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ok331平面向量的幾何表示法

高中數學虛擬教室

1

oookkk333333111 平平平面面面向向向量量量的的的幾幾幾何何何表表表示示示法法法

主題一、向量的幾何表示法

1. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向﹐像這種帶有箭頭

的線段﹐稱為從 A點到 B 點的有向線段﹐記作 AB ﹐其中

A點稱為有向線段 AB 的始點﹐ B 點稱為它的終點﹒ AB 的

長度稱為有向線段 AB 的長度﹐以 AB 表示﹒

2. 我們用有向線段來代表向量﹐而且有向線段的方向

代表向量的方向﹔有向線段的長度代表向量的大小﹒

3. 當兩向量 AB 與 CD的大小相等﹐且方向相同時﹐

稱此兩向量相等﹐記作 AB CD ﹒

4. 始點與終點重合之有向線段所代表的向量稱

為零向量﹐記作 0 ﹒



2

【例題 1】

有一邊長為 1 的正六邊形﹒若向量 a 的起點與終點都是此

正六邊形的頂點﹐且 1a ﹐則共有多少個不相等的向量 a ﹖

Ans：6

【詳解】

如右圖﹐正六邊形有三組不平行的稜邊﹒

又一稜邊可以有兩種不同的方向﹐

因此不相等的向量 a 有 32＝6 種﹒

【類題 1】

試問正五邊形的邊可以決定多少個不相等的向量﹖

Ans：10

【詳解】

如右圖﹐正五邊形任兩稜邊都不平行﹒

又一稜邊可以有兩種不同的方向﹐

因此共可決定 52＝10 個不相等的向量﹒



3

主題二、向量的加法與減法

1. 向量加法法則﹕

(1) 三角形法則﹕ (2) 平行四邊形法則﹕

2. 向量減法法則﹕

3. 向量的拆解﹕

設 A﹐ B ﹐ C 為任意三點﹒向量 AB 可拆解如下﹕

(1) AB AC CB (2) AB CB CA ﹒



4

【例題 2】

在正六邊形 ABCDEF 中﹐選出正確的選項﹕

(1) AB BC CD DE AE

﹒

(2) AC AF CF ﹒

(3) AC CE CB CD

﹒

(4) AD CF DC AF

﹒

(5) AD BD BA ﹒

Ans：(1)(3)(4)(5)

【詳解】

(1) AB BC CD DE AC CE AE

﹒

(2) 因為 AF CD ﹐所以 AC AF AC CD AD ﹒

而 AD 與 CF 不平行﹒故兩向量不相等﹒

(3) AC CE CB AE CB

﹒因為 CB EF ﹐

所以 AC CE CB AE EF AF CD

﹒

(4) AD CF DC AD DC CF AC CF AF

﹒

(5) 由向量減法得知﹐ AD BD BA ﹒

故選項(1)(3)(4)(5)正確﹒

【類題 2】

已知 ABCDE為五邊形﹐化簡下列各式﹕

(1) AB BC CD DE EA ﹒ (2) AB AD BC ﹒



5

Ans：(1) 0 ，(2) DC

【詳解】

(1) 原式 AC CD DE EA AD DE EA 0AE EA ﹒

(2) 原式 DB BC DC ﹒

【例題 3】

已知 ABCD為四邊形﹐令 a DA ﹐ b AB ﹐ c DC ﹒

試將下列各向量以 a ﹐ b 和 c 表示﹕

(1) BD﹒ (2) CA﹒ (3) BC ﹒

Ans：(1) b a ，(2) c a ，(3) b a c

【詳解】

(1) BD BA AD b a ﹒

(2) CA CD DA c a ﹒

(3) BC BA AD DC b a c ﹒

【類題 3】

如右圖﹐平行四邊形 ABCD中﹐令 AB a ﹐ AD b ﹐

試以 a ﹐ b 表示下列各向量﹕

(1) DB﹒ (2) CA﹒

Ans：(1) b a ，(2) a b



6

【詳解】

(1) DB DA AB b a ﹒

(2) CA AC a b a b

﹒



7

主題三、向量的係數積與平行

1. (1) 若 0a ﹐則

當 0r 時﹐ r a 的方向與 a 的方向相同﹐其大小為 r a ﹒

當 0r 時﹐ r a 的方向與 a 的方向相反﹐其大小為 r a ﹒

當 0r 時﹐ r a 為零向量﹐即 0r a ﹒

(2) 若 0a ﹐則 0r a ﹒

2. 設 r ﹐ s 為實數﹐ a ﹐ b 為任意向量﹒

(1) r a b r a r b

﹒

(2) r s a r a s a ﹒

(3) r s a rs a

﹒

3. 當兩個非零向量 a 與 b 中有一個可以寫成另一個的

係數積時﹐稱 a 與 b 平行﹐記作 //a b ﹒



8

【例題 4】

右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合﹐且每一小

格都是菱形﹒試以 A點為始點畫出2

23

a b ﹒

Ans：見詳解

【詳解】

因為2 2

2 23 3

a b a b

﹐

所以由向量的加法作圖如右﹒

【類題 4】

右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合﹐且每一小

格都是菱形﹒試以 A點為始點畫出3 3

2 4a b ﹒

Ans：見詳解

【詳解】

因為3 3 3 3

2 4 2 4a b a b

﹐

所以由向量的加法作圖如右﹒

【例題 5】

在△ ABC中﹐ 2BF FA ﹐ 2AE EC ﹐ 2CD DB ﹐

令 BF a ﹐ BD b ﹐試用 a 與 b 表示下列各向量﹕

(1) AD﹒ (2) BE﹒ (3) 3AD BE ﹒

Ans：(1) 3

2a b ，(2)

12

2a b ，(3) 7 b

【詳解】



9

(1) 由向量的拆解﹐得3

2AD AB BD a b ﹒

(2) 由向量的拆解及向量係數積的基本性質﹐得

3 2

2 3BE BA AE a AC

3 2 3 2 3

32 3 2 3 2

a AB BC a a b

3 1

2 22 2

a a b a b ﹒

(3) 3 1

3 3 22 2

AD BE a b a b

3 36

2 2a b a b 7 b ﹒

【類題 5】

如右圖﹐正六邊形 ABCDEF 中﹐令 AB a ﹐ AF b ﹐

試以 a ﹐ b 表示下列各向量﹕

(1) CB﹒ (2) CE﹒ (3) EA﹒ (4) 2CE EA ﹒

Ans：(1) a b ，(2) a b ，(3) 2a b ，(4) 5a b

【詳解】

(1) CB CO OB a b ﹒

(2) CE CO OE a b ﹒

(3) 2 2EA EB BA b a a b

﹒

(4) 2 2 2 5CE EA a b a b a b

﹒



10

【例題 6】

「三角形兩邊中點連線定理」

已知 D﹐ E 分別為△ ABC兩邊 AB ﹐ AC 的中點﹐試證﹕

//DE BC 且1

2DE BC ﹒

【證明】

因為 DE DA AE

1 1

2 2BA AC

1

2BA AC

1

2BC ﹐

所以 DE與 BC 同方向且 DE 長度為 BC 長度的一半﹐即

//DE BC 且1

2DE BC ﹒

【類題 6】

已知 D﹐ E 分別在△ ABC兩邊 AB ﹐ AC 上﹐且 2AD DB ﹐

2AE EC ﹐試證﹕ //DE BC 且2

3DE BC ﹒

【證明】

因為 DE DA AE

2 2

3 3BA AC

2

3BA AC

2

3BC ﹐

所以 DE 與 BC 同方向且 DE 長度為 BC 長度的2

3﹐即

//DE BC 且2

3DE BC ﹒



11

主題四、向量的線性組合

若 OA和 OB 為平面上兩個不平行的非零向量﹐則平面上的

每一個向量 OP 都可以唯一表示成 OP xOA yOB 的形

式﹒我們將這種形式的向量稱為 OA與 OB 的線性組合﹒

已知非零向量 OA和 OB 不平行﹐且 2 5 3OB AP BO BP ﹒

(1) 將 OP 表為 OA與 OB 的線性組合﹒

(2) 設OP xOA yOB ﹐求 x﹐ y 的值﹒

Ans：(1) 2 3

5 5OA OB ，(2)

2

5x ﹐

3

5y

【詳解】

(1) 利用向量的拆解﹐得

原式

2 5 3OB OP OA OB OP OB

5 2 3OP OA OB

2 3

5 5OP OA OB ﹒

(2) 因為 OA和 OB 不平行﹐所以線性組合是唯一表示﹐故

2

5x ﹐

3

5y ﹒



12

【例題 7】

已知 a 和 b 是兩個不平行的非零向量﹐且實數 s ﹐ t 滿足

2 2 7 4s a b t a b a b

﹐求 s ﹐ t 的值﹒

若非零向量 a 和 b 不平行﹐且 0x a y b ﹐則 0x y ﹒

Ans： 2s ﹐ 3t

【詳解】

利用向量係數積的基本性質﹐將原式改寫成

2 7 2 4 0s t a s t b ﹒

因為 0 0 0a b ﹐

且任一向量表示成 x a y b 的形式是唯一的﹐

所以2 7 0

2 4 0

s t

s t

解得 2s ﹐ 3t ﹒

【類題 7】

已知 a 和 b 是兩個不平行的非零向量﹐且實數 s ﹐ t 滿足

2 3s a b t a b a b

﹐求 s ﹐ t 的值﹒

Ans： 2s ﹐ 1t

【詳解】

利用向量係數積的基本性質﹐將原式改寫成

2 3 1 1 0s t a s t b ﹒



13

因為 0 0 0a b ﹐

且任一向量表示成 x a y b 的形式是唯一的﹐

所以 2 3 1 0

1 0

s t

s t

，解得 2s ﹐ 1t ﹒

【例題 8】

在平行四邊形 ABCD中﹐ 2AE EC ﹐ F 為 BC 的中點﹒

(1) 設 AE x AB y AD ﹐求 x﹐ y 的值﹒

(2) 設 EF r AB s AD ﹐求 r ﹐ s 的值﹒

Ans：(1) 2

3x ﹐

2

3y ，(2)

1

3r ﹐

1

6s

【詳解】

(1) 因為 2AE EC ﹐且 AC AB AD ﹐所以

2 2

3 3AE AC AB AD

2 2

3 3AB AD ﹒

故2

3x ﹐

2

3y ﹒


EF EA AB BF

2 2 1

3 3 2AB AD AB AD

1 1

3 6AB AD ﹒

故1

3r ﹐

1

6s ﹒



14

【類題 8】

在平行四邊形 ABCD中﹐1

3AE AC ﹒

(1) 設 AE x AB y AD ﹐求 x﹐ y 的值﹒

(2) 設 EB r AB s AD ﹐求 r ﹐ s 的值﹒

Ans：(1) 1

3x ﹐

1

3y ，(2)

2

3r ﹐

1

3s

【詳解】

(1) 因為1

3AE AC ﹐且 AC AB AD ﹐所以

1 1

3 3AE AC AB AD

1 1

3 3AB AD ﹒

故1

3x ﹐

1

3y ﹒


EB EA AB

1 1

3 3AB AD AB

2 1

3 3AB AD ﹒

故2

3r ﹐

1

3s ﹒



15

主題五、向量的分點公式

若 P 為△ OAB中 AB 邊上一點﹐且 : :AP PB m n ﹐則

n mOP OA OB

m n m n

﹒



16

【例題 9】

如右圖﹐ P 在△ OAB的 AB 邊上﹐且

2AP BP ﹐ 2OC CA ﹒

(1) 設 OP xOA yOB ﹐求 x﹐ y 的值﹒

(2) 設 CP r OA sOB ﹐求 r ﹐ s 的值﹒

Ans：(1) 1

3x ﹐

2

3y ，(2)

1

3r ﹐

2

3s

【詳解】

(1) 因為 2AP BP ﹐所以 : 2 : 1AP PB ﹒

利用向量的分點公式﹐得

1 2

3 3OP OA OB ﹒故

1

3x ﹐

2

3y ﹒

(2) 由向量的拆解﹐得

CP CO OP

2 1 2

3 3 3OA OA OB

1 2

3 3OA OB ﹒

故1

3r ﹐

2

3s ﹒

【類題 9】

如右圖﹐在△ OAB中﹐ : 4 :3AP PB ﹐ : 3: 2OQ QP ﹒

(1) 設 OP xOA yOB ﹐求 x﹐ y 的值﹒

(2) 設 OQ r OA sOB ﹐求 r ﹐ s 的值﹒

Ans：(1) 3

7x ﹐

4

7y ，(2)

9

35r ﹐

12

35s



17

【詳解】

(1) 因為 : 4 : 3AP PB ﹐所以3 4

7 7OP OA OB ﹒

故3

7x ﹐

4

7y ﹒

(2) 因為3 3 3 4 9 12

5 5 7 7 35 35OQ OP OA OB OA OB

﹐

所以9

35r ﹐

12

35s ﹒

【例題 10】

如右圖﹐O﹐ A﹐ B 三點不共線﹐點 P 在直線 AB 上﹐且

: 7 :3AP BP ﹒設 OP xOA yOB ﹐求 x﹐ y 的值﹒

Ans：3

4x ﹐

7

4y

【詳解】

因為 : 7 : 3AP BP ﹐所以 : 4 : 3AB BP ﹒

利用分點公式﹐得

3 4

7 7OB OA OP ﹐

移項得4 3

7 7OP OA OB ﹒整理得

3 7

4 4OP OA OB ﹒

故3

4x ﹐

7

4y ﹒

【類題 10】

如右圖﹐O﹐ A﹐ B 三點不共線﹐點 P 在直線 AB 上﹐且

: 3:1BP AP ﹒設 OP xOA yOB ﹐求 x﹐ y 的值﹒



18

Ans：3

2x ﹐

1

2y

【詳解】

因為 : 3 : 1BP AP ﹐所以 : 1 : 2PA AB ﹒

利用分點公式﹐得2 1

3 3OA OP OB ﹐

移項得2 1

3 3OP OA OB ﹒整理得

3 1

2 2OP OA OB ﹒

故3

2x ﹐

1

2y ﹒



19

主題六、共線定理

設 O﹐ A﹐ B 三點不共線﹒若點 P 在直線 AB 上﹐且

OP xOA yOB ﹐則 1x y ﹔反之亦成立﹒

【證明】

若點 P 在直線 AB上﹐則 AP t AB （ t ）﹒因此

1OP OA t OB OA OP t OA t OB

﹒

此時 1 1t t ﹒

若 OP xOA yOB ﹐且 1x y ﹐則

1OP xOA x OB x OA OB OB

﹒

整理得

OP OB x OA OB BP x BA

﹒

故點 P 在直線 AB上﹒

已知 O﹐ A﹐ B 三點不共線﹐

(1) 設2

5OP xOA OB ﹐且點 P 在直線 AB 上﹐求 x 的值﹒

(2) 設7 2

5 5OQ OA OB ﹐問﹕點 Q是否在直線 AB 上﹖

Ans：(1) 3

5x ，(2) 點 Q 在直線 AB 上

【詳解】

(1) 因為2

15

x ﹐所以3

5x ﹒

(2) 因為7 2

15 5

﹐所以點 Q在直線 AB 上﹒



20

【例題 11】

在△ ABC中﹐ D為 BC 上一點﹐ P 為 AD上一點﹐

且2 1

5 5AP AB AC ﹐求

(1) :AP PD﹒

(2) :BD CD﹒

(3) △ ABP面積：△ ABC面積﹒

Ans：(1) 3：2，(2) 1：2，(3) 1：5

【詳解】

(1) 設 AD t AP ﹐則

2 1 2

5 5 5 5

t tAD t AP t AB AC AB AC

﹒

因為點 D 在直線 BC 上﹐所以由共線定理﹐得

2 51

5 5 3

t tt ﹐

即5

3AD AP ﹒故 : 3 : 2AP PD ﹒

(2) 由(1)得2 1

3 3AD AB AC ﹐

所以由向量的分點公式﹐得

: 1: 2BD CD ﹒

(3) 因為 : 3 : 2AP PD 且 : 1: 2BD CD ﹐所以

△ABP 面積＝3

5△ABD 面積

＝3 1

5 3 △ABC 面積

＝1

5△ABC 面積﹒

故△ABP 面積：△ABC 面積＝1：5﹒



21

【類題 11】

在△ ABC中﹐ D為 BC 上一點﹐ P 為 AD上一點﹐且

1 5

4 12AP AB AC ﹐求

(1) :AP PD﹒

(2) :BD CD﹒

(3) △ ABP面積 :△ ABC面積﹒

Ans：(1) 2：1，(2) 5：3，(3) 5：12

【詳解】

(1) 設 AD t AP ﹐則

1 5 5

4 12 4 12

t tAD t AP t AB AC AB AC

﹒

因為點 D 在直線 BC 上﹐所以由共線定理﹐得

5 31

4 12 2

t tt ﹐

即3

2AD AP ﹒故 : 2 : 1AP PD ﹒

(2) 由(1)得3 5

8 8AD AB AC ﹐

所以由向量的分點公式﹐得

: 5 : 3BD CD ﹒

(3) 因為 : 2 : 1AP PD 且 : 5 : 3BD CD ﹐所以

△ABP 面積＝2

3△ABD 面積

＝2 5

3 8 △ABC 面積

＝5

12△ABC 面積﹒

故△ABP 面積：△ABC 面積＝5：12﹒



22

【例題 12】

在△ ABC中﹐D為 AC 邊的中點﹐且 : 2 :1AE EB ﹐BD與

CE交於 P 點﹒設 AP x AB y AC ﹐求 x﹐ y 的值﹒

利用三角形中的兩條交叉線﹐列得兩個方程式﹐

再解 x﹐ y ﹒

Ans：1

2x ﹐

1

4y

【詳解】

因為

3 3

2 2AP x AB y AC x AE y AC x AE y AC

﹐

又點 P 在直線 CE 上﹐所以3

12

x y ﹒

因為

2 2AP x AB y AC x AB y AD x AB y AD

﹐

又點 P 在直線 BD 上﹐所以 2 1x y ﹒

由解得1

2x ﹐

1

4y ﹒

【類題 12】

在△ ABC中﹐ : 2 :1AD DC ﹐ : 3:1AE EB ﹐ BD與

CE交於 P 點﹒設 AP x AB y AC ﹐求 x﹐ y 的值﹒

Ans：1

2x ﹐

1

3y

【詳解】

因為

4 4

3 3AP x AB y AC x AE y AC x AE y AC

﹐



23

又點 P 在直線 CE 上﹐所以4

13

x y ﹒

因為

3 3

2 2AP x AB y AC x AB y AD x AB y AD

﹐

又點 P 在直線 BD 上﹐所以3

12

x y ﹒

由解得1

2x ﹐

1

3y ﹒

【例題 13】

如右圖﹐在平行四邊形 ABCD中﹐ : 2 :1AE EB ﹐

: 3: 2AF FD ﹐ DE 與 CF 交於 P 點﹒

設 AP x AB y AD ﹐求 x﹐ y 的值﹒

利用平行四邊形中的兩條交叉線﹐列得兩個方程式﹐

再解 x﹐ y ﹒

Ans：4

19x ﹐

13

19y

【詳解】

因為

3 3

2 2AP x AB y AD x AE y AD x AE y AD

﹐

又點 P 在直線 DE 上﹐所以

31

2x y

因為

5

3AP x AB y AD x AC CB y AF

5 5 5 5

3 3 3 3x AC AF y AF x AC x y AF

又點 P 在直線 FC 上﹐所以



24

5 51 2 5 3

3 3x x y x y

由解得4

19x ﹐

13

19y ﹒

【類題 13】

如右圖﹐在平行四邊形 ABCD中﹐ : 1:3AE EB ﹐

: 1: 2AF FD ﹐ AC 與 EF 交於 P 點﹒

設 AP x AB y AD ﹐求 x﹐ y 的值﹒

Ans：1

7x ﹐

1

7y

【詳解】

設 AP t AC ﹐因為 AC AB AD ﹐所以

4 3 4 3AP t AB t AD t AE t AF t AE t AF

﹒

因為點 P 在直線 EF 上﹐所以

14 3 1

7t t t ﹐

即1 1

7 7AP AB AD ﹐故

1

7x ﹐

1

7y ﹒



25

oookkk333333111eeexxx

1. 如右圖﹐正六邊形 ABCDEF 中﹐ M 為 CD的中點﹒

令 AB a ﹐ AF b ﹐試以 a ﹐ b 表示下列各向量﹕

(1) AD﹒ (2) AE ﹒ (3) AM ﹒ (4) 2AE AM ﹒

Ans：(1) 2 2a b ，(2) 2a b ，(3) 3

22

a b ，(4) 3 a b

【詳解】

(1) AD＝2 AO＝2( a ＋ b )。

(2) AE ＝ AB ＋ BE＝ a ＋2 b 。

(3) AM ＝ AB ＋ BC ＋ CM

＝ a ＋( a ＋ b )＋1

2b

＝2 a ＋3

2b 。

(4) 2AE AM

＝( a ＋2 b )－2(2 a ＋3

2b )

＝3 a － b 。

2. 在△ ABC中﹐ P 在 AB 上且 : 3:1AP PB ﹐ Q在 AC 上且

: 1: 2AQ QC ﹒若 PQ x AB y AC ﹐求 x﹐ y 的值﹒

M

O

D

E

F

A

B

C



26

Ans：3

4x ﹐

1

3y

【詳解】

Q

P

A

BC

PQ＝ PA＋ AQ＝3

4AB ＋

1

3AC ，

故 x＝3

4 ，y＝

1

3。

3. 如右圖﹐在△ ABC中﹐ : 2 :3AD DB ﹐ : 1: 2DP PC ﹒

設 AP x AB y AC ﹐求 x﹐ y 的值﹒

Ans：4

15x ﹐

1

3y

【詳解】

AP ＝ AD＋ DP

＝ AD＋1

3DC

＝ AD＋1

3( AC － AD )

＝2

3AD＋

1

3AC

＝2

3･

2

5AB ＋

1

3AC

＝4

15AB ＋

1

3AC 。

P

D

A

B C



27

故 x＝4

15，y＝

1

3。

4. 在△ ABC中﹐若 1 2 2 0a AB a b BC a b CA ﹐

求 a﹐ b 的值﹒

Ans： 0a ﹐ 1b

【詳解】

1 2 2 0a AB a b BC a b CA

(a＋1) AB ＋(2a－b)( AC － AB )－(a＋b＋2) AC ＝ 0

(a＋1－2a＋b) AB ＋(2a－b－a－b－2) AC ＝ 0

a－b－1＝0，a－2b－2＝0

b＝1，a＝0。

5. 如右圖﹐在△ ABC中﹐ : 3: 2AP PQ ﹐ : 2 :1BQ QC ﹒

(1) 設 AQ x AB y AC ﹐求 x﹐ y 的值﹒

(2) 設 AP r AB s AC ﹐求 r ﹐ s 的值﹒

Ans：(1) 1

3x ﹐

2

3y ，(2)

1

5r ﹐

2

5s

【詳解】

(1) AQ＝1

3AB ＋

2

3AC ，

即 x＝1

3，y＝

2

3。

(2) AP ＝3

5AQ

Hide Points

P

Q

A

B C



28

＝3

5 (

1

3AB ＋

2

3AC )

＝1

5AB ＋

2

5AC ，

即 r＝1

5，s＝

2

5。。

5. 如右圖﹐在四邊形 ABCD中﹐ AC 與 BD相交於 P 點﹐且

2 3AC AB AD ﹐求 :AP PC﹒

Ans： 1: 4

【詳解】

設 AP ＝k･ AC ＝2k･ AB ＋3k･ AD，

因 B，P，D 三點共線，故 2k＋3k＝1 k＝1

5，

得 :AP PC＝1：4。

6. 如右圖﹐在△ ABC中﹐ : 2 :1AD BD ﹐ : 1:1AE EC ﹐

: 1: 2BQ QC ﹐ DE 與 AQ交於 P 點﹒設 AP x AB y AC ﹐

求 x﹐ y 的值﹒

Ans：2

5x ﹐

1

5y

【詳解】

2 1

3 3AQ AB AC

AP k AQ ＝k(2 1

3 3AB AC )……(1)



29

＝k(2 3 1

23 2 3

AD AE )，

因 D，P，E 三點共線，故

(1＋2

3)k＝1 k＝

3

5，

代入(1)得

AP ＝3

5(

2 1

3 3AB AC )＝

2 1

5 5AB AC ，，

即 x＝2

5，y＝

1

5。

7. 已知 G 為△ ABC的重心﹒

(1) 設 AG x AB y AC ﹐求 x﹐ y 的值﹒

(2) 證明﹕ 0GA GB GC ﹒

Ans：(1) 1

3x ﹐

1

3y ，(2) 略

【詳解】

如右圖，

(1) AG＝2

3AE ＝

2

3･

1

2( AB ＋ AC )，

故 x＝y＝1

3 。

(2) 1 1

3 3AG AB AC ，

1 1

3 3BG BC BA ，

1 1

3 3CG CA CB ，

三式相加得

0AG BG CG ，即

G

E

FD

A

B C



30

0GA GB GC 。

8. 如右圖﹐在△ ABC中﹐ 6AB ﹐ 5BC ﹐ 4CA ﹐

BAC 的角平分線交 BC 於 D﹐ I 為△ ABC的內心﹒

(1) 設 AD x AB y AC ﹐求 x﹐ y 的值﹒

(2) 設 AI r AB s AC ﹐求 r ﹐ s 的值﹒

Ans：(1) 2

5x ﹐

3

5y ，(2)

4

15r ﹐

2

5s

【詳解】

(1) 由內角分角線性質知

BD： DC ＝ AB ： AC ＝64＝3：2，

AD＝2

5AB ＋

3

5AC ，即 x＝

2

5，y＝

3

5。

(2) BD＝53

5＝3，故

AI ： ID＝ AB ： BD＝6：3＝2：1，

2

3AI AD ＝

2

3･

2 3( )5 5

AB AC ＝4 2

( )15 5

AB AC ，

即 r＝4

15，s＝

2

5。

9. 如右圖﹐在平行四邊形 ABCD中﹐ : 2 :1AE EB ﹐

DB與 CE交於 P 點﹒設 AP x AB y AD ﹐

求 x﹐ y 的值﹒

Ans：3

4x ﹐

1

4y

【詳解】



31

AP x AB y AD x＋y＝1………(1)。

( )AP x AB y AC AB

( )x y AB y AC

3

( )2

x y AE y AC ，

因 C，P，E 三點共線，故

3

2(x－y)＋y＝

3

2x－

1

2y＝1 3x－y＝2……(2)

解(1)(2)得 x＝3

4，y＝

1

4。

10. 如右圖﹐在平行四邊形 ABCD中﹐ : 2 :1DF FC ﹐

E 為 BC的中點﹐ DE 與 BF 交於 P 點﹒設

AP x AB y AD ﹐求 x﹐ y 的值﹒

Ans：4

5x ﹐

3

5y

【詳解】

AP x AB y AD ＝2

( )3

x AB y AF AB ＝2

( )3

x y AB y AF ，

因 B，P，F 三點共線，故

x－2

3y＋y＝x＋

1

3y＝1 3x＋y＝3………(1)

AP x AB y AD ＝

1( )

2x AE AD y AD ＝

1( )

2x AE y x AD

因 D，P，E 三點共線，故

x＋y－1

2x＝

1

2x＋y＝1 x＋2y＝2………(2)



32

解(1)(2)得 x＝4

5，y＝

3

5。

11. 在梯形 ABCD中﹐ 2AB DC ﹐ E ﹐ F 分別在 AD﹐ BC 上﹐

且 : : 2 :1AE ED BF FC ﹐求證﹕ //EF AB且2

3EF AB ﹒

Ans：略

【詳解】

FE

C

A B

D

如上圖，

EF ＝ ED＋ DC ＋ CF ………(1)，

EF ＝ EA＋ AB ＋ BF ………(2)，

因 ED＝1

2EA， CF ＝

1

2BF ，

(1)2＋(2)

3 EF ＝2 DC ＋ AB ＝ AB ＋ AB，故

EF ＝2

3AB，即 //EF AB且

2

3EF AB 。

12. 已知向量 AB 與 AC 所張成的平行四邊形之面積為 4﹐

求由向量 AB AC 與 AB AC 所張成的平行四邊形之面積﹒



33

Ans：8

【詳解】

F

E

D

A B

C

如上圖，

△ABD，△ACD，△ABE，△BEF，△BDF 的面積都是 2，

故平行四邊形 ADFE 的面積為 8。

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