Optikai leképezés visszaverődés és törés útján

Síktükör képalkotásaAz optikai kép. Pontszerű tárgy képe

• P pontszerű tárgyból kiinduló tetszőleges fénysugár a visszaverődés után úgy hagyja el a tükröt, mintha a P’ pontból indult volna ki.

• Ha egy adott P pontból kiinduló fénysugarak – visszaverődések és/vagy törések után – az optikai eszközt úgy hagyják el, hogy a sugarak vagy azok meghosszabbításai egy adott P’ ponton mennek keresztül, akkor azt mondjuk, hogy az optikai eszköz képet alkot, és a P’ pontot a P pont képének nevezzük.

valóditárgy

valódikép

optikai rendszer

látszólagos képvalóditárgy

A kép típusai

• valódi

• látszólagos(virtuális)

• A síktükör valódi tárgyról virtuális képet állít elő.

• A képtávolság egyenlő tárgytávolsággal.

Virtuális tárgy

• Tekintsünk egy a tükörre eső, a P’ ponton átmenő fénysugarakból álló összetartó(konvergens) fénynyalábot.

• A fénysugarak megfordíthatóságából rögtön következik, hogy a tükröt egy a P ponton átmenő összetartó fénynyaláb hagyja el.

• Vagyis a P’ pont felé tartó összes sugár az optikai eszköz után a P ponton megy keresztül, így joggal mondhatjuk, hogy a P pont a P’ látszólagos (virtuális) tárgy képe.

• A síktükör virtuális tárgyról valódi képet alkot.

• Virtuális tárgyról persze egy optikai eszköz alkothat virtuális képet is!

• A virtuális tárgy az egymás utáni képalkotások leírásánál nagyon hasznos segéd eszköz.

látszólagos tárgy valódikép

látszólagos tárgy

látszólagos kép

• A későbbi leképezési egyenleteknél virtuális tárgyra a tárgytávolság negatív ( t < 0 ).

Kiterjedt tárgy képe

• A kiterjedt tárgy pontszerű tárgyak összességének tekinthetjük.

• Ezekre külön-külön alkalmazhatjuk az előzőekben megállapított szabályokat.

Ezek alapján a képalkotás sajátosságai:

• A képtávolság egyenlő tárgytávolsággal.

• A kép egyenes állású és a tárggyal azonos nagyságú.

• Valódi tárgy képe virtuális, és virtuális tárgy képe valódi.

• A bal és jobb kéz egymás tükörképei.

Síktükör alkalmazásai• Periszkóp

• Skála tükör• Forgó tükör

?21 =∠ ss

=α+α−ϕ+α+ϕ+α )()()( ϕ2=∠ 21 ss

• Reflexiós goniométer

α−°=ϕ 180

• Ugyanez az eszköz használható a törésmutató mérésére a minimális deviációszögének és a prizma törőszögének mérésével!

• Ugyancsak használható a színkép tanulmányozására (prizmás spektroszkóp)!

• Szögtükör

P

P2

P1

P3

314

2

1 33

4

2

4

δ=ε+γ

°=γ+α 1802

°=ε+β 1802

°=δ+β+α 36022

°=ϕ+β+α 360222

°=ϕ+β+α 180

ϕ=δ 2

β

β αA

B

n1

n0

nβ

0°

n1║ n0

• Szextáns

β−δ=ε

ε+α=δ 22

β−δ+α=δ 222

β=α 2

ε

εε

δ

δ

Gömbtükrök képalkotása

homorú tükör domború tükör

O a tükröző gömbfelület görbületi középpontja

φ a tükör nyílásszöge

C tetőpont a tükör optikai középpontja

OC egyenes az optikai tengely (vagy főtengely)

O2φ

C O 2φ C

Homorú tükör fókusztávolsága

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.00.20.40.60.81.0

x

yx

= −−

21

1 2

y

2

rOB =

OF

OB=αcos

α⋅=

cos2

rOF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−⋅=−=

cos

12

2

rOFrCF

22 )(1sin1cos rd−=α−=α

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−⋅==

2)(1

12

2 rd

rCFf

Paraxiális közelítés

• Az optikai tengelyhez közeli, a tengellyel kis szöget bezáró fénysugarakra, a paraxiális sugarakra korlátozzuk a vizsgálatot.

Paraxiális közelítésben2

rf = paraxiális fókusztávolság

Kísérleti szemléltetés: Hartl-féle koronggal.

OA = OC = r

O CF

α φ

ABd

(254,2. ábra)

αα

tárgy a főtengelyen a fókuszon kívül

Leképezés paraxiális közelítésben

t

CA=α

r

CA=β

k

CA=γ

2

rf =

ε+β=γ

ε+α=ββ=γ+α 2

r

CA

k

CA

t

CA2=+

fkt

111=+ Leképezési egyenlet (tükör egyenlet)

OP’A ∆ :

POA ∆ :

tárgy a főtengelyen afókuszon belül

t

CA=α

r

CA=β

k

CA

−=γ

2

rf =

ε+β=α

γ+α=ε2β=γ−α 2

r

CA

k

CA

t

CA2=

−−

fkt

111=+ Leképezési egyenlet (tüköregyenlet)

OPA ∆ :

P’AP ∆ :

Nem a főtengelyen lévő pont leképezés paraxiális közelítésben

• T és az O ponton keresztül berajzoljuk a melléktengelyt.

• T képét megszerkeszthetjük az előbb látott módon.

• Hasonlóan kapjuk a kicsiny τ körív κ képét.

• Paraxiális közelítésben a kicsiny körív helyettesíthető az optikai tengelyre merőleges kicsiny szakasszal.

• Paraxiális közelítésben az optikai tengelyre merőleges kicsiny szakasz képe az optikai tengelyre merőleges kicsiny szakasz.

• A tárgy- és a képtávolságra érvényes a leképezés egyenlet:

fkt

111=+

O CFK

τκ

T

OCFTárgy

1

1

2

2

3

3

4

4 Kép

Képszerkesztés nevezetes sugarakkal

O CF

Tárgy 1

1

22 3

34

4

Kép

tárgy a fókuszponton kívül

tárgy a fókuszponton belül

CPQ és CP’Q’háromszögek hasonlók

Nagyítás:

Nagyítás és a leképezési egyenlet Newton-féle alakja

• N > 0, ha kép egyenes állású,

• N < 0, ha kép fordított állású.

tk

N −=

Fókuszon belüli, valamint virtuális tárgy esetén ugyanezek az összefüggések érvényesek.

1 1 1

t k f+ =

PQQPN ''=

yyN '=

y

'y−

k

y

t

y '−=

t

k

y

y−=

'

fkt

111=+ 1−==−

f

k

t

kN

f

x

f

fk '=

−=

f

xN

'−=

11

−==−f

t

k

t

N f

x

f

ft=

−=

x

fN −=

x

f

f

x=

'

2' fxx =⋅ Newton-féle leképezési egyenlet

Az optikai tengely közelében haladó (d/r < 0.1) párhuzamos sugarak jó közelítéssel egy pontban metszik egymást.

Domború tükör fókuszpontja

2

rOB =

OFOB=αcosα⋅

=cos2

rOF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−⋅=−==−

cos

12

2

rOFrCFf

22 )(1sin1cos rd−=α−=α

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−⋅−=−=

2)(1

12

2 rd

rCFf

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.00.20.40.60.81.0

x

yx

= −−

21

1 2

y

Paraxiális közelítésben 2rf −= paraxiális fókusztávolság

Az optikai tengellyel párhuzamosan beeső (paraxiális) sugarak úgy verődnek vissza, mintha az F (paraxiális) fókuszpontból indultak volna ki,

Azaz a tükröt széttartó nyaláb hagyja el! Ekkor fókuszpontot virtuálisnak nevezzük. Virtuális fókuszpont esetén – a számolások miatt – célszerű a fókusztávolságot negatívnak tekinteni.

Képszerkesztés nevezetes sugarakkal

254,9. ábra

CPQ és CP’Q’háromszögek hasonlók

Nagyítás és leképezési egyenlet

OC F

Tárgy 11

22

3 34

4

Kép

x

f

f

x

t

kN −=−=−=

'

fkt

111=+

2' fxx =⋅

Optikai leképezés gömb- és síkfelületen való törés útján

Paraxiális közelítés

ϕ+ε=α '' α+ε=ϕ

'sin'sin α=α nn

ϕ+ε=α nnn

,sin α≈α 1cos ≈α

''α=α nn

th=ε

kh=ε'

rh=ϕ

''''' ε−ϕ=α nnn ''' ε−ϕ=ϕ+ε nnnn ϕ−=ε+ε )'('' nnnnrh

nnkh

nth

n )'(' −=+

rnn

kn

tn −

=+''

P pontból kiinduló összes (paraxiális) sugár a törés után P’ ponton halad keresztül!

Leképezési egyenlet:

AOP’ ∆PAO ∆

255,1. ábra

Síkfelület esetén r = ∞, így ekkor a leképezési egyenlet sík törőfelületre: 0'=+

kn

tn

rnn

D−

='

Törőerősség:

• Ha a tárgy felől nézve a felület domború, akkor r > 0.• Ha a tárgy felől nézve a felület homorú, akkor r < 0.• Valódi tárgy esetén t > 0, virtuális tárgy esetén t < 0.• Valódi kép esetén k > 0, virtuális kép esetén k < 0.

Előjel megállapodás a leképezési egyenlet alkalmazásánál (szemléletes rendszer)

Lehetséges esetek valódi tárgy esetén

O C– r

t– k

n > n’

PP’

255,2. ábra (a tankönyvben hibás a d rész!

Tárgyoldali (elülső) fókuszpont

• A képoldalról beeső, az optikai tengellyel párhuzamos sugarak vagy azok meghosz-szabbításai az F tárgyoldali fókuszponton mennek keresztül.

Képoldali (hátsó) fókuszpont

• A tárgyoldalról beeső, az optikai tengellyel párhuzamos sugarak vagy azok meghosz-szabbításai az F’ képoldali fókuszponton mennek keresztül.

rnn

fn −=

'''

∞=t

rnn

nf

−=

''

'r

nnfn −=

'r

nnn

f−

='

rff =−'

Fókuszpontok és fókusztávolságok

F’

'fk =

'fk −=−

F’

∞=k

ft =

F

ft −=−

F

rnn

kn

tn −

=+''

Képszerkesztés „nevezetes” sugarakkal

Newton-féle leképezési egyenlet

'' ffxx ⋅=⋅ftx −=

'' fkx −=

tf

tx

−=1

kf

kx '

1'

−= kf

tf

kf

tf

kx

tx ''

1'

⋅+−−=⋅

= 0

tnkn

fx

xf

N''

'−=−=−=

rnn

kn

tn −

=+''Leképezési egyenlet 1'

'' =−+−

k

rnn

n

t

rnn

n

1'=+

kf

tf

Oldalnagyítás

yy

N'

=PQF ∆ és BCF ∆

P’Q’F’ ∆ és ACF’ ∆ ky

nty

n'

'−

=

QCQ’ fénysugár

y

–y’

n n’(255,3. ábra)

C O

fn

n nr

fn

n nr

f f r=

−

′ =′−

⎫

⎬⎪

⎭⎪

′ − ='

'

f f ’

fr

F F’P

Q1

1

A

2

2B

33

P’

Q’

t k

x x’

O C|r|

t

n = 1,33n’ = 1r = – 8 cm

Kísérleti szemléltetés

Értelmezés

Egyenes állású nagyított képet látunk

F’

f

fn

n nr=

-=

',32 24 cm f

nn n

r''

',=

-= 24 24 cm

F

f’

nt nk

nL

Gömbi lencsék. Vékonylencsék képalkotása

t

K1T K2

O2 O1

R1

R2

optikai tengely

k2 k1

A lencse elülső felületének képalkotása

111 Rnn

kn

tn tLLt −

=+

tt =111 Rnn

kn

tn tLLt −

=+

A lencse hátsó felületének képalkotása

222 Rnn

kn

tn LkkL

−−

=+

12 kt −=

2kk =21 Rnn

kn

kn kLkL −

=+−

2121

DDR

nn

R

nn

k

n

t

n kLtLkt +=−

+−

=+

Az elülső felület a K1 képet alkotná, amely a hátsó felület jelenléte miatt valójában nem jön létre. A K1 kép a hátsó felület képalkotásánál virtuális tárgy. Ennek a képe a végső kép.

T2K

= k= t1

A vékony lencsék gyújtópontjai és gyújtótávolságai

F’

f ’

nt nk

nL

tárgyoldali (elülső)

képoldali (hátsó)

F

f

nt nk

nL

∞=t

'fk =

2121

DDR

nn

R

nn

k

n

t

n kLtLkt +=−

+−

=+

21'DD

f

nk +=21

'DD

nf k

+=

ft =

∞=k

21 DDf

nt +=21 DD

nf t

+=

'f

n

f

n kt =

21 DDk

n

t

n kt +=+ 12121 =+++k

DD

n

tDD

n kt

1'=+

k

f

t

f

Mind a kép-, mind a tárgyoldali fókuszpontok lehetnek virtuálisak is!

Leképezési egyenlet

'f

n

f

n kt = kt nn = így ekkor 'ff =

=+

=tn

DD

f211 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

21

11

RRn

nn

t

tL⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−

21

11)1(

RRn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−=

21

11)1(

1

RRn

f

1=+k

f

t

f

fkt

111=+

t

L

n

nn =ahol

lencseegyenlet

Sokszor

Lencse típusok

R1 –+ ∞ +

R2 + + +

–

– – –

∞

f > 0 f < 0

f < 0 f > 0

Képszerkesztés nevezetes sugármenetekkel, lencseegyenlet

Nevezetes sugármenetek ( f = f’ esetén )

gyűjtő lencse

fősíktárgy oldalifókuszsík

F

F’

f’f

kép oldalifókuszsík

−f’ −f

F’

szóró lencse

F

tárgy oldalifókuszsík

kép oldalifókuszsík

fősík

Képszerkesztés nevezetes sugármenetekkel ( f = f’ esetén )

1'=+

k

f

t

f

'' ffxx ⋅=⋅

'

'

f

x

x

fN −=−=

tn

knN

⋅⋅

−=' f

x

x

f

t

kN

fktfxx

',

111,' 2 −=−=−==+=⋅f = f’ esetén:

FősíkTárgyoldalifókuszsík

Képoldalifókuszsík

f 'f

FF '

TárgyKép

t k

x x’

y

–y′

Képszerkesztés nevezetes sugármenetekkel ( f = f’ esetén )

1'=+

k

f

t

f

'' ffxx ⋅=⋅

'

'

f

x

x

fN −=−=

tn

knN

⋅⋅

−=' f

x

x

f

t

kN

fktfxx

',

111,' 2 −=−=−==+=⋅f = f’ esetén:

FősíkKépoldalifókuszsík

Tárgyoldalifókuszsík

FF'

– f '

Tárgy Kép

t – kx

x’

– f

Nem főtengelyen lévő, végtelen távoli pont képe

f f’

FF’

P’ff’

F’F

P’

Fókuszsíkbeli pont képe

f f’

F F’

Pff’

F’F

P

• az előző sugármenetek megfordítása

T Kt k

L1

L

L2

D

nt nk

nL

R1 R2

h1 h2 h3 h4

kLtTK c

kLcL

cLt

t+

+++

= 21

tt ccn 0=

LL ccn 0=

kk ccn 0=

)()( 210 kLnLnLtntc kLtTK ++++==∆

Képalkotás esetén

• T-ből kiinduló sugarak K-n mennek keresztül, azaz

• mindegyik sugár mentén terjed a fény!

• A Fermat elve miatt az összes sugárra azonosnak kell lenni az optikai úthossznak,

mert ha nem így lenne, akkor csak azon sugár mentén terjedne a fény, amelyen a legrövidebb az optikai úthossz (és így a terjedési idő).

A tengely menti sugárra L1 = 0, L = D és L2 = 0, ezért knDntn kLt ++=∆

)()( 21 kLnLnLtnknDntn kLtkLt ++++=++ 21)( LnLnLDn ktL +=−

Leképezési egyenlet tárgyalása Fermat elve alapján

optikai úthossz

=−= lRd =−− 22 hRR

=−−= 2)(1 RhRR

( )2)(11 RhR −−⋅=y xx

( ) = −12

2

y x x( ) = −1 2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.8

0.9

1.0

x

y

Paraxiális közelítés

211

22 x

x −≈−

Rh

d2

2

≈

paraxiális közelítésben

A

B CO

R

l

h

d

Dα

α

DBA és ABC derékszögű háromszögek hasonlók

h

d

dR

h=

−2ddRh ⋅−= )2(2

R

hd

2

2

≈

2R » d

Analitikus számolással:

vékony lencsékre

4321 hhhh === h=L1

L

L2

D

R1R2

h h h h

paraxiális közelítés

1

22

1 22 Rh

th

L +=

kh

Rh

L22

2

2

2

2 +=

2

2

1

2

22 R

h

R

hDL −−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

2 11

2 Rt

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2

2 11

2 Rk

h

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

21

2 11

2 RR

hD

21)( LnLnLDn ktL +=− ktL nRk

hn

Rt

hn

RR

h⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

2

1

2

21

2 11

2

11

2

11

2

21 R

nn

R

nn

k

n

t

n kLtLkt −+

−=+