oi diafanies 1_synart_po
TRANSCRIPT
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Β. ΓΚΙΜΙΣΗΣ [email protected]
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
• Ορισμός της συνάρτήσης
• Πεδίο Ορισμού
• Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων
1.Πως ορίζεται «καλά» μια πραγματική συνάρτηση
πραγματικής μεταβλητής
ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α, αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β.
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο:
, , ,
και σύνολο άφιξης, το σύνολο: 1, 2, 3, 4, 5, 6Τα στοιχεία 3, 5 του συνόλου Β δεν έχουν
αρχέτυπο στο σύνολο Α.
Αν σε κάποια συνάρτηση τα στοιχεία του συνόλου Β εξαντλούνται τότε το Β λέγεται σύνολο τιμών της συνάρτησης. Παράδειγμα
Η συνάρτηση
έχει πεδίο ορισμού το Α και σύνολο τιμών το Β
g
g
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και σύνολο άφιξης το Β συνήθως συμβολίζεται με f :
Μια συνάρτηση λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής όταν
ΟΡΙΣΜΟΣ
f :
και
Δηλαδή τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών.
Για να ορισθεί μια συνάρτηση f αρκεί να δοθούν:
1.Το πεδίο ορισμού της.
f x 2.Η τιμή της για κάθε
Όταν δίνεται ο τύπος της συνάρτησης χωρίς να δίνεται το πεδίο ορισμού της, τότε πρέπει να βρούμε το ευρύτερο υποσύνολο του
για τα στοιχεία του οποίου έχει νόημα ο τύπος.
x
Μέθοδοι για την εύρεση του πεδίου ορισμού
g xf x
x
τότε πρέπει:
x / x x 0
1. Οι παρανομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός. Για παράδειγμα αν ο τύπος της συνάρτησης είναι:
x 7f x
x 3
Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός
Άρα πρέπει να είναι:
x 3 0
x 3
με συνέπεια το πεδίο ορισμού της f
οπότε
,3 3, να είναι το:
Παράδειγμα
2. Οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μη αρνητικές. Για παράδειγμα αν ο τύπος της συνάρτησης είναι:
f x x
τότε πρέπει:
x / x x 0
3. Συνδυασμός όλων των παραπάνω περιπτώσεων.
Παραδείγματα:
1f x x 10
x 2
1)
Με βάση τα παραπάνω πρέπει
x 10 0 x 10 και x 2 0 x 2
με συνέπεια το πεδίο ορισμού της f
να είναι το: 10,
4. Όταν η συνάρτηση αφορά πραγματικό πρόβλημα (φυσικής, οικονομίας, γεωμετρίας κ. α.) τότε πρέπει να λαμβάνονται υπ’ όψιν οι ειδικές συνθήκες του προβλήματος
Ένας αγρότης αγόρασε 200 m συρματοπλέγματος για να περιφράξει μια περιοχή σχήματος ορθογωνίου. Να εκφράσετε το εμβαδόν που μπορεί περιφράξει ως συνάρτηση μιας από τις διαστάσεις του ορθογωνίου
Παράδειγμα:
2xy m
x 0
y 1000 x
x x 1000 x , x 0 x 1000
Έστω x και y οι διαστάσεις της περιοχής που θέλει να περιφράξει.
Το εμβαδόν του οικοπέδου, δίνεται από τον τύπο
Τότε η συνάρτηση που μας ζητάνε έχει τύπο
2x 2y 2000
Προφανώς επειδή τα x και y εκφράζουν μήκη θα πρέπει να είναι θετικά
Άρα και
Όμως οπότε
και επειδή y 0 1000 x 0 x 1000
y 0
Παρατηρήσεις
Αν δεν υφίσταται κανένας από τους προηγούμενους περιορισμούς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι R.
Έχουν πεδίο ορισμού το R αφού οι τύποι τους δεν έχουν ούτε παρονομαστές, ούτε ρίζες αλλά ούτε και λογαρίθμους
Π.χ. οι συναρτήσεις με τύπους
42
1f x x x 1, g x
x 1
Σε περίπτωση που δίνεται ο τύπος της συνάρτησης μαζί με το πεδίο ορισμού της τότε δεχόμαστε ότι αυτό είναι το πεδίο ορισμού ακόμη και αν σύμφωνα με τον τύπο της συνάρτησης το πεδίο ορισμού θα έπρεπε να είναι ευρύτερο.
Π.χ. Δίνεται η συνάρτηση
2f (x)
x με x 0
Προφανώς το πεδίο ορισμού της είναι το
0,
Στις πολύκλαδες συναρτήσεις το πεδίο ορισμού είναι η ένωση των διαστημάτων που ορίζονται οι επιμέρους κλάδοι
2
3 x 0
f x 3 x 0 x
x 1 x
π.χ. η συνάρτηση με τύπο
έχει πεδίο ορισμού το
( ,0] (0, ] ( , )
Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Άσκηση
3x 1f x
x x
Λύση
Θα πρέπει να είναι: x x 0
Άρα: x x Όμως ισχύει: x x
όταν x 0 Άρα θα πρέπει να είναι: x 0
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι:
,0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνεται η συνάρτηση: 2f x 3x 5x 2 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β. Να υπολογίσετε τις τιμές:
f 0 , f 2 f 1
Λύση: α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
f είναι: β. 2f 0 3 0 5 0 2 2
2f 2 3 2 5 2 2
3 4 5 2 2 12 10 2 0
2f 1 3 1 5 1 2 3 5 2 6 Αν τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα της
Αν τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα της
2
3 x 0
f x 3 x 0 x
x 1 x
2. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
( ,0] (0, ] ( , )
Να υπολογίσετε τις τιμές: f 10 , f , f 303
Λύση: Όπως ήδη είδαμε το πεδίο ορισμού είναι το
Επειδή 10 0 f 10 3 είναι
Επειδή
Επειδή
είναι
είναι
03
3f 3 3
3 3 2
3 3f
3 2
άρα
30 5,48 2f 30 30 1 31
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Τις απορίες και τις ερωτήσεις σας στείλτε τις στο e-mail:
Ο καθηγητής κος Γκιμίσης θα ορίσει ζωντανό μάθημα
για να σας απαντήσει (on line).
Περιμένουμε τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας
τα θετικά μας ενθαρρύνουν και τα αρνητικά μας βελτιώνουν
dlmaths.coursesites.com και
https://sites.google.com/site/exapostaseosdidaktikisterixi/