pembahasan tes kemampuan dasar dan sains sbmptn 2013 โฆ tes kemamโฆย ยท pencerminan terhadap garis...
TRANSCRIPT
PEMBAHASAN TES KEMAMPUAN DASAR SAINS DAN TEKNOLOGI SBMPTN 2013 KODE 431
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (โ1,1) dan menyinggung garis 3๐ฅ๐ฅ โ 4๐ฆ๐ฆ +12 = 0 adalah โฆ Sebelum menentukan persamaan lingkarannya, kita tentukan jari-jari lingkaran tersebut. Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan jarak antara titik pusat (โ1,1) dengan garis 3๐ฅ๐ฅ โ 4๐ฆ๐ฆ + 12 = 0. Jarak antara titik (๐ฅ๐ฅ1,๐ฆ๐ฆ1) dengan garis yang memiliki persamaan ๐๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐๐ฆ๐ฆ +๐๐ = 0 adalah,
๐ท๐ท =|๐๐๐ฅ๐ฅ1 + ๐๐๐ฆ๐ฆ1 + ๐๐|
โ๐๐2 + ๐๐2
Sehingga,
๐๐ =|3(โ1) โ 4(1) + 12|
๏ฟฝ32 + (โ4)2
=|โ3 โ 4 + 12|โ9 + 16
=|5|โ25
=55
= 1
Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di (๐ฅ๐ฅ1,๐ฆ๐ฆ1) dan berjari-jari ๐๐ dapat ditentukan dengan rumus,
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ1)2 + (๐ฆ๐ฆ โ ๐ฆ๐ฆ1)2 = ๐๐2 Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di (โ1,1) dan memiliki jari-jari 1, dapat ditentukan sebagai berikut.
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ1)2 + (๐ฆ๐ฆ โ ๐ฆ๐ฆ1)2 = ๐๐2
โบ ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ โ (โ1)๏ฟฝ2 + (๐ฆ๐ฆ โ 1)2 = 12
โบ ๐ฅ๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฅ + 1 + ๐ฆ๐ฆ2 โ 2๐ฆ๐ฆ + 1 = 1
โบ ๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฆ๐ฆ2 + 2๐ฅ๐ฅ โ 2๐ฆ๐ฆ + 1 = 0
Jawaban A.
2. cot 105ยฐ tan 15ยฐ = โฏ Untuk menentukan hasil dari operasi hitung tersebut, kita dapat menggunakan sifat-sifat berikut:
cot๐ผ๐ผ =cos๐ผ๐ผsin๐ผ๐ผ
tan๐ผ๐ผ =sin๐ผ๐ผcos๐ผ๐ผ
2 sin๐ผ๐ผ cos๐ฝ๐ฝ = sin(๐ผ๐ผ + ๐ฝ๐ฝ) + sin(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ) 2 cos๐ผ๐ผ cos๐ฝ๐ฝ = sin(๐ผ๐ผ + ๐ฝ๐ฝ) โ sin(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ)
Sehingga,
cot 105ยฐ tan 15ยฐ =cos 105ยฐsin 105ยฐ
รsin 15ยฐcos 15ยฐ
=12 (2 cos 105ยฐ sin 15ยฐ)12 (2 sin 105ยฐ cos 15ยฐ)
=sin(105 + 15)ยฐ โ sin(105 โ 15)ยฐsin(105 + 15)ยฐ + sin(105 โ 15)ยฐ
=sin 120ยฐ โ sin 90ยฐsin 120ยฐ + sin 90ยฐ
=12โ3 โ 112โ3 + 1
=12โ3 โ 112โ3 + 1
ร12โ3 โ 112โ3 โ 1
=34 โ โ3 + 1
34 โ 1
=74 โ โ3
โ 14
= โ7 + 4โ3
Jawaban A.
3. Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah โฆ Untuk memahami permasalahan ini, perhatikan gambar berikut!
Karena 3 perempuan harus duduk berdampingan, kita dapat menganalogikan aturan ini sebagai pengelompokan, seperti tampak pada gambar di atas. Sehingga yang perlu kita acak hanyalah L1, L2, P, dan L3 dan diperoleh ๐๐44 kemungkinan. Akan tetapi pada kelompok tersebut terdapat 3 perempuan, sehingga apabila kita acak kita mempeoleh ๐๐33 kemungkinan. Sehingga peluangnya dapat ditentukan sebagai berikut:
๐๐(๐ด๐ด) =๐๐44 โ ๐๐33
๐๐66
=
4!(4 โ 4)! โ
3!(3 โ 3)!
6!(6 โ 6)!
=4! โ 3!
6!
=4 โ 3 โ 2 โ 1 โ 3 โ 2 โ 1
6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1
=144720
=15
Jawaban E. 4. Diketahui balok ๐ด๐ด๐ด๐ด๐ด๐ด๐ท๐ท.๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ dengan ๐ด๐ด๐ด๐ด = 4, ๐ด๐ด๐ด๐ด = ๐ด๐ด๐ธ๐ธ = 2. Titik ๐๐ tengah-
tengah ๐ด๐ด๐ด๐ด, ๐๐ titik tengah ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ, ๐ ๐ titik tengah ๐ด๐ด๐ธ๐ธ. Jarak ๐๐ ke ๐๐๐ ๐ adalah โฆ Perhatikan gambar berikut!
Sebelum menentukan jarak antara ๐๐ ke ๐๐๐ ๐ , kita tentukan dulu ๐๐๐ ๐ , ๐๐๐๐, dan ๐๐๐ ๐ Menentukan Panjang ๐ท๐ท๐ท๐ท๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ Untuk menentukan ๐๐๐ ๐ , kita tentukan ๐ด๐ด๐๐ terlebih dahulu. ๐ด๐ด๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ๐ด๐ด๐ด๐ด๐๐. Sehingga,
๐ด๐ด๐๐ = ๏ฟฝ๐ด๐ด๐ด๐ด2 + ๐ด๐ด๐๐2
= ๏ฟฝ42 + 12
= โ16 + 1
= โ17
๐๐๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ๐ด๐ด๐๐๐ ๐ , sehingga
๐๐๐ ๐ = ๏ฟฝ๐ด๐ด๐๐2 + ๐ด๐ด๐ ๐ 2
= ๏ฟฝโ172
+ 12
= โ17 + 1
= โ18 = 3โ2
Diperoleh ๐๐๐ ๐ = 3โ2. Menentukan Panjang ๐ธ๐ธ๐ท๐ท๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ Sebelum menentukan ๐ ๐ ๐๐, kita tentukan ๐ธ๐ธ๐๐ terlebih dahulu. Perhatikan bahwa ๐ธ๐ธ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ๐๐, sehingga
๐ธ๐ธ๐๐ = ๏ฟฝ๐ธ๐ธ๐ธ๐ธ2 + ๐ธ๐ธ๐๐2
= ๏ฟฝ22 + 22
= โ4 + 4
= โ8 = 2โ2
Setelah itu, kita tentukan ๐ ๐ ๐๐. ๐ ๐ ๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ๐ธ๐ธ๐ ๐ ๐๐. Oleh karena itu,
๐ ๐ ๐๐ = ๏ฟฝ๐ธ๐ธ๐ ๐ 2 + ๐ธ๐ธ๐๐2
= ๏ฟฝ12 + ๏ฟฝ2โ2๏ฟฝ2
= โ1 + 8
= โ9 = 3
Sehingga diperoleh ๐ ๐ ๐๐ = 3. Menentukan Panjang ๐ท๐ท๐ธ๐ธ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ ๐๐๐๐๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku ๐๐๐ธ๐ธ๐๐. Sehingga sebelum menentukan ๐๐๐๐, kita tentukan terlebih dahulu ๐๐๐ธ๐ธ. Panjang ๐๐๐ธ๐ธ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ๐๐๐ด๐ด๐ธ๐ธ.
๐๐๐ธ๐ธ = ๏ฟฝ๐๐๐ด๐ด2 + ๐ด๐ด๐ธ๐ธ2
= ๏ฟฝ12 + 22
= โ1 + 4
= โ5
Selanjutnya kita tentukan ๐๐๐๐ dengan menggunakan segitiga siku-siku ๐๐๐ธ๐ธ๐๐.
๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐ธ๐ธ2 + ๐ธ๐ธ๐๐2
= ๏ฟฝโ52
+ 22
= โ5 + 4
= โ9 = 3
Diperoleh ๐๐๐๐ = 3
Menentukan Jarak ๐ธ๐ธ dengan ๐ท๐ท๐ท๐ท๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ Untuk menentukan jarak ๐๐ ke ๐๐๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ, perhatikan segitiga ๐๐๐๐๐ ๐ . Sebelumnya kita memperoleh ๐๐๐ ๐ = 3โ2, ๐ ๐ ๐๐ = 3, dan ๐๐๐๐ = 3. Sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki. Perhatikan gambar segitiga ๐๐๐๐๐ ๐ berikut.
Karena ๐๐๐๐๐ ๐ segitiga sama kaki, maka garis yang melewati ๐๐ dan tegak lurus dengan ๐๐๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ membagi ๐๐๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ menjadi 2 bagian yang sama. Sehingga,
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐2 โ ๐๐๐๐2
= ๏ฟฝ32 โ ๏ฟฝ32โ
2๏ฟฝ2
= ๏ฟฝ9 โ92
= ๏ฟฝ92
=3โ2
=32โ
2
Jadi, jarak titik ๐๐ ke ruas garis ๐๐๐ ๐ adalah 3 2๏ฟฝ โ2. Jawaban D.
5. Jika ๐ฟ๐ฟ(๐๐) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu ๐๐ dan parabola ๐ฆ๐ฆ =2๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ2, 0 < ๐๐ < 1, maka peluang nilai ๐๐ sehingga ๐ฟ๐ฟ(๐๐) โค 9
16๏ฟฝ adalah โฆ
Perhatikan bahwa: ๐ฆ๐ฆ = 2๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ2 = ๐ฅ๐ฅ(2๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ). Sehingga grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke bawah dan memotong sumbu ๐๐ di ๐ฅ๐ฅ = 0 dan ๐ฅ๐ฅ = 2๐๐, yang terletak di antara ๐ฅ๐ฅ = 0 dan ๐ฅ๐ฅ = 2. Sehingga luas yang dibatasi oleh parabola tersebut dengan sumbu ๐๐ adalah,
๐ฟ๐ฟ(๐๐)
โค ๏ฟฝ 2๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ22๐๐
0๐๐๐ฅ๐ฅ
โบ 916
โค ๏ฟฝ๐๐๐ฅ๐ฅ2 โ13๐ฅ๐ฅ3๏ฟฝ
0
2๐๐
โบ 916
โค ๏ฟฝ๐๐(2๐๐)2 โ13
(2๐๐)3๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๐๐(0)2 โ13
(0)3๏ฟฝ
โบ 916
โค 4๐๐3 โ83๐๐3
โบ 916
โค43๐๐3
โบ 0 โค43๐๐3 โ
916
โบ 0 โค 64๐๐3 โ 27
Untuk menentukan nilai ๐๐, kita selesaikan persamaan 64๐๐3 โ 27 = 0 terlebih dahulu.
64๐๐3 โ 27 = 0
โบ (4๐๐)3 โ 33 = 0
โบ (4๐๐ โ 3)((4๐๐)2 + 4๐๐ โ 3 + 32) = 0
โบ (4๐๐ โ 3)(16๐๐2 + 12๐๐ + 9) = 0
Sehingga, selesaian dari persamaan tersebut adalah ๐๐ = 34๏ฟฝ . Selanjutnya kita
lakukan uji titik untuk menentukan tanda dari ๐ฟ๐ฟ(๐๐).
๐๐ =14โน ๐ฟ๐ฟ(๐๐) = 64 ๏ฟฝ
14๏ฟฝ
3
โ 27 = โ26 < 0
๐๐ =56โน ๐ฟ๐ฟ(๐๐) = 64 ๏ฟฝ
56๏ฟฝ
3
โ 27 = 101
27โฅ 0
Sehingga tanda dari ๐ฟ๐ฟ(๐๐) dapat digambarkan sebagai berikut.
Jadi peluang ๐ฟ๐ฟ(๐๐) โฅ 0 adalah
๐๐(๐ด๐ด) =1 โ 3
41 โ 0
=14
Jawaban E. 6. Diketahui ๐ด๐ด(3, 0, 0), ๐ด๐ด(0,โ3, 0), dan ๐ด๐ด(0, 0, 6). Panjang vektor proyeksi ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ ke
vektor ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ adalah โฆ Misalkan vektor proyeksi ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ ke vektor ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ adalah ๐๐, panjang ๐๐ dapat ditentukan dengan rumus:
๐๐ =๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ โ ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ
๏ฟฝ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ ๏ฟฝ
Untuk itu, kita tentukan ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ , ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ , dan ๏ฟฝ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ ๏ฟฝ terlebih dahulu.
๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ = (0 โ 3, 0 โ 0, 6 โ 0) = (โ3, 0, 6) ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ = (0 โ 3,โ3 โ 0, 0 โ 0) = (โ3,โ3, 0)
๏ฟฝ๐ด๐ด๐ด๐ด๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝ๏ฟฝโ ๏ฟฝ = ๏ฟฝ(โ3)2 + (โ3)2 + 02 = โ9 + 9 = โ18 = 3โ2 Sehingga,
๐๐ =(โ3 โ โ3) + (0 โ โ3) + (6 โ 0)
3โ2=
93โ2
=3โ2
2
Jawaban C 7. Jika sin๐ผ๐ผ + sin๐ฝ๐ฝ = โ2๐ด๐ด dan cos๐ผ๐ผ + cos๐ฝ๐ฝ = โ2๐ด๐ด, maka cos(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ) = โฏ
Perhatikan bahwa, (sin๐ผ๐ผ + sin๐ฝ๐ฝ)2 = sin2 ๐ผ๐ผ + 2 sin๐ผ๐ผ sin๐ฝ๐ฝ + sin2 ๐ฝ๐ฝ (cos๐ผ๐ผ + cos๐ฝ๐ฝ)2 = cos2 ๐ผ๐ผ + 2 cos๐ผ๐ผ cos๐ฝ๐ฝ + cos2 ๐ฝ๐ฝ
Karena sin2 ๐ผ๐ผ + cos2 ๐ผ๐ผ = 1, sin2 ๐ฝ๐ฝ + cos2 ๐ฝ๐ฝ = 1, dan 2 sin๐ผ๐ผ sin๐ฝ๐ฝ + 2 cos๐ผ๐ผ cos๐ฝ๐ฝ = 2(sin๐ผ๐ผ sin๐ฝ๐ฝ + cos๐ผ๐ผ cos๐ฝ๐ฝ) = 2 cos(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ)
Maka,
(sin๐ผ๐ผ + sin๐ฝ๐ฝ)2 + (cos๐ผ๐ผ + cos๐ฝ๐ฝ)2 = 1 + 2 cos(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ) + 1
โบ โ2๐ด๐ด2
+ โ2๐ด๐ด2 = 2 + 2 cos(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ)
โบ 2๐ด๐ด + 2๐ด๐ด = 2 + 2 cos(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ)
โบ 2 cos(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ) = 2๐ด๐ด + 2๐ด๐ด โ 2
โบ cos(๐ผ๐ผ โ ๐ฝ๐ฝ) = ๐ด๐ด + ๐ด๐ด โ 1
Jawaban A. 8. Transformasi ๐๐ merupakan pencerminan terhadap garis ๐ฆ๐ฆ = 4๐ฅ๐ฅ dilanjutkan
pencerminan terhadap garis ๐ฆ๐ฆ = โ๐ฅ๐ฅ 4๏ฟฝ . Matriks penyajian ๐๐ adalah โฆ Transformasi sembarang titik oleh tranformasi ๐๐ sama dengan pencerminan titik tersebut terhadap titik (0, 0), karena ๐ฆ๐ฆ = 4๐ฅ๐ฅ dan ๐ฆ๐ฆ = โ๐ฅ๐ฅ 4๏ฟฝ saling tegak lurus dan berpotongan di (0, 0). Sehingga,
๐๐ = ๏ฟฝโ1 00 โ1๏ฟฝ
Jawaban E. 9. Diketahui ๐ธ๐ธ(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐๐ฅ๐ฅ3 โ 3(1 + ๐๐)๐ฅ๐ฅ2 โ 3๐ฅ๐ฅ. Jika ๐ธ๐ธโฒโฒ(๐ฅ๐ฅ) habis dibagi ๐ฅ๐ฅ โ 1, maka
kurva ๐ฆ๐ฆ = ๐ธ๐ธ(๐ฅ๐ฅ) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika โฆ Diketahui bahwa ๐ธ๐ธโฒโฒ(๐ฅ๐ฅ) habis dibagi ๐ฅ๐ฅ โ 1. Sekarang kita tentukan turunan kedua fungsi ๐ธ๐ธ tersebut.
๐ธ๐ธโฒ(๐ฅ๐ฅ) = 3๐๐๐ฅ๐ฅ2 โ 6(1 + ๐๐)๐ฅ๐ฅ โ 3 ๐ธ๐ธโฒโฒ(๐ฅ๐ฅ) = 6๐๐๐ฅ๐ฅ โ 6(1 + ๐๐)
๐ธ๐ธโฒโฒ(๐ฅ๐ฅ) habis dibagi ๐ฅ๐ฅ โ 1 artinya ๐ธ๐ธโฒโฒ(1) = 0. Sehingga,
๐ธ๐ธโฒโฒ(1) = 0
โบ 6๐๐ โ 1 โ 6(1 + ๐๐) = 0
โบ 6๐๐ โ 6 โ 6๐๐ = 0
โบ 6๐๐ = 6๐๐ โ 6
โบ ๐๐ = ๐๐ โ 1
Dengan mensubstitusi ๐๐ = ๐๐ โ 1 ke persamaan fungsi, diperoleh ๐ธ๐ธ(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐๐ฅ๐ฅ3 โ 3๐๐๐ฅ๐ฅ2 โ 3๐ฅ๐ฅ
Kurva ๐ฆ๐ฆ = ๐ธ๐ธ(๐ฅ๐ฅ) tidak mempunyai titik ekstrim lokal jika turunan pertamanya hanya memiliki paling banyak 1 akar.
๐ธ๐ธโฒ(๐ฅ๐ฅ) = 0
โบ 3๐๐๐ฅ๐ฅ2 โ 6๐๐๐ฅ๐ฅ โ 3 = 0
Sehingga akar dari turunan pertama ๐ธ๐ธ paling banyak 1, maka ๐ท๐ท โค 0.
๐ท๐ท โค 0
โบ (โ6๐๐)2 โ 4 โ 3๐๐ โ (โ3) โค 0
โบ 36๐๐2 + 36๐๐ โค 0
โบ ๐๐2 + ๐๐ โค 0
โบ ๐๐(๐๐ + 1) โค 0
Sehingga, โ1 โค ๐๐ โค 0. Jawaban B.
10. Banyak bilangan ratusan dengan bilangan pertama dan terakhir mempunyai selisih 3 dan tidak ada angka yang sama adalah โฆ Bilangan-bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 0 dan 3, 1 dan 4, 2 dan 5, 3 dan 6, 4 dan 7, 5 dan 8, 6 dan 9, serta kebalikannya kecuali 0 dan 3. Sehingga banyaknya bilangan yang memiliki selisih 3 adalah 13.
Bilangan ratusan terdiri dari 3 bilangan, maka banyaknya kemungkinan bilangan kedua adalah 10 โ 2 = 8. Sehingga, banyaknya kemungkinan bilangan ratusan yang memenuhi syarat tersebut adalah 13 ร 8 = 104.
Jawaban โ 11. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva ๐ฆ๐ฆ = 2 โ ๐ฅ๐ฅ2 dan ๐ฆ๐ฆ = |๐ฅ๐ฅ| adalah โฆ
Perhatikan bahwa, Fungsi ๐ฆ๐ฆ = |๐ฅ๐ฅ| dapat juga didefinisikan sebagai berikut:
๐ฆ๐ฆ = ๏ฟฝโ๐ฅ๐ฅ, ๐ฅ๐ฅ < 0๐ฅ๐ฅ, ๐ฅ๐ฅ โฅ 0
Sehingga kita tentukan terlebih dahulu titik perpotongan antara grafik fungsi ๐ฆ๐ฆ = 2 โ ๐ฅ๐ฅ2 dan ๐ฆ๐ฆ = |๐ฅ๐ฅ|. Titik potong pertama, untuk ๐๐ < ๐๐ Titik potongnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan ๐ฆ๐ฆ di kedua fungsi tersebut.
2 โ ๐ฅ๐ฅ2 = โ๐ฅ๐ฅ
โบ ๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ โ 2 = 0
โบ (๐ฅ๐ฅ โ 2)(๐ฅ๐ฅ + 1) = 0
Diperoleh ๐ฅ๐ฅ = 2 atau ๐ฅ๐ฅ = โ1. Karena ๐ฅ๐ฅ < 0, kita pilih ๐ฅ๐ฅ = โ1 Titik potong kedua, untuk ๐๐ โฅ ๐๐ Sama seperti sebelumnya, titik potongnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan ๐ฆ๐ฆ di kedua fungsi tersebut.
2 โ ๐ฅ๐ฅ2 = ๐ฅ๐ฅ
โบ ๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฅ๐ฅ โ 2 = 0
โบ (๐ฅ๐ฅ + 2)(๐ฅ๐ฅ โ 1) = 0
Diperoleh ๐ฅ๐ฅ = โ2 atau ๐ฅ๐ฅ = 1. Karena ๐ฅ๐ฅ โฅ 0, kita pilih ๐ฅ๐ฅ = 1 Menentukan luas Selanjutnya kita tentukan luasnya.
๐ฟ๐ฟ = ๏ฟฝ2 โ ๐ฅ๐ฅ2 โ (โ๐ฅ๐ฅ)0
โ1
๐๐๐ฅ๐ฅ + ๏ฟฝ 2 โ ๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ1
0
๐๐๐ฅ๐ฅ
โบ = 2 ๏ฟฝโ๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฅ๐ฅ + 20
โ1
๐๐๐ฅ๐ฅ
Jawaban A. 12. โซ4 sin2 ๐ฅ๐ฅ cos2 ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ = โฏ
Perhatikan bahwa 2 sin ๐ฅ๐ฅ cos ๐ฅ๐ฅ = sin 2๐ฅ๐ฅ, maka
๏ฟฝ 4 sin2 ๐ฅ๐ฅ cos2 ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ = ๏ฟฝ(2 sin ๐ฅ๐ฅ cos ๐ฅ๐ฅ)2๐๐๐ฅ๐ฅ
= ๏ฟฝ sin2 2๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ
= ๏ฟฝ1 โ cos 4๐ฅ๐ฅ
2๐๐๐ฅ๐ฅ
=12๐ฅ๐ฅ โ
18
sin 4๐ฅ๐ฅ + ๐ด๐ด
Jawaban B 13. Diketahui ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = 1
3๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ3 + ๐ฅ๐ฅ2 โ 3๐ฅ๐ฅ + 13. Jika ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(1 โ ๐ฅ๐ฅ), maka kurva ๐๐ naik pada selang โฆ Pertama, kita tentukan fungsi ๐๐.
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(1 โ ๐ฅ๐ฅ)
= 13๏ฟฝ (1 โ ๐ฅ๐ฅ)3 + (1 โ ๐ฅ๐ฅ)2 โ 3(1 โ ๐ฅ๐ฅ) + 13
= 13๏ฟฝ (1 โ 3๐ฅ๐ฅ + 3๐ฅ๐ฅ2 โ ๐ฅ๐ฅ3) + 1 โ 2๐ฅ๐ฅ + ๐ฅ๐ฅ2 โ 3 + 3๐ฅ๐ฅ + 13
= โ13๐ฅ๐ฅ3 + 2๐ฅ๐ฅ2 +
343
Kurva naik ketika turunan pertamanya lebih dari atau sama dengan 0.
๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ) โฅ 0
โบ โ๐ฅ๐ฅ2 + 4๐ฅ๐ฅ โฅ 0
โบ ๐ฅ๐ฅ(4 โ ๐ฅ๐ฅ) โฅ 0
Sehingga, 0 โค ๐ฅ๐ฅ โค 4. Jawaban D.
14. lim๐ฅ๐ฅโ0
๐ฅ๐ฅ tan๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ sin๐ฅ๐ฅโcos๐ฅ๐ฅ+1
= โฏ
Limit dari soal tersebut dapat ditentukan sebagai berikut
lim๐ฅ๐ฅโ0
๐ฅ๐ฅ tan ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ sin ๐ฅ๐ฅ โ cos ๐ฅ๐ฅ + 1
= lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
๐ฅ๐ฅ tan ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2
๐ฅ๐ฅ sin ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ2 โ ๏ฟฝcos ๐ฅ๐ฅ โ 1
๐ฅ๐ฅ2 ๏ฟฝ
= lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
tan ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ
sin ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โ ๏ฟฝcos ๐ฅ๐ฅ โ 1
๐ฅ๐ฅ2 ๏ฟฝ
= lim
๐ฅ๐ฅโ๐๐
tan ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ
sin ๐ฅ๐ฅ๐ฅ๐ฅ โ ๏ฟฝ
โ2 sin2 12 ๐ฅ๐ฅ
๐ฅ๐ฅ2 ๏ฟฝ
= lim๐ฅ๐ฅโ๐๐
1
1 +12 โ
12 โ 2 sin 1
2 ๐ฅ๐ฅ sin 12 ๐ฅ๐ฅ
12 ๐ฅ๐ฅ โ
12 ๐ฅ๐ฅ
=
1
1 + 12 โ
12
=
1
1 + 14
=1
32๏ฟฝ
=23
Jawaban D. 15. Jika ๐ฅ๐ฅ4 + (๐๐ โ 10)๐ฅ๐ฅ3 + ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + 24๐ฅ๐ฅ โ 15 = ๐๐(๐ฅ๐ฅ)(๐ฅ๐ฅ โ 1) dengan ๐๐(๐ฅ๐ฅ) habis
dibagi ๐ฅ๐ฅ โ 1, maka nilai ๐๐ adalah โฆ Diketahui ๐ฅ๐ฅ4 + (๐๐ โ 10)๐ฅ๐ฅ3 + ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + 24๐ฅ๐ฅ โ 15 = ๐๐(๐ฅ๐ฅ)(๐ฅ๐ฅ โ 1) dan ๐๐(๐ฅ๐ฅ) habis dibagi ๐ฅ๐ฅ โ 1, artinya ๐ฅ๐ฅ4 + (๐๐ โ 10)๐ฅ๐ฅ3 + ๐๐๐ฅ๐ฅ2 + 24๐ฅ๐ฅ โ 15 habis dibagi (๐ฅ๐ฅ โ 1)(๐ฅ๐ฅ โ 1). Dengan menggunakan cara Horner kita dapat memperoleh,