panepist mio peirai tm ma statistik c kai asfalistik c ...tìte h fx t: t2tgeÐnai mÐa stoqastik...
TRANSCRIPT
Panepist mio Peirai�Tm ma Statistik c kai Asfalistik c Epist mhc
Shmei¸seic tou maj matoc
JewrÐa qreokopÐac
Did�skwn: K. PolÐthc
1 K�poiec basikèc sqèseic apì th jewrÐa
pijanot twn
Oi metablhtèc pou ja exet�soume sto parìn m�jhma paÐrnoun mh arnhtikèc
timèc. Sunep¸c kai oi katanomèc pijanìthtac me tic opoÐec ja asqolhjoÔme
eÐnai (suneqeÐc diakritèc) katanomèc pou orÐzontai sto di�sthma [0,∞).
Sth jewrÐa qreokopÐac, mia diakrit katanom qrhsimopoieÐtai sun jwc gia
na perigr�yei to pl joc twn apait sewn pou ft�noun se mia asfalistik
etaireÐa, en¸ mia suneq c katanom gia to mègejoc aut¸n twn apait sewn.
Anafèroume sth sunèqeia k�poiec gnwstèc idiìthtec apì th jewrÐa pi-
janot twn pou qrhsimopoioÔntai gia ton upologismì thc mèshc tim c kai
diakÔmanshc miac tuqaÐac metablht c (t.m.). An kai oi idiìthtec autèc isqÔoun
(endeqomènwc, me mikrèc tropopoi seic) gia t.m. pou paÐrnoun timèc se ìlo to
di�sthma twn pragmatik¸n arijm¸n, sth sunèqeia dÐnontai mìno gia metablhtèc
sto di�sthma [0,∞) afoÔ, ìpwc anafèrjhke, me autèc ja asqolhjoÔme sta
epìmena kef�laia.
1. An X eÐnai mÐa akèraia tuqaÐa metablht (t.m.) h opoÐa paÐrnei mh arnhtikèc
timèc, tìte isqÔei h sqèsh
E(X) =∞∑k=1
P (X ≥ k) =∞∑k=0
P (X > k) (1)
Apìdeixh
'Eqoume
E(X) =∞∑k=0
kP (X = k) =∞∑k=1
kP (X = k)
1
apì ìpou paÐrnoume
E(X) = 1 · P (X = 1) +2 · P (X = 2) + 3 · P (X = 3) +4 · P (X = 4) + . . .
= P (X = 1) +P (X = 2) + P (X = 3) +P (X = 4) + . . .
+P (X = 2) + P (X = 3) +P (X = 4) + . . .
+ P (X = 3) +P (X = 4) + . . .
+P (X = 4) + . . .
= P (X ≥ 1) +P (X ≥ 2) + P (X ≥ 3) +P (X ≥ 4) + . . . ,
to opoÐo apodeiknÔei thn pr¸th sqèsh sthn (1). H deÔterh sqèsh eÐnai
profan c.
2. An X eÐnai mÐa suneq c t.m. me sun�rthsh katanom c F gia thn opoÐa
isqÔei P (X ≥ 0) = 1, tìte
E(X) =
∫ ∞0
[1− F (y)] dy
(H sun�rthsh 1 − F (y) lègetai sun�rthsh epibÐwshc our� thc katanom c
F .)
Apìdeixh Af netai san �skhsh.
3. An X, Y eÐnai dÔo opoiesd pote t.m. (exarthmènec anex�rthtec) kai
paÐrnoun mh arnhtikèc timèc, tìte isqÔei sqèsh
E(X) = EY [EX (X|Y )]
Ed¸ qrhsimopoioÔme to sÔmbolo EY (EX) gia na tonÐsoume ìti h mèsh tim
lamb�netai wc proc th metablht Y (ant. X).
Apìdeixh
2
DÐnoume thn apìdeixh gia thn perÐptwsh ìpou oi X, Y eÐnai diakritèc t.m. H
apìdeixh gia thn perÐptwsh ìpou oi X, Y eÐnai suneqeÐc eÐnai an�logh.
'Otan oi X, Y paÐrnoun timèc sto sÔnolo {0, 1, 2, . . .}, tìte paÐrnoume ìti
EX(X|Y = y) =∞∑x=0
x · P (X = x|Y = y)
=∞∑x=0
x · P (X = x, Y = y)
P (Y = y)
'Ara
EY [EX (X|Y )] =∞∑y=0
P (Y = y)∞∑x=0
x · P (X = x, Y = y)
P (Y = y)
=∞∑y=0
∞∑x=0
x · P (X = x, Y = y).
Efìson oi X, Y eÐnai mh arnhtikèc, mporoÔme na all�xoume th seir� twn
ajroism�twn ( twn oloklhrwm�twn gia th suneq perÐptwsh). Sunep¸c,
EY [EX (X|Y )] =∞∑x=0
∞∑y=0
x · P (X = x, Y = y)
=∞∑x=0
x ·∞∑y=0
P (X = x, Y = y)
=∞∑x=0
x · P (X = x)
= E(X).
4. An oi X, Y eÐnai mh arnhtikèc t.m., èqoume th sqèsh
V ar(X) = EY [V arX (X|Y )] + V arY [EX (X|Y )]
Apìdeixh Af netai san �skhsh.
3
2 Episkìphsh ennoi¸n apì tic stoqastikèc
anelÐxeic
Sth jewrÐa pijanot twn polÔ suqn� qrhsimopoioÔme akoloujÐec tuqaÐwn
metablht¸n X1, X2, . . . (p.q. sto kentrikì oriakì je¸rhma kai tic efarmogèc
tou).
Gia par�deigma, èstw h akoloujÐa metablht¸n
Xi : to kleÐsimo miac metoq c thn hmèra i.
• TÐ gÐnetai ìtan mac endiafèrei na melet soume thn exèlixh thc tim c miac
metoq c se suneq qrìno;
Orismìc MÐa stoqastik anèlixh eÐnai mÐa oikogèneia t.m. {Xt : t ∈ T}ìpou T eÐnai èna sÔnolo. AntÐ gia {Xt : t ∈ T} pollèc forèc qrhsimopoieÐtaio sumbolismìc {X(t) : t ∈ T}. Sun jwc to t sumbolÐzei qrìno. An o
qrìnoc autìc paÐrnei diakritèc timèc (to sÔnolo T eÐnai arijm simo) tìte
mil�me gia mÐa stoqastik anèlixh diakrit c paramètrou se diakritì qrìno.
Diaforetik�, an to T eÐnai mh arijm simo sÔnolo, tìte èqoume mÐa stoqastik
anèlixh suneqoÔc paramètrou se suneq qrìno.
MÐa �llh di�krish twn stoqastik¸n stoqastik¸n anelÐxewn eÐnai an�loga me
to pl joc twn tim¸n gia to Xt.
An�loga me to an to pl joc aut¸n twn tim¸n eÐnai arijm simo ìqi, mil�me
gia mÐa anèlixh me diakritèc suneqeÐc timèc.
ParadeÐgmata
1. 'Estw Xt h tim miac metoq c sto qrìno t, sth di�rkeia miac hmèrac.
4
Tìte h {Xt : t ∈ T} eÐnai mÐa stoqastik anèlixh me suneqeÐc timèc se
suneq qrìno (ed¸ T eÐnai to qronikì di�sthma to opoÐo exet�zoume).
2. 'Estw Xt h tim miac metoq c sto tèloc miac hmèrac t, t ∈ {1, 2, ..., 20},dhlad exet�zoume to kleÐsimo twn tim¸n miac metoq c gia èna di�sthma
20 hmer¸n. Tìte h {Xt : t ∈ {1, 2, ..., 20}} eÐnai mÐa stoqastik
anèlixh me suneqeÐc timèc se diakritì qrìno.
3. RÐqnoume èna z�ri n forèc kai èstw Xk o arijmìc twn for¸n pou
emfanÐsthke o arijmìc `trÐa� stic pr¸tec k rÐyeic. Tìte h {Xk : k =
1, 2, . . . , n} eÐnai mÐa stoqastik anèlixh me diakritèc timèc se diakritì
qrìno.
4. HXt parist�nei to pl joc twn apait sewn (zhmi¸n) pou èqoun ft�sei se
mia asfalistik etaireÐa sto qronikì di�sthma [0, t]. Tìte h {Xt : t ≥ 0}eÐnai mÐa stoqastik anèlixh me diakritèc timèc se suneq qrìno.
Parat rhsh - Sumbolismìc To sÔmbolo {Xt : t ∈ T} ( apl� {Xt})dhl¸nei mia stoqastik anèlixh , dhlad èna sÔnolo apì t.m. ìpwc orÐsthke
parap�nw. O sumbolismìc Xt qrhsimopoieÐtai gia na dhl¸sei thn tuqaÐa
metablht pou parist�nei thn tim tou qarakthristikoÔ pou mac endiafèrei
thn (prokajorismènh) qronik stigm t.
Ta perissìtera paradeÐgmata anelÐxewn me endiafèron sth jewrÐa kindÔnou
genik�, all� kai th jewrÐa qreokopÐac pou ja exet�soume sth sunèqeia,
aforoÔn stoqastikèc anelÐxeic se suneq qrìno. To aploÔstero par�deigma
miac tètoiac anèlixhc eÐnai h anèlixh ( diadikasÐa) Poisson.
ParadeÐgmata sthn pr�xh pou mporoÔn na parastajoÔn me tètoiec anelÐxeic
eÐnai
• pìsouc pel�tec èqei mÐa etaireÐa sto qrìno
5
• pìsec apait seic gia apozhmi¸seic ft�noun se mÐa asfalistik etaireÐa
me thn parèleush tou qrìnou
• to pl joc thlefwnhm�twn pou dèqetai èna thlefwnikì kèntro.
DÔo shmantikèc idiìthtec pou mporeÐ na èqei mÐa stoqastik anèlixh dÐnontai
ston parak�tw orismì.
Orismìc MÐa stoqastik anèlixh {Xt : t ≥ 0} ja lème ìti èqei
(a) anex�rthtec prosaux seic (independent increments) an gia k�je n =
1, 2, . . . , kai 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn, oi tuqaÐec metablhtèc Xt0 , Xt1 − Xt0 ,
Xt2 −Xt1 , . . . , Xtn −Xtn−1 eÐnai anex�rthtec,
(b) st�simec prosaux seic (stationary increments) an gia k�je n = 1, 2, . . . ,
gia 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn kai h > 0, h apì koinoÔ katanom twn tuqaÐwn
metablht¸n Xt1+h−Xt0+h, Xt2+h−Xt1+h, . . . , Xtn+h−Xtn−1+h den exart�tai
apì thn par�metro h. 2
EÐnai eÔkolo an apodeiqteÐ ìti an h anèlixh {Xt : t ≥ 0} èqei anex�rthtec
prosaux seic, tìte gia na apodeÐxoume ìti h {Xt : t ≥ 0} èqei st�simec
prosaux seic, arkeÐ na deÐxoume ìti h (monodi�stath) katanom thc tuqaÐac
metablht c Xt+h −Xh den exart�tai apì thn par�metro h.
EpÐshc, mÐa polÔ basik kathgorÐa stoqastik¸n anelÐxewn eÐnai oi Marko-
bianèc anelÐxeic, ìpwc autèc orÐzontai sth sunèqeia.
Orismìc MÐa stoqastik anèlixh se diakritì qrìno lème ìti eÐnai anèlixh
Markov ( alusÐda Markov) ìtan ikanopoieÐ th sqèsh
P (Xn = x|Xn−1 = xn−1, Xn−2 = xn−2, . . . , X0 = x0)
=P (Xn = x|Xn−1 = xn−1) , ∀x0 < x1 < . . . < xn−1 < x,∀n = 1, 2, . . .
6
MÐa stoqastik anèlixh se suneq qrìno lème ìti eÐnai anèlixh Markov ìtan
isqÔei h sqèsh
P(Xt = x|Xtn = xtn , Xtn−1 = xtn−1 , . . . , Xt0 = xt0
)=P (Xt = x|Xtn = xtn) ,
∀t0 < t1 < . . . , tn−1 < t,∀n = 1, 2, . . .. 2
'Alla paradeÐgmata stoqastik¸n anelÐxewn eÐnai ta di�fora montèla pou
qrhsimopoioÔme stic qronoseirèc, gia par�deigma ta autopalÐndroma montèla.
P.q., èna autopalÐndromo montèlo pr¸thc t�xhc (AR(1)) exet�zei mÐa sto-
qastik diadikasÐa gia {an, n ∈ N} ìpou to an orÐzetai apì th sqèsh
an+1 = a+ ban + εn,
gia k�poiouc pragmatikoÔc arijmoÔc a, b, en¸ èna autopalÐndromo montèlo
deÔterhc t�xhc (AR(2)) {an, n ∈ N} orÐzetai apì th sqèsh
an+1 = a+ ban + can−1 + εn,
a, b, c ∈ R. EÐnai safèc ìti apì ta dÔo aut� montèla, mìno to pr¸to
(AR(1)) eÐnai Markobianì, giatÐ gnwrÐzontac to an, de qreiazìmaste kamÐa
�llh plhroforÐa gia na problèyoume to an+1. AntÐjeta, to montèlo AR(2)
den eÐnai Markobianì giatÐ to an+1 exart�tai kai apì to an all� kai apì to
an−1. Ed¸ gia n = 1, 2, . . . , ta εn parist�noun ta sf�lmata tou montèlou,
ta opoÐa upojètoume ìti eÐnai anex�rthta apì tic t.m. an kai jewroÔme
sun jwc ìti akoloujoÔn thn kanonik katanom me mèsh tim mhdèn kai
stajer diakÔmansh.
3 AnelÐxeic Poisson
Sthn enìthta aut exet�zoume to aploÔstero montèlo miac Markobian c
anèlixhc, pou eÐnai h anèlixh Poisson. H anèlixh aut eÐnai epÐshc èna
7
par�deigma miac aparijm triac anèlixhc, dhlad miac anèlixhc pou eÐnai
mh fjÐnousa (me pijanìthta èna) kai paÐrnei akèraiec kai mh arnhtikèc timèc.
Tètoiec anelÐxeic qrhsimopoioÔntai sthn pr�xh sun jwc gia na parast soun
pìsec forèc sumbaÐnei èna gegonìc pou mac endiafèrei (p.q. mÐa apaÐthsh gia
apozhmÐwsh se asfalistik etaireÐa) sto qrìno.
Efìson oi anelÐxeic pou ja melet soume sth sunèqeia eÐnai se suneq qrìno,
qrhsimopoioÔme to sumbolismì {N(t) : t ≥ 0} antÐ gia {Nt : t ≥ 0}.
Orismìc MÐa aparijm tria stoqastik anèlixh {N(t) : t ≥ 0} lègetai
anèlixh Poisson ìtan ikanopoieÐ tic parak�tw sunj kec:
1. N(0) = 0.
2. Se èna polÔ mikrì qronikì di�sthma h mporeÐ na sumbeÐ to polÔ èna
gegonìc kai h pijanìthta na sumbeÐ autì to gegonìc eÐnai an�logh me
to m koc tou diast matoc. Autì ekfr�zetai majhmatik� wc ex c:
P (N(t+ h) = n+ k|N(t) = n) =
λh+ o(h) k = 1
1− λh+ o(h) k = 0
o(h) k ≥ 2.
(2)
Ed¸ to sÔmbolo o(h) dhl¸nei mÐa posìthta pou sugklÐnei sto mhdèn pio
gr gora apì ìti to h kaj¸c h→ 0, lìgou q�rin h2, h3 klp.
3. Gia k�je t < s, h t.m. N(s) − N(t) eÐnai anex�rthth thc metablht c
N(t).
H idiìthta 3. parap�nw mporeÐ na diatupwjeÐ genikìtera lègontac ìti gia dÔo
qronik� diast mata xèna metaxÔ touc, oi tuqaÐec metablhtèc pou parist�noun
ton arijmì twn gegonìtwn se kajèna apì aut� eÐnai anex�rthtec metaxÔ touc.
Parat rhsh 'Enac isodÔnamoc orismìc thc anèlixhc Poisson eÐnai o ex c:
mÐa aparijm tria anèlixh {N(t) : t ≥ 0} lègetai anèlixh Poisson an ikanopoieÐ
th sqèsh (2) kai èqei anex�rthtec kai st�simec prosaux seic.
8
DÔo basikèc idiìthtec miac stoqastik c anèlixhc Poisson eÐnai oi parak�tw.
(a) Gia k�je (stajerì) t, h t.m. N(t) akoloujeÐ thn katanom Poisson me
par�metro λt. Sumbolik�, gr�foume N(t) ∼ Poi(λt).
Genikìtera, isqÔei ìti gia k�je s > 0, h metablht N(t+s)−N(s) pou ekfr�zei
ton arijmì gegonìtwn sto di�sthma (s, s+ t] akoloujeÐ thn katanom Poisson
me par�metro λt.
To λ sthn perÐptwsh aut lègetai èntash rujmìc (rate) thc anèlixhc
Poisson. H apìdeixh thc parap�nw idiìthtac paraleÐpetai (mporeÐ na brejeÐ
se opoiod pote biblÐo stoqastik¸n anelÐxewn).
MÐa anèlixh Poisson, ìpwc kai k�je aparijm tria anèlixh, orÐzei mÐa akoloujÐa
apì t.m. Y1, Y2, Y3, . . ., pou lègetai akoloujÐa twn qrìnwn �fixhc (k�poiou
gegonìtoc) me ton akìloujo trìpo
Y1 = min{t : N(t) = 1}Y2 = min{t : N(t) = 2}. . .
Yk = min{t : N(t) = k}
'Etsi h (suneq c) tuqaÐa metablht Yk parist�nei to qrìno �fixhc tou k-
gegonìtoc.
Me b�sh aut n thn akoloujÐa, mporoÔme na orÐsoume thn akoloujÐa {Tk : k =
1, 2 . . .} wc ex c:
T1 = Y1
T2 = Y2 − Y1. . .
Tk = Yk − Yk−1.
Oi metablhtèc Tk onom�zontai endi�mesoi qrìnoi qrìnoi anamon c.
9
Prosèxte ìti en¸ h N(t) eÐnai diakrit t.m., oi metablhtèc Yi, Ti eÐnai gia k�je
i suneqeÐc tuqaÐec metablhtèc.
SÔmfwna me ta parap�nw, mporoÔme na apodeÐxoume mÐa deÔterh idiìthta thc
anèlixhc Poisson.
(b) Gia k�je i 6= j, oi metablhtèc Ti, Tj eÐnai anex�rthtec metaxÔ touc kai
kajemÐa akoloujeÐ thn ekjetik katanom me par�metro l.
Apìdeixh H apìdeixh gÐnetai me epagwg . Xekin¸ntac apì thn t.m. T1,
parathroÔme ìti
P (T1 > t) = P (N(t) = 0) = e−λt
to opoÐo deÐqnei ìti h T1 akoloujeÐ thn ekjetik katanom me par�metro l,
sumbolik� T1 ∼ Exp(λ).
Gia na deÐxoume ìti oi metablhtèc T1, T2 eÐnai anex�rthtec, upologÐzoume thn
pijanìthta P (T2 > t|T1 = s). Parathr ste ìti aut ekfr�zei thn pijanìthta
na mhn èqoume kanèna gegonìc sto di�sthma (s, t+ s] dedomènou ìti to pr¸to
gegonìc sunèbh th qronik stigm s. Epeid ta diast mata [0, s] kai (s, t+ s]
eÐnai xèna metaxÔ touc, apì thn idiìthta 3. tou orismoÔ miac anèlixhc Poisson
paÐrnoume ìti
P (T2 > t|T1 = s) = P (N(t+ s)−N(s) = 0) = P (N(t) = 0) = e−λt
qrhsimopoi¸ntac kai thn idiìthta (a) pou dìjhke pio p�nw.
Sunep¸c, deÐxame ìti T2 ∼ Exp(λ) kai ìti T1, T2 eÐnai anex�rthtec.
Upojètoume t¸ra ìti oi T1, T2, . . . , Tn eÐnai anex�rthtec kai kajemÐa akoloujeÐ
10
thn ekjetik me par�metro l. Me parìmoio trìpo ìpwc parap�nw, paÐrnoume
P (Tn+1 > t|T1 = t1, T2 = t2, . . . , Tn = tn)
= P (kanèna gegonìc sto di�sthma (t1 + t2 + . . .+ tn, t1 + t2 + . . .+ tn + t])
= P (N(t1 + t2 + . . .+ tn + t)−N(t1 + t2 + . . .+ tn) = 0)
= P (N(t) = 0)
= e−λt,
to opoÐo oloklhr¸nei thn apìdeixh. 2
Par�deigma Oi afÐxeic twn apait sewn se mÐa asfalistik etaireÐa
akoloujoÔn thn anèlixh Poisson me èntash λ = 3 an� ebdom�da. Na brejeÐ h
pijanìthta
(i) na up�rqoun dÔo apait seic se di�sthma dÔo ebdom�dwn
(ii) na up�rqoun toul�qiston dÔo apait seic se di�sthma dÔo ebdom�dwn
(iii) na qreiastoÔn toul�qiston 3 ebdom�dec èwc thn pr¸th apaÐthsh.
ShmeÐwsh H èntash se mÐa anèlixh Poisson ekfr�zetai p�nta an� mon�da
qrìnou (ed¸, an� ebdom�da).
LÔsh (i) Zht�me thn pijanìthta P (N(2) = 2). Apì tic idiìthtec thc anèlixhc
Poisson èqoume ìti
N(2) ∼ Poi(λt) = Poi(6)
Sunep¸c,
P (N(2) = 2) = e−662
2!= 18e−6.
11
(ii) Parìmoia brÐskoume
P (N(2) ≥ 2) = 1− P (N(2) ≤ 1)
= 1− P (N(2) = 0)− P (N(2) = 1)
= 1− e−6[
60
0!+
61
1!
]= 1− (1 + 6)e−6
= 1− 7e−6.
(iii) 'Estw T1 o qrìnoc (se ebdom�dec) mèqri thn pr¸th apaÐthsh. Efìson
T1 ∼ Exp(3), paÐrnoume
P (T1 > 3) = e−λt = e−3×3 = e−9,
pou eÐnai h zhtoÔmenh pijanìthta. 2
Parat rhsh Se mÐa anèlixh Poisson, o qrìnoc Yk mèqri na sumbeÐ to k-
gegonìc, mporeÐ na grafeÐ
Yk =k∑i=1
Ti.
'Ara, efìson to �jroisma anex�rthtwn ekjetik¸n akoloujeÐ thn katanom
G�mma, èqoume ìti sthn anèlixh Poisson, ∀k = 1, 2, . . . isqÔei Yk ∼ Ga(k, λ).
Shmei¸noume ìti, sthn perÐptwsh pou h pr¸th par�metroc thc katanom c
G�mma eÐnai akèraioc, h katanom anafèretai suqn� kai wc katanom Erlang,
opìte antÐ gia Ga(k, λ) gr�foume Erl(k, λ).
UpenjumÐzetai epÐshc ìti gia thn katanom G�mma, den up�rqei genik�
analutikìc tÔpoc gia thn ajroistik sun�rthsh katanom c. Wstìso, gia
akèraia tim tou k, mporeÐ na brejeÐ epagwgik� tÔpoc me paragontik
olokl rwsh.
MÐa genÐkeush thc anèlixhc Poisson eÐnai h mh-omogen c anèlixh Poisson. Gia
ton orismì thc anèlixhc aut c, jewroÔme kai p�li tic sunj kec 1. kai 3. tou
12
orismoÔ miac anèlixhc Poisson, all� h sunj kh 2. antikajÐstatai t¸ra apì
thn
2′
P (N(t+ h) = n+ k|N(t) = n) =
λ(t)h+ o(h) k = 1
1− λ(t)h+ o(h) k = 0
o(h) k ≥ 2
dhlad h èntash thc anèlixhc exart�tai apì to qrìno ston opoÐo briskìmaste.
'Ena apotèlesma gia thn anèlixh aut , antÐstoiqo thc idiìthtac 1. parap�nw
gia mÐa omogen anèlixh, eÐnai to akìloujo.
'Estw {N(t), t ≥ 0} mÐa mh-omogen c anèlixh Poisson me èntash λ(t). Tìte h
t.m. N(t) akoloujeÐ thn katanom Poisson me par�metro
ρ(t) =
∫ t
0
λ(s)ds
Gia stajerì λ(s) = λ, paÐrnoume ρ(t) = λt ìpwc kai prin se mÐa omogen
anèlixh.
4 Ananewtikèc anelÐxeic
MÐa �llh genÐkeush thc anèlixhc Poisson me perissìtero endiafèron eÐnai h
ananewtik anèlixh.
Orismìc MÐa ananewtik anèlixh {N(t) : t ≥ 0} eÐnai mÐa aparijm tria
anèlixh sthn opoÐa oi endi�mesoi qrìnoi (qrìnoi anamon c) eÐnai anex�rthtec
tuqaÐec metablhtèc pou akoloujoÔn thn Ðdia katanom (ìqi ìmwc aparaÐthta
thn ekjetik ).
Gia par�deigma, h katanom aut mporeÐ na eÐnai mÐa apì tic katanomèc G�mma,
Weibull, Pareto, lognormal, klp.
13
Ektìc apì ton analogismì, oi ananewtikèc anelÐxeic qrhsimopoioÔntai eurÔ-
tata sth jewrÐa axiopistÐac. Gia par�deigma, ac jewr soume èna sÔsthma
sto opoÐo egkajistoÔme mÐa mhqan , h opoÐa mìlic qal�sei antikajÐstatai apì
mÐa kainoÔria kok. K�je for� pou gÐnetai mÐa tètoia antikat�stash lème ìti
to sÔsthma anane¸netai. An h t.m. N(t) parist�nei ton arijmì anane¸sewn
(gegonìtwn) sto di�sthma [0, t], tìte h {N(t) : t ≥ 0} eÐnai mÐa ananewtik
anèlixh. Majhmatik�, h N(t) orÐzetai apì th sqèsh
N(t) = max{n : Yn ≤ t}
ìpou to Yi parist�nei to sunolikì qrìno zw c twn i pr¸twn mhqan¸n pou
egkajÐstantai sto sÔsthma.
Me b�sh ta parap�nw, mporoÔme na doÔme ìti mÐa basik sqèsh gia k�je
ananewtik anèlixh eÐnai h ex c. Gia k�je akèraio n kai t ≥ 0,
N(t) ≥ n ìtan kai mìno ìtan Yn ≤ t. (3)
To endeqìmeno {N(t) ≥ n} shmaÐnei ìti èqoume toul�qisto n gegonìta èwc
to qrìno t. Apì thn �llh, to endeqìmeno Yn ≤ t shmaÐnei ìti o qrìnoc
anamon c èwc ìtou sumboÔn n gegonìta (anane¸seic) eÐnai to polÔ t. Epeid
oi parap�nw eÐnai dÔo diaforetikèc ekfr�seic tou Ðdiou endeqomènou, blèpoume
ìti isqÔei h (3).
Sth melèth twn ananewtik¸n anelÐxewn, mÐa posìthta h opoÐa mac endiafèrei
kurÐwc eÐnai h ananewtik sun�rthsh m(t), h opoÐa orÐzetai apì th sqèsh
m(t) = E[N(t)].
H m(t) sunep¸c dhl¸nei ton anamenìmeno arijmì gegonìtwn (anane¸sewn)
sto di�sthma (0, t].
MÐa basik ènnoia pou sundèetai me ananewtikèc anelÐxeic eÐnai h ènnoia thc
sunèlixhc.
14
Orismìc An F,G eÐnai dÔo ajroistikèc sunart seic katanom c, tìte h
sun�rthsh katanom c F ? G pou orÐzetai gia x ≥ 0 apì th sqèsh
(F ? G)(x) =
∫ x
0
F (x− t)dG(t)
onom�zetai sunèlixh twn F,G.
Parat rhsh To sÔmbolo dG(t) sto olokl rwma thc teleutaÐac sqèshc
parist�nei to diaforikì thc sun�rthshc G. Gia thn perÐptwsh ìpou h G èqei
puknìthta g, opìte h parap�nw sqèsh gr�fetai
(F ? G)(x) =
∫ x
0
F (x− t)g(t)dt.
MÐa basik idiìthta twn sunelÐxewn, pou deÐqnei th shmasÐa touc genikìtera
sth jewrÐa pijanot twn eÐnai h ex c: an X, Y eÐnai dÔo anex�rthtec t.m. me
ajroistikèc sunart seic antÐstoiqa F,G, tìte h katanom thc metablht c
X + Y eÐnai h F ? G.
K�poiec �llec idiìthtec twn sunelÐxewn dÐnontai sth sunèqeia.
1. Antimetajetik
(F ? G)(x) = (G ? F )(x),
dhlad ∫ x
0
F (x− t)dG(t) =
∫ x
0
G(x− t)dF (t)
k�ti pou prokÔptei �mesa apì to gegonìc ìti h katanom miac metablht c
X + Y eÐnai Ðdia me thn katanom thc Y +X.
2. Prosetairistik , dhlad gia k�je ajroistikèc sunart seic F,G,H
[(F ? G) ? H](x) = [F ? (G ? H)](x).
15
3. An F,G eÐnai dÔo ajroistikèc sunart seic katanom¸n me puknìthtec
antÐstoiqa f, g, tìte h puknìthta thc F ? G dÐnetai apì th sqèsh∫ x
0
f(x− t)g(t)dt.
'Enac genikìteroc orismìc thc sunèlixhc eÐnai an�mesa se mÐa fragmènh
sun�rthsh h : [0,∞) 7→ R kai se mia ajroistik sun�rthsh katanom c F .
H sunèlixh h ? F orÐzetai tìte apì th sqèsh
(h ? F )(x) =
∫ x
0
h(x− t)dF (t).
Prìtash 'Estw mÐa ananewtik anèlixh {N(t) : t ≥ 0} sthn opoÐa h
katanom twn endiamèswn qrìnwn eÐnai F kai èstw m(t) = E[N(t)] h
ananewtik sun�rthsh. Tìte h m(t) ikanopoieÐ th sqèsh
m(t) =∞∑k=1
F ?k(t) ∀t ≥ 0,
ìpou F ?k eÐnai h k-t�xhc sunèlixh thc F me ton eautì thc, dhlad F ?2(x) =
(F ? F )(x), F ?3(x) = (F ? F ? F )(x), kok.
Apìdeixh Gia thn apìdeixh qrhsimopoioÔme thn (3). Efìson ta dÔo
endeqìmena sthn (3) eÐnai isodÔnama, ja èqoun thn Ðdia pijanìthta, dhlad
P (N(t) ≥ n) = P (Yn ≤ t).
AjroÐzontac gia ìlec tic timèc tou n, èqoume
∞∑n=1
P (N(t) ≥ n) =∞∑n=1
P (Yn ≤ t)
⇒ E(N(t)) =∞∑n=1
F ?n(t),
16
diìti Yn = T1 + T2 + . . . + Tn, kai ta Ti akoloujoÔn katanom F , sunep¸c h
katanom tou Yn ja eÐnai h sunèlixh F ?n. 2
Par�deigma H anèlixh Poisson eÐnai eidik perÐptwsh miac ananewtik c
anèlixhc ìtan T1 ∼ Exp(λ), dhlad F (t) = 1 − e−λt, t ≥ 0. H ananewtik
sun�rthsh gia mÐa anèlixh Poisson eÐnai m(t) =∞∑k=1
F ?k(x) me puknìthta
∞∑k=1
(λt)k−1λe−λt
(k − 1)!= λe−λt
∞∑k=1
(λt)k−1
(k − 1)!
= λe−λteλt
= λ,
ìpou qrhsimopoi same th sqèsh
∞∑k=1
(λt)k−1
(k − 1)!=∞∑r=0
(λt)r
r!= eλt.
Sunep¸c me olokl rwsh brÐskoume thn ananewtik sun�rthsh gia mÐa anèlixh
Poisson
m(t) =
∫ t
0
λdt = λt
k�ti pou eÐnai asfal¸c anamenìmeno afoÔm(t) = E[N(t)] kaiN(t) ∼ Poi(λt).
MÐa er¸thsh pou ja mporoÔse na jèsei kaneÐc eÐnai an mÐa ananewtik anèlixh
ikanopoieÐ th Markobian idiìthta. H ap�nthsh sthn er¸thsh aut eÐnai
arnhtik . Sthn pragmatikìthta, h mình kathgorÐa ananewtik¸n anelÐxewn gia
tic opoÐec isqÔei h idiìthta Markov eÐnai h anèlixh Poisson, kai autì ofeÐletai
sthn amn mona idiìthta (memoryless property) twn endiamèswn qrìnwn.
Sugkekrimèna, gia eÐnai mÐa anèlixh Markov, ja prèpei
P (N(t+ s) = m|N(t) = n,N(t0) = n0, . . . , N(tk) = nk)
= P (N(t+ s) = m|N(t) = n)
17
gia ìla ta ti < t. An ìmwc to tk eÐnai qrìnoc ananèwshc (�fixhc enìc
gegonìtoc), tìte h plhroforÐa gia thn tim aut de mac eÐnai �qrhsth (giatÐ
mac dÐnei thn plhroforÐa gia to qrìno zw c èwc t¸ra thc mhqan c pou eÐnai
se leitourgÐa).
Me ton Ðdio trìpo ìpwc parap�nw mporeÐ na upologisteÐ h ananewtik
sun�rthsh m(t) gia thn perÐptwsh ìpou oi endi�mesoi qrìnoi akoloujoÔn
thn katanom Ga(k, λ). Shmei¸netai idiaÐtera ìti gia thn perÐptwsh ìpou to
k eÐnai akèraioc, h sunèlixh katanom¸n Ga(k, λ) eÐnai kai p�li mÐa katanom
G�mma.
Prìtash 4.1 H ananewtik sun�rthsh m(t) ikanopoieÐ thn ananewtik
exÐswsh
m(t) = F (t) +
∫ t
0
m(t− x)dF (x).
Apìdeixh QrhsimopoioÔme to legìmeno ananewtikì epiqeÐrhma, desmeÔontac
wc proc to qrìno thc pr¸thc ananèwshc T1. Me b�sh to nìmo thc olik c
pijanìthtac, gnwrÐzontac ìti h katanom thc T1 eÐnai h F , paÐrnoume
m(t) = E(N(t))
= E [E (N(t)|T1)]
=
∫ ∞0
E (N(t)|T1) dF (x).
Gia th desmeumènh mèsh tim sto olokl rwma, diakrÐnoume dÔo peript¸seic:
E [N(t)|T1 = x] = 0, t < x
E [N(t)|T1 = x] = 1 +m(t− x), t ≥ x
H deÔterh sqèsh isqÔei diìti xèroume ìti èqei sumbeÐ dh èna gegonìc, kai
amèswc met� to sÔsthma anane¸netai, dhlad eÐnai san na brÐsketai sthn
arqik kat�stash.
18
UpologÐzoume t¸ra thn E(N(t)). Me b�sh ta parap�nw,
E(N(t)) =
∫ t
0
[1 +m(t− x)]dF (x)
=
∫ t
0
1dF (x) +
∫ t
0
m(t− x)dF (x)
= F (t) +
∫ t
0
m(t− x)dF (x),
to opoÐo eÐnai to zhtoÔmeno. 2
Genikìtera, mÐa exÐswsh thc morf c
µ(t) = Z(t) + ϕ
∫ t
0
Z(t− x)dF (x) (4)
lègetai exÐswsh ananewtikoÔ tÔpou apl� ananewtik exÐswsh.
Sth sqèsh aut , to ϕ eÐnai mia stajer� ètsi ¸ste 0 < ϕ ≤ 1, h g eÐnai mÐa
fragmènh sun�rthsh, h F eÐnai mÐa ajroistik sun�rthsh katanom c en¸ h Z
eÐnai h �gnwsth sun�rthsh.
Oi exis¸seic ananewtikoÔ tÔpou diakrÐnontai se:
(a) elleimmatikèc (defective) ìtan 0 < ϕ < 1, kai
(b) kanonikèc (proper) mh elleimmatikèc (non-defective) ìtan sthn exÐswsh
h stajer� ϕ = 1.
Prìtash H genik lÔsh thc exÐswshc (4) eÐnai h sun�rthsh pou dÐnetai apì
th sqèsh
µ(t) = g(t) +
∫ t
0
g(t− x)dM(x)
ìpou
M(t) =∞∑k=1
ϕkF ?k(t).
19
ParathroÔme ìti ìtan h exÐswsh ananewtikoÔ tÔpou eÐnai kanonik , tìte h
lÔsh thc exÐswshc mporeÐ na brejeÐ analutik� ìtan gnwrÐzoume thn ananewtik
sun�rthsh m(t) pou antistoiqeÐ sthn katanom F , giatÐ tìte h teleutaÐa
sqèsh dÐnei M(t) = m(t).
DÔo basik� apotelèsmata pou isqÔoun gia mÐa ananewtik anèlixh {N(t) : t ≥0} eÐnai ta ex c.
1. Kaj¸c t→∞, isqÔei me pijanìthta 1 ìti
N(t)
t→ 1
µ1
ìpou µ1 =
∫ ∞0
xdF (x) eÐnai h mèsh tim gia thn F .
2. Gia t→∞, isqÔei ìtim(t)
t→ 1
µ1
.
Prosèxte th diafor� an�mesa stic dÔo autèc sqèseic. H pr¸th dhl¸nei th
sÔgklish miac oikogèneiac t.m. (gia to lìgo autì anafèroume ìti h sÔgklish
eÐnai me pijanìthta 1), en¸ h deÔterh dhl¸nei th sÔgklish miac sun�rthshc,
sugkekrimèna thcm(t)
t
me th sun jh majhmatik ènnoia, gia t→∞, efìson gia k�je t, to m(t) den
eÐnai mÐa tuqaÐa metablht , all� h mèsh thc tim , dhlad ènac arijmìc.
Anafèroume tèloc (qwrÐc apìdeixh) èna polÔ shmantikì apotèlesma, me
pollèc efarmogèc se di�fora montèla twn pijanot twn ta opoÐa parousi�zoun
k�poiou eÐdouc �ananèwsh�, kai to opoÐo epÐshc ja qrhsimopoi soume sth
sunèqeia ìtan ja asqolhjoÔme me th jewrÐa kindÔnwn.
20
Prìtash 4.2 (Basikì Ananewtikì Je¸rhma � Key Renewal
Theorem)
JewroÔme thn mh elleimmatik ananewtik exÐswsh
Z(t) = g(t) +
∫ t
0
Z(t− y)dF (y),
ìpou Z eÐnai h �gnwsth sun�rthsh, g mÐa fragmènh sun�rthsh kai F mÐa
suneq c sun�rthsh katanom c.
An h sun�rthsh g eÐnai oloklhr¸simh sto di�sthma (0,∞), kai isqÔei
limt→∞
g(t) = 0,
tìte isqÔei o asumptwtikìc tÔpoc
limt→∞
Z(t) =
∫∞0g(y)dy
µ1
,
ìpou µ1 eÐnai h pr¸th rop thc katanom c F .
Parat rhsh Up�rqoun di�forec morfèc tou basikoÔ ananewtikoÔ jewr -
matoc, parap�nw d¸same thn pio apl kai aut pou ja mac qreiasteÐ sth
sunèqeia. AntÐ na upojèsoume ìti limt→∞
g(t) = 0, to je¸rhma isqÔei epÐshc
an h g eÐnai fjÐnousa, an mporeÐ na grafeÐ sa diafor� dÔo sunart sewn,
kajemÐa apì tic opoÐec eÐnai fjÐnousa kai oloklhr¸simh sto (0,∞). 2
5 SÔnjetec katanomèc
An X1, X2, . . . , eÐnai mÐa akoloujÐa anex�rthtwn t.m. kai N mÐa metablht h
opoÐa eÐnai anex�rthth apì tic Xi kai paÐrnei akèraiec mh arnhtikèc timèc, tìte
21
h metablht
S =
N∑i=1
Xi, an N ≥ 1
0, an N = 0
lème ìti akoloujeÐ mÐa sÔnjeth katanom , èstw G. H metablht S onom�zetai
sÔnjeth tuqaÐa metablht .
H katanom thc N dÐnei to ìnoma sth sÔnjeth katanom , p.q.
• An h N akoloujeÐ katanom Poisson, tìte lème ìti h G eÐnai mÐa sÔnjeth
katanom Poisson
• An h N akoloujeÐ diwnumik katanom , tìte lème ìti h G eÐnai mÐa
sÔnjeth diwnumik katanom
• An h N akoloujeÐ gewmetrik katanom , tìte lème ìti h G eÐnai mÐa
sÔnjeth gewmetrik katanom .
Par�deigma apì ton analogismì JewroÔme tic parak�tw t.m. pou
sundèontai me èna asfalistikì qartoful�kio
• N eÐnai o arijmìc twn apait sewn ( apozhmi¸sewn) pou ft�noun sthn
etaireÐa se di�sthma enìc ètouc
• X1, X2, . . . , parist�noun ta megèjh twn apait sewn (jewroÔme ìti autèc
plhr¸nontai sto akèraio, gia to lìgo autì oi ènnoiec apaÐthsh kai
apozhmÐwsh èqoun thn Ðdia ènnoia ed¸, all� kai sth sunèqeia).
Tìte h t.m. pou parist�nei to sunolikì Ôyoc twn apait sewn gia to qronikì
di�sthma pou mac endiafèrei gr�fetai
S =
N∑i=1
Xi an N ≥ 1
0 an N = 0
22
dhlad h S èqei mÐa sÔnjeth katanom .
Se epìmenec enìthtec ja asqolhjoÔme kurÐwc me th sÔnjeth gewmetrik
katanom .
Mèsh tim kai diakÔmansh sÔnjetwn katanom¸n 'EstwX1, X2, . . . ,
mÐa akoloujÐa anex�rthtwn t.m. me
E(Xi) = µ, V ar (Xi) = σ2, ∀i = 1, 2, . . . .
Tìte
E(S) = E(E(S|N)) = E(N)E(Xi) = µE(N).
Gia th diakÔmansh, qrhsimopoioÔme th sqèsh
V ar(S) = V ar(E(S|N)) + E(V ar(S|N)).
UpologÐzoume pr¸ta ton pr¸to ìro sto dexiì mèloc thc teleutaÐac sqèshc.
E(S|N = n) = E(X1 +X2 + . . .+Xn) = nµ.
Sunep¸c,
V ar(E(S|N)) = V ar(N)µ2.
Gia to deÔtero ìro, èqoume
V ar(S|N = n) = V ar(X1 +X2 + . . .+Xn) = nσ2
�ra,
E(V ar(S|N)) = E(N)σ2.
Me b�sh ta parap�nw, brÐskoume telik� gia th diakÔmansh thc S,
V ar(S) = V ar(N)µ2 + E(N)σ2.
Ropogenn tria thc S
23
BrÐskoume sth sunèqeia th ropogenn tria thc sÔnjethc katanom c se sqèsh
me tic ropogenn triec twn Xi, N .
MS(t) = E(etS)
= EN(E(etS|N = n
)). (5)
Gia th desmeumènh mèsh tim sthn parènjesh, èqoume
E(etS|N = n
)= E
(et(X1+X2+...+Xn)
).
Epeid ta Xi eÐnai anex�rthta metaxÔ touc,
E(etS|N = n
)= E
(etX1
)E(etX2
). . . E
(etXn
)= MX1(t)MX2(t) . . .MXn(t).
An ta Xi eÐnai kai isìnoma, dhlad èqoun thn Ðdia katanom me ropogenn tria
MX1(t), paÐrnoume
E(etS|N = n
)=[E(etX1
)]n= [MX1(t)]
n .
'Ara apì thn (5) èqoume
MS(t) = E(etS)
=∞∑n=0
P (N = n)MX1(t)n
= EN(MX1(t)
N)
= EN
((elnMX1
(t))N)
= EN(eN lnMX1
(t))
= MN (lnMX1(t)) ,
ìpou MN(t) eÐnai h ropogenn tria thc N .
Par�deigma 5.1 (sÔnjeth Poisson)
H ropogenn tria thc Poi(λ) eÐnai
MN(t) = eλ(et−1), λ > 0, t > 0
24
�ra h ropogenn tria thc sÔnjethc t.m. S, ìtan h N akoloujeÐ thn katanom
Poisson, eÐnai
MS(t) = MN (lnMX1(t)) = eλ(MX1(t)−1).
Apì th sqèsh aut , gnwrÐzontac thn katanom twn Xi, mporoÔme na broÔme
me parag gish tic ropèc opoiasd pote t�xhc thc S.
An ta Xi akoloujoÔn katanom F kai h Poisson èqei par�metro λ, tìte lème
ìti oi par�metroi thc sÔnjethc Poisson eÐnai λ kai F . 2
Par�deigma 5.2 'Estw ìti oi sunolikèc apozhmi¸seic se dÔo anex�rthta
qartoful�kia, S1 kai S2, akoloujoÔn th sÔnjeth Poisson wc ex c:
S1 =
N1∑i=1
Xi, S2 =
N2∑j=1
Yj
ìpou Xi, Yj anex�rthtec gia ìlec tic timèc twn i, j.
DÐnetai ìti
N1 ∼ Poi(λ1), N2 ∼ Poi(λ2)
kai
Xi ∼ Exp(α), Yj ∼ Exp(β)
Na brejeÐ h katanom tou ajroÐsmatoc S1 + S2.
LÔsh
Epeid oi sunolikèc apozhmi¸seic sta dÔo qartoful�kia eÐnai anex�rthtec t.m.,
èqoume
MS(t) = MS1+S2(t) = MS1(t)MS2(t)
25
kai qrhsimopoi¸ntac ton tÔpo gia th ropogenn tria sÔnjethc Poisson pou
brèjhke parap�nw, prokÔptei ìti
MS(t) = exp {λ1 (MX1(t)− 1)} exp {λ2 (MX2(t)− 1)}
= exp
{λ1
α
α− t− λ1 + λ2
β
β − t− λ2
}. (6)
Ed¸ qrhsimopoi same to gegonìc ìti h ropogenn tria thc ekjetik c me
par�metro α eÐnai
MX1(t) =α
α− t, t < α
antÐstoiqa gia thn MX2(t).
Jètoume
N = N1 +N2, λ = λ1 + λ2
kai gr�foume
S =N∑i=1
Zi
ìpou ta Zi eÐnai anex�rthta me katanom
F (x) =1
λ[λ1F1(x) + λ2F2(x)] .
Ed¸ h F1 eÐnai h katanom Exp(α), dhlad h katanom twn Xi, kai F2
eÐnai h katanom Exp(β), dhlad h katanom twn Yj. MÐa katanom thc
parap�nw morf c onom�zetai meÐxh dÔo ekjetik¸n katanom¸n, ìpwc ja doÔme
sth sunèqeia.
H ropogenn tria twn Zi eÐnai
MZi(t) =1
λ[λ1MX1(t) + λ2MY1(t)] .
Tìte blèpoume apì thn (6) ìti h ropogenn tria thc S mporeÐ na grafteÐ wc
MS(t) = exp {λMZi(t)− λ} .
26
Autì shmaÐnei ìti h S eÐnai sÔnjeth Poisson me paramètrouc λ kai F . 2
Genikìtera isqÔei ìti to �jroisma sÔnjetwn Poisson tuqaÐwn metablht¸n, oi
opoÐec eÐnai anex�rthtec metaxÔ touc, akoloujeÐ epÐshc th sÔnjeth katanom
Poisson.
6 Eisagwg sth jewrÐa qreokopÐac
Sto sullogikì prìtupo thc jewrÐac kindÔnou qrhsimopoioÔme mÐa t.m S =N∑i=1
Xi, h opoÐa èqei mia sÔnjeth katanom kai qrhsimopoieÐtai gia na
perigr�yei tic sunolikèc apait seic pou proèrqontai apì èna qartoful�kio
proc mÐa asfalistik etaireÐa. Ed¸ oi metablhtèc Xi parist�noun tic
apait seic gia apozhmi¸seic pou ft�noun sthn etaireÐa kai jewroÔntai
anex�rthtec kai isìnomec t.m., en¸ h metablht N parist�nei ton arijmì twn
apait sewn se èna prokajorismèno qronikì di�sthma pou mac endiafèrei (p.q.
èna ètoc).
Sth jewrÐa qreokopÐac exet�zoume tic sunolikèc apozhmi¸seic apì èna qarto-
ful�kio ìpwc autèc exelÐssontai sto qrìno. Gia to lìgo autì qrhsimopoioÔme
mÐa stoqastik anèlixh, {S(t) : t ≥ 0}, kai ìqi mÐa tuqaÐa metablht gia na
perigr�yei tic sunolikèc apozhmi¸seic.
EpÐshc h metablht N antikajÐstatai t¸ra apì mÐa stoqastik anèlixh (mÐa
aparijm tria anèlixh, ìpwc aut orÐsthke nwrÐtera) {N(t) : t ≥ 0} h opoÐa
metr� ton arijmì twn apait sewn proc thn etaireÐa sto qrìno. 'Etsi, se
antistoiqÐa me mÐa sÔnjeth katanom , h {S(t) : t ≥ 0} eÐnai mÐa sÔnjeth
stoqastik anèlixh pou orÐzetai gia k�je t apì th sqèsh
27
S(t) =
N(t)∑i=1
Xi an N(t) ≥ 1
0 an N(t) = 0.
(7)
To shmantikìtero par�deigma miac tètoiac anèlixhc, kai autì pou ja exet�-
soume analutik� sth sunèqeia, eÐnai autì sto opoÐo h {N(t)} eÐnai mÐa anèlixhPoisson, opìte lème ìti h {S(t) : t ≥ 0}, pou parist�nei tic sunolikèc
apozhmi¸seic kaj¸c metab�llontai sto qrìno, akoloujeÐ mÐa sÔnjeth
anèlixh Poisson.
Akìmh, jewroÔme mÐa sun�rthsh P (t) h opoÐa dhl¸nei ta sunolik� asf�listra
pou eisrèoun sthn etaireÐa sto di�sthma [0, t]. Shmei¸noume ed¸ ìti ta
asf�listra kajorÐzontai me akrÐbeia apì ton asfalist , dhlad den up�rqei
abebaiìthta wc proc thn exèlix touc sto qrìno, gia to lìgo autì h P (t)
eÐnai mÐa aÔxousa majhmatik sun�rthsh kai ìqi mÐa stoqastik anèlixh .
Sthn aploÔsterh perÐptwsh, thn opoÐa ja exet�soume ed¸, h P (t) eÐnai mÐa
grammik sun�rthsh. SumbolÐzoume me c to asf�listro pou eisrèei sthn
etaireÐa sth mon�da tou qrìnou, ètsi ¸ste to sÔnolo twn asfalÐstrwn pou
eispr�ttei h etaireÐa sto qronikì di�sthma [0, t] eÐnai ct. Upojètoume epÐshc
ìti gia k�je qartoful�kio, h etaireÐa èqei èna apojematikì, èstw u, gia na
kalÔyei kurÐwc thn pijanìthta na èrjei k�poia polÔ meg�lh apozhmÐwsh sthn
arq thc leitourgÐac tou qartofulakÐou.
Me b�sh ta parap�nw, mporoÔme t¸ra na d¸soume ton parak�tw orismì.
Orismìc 6.1 H stoqastik anèlixh tou pleon�smatoc {U(t) : t ≥ 0}orÐzetai gia k�je t ≥ 0 apì th sqèsh
U(t) = u+ P (t)− S(t),
ìpou u eÐnai to arqikì apojematikì, P (t) to sunolikì asf�listro sto di�sthma
[0, t] kai S(t) eÐnai h sÔnjeth anèlixh gia tic sunolikèc apozhmi¸seic sto Ðdio
28
di�sthma. To U(t) kaleÐtai apojematikì pleìnasma th qronik stigm t, en¸
to U(0) = u lègetai arqikì apojematikì. An isqÔoun oi parak�tw upojèseic:
• P (t) = ct gia k�poio c > 0, dhlad h P (t) eÐnai mÐa grammik sun�rthsh
• Oi metablhtèc Xi, pou dhl¸noun to mègejoc twn apozhmi¸sewn, eÐnai
anex�rthtec kai isìnomec kai eÐnai epÐshc anex�rthtec apì ton arijmì twn
apozhmi¸sewn se èna di�sthma, N(t)
• H {N(t) : t ≥ 0} eÐnai mÐa anèlixh Poisson, ètsi ¸ste h anèlixh {S(t) :
t ≥ 0} sthn (7) eÐnai mÐa sÔnjeth anèlixh Poisson
tìte mil�me gia to klasikì montèlo thc jewrÐac kindÔnwn.
6
-
u
U(t)
t
���������
���������
���
���������
������
���
������
���������
���������
s
Sq ma 1. H anèlixh tou pleon�smatoc
29
To Sq ma 1 parousi�zei thn anèlixh tou pleon�smatoc sto klasikì montèlo.
To klasikì montèlo eÐnai autì to opoÐo ja melet soume diexodik� sth
sunèqeia. Anafèroume apl¸c ìti ta teleutaÐa qrìnia èqoun parousiasteÐ
kai melethjeÐ di�forec genikeÔseic tou montèlou, ìpwc gia par�deigma oi
peript¸seic ìpou
• h P (t) den eÐnai grammik sun�rthsh
• Oi metablhtèc Xi den eÐnai anex�rthtec
• H {N(t) : t ≥ 0} eÐnai mÐa ananewtik anèlixh (ìqi aparaÐthta anèlixh
Poisson)
• lamb�netai upìyh o plhjwrismìc
• gÐnetai epèndush tou arqikoÔ apojematikoÔ /kai twn asfalÐstrwn.
Sto klasikì montèlo, apì th sqèsh P (t) = ct prokÔptei ìti c = P (t)/t,
dhlad to c ekfr�zei to asf�listro pou plhr¸netai sth mon�da tou qrìnou
(to opoÐo de metab�lletai sto qrìno) kai onom�zetai èntash tou as-
falÐstrou (premium rate).
O sumbolismìc pou ja qrhsimopoi soume sth sunèqeia gia to klasikì montèlo
eÐnai
• λ eÐnai h èntash thc anèlixhc Poisson
• to F dhl¸nei thn katanom twn apozhmi¸sewn. 'Otan h katanom aut
èqei puknìthta, tìte h puknìthta sumbolÐzetai me f
• To µk dhl¸nei thn k− t�xhc rop thc F gÔrw apì to mhdèn, dhlad
µk =
∫ ∞0
xkdF (x)
(=
∫ ∞0
xkf(x)dx
).
30
MÐa basik upìjesh pou k�noume p�ntote sto klasikì montèlo eÐnai ìti
c > λµ1 (8)
Parathr ste ìti sto aristerì mèloc thc sqèshc aut c èqoume th mèsh tim
twn esìdwn sth mon�da tou qrìnou gia ton asfalist . Sto dexiì mèloc èqoume
to mèso rujmì apozhmi¸sewn sth mon�da tou qrìnou pollaplasiasmèno epÐ th
mèsh apozhmÐwsh. Dhlad , to dexiì mèloc dhl¸nei th mèsh tim twn exìdwn
gia ton asfalist sth mon�da tou qrìnou. Sunep¸c, h sunj kh (8) apaiteÐ ta
èsoda na uperbaÐnoun kat� mèso ìro ta èxoda sth mon�da tou qrìnou. Gia to
lìgo autì, anafèretai wc h sunj kh tou kajaroÔ kèrdouc (net profit
condition).
H posìthta me to megalÔtero endiafèron sth jewrÐa qreokopÐac eÐnai h
pijanìthta qreokopÐac, dhlad h pijanìthta to pleìnasma U(t) tou asfalist
na gÐnei k�poia stigm arnhtikì.
Orismìc 6.2 H pijanìthta qreokopÐac me arqikì apojematikì u orÐzetai apì
th sqèsh
ψ(u) = P [U(t) < 0 gia k�poio t ≥ 0|U(0) = u] .
Pollèc forèc, h dèsmeush mèsa sthn pijanìthta paraleÐpetai apì to sumbolis-
mì kai, ìtan eÐnai safèc ìti h pijanìthta qreokopÐac jewreÐtai sun�rthsh tou
arqikoÔ apojematikoÔ u, gr�foume apl¸c
ψ(u) = P [U(t) < 0 gia k�poio t ≥ 0] .
Parathr seic
1. 'Ena basikì apotèlesma, to opoÐo deÐqnei th shmasÐa pou èqei h (8) sth
jewrÐa qreokopÐac, eÐnai to ex c.
An den isqÔei h (8), tìte ψ(u) = 1 ∀u ≥ 0 (9)
31
dhlad h qreokopÐa eÐnai bèbaih. Autì eÐnai diaisjhtik� anamenìmeno
ìtan c < λµ1, dhlad ìtan ta èsoda thc etaireÐac eÐnai ligìtera apì
ta èxoda kat� mèso ìro, afoÔ me b�sh to nìmo twn meg�lwn arijm¸n
apì k�poia qronik stigm kai met� to pleìnasma ja mikraÐnei, �ra ja
pèsei kai k�tw apì to mhdèn. EÐnai ligìtero profanèc ìti isqÔei to Ðdio
kai sthn perÐptwsh ìpou c = λµ1, dhlad ìtan ta èsoda eÐnai Ðsa me ta
anamenìmena èxoda, isqÔei p�ntwc kai p�li ìti h qreokopÐa eÐnai bèbaih
ìso meg�lo kai an eÐnai to arqikì apojematikì. H apìdeixh gia thn
perÐptwsh aut eÐnai k�pwc dÔskolh kai gi' autì paraleÐpetai.
2. H ψ eÐnai fjÐnousa sun�rthsh tou u. IsqÔei m�lista ìti limu→∞
ψ(u) = 0.
3. Shmei¸noume ed¸ ìti o ìroc `qreokopÐa� de qrhsimopoieÐtai kuriolektik�,
all� eÐnai perissìtero ènac teqnikìc ìroc, pou qrhsimopoieÐtai sa mètro
thc feregguìthtac enìc qartofulakÐou. MporeÐ na antilhfjeÐ k�poioc
eÔkola, ìti an se èna sugkekrimèno qartoful�kio, to apojematikì U(t)
pèsei k�tw apì to mhdèn, h etaireÐa sthn pragmatikìthta de `qreokopeÐ�
all� oÔte kan paÔei h leitourgÐa tou sugkekrimènou qartofulakÐou
(h etaireÐa mporeÐ na daneisteÐ qr mata, na anaplhr¸sei thn ap¸leia
apì k�poio �llo qartoful�kio, na èqei merik k�luyh twn zhmi¸n mèsw
antasf�lishc klp.).
Orismìc 6.3 To perij¸rio asf�leiac (premium loading factor)
suntelest c asf�leiac θ sto klasikì montèlo orÐzetai apì th sqèsh
θ =c
λµ1
− 1.
Parat rhsh EÐnai profanèc apì thn (8) ìti to θ paÐrnei p�nta jetikèc
timèc. EpÐshc, mporeÐ na apodeiqteÐ eÔkola ìti ìso megal¸nei to perij¸rio
asf�leiac se èna montèlo, tìso mikraÐnei h pijanìthta qreokopÐac. 2
Diaisjhtik�, o suntelest c θ ekfr�zei pìso megalÔtera eÐnai ta èsoda apì
ta èxoda thc etaireÐac kat� mèso ìro se èna qartoful�kio. 'Etsi, to θ mporeÐ
32
na jewrhjeÐ ìti ekfr�zei to anamenìmeno posostì kèrdouc gia ton asfalist .
Gia to lìgo autì, to θ sthn pr�xh paÐrnei sun jwc timèc metaxÔ 0 kai 1 ( apì
0 èwc 100%, an ekfrasteÐ san posostì) giati diaforetik� to sugkekrimèno
qartoful�kio den eÐnai antagwnistikì (o asfalist c èqei polÔ meg�lo kèrdoc,
�ra o asfalizìmenoc den èqei lìgo na epilèxei to qartoful�kio).
Sthn efarmog tou klasikoÔ montèlou sthn pr�xh, jewroÔme ìti to perij¸rio
asf�leiac θ mporeÐ na kajoristeÐ me akrÐbeia apì ton asfalist . H mèsh
tim thc katanom c twn apozhmi¸sewn, pou qrei�zetai gia na kajoristeÐ to θ,
jewreÐtai eÐte ìti eÐnai gnwst (apì prohgoÔmena antÐstoiqa qartoful�kia)
eÐte mporeÐ na ektimhjeÐ, me parametrikèc mh-parametrikèc mejìdouc.
H pijanìthta qreokopÐac, ìpwc orÐsthke parap�nw, anafèretai se �peiro
qrìno, dhlad exet�zei thn pijanìthta to pleìnasma na gÐnei arnhtikì an
jewrhjeÐ ìti èna qartoful�kio mporeÐ na leitourg sei k�tw apì tic Ðdiec
upojèseic (�ra kai gia tic Ðdiec timèc twn paramètrwn λ, c, klp) gia polÔ
meg�lo qronikì di�sthma. Epeid k�ti tètoio eÐnai amfÐbolo sthn pr�xh,
kai epeid o asfalist c endiafèretai na gnwrÐzei thn pijanìthta qreokopÐac
mèsa se èna peperasmèno di�sthma (p.q. èna dÔo èth) exet�zoume kai thn
pijanìthta qreokopÐac se peperasmèno qrìno, ψ(u, t), h opoÐa orÐzetai apì
ψ(u, t) = P [U(τ) < 0 gia k�poio 0 < τ ≤ t] .
IsqÔoun ta ex c:
1. H ψ(u, t) san sun�rthsh tou t eÐnai aÔxousa, en¸ san sun�rthsh tou u
eÐnai fjÐnousa, dhlad
u1 ≤ u2 ⇒ ψ(u1, t) ≥ ψ(u2, t)
kai
t1 ≤ t2 ⇒ ψ(u, t1) ≤ ψ(u, t2).
33
2. Gia k�je u ≥ 0,
limt→∞
ψ(u, t) = ψ(u).
EpÐshc, mporoÔme na jewr soume ìti sthn pr�xh to pleìnasma enìc qarto-
fulakÐou de metab�lletai suneq¸c, all� se takt� qronik� diast mata,
pollapl�sia miac qronik c mon�dac h (p.q. h = mÐa ebdom�da, mÐa mèra klp).
Autì mac odhgeÐ se èna montèlo se diakritì qrìno, ìpou oi timèc pou paÐrnei
o qrìnoc eÐnai pollapl�sia thc qronik c mon�dac h. H anèlixh pleon�smatoc
eÐnai t¸ra mÐa anèlixh se diakritì qrìno h opoÐa èqei th morf
U(kh) = u+ ckh−N(kh)∑i=1
Xi,
u eÐnai to arqikì apojematikì en¸ h posìthta c ekfr�zei kai p�li to
(sunolikì) asf�listro tou qartofulakÐou sth mon�da tou qrìnou. To c
onom�zetai kai p�li èntash tou asfalÐstrou, en¸ h anèlixh {N(kh) : k =
1, 2, . . .} eÐnai mÐa anèlixh diakritoÔ qrìnou me to N(kh) na dhl¸nei to pl joc
twn apait sewn pou èqoun ft�sei sthn etaireÐa tic pr¸tec kh qronikèc
mon�dec.
To pleìnasma se endi�mesec qronikèc stigmèc eÐte den mporeÐ na brejeÐ me
akrÐbeia eÐte den mac endiafèrei (p.q. giatÐ h etaireÐa mporeÐ sthn pr�xh na
kajuster sei thn plhrwm twn apozhmi¸sewn gia k�poiec hmèrec). Me b�sh
ta parap�nw, mporoÔme na orÐsoume thn pijanìthta qreokopÐac se diakritì
qrìno. Pr¸ta ìtan o qrìnoc autìc eÐnai �peiroc,
ψh(u) = P (U(t) < 0 gia k�poio t = 0, h, 2h, 3h, . . .)
en¸ se peperasmèno qrìno èqoume
ψh(u, t) = P (U(τ) < 0 gia k�poio τ = 0, h, 2h, . . . , t) .
Parat rhsh Gia h → 0, h pijanìthta qreokopÐac se diakritì qrìno
sugklÐnei sthn antÐstoiqh pijanìthta se suneq qrìno, dhlad
limh→0
ψh(u) = ψ(u)
34
kai
limh→0
ψh(u, t) = ψ(u, t).
7 To klasikì montèlo: pijanìthta qreokopÐac
se �peiro qrìno kai suntelest c prosar-
mog c
Parìlo pou, ìpwc anafèrjhke parap�nw, to klasikì montèlo me �peiro
qrìno leitourgÐac den eÐnai Ðswc to pio realistikì se sqèsh me montèla se
peperasmèno kai diakritì qrìno, h èreuna gia pollèc dekaetÐec epiken-
tr¸jhke se autì, kurÐwc lìgw thc dunatìthtac pou prosfèrei gia analutik�
apotelèsmata. An kai o akrib c tÔpoc gia thn pijanìthta qreokopÐac, ψ(u),
den eÐnai gnwstìc p�ra mìno se k�poiec m�llon aplèc peript¸seic gia thn
katanom twn apozhmi¸sewn, ìpwc ja doÔme sth sunèqeia (p.q. ìtan h
katanom F eÐnai ekjetik meÐxh ekjetik¸n katanom¸n), up�rqoun arket�
analutik� apotelèsmata pou bohjoÔn th melèth thc qreokopÐac, poll� apì
ta opoÐa den eÐnai gnwst� ìtan o qrìnoc pou melet�me eÐnai peperasmènoc (
diakritìc).
Xekin�me th melèth tou montèlou orÐzontac thn pijanìthta mh qreokopÐac,
δ(u), apì th sqèsh
δ(u) = 1− ψ(u).
Aut eÐnai h pijanìthta na mhn up�rxei qreokopÐa ìtan to arqikì apojematikì
eÐnai u. Parathr ste ìti, me b�sh ìsa anafèrjhkan nwrÐtera gia thn
pijanìthta ψ(u), h δ(u) eÐnai mÐa aÔxousa sun�rthsh kai limu→∞
δ(u) = 1.
Sunep¸c, kai epeid epÐshc eÐnai suneq c apì dexi�, blèpoume ìti h δ(u)
mporeÐ na jewrhjeÐ sa mÐa ajroistik sun�rthsh katanom c. Sto shmeÐo autì
den eÐnai profanèc poi� metablht èqei katanom thn δ(u), autì ìmwc ja to
diapist¸soume sth sunèqeia.
35
MÐa pr¸th er¸thsh me endiafèron eÐnai h ex c
• EÐnai h δ(u) suneq c diakrit katanom ;
H ap�nthsh eÐnai ìti δ(u) den eÐnai oÔte suneq c oÔte diakrit , all� mÐa
meikt katanom , afoÔ δ(0) > 0, dhlad h pijanìthta mh qreokopÐac
me mhdèn arqikì apojematikì eÐnai jetik , en¸ h δ(u) eÐnai suneq c (èqei
puknìthta) sto (0,∞).
'Ena pr¸to apotèlesma gia th sun�rthsh mh qreokopÐac eÐnai to parak�tw.
Prìtash 7.1 Sto klasikì montèlo, h sun�rthsh δ(u) ikanopoieÐ thn
exÐswsh
δ′(u) =
λ
cδ(u)− λ
c
∫ u
0
δ(u− x)f(x)dx. (10)
Apìdeixh QrhsimopoioÔme to ananewtikì epiqeÐrhma, desmeÔontac wc proc
to qrìno thc pr¸thc ananèwshc T1 kai to mègejoc aut c thc apozhmÐwshc X1.
Sugkekrimèna, èqoume
δ(u) = P (mh qreokopÐa arqÐzontac me apojematikì u)
=
∫ ∞0
∫ ∞0
P (mh qreokopÐa arqÐzontac apì to u|T1 = t,X1 = x)b(t)f(x)dxdt.
Ed¸ b(t) = λe−λt eÐnai h (ekjetik ) puknìthta twn endiamèswn qrìnwn, �ra
kai tou T1. Gia thn pijanìthta sto eswterikì tou oloklhr¸matoc, isqÔei ìti
P (mh qreokopÐa arqÐzontac apì to u|T1 = t,X1 = x) = δ(u+ ct− x).
'Ara, paÐrnoume ìti
δ(u) =
∫ ∞0
∫ ∞0
δ(u+ ct− x)b(t)f(x)dxdt.
36
Gia na eÐnai ìmwc h posìthta δ(u+ ct− x) mh mhdenik , ja prèpei
u+ ct− x ≥ 0⇒ x ≤ u+ ct
opìte paÐrnoume ìti
δ(u) =
∫ ∞0
∫ u+ct
0
δ(u+ ct− x)b(t)f(x)dxdt
=
∫ ∞0
∫ u+ct
0
δ(u+ ct− x)λe−λtf(x)dxdt.
K�nontac thn allag metablht c
u+ ct = y ⇒ t =y − uc
opìte kai dt = dy/c, blèpoume ìti
δ(u) =1
c
∫ ∞u
∫ y
0
δ(y − x)f(x)λe−λ(y−uc )dxdy
=λ
ceλuc
∫ ∞u
[∫ y
0
δ(y − x)f(x)e−λyc dx
]dy. (11)
Gia eukolÐa, orÐzoume tic sunart seic
δ1(u) =λ
ceλuc
kai
δ2(u) =
∫ ∞u
[∫ y
0
δ(y − x)f(x)e−λyc dx
]dy
Qrhsimopoi¸ntac ton tÔpo gia parag¸gish ginomènou,
δ′(u) = δ
′
1(u)δ2(u) + δ1(u)δ′
2(u)
apì thn (11) prokÔptei ìti
δ′(u) =
λ
cδ(u)− λ
ceλuc
∫ u
0
δ(u− x)f(x)e−λuc dx
=λ
cδ(u)− λ
c
∫ u
0
δ(u− x)f(x)dx, (12)
37
pou eÐnai to zhtoÔmeno. 2
Parat rhsh MÐa exÐswsh thc morf c (10) onom�zetai oloklhrodi-
aforik exÐswsh gia thn �gnwsth sun�rthsh δ (epeid aut emfanÐzetai
tìso me th morf parag¸gou, ìso kai mèsa sto olokl rwma).
Me b�sh thn parap�nw prìtash, mporeÐ na apodeiqteÐ h epìmenh, thc opoÐac
h apìdeixh paraleÐpetai.
Prìtash 7.2 Sto klasikì montèlo, h δ(u) ikanopoieÐ thn exÐswsh
δ(u) = δ(0) +λ
c
∫ u
0
δ(u− x)F (x)dx (u ≥ 0) (13)
ìpou
F (x) = 1− F (x)
eÐnai h our� thc katanom c twn apozhmi¸sewn.
San pìrisma thc teleutaÐac prìtashc, mporoÔme na upologÐsoume thn pi-
janìthta mh qreokopÐac ìtan to arqikì apojematikì eÐnai mhdèn, dhl. to
δ(0).
PaÐrnontac ta ìria, gia u→∞, sta dÔo mèlh thc (13), èqoume
1 = limu→∞
δ(u) = δ(0) +λ
climu→∞
∫ u
0
δ(u− x)F (x)dx (14)
Sth sunèqeia, parathroÔme ìti
limu→∞
δ(u− x) = 1,
kai
limu→∞
∫ u
0
F (x)dx =
∫ ∞0
F (x)dx = µ1,
38
opìte all�zontac th seir� orÐou kai oloklhr¸matoc sthn (14), k�ti to opoÐo
epitrèpetai ed¸, paÐrnoume
1 = δ(0) +λµ1
c⇒ δ(0) = 1− λµ1
c. (15)
Epeid orÐsame prohgoumènwc to perij¸rio asf�leiac wc
θ =c
λµ1
− 1⇔ 1 + θ =c
λµ1
,
mporoÔme na ekfr�soume to δ(0) sunart sei tou θ,
δ(0) = 1− 1
1 + θ=
θ
1 + θ.
Kat� sunèpeia, h pijanìthta qreokopÐac me mhdèn arqikì apojematikì eÐnai
ψ(0) =1
1 + θ.
6
-
1
ψ(u)
u
1
1 + θ
Sq ma 2: Grafik par�stash thc pijanìthtac qreokopÐac
39
6
-
1
δ(u)
u
θ
1 + θ
Sq ma 3: Grafik par�stash thc pijanìthtac mh qreokopÐac
Qrhsimopoi¸ntac thn (15), mporoÔme epÐshc na gr�youme thn (13) ìpwc
parak�tw,
δ(u) = 1− λµ1
c+λ
c
∫ u
0
δ(u− x)F (x)dx, u ≥ 0. (16)
H teleutaÐa exÐswsh eÐnai mÐa (elleimmatik ) ananewtik exÐswsh, thc opoÐac
h genik morf eÐdame ìti eÐnai
Z(u) = g(u) + ϕ
∫ ∞0
Z(u− y)f(y)dy
gia k�poia puknìthta pijanìthtac f(y) kai 0 < ϕ < 1.
OrÐzoume t¸ra mÐa ajroistik sun�rthsh katanom c H(x) me b�sh th sqèsh
H(x) =1
µ1
∫ x
0
F (y)dy. (17)
40
Tìte h (16) gr�fetai
δ(u) = 1− λµ1
c+λµ1
c
∫ u
0
δ(u− x)dH(x), u ≥ 0. (18)
Parat rhsh EÐnai safèc ìti gia na eÐnai h (16), isodÔnama h (18) mÐa
kanonik ananewtik exÐswsh ja prèpei na isqÔei
λµ1
c= 1
K�ti tètoio ìmwc den mporeÐ na isqÔei, ìpwc deÐqnei h (8).
MporoÔme epÐshc na broÔme mÐa ananewtik exÐswsh gia to ψ(u). All�zontac
ta prìshma sthn (18) kai prosjètontac th mon�da, paÐrnoume
1− δ(u) =λµ1
c− λµ1
c
∫ u
0
δ(u− x)dH(x)
sunep¸c paÐrnoume ìti
ψ(u) =λµ1
c− λµ1
c
∫ u
0
[1− ψ(u− x)] dH(x)
=
(λµ1
c− λµ1
cH(u)
)+λµ1
c
∫ u
0
ψ(u− x)dH(x)
=λµ1
cH(u) +
λµ1
c
∫ u
0
ψ(u− x)dH(x) (19)
ìpou jèsame H(u) = 1−H(u).
H teleutaÐa, h opoÐa eÐnai epÐshc mÐa elleimmatik ananewtik exÐswsh,
mporeÐ k�tw apì k�poia sunj kh, na metatrapeÐ se mÐa kanonik (dhl. mh
elleimmatik ) ananewtik exÐswsh. Gia na gÐnei autì, ja prèpei na up�rqei
èna R > 0 ¸ste na isqÔei∫ ∞0
eRxdH(x) =c
λµ1
= 1 + θ. (20)
41
An ikanopoieÐtai h sunj kh aut , h opoÐa onom�zetai sunj kh ( exÐsw-
sh) tou Lundberg, tìte pollaplasi�zontac kai ta dÔo mèlh thc (19) me
eRu paÐrnoume
ψ(u)eRu =λµ1
cH(u)eRu +
λµ1
c
∫ u
0
ψ(u− x)eRudH(x)
=λµ1
cH(u)eRu +
λµ1
c
∫ u
0
eR(u−x)ψ(u− x)eRxdH(x).
Ja orÐsoume mÐa ajroistik sun�rthsh katanom c me diaforikì (λµ1eRxdH(x))/c,
ètsi ¸ste h teleutaÐa sqèsh na eÐnai pr�gmati mÐa mh elleimmatik exÐswsh.
Sugkekrimèna, orÐzoume mÐa nèa sun�rthsh katanom c HR(x) apì th sqèsh
dHR(x) =λµ1
ceRxdH(x). (21)
All� h sun�rthsh katanom c H(x) dÐnetai apì th sqèsh
H(x) =1
µ1
∫ x
0
F (y)dy
Apì tic dÔo teleutaÐec sqèseic prokÔptei ìti
HR(x) =λ
c
∫ x
0
eRtF (t)dt, (22)
to opoÐo mac deÐqnei ìti h HR(x) eÐnai mÐa ajroistik sun�rthsh katanom c,
giatÐ HR(x) = 0, h HR(x) eÐnai aÔxousa kai dexi� suneq c, en¸ isqÔei epÐshc
limx→∞
HR(x) = limx→∞
λ
c
∫ x
0
eRtF (t)dt =λµ1
c
∫ ∞0
eRtdH(t) = 1,
ìpwc prokÔptei apì tic sqèseic (20) kai (22).
Me b�sh ta parap�nw, paÐrnoume mÐa (kanonik ) ananewtik exÐswsh gia th
sun�rthsh ψ(u)eRu. Sugkekrimèna,
42
ψ(u)eRu =λµ1
ceRuH(u) +
∫ u
0
eR(u−x)ψ(u− x)dHR(x). (23)
OrÐzontac gia eukolÐa th sun�rthsh ψ(u) = ψ(u)eRu, blèpoume ìti h teleutaÐa
sqèsh mporeÐ na grafeÐ sth morf
ψ(u) =λµ1
ceRuH(u) +
∫ u
0
ψ(u− x)dHR(x). (24)
H stajer� R, ìpwc orÐsthke parap�nw, ikanopoieÐ th sqèsh∫ ∞0
eRxdH(x) =c
λµ1
Kat� sunèpeia,1
µ1
∫ ∞0
F (x)eRxdx =c
λµ1
,
, ∫ ∞0
F (x)eRxdx =c
λ. (25)
Apì aut n, me olokl rwsh kat� par�gontec, paÐrnoume
c
λ=
[1
ReRxF (x)
]∞0
+
∫ ∞0
1
ReRxf(x)dx (26)
qrhsimopoi¸ntac to gegonìc ìti h par�gwgoc thc sun�rthshc F (x) = 1−F (x)
eÐnai −f(x).
ParathroÔme t¸ra ìti limx→0
eRxF (x) = 1 kai limx→∞
eRxF (x) = 0. Sunep¸c,
paÐrnoume ìti [1
ReRxF (x)
]∞0
= − 1
R.
EpÐshc, sto deÔtero ìro thc (26) anagnwrÐzoume th ropogenn tria thc
katanom c F twn apozhmi¸sewn pollaplasiasmènh epÐ 1/R.
43
Me b�sh ta parap�nw, brÐskoume telik� ìti mia isodÔnamh sqèsh me thn (20)
gia thn Ôparxh tou R eÐnai h
− 1
R+
1
RM(R) =
c
λ. (27)
Epomènwc h stajer� R, ìpwc orÐsthke parap�nw, eÐnai h lÔsh thc exÐswshc
(wc proc r)
−1
r+
1
rM(r) =
c
λ. (28)
H jetik lÔsh aut c thc exÐswshc lègetai suntelest c prosarmog c.
EpÐshc, qrhsimopoi¸ntac th sqèsh θ = c/(λµ1) − 1, blèpoume ìti mÐa �llh
sqèsh pou ikanopoieÐ o suntelest c prosarmog c eÐnai h
M(R) = (1 + θ)µ1R + 1. (29)
Parathr seic
1. Oi sqèseic (28) kai (29) proèkuyan apì th sqèsh (20) kai eÐnai isodÔnamec
me th sqèsh aut me thn paradoq ìti o suntelest c prosarmog c den mporeÐ
na isoÔtai me mhdèn (gia na p�roume th sqèsh (29) apì thn (27) èqoume
pollaplasi�sei me R, k�ti pou bèbaia apagoreÔetai ìtan R = 0). Sthn
pragmatikìthta, gia na doÔme ìti to R = 0 den mporeÐ na eÐnai mia lÔsh
gia to suntelest prosarmog c, an jèsoume R = 0 sthn (20) blèpoume ìti to
aristerì mèloc sth sqèsh aut isoÔtai me èna, en¸ to dexiì mèloc eÐnai p�nta
megalÔtero apì th mon�da (afoÔ jewroÔme p�nta ìti isqÔei h (8)). Me ton
Ðdio trìpo mporoÔme na doÔme ìti to R den mporeÐ na eÐnai arnhtikìc arijmìc
(gia R < 0, to aristerì mèloc sthn (20) eÐnai mikrìtero thc mon�dac afoÔ h
H eÐnai mÐa ajroistik sun�rthsh katanom c).
2. Me b�sh ta parap�nw, blèpoume ìti oi apodektèc lÔseic thc (20) mporeÐ
na eÐnai anagkastik� mìno jetikoÐ arijmoÐ. Epiplèon, anafèrame parap�nw
ìti o suntelest c prosarmog c eÐnai h jetik lÔsh thc (28). Sunep¸c, ja
prèpei na apodeÐxoume ìti h sqèsh aut den èqei potè perissìterec apì mÐa
44
apodektèc lÔseic. Pollaplasi�zontac thn (28) epÐ r kai lÔnontac wc proc th
ropogenn tria twn apozhmi¸sewn, M(r), paÐrnoume
M(r) =cr
λ+ 1. (30)
GnwrÐzoume apì th jewrÐa pijanot twn ìti h ropogenn tria eÐnai mÐa kurt
sun�rthsh (strèfei ta koÐla �nw), dhlad eÐnai arqik� fjÐnousa kai met�
aÔxousa sun�rthsh. Epiplèon, eÐnai eÔkolo na dei kaneÐc apì ton orismì thc
ropogenn triac ìti
limr→0
M(r) = 1, limr→∞
M(r) =∞.
Epeid to dexiì mèloc thc (30) eÐnai mÐa grammik sun�rthsh, èpetai ìti h
sqèsh aut den mporeÐ na èqei perissìterec apì mÐa lÔseic (blèpe kai Sq ma
4). DeÐxame dhlad ìti o suntelest c prosarmog c, ìtan up�rqei orÐzetai
monos manta. 2
O suntelest c prosarmog c R eÐnai mÐa posìthta me idiaÐterh shmasÐa sth
jewrÐa kindÔnwn genik�, all� kai th jewrÐa qreokopÐac eidikìtera. Oi kÔrioi
lìgoi eÐnai dÔo:
1. h anisìthta tou Lundberg:
ψ(u) ≤ e−Ru gia k�je u ≥ 0.
2. O asumptwtikìc tÔpoc (Cramer – Lundberg)
ψ(u) ∼ Ce−Ru kaj¸c u→∞
gia k�poio C > 0 (to opoÐo ja upologÐsoume sth sunèqeia tou
maj matoc). Autì shmaÐnei ìti
limu→∞
ψ(u)
Ce−Ru= 1.
45
0 1 2 3 4
1.0
1.5
2.0
2.5
Sq ma 4: Grafik lÔsh thc exÐswshc (30) gia to suntelest prosarmog c.
Anafèroume ìti oi dÔo autèc sqèseic èqoun meg�lh shmasÐa ìqi mìno sto
klasikì montèlo, all� kai se di�fora �lla genikìtera montèla thc jewrÐac
kindÔnwn, afoÔ mporoÔn na genikeutoÔn sthn perÐptwsh p.q. ìpou oi
apozhmi¸seic den eÐnai anex�rthtec tuqaÐec metablhtèc ìtan oi endi�mesoi
qrìnoi metaxÔ twn apozhmi¸sewn den eÐnai ekjetikoÐ.
Sth sunèqeia, melet�me thn Ôparxh kai ton upologismì tou suntelest
prosarmog c sto klasikì montèlo gia di�forec peript¸seic thc katanom c
twn apozhmi¸sewn.
ParadeÐgmata
Par�deigma 7.1 'Estw ìti h F eÐnai h Exp(α), dhl. F (x) = 1− e−αx. H(28) gÐnetai
−λ+ λM(r) = cr.
46
Apì aut n paÐrnoume
−λ+ λα
α− r= cr,
, isodÔnama,
−λ(α− r) + αλ = cr(α− r)
�ra, telik�,
λr = crα− cr2.
H mÐa rÐza thc deuterob�jmiac exÐswshc eÐnai to 0 (afoÔ den up�rqei stajerìc
ìroc), h opoÐa aporrÐptetai, en¸ h �llh brÐsketai apì thn
λ = cα− cr
apì ìpou telik� brÐskoume thn tim tou suntelest prosarmog c
R = α− λ
c.
To R eÐnai pr�gmati jetikì, efìson isqÔei
c > λµ1 ⇒ c >λ
α
lìgw thc (8).
O suntelest c prosarmog c mporeÐ epÐshc na grafeÐ sthn ex c isodÔnamh
morf , thn opoÐa ja qrhsimopoi soume sth sunèqeia, ìpou o suntelest c R
ekfr�zetai san sun�rthsh tou perijwrÐou asfaleÐac θ kai thc paramètrou thc
ekjetik c,
R =αθ
1 + θ.
Par�deigma 7.2 'Estw t¸ra ìti h F eÐnai h katanom Ga(2, β) me
puknìthta
f(x) = β2xe−βx β > 0, x ≥ 0.
H ropogenn tria eÐnai
M(r) =β2
(β − r)2, r < β.
47
Apì thn (29) paÐrnoume:
β2
(β − r)2= 1 + (1 + θ)rµ1
, apaleÐfontac ton paronomast ,
β2 = (β − r)2 + (1 + θ)rµ1(β − r)2.
Aut eÐnai mÐa exÐswsh trÐtou bajmoÔ wc proc r. H mÐa rÐza eÐnai kai p�li to
mhdèn (aporrÐptetai), opìte apaleÐfontac to r apì thn exÐswsh kai k�nontac
pr�xeic katal goume sth deuterob�jmia
(1 + θ)µ1r2 − (2β(1 + θ)µ1 − 1) r −
(2β + (1 + θ)µ1β
2)
= 0.
'Askhsh Qrhsimopoi¸ntac ìti µ1 = 2/β, na brejoÔn oi dÔo rÐzec thc
exÐswshc. Na apodeiqteÐ ìti h mÐa apì autèc eÐnai mikrìterh tou β kai h �llh
eÐnai megalÔterh. Poia apì tic dÔo rÐzec eÐnai o suntelest c prosarmog c kai
giatÐ;
Par�deigma 7.3 Upojètoume t¸ra ìti oi apozhmi¸seic paÐrnoun mìno mÐa
tim , èstw Xi = 10 me pijanìthta 1. H exÐswsh gia to suntelest
prosarmog c eÐnai
MX(r) = 1 + (1 + θ)µ1r,
apì ìpou paÐrnoume
e10r = 1 + 10(1 + θ)r.
Aut eÐnai mÐa mh grammik exÐswsh wc proc r h opoÐa den mporeÐ na lujeÐ
analutik�. ParathroÔme dhlad ìti an kai h katanom twn apozhmi¸sewn
eÐnai ekfulismènh, o suntelest c prosarmog c den mporeÐ na upologisteÐ me
akrÐbeia.
48
Par�deigma 7.4 Ac jewr soume ìti h sun�rthsh katanom c twn apozh-
mi¸sewn dÐnetai apì th sqèsh
F (x) = 1− (1 + x)−α, α > 1, x > 0
Tìte èqoume
F (x) = (1 + x)−α
⇒ f(x) = α(1 + x)−α−1. (31)
Aut eÐnai mÐa katanom Pareto me paramètrouc α kai 1. Autì eÐnai èna
par�deigma mi�c katanom c me bari� our� (heavy-tailed distribution), dhlad
mia katanom thc opoÐac h our� (dhl. h sun�rthsh epibÐwshc) sugklÐnei polÔ
arg� sto mhdèn gia x→∞.
Sth genik thc morf , h katanom Pareto me paramètrouc α kai β èqei
puknìthta
f(x) =αβα
(β + x)α+1. (32)
Up�rqei o suntelest c prosarmog c sthn perÐptwsh ìpou oi apozhmi¸seic
akoloujoÔn thn katanom Pareto;
H ap�nthsh sthn er¸thsh aut eÐnai arnhtik , polÔ apl� diìti den up�rqei h
ropogenn tria. Sugkekrimèna, èstw h Pareto me puknìthta pou dÐnetai sth
sqèsh (31). H ropogenn tria brÐsketai apì th sqèsh
M(r) = E[erX]
=
∫ ∞0
erxf(x)dx
kai gia thn puknìthta sthn (31) paÐrnoume
M(r) =
∫ ∞0
erxα(1 + x)−α−1dx.
Se poiì di�sthma orÐzetai h ropogenn tria (dhlad sugklÐnei to olokl rwma);
Efìson gia k�je r > 0, isqÔei
limx→∞
erxα(1 + x)−α−1 =∞,
49
blèpoume ìti to olokl rwma den sugklÐnei gia kamÐa tim tou r, sunep¸c kai
h ropogenn tria den up�rqei gia kanèna r > 0.
Kat� sunèpeia den up�rqei kai lÔsh sthn exÐswsh gia to suntelest
prosarmog c, dhlad o suntelest c prosarmog c gia to klasikì montèlo me
apozhmi¸seic Pareto den up�rqei. To Ðdio isqÔei gia opoiad pote katanom
Pareto, dhlad gia ìlec tic timèc twn paramètrwn α, β sthn (32).
Parat rhsh SÔmfwna me thn anisìthta Markov, gia mÐa jetik t.m. X
isqÔei
P (X > x) ≤ E(Xk)
xk
'Estw t¸ra Y h metablht pou akoloujeÐ thn katanom F twn apozhmi¸sewn
sto klasikì montèlo. Apì thn parap�nw sqèsh paÐrnoume (gia k = 1)
P (Y > y) = P(erY > ery
)≤E(erY)
ery
⇒ F (y) = P (Y > y) ≤E(erY)
ery= e−ryE
(erY).
H sqèsh aut mac lèei ìti mÐa anagkaÐa sunj kh gia thn Ôparxh tou R eÐnai
h our� thc katanom c twn apozhmi¸sewn na sugklÐnei sto 0 toul�qisto me
ekjetikì rujmì. 2
Par�deigma 7.5 JewroÔme mÐa katanom me puknìthta
f(x) = τγxγ−1e−τxγ
, τ, γ > 0
Aut eÐnai h puknìthta thc katanom c Weibull me paramètrouc τ kai γ (gia
suntomÐa Wei(τ, γ)).
H our� thc katanom c eÐnai (h apìdeixh af netai san �skhsh)
F (x) = e−τxγ
.
50
'Estw ìti h katanom F eÐnai h katanom twn apozhmi¸sewn sto klasikì
montèlo.
Pìso bari� our� èqei h katanom Wei(τ, γ);
• gia γ = 1, paÐrnoume thn ekjetik katanom
• gia γ < 1, h katanom èqei pio bari� our� apì thn ekjetik katanom .
H our� thc katanom c sugklÐnei sto mhdèn pio arg� apì thn ekjetik
katanom , all� pio gr gora apì thn Pareto.
• gia γ > 1, h katanom èqei pio elafri� our� apì thn ekjetik katanom ,
dhlad h our� thc katanom c sugklÐnei polÔ gr gora sto mhdèn.
H perÐptwsh pou mac endiafèrei kurÐwc sta analogistik� majhmatik� eÐnai gia
γ < 1, dhlad ìtan h katanom èqei bari� our�.
To Sq ma 5 parousi�zei grafik� thn our� thc katanom c Weibull, 1− F (x),
gia thn Ðdia tim thc paramètrou τ = 3/5 kai gia treic diaforetikèc timèc thc
paramètrou γ : sugkekrimèna, gia γ = 3, γ = 1 (ekjetik katanom ) kai gia
γ = 1/2. EÐnai safèc ìti gia meg�lec timèc tou x, h our� F (x) = 1 − F (x)
sugklÐnei polÔ pio arg� sto mhdèn ìtan γ = 1/2 (bari� our�) apì tic �llec
dÔo peript¸seic.
Sqetik� me th ropogenn tria, parathroÔme ta ex c:
(i) Gia γ > 1, h ropogenn tria up�rqei, den gnwrÐzoume ìmwc to genikì tÔpo
kai den mporoÔme na thn upologÐsoume analutik�.
(ii) Gia γ < 1, h ropogenn tria den up�rqei. Kat� sunèpeia, se èna klasikì
montèlo ìpou oi apozhmi¸seic akoloujoÔn Wei(τ, γ) me γ < 1, o suntelest c
prosarmog c den up�rqei.
51
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
1−
F(x
)
gamma=3gamma=1gamma=1/2
Sq ma 5: Grafik par�stash thc our�c thc katanom c Weibull gia treic timèc
thc paramètrou γ.
Upologismìc thc mèshc tim c thc katanom c Wei(τ, γ)
'Estw X ∼ Wei(τ, γ). H mèsh tim thc X eÐnai
E[X] =
∫ ∞0
xτγxγ−1exp(−τxγ) dx
K�nontac to metasqhmatismì y = xγ blèpoume ìti
E[X] =
∫ ∞0
y1/γτexp(−τy)dy.
52
H sun�rthsh mèsa sto olokl rwma mac jumÐzei thn puknìthta thc katanom c
G�mma me paramètrouc τ kai 1 + 1/γ.
Pollaplasi�zoume kai diairoÔme me mÐa posìthta pou den perilamb�nei to y,
ètsi ¸ste sto olokl rwma na kataskeuasteÐ akrib¸c h puknìthta aut c thc
katanom c, epeid tìte gnwrÐzoume ìti to olokl rwma thc puknìthtac ja
isoÔtai me th mon�da.
'Etsi paÐrnoume
E[X] =τΓ(
1 + 1γ
)τ 1/γ+1
∫ ∞0
y1/γτ 1/γ+1exp(−τy)
Γ(
1 + 1γ
) dy
= τ
(1
τ
)1+1/γ
Γ
(1 +
1
γ
)
=Γ(
1 + 1γ
)τ 1/γ
. (33)
Ed¸ Γ(.) dhl¸nei th sun�rthsh G�mma pou orÐzetai apì th sqèsh
Γ(x) =
∫ ∞0
e−ttx−1dt.
Gia aujaÐreto x, h tim Γ(x) den upologÐzetai analutik�, upenjumÐzetai ìmwc
ìti ìtan to x eÐnai akèraioc, tìte isqÔei Γ(x) = (x− 1)!
Kat� sunèpeia, p.q. gia γ = 1/2, h (33) dÐnei
E[X] =Γ(
1 + 11/2
)τ 2
=2!
τ 2=
2
τ 2.
'Askhsh Na brejeÐ h mèsh tim thc metablht c X2 sthn perÐptwsh pou h X
akoloujeÐ Weibull katanom me paramètrouc τ kai γ.
53
'Ena p�nw fr�gma gia to suntelest prosarmog c R
Se arketèc peript¸seic, an kai o suntelest c prosarmog c sto klasikì
montèlo up�rqei, h tim tou den mporeÐ na upologisteÐ me akrÐbeia (ìpwc,
p.q., sthn perÐptwsh Weibull apozhmi¸sewn me γ > 1). Gia thn perÐptwsh
aut eÐnai qr simo na gnwrÐzoume èna fr�gma, mÐa prosèggish gia thn tim
tou. 'Ena tètoio fr�gma dÐnetai sth sunèqeia.
Apì th sqèsh (27) blèpoume ìti o suntelest c prosarmog c R ikanopoieÐ th
sqèsh
λ+ cR = λMX(R).
Upojètontac ìti oi apozhmi¸seic èqoun puknìthta f , paÐrnoume
λ+ cR = λ
∫ ∞0
eRxf(x)dx
> λ
∫ ∞0
(1 +Rx+
1
2R2x2
)f(x)dx
= λ
[∫ ∞0
f(x)dx+
∫ ∞0
Rxf(x)dx+
∫ ∞0
1
2R2x2f(x)dx
]
= λ
(1 +Rµ1 +
1
2R2µ2
).
Apì thn teleutaÐa sqèsh paÐrnoume
2(c− λµ1)R > λR2µ2
, an lÔsoume wc proc R,
R <2(c− λµ1)
λµ2
.
Qrhsimopoi¸ntac th sqèsh
c = (1 + θ)λµ1
54
brÐskoume to isodÔnamo fr�gma gia to R,
R <2θµ1
µ2
. (34)
ShmeÐwsh Gia mikrèc timèc tou R, autì to p�nw fr�gma dÐnei kai mÐa
ikanopoihtik prosèggish, h opoÐa mac eÐnai qr simh ìtan gnwrÐzoume ìti o
suntelest c up�rqei all� den mporeÐ na upologisteÐ me akrÐbeia.
Sthn parap�nw apìdeixh qrhsimopoi same ìti
eRx > 1 +Rx+R2x2
2.
PaÐrnontac parap�nw ìrouc sto an�ptugma, apì ìpou proèrqetai to dexiì
mèloc, mporoÔme na broÔme beltiwmèna fr�gmata gia to suntelest prosar-
mog c.
Gia par�deigma, qrhsimopoi¸ntac ènan epiplèon ìro, dhlad thn anisìthta
eRx > 1 +Rx+R2x2
2+R3x3
6,
tìte brÐskoume to fr�gma
R <12θµ1√
9p22 + 24θµ1µ3 + 3µ2
,
to opoÐo eÐnai kalÔtero se sqèsh me to fr�gma sthn (34). 2
Par�deigma 7.6 (sunèqeia apì to Par�deigma 7.3)
JewroÔme kai p�li ìti oi apozhmi¸seic paÐrnoun mìno mÐa tim , X = 10. Tìte,
eÐnai µ1 = 10, µ2 = 100, �ra to p�nw fr�gma sthn (34) gia to R eÐnai
R <2θ
10=θ
5.
55
An upojèsoume ìti θ = 0,1 ìpwc prin, tìte brÐskoume ìti
R < 20,01× 10
100= 0,02.
'Opwc eÐdame sto Par�deigma 7.3, h akrib c tim tou suntelest brÐsketai sa
lÔsh thc exÐswshc
e10r = 1 + 1,1× 10r = 1 + 11r.
'Askhsh (sto Excel)
Na brejeÐ me akrÐbeia tri¸n dekadik¸n yhfÐwn h tim tou R apì thn parap�nw
exÐswsh kai na sugkrijeÐ me to p�nw fr�gma pou d¸same gia to R.
Apìdeixh thc anisìthtac tou Lundberg
Jèloume na deÐxoume ìti gia ìlec tic timèc tou arqikoÔ apojematikoÔ u, h
pijanìthta qreokopÐac ψ(u) (se �peiro qrìno) ikanopoieÐ thn
ψ(u) ≤ e−Ru.
Xekin�me apì thn parat rhsh ìti, epeid h èntash twn asfalÐstrwn eÐnai
jetik , qreokopÐa mporeÐ na sumbeÐ mìno th stigm pou èrqetai k�poia
apaÐthsh.
'Estw ψn(u) h pijanìthta na sumbeÐ qreokopÐa mèqri thn apozhmÐwsh n, dhlad
me k�poia apì tic apozhmi¸seic 1, 2, . . . , n. H apìdeixh gÐnetai me epagwg wc
proc n. ApodeiknÔoume pr¸ta ìti gia n = 1,
ψ1(u) ≤ e−Ru.
'Estw ìti h pr¸th apaÐthsh gia apozhmÐwsh eÐnai th qronik stigm t. To
pleìnasma tou asfalist th stigm aut eÐnai u+ ct, ètsi ¸ste gia na èqoume
56
qreokopÐa me thn pr¸th apaÐthsh ja prèpei to mègejocX1 aut c thc apaÐthshc
na eÐnai megalÔtero apì u+ ct. Autì dÐnei ìti
P (qreokopÐa me thn pr¸th apaÐthsh | h pr¸th apaÐthsh èrqetai th stigm t)
= P (X1 > u+ ct)
=
∫ ∞u+ct
f(x)dx.
Oi apait seic ft�noun sthn asfalistik etaireÐa sÔmfwna me mÐa anèlixh
Poisson, sunep¸c h pijanìthta ìti h pr¸th apaÐthsh ja èrjei sto di�sthma
[t, t+ dt] eÐnai
λe−λtdt.
Jewr¸ntac t¸ra ìlec tic dunatèc timèc gia to t, brÐskoume ìti
P (qreokopÐa me thn pr¸th apaÐthsh ) =
∫ ∞0
λe−λt∫ ∞u+ct
f(x)dxdt
≤∫ ∞0
λe−λt∫ ∞u+ct
e−R(u+ct−x)f(x)dxdt
≤∫ ∞0
λe−λt∫ ∞0
e−R(u+ct−x)f(x)dxdt.
UpologÐzoume to eswterikì olokl rwma:∫ ∞0
e−R(u+ct−x)f(x)dx = e−Rue−Rct∫ ∞0
eRxf(x)dx.
All� o suntelest c R ikanopoieÐ th sqèsh
λ
∫ ∞0
eRxf(x)dx = λ+ cR,
ètsi ¸ste ∫ ∞0
e−R(u+ct−x)f(x)dx = e−Rue−Rct∫ ∞0
eRxf(x)dx
= e−Rue−Rct(
1 +cR
λ
).
57
Sunep¸c blèpoume ìti gia thn pijanìthta qreokopÐac me thn pr¸th apaÐthsh
isqÔei
ψ1(u) ≤ e−Ru∫ ∞0
λe−λte−Rct(
1 +cR
λ
)= e−Ru
∫ ∞0
(λ+ cR) e−(λ+cR)tdt
= e−Ru.
Upojètoume t¸ra ìti isqÔei
ψn(u) ≤ e−Ru
Ja deÐxoume ìti to apotèlesma alhjeÔei gia n+ 1, dhlad
ψn+1(u) ≤ e−Ru
'Eqoume
ψn+1(u) = P (qreokopÐa me k�poia apì tic pr¸tec n+ 1 apait seic)
= P (qreokopÐa me thn pr¸th apaÐthsh)
+ P (qreokopÐa me k�poia apì tic apait seic 2, 3, . . . , n+ 1)(35)
Gia thn pr¸th pijanìthta èqoume
P (qreokopÐa me thn pr¸th apaÐthsh) =
∫ ∞0
λe−λt∫ ∞u+ct
f(x)dxdt (36)
ìpwc deÐxame prohgoumènwc gia thn perÐptwsh n = 1.
Gia th deÔterh pijanìthta, upologÐzoume pr¸ta th desmeumènh pijanìthta an
gnwrÐzoume to qrìno kai to mègejoc thc pr¸thc apozhmÐwshc, èstw t kai x
antÐstoiqa. Tìte èqoume
P (qreokopÐa me k�poia apì tic apait seic 2, 3, . . . , n+ 1| pr¸th apozhmÐwsh
èrqetai th stigm t kai èqei mègejoc x) = ψn(u+ ct− x)
58
gia ìlec tic timèc x ≤ u+ ct (diaforetik� h parap�nw pijanìthta eÐnai mhdèn,
afoÔ ja sumbeÐ qreokopÐa me thn pr¸th apozhmÐwsh). An t¸ra jewr soume
ìlec tic dunatèc timèc gia to t kai to x (me x ≤ u+ct), apì to je¸rhma olik c
pijanìthtac gia suneqeÐc metablhtèc paÐrnoume
P (qreokopÐa me k�poia apì tic apait seic 2, 3, . . . , n+ 1)
=
∫ ∞0
λe−λt∫ u+ct
0
ψn(u+ ct− x)f(x)dxdt
'Omwc èqoume upojèsei ìti
ψn(u) ≤ e−Ru,
sunep¸c
P (qreokopÐa me k�poia apì tic apait seic 2, 3, . . . , n+ 1)
=
∫ ∞0
λe−λt∫ u+ct
0
e−R(u+ct−x) f(x)dxdt.
Antikajist¸ntac thn teleutaÐa sqèsh kai thn (36) sth sqèsh (35), paÐrnoume
ψn+1(u) ≤∫ ∞0
λe−λt∫ u+ct
0
e−R(u+ct−x) f(x)dxdt
+
∫ ∞0
λe−λt∫ ∞u+ct
e−R(u+ct−x) f(x)dxdt.
ParathroÔme t¸ra ìti gia x > u+ ct,
e−R(u+ct−x) > 1
to opoÐo dÐnei ∫ ∞u+ct
f(x) · 1 dx ≤∫ ∞u+ct
e−R(u+ct−x) f(x)dx.
59
Apì autì paÐrnoume ìti
ψn+1(u) ≤∫ ∞0
λe−λt∫ ∞u+ct
e−R(u+ct−x) f(x)dxdt
+
∫ ∞0
λe−λt∫ u+ct
0
e−R(u+ct−x) f(x)dxdt
=
∫ ∞0
λe−λt∫ ∞0
e−R(u+ct−x) f(x)dxdt
kai èqoume deÐxei sthn apìdeixh gia thn perÐptwsh n = 1 ìti autì isoÔtai me
e−Ru.
Sunep¸c, isqÔei
ψn+1(u) ≤ e−Ru
�ra epagwgik� deÐxame ìti gia k�je n = 1, 2, . . . , kai gia k�je u ≥ 0,
ψn(u) ≤ e−Ru. (37)
ParathroÔme t¸ra ìti apì ton orismì thc sun�rthshc ψn(u), gia k�je stajerì
u, h akoloujÐa ψn(u) eÐnai aÔxousa kai isqÔei
limn→∞
ψn(u) = ψ(u)
Sunep¸c, paÐrnontac ta ìria gia n → ∞ sth sqèsh (37) kai parathr¸ntac
ìti to dexiì mèloc sth sqèsh aut den exart�tai apì to n, brÐskoume telik�
ìti gia k�je u ≥ 0,
ψ(u) ≤ e−Ru,
to opoÐo oloklhr¸nei thn apìdeixh. 2
DÐnoume t¸ra thn apìdeixh enìc shmantikoÔ jewr matoc, pou èqei dh anafer-
jeÐ kai melet� thn asumptwtik sumperifor� thc pijanìthtac qreokopÐac sto
klasikì montèlo kaj¸c to arqikì apojematikì u teÐnei sto �peiro.
60
Prìtash 7.3 (O asumptwtikìc tÔpoc twn Cramer – Lundberg). Me thn
proôpìjesh ìti ∫ ∞0
xeRxF (x)dx <∞, (38)
h pijanìthta qreokopÐac ψ(u) sto klasikì prìtupo ikanopoieÐ th sqèsh
ψ(u) ∼ Ce−Ru kaj¸c u→∞,
to opoÐo shmaÐnei ìti
limu→∞
ψ(u)
e−Ru= C,
ìpou h stajer� C > 0 upologÐzetai apì ton tÔpo
C =θµ1
R∫∞0xeRxF (x)dx
. (39)
H sun�rthsh Ce−Ru, h opoÐa apoteleÐ thn (asumptwtik ) prosèggish thc
pijanìthtac qreokopÐac, sumbolÐzetai me ψCL(u).
Apìdeixh. H apìdeixh gÐnetai qrhsimopoi¸ntac to basikì ananewtikì
je¸rhma (Prìtash 4.2). 'Eqoume deÐxei ìti h sun�rthsh
ψ(u) = eRuψ(u) (40)
ikanopoieÐ thn kanonik ananewtik exÐswsh (24).
Gia na mporèsoume na qrhsimopoi soume to basikì ananewtikì je¸rhma sthn
exÐswsh aut , ja prèpei na exasfalÐsoume ìti h sun�rthsh g pou orÐzetai apì
th sqèsh
g(u) =λµ1
ceRuH(u)
eÐnai fragmènh kai oloklhr¸simh sto di�sthma (0,∞), kaj¸c kai ìti limu→∞
g(u) =
0.
61
K�nontac olokl rwsh kat� par�gontec, mporoÔme na diapist¸soume ìti h
sun�rthsh g(u) mporeÐ na grafeÐ wc ex c:
g(u) =λµ1
c
∫ ∞u
eRxdH(x)− Rλµ1
c
∫ ∞u
H(x)eRxdx.
Autì deÐqnei ìti pr�gmati h g(u) sugklÐnei sto mhdèn kaj¸c u → ∞.
EpÐshc, eÐnai safèc ìti h g eÐnai mÐa fragmènh sun�rthsh. Me olokl rwsh
kat� par�gontec blèpoume ìti, efìson isqÔei h sunj kh (38), h sun�rthsh
g(u) eÐnai oloklhr¸simh sto di�sthma (0,∞). Epomènwc, mporoÔme na
qrhsimopoi soume to basikì ananewtikì je¸rhma, to opoÐo mac dÐnei ìti
limu→∞
ψ(u) =
∫∞0g(x)dx
µR, (41)
ìpou µR eÐnai h mèsh tim thc katanom c HR, dhlad ,
µR =
∫ ∞0
xdHR(x).
Apì th sqèsh (21) èqoume ìmwc ìti dHR(x) = λµ1c−1eRxdH(x), sunep¸c
paÐrnoume ìti
µR =λµ1
c
∫ ∞0
xeRxdH(x)
=λ
c
∫ ∞0
xeRxF (x)dx. (42)
Gia to olokl rwma
∫ ∞0
g(x)dx, èqoume∫ ∞0
g(x)dx =λµ1
c
∫ ∞0
eRxH(x)dx
=λ
c
∫ ∞0
eRx∫ ∞x
F (y)dydx,
qrhsimopoi¸ntac ìti H(u) =
∫ ∞u
F (y)dy/µ1. All�zontac th seir� twn
metablht¸n sto diplì olokl rwma, paÐrnoume∫ ∞0
g(x)dx =λ
c
∫ ∞0
∫ y
0
eRxF (y)dxdy.
62
To eswterikì olokl rwma isoÔtai me∫ y
0
eRxF (y)dx = F (y)1
R
(eRy − 1
),
sunep¸c ∫ ∞0
∫ y
0
eRxF (y)dxdy =1
R
[∫ ∞0
F (y)eRydy − µ1
].
'Eqoume deÐxei sth sqèsh (25) ìti gia to suntelest prosarmog c isqÔei∫ ∞0
F (y)eRydy = c/λ. Kat� sunèpeia, paÐrnoume diadoqik� ìti
∫ ∞0
g(x)dx =λ
c
∫ ∞0
∫ y
0
eRxF (y)dxdy
=λ
c· 1
R
[ cλ− µ1
]=
1
R
[1− λµ1
c
]=c− λµ1
Rc. (43)
Antikajist¸ntac tic sqèseic (42) kai (43) sthn (41) paÐrnoume
limu→∞
ψ(u) =(c− λµ1) /c
Rλ∫∞0xeRxF (x)dx/c
=(c− λµ1)
Rλ∫∞0xeRxF (x)dx
.
All� apì ton orismì tou perijwrÐou asfaleÐac θ, èqoume
c− λµ1
λ= θµ1,
sunep¸c deÐxame telik� ìti
limu→∞
ψ(u) =θµ1
R∫∞0xeRxF (x)dx
,
kai to zhtoÔmeno tou jewr matoc t¸ra èpetai apì th sqèsh (40). 2
63
MporeÐ na apodeiqjeÐ ìti, akìmh kai an h sqèsh (38) den alhjeÔei, h Prìtash
7.3 exakoloujeÐ na isqÔei me thn ènnoia ìti h tim thc stajer�c C eÐnai Ðsh me
mhdèn. Pio sugkekrimèna, an isqÔei ìti∫ ∞0
xeRxF (x)dx =∞,
tìte h pijanìthta qreokopÐac ikanopoieÐ th sqèsh
limu→∞
ψ(u)
e−Ru= 0.
Par�deigma 7.7 JewroÔme ìti h katanom twn apozhmi¸sewn èqei puknìth-
ta
f(x) =1
3e−x +
2
3e−2x + e−3x, x ≥ 0.
An eÐnai gnwstì ìti λ = c = 4, na brejeÐ h prosèggish gia thn pijanìthta
qreokopÐac me ton asumptwtikì tÔpo twn Cramer – Lundberg.
LÔsh ParathroÔme arqik� ìti h puknìthta pou dÐnetai gia tic apozhmi¸seic
mporeÐ na grafeÐ sth morf
f(x) =1
3
(e−x + 2e−2x + 3e−3x
),
k�ti pou deÐqnei ìti h puknìthta aut antistoiqeÐ se mÐa meÐxh1 tri¸n ekjetik¸n
katanom¸n me paramètrouc 1, 2 kai 3 kai me antÐstoiqa b�rh 1/3, 1/3 kai 1/3.
H mèsh tim twn apozhmi¸sewn sunep¸c eÐnai
µ1 =1
3
(1 +
1
2+
1
3
)=
11
18= 0,6111.
UpologÐzoume sth sunèqeia to suntelest prosarmog c. Qrhsimopoi¸ntac to
gegonìc ìti h ropogenn tria miac ekjetik c me par�metro β eÐnai β/(β − r),1Βλ. και Ενότητα 10.2 για το γενικό ορισμό αυτής της κλάσης κατανομών.
64
orismènh sto di�sthma [0, β), paÐrnoume ìti h ropogenn tria twn apozhmi¸sewn
eÐnai
MX(r) =1
3
(1
1− r+
2
2− r+
3
3− r
)=
1
3
((2− r)(3− r) + 2(1− r)(3− r) + 3(1− r)(2− r)
(1− r)(2− r)(3− r)
),
kai h sun�rthsh aut orÐzetai (dhlad èqei peperasmènh tim ) sto di�sthma
[0, 1) (dhl. sto di�sthma ìpou kai oi treic epimèrouc ropogenn triec eÐnai
peperasmènec).
H tim tou perijwrÐou asfaleÐac sto montèlo eÐnai
θ =c
λµ1
− 1 =4
4 · 11
18
− 1 =7
11= 0,63636.
Sunep¸c h exÐswsh tou Lundberg gia to suntelest prosarmog c
MX(r) = 1 + (1 + θ)µ1r
paÐrnei th morf
(2− r)(3− r) + 2(1− r)(3− r) + 3(1− r)(2− r)3(1− r)(2− r)(3− r)
= 1 + r.
O arijmht c sto aristerì mèloc isoÔtai me
(r2 − 5r + 6) + 2(r2 − 4r + 3) + 3(r2 − 3r + 2) = 6r2 − 22r + 18,
en¸ o paronomast c eÐnai
3(r2 − 3r + 2)(3− r) = −3r3 + 18r2 − 33r + 18.
Sunep¸c, me antikat�stash twn dÔo teleutaÐwn sqèsewn sthn exÐswsh tou
Lundberg, brÐskoume met� thn apaloif tou paronomast thc ropogenn triac,
ìti h exÐswsh aut gr�fetai sth morf
6r2 − 22r + 18 = (−3r3 + 18r2 − 33r + 18) (1 + r) ,
65
apì thn opoÐa paÐrnoume
6r2 − 22r + 18 = (−3r3 + 18r2 − 33r + 18) + r(−3r3 + 18r2 − 33r + 18)
= −3r3 + 18r2 − 33r + 18− 3r4 + 18r3 − 33r2 + 18r
= −3r4 + 15r3 − 15r2 − 15r + 18.
H sqèsh aut eÐnai isodÔnamh me thn exÐswsh 4ou bajmoÔ (wc proc r),
3r4 − 15r3 + 21r2 − 7r = 0.
H mÐa apì tic tèsseric rÐzec aut c thc exÐswshc eÐnai r = 0, h opoÐa
aporrÐptetai wc lÔsh gia to suntelest prosarmog c, efìson gnwrÐzoume
ìti autìc paÐrnei gn sia jetikèc timèc. Oi �llec treic rÐzec eÐnai oi lÔseic thc
exÐswshc trÐtou bajmoÔ
3r3 − 15r2 + 21r − 7 = 0.
Oi rÐzec aut c thc exÐswshc eÐnai
r1 = 0,48513, r2 = 1,72235, r3 = 2,79252.
Apì autèc, mìno h mikrìterh rÐza (r1) eÐnai sto epitreptì di�sthma (0, 1)
(jumÐzoume ìti gia megalÔterec timèc tou r h ropogenn tria thc katanom c twn
apozhmi¸sewn apeirÐzetai), sunep¸c h rÐza aut ja eÐnai kai o suntelest c
prosarmog c. DeÐxame dhlad ìti
R = 0,48513.
AfoÔ br kame to suntelest prosarmog c, upologÐzoume t¸ra thn tim thc
stajer�c C ston tÔpo (39). BrÐskoume arqik� thn our� thc katanom c
twn apozhmi¸sewn. EÐnai eÔkolo na diapist¸sei kaneÐc (me olokl rwsh thc
antÐstoiqhc puknìthtac) ìti
F (x) =
∫ ∞x
f(y)dy =1
3
(e−x + e−2x + e−3x
).
66
UpologÐzoume sth sunèqeia to olokl rwma ston paronomast thc sqèshc
(39). Sugkekrimèna, èqoume∫ ∞0
xeRxF (x)dx =1
3
∫ ∞0
x[e−(1−R)x + e−(2−R)x + e−(3−R)x
]dx
=1
3
[∫ ∞0
xe−(1−R)xdx+
∫ ∞0
xe−(2−R)xdx+
∫ ∞0
xe−(3−R)xdx
]. (44)
Gia to pr¸to olokl rwma sthn agkÔlh paÐrnoume ìti∫ ∞0
xe−(1−R)xdx =1
1−R
∫ ∞0
x(1−R)e−(1−R)xdx
=
(1
1−R
)2
,
efìson to olokl rwma sto dexiì mèloc thc teleutaÐac sqèshc eÐnai h mèsh tim
miac metablht c pou akoloujeÐ thn ekjetik katanom me par�metro 1 − R.Parìmoia brÐskoume gia ta �lla dÔo oloklhr¸mata sth sqèsh (44), ìti∫ ∞
0
xe−(2−R)xdx =
(1
2−R
)2
,
∫ ∞0
xe−(3−R)xdx =
(1
3−R
)2
kai t¸ra me antikat�stash twn dÔo teleutaÐwn sqèsewn sthn (44), kai qrhsi-
mopoi¸ntac thn tim tou suntelest prosarmog c pou brèjhke parap�nw,
paÐrnoume ìti∫ ∞0
xeRxF (x)dx =1
3
[(1
1−R
)2
+
(1
2−R
)2
+
(1
3−R
)2]
= 1, 4554.
Kat� sunèpeia, qrhsimopoi¸ntac tic timèc twn µ1, θ pou èqoume brei, me
antikat�stash sth sqèsh (39) prokÔptei ìti
C =0,63636 · 0,6111
0,48513 · 1,4554= 0,55079.
Epomènwc, o asumptwtikìc tÔpoc twn Cramer – Lundberg gia thn pijanìthta
qreokopÐac sto sugkekrimèno montèlo eÐnai
ψ(u) ∼= ψCL(u) = 0,55079 · e−0,48513u.
2
67
8 QreokopÐa me thn pr¸th apozhmÐwsh
Sthn enìthta aut parousi�zoume ènan tÔpo gia thn pijanìthta qreokopÐac me
thn pr¸th apozhmÐwsh. An to arqikì apojematikì eÐnai Ðso me u, h pijanìthta
aut sumbolÐzetai me ψ1(u) kai h Prìtash 8.1 pou dÐnetai sth sunèqeia mac
dÐnei ènan aplì tÔpo gia ton upologismì thc. Me b�sh ton tÔpo autì, eÐnai
sqedìn p�nta eÔkolo na brejeÐ analutik� h sun�rthsh ψ1(u). H qrhsimìthta
thc melèthc aut c thc sun�rthshc ègkeitai se dÔo kurÐwc lìgouc:
(a) Se pollèc peript¸seic pou h pijanìthta qreokopÐac (sto dihnekèc) ψ(u)
den eÐnai gnwst , h ψ1(u) mac dÐnei èna k�tw fr�gma gia thn pijanìthta
aut , efìson isqÔei profan¸c ψ1(u) ≤ ψ(u) gia k�je u ≥ 0, all� kai
mÐa eikìna gia to pìso pijanì eÐnai na sumbeÐ ��gr gora>> qreokopÐa se
èna qartoful�kio.
(b) Ac jewr soume ìti o kÐndunoc ton opoÐo exet�zoume antistoiqeÐ se èna
kai mìno gegonìc, to opoÐo eÐnai sp�nio men, all� idiaÐtera katastrofikì,
p.q. ènac seismìc ènac tuf¸nac meg�lou megèjouc. Sthn perÐptwsh
aut h katanom F antistoiqeÐ sth sunolik zhmi� pou ja prokÔyei gia
thn etaireÐa apì thn pragmatopoÐhsh autoÔ tou gegonìtoc. Tìte mil�me
gia qreokopÐa apì èna zhmiogìno gegonìc.
Prìtash 8.1 Sto klasikì prìtupo, èstw λ h èntash thc anèlixhc Poisson
h opoÐa perigr�fei tic afÐxeic twn apait sewn kai c h èntash tou asfalÐstrou.
Tìte h pijanìthta ψ1(u) na sumbeÐ qreokopÐa me thn pr¸th apozhmÐwsh
(qreokopÐa apì èna gegonìc) isoÔtai me
ψ1(u) =
∫ ∞0
λe−λt [1− F (u+ ct] dt, (45)
ìpou F eÐnai h sun�rthsh katanom c gia to mègejoc miac apozhmÐwshc.
68
Apìdeixh Gia thn apìdeixh thc prìtashc, parathroÔme arqik� to ex c. An
gnwrÐzoume ìti o qrìnoc mèqri thn pr¸th apaÐthsh eÐnai T1 = t, tìte h
pijanìthta qreokopÐac th stigm aut ja isoÔtai me thn pijanìthta to mègejoc
thc pr¸thc apaÐthshc na eÐnai toul�qiston u+ct, ìso kai to pleìnasma ekeÐnh
th stigm . DesmeÔoume loipìn wc proc to qrìno �fixhc thc pr¸thc apaÐthshc
kai qrhsimopoioÔme to nìmo thc olik c pijanìthtac gia suneqeÐc t.m.
Sugkekrimèna, èstw Au to endeqìmeno na sumbeÐ qreokopÐa me thn pr¸th
apozhmÐwsh ìtan to arqikì pleìnasma eÐnai u. Tìte o nìmoc olik c
pijanìthtac mac dÐnei ìti
P (Au) =
∫ ∞0
P (Au|T1 = t)b(t) dt =
∫ ∞0
P (Au|T1 = t)λe−λt dt,
ìpou b(t) = λe−λt eÐnai h sun�rthsh puknìthtac tou qrìnou T1 mèqri thn
pr¸th apaÐthsh.
SÔmfwna me ìsa anafèrjhkan parap�nw, h desmeumènh pijanìthta P (Au|T1 =
t) isoÔtai me
P (X1 > u+ ct) = 1− F (u+ ct),
kai to zhtoÔmeno èpetai. 2
Par�deigma 8.1 'Estw ìti oi apozhmi¸seic akoloujoÔn mÐa katanom Er-
lang me paramètrouc α = 2, β = 4, en¸ h èntash thc anèlixh Poisson gia tic
afÐxeic twn apait sewn eÐnai λ = 3 kai h èntash tou asfalÐstrou eÐnai c = 2.
Na brejeÐ h pijanìthta na up�rxei qreokopÐa me thn pr¸th apozhmÐwsh, wc
sun�rthsh tou arqikoÔ apojematikoÔ u.
LÔsh H puknìthta thc katanom c twn apozhmi¸sewn eÐnai
f(x) = 16xe−4x, x ≥ 0.
69
Me paragontik olokl rwsh, paÐrnoume ìti h our� thc katanom c aut c
dÐnetai apì th sqèsh
F (x) = 1− F (x) =
∫ ∞x
f(y) dy
= (1 + 4x)e−4x.
Antikajist¸ntac to x sthn teleutaÐa sqèsh me to u + 2t, efìson c = 2,
paÐrnoume
F (u+ 2t) = (1 + 4u+ 8t)e−4u−8t.
Epomènwc, h sqèsh (45) mac dÐnei t¸ra
ψ1(u) =
∫ ∞0
3e−3t (1 + 4u+ 8t)e−4u−8tdt
=
∫ ∞0
3e−3t (1 + 4u)e−4u−8tdt+
∫ ∞0
24te−3t e−4u−8tdt
= 3(1 + 4u)e−4u∫ ∞0
e−11tdt+ 24e−4u∫ ∞0
te−11tdt.
To pr¸to olokl rwma isoÔtai profan¸c me 1/11, en¸ to deÔtero olokl rwma
eÐnai h mèsh tim miac ekjetik c t.m. me par�metro 11, an diairejeÐ me 11.
Sunep¸c, ∫ ∞0
te−11tdt =
(1
11
)2
=1
121
kai t¸ra paÐrnoume apì thn prohgoÔmenh sqèsh gia thn pijanìthta qreokopÐac
me thn pr¸th apozhmÐwsh,
ψ1(u) =3(1 + 4u)
11e−4u +
24
121e−4u =
(57 + 132u
121
)e−4u, u ≥ 0.
H grafik par�stash thc sun�rthshc ψ1(u), sunart sei tou arqikoÔ apoje-
matikoÔ u, faÐnetai sto Sq ma 6. AxÐzei na shmei¸soume ed¸ ìti, ìpwc eÐnai
70
Sq ma 6: H pijanìthta qreokopÐac me thn pr¸th apozhmÐwsh sto Par�deigma
8.1.
safèc apì th sqèsh (45) kai se antistoiqÐa me thn pijanìthta qreokopÐac
ψ(u), h sun�rthsh ψ1(u) eÐnai fjÐnousa sun�rthsh tou arqikoÔ apojematikoÔ.
2
Shmei¸noume ìti h sqèsh (45) gia th sun�rthsh ψ1(u) eÐnai idiaÐtera eÔqrhsth
sthn perÐptwsh pou h katanom F eÐnai suneq c. An h katanom F eÐnai
diakrit , tìte h antÐstoiqh sun�rthsh katanom c èqei sun jwc kladwt
morf , dhlad all�zei tÔpo se k�je shmeÐo sto opoÐo up�rqei jetik m�za
pijanìthtac. Se mia tètoia perÐptwsh, eÐte diasp�me to olokl rwma sthn
(45) se epimèrouc olokhr¸mata, ètsi ¸ste h F na èqei eniaÐo tÔpo se kajèna
apì aut�, eÐte qrhsimopoioÔme k�poio apeujeÐac epiqeÐrhma (dhlad qwrÐc na
gÐnetai qr sh thc (45)), ìpwc sto par�deigma pou akoloujeÐ.
71
Par�deigma 8.2 Sto klasikì upìdeigma, jewroÔme ìti ìlec oi apozhmi¸seic
X1, X2, . . . , mporoÔn na p�roun mìno mÐa tim , Xi = 4, en¸ gnwrÐzoume ìti gia
to qrìno anamon c T1 mèqri thn pr¸th apozhmÐwsh isqÔei Pr(T1 > t) = e−t/2
gia t ≥ 0. An h èntash tou asfalÐstrou eÐnai c = 3, na brejeÐ h el�qisth tim
tou arqikoÔ apojematikoÔ gia thn opoÐa h pijanìthta na sumbeÐ qreokopÐa me
thn pr¸th apozhmÐwsh eÐnai to polÔ Ðsh me 0,02.
LÔsh 'Estw T1 o qrìnoc �fixhc thc pr¸thc apaÐthshc. 'Opwc anafèrjhke kai
sto prohgoÔmeno par�deigma, h katanom autoÔ tou qrìnou eÐnai h ekjetik
kai, efìson dÐnetai ìti
P (T1 > t) = e−t/2, t ≥ 0
prokÔptei ìti h par�metroc thc ekjetik c eÐnai λ = 1/2.
SÔmfwna me tic upojèseic tou paradeÐgmatoc, to pleìnasma th qronik stigm
T1, amèswc met� thn plhrwm thc pr¸thc apaÐthshc, isoÔtai me
U(T1) = u+ 3T1 − 4.
Sunep¸c, h pijanìthta na up�rxei qreokopÐa me thn pr¸th apaÐthsh ìtan to
arqikì apojematikì eÐnai u, isoÔtai me
ψ1(u) = P (u+ 3T1 − 4 < 0) = P
(T1 <
4− u3
).
Efìson h katanom tou qrìnou T1 eÐnai Exp(1/2), prokÔptei ìti gia k�je
y ≥ 0,
P (T1 < y) = 1− e−y/2.
Zht�me thn (el�qisth) tim tou u gia thn opoÐa isqÔei ψ1(u) ≤ 0,02. Apì tic
dÔo teleutaÐec sqèseic prokÔptei t¸ra ìti to arqikì apojematikì u ja prèpei
na ikanopoieÐ th sqèsh
1− e−(4−u)/6 ≤ 0,02,
72
LÔnontac thn anÐswsh aut , paÐrnoume arqik�
u− 4
6≥ ln(0,98),
apì ìpou prokÔptei telik� ìti ja prèpei na isqÔei h sqèsh
u ≥ 4 + 6 · ln(0,98) ∼= 3,8788,
dhlad h zhtoÔmenh el�qisth tim tou arqikoÔ apojematikoÔ eÐnai perÐpou
3,88 (profan¸c ed¸ to arqikì apojematikì ekfr�zetai stic Ðdiec qrhmatikèc
mon�dec me to Ôyoc twn apozhmi¸sewn). 2
73
9 K�poiec tuqaÐec metablhtèc sqetikèc me
thn pijanìthta qreokopÐac
JumÐzoume ìti h anèlixh pleon�smatoc dÐnetai apì th sqèsh
U(t) = u+ ct−N(t)∑i=1
Xi, t ≥ 0.
O qrìnoc thc qreokopÐac eÐnai h qronik stigm pou to pleìnasma
gÐnetai gia pr¸th for� arnhtikì (opìte sthn ousÐa prìkeitai gia èlleimma).
Majhmatik�, autì orÐzetai wc ex c :
T =
inf{t : U(t) < 0}
∞ an U(t) > 0 ∀t
Me b�sh ton orismì autì, blèpoume ìti qrìnoc thc qreokopÐac eÐnai mÐa
elleimmatik tuqaÐa metablht , giatÐ mporeÐ me jetik pijanìthta na p�rei
thn tim �peiro, dhlad
P (T <∞) < 1 P (T =∞) > 0
Autì sumbaÐnei giatÐ ìtan isqÔei c > λµ1, h etaireÐa mporeÐ na mhn qreokop sei
potè. EpÐshc, isqÔei h sqèsh
P (T =∞) = P (U(t) > 0 ∀t) = 1− ψ(u) = δ(u).
Apì thn parap�nw sqèsh, all� kai diaisjhtik�, eÐnai profanèc ìti h katanom
tou qrìnou qreokopÐac T , exart�tai apì thn tim tou arqikoÔ apojematikoÔ
u. Sunep¸c, ènac plhrèsteroc sumbolismìc gia to qrìno qreokopÐac ja tan
Tu = inf{t : U(t) < 0|U(0) = u}
me Tu = ∞ kai p�li, an de sumbeÐ qreokopÐa. Sun jwc p�ntwc ìtan mil�me
gia to qrìno qreokopÐac h tim tou arqikoÔ apojematikoÔ eÐnai gnwst , opìte
qrhsimopoieÐtai o sumbolismìc T antÐ tou (orjìterou) Tu.
74
'Ena �llo er¸thma me endiafèron gia ton asfalist eÐnai, sthn perÐptwsh
pou ja sumbeÐ h qreokopÐa, poiì ja eÐnai to èlleimma th stigm thc
qreokopÐac. Epeid to pleìnasma th qronik stigm t dhl¸netai me U(t),
to èlleimma autì ja isoÔtai me U(T ), to opoÐo anagkastik� ja paÐrnei mÐa
arnhtik tim . Sun jwc exet�zoume to èlleimma autì kat' apìluth tim , opìte
orÐzoume thn t.m. −U(T ) pou dhl¸nei thn oxÔthta thc qreokopÐac, dhlad to
mègejoc thc pt¸shc tou pleon�smatoc k�tw apì to mhdèn.
MÐa sunaf c t.m. eÐnai to pleìnasma prin th qreokopÐa, to opoÐo
orÐzetai apì th sqèsh
U(T−) = limt→T−
U(t).
Dhlad to U(T−), to opoÐo paÐrnei jetikèc timèc, dhl¸nei to mègejoc tou
pleon�smatoc amèswc prin plhrwjeÐ apì ton asfalist h apozhmÐwsh h
opoÐa prokaleÐ qreokopÐa. To Sq ma 7 parousi�zei grafik� tic metablhtèc
T, U(T−), U(T ) sto klasikì montèlo.
75
6
-
u
U(t)
t
���������
���������
���
���������
������
���
������
���������
���������
TuU(T )
U(T−)
ss
Sq ma 7. O qrìnoc qreokopÐac, to pleìnasma prin th qreokopÐa kai to
èlleimma th stigm thc qreokopÐac sto klasikì montèlo.
Tèloc, mÐa �llh metablht h opoÐa ìpwc ja doÔme parousi�zei meg�lo
endiafèron eÐnai to mègejoc thc pt¸shc tou pleon�smatoc k�tw
apì to arqikì apojematikì u.
H metablht aut sumbolÐzetai me L1 kai paÐrnei jetikèc timèc, efìson
exet�zoume kai p�li thn pt¸sh tou pleon�smatoc kat' apìluth tim . An den
up�rxei pt¸sh tou pleon�smatoc k�tw apì to arqikì apojematikì (k�ti pou
mporeÐ na sumbeÐ me jetik pijanìthta, Ðsh me δ(0)) tìte jètoume L1 = 0.
'Estw t¸ra ìti h pr¸th pt¸sh tou pleon�smatoc k�tw apì thn tim u
sumbaÐnei th qronik stigm t1 kai to pleìnasma th stigm aut eÐnai u1 =
U(t1). Tìte h tim pou paÐrnei h tuqaÐa metablht L1 eÐnai L1 = u − u1.
76
Sth sunèqeia mporoÔme na orÐsoume, kat� antistoiqÐa me thn L1, mÐa tuqaÐa
metablht L2 h opoÐa mac dÐnei thn pr¸th pt¸sh tou pleon�smatoc k�tw apì
thn tim u1. H pijanìthta na up�rxei pt¸sh tou pleon�smatoc k�tw apì to
u1, ìtan to arqikì apojematikì eÐnai u1, isoÔtai kai p�li me ψ(0), en¸ ìtan
to pleìnasma gia pr¸th for� pèsei k�tw apì to u1 p�rei tim u2, tìte h t.m.
L2 paÐrnei tim L2 = u1 − u2.
Me ton Ðdio trìpo mporoÔme na orÐsoume epagwgik� mÐa akoloujÐa L1, L2, L3, . . ..
H akoloujÐa aut jewroÔme ìti eÐnai peperasmènh ìtan oi timèc thc eÐnai
mhdenikèc apì k�poio shmeÐo kai met�, dhlad ìtan ÐsqÔei Lj = 0 gia
j = i, i + 1, . . .. Sunep¸c, mÐa er¸thsh me endiafèron eÐnai an o arijmìc
twn metablht¸n Lj pou paÐrnoun mh mhdenik tim eÐnai peperasmènoc (me
pijanìthta èna). H ap�nthsh sthn er¸thsh aut eÐnai katafatik , wc
apìrroia thc sunj khc (8). Sugkekrimèna, h sunj kh aut exasfalÐzei
ìti, anex�rthta apì to an ja sumbeÐ qreokopÐa, to pleìnasma apì k�poio
qronikì shmeÐo kai Ôstera ja aux�netai (U(t) → ∞ kaj¸c t → ∞), �ra
den mporeÐ h anèlixh pleon�smatoc na parousi�zei �peiro arijmì elaqÐstwn.
MÐa �llh onomasÐa pou qrhsimopoieÐtai gia tic metablhtèc L1, L2, L3, . . .
eÐnai ta klimakwt� Ôyh2 (ladder heights) pou sundèontai me thn anèlixh
{U(t) : t ≥ 0}. Oi metablhtèc autèc parousi�zoun th stadiak pt¸sh tou
pleon�smatoc apì thn arqik tim u èwc th stigm thc qreokopÐac , an de
sumbeÐ qreokopÐa, èwc thn el�qisth tim pou paÐrnei h anèlixh {U(t) : t ≥ 0}.
Efìson, ìpwc anafèrjhke, to pl joc twn klimakwt¸n uy¸n eÐnai peperasmèno
me pijanìthta èna, orÐzoume mÐa tuqaÐa metablht h opoÐa sumbolÐzetai me
K kai dhl¸nei to pl joc twn klimakwt¸n uy¸n, dhlad to pl joc
twn metablht¸n Li (oi opoÐec paÐrnoun gnhsÐwc jetik tim ) se mÐa anèlixh
pleon�smatoc. EÐnai safèc ìti h metablht K eÐnai diakrit , efìson paÐrnei
akèraiec kai mh arnhtikèc timèc. Epiplèon, me b�sh ta parap�nw, eÐnai eÔkolo
2Μία ακριβέστερη ονομασία είναι τα καθοδικά κλιμακωτά ύψη (descending ladder heights),
εφόσον μπορεί κάποιος να ορίσει και τις αντίστοιχες μεταβλητές για την υπέρβαση του
πλεονάσματος (ανοδικά κλιμακωτά ύψη), οι οποίες όμως δεν θα μας απασχολήσουν εδώ.
77
na doÔme ìti h K akoloujeÐ th gewmetrik katanom . Sugkekrimèna, k�je
for� pou emfanÐzetai èna el�qisto sthn anèlixh pleon�smatoc, dhlad k�je
for� pou prokÔptei èna kainoÔrio Li, h pijanìthta na up�rxei kai nèa pt¸sh
(dhlad na emfanisteÐ to Li+1) isoÔtai me ψ(0). Sunep¸c, an jewr soume
��apotuqÐa>> thn emf�nish enìc Li, dhlad miac pt¸shc k�tw apì to arqikì
apojematikì, h metablht K metr� ton arijmì apotuqi¸n mèqri thn pr¸th
epituqÐa kai h katanom thc dÐnetai apì th sqèsh
P (K = k) = [ψ(0)]k δ(0), k = 0, 1, 2, . . .
Efìson gnwrÐzoume ìti ψ(0) = 1/(1+θ), h sqèsh mporeÐ na grafeÐ isodÔnama
P (K = k) =
(1
1 + θ
)kθ
1 + θ.
Mègisth swreutik ap¸leia
Sto klasikì montèlo, an jewr soume th sÔnjeth t.m.
L = L1 + L2 + . . .+ LK =K∑i=1
Li (L = 0 ìtan K = 0)
tìte blèpoume ìti h L parist�nei th sunolik pt¸sh tou pleon�smatoc k�tw
apì to arqikì apojematikì u. H L onom�zetai mègisth swreutik ap¸leia kai
h katanom thc, ìpwc ja doÔme, sundèetai me thn pijanìthta qreokopÐac.
Arqik�, parathroÔme ìti h katanom thc L eÐnai meikt . Sugkekrimèna, h L
mporeÐ na p�rei thn tim mhdèn me jetik pijanìthta, en¸ h katanom thc
sto (0,∞) eÐnai suneq c. Sth sunèqeia, blèpoume ìti efìson h metablht
K akoloujeÐ gewmetrik katanom , h katanom thc L ja eÐnai sÔnjeth
gewmetrik .
H pijanìthta h L na p�rei thn tim mhdèn eÐnai
P (L = 0) = P (K = 0) = δ(0).
78
'Estw t¸ra u > 0. ParathroÔme ìti h posìthta P (L > u) ekfr�zei thn
pijanìthta h sunolik pt¸sh tou pleon�smatoc na uperbaÐnei mÐa stajer
tim u. All� aut eÐnai Ðdia me thn pijanìthta qreokopÐac ìtan to arqikì
apojematikì eÐnai u, dhlad isqÔei
P (L > u) = ψ(u)
opìte èqoume epÐshc P (L ≤ u) = δ(u).
H mègisth swreutik ap¸leia, L, kai oi pt¸seic tou pleon�smatoc Li
parist�nontai grafik� sto Sq ma 8.
u
T
u1
u2
u3
u4
L1
L2
L3
L4t1 t2 t3
L
t
UHtL
Sq ma 8: Grafik par�stash twn metablht¸n Li kai thc mègisthc swreutik c
ap¸leiac L sthn anèlixh tou pleon�smatoc.
Par�deigma
Exet�zoume t¸ra èna aplì par�deigma gia na exhg soume th qr sh twn
di�forwn metablht¸n pou orÐsthkan parap�nw.
79
Se èna klasikì montèlo o asfalist c qrhsimopoieÐ arqikì apojematikì u =
10, en¸ h èntash twn asfalÐstrwn eÐnai c = 1. Oi endi�mesoi qrìnoi twn
apozhmi¸sewn pou parathr jhkan mèqri th qronik stigm t = 30 eÐnai T1 =
3, T2 = 8, T3 = 10, T4 = 2, T5 = 7 kai oi antÐstoiqec apozhmi¸seic eÐnai
4, 11, 9, 5, 16.
(a) na apodeiqteÐ ìti o qrìnoc thc qreokopÐac eÐnai T = 30 kai na brejeÐ to
èlleimma th stigm thc qreokopÐac, −U(T ).
(b) Na brejeÐ to pleìnasma prin th qreokopÐa, U(T−), kai oi timèc twn
L1, L2, . . . kaj¸c kai thc mègisthc swreutik c ap¸leiac L.
(g) Na ektimhjeÐ to perij¸rio asf�leiac θ. TÐ sumper�smata bg�zoume;
LÔsh
(a) UpologÐzoume to pleìnasma met� thn k�je apozhmÐwsh. Th stigm prin
thn pr¸th apozhmÐwsh, to pleìnasma eÐnai u + cT1 = 13. Met� thn pr¸th
apozhmÐwsh, to pleìnasma eÐnai u+ cT1 −X1 = 13− 4 = 9.
Met� th deÔterh apozhmÐwsh, to pleìnasma eÐnai 9 + 8 − 11 = 6. Met� thn
trÐth apozhmÐwsh, gÐnetai 6 + 10 − 9 = 7. Met� thn tètarth, h tim tou
pleon�smatoc eÐnai 7 + 2 − 5 = 4, en¸ met� kai thn pèmpth apozhmÐwsh, h
tim tou pleon�smatoc eÐnai 4 + 7− 16 = −5, dhlad gÐnetai gia pr¸th for�
arnhtik , epomènwc T = 30. EpÐshc, parathroÔme ìti −U(T ) = 5.
(b) To pleìnasma prin thn 5h apozhmÐwsh (dhlad aut n pou prokaleÐ
qreokopÐa) eÐnai U(T−) = 11. Oi timèc twn Li eÐnai
L1 = 10− 9 = 1
L2 = 9− 6 = 3
L3 = 6− 4 = 2
L4 = 4− (−5) = 9
�ra h mègisth swreutik ap¸leia, h opoÐa eÐnai to �jroisma twn parap�nw
80
posot twn, isoÔtai me L = 15.
(g) To θ orÐzetai apì th sqèsh
θ =c
λµ1
− 1
ìpou to c eÐnai gnwstì kai ta λ, µ1 prèpei na ektimhjoÔn. H ektÐmhsh gia to
µ1 eÐnai h deigmatik mèsh tim ,
p1 =4 + 11 + 9 + 5 + 16
5= 9
en¸ o mèsoc endi�mesoc qrìnoc sta dedomèna eÐnai
3 + 8 + 10 + 2 + 7
5= 6.
Efìson sto klasikì montèlo oi endi�mesoi qrìnoi akoloujoÔn thn ekjetik
katanom , h tim 6 parap�nw ektim� ton antÐstrofo thc paramètrou λ. 'Ara
telik�,
λ =1
6Prosèxte ìti me b�sh tic parap�nw ektim seic paÐrnw gia to perij¸rio
asf�leiac
θ =c
λp1− 1 =
196
− 1 =6
9− 1 = −1
3< 0,
dhlad h ektÐmhsh gia to perij¸rio asfaleÐac eÐnai arnhtik (se èna tètoio
montèlo, h qreokopÐa eÐnai bèbaih).
'Ena �llo prìblhma sto montèlo ed¸ eÐnai ìti h tim tou arqikoÔ apoje-
matikoÔ, u = 10, eÐnai mikr sqetik� me th mèsh apozhmÐwsh (p1 = 9), opìte mÐa
meg�lh apozhmÐwsh eÐnai logikì na prokalèsei qreokopÐa se sÔntomo qronikì
di�sthma.
Upologismìc thc ropogenn triac thc L
Epeid h L eÐnai mÐa sÔnjeth t.m., apì ton orismì thc kai me b�sh tic idiìthtec
twn ropogennhtri¸n paÐrnoume th sqèsh
81
ML(r) = MK (lnMLi(r)) . (46)
BrÐskoume pr¸ta th ropogenn tria thc metablht cK, dhlad thc gewmetrik c
katanom c efìson
P (K = k) = [ψ(0)]k δ(0) k = 0, 1, 2, . . .
H ropogenn tria thc K eÐnai
MK(r) = E(erK) =∞∑k=0
P (K = k)erk
=∞∑k=0
[ψ(0)]k erkδ(0)
=∞∑k=0
[ψ(0)er]k δ(0).
H seir� sugklÐnei gia ìla ta r ètsi ¸ste ψ(0)er < 1, isodÔnama r <
ln(c/λµ1). Gia ìlec autèc tic timèc tou r, to �jroisma∞∑k=0
[ψ(0)er]k isoÔtai
me (1− ψ(0)er)−1, opìte apì thn teleutaÐa sqèsh paÐrnoume
MK(r) = E(erK) =δ(0)
1− ψ(0)er.
EpÐshc, gnwrÐzoume ìti
ψ(0) = 1− δ(0) = 1/(1 + θ),
epomènwc me antikat�stash sthn (46) prokÔptei
ML(r) =θ
1+θ
1− 11+θ
MLi(r)=
θ
(1 + θ)−MLi(r).
Anafèroume sth sunèqeia èna shmantikì apotèlesma pou mac dÐnei thn
katanom thc pt¸shc tou pleon�smatoc L1, ìtan gnwrÐzoume ìti ja up�rxei
mÐa tètoia pt¸sh, dhlad L1 6= 0.
82
Prìtash 9.1 Sto klasikì montèlo, ìtan up�rqei pt¸sh tou pleon�smatoc,
h t.m. L1 akoloujeÐ mÐa suneq katanom me puknìthta1
µ1
[1− F (x)], dhlad
P (L1 ≤ x) =
∫ x
0
1
µ1
[1− F (t)] dt.
Parathr seic
(a) Prosèxte ìti h sun�rthsh sto dexiì mèloc thc teleutaÐac sqèshc eÐnai h
sun�rthsh katanom c H pou qrhsimopoi same sthn ananewtik exÐswsh gia
thn pijanìthta qreokopÐac.
(b) 'Eqei endiafèron ìti h katanom tou klimakwtoÔ Ôyouc L1 den exart�tai
apì to arqikì apojematikì u.
(g) An gnwrÐzoume ìti ja up�rxei kai deÔterh pt¸sh tou pleon�smatoc, dhlad
L2 6= 0, tìte eÐnai eÔkolo na dei kaneÐc ìti h (desmeumènh) katanom thc L2 eÐnai
h Ðdia me aut n thc L1, dhlad aut pou dÐnetai sthn prìtash. Genikìtera, an
eÐnai gnwstì ìti up�rqoun k pt¸seic tou pleon�smatoc, tìte oi L1, L2, . . . , Lk
eÐnai anex�rthtec kai isìnomec tuqaÐec metablhtèc. 2
Me b�sh thn Prìtash 9.1 mporoÔme t¸ra na apodeÐxoume ta ex c trÐa
porÐsmata.
Pìrisma 9.1 An MX(r) eÐnai h ropogenn tria twn apozhmi¸sewn, tìte
isqÔei ìti
ML1(r) =1
µ1r(MX(r)− 1) . (47)
Apìdeixh 'Estw fL1 h puknìthta thc L1. Tìte, qrhsimopoi¸ntac thn
parap�nw prìtash, èqoume
ML1(r) =
∫ ∞0
erxfL1(x)dx
=
∫ ∞0
erx
µ1
[1− F (x)] dx
83
Me paragontik olokl rwsh paÐrnoume
ML1(r) =1
r
erx
µ1
[1− F (x)]
∣∣∣∣∞0
+
∫ ∞0
1
r· e
rx
µ1
f(x)dx
= − 1
rµ1
+1
rµ1
MX(r).
Pìrisma 9.2 An h katanom twn apozhmi¸sewn eÐnai Exp(β), tìte h
metablht L1 akoloujeÐ epÐshc thn ekjetik katanom me thn Ðdia par�metro.
Apìdeixh Gia thn katanom thc metablht c L1, èqoume
P (L1 ≤ x) =
∫ x
0
1
µ1
[1− F (t)] dt = β
∫ x
0
e−βtdt = β
[1
β− 1
βe−βx
]�ra,
P (L1 ≤ x) = 1− e−βx
to opoÐo deÐqnei ìti L1 ∼ Exp(β). 2
Pìrisma 9.3 'Otan to arqikì apojematikì eÐnai u = 0, tìte h katanom pou
èqei to èlleimma th stigm thc qreokopÐac, dojèntoc ìti ja sumbeÐ qreokopÐa,
eÐnai h katanom H. Dhlad isqÔei ìti
P (|U(T )| ≤ x|T <∞, U(0) = 0) = H(u) =1
µ1
∫ x
0
(1− F (y))dy.
Apìdeixh H apìdeixh eÐnai profan c efìson gia arqikì apojematikì u = 0, h
desmeumènh katanom tou elleÐmmatoc an gnwrÐzoume ìti ja sumbeÐ qreokopÐa
sumpÐptei me thn katanom thc metablht c L1, pou dhl¸nei to mègejoc thc
pt¸shc k�tw apì to arqikì apojematikì. 2
Sth sunèqeia anafèroume èna apotèlesma to opoÐo eÐnai genikìtero apì to
Pìrisma 9.3 parap�nw kai mac dÐnei thn apì koinoÔ katanom tou pleon�smatoc
prin th qreokopÐa, U(T−) kai tou elleÐmatoc th stigm thc qreokopÐac, |U(T )|gia arqikì apojematikì u = 0. H apìdeixh autoÔ tou apotelèsmatoc eÐnai
arket� dÔskolh kai gi' autì paraleÐpetai.
84
Prìtash 9.2 'Estw h(x, y|0) h apì koinoÔ sun�rthsh puknìthtac thc
katanom c twn metablht¸n U(T−), |U(T )| sto klasikì montèlo ìtan h tim
tou arqikoÔ apojematikoÔ u = 0. Tìte gia k�je x, y ≥ 0 h h(x, y|0) dÐnetai
apì th sqèsh
h(x, y|0) =λ
cf(x+ y). (48)
MÐa basik parat rhsh sthn parap�nw prìtash eÐnai ìti h apì koinoÔ
puknìthta twn dÔo metablht¸n, h(x, y|0), eÐnai summetrik wc proc x, y.
Epiplèon, apì ton tÔpo thc puknìthtac eÐnai safèc ìti h puknìthta aut
sto shmeÐo (x, y) den exart�tai apì tic akribeÐc timèc twn x kai y, par�
mìno apì to �jroism� touc, x + y. EpÐshc, me b�sh ta parap�nw, blèpoume
ìti h perij¸ria puknìthta thc metablht c U(T−) eÐnai Ðdia me aut n thc
|U(T )|. Oloklhr¸nontac, p.q., thn (48) wc proc y, blèpoume ìti h perij¸ria
puknìthta tou pleon�smatoc prin th qreokopÐa, èstw h1(x|0), eÐnai
h1(x|0) =
∫ ∞0
λ
cf(x+ y)dy =
λ
c[1− F (x)] .
AntÐstoiqa, lìgw summetrÐac, blèpoume ìti h perij¸ria puknìthta tou
elleÐmatoc th stigm thc qreokopÐac, èstw h2(y|0), eÐnai
h2(y|0) =
∫ ∞0
λ
cf(x+ y)dx =
λ
c[1− F (y)] . (49)
Parat rhsh Apì pr¸th �poyh, h teleutaÐa sqèsh faÐnetai na mh sumfwneÐ
me to apotèlesma tou PorÐsmatoc 9.3 parap�nw. H diafor� eÐnai ìti sto
Pìrisma 9.3 anaferìmaste sth desmeumènh katanom tou elleÐmmatoc, en¸
h puknìthta sthn (49) eÐnai mÐa elleimmatik puknìthta, efìson∫ ∞0
h2(y|0)dy =λ
c
∫ ∞0
[1− F (y)] dy =λµ1
c< 1.
An desmeÔsoume wc proc to gegonìc ìti sumbaÐnei qreokopÐa gia u = 0, dhlad
an diairèsoume thn (elleimmatik ) puknìthta sth sqèsh (49) me ψ(0), tìte
85
(efìson gnwrÐzoume ìti ψ(0) = λµ1/c) prokÔptei ìti h desmeumènh puknìthta
tou elleÐmmatoc th stigm thc qreokopÐac eÐnai h
h2(y|0)
ψ(0)=λc−1 [1− F (y)]
λµ1c−1,
kai t¸ra eÐnai profanèc ìti h teleutaÐa sqèsh sumfwneÐ me to apotèlesma tou
PorÐsmatoc 9.3, ìpwc tan anamenìmeno.
10 Akrib c upologismìc thc pijanìthtac
qreokopÐac
O akrib c upologismìc thc pijanìthtac qreokopÐac den eÐnai p�nta efiktìc,
par� mìno se k�poiec sugkekrimènec peript¸seic ìson afor� thn katanom twn
apozhmi¸sewn. DÐnoume sthn enìthta aut ton akrib tÔpo gia th sun�rthsh
ψ(u) gia dÔo eidikèc peript¸seic thc katanom c F twn apozhmi¸sewn.
Sugkekrimèna, ìtan h F eÐnai
• ekjetik
• meÐxh ekjetik¸n katanom¸n
An�mesa stic di�forec mejìdouc gia ton upologismì thc ψ(u) pou up�r-
qoun gia tic peript¸seic autèc, anafèroume mÐa mèjodo pou qrhsimopoieÐ
ropogenn triec. Sugkekrimèna, upologÐzoume th ropogenn tria thc mègisthc
swreutik c ap¸leiac L, h katanom thc opoÐac, ìpwc èqoume dei, èqei our�
ψ(u).
DeÐxame parap�nw ìti
ML(r) =θ
1+θ
1− 11+θ
ML1(r)=
θ
(1 + θ)−ML1(r)(50)
86
Antikajist¸ntac th ropogenn tria thc L1 apì thn (47) paÐrnoume
ML(r) =θ
(1 + θ)− 1µ1r
(MX(r)− 1)
=θµ1r
(1 + θ)µ1r −MX(r) + 1.
JumÐzoume ìti h katanom thc tuqaÐac metablht c L apoteleÐtai apì èna
diakritì tm ma sto mhdèn, megèjouc θ/(1 + θ), to opoÐo ekfr�zei thn
pijanìthta to pleìnasma na mhn pèsei potè k�tw apì to arqikì apojematikì
u, kai èna suneqèc tm ma sto (0,∞). Epeid h ropogenn tria pou antistoiqeÐ
sto diakritì tm ma (ìpwc deÐqnetai eÔkola) isoÔtai me θ/(1+θ), prosjètoume
kai afairoÔme ton ìro autì sto dexiì mèloc thc teleutaÐac sqèshc ¸ste na
diaqwrÐsoume to diakritì tm ma apì to suneqèc.
Me ton trìpo autì apì thn teleutaÐa sqèsh paÐrnoume
ML(r) =θ
1 + θ+
θµ1r
(1 + θ)µ1r −MX(r) + 1− θ
1 + θ.(1 + θ)µ1r −MX(r) + 1
(1 + θ)µ1r −MX(r) + 1
=θ
1 + θ+
θ [MX(r)− 1]
(1 + θ) [(1 + θ)µ1r −MX(r) + 1]. (51)
Shmei¸noume ìti h sqèsh (51), all� kai h sqèsh (50), mporoÔn na qrhsimopoi-
hjoÔn gia ton upologismì thc ropogenn triac (efìson fusik� aut up�rqei)
kai me b�sh aut , na broÔme thn katanom thc mègisthc swreutik c ap¸leiac
L, dhlad th sun�rthsh δ(u), ìpwc anafèrjhke parap�nw.
Epomènwc h eukolÐa mh tou upologismoÔ miac akriboÔc sqèshc gia thn
pijanìthta qreokopÐac exart�tai apì thn eukolÐa me thn opoÐa mporoÔme na
anagnwrÐsoume k�poia gnwst katanom thc opoÐa h ropogenn tria dÐnetai
apì to deÔtero ìro sto dexiì mèloc thc (51). Sth sunèqeia, anafèroume dÔo
peript¸seic ìpou autì eÐnai efiktì, ìtan h katanom twn apozhmi¸sewn eÐnai
ekjetik grammikìc sunduasmìc ekjetik¸n katanom¸n.
H pr¸th perÐptwsh pou exet�zetai afor� to klasikì montèlo ìtan oi
apozhmi¸seic akoloujoÔn thn ekjetik katanom .
87
10.1 H pijanìthta qreokopÐac gia ekjetikèc apozh-
mi¸seic
'Estw ìti h katanom twn apozhmi¸sewn eÐnai ekjetik me par�metro β. H
ropogenn tria twn apozhmi¸sewn eÐnai
MX(r) =β
β − r, r < β
(gia r ≥ β h ropogenn tria den up�rqei). DeÐxame sto Pìrisma 9.2 ìti h
katanom thc t.m. L1 eÐnai epÐshc ekjetik me thn Ðdia par�metro. Epomènwc,
apì thn (50) paÐrnoume
ML(r) =θ
1 + θ − ββ−r
, gia r < β.
GnwrÐzoume ìti h katanom thc L èqei m�za sto shmeÐo mhdèn kai h m�za aut
eÐnai δ(0) = θ/(1 + θ), en¸ eÐnai suneq c sto di�sthma (0,∞). Me b�sh autì,
gr�foume th ropogenn tria thc L wc ex c:
ML(r) =θ
1 + θ+
θ
1 + θ − ββ−r− θ
1 + θ
=θ
1 + θ+
θ(β − r)(1 + θ)(β − r)− β
− θ
1 + θ.(1 + θ)(β − r)− β(1 + θ)(β − r)− β
=θ
1 + θ+
(1 + θ)θ(β − r)− θ [(1 + θ)(β − r)− β]
(1 + θ) [(1 + θ)(β − r)− β].
K�nontac pr�xeic se arijmht kai paronomast kai bg�zontac koinì par�gonta
sto deÔtero ìro ton 1/(1 + θ), paÐrnoume
ML(r) =θ
1 + θ+
1
1 + θ.
[(1 + θ)θ(β − r)− θ [β + θβ − r − rθ − β]
β + βθ − r − rθ − β
]=
θ
1 + θ+
1
1 + θ.
[(1 + θ)(θβ − θr)− θ2β + rθ + rθ2
θβ − r(1 + θ)
].
88
K�nontac t¸ra tic pr�xeic ston arijmht mèsa sto kl�sma blèpoume ìti
o arijmht c isoÔtai me θβ, kaj¸c ìloi oi upìloipoi ìroi aplopoioÔntai.
Sunep¸c,
ML(r) =θ
1 + θ+
1
1 + θ.
θβ
θβ − r(1 + θ).
Diair¸ntac arijmht kai paronomast sto teleutaÐo kl�sma me 1 + θ, èqoume
ML(r) =θ
1 + θ+
1
1 + θ.
θβ1+θ
θβ1+θ− r
.
ParathroÔme dhlad ìti h katanom thc L èqei èna diakritì komm�ti sto mhdèn,
ìpwc anamenìtan, en¸ sto suneqèc tm ma anagnwrÐzoume th ropogenn tria thc
ekjetik c katanom c Exp
(θβ
1 + θ
)pollaplasiasmènh me ton ìro 1/(1 + θ).
O ìroc autìc emfanÐzetai ètsi ¸ste h sunolik pijanìthta pou antistoiqeÐ
sthn katanom na isoÔtai me th mon�da.
Me b�sh ta parap�nw, sumperaÐnoume ìti h katanom thc t.m. L èqei puknìthta
sto (0,∞)1
1 + θ.θβ
1 + θe−
θβ1+θ
x, x ∈ (0,∞)
Apì prohgoÔmeno par�deigma (Par�deigma 7.1) èqoume dei ìti h posìthta
θβ/(1+θ) eÐnai o suntelest c prosarmog c sto klasikì montèlo ìtan
oi apozhmi¸seic eÐnai ekjetikèc, dhlad
R =θβ
1 + θ.
H pijanìthta qreokopÐac, pou eÐnai h our� thc katanom c thc L, eÐnai
ψ(u) = P (L > u) =1
1 + θe−
θβ1+θ
u.
Epeid
ψ(0) =1
1 + θ,
h pijanìthta qreokopÐac gia ekjetikèc apozhmi¸seic gr�fetai
ψ(u) =1
1 + θe−Ru = ψ(0)e−Ru. (52)
89
Parathr seic
1. H anisìthta tou Lundberg dÐnei ψ(u) ≤ e−Ru, en¸ gia ekjetikèc
apozhmi¸seic o akrib c tÔpoc eÐnai ψ(u) = ψ(0)e−Ru. 'Ara, h
prosèggish eÐnai kalÔterh ìtan to ψ(0) eÐnai kont� sth mon�da, dhlad
ìtan to θ paÐrnei mikrèc timèc.
2. Gia katanomèc gia tic opoÐec up�rqei to R, isqÔei o asumptwtikìc
tÔpoc ψ(u) ∼ Ce−Ru, dhlad limu→∞
ψ(u)/e−Ru = C, ìpou h stajer�
C upologÐzetai apì th sqèsh
C =θµ1
R∫∞0xeRxF (x)dx
.
BrÐskoume t¸ra thn tim thc C sthn perÐptwsh pou h katanom twn
apozhmi¸sewn eÐnai ekjetik me par�metro β. Sugkekrimèna, sthn
perÐptwsh aut o tÔpoc dÐnei
C =θ/β(
θβ∫∞0xeRxF (x)dx
)/(1 + θ)
=1 + θ
β2∫∞0xeRxF (x)dx
(53)
UpologÐzoume sth sunèqeia to olokl rwma ston paronomast . EÐnai
F (x) = e−βx, opìte paÐrnoume∫ ∞0
xeRxF (x)dx =
∫ ∞0
xe−(β−R)xdx
All�
β −R = β − βθ
1 + θ=
β
1 + θ,
sunep¸c to olokl rwma isoÔtai me∫ ∞0
xeRxF (x)dx =
∫ ∞0
xe−βx/(1+θ)dx =1 + θ
β
∫ ∞0
xβ
1 + θe−βx/(1+θ)dx,
90
ìpou pollaplasi�same kai diairèsame me ton ìro β/(1 + θ), ètsi ¸ste
mèsa sto olokl rwma na sqhmatisteÐ h mèsh tim miac Exp(β/(1 + θ))
katanom c. Epeid h mèsh tim thc ekjetik c eÐnai o antÐstrofoc thc
paramètrou, to olokl rwma sthn teleutaÐa sqèsh isoÔtai me (1 + θ)/β,
sunep¸c deÐxame telik� ìti∫ ∞0
xeRxF (x)dx =
(1 + θ
β
)2
.
'Ara, me antikat�stash sthn (53) blèpoume telik� ìti sthn perÐptwsh
twn ekjetik¸n apozhmi¸sewn h tim thc stajer�c C isoÔtai me
C =1 + θ
β2 [(1 + θ)/β]2=
1
1 + θ.
Diapist¸noume sunep¸c ìti o tÔpoc twn Cramer – Lundberg eÐnai
akrib c (ìqi apl� asumptwtikìc) gia thn pijanìthta qreokopÐac ìtan
oi apozhmi¸seic eÐnai ekjetikèc, efìson o tÔpoc autìc sumpÐptei me thn
akrib sqèsh (52) gia to ψ(u). 2
'Askhsh An oi apozhmi¸seic eÐnai ekjetikèc me par�metro β, na deiqjeÐ ìti
h pijanìthta qreokopÐac me thn pr¸th apozhmÐwsh, ìtan gnwrÐzoume ìti ja
sumbeÐ qreokopÐa, isoÔtai me
βc
λ+ βce−(β−R)u.
[Upìdeixh: H zhtoÔmenh pijanìthta isoÔtai me
ψ1(u)
ψ(u).]
10.2 H pijanìthta qreokopÐac gia meÐxh ekjetik¸n
katanom¸n
MÐa katanom me sun�rthsh puknìthtac
α1β1e−β1x + α2β2e
−β2x, α1, α2 > 0 (54)
91
kai α1 + α2 = 1 lègetai meÐxh ( sunduasmìc) dÔo ekjetik¸n katanom¸n me
paramètrouc β1, β2.
Genikìtera, mÐa katanom me puknìthta
k∑i=1
αiβie−βix, αi > 0
kai∑
αi = 1, lègetai meÐxh k ekjetik¸n katanom¸n me paramètrouc
β1, β2, . . . , βk.
Upojètoume pr¸ta ìti se èna klasikì montèlo oi apozhmi¸seic akoloujoÔn
mÐa katanom me puknìthta th sun�rthsh pou dÐnetai sthn (54). Tìte, èqoume
thn parak�tw prìtash
Prìtash 10.1 H pijanìthta qreokopÐac gia meÐxh dÔo ekjetik¸n katanom¸n
me paramètrouc β1, β2 eÐnai thc morf c
ψ(u) = C1e−r1u + C2e
−r2u (55)
ìpou ta r1, r2 eÐnai lÔseic thc exÐswshc gia to suntelest prosarmog c
(exÐswsh tou Lundberg) kai C1, C2 eÐnai stajerèc.
An upojèsoume, qwrÐc ap¸leia thc genikìthtac, ìti β1 < β2, tìte isqÔei
0 < r1 < β1 < r2 < β2 (oi lÔseic thc exÐswshc gia to R eÐnai an�mesa stic
timèc twn paramètrwn βi).
Upologismìc twn C1, C2
Gia u = 0, èqoume
ψ(0) =1
1 + θ,
opìte blèpoume apì thn (55) ìti ta Ci prèpei na ikanopoioÔn thn
C1 + C2 =1
1 + θ. (56)
92
Gia na broÔme mÐa deÔterh sqèsh, qrhsimopoioÔme thn exÐswsh
δ′(u) =
1
(1 + θ)µ1
δ(u)− 1
(1 + θ)µ1
∫ u
0
δ(u− x)f(x)dx (57)
pou apodeÐxame nwrÐtera.
GnwrÐzontac ìti h genik lÔsh gia th sun�rthsh δ eÐnai thc morf c δ(u) =
1− C1e−r1u − C2e
−r2u, èqoume
δ′(u) = C1r1e
−r1u + C2r2e−r2u. (58)
Jètontac u = 0 sthn (57), paÐrnoume
δ′(0) =
1
(1 + θ)µ1
δ(0) =1
(1 + θ)µ1
(1− C1 − C2)
All� apì thn (56) èqoume ìti C1 +C2 = 1/(1 + θ), sunep¸c qrhsimopoi¸ntac
thn teleutaÐa sqèsh kai thn (58) brÐskoume
C1r1 + C2r2 =1
(1 + θ)µ1
(1− 1
1 + θ
)=
1
(1 + θ)µ1
· θ
1 + θ
=θ
(1 + θ)2µ1
. (59)
O upologismìc twn C1, C2 gÐnetai lÔnontac to sÔsthma twn (56) kai (59).
Par�deigma 10.1 (Pijanìthta qreokopÐac gia meÐxh dÔo ekjetik¸n)
Na deiqjeÐ ìti gia ton kÐnduno me sun�rthsh puknìthtac pijanìthtac f(x) =1
23e−3x +
1
27e−7x (meÐxh dÔo ekjetik¸n) kai gia perij¸rio asf�leiac θ =
2
5, h
pijanìthta qreokopÐac eÐnai
ψ(u) =24
35e−u +
1
35e−6u.
93
LÔsh. H pijanìthta qreokopÐac (gia meÐxh dÔo ekjetik¸n) eÐnai:
ψ(u) = C1e−r1u + C2e
−r2u,
ìpou ta r1, r2 eÐnai oi rÐzec thc exÐswshc tou Lundberg. H mèsh tim kai h
ropogenn tria twn apozhmi¸sewn eÐnai antistoÐqwc :
µ1 =1
2· 1
3+
1
2· 1
7=
5
21
kai
MX(r) =1
2· 3
3− r+
1
2· 7
7− r.
Sunep¸c, apì thn exÐswsh Lundberg
1 + (1 + θ)µ1r = MX(r)
prokÔptei ìti
1 + (1 +2
5)
5
21r =
1
2· 3
3− r+
1
2· 7
7− r , isodÔnama,
1 +1
3r =
1
2· 3
3− r+
1
2· 7
7− rMe apaloif twn paronomast¸n, prokÔptei h exÐswsh trÐtou bajmoÔ wc proc
r,
2r3 − 14r2 + 12r = 0.
H mÐa rÐza eÐnai, profan¸c, to mhdèn, h opoÐa aporrÐptetai. Gia r 6= 0,
diair¸ntac me 2r thn teleutaÐa sqèsh, blèpoume ìti oi �llec dÔo rÐzec thc
exÐswshc eÐnai oi lÔseic thc deuterob�jmiac
r2 − 7r + 6 = 0.
Apì thn teleutaÐa exÐswsh prokÔptoun dÔo jetikèc rÐzec pou eÐnai r1 = 1 kai
r2 = 6. ParathroÔme ìti:
0 < r1(= 1) < β1(= 3) < r2(= 6) < β2(= 7).
94
Gia ton upologismì twn C1 kai C2 lÔnoume to sÔsthma :
C1 + C2 =1
1 + θ,
r1C1 + r2C2 =θ
(1 + θ)2µ1
.
Me antikat�stash twn tim¸n twn r1 , r2 , θ kai µ1 prokÔptei isodÔnama to
sÔsthma:
C1 + C2 =5
7
C1 + 6C2 =6
7
H lÔsh tou sust matoc eÐnai C1 =24
35kai C2 =
1
35. 'Etsi h pijanìthta
qreokopÐac eÐnai :
ψ(u) =24
35e−u +
1
35e−6u.
10.3 QreokopÐa gia meÐxh k ekjetik¸n katanom¸n
'Estw ìti oi apozhmi¸seic akoloujoÔn mÐa katanom me puknìthta
α1β1e−β1x + α2β2e
−β2x + . . .+ αkβke−βkx, α1, α2, . . . , αk > 0 (60)
ìpou∑
αi = 1.
GenikeÔontac aut� pou anafèrjhkan parap�nw gia k = 2, mporeÐ na apodeiqteÐ
ìti h pijanìthta qreokopÐac gia meÐxh k ekjetik¸n katanom¸n me paramètrouc
β1, β2, . . . , βk eÐnai thc morf c
ψ(u) = C1e−r1u + C2e
−r2u + . . . Cke−rku (61)
ìpou ta r1, r2, . . . , rk eÐnai lÔseic thc exÐswshc gia to suntelest prosarmog c
kai C1, C2, . . . , Ck eÐnai stajerèc. Sugkekrimèna, gia na upologÐsoume t¸ra
95
ta Ci, qreiazìmaste k exis¸seic. H pr¸th apì autèc ja eÐnai kai p�li C1 +
C2 + . . . + Ck = 1/(1 + θ). Oi upìloipec k − 1 exis¸seic prokÔptoun an
paragwgÐsoume k − 1 forèc th sqèsh (57) kai jèsoume u = 0, ìpwc kai
prohgoumènwc.
Tèloc, anafèroume ìti o upologismìc thc pijanìthtac qreokopÐac eÐnai
efiktìc kai gÐnetai me parìmoio trìpo sthn perÐptwsh ìpou oi apozhmi¸seic
akoloujoÔn mÐa katanom G�mma. O upologismìc, all� kai oi tÔpoi pou
prokÔptoun eÐnai arket� polÔplokoi kai den exet�zontai ed¸.
10.4 K�poiec idiìthtec gia sÔnjetec gewmetrikèc
katanomèc
DeÐxame parap�nw ìti h mègisth swreutik ap¸leia L mporeÐ na grafeÐ sth
morf L = L1 + L2 + . . . LK ìpou K ∼ Geo
(θ
1 + θ
)kai oi t.m. Li eÐnai
anex�rthtec kai isìnomec. 'Ara, h L eÐnai mÐa sÔnjeth gewmetrik metablht
kai h δ(u) = P (L ≤ u) eÐnai mÐa sÔnjeth gewmetrik katanom .
BrÐskoume t¸ra thn katanom thc L sa sun�rthsh thc katanom c H(x) twn
Li. 'Eqoume
δ(u) = P (L ≤ u) =∞∑k=0
P (L ≤ u|K = k)P (K = k)
= P (K = 0) +∞∑k=1
P (L1 + L2 + . . . Lk ≤ u)P (K = k)
= δ(0) +∞∑k=1
H?k(u)
(1
1 + θ
)kθ
1 + θ
qrhsimopoi¸ntac to ìti h katanom tou ajroÐsmatoc L1 + L2 + . . . Lk eÐnai h
96
sunèlixh thc H me ton eautì thc k forèc, dhlad h H?k. OrÐzontac
H?0(x) =
1 x ≥ 0
0 x < 0
blèpoume ìti h sun�rthsh δ mporeÐ na grafeÐ sth morf
δ(u) =θ
1 + θH?0(u)
(1
1 + θ
)0
+∞∑k=1
θ
1 + θH?k(u)
(1
1 + θ
)k=∞∑k=0
θ
1 + θH?k(u)
(1
1 + θ
)k.
EpÐshc, qrhsimopoi¸ntac idiìthtec gia sÔnjetec katanomèc, mporoÔme na
upologÐsoume tic ropèc thc katanom c δ(u) thc metablht c L gnwrÐzontac tic
antÐstoiqec ropèc gia ta Li. JumÐzoume ìti oi metablhtèc Li èqoun puknìthta
1− F (x)
µ1
opìte èqoume, me paragontik olokl rwsh,
E (Lri ) =
∫ ∞0
xrdH(x)
=
∫ ∞0
xr
µ1
[1− F (x)] dx
=
[xr+1
µ1(r + 1)[1− F (x)]
]∞0
+
∫ ∞0
xr+1
µ1(r + 1)f(x)dx
= 0 +1
µ1
· µr+1
r + 1
=µr+1
µ1(r + 1).
UpenjumÐzetai ìti µr+1 eÐnai h rop t�xhc r + 1 twn apozhmi¸sewn gÔrw apì
to mhdèn. Gia par�deigma, jètontac r = 1, brÐskoume ìti h mèsh pt¸sh tou
pleon�smatoc eÐnai
E (Li) =µ2
2µ1
.
97
Parìmoia, gia r = 2, èqoume
E(L2i
)=
µ3
3µ1
k.o.k. GnwrÐzontac th rop opoiasd pote t�xhc gia tic Li, oi ropèc thc L
mporoÔn t¸ra na upologistoÔn qrhsimopoi¸ntac gnwstèc idiìthtec sÔnjetwn
katanom¸n.
Gia par�deigma, h mèsh tim thc L brÐsketai apì th sqèsh
E(L) = E(K)E(Li),
h opoÐa dÐnei
E(L) =1
θ· µ2
2µ1
, (62)
qrhsimopoi¸ntac th mèsh tim thc gewmetrik c,
E(K) =1
θ.
EpÐshc, qrhsimopoi¸ntac th sqèsh
V ar(L) = EK [V arL(L|K)] + V arK [EL(L|K)]
mporoÔme na upologÐsoume th diakÔmansh thc L. Gia mÐa gewmetrik t.m.
me pijanìthta epituqÐac p, h diakÔmansh eÐnai q/p2, ed¸ gia to K èqoume
p = θ/(1 + θ), opìte paÐrnoume
V ar(K) =1
1+θ(θ
1+θ
)2 =1 + θ
θ2.
Qrhsimopoi¸ntac ta parap�nw, brÐskoume (met� apì pr�xeic) ìti
V ar(L) =µ3
3θµ1
+
(µ2
2θµ1
)2
. (63)
'Askhsh 'Estw L h mègisth swreutik ap¸leia sto klasikì upìdeigma kai
ψ(u) h sun�rthsh pou dÐnei thn pijanìthta qreokopÐac me arqikì apojematikì
u.
98
Na apodeiqjeÐ ìti gia th mèsh tim thc L isqÔei h sqèsh
E(L) =
∫ ∞0
ψ(x)dx.
Genikìtera, gia thn k−t�xhc rop thc L gÔrw apì to mhdèn, ìpou k jetikìc
akèraioc, na deiqteÐ ìti
E(Lk) =
∫ ∞0
kxk−1ψ(x)dx.
11 Fr�gmata kai proseggÐseic
11.1 'Ena k�tw fr�gma gia thn pijanìthta qreokopÐac
'Eqoume deÐxei ìti h pijanìthta qreokopÐac ikanopoieÐ thn (elleimmatik )
ananewtik exÐswsh
ψ(u) =1
1 + θH(u) +
1
1 + θ
∫ u
0
ψ(u− t)dH(t).
QrhsimopoioÔme t¸ra ìti h ψ(u) eÐnai fjÐnousa sun�rthsh wc proc u. 'Ara
gia 0 ≤ t ≤ u⇒ 0 ≤ u− t ≤ u, isqÔei ψ(u− t) ≥ ψ(u). Antikajist¸ntac to
fr�gma autì sthn ananewtik exÐswsh, paÐrnoume
ψ(u) ≥ 1
1 + θH(u) +
1
1 + θψ(u)
∫ u
0
dH(t)
=1
1 + θH(u) +
1
1 + θψ(u)H(u).
LÔnontac thn anÐswsh wc proc ψ(u), blèpoume ìti
ψ(u)− 1
1 + θψ(u)H(u) ≥ 1
1 + θH(u),
to opoÐo dÐnei
ψ(u) ≥1
1+θH(u)
1− 11+θ
H(u)=
H(u)
1 + θ −H(u)
99
To fr�gma mporeÐ epÐshc na grafeÐ wc
ψ(u) ≥ H(u)
θ +H(u).
Autì eÐnai èna k�tw fr�gma gia thn pijanìthta qreokopÐac to opoÐo isqÔei
opoiad pote kai an eÐnai h katanom twn apozhmi¸sewn. 'Ena pleonèkthma,
sunep¸c, pou èqei se sqèsh p.q. me thn anisìthta tou Lundberg (p�nw
fr�gma gia to ψ(u)) eÐnai ìti h teleutaÐa sqèsh mporeÐ na efarmosteÐ kai
gia katanomèc me bari� our�, ìtan den up�rqei h ropogenn tria kai epomènwc
kai o suntelest c prosarmog c R.
11.2 Treic proseggÐseic gia thn pijanìthta qreokopÐac
Efìson o analutikìc upologismìc thc pijanìthtac qreokopÐac ψ(u) den eÐnai
dunatìc sth genik perÐptwsh, èqoun anaptuqjeÐ di�forec proseggistikèc
mèjodoi gia thn pijanìthta aut . Exet�zoume sth sunèqeia treic tètoiec
mejìdouc:
1. H prosèggish Beekman - Bowers
SÔmfwna me th mèjodo aut , mporoÔme na proseggÐsoume thn pijanìthta
qreokopÐac me thn our� miac katanom c G�mma me paramètrouc α, β, dhlad
jewroÔme thn prosèggish
ψ(u) ∼=1
1 + θ[1−G(u)] (64)
ìpou G eÐnai h ajroistik sun�rthsh thc Ga(α, β).
• P¸c ja upologÐsoume ta α, β;
'Estw Λ mÐa t.m. me m�za θ/(1+θ) sto mhdèn, en¸ sto (0,∞) h Λ eÐnai suneq c
me puknìthta thn puknìthta thc Ga(α, β) pollaplasiasmènh epÐ 1/(1 + θ).
100
SÔmfwna me thn (64), sthn prosèggish twn Beekman-Bowers proseggÐzoume
thn katanom thc mègisthc swreutik c ap¸leiac, L, apì aut n thc Λ. Gia na
upologÐsoume tic paramètrouc α, β thc katanom c G�mma, exis¸noume tic dÔo
pr¸tec ropèc twn L kai Λ, dhlad qrhsimopoioÔme tic sqèseic
E(L) = E(Λ), V ar(L) = V ar(Λ),
ìpou oi dÔo ropèc gia thn L dÐnontai apì tic sqèseic (62) kai (63).
Epeid to suneqèc tm ma thc Λ eÐnai mÐa katanom Ga(α, β) diairemènh me 1+θ,
h mèsh tim kai diakÔmansh thc Λ ja eÐnai
E(Λ) =1
1 + θ
α
β, V ar(Λ) =
(1
1 + θ
)2α
β2.
Sunep¸c oi par�metroi α, β upologÐzontai epilÔontac to sÔsthma
µ2
2θµ1
=1
1 + θ
α
β
kaiµ3
3θµ1
+
(µ2
2θµ1
)2
=
(1
1 + θ
)2α
β2.
To sÔsthma autì eÐnai mh grammikì wc proc α, β. MporeÐ ìmwc na
epilujeÐ eÔkola an diairèsoume tic dÔo parap�nw exis¸seic kat� mèlh, opìte
apaleÐfoume to α kai paÐrnoume mÐa apl grammik exÐswsh wc proc β.
2. H prosèggish De Vylder
SÔmfwna me thn prosèggish aut , antikajistoÔme thn anèlixh {U(t) : t ≥0} me mÐa �llh anèlixh {U(t) : t ≥ 0} h opoÐa èqei perij¸rio asf�leiac θ,
èntash thc anèlixhc Poisson λ kai gia thn opoÐa jewroÔme ìti h katanom twn
apozhmi¸sewn eÐnai h ekjetik (sunep¸c h antÐstoiqh pijanìthta qreokopÐac,
ψ(u), mporeÐ na brejeÐ analutik�, ìpwc deÐxame prohgoumènwc). H pijanìthta
qreokopÐac ψ(u) gia thn U(t) kai gia mÐa dojeÐsa katanom apozhmi¸sewn
proseggÐzetai apì thn pijanìthta qreokopÐac ψ(u) gia thn anèlixh {U(t), t ≥0} me ekjetikèc apozhmi¸seic.
101
Sugkekrimèna, h pijanìthta ψ(u) dÐnetai apì th sqèsh
ψ(u) =1
1 + θe−Ru =
1
1 + θe− θ
(1+θ)µ1u,
µ1 ed¸ eÐnai h mèsh tim thc ekjetik c katanom c pou qrhsimopoieÐtai sthn
prosèggish.
Gia na upologistoÔn ta µ1, θ kai λ, h sunj kh pou èjese o De Vylder eÐnai
ìti gia t ≥ 0, oi treic pr¸tec ropèc tou pleon�smatoc, U(t) gia thn arqik
anèlixh kai U(t) gia thn proseggistik anèlixh, na eÐnai Ðsec. Dhlad , ja
prèpei na isqÔei h sqèsh
E[U(t)k
]= E
[U(t)k
]gia k = 1, 2, 3.
'Estw µ2, µ3 h deÔterh kai h trÐth rop antÐstoiqa thc ekjetik c pou
qrhsimopoioÔme sthn prosèggish. Tìte, jètontac t = 1 sthn teleutaÐa sqèsh,
prokÔptei to parak�tw sÔsthma tri¸n exis¸sewn:
θλµ1 = θλµ1,
λµ2 = λµ2, (65)
λµ3 = λµ3.
Oi timèc twn µ1, θ kai λ gia thn prosèggish upologÐzontai lÔnontac to
sÔsthma autì.
ShmeÐwsh Sto sÔsthma autì, oi �gnwstoi eÐnai mìno ta µ1, θ kai λ,
diìti gia thn ekjetik katanom oi ropèc deÔterhc kai trÐthc t�xhc µ2, µ3
prosdiorÐzontai apì thn par�metro thc katanom c, sunep¸c orÐzontai monadik�
an gnwrÐzoume th mèsh tim µ1.
UpenjÔmish An h t.m. Y akoloujeÐ mÐa katanom Exp(β), tìte isqÔei
E(Y r) =r!
βr,
102
sunep¸c sthn prosèggish De Vylder parap�nw ta µ1, µ2, µ3 sundèontai me
tic sqèseic
µ2 = 2µ21
kai
µ3 = 6µ31.
Me b�sh tic sqèseic autèc, to sÔsthma twn exis¸sewn (65) gÐnetai
θλµ1 = θλµ1, (66)
2λµ21 = λµ2,
6λµ31 = λµ3. (67)
Diair¸ntac tic dÔo teleutaÐec sqèseic paÐrnoume
3µ1 =µ3
µ2
⇒ µ1 =µ3
3µ2
to opoÐo shmaÐnei ìti h par�metroc thc ekjetik c sthn prosèggish eÐnai
3µ2/µ3.
Antikajist¸ntac sthn (67) blèpoume ìti
λ =λµ3
6µ31
=λµ3
6(µ33µ2
)3 =9λµ3
2
2µ23
.
Tèloc, antikajist¸ntac sthn (66) brÐskoume ìti
θ =2µ1µ3θ
3µ22
.
Par�deigma 11.1 'Estw ìti sto klasikì montèlo, oi apozhmi¸seic èqoun
puknìthta th meÐxh dÔo ekjetik¸n katanom¸n,
f(x) =1
23e−3x +
1
24e−4x.
Gia λ = 1, c = 1, na brejeÐ h prosèggish gia thn pijanìthta qreokopÐac me
th mèjodo De Vylder.
103
LÔsh H mèsh tim twn apozhmi¸sewn eÐnai
µ1 =1
2· 1
3+
1
2· 1
4=
7
24= 0, 2917.
To perij¸rio asf�leiac eÐnai
θ =c
λµ1
− 1− =17
7= 2, 4286.
H deÔterh rop twn apozhmi¸sewn isoÔtai me
µ2 = 2!
[1
2
(1
3
)2
+1
2
(1
4
)2]
=25
144= 0, 1736.
Parìmoia, h trÐth rop brÐsketai ìti eÐnai
µ3 = 3!
[1
2
(1
3
)3
+1
2
(1
4
)3]
=91
576= 0, 1580.
BrÐskoume sunep¸c ìti
µ1 =µ3
3µ2
= 0, 3033,
λ =9λµ3
2
2µ23
= 0, 9434,
kai
θ =2µ1µ3θ
3µ22
= 2, 4752.
'Ara me antikat�stash twn parap�nw tim¸n prokÔptei ìti h prosèggish gia
thn pijanìthta qreokopÐac eÐnai
ψ(u) =1
1 + θe− θ
(1+θ)µ1u
= 0, 2878e−2,442u. (68)
ParathroÔme ìti to λ de qrhsimopoieÐtai ston telikì tÔpo, all� mìno
endi�mesa gia ton upologismì �llwn posot twn.
104
Sthn perÐptwsh tou paradeÐgmatoc, ìtan dhlad oi apozhmi¸seic akoloujoÔn
mÐa meÐxh dÔo ekjetik¸n katanom¸n, ìpwc èqoume dei h pijanìthta qreokopÐac
mporeÐ na upologisteÐ analutik�. 'Eqei epomènwc endiafèron na sugkrÐnoume
ton akrib tÔpo gia thn pijanìthta aut me ton tÔpo pou br kame parap�nw
apì thn prosèggish De Vylder, gia na doÔme pìso ikanopoihtik eÐnai h
prosèggish sthn perÐptwsh aut . Autì gÐnetai sth sunèqeia.
Par�deigma 11.2 (Axiolìghsh thc prosèggishc De Vylder � sunèqeia
apì to prohgoÔmeno par�deigma)
Gia ta dedomèna tou prohgoÔmenou paradeÐgmatoc, upologÐzoume ton akrib
tÔpo gia thn pijanìthta qreokopÐac, ψ(u), me to gnwstì trìpo.
H pijanìthta qreokopÐac (gia meÐxh dÔo ekjetik¸n) eÐnai:
ψ(u) = C1e−r1u + C2e
−r2u, (69)
ìpou ta r1, r2 eÐnai oi rÐzec thc exÐswshc tou Lundberg. H mèsh tim twn
apozhmi¸sewn brèjhke parap�nw ìti eÐnai µ1 = 7/24, en¸ to perij¸rio
asfaleÐac sto montèlo eÐnai θ = 17/7.
Efìson h katanom twn apozhmi¸sewn eÐnai mÐa meÐxh dÔo ekjetik¸n katanom¸n,
blèpoume ìti h ropogenn tria twn apozhmi¸sewn eÐnai mÐa meÐxh (me b�rh 1/2
kai 1/2) twn ropogennhtri¸n dÔo ekjetik¸n katanom¸n me paramètrouc 3 kai
4, antÐstoiqa.
Sunep¸c, paÐrnoume ìti
MX(r) =1
2· 3
3− r+
1
2· 4
4− r.
'Etsi apì thn exÐswsh Lundberg
1 + (1 + θ)µ1r = MX(r)
prokÔptei ìti
1 + (1 +17
7)
7
24r =
1
2· 3
3− r+
1
2· 4
4− r,
105
h opoÐa mac dÐnei
1 + r =3
2(3− r)+
4
2(4− r)
=3(4− r) + 4(3− r)
2(3− r)(4− r).
Me apaloif twn paronomast¸n, h teleutaÐa sqèsh gr�fetai isodÔnama
2(3− r)(4− r)(1 + r) = 12− 3r + 12− 4r
= 24− 7r.
Met� apì k�poiec pr�xeic, blèpoume ìti prokÔptei h exÐswsh trÐtou bajmoÔ wc
proc r,
2r3 − 12r2 + 17r = 0.
H mÐa rÐza eÐnai, profan¸c, to mhdèn, h opoÐa aporrÐptetai. Oi �llec dÔo rÐzec
thc exÐswshc eÐnai oi lÔseic thc deuterob�jmiac
r2 − 12r + 17 = 0.
Apì thn teleutaÐa exÐswsh prokÔptoun dÔo jetikèc rÐzec pou eÐnai r1 = 6−√
19
kai r2 = 6 +√
19. Sth sunèqeia, brÐskoume tic stajerèc C1 kai C2 lÔnontac
to sÔsthma :
C1 + C2 =1
1 + θ,
r1C1 + r2C2 =θ
(1 + θ)2µ2
.
Me antikat�stash twn tim¸n twn r1, r2, θ kai µ1 prokÔptei isodÔnama to
sÔsthma:
C1 + C2 =7
24
(6−√
19)C1 + (6 +√
19)C2 =17
24.
106
Met� apì k�poiec pr�xeic, brÐskoume ìti h lÔsh tou sust matoc eÐnai
C1 =7
48+
25√
19
912, C2 =
7
48− 25
√19
912.
'Etsi telik� paÐrnoume ìti h pijanìthta qreokopÐac sto montèlo dÐnetai apì th
sqèsh (69), ìpou oi timèc twn r1, r2, C1, C2 èqoun brejeÐ parap�nw.
Sto Sq ma 9 parousi�zontai grafik� tìso h akrib c sun�rthsh gia thn
pijanìthta qreokopÐac (me suneq gramm ) ìso kai h prosèggish De Vylder
apì th sqèsh (68). Blèpoume ìti h prosèggish eÐnai arket� ikanopoihtik
(an kai ìqi exairetik ), efìson oi dÔo kampÔlec brÐskontai arket� kont� sto
megalÔtero eÔroc tim¸n gia to arqikì apojematikì u.
3. H prosèggish tou Tijms
O Tijms prìteine h pijanìthta qreokopÐac, sthn perÐptwsh pou den mporeÐ na
upologisteÐ analutik�, na proseggÐzetai apì thn antÐstoiqh pijanìthta pou
antistoiqeÐ se mÐa meÐxh ekjetik¸n katanom¸n.
Sugkekrimèna, h prosèggish pou prìteine èqei th morf
ψT (u) =
(1
1 + θ− C
)e−γu + Ce−Ru, (70)
ìpou R eÐnai o suntelest c prosarmog c, C eÐnai h stajer� ston asumptwtikì
tÔpo twn Cramer - Lundberg kai to γ upologÐzetai apì th sqèsh
γ =
(1
1 + θ− C
)(1
θµ2
∫ ∞0
xF (x)dx− C
R
)−1. (71)
Up�rqoun dÔo idiìthtec aut c thc prosèggishc pou axÐzei na anafèroume:
(a) Epeid ston parap�nw tÔpo gia to ψT (u) isqÔei ìti R < γ, �ra o deÔteroc
ìroc sugklÐnei pio arg� sto mhdèn apì ìti o pr¸toc (gia u→∞), isqÔei ìti
ψT (u) ∼ Ce−Ru.
107
0 2 4 6 8
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
0.3
0
u
psi(u
)
Sq ma 9: Grafik par�stash thc akriboÔc sqèshc gia thn pijanìthta
qreokopÐac (suneq c gramm ) kai thc prosèggishc De Vylder (diakekommènh
gramm ) gia mia meÐxh dÔo ekjetik¸n katanom¸n.
108
SugkrÐnontac ton parap�nw tÔpo me ton asumptwtikì tÔpo twn Cramer –
Lundberg, blèpoume ìti h prosèggish ψT (u) gia thn pijanìthta qreokopÐac
ψ(u) èqei p�nta th swst asumptwtik sumperifor� (arkeÐ bèbaia na up�rqei
o suntelest c prosarmog c sto montèlo).
(b) Jètontac u = 0 ston tÔpo gia to ψT (u), paÐrnoume ìti
ψT (0) =
(1
1 + θ− C
)+ C =
1
1 + θ,
dhlad blèpoume ìti h prosèggish eÐnai p�nta akrib c gia u = 0, efìson
èqoume dei ìti isqÔei ψ(0) = (1 + θ)−1.
'Ena meionèkthma pou èqei h prosèggish tou Tijms eÐnai ìti gia na efarmosteÐ,
ja prèpei na up�rqei all� kai na eÐnai gnwstìc analutik� o suntelest c
prosarmog c sto montèlo. Apì thn �llh pleur�, an isqÔei autì, tìte ektìc
apì tic dÔo idiìthtec pou anafèrjhkan parap�nw, axÐzei na anafèroume ìti h
prosèggish eÐnai akrib c gia ìlec tic timèc tou u (dhlad isqÔei ψT (u) = ψ(u)
gia k�je u ≥ 0) ìtan h katanom twn apozhmi¸sewn F an kei se mÐa apì
tic ex c treic oikogèneiec katanom¸n: (a) ekjetik , (b) meÐxh dÔo ekjetik¸n
katanom¸n kai (g) sunèlixh dÔo ekjetik¸n katanom¸n, dhlad h F eÐnai mÐa
Ga(2, β) katanom gia k�poio β > 0.
Par�deigma 11.3 Sto Par�deigma 7.7 upologÐsame thn prosèggish Cramer
– Lundberg gia thn pijanìthta qreokopÐac sthn perÐptwsh pou h katanom twn
apozhmi¸sewn èqei puknìthta
f(x) =1
3e−x +
2
3e−2x + e−3x, x ≥ 0.
Jewr¸ntac ìti λ = c = 4, ìpwc sto Par�deigma 7.7, na brejeÐ h prosèggish
gia thn pijanìthta qreokopÐac me th mèjodo tou Tijms.
LÔsh Oi posìthtec µ1, θ, C,R pou apaitoÔntai gia ton upologismì thc
sun�rthshc ψT (u) ston tÔpo (70) èqoun upologisteÐ dh sto Par�deigma
109
7.7. Sunep¸c, to mìno pou mènei na brejeÐ eÐnai to γ, apì th sqèsh
(71). UpologÐzoume pr¸ta to olokl rwma sth sqèsh aut . BrÐskoume
sugkekrimèna ìti∫ ∞0
xF (x)dx =1
3
∫ ∞0
x(e−x + e−2x + e−3x
)dx
=1
3
(∫ ∞0
x e−x dx+
∫ ∞0
x e−2x dx+
∫ ∞0
x e−3x dx
)=
1
3
(1 +
1
4+
1
9
)=
49
108.
Antikajist¸ntac thn tim aut , kaj¸c kai tic timèc twn µ1, θ, C,R sth sqèsh
(70), met� apì k�poiec aplèc pr�xeic brÐskoume ìti
γ = 1,925725.
Sto Sq ma 10 parist�nontai h akrib c tim gia thn pijanìthta qreokopÐac
(maÔrh gramm ), h prosèggish gia thn pijanìthta aut me b�sh th mèjodo
tou Tijms (mple gramm ) kai h prosèggish apì ton tÔpo twn Cramer –
Lundberg (kìkkinh gramm ). ParathroÔme ìti oi dÔo pr¸tec kampÔlec
ousiastik� den diakrÐnontai sto sq ma, k�ti pou shmaÐnei ìti h prosèggish
tou Tijms eÐnai exairetik sthn prokeimènh perÐptwsh. Sthn pragmatikìthta,
to posostiaÐo sf�lma apì thn prosèggish tou Tijms sto sugkekrimèno
par�deigma eÐnai p�ntote (dhlad gia ìlec tic timèc tou u) mikrìtero apì 0,2%.
Se antidiastol , to sf�lma apì thn prosèggish twn Cramer – Lundberg, eÐnai
mikrìtero apì 1% mìno gia u ≥ 1,8.
Genik�, èqei brejeÐ ìti h prosèggish tou Tijms dÐnei ikanopoihtik� apotelès-
mata ìtan θ < 4, en¸ gia timèc tou θ mikrìterec thc mon�dac (k�ti to opoÐo
isqÔei p�nta sthn pr�xh) h prosèggish eÐnai, sqedìn p�nta, exairetik . 2
Ask seic
1. Na apodeÐxete ìti isqÔei R < γ, ìpou to γ eÐnai h stajer� pou
110
Sq ma 10: Akrib c tim gia thn pijanìthta qreokopÐac (maÔrh gramm ),
prosèggish twn Cramer – Lundberg (kìkkinh gramm ) kai prosèggish tou
Tijms (mple gramm ) gia to Par�deigma 11.3.
111
qrhsimopoieÐtai apì thn prosèggish tou Tijms kai orÐzetai apì th
sqèsh (71).
2. 'Estw ìti h puknìthta twn apozhmi¸sewn sto klasikì montèlo eÐnai
f(x) =e−x
3+ 4e−6x.
An dÐnontai ìti c = 1, λ = 2, zhtoÔntai ta ex c.
(i) Na brejeÐ h akrib c sqèsh gia thn pijanìthta qreokopÐac ψ(u).
(ii) Na apodeiqteÐ ìti gia k�je u isqÔei ψT (u) = ψ(u), ìpou ψT (u) eÐnai
h prosèggish tou Tijms.
Parat rhsh
AxÐzei na shmeiwjeÐ ìti kai oi treic proseggÐseic (Beekman-Bowers, De
Vylder kai Tijms) eÐnai ikanopoihtikèc ìtan h katanom twn apozhmi¸sewn
èqei elafri� our�. Sthn perÐptwsh pou oi apozhmi¸seic èqoun bari� our�, ta
apotelèsmata apì tic proseggÐseic den eÐnai ikanopoihtik�.
Gia katanomèc me bari� our�, èna basikì apotèlesma gia thn pijanìthta
qreokopÐac dÐnetai apì th sqèsh
ψ(u) ∼ 1
θH(u),
ìpou H(u) = 1 − H(u) eÐnai h our� thc katanom c thc pt¸shc tou
pleon�smatoc kai to sÔmbolo ∼ shmaÐnei kai p�li ìti o lìgoc tou tou
aristeroÔ me to dexiì mèloc thc parap�nw sqèshc sugklÐnei sth mon�da gia
u→∞. Epeid deÐxame ìti
H(u) =1
µ1
∫ u
0
[1− F (x)] dx
⇒ H(u) = 1− 1
µ1
∫ u
0
[1− F (x)] dx =1
µ1
∫ ∞u
[1− F (x)] dx,
blèpoume ìti h asumptwtik sqèsh gr�fetai
ψ(u) ∼ 1
θµ1
∫ ∞u
[1− F (x)] dx.
112