Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 12

PARAGRAAF 1.1 : LINEAIRE FUNCTIES (EN MODULUS)

DEFINITIE LIJN

Algemene formule van een lijn : 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

a = hellingsgetal = richtingscoëfficiënt = rc

b = startgetal

STAPPENPLAN LIJN DOOR TWEE PUNTEN A EN B

(1) Lijn heeft altijd vergelijking 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

(2) Bepaal de a door 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟𝑟𝑟 = Δ𝑦𝑦Δ𝑥𝑥

= 𝑦𝑦𝑎𝑎−𝑦𝑦𝑏𝑏𝑥𝑥𝑎𝑎−𝑥𝑥𝑏𝑏

(3) Bereken b door punt A in te vullen in 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 2 van 12

VOORBEELD 1

Lijn m gaat door 𝐴𝐴 = (3 , 5) en 𝐵𝐵 = (8 ,−10 )

a. Bepaal de vergelijking van lijn m.

Lijn l is evenwijdig aan m en gaat door 𝑃𝑃 = (12,7).

b. Bepaal de vergelijking van lijn l.

OPLOSSING 1

a. Volg het stappenplan :

(1) Lijn heeft altijd vergelijking 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

(2) Bepaal de a door 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟𝑟𝑟 = Δ𝑦𝑦Δ𝑥𝑥

= −10−58−3

= −155

= −3

(3) Vul punt 𝐴𝐴 = (3 , 5) in in 𝑦𝑦 = −3𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 5 = −3 ∙ 3 + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = 14

Dus lijn m : 𝑦𝑦 = −3𝑎𝑎 + 14

b. l // m rc gelijk dus a = -3 Je weet ook punt (12,7) 7 = −3 ∙ 12 + 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = 43 Dus lijn 𝑙𝑙 ∶ 𝑦𝑦 = −2𝑎𝑎 + 43

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 3 van 12

PARAGRAAF 1.2 : TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

LES 1 VERGELIJKING AX2 + BX + C = 0 OPLOSSEN.

Er zijn drie soorten :

1. C=0 (GEEN LOSSE)

Oplossen door x buiten haakjes te halen 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 = 0

𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 3) = 0

𝑎𝑎 = 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎 = −3

2. B=0 (GEEN X-EN)

Oplossen door worteltrekken 𝑎𝑎2 − 7 = 0

𝑎𝑎2 = 7

𝑎𝑎 = √7 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎 = −√7

3. DRIETERM Oplossen d.m.v.

(1) ontbinden (lukt soms maar is sneller) (2) abc-formule (lukt altijd maar duurt langer) (3) kwadraat afsplitsen (lukt altijd maar duurt langer)

𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 − 12 = 0

(𝑎𝑎 − 2)(𝑎𝑎 + 6) = 0

𝑎𝑎 − 2 = 0 𝑣𝑣 𝑎𝑎 + 6 = 0

𝑎𝑎 = 2 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎 = −6

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 4 van 12

OPMERKINGEN

• (𝑎𝑎 + 5) ≠ 𝑎𝑎2 + 25 MAAR (𝑎𝑎 + 5)(𝑎𝑎 + 5) = 𝑎𝑎2 + 5𝑎𝑎 + 5𝑎𝑎 + 25 = 𝑎𝑎2 + 10𝑎𝑎 + 25

• abc-formule : 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏±√𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑎𝑎2𝑎𝑎

• Vergelijkingen van de vorm (𝑎𝑎 + 4)2 = 36 kun je oplossen met p(ency) methode.

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 5 van 12

LES 2 : REKENEN MET P

AANTAL OPLOSSINGEN BIJ DE DISCRIMINANT

De vergelijking 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑟𝑟 = 0 heeft

(1) geen oplossing als D < 0 (Waarom ???)

(2) één oplossing als D = 0

(3) twee oplossingen als D > 0

VOORBEELD 1

Bereken voor welke waarde(n) van p geldt dat

a. 𝑝𝑝𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 + 8 = 0 één oplossing heeft.

b. 𝑎𝑎2 + 2𝑝𝑝𝑎𝑎 + 26 = 10 twee oplossingen heeft.

OPLOSSING 1

a. 𝐷𝐷 = 32 − 4 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 8 = 0 (één oplossing dus D=0)

9 − 32𝑝𝑝 = 0 → 𝑝𝑝 =9

32

b. 𝑎𝑎2 + 2𝑝𝑝𝑎𝑎 + 26 = 10 𝑎𝑎2 + 2𝑝𝑝𝑎𝑎 + 16 = 0 { 𝑎𝑎 = 1 𝑏𝑏 = 2𝑝𝑝 𝑟𝑟 = 16 } 𝐷𝐷 = (2𝑝𝑝)2 – 4𝑎𝑎1𝑎𝑎16 = 4𝑝𝑝2 − 64 > 0 (twee oplossingen dus D > 0)

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 6 van 12

Omdat de Discriminant p2 bevat moet je de 3 stappen van de ongelijkheid uitvoeren :

(1) 4𝑝𝑝2 − 64 = 0 4𝑝𝑝2 = 64

𝑝𝑝2 = 16 𝑝𝑝 = 4 𝑣𝑣 𝑝𝑝 = −4

(2) Schets

(3) D > 0 als 𝑝𝑝 < −4 𝑣𝑣 𝑝𝑝 > 4

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 7 van 12

PARAGRAAF 1.3 : EXTREMEN EN DOMEIN / BEREIK

THEORIE DOMEIN EN BEREIK • In de top van de grafiek geldt dat 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = − 𝑏𝑏

2𝑎𝑎

• De extreme waarde(n) is de y-coördinaat !!!!

• Domein = { welke waarde van x kun je invullen} = Df

• Bereik = { welke waarden van y kunnen uitkomsten zijn} = Bf

OM HET BEREIK TE BEPALEN OP EEN BEPERKT DOMEIN :

(1) Schets de grafiek met de GR. Neem Xmin = linkergrens en Xmax = rechtergrens.

(2) Bereken de toppen en de randpunten.

(3) Bepaal de grootste en kleinste waarde. Dat is het bereik.

VOORBEELD 1

Bepaal het bereik van 𝑜𝑜(𝑎𝑎) = 3𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 + 2 als

a. 𝐷𝐷𝑓𝑓 = [−2,3]

b. 𝐷𝐷𝑓𝑓 = alles

OPLOSSING 1

a. (1) Schets de grafiek met Xmin = -2 en Xmax = 3.

(2) 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = − −62∙3

= 1 → 𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −1

Links : 𝑦𝑦 = 𝑜𝑜(−2) = 26 Rechts : 𝑦𝑦 = 𝑜𝑜(3) = 11

(3) 𝐵𝐵𝑓𝑓 = = [−1 , 26]

b. Omdat de linkergrens en rechtergrens er niet zijn (gaan beide naar oneindig) is het bereik nu 𝐵𝐵𝑓𝑓 = [−1,→>

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 8 van 12

PARAGRAAF 1.4 : TWEEDEGRAADSFUNCTIES MET P

OM DE EIGENSCHAPPEN VAN EEN TOP TE BEPALEN VAN Y=AX2 + BX + C MET ONBEKENDE PARAMETER P, HEB JE EEN AANTAL HULPMIDDELEN :

(1) Schets van de grafiek (met de GR)

(2) Bereken de top met : 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = − 𝑏𝑏2𝑎𝑎

(3) De discriminant voor het aantal oplossingen (0 / 1 / 2)

(4) Toppenformule = { de ytop uitgedrukt in x }

VOORBEELD 1

Gegeven is 𝑜𝑜𝑡𝑡(𝑎𝑎) = 2𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 + 𝑝𝑝.

a. Bereken algebraïsch de coördinaten van de top uitgedrukt in p.

b. Bereken voor welke p het maximum 5 is.

c. Bereken algebraïsch voor welke p de top op de x-as ligt.

Gegeven is 𝑔𝑔𝑡𝑡(𝑎𝑎) = 𝑝𝑝𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 + 9.

d. Bereken algebraïsch voor welke p er een negatieve maximum is.

e. Druk de coördinaten van de top uit in x. (dit heet ook wel de toppenformule)

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 9 van 12

OPLOSSING 1

a. 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = − 82∙2

= −2 → 𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −8 + 𝑝𝑝 dus Top=(2 , 8 − 𝑝𝑝)

b. 𝑦𝑦 = 5 → 8 − 𝑝𝑝 = 5 → 𝑝𝑝 = 13

c. (1) Maak een schets Omdat 2 > 0 is het een dalparabool. Een schets geeft :

Dat betekent dat D = 0.

(2) 𝐷𝐷 = 82 − 4 ∙ −2 ∙ 𝑝𝑝 = 0 64 − 8𝑝𝑝 = 0 𝑝𝑝 = 8

d. (1) Maak een schets Omdat er een maximum is moet p < 0 zijn (bergparabool). Een schets geeft : Dat betekent dat D < 0.

(2) 𝐷𝐷 = 82 − 4 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 9 < 0 𝐷𝐷 = 64− 36𝑝𝑝 < 0

𝑝𝑝 <6436

Omdat p < 0 (bergparabool) is het antwoord p < 0

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 10 van 12

e. 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = − 82∙𝑡𝑡

= − 4𝑡𝑡

𝑝𝑝 = − 4𝑥𝑥

‼‼

𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −4𝑎𝑎∙ 𝑎𝑎2 + 8𝑎𝑎 + 9 = −4𝑎𝑎 + 8𝑎𝑎 + 9

𝑦𝑦𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4𝑎𝑎 + 9 D.w.z. dat alle toppen van al deze parabolen op de lijn y = 4x + 9 liggen !!! 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑝𝑝 = (𝑎𝑎 , 4𝑎𝑎 + 9)

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 11 van 12

PARAGRAAF 1.5 : GRAFISCH NUMERIEK OPLOSSEN

DEFINITIES BEREKEN … • Bereken algebraïsch = { Oplossen ZONDER de GR. Je mag (soms) afronden } • Bereken exact = { Oplossen ZONDER de GR. Je mag NOOIT afronden } • Bereken = { Je mag de GR (Intersect / Zero) gebruiken }

THEORIE ONGELIJKHEDEN

• Een ongelijkheid heeft als teken > ; ≥ ; < ; ≤ • Een ongelijkheid heeft miljoenen oplossingen (bijv. 𝑎𝑎 > 4) • Daarom is er ALTIJD een schets nodig om een ongelijkheid oplossen. • Er is één uitzondering voor de schets en dat is bij een lineaire ongelijkheid

(bijv. 3𝑎𝑎 – 4 > −2𝑎𝑎 + 8)

STAPPENPLAN ONGELIJKHEID OPLOSSEN : (1) Herleid op 0 (2) Los de vergelijking op (algebraïsch of met intersect) (I) (3) Maak een schets van de situatie. (S) (4) Lees de oplossing af uit de schets van de grafiek (met de GR) (A)

Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 12 van 12

VOORBEELD 1

Los algebraïsch op 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 > 10

OPLOSSING 1

(1) 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 > 10 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 − 10 > 0

(2) 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 – 10 = 0

(𝑎𝑎 – 2)(𝑎𝑎 + 5) = 0

𝑎𝑎 = 2 𝑣𝑣 𝑎𝑎 = −5

(3) Schets 𝑌𝑌1 = 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 − 10

(4) 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 − 10 > 0 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑎𝑎 < −5 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑎𝑎 > 2

OPMERKING

Als er alleen los op staat, mag je stap (2) oplossen met intersect.

𝑌𝑌1 = 𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 – 10 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑌𝑌2 = 0 Intersect …