O-NET (ก.พ. 56) 1

O-NET 56 รหสวชา 04 คณตศาสตร วนเสารท� 9 กมภาพนธ 2556 เวลา 11.30 – 13.30 น. ตอนท� 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก ขอละ 2.5 คะแนน 1. ให �, � และ � เปนจานวนจรงใดๆ พจารณาขอความตอไปน 6 (ก) ถา �� = �� แลวจะไดวา � = � (ข) ถา � < � แลวจะไดวา �� < �� (ค) ถา � < � และ � < � แลวจะไดวา �� < �� ขอใดถก 1. (ก), (ข) และ (ค) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) และ (ค) ผด 3. (ก) และ (ค) ถก แต (ข) ผด 4. (ข) ถก แต (ก) และ (ค) ผด 5. (ก), (ข) และ (ค) ผด 2. ขอใดตอไปน 6มจานวนตรรกยะอยเพยงสองจานวน 1. −√4 , � − ��

� , 1.010010001 2. √2� , √8 , �� 3. � + 1 , √16 , 0.101001000100001… 4. �

, 1.11111… , √8� 5. 0.8! , √8 − √2 , √3� 3. ให # = √2 − 1.4 , $ = � − 3.1 และ % = &' − 1.63! ขอใดถก 1. # < $ < % 2. % < # < $ 3. $ < # < % 4. % < $ < # 5. # < % < $

2 O-NET (ก.พ. 56)

4. คาของ ( )√'*+ อยในชวงใดตอไปน 6

1. [1.5, 1.6) 2. [1.6, 1.7) 3. [1.7, 1.8) 4. [1.8, 1.9) 5. [1.9, 2.0) 5. √'/�

√�) ÷ √�/��)√' มคาเทากบขอใด

1. − √� 2.

√� 3. −√2 4. √2 5. �

6. ให # = 1 2 | (22 + 1)(4 − 32) > 0 5 ขอใดเปนเซตยอยของ # 1. (–1.2, –0.2) 2. (–0.9, 0.3) 3. (–0.6, 1.2) 4. (0.4, 1.5) 5. (0.3, 1.3) 7. ถา 27) = √�

8 แลว 2 มคาเทากบขอใด 1. − &

� 2. − '� 3. −

� 4. � 5. '

�

O-NET (ก.พ. 56) 3

8. เซต ($ − #)9 ∩ % คอบรเวณท�แรเงาในขอใด 1. 2. 3. 4. 5. 9. จงพจารณาผลสรปตอไปน 6 (ก) เหต 1) ทกคนท�อานหนงสอกอนสอบจะสอบได 2) สมชายสอบได ผล สมชายอานหนงสอกอนสอบ (ข) เหต 1) ทกคร 6งท�ฝนตกจะมฟาแลบ 2) วนน 6ไมมฟาแลบ ผล วนน 6ผนไมตก (ค) เหต 1) แมวบางตวไมชอบกนปลา 2) เหมยวเปนแมวของฉน ผล เหมยวไมขอบกนปลา ขอใดถก 1. (ก), (ข) และ (ค) สมเหตสมผล 2. (ก) และ (ข) สมเหตสมผล แต (ค) ไมสมเหตสมผล 3. (ข) และ (ค) สมเหตสมผล แต (ก) ไมสมเหตสมผล 4. (ข) สมเหตสมผล แต (ก) และ (ค) ไมสมเหตสมผล 5. (ก), (ข) และ (ค) ไมสมเหตสมผล 10. กลยามธรกจใหเชาหนงสอ เธอพบวา ถาคดคาเชาหนงสอเลมละ 10 บาท จะมหนงสอถกเชาไป 100 เลมตอวน แต

ถาเพ�มคาเชาเปน 11 บาท จานวนหนงสอท�ถกเชาจะเปน 98 เลมตอวน และถาเพ�มคาเชาเปน 12 บาท จานวนหนงสอท�ถกเชาจะเปน 96 เลมตอวน กลาวคอ จานวนหนงสอท�ถกเชาตอวนจะลดลง 2 เลมทกๆ 1 บาทของคาเชาท�เพ�มข 6น ถา 2 คอจานวนเงนสวนท�เพ�มข 6นของคาเชาตอเลม และ ; คอรายไดจากคาเชาหนงสอตอวน (หนวย : บาท) แลว ขอใดคอสมการแสดงรายไดตอวนจากธรกจน 6ของกลยา

1. ; = 1000 + 802 − 22� 2. ; = 1000 − 802 − 22� 3. ; = 1000 + 802 − 2� 4. ; = 500 − 402 − 2� 5. ; = 500 + 402 − 2�

# $ %

# $ %

# $ %

# $ %

# $ %

4 O-NET (ก.พ. 56)

11. ถารปส�เหล�ยมผนผามดานยาว ยาวกวา ดานกวางอย 3 ฟต และเสนแทยงมมยาวกวาดานกวางอย 7 ฟต แลว เสนรอบรปของรปส�เหล�ยมน 6ยาวก�ฟต 1. 11 + 4√14 2. 11 + 8 √21 3. 22 + 4√14 4. 22 + 4√21 5. 22 + 8√14 12. แผนภาพของความสมพนธในขอใดเปนฟงกชนท�ม 11, 2, 3, 4, 55 เปนโดเมน และ 11, 2, 3, 45 เปนเรนจ 1. 2. 3. 4. 5. 13. บรเวณท�แรเงาในขอใดเปนกราฟของความสมพนธ 1 (2, ;) | 2 ≤ ;�, 0 ≤ ; ≤ 1 5 1. 2. 3. 4. 5.

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 2 3 4

2

;

0 1

2

;

0 1

2

;

0 1

2

;

0 1

2

;

0 1

O-NET (ก.พ. 56) 5

14. ถา >(2) = |7|) แลว เรนจของ > คอเซตในขอใด

1. 1 ; | −1 < ; ≤ 0 5 2. 1 ; | −1 ≤ ; < 0 5 3. 1 ; | ; < −1 หรอ ; > 0 5 4. 1 ; | ; < −1 หรอ ; ≥ 0 5 5. 1 ; | ; ≤ −1 หรอ ; > 0 5 15. ถา ;� − 2 = 1 แลว 2;� มคานอยท�สดเทากบขอใด 1. −

� 2. − @ 3. −

8 4. @ 5.

� 16. ให ABC เปนรปสามเหล�ยมท�มมม C เทากบ 45 องศา และ D เปนจดบนดาน BC ท�ทาให AD เปนเสนความสงของ

สามเหล�ยม ถาดาน BD ยาว � หนวย และดาน AB ยาว 3� หนวย แลว ดาน AC มความยาวเทากบก�หนวย 1. 2� 2. √6� 3. 4� 4. 5� 5. 6� 17. ให ABCD เปนรปส�เหล�ยมผนผาซ�งม E เปนจดก�งกลางของดาน CD ถามม AEEB = 90° แลว sin BAEC มคาเทากบขอใด

1. √& 2. �

√& 3. √'& 4. √&

' 5. √&@

6 O-NET (ก.พ. 56)

18. ให ABC เปนรปสามเหล�ยมท�มมม C เปนมมฉาก ดาน BC ยาว � หนวย และ ดาน AC ยาว � + 8 หนวย ถา cot(90° – B) = 3 แลว � มคาเทากบขอใด 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 5. 6 19. อทธยนอยบนยอดประภาคารสง 30 เมตร เหนเรอสองลาจอดอยในทะเลทางทศตะวนออกในแนวเสนตรงเดยวกน

โดยท�สายตาของเขาทามมกม M องศา เม�อมองเรอลาท�หน�ง และทามมกม N องศาเม�อมองเรอลาท�สอง ถาเรอสองลาอยหางกน 80 เมตร และ M + N = 90 องศา แลว เรอลาท�อยไกลจากฝ�งท�สดอยหางจากจดท�ต 6งประภาคารก�เมตร

1. 90 2. 100 3. 120 4. 150 5. 170 20. ถาพจนท� 5 และ พจนท� 10 ของลาดบเลขคณตเปน 14 และ 29 ตามลาดบ แลวพจนท� 99 เทากบขอใด 1. 276 2. 287 3. 296 4. 297 5. 299 21. ลาดบ –24 , –15 , –6 , 3 , 12 , 21 , … , 1776 มก�พจน 1. 199 2. 200 3. 201 4. 202 5. 203

O-NET (ก.พ. 56) 7

22. ถา � = 2 , �� = 1 และ �O/� = �O/ + �O เม�อ P = 1, 2, 3, … แลว � เทากบขอใด 1. 76 2. 113 3. 123 4. 199 5. 384 23. ถาพจนท� P ของอนกรมคอ 3P − 10 แลว ผลบวก 23 พจนแรกของอนกรมน 6เทากบขอใด 1. 589 2. 598 3. 624 4. 698 5. 759 24. ถาอนกรมเรขาคณตมผลบวก 10 พจนแรกเปน 3069 และมอตราสวนรวมเปน 2 แลว พจนท� 3 ของอนกรมน 6เทากบขอใด 1. 2 2. 6 3. 8 4. 12 5. 24 25. ผลบวก 3 พจนแรกของลาดบ �O = () )QRSO

O/ เทากบขอใด 1. − �

� 2. − & � 3. �

� 4. � 5. '

�

8 O-NET (ก.พ. 56)

26. เกษตรกรคนหน�งซ 6อรถกระบะโดยผอนชาระเปนเวลา 4 ป ทางผขายกาหนดใหผอนชาระเดอนแรก 5,500 บาท และเดอนถดๆไปใหผอนชาระเพ�มข 6นทกเดอนๆละ 400 บาท จนครบกาหนด ถา 2 คอจานวนเงนท�เขาตองชาระในเดอนสดทาย และ ; คอจานวนเงนท�เขาชาระไปใน 2 ปแรก (หนวย : บาท) แลว ขอใดถก

1. 2 = 24,300 และ ; = 242,300 2. 2 = 24,300 และ ; = 242,400 3. 2 = 24,400 และ ; = 242,400 4. 2 = 24,400 และ ; = 243,900 5. 2 = 24,900 และ ; = 243,900 27. ในการจดคน 4 คนน�งเปนวงกลม ถาใน 4 คนน 6มฝาแฝด 1 ค ความนาจะเปนท�ฝาแฝดจะไดน�งตดกนเทากบขอใด 1.

@ 2. ' 3.

� 4. �' 5. '

@ 28. ในปพ.ศ. 2557 ประเทศไทยมความนาจะเปนท�จะประสบภาวะน 6าทวมเทากบ '

และความนาจะเปนท�จะประสบภยแลงเทากบ ' ถาความนาจะเปนท�จะประสบภาวะน 6าทวมหรอภยแลงเทากบ T

แลวความนาจะเปนท�ประเทศไทยจะประสบท 6งภาวะน 6าทวมและภยแลงในป พ.ศ. 2557 เทากบขอใด

1. '' 2. �

'' 3. 4. �

5. '

29. คากลางของขอมลในขอใดมความเหมาะสมท�จะใชเปนตวแทนของขอมลของกลม 1. คาเฉล�ยเลขคณตของน 6าหนกตวของชาวจงหวดเชยงใหม 2. คาเฉล�ยเลขคณตของจานวนหนาของหนงสอท�คนไทยแตละคนอานในป พ.ศ. 2554 3. มธยฐานของจานวนเงนท�แตละคนใชจายตอเดอนของคนไทย 4. ฐานนยมของความสงของนกเรยนหองหน�ง 5. คาเฉล�ยของฐานนยมกบมธยฐานของคะแนนสอบของนกเรยนท 6งโรงเรยน

O-NET (ก.พ. 56) 9

30. ขอใดไมอยในข 6นตอนของการสารวจความคดเหน 1. กาหนดขอบเขตของการสารวจ 2. กาหนดวธเลอกตวอยาง 3. สรางแบบสารวจความคดเหน 4. ประมวลผลและวเคราะหผลการสารวจ 5. เผยแพรผลการสารวจความคดเหน 31. ขอมลชดหน�งม 11 จานวนดงน 6 15 , 10 , 12 , 15 , 16 , 2 , 16 , 19 , 13 , 17 , 15 ถาคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลชดน 6เทากบ 15 แลว กาลงสองของสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลชดน 6เทากบขอใด 1. 6.4 2. 4.9 3. 3.6 4. 2.6 5. 1.8 32. ในการสารวจน 6าหนกตวของนกเรยนช 6นมธยมศกษาปท� 6 ของโรงเรยนแหงหน�ง ซ�งม 3 หอง มจานวนนกเรยน 44,

46 และ 42 คน ตามลาดบ ปรากฏวามคาเฉล�ยเลขคณตเทากบ 50 กโลกรม แตพบวาเคร�องช�งท�ใชสาหรบนกเรยนหองแรกมความคลาดเคล�อนทาใหช�งน 6าหนกไดตวเลขสงเกนจรงคนละ 1 กโลกรม ดงน 6นคาเฉล�ยเลขคณตท�ถกตองของน 6าหนกตวของนกเรยนช 6นมธยมศกษาปท� 6 น 6เทากบก�กโลกรม

1. 49 2. 49 ' 3. 49

� 4. 49 �' 5. 49 '

@ ตอนท� 2 แบบเตมคาตอบ ขอละ 2.5 คะแนน 33. จานวนเตมท�สอดคลองกบอสมการ |2 − 3| ≤ 4 มก�จานวน

10 O-NET (ก.พ. 56)

34. ในการสารวจความชอบรบประทานกวยเตJยว, ขาวมนไก และขาวหมแดง ของนกเรยนช 6นมธยมศกษาปท� 6 จานวน 100 คนของโรงเรยนแหงหน�ง พบวามนกเรยน

ชอบกวยเตJยว 49 คน ชอบกวยเตJยวและขาวมนไก 22 คน ชอบขาวมนไก 48 คน ชอบกวยเตJยวและขาวหมแดง 32 คน ชอบขาวหมแดง 59 คน ชอบขาวมนไกและขาวหมแดง 27 คน และ ชอบท 6งสามอยาง 15 คน จานวนนกเรยนท�ไมชอบอาหารท 6งสามชนดน 6เทากบก�คน 35. โรงพมพแหงหน�งคดคาจางในการพมพแผนพบแยกเปน 2 สวนคอ สวนท�หน�งเปนคาเรยงพมพ ซ�งไมข 6นกบจานวน

แผนพบท�พมพ กบสวนท�สองเปนคาพมพ ซ�งข 6นอยกบจานวนแผนพบท�พมพ โดยโรงพมพเสนอราคาดงน 6 ถาส�งพมพ 100 ใบ จะคดคาจางรวมท 6งหมดเปนเงน 800 บาท และ ถาส�งพมพ 200 ใบ จะคดคาจางรวมท 6งหมดเปนเงน 1,100 บาท โรงพมพคดคาเรยงพมพก�บาท 36. พ�มเงนมากกวานอง 120 บาท ถาท 6งสองคนมเงนรวมกนไมเกน 1,240 บาท แลว พ�มเงนมากท�สดไดก�บาท 37. ขวดโหลใบหน�งบรรจลกแกวสแดง 6 ลก สเขยว 3 ลก และสเหลอง 1 ลก หยบลกแกวออกมา 2 ลกพรอมกน ความนาจะเปนท�จะหยบไดลกแกวท�มสตางกนเทากบเทาใด

O-NET (ก.พ. 56) 11

38. ถาพจนท� 4 และพจนท� 7 ของลาดบเรขาคณตเปน 54 และ 1458 ตามลาดบ แลว พจนแรกเทากบเทาใด 39. คะแนนสอบวชาวทยาศาสตรของนกเรยนหองหน�งจานวน 119 คน เปนดงน 6 คะแนนท�เปอรเซนไทลท� 56 เทากบเทาใด 40. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 50 คน มตารางแจกแจงความถ�ดงน 6 คาเฉล�ยเลขคณตของคะแนนสอบน 6เทากบเทาใด

คะแนนท�ได จานวนนกเรยน (คน) 52 13 55 12 57 17 60 9 62 10 65 6 70 14 75 14 78 7 80 10 82 7

ชวงคะแนน จานวนนกเรยน (คน) 1 – 20 3

21 – 40 5 41 – 60 13 61 – 80 20

81 – 100 9

12 O-NET (ก.พ. 56)

เฉลย 1. 5 9. 4 17. 1 25. 3 33. 9 2. 1 10. 1 18. 3 26. 2 34. 10 3. 5 11. 5 19. 1 27. 4 35. 500 4. 4 12. 1 20. 3 28. 2 36. 680 5. 2 13. 3 21. 3 29. 2 37. 0.6 6. 5 14. 5 22. 3 30. 5 38. 2 7. 2 15. 2 23. 2 31. (5.8) 39. 66 8. 1 16. 3 24. 4 32. 4 40. 61.3 แนวคด 1. 5 (ก) ผด ในกรณท� � = 0 จะได �� = �� เสมอ (= 0) โดยท� � ไมจาเปนตองเทากบ � กได เชน (0)(1) = (0)(2) แต 1 ≠ 2 (ข) ผด ในกรณท� � เปนลบเยอะๆ ยกกาลงสอง จะกลายเปนบวกมากๆ เชน −10 < 1 แต (−10)� = 100 > 1� (ค) ผด ถา � กบ � เปนลบ คณกนจะกลายเปนบวกได เชน −2 < −1 และ −1 < 4 แต (−2)(−1) กลายเปนบวก ซ�งจะมากกวา (−1)(4) ซ�งเปนลบ 2. 1 1. −√4 = ถอดรทลงตว = ตรรก 2. √2� กบ √8 ถอดรทไมลงตว = อตรรก � − ��

� = อตรรก – ตรรก = อตรรก �� = เกนหลกสตร (�� เปนอตรรก) 1.010010001 = ทศนยมรจบ = ตรรก แตม อตรรก แนๆ 2 ตว ขอน 6จงผดแนนอน 3. � + 1 = อตรรก + ตรรก = อตรรก 4. �

= เศษสวน = ตรรก √16 = ถอดรทลงตว = ตรรก 1.11111… = ทศนยมซ 6า = ตรรก 0.101001000100001… = ไมรจบไมซ 6า = อตรรก √8� = ถอดรทลงตว = ตรรก 5. 0.8! = ทศนยมซ 6า = ตรรก √8 − √2 = √2(√4 − 1* = √2 = ถอดรทไมลงตว = อตรรก √3� = ถอดรทไมลงตว = อตรรก 3. 5 ขอน 6 ตองรคาประมาณของ √2 และ � ถงทศนยมตาแหนงท� 2 (√2 ~ 1.414 , � ~ 3.14) จะเหนวา # < % < $ 4. 4

# = √2 − 1.4 ~ 1.414 – 1.4 ~ 0.014

$ = � − 3.1 ~ 3.1416 – 3.1 ~ 0.0416

% = &' − 1.63! ~ 1.6666… – 1.6333… ~ 0.0333…

= +)�√'/√'+

= @)�√'

= 12(2−√3*

= 12(2−√3* × 2+√3

2+√3 = �/√'

�X�+)√'+Y

= �/√'�( ) ~ �/ .�'�

� ~ '.�'�� ~ 1.866

O-NET (ก.พ. 56) 13

5. 2 6. 5 แกอสมการ ตองใชเสนจานวน แลวเตม + – + แตเน�องจากขอน 6มหน�งวงเลบ (4 − 32) ท� 2 ถกคาลบคณอย ดงน 6น ตองเร�มชองขวาสดดวย − จบแตละวงเลบ = 0 จะได 2 = −

� , @' จะใสเคร�องหมายไดเปน

จะไดคาตอบคอ X− � , @

'Y = (−0.5 , 1.333…) จะเหนวา ขอ 5 เทาน 6น ท� อยภายในชวง (−0.5 , 1.333…) 7. 2 แปลงฝ�งขวาใหเปนฐาน 2 จะได √�

8 = �S+

�� = 2S+ ) ' = 2)Z

+ ดงน 6น 27) = 2)Z

+ ตดฐาน 2 ท 6งสองขาง จะได 2 − 1 = − &�

ดงน 6น 2 = − &� + 1 = − '

� 8. 1 เรามสตรท�เปล�ยน อนเตอรเซก กบ คอมพลเมนท ใหเปน ลบ ได คอ # ∩ $9 = # − $ ดงน 6น ($ − #)9 ∩ % = % ∩ ($ − #)9 = % − ($ − #) คอเอา % มาหกออกดวยบรเวรท�อยใน $ − # จะเหนวาบรเวณ 2 จะโดนหกไป เหลอ 9. 4 10. 1 เพ�ม 2 บาท ดงน 6น จานวนหนงสอจะลดลง 22 เลม ดงน 6น คาเชาเพ�มเปนเลมละ 10 + 2 บาท และปลอยหนงสอไดลดลงเหลอ 100 − 22 เลม ดงน 6น รายได = คาเชาตอเลม × จานวนเลม = (10 + 2)(100 − 22) = 1000 + 802 − 22�

= √'/�√�) × �)√'

√�/� = �√')√'+/@)�√'

√�+/�√�)√�)� = −3+4

2+√2−2 = √�

@' −

� − + −

ฝนตก ฟาแลบ

วนน 6

(ข) ถก วาดไดแบบเดยว และไดผลถกตอง

อานกอน สอบได

สมชาย

(ก) ผด ตวอยางคาน เชน แมว

แมวฉน เหมยว

ชอบปลา (ค) ผด ตวอยางคาน เชน

# $ %

# $ %

1 2 3

# $ %

14 O-NET (ก.พ. 56)

11. 5 ให กวาง = 2 จะได ยาว = 2 + 3 และ เสนทแยงมม = 2 + 7 ดงรป จากพทากอรส จะได แยกตวประกอบไมได ตองใชสตร จะได 2 = )()8)±\()8)+)@( )()@])

�( ) = 8±√��@� = 8±@√ @

� = 4 ± 2√14 แต 4 − 2√14 = 4 − 2(3. ? ? ) เปนลบ จะเปนดานกวางไมได ดงน 6น กวาง = 4 + 2√14 และยาว = (4 + 2√14* + 3 = 7 + 2√14 ดงน 6น เสนรอบรป = 2(กวาง + ยาว) = 2(4 + 2√14 + 7 + 2√14* = 2(11 + 4√14* = 22 + 8√14 12. 1 โดเมน = 11, 2, 3, 4, 55 และ เรนจ = 11, 2, 3, 45 → ทกตวในเซตหนาและหลง ตองถกโยง เปนฟงกชน → ตวหนาทกตวในโดเมน ตองไดโยงตวละ 1 เสน (แตตวหลงอาจโยงหลายเสนได) ซ�งขอ 1 จะสอดคลองกบเง�อนไขดงกลาวทกขอ 2. ไมเปน เพราะ 3 ในเซตหนาไมถกโยง 3. ไมเปน เพราะ 4 ในเซตหนา ไดโยง 2 เสน 4. ไมเปน เพราะ 1 ในเซตหลงไมถกโยง 5. ไมเปน เพราะ 3 ในเซตหนา ไดโยง 2 เสน 13. 3 วาดกราฟ 2 = ;� กอน เน�องจากอสมการเปน ≤ จงตองวาดดวยเสนทบ จะไดเปนพาราโบลา เปดขวา จะเหนวา กราฟท�ได จะแบงพ 6นท�ท 6งหมดบนแกน 2 ; เปน 2 สวน คอ นอกโคงฝ�งซาย และ ในโคงฝ�งขวา ดงรป สมจดไหนกได จากแตละบรเวณมาแทนในอสมการ 2 ≤ ;� (−1, 0) : −1 ≤ 0� จรง , (1, 0) : 1 ≤ 0� ไมจรง ดงน 6น ตองแรเงานอกโคงฝ�งซาย ตามรปซาย และ 0 ≤ ; ≤ 1 คอ บรเวณ เอานอกโคงฝ�งซายมา “และ” กน จะกลายเปนสวนท�ซอนทบกน ดงรป 14. 5 หาเรนจ แบบม |2| ตองจดรปให |2| ไปอยตวเดยว แลวอางวา |2| ≥ 0 ; =

|7|) → |2| − 1 = ` → |2| = ` + 1 เน�องจาก |2| ≥ 0 ดงน 6น ` + 1 ≥ 0 ดวย → /`

` ≥ 0 แกอสมการ ตองวาดเสนจานวน แลวใส + − + โดยตวหารหามเปน 0 จะได ; ดงรป 15. 2 ปกต เราจะใหตวท�จะหาคานอยสดเปน ; แตขอน 6ใช ; ในความหมายอ�นไปแลว จงตองระวง อยาสบสนระหวาง คานอยสด กบคา ; จาก ;� − 2 = 1 ดงน 6น ;� = 2 + 1 …(∗) แทนใน 2;� จะกลายเปน 2(2 + 1) = 2� + 2 ดงน 6น ตองหาคานอยสดของ 2� + 2 → เทยบกบรป �2� + �2 + � จะได � = 1, � = 1, � = 0

2 2 + 3 2 + 7 2� + (2 + 3)� = (2 + 7)�

2� + 2� + 62 + 9 = 2� + 142 + 49 2� − 82 − 40 = 0

0 −1 + − +

(1,0) (−1,0)

O-NET (ก.พ. 56) 15

ดงน 6น คานอยสด จะเกดเม�อ 2 = − b�c = −

� → แทนหาคา ; ใน (∗) ได ;� = − � + 1 = � → ; =

√� หา ; ไดสาเรจ ดงน 6น 2 = −

� ใชไดจรง และจะไดคานอยสด = @cd)b+@c = @( )(])) +

@( ) = − @

16. 3

จากพทากอรส จะได AD = \(3�)� − �� = √8�� = 2√2� และจาก sin 45° = ef

eg แทนคา จะได √�� = �√�c

eg ตด √2 ท 6งสองขาง และยายขาง จะได AC = 4�

17. 1

จะเหนวา ∆ADE ≅ ∆BCE (ดาน 2 เทากน , ดาน ; เทากน , มมฉากเทากน) ดงน 6น DEEA = CEEB แต AEEB = 90° ดงน 6น DEEA = 8]°)�]°

� = 45° ∆ADE จะเหลอ DAEE = 180° – 45° – 90° = 45° จะเหนวา ∆ADE มมม 45° สองมมเทากน ดงน 6น ∆ADE เปนหนาจ�ว โดย 2 = ;

พทากอรสท� ∆ADC จะได AC = \(22)� + ;� = √42� + 2� = √52� = 2√5 ดงน 6น sin BAEC = jg

eg = `7√& = 7

7√& = √&

18. 3

จากรป จะได A = 180° – C – B = 180° – 90° – B = 90° – B ดงน 6น cot(90° – B) = cot A = eg

jg = c/8c

แตโจทยให cot(90° – B) = 3 ดงน 6น c/8c = 3 → � + 8 = 3� → � = 8� = 4

19. 1

เรอจะอยใกลหรอไกล ข 6นกบมมกม → กมมากอยใกล กมนอยอยไกล ระหวาง M กบ N ใหมมใหญ = 2 , มมเลก = ; จะได 2 + ; = 90° และจะวาดไดดงรป พจารณา ∆ABC เน�องจาก 2 + ; = 90° และ ACkB = 2 ดงน 6น BAEC = ; ดงน 6น tan BAEC = tan ; = jg

'] = m']

แตถาดจาก ∆ABC จะเหนวา tan ; = ']jf = ']

m/8] จบ tan ; เปนตวเช�อม จะได m

'] = ']m/8] คณไขว และยายขาง จะได n� + 80n − 900 = 0

แยกตวประกอบเปน (n + 90)(n − 10) = 0 เน�องจาก n เปนลบไมได จะได n = 10 คาเดยว ดงน 6น เรอลาไกล อยหางจาก ประภาคาร = 10 + 80 = 90 20. 3 จากสตรลาดบเลขคณต �O = � + (P − 1)o จะได �& = � + 4o = 14 …(1) และ � ] = � + 9o = 29 …(2) หา � และ o จากการแกสองสมการน 6 : (2) – (1) จะได 5o = 15 → o = 3

C

A

B 45° D �

3�

A B

C D E 2 2 ; ;

A

B

C �

� + 8

2

2 ;

; 30

80

A

B C D

อทธ

เรอ เรอ n

16 O-NET (ก.พ. 56)

แทน o = 3 ใน (1) จะได � + 12 = 14 → � = 2 ดงน 6น ��� = � + 98o = 2 + 98(3) = 2 + 294 = 296 21. 3 จะเหนวา แตละค เพ�มข 6นอยางคงท� โดย (–15) – (–24) = (–6) – (–15) = … = 9 ดงน 6น ลาดบน 6เปน ลาดบเลขคณค โดยม o = 9 และ � = −24 จะหาวามก�พจน ตองหาวา พจนสดทาย คอพจนท�เทาไหร โดยแทน �O = พจนสดทาย แลวแกหา P จากสตรลาดบเลขคณต �O = � + (P − 1)o → 1776 = –24 + (P − 1)(9) จะได P = ��T/�@

� + 1 = 200 + 1 = 201 22. 3 ประโยค �O/� = �O/ + �O หมายความวา แตละพจน จะเทากบ สองพจนกอนหนาบวกกนน�นเอง 23. 2 สตรพจนท�วไป เปนกาลง 1 จะเปนลาดบเลขคณต ลองหา � , ��, �', … ของลาดบน 6ด จะได จะเหนวาเปนลาดบเลขคณตท� � = −7 และ o = (–4) – (–7) = 3 ดงน 6น p�' หาไดจากสตร O� (2� + (P − 1)o) = �'

� (2(−7) + (23 − 1)(3)* = �'

� (−14 + 66) = �'� (52) = 598

24. 4 สตรผลบวกอนกรมเรขาคณตคอ pO = cS(qQ) )

q) จากท�โจทยให จะได 3069 = cS(�Sr) *�)

แกสมการ จะได � = ']T� ]�@) = 3

จากสตรพจนท�วไปของลาดบเรขาคณต �O = � sO) จะได �' = 3(2') ) = 12 25. 3 หา � , ��, �' ไดโดยแทน P = 1, 2, 3 ในสตรพจนท�วไปท�โจทยให ดงน 6น ผลบวก 3 พจนแรก = � + �� + �' = () )SRS( )

/ + () )+RS(�)�/ + () )�RS(')

'/ = � + )�

' + '@ = T)8/� � = �

� 26. 2 จายเพ�มข 6นคงท� ดงน 6น เงนท�ตองจายจะเปนลาดบเลขคณต โดย � = 5,500 และ o = 400 หา 2 : ชาระ 4 ป แสดงวาจายท 6งหมด 4 × 12 = 48 เดอน ดงน 6น เดอนสดทายคอ �@8 จากสตร �O = � + (P − 1)o จะได �@8 = 5,500 + (48 – 1)(400) = 5,500 + 18,800 = 24,300

� �� �' �@ �& �T �� �8 �� � ] �

2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123

+ + + + +

+ + + + โจทยกาหนด

� = 3(1) – 10 = −7 �� = 3(2) – 10 = −4 �' = 3(3) – 10 = −1 ⋮

O-NET (ก.พ. 56) 17

หา ; : ตองหาผลบวกของเงนท�จายในชวง 2 ปแรก เน�องจาก 2 ป = 2 × 12 = 24 เดอน ดงน 6น ตองหา p�@ จากสตร pO = O� (2� + (P − 1)o) จะได p�@ = �@

� (2(5,500) + (24 − 1)400) = 12(11,000 + 9,200) = 242,400 27. 4 ในการคดความนาจะเปน เราจะคดใหของทกช 6นไมซ 6ากนเสมอ หาจานวนแบบท 6งหมดกอน : คน 4 คน เรยงเปนวงกลม จะเรยงได (4 – 1)! = 6 แบบ จานวนแบบท�ฝาแฝดน�งตดกน : เอาฝาแฝดมดตดกนเปนคนใหม 1 คน จะกลายเปนมแค 3 คน จะเรยงได (3 – 1)! และฝาแฝดสลบกนเองภายในมด ได 2 แบบ จะไดจานวนแบบ = (3 – 1)! (2) = 4 แบบ ดงน 6น ความนาจะเปน = @T = �' 28. 2 ให น 6าทวม = # , ภยแลง = $ ดงน 6น v(#) = '

, v($) = ' , v(# ∪ $) = T แลวถาม v(# ∩ $) = ?

จากสตร Inclusive – Exclusive จะได 29. 2 ขอน 6ผมไมแนใจนะครบ จากความเหนสวนตว ผมเลอกขอ 2 ดวยเหตผลดงน 6ครบ 1. “น 6าหนกตวของชาวจงหวดเชยงใหม” เปนขอมลท�คลมเครอ เพราะในแตละชวงเวลา “น 6าหนก” และ “จานวนคน” จะ

เปล�ยนตลอด จงเปนขอมลท�ไมชดเจน ไมสามารถหาคากลางท�เหมาะสมได 2. ขอมลมความชดเจนกวาขอแรกในดานวธการสารวจและกรอบเวลา เน�องจากเปนขอมลเชงปรมาณท�ไมนาจะ

แตกตางกนมาก จงเหมาะสมท�จะใชคาเฉล�ย 3. ขอน 6ไมกาหนดกรอบเวลาเหมอนขอแรก และยงมปญหาเร�องวธการคด เน�องจากม 2 ข 6นตอน คอ คาใชจาย “ตอ

เดอน” ของแตละคน กบคาใชจาย “ตอคน” ของคนไทย ซ�งข 6นแรก คาใชจายของแตละคนเปนขอมลเชงปรมาณท�ไมนาจะตางกนมาก จงควรใชคาเฉล�ย แตข 6นท� 2 ควรใชมธยฐานเพราะขอมลรายจายของแตละคนแตกตางกนไดมาก

4. ความสงเปนขอมลเชงปรมาณ ควรใช คาเฉล�ย หรอไมกมธยฐาน ไมมเหตผลอะไรท�จะใชฐานนยม 5. คะแนนสอบเปนขอมลเชงปรมาณ ไมมเหตผลอะไรท�จะใชฐานนยม 30. 5 ขอน 6ผมเองกไมรอะครบ ลองหาจากแหลงอางองหลายท� พบวาทกท�ม “กาหนดขอบเชต” , “เลอกตวอยาง” และ “สรางแบบสารวจ” เหมอนกน แตถาอางองตามหนงสอสาระการเรยนรพ 6นฐาน ม.5 จะมพดถง “ประมวลผลและวเคราะห” ดวย อยางไรกตาม บางแหลงอางองท�หาได กมพดถง “การนาเสนอ” ดวย ความเหนสวนตว + แหลงอางองท�หาไดท 6งหมดแลว ผมคดวาขอ 5 มโอกาสจะเปนคาตอบมากท�สดครบ

v(# ∪ $) = v(#) + v($) − v(# ∩ $) T

= ' + ' − v(# ∩ $)

v(# ∩ $) = ' + ' − T

= �/ ) 8'' = �

''

18 O-NET (ก.พ. 56)

31. (5.8) จากสมบตของคาเฉล�ยเลขคณต จะได ขอมลทกตวบวกกน = 15 × 11 = 165 แตจะเหนวาทกตวบวกกน = 148 + 2 ดงน 6น 165 = 148 + 2 จะได 2 = 17 จะได กาลงสองของ ~ = ∑(7�)7)+

� = ( &) &)+/( ]) &)+/( �) &)+/⋯/( &) &)+

= ]/�&/�/]/ /@/ / T/@/@/] = T@

~ 5.8

หมายเหต : ขอน 6ถาใชสตร สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของ “กลมตวอยาง” ~ = �∑(7�)7)+�)

ตวหาร จะเปล�ยนจาก 11 เปน 10 และจะไดคาตอบ = T@ ] = 6.4 ซ�งจะตรงกบตวเลอกขอ 1

ขอน 6คนออกขอสอบคงใชสตรของ “กลมตวอยาง” ในการคด แตคงลมบอกในโจทยวาขอมลชดน 6เปนกลมตวอยาง แตเน�องจากโจทยบอกชดเจนวา "ขอมลชดหน�งม 11 จานวน" จงตองตอบ 5.8 (แตถาตองเดากคงเลอก 6.4) 32. 4 จะไดจานวนนกเรยนท 6งหมด = 44 + 46 + 42 = 132 คน จากสมบตของคาเฉล�ยเลขคณต จะได ผลรวมน 6าหนก = 50 × 132 = 6600 กก แตหองแรก ช�งไดสงเกนจรง คนละ 1 กก. แตหองแรกม 44 คน ดงน 6น ผลรวมน 6าหนกจะสงเกนจรงไป 1 × 44 = 44 กก. ดงน 6น ผลรวมน 6าหนดท�ถกตอง = 6600 – 44 = 6556 กก ดงน 6น คาเฉล�ยท�ถกตอง = T&&T

'� = &�T � = @�

' = 49 �'

33. 9 จากสมบตของคาสมบรณ จะได −4 ≤ 2 − 3 ≤ 4 บวก 3 ตลอด จะได −1 ≤ 2 ≤ 7 ดงน 6น 2 = −1, 0, 1, 2, … , 7 ท 6งหมด 9 จานวน 34. 10 จากสตร Inclusive – Exclusive แบบ 3 เซต จะได P(# ∪ $ ∪ %) = (แตละวงรวมกน) – (ผลรวมของสองวงซอนกน) + (สามวงซอนกน) = (49 + 48 + 59) – (22 + 32 + 27) + (15) = 156 – 81 + 15 = 90 นกเรยนท�ไมชอบท 6งสามชนด คอนกเรยนท�อยนอก # ∪ $ ∪ % น�นเอง ซ�งจะมจานวน 100 – 90 = 10 คน 35. 500 ใหคาเรยงพมพ = 2 บาท และคาพมพ แผนละ ; บาท จากท�โจทยให จะได 2 + 100; = 800 …(1) 2 + 200; = 1100 …(2) โจทยถามคา 2 เราจะเอา 2(1) – (2) ให ; ตดกน : 22 − 2 = 1600 – 1100 จะได 2 = 500 36. 680 ใหพ�มเงน 2 บาท นองมเงน ; บาท ดงน 6น 2 = ; + 120 …(1) และ 2 + ; ≤ 1240 …(2) โจทยถามคามากสดของ 2 ดงน 6น เราจะกาจด ; จาก (1) จะได ; = 2 − 120 แทนใน (2) จะได 2 + 2 − 120 ≤ 1240 → 22 ≤ 1360 → 2 ≤ 680 ดงน 6น คามากสดของ 2 คอ 680

O-NET (ก.พ. 56) 19

37. 0.6 มลกแกวท 6งหมด = 6 + 3 + 1 = 10 ลก หยบ 2 ลกพรอมกน จะได จานวนแบบท 6งหมด = ( ]

� * = ]×�� = 45 แบบ

แบบท�ไดสตางกน จะแบงเปน 3 กรณ คอ แดงเขยว + แดงเหลอง + เขยวเหลอง = (6)(3) + (6)(1) + (3)(1) = 18 + 6 + 3 = 27 ดงน 6น ความนาจะเปน = ��

@& = '& = 0.6 38. 2 สตรพจนท�วไปของลาดบเรขาคณต คอ �O = � sO) จากโจทย จะได 54 = � s' …(1) และ 1458 = � sT …(2) โจทยถาม � เราจะกาจด s โดย (1)� ÷ (2) ให sT ตดกน จะได : &@+

@&8 = cS+q�cSq� ตดเลข จะเหลอ 2 = �

39. 66 v&T จะอยตวท� &T

]] × (119 + 1) = &T ]] × 120 = 67.2

จากชองความถ�สะสม (F) จะได ตวท� 67 มคา 65 และ ตวท� 68 มคา 70 ดงน 6น ตวท� 67.2 = ตวท� 67 + 0.2 × (ตวท� 68 – ตวท� 67) = 65 + 0.2 × ( 70 – 65 ) = 65 + 1 = 66 40. 61.3 หาคาเฉล�ยเลขคณตแบบอตรภาคช 6น จะประมาณใหคา 2� ของแตละช 6น = จดก�งกลางช 6น เชน ช 6นแรก จะม จดก�งกลางช 6น = /�]

� = 10.5 คะแนนแตละช 6นเพ�มทละ 20 ดงน 6น จดก�งกลางช 6นท�เหลอให +20 ไปเร�อยๆ หาผลรวมคะแนนแตละช 6น (>�2�) แลวบวกกนดงตาราง จะได 2 = ']T&

จานวนนกเรยน = ']T&&] = 61.3

เครดต ขอบคณ คณ Kue Kung สาหรบขอสอบและเฉลยนะครบ ขอบคณ คณ Ntt Dks สาหรบขอสงเกตเร�องกลมตวอยางในขอ 31 ดวยครบ

คะแนนท�ได จานวนนกเรยน (คน) F 52 13 13 55 12 25 57 17 42 60 9 51 62 10 61 65 6 67 70 14 81 75 14 ⋮ ⋮

จดก�งกลางช 6น (2�)

จานวนนกเรยน (>�) >�2�

10.5 3 31.5 30.5 5 152.5 50.5 13 656.5 70.5 20 141.0 90.5 9 814.5

3065.0