Optimaalinen kiertoaika – optimal rotation

Mitä pitäisi maksimoida? What should we maximize?

Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli

Vrt MSY kalakannoille

Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli

Olkoon maksimaalisen kestävän tuoton kiertoaikamalli

tavoitefunktio, että maksimoida puun

keskimääräiskasvua. Olkoon puun kasvufunktio f (t).

Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli

Olkoon maksimaalisen kestävän tuoton kiertoaikamalli

tavoitefunktio, että maksimoida puun

keskimääräiskasvua. Olkoon puukasvufunktio f (t). Tavoitefunktio on

Ensimmäisen kertaluvun ehdot.

t

tft

)(max

T

TfTf

TfTTfT

TfTTf

dTTTf

d

)()(

0)()(

0)()()

)((

2

Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli: yhteenveto

Tavoitefunktio: maksimoida puun keskimääräiskasvua

Hakkuusääntö: Kaada puusto silloin, kun puuston

vuotuiskasvu on yhtä suuri kuin sen keskimääräiskasvu.

Tämä rotaatiomalli perustuu puhtaasti biologiseen

kriteeriin. Malli ei ota huomioon mitään taloudellista tekijää, kuten

puun hintaa ja metsätalouteen liittyviä kustannuksia.

T

TfTf

)()(

t

tft

)(max

Esimerkki

Olkoon puun kasvufunktio

Laske maksimaalisen kestävän tuoton kiertoaika.

32 016.01.340)( ttttf

Kuva 2 Maksimaalinen kestävän tuoton kiertoaikamalli - Puuston

vuotuiskasvu (CAI) ja keskimääräiskasvu (MAI) (Kahn 2005, 430 kuva

12.2b tai Kahn 1998, 333)

0 50 10 0 15 0 20 0t

50

10 0

15 0

20 0

25 0MA I , CA I

Oletus: 32 016.01.340)( ttttf

MAICAI

Faustmann yhden kiertoajan malli

Metsän omistaja maksimoi

Ensimmäinen kertaluvun ehto (FOC)

cTpfe rT )(

)()( TrpfTfp

)(

)(

0)()(

0)()(

Tpf

Tfpr

TrpfTfp

TpfreTfpedT

d rTrT

Faustmann yksikiertoaika malli Metsän omistaja maksimoi Hakkusääntö

Metsä on hakattava, kun sen suhteellisen arvon kasvu on yhtä

suuri kuin korko. Jos metsän arvo kasvaisi hitaammin kuin pankkiin sijoitettu pääoman

arvo, olisi kannattavampaa hakata metsä ja sijoittaa saadut tulot

pankkiin korkoa kasvamaan. Jos metsän arvo kasvaisi nopeammin

kuin pankkiin sijoitettu pääoman arvo, olisi kannattavampaa ottaa

rahat pois pankista ja sijoittaa ne metsään. Kun metsän arvo kasvaa samalla nopeudella kuin pääoman arvo

pankkiin sijoitettuna korolla r, metsän omistajalle on samantekevää

onko hän sijoittanut pääomansa metsään vai pankkiin korkoa

kasvamaan.

cTpfe rT )(

)(

)(

Tpf

Tfpr

Faustmann yksikiertoaika malli: yhteenveto

Metsän omistaja maksimoi

Hakkusääntö

Tulon , joka saadaan jos hakkuutulo sijoitettaisiin

pankkiin korkoa r kasvamaan, on oltava yhtä suuri kuin

metsän investoinnin rajahyöty

cTpfe rT )(

)()( TrpfTfp

Kriitikki Faustmann yksikiertoaikamallille

Kuten Johansson and Löfgren (1985, 78) selkeästi

selittävät, Faustmannin yksikiertoaika mallin ratkaisu -

vaikkakin intuitiivinen - on kuitenkin puutteellinen, koska

se ei ota huomioon metsämaan arvoa.

Metsän omistajan on otettava huomioon, että hän voisi

hakata metsän ja sitten vuokrata metsämaata jollekin

muulle taloudenpitäjälle.

Lähde Johansson Per-Olov & Löfgren, Karl Gustav (1985)

The Economics of Forestry & Natural Resources, Basil

Blackwell: Oxford

Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on rajaton

yhteisiä oletuksia Puun arvo: puun kuutiometrin arvo on aina sama riippumatta

siitä, kuinka vanha puu itse on. Puun hinta on vakio Kustannukset: ainoat kustannukset ovat vakio

istutuskustannukset, c . Pääomamarkkinat: pääomamarkkinat ovat täydellisiä, kaikki

voivat lainata rahaa ja ottaa lainaa korolla r. Täydellinen informaatio, ei epävarmuutta Kilpailulliset markkinat Huom. Jos paras maan käyttö on metsän käyttö

ensimmäisellä kiertoajalla, se on näin myös seuraavilla

periodeilla, koska mallissa puun hinta p ja

istutuskustannukset c ovat vakiot.

Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on rajaton : Maan arvofunktio (tavoitefunktio)

Jos metsä istutetaan uudestaan, kun se on hakattu, sitten täytyy ottaa

huomioon jokaisella kiertoajalla saatu voitto. Jos kiertoajan määrä

kasvatetaan äärettömiin, voittojen summa nykyarvona antaa

metsämaan arvon.

Hetkellä 0 istutetaan metsä kustannuksella c. Koska c on jo ilmaistu

nykyrahana (ajan 0 raha-arvona), sitä ei diskontata. Hetkellä t1 hakataan metsä ensimmäisen kerran ja istutetaan uusi

metsä kustannuksella c. Myymällä hakkuista saatu puuraaka-aines

saadaan tulot . Sekä tulot että metsän istuttamiskustannukset c

hetkellä t 1 on muutettava nykyrahaksi (siis ajan 0 raha-arvona)

diskonttaamalla ne. Hetkellä t2 taas hakataan metsä ja istutetaan uusia puita jne.

ctpfectpfectpfecJ rtrtrt )(...)()( 21

21

Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on rajaton : Maan arvofunktio (tavoitefunktio)

Koska jos optimaalinen kiertoajan pituus on T ensimmäisellä

kiertoajalla, se on ceteris paribus myös T muilla kiertoajoilla sitten t1 =

T, t2 = 2T, t3 = 3T, jne. Yhtälö [12] voidaan kirjoittaa seuraavalla tavalla

kun sitten

cTpfecTpfecTpfecJ TrTrrT )(...)()( 2

cTpfecJi

riT

)(1

ce

cTpfJ

rT

1

)(1

1

1

rT

i

riT

ee

Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on rajaton

Maksimoidaan t:n suhteen

FOC

Ensimmäisen kertaluvun ehto on nolla jos osoittaja on

nolla, eli jos

0

)1(

)()1)((2

rT

rTrT

e

cTpfreeTfp

dT

dJ

ce

cTpfJ

rT

1

)(

0)()1)(( cTpfreeTfp rTrT

Kiertoaikojen määrä rajaton

Jaetaan yhtälö

:lla, josta saadaan

Faustmann kaava

)1)()(( rTecTpf

)1()(

)(

0)1()(

)(

rTrT

rT

rT

ee

r

cTpf

Tfp

e

re

cTpf

Tfp

0)()1)(( cTpfreeTfp rTrT

rTe

r

cTpf

Tfp

1)(

)(

Faustmann malli kun kiertoaikojen määrä on rajaton

Faustmann kaava voidaan manipuloida seuraavalla tavalla

Huom.

Täten

eli

1)(

)(

)1()(

)(

rT

rT

rTrT

rT

e

re

cTpf

Tfp

e

r

e

e

cTpf

Tfp

111

)1(

1

rTrTrT

rT

rT

rT

e

rr

e

r

e

er

e

re

1)(

)(

rTe

rr

cTpf

Tfp 1

)()()(

rTe

cTpfrcTpfrTfp

ce

cTpfrTrpfTfp

rT 1

)()()(

rTe

r

cTpf

Tfp

1)(

)(

Faustamann malli kun kiertoaikojen määrä on rajaton

Optimaalinen kiertoaika löytyy sinä ajankohtana, jolloin

tuotto r p f (T), joka voitaisiin saada jos päätehakkuusta

saatava tulo p f (T), sijoitettaisiin pankkiin korkoa r

kasvamaan ja tuotto, joka voitaisiin saada jos metsämaa

myytäisiin ja sijoitettaisiin saatu tulo pankkiin korkoa

kasvamaan , yhteen laskettuna ovat yhtä

suuret kuin metsään investoinnin rajahyöty, .

Metsän investoinnin rajahyöty = päätehakkuutulon

sijoitustuotto + metsämaan myyntitulon sijoitustuotto

Kritiikkiä: Faustmannin malli ei ota huomioon metsän

monikäyttöä.

ce

cTpfrTrpfTfp

rT 1

)()()(

ce

cTpfr

rT 1

)(

)(Tfp

Metsän monikäyttö ja Hartman yhden kiertoajan malli (1976)

Olkoon g (t) muiden hyötyjen arvostusfunktio eli ”The value of

the recreational and other services flowing from from a

standing forest of age t…” (Hartman 1976, 53). Toisin sanoen, metsän tuottamien tuotteiden (esim. sienet,

marjat) ja palvelujen (mm. maaperäeroosiokontrolli,

virkistyspalvelut) arvo, joiden arvo vuodessa t on g (t). Jos kiertoaika kestää T vuotta, sitten noiden palveluiden ja

tuotteiden kokonaisnykyarvo koko kiertoajan aikana on

Lähde: Hartman, Richard (1976)

The Harvesting Decision When a Standing Forest Has Value

Economic Inquiry 14, 52-58

dtetgTG rtT

o

)()(

Metsän monikäyttö ja Hartman yhden kiertoajan malli (1976)

Sitten metsän arvon yhden kiertoajan aikana

Metsään investoinnin rajahyödyn ja muiden hyötyjen

vuotuisarvojen summan on oltava yhtä suuri kuin tuotto,

joka voitaisiin saada jos hakkuutulo sijoitettaisiin pankkiin

korkoa kasvamaan .

ceTpfdtetgw rTrtT

o

)()(1

0)()()(1 rTrTrT eTfpTpfreeTgdT

dw

)()()( TrpfTgTfp

Metsän monikäyttö ja Hartman yhden kiertoajan malli (1976)

SOC

FOCin mukaan ,mistä seuraa

)()()()()()( 221

2

TfpreTfpeTfpreTpferTgeTgredT

wd rTrTrTrTrTrT

)()()()()()(21

2

TrpfTgTfpreTfrpTfpTgedT

wd rTrT

0)()()( TrpfTgTfp

)()()(21

2

TfrpTfpTgedT

wd rT

Metsän monikäyttö ja Hartman yhden kiertoajan malli (1976)

jos g’ (T) on positiivinen ja tarpeeksi suuri, sitten yhtälö on

suurempi kuin nolla, josta seuraa, että ei ole koskaan

yhteiskunnallisesti optimaalista hakata metsää.

g’ (T) positiivinen tarkoittaa, että muiden hyötyjen arvostus

kasvaa puuston iän myötä. Esimerkkinä voidaan ottaa metsän

virkistysarvo, joka kasvaa metsän iän myötä.

jos g’ (T) on positiivinen muttei tarpeeksi suuri, niin että

toinen derivaatta on negatiivinen, on olemassa kiertoajan

pituus, joka maksimoi metsästä saadut hyödyt.

Käytännössä: on hyvin mahdollista, että g’ (T) on ensin

positiivinen ja sen jälkeen kun metsä saavuttaa tietyn iän, se

muuttuu negatiiviseksi (esim. Hanley ym. 1997, 341-342).

)()()(21

2

TfrpTfpTgedT

wd rT

Faustmann mallin komparatiivinen statiikka

Miten arvon muutokset kiertoajan ongelman

parametreissa (kuten korko, puun hinta,

istutuskustannukset) vaikuttavat kiertoajan pituuteen?

Vastaus haetaan joko graafisen analyysin avulla

Numeerisesti (Matlab)

ensimmäisen kertaluvun ehtoja muokkaamalla (esim. puun

hinta ja istutuskustannukset muutokset

tai implisiittifunktion avulla

01

)()()(

ce

cTpfrTrpfTfp

rT

Faustmannin mallin komparatiivinen statiikka: puun hinnan nousu

Puun hinnan nousun vaikutusta voidaan myös

havainnollistaa manipuloimalla Faustmannin sääntöä.

Jaetaan molemmat vasemman ja oikean puolen p: llä.

ce

cTpfrTrpfTfp

rT 1

)()()(

p

c

e

p

cTf

rTrfTfrT 1

)(

)()(

Faustmannin mallin komparatiivinen statiikka: puun hinnan nousu

maan arvo nousee, kun hinta nousee, koska c/p laskee. Kun maan arvo nousee, sitten kiertoajan pidentämisen vaihtoehtokustannus kasvaa ja kiertoaika lyhenee.

p

c

e

p

cTf

rTrfTfrT 1

)(

)()(

Faustmannin mallin komparatiivinen statiikka: istutuskustannuksien nousu

Ensimmäisen kertaluvun ehdosta näemme, että

istutuskustannuksien nousu laskee maan arvo eli

kiertoajan pidentämisen vaihtoehtokustannuksia ja siksi

pidentää kiertoajan.

ce

cTpfrTrpfTgTfp

rT 1

)()()()(

Myyntivero

Miten vero joka on muotoa p(1-δ) vaikuttaa kiertoajan

pituuteen?

Tulovero vaikuttaa ainoastaan metsämaan arvoon. Koska

kasvaa, kun tulovero kasvaa, metsämaan arvo laskee.

Tämä tarkoittaa, että yksi kiertoajan pidentämisen

vaihtoehtokustannus eli tulo, joka voitaisiin saada, jos

metsämaa myytäisiin ja niin saatu tulo sijoitettaisiin pankkiin

korkoa kasvamaan, pienenee ja kiertoajan pituus kasvaa.

ce

cTfprTfrpTfp

rT 1

)()1()()1()()1(

111

)()()(

c

e

cTpf

rTrpfTfprT

1

c

Lähteet

Hanley N., Shogren J. F. & White B. (2007).

Environmental Economics in Theory and Practice, 303 -

309. Hartman, R. (1976) The harvesting decision when a

standing forest has value. Economic Inquiry 14, 52 - 58. Johansson P.-O. & Löfgren K.-G. (1985). The Economics

of Forestry and Natural Resources. Blackwell. Oxford,

luku 4. Kahn, J (2005). The Economic Approach to

Environmental and Natural Resources, third edition.

Thomson.