turinysklevas.mif.vu.lt/~olgas/dl/konsp.pdfpavyzdžiui, labai didelio mastelio reiškinius...

TURINYS

Lentelių sąrašas iiIliustracijų sąrašas iiiĮvadas 1

1 SKYRIUS. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos. Matematiniaimodeliai 11. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijos principas . . . . . . 3

4. Diferencialinės lygtys, matematiniai modeliai . . . . . . . . . . . 4

4.1. Šilumos laidumo lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2. Hidrodinamikos ir akustikos lygtys . . . . . . . . . . . . . 6

4.3. Stygos svyravimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4. Atsitiktinis judėjimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.5. Kitos žinomos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Susijusios (papildomos) sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1. Pradinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2. Kraštinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. Paprasti pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 SKYRIUS. Pirmosios eilės lygtys 171. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Kvazitiesinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Charakteristikų metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Charakteristikų metodo pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5. Egzistavimo ir vienaties teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 SKYRIUS. Antros eilės tiesinės lygtys su dviem nepriklausomaiskintamaisiais 311. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Hiperbolinės lygties kanoninis pavidalas . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Parabolinės lygties kanoninis pavidalas . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Elipsinės lygties kanoninis pavidalas . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 SKYRIUS. Vienmatė banginė lygtis 391. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392. Kanoninis pavidalas ir bendrasis sprendinys . . . . . . . . . . . . 393. Koši uždavinys ir Dalambero formulė . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 SKYRIUS. Kintamųjų atskyrimo metodas 471. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472. Šilumos laidumo lygtis su homogeninėmis kraštinėmis sąlygomis 473. Kintamųjų atskyrimas bangų lygčiai . . . . . . . . . . . . . . . . 524. Energetinis metodas ir vienatis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 SKYRIUS. 5 skyrius 59

7 SKYRIUS. Elipsinės lygtys 611. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612. Elipsinių uždavinių pagrindinės savybės . . . . . . . . . . . . . . 613. Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634. Maksimumo principo taikymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Dalykinė rodyklė 67Vardų rodyklė 67Literatūra 67

Lentelių sąrašas

Diferencialines lygtys iv

Iliustracijų sąrašas

1.1 Stygos svyravimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Stygos virpesiu kraštinės salygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 (2.3) lygties integravimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Charakteristiku metodo eskizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Charakteristikos ir Γ projekcijos pavyzdyje 2.5 . . . . . . . . . . 252.4 Charakteristikos ir Γ projekcijos 6 pavyzdyje . . . . . . . . . . . 262.5 Charakteristiku savikirtimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Grafinis sprendimo metodas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Grafinis sprendimo metodas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 3 pavyzdžio grafinis sprendimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Pradinis kraštinis uždavinys šilumos laidumo lygčiai ir jo sritis. . 48

7.1 Puasono lygtis su Dirichlė kraštine salyga. . . . . . . . . . . . . 627.2 Stipraus maksimumo principo irodymo iliustracija. . . . . . . . 65

1 skyrius

Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos.Matematiniai modeliai

O. Štikonienės paskaitų konspektas, parengtas pagal vadovėlį Y. Pinchover and J. Ru-binstein, An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press,2005

1. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos

Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis (arba matematinės fizikos lygtys)apibūdina sąryšį tarp nežinomos funkcijos ir jos dalinių išvestinių. DL dali-nėmis išvestinėmis dažnai taikomos fizikoje ir technikoje. Pastaraisiais metaislabai padidėjo DL dalinėmis išvestinėmis taikymas biologijoje, chemijoje, kom-piuterių moksluose (ypač vaizdo apdorojime ir grafikoje) ir ekonomikoje. Visosešiose srityse yra sąveika tarp kelių nepriklausomų kintamųjų, bandoma apibrėž-ti šių kintamųjų funkcijas ir modeliuoti įvairius procesus užrašant atitinkamasšių funkcijų diferencialines lygtis. Jei nežinomos funkcijos (-jų) reikšmė tamtikru momentu priklauso tik nuo to, kas vyksta lokaliai, taško aplinkoje, gauna-ma diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis. Bendrasis diferencialinės lygtiesdalinėmis išvestinėmis pavidalas funkcijai u(x1, x2, . . . , xn) yra

F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1, ux2

, . . . , uxi , . . . ) = 0, (1.1)

čia x1, x2, . . . , xn yra nepriklausomieji kintamieji, u – nežinoma funkcija ir uxižymi dalinę išvestinę ∂u/∂xi. Bendruoju atveju, sprendžiant lygtį, reikalaujamapapildomų sąlygų, pavyzdžiui, pradinių sąlygų (kaip dažnai daroma paprastųjųdiferencialinių lygčių teorijoje) arba kraštinių sąlygų. Diferencialinių lygčių da-linėmis išvestinėmis sprendimo analizė turi daug aspektų. Klasikinio požiūrio,kuris dominavo XIX a., esmė buvo sukurti metodus, leidžiančius surasti išreikšti-nį sprendinį. Kadangi matematinės fizikos lygčių sprendimas labai svarbus įvai-riose fizikos šakose, kiekvieną svarbų matematinį pasiekimą, kuris leido išspręstinaują DL dalinėmis išvestinėmis uždavinių klasę, lydėjo didelė pažanga fiziko-je. Pavyzdžiui, Hamiltono pasiūlytas charakteristikų metodas leido padarytididelę pažangą optikoje ir mechanikoje. Furjė metodas leido išspręsti šilumoslaidumo ir bangų sklidimo uždavinius, o Gryno funkcijų taikymas leido plėtotielektromagnetizmo teoriją. Sprendžiant DL dalinėmis išvestinėmis ryškiausiapažanga buvo pasiekta per pastaruosius 50 metų plėtojant skaitinius metodus,kurie leidžia naudoti kompiuterius (bent jau teoriškai, praktikoje vis dar yra

Diferencialines lygtys 2

daug neįveiktų kliūčių). Po techninės pažangos sekė teorinė pažanga leidžian-ti geriau suprasti sprendinio struktūrą ir rasti tam tikras sprendinio savybesprieš atliekant skaičiavimus kompiuteriu, o kartais net ir be pilno sprendimo.DL dalinėmis išvestinėmis teorinė analizė įdomi ne tik akademiškai, bet turi irdaug taikymų. Reikėtų pabrėžti, kad egzistuoja labai sudėtingos lygtys, kuriosnegali būti išspręstos net ir superkompiuterių pagalba. Viskas, ką galime pada-ryti tokiais atvejais – bandyti gauti kokybinę informaciją apie sprendinį. Labaisvarbus klausimas yra susijęs su uždavinio formulavimu (lygties ir papildomųsąlygų užrašymas). Bendru atveju, lygtis yra kilusi iš fizikinio ar inžineriniouždavinio modelio. Taigi nėra savaime akivaizdu, kad modelis yra geras, t.y.kad jis veda prie išsprendžiamos DL dalinėmis išvestinėmis. Be to, yra pagei-dautina, kad daugeliu atvejų sprendinys būtu vienintelis, ir kad jis būtu stabilusesant mažam duomenų (sąlygų) pokyčiui. Diferencialinių lygčių teorinis supra-timas leidžia mums patikrinti, ar šios sąlygos yra įvykdytos. Kaip matysime,yra daug būdų, kaip išspręsti DL dalinėmis išvestinėmis, kiekvienas taikomastam tikros klasės lygtims. Todėl yra svarbu turėti išsamią lygties analizę priešją sprendžiant. Pagrindinis teorinis klausimas yra nustatyti, kada uždavinys,kurį sudaro lygtis ir papildomos sąlygos, yra teisingai suformuluotas. Prancūzųmatematikas Jacques Hadamard (1865-1963) įvedė korektiškumo sąvoka. Pagaljo apibrėžimą, uždavinys yra vadinamas korektišku, jeigu jis tenkina visas trissąlygas:

1. Egzistavimas. Egzistuoja uždavinio sprendinys.

2. Vienatis. Yra ne daugiau kaip vienas sprendinys.

3. Stabilumas. Maži pokyčiai lygtyje arba papildomuose sąlygose duodamažus sprendinio pokyčius.

Jei nors vienos iš šių sąlygų neišpildyta, sakoma, kad uždavinys yra nekorektiš-kas. Daugelis klasikinių matematinės fizikos uždavinių yra korektiški.

2. Klasifikacija

Egzistuoja keletas diferencialinių lygčių klasifikacijų. Kai kurias iš jų dabaraprašysime:

• Lygties eilė. Klasifikacija pagal lygties eilę. Lygties eilė apibrėžiamakaip aukščiausios išvestinės eilė. Jei aukščiausios išvestinės eilė yra k, taidiferencialinės lygties eilė yra k. Pavyzdžiui, utt−uxx = f(x, t) – antrosioseilės lygtis, o ut + uxxxx = 0 – ketvirtosios eilės lygtis.

• Tiesinės lygtys. Kita klasifikacija į dvi grupes: tiesinė, arba netiesinėlygtis. Lygtis yra vadinama tiesine, jei diferencialinėje lygtyje (1.1) Fyra tiesinė funkcija ir nežinomos funkcijos u, ir jos išvestinių atžvilgiu.Pavyzdžiui, x7ux + exyuy + sin(x2 + y2)u = x3 yra tiesinė lygtis,o u2

x + u2y = 1 yra netiesinė lygtis.

3 Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos [2015 01 5 (15:27)]

Netiesinės lygtys dažnai dar skirstomos pagal netiesiškumo tipą. Pavyz-džiui, šios dvi lygtys yra netiesinės:

uxx + uyy = u3, (2.1)

uxx + uyy = |∇u|2u, (2.2)

Čia |∇u| žymi funkcijos u gradiento normą. Nors (2.2) lygtis yra netiesinėu atžvilgiu, ji yra tiesinė funkcija auksčiausios eilės išvestinių atžvilgiu.Toks netiesiškumas vadinamas kvazitiesiniu. Netiesiškumas (2.1) lygtyjeyra tik pagal nežinomą funkciją, tokios lygtys dažnai vadinamos pusiautiesinėmis (semilinear).

• Skaliarinė lygtis ir lygčių sistema. DL su viena nežinoma funkci-ja vadinama skaliarine lygtimi. m lygtys su l nežinomomis funkcijomisvadinamos m lygčių sistema.

3. Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijos principas

Tegu Ck(D) žymi visų k kartus tolydžiai diferencijuojamų srityje D funkcijųaibę. Pažymėkime C0(D) (arba C(D)) tolydžiųjų funkcijų iš D aibe. k-osioseilės diferencialinės lygties sprendinys yra k kartų diferencijuojama funkcija.

Aibės Ck funkciją, tenkinančią k-osios eilės diferencialinę lygtį, vadinsimeklasikiniu (arba stipriu) diferencialinės lygties sprendiniu. Reikėtų pabrėžti,kad kartais taip pat nagrinėsime neklasikinius sprendinius. Tokie sprendiniaivadinami silpnais sprendiniais. Atkreipkite dėmesį, kad bendru atveju spren-džiami uždaviniai, sudaryti iš diferencialinės lygties ir papildomų sąlygų. Sie-kiant, kad stiprus DL sprendinys būti stiprus viso uždavinio sprendinių, tamtikri reikalavimai keliami ir papildomoms sąlygoms.

Atvaizdis iš vienos funkcijų erdvės į kitą funkcijų erdvę vadinamas operato-riumi. Operatoriaus L veiksmą į funkciją u žymėsime L[u]. Šioje kurso dalyjenagrinėsime operatorius, apibrėžtus (funkcijų) dalinėmis išvestinėmis. Tokieoperatoriai, kurie faktiškai yra skirtingų Ck klasių atvaizdai, vadinami diferen-cialiniais operatoriais.

Operatorius, kuris tenkina sąryšį

L[a1u1 + a2u2] = a1L[u1] + a2L[u2],

čia a1 ir a2 yra konstantos ir u1, u2 – funkcijos, vadinamas tiesiniu operatoriumi.Tiesinė diferencialinė lygtis apibrėžia tiesinį operatorių: lygtis gali būti užrašytakaip L[u] = f , čia L – tiesinis operatorius, o f – funkciją.

Tiesinė diferencialinė lygtis L[u] = 0 vadinama homogenine lygtimi.

1 pavyzdys. Operatorius L = ∂2/∂x2 − ∂2/∂y2, lygtis

L[u] = uxx − uyy = 0

yra homogeninė, oL[u] = uxx − uyy = x2

yra nehomogeninė.


Tiesiniai operatoriai atlieka svarbų vaidmenį matematikoje, ypač matemati-nės fizikos lygčių teorijoje. Svarbi jų savybė yra superpozicijos principas: jei betkuriems i, 1 ≤ i ≤ n funkcija ui tenkina tiesinę diferencialinę lygtį L[ui] = fi, taitiesinė kombinacija v :=

∑ni=1 αiui tenkina diferencialinį lygtį L[v] =

∑ni=1 αifi.

Atskiru atveju, jei kiekviena funkcija u1, u2, . . . , un tenkina homogeninę lygtįL[u] = 0, tai bet kuri šių funkcijų tiesinė kombinacija irgi tenkina šią lygtį.Superpozicijos principas leidžia konstruoti sprendinį iš atskirų sprendinių. Taippat superpozicijos principas reikalingas tiesinės diferencialinės lygties sprendiniovienaties įrodyme.

4. Diferencialinės lygtys, matematiniai modeliai

Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis plačiai naudojamos moksle ir tech-nologijose. Pagrindiniai fizikos dėsniai matematiškai aprašo įvairius gamtos reiš-kinius laike ir erdvėje. Pavyzdžiui, labai didelio mastelio reiškinius (astronomi-nis mastas) valdomi gravitacijos dėsnių. Elektromagnetizmo teorija kontroliuo-ja daugelį kasdienės veiklos reiškinių, o kvantinė mechanika naudojama atomomasto reiškinių apibūdinimui. Tačiau pasirodo, kad daug svarbių uždavinių,susiję su daugelio objektų sąveika, ir todėl sunku naudoti pagrindinius fizikosdėsnius jų apibūdinimui. Pavyzdžiui, kodėl mes nenukrentame ant grindų sėdė-dami ant kėdės. Pagrindinė priežastis yra elektros jėgos tarp sudarančių kėdęatomų. Šios jėgos padaro kėdę tvirtą. Akivaizdu, kad neįmanoma išspręstielektromagnetizmo lygčių (Maksvelo lygtys) apibūdinančių sąveiką tarp tokiosdaugybės objektų. Kitas pavyzdys yra dujų srautas. Kiekviena molekulė pa-klūsta Niutono dėsniams, bet mes negalime praktiškai spręsti uždavinio tokiamskaičiui molekulių. Todėl daugelyje taikymų svarbu nagrinėti paprastesnius mo-delius.

Formuluojant tokius modelius pagrindinis priėjimas yra apibrėžti naujus dy-džius (temperatūra, slėgis, įtampa,...), kurie apibūdina pagrindinių mikroskopi-nius dydžių suvidurkintas (apibendrintas) makroskopines reikšmes, prisilaikantkeleto pagrindinių principų, tokių kaip masės tvermės dėsnis, judesio kiekiotvermės dėsnis, energijos tvermės dėsnis, ir t.t., ir taikyti šiuos principus mak-roskopiniams dydžiams. Dažnai reikia tam tikrų papildomų prielaidų tam, kadsusietume skirtingus makroskopinius dydžius. Optimaliu atveju norėtume pra-dėti nuo fundamentalių dėsnių ir apskaičiuoti (suvidurkinti) juos tam, kad gau-tume paprastesnį modelį. Tačiau dažnai tai padaryti yra labai sunku ir, vietojto, kartais pagrindiniai principai papildomi eksperimentų rezultatais. Erdviniuskintamuosius žymėsime raidėmis x, y, z, o laiko kintamąjį žymėsime t.

4.1. Šilumos laidumo lygtis

1811 m. Prancūzijos akademija pasirinko šilumos laidumo uždavinį savo meti-niam apdovanojimui. Prizas buvo įteiktas prancūzų matematikui Jean BaptisteJoseph Fourier (1768-1830) už du svarbius rezultatus. Jis užrašė tinkamą di-ferencialinę lygtį ir sukūrė jos sprendimo metodą. Pagrindinė Furjė pasiūlytaidėja buvo energijos tvermės dėsnis. Paprastumo dėlei, tarkime, kad medžiagos


tankis ir šiluminė talpa yra pastovios erdvėje ir laike, ir sunormuojame jas į 1.Todėl galima susieti šilumos energiją su temperatūra. Tegul D yra fiksuota sri-tis erdvėje, jos kraštą pažymėkime ∂D. Galima užrašyti sukauptos D energijospokytį tarp laikų t ir t+ ∆t∫

D

[u(x, y, z, t+ ∆t)− u(x, y, z, t)]dV

=t+∆t∫t

∫D

q(x, y, z, t, u)dV dt−t+∆t∫t

∫∂D

~B(x, y, z, t, u) · ~ndSdt,(4.1)

čia u – temperatūra, q yra šilumos šaltinių intensyvumas srityje D, ~B šilumossrautas per kraštą, dV ir dS yra erdvės ir paviršiaus integravimo elementai, o ~nyra vienetinis vektorius nukreiptas į išorę ∂D normalės kryptimi. Pastebėsime,kad šilumos išsiskyrimas gali būti neigiamas (šaldytuvas, oro kondicionierius),kaip ir šilumos srautas.

Bendru atveju šilumos išsiskyrimas priklauso nuo išorinių šaltinių, kurie ne-priklauso nuo temperatūros. Kai kuriais atvejais (pvz., termostatų valdomasoro kondicionierius), jis priklauso nuo temperatūros, bet ne nuo jos išvestinės.Todėl sakykime, kad q = q(x, y, z, t, u). Norėdamas užrašyti šilumos srautąkaip funkcionalą Furjė panaudoja eksperimentinį pastebėjimą, kad šiluma te-ka „iš karštesnės vietos į šaltesnę vietą“. Iš matematinės analizės žinoma, kadgreičiausiai funkcija auga gradiento kryptimi. Todėl Furjė postulavo

~B = −k(x, y, z)~∇u. (4.2)

Formulė (4.2) vadinama Furjė šilumos laidumo dėsniu. Teigiama funkcija kvadinama šilumos laidumo (arba Furjė) koeficientu. Koeficiento k reikšmė pri-klauso nuo terpės, kurioje sklinda šiluma. Vienalytėje srityje tikimės, kad k yrakonstanta.

Įstatysime formules dydžiams q ir ~B į (4.1). Integralams pagal t pritaikysimevidutinės reikšmės teoremą, padalinsime abi lygties pusės iš ∆t ir pereisime prieribos, kai ∆t→ 0. Gauname∫

D

utdV =

∫D

q(x, y, z, t, u)dV +

∫∂D

k(x, y, z)~∇u · ~ndS. (4.3)

Atkreipkite dėmesį, kad lygties dešinėje pusėje antrame dėmenyje integruoja-ma pagal srities kraštą. Taikydami Gauso teoremą pereisime nuo paviršiniointegralo prie tūrinio: ∫

D

[ut − q − ~∇ · (k~∇u)]dV = 0, (4.4)

čia ~∇· žymi divergencijos operatorių.Dabar ir veliau mums bus reikalingas sekantis rezultatas.

1 lema. Tegul h(x, y, z) yra tolydi funkcija, tenkinanti∫

Ωh(x, y, z)dV = 0 bet

kurioje srityje Ω. Tada h ≡ 0.


Įrodymas. Įrodinėkime prieštaros būdu. Tegul egzistuoja taškas P = (x0, y0, z0)toks, kad h(P ) 6= 0. Neprarandant bendrumo, h(P ) > 0. Kadangi h tolydi, taiegzistuoja sritis D0 (ji gali būti ir labai maža), kuriai priklauso P , ir ε > 0, toks,kad h > ε > 0 kiekviename srities D0 taške. Todėl

∫D0hdV > εVol(D0) > 0, o

tai prieštarauja lemos prielaidai. utPastebėsime, kad integralinis energijos balansas (4.4) teisingas (tinka) bet

kurioje srityje D. Darydami prielaidą, kad visos pointegralinės funkcijos yratolydžiosios, gauname DL dalinėmis išvestinėmis

ut = q +∇ · (k∇u). (4.5)

Atskiru atveju, kai difuzijos koeficientas yra konstanta ir srityje D nėra šilumosšaltinių, gauname klasikinę šilumos laidumo lygtį

ut = k∆u, (4.6)

čia ∆u žymi svarbų operatorių uxx+uyy+uzz. Net nesprendžiant lygties, galimapastebėti, kad reikalinga prielaida, jog šilumos laidumo lygties sprendinys ir kaikurios jo išvestinės yra tolydžiosios funkcijos.

4.2. Hidrodinamikos ir akustikos lygtys

Skysčius ir dujas sudaro didelis molekulių skaičius, todėl neįmanoma aprašytielektromagnetizmo arba kvantinės mechanikos teorijomis. Nuo XVIII a. moks-lininkai kūrė modelius ir lygtis makroskopiniams dydžiams, tokiems kaip tem-peratūra, slėgis, greitis ir t.t. Kaip jau buvo paaiškinta, šios lygtys grindžiamostvermės dėsniais.

Paprasčiausias skysčio (ar dujų) aprašymas naudoja tris funkcijas apibūdi-nančias skysčio būseną bet kuriame laiko ir erdvės taške:

• tankis (masė tūrio vienetui) ρ(x, y, z, t);

• greitis ~u(x, y, z, t);

• slėgis p(x, y, z, t).

Paprastumo dėlei, tarkime, kad temperatūra yra konstanta. Pradėsime nuomasės tvermės dėsnio. Nagrinėkime skysčio elementą užimantį sritįD. Tarkime,kad medžiaga nei sukuriama, nei dingsta. Taigi srityjeD bendra masė nesikeičia:

d

dt

∫D

ρdV = 0. (4.7)

Skysčio krašto judėjimas aprašomas greičio komponentu ~u statmena ∂D kryp-timi. Taigi, galima užrašyti∫

D

∂

∂tρdV +

∫∂D

ρ~u · ~ndS = 0. (4.8)


čia ~n žymi krašto ∂D vienetinę išorinę normalę. Taikydami Gauso teoremągauname ∫

D

[ρt + ~∇ · (ρ~u)]dV = 0. (4.9)

Kadangi D yra bet kokia sritis, pritaikę 1.1 lemą, gauname masės transportolygtį

ρt + ~∇ · (ρ~u) = 0. (4.10)

Toliau reikalaujame, kad skystis tenkintų judesio kiekio tvermės dėsnį. Skys-tį srityje D kiekviename taške veikia gravitacija ir ant krašto ∂D veikia slėgisskysčio, kuris yra D išorėje. Pažymėsime −→g laisvojo kritimo pagreitį. Paprastu-mo dėlei, nenagrinėsime trinties jėgų tarp gretimų skysčio molekulių. Niutonojudėjimo dėsnis sako, kad judesio kiekio pokytis lygus skystį veikiančiai jėgai:ddt (mv) = F.. Todėl

d

dt

∫D

ρ~udV = −∫∂D

p~ndS +

∫D

ρ~gdV. (4.11)

Įkelsime diferencijavimą pagal t po integralu ir, pritaikant (4.10), gauname∫D

[ρ~ut + ρ(~u · ~∇)~u]dV =

∫D

(−~∇p+ ρ−→g )dV. (4.12)

Iš čia seka diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis

~ut + (~u · ~∇)~u = −1

ρ~∇p+−→g . (4.13)

Jau gavome dvi diferencialines lygtis trims nežinomoms funkcijoms (ρ, ~u, p).Tam kad sudarytume sistemą, reikia trečiosios lygties. Atkreipkite dėmesį, kadenergijos tvermės dėsnis jau buvo įtrauktas darant prielaidą, kad temperatūrayra pastovi. Papildoma lygtis gali būti panaši į

p = f(ρ), (4.14)

čia funkcija f yra nustatoma skysčio (arba dujų). Sistema, kuria sudaro (4.10)(4.13) ir (4.14), yra vadinama Eulerio skysčio srauto lygtimis. Šias lygtys užrašėšveicarų matematikas Leonhard Euler (1707 -1783) 1755 m.

Jei atsižvelgti į trintį tarp skysčio molekulių, atsiranda papildomas dėmuolygtyje. Ši trintis yra vadinama klampumu. Labai svarbus atvejis yra kai klam-paus skysčio tankis yra konstanta. Jis aprašo daugelį su vandens tėkme susijusiųreiškinių. Šis atvejis pirmą kartą buvo nagrinėtas prancūzų inžinieriumi Clau-de Navier (1785-1836) 1822 m., vėliau jį studijavo britų matematikas GeorgeGabriel Stokes (1819 -1903). Jie užrašė lygtis:

ρ(~ut + (~u · ~∇)~u

)= µ∆~u− ~∇p, (4.15)

~∇ · ~u = 0. (4.16)


1.1 pav. Stygos svyravimai

Parametras µ vadinamas skysčio klampumas. Atkreipkite dėmesį, kad (4.15)- (4.16) yra kvazitiesinių lygčių sistema. Navjė ir Stokso sistema sudaro hid-rodinamikos pagrindą. Ši lygčių sistema yra aktyviai tyrinėjama ir naudojamadaugybėje taikymų (lėktuvų ir laivų dizainas, kraujo tėkmė arterijose, rašalotekėjimas spausdintuve, paukščių ir žuvų judėjimas ir taip toliau). Tačiau visdar neįrodytas Navier-Stokes lygčių korektiškumas, t.y. glodaus sprendinio eg-zistavimas (viena iš Millenium Mathematics Prize problemų).

1 pastaba. Daugelis chemijos, biologijos ir ekologijos uždavinių nagrinėja kokionors substrato pernešimą pastoviu greičiu. Tegul C(x, y, z, t) žymi substratokoncentraciją. Tarkime, kad srauto greitis nepriklauso nuo koncentracijos, tadasubstrato plitimas aprašomas (4.10) lygtimi

Ct + ~∇ · (C~u) = 0. (4.17)

Ši lygtis vadinama konvekcijos lygtimi.

4.3. Stygos svyravimai

Daug skirtingų reiškinių yra susiję su tampraus kūno svyravimais. Banginėlygtis taip pat aprašo garso bangos generavimą (pavyzdžiui, stygos arba būgnomembranos svyravimai). Nagrinėkime stygos skersinius svyravimus su amplitu-de u(x, t), čia x yra erdvinė koordinatė, t – laikas. Tegul ρ yra stygos ilgio vie-neto masė. Tarkime, kad ρ yra konstanta. Nagrinėkime mažą intervalą (−δ, δ).Lygiai taip pat, kaip ir ankstesniam poskyryje aprašysime dvi jėgas, veikiančiasstygą (1.1 paveikslas): išorinė gravitacijos jėga veikia skersine y kryptimi (vie-netinį stygos ilgį veikiančią jėgą žymėkime f(x, t)), ir vidinė jėga ~T , veikiantitarp gretimų stygos elementų. Ši vidinė jėga vadinama tamprumo jėga. Ji vei-kia stygos elementą iš abiejų galų: ~T+ veikia stygą iš dešinės, o ~T− – iš kairės.Tarkime, kad tamprumo jėga veikia stygos liestinės kryptimi, ir yra proporcingastygos pailgėjimui. Tegul teisingas dėsnis (Huko dėsnis)

~T = D√

1 + u2xeτ , (4.18)

čia D yra konstanta, priklausanti nuo medžiagos, iš kurios pagaminta styga, ireτ yra vienetinis vektorius stygos liestinės kryptimi. Tai empirinis dėsnis, t. y.


jis kyla iš eksperimentinių stebėjimu. Iš antro Niutono dėsnio∫ δ

−δρuttdl =

∫ δ

−δf(x, t)dl + e2 · (~T+ − ~T−) =

∫ δ

−δf(x, t)dl +

∫ δ

−δ(e2 · ~T )xdx,

čia dl ilgio elementas, ir e2 = (0, 1). Naudojant (4.18) dėsnį ir formulę liestinėsvektoriui eτ = (1, ux)/

√1 + u2

x, galima užrašyti

e2 · ~T = D√

1 + u2xe2 · eτ = Dux.

Įstatome šią lygtį į antrąjį Niutono dėsnį ir gauname sąryšį tarp integralų∫ δ

−δρutt

√1 + u2

xdx =

∫ δ

−δ

[f(x, t)

√1 + u2

x +Duxx

]dx.

Kadangi ši lygtis teisinga bet kokiam intervalui, pagal 1 lema dar kartą gauname

utt −c2√

1 + u2x

uxx =f(x, t)

ρ. (4.19)

čia c =√D/ρ yra bangos greitis.

Silpnų svyravimų atveju amplitudė yra maža, ir galima naudoti supapras-tintą prielaida |ux| 1. Tada

utt − c2uxx =1

ρf(x, t). (4.20)

Taigi, anksčiau aprašyta garso banginė lygtis taip pat tinka aprašyti kai kuriastampriąsias bangas.

2 pastaba. Gavome stygos skersinių virpesių lygtį. Norėdami išanalizuoti išilgi-nius svyravimus, Niutono dėsnyje jėgas projektuojame liestinės kryptimi. Gau-name, kad įtampos jėgos tankis išilgine kryptimi

∂

∂x

(D

√1 + u2

x√1 + u2

x

)= 0.

Tai reiškia, kad panaudotas Huko (4.18) dėsnis yra ekvivalentus prielaidai, kadnevyksta stygos išilginiai virpesiai!

4.4. Atsitiktinis judėjimas

Atsitiktinį smulkių dalelių judėjimą pirmą kartą aprašė 1827 m. britų biologasRobertas Brownas (1773–1858). Todėl jis vadinamas Brauno judėjimu. PirmasisBrauno judėjimo matematinis modelis buvo sukurtas Einšteinu 1905 metais. Jispasiūlė modelį, kuriame dalelė esanti plokštumos taške (x, y) per mažą laikointervalą δt šuoliais šoka į vieną iš gretimų taškų (x ± δx, y ± δx). Einšteinasparodė, kad prie tam tikrų prielaidų dydžiams δx ir δt, tikimybė, kad dalelėbus rasta taške (x, y) laiko momentu t aprašoma šilumos laidumo lygtimis. Jo


modelis turi daug taikymų fizikoje, biologijoje, chemijoje, ekonomikoje ir kt.Parodysime, kaip gauti diferencialinę lygtį Brauno judėjimo teorijos tipiniameuždavinyje.

Nagrinėkime dalelę dvimatėje srityje D. Kad būtų paprasčiau, apsiriboki-me atveju, kai D yra vienetinis kvadratas. Įveskime tinklą, dalijantį D į N2

identiškų mažų kvadratų su viršūnėmis (xi, yj). Kiekvienos kraštinės ilgis δx.Dalelė iš vidinio taško (xi, yj) per laiko intervalą δt patenka į vieną iš gretimųtaškų su ta pačia tikimybe. Kai dalelė pasiekia srities kraštą, ji miršta.

Klausimas Kokia yra vidutinė gyvenimo trukmė u(x, y) dalelės, kuri pra-deda savo gyvenimą taške (x, y), kai ribos

δx→ 0, δt→ 0,(δx)2

4δt= k? (4.21)

Akivaizdu, kad dalelė, pradedanti savo gyvenimą viename iš kraštiniu tašku,miršta iš karto:

u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂D. (4.22)

Kai (x, y) yra vidinis taškas, per laiko intervalą δt su ta pačia tikimybe dalelėgali patekti į jį iš vieno iš keturių jos artimiausių kaimynų. Tai aprašo skirtumųlygtis

u(x, y) = δt+1

4

(u(x−δx, y)+u(x+δx, y)+u(x, y−δx)+u(x, y+δx)

). (4.23)

Tarkime, kad u ∈ C2(D), tada lygties dešinėje pusėje visas funkcijas galimaišskleisti Teiloro eilutėmis. Dalijant abi lygties puses iš δt ir pereinant prie ribos(4.21), gauname

∆u(x, y) = −1

k, (x, y) ∈ D. (4.24)

Tokio tipo lygtis vadinama Puasono lygtimi.Ištirtas modelis turi daugybę taikymų. Vienas iš jų susijęs su akcijų kainų

kitimo analize. Daugelis akcijų rinkos modelių yra pagrįsti prielaida, kad kai-nos keičiasi atsitiktinai. Pavyzdžiui, kad brokeris perka akcijas už tam tikrąkainą. Iš anksto jis nusprendžia parduoti, jei jų kaina siekia viršutinę riba m2

(norėdamas gauti pelno) ar apatinę m1 (sumažinti nuostolius esant dideliamakcijų kurso kritimui atveju). Kiek laiko vidutiniškai tarpininkas turi akcijų,darant prielaidą, kad akcijų kainos kitimas atitinka Brauno judėjimą? Tai yravienmatė modelio versija. Lygtis ir atitinkamos kraštinės sąlygos

ku′′(m) = −1, u(m1) = u(m2) = 0. (4.25)

4.5. Kitos žinomos lygtys

• Laplaso lygtis. Daugelis iki šiol išnagrinėtų modelių susiję su operato-riumi

∆u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2.


Šis operatorius vadinamas laplasianas. Laplaso lygtis yra viena iš svar-biausių DL dalinėmis išvestinėmis

∆u = 0. (4.26)

Ši lygtis yra Puasono lygties atskiras atvejis, savo darbe apie gravitaciją jąužrašė prancūzų matematikas Pierre-Simon Laplace (1749-1827) 1780 m.Laplaso lygties sprendiniai vadinami harmoninėmis funkcijomis. Laplasolygtis turi labai daug taikymų, pavyzdžiui, šilumos laidumo uždavinyjetemperatūros laukas yra harmoninis, kai pasiekta pusiausvyra. Lygtis yralabai svarbi mechanikoje, elektromagnetizme, tikimybių teorijoje, kvanti-nėje mechanikoje, gravitacijos teorijoje, biologijoje ir kt.

• Minimalaus paviršiaus lygtis.Uždavinys: rasti paviršių, einantį per erdvinį uždarą kontūrą tokį, kadpaviršiaus plotas būtų minimalus. J. Plateau (1801–1883), 1849 m.Minimalių paviršių tyrimas prasidėjo nuo Puasono ir Plato darbų. PagalPuasono teoremą, paviršiaus, skiriančio dvi fizines aplinkas, kurios yrapusiausvyroje, vidutinis kreivumas yra proporcingas slėgio skirtumui šioseaplinkose. Tokių paviršių pavyzdžiai: muilo burbulai ir muilo plėvelė antsudėtingo vielos kontūro.Lagranžas parodė, kad minimalaus paviršiaus grafikas tenkina antros eilėsnetiesinę DL dalinėmis išvestinėmis:

(1 + u2y)uxx − 2uxuyuxy + (1 + u2

x)uyy = 0. (4.27)

Kai minimalaus paviršiaus kreiviai yra maži, t.y. ux, uy 1, (1.40) netie-sinė lygtis gali būti aproksimuota Laplaso lygtimi.

• Biharmoninė lygtis. Tamprumo teorijos plokščio uždavinio lygtis. Plo-nos tamprios plokštelės pusiausvyros būseną aprašo amplitudės funkcijau(x, y) – plokštelės nuokrypis nuo horizontalios padėties. Galima įrodyti,kad funkcija u tenkina lygtį

∆2u = ∆(∆u) = uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0. (4.28)

Ši lygtis vadinama biharmonine, kuri yra ketvirtosios eilės diferencialinėlygtis.

• Šredingerio lygtis. Šredingerio lygtis yra pagrindinė kvantinės mechani-kos lygtis, aprašanti kvantinių dalelių elgesį. Šią lygtį 1926 metais pasiūlėaustrų fizikas Ervinas Šredingeris. Kompleksinės banginės funkcijos ψmodulio kvadratas (ψψ∗) nusako tikimybės rasti dalelę tam tikrame tašketankį

− ~2

2m∆ψ + V ψ = i~

∂ψ

∂t, (4.29)

čia V yra žinoma funkcija (potencialas), m - dalelės masė ir ~ yra Plankokonstanta padalinta iš 2π.


• Kitos lygtys. Dar yra daug kitų diferencialinių lygčių, kurios yra svar-bios įvairių mokslo ir technikos uždavinių tyrime. Pavyzdžiui, Maksvelolygtys elektromagnetizme, reakcijos ir difuzijos lygtis aprašanti cheminiųreakcijų modelį, tamprumo lygtis, Korteweg-de-Vries lygtis atskirai ban-gai, netiesinė Šredingerio lygtis netiesinėje optikoje ir supertakiuosiuoseskysčiuose, Ginzburgo ir Landau superlaidumo lygtis, Einšteino lygtysbendrojoje reliatyvumo teorijoje (aprašo gravitaciją), ir daug daugiau.

5. Susijusios (papildomos) sąlygos

Bendru atveju diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis turi be galo daugsprendinių. Siekiant gauti vienintelį diferencialinės lygties sprendinį reikia pri-dėti papildomas sąlygas. Kokio tipo sąlygos gali būti? Atsakymas priklauso nuonagrinėjamos diferencialinės lygties tipo. Trumpai apžvelgsime bendras sąlygasir naudodami pavyzdžius paaiškinsime jų fizikinę reikšmę.

5.1. Pradinės sąlygos

Nagrinėkime konvekcijos lygtį (4.17) su viena erdvine dimensija kaip pirmosioseilės diferencialinės lygties pavyzdį. Nežinoma funkcija C(x, t) aprašo paviršių.Galima suformuluoti tokį uždavinį: duota koncentracija tam tikru laiku t0, oreikia surasti koncentracija vėlesniais laikais. Sprendžiame diferencialinę lygtį

CT + ~∇ · (C~u) = 0,

su papildoma sąlygaC(x, t0) = C0(x). (5.1)

Toks uždavinys vadinamas pradiniu. Geometriškai, sąlyga (5.1) nurodo kreivę,per kurią turi eiti sprendinys C(x, t). Sąlygą (5.1) galima apibendrinti įvedantkreivę Γ, kuri turi priklausyti sprendinio paviršiui taip, kad kreivės Γ projek-cija plokštumoje (x, t) nebūtinai yra x ašis. 2 skyriuje parodoma, kad esanttinkamoms prielaidoms lygčiai ir kreivei Γ, egzistuoja vienintelis diferencialinėslygties sprendinys.

Kitas atvejis, kai natūraliai įvedamos pradinės sąlygos, yra šilumos laidumolygtis (4.6)

ut = k∆u,

Tegul duotas temperatūros pasiskirstymas pradiniu laiko momentu, ir rasimetemperatūros pasiskirstymą vėlesniais laikais. Pradinė sąlyga yra tokio tipou(x, y, z, 0) = u0(x, y, z).

Paskutiniuose dviejose pavyzdžiuose nagrinėjamos diferencialinės lygtys tiksu pirma išvestine pagal t. Analogiškai pradiniam uždaviniui paprastųjų di-ferencialinių lygčių teorijoje, pradiniam uždaviniui, į kurį ieina antra išvestinėpagal t, reikia dviejų pradinių sąlygų. Panagrinėkime banginę lygtį (4.20)

utt − c2uxx =1

ρf(x, t).


Kaip jau žinome, ši lygtis yra antrasis Niutono dėsnis. Todėl natūralu užduotidvi pradines sąlygas – stygos padėčiai ir greičiui:

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (5.2)

4 skyriuje bus įrodyta, kad banginė lygtis kartu su šiomis sąlygomis yra korek-tiškas uždavinys.

5.2. Kraštinės sąlygos

Kitas papildomų sąlygų tipas DL dalinėmis išvestinėmis, turintis daug taikymų,yra kraštinės sąlygos. Tai yra sąlygos, nustatančios sprendinio (arba jo išvesti-nės) būseną ant srities krašto. Kaip pavyzdį, vėl nagrinėkime šilumos laidumolygtį

ut = k∆u, (x, y, z) ∈ Ω, t > 0. (5.3)

Tarkime, kad Ω yra aprėžta. Siekiant gauti vienintelį sprendinį, reikia užduotine tik pradines sąlygas, bet ir apibrėžti sprendinio u elgesį ant krašto ∂Ω.

Išskyrus retą išimtį, nagrinėjamos trijų tipų kraštinės sąlygos. Pirmojo tipokraštinė sąlyga, kai užduodama temperatūra krašte ∂Ω, t.y.

u(x, y, z, t) = f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0, (5.4)

vadinama Dirichle sąlyga vokiečių matematiko Johanas Lejeune Dirichle (1805-1859) garbei. Pavyzdžiui, ši sąlyga yra naudojama, kai turime duomenų apiematuojamą temperatūrą ant srities krašto, arba kai tiriamas temperatūros pa-siskirstymas priklausomai nuo įvairių išorinių šilumos sąlygų.

Taip pat ant krašto gali būti užduota temperatūros išvestinė pagal normalę

∂nu(x, y, z, t) = f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0, (5.5)

čia ∂n žymi išvestinę normalės kryptimi ant krašto ∂Ω. Ši sąlyga vadinama Ne-umano sąlyga vokiečių matematiko Carl Neumann (1832-1925) garbei. Išvestinėnormalės kryptimi ∂nu aprašo srautą per kraštą. Pavyzdžiui, nepraleidžiamaskraštas modeliuojamas naudojant sąlygą (5.5) f = 0.

Trečiojo tipo kraštinė sąlyga aprašo ryšį tarp funkcijos u ir jos išvestinęnormalės kryptimi ant krašto:

α(x, y, z)∂nu(x, y, z, t) + u(x, y, z, t) = f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0.(5.6)

Tai yra trečiojo tipo kraštinė sąlyga. Kartais ji taip pat vadinama Robino sąlyga.Nors aprašytos trijų tipų sąlygos yra dažniausiai naudojamos taikymuose,

yra išimčių. Pavyzdžiui, gali būti užduota u ant krašto dalies ir jos išvestinėpagal normalę likusioje krašto dalyje. Tai yra mišrioji kraštinė sąlyga. Ki-ta galimybė yra apibendrinti trečiojo tipo sąlygą ir vietoj normalios išvestinėsnaudoti kryptinę išvestinę u bet kuria kryptimi, kuri nėra krašto liestinė. Taivadinama pasvirusia kraštine sąlyga (angl. oblique boundary condition). Daryra nelokaliosios kraštinės sąlygos. Pavyzdžiui, galima pateikti kraštinę sąlyga,


1.5 Associated conditions 19

This condition is called a Neumann condition after the German mathematician CarlNeumann (1832–1925). We have seen that the normal derivative ∂nu describes theflux through the boundary. For example, an insulating boundary is modeled bycondition (1.47) with f = 0.

A third kind of boundary condition involves a relation between the boundaryvalues of u and its normal derivative:

α(x, y, z)∂nu(x, y, z, t) + u(x, y, z, t) = f (x, y, z, t) (x, y, z) ∈ ∂D, t > 0.

(1.48)

Such a condition is called a condition of the third kind. Sometimes it is also calledthe Robin condition.

Although the three types of boundary conditions defined above are by far themost common conditions seen in applications, there are exceptions. For example,we can supply the values of u at some parts of the boundary, and the values ofits normal derivative at the rest of the boundary. This is called a mixed boundarycondition. Another possibility is to generalize the condition of the third kind andreplace the normal derivative by a (smoothly dependent) directional derivative ofu in any direction that is not tangent to the boundary. This is called an obliqueboundary condition. Also, one can provide a nonlocal boundary condition. Forexample, one can provide a boundary condition relating the heat flux at each pointon the boundary to the integral of the temperature over the whole boundary.

To illustrate further the physical meaning of boundary conditions, let us consideragain the wave equation for a string:

utt − c2uxx = f (x, t) a < x < b, t > 0. (1.49)

When the locations of the end points of the string are known, we supply Dirichletboundary conditions (Figure 1.1(a)):

u(a, t) = β1(t), u(b, t) = β2(t), t > 0. (1.50)

Another possibility is that the tension at the end points is given. From our deriva-tion of the string equation in Subsection 1.4.3 it follows that this case involves a

baba

(a) (b)

Figure 1.1 Illustrating boundary conditions for a string.1.2 pav. Stygos virpesiu kraštinės salygos

kai šilumos srautas kiekviename krašto taške lygus temperatūros integralui pa-gal visą kraštą. Iliustruosime kraštinių sąlygų fizikinę prasmę, vėl nagrinėdamistygos lygtį

utt − c2uxx = f(x, t), a < x < b, t > 0. (5.7)

Kai stygos galai užfiksuoti, užduodama Dirichlė kraštinė sąlyga (pav. 1.2 (a)):

u(a, t) = β1(t), u(b, t) = β2(t), t > 0. (5.8)

Arba galima užduoti įtempimo jėgą stygos galuose. Iš stygos lygties išvedimoišplaukia, kad šis atvejis yra susijęs su Noimano kraštine sąlyga

ux(a, t) = β1(t), ux(b, t) = β2(t), t > 0. (5.9)

Pavyzdžiui, kai stygos galai gali laisvai judėti skersine kryptimi (Pav. 1.2 (b)),užduodama homogeninė Noimano sąlygą, t.y. β1 = β2 = 0.

6. Paprasti pavyzdžiai

Pavyzdys 1.4Išspręskite lygtį uxx = 0. Nagrinėkime lygtį kaip paprastąją diferencialinę

lygtį kintamojo x atžvilgiu, o į y žiūrėsime kaip į parametrą. Bendrasis spren-dinys yra u(x, y) = A(y)x+B(y). Atkreipkite dėmesį, kad sprendinių yra labaidaug, nes A(y) ir B(y) yra bet kokios funkcijos.

Pavyzdys 1.5Išspręskite lygtį uxy + ux = 0. Galima suvesti uždavinį į paprastąją diferen-

cialinę lygtį įvedant v = ux. Nauja funkcija v(x, y) tenkina lygtį vy + v = 0.Traktuodami x kaip parametrą, gauname v(x, y) = C(x)e−y. Integruojant vgauname sprendinį: u(x, y) = D(x)e−y + E(y).

Pavyzdys 1.6Raskime banginės lygties utt − 4uxx = sin t + x2000 atskirąjį sprendinį. Pa-

naudosime banginės lygties tiesiškumą. Pagal superpozicijos principą, galimaišskaidyti u = v + w, taip, kad v ir w yra šių uždavinių sprendiniai

vtt − 4vxx = sin t, (6.1)

wtt − 4wxx = x2000. (6.2)


Kiekvienos iš šių lygčių sprendinys gali būti lengvai rastas:

v(x, t) = − sin t, w(x, t) = − 1

4 · 2001 · 2002x2002.

Tadau(x, t) = − sin t− 1

4 · 2001 · 2002x2002.

Yra daug kitų sprendinių. Pavyzdžiui, lengva patikrinti, kad jei pridėsime priesprendinio funkciją f(x− 2t), čia f(s) yra bet kokia du kartus diferencijuojamafunkcija, gauname naują sprendinį.

Deja, taip paprastai aprašyti uždaviniai gyvenime pasitaiko retai. Nepai-sant to, iš šių pavyzdžių galima padaryti keletą naudingų išvadų. Pavyzdžiui,dažniausiai naudojamas metodas yra atlikti tokį kintamųjų pakeitimą, kad lyg-tis taptų paprastesne. Taip pat yra naudingas superpozicijos principas, kurisleidžia išskaidyti sudėtingą uždavinį į paprastesnius.

2 skyrius

Pirmosios eilės lygtys

1. Įvadas

Pirmos eilės diferencialinės lygties dalinėmis išvestinėmis bendrasis pavidalas:

F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1 , ux2 , . . . , uxn) = 0, (1.1)

čia u(x1, x2, . . . , xn) – nežinoma funkcija, F yra žinoma 2n+ 1 kintamųjų funk-cija. Pirmos eilės lygtis aprašo įvairius fizikinius ir technikos procesus, tokius,kaip medžiagos pernešimas skysčio srautu ir bangos fronto sklidimas optikoje.Vis dėlto jos pasitaiko rečiau nei antros eilės diferencialinės lygtys.

Erdvėje R3 nagrinėsime paviršių, kurio grafikas yra u = u(x, y). Užrašykimelygtį

F (x, y, u, ux, uy) = 0. (1.2)

Lygtis (1.2) yra pakankamai bendra. Praktikoje dažnai pasitaiko paprastesnėsstruktūros lygtys, kurias išspręsti lengviau. Todėl pradėsime nuo paprastų lygčiųir pereisime prie sudėtingesnių. Pagrindinė geometrinio sprendimo metodo idėjayra tai, kad u(x, y) yra paviršius R3, ir kadangi paviršiaus normalė apibrėžtavektoriumi (ux, uy,−1), diferencialinė lygtis (1.2) gali būti laikoma kaip lygtis,kuri susieja paviršių ir jo normalę (arba jį liečiančią plokštumą).

2. Kvazitiesinė lygtis

Nagrinėsime netiesines lygtis, kai netiesiškumą lemia tik nežinoma funkcija u, ojos išvestinės į lygtį įeina tiesiškai. Tokia lygtis vadinama kvazitiesine. Bendraskvasitiesinės lygties pavidalas

a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u). (2.1)

Svarbus kvazitiesinių lygčių atvejis yra tiesinė lygtis:

a(x, y)ux + b(x, y)uy = c0(x, y)u+ c1(x, y), (2.2)

čia a, b, c0, c1 yra duotosios funkcijos. Prieš kvazitiesinių lygčių bendrosios teo-rijos nagrinėjimą pateiksime paprastą pavyzdį.

Diferencialines lygtys 182.3 The method of characteristics 25

y

x

Figure 2.1 Integration of (2.5).

(2) Is there always a solution to (2.5) and an initial condition? At a first sight the answerseems positive; we can write a general solution for (2.5) in the form

u(x, y) = ec0x

[∫ x

0e−c0ξc1(ξ, y)dξ + T (y)

], (2.8)

where the function T (y) is determined by the initial condition. There are examples,

however, where such a function does not exist at all! For instance, consider the specialcase of (2.5) in which c1 ≡ 0. The solution (2.8) now becomes u(x, y) = ec0x T (y).Replace the initial condition (2.6) with the condition

u(x, 0) = 2x . (2.9)

Now T (y) must satisfy T (0) = 2xe−c0x , which is of course impossible.

(3) We have seen so far an example in which a problem had a unique solution, and an exam-ple where there was no solution at all. It turns out that an equation might have infinitelymany solutions. To demonstrate this possibility, let us return to the last example, andreplace the initial condition (2.6) by

u(x, 0) = 2ec0x . (2.10)

Now T (y) should satisfy T (0) = 2. Thus every function T (y) satisfying T (0) = 2 will

provide a solution for the equation together with the initial condition. Therefore, (2.5)with c1 = 0 has infinitely many solutions under the initial condition (2.10).

We conclude from Example 2.1 that the solution process must include the stepof checking for existence and uniqueness. This is an example of the well-posednessissue that was introduced in Chapter 1.

2.3 The method of characteristics

We solve first-order PDEs by the method of characteristics. This method was de-veloped in the middle of the nineteenth century by Hamilton. Hamilton investigatedthe propagation of light. He sought to derive the rules governing this propagation

2.1 pav. (2.3) lygties integravimas

1 pavyzdys. Tegul a = 1, b = 0, c0 yra konstanta ir c1 = c1(x, y). Nagrinėkime lygtį

ux = c0u+ c1. (2.3)

Kadangi (2.3) lygtyje nėra išvestinės pagal y, galima šį kintamąjį imti kaip para-metrą. Iš paprastųjų diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad norint gauti vienintelįsprendinį, reikia papildomos sąlygos. Ji užduodama kaip pradinė sąlyga, toks uždavi-nys vadinamas pradiniu uždaviniu arba Koši uždaviniu prancūzų matematiko Augus-tino Luiso Koši (1789–1857) garbei. Bendruoju atveju pradinės sąlygos užduodamoskreivės γ ⊂ R2

xy taškuose: u|γ = u0(x, y), arba dar bendriau kreive Γ ⊂ R3, kuri yrafunkcijos u0(x, y) grafikas kreivės γ taškuose. Pavyzdžiui, galima papildyti (2.3) lygtįpradine sąlyga

u(0, y) = y. (2.4)

Šiame pavyzdyje γ sutampa su y-ašimi, o u0(x, y) = y. Nesunkiai gaunamas šiospaprastosios diferencialinės lygties sprendinys:

u(x, y) = ec0x[ ∫ x

0

e−c0ξc1(ξ, y)dξ + y]. 2 (2.5)

Bendruoju atveju tokie uždaviniai sprendžiami ieškant specialių kintamųjų,kuriose lygtis yra paprastesnė (iš tikrųjų, panašios į (2.3)). Prieš tai aprašant,padarysime kelias išvadas iš šio pavyzdžio.

1. Atkreipkite dėmesį, kad integruojama išilgai x krypties (žr. 2.1 pav.) iškiekvieno y ašies taško, kur buvo užduotos pradinės sąlygos, t.y. spren-džiame be galo daug diferencialinių (Koši) uždavinių.

2. Ar visada egzistoja lygties (2.3) su pradinėmis sąlygomis sprendinys? Išpirmo žvilgsnio atsakymas teigiamas, nes galima parašyti bendrajį spren-dinį

u(x, y) = ec0x[ ∫ x

0

e−c0ξc1(ξ, y)dξ + T (y)], (2.6)

čia funkcija T (y) apibrėžiama pradinemis sąlygomis. Tačiau yra pavyz-džių, rodančių, kad tokios funkcijos neegzistuoja! Pavyzdžiui, nagrinėki-me (2.3) lygtį su c0 = 1, c1 ≡ 0. Tada (2.6) sprendinys užrašomas kaipu(x, y) = exT (y). Vietoj (2.4) pradinės sąlygos imkime

u(x, 0) = 2x. (2.7)

19 Pirmosios eilės lygtys [2015 01 5 (15:27)]

Šiame pavyzdyje γ sutampa su x-ašimi, o u0(x, y) = 2x. Funkcija T (y)turi tenkinti T (0) = 2xe−x, o tai neįmanoma.

3. Iki šiol nagrinėjame uždavinius, kurių sprendinys buvo vienintelis arbaneegzistavo. Bet lygtis gali turėti be galo daug sprendinių. Paskutiniamepavyzdyje pakeiskime (2.4) pradinę sąlygą į

u(x, 0) = 2ex. (2.8)

Kiekviena funkcija T (y), tenkinanti pradinę sąlygą T (0) = 2, apibrėžiaKoši uždavinio sprendinį u(x, y) = exT (y). Todėl (2.3) lygtis su c1 = 0 irpradine sąlygą (2.8) turi be galo daug sprendinių.

Iš 1 pavyzdžio seka išvada, kad sprendžiant uždavinį reikia tikrinti sprendinioegzistavimą ir vienatį.

3. Charakteristikų metodas

Pirmiausia nagrinėsime charakteristikų metodą euristiškai (ne pilnai pagrįstai).Vėliau suformuluosime teoremą, kuri garantuoja, kad, esant tinkamoms prielai-doms, lygtis kartu su papildoma sąlyga turi vienintelį sprendinį. Charakteris-tikų metodas pagrįstas paviršiaus, kurį sudaro vienparametrinė kreivių šeima,kertanti duotą kreivę erdvėje, konstravimu.

Nagrinėkime bendrą tiesinę lygtį (2.2) ir užrašykime pradines sąlygas para-metriškai:

Γ = Γ(s) = (x0(s), y0(s), u0(s)), s ∈ I = (α, β). (3.1)

Kreivę Γ vadinsime pradine kreive.Tiesinę lygtį (2.2) galima perrašyti skaliarine sandauga

(a, b, c0u+ c1) · (ux, uy,−1) = 0. (3.2)

Kadangi (ux, uy,−1) yra paviršiaus u normalė, todėl vektorius (a, b, c0u + c1)yra liestinėje plokštumoje. Tada sistema

xt = a(x, y),

yt = b(x, y),

ut = c0(x, y)u+ c1

(x, y),

(3.3)

apibrėžia erdvines kreives(x(t), y(t), u(t)

), priklausančias sprendinio paviršiui.

Ši pirmos eilės diferencialinių lygčių sistema vadinama charakteristinių lygčiųsistema arba trumpiau, charakteristikų lygtimis. Sprendiniai vadinami lygtiescharakteristikų kreivėmis arba trumpiau, charakteristikomis. Pastebėsime, kad(3.3) lygtys yra autonominės, t.y. nėra išreikštos priklausomybės nuo parametrot.

Tam, kad surastume charakteristikų kreivę, reikalingos pradinės sąlygos.Reikalausime, kad pradinis taškas priklauso pradinei kreivei Γ, kai t = 0.

Diferencialines lygtys 2028 First-order equations

y

u

x

characteristiccurve

initial curve

Figure 2.2 Sketch of the method of characteristics.

projection separately:

xt = a(x, y), yt = b(x, y). (2.17)

In the quasilinear case, this uncoupling of the characteristic equations is no longerpossible, since the coefficients a and b depend upon u. We also point out that in thelinear case, the equation for u is always linear, and thus it is guaranteed to have aglobal solution (provided that the solutions x(t) and y(t) exist globally).

To summarize the preliminary presentation of the method of characteristics, letus consult Figure 2.2. In the first step we identify the initial curve . In the secondstep we select a point s on and solve the characteristic equations (2.13) (or (2.15)),using the point we selected on as an initial point. After performing these steps forall points on we obtain a portion of the solution surface (also called the integralsurface) that consists of the union of the characteristic curves. Philosophicallyspeaking, one might say that the characteristic curves take with them an initial pieceof information from , and propagate it with them. Furthermore, each characteristiccurve propagates independently of the other characteristic curves.

Let us demonstrate the method for a very simple case.

Example 2.2 Solve the equation

ux + uy = 2

subject to the initial condition u(x, 0) = x2.

The characteristic equations and the parametric initial conditions are

xt (t, s) = 1, yt (t, s) = 1, ut (t, s) = 2,

x(0, s) = s, y(0, s) = 0, u(0, s) = s2.

It is a simple matter to solve for the characteristic curves:

x(t, s) = t + f1(s), y(t, s) = t + f2(s), u(t, s) = 2t + f3(s).

2.2 pav. Charakteristiku metodo eskizas

Kadangi kiekviena kreivė (x(t), y(t), u(t)) išeina iš skirtingų Γ(s) taškų, todėl(x(t, s), y(t, s), u(t, s)). Tada pradinės sąlygos užrašomos lygtimi

x(0, s) = x0(s), y(0, s) = y0(s), u(0, s) = u0(s). (3.4)

Pastebėkime, kad pasirinkome parametrą t taip, kad charakteristikų kreivė pri-klauso Γ, kai t = 0. Atkreipkite dėmesį, kad bendruoju atveju parametrizavimas(x(t, s), y(t, s), u(t, s)) apibrėžia paviršių R3.

Charakteristikų metodas taip pat gali būti taikomas (2.1) kvazitiesiniai lyg-čiai. Šiuo atveju turime charakteristikų lygtis

xt = a(x, y, u),yt = b(x, y, u),ut = c(x, y, u),

(3.5)

su pradinėmis sąlygomis

x(0, s) = x0(s), y(0, s) = y0(s), u(0, s) = u0(s). (3.6)

Uždavinys, kurį sudaro lygtis (2.1) ir pradinės sąlygos (3.6), vadinamas kvazi-tiesinės lygties Koši uždaviniu.

Pagrindinis skirtumas tarp charakteristikų lygčių (3.3), atitinkančių tiesinędiferencialinę lygtį, ir (3.5) kvazitiesiniu atveju, yra tai, kad pirmuoju atvejupirmosias dvi lygtis (3.3) yra nepriklausomos nuo trečiosios lygties ir pradinėssąlygos.

Vėliau pamatysime charakteristikų kreivių projekcijų (x, y) plokštumoje ypa-tingą vaidmenį. Todėl užrašysime (tiesiniu atveju) šios projekcijos lygtis atski-rai:

xt(t) = a(x, y), yt(t) = b(x, y). (3.7)

Kvazitiesinei lygčiai, taip atskirti charakteristikų lygtčių negalima, nes ko-eficientai a ir b priklauso nuo u. Atkreipkite dėmesį, kad tiesiniu atveju lygtisu visada tiesinė, tai garantuoja, kad egzistuoja globalusis sprendinys (laikant,kad sprendiniai x(t) ir y(t) egzistuoja globaliai).

Norėdami apibendrinti preliminarų charakteristikų metodo aprašymą, pa-nagrinėkime 2.2 pav. Pirmasis žingsnis – nustatyti pradinę kreivę Γ. Antrasis


žingsnis – pasirinkti tašką s ant Γ ir išspręsti charakteristikų lygtis (3.3) (ar-ba (3.5)), naudojant tašką ant Γ, kurį išrinkome kaip pradinį. Atlikus šiuosveiksmus, visiems Γ taškams, gauname sprendnio paviršiaus (taip pat vadina-mo integraliniu paviršiumi) dalį, kurią sudaro charakteristikų kreivių sąjunga.Galima sakyti, kad charakteristikų kreivės paima pradinę informaciją iš Γ ir per-neša ją toliau. Be to, kiekviena charakteristikų kreivė tai daro nepriklausomainuo kitų charakteristikų kreivių.

Parodysime kaip veikia šis metodas paprasčiausiu atveju.2 pavyzdys. Išspręskime uždavinį

ux + uy = 2, u(x, 0) = x2.

Parametrizuokime pradinę sąlygą: Γ = (s, 0, s2). Charakteristikų lygtys ir para-metrinės pradinės sąlygos

xt = 1, x(0, s) = s,yt = 1, y(0, s) = 0,ut = 2 u(0, s) = s2.

Integruojant, galima lengvai gauti charakteristikų kreives:

x(t, s) = t+ f1(s), y(t, s) = t+ f2(s), u(t, s) = 2t+ f3(s).

Įstatant pradines sąlygas, gauname

f1(s) = s, f2(s) = 0, f3(s) = s2, t. y.

x(t, s) = t+ s, y(t, s) = t, u(t, s) = 2t+ s2.

Taigi turime integralinį paviršių parametrinėje formoje. Norint rasti išreikštinį pavir-šiaus užrašymą kaip funkciją u(x, y) reikia rasti funkcijas (t = t(x, y), s = s(x, y)).Šiuo atveju,

t(x, y) = y, s(x, y) = x− y.Taigi integralinis paviršius

u(x, y) = 2y + (x− y)2.

Šis paprastas pavyzdys galėtų versti mus galvoti, kad kiekvienas pradinis užda-vinys pirmos eilės DL dalinėmis išvestinėmis turi vienintelį sprendinį. Bet jaumatėme, kad tai ne taip. Ar (2.1) lygtis su pradinėmes sąlygomis (3.4) yra ko-rektiškas uždavinys? Kad būtų paprasčiau, aptarsime uždavinio korektiškumodu aspektus: egzistavimą ir vienatį. Taigi klausimas: ar egzistuoja vienintelis(2.1) lygties integralinis paviršius, kuriam priklauso pradinė kreivė.

1. Atkreipsime dėmesį, kad, jei DL dalinėmis išvestinėmis yra tiesinė, charak-teristikų lygtis yra netiesinė! Iš paprastųjų diferencialinių lygčių teorijosžinoma, kad galima nustatyti vienintelio sprendinio egzistavimą tik loka-liai (darant prielaidą, kad lygties koeficientai yra glodžiosios funkcijos).Kitaip tariant, netiesinių diferencialinių lygčių sprendiniai gali turėti sin-guliarumą netoli pradinio taško, net jei lygtis yra glodi. Iš čia seka, kadgalima tikėtis daugiausiai tik lokalios egzistavimo teoremos pirmos eilėsDL dalinėmis išvestinėmis, net ir tiesinės DL dalinėmis išvestinėmis atve-ju.


2. Integralinio paviršiaus parametrinis užrašymas gali slėpti daugiau sunku-mų. Sunkumai susiję su atvirkštine transformacija iš (t, s) į (x, y). Pri-siminkite, kad teorema apie neišreikštinę funkciją teigia, kad tokia trans-formacija yra apverčiama, jei jakobianas J = ∂(x, y)/∂(t, s) 6= 0. Tačiaupastebėsime, kad nors charakteristikų kreives priklausomybė nuo kintamo-jo t gaunama iš DL dalinėmis išvestinėmis, kintamuojo s priklausomybėseka iš pradinių sąlygų. Kadangi lygtis ir pradinės sąlygos nepriklauso vie-nas nuo kito, iš čia seka, kad bet kuriai duotajai lygčiai egzistuoja pradinėkreivė, ant kurios jakobianas lygus nuliui, ir teorema apie neišreikštinęfunkciją negali būti taikoma.Aprašytas funkcinis uždavinys turi svarbią geometrinę interpretaciją. Iš-reikštinis jakobiano skaičiavimas pradinės kreivės Γ taškuose, naudojantcharakteristikų lygtis, duoda

JΓ =

∣∣∣∣ ∂x∂t

∂y∂t

∂x∂s

∂y∂s

∣∣∣∣Γ

=

∣∣∣∣ a|Γ b|Γ(x0)s (y0)s

∣∣∣∣ = (y0)sa|Γ − (x0)sb|Γ, (3.8)

čia (x0)s = dx0/ds. Taigi jakobianas J = 0 tada ir tik tada, kai vektoriai(a|Γ, b|Γ) ir ((x0)s, (y0)s) yra tiesiškai priklausomi. Taigi, J = 0 geomet-rinė interpretacija: Γ projekcija į (x, y) plokštumą liečia charakteristikųkreivių projekcijas toje plokštumoje. Kaip taisyklė tam, kad pirmos eilėskvazitiesine DL dalinėmis išvestinėmis turėtu vienintelį sprendinį pradinėskreivės aplinkoje, turėtų būti J 6= 0. Ši sąlyga yra vadinama transversa-lumo sąlyga.

3. Iki šiol nagrinėjame lokalius uždavinius. Taip pat galima susidurti ir suglobaliais uždaviniais. Pavyzdžiui, charakteristikų kreivė gali kirsti pra-dinę kreivę daugiau nei vieną kartą. Kadangi charakteristikų lygtis ko-rektiška su viena pradine sąlyga, tokiu atveju, sprendinys vėl gali turėtisinguliariškumą. Prisiminkite, kad charakteristikų kreivė perneša pradi-nes reikšmes iš susikirtimo su kreive Γ taško. Jei tokių susikirtimo taškųyra daugiau nei vienas, informacija iš jų gali būti nesuderinta tarpusavyje(konfliktas).Panašus globalusis uždavinys yra skirtingų charakteristikų kreivių projek-cijų į (x, y) plokštumą susikirtimas tarpusavyje. Toks susikirtimas yraproblemiškas dėl tos pačios priežasties kaip ir charakteristikų kreivės su-sikirtimas su pradine kreive. Kiekviena charakteristikų kreivė pernešainformaciją nuo pradinės kreivės, ir vėl gali kilti konfliktas dėl susikirtimo.

4. Kita potenciali problema yra susijusi su charakteristikų lygties sprendiniovienaties praradimu. Apie tai galima negalvoti, jei lygties koeficientaiyra glodžiosios funkcijos (tiksliau, tenkina Lipšico sąlygą). Tačiau, kaiuždavinys nėra glodus, turėtume į tai atkreipti dėmesį.

Prieš formuluojant teoremą (2.10 teorema), kuri apima visus aptartus klau-simus, panagrinėkime keletą pavyzdžių.


4. Charakteristikų metodo pavyzdžiai

3 pavyzdys. 1. Išspręskite lygtį ux = 1 su pradinėmis sąlygomis u(0, y) = g(y).Charakteristikų lygtys ir pradinės sąlygos:

xt = 1, x(0, s) = 0,yt = 0, y(0, s) = s,ut = 1, u(0, s) = g(s),

atitinkamai. Parametrinis integralinis paviršius (x(t, s), y(t, s), u(t, s)) = (t, s, t+g(s)). Akivaizdu, kad išreikštinis sprendinys yra u(x, y) = x+ g(y).

2. Lygtį nekeisime, bet pakeisime pradines sąlygas į u(x, 0) = h(x). Charakteristi-kų lygtis ir pradinės sąlygos

xt = 1, x(0, s) = s,yt = 0, y(0, s) = 0,ut = 1, u(0, s) = h(s).

Šiuo atveju parametrinis sprendinys(x(t, s), y(t, s), u(t, s)

)=(t+ s, 0, t+ h(s)

).

Tačiau dabar, transformacija (x(t, s), y(t, s)) negali būti apverčiama (negalimeišspręsti t + s = x, 0 = y). Geometriškai tai paaiškinama paprastai: kaippradinės kreivės projekcija, taip ir charakteristikų kreivės projekcija, yra x ašis.Atskiru atveju, kai h(x) = x+C, čia C yra konstanta, gauname u(t, s) = s+t+C.Tada nereika apversti (x(t, s), y(t, s)) transformacijos, nes u = x+C+f(y) su betkokia diferencijuojama funkcija f(y), tokia, kad f(0) = 0 (nevienatis). Tačiau,su bet kuria kita funkcija h uždavinys neturi sprendinio.Atkreipkite dėmesį, kad pradiniai sąlygai u(x, 0) = h(x) jakobianas:

JΓ =

∣∣∣∣ a|Γ b|Γ(x0)s (y0)s

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1 01 0

∣∣∣∣ = 0. (4.1)

Kai J = 0 intervale (kaip buvo pavyzdyje), uždavinys arba neturi sprendinio, arbasprendinių yra be galo daug.

Tiesinės diferencialinės lygties atveju charakteristikų kreivės projekcija (x, y) plokš-tumoje dažnai irgi vadinama charakteristika. Yra keletas būdų apskaičiuoti charakte-ristikas.

• Vienas iš jų yra išspręsti pilną charakteristikų lygčių sistemą, po to rasti spren-dinio projekciją (x, y) plokštumoje. Pažymėsime, kad charakteristikų kreivėsprojekcija užduodama sąlyga s = const. Įstatant šią sąlygą į lygtį s = s(x, y)randame išreikštinę charakteristikų lygtį.

• Kitas spendimo metodas tinka tik tiesinėms DL dalinėmis išvestinėmis. Iš tie-siškumo seka, kad pirmosios dvi charakteristikų lygtys nepriklauso nuo u. Todėljos gali būti surandomos tiesiogiai.

Charakteristikų lygtys yra autonominės, jos (tiesinės lygties atveju) gali būti už-rašytos kaip pirmosios eilės paprastosios diferencialinės lygtys

dy

dx=b(x, y)

a(x, y).


4 pavyzdys. Šis pavyzdys bus reikalingas sprendžiant tiesinę lygtį (3 skyrius)

a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0. (4.2)

Jos charakteristikų kreivės lygtys

dx

dt= a(x, y),

dy

dt= b(x, y),

du

dt= 0

reiškia, kad sprendinys u yra pastovus ant charakteristikų, kurias apibrėžia diferen-cialinė lygtis

dy

dx=b(x, y)

a(x, y). (4.3)

Pavyzdžiui, kai a = 1, b =√−x gauname, kad u yra konstanta ant kreivės 3

2y +

(−x)3/2 = const.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį ux + uy + u = 1, jei pradinės sąlygos

u = sinx, kai y = x+ x2, x > 0.

Charakteristikų lygtis ir pradinės sąlygos

xt = 1, x(0, s) = s,yt = 1, y(0, s) = s+ s2,

ut + u = 1, u(0, s) = sin s.

Apskaičiuokime jakobianą ant pradinės kreivės:

J |Γ =

∣∣∣∣ ∂x∂t

∂y∂t

∂x∂s

∂y∂s

∣∣∣∣Γ

=

∣∣∣∣ a|Γ b|Γ(x0)s (y0)s

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1 11 1 + 2s

∣∣∣∣ = 2s. (4.4)

Todėl kiekviename taške, kuriame s 6= 0, egzistuoja vienintelis sprendinys. Srityjex > 0 sprendinys turi būti vienintelis. Parametrinis integralinis paviršius(

x(t, s), y(t, s), u(t, s))

= (s+ t, s+ s2 + t, 1− (1− sin s)e−t).

Norint rasti atvirkštinę transformaciją (x(t, s), y(t, s)), įstatome x išraišką į lygtį kin-tamajam y ir gauname s = (y − x)1/2. Kvadratinės šaknies ženklas buvo pasirinktaspagal sąlyga x > 0. Tada t = x− (y − x)

12 . Iš čia išreikštinis integralinis paviršius

u(x, y) = 1− [1− sin(y − x)1/2]e−x+(y−x)1/2 .

Sprendinys yra tik srityjeD = (x, y)|y > x,

ir yra nediferencijuojamas taške (0, 0). Geometrinis paaiškinimas yra 2.3 pav. Ma-tome, kad charakteristikos, einančios per koordinačių pradžią, krypties koeficientaslygus 1, tai sutampa su pradinės kreivės projekcijos krypties koeficientu. Transversa-lumo sąlyga netenkinama. Jeigu spresime uždavinį visiems x, tuomet charakteristikoskirstų pradinės kreivės projekciją y = x+ x2 dvejuose taškuose, ir turėtume neviena-reikšmiškumą: gautame kita paviršių dėl nevienareikšmiško kvadratinės šaknies ženklos = −(y − x)1/2.

25 Pirmosios eilės lygtys [2015 01 5 (15:27)]2.4 Examples of the characteristics method 33

char.

y

x

projectionof Γ

Figure 2.3 The characteristics and projection of for Example 2.5.

the initial curve there. Namely, the transversality condition does not hold there (afact we already expected from our computation of the Jacobian above). Indeed theviolation of the transversality condition led to nonuniqueness of the solution nearthe curve

(x, y) | x < 0 and y = x + x2,which is manifested in the ambiguity of the sign of the square root.

Example 2.6 Solve the equation −yux + xuy = u subject to the initial conditionu(x, 0) = ψ(x).

The characteristic equations and the associated initial conditions are given by

xt = −y, yt = x, ut = u, (2.27)

x(0, s) = s, y(0, s) = 0, u(0, s) = ψ(s). (2.28)

Let us examine the transversality condition:

J =∣∣∣∣0 s1 0

∣∣∣∣ = −s. (2.29)

Thus we expect a unique solution (at least locally) near each point on the initialcurve, except, perhaps, the point x = 0.

The solution of the characteristic equations is given by

(x(t, s), y(t, s), u(t, s))

= ( f1(s) cos t + f2(s) sin t, f1(s) sin t − f2(s) cos t, et f3(s)).

Substituting the initial condition into the solution above leads to the parametricintegral surface

(x(t, s), y(t, s), u(t, s)) = (s cos t, s sin t, etψ(s)).

2.3 pav. Charakteristikos ir Γ projekcijos pavyzdyje 2.5

6 pavyzdys. Išspręskite lygtį −yux + xuy = u, kai pradinės sąlygos u(x, 0) = ψ(x).Charakteristikų lygtis ir pradinės sąlygos

xt = −y, x(0, s) = s,yt = x, y(0, s) = 0,ut = u, u(0, s) = ψ(s),

Panagrinėkime transversalumo sąlygą:

J =

∣∣∣∣ 0 s1 0

∣∣∣∣ = −s. (4.5)

Vienintelis sprendinys turėtų būti kiekvieno pradinės kreivės taško aplinkoje (bentlokaliai), išskyrus, galbūt, tašką x = 0. Charakteristikų lygčių sprendinys yra(

x(t, s), y(t, s), u(t, s))

=(f1(s) cos t+ f2(s) sin t, f1(s) sin t+ f2(s) cos t, etf3(s)

).

Įstatant pradines sąlygas į šį sprendinį, gauname parametrinį integralinį paviršių(x(t, s), y(t, s), u(t, s)

)=(s cos t, s sin t, etψ(s)

).

Išreikštinis sprendinio pavidalas

u(x, y) = ψ(√x2 + y2) exp

[arctg

( yx

)].

Galima lengvai patikrinti, kad charakteristikos sudaro vienparametrinę apskritimų šei-mą (žr. 2.4 pav.). Kiekviena iš jų du kartus kerta pradinės kreivės projekciją (x ašyje).Jakobianas J = 0 koordinačių pradžioje. Bet sprendinys yra vienintelis, nes pasiren-kamas ψ argumento kvadratinės šaknies teigiamas ženklas, tai susiaurina pradinėskreivės projekciją iki spindulio x > 0, kuriame charakteristika ją kerta tik vienąkartą.

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį ux + 3y2/3uy = 2 su pradine sąlyga u(x, 1) = 1 + x.Charakteristikų lygtis ir pradinės sąlygos

xt = 1, x(0, s) = s,

yt = 3y2/3, y(0, s) = 1,ut = 2, u(0, s) = 1 + s.


34 First-order equations

y

x

projection of Γ

char.

Figure 2.4 The characteristics and projection of for Example 2.6.

Isolating s and t we obtain the explicit representation

u(x, y)=ψ(√

x2+y2) exp[arctan

( y

x

)].

It can be readily verified that the characteristics form a one-parameter family ofcircles around the origin (see Figure 2.4). Therefore, each one of them intersectsthe projection of the initial curve (the x axis) twice. We also saw that the Jacobianvanishes at the origin. So how is it that we seem to have obtained a unique solution?The mystery is easily resolved by observing that in choosing the positive sign forthe square root in the argument of ψ , we effectively reduced the solution to the rayx > 0. Indeed, in this region a characteristic intersects the projection of the initialcurve only once.

Example 2.7 Solve the equation ux + 3y2/3uy = 2 subject to the initial conditionu(x, 1) = 1 + x .

The characteristic equations and the associated initial conditions are given by

xt = 1, yt = 3y2/3, ut = 2, (2.30)

x(0, s) = s, y(0, s) = 1, u(0, s) = 1 + s. (2.31)

In this example we expect a unique solution in a neighborhood of the initial curvesince the transversality condition holds:

J =∣∣∣∣1 31 0

∣∣∣∣ = −3 = 0. (2.32)

The parametric integral surface is given by

x(t, s) = s + t, y(t, s) = (t + 1)3, u(t, s) = 2t + 1 + s.

Before proceeding to compute an explicit solution, let us find the characteristics. Forthis purpose recall that each characteristic curve passes through a specific s value.Therefore, we isolate t from the equation for x , and substitute it into the expression

2.4 pav. Charakteristikos ir Γ projekcijos 6 pavyzdyje2.4 Examples of the characteristics method 35

y

x

1

projection of Γchar.

char.

char.

Figure 2.5 Self-intersection of characteristics.

for y. We obtain y = (x + 1 − s)3, and, thus, for each fixed s this is an equationfor a characteristic. A number of characteristics and their intersection with theprojection of the initial curve y = 1 are sketched in Figure 2.5. While the pictureindicates no problems, we were not careful enough in solving the characteristicequations, since the function y2/3 is not Lipschitz continuous at the origin. Thus thecharacteristic equations might not have a unique solution there! In fact, it can beeasily verified that y = 0 is also a solution of yt = 3y2/3. But, as can be seen fromFigure 2.5, the well behaved characteristics near the projection of the initial curvey = 1 intersect at some point the extra characteristic y = 0. Thus we can anticipateirregular behavior near y = 0. Inverting the mapping (x(t, s), y(t, s)) we obtain

t = y1/3 − 1, s = x + 1 − y1/3.

Hence the explicit solution to the PDE is u(x, y) = x + y1/3, which is indeedsingular on the x axis.

Example 2.8 Solve the equation (y + u)ux + yuy = x − y subject to the initialconditions u(x, 1) = 1 + x .

This is an example of a quasilinear equation. The characteristic equations and theinitial data are:

(i) xt = y + u, (ii) yt = y, (iii) ut = x − y,

x(0, s) = s, y(0, s) = 1, u(0, s) = 1 + s.

Let us examine the transversality condition. Notice that while u is yet to be found,the transversality condition only involves the values of u on the initial curve . Itis easy to verify that on we have a = 2 + s, b = 1. It follows that the tangentto the characteristic has a nonzero component in the direction of the y axis. Thusit is nowhere tangent to the projection of the initial curve (the x axis, in this case).

2.5 pav. Charakteristiku savikirtimai

Šiame pavyzdyje bus vienintelis sprendinys pradinės kreivės aplinkoje, nes tenkinamatransversalumo sąlyga:

J =

∣∣∣∣ 1 31 0

∣∣∣∣ = −3 6= 0. (4.6)

Parametrinis integralinis paviršius

x(t, s) = s+ t, y(t, s) = (t+ 1)3, u(t, s) = 2t+ 1 + s.

Lengva gauti, kad y = (x + 1 − s)3. Kiekvienam fiksuotam s tai yra charakteristikoslygtis. Keletas charakteristikų ir jų susikirtimai su pradinės kreivės y = 1 projekcijapavaizduoti 2.5 pav. Tačiau mes nepakankamai atsargiai išsprendėme charakteristikųlygtis. Funkcija y2/3 netenkina Lipšico sąlygos x ašyje. Taigi charakteristikų lygtis čiagali turėti ne vienintelį sprendinį! Lengva patikrinti, kad y = 0 taip pat yra lygties yt =3y2/3 sprendinys. Tačiau, kaip matosi iš 2.5 pav., charakteristikos pradinės kreivėsy = 1 projekcijos aplinkoje kerta papildomą charakteristiką y = 0. Transformacijos(x(t, s), y(t, s)) atvirkštinė

t = y1/3 − 1, s = x+ 1− y1/3.

Taigi DL dalinėmis išvestinėmis išreikštinis sprendinys yra u(x, y) = x + y1/3, kurisyra singuliarus x ašyje.

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį (y+u)ux+ yuy = x− y su pradine sąlyga u(x, 1) = 1 +x.


Tai yra kvazitiesinės lygties pavyzdys. Charakteristikų lygtis ir pradinės sąlygos:

(i) xt = y + u, x(0, s) = s,(ii) yt = y, y(0, s) = 1,

(iii) ut = x− y, u(0, s) = 1 + s.

Transversalumo sąlygą yra apibrėžta tik ant pradinės kreivės Γ. Lengva patikrinti, kadΓ taškuose a = 2+s, b = 1. Iš to seka, kad charakteristikų kreivės krypties koeficientasturi nenulinę komponentę y ašies kryptimi, t.y. jos neliečia pradinės kreivės projekcijos.Tą patį galima apskaičiuoti tiesiogiai:

J =

∣∣∣∣ 2 + s 11 0

∣∣∣∣ = −1 6= 0. (4.7)

Darome išvadą, kad intergalinis paviršius egzistuoja bent jau Γ aplinkoje. Iš cha-rakteristikų lygties (ii) ir atitinkamos pradinės sąlygos randame y(t, s) = et. Su-dėjus charakteristikų lygtis (i) ir (iii), gauname (x + u)t = x + u. Todėl randameu+x = (1+2s)et. Spręsdami (i), gauname x(t, s) = (1+s)et−e−t ir u(t, s) = set+e−t.Pastebėsime, kad x−y = set−e−t. Tada gauname u = 2/y+(x−y). Sprendinys nėraglobalus (jis išsigimsta x ašyje), bet jis yra korektiškas pradinės kreivės aplinkoje.

5. Egzistavimo ir vienaties teorema

Apibendrinsime tiesinių ir kvazitiesinių lygčių atveju gautus rezultatus į bendrąteoremą.

1 apibrėžimas. Nagrinėkime kvazitiesinę lygtį (2.1) su pradine sąlyga (3.6),kuri apibrėžiama kaip integralinio paviršiaus pradinė kreivė. Sakoma, kad lygtisir pradinė kreivė Γ taške s tenkina transversalumo sąlygą, jei charakteristika,išeinanti iš Γ(s) projekcijos, kerta Γ projekciją transversaliai:

J |t=0 =

∣∣∣∣ xt(0, s) yt(0, s)xs(0, s) ys(0, s)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ a|Γ b|Γ(x0)s (y0)s

∣∣∣∣ 6= 0.

1 teorema. [Egzistavimo ir vienaties teorema] Tarkime, kad kvazitiesinės (2.1)lygties koeficientai yra glodžiosios funkcijos pradinės kreivės (3.6) aplinkoje.Tarkime, kad transversalumo sąlyga išpildyta kiekviename pradinės kreivės in-tervalo (s0−2δ, s0 +2δ) taške s. Tada Koši uždavinys (2.1), (3.6) turi vienintelįsprendinį pradinės kreivės aplinkoje (t, s) ∈ (−ε, ε)×(s0−δ, s0+δ). Jei transver-salumo sąlyga neišpildyta s reikšmių intervale, tada Koši uždavinys (2.1), (3.6)arba neturi sprendinio, arba turi be galo daug sprendinių.

Įrodymas. Egzistavimo ir vienaties teorema paprastiems diferencialinėms lyg-tims (3.5) su pradine sąlyga (3.6), garantuoja vienintelės charakteristikų kreivėskiekviename pradinės kreivės taške egzistavimą. Charakteristikų kreivių šeimaduoda parametrinį paviršiaus pavidalą. Transversalumo sąlyga reiškia, kad pa-rametrinis pavidalas duoda glodų paviršių. Patikrinsime, kad taip sukonstruotaspaviršius iš tikrųjų apibrėžia (2.1) PDL sprendinį. Užrašome

u = u(x, y) = u(t(x, y), s(x, y)

),


ir apskaičiuojame

aux + buy = a(uttx + ussx) + b(utty + ussy) = ut(atx + bty) + us(asx + bsy).

Bet charakteristikų lygtis ir sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklė duoda

1 = tt = atx + bty, 0 = st = asx + bsy.

Todėl aux + buy = ut = c, t.y. u yra (2.1) lygties sprendinys.Tam, kad parodytume, kad kitų integralinių paviršių nėra, įrodysime, kad

sukonstruotos charakteristikų kreivės turi priklausyti intergaliniam paviršiui.Kadangi charakteristikų kreivė prasideda ant integralinio paviršiaus, reikia tikparodyti, kad ji ten ir lieka. Tai intuityviai aišku, nes charakteristikų kreivė,pagal apibrėžimą, kiekviename paviršiaus taške statmena paviršiaus normalei.Taip pat akivaizdu, kad kreivė palieka paviršių tik tuo atveju, jei jos liestinėsprojekcija į paviršiaus normalę nelygi nuliui. Šis paprastas geometrinis paaiš-kinimas gali būti paremtas tiksliu skaičiavimu: užrašysime duotą integralinįpaviršių tokiu pavidalu u = f(x, y). Tegul (x(t), y(t), u(t)) yra charakteristikųkreivė. Tarkime, kad u(0) = f(x(0), y(0)). Apibrėžkime funkciją

Ψ(t) = u(t)− f(x(t), y(t)).

Diferencijuojant pagal t, gauname

Ψt = ut − fx(x, y)xt − fy(x, y)yt.

Įstatome (3.5) į šią lygtį

Ψt = c(x, y,Ψ + f)− fx(x, y)a(x, y,Ψ + f)− fy(x, y)b(x, y,Ψ + f). (5.1)

Tačiau iš pradinės sąlyos seka, kad Ψ(0) = 0. Nesunku patikrinti (naudojant(2.1)), kad Ψ(t) ≡ 0 yra (5.1) PDL sprendinys. Kadangi, lygties koeficientai yraglodieji, ji turi vienintelį sprendinį. Taigi Ψ ≡ 0 yra vienintelis sprendinys, irkreivė (x(t), y(t), u(t)) iš tikrųjų yra ant integralinio paviršiaus. Todėl anksčiauparametriniu pavidalu gautas integralinis paviršius yra vienintelis.

Kai transversalumo sąlyga netenkinama palei s reikšmių intervalą, charak-teristika sutampa su Γ projekcija.

• Jei charakteristikų lygties sprendinys yra kreivė, kuri nesutampa su pradi-ne kreive, tai pradinės kreivės liestinė tam tikrame taške negali būti jokiointegralinio paviršiaus liestinei šiame taške. Kitaip tariant, pradinė sąlygaprieštarauja lygčiai, ir todėl Koši uždavinio sprendinys neegzistuoja.

• Jei charakteristikų kreivė sutampa su pradine kreive tame taške, tai yra begalo daug būdų, kaip pratęsti ją į integralinį paviršių, kuriam ji priklauso.Todėl šiuo atveju yra be galo daug Koši uždavinio sprendinių.

Aprašysime metodą, leidžianti surasti sprendinių šeimą. Pasirinkame kreivėsΓ tašką P0 = (x0, y0, u0). Konstruojame naują pradinę kreivę Γ

′ , einančią per


P0, kuri nėra Γ liestinė taške P0. Išspręskime naują Koši uždavinį, kurį sudaro(2.1) ir nauja pradinė kreivė Γ

′ . Pirmoji teoremos dalis garantuoja sprendiniovienatį, nes išpildyta transversalumo sąlyga. Yra be galo daug būdų pasirinktitokią pradinę kreivę Γ

′ , todėl gauname be galo daug sprendinių. ut

Panagrinėkime pavyzdžius, kas atsitinka, kai transversalumo sąlyga neišpil-dyta kai kuriuose intervaluose.

9 pavyzdys. Nagrinėkime Koši uždavinį ux + uy = 1, u(x, x) = x. Parodysime, kad jisturi be galo daug sprendinių.

Transversalumo sąlyga niekur nėra tenkinama. Tačiau charakteristikų kryptis yra(1, 1, 1), ir tai yra pradinės kreivės kryptis. Taigi, pradinė kreivė pati yra charakteristi-kų kreivė. Vadinasi egzistuoja be galo daug sprendinių. Norint rasti šiuos sprendinius,užrašysime uždavinį

ux + uy = 1, u(x, 0) = f(x),

bet kuriai f , tenkinančiai f(0) = 0. Nesunkiai randamas sprendinys u(x, y) = y +f(x− y).

Atkreipkite dėmesį, kad Koši uždavinys

ux + uy = 1, u(x, x) = 1,

nėra išspręndžiamas, nes transversalumo sąlyga netenkinama, o pradinė kreivė nėracharakteristikų kreivę. Todėl sprendinio nėra.

1 pastaba. 1 teorema neišnagrinėja visų atvejų, pavyzdžiui, kai transversalumosąlyga neišpildyta izoliuotuose taškuose (kaip buvo kai kuriuose nagrinėtuosepavyzdžiuose). Sunku suformuluoti universalų teiginį. Vietoj to, kiekvienasatskiras atvejis turi būti tiriamas atskirai.

3 skyrius

Antros eilės tiesinės lygtyssu dviem nepriklausomais kintamaisiais

1. Įvadas

Šiame skyriuje suklasifikuosime antros eilės tiesines lygtis su dviem nepriklau-somais kintamaisias į tris tipus: hiperbolinės (pvz., banginė lygtis), parabolinės(pvz., šilumos laidumo lygtis) ir elipsinės lygtys (pvz., Laplaso lygtis). Pasiro-do, kad to pačio tipo lygčių sprendiniai turi daug bendrų kokybinių savybių.Parodysime, kad atliekant kintamųjų pakeitimą, lygtis gali būti pertvarkyta įkanoninį pavidalą, susijusį su jos tipu.

2. Klasifikacija

Nagrinėjama lygtis turi formą

L[u] = auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu = g, (2.1)

čia a, b, . . . , f, g duotos funkcijos nuo x, y, ir u(x, y) yra nežinoma funkcija. Pa-togumo dėlei užrašome daugiklį 2 prieš koeficientą b. Tarkime, kad koeficientaia, b, c vienu metu negali būti lygūs nuliui. Operatorius

L0[u] = auxx + 2buxy + cuyy

yra vadinamas operatoriaus L pagrindine dalimi. Daugelis lygties (2.1) spren-dinių pagrindinių savybių nustatomos pagal pagrindinę dalį, tiksliau, pagal di-skriminanto δ(L) := b2 − ac ženklą, pagal kurį ir klasifikuosime lygtis.

1 apibrėžimas. Sakoma, kad lygtis (2.1) yra hiperbolinė taške (x, y), jei

δ(L)(x, y) = b(x, y)2 − a(x, y)c(x, y) > 0,

parabolinė taške (x, y), jei δ(L)(x, y) = 0, ir elipsinė taške (x, y), jeiδ(L)(x, y) < 0.

Tegul Ω ⊂ R2 yra sritis. Lygtis yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė,elipsinė) srityje, jei ji yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė, elipsinė) visuosetaškuose (x, y) ∈ Ω.


2 apibrėžimas. Transformacija (ξ, η) =(ξ(x, y), η(x, y)

)yra vadinama koor-

dinačių keitimu (arba neišsigimusia transformacija), jei jos jakobianas J :=ξxηy − ξyηx nelygus nuliui bet kuriame taške (x, y).1 lema. Tiesinės antros eilės DL dalinėmis išvestinėmis dviejų kintamųjų lyg-ties tipas yra invariantas keičiant koordinates. Kitaip tariant, lygties tipas ne-priklauso nuo koordinačių sistemos.

Įrodymas. Tegul

L[u] = auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu = g, (2.2)

ir tegul (ξ, η) =(ξ(x, y), η(x, y)

)neišsigimusi transformacija. Pažymėkime

w(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)). w yra to paties tipo antros eilės lygties sprendi-nys. Naudojant sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę gauname

ux = wξξx + wηηxuy = wξξy + wηηyuxx = wξξξ

2x + 2wξηξxηx + wηηη

2x + wξξxx + wηηxx

uxy = wξξξxξy + wξη(ξxηy + ξyηx) + wηηηxηy + wξξxy + wηηxyuyy = wξξξ

2y + 2wξηξyηy + wηηη

2y + wξξyy + wηηyy.

Įstatome šias formules į (2.2), matome, kad, w tenkina tiesinę lygtį:

l[w] := Awξξ + 2Bwξη + Cwηη +Dwξ + Ewη + Fw = G,

čia tiesinio operatoriaus l pagrindinės dalies koeficientai:

A(ξ, η) = aξ2x + 2bξxξy + cξ2

y ,B(ξ, η) = aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy,C(ξ, η) = aη2

x + 2bηxηy + cη2y.

Koeficientų (D,E, F ) prie žemesnės eilės išvestinių apskaičiuoti nereikia, neslygties tipas nustatomas tik pagal pagrindinės dalies (t.y. antros eilės) koefici-entus. Koeficientai tenkina lygtį(

A BB C

)=

(ξx ξyηx ηy

)(a bb c

)(ξx ηxξy ηy

)Šio keitimo jakobianas J = ξxηy − ξyηx. Apskaičiuosime determinantus lygtiesabiejuose pusėse

−δ(l) = AC −B2 = J2(ac− b2) = −J2δ(L).

Tai reiškia, kad lygties tipas nesikeičia atliekant neišsigimusias transformacijas.ut

Pagrindinės matematinės fizikos lygtys – šilumos laidumo, banginė ir Laplasolygtys yra antros eilės tiesinės lygtis. Nesunku patikrinti, kad banginė lygtis yrahiperbolinė, šilumos laidumo lygtis yra parabolinė, o Laplaso lygtis – elipsinė.

Bendru atveju, jei (2.1) lygtis yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė, elip-sinė) srityje D, tada galima rasti tokią koordinačių sistemą, kurioje lygtis turipaprastesnį, taip vadinamą kanoninį pavidalą.

33 Antros eilės tiesinės lygtys [2015 01 5 (15:27)]

3 apibrėžimas. Hiperbolinės lygties kanoninis pavidalas

l[w] = wξη + l1[w] = G(ξ, η),

čia l1 yra pirmos eilės tiesinis diferencialinis operatoriaus, G yra funkcija.Parabolinės lygties kanoninis pavidalas

l[w] = wξξ + l1[w] = G(ξ, η),

Elipsinės lygties kanoninis pavidalas

l[w] = wξξ + wηη + l1[w] = G(ξ, η),

Pastebėsime, kad hiperbolinės lygties kanoninio pavidalo pagrindinė dalis nesu-tampa su banginiu operatoriumi. Vėliau bus parodyta, kad tiesinis koordinačiųkeitimas perveda banginę lygtį į wξη = 0.

3. Hiperbolinės lygties kanoninis pavidalas

1 teorema. Tarkime, kad (2.1) lygtis yra hiperbolinė srityje D. Egzistuoja ko-ordinačių sistema (ξ, η), kurioje lygtis turi kanoninį pavidalą

l[w] = wξη + l1[w] = G(ξ, η),

čia w(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)

), l1 yra pirmos eilės tiesinės diferencialinis ope-

ratorius, ir G yra funkcija, priklausanti nuo (2.1).

Įrodymas.Neprarandant bendrumo, galima daryti prielaidą, kad ∀(x, y) ∈ D a(x, y) 6=

0. Reikia rasti tokias funkcijas ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), kad


y = 0,C(ξ, η) = aη2

x + 2bηxηy + cη2y = 0.

Lygtis ξ = ξ(x, y) ir η = η(x, y) yra to paties tipo, todėl pakanka išspręsti vienąlygtį. Ši pirmos eilės lygtis nėra kvazitiesinė, bet kadangi ji yra ξ kvadratinėforma, ją galima užrašyti kaip dviejų tiesinių daugiklių sandaugą

1

a

[aξx + (b−

√b2 − ac)ξy

][aξx + (b+

√b2 − ac)ξy

]= 0.

Taigi, reikia išspręsti dvi tiesines lygtis:

aξx + (b+√b2 − ac)ξy = 0, (3.1)

aξx + (b−√b2 − ac)ξy = 0, (3.2)

Siekiant gauti neišsigimusią transformaciją(ξ = ξ(x, y), η = η(x, y)

)pasirinksi-

me (3.1) lygties sprendinį kaip ξ, o (3.2) lygties sprendinį kaip η.


Šios lygtys yra 2.4 pavyzdžio atskiras atvejis. (3.1) charakteristikų lygtys

dx

dt= a,

dy

dt= b+

√b2 − ac, dξ

dt= 0.

ξ yra konstanta kiekvienoje charakteristikoje. Charakteristikos yra lygties

dy

dx=b+√b2 − aca

(3.3)

sprendiniai.Funkcija η yra konstanta charakteristikoje

dy

dx=b−√b2 − aca

. (3.4)

ut

4 apibrėžimas. Lygčių (3.3) ir (3.4) sprendiniai yra vadinami lygties L[u] = gdvejomis charakteristikų šeimomis(arba charakteristikų projekcijomis).

1 pavyzdys. Nagrinėkime Trikomi lygtį:

uxx + xuyy = 0, x < 0. (3.5)

Ieškosime atvaizdžio ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), kuris perveda lygtį į kanoninį pavidalą.Charakteristikų lygtys

dy±dx

= ±√−x.

Jų sprendiniai yra 32y± ± (−x)3/2 = const. Taigi, nauji nepriklausomi kintamieji yra

ξ(x, y) =3

2y + (−x)3/2, η(x, y) =

3

2y − (−x)3/2.

Akivaizdu, kad

ξx = − 32(−x)1/2, ξy = 3

2,

ηx = 32(−x)1/2, ηy = 3

2,

ξxx = 34(−x)−1/2, ξyy = 0, ξxy = 0,

ηxx = − 34(−x)−1/2, ηyy = 0, ηxy = 0.

Apibrėžkime w(ξ, η) = u(x, y). Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę

ux = − 32(−x)1/2wξ + 3

2(−x)1/2wη, uy = 3

2(wξ + wη),

uxx = − 94xwξξ − 9

4xvηη + 2 · 9

4xwξη + 3

4(−x)−1/2(wξ − wη),

uyy = − 94(wξξ + 2wξη + wηη).

Įstatydami šias išraiškas į Trikomi lygtį, gauname

uxx + xuyy = −9(ξ − η)2/3[wξη +

wξ − wη6(ξ − η)

]= 0.


2 pavyzdys. Nagrinėkime lygtį

uxx − 2 sin(x)uxy − cos2(x)uyy − cos(x)uy = 0. (3.6)

Rasime koordinačių sistemą, s = s(x, y), t = t(x, y), kurioje lygtis turi kanoninįpavidalą. Parodysime, kad šioje koordinačių sistemoje lygtis yra vst = 0 ir rasimebendrąjį sprendinį.

Charakteristikų lygtys

dy±dx

= − sinx±√

sin2 x+ cos2 x = − sinx± 1.

ir jų sprendiniai yra y± = cosx± x+ const. Reikiama transformacija yra

s(x, y) = cosx+ x− y, t(x, y) = cosx− x− y.

Nagrinėkime funkciją v(s, t) = u(x, y), įstatome ją į (3.6), gauname[vss(− sinx+ 1)2 + 2vst(− sinx+ 1)(− sinx− 1) + vtt(− sinx− 1)2

+vs(− cosx) + vt(− cosx)]− 2 sinx

[vss(sinx− 1) + vst(sinx− 1)

+vst(sinx+ 1) + vtt(sinx+ 1)]− cos2 x[vss + 2vst + vtt]− cosx(−vs − vt) = 0.

Taigi, −4vst = 0, ir kanoninis pavidalas vst = 0.Lengva patikrinti, kad bendrasis sprendinys v(s, t) = F (s)+G(t) ∀F,G ∈ C2(R).

Taigi lygties (3.6) bendrasis sprendinys

u(x, y) = F (cosx+ x− y) +G(cosx− x− y).

4. Parabolinės lygties kanoninis pavidalas

2 teorema. Tarkime, kad (2.1) lygtis yra parabolinė srityje D. Egzistuoja ko-ordinačių sistema (ξ, η), kurioje lygtis turi kanoninį pavidalą

l[w] = wξξ + l1[w] = G(ξ, η),


), l1 yra pirmos eilės tiesinis diferencialinis ope-


Įrodymas. Kadangi b2−ac = 0, galime daryti prielaidą, kad ∀(x, y) ∈ D a(x, y) 6=0. Reikia rasti tokias funkcijas ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), kad B(ξ, η) = C(ξ, η) =0 visuose (x, y) ∈ D. Pakanka parodyti, kad C = 0, nes iš lygties paraboliškumotada seka, kad B = 0. Taigi, reikia rasti tokią funkciją η, kad lygtis

C(ξ, η) = aη2x + 2bηxηy + cη2

y =1

a(aηx + bηy)2 = 0

turi sprendinį. Iš čia išplaukia, kad η yra pirmos eilės tiesinės lygties

aηx + bηy = 0 (4.1)

sprendinys. Vadinasi, sprendinys η yra pastovus kiekvienoje charakteristikoje,t.y. kreivėje, kuri yra lygties

dy

dx=b

a(4.2)


sprendinys. Liko sukonstruoti antrąjį nepriklausomą kintamąjį ξ, vienintelisapribojimas yra tai, kad transformacijos jakobianas J 6= 0 srityje D, galimapaimti bet kokią tokią funkciją ξ. Pastebėkime, kad parabolinė lygtis turi tikvieną charakteristikų šeimą, o hiperbolinė lygtis turi dvi šeimas.

ut

3 pavyzdys. Įrodysime, kad lygtis

x2uxx − 2xyuxy + y2uyy + xux + yuy = 0 (4.3)

yra parabolinė ir rasime jos kanoninį pavidalą; rasime bendrąjį sprendinį pusplokštu-moje x > 0.

Nustatome a = x2, 2b = −2xy, c = y2, todėl b2 − ac = x2y2 − x2y2 = 0 ir lygtisyra parabolinė. Charakteristikos lygtis yra

dy

dx= − y

x.

ir jos sprendinys yra xy = const. Todėl apibrėžiame η(x, y) = xy. Antrasis kintamasisgali būti ξ(x, y) = x. Sakykime, v(ξ, η) = u(x, y). Įstatydami naujas koordinates ξ irη į (4.3), gauname

x2(y2vηη + 2yvξη + vξξ)− 2xy(vη + xyvηη + xvξη)+x2y2vηη + xyvη + xvξ + xyvη = 0.

Taigi, kanoninis pavidalasξ2vξξ + ξvξ = 0,

arba vξξ + (1/ξ)vξ = 0.Imdami w = vξ, gauname pirmosios eilės diferencialinę lygtį wξ + (1/ξ)w = 0. Jos

sprendinys yra lnw = − ln ξ + f(η), arba w = f(η)/ξ. Taigi, v tenkina

v =

∫vξdξ =

∫wdξ =

∫f(η)

ξdξ = f(η) ln ξ + g(η).

Tada (4.3) lygties bendrasis sprendinys u(x, y) = f(xy) lnx+ g(xy), čia f, g ∈ C2(R)yra bet kokios realiosios funkcijos.

5. Elipsinės lygties kanoninis pavidalas

Kanoninės koordinačių sistemos skaičiavimas yra šiek tiek subtilesnis elipsinėslygties atveju nei hiperbolinės arba parabolinės lygties atveju. Vis dėlto supapildoma prielaida, kad pagrindinės lygties dalies koeficientai yra realiosiosanalizinės funkcijos, lygties suvedimo į kanoninį pavidalą procedūra yra ganapanaši į hiperbolinį atvejį.

5 apibrėžimas. Tegul D yra sritis plokštumoje. Sakoma, kad funkcija f : D →R yra realioji analizinė funkcija srityje D, jeigu kiekviename taške (x0, y0) ∈ D,egzistuoja konverguojanti laipsnių eilutė šio taško (x0, y0) aplinkoje N

f(x, y) =

∞∑k=0

k∑j=0

aj,k−j(x− x0)j(y − y0)k−j .


3 teorema. Tarkime, kad (2.1) lygtis yra elipsinė srityje D. Tarkime, kad ko-eficientai a, b, c yra realiosios analizinės funkcijos srityje D. Egzistuoja koor-dinačių sistema (ξ, η), kurioje lygtis turi kanoninį pavidalą

wξξ + wηη + l1[w] = G(ξ, η),


), l1 yra pirmos eilės tiesinės diferencialinis ope-


Įrodymas. Neprarandant bendrumo galima daryti prielaidą, kad a(x, y) 6= 0visuose (x, y) ∈ D. Raskime funkcijas ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), tenkinančiasA(ξ, η) = C(ξ, η), B(ξ, η) = 0:


y = C(ξ, η) = aη2x + 2bηxηy + cη2

y, (5.1)

B(ξ, η) = aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy = 0. (5.2)

Tai yra dviejų netiesinių pirmos eilės lygčių sistema. Pagrindinis sunkumaselipsinės lygties atveju yra tai, kad (5.1) - (5.2) neatskirtos. Siekiant atskirti šiaslygtis, naudosime kompleksinę plokštumą ir analitiškumo prielaidą. Užrašykime(5.1) - (5.2) sistemą kaip

a(ξ2x − η2

x) + 2b(ξxξy − ηxηy) + c(ξ2y − η2

y) = 0, (5.3)

aξxiηx + b(ξxiηy + ξyiηx) + cξyηyi = 0. (5.4)

Apibrėžkime kompleksinę funkciją φ = ξ + iη. Sistema (5.3) - (5.4) yra ekviva-lenti lygčiai (kompleksinių reikšmių)

aφ2x + 2bφxφy + cφ2

y = 0.

Gavome tokią pat lygtį kaip hiperboliniu atveju. Tačiau elipsinės lygties atvejušį lygtis neturi jokio realaus sprendinio, arba, kitaip tariant, elipsinė lygtis neturicharakteristikos. Kaip ir hiperboliniu atveju, užrašysime kaip dviejų tiesiniųlygčių sandaugą, bet dabar x, y yra kompleksiniai kintamieji. Iš karto kylasprendinio egzistavimo ir vienaties netrivialus klausimas. Yra žinoma, kad jeišių pirmos eilės tiesinių lygčių koeficientai yra realios analizinės funkcijos, taijas galima išspręsti naudojant tą pačią procedūrą kaip ir realiuoju atveju. Beto, dviejų lygčių sprendiniai yra kompleksiškai jungtiniai. Taigi, reikia išspręstilygtį

aφx + (b± i√ac− b2)φy = 0. (5.5)

Kaip ir anksčiau, sprendiniai φ, ψ yra konstantos ant charakteristikų, kurios yraapibrėžtos kompleksinėje plokštumoje:

dy

dx=b± i√ac− b2a

. (5.6)

Hiperboliniu atveju, naujoje koordinačių sistemoje lygties forma

4vφψ + · · · = 0.


Tai dar ne elipsinės lygties kanoninis pavidalas su realiaisiais koeficientais. Grįž-tame prie realiųjų kintamųjų ξ ir η, naudodami tiesinę transformaciją

ξ = Reφ, η = Imφ.

Kadangi ξ ir η yra sistemos (5.1) - (5.2) sprendiniai, darytina išvada, kadpereinant prie kintamųjų ξ ir η lygtis turės kanoninį pavidalą.

ut

4 pavyzdys. Nagrinėkime Trikomi lygtį:

uxx + xuyy = 0, x > 0. (5.7)

Raskime kanoninę transformaciją q = q(x, y), r = r(x, y) ir atitinkamą kanoninį pavi-dalą.

Charakteristikų diferencialinės lygtys yra dy/dx = ±√−x, jų sprendiniai yra 3

2y±

i(x)3/2 = const. Taigi, kanoniniai kintamieji yra q(x, y) = 32y ir r(x, y) = −(x)3/2.

Akivaizdu, kad

qx = 0, qy =3

2, rx = −3

2(x)1/2, ry = 0.

Tegul v(q, r) = u(x, y). Tada

ux = − 32(x)1/2vr, uy = 3

2vq

uxx = 94xvrr − 3

4(x)−1/2vr, uyy = 9

4vqq.

Įstatome šias išraiškas į Trikomi lygtį ir gauname kanoninį pavidalą

1

xuxx + uyy =

9

4

(vqq + vrr +

1

3rvr)

= 0.

4 skyrius

Vienmatė banginė lygtis

1. Įvadas

Šiame skyriuje ištirsime vienmatę banginę lygtį realiųjų skaičių ašyje. Panau-dosime lygties kanoninę formą, kad parodytume, jog Koši uždavinys yra korek-tiškas. Be to, išvesime paprastas sprendinių formules. Taip pat aptarsime kaikurias svarbias banginės lygties sprendinių savybes, kurios taip pat yra būdingosir kitiems hiperboliniams uždaviniams.

2. Kanoninis pavidalas ir bendrasis sprendinys

Homogeninė banginė lygtis vienmačiu atveju yra

utt − c2uxx = 0 −∞ ≤ a < x < b ≤ ∞, t > 0, (2.1)

čia c ∈ R yra bangos greitis. Norėdami gauti banginės lygties kanoninę formą,apibrėžkime naujus kintamuosius

ξ = x+ ct, η = x− ct,

ir pažymėkime w(ξ, η) = u(x(ξ, η), t(ξ, η)). Naudodami sudėtinės funkcijos di-ferencijavimo taisyklę funkcijai u(x, t) = w(ξ(x, t), η(x, t)), gauname

ut = wξξt + wηηt = c(wξ − wη), ux = wξξx + wηηx = wξ + wη,

irutt = c2(wξξ − 2wξη + wηη), uxx = wξξ + 2wξη + wηη.

Taigi,utt − c2uxx = −4c2wξη = 0.

Tai banginės lygties kanoninė forma. (wξ)η = 0, todėl wξ = f(ξ), ir w =∫f(ξ)dξ +G(η). Vadinasi lygties wξη = 0 bendrasis sprendinys turi formą

w(ξ, η) = F (ξ) +G(η),

kur F,G ∈ C2(R) yra dvi laisvai pasirenkamos funkcijos. Pradiniuose kinta-muosiuose bendras banginės lygties sprendinys yra

u(x, t) = F (x+ ct) +G(x− ct). (2.2)


Kitaip tariant, jei u yra vienmatės banginės lygties sprendinys, tai egzistuojadvi realiosios funkcijos F,G ∈ C2, tenkinančios (2.2) lygtį. Taip pat, bet kuriosdvi funkcijos F,G ∈ C2 apibrėžia banginės lygties sprendinį naudojant formulę(2.2).

Fiksuotam t0 > 0, funkcijos G(x− ct0) grafikas yra tos pačios formos, kaipfunkcijos G(x) grafikas, išskyrus tai, kad jis yra šiek tiek pastumtas į dešinę peratstumą ct0. Todėl, funkcija G(x− ct) aprašo bangas judančias į dešinę greičiuc. Funkcija F (x+ ct) analogiškai aprašo bangas keliaujančias į kairę tuo pačiugreičiu c.

Lygtis (2.2) rodo, kad bet koks banginės lygties sprendinys yra dviejų to-kių bėgančių bangų suma. Šis pastebėjimas leis mums gauti grafinį sprendiniųatvaizdavimą.

Norėtume praplėsti lygties (2.2) galiojimo ribas. Pastebėkime, kad bet ku-rioms dviem gabalais tolydžioms funkcijoms F,G, lygtis (2.2) apibrėžia gabalaistolydžią funkciją, kuri yra dviejų į priešingas kryptis keliaujančių bangų su-perpozicija. Be to, galima rasti dvi glodžių funkcijų sekas, Fn ir Gn, betkuriame taške konverguojančias į F ir G, bet kuriame uždarame aprėžtameintervale, neturinčiame netolydžių taškų. Funkcija

un(x, t) = Fn(x+ ct) +Gn(x− ct)

yra tinkamas banginės lygties sprendinys, bet ribinė funkcija funkcija u(x, t) =F (x + ct) + G(x − ct) yra ne būtinai du kartus diferenciuojama, ir todėl galinebūti sprendiniu. Sakysime, kad funkcija u(x, t), tenkinanti (2.2) su gabalaistolydžiomis funkcijomis F ir G, yra apibendrintas banginės lygties sprendinys.

Aptarkime bendrąjį banginės lygties sprendinį, t.y. (2.2). Plokštumoje (x, t)dvi šeimos tiesių

x− ct = const, x+ ct = const,

yra vadinamos banginės lygties charakteristikomis Charakteristikos yra tiesėssu krypties koeficientais ±1/c. Pasirodo, kad, kaip ir pirmosios eilės lygtims,„informacija“ perduodama šiomis kreivėmis.

Dabar susipažįstame su viena svarbiausių charakteristikų savybe. Tarkime,kad fiksuotu laiku t0, sprendinys u yra glodi funkcija, išskyrus viename taške(x0, t0). Aišku, arba F nėra glodi taške x0 + ct0 ir/arba funkcija G nėra gloditaške x0−ct0. Yra dvi charakteristikos, kurios eina per tašką (x0, t0). Tai tiesės

x− ct = x0 − ct0, x+ ct = x0 + ct0.

Todėl bet kuriuo laiko momentu t1 6= t0, sprendinys yra glodus, išskyrus vienamear dviejuose taškuose ((t1, x−) ir/arba (t1, x+))

−ct1 = x0 − ct0, x+ + ct1 = x0 + ct0.

Todėl singuliarumai (neglodieji taškai) banginėje lygtyje sklinda tik charakte-ristikomis (žr. 4.1 pav.). Šis reiškinys būdingas hiperbolinėms lygtims, singu-liarumai neišsilygina, o keliauja baigtiniu greičiu. Toks elgesys yra priešingas,nei parabolinėms ir elipsinėms lygtims, kur, kaip bus parodyta tolesniuose sky-riuose, singuliarumai nedelsiant išlygina.

41 Vienmatė banginė lygtis [2015 01 5 (15:27)]4.4 Domain of dependence and region of influence 83

t

x

L

x0 + ct0x0 − ct0

(x0,t0)

R

B

x + ct = x0 + ct0 x − ct = x0 − ct0

∆

Figure 4.1 Domain of dependence.

By the d’Alembert formula

u(x0, t0) = f (x0 + ct0) + f (x0 − ct0)

2+ 1

2c

∫ x0+ct0

x0−ct0

g(s) ds. (4.12)

Therefore, the value of u at the point (x0, t0) is determined by the values of f atthe vertices of the characteristic base and by the values of g along this base. Thus,u(x0, t0) depends only on the part of the initial data that is given on the interval[x0 − ct0, x0 + ct0]. Therefore, this interval is called domain of dependence of uat the point (x0, t0). If we change the initial data at points outside this interval,the value of the solution u at the point (x0, t0) will not change. Information ona change in the data travels with speed c along the characteristics, and thereforesuch information is not available for t ≤ t0 at the point x0. The change will finallyinfluence the solution at the point x0 at a later time. Hence, for every point (x, t) ina fixed characteristic triangle, u(x, t) is determined only by the initial data that aregiven on (part of) the characteristic base (see Figure 4.1). Furthermore, if the initialdata are smooth on this base, then the solution is smooth in the whole triangle.

We may ask now the opposite question: which are the points on the half-planet > 0 that are influenced by the initial data on a fixed interval [a, b]? The set of allsuch points is called the region of influence of the interval [a, b]. It follows from thediscussion above that the points of this interval influence the value of the solutionu at a point (x0, t0) if and only if [x0 − ct0, x0 + ct0] ∩ [a, b] = ∅. Hence the initialdata along the interval [a, b] influence only points (x, t) satisfying

x − ct ≤ b, and x + ct ≥ a.

These are the points inside the forward (truncated) characteristic cone that is definedby the base [a, b] and the edges x + ct = a, x − ct = b (it is the union of the regionsI–IV of Figure 4.2).

Assume, for instance, that the initial data f, g vanish outside the interval [a, b].Then the amplitude of the vibrating string is zero at every point outside the influence

4.1 pav. Grafinis sprendimo metodas.

3. Koši uždavinys ir Dalambero formulė

Koši uždavinys vienmatei homogeninei banginei lygčiai yra

utt − c2uxx = 0, −∞ < x <∞, t > 0, (3.1)

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x),−∞ < x <∞. (3.2)

Klasikinis Koši uždavinio (3.1) - (3.2) sprendinys yra funkcija u, kuri yra 2kartus tolydžiai diferencijuojama visiems t > 0, u ir ut yra tolydžios, kai t ≥ 0,ir tenkinamos lygtys (3.1) - (3.2).

Prisiminkite, kad bendrasis banginės lygties sprendinys turi formą

u(x, t) = F (x+ ct) +G(x− ct). (3.3)

Mūsų tikslas yra rasti F ir G, tenkinančias pradines sąlygas (3.2). Įstatydamit = 0 į (3.3) gauname

u(x, 0) = F (x) +G(x) = f(x). (3.4)

Diferencijuodami (3.3) pagal t ir įstatydami t = 0, turime

ut(x, 0) = cF ′(x)− cG′(x) = g(x). (3.5)

Suintegravę (3.5) intervale [0, x] gauname

F (x)−G(x) =1

c

∫ x

0

g(s)ds+ C, (3.6)

kur C = F (0) − G(0). (3.4) ir (3.6) tiesinė dviejų algebrinių lygčių sistemanežinomiesiems F (x) ir G(x). Šios sistemos sprendinys

F (x) = 12f(x) + 1

2c

∫ x0g(s)ds+ C

2 , (3.7)

G(x) = 12f(x)− 1

2c

∫ x0g(s)ds− C

2 , (3.8)

Įstatome šias išraiškas į sprendinį (3.3), gauname formulę

u(x, t) =f(x+ ct) + f(x− ct)

2+

1

2c

∫ x+ct

x−ctg(s)ds, (3.9)


kuri vadinama Dalambero formule. Atkreipkite dėmesį, kad kartais (3.7) - (3.8)taip pat naudingos, nes jos duoda pirmyn ir atgal sklindančių bangų formules.Toliau pateikiami pavyzdžiai iliustruoja Dalambero formulę.

1 pavyzdys. Nagrinėkime Koši uždavinį

utt − uxx = 0, −∞ < x <∞, t > 0,

u(x, 0) = f(x) =

0 −∞ < x < −1,

x+ 1 −1 ≤ x ≤ 0,

1− x 0 ≤ x ≤ 1

0 1 < x <∞.

ut(x, 0) = g(x) =

0 −∞ < x < −1,

1 −1 ≤ x ≤ 1,

0 1 < x <∞.(a) Raskite u taške (1, 1/2).(b) Aptarkite sprendinio u glodumą.(a) Naudodami Dalambero formulę, randame, kad

u(1,1

2) =

f( 32) + f( 1

2)

2+

1

2

∫ 32

12

g(s)ds.

Kadangi 32> 1, f( 3

2) = 0. Taip pat, 0 ≤ 1

2≤ 1, todėl f( 1

2) = 1

2. Akivaizdu, kad∫ 3

212

g(s)ds =∫ 1

12

1ds = 12. Taigi u(1, 1

2) = 1

2.

(b) sprendinys nėra klasikinis, nes u ∈ C1. Be to, u yra apibendrintas uždaviniosprendinys. Atkreipkite dėmesį, kad nors g nėra tolydi, tačiau sprendinys u yra tolydifunkcija. Singuliarumai sprendinyje sklinda charakteristikomis, kertančiomis singulia-rumus pradinių sąlygų tiesėje t = 0. Tai yra charakteristikos x ± t = −1, 0, 1. Taigi,sprendinys yra glodus taško (1, 1

2) aplinkoje.

Koši uždavinio korektiškumas seka iš Dalambero formulės.

1 teorema. Pasirinkime T > 0. Koši uždavinys (3.1) - (3.2) srityje −∞ < x <∞, 0 ≤ t ≤ T yra korektiškas, jei f ∈ C2(R), g ∈ C1(R).

Įrodymas. Egzistavimas ir vienatis seka iš Dalambero formulės. Iš tiesų, ši for-mulė duoda mums sprendinį, ir parodo, kad bet kuris Koši uždavinio sprendinysbūtinai lygus Dalambero sprendiniui. Atkreipkite dėmesį, kad iš mūsų glodumoprielaidos (f ∈ C2(R), g ∈ C1(R)) seka, kad u ∈ C2(R?(0,∞))

⋂C1(R?[0,∞)),

ir todėl Dalambero sprendinys yra klasikinis.Liko įrodyti Koši uždavinio stabilumą, t.y. turime parodyti, kad nedidelių

pradinių sąlygų pokyčiai sukelia nedidelius sprendinio pokyčius. Tegul ui yradu Koši uždavinio su pradinėmis sąlygomis fi, gi sprendiniai, čia i = 1, 2. Jei|f1(x) − f2(x)| < δ, |g1(x) − g2(x)| < δ, visiems x ∈ R, tada visiems x ∈ R ir0 ≤ t ≤ T

|u1(x, t)− u2(x, t)| ≤ |f1(x+ct)−f2(x+ct)|2 + |f1(x−ct)−f2(x−ct)|

2

+ 12c

∫ x+ct

x−ct |g1(s)− g2(s)|ds ≤ 12 (δ + δ) + 1

2c2ctδ ≤ (1 + T )δ.

43 Vienmatė banginė lygtis [2015 01 5 (15:27)]4.4 Domain of dependence and region of influence 85

t,u

x

3a −5a

−2a 2a

−3a2

−a2

a2

3a2

−a2

a 5a2 2

−a a

2c 2t3 =

at2 = c

at1 =2c

t0 = 0

Figure 4.3 The graphical method.

the present problem these are the points x = ±a. We also draw the lines t = tithat will serve us as the abscissas (x axes) for the graphs of the functions u(x, ti ).Note that the ordinate of the coordinate system is used as the t and the u axes (seeFigure 4.3).

Consider the time t = t1. The forward wave has traveled a/2 units to the right,and the backward wave has traveled a/2 units to the left. The support (the setof points where the function is not zero) of the forward wave at time t1 is theinterval [−a/2, 3a/2], while [−3a/2, a/2] is the support of the backward wave att1. Therefore, the support of the solution at t1 is the interval [−3a/2, 3a/2], i.e. theregion of influence of [−a, a] at t = t1. Now, at the intersection of the supports ofthe two waves (the interval [−a/2, a/2]) u takes the value 1 + 1 = 2, while on theintervals [−3a/2,−a/2), (a/2, 3a/2], where the supports do not intersect, u takesthe value 1. Obviously, u = 0 at all other points.

Consider the time t2 = a/c. The support of the forward (backward) wave is[0, 2a] ([−2a, 0], respectively). Consequently, the support of the solution u is[−2a, 2a], i.e. the region of influence of [−a, a] at t = t2. The intersection ofthe supports of the two waves is the point x = 0, where u takes the value 2. On theintervals [−2a, 0), (0, 2a], u is 1. Obviously, u = 0 at all other points.

At the time t3 = 3a/2c, the support of the forward (backward) wave is[a/2, 5a/2] ([−5a/2,−a/2], respectively), and there is no interaction betweenthe waves. Therefore, the solution at these intervals equals 1, and it equals zerootherwise.

To conclude, the first step of the graphical method is to compute and to draw thegraphs of the forward and backward waves. Then, for a given time t , we shift these

4.2 pav. Grafinis sprendimo metodas.

Todėl, bet kokiam ε > 0, pasirenkame δ < ε/(1 + T ). Tada su visais x ∈ R ir0 ≤ t ≤ T turime

|u1(x, t)− u2(x, t)| < ε.

ut

1 pastaba. 1. Koši uždavinys yra nekorektiškas srityje −∞ < x <∞, t ≥ 0.

2. D’Alembert formulė taip pat teisinga srityje −∞ < x < ∞, T < t ≤ 0,Koši uždavinys taip pat korektiškas šioje srityje. Fizikinė interpretacija –procesas yra grįžtamas.

Grafinis metodas sprendžiant Koši uždavinį bangų lygčiai:


utt − c2uxx = 0−∞ < x <∞, t > 0,

u(x, 0) = f(x) =

2 |x| ≤ a,0 |x| > a.

ut(x, 0) = g(x) = 0, −∞ < x <∞.

Nubraižysime sprendinio u(t, x) grafiką laiko momentais tk = ka/2c, čia k = 0, 1, 2, 3.Taikant Dalambero formulę, užrašome sprendinį u

u(x, t) =f(x+ ct) + f(x− ct)

2.

Kiekvienu momentu t sprendinys u irgi yra gabalais tolydi funkcija, priklausanti nuox, jos reikšmės u = 0, 1, 2.

Plokštumoje (x, t) brėžiame charakteristikų tieses, kurios laiko momentu t = 0eina per taškus, kuriose pradinė funkcija yra neglodi. Šiame uždavinyje tai yra taškai


x = ±a. Taip pat nubraižykime tieses t = tk, kurias naudosime kaip abscises (x ašis),braižydami funkcijų u(x, tk) grafikus. (žr. 4.2 pav.).

Nagrinėkime laiką t = t1. Tiesioginė banga pajudėjo į dešinę per a/2, o atbulinė –į kairę per a/2. Laiko momentu t1 tiesioginė banga nelygi nuliui intervale [−a/2, 3a/2],o atbulinė banga – intervale [−3a/2, a/2]. Todėl, laiko momentu t1 sprendinys nelygusnuliui intervale [−3a/2, 3a/2]. Intervale [−a/2, a/2]) u įgyja reikšmę 1 + 1 = 2, ointervaluose [−3a/2,−a/2), (a/2, 3a/2], kur bangos nesikerta (neinterferuoja), u įgyjareikšmę 1. Akivaizdu, kad u = 0 visur kitur.

Nagrinėkime laiką t2 = a/c. Tiesioginė banga nelygi nuliui intervale [0, 2a], at-bulinė – [−2a, 0]. Todėl sprendinys u nelygus nuliui intervale [−2a, 2a] (taške x = 0funkcija lygi 2, kituose šio intervalo taškuose – 1).

Kai t3 = 3a/2c funkcija u lygi vienetui intervaluose [a/2, 5a/2] ([−5a/2,−a/2])(nėra sąveikos tarp bangų).


utt − uxx = 0, −∞ < x <∞, t > 0,

u(x, 0) = f(x) = 0,−∞ < x <∞,

ut(x, 0) = g(x) =

0 x < 0,

1 x ≥ 0,−∞ < x <∞.

Raskite sprendinių u(x, tk), tk = k, k = 1, 4 grafikus.Pagal Dalambero formulę

u(x, t) =1

2

∫ 0

x−tg(s)ds+

1

2

∫ x+t

0

g(s)ds = −max0, x− t2

+max0, x+ t

2.

Tiesioginė ir atbulinė bangos yra gabalais tiesinės funkcijos, todėl sprendinys u(·, t)bet kokiu laiko momentu t taip pat yra gabalais tiesinė kintamojo x funkcija.

Plokštumoje (x, t) brėžiame charakteristikų tieses sklindančias iš taškų, kur pra-dinės sąlygos nėra glodžios, t.y. x = 0. Taip pat nubraižykime tieses t = tk, kuriasnaudosime kaip abscises (x ašis), braižydami funkcijų u(x, tk) grafikus.

Laiko momentu t = 1, tiesioginė banga pajudėjo vienetu į dešinę, o atbulinė bangą– vienetu į kairę. Tiesioginė banga nelygi nuliui intervale [1,∞), o atbulinė – [−1,∞).Todėl sprendinys nelygus nuliui intervale [−1,∞). Akivaizdu, kad intervale [−1, 1]sprendinys yra tiesinė funkcija u = (x + 1)/2. Intervale [1,∞) tiesioginė banga turikrypties koeficientą −1/2, o atbulinė turi krypties koeficientą 1/2. Todėl sprendinysyra u = 1 (dviejų bangų superpozicija).

Analogiškai piešiamas grafikas, kai t = 4.Sprendinį galima užrašyti kaip

u(x, t) =

0 x < −t,x+t

2−t ≤ x ≤ t

t x > t.

45 Vienmatė banginė lygtis [2015 01 5 (15:27)]

86 The one-dimensional wave equation

two shapes to the right and, respectively, to the left by ct units. Finally, we add thetwo graphs.

In the next example we use the graphical method to investigate the influence ofthe initial velocity on the solution.

Example 4.7 Find the graphs of the solution u(x, ti ), ti = i, i = 1, 4 for the prob-lem

utt − uxx = 0 −∞ < x < ∞, t > 0,u(x, 0) = f (x) = 0, −∞ < x < ∞,

ut (x, 0) = g(x) =

0 x < 0,1 x ≥ 0.

We apply d’Alembert’s formula to write the solution as the sum of forward andbackward waves:

u(x, t) = 1

2

∫ 0

x−tg(s) ds + 1

2

∫ x+t

0g(s) ds = −max0, x − t

2+ max0, x + t

2.

Since both the forward and backward waves are piecewise linear functions, thesolution u(·, t) for all times t is a piecewise linear function of x .

We draw in the plane (x, t) the characteristics emanating from the points wherethe initial condition is nonsmooth. In our case this happens at just one point, namelyx = 0. We also depict the lines t = ti that form the abscissas for the graph of u(x, ti )(see Figure 4.4).

t = 1

1 4

t = 4

−4 −1

x = t

x

x = −t

t,u

t = 0

Figure 4.4 The graphical solution for Example 4.7.

4.3 pav. 3 pavyzdzio grafinis sprendimas.

5 skyrius

Kintamųjų atskyrimo metodas

1. Įvadas

Furjė metodas yra vienas iš dažniausiai taikomų ir efektyvių diferencialinių lyg-čių dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodų. Pavadinimai: kintamųjų atskyri-mo metodas, tikrinių reikšmių metodas, Furjė metodas.

Bendra schema: pagrindinė ideja – uždavinio sprendimas suvedamas į pa-galbinių uždavinių su mažesniu kintamųjų skaičiumi sprendimą. Jei uždavinysyra dvimatis, tai pagalbiniai uždaviniai priklauso nuo vieno kintamojo. Taigidiferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimas suvedamas į paprastųjųdiferencialinių lygčių sprendimą.

2. Šilumos laidumo lygtis su homogeninėmis kraštinėmissąlygomis

Nagrinėkime tokį šilumos laidumo uždavinį baigtiniame intervale:

ut − kuxx = 0 0 < x < L, t > 0, (2.1)

u(0, t) = u(L, t) = 0 t ≥ 0, (2.2)

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (2.3)

kur f yra pradinės sąlygos, o k yra teigiama konstanta. Siekiant, kad (2.2) būtųsuderinama su (2.3), tarkime, kad išpildyta suderinamumo sąlyga

f(0) = f(L) = 0.

Lygtis ir sritis schematiškai pavaizduotos 5.1 pav. Šilumos laidumo lygtis aprašotemperatūros raidą vienalyčiame šilumai laidžiame ilgio L strype (t.y. strypasyra siauras, o jo šonuose palaikoma pastovi temperatūra). Strypo temperatūrapradiniu laiko momentu t = 0 yra žinoma.

Tarsime, kad sistemoje nėra vidinių šaltinių, kurie šildo arba vėsina sistemą.Uždavinys (2.1) - (2.3) yra pradinis kraštinis uždavinys, kuris yra tiesinis irhomogeninis. Sąlyga (2.2) vadinama Dirichlet sąlyga. Šio skyriaus pabaigoje,taip pat aptarsime kitas kraštines sąlygas. Ieškosime sprendinių, kurie tenkinalygtį (2.1) ir kraštines sąlygas (2.2), bei turi tokią formą

u(x, t) = X(x)T (t), (2.4)

Diferencialines lygtys 48100 The method of separation of variables

u(x,0) = f (x) L

t

x

ut − kuxx = 0

u=

0

u=

0

Figure 5.1 The initial boundary value problem for the heat equation together withthe domain.

We assume that there is no internal source that heats (or cools) the system. Notethat the problem (5.1)–(5.3) is an initial boundary value problem that is linear andhomogeneous. Recall also that the boundary condition (5.2) is called the Dirichletcondition. At the end of the present section, we shall also discuss other boundaryconditions.

We start by looking for solutions of the PDE (5.1) that satisfy the boundaryconditions (5.2), and have the special form

u(x, t) = X (x)T (t), (5.4)

where X and T are functions of the variables x and t , respectively. At this step wedo not take into account the initial condition (5.3). Obviously, we are not interestedin the zero solution u(x, t) = 0. Therefore, we seek functions X and T that do notvanish identically.

Differentiate the separated solution (5.4) once with respect to t and twice withrespect to x and substitute these derivatives into the PDE. We then obtain

X Tt = k Xxx T .

Now, we carry out a simple but decisive step – the separation of variables step.We move to one side of the PDE all the functions that depend only on x and to theother side the functions that depend only on t . We thus write

Tt

kT= Xxx

X. (5.5)

Since x and t are independent variables, differentiating (5.5) with respect to timplies that there exists a constant denoted by λ (which is called the separationconstant) such that

Tt

kT= Xxx

X= −λ. (5.6)

5.1 pav. Pradinis krastinis uzdavinys silumos laidumo lygciai ir jo sritis.

kur X ir T yra kintamųjų x ir t funkcijos. Kol kas neatsižvelgsime į pradinęsąlygą (2.3). Mūsų nedomina nulinis sprendinys u(x, t) = 0. Todėl ieškosimefunkcijų X ir T , kurios nėra tapatingai lygios nuliui.

Differencijuokime atskirtąjį sprendinį (2.4) vieną kartą t atžvilgiu ir du kar-tus x atžvilgiu. Įstatykime gautas išvestines į lygtį,

XTt = kXxxT.

Dabar, atliksime paprastą, bet svarbų žingsnį – kintamųjų atskyrimą. Į vienąlygybės pusę sukelkime funkcijas priklausančias tik nuo x, o į kitą – tik nuo t

TtkT

=Xxx

X. (2.5)

x ir t yra nepriklausomi kintamieji. Diferencijuokime (2.5) t atžvilgiu, matome,kad egzistuoja konstanta λ (vadinama atskyrimo konstanta) tokia, kad

TtkT

=Xxx

X= −λ. (2.6)

Lygtis (2.6) susiveda į šią paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą:

d2X

dx2= −λX, (2.7)

dT

dt= −λkT, (2.8)

Lygtys yra susietos tik atskyrimo konstanta λ. Funkcija u tenkina kraštinessąlygas (2.2), tada ir tik tada, kai

u(0, t) = X(0)T (t) = 0, u(L, t) = X(L)T (t) = 0.

Kadangi u – ne trivialus sprendinys

X(0) = X(L) = 0.

Todėl X turėtų būti kraštinio uždavinio sprendinys

d2X

dx2+ λX = 0, (2.9)

X(0) = X(L) = 0. (2.10)

49 Kintamųjų atskyrimo metodas [2015 01 5 (15:27)]

Nagrinėkime sistemą (2.9) - (2.10). Netrivialus šios sistemos sprendinys yravadinamas tikrine funkcija atitinkančia tikrinę reikšmę λ. Uždavinys (2.9) -(2.10) vadinamas tikrinės reikšmės uždaviniu. Kraštinė sąlyga (2.10) vadinama(kaip ir DL dalinėmis išvestinėmis atveju) Dirichlet kraštine sąlyga.

Atkreipkite dėmesį, kad uždavinys (2.9) - (2.10) nėra pradinis kraštinis užda-vinys paprastąjai DL. (žinome, kad jai egzistuoja vienintelis sprendinys). Grei-čiau, tai yra kraštinis uždavinys. Iš anksto neaišku, ar egzistuoja sprendinysbet kokiai λ reikšmei. Kita vertus, jei sugebėsime užrašyti bendrąjį sprendi-nį visoms λ, tada reikia tik patikrinti, kokioms λ sprendinys tenkina pradinessąlygas.

(2.9) yra gana paprasta. Tai yra antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis supastoviais koeficientais, ir bendrasis sprendinys yra tokios formos:

• Jei λ < 0, tada X(x) = αe√−λx + βe

√−λx,

• Jei λ = 0, tada X(x) = α+ βx,

• Jei λ > 0, tada X(x) = α cos(√λx) + β sin(

√λx),

kur α, β yra bet kokie realieji skaičiai.Darysime prielaidą, kad λ yra realus, o ne kompleksinis skaičius (bet ir tuo

sprendimas yra panašus).Neigiama tikrinė reikšmė (λ < 0). Bendrąjį sprendinį galime užrašyti

patogesne forma vietoj eksponenčių naudodami hiperbolines trigonometrinesfunkcijas:

X(x) = αch√−λx+ βsh

√−λx (2.11)

ch yra griežtai teigiama funkcija, o sh s turi vienintelę šaknį s = 0. KadangiX(0) = 0, α = 0. Iš antrosios kraštinės sąlygos X(L) = 0 seka, kad β = 0.Todėl uždavinys turi tik trivialų sprendinį, t.y. tikrinis uždavinys (2.9) - (2.10)neturi neigiamų tikrinių reikšmių.

Nulinė tikrinė reikšmė (λ = 0). Bendrasis sprendinys yra tiesinė funk-cija X(x) = α + βx, turinti daugiausiai vieną šaknį (netrivialiu atveju). Taigigauname, kad tikrinė reikšmė negali būti lygi nuliui.

Teigiama tikrinė reikšmė (λ > 0). Bendrasis sprendinys, kai λ > 0, yra

X(x) = α cos(√λx) + β sin(

√λx). (2.12)

Įstatome jį į X(0) = 0, gauname α = 0. Iš kraštinės sąlygos X(L) = 0 seka,kad sin(

√λL) = 0. Taigi

√λL = nπ, čia n ∈ N. Neigiamų n nenagrinėsime,

nes jie atitinka tas pačias tikrines reikšmes ir funkcijas. Todėl, λ > 0 yra tikrinėreikšmė, tada ir tik tada:

λ =(nπL

)2

, n = 1, 2, 3, . . .

Atitinkamos tikrinės funkcijos yra

X(x) = sinnπx

L


Visi (2.9) - (2.10) sprendiniai yra begalinė tikrinių funkcijų seka. Kiekvienaiš jų turi atitinkamą tikrinę reikšmę. Patogu pažymėti:

Xn(x) = sinnπx

L, λn =

(nπL

)2

, n = 1, 2, 3, . . .

Prisiminkite iš tiesinės algebros, kad tikrinės reikšmės turi kartotinumą m, jeitikrinių vektorių erdvė yra m-matė. Tikrinė reikšmė, turinti kartotinumą 1, yravadinama paprastąja. Naudodami tą pačią terminologiją, matome, kad visostikrinių reikšmių uždavinio (2.9) - (2.10) tikrinės reikšmės λn yra paprastosios.

Grįžkime prie diferencialinės lygties (2.8). Bendrasis sprendinys yra

T (t) = Be−kλt.

Įstatome λn, gauname

Tn(t) = Bne−k(nπL )2t n = 1, 2, 3, . . . (2.13)

Mus domina fizikinę prasmę turintys laike gęstantys sprendiniai. Vadinasi, λ >0. Todėl galime iš anksto spėti, kad uždavinys (2.9) - (2.10) turi tik teigiamastikrines reikšmes.

Taigi gavome atskirųjų sprendinių seką

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = Bn sinnπx

Le−k(nπL )2t n = 1, 2, 3, . . . (2.14)

Iš superpozicijos principo aišku, kad bet kuri tiesinė kombinacija

u(x, t) =

N∑n=1

Bn sinnπx

Le−k(nπL )2t (2.15)

taip pat yra šilumos laidumo lygties sprendinys, tenkinantis Dirichlet kraštinessąlygas.

Dabar nagrinėkime pradines sąlygas. Tarkime, jos turi formą

f(x) =

N∑n=1

Bn sinnπx

L

t.y. tikrinių funkcijų tiesinė kombinacija. Tada šilumos laidumo lygties spren-dinys yra

u(x, t) =

N∑n=1

Bn sinnπx

Le−k(nπL )2t.

Taigi, galima išspręsti uždavinį tam tikrai pradinių sąlygų klasei.Natūralu klausti, kaip išspręsti turint kitokias pradines sąlygas?Puiki (nors ir ne visiškai tuo metu pagrįsta) Furjė idėja buvo ta, kad bet

kokią funkciją f , tenkinančią kraštines sąlygas galima išskleisti, kaip begalinę


tikrinių funkcijų sin(nπx/L) tiesinę kombinaciją. Kitaip tariant, galime rastikonstantas Bn tokias, kad

f(x) =

∞∑n=1

Bn sinnπx

L. (2.16)

Tokia eilutė vadinama (apibendrinta) funkcijos f Furjė eilute, Bn, n = 1, 2, . . .vadinami (apibendrintais) Furjė koeficientais.

Apibendrinsime superpozicijos principą ir taikysime jį ir begalinėms atskir-tų sprendinių eilutėms. Tokią eilutę vadinsime apibendrintuoju sprendiniu, jeieilutė tolygiai konverguoja kiekviename stačiakampyje, telpančiame į sritį, kursprendinys yra apibrėžtas. Šis apibrėžimas panašus į banginės lygties apibend-rintuosius sprendinius nagrinėtus 4 skyriuje.

Mūsų atveju apibendrintasis superpozicijos principas reiškia, kad formaliišraiška

u(x, t) =

∞∑n=1

Bn sinnπx

Le−k(nπL )2t. (2.17)

yra geras kandidatas būti (2.1) - (2.3) sprendiniu. „Formali“ reiškia, kad mesignoruosime konvergavimo, tolydumo ir glodumo klausimus, o differencijuosimepanariui.

Prieš įrodinėdami, kokiomis sąlygomis (2.17) iš tiesų yra sprendinys, reikiapaaiškinti, kaip skleisti funkciją f Furjė eilute.

Į šį klausimą galime atsakyti remdamiesi prielaida, kad Furjė eilutė f kon-verguoja tolygiai. Pasirinkime m ∈ N ir padauginkime Furjė eilutę (2.17) ištikrinių funkcijų sin(mπx/L). Tada suintegruokime panariui intervale [0, L].Gauname ∫ L

0

sinmπx

Lf(x)dx =

∞∑n=1

Bn

∫ L

0

sinmπx

Lsin

nπx

Ldx. (2.18)

Lengva patikrinti, kad∫ L

0

sinmπx

Lsin

nπx

Ldx =

0 m 6= n

L/2 m = n(2.19)

Todėl, Furjė koeficientai

Bm =

∫ L0

sin mπxL f(x)dx∫ L

0sin2 mπx

L dx=

2

L

∫ L

0

sinmπx

Lf(x)dx, m = 1, 2, . . . (2.20)

Taigi, iš to išplaukia, kad funkcijos f Furjė koeficientai ir Furjė eilutė yra vie-nareikšmiškai nustatomi. Todėl, (2.17), kartu su (2.20) formule formaliai yrašilumos lygties sprendinys. Turėdami pradines sąlygas f , galime apskaičiuotiFurjė koeficientus ir rasti sprendinį išreikštame pavidale.


3. Kintamųjų atskyrimas bangų lygčiai

Taikysime kintamųjų atskyrimo metodą vibruojančiai stygai nesant išorinių jė-gų (stygos galai įtvirtinti). Tegul u(x, t) yra stygos amplitudė taške x, laikomomentu t, ir tegul f ir g būna stygos amplitudė ir greitis laiko momentu t = 0.Mums reikia išspręsti uždavinį

utt − c2uxx = 0 0 < x < L, t > 0, (3.1)

ux(0, t) = ux(L, t) = 0 t ≥ 0, (3.2)

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (3.3)

ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ L, (3.4)

čia f , g yra žinomos funkcijos ir c yra teigiama konstanta. Suderinamumosąlygos yra

f ′(0) = f ′(L) = g′(0) = g′(L) = 0.

Uždavinys (3.1) - (3.4) yra tiesinis pradinis kraštinis uždavinys. Kaip minėta,sąlygos (3.2) yra vadinamas Neumann kraštinėmis sąlygomis. Prisiminkime,kad pirmajame metodo žingsnyje reikia rasti netrivialų atskirtąjį lygties (3.1)sprendinį, t.y.

u(x, t) = X(x)T (t), (3.5)

kuris tenkina kraštines sąlygas (3.2). Čia, kaip įprasta, X, T yra kintamųjų xir t funkcijos. Šiame etape nereikia atsižvelgti į pradines sąlygas (3.3) - (3.4).

Diferencijuojame atskirtąjį sprendinį (3.5) du kartus x atžvilgiu bei du kar-tus t atžvilgiu. Tada įstatome į banginę lygtį

XTtt = c2XxxT.

Atskiriame kintamuosius,Tttc2T

=Xxx

X. (3.6)

Taigi egzistuoja tokia konstanta λ, kad

Tttc2T

=Xxx

X= −λ. (3.7)

Iš (3.7) lygties seka,

d2X

dx2= −λX, 0 < x < L (3.8)

d2T

dt2= −λc2T, t > 0. (3.9)

Pasinaudodami kraštinėmis sąlygomis (3.2) gauname

ux(0, t) =dX

dx(0)T (t) = 0, ux(L, t) =

dX

dx(L)T (t) = 0.


Kadangi u – ne trivialusis sprendinys, tai

dX

dx(0) =

dX

dx(L) = 0.

Todėl funkcija X turi būti tikrinių reikšmių uždavinio sprendiniu

d2X

dx2+ λX = 0, (3.10)

dX

dx(0) =

dX

dx(L) = 0. (3.11)

Šis tikrinių reikšmių uždavinys taip pat vadinamas Neumann uždavinys.Jau užrašėme bendrajį DL (3.10) sprendinį:

• Jei λ < 0, tada X(x) = αch√−λx+ βsh

√−λx,

• Jei λ = 0, tada X(x) = α+ βx,

• Jei λ > 0, tada X(x) = α cos(√λx) + β sin(

√λx),

čia α, β yra bet kokie realieji skaičiai.Neigiama tikrinė reikšmė (λ < 0). Kadangi dX/dx(0) = 0, β = 0.

Iš antrosios kraštinės sąlygos dX/dx(L) = 0 seka, kad sh√−λL = 0. Todėl

uždavinys turi tik trivialų sprendinį, t.y. tikrinis uždavinys (3.10) - (3.11) neturineigiamų tikrinių reikšmių.

Nulinė tikrinė reikšmė (λ = 0). Bendrasis sprendinys yra tiesinė funkcijaX(x) = α+βx. Taigi gauname, kad λ = 0 yra tikrinė reikšmė atitinkanti tikrinęfunkciją X0(x) ≡ 1.

Teigiama tikrinė reikšmė (λ > 0). Bendrasis sprendinys, kai λ > 0, yra

X(x) = α cos(√λx) + β sin(

√λx). (3.12)

Įstatome jį į dX/dx(0) = 0, gauname β = 0. Iš kraštinės sąlygos dX/dx(L) = 0seka, kad sin(

√λL) = 0. Taigi

√λL = nπ, čia n ∈ N. Taigi, λ > 0 yra tikrinė

reikšmė, tada ir tik tada:

λ =(nπL

)2

, n = 1, 2, 3, . . .

Atitinkamos tikrinės funkcijas yra

X(x) = cosnπx

L

Tikrinių reikšmės uždavinio (3.10) sprendiniai (3.11) yra begalinė seka ne-neigiamų nekartotonių tikrinių reikšmių ir jas atitinkančių tikrinių funkcijų.Naudokime žymėjimus:

Xn(x) = cosnπx

L, λn =

(nπL

)2, n = 1, 2, 3, . . .


Dabar nagrinėsime DL dalinėmis išvestinėmis (3.9), kai λ = λn. Sprendiniai

T0(t) = γ0 + δ0t, (3.13)

Tn(t) = γn cos(√λnc2t) + δn sin(

√λnc2t) n = 1, 2, 3, . . . (3.14)

Taigi, pradinio kraštinio uždavinio sprendinių sandauga

u0(x, t) = X0(x)T0(t) = A0+B0t2 , (3.15)

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = cos nπxL

(An cos cπntL +Bn sin cπnt

L

), n = 1, 2, 3, . . .(3.16)

Pritaikykime (apibendrintą) superpozicijos principą,

u(x, t) =A0 +B0t

2+

∞∑n=1

(An cos

cπnt

L+Bn sin

cπnt

L

)cos

nπx

L(3.17)

yra (apibendrintas, arba bent jau formalus) uždavinio (3.1) - (3.4) sprendinys. ĮPavyzdys 5.2 rodo, kad sprendinys (3.17) gali būti nagrinėjimas kaip tiesioginėsir atbulinės bangų superpozicija. Kitaip tariant, sprendinys (3.17), taip yraapibendrintas banginės lygties sprendinys, kaip apibrėžėme 4 skyriuje.

Belieka rasti sprendinio (3.17) koeficientus An, Bn. Čia naudosime pradi-nes sąlygas. Tarkime, kad pradiniai duomenys f , g gali būti išskleisti Furjėeilutėmis, ir kad šios eilutės tolygiai konverguoja. Tai yra,

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnπx

L, (3.18)

g(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnπx

L, (3.19)

f ir g Furjė koeficientai gali būti rasti dauginant (3.18) iš tikrinių funkcijųcos(mπx/L), ir tada integruojant intervale [0, L]. Gauname∫ L

0

cosmπx

Lf(x)dx =

a0

2

∫ L

0

cosmπx

Ldx+

∞∑n=1

an

∫ L

0

cosmπx

Lcos

nπx

Ldx.

(3.20)Lengvai patikrinti, kad

∫ L

0

cosmπx

Lcos

nπx

Ldx =

0 m 6= nL/2 m = n 6= 0L m = n = 0.

(3.21)

Todėl, funkcijos f Furjė koeficientai yra

a0 = 2

∫ L0f(x)dx∫ L

01dx

=2

L

∫ L

0

f(x)dx. (3.22)


am =

∫ L0

cos mπxL f(x)dx∫ L0

cos2 mπxL dx

=2

L

∫ L

0

cosmπx

Lf(x)dx, m = 1, 2, . . . (3.23)

Funkcijos g Furjė koeficientai an gali būti skaičiuojami panašiai. Įstatome t =0 į (3.17), ir darome prielaidą, kad atitinkamos eilutės konverguoja tolygiai,gauname

u(x, 0) =A0

2+

∞∑n=1

An cosnπx

L= f(x) =

a0

2+

∞∑n=1

an cosnπx

L

Prisiminkite, kad (apibendrintieji) Furjė koeficientai randami vienareikšmiškai,todėl An = an ∀n ≥ 0. Kad apskaičiuotumėm Bn, formaliai diferencijuosime(3.17) panariui pagal t ir įstatysime t = 0. Gauname

ut(x, 0) =B0

2+

∞∑n=1

Bn coscπn

Lcos

nπx

L= g(x) =

a0

2+

∞∑n=1

an cosnπx

L.

Todėl, Bn = anL/cπn visiems n ≥ 1. Panašiai B0 = a0. Taigi, uždavinys yraišspręstas. Vienaties klausimas bus svarstomas šio skyriaus pabaigoje.

Yra didelis skirtumas tarp šilumos laidumo uždavinio sprendinio (2.17) ir for-malaus sprendinio (3.17). Kiekvienas šilumos laidumo sprendinio (2.17) naristuri gęstantį eksponentinį daugiklį, kuris yra atsakingas už glodinimo efektą, kait > 0. Priešingai (3.17) lygtyje yra trigonometriniai, o ne gęstantys daugikliai.Tai susije su tuo, kad hiperbolinė lygtis išsaugoja duotujų duomenų ypatumus,taigi apibendrintų Furjė koeficientų gęsimo greitis ( iki nulio) dažniausiai pri-klauso nuo šios funkcijos glodumo (su prielaidą, kad ši funkcija tenkina kraštinessąlygos).

Pavyzdys 5.2 Išspręskite uždavinį

utt − 4uxx = 0 0 < x < 1, t > 0,ux(0, t) = ux(1, t) = 0 t ≥ 0,u(x, 0) = f(x) = cos2 πx 0 ≤ x ≤ 1,ut(x, 0) = g(x) = sin2 πxcosπx 0 ≤ x ≤ 1.

(3.24)

Buvo įrodyta, kad (3.24) uždavinio sprendinys turi pavidalą

u(x, t) =A0 +B0t

2+

∞∑n=1

(An cos 2nπt+Bn sin 2nπt) cosnπx. (3.25)

Įstatome f į (3.25) ir gauname

u(x, 0) =A0

2+

∞∑n=1

An cosnπx = cos2 πx. (3.26)

Funkcijos f Furjė eilutė yra lengvai randama naudojant trigonometrinę tapatybęcos2 πx = 1

2 + 12 cos 2πx. Kadangi Furjė koeficientai nustatomi vienareikšmiškai,


galima padaryti išvadą, kad

A0 = 1, A2 =1

2An = 0 ∀n 6= 0, 2. (3.27)

Diferencijuodami sprendinį pagal t ir įstatatydami ut(x, 0) į antrąją pradinęsąlygą, gauname

ut(x, 0) =B0

2+

∞∑n=1

Bn2nπ cosnπx = sin2 πx cosπx. (3.28)

Panašiai, funkcijos g Furjė eilutė gaunama naudojant trigonometrinę tapatybęsin2 πx cosπx = 1

4 cosπx− 14 cos 3πx. Iš eilutės vienareikšmiškumo seka

B1 =1

8π, B3 =

1

24πBn = 0 ∀n 6= 1, 3.

Todėl

u(x, t) =1

2+

1

8πsin 2πt cosπx+

1

2cos 4πt cos 2πx− 1

24πsin 6πt cos 3πx. (3.29)

Kadangi (3.29) lygtyje yra tik baigtinis skaičius (glodžių) dėmenų, galima tiesiogpatikrinti, kad u yra klasikinis uždavinio sprendinys.

4. Energetinis metodas ir vienatis

Energetinis metodas yra vienas iš pagrindinių įrankių DL dalinėmis išvestinėmisteorijoje. Dažnai taikomas įrodinėjant sprendinio vienatį. Metodas yra pagrįs-tas energijos tvermės dėsniu. Norint įrodyti sprendinio vienatį pakanka įrodytitą homogeninei lygčiai su nulinėmis kraštinėmis ir pradinėmis sąlygomis.

Homogeniniams uždaviniams galima parodyti, kad energijos integralas yraneneigiama ir nedidėjanti laiko t funkcija. Be to, kai t = 0 energija lygi nuliuiir todėl, lygi nuliui visiems t ≥ 0. Energetinį metodą taikysime nagrinėtiemsšiame skyriuje pradiniams ir kraštiniams uždaviniams.

1 pavyzdys. Nagrinėkime Neumano uždavinį vibruojančiai stygai

utt − c2uxx = F (x, t) 0 < x < L, t > 0, (4.1)

ux(0, t) = a(t), ux(L, t) = b(t) t ≥ 0, (4.2)

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (4.3)

ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ L. (4.4)

Tegul u1, u2 yra du uždavinio sprendiniai. Pagal superpozicijos principą funkcijaw := u1 − u2 yra tokio uždavinio sprendinys

wtt − c2wxx = 0 0 < x < L, t > 0, (4.5)

wx(0, t) = 0, wx(L, t) = 0 t ≥ 0, (4.6)

w(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ L, (4.7)

wt(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ L. (4.8)


Apibrėžkime sprendinio w bendrą energiją laiko momentu t kaip

E(t) :=1

2

∫ L

0

(w2t + c2w2

x)dx. (4.9)

Pirmasis sumos narys yra stygos bendra kinetinė energija, o antrasis yra bendra po-tencinė energija. Akivaizdu, kad E išvestinė

E′(t) =d

dt

[1

2

∫ L

0

(w2t + c2w2

x)dx]

=

∫ L

0

(wtwtt + c2wxwxt)dx. (4.10)

Tačiauc2wxwxt = c2

[ ∂∂x

(wxwt)− wxxwt]

= c2∂

∂x(wxwt)− wttwt.

Įstatant šią tapatybę į (4.10) gauname

E′(t) = c21

2

∫ L

0

∂

∂x(wxwt)dx = c2(wxwt)|L0 . (4.11)

Kraštinė sąlyga (4.6) reiškia, kad E′(t) = 0, todėl E(t) = const ir energija yra pastovi.Kai t = 0, w(x, 0) = 0, todėl wx(x, 0) = 0. Be to, wt(x, 0) = 0. Taigi energija laiko

momentu t = 0 yra lygi nuliui. Vadinasi, E(t) ≡ 0.Kadangi energijos tankis e(x, t) := w2

t + c2w2x ≥ 0, ir jo integralas intervale [0, L]

yra lygus nuliui, tai w2t + c2w2

x ≡ 0, tai reiškia, kad wt(x, t) = wx(x, t) ≡ 0. Taigi,w(x, t) ≡ const. Pagal pradines sąlygas w(x, 0) = 0, vadinasi, w(x, t) ≡ 0. Tai užbaigiauždavinio (4.1) - (4.4) sprendinio vienaties įrodymą.

2 pavyzdys. Ankstesniam uždavinyje vietoj (nehomogeninių) Neumano kraštinių sąly-gų imkime Dirichle kraštinės sąlygas

u(0, t) = a(t), u(L, T ) = b(t), t ≥ 0.

Analogiškai ankstesniam uždaviniui naudosime tą patį energijos integralą ir atliksimetuos pačius veiksmus. Gauname funkcijai w

E′(t) = c2(wxwt)|L0 . (4.12)

Kadangi, w(0, t) = w(L, t) = 0, tai wt(0, t) = wt(L, t) = 0, todėl, E′(t) = 0 ir šiuoatveju energija irgi išsilaiko. Įrodymo pabaiga lygiai tokia pati kaip ir ankstesniamepavyzdyje.

3 pavyzdys. Energetinis metodas taip pat gali būti taikomas šilumos laidumo uždavi-niui. Nagrinėkime Dirichle uždavinį

ut − kuxx = F (x, t) 0 < x < L, t > 0, (4.13)

ux(0, t) = a(t), ux(L, t) = b(t) t ≥ 0, (4.14)

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (4.15)

Kaip jau buvo paaiškinta, turime įrodyti, kad jei w yra homogeninio uždavinio sunulinėmis pradinemis ir kraštinėmis sąlygomis sprendinys, tada w = 0. Šiuo atveju,apibrėžkime energiją:

E(t) :=1

2

∫ L

0

w2dx. (4.16)


Išvestinė pagal laiką

E′(t) =d

dt

[1

2

∫ L

0

w2dx]

=

∫ L

0

wwtdx =

∫ L

0

kwwxxdx. (4.17)

Integruojant dalimis ir įstatant kraštines sąlygas, gauname

E′(t) = kwwx|L0 −∫ L

0

k(wx)2dx = −∫ L

0

k(wx)2dx ≤ 0,

todėl energija nedidėja. Iš E(0) = 0 ir E(t) ≥ 0 seka, kad E ≡ 0. Todėl visiems t ≥ 0,w(·, t) ≡ 0 ir vienatis įrodyta. Toks pats įrodymas yra ir Neumano uždaviniui ir netgikai yra trečiojo tipo kraštinė sąlyga:

u(0, t)− αux(0, t) = a(t), u(L, t) + βux(L, t) = b(t), t ≥ 0,

kai α, β ≥ 0.

7 skyrius

Elipsinės lygtys

1. Įvadas

Šiame skyriuje nagrinėsime elipsines lygtis, ir, vieną iš svarbiausių elipsinių lyg-čiu – Laplaso lygtį:

∆u = 0. (1.1)

2. Elipsinių uždavinių pagrindinės savybės

Nagrinėkime dviejų nepriklausomų kintamųjų funkciją u(x, y), nors didžiają dalįteiginių galima nesunkiai apibendrinti daugiamačiams uždaviniams. Paprastu-mo dėlei nagrinėsime kanonines lygtis, bet nebūtinai homogenines. Tegul D yrasritis plokštumoje (netuščia, atvira ir jungi aibė D ⊂ R2). Laplaso lygtis

∆u := uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ D (2.1)

Funkcija u, tenkinti (2.1), vadinama harmonine funkcija.Laplaso lygtis yra Puasono lygties

∆u = F (x, y), (2.2)

atskiras atvejis, čia F yra žinoma funkcija. Lygtį (2.2) Prancūzijos matematikasSimeon Poisson (1781-1840) taikė sprendžiant įvairius uždavinius susijusius sutechnika, gravitacija, elektra ir magnetizmu. Todėl ji ir vadinama Puasonolygtimi.

1 apibrėžimas. Puasono lygtis (2.2) ir Dirichlė kraštinė sąlyga

u(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D (2.3)

su duotąja funkciją g sudaro Dirichlė uždavinį.

7.1 paveikslas iliustruoja Puasono lygtį su Dirichlė kraštine sąlyga.

2 apibrėžimas. Puasono lygtis (2.2) ir Neumano kraštinė sąlyga

∂nu(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D (2.4)

su duotąja funkciją g, čia ~n žymi vienetinę išorinę normalę ant krašto ∂D ir ∂nžymi išvestine ~n kryptimi (t. y. ∂n = ~n · ∇), sudaro Neumano uždavinį.


174 Elliptic equations

The Laplace equation is a special case of a more general equation:

u = F(x, y), (7.3)

where F is a given function. Equation (7.3) was used by the French mathematicianSimeon Poisson (1781–1840) in his studies of diverse problems in mechanics,gravitation, electricity, and magnetism. Therefore it is called Poisson’s equation.In order to obtain a heuristic understanding of the results to be derived below, it isuseful to provide Poisson’s equation with a simple physical interpretation. For thispurpose we recall from the discussion in Chapter 1 that the solution of Poisson’sequation represents the distribution of temperature u in a domain D at equilibrium.The nonhomogeneous term F describes (up to a change of sign) the rate of heatproduction in D. For the benefit of readers who are familiar with the theory ofelectromagnetism, we point out that u could also be interpreted as the electricpotential in the presence of a charge density −F .

In order to obtain a unique temperature distribution, we must provide conditionsfor the temperature (or temperature flux) at the boundary ∂D. There are severalbasic boundary conditions (see the discussion in Chapter 1).

Definition 7.1 The problem defined by Poisson’s equation and the Dirichlet bound-ary condition

u(x, y) = g(x, y) (x, y) ∈ ∂D, (7.4)

for a given function g, is called the Dirichlet problem. In Figure 7.1 we depict theproblem schematically.

Definition 7.2 The problem defined by Poisson’s equation and the Neumannboundary condition

∂nu(x, y) = g(x, y) (x, y) ∈ ∂D, (7.5)

D

u=g

∆u =F

∂D

Figure 7.1 A schematic drawing for the Poisson equation with Dirichlet boundaryconditions.7.1 pav. Puasono lygtis su Dirichle krastine salyga.

3 apibrėžimas. Puasono lygtis (2.2) ir trečiojo tipo kraštinė sąlyga

u(x, y) + α(x, y)∂nu(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D. (2.5)

čia α ir g duotosios funkcijas, sudaro trečiojo tipo (Robino) uždavinį.Taikymuose sritis dažnai būna kampuota, pavyzdžiui, stačiakampis. Prie

kampo kraštas yra nediferencijojamas, todėl sprendinys nevisada yra toks glo-dus, kaip mes norėtume. Šiame skyriuje, nagrinėsime tik klasikinius sprendi-nius, t.y. sprendinius, priklausančius C2(D). Kartais reikės papildomų sąlygųant krašto. Kartais turi apsiriboti sprendiniais iš C1(D).

Nagrinėkime Neumano uždavinį. Šilumos srautas per kraštą turi būti lygusšilumos šaltinių srities viduje pagaminamam šilumos kiekiui (šilumos balansas).Šis paprastas argumentas yra sekančios lemos fizinė apraiška.1 lema. Neumano uždavinio sprendinio egzistavimui būtina sąlyga yra∫

∂D

g(x(s), y(s))ds =

∫D

F (x, y)dxdy, (2.6)

kur (x(s), y(s)) yra ∂D parametrizavimas.

Įrodymas. Yra žinoma, kad ∆u = ~∇·~∇u. Todėl galima užrašyti Puasono lygtįkaip

~∇·~∇u = F. (2.7)

Integruojant abi lygybės puses srityje D ir naudojant Gauso teoremą, gau-name ∫

∂D

~∇u · ~nds =

∫D

Fdxdy.

Lemos teiginys seka iš kryptinės išvestinės apibrėžimo ir iš kraštinių sąlygų. ut

Pastebėkime, kad harmoninėms funkcijoms, t.y. Laplaso lygties (F = 0)sprendiniams teisinga ∫

Γ

∂nuds = 0 (2.8)

bet kuriai uždarai kreivėi Γ, priklausančiai D.

63 Elipsinės lygtys [2015 01 5 (15:27)]

3. Maksimumo principas

Maksimumo principas yra labai svarbus įrankis antros eilės elipsinių lygčių ty-rime. Pirmiausia užrašysime "silpnąją" šio principo forma.

1 teorema. [silpnas maksimumo principas] Tegul D yra aprėžta sritis, ir u(x, y) ∈C2(D)∩C(D) yra harmoninė funkcija srityje D. Tada funkcijos u maksimumasD pasiekimas ant krašto ∂D.

Įrodymas. Nagrinėkime funkciją v(x, y) ∈ C2(D) ∩ C(D) tenkinančią sąlygą∆v > 0 srityje D. Parodysime, kad funkcija v negali turėti lokalaus maksimumoD. Iš matematinės analizės kurso žinoma, kad, jei (x0, y0) ∈ D yra funkcijos vlokalaus maksimumo taškas, tai ∆v ≤ 0, o tai prieštarauja mūsų prielaidai.

Kadangi u yra harmoninė funkcija, tai v(x, y) = u(x, y) + ε(x2 + y2) tenkina∆v > 0 bet kuriam ε > 0. Pažymėkime M = max∂D u ir L = max∂D(x2 + y2).Iš padarytų funkcijai v prielaidų seka, kad v ≤ M + εL srityje D. Kadangiu = v − ε(x2 + y2), tai u ≤M + εL srityje D. Kadangi ε gali būti kiek norimamažas, gauname, kad u ≤M srityje D. ut

1 pastaba. Jei u yra harmoninė D, tada −u irgi yra harmoninė srityje D. Tačiaubet kokiai A ir bet kuriai funkcijai u teisinga

minAu = −max

A(−u).

Todėl harmoninė funkcija u minimumą taip pat įgyja ant krašto ∂D.

Ši teorema dar neatmeta galimybės, kad funkcija u didžiausią (arba mažiau-sią) reikšmę taip pat pasiekia vidiniame taške. Įrodysime stipresnį rezultatą,kuris teigia, kad, jei u nėra konstanta, tada maksimumas (ir minimumas) ne-gali būti pasiektas bet kokiame vidiniame taške. Šiam tikslui pirmiausia reikianustatyti vieną svarbią harmoninių funkcijų savybę.

2 teorema. [Vidutinės reikšmės principas] Tegul D yra sritis plokštumoje, uyra harmoninė funkcija ir (x0, y0) ∈ D. Tarkime, kad BR ∈ D yra spindulioR diskas su centru (x0, y0). Bet kuriam r > 0 pažymėkime Cr = ∂Br. Tadau(x0, y0) yra funkcijos u reikšmių apskritimo CR taškuose vidurkis:

u(x0, y0) =1

2πR

∮CR

u(x(s), y(s))ds =1

2π

2π∫0

u(x0 +R cos θ, y0 +R sin θ)dθ.

(3.1)

Įrodymas. Tegul 0 < r ≤ R. Užrašykime v(r, θ) = u(x0 + r cos θ, y0 + r sin θ).Apibrėžkime funkcijos v integralą pagal θ:

V (r) =1

2πr

∮Cr

vds =1

2π

2π∫0

v(r, θ)dθ.


Diferencijuojant pagal r gauname

Vr(r) =1

2π

2π∫0

vr(r, θ)dθ =1

2π

2π∫0

∂

∂ru(x0+r cos θ, y0+r sin θ)dθ =

1

2πr

∮Cr

∂nuds = 0.

čia paskutinėje lygybėje panaudota (2.8). Taigi V (r) nepriklauso nuo r, tai

u(x0, y0) = V (0) = limρ→0

V (ρ) = V (r) =1

2πr

∮Cr

u(x(s), y(s))ds

visiems 0 < r ≤ R. ut

2 pastaba. Atvirkštinis teiginys taip pat teisingas, t.y. tolydi funkcija, kuri ati-tinka vidutinės reikšmės savybę srityje D yra harmoninė.

Įrodysime kitą šiek tiek silpnesnį rezultatą.

3 teorema. Tegul u ∈ C2(D) funkcija, turinti vidutinės reikšmės savybę kiek-viename srities D taške. Tada u yra harmoninė funkcija D.

Įrodymas. Naudosime prieštaros metodą. Tarkime, kad egzistuoja toks taš-kas (x0, y0) ∈ D, kad ∆u(x0, y0) 6= 0. Neprarasdami bendrumo tarkime, kad∆u(x0, y0) > 0. Kadangi ∆u(x, y) yra tolydi funkcija, tai srityje D pakankamaimažiems R > 0 egzistuoja spindulio R diskas BR su centru (x0, y0) toks, kad∆u > 0 kiekviename BR taške. Pažymėkime šio disko kraštą CR = ∂BR. Tada

0 < 12π

∫BR

∆udxdy = 12π

∮CR

∂nuds

= R2π

2π∫0

∂∂Ru(x0 +R cos θ, y0 +R sin θ)dθ

= R2π

∂∂R

2π∫0

u(x0 +R cos θ, y0 +R sin θ)dθ

= R ∂∂Ru(x0, y0) = 0.

(3.2)

čia (3.2) ketvirtoje lygybėje panaudota prielaida, kad u tenkina vidurinės reikš-mės sąvybę. Tada u yra harmoninė funkcija D ut

Kitas harmoninių funkcijų maksimumo principas seka iš vidurinės reikšmėsteoremos.

4 teorema. [stiprus maksimumo principas] Tegul u yra harmoninė funkcija sri-tyje D (sritis nebūtinai aprėžta). Jei u pasiekia maksimumą (minimumą) vidi-niame srities D taške, tai u yra konstanta.

Įrodymas. Vėl naudokime prieštaros metodą. Tarkime, kad funkcija u įgyjamaksimumą vidiniame taške q0 ∈ D. Tegul q 6= q0 taškas iš D. Pažymėkimel glodžią kreivę, kurią D jungiančia taškus q0 ir q (žr. 7.2 pav.). Pažymėkime

65 Elipsinės lygtys [2015 01 5 (15:27)]

180 Elliptic equations

Proof Assume by contradiction that there is a point (x0, y0) in D whereu(x0, y0) = 0. Without loss of generality assume u(x0, y0) > 0. Since u(x, y)is a continuous function, then for a sufficiently small R > 0 there exists in D a diskBR of radius R, centered at (x0, y0), such that u > 0 at each point in BR . Denotethe boundary of this disk by CR . It follows that

0 <1

2π

∫BR

udxdy = 1

2π

∮CR

∂nuds

= R

2π

∫ 2π

0

∂

∂Ru(x0 + R cos θ, y0 + R sin θ )dθ

= R

2π

∂

∂R

∫ 2π

0u(x0 + R cos θ, y0 + R sin θ )dθ

= R∂

∂R[u(x0, y0)] = 0, (7.15)

where in the fourth equality in (7.15) we used the assumption that u satisfies themean value property.

As a corollary of the mean value theorem, we shall prove another maximumprinciple for harmonic functions.

Theorem 7.10 (The strong maximum principle) Let u be a harmonic functionin a domain D (here we also allow for unbounded D). If u attains it maximum(minimum) at an interior point of D, then u is constant.

Proof Assume by contradiction that u obtains its maximum at some interior pointq0. Let q = q0 be an arbitrary point in D. Denote by l a smooth orbit in D connectingq0 and q (see Figure 7.3). In addition, denote by dl the distance between l and ∂D.

q

Dq0

q1

Figure 7.3 A construction for the proof of the strong maximum principle.

7.2 pav. Stipraus maksimumo principo irodymo iliustracija.

kaip dl atstumą tarp l ir krašto ∂D. Nagrinėkime spindulio dl/2 diską B0

aplink taško q0. Iš dl apibrėžimo ir vidurinės reikšmės teoremos seka, kad uyra konstanta B0 (kadangi aibės vidurkis negali būti didesnis nei visi aibėselementai). Pasirinksime tašką q1 ∈ l ∩ B0 ir pažymėkime B1 diską spinduliodl/2 su centru taške q1. Pagal mūsų konstravimą seka, kad u taip pat pasiekiamaksimumą taške q1. Gauname, kad u taip pat yra pastovi B1.

Tęsiame toliau tol, kol pasiekiame diską, kuriame yra taškas q. Daromeišvadą, kad u(q) = u(q0), nes q yra bet kuris taškas. Iš čia seka, kad u yrapastovi srityje D. Atkreipkite dėmesį, kad galima pasirinkti q0, q1, . . . , taip,kad diskų B0, B1, . . . , Bnl skaičius yra baigtinis, nes ilgis l yra baigtinis, todėlvisi diskai turi tą patį spindulį. ut

3 pastaba. Stiprus maksimumo principas garantuoja, kad nepastovios harmoni-nės funkcijos negali įgyti maksimumo arba minimumo vidiniuose D taškuose.Atkreipkite dėmesį, kad neaprėžtoje srityje funkcijos u maksimumas (minimu-mas) nebūtinai yra įgyjamas ant D. Pavyzdžiui, funkcija ln (x2 + y2) yra har-moninė ir teigiama vienetinio disko išorėje, ji išnyksta ant srities krašto, bet jineturi maksimumo.

4. Maksimumo principo taikymai

Maksimumo principo svarbą parodysime įrodant Dirichlė uždavinio sprendiniovienatį ir stabilumą.

5 teorema. Nagrinėkime Dirichlė uždavinį aprėžtoje srityje:

∆u = f(x, y) (x, y) ∈ Du(x, y) = g(x, y) (x, y) ∈ ∂D

Uždavinys turi ne daugiau nei vieną sprendinį klaseje C2(D) ∩ C(D).

Įrodymas. Naudosime prieštaros metodą. Tarkime, kad egzistuoja du spren-diniai u1 ir u2. Pažymėkime jų skirtumą v = u1 − u2. Iš uždavinio tiesiškumo


seka, kad v yra harmoninė srityje D, ir lygi nuliui ant krašto ∂D. Iš silpnomaksimumo principo seka, kad 0 ≤ v ≤ 0. Gavome v ≡ 0. ut

Pažymėkime, kad D aprėžtumas yra būtinas. Nagrinėkime, pavyzdžiui, Di-richlė uždavinį

∆u = 0 x2 + y2 > 4, (4.1)

u(x, y) = 1, x2 + y2 = 4. (4.2)

Lengva patikrinti, kad kiekviena iš funkciju u1 ≡ 1 ir u2(x, y) = (ln√x2 + y2)/ ln 2

yra uždavinio sprendinys (nėra sprendinio vienaties).

6 teorema. Tegul D yra aprėžta sritis, ir u1, u2 ∈ C2(D)∩C(D), yra Puasonolygties ∆u = f su Dirichlė sąlygomis g1 ir g2 atitinkamai, sprendiniai. TegulMg = max∂D |g1(x, y)− g2(x, y)|, tada

maxD|u1(x, y)− u2(x, y)| ≤Mg.

Įrodymas. Pažymėkime v = u1 − u2. Pagal konstrukciją, v yra harmoninėfunkcija srityje D ir v = g1 − g2 ant ∂D. Todėl iš maksimumo (ir minimumo)principo seka, kad

min∂D

(g1 − g2) ≤ v(x, y) ≤ max∂D

(g1 − g2) ∀(x, y) ∈ D.

−max∂D

(g2 − g1) ≤ v(x, y) ≤ max∂D

(g1 − g2) ∀(x, y) ∈ D.

ut

Literatura 68

Literatūra

[1] M. Abell, J. Braselton. Differential Equations with Maple V. AcademicPress, 2000.

[2] A. Ambrazevičius. Įvadas į kokybinę paprastųjų dife-rencialinių lygčių teoriją. Vilnius: Paskaitų konspektas,http://mif.vu.lt/lt2/dlsm/darbuotojai/darbuotojai-1/algirdas-ambrazevicius, 2000.

[3] V.I. Arnold. Ordinary Differential Equations. Springer Verlag, 1997.

[4] D.K. Arrowsmith, C.M. Place. Ordinary Differential Equations. A quali-tative approach with applications. London New York: Chapman and Hall,1982.

[5] C. Chicone. Ordinary Differential Equations with Applications. SpringerVerlag, 1999.

[6] R.L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, & an Introduc-tion to Chaos. Academic Press, 2003.

[7] P. Golokvosčius. Diferencialinės lygtys. Vilnius: TEV, 2000.

[8] P.-F. Hsieh, Y. Sibuya. Basic Theory of Ordinary Differential Equations.Springer Verlag, 1999.

[9] W. Hurewicz. Lectures on Ordinary Differential Equations. Dover Pubns,2002.

[10] H.J. Lee, W.E. Schiesser. Ordinary & Partial Differential Equation Routi-nes in C, C++, Fortran, Java, Maple, & MATLAB. CRC Press, 2003.

[11] S.H. Saperstone. Inroduction to Ordinary Differential Equations. BrooksCole, 1998.

[12] D. Somasundaram. Ordinary Differential Equations. CRC Press, 2001.

[13] Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. Методы и приемы качественного иссле-дования динамических систем на плоскости. Москва: Наука, 1990.

Literatura 70

[14] А.К. Боярчук, Г.П. Головач. Справочное пособие по высшей мате-матике. Том 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах.Москва: УРСС, 1999.

[15] Н.М. Матвеев. Дифференциальные уравнения. Минск: Вышэйшая шко-ла, 1976.

[16] И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. Москва: Наука, 1970.

[17] Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва:Наука, 1982.

[18] В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Москва: ГИТТЛ,1953.

[19] А.Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.

[20] Д. Эрроусмит, К. Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения.Качественная теория с приложениями. Москва: Мир, 1986.

turinysklevas.mif.vu.lt/~olgas/dl/konsp.pdfpavyzdžiui, labai didelio mastelio reiškinius...

Documents