유한요소 좌굴해석 1 수정2 -...

MIDAS Technical Leader’s Group 유한요소 좌굴해석(1): 아이건값 좌굴해석

1

1. 시작말

1) 기본해석과 고급해석

엔지니어들이 유한요소해석 (Finite Element Analysis)을 할 때 단순히 소프트웨어 작동법만 익히고 해석을

하는 경우가 많습니다. 소프트웨어 작동법과 함께 유한요소해석이론의 기본원리를 이해 한다면 해석에

자신감이 생기고 해석 결과에 스스로 의문점을 가지고 문제를 해결하는 능력을 효과적으로 향상 시킬 수

있습니다. 이러한 의미에서 유한요소해석 실무에서 중요한 분야중 하나인 좌굴해석의 기본원리에 대하여

알아 보겠습니다. “유한요소 좌굴해석(1)”에서는 아이건값 좌굴해석의 개념을 서술하고, “유한요소 좌굴해석

(2)”에서는 비선형 좌굴해석에 대하여 서술하겠습니다.

강성식 {F}=[K]∙{D} 즉 힘=강성×변위에 근본 식으로 두고 변위, 힘, 응력을 구하는 해석을 기본해석(Basic

Analysis), 응력해석(Stress Analysis) 이라고 하고, {F}=[K]∙{D}를 넘어서 추가적인 개념이 포함된 해석을

고급해석(Advanced Analysis)이라고 합니다. 고급 해석으로는 좌굴해석 (Buckling Analysis), 동역학해석

(Dynamic Analysis), 비선형해석 (Nonlinear Analysis), 유체해석(CFD: Computational Fluid Dynamic)등이

있습니다. 특히, 고급해석을 하기 전 고급해석의 이론이해에 시간을 투자하는 것은 실수 가능성, 해석시간을

줄이고 정확성을 높이는 지름길 입니다. 모든 엔지니어들이 빨리 무지개 빛 결과를 출력하고 싶어 할

것입니다. 하지만 유한요소해석 초보엔지니어가 기본이론 이해 없이 단순히 소프트웨어 작동법을 익혀서

서둘러 출력한 결과는 (제 경험상) 항상 중요한 오류가 있습니다. 단지 오류를 인지 하지 못할 뿐입니다.

2) 좌굴의 정의와 해석방법

좌굴은 부재 축 변형(Membrane Strain)에 의해 저장된 축 변형 에너지 (Membrane Strain Energy)가

외력증가 없이 모멘트 변형 에너지(Moment Strain Energy)로 전환되는 현상 입니다. 빔(Beam) 의 경우 일정

크기의 집중하중이 축력으로 존재할 때 보다 빔 중심에 빔과 직각으로 작용 할 때 더 큰 변위와 응력이

발생합니다. 축력이 모멘트로 전환되면 모멘트 변위가 크게 증가하고, 증가된 변위로 인하여 축력이 다시

모멘트를 증가시키는 불안정한 상태가 되는데 이를 좌굴이라고 합니다. 좌굴은 일종의 모멘트와 변위

사이의 연쇄 반응 입니다.

좌굴은 강구조 설계에서 가장 중요한 항목입니다. 좌굴해석방법도 구조공학의 다른 분야와 마찬가지로

미분방정식을 이용한 방법과 유한요소해석을 이용한 방법이 있습니다. 미분방정식을 이용한 방법은 다른

말로 수학적해석(Mathematical Method), 연속방정식해석(Continuous Method), 엄밀해석(Exact

Method)으로도 불립니다. 공업수학과 구조공학에서는 미분방정식을 이용하여 오일러 좌굴(Euler Buckling)

해석을 하였습니다. 유한요소해석은 분할해석(Discrete Method)과 행렬해석(Matrix Analysis)을 기본으로 하고

수치해석(Numerical Method)과 아이건값해석 (Eigenvalue Analysis)을 포함하는 포괄적인 개념입니다. 대부분

부정정(Structurally Indeterminate)구조물의 경우 유한요소해석을 통해서만 해석이 가능합니다.

구조소프트웨어 중에서도 유한요소해석에 기반을 두지 않은 소프트웨어는 좌굴해석을 할 수 없습니다.

2


미분방정식해석은 앞으로 전문적으로 연구하지 않는 이상 이제 영원히 잊으셔도 되겠습니다.

미분방정식해석은 아주 단순한 문제만 해결 가능하기 때문에 교육 목적 외에는 필요가 없습니다.

현실적으로는 좌굴해석은 유한요소해석 외에는 다른 방법이 없습니다. 그래서 우리는 미분방정식해석

과정은 복습하지 않고 유한요소해석 결과와 비교 하기 위하면 그 결과만 인용하겠습니다. 유한요소

좌굴해석에는 다음과 같이 두 가지 방법이 있습니다.

(1) 아이건값 좌굴해석 (Eigenvalue Analysis, Eigenvalue Buckling Analysis)

(2) 비선형 좌굴해석 (Nonlinear Analysis, Nonlinear Buckling Analysis)

아이건값 좌굴해석은 강성식을 풀지 않고 아이건식(Eigenvalue Equation) 을 풀어서 좌굴하중을 구합니다.

그래서 좌굴하중은 구할 수 있으나 강성식을 풀지 않기 때문에 실제 변형 값과 응력은 구할 수가 없습니다.

변위와 응력검토는 선형 혹은 비선형 응력해석을 통해서 별도로 구하여야 합니다. 비선형 해석은 단지

강성식을 변화되는 강성에 따라 반복해서 풀 뿐입니다.

3) 해외 실무에서 좌굴해석의 중요성

엔지니어가 유한요소 좌굴해석을 하지 않는다면, 좌굴거동이 널리 알려지지 않은 구조물을 해석할 경우

엔지니어의 기술적 판단에 의존하여 부재의 유효길이와 같은 좌굴거동을 판단해야 합니다. Le=0.5L0

혹은 Le=1.0L0 로 가정 하느냐에 따라 4 배의 저항력 (Buckling Resistance) 차이가 발생 합니다. 즉 Le=1.0L0 로

가정시 압축 부재의 단면 2 차 모멘트를 Le =0.5L0 경우에 비하여 4 배 강화시켜야 합니다. 즉 실제

구조물 Le=0.5L0 이나 해석능력 부족으로 Le=1.0L0 가정한다면 아주 "듬직한" 기둥으로 과대 설계를 하는

것입니다. 흔히 설계에서는 이러한 경우를 "보수적 설계" (conservative design) 라고 하지만, "보수적" 이라는

단어를 재료비를 상승을 감수하며 고급해석을 피하기 위하여 사용하여서는 안될 것 입니다. 우리는

고급해석을 통하여 직접적으로 공사비 절감 함으로서 저가의 공사비를 발주처에게 제안할 수 잇습니다.

우리나라의 경우 교량 엔지니어는 좌굴해석을 비중 있게 다루지 않았습니다. 그 이유는 교각의 좌굴

거동은 비교적 단순하고, 우리나라 교량의 상부구조물은 횡방향 좌굴에 대하여 지지가 되어 있는 형식이기

때문입니다. 거더교(Girder Bridge) 같은 경우 대부분 주부재 (Main structural element) 상부 플랜지(Flange in

compression)가 슬라브를 지지하는 구조이며, 트러스나 아치교의 경우도 브레이싱 (Bracing)이 주부재를

횡방향으로 구속하고 있습니다.

철도교 역사가 깊은 영국의 경우 횡방향 비틀림 좌굴(Lateral Torsional Buckling)이 전통적으로 철도교에서

가장 큰 문제였습니다. 거더(Girder)의 좌굴은 기둥좌굴 비하여 복잡합니다. 거더는 압축부, 인장부가 부재

단면에 공존 하기 때문에 압축단면이 지지되어 있지 않으면 횡방향 비틈림 좌굴에 의하여 구조물 안전성이

지배를 받습니다.

1825 년에 최초로 열차가 상용화 되었고, 그 후 19 세기 전반에 걸쳐서 민간 철도회사들이 철도교를 부설

했습니다. 이 당시 대부분의 철도교는 벽돌 아치교(Masonry Arch Bridge)이며 드물게 주철교량(Cast Iron


3

Bridge)가 건설되었습니다. 이 당시에 건설된 벽돌 아치교가 현재까지 사용되고 있어서, 현재 벽돌 아치교는

영국의 철도교의 50%를 차지하고 있습니다. 버스와 트럭은 20 세기 들어와서야 상용화 되었기 때문에

19 세기 중 후반 철도교 건설 시에는 기껏 마차가 철도교 밑으로 통과할 정도의 형하공간(Headroom)이

필요 했습니다.

인건비상승으로 벽돌 아치교는 경제성이 떨어 지고. 주철은 취성파괴(Brittle Failure)가 문제 되어서 점차

새로운 교량은 연철(Wrought Iron Bridge)로 건설되었습니다. 1950 년대부터는 연철이 강(Steel)으로

본격적으로 대체가 되었습니다. 현재 콘크리트교는 전체 철도교의 9%에 불과 합니다.

19 세기에 건설된 기존 교량의 형하 공간이 작고, 20 세기초부터 오늘날까지 이층 버스나 트럭 같이 높은

차량이 도심에 운행되었기 때문에 형하 공간 확보가 철도교 건설에 가장 큰 제약이 되었습니다. 형하 공간

확보에는 세가지 방법이 있습니다. 첫째, 철도 시공레벨을 높이거나, 둘째, 도로레벨을 낮추거나, 셋째,

구조물 형고(Structural depth)를 줄여야 합니다. 기존 철도의 레벨을 높이기 위해서는 열차운행을 장기간

중단해야 하기 때문에 현실적으로 불가능 합니다. 역사가 오래된 도시에서 도로 레벨을 낮추는 것은

정치적으로 불가능하며 경제적으로도 막대한 비용을 요구 합니다. 최선의 선택은 교량의 형고를 최소화

하는 것인데, 형고를 줄일려면 단경간 교량의 경우 그림 1 과 같이 거더가 하중을 측면에서 지탱해야 합니다.

그림 1. 형하공간을 확보하기 위한 U프레임교

단경간 하현재하 트러스교(Through Truss Bridge)와 아치교도 좌굴이 문제입니다. 가령 경간 30m 하현재하

트러스교의 경우 형고는 이론적으로 3m 정도면 가능하나, 집전설비(Overhead line), 자갈도상(ballast)을

포함하는 열차차량 통과 높이를 고려하여 7m 이상으로 설계해야 합니다. 이 또한 과다 설계이기 때문에,

유한요소 좌굴해석을 통하여 상부브레이싱 없이도 횡방향 좌굴이 일어나지 않는 것을 증명하면 통과 높이

제한을 받지 않고 교량을 설계할 수 있습니다. 아치교의 경우도 경간이 짧은 경우 형고를 높이지 않고,

브레이싱 없이 설계가 가능합니다 [그림 2].

4


_

그림 2. 형하공간을 확보하며 열차높이 제한으로부터 자유로운 브레이싱 없는 열린교량(Half Through)

(a) 도로에서 본 철도 아치교 (b) 플랫폼에서 본 철도 트러스교

한편 차량이 ㅁ자형 교량 단면을 통과하는 형식을 닫힌교량(Full Through Bridge)이라 하며, 그림 1 과 2 와

같이 차량이 U 자형 단면을 통화하는 형식을 열린교량(Half Through Bridge)이라고 하는데 열린교량은

횡방향 비틀림 좌굴에 극도로 취약 합니다. 결론적으로 우리나라에서 유한요소아이건 해석을 이용하여

좌굴하중을 정확히 계산하면 좌굴거동이 불확실한 구조물 정확히 평가할 수 있으며, 브레이싱 없는

트러스교, 아치교 설계가 가능합니다.

참고로 주철은 우리조상들이 가마솥을 만들 때 사용한 재료이며, 주철 구조물의 장점은 부재에 장식을

첨부할 수 있다는 것 입니다. 미미한 하중을 받는 교각 및 전통건물의 기둥부재는 유럽 도시 곳곳에 아직

남아있는데 부재표면에 그리스 신전기둥에 있을법한 장식을 포함하곤 합니다.

2. 형상행렬과 유한요소 좌굴해석

1) 가장 간단한 좌굴 모델

이제 다시 해석으로 돌아가겠습니다. 먼저 아이건값 개념 없이 유한요소 좌굴해석을 하겠습니다. 그림 3-

(a)는 기둥 입니다. 하단은 모든 자유도(Degree Of Freedom; DOF)가 고정되어 있고 상단은 수직변형만

허용되어 있으며 축력을 상단에서 받습니다. 이러한 기둥부재는 위 아래가 대칭이기 때문에 그림 3-(b)로

단순화 할 수 있습니다. 그림 3-(b)에 있는 기둥모델은 이론적으로 가능한 가장 단순한 좌굴모델 입니다.

2 개의 자유도만 가지고 있으며 또한 2 개의 자유도 모두가 한쪽 절점에 부과되어 있어서 식을 세우기가

쉽습니다.

(b)

(a)


5

(a) 실제 기둥 구조물 (b) 대칭 모델링

그림 3. 기둥 모델

위에서 좌굴은 모멘트와 변위 사이의 연쇄 반응이라 하였습니다. 아무리 고성능 폭약이 있어도, 뇌관을

이용하여 조그마한 불꽃을 튀겨줘야만 폭발이 일어 나듯이, 아무리 큰 축력이 기둥에 존재 하여도 기둥이

완벽하게 직선이고, 수평 변형을 일으키는 힘이 없으면 좌굴은 일어나지 않습니다. 좌굴을 발생시키기

위해서는 좌굴조건 (Initial condition for buckling)을 충족 시켜야 합니다.

그림 3-(b)에서는 좌굴조건으로 수평 변형을 일으키는 힘을 F 로 정의 하였습니다. 우리는 좌굴조건을

예제와 같이 직접 수평력을 가정함으로써 충족 시킬 수도 있지만, 편심축력 (Eccentric Axial Force)을

이용하여 발생 시킬 수도 있고, 기둥을 조금 구부려서 발생 시킬 수도 있습니다. 특히 기둥을 조금 구부리는

것을 초기변형(Initial Imperfection)이라고 하며 유로코드(Eurocode)에서 설계시 적용할 것을 요구하고

있습니다.

소프트웨어를 이용하여 아이건값 좌굴해석을 할 때는 좌굴조건 개념이 아이건값 좌굴해석 이론에

포함되어서 좌굴조건을 직접 설정하지 않아도 되나 비선형 해석에는 좌굴조건 개념이 포함되지 않아서

반드시 좌굴조건을 입력 하여야만 좌굴이 발생 합니다.

잠시 좌굴에 대하여 잊고 강성해석으로 돌아가겠습니다. 강성식을 세우기 위하여 그림 4 처럼 모델을

눕혀서 시스템을 설정 합니다.

P : 축력

F : 수평력

대칭 모델링

절점 1

절점 2

P : 축력

+X

+Y

+ M

-M

L 2L

6


그림 4. 강성시스템과 부호 정의

그림 4 에 주어진 강성 시스템의 강성식은 식(1) 과 같습니다.

ïïïï

þ

ïïïï

ý

ü

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

2

2

2

1

1

1

M

F

P

M

F

P

=

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

----

---

- 3

22

2323

22

2323

46026061206120

000026046061206120

0000

L/EIL/EIL/EIL/EI

L/EIL/EIL/EIL/EI

L/EAL/EA

L/EIL/EIL/EIL/EI

L/EIL/EIL/EIL/EI

L/EAL/EA

ïïïï

þ

ïïïï

ý

ü

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

qDDD

qDDD

2

2

2

1

1

1

x

y

x

y

(1)

강성식에서 점선 사각형 외에는 자유도가 모두 고정 되어 있기 때문에 점선 사각형만 떼내어서 강성식을

식(2)와 같이 표현 합니다. 더 이상 Dx2 과 Dy2 가 필요 없기 때문에 편의상 Dx1 과 Dy1 을 Dx 와 Dy 으로

바꾸고, P1 과 F1 도 P 와 F 로 바꾸었습니다.

þýü

îíì

DD

úû

ùêë

é=

þýü

îíì

x

y

L/EI

L/EA

F

P3120

0 (2)

절점 1, y=0 절점 2, y=L

+F1 +F2

+X

+Y

+M1 +M2


7

2) 좌굴 개념의 수학적 이해

그림 5-(a)는 수평변위 Dx 발생시 변형도 입니다. 기울기 0 인 접선 2 개가 있기 때문에 3 차 방정식으로

표현 됨니다. 그림 5-(b)는 그림 5-(a)의 상단에 +y 방향 축력 P 가 작용 하였을 때의 모멘트도 입니다.

(a) 변위도 (b) 모멘트도

그림 5. 변위도와 축력이 발생시 모멘트도

그림 5 의 변위도와 모멘트도는 식(3) 과 (4) 로 나타낼 수 잇습니다.

÷÷ø

öççè

æ+-D= 1

L3y

L2y

xx 2

2

3

3

÷÷ø

öççè

æ+-D-=

21

L3y

L2y

xP)y(M 2

2

3

3 (3 & 4)

모멘트 방정식 (4) 를 적분하여 각변화 방정식을 구합니다.

12

3

3

4

2

2

3

3

222132

Cy

Ly

Ly

EIxP

dyLy

Ly

EIxP

)y( +÷÷ø

öççè

æ+-

D-=÷÷

ø

öççè

æ+-

D-=q ò

(5)

경계조건 00 =q )( 을 이용하여 적분상수 C1 을 구 합니다.

÷÷ø

öççè

æ+-

D-=q

22 2

3

3

4 yLy

Ly

EIxP

)y(

(6)

식(6)을 적분하여 변위를 구합니다.

2

2

2

4

3

5

4410C

yLy

Ly

EIxP

dy)y(DP +÷÷ø

öççè

æ+-

D-=q= ò

(7)

y

O

L

M

-0.5PDx

+0.5PDx

(a) (b)

Dx

8


DP 는 축력 P 로 인하여 발생한 수평 변위를 의미 합니다. 경계조건 DP(L) = 0 를 이용하여 적분 상수 C2 를

구합니다.

÷÷ø

öççè

æ-+-

D-=

104410

22

2

4

3

5 LyLy

Ly

EIxP

)y(DP

(8)

y=0 일 때 즉 절점 1 의 변위는

EIxLP

D)(D PP 100

2D==

(9)

축력 P 를 Y 방향으로 작용 하였을 때 식(9)와 같이 축과 직각 방향인 X 방향으로 변위가 일어났습니다.

우리는 가상력 Fimg 가 수평방향으로 작용 하였다고 생각할 수 있습니다. 이때 이 가상력이 작용하는

과정에서 생성된 에너지 EP 는

EIxLP

FDFE imgPimgP 2021 2D

==

(10)

강성식 (1)에 의하면 수평력 F 를 작용 하였을 때 발생되는 변위는 FL3 / 12EI 입니다. 따라서 Fimg가 직접

작용하는 과정에서 인하여 생성된 에너지는

EIFL

FEI

FLFDFE imgimgFimgF 24122

121 33

===

(11)

위에서 언급 하였듯이 좌굴은 축방향으로 저장된 에너지가 모멘트 에너지로 전환되는 현상 입니다. 발생한

가상에너지를 모두 더하면 에너지 보존의 법칙에 따라 0 이 되어야 합니다.

0

2420

32

=+D

EIFL

FEIxLP

F imgimg

(12)

양변을 Fimg 로 나눈다면

0

2420

32

=+D

FEI

LEIxLP

(13)

수평력과 수평 변위관계를 중심으로 식(13)을 다시 쓴다면

xLP

F D-=56

(14)

식 (14)를 모든 자유도를 포함하는 행렬식으로 표시 하면 식(15)가 됩니다. .


9

þýü

îíì

DD

úû

ùêë

é-

=þýü

îíì

x

y

)L/()P(F

P

56000 (15)

식 (15)에서 아주 중요한 행렬 개념이 발생 하였습니다. 재료와 단면 물성치인 E 와 I 가 사라져 버리고

변위와 힘의 관계를 정의하는 새로운 행렬이 발생 하였습니다. 이러한 행렬은 유한요소해석에서 다음과

같이 불립니다.

• 형상행렬 (Geometric Matrix)

• 형상 강성 행렬 (Geometric Stiffness Matrix)

• 응력 강성 행렬 (Stress Stiffness Matrix)

• 초기응력 강성 행렬 (Initial Stress Stiffness Matrix)

우리는 간단히 형상행렬 [KG] 로 부르겠습니다. 이 형상행렬과 4 장에서 설명할 아이건값이 바로 유한요소

좌굴해석의 핵심개념입니다. 이제 새로운 행렬개념이 생겼기 때문에 기본(강성) 해석 {F}=[K]∙{D}에서

강성행렬 [K]를 [KS] 표시하겠습니다. 형상행렬은 강성해석에서 발생한 변형을 고려하는 행렬로 안정성

해석을 할 때는 강성행렬에 산술적으로 더하여 사용합니다. 식(16) 은 강성행렬과 형상행렬을 동시 고려한

아이건식(Eigenvalue Equation) 입니다.

{ }

þýü

îíì

DD

÷÷ø

öççè

æúû

ùêë

é-

+úû

ùêë

é=

þýü

îíì

=x

y

)L/()P(L/EI

L/EA

F

PR

56000

1200

3

(16)

간단히 표현하면

( ) }D{]K[]K[}R{ GS += (17)

P 와 Dy 의 관계를 따로 떼내서 본다면 (Decoupling)

yLEA

P D= PEAL

y =D (18 & 19)

즉 형상행렬을 고려하여도 수직 변위와 축력은 변하지 않습니다. 수평력 F 와 수평 변위 Dy 따로 떼내서

본다면 (Decoupling)

xLP

LEI

F D÷øö

çèæ -=

5612

3

)EIPL(EIFL

x101

122

3

-=D (20 & 21)

10


식(21)에서 우리는 P 를 이용하여 분모를 0 으로 만들고, 시스템을 불안정하게 하는 "좌굴"을 발생시킬 수

있습니다. 분모를 0 로 하는 P 값이 바로 좌굴 하중 PBKL 입니다.

2

10LEI

PP BKL == (22)

오일러 좌굴에 의하면 양단 고정인 기둥의 유효길이계수 (Effective Length Factor) k = 0.5 이고 예제에서

기둥의 길이는 2L 이므로

( ) 22

2

2

2 102 L

EILEI

)L(k

EIPBKL »

p=

p=

k = 0.5 (23)

102 »p 이므로 유한요소해석을 이용하여 구한 좌굴하중은 오일러 좌굴하중과 같다고 할 수 있습니다.

3. 유한요소 좌굴해석-아이건값 좌굴해석

1) 아이건값의 정의

우리는 아이건값 없이 단일 요소 좌굴해석을 하였고 좌굴해석 과정에서 발생한 형상행렬의 개념을 살펴

보았습니다. 이제 유한요소해석-아이건값 좌굴해석을 하겠습니다. 실제 유한요소해석 소프트웨어는

형상행렬과 아이건값을 이용하여 좌굴해석을 합니다. 하지만, 유한요소해석에 기반을 두지 않은 오래된

구조소프트웨어는 형상행렬과 아이건값을 계산하는 기능이 없습니다. 특히 강성해석에서는 강성행렬과 그

역행렬만 구하면 되지만 아이건값은 수치해석(Numerical Analysis)을 통하여서만 구할 수 있기 때문에

때문에 유한요소해석-아이건값 좌굴해석을 위해서는 별도의 수치 해석기능이 있어야 합니다. 이제 수학에

나오는 아이건값과 좌굴과 무슨 관계가 있는가 하고 의문을 가지게 됩니다.

우리가 구조설계를 할 때는 설계하중을 사용합니다. 해석 전에는 좌굴하중은 모릅니다.

"좌굴하중=상수 x 설계하중" 으로 정의했을 때 이 상수는 (특별한 경우를 제외 하고는) 유한요소해석-

아이건값 해석에서 아이건값과 같습니다. 아이건값은 좌굴안전율이기도 합니다. 이를 수식으로 표현한다면

{ } { }DGNBKL RR l= (24)

l 아이건값(Eigenvalue), 좌굴안전율

{ }DGNR 설계 하중

{ }BKLR 좌굴 하중

형상행렬도 l를 이용하여 다음과 같이 정의 하겠습니다.


11

DGNGG ]K[]K[ l= (25)

BKLG ]K[ 설계하중으로 발생된 형상행렬

이제 식(24)과 식(25) 를 식(17)에 대입하면

( ) DGNDGNDGNGS }R{}D{]K[]K[ l=l+ (26)

DGN}D{ 설계하중으로 발생한 변위

2) 아이건값을 이용한 좌굴하중 유도

그럼 좌굴 발생 후 아주 작은 변위가 발생 하였을 때를 식으로 세워 보겠습니다. 좌굴시에는 외력의

증가 없이 변위가 증가 한다고 했습니다. 그래서 단지 식(26)에서 저절로 발생한 }D{d 를 더하면

( ) ( ) DGNDGNDGNGS }R{}D{}D{]K[]K[ l=d+l+ (27)

변형 }D{d 에 대하여서만 식을 세우기 위하여 식(27)에서 식(26)를 빼겠습니다.

( ) ( ) 0=dl+ }D{]K[]K[ DGNGS (28)

식(28)의 형식은 선형대수학(Linear Algebra)과 공학에서 "대단히" 중요한 개념인 "아이건 문제" (Eigen

Problem) 입니다. 수학에서 직사각형 행렬(Square Matrix)과 열벡터(Column Vector)를 곱해서 0 벡터가

(Zero Vector)가 되기 위해서는 열벡터가 0 벡터 이거나 직사각형 행렬의 행렬값(Determinant)이 0 이

되어야 합니다. 예제에서 변형이 발생 하였으므로 0=d }D{ 이 아닙니다. 그러면 ( )DGNGS ]K[]K[ l+ 의

행렬값이 0 이 되어야 합니다. 즉,

( ) 0=l+ DGNG ]K[]K[det (29)

식(29) 에 직접 행렬요소를 대입하면

0560

00120

03 =÷÷

ø

öççè

æúû

ùêë

é-

l+úû

ùêë

é)L/()P(L/EI

L/EAdet

DGN

(30)

2 x 2 행렬의 행렬값 구하는 법칙을 이용하여 식(30)를 다시 쓴다면

12


05

6123 =÷

øö

çèæ l

-LP

L

EILEA DGN (31)

식(31)에서 l 를 구하면

2

10LP

EIDGN

=l (32)

드디어 아이건값 (좌굴안전율)을 구하였습니다. 식(24)을 다시 쓴다면

{ }þýü

îíì

l=þýü

îíì

=DGN

DGN

BKL

BKLBKL F

P

F

PR (33)

수직 하중만 따로 쓴다면

22

1010LEI

PLPEI

PP DGNDGN

DGNBKL ==´l=

(34)

2장에서 구한 좌굴하중과 3장에서 아이건값을 이용하여 구한 좌굴하중은 10EI/L2로 일치 합니다.


13

4. 수계산-유한요소 좌굴해석, 오일러 좌굴해석, 마이다스 좌굴해석

(1) 기둥부재 정의

수계산-유한요소 좌굴해석, 오일러 좌굴해석, 1 개 요소 마이다스 좌굴해석, 20 개요소 마이다스

좌굴해석을 숫자를 직접 대입하여 수행 하겠습니다. 입력 값은 표 1 에 주어졌습니다.

기둥 부재 강관: 외경 400mm , 두께 10mm

면적, A 1.225221× 10-2 m2

단면 2 차 모멘트, I 2.330983 × 10-4 m4

길이, L 10 m

탄성계수, E 2.1× 1011 N/m2

수직력(설계하중), PDGN 106 N

표 1. 좌굴해석 입력값

(2) 수계산-유한요소 좌굴해석

3 장에서 유한요소해석으로 유도한 공식을 사용하여 아이건값을 계산합니다.

89506541010

1033098321012101026

411

2 ...

LPEI

DGN

=´

´´´´==l

-

참고로 좌굴하중은

kNN.PP DGNBKL 49004895065108950654 6 »=´=´l=

(3) 오일러 좌굴해석

오일러 좌굴해석 공식을 이용하여 계산하면

N..

LEI

PBKL 48312351010

103309832101226

4112

2

2

=´

´´´´p=

p=

-

좌굴안전율 831235410

48312356 .

PP

DGN

BKL ===l=

답1

답2

14


(4) 마이다스 이용 해석, 1 개요소

(5) 마이다스 좌굴해석, 20 개요소

.

4 개의 해석 결과가 표 4 에 요약 되었습니다.

수계산-유한요소 좌굴해석에서 1 개의 요소만 사용 하였듯이 마이다스

좌굴해석에서도 우선 1 개의 요소를 이용하여 해석 하였을 때, 수계산

해석결과와 마이다스 해석결과가 4.895065 로 정확히 일치 합니다 [표 2].

하지만 오일러 좌굴해석 결과인 4.831235 와는 오차가 있습니다.

그림 6 은 변형도 입니다.

그림6

마이다스 좌굴해석

변형도, 1개 요소

조금 부드러운 변형도를 만들기 위하여 20 개 요소로 해석합니다. 20 개

요소를 이용 하였을 때 아이건겂은 4.831239 로 오일러 좌굴과 비교하여

유효숫자 6 자리까지 값이 같습니다 [표 3].

그림 7 은 변형도 입니다.

그림7

마이다스 좌굴해석

변형도, 20개요소

표 3 마이다스 좌굴 해석 결과, 20 개요소 ,

l = 4.831239

표 2 마이다스 좌굴해석 결과, 1 개요소 ,

l = 4.895065 답3

답4


15

표 4 해석결과 비교

오일러 좌굴해석은 유한요소해석과 비교하여 억지로 이름을 붙인다면 무한요소해석 (연속방정식해법,

Continuous Method) 이며 이론적으로 정확한 값이기 때문에 엄밀해석법 (Exact Method) 입니다. 예제의

경우 요소 1 개 유한요소해석은 오일러 좌굴해석 결과 값보다 단지 1.32% 크다는 것을 발견 했습니다.

그리고 요소를 20 개로 분할 하였을 때 결과가 오일러 해석과 (거의) 같다는 것을 발견 했습니다.

일반적으로 거시적 관점의 구조물 좌굴해석은 응력해석과 달리 많은 요소를 필요로 하지 않습니다. 하지만

국부좌굴(Local Buckling)을 발견하고자 할 때는 세분화된 요소분할을 필요로 합니다.

5. 요약 및 보충

우리는 빔요소를 이용하여 유한요소 좌굴해석의 하나인 아이건 해석에 대하여 공부 했습니다. 내용을

요약 및 보충 한다면

(1) 유한요소해석-아이건값 좌굴해석 핵심 개념은 형상행렬(Geometric Matrix)과 아이건값 (Eigenvalue)

입니다. 형상행렬에는 재료와 단면성질이 포함되지 않고, 축력 (Membrane Force) 과 빔길이만 포함

됩니다. 예제에서는 형상행렬을 직관적인 방법으로 구하였지만 빔과 판요소는 강성 행렬과 같이

공식화된 형상행렬을 가지고 있습니다.

(2) 좌굴하중 (Buckling Load) = 아이건값 X 설계하중. 따라서 아이건값은 좌굴 안전율에 해당합니다.

(3) 유한요소해석-아이건값 좌굴해석 시에는 선형 혹은 비선형 해석을 이용하여 응력 과 변위를 별도로

검토 하여야 합니다.

(4) 예제는 1 개의 수평(모멘트 변위) 자유도만 있어서 1 개의 아이건값만 존재 합니다. 아이건 값의

최대 개수는 특수한 경우를 제외하고는 수평 자유도의 수와 같습니다. 따라서 다수의 요소 및

자유도로 구성된 실제 구조물을 마이다스를 이용하여 좌굴 해석 시 다수의 아이건값을 출력 할 수

있습니다.

(5) 음수와 같은 특수한 경우를 제외하고는 실무 설계에서는 최소 아이건 값이 좌굴안전율 입니다.

안전율 l 비율

답1. 수계산-유한요소해석, 1개요소 4.895065 101.3212%

답3. 마이다스, 1개 요소 4.895065 101.3212%

답2. 오일러 좌굴해석 (정확한 값) 4.831235 100.0000%

답4. 마이다스, 20개 요소 4.831239 100.0001%

같음

거의

같음

16


(6) 아이건 해석시에는 좌굴조건을 입력하지 않아도 되지만 비선형 좌굴 해석 시에는 좌굴조건을 고려

하여야만 좌굴이 일어 납니다.

(7) 유한요소 좌굴해석을 이용하여 구조물 좌굴 거동을 정확히 파악할 수 있으며 경제적으로 설계를

할 수 있습니다.

실무해석을 하기 전에 반드시 한두 개의 요소로 실험을 한 후 직관력을 가지면 실무 해석을 더

경제적으로 수행 할 수 있습니다.

참고문헌

1 Cook, D. Robert., Malkus. S. David., Plesha, E. Michael., and Witt, J. Robert., Concepts and

Applications of Finite Element Analysis, 4th Edition, Wiley, Hoboken, NJ 07030-5774, US, 2001

유한요소 좌굴해석 1 수정2 -...

Documents