Paradoks Zeno Paradoks Zeno merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga Matematik. Ianya terkenal kerana orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Paradoks yang dianggap seakan-akan 'keperluan' untuk percanggahan atau kemustahilan. Satu paradoks yang timbul secara logik daripada aksiom formal dipanggil antinomy. Paradoks yang sebenar boleh secara umumnya diklasifikasikan sebagai paradoks logik, paradoks-infiniti, paradoks pengetahuan, paradoks bahasa, dan paradoks diri rujukan. Terdapat empat paradoks Zeno, keempat-empat ini merupakan "paradoks" yang sama tetapi bukan paradoks, yang sebenar. Hal ini kerana mereka tidak menunjukkan percanggahan yang mereka berpura-pura untuk menunjukkan sesuatu. i) Dikotomi paradoks: Sebelum objek yang bergerak boleh melakukan perjalanan jarak tertentu, ia mesti melalui setengah daripada jarak itu. Sebelum ia boleh bergerak setengah jarak ia mesti berjalan 1 / 4 daripada jarak tersebut,. Urutan ini berterusan selama-lamanya. Oleh itu, ia seolaholah bahawa jarak asal tidak dapat mengembara, dan gerakan adalah mustahil.

ii)

Achilles dan kura-kura paradoks: Achilles, yakin dengan kemenangannya telah memberikan kura-kura untuk mula dahulu. Zeno kononnya

membuktikan bahawa Achilles tidak akan dapat memotong kura-kura. Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan bermula dahulu di depan, katakanlah 100 meter. Ketika lumba sudah bermulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik permulaan kura-kura). Namun si kura-kura ini juga pasti sudah melangkah maju, walaupun jauh lebih lambat, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura sudah

melangkah maju ke depan lagi. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju. Ertinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan dapat mendahului kura-kura (tidak kira beberapa lambat kura melangkah). Secara ringkasnya, pelari tercepat (A) tidak akan dapat mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada pada titik B pada permulaan, sementara B sudah meninggalkan (berada di depan) titik tersebut. Apa yang Zeno lakukan di sini dalam satu paradoks yang lain, adalah untuk membahagikan perjalanan Achilles kepada beberapa bahagian yang tak terhingga. Ini adalah dibenarkan, mengikut mana-mana segmen talian boleh dibahagikan kepada bilangan mata yang tak terhingga atau segmen garisan. Pada hakikatnya, pembahagian jarak Achilles ini menjadikannya berlari dalam bahagian yang tidak terhingga. Beliau mesti melalui titik A, kemudian B, C, dan sebagainya.

Zeno mengatakan bahawa anda boleh bahagikan garisan kepada beberapa bahagian yang tak terhingga. Dan kemudian dia mengatakan bahawa anda tidak boleh bahagikan selang masa kepada beberapa bahagian yang tak terhingga. Ini tidak konsisten.

Tiada paradoks di sini. Zeno hanya menunjukkan (berpura-pura) beberapa kejahilan sifat masa. Sela masa hanya satu lagi segmen talian (apabila diplot dalam graf), yang anda boleh bahagikan dalam apa-apa cara yang anda inginkan. iii) Arrow paradoks: Salah satu paradoks terkenal Zeno dari Elea.

Pertimbangkan anak panah dalam penerbangan. Pada masa setiap masa anak panah boleh menduduki kawasan tertentu di angkasa. Ini telah menimbulkan masalah berikut: Jika anak panah dalam satu titik tertentu ruang dalam suatu waktu tertentu, maka bagaimana ia bergerak? Dan jika ia tidak bergerak, bagaimana ia mendapatkan dari titik ke titik dalam peredaran masa?

iv)

Stadium paradox : Yang ini adalah sedikit kabur. Ia adalah berkenaan dengan badan-badan yang bergerak dalam arah yang bertentangan dengan kelajuan yang sama, dan Zeno seolah-olah berfikir bahawa dua kali kelajuan yang sama seperti setengah kelajuan. Berfikir tentang paradoks stadium ini tidak jelas, ia akan kelihatan seolah-olah Zeno berpendapat bahawa keduadua masa dan jarak telah beberapa tak terturun saiz yang paling kecil (atom masa dan jarak ). Dan jika anda membahagikan gerakan pada dua kali kelajuan (seorang pemerhati seperti yang dilihat oleh pemerhati yang lain pada arah bertentangan) ke dalam serpihan-serpihan terkecil masa dan jarak itu, dari sudut pandangan pemerhati yang statik, orang-orang yang bergerak pergi separuh daripada jarak yang paling kecil. Dan kita mempunyai kesan yang bertentangan, dari sudut pandangan pemerhati yang bergerak, orang lain yang bergerak bergerak yang sama jarak terkecil yang mungkin pada separuh daripada masa yang sesingkat mungkin.

Di atas, saya berpendapat bahawa Zeno menerima bahawa anda boleh bahagikan mana-mana jarak menjadi kepingan tak terhingga banyaknya, dan bahawa dia menolak membahagikan masa kepada kepingan yang tak terhingga banyaknya. Di sini ia akan kelihatan bahawa dia menolak keduaduanya. Itu adalah anggapan tidak sah di keempat-empat "paradoks."

Paradoks adalah suatu istilah yang mengacu kepada suatu pernyataan yang secara logika terlihat benar tetapi salah dalam realitasnya. Salah satu paradoks yang terkenal dalam filsafat atau matematika adalah pernyataan yang dikemukaan oleh Zeno dari Elea, yang kemudian dikenal sebagai paradokz Zeno. Ada empat versi paradoks Zeno, tetapi dalam tulisan ini hanya akan diambil salah satu versi, yaitu Achilles yang terkenal dapat berlari cepat berlomba lari dengan kura-kura yang tidak dapat berlari cepat. Mereka menuju ke arah yang sama sedangkan kura-kura sedikit di depan Achilles. Betapa pun cepat Achilles berlari, mula-mula ia harus mencapai dulu tempat kura-kura itu beranjak. Namun pada saat itu kura-kura telah maju beberapa

jarak ke depan. Kemudian Achilles harus menempuh jarak lagi ke tempat kura-kura itu namun pada saat itu kura-kura sudah maju lagi. Demikianlah terus-menerus, Achilles hanya akan selalu mendekati kura-kura itu. Kesimpulan: Achilles tidak mungkin menyusul kura-kura itu. (dikutip dari buku Berhitung sejarah dan pengembangannya, Dali S. Naga) Sepintas terkesan bahwa pernyataan tersebut benar, akan tetapi dalam kenyataannya kita selalu dapat mengejar anak-anak yang berlari di depan kita, bis dapat menyalib sepeda motor, dan sebagainya. Hal ini yang mengakibatkan pernyataan tersebut dikatakan paradoks. Paradoks di atas merupakan cara yang digunakan oleh Zeno untuk mengungkapkan ketidaksetujuannya dengan suatu pengertian yang diungkapkan oleh para pemikir sezamannya (Dali S. Naga).

1. Paradoks DikotomiSebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan. Pertama-tama dia harus

menempuh perjalanan setengah jarak. Lalu setelah itu dia mesti menempuh seperempat, seperdelapan, seperenambelas, sepertigapuluhdua Sedemikian hingga jumlah perjalanannya menjadi tak-hingga. Oleh karana mustahil melakukan perjalanan sebanyak tak-hingga, maka benda tidak akan dapat sampai tujuan.2. Paradoks Achilles dan Kura-kura

Achilles dan Kura-kura melakukan lomba lari, meskipun begitu, kura-kura diizinkan start lebih awal. Agar dapat menyamai kura-kura, Achilles menetapkan sasaran ke tempat kura-kura saat ini berdiri. Akan tetapi, tiap kali Achilles bergerak maju, kura-kura juga bergerak maju. Ketika Achilles sampai di tempat kura-kura, kura-kura sudah berjalan sedikit ke depan.

Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kurakura juga sudah maju sedikit lagi. Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang. Akan tetapi setibanya di sana, kurakura juga sudah maju sedikit lagi. Demikian seterusnya ad infinitum. Jadi kesimpulannya: mustahil bagi Achilles untuk bisa menyamai kura-kura dalam balapan.

Kita yang sudah belajar tentang deret bilangan tentu dengan mudah bisa menunjukkan kesalahan dalam paradoks Zeno tersebut. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut. Misalkan kecepatan lari Achilles adalah 10 m/s, sedangkan kecepatan lari kura-kura adalah 1 m/s dan kura-kura berada pada jarak 10 m di depan Achilles. Menurut paradoks di atas, pada saat Achilles berlari sejauh 10 m, maka kura-kura sudah berada didepannya sejauh 1 m. Pada saat Achilles berlari sejauh 1 m, kura-kura sudah berada di depannya sejauh m, dan seterusya, sehingga Achilles tidak pernah dapat menangkap kura-kura tersebut. Untuk menunjukkan bahwa pernyataan di atas salah, perhatikan bahwa jarak yang diharus ditempuh oleh Achilles untuk menangkap kura-kura adalah untuk menangkap kura-kura adalah dapat menangkap kura-kura tersebut. m. Dengan menjumlahkan deret tersebut, kita dapatkan jarak yang harus ditempuh Achilles m. Di sini terlihat jelas bahwa sebenarnya Achilles

3. Paradoks Anak Panah

Misalnya kita membagi waktu sebagai deretan masa-kini. Kemudian kita lepaskan anak panah. Di setiap masa-kini anak panah menduduki posisi tertentu di udara. Oleh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu.

4. Paradoks Stadium

Terdapat tiga buah barisan benda A, B, dan C di lapangan tengah stadion.

Barisan A terletak diam di tengah lapangan. Sementara B dan C masing-masing terletak di ujung kiri dan kanan A. Kemudian B dan C bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama (hendak bersejajar dengan barisan A).

Antara Sebelum dan Sesudah, titik C paling kiri melewati dua buah B, tetapi cuma satu buah A. Berarti waktu C untuk melewati B = setengah waktu untuk melewati A. Padahal A dan B adalah unit yang identik! Mungkinkah setengah waktu = satu waktu?

Penyiasatan Lengkung Kubik Newton Salah satu pencapaian banyak Isaac Newton adalah pengelasan lengkung padu. Dalam erti kata lain, Newton mengambil tugas terebut dengan mengenal pasti jenis tingkah laku kualitatif yang berbeza dan mungkin lengkung jenis berikut

di mana

adalah parameter tetap , x dan y adalah pembolehubah. Untuk

membenarkan persamaan untuk menentukan kubik benar (bukannya satu kuadratik) ia akan beranggapan bahawa sekurang-kurangnya satu a, b, c atau d bukan sifar. Newton teah menemui 72 spesies yang berbeza daripada lengkung, tetapi kemudian penyiasat mendapati 6 lagi dan kini diketahui bahawa terdapat tepat 78 jenis lengkung padu. Apa sebenarnya yang dimaksudkan dengan pernyataan ini? Apakah "spesis" lengkung? Ia mungkin dapat memberi jawapan yang tepat kepada soalan-soalan ini, tetapi ini akan membawa kepada whichit teknikal akan yang terbaik untuk dielakkan pada masa ini. Untuk menunjukkan bahawa jawapan kepada soalan-soalan ini tidak semuanya jelas, ia adalah diperhatikan bahawa Newton dianggap semua persamaan dalam bentuk

Untuk mendapatkan spesies yang sama; walaupun fakta yang anda boleh ingat dari kalkulus asas persamaan ini boleh mempunyai sama ada kosong atau dua extrema dan boleh cenderung kepada infiniti sama ada positif atau negatif. Di sini kita boleh lihat bahawa Newton mengganggap dua lengkung adalah daripada spesies yang sama jika perubahan kecil koordinat mengubah satu ke yang lain. Untuk tujuan tugasan ini walaupun, dua lengkung dengan nombor yang berlainan extrema akan dianggap spesies yang berbeza. Selain itu, lengkung yang kesatuan nombor lengkung tidak terjalin yang tidak sama akan dianggap berbeza. Ciri-ciri lain yang boleh digunakan untuk membezakan lengkungan ialah bilangan crossing points, existence dan bilangan closed loops serta bilangan asymptotic branches.

Newton menunjukkan bahawa semua kubik boleh dijana oleh unjuran lima parabola kubik. Klasifikasi Newton lengkungan kubik muncul dalam bab "Curves" di Lexicon Technicum oleh John Harris yang diterbitkan di London pada tahun 1710. Newton juga diklasifikasikan semua cubics ke dalam 72 jenis, hilang enam daripada mereka. Di samping itu, beliau menunjukkan bahawa mana-mana padu boleh diperolehi dengan unjuran yang sesuai lengkung elips

di mana unjuran merupakan transformasi birational, dan kubik umum juga boleh ditulis sebagai

Kelas pertama Newton adalah persamaan dalam bentuk

Ini adalah kes yang paling sukar dan termasuk lengkung yang menyerupai ular (serpentine curve) sebagai salah satu daripada subcases. Kelas ketiga

yang dipanggil Newton's diverging parabolas. Lengkung ke66 Newton trisula-Newton. Klasifikasi kubik Newton dikritik oleh Euler kerana ia tidak mempunyai keumuman. Plcker kemudiannya memberi pengelasan yang lebih terperinci dengan 219 jenis.

Sembilan dikaitkan mata teorem menyatakan bahawa mana-mana lengkung padu yang melalui lapan daripada sembilan persimpangan dua lengkung yang diberikan padu secara auto matik melalui yang kes embilan (Evelyn et al. 1974, h. 15)

Pilih titik P, dan menarik tangen kepada lengkung di P. Titik ini dipanggil mana tangen ini bersilang dengan lengkungan Q. Lukiskan tangen lain dan panggilan titik persilangan dengan lengkungan R. Setiap lengkung darjah ketiga mempunyai ciri tersebut dengan kawasan dalam rajah di atas dilabelkan,