a centr Á laxonomet rikus lekÉpezÉs komputergrafikai alkalmazÁsa

5. Gyires Béla Informatikai Nap 2005

A CENTRÁLAXONOMETRIKUS LEKÉPEZÉS

KOMPUTERGRAFIKAI ALKALMAZÁSA

Schwarcz Tibor

Komputergrafikai és Könyvtárinformatikai Tanszék


BevezetésA projektív ábrázoló geometria vagy

centrálaxonometria értelmezése: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3: ; , , , , , : ; , , , , ,c c c c c c c cO E E E U U U O E E E U U U


ElőzményekT1 Minden perspektív háromszögpár tekinthető egy

olyan ortonormált bázis lineáris (centrálaxonometrikus) képének, mely egybevágó egy előre adott ortonormált vektorhármassal. ([KRU23], 184. o. 1.

T2 Egy alakzat centrálaxonometrikus képe projektív megfelelője az alakzat centrális vetületének. ([STI71], 134.o)

T3 Ha az iránypontok nem kollineárisak, akkor az alakzat centrálaxonometrikus képe affin megfelelője az alakzat egy centrális vetületének. ([STI71], 134.o)


Előzmények• Centrálaxonometria Centrálprojekció

– 1923 E. Kruppa: szintetikus feltétel

1 2 3 1 3 2 2 3 1, , , c c c c c c c c ch H U U U U U U U U U


– Stiefel :Legyen a projektív tengelykereszt egyik iránypontja végtelen távoli pont, és egyenes merőleges -re. A tengelykereszt által definiált centrál axonometria akkor és csakis akkor centrális projekció, ha fennáll:

22 2

1 1 2 2 1 2

1 2 3

c c c c c c

c c c c c c

E U E U U U

O E O E O E

Előzmények


Előzmények– 1990-95 H. Stachel-J.Szabó-H.Vogel különböző

szintetikus feltételek

22 2

31 21 2 3

1 2 3

: : : :gg g

tg tg tgh h h


-1995 Havlicek:

Előzmények

* *A mátrixú : , leképezés pontosan

akkor centrálprojekció, ha a szorzatmátrix legkisebb

sajátértékének multiplicitása legalább 2 1 .

n m

T

m n

m n

C

CCE E

1 11 1

1 1

11

1 1

.

.

.

mm

m m

m mm m

m m

c cc c

c c

C

c cc c

c c


–1995 Stachel : Új bizonyítás Havlicek tételére, geometriai tartalom

–2003 Dür : Új feltétel, komplex koordináták bevezetésével

–2004 Stachel: Új bizonyítás, geometriai tartalom

2 22

2 1 1 1 2 2 3 2 2 2 3 3 1 3 3 3 1 1 0c c c c c c e e e e e e

,, 1 1,2,3

c ci i

c c ci i i i i

E

O E U i

e C

Előzmények


Mátrix reprezentáció

1 2 3 1 2 3: ; , , , , ,c c c c c c c cO E E E U U U

0, , , 1,2,3

0i i ic c c

i ii i i

x xO E U i

y y


1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 11 12 13

1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 21 22 23

1 2 3 1 2 3 31 32 33

11 12 13 11

21 22 23 21

31 32 33

1001000

0100100

0010011

111000

1 1 1

c x c x c x d x d x d x a a a

c y c y c y d y d y d y a a a

c c c d d d a a a

a a a a

a a a a

a a a a

12 13

22 23

31 32 33

a a

a a

a a

31 21 2 3

1 2 3

31 21 2 3

1 2 3

1 2 3

01 1 1

01 1 1

1 1 11

1 1 1

x x x

y y y

A

Parametrizáció

Program


Eltűnési sík, centrum1 2 3

3 1 2 31 2 3

1 1 11 0

1 1 1

Tc c c c

c

P p p p P

p p p p

A

31 2

1 1 2 2 3 31 2 3

31 21 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 31 2 3

0 0 0

01 1 1

01 1 1

1 1 11

1 1 1

TC

x c x c x c

y c y c y c

c c c

A


1 2 3 2 3 3 21

1 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 3 2 3 2 3 3 2

1 2 3 3 1 1 32

1 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 3 2 3 2 3 3 2

1 2 3 1 2 2 13

1 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 3

( 1) ( )

( ) ( ) ( )

( 1) ( )

( ) ( ) ( )

( 1)( )

( ) ( )

x y x yc

x y x y x y x y x y x y

x y x yc

x y x y x y x y x y x y

x y x yc

x y x y x y x y

2 3 2 3 3 2( )x y x y

Árnyalás, láthatóság …

PROGRAM


A leképezés „centrális” jellege

1 2 3 1 2 3

1 2

1 2 2 2 2

Legyen , ,

1

, 1

( ) ( )

c cv

T T

c c c

P Q PC P Q

C c c c P p p p

Q C P

Q Q C P P P P P

A A A A


Mátrix reprezentáció P3-ban

1 2 3 1 2 3, , , , ,0hu u u u u us s

, 1,2,3ci i i e

Képsík (illeszkedik az origóra):

Az egységpontok képei:

A végtelentávoli pontok képei:

( , , ) ( , , ,1),

és (s, ) 0, 1,2,3

c chi i i i i i i i

ci

x y z x y z

i

e e

e


31 21 2 3

1 2 3

31 21 2 3

1 2 3

31 21 2 3

1 2 3

1 2 3

01 1 1

01 1 1

01 1 1

1 1 11

1 1 1

x x x

y y y

z z z

A

Az eredmény P3-ban, homogén alakban

Rang(A)=3, két sajátérték 1,0


A centrálprojekció feltétele


Bizonyítás:

1. Ha centrálproj. hasonló ( , , ,0)

( ) 3, ( ) 3

minimál polinomja :

2. ( ) 3, 0 sajátérték multiplicitása 1

, multiplicitása 3

Jordan formája diagonális

diag

rang trace

rang

A

A A

A A A E

A

A


1 2

1 2

Legyenek és hasonló mátrixok és

teljesedjenek az alábbi feltételek:

(i) és hasonlóak ( , , ,0)-hoz

(ii) Van olyan

Téte

, amelyre

l

:

diag

A A

A A

u 0 u 1 2

1 2 Akkor

A uA 0

A A

Geometriai jelentés: a centrálprojekciót a centrum és a képsík meghatározza.


1 2

1 2

1 2

Mivel a 0 sajátértékhez tartozó közös sajátvektora -nek és -nak

van olyan bázis, melyben és előáll

egy 3*3 és 1*1-es blokkból, és mivel és hasonló ( , , ,0) hoz,

a

diag

1 2 3

u A A

v , v , v ,u A A

A A

2 3

1 2 2 3

transzformáció szűkítése -re a

skalár transzformáció

ha , akkor

( )

Span

1 2 3

1

1

v , v , v

E

v v v v u

A v A v v v v

Bizonyítás


Gyakorlati alkalmazás: centrálprojeció

1 2 3 4 1 2 3 4

2 3 4 2 3 4 1

1 1 2

1 1 3

1 1 4

1

2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 1 4

2

Centrum: Képsík: U

0 0 0 0U-ra illeszkedő 3 pont: , =

0 0 0 0

0 0 0 0

1,1,1,0

1

,

TC c c c c u u u u

u u u u u u c

u u c

u u c

u u c

diag

c u c u c u c u c u c u

c u

U C

B

A B B

1 1 1 3 3 4 4 2 3 2 4

3 1 3 2 1 1 2 2 4 4 3 4

4 1 4 2 4 3 1 1 2 2 3 3

c u c u c u c u c u




Speciális eset:

1 2 3 4

1

3

2

3

4

3

0 0 1 0 , 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

10 0 1

0 0 1 0 ,

1 0 0

0 1 0

0 0 0 0

0 0 1

U C s

s

U C c c c c

c

c

c

c

c

c

C

C


Irodalom[1] Stiefel, E.:Zum satz von Pohlke. Comment. Math.Helv. 10(1938), 208-225[2] Kruppa, E.:Zur achsonometrischen Methode der darstellenden Geometrie,

Sb. Akad Wiss. Wien (math.-nat. Kl.) 119 (1910), 487-506[3] Müller, E.,und E. Kruppa: Vorlesungen über darstellende Geometrie, I. Bd.:

E Kruppa: Die linearen Abbildungen, Wien, (1923), S.183.[4] J. Szabó, H.Stachel, H. Vogel: Ein Satz über die Zentralaxonometrie. Sitzungsber.,

Abt. II, österr. Akad. Wiss., Math.-Naturw. Kl. 203, 3-11 (1994)[5] L- Dür: An algebric Equation for Central Projection. J. Geometry Graphics 7, 137-143

2003 [6] Stiefel, E, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, I. Bd. , 3 Aufl. Basel, Stuttgart, (1971)[7] H. Havlicsek: On the Matrices of Central linear Mappings. Math. Bohem, 121,151-156

1996[8] H. Stachel: On Arne Dür’s Equation Concerning Central Axonometries, J. Geometry Graphics 8,

215-224, 2004

a centr Á laxonomet rikus lekÉpezÉs komputergrafikai alkalmazÁsa

Documents