1

การวิ�เคราะห์การประมาณค�าพาราม�เตอรของการการแจกแจงแจงพ�วิซอง

โดยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด วิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล และวิ�ธี�ของเบสู

อ�ชฌา อระวิ�พร

สูาขาวิ�ชาสูถิ�ต� คณะวิ�ทยาศาสูตร

สูถิาบ�นเทคโนโลย�พระจอมเกล+าเจ+าค!ณทห์ารลาดกระบ�ง

บทค�ดย�อ

การวิ�จ�ยคร�,งน�,ม�วิ�ตถิ!ประสูงคเพ-.อวิ�เคราะห์การประมาณค�าพาราม�เตอรของการแจกแจงพ�วิซอง โดยวิ�ธี�ภาวิะน�าจะเป�นสู งสู!ด วิ�ธี�มารโคฟเชนมอนต�คารโล และวิ�ธี�ของเบสู จากการจ0าลองข+อม ลให์+ม�การแจกแจงพ�วิซองค�าพาราม�เตอร ( ) เท�าก�บ 0.5 2 5 10 และ 20 เม-.อขนาดต�วิอย�าง 5 10 30 50 100 และ 200 จากการทดสูอบสูมมต�ฐานสูร!ปได+วิ�าวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดให์+ค�าเฉล�.ยของต�วิประมาณค�าพาราม�เตอรม�ค�าเท�าก�บค�าพาราม�เตอรท!กกรณ� แต�วิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล และวิ�ธี�ของเบสู ให์+ค�าเฉล�.ยของต�วิประมาณค�าพาราม�เตอรม�ค�าเท�าก�บค�าพาราม�เตอรเม-.อค�าพาราม�เตอรและขนาดต�วิอย�างม�ค�ามาก แต�เม-.อพ�จารณาค�าเฉล�.ยควิามคลาดเคล-.อนก0าล�งสูองพบวิ�าวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดให์+ค�าต0.าสู!ดเม-.อ ค�าพาราม�เตอรและขนาดต�วิอย�างม�ค�าไม�มาก สู�วินวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล และวิ�ธี�ของเบสู ให์+ต0.าสู!ดเม-.อค�าพาราม�เตอรและขนาดต�วิอย�างม�ค�ามาก

2

ค0าสู0าค�ญ : วิ�ธี�ภาวิะน�าจะเป�นสู งสู!ด วิ�ธี�มารโคฟเชนมอนต�คารโล วิ�ธี�ของเบสู

1.บทนำ��

ในป6จจ!บ�นม�ข+อม ลเก�ดข7,นในแต�ละวิ�นมากมาย แต�ในควิามเป�นจร�งไม�สูามารถิท�.จะทราบห์ร-อ

รวิบรวิมข+อม ลท�,งห์มด(ประชากร)ได+เน-.องจากม�ข+อจ0าก�ดในเร-.องของระยะเวิลา งบประมาณ แรงงาน ท0าให์+การศ7กษาข+อม ลท�,งห์มดเป�นไปได+ยาก ซ7.งค�าท�.ใช+ในศ7กษาค�าประชากรเร�ยกวิ�าค�าพาราม�เตอร การศ7กษาข+อม ลเพ�ยงบางสู�วิน(ต�วิอย�าง) เพ-.อเป�นต�วิแทนค�าพาราม�เตอรค-อค�าต�วิประมาณ ซ7.งค�าน�,ใช+อธี�บายล�กษณะข+อม ลท�,งห์มด เร�ยกวิ�า การอน!มานเช�งสูถิ�ต�

การประมาณค�าแบบจ!ด (Point Estimation) เป�นสู�วินห์น7.งของสูถิ�ต�เช�งอน!มานเช�งสูถิ�ต� ในการประมาณค�าพาราม�เตอรจากข+อม ลท�,งห์มด ด+วิยค�าเพ�ยงค�าเด�ยวิ จากข+อม ลเพ�ยงบางสู�วิน โดยท�.การประมาณค�าแบบจ!ดม�เกณฑ์ท�.ใช+วิ�ดค!ณภาพของต�วิประมาณได+แก� ควิามแนบน�ย (Consistency) ควิามไม�เอนเอ�ยง (Unbiased) ควิามม�ประสู�ทธี�ภาพ (Efficiency) และต�วิประมาณไม�เอนเอ�ยงท�.ม�ค�าควิามแปรปรวินต0.าสู!ด (Minimum Variance Unbiased Estimator) การประมาณค�า

3

แบบจ!ดม�ห์ลายวิ�ธี� เช�น วิ�ธี�โมเมนต วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด วิ�ธี�ไควิสูแควิรต0.าสู!ด วิ�ธี�ก0าล�งสูองต0.าสู!ด และวิ�ธี�ของเบสู

วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดและวิ�ธี�ก0าล�งสูองน+อยท�.สู!ดให์+ต�วิประมาณค�าพาราม�เตอร ( ) ของการแจกแจงพ�วิซองเห์ม-อนก�นและต�วิประมาณท�.ได+เป�นต�วิประมาณท�.ไม�เอนเอ�ยงและม�ค�าควิามแปรปรวินต0.าสู!ด สู�วินวิ�ธี�ของเบสูม�การพ�จารณาร ปแบบการแจกแจงของค�าพาราม�เตอร ห์ร-อท�.เร�ยกวิ�า ฟ6งกช�นการแจกแจงก�อน (Prior Distribution Function) เพ-.อประมาณค�าพาราม�เตอรจากฟ6งกช�นการแจกแจงควิามน�าจะเป�นเม-.อก0าห์นดข+อม ลซ7.งเร�ยกวิ�า ฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�ง (Posterior

Distribution Function) จากฟ6งกช�นการแจกแจงก�อน ม�ค�าพาราม�เตอรท�.อย �ในฟ6งกช�นการประมาณค�าเห์ล�าน�,งานวิ�จ�ยสู�วินให์ญ�จะพ�จาณาร ปแบบพาราม�เตอรท!กกรณ� ซ7.งค�อนข+างย!�งยากแต�วิ�ธี�ของมารคอฟ เชน มอนต�คารโล สูามารถิประมาณค�าเห์ล�าน�,ได+และย�งสูามารถิน0าไปใช+ในการประมาณค�าพาราม�เตอรต�อได+อ�กด+วิย

จากแนวิค�ดด�งกล�าวิผู้ +วิ�จ�ยจ7งม�ควิามสูนในท�.จะศ7กษาการประมาณค�าพาราม�เตอรของการแจกแจงพ�วิซองด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด วิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล และวิ�ธี�ของเบสู โดยการจ0าลองข+อม ลตามสูถิานการณต�างๆและเปร�ยบเท�ยบการประมาณค�าพาราม�เตอรของท�,ง 3

วิ�ธี�

2.วิ�ธีก�รประม�ณค่��พ�ร�ม�เตอร�

การประมาณค�าพาราม�เตอร ( ) ของการแจกแจงพ�วิซอง ประกอบด+วิย 3 วิ�ธี� ด�งน�,

4

2.1 วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด (Maximum Likelihood

Method)

วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดเป�นการประมาณพาราม�เตอรท�.น�ยมใช+ก�นมากเน-.องจากสูะดวิกและรวิดเร<วิในการค0านวิณ วิ�ธี�น�,เป�นการห์าต�วิประมาณค�าท�.ท0าให์+ฟ6งกช�นควิรจะเป�น (Likelihood function)

ม�ค�าสู งสู!ด )ต�วิแปร X ม�การแจกแจงแบบพ�วิซองด+วิยค�าพาราม�เตอร

ม�ฟ6งกช�นการแจกแจงควิามน�าจะเป�น

ฟ6งกช�นควิามห์นาแน�นร�วิมของต�วิแปร X เข�ยนแทนด+วิย ห์ร-อ

=

ต�วิประมาณควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดของ ห์าได+ด�งน�,

=

=

= = 0

=

=

5

และ

ด�งน�,น ต�วิประมาณควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดของ ค-อ

2.2 วิ�ธี�ของเบสู (Bayes Method)

ต�วิแปร X ม�การแจกแจงแบบพ�วิซองด+วิยค�าพาราม�เตอร ซ7.งเป�นค�าพาราม�เตอร ท�.ต+องการประมาณสูามารถิเข�ยนได+ในร ปแบบฟ6งกช�นการแจกแจงควิามน�าจะเป�นด�งน�,

(1)

โดยฟ6งกช�นภาวิะควิามน�าจะเป�นสูามารถิเข�ยนได+เป�น

(2)

ฟ6งกช�นการแจกแจงโดยก�อนเป�นการแจกแจงแกมมา ท�.ค�าพาราม�เตอร a และ b

(3)

จะได+ฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�งด�งน�,

=

6

= (4)

ค�าคงท�.ท�.ไม�ข7,นก�บค�าพาราม�เตอร ถิ กห์ารท�,งจะเห์ล-อแค�

=

พ�จารณาเทอมสู�วิน ในร ปแบบฟ6งกช�นแกมมา

=

จะได+วิ�า

ด�งน�,น ฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�งค-อ

=

ค�าเฉล�.ยของ จากการแจกแจงภายห์ล�งค-อ

7

ต�วิประมาณ จากวิ�ธี�ของเบสู ค-อ

2.3 วิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล (Markov Chain Monte

Carlo: MCMC)

วิ�ธี�การวิ�เคราะห์ด+วิยวิ�ธี�ของเบสูเป�นการพ�จารณาพาราม�เตอรให์+อย �ในร ปของต�วิแปร เช�น ฟ6งกช�นการแจกแจงก�อน และฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�ง โดยท�.ฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�งม�ควิามเก�.ยวิข+องก�บห์ลายต�วิแปรท0าให์+ม�ควิามย!�งยากในการประมาณค�าพาราม�เตอร น�กสูถิ�ต�จ7งได+พ�ฒนาวิ�ธี�การจ0าลองข+อม ลจากการสู!�มต�วิอย�างจากฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�ง เร�ยกวิ�ธี�น�,วิ�า วิ�ธี� MCMC วิ�ธี�การน�,เป�นกระบวินการสู!�มต�วิอย�างด+วิยวิ�ธี�ก�บสู (Gibbs Sampling) ซ7.งเป�นท�.น�ยมมากเพราะเป�นการสู!�มต�วิอย�างท�.พ�จารณาท!กๆค�าท�.เก�ดข7,น

โปรแกรมวิ�นบ�>กเป�นโปรแกรมท�.ใช+วิ�ธี�ของ MCMC (Gilks et al.,

1996)ในการวิ�เคราะห์ต�วิแบบเบสูโดยกระบวินการสู!�มต�วิอย�างด+วิยวิ�ธี�ก� บ สู (Gibbs Sampling) (Geman and Geman, 1984 ; Gelfand and Smith, 1990; Casella and George,

8

1992) ในการประมาณค�าพาราม�เตอรจากฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�ง

ก0าห์นดต�วิแปร X ม�การแจกแจงแบบพ�วิซองด+วิยค�าพาราม�เตอร และ ม�การแจกแจงแกมมาด+วิยค�าพาราม�เตอร และ ซ7.งค�า

พาราม�เตอรท�.ต+องการประมาณม� 3 ต�วิค-อ และ

ข�,นตอนการสูร+างสู!�มต�วิอย�างจากจากวิ�ธี� มารคอฟ เชน มอนต�คารโล ประกอบด+วิย1. ก0าห์นดค�าเร�.มต+น จากฟ6งกช�นการแจกแจงเอกซโปเนนเช�ยล และ

จากฟ6งกช�นการแจกแจงแกมมา2. สูร+างค�าจากข+อ 1. มา T ค�า เม-.อ t = 1,2,…,T

3. สูร+างค�า จากฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�งของการแจกแจงแกมมาท�.ค�าพาราม�เตอร และ ท�.ได+จากข+อ 1.

4. สูร+างกราฟเพ-.อด ล�กษณะการแจกแจงของฟ6งกช�นการแจกแจงภายห์ล�ง5. ค0านวิณค�าเฉล�.ย ค�ากลาง ค�าสู�วินเบ�.ยงเบนมาตรฐาน จากฟ6งกช�นการ

แจกแจงภายห์ล�ง

สูามารถิประมาณค�า ได+โดย

นอกจากน�,ย�งสูามารถิประมาณค�า และ เพ-.อไปใช+สู0าห์ร�บวิ�ธี�ของเบสูโดย

และ

ด�งน�,นจากวิ�ธี�ของเบสูสูามารถิประมาณค�า ได+ด�งน�,

3.ขอบเขตของก�รวิ�จั�ย

9

ขอบเขตของการวิ�จ�ยประกอบเป�นการศ7กษาการจ0าลองข+อม ลเพ-.อตรวิจสูอบการประมาณค�าของท�,ง 3 วิ�ธี�จากต�วิประมาณ

,

,

.

3.1 ข�,นตอนการจ0าลองข+อม ล

- ก0าห์นดต�วิแปรสู!�ม X ให์+ม�การแจกแจงพ�วิซอง (Poisson

Distribution) ท�.ม�ค�าพาราม�เตอร = 0.5, 2, 5, 10,

และ and 20

- ก0าห์นดการแจกแจงก�อน ให์+ม�การแจกแจงแกมมา (Gamma

Distribution) ท�.ม�ค�าพาราม�เตอร และ โดยม�ฟ6งกช�นการแจกแจงควิามน�าจะเป�น

- ก0าห์นดขนาดต�วิอย�าง n = 5 10 30 50 100 และ 200

- โปรแกรมท�.ใช+ในการวิ�จ�ยคร�,งน�,เข�ยนด+วิยโปรแกรมอาร เวิอรช�น 3.0.1 ซ7.งท0าการทดลองซ0,า 500 คร�,งในแต�ละสูถิานการณ

3.2 สูถิ�ต�ท�.ใช+ในการวิ�จ�ย

ต�วิสูถิ�ต�ท� (t-statistics) เป�นการทดสูอบสูมมต�ฐานของค�าเฉล�.ยต�วิประมาณด+วิยวิ�ธี�ต�างๆ ม�ค�าเท�าก�บค�าพาราม�เตอร ด�งน�,

และ

10

จากต�วิสูถิ�ต� เม-.อ df = n-1

ท�.ระด�บน�ยสู0าค�ญ 0.05 โดยจะปฏิ�เสูธีสูมมต�ฐานถิ+าค�า

และค0านวิณช�วิงควิามเช-.อม�.นของค�าพาราม�เตอรจาก

3.7 เกณฑ์ท�.ใช+ในการวิ�เคราะห์ข+อม ล

ค�าควิามคลาดเคล-.อนก0าล�งสูองเฉล�.ย (Mean Square Error:

MSE) เป�นเกณฑ์ท�.ใช+ในการเปร�ยบเท�ยบของค�าพาราม�เตอรและค�าต�วิประมาณจากวิ�ธี�ต�างๆ โดยค0านวิณจาก

4.ผลก�รวิ�จั�ย

การเปร�ยบเท�ยบการประมาณค�าพาราม�เตอรของการแจกแจงพ�วิซอง โดยการจ0าลองข+อม ลตามค�าพาราม�เตอรและขนาดต�วิอย�าง ผู้ลการวิ�จ�ยท�.ได+แสูดงในร ปแบบของตารางและฮิ�สูโตแกรม

ตารางท�. 1-3 แสูดงผู้ลการประมาณค�าพาราม�เตอรด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด (MLE) วิ�ธี�มารคอฟ เชนมอนต�คารโล (MCMC) และวิ�ธี�ของเบสู (BAYES) โดยท�.คอล�มนท�. 1 แสูดงขนาดต�วิอย�าง คอล�มนท�. 2 แสูดงค�าพาราม�เตอรจากการจ0าลองข+อม ล สู�วินคอล�มนท�.เห์ล-อแสูดงค�าเฉล�.ย ค�าสู�วินเบ�.ยงเบนมาตรฐาน ขอบล�าง ขอบบนของช�วิงควิามเช-.อม�.นของค�าพาราม�เตอร ค�าสูถิ�ต�ท�.และค�าควิามน�าจะเป�นท�.ใช+ในการทดสูอบสูมมต�ฐาน ตามล0าด�บ สู�วินตารางท�. 4 แสูดงค�าควิามคลาดเคล-.อนมาตรฐานต0.าสู!ดของการประมาณค�าพาราม�เตอรท�,ง 3 วิ�ธี�

11

จากตารางท�. 1 พบวิ�าการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด จากผู้ลการทดสูอบสูมมต�ฐานท!กกรณ� แสูดงวิ�าค�าเฉล�.ยของต�วิประมาณค�าพาราม�เตอรม�ค�าเท�าก�บค�าพาราม�เตอร ตารางท�. 2

แสูดงวิ�ธี�การประมาณค�าพาราม�เตอรด+วิยวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโลพบวิ�า ค�าเฉล�.ยของต�วิประมาณค�าพาราม�เตอรม�ค�าไม�เท�าก�บค�าพาราม�เตอร ท�.

ท�.ขนาดต�วิอย�าง n = 5 10 30 และ 50 และท�. ท�.ขนาดต�วิอย�าง n = 10 วิ�ธี�สู!ดท+ายวิ�ธี�ของเบสูแสูดงในตารางท�. 3 พบวิ�า ค�าเฉล�.ยของต�วิประมาณค�าพาราม�เตอรม�ค�าไม�เท�าก�บค�าพาราม�เตอร ท�. และ 2 ท�.ขนาดต�วิอย�าง n = 5 และ 10 และท�. ท�.ขนาดต�วิอย�าง n

= 10 จากร ปท�. 1-15 แสูดงฮิ�สูโตแกรมพบวิ�าสู�วินให์ญ�ม�ล�กษณะเข+าใกล+การแจกแจงแบบปกต�

ต�ร�งท� 1 แสูดงค�าเฉล�.ย ค�าสู�วินเบ�.ยงเบนมาตรฐาน ขอบล�าง ขอบบนของช�วิงควิามเช-.อม�.นของค�าพาราม�เตอร ค�าสูถิ�ต�ท�.และค�าควิามน�าจะเป�นท�.ใช+ในการทดสูอบสูมมต�ฐาน ของวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด

ขนาดต�วิอย�าง

Mean S.D. LCI UCI t-test p-values

n = 5

0.525

1020

0.4924

2.0228

5.0344

9.9056

20.0956

0.3073

0.6809

1.0808

1.4126

1.8971

0.4653

1.9629

4.9394

9.7814

19.9289

0.5194

2.0826

5.1293

10.0297

20.2623

-0.553

00.748

70.711

7-

1.4943

1.1268

0.5805

0.4544

0.4770

0.1357

0.2604

0.52

0.5204

0.2337

0.4998

0.5409

1.9512

0.0515

12

n= 10 51020

2.0186

5.0408

9.9790

20.0206

0.4478

0.6998

1.0070

1.4705

1.9792

4.9793

9.9805

19.8913

2.0579

5.1022

10.0674

20.1498

0.9287

1.3036-

0.4663

0.3132

0.3535

0.1930

0.6412

0.7542

n= 30

0.525

1020

0.5086

2.0006

4.9948

10.0226

20.0502

0.1355

0.2671

0.4209

0.5786

0.7891

0.4966

1.9771

4.9578

9.9717

19.9809

0.5205

2.0241

5.0318

10.0734

20.1196

1.4185

0.0558-

0.2727

0.8733

1.4243

0.1567

0.9555

0.7852

0.3829

0.1550

n= 50

0.525

1020

0.5011

1.9960

4.9969

10.0187

20.0075

0.0984

0.2098

0.3270

0.4348

0.5807

0.4925

1.9776

4.9682

9.9802

19.9564

0.5098

2.0145

5.0256

10.0572

20.0585

0.2634-

0.4176-

0.2079

0.9508

0.2895

0.7924

0.6764

0.8354

0.3391

0.7723

n= 100

0.525

1020

0.5016

2.0085

5.0163

10.0102

20.00

0.0733

0.1371

0.2139

0.3063

0.447

0.4952

1.9965

4.9975

9.9832

19.96

0.5081

2.0206

5.0351

10.0371

20.03

0.5063

1.3986

1.7090

0.7444

0.030

0.6129

0.1626

0.0879

0.4571

0.976

13

06 8 12 99 0 1

n = 200

0.525

1020

0.5006

2.0042

5.0057

10.0140

19.9739

0.0497

0.0981

0.1569

0.2270

0.3169

0.4962

1.9956

4.9919

9.9904

19.9460

0.5050

2.0128

5.0195

10.0303

20.0017

0.2919

0.9709

0.8176

1.0270-

1.8404

0.7705

0.3321

0.4140

0.3049

0.0663

n = 5

mle1

Frequency

0.0 1.2

040

100

n = 10

mle2

Frequency

0.0 1.0

040

80

n = 30

mle3

Frequency

0.2 1.0

060

120

n = 50

mle4

Frequency

0.2 0.8

0100

n = 100

mle5

Frequency

0.3 0.7

040

100

n = 200

mle6

Frequency

0.3 0.6

0100

ร ปท� 1 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด เม-.อ =0.5

n = 5

mle1

Frequency

0 3

0100

n = 10

mle2

Frequency

0.5 2.5

040

80

n = 30

mle3

Frequency

1.0 2.5

050

150

n = 50

mle4

Frequency

1.4 2.6

040

80

n = 100

mle5

Frequency

1.6 2.4

060

120

n = 200

mle6

Frequency

1.7 2.3

040

80

14

ร ปท� 2 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด เม-.อ =2

n = 5

mle1

Frequency

2 6

0100

n = 10

mle2

Frequency

3 6

060

120

n = 30

mle3

Frequency

3.5 6.0

040

80

n = 50

mle4

Frequency

4.0 6.0

040

100

n = 100

mle5

Frequency

4.5 6.0

050

150

n = 200

mle6

Frequency

4.6 5.6

040

100

ร ปท� 3 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด เม-.อ =5

n = 5

mle1

Frequency

6 12

040

100

n = 10

mle2

Frequency

7 11

040

80

n = 30

mle3

Frequency

8 11

0100

n = 50

mle4

Frequency

8.5 11.5

0100200

n = 100

mle5

Frequency

9.0 11.0

040

100

n = 200

mle6Frequency

9.0

050

150

ร ปท� 4 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด เม-.อ =10

n = 5

mle1

Frequency

16 24

040

80

n = 10

mle2

Frequency

16 24

050

150

n = 30

mle3

Frequency

18 21

040

100

n = 50

mle4

Frequency

18 21

050

150

n = 100

mle5

Frequency

18.5 21.5

040

80

n = 200

mle6

Frequency

19.0

040

80

ร ปท� 5 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด เม-.อ =20

ต�ร�งท� 2 แสูดงค�าเฉล�.ย ค�าสู�วินเบ�.ยงเบนมาตรฐาน ขอบล�าง ขอบบน

15

ของช�วิงควิามเช-.อม�.นของค�าพาราม�เตอร ค�าสูถิ�ต�ท�.และค�าควิามน�าจะเป�นท�.ใช+ในการทดสูอบสูมมต�ฐาน ของวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล

ขนาดต�วิอย�าง

Mean S.D. LCI UCI t-test p-values

n = 5

0.525

1020

0.5567

2.0567

5.0431

9.9058

20.0675

0.3084

0.6690

1.0791

1.4062

1.9119

0.5295

1.9980

4.9483

9.7822

19.8995

0.5838

2.1155

5.1379

10.0293

20.2355

4.1100

1.8981

0.8942-

1.4978

0.7896

0.0000*

0.0582

0.3717

0.1348

0.4301

n= 10

0.525

1020

0.5573

2.0399

5.0444

9.9756

20.0145

0.2327

0.4470

0.6975

1.0131

1.4717

0.5368

2.0006

4.9831

9.8866

19.8851

0.5778

2.0792

5.1057

10.0646

20.1438

5.5088

1.9984

1.4246-

0.5372

0.2202

0.0000*

0.0462*

0.1549

0.5924

0.8258

n= 30

0.525

1020

0.5218

2.0048

4.9987

10.0242

20.0590

0.1361

0.2671

0.4208

0.5785

0.7912

0.5099

1.9813

4.9618

9.9733

19.9895

0.5338

2.0283

5.0357

10.0750

20.1285

3.5921

0.4071-

0.0640

0.9356

1.6686

0.0003*

0.6841

0.9490

0.3500

0.0950

0.52

0.5094

0.0984

0.5007

0.5180

2.1387

0.0329*

16

n= 50 51020

1.9956

4.9997

10.0177

20.0145

0.2095

0.3268

0.4390

0.5827

1.9772

4.9710

9.9791

19.9633

2.0140

5.0284

10.0562

20.0657

-0.462

9-

0.0193

0.9018

0.5584

0.6436

0.9846

0.3674

0.5768

n= 100

0.525

1020

0.5053

2.0082

5.0163

10.0102

20.0006

0.0736

0.1367

0.2130

0.3062

0.4491

0.4988

1.9962

4.9990

9.9813

19.9598

0.5118

2.0202

5.0365

10.0352

20.0388

1.6620

1.3507

1.8702

0.6066-

0.0323

0.1054

0.1774

0.0620

0.5444

0.9742

n = 200

0.525

1020

0.5019

2.0052

5.0042

10.0089

19.9729

0.0493

0.0987

0.1564

0.2266

0.3168

0.4976

1.9966

4.9905

9.9889

19.9450

0.5062

2.0139

5.0180

10.0288

20.0007

0.8785

1.1959

0.6096

0.8776-

1.9103

0.3801

0.2323

0.5424

0.3806

0.0560

* แสูดงการปฏิ�เสูธีสูมมต�ฐานท�.ระด�บน�ยสู0าค�ญ 0.05

n = 5

mcmc1

Frequency

0.0 1.5

040

100

n = 10

mcmc2

Frequency

0.0 1.2

040

80

n = 30

mcmc3

Frequency

0.2 1.0

060

120

n = 50

mcmc4

Frequency

0.2 1.0

0100

n = 100

mcmc5

Frequency

0.3 0.7

040

100

n = 200

mcmc6

Frequency

0.3 0.6

0100

17

ร ปท� 6 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล เม-.อ =0.5

n = 5

mcmc1

Frequency

0 3

050

150

n = 10

mcmc2

Frequency

0.5 2.5

040

80n = 30

mcmc3

Frequency

1.0 2.50

60120

n = 50

mcmc4

Frequency

1.4 2.6

040

80

n = 100

mcmc5

Frequency

1.6 2.4

050

150

n = 200

mcmc6

Frequency

1.7 2.3

040

100

ร ปท� 7 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล เม-.อ =2

n = 5

mcmc1

Frequency

2 6

0100

n = 10

mcmc2

Frequency

3 6

050

150

n = 30

mcmc3

Frequency

3.5 6.0

040

80

n = 50

mcmc4

Frequency

4.0 6.0

040

100

n = 100

mcmc5

Frequency

4.5 6.0

0100

n = 200

mcmc6Frequency

4.6 5.6

040

100

ร ปท� 8 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล เม-.อ =5

n = 5

mcmc1

Frequency

6 12

050

150

n = 10

mcmc2

Frequency

7 11

040

80

n = 30

mcmc3

Frequency

8 11

050

150

n = 50

mcmc4

Frequency

8.5 11.5

0100

200

n = 100

mcmc5

Frequency

9.0 11.0

040

100

n = 200

mcmc6

Frequency

9.0

050

150

ร ปท� 9 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล เม-.อ =10

18

n = 5

mcmc1

Frequency

16 24

040

80

n = 10

mcmc2

Frequency

16 240

50150

n = 30

mcmc3

Frequency

18 21

040

100

n = 50

mcmc4

Frequency

18 21

050

150

n = 100

mcmc5

Frequency

18.5 21.5

040

80

n = 200

mcmc6

Frequency

19.0

040

80

ร ปท� 10 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล เม-.อ =20

ต�ร�งท� 3 แสูดงค�าเฉล�.ย ค�าสู�วินเบ�.ยงเบนมาตรฐาน ขอบล�าง ขอบบนของช�วิงควิามเช-.อม�.นของค�าพาราม�เตอร ค�าสูถิ�ต�ท�.และค�าควิามน�าจะเป�นท�.ใช+ในการทดสูอบสูมมต�ฐาน ของวิ�ธี�ของเบสู

ขนาดต�วิอย�าง

Mean S.D. LCI UCI t-test p-values

n = 5

0.525

1020

0.5566

2.0625

5.0482

9.9043

20.0830

0.3069

0.6718

1.0754

1.4101

1.8977

0.5297

2.0035

4.9537

9.7804

19.9162

0.5836

2.1216

5.1427

10.0282

20.2497

4.1290

2.0825

1.0023

1.5268

0.9781

0.0000*

0.0378*

0.3167

0.1300

0.3285

n= 10

0.525

1020

0.5554

2.0408

5.0495

9.9796

20.0169

0.2323

0.4449

0.6976

1.0064

1.4697

0.5349

2.0017

4.9882

9.8912

19.8878

0.5758

2.0799

5.1108

10.0680

20.1461

5.3332

2.0535

1.5866-

0.4523

0.2582

0.0000*

0.0405*

0.1132

0.6513

0.7964

19

n= 30

0.525

1020

0.5207

2.0080

4.9977

10.0229

20.0484

0.1351

0.2665

0.4204

0.5785

0.7890

0.5088

1.9846

4.9607

9.9720

19.9791

0.5326

2.0315

5.0346

10.0737

20.1177

3.4304

0.6787-

0.1205

0.8853

1.3734

0.0006*

0.4977

0.9041

0.3764

0.1702

n= 50

0.525

1020

0.5084

2.0004

4.9988

10.0188

20.0002

0.0983

0.2095

0.3268

0.4382

0.5808

0.4997

1.9820

4.9701

9.9803

19.9557

0.5170

2.0188

5.0275

10.0573

20.0577

1.9126

0.0442-

0.0810

0.9662

0.2600

0.0563

0.9648

0.9355

0.3364

0.7950

n= 100

0.525

1020

0.5053

2.0107

5.0172

10.0101

20.0002

0.0732

0.1370

0.2139

0.3063

0.4478

0.4989

1.9987

4.9984

9.9832

19.9608

0.5117

2.0228

5.0360

10.0371

20.0395

1.6316

1.7596

1.8000

0.7436

0.0110

0.1034

0.0790

0.0724

0.4575

0.9913

n = 200

0.525

1020

0.5024

2.0053

5.0061

10.0104

19.97

0.0497

0.0980

0.1569

0.2270

0.316

0.4980

1.9967

4.9923

9.9905

19.94

0.5068

2.0139

5.0199

10.0304

20.00

1.0995

1.2239

0.8755

1.0318-

0.2721

0.2216

0.3817

0.3027

0.064

20

37 9 59 16 1.8505

8

* แสูดงการปฏิ�เสูธีสูมมต�ฐานท�.ระด�บน�ยสู0าค�ญ 0.05

n = 5

bayes1

Frequency

0.0 1.5

040

100

n = 10

bayes2

Frequency

0.0 1.2

040

80n = 30

bayes3

Frequency

0.2 1.00

60120

n = 50

bayes4

Frequency

0.2 1.0

0100

n = 100

bayes5

Frequency

0.3 0.7

040

100

n = 200

bayes6

Frequency

0.3 0.6

0100

ร ปท� 11 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ของเบสู เม-.อ = 0.5

n = 5

bayes1

Frequency

0 3

050

150

n = 10

bayes2

Frequency

0.5 2.5

040

80

n = 30

bayes3

Frequency

1.0 2.5

060

120

n = 50

bayes4

Frequency

1.4 2.6

040

80

n = 100

bayes5

Frequency

1.6 2.4

050

150

n = 200

bayes6

Frequency

1.7 2.3

040

100

ร ปท� 12 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ของเบสู เม-.อ = 2

n = 5

bayes1

Frequency

2 6

0100

n = 10

bayes2

Frequency

3 6

060

120

n = 30

bayes3

Frequency

3.5 6.0

040

80

n = 50

bayes4

Frequency

4.0 6.0

040

100

n = 100

bayes5

Frequency

4.5 6.0

0100

n = 200

bayes6

Frequency

4.6 5.6

060

120

ร ปท� 13 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ของเบสู เม-.อ = 5

21

n = 5

bayes1

Frequency

6 12

050

150

n = 10

bayes2

Frequency

7 110

4080

n = 30

bayes3

Frequency

8 11

050

150

n = 50

bayes4

Frequency

8.5 11.5

0100200

n = 100

bayes5

Frequency

9.0 11.0

040

100

n = 200

bayes6

Frequency

9.0

050

150

ร ปท� 14 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ของเบสู เม-.อ = 10

n = 5

bayes1

Frequency

16 24

040

80

n = 10

bayes2

Frequency

16 24

050

150

n = 30

bayes3

Frequency

18 22

040

100

n = 50

bayes4

Frequency

18 21

050

150

n = 100

bayes5

Frequency

18.5 21.5

040

80

n = 200

bayes6

Frequency

19.0

040

80

ร ปท� 15 ฮิ�สูโตแกรมแสูดงการประมาณค�าพาราม�เตอร ด+วิยวิ�ธี�ของเบสู เม-.อ = 20

ต�ร�งท� 5 แสูดงวิ�ธี�การประมาณค�าพาราม�เตอรท�.ให์+ค�า MSE ต0.าสู!ด

n0.5 2 5 10 20

n = 5 MLE MLE MLE BAYES MCMC

n = 10 MLE MLE MLE MCMC MCMC

n = 30 MLE MLE MLE MLE BAYES

n = 50 MLE MCMC MLE MCMC BAYES

n = 100 MLE MCMC MLE MCMC MCMC

n =200 MLE MLE MCMC MCMC MCMC

22

จากตารางท�. 5 แสูดงวิ�ธี�การประมาณค�าพาราม�เตอรท�.ให์+ค�าควิามคลาดเคล-.อน (MSE) ต0.าสู!ด พบวิ�า

- เม-.อ วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดให์+ค�า MSE ต0.าสู!ดท!กขนาดต�วิอย�าง

- เม-.อ วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดให์+ค�า MSE ต0.าสู!ดท�.ขนาดต�วิอย�าง n = 5 10 30 และ 200 นอกน�,นเป�นวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล

- เม-.อ วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดให์+ค�า MSE ต0.าสู!ดท�.ขนาดต�วิอย�าง n = 5 10 30 50 และ 100 สู�วินขนาดต�วิอย�าง n=200 เป�นวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล

- เม-.อ วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ดให์+ค�า MSE ต0.าสู!ดท�.ขนาดต�วิอย�าง n = 30 สู�วินขนาดต�วิอย�าง n = 10 50 100 และ 200 เป�นวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล และ ขนาดต�วิอย�าง n =

5 เป�นวิ�ธี�ของเบสู

- เม-.อ วิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล ให์+ค�า MSE ต0.าสู!ดท�.ขนาดต�วิอย�าง n = 5 10 100 และ 200 สู�วินขนาดต�วิอย�าง n = 30 และ 50 เป�นวิ�ธี�ของเบสู

5.สร"ปผลก�รวิ�จั�ย

23

จากผู้ลการวิ�จ�ยแสูดงการทดสูอบสูมมต�ฐานสู0าห์ร�บการประมาณค�าพาราม�เตอรและเปร�ยบเท�ยบค�าควิามคลาดเคล-.อนก0าล�งสูอง จากท�,ง 3 วิ�ธี� ได+ผู้ลสูร!ปด�งน�,

วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด (MLE) ให์+ค�าเฉล�.ยของต�วิประมาณค�าพาราม�เตอรม�ค�าเท�าก�บค�าพาราม�เตอรท!กกรณ�แต�เม-.อมาพ�จารณาค�าเฉล�.ยควิามคลาดเคล-.อนก0าล�งสูองพบวิ�าไม�ได+ให์+ค�าต0.าสู!ดท!กกรณ�แต�ต0.าสู!ดเม-.อ ค�าพาราม�เตอรและขนาดต�วิอย�างม�ค�าไม�มาก

วิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล (MCMC) และวิ�ธี�ของเบสู (BAYES) ให์+ค�าเฉล�.ยของต�วิประมาณค�าพาราม�เตอรม�ค�าเท�าก�บค�าพาราม�เตอรเม-.อค�าพาราม�เตอรและขนาดต�วิอย�างม�ค�ามาก ซ7.งสูอดคล+องก�บค�าเฉล�.ยควิามคลาดเคล-.อนก0าล�งสูองท�.ม�ค�าต0.าสู!ดเม-.อค�าพาราม�เตอรและขนาดต�วิอย�างม�ค�ามาก

ด�งน�,นในการประมาณค�าพาราม�เตอรถิ+าไม�ทราบค�าฟ6งกช�นการแจกแจงควิามน�าจะเป�นก�อนควิรใช+วิ�ธี�ควิามควิรจะเป�นสู งสู!ด แต�ถิ+าทราบควิรพ�จารณาวิ�ธี�มารคอฟ เชน มอนต�คารโล (MCMC) และวิ�ธี�ของเบสู (BAYES) ตามขนาดต�วิอย�าง