｄｆ→０

ｄｆβ＝ｄλ＞０ （９ １１２）

ｄλ为有限而不定的。于是，理想材料的应力 应变关系可以从式（９ ８８）和式（９ １０９）中求得

ｄｅｉｊ ＝（１－２μ）３Ｅ ｄσｋｋｄσｌｌ＋ｄσｉｊ′２Ｇ ＋α

ｆσｉｊｄλ （９ １１３）

ｄσｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｄｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｄｅｉｊ′－α２Ｇｆσｍｎ

ｄｅｍｎ

ｆσｋｌ

ｆσｋｌ

ｆσｉｊ

（９ １１４）

应变能Ａ（ｄｅｉｊ）与余能Ｂ（ｄσｉｊ）均可由上两式求得。

三、普朗特耳 路斯（Ｐｒａｎｄｔｌ Ｒｅｕｓｓ）方程

普朗特耳 路斯方程是式（９ ８８）和式（９ １０９）的流动理论的应力 应变增量关系的一

种特殊形式。假定屈服条件ｆ（σｉｊ）可以写成

ｆ（σｉｊ）＝σ＝槡３２（σｋｌ′σｋｌ′）１２ （９ １１５）

并称

ｄｅｐ＝槡２３（ｄｅｐｉｊｄｅｐｉｊ）１２ （９ １１６）

则式（９ ９７）可以由下式代替

σ＝Ｆｉ∫ｄｅ（ ）ｐ （９ １１７）

Ｆｉ 是一个单调增加的正函数。

对于ｆ可以有两种表示法：塑性功的参数，即式（９ ９７），或加载面，即式（９ １１７）。这里，我

们采用上式的表示法，即ｆ＝σ（等效应力），且等于ｄｅｐ（有效塑性应变）积分的参数。

对式（９ １１７）、式（９ １１５）和式（９ １１６），有

ｄｆ＝Ｆ１′ｄｅｐ＝槡２３Ｆ１′（ｄｅｐｉｊｄｅｐｉｊ）１２ （９ １１８）

把式（９ ９１）代入上式，得—６６１—

ｄｆ＝槡２３αＨｄｆ ｆσｉｊｆσｉ（ ）ｊ１２

Ｆ１′ （９ １１９）

从式（９ １１９）中消去ｄｆ，可得

１＝ ２３αＨ ｆ

σｉｊｆσｉ（ ）ｊ

１２

Ｆ１′ （９ １２０）

由式（９ １１５），有

ｆσｉｊ

＝槡３２（σｋｌ′σｋｌ′）１２σｉｊ′ （９ １２１）

现在取α ＝１，将式（９ １２１）代入式（９ １２０）中，可得

ＨＦ１′＝１ （９ １２２）

利用式（９ １２１）式、式（９ １１５）和式（９ １２２），则式（９ ８８）和式（９ １０９）可以写成

ｄｅｉｊ ＝（１－２μ）３Ｅ ｄσｋｋδｉｊ＋ １２Ｇｄσｉｊ′＋α

３σｉｊ′ｄσ２σＦ１′

（９ １２３）

ｄσｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｄｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｄｅｉｊ′－α３Ｇ（σｋｌ′ｄｅｋｌ）σｉｊ′

σ２ Ｆ１′３Ｇ＋（ ）１（９ １２４）

这里将α 规定为：

（１）加载及中性时，即σ＝ｃ而ｄσ≥０或σｉｊ′ｄｅｉｊ ≥０时，α ＝１。

（２）卸载时或未屈服时，即σ＜ｃ，或σ＝ｃ而ｄσ＜０或σｉｊ′ｄｅｉｊ ＜０时，α ＝０。

式（９ １２３）和式（９ １２４）称为应变硬化材料的普朗特耳 路斯方程。

如果用ｄｔ除以式（９ １２３）和式（９ １２４），即得到以应力速度σｉｊ 和应变速度ｅｉｊ 表示的普朗

特耳 路斯方程

ｅｉｊ ＝（１－２μ）３Ｅ

σｋｋδｉｊ＋σｉｊ′２Ｇ＋α

３σｉｊ′σ·

２σＦ１′（９ １２５）

σｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｅｉｊ′－α３Ｇ（σｋｌ′ｅｋｌ）

σ２ Ｆ１′３Ｇ＋（ ）１σｉｊ′ （９ １２６）

上述关系式可以推广到理想塑性材料，这时屈服条件为

σｋｌ′σｋｌ′＝２ｋ２ （９ １２７）

ｋ为简单剪应力的屈服条件，并称

ｌｉｍｄσ→０，Ｆ１′→０

３ｄσ２σＦ１′

＝ｄλ＞０ （９ １２８）

普朗特耳 路斯方程化为

ｄｅｉｊ ＝（１－２μ）３Ｅ ｄσｋｋδｉｊ＋ １２Ｇｄσｉｊ′＋α

σｉｊ′ｄλ （９ １２９）

根据式（９ １２７）和式（９ １１５）可知，σ２ ＝３ｋ２。

ｄσｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｄｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｄｅｉｊ′－αＧ（σｋｌ′ｄｅｋｌ）σｉｊ′

ｋ２（９ １３０）

也可以写成速度方程的形式

—７６１—

ｅｉｊ ＝（１－２μ）３Ｅ

σｋｋδｉｊ＋ １２Ｇσｉｊ′＋αλσｉｊ′ （９ １３１）

σｉｊ ＝ Ｅ３（１－２μ）

ｅｋｋδｉｊ＋２Ｇｅｉｊ′－αＧ（σｋｌ′ｅｋｌ）σｉｊ′ｋ２

（９ １３２）

同样，可以写出两个变分原理的泛函。

四、圣维南 李维 密塞斯（Ｓｔ．Ｖｅｎａｎｔ Ｌｅｖｙ Ｍｉｓｅｓ）方程

如果弹性应变速度可以完全略去，则塑性应变速度和有关应力可以从式（９ １３１）和 式

（９ １３２）中求得，它们是：（１）当σｋｌ′σｋｌ′＝２ｋ２，σｉｊ′σｉｊ′＝０时，ｅｉｊ ＝λσｉｊ。 （９ １３３ａ）

（２）当σｋｌ′σｋｌ′＜２ｋ２ 或σｉｊ′σｉｊ′＜０；σｉｊ′σｉｊ ＝２ｋ２ 时，ｅｉｊ ＝０。 （９ １３３ｂ）这就是所谓的刚塑性材料。从式（９ １３３ａ）中，得

ｅｉｊｅｉｊ ＝λ２σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２λ２

于是，得

λ＝ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊ

槡２ｋ　　（当σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２ 时） （９ １３４）

式（９ １３４）可以替代式（９ １３３ａ）。式（９ １３３ｂ）与上式被称为圣维南 李维 密塞斯方程，凡服从该方程的材料就是刚塑性材料。

全部处于塑性状态中的刚塑性材料，它的变分原理略有不同。讨论的问题是：平衡方程

σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ ＝０ （９ １３５ａ）屈服条件

σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２ （９ １３５ｂ）应力 应变速度关系式（９ １３４）代入式（９ １３３ａ）中，得

当σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２ 时，　σｉｊ′＝ 槡２ｋｅｉｊｅｉ槡 ｊ

ｅｉｊ （９ １３６）

应变速度与位移速度关系

ｅｉｊ ＝ １２（ｖｉ，ｊ＋ｖｊ，ｉ） （９ １３７）

不可压缩条件

ｅｉｊ ＝０ （９ １３８）边界条件

σｉｊｎｊ ＝Ｔｉ，　　 在Ｓσ 上 （９ １３９ａ）

ｖｉ＝ｖｉ，　　 在Ｓｖ 上 （９ １３９ｂ）第一变分原理（马可夫（Марков）原理）：在满足应变速度 位移速度关系式（９ １３７），

不可

压缩条件式（９ １３８）和边界位移速度已知条件式（９ １３９ｂ）的一切ｖｉ 中，

使泛函

Π＝槡２ｋ∫Ｖ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－∫ＳσＴｉｖｉｄＳ （９ １４０）

为最小值的，必为本问题的正确解

。

—８６１—

证明 　 设σｉｊ，ｅｉｊ，ｖｉ 为正确解，σｉｊ，ｅｉｊ，ｖｉ 为一切容许解。根据Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，有（σｉｊ′ｅｉｊ）２ ≤ （σｉｊ′σｉｊ′）（ｅｉｊｅｉｊ）

或

σｉｊ′ｅｉｊ ≤ σｉｊ′σｉｊ槡 ′ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊ （９ １４１）

根据不可压缩条件

σｉｊ′＝σｉｊ－１３σｋｋδｉｊ

由于ｅｋｋ，故知σｋｋ ＝３Ｋｅｋｋ ＝０，所以，上式为

σｉｊ′＝σｉｊ （９ １４２）又由屈服条件，有

σｉｊ′σｉｊ槡 ′＝槡２ｋ （９ １４３）将以上两式代入式（９ １４１）中，得

σｉｊ′ｅｉｊ ≤槡２ｋ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊ （９ １４４）利用式（９ １４２），由式（９ １３４）可得

σｉｊ′ｅｉｊ ≤槡２ｋ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊ （９ １４５）现在用格林公式，式（９ １４０）等号右侧第一个和第二个积分，可以化为

　　　　　∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ ＝∫Ｖ（σｉｊｖｉ，ｊ－Ｆｉｖｉ）ｄＶ ＝－∫Ｖ（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｖｉｄＶ＋∫Ｓσ＋Ｓｕ

σｉｊｎｊｖｉｄＳ （９ １４６）

于是式（９ １４０）可化为

　　　　　∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－∫ＳσＴｉｖｉｄＳ＝

－∫Ｖ（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｖｉｄＶ＋∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｖｉｄＳ＋∫ＳｕσｉｊｎｊｖｉｄＳ （９ １４７）

因为σｉｊ，ｅｉｊ，ｖｉ 为正确解，它必满足平衡方程式（９ １３５ａ）及边界条件式（９ １３９ａ），因此，上式

等于

∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－∫ＳσＴｉｖｉｄＳ＝∫Ｓｕ

σｉｊｎｊｖｉｄＳ （９ １４８）

对于ｖｉ 及ｅｉｊ 来说，只要求它满足应变 位移速度与位移速度的关系式（９ １３７），不可压缩条

件式（９ １３８）及位移边界条件式（９ １３９ｂ），而σｉｊ 要满足平衡方程式（９ １３５ａ）及力的边界条

件式（９ １３９ａ）式，对另一泛函，则有

　　　　　∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－∫Ｓσ

ＴｉｖｉｄＳ＝

－∫Ｖ（σｉｊ，ｊ＋Ｆｉ）ｖｉｄＶ＋∫Ｓσ

（σｉｊｎｊ－Ｔｉ）ｖｉｄＳ＋∫Ｓｕσｉｊｎｊｖ

ｉｄＳ

（９ １４９）因为ｖ 满足式（９ １３９ｂ），故有ｖｉ ＝ｖｉ（在Ｓｕ 上），上式同样可化为

∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－∫Ｓσ

ＴｉｖｉｄＳ＝∫ＳｕσｉｊｎｊｖｉｄＳ （９ １５０）

即式（９ １４８）等于式（９ １５０）。—９６１—

现在将式（９ １４４）和式（９ １４５）代入式（９ １４８）和式（９ １５０）中，可得

槡２ｋ∫Ｖ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－∫Ｓσ

ＴｉｖｉｄＳ≥槡２ｋ∫Ｖ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊｄＶ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－∫Ｓσ

ＴｉｖｉｄＳ

（９ １５１）由此，马可夫原理便得到了证明。

第二变分原理（希尔（Ｈｉｌｌ）原理）：在满足平衡方程式（９ １３５ａ），屈服条件式（９ １３５ｂ）

和

外力已知的边界条件式（９ １３９ａ）的一切容许的σｉｊ 中，

使泛函

ΠＣ ＝－∫ＳｕσｉｊｎｊｖｉｄＳ （９ １５２）

为最小值的，必为本问题的正确解

。这一原理等价于希尔的最大塑性功原理，即在一切容许的σｉｊ 中，正确解使（－ΠＣ）即

ΠＣ ＝∫ＳｕσｉｊｎｊｖｉｄＳ

为最大。设σｉｊ，ｅｉｊ，ｖｉ 为问题的正确解，而σｉｊ 为容许解，它们都满足屈服条件式（９ １３５ｂ），从而有

σｉｊ′σｉｊ′＝２ｋ２ （９ １５３ａ）

σｉｊσｉｊ ＝２ｋ２ （９ １５３ｂ）根据Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，有

σｉｊ′σｉｊ ≤ σｉｊ′σｉｊ槡 ′ σｉｊσｉ槡 ｊ ＝２ｋ２ （９ １５４）比较式（９ １５３ａ）与式（９ １５４），则有

σｉｊ′σｉｊ ≤σｉｊ′σｉｊ′ （９ １５５）把式（９ １３６）代入式（９ １５５），可得

σｉｊｅｉｊ ≤σｉｊ′ｅｉｊ （９ １５６）积分得

∫Ｖσｉｊ′ｅｉｊ′ｄＶ ≥∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ （９ １５７）

利用２ｅｉｊ ＝ （ｖｉ，ｊ＋ｖｊ，ｉ），上式通过格林公式，可得

∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ ＝∫Ｖσｉｊｖｉ，ｊｄＶ ＝∫Ｓσ＋ＳｕｖｉσｉｊｎｊｄＳ－∫Ｖσｉｊ，ｊｖｉｄＳ （９ １５８）

及

∫ＶσｉｊｅｉｊｄＶ ＝∫Ｖσｉｊｖｉ，ｊｄＶ ＝∫Ｓσ＋ＳｕｖｉσｉｊｎｊｄＳ－∫Ｖσｉｊ，ｊｖｉｄＶ （９ １５９）

因为σｉｊ 和σｉｊ 都满足平衡方程式（９ １３５ａ）及力的边界条件式（９ １３９ａ），则将上面两式代入式

（９ １５７），可得

∫ＳｕσｉｊｎｊｖｉｄＳ≥∫Ｓｕ

σｉｊｎｊｖｉｄＳ （９ １６０）

即－ΠＣ 为最大。以上定理得到了证明。马可夫原理和希尔原理都是有条件的变分原理，采用拉格朗日乘子，可以证明出它们都可

以归纳为一个广义变分原理。刚塑性问题的广义变分原理：在一切ｅｉｊ，ｖｉ，σｉｊ 的函数中，使δΠ ＝

０

—０７１—

　　　　　　　　Π ＝槡２ｋ∫Ｖ ｅ·ｉｊｅ·ｉ槡 ｊｄＶ－∫ＳσＴｉｖｉｄＳ－∫ＶＦｉｖｉｄＶ－

∫Ｖ ｅｉｊ－１２（ｖｉ，ｊ＋ｖｊ，ｉ［ ］）σｉｊ－ｅｉｊδｉｊ １３σ｛ ｝ｋｋ ｄＶ－

∫Ｓｕσｉｊｎｊ（ｖｉ－ｖｉ）ｄＳ （９ １６１）

的ｅｉｊ，ｖｉ，σｉｊ，必为刚塑性问题的正确解

。

这里的σｉｊ 和１３σｋｋ

都可以证明是把式（９ １３７）和式（９ １３８）引入变分泛函时的拉格朗日

乘子，σｉｊｎｊ 为引入式（９ １３８ｂ）时的拉格朗日乘子。可以证明，式（９ １６１）的驻值条件将导出式

（９ １３６）

σｉｊ′＝σｉｊ－１３σｋｋδｉｊ ＝槡２ｋｅ·ｋｌｅ·槡 ｋｌ

ｅｉｊ

和式（９ １３５ａ）及其他条件。

—１７１—

参 考 文 献

１　钱伟长变分法及有限元（上册）北京：科学出版社，１９８０

２　ＫｙｕｉｃｈｉｒｏＷａｓｈｉｚｕ．ＶａｒｉａｔｉｏｎａｌＭｅｔｈｏｄｉｎＥｌａｓｔｉｃｉｔｙａｎｄＰｌａｓｔｉｃｉｔｙ．ＳｅｃｏｎｄＥｄｉｔｉｏｎ．ＰｅｒｇａｍｏｎＰｒｅｓｓ．

１９７５

３　（日）鹫津久一郎弹性和塑性力学中的变分法老亮，郝松林译北京：科学出版社，１９８４

４　胡海昌弹性力学的变分原理及其应用北京：科学出版社，１９８２

５　ＲｉｃｈａｒｄＨ．Ｇａｌｌａｇｈｅｒ．ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ．ＰｒｅｎｔｉｃｅＨａｌｌ，ＩＮＣ，１９７５

６　ＨｏｆｆＮＪ．ＴｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｃｈａｐｍａｎ＆ＨａｌｌＬｉｍｉｔｅｄ，１９５６

７　（英）监凯维奇ＯＣ有限元法（上、下册）尹泽勇，江伯南译北京：科学出版社，１９８５

８　《固体力学中的有限元素法译文集》编译组译固体 力 学 中 的 有 限 元 素 法 译 文 集（上 集）北 京：科 学 出 版

社，１９７５

９　《固体力学中的有限元素法译文集》编译组译固体 力 学 中 的 有 限 元 素 法 译 文 集（下 集）北 京：科 学 出 版

社，１９７７

１０　徐芝纶弹性力学北京：人民教育出版社，１９９０

１１　王仁，熊祝华，黄文彬塑性力学基础北京：科学出版社，１９８２

１２　龙驭球新型有限元引论北京：清华大学出版社，１９９２

—２７１—