Corso di

Comportamento Meccanico dei Materiali

Ing. Matteo Vettori.

AA 2010/2011 Rev. 10/2010

Parte V.

Il Corpo Deformabile:

Sforzi e Deformazioni

Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie del Packaging Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie dei Materiali

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CORPO DEFORMABILE

Qualsiasi corpo soggetto a forze (o momenti), subisce comunque una certa variazione delle sue dimensioni (in genere si allunga in una direzione e si accorcia nell’altra o viceversa) La variazione delle dimensioni è in genere più o meno proporzionale alla forza (momento) applicata

R

F

F

R

dimensione prima dell’applicazione del carico

dimensione dopo dell’applicazione del carico

Lo+L

Lo

P

Lo+2L

2P

Relazione tra forza applicata P e allungamento (L) di un corpo deformabile

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COMPORTAMENTO ELASTICO Si immagini che la forza applicata sia comunque inferiore alla forza necessaria a determinare la rottura del materiale (forza di rottura): • la lunghezza iniziale (Lo) aumenta di un certo valore

(∆Lelastico) con l’aumento della forza applicata • rimossa la forza applicata, la lunghezza torna ad essere

quella iniziale (Lo) e l’allungamento si annulla (∆L=0)

∆Lelastico

3

2

1

Forza

Allungamento

1

2

3

L = Lo

L = Lo + ∆Lelastico

L = Lo

Lo

Lo

Lo

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COMPORTAMENTO ELASTO-PLASTICO Si immagini che la forza applicata sia comunque inferiore alla forza necessaria a determinare la rottura del materiale (forza di rottura): • se non si supera un certo valore critico della forza

applicata (forza elastica limite) il comportamento è di tipo sostanzialmente elastico, pertanto la lunghezza iniziale (Lo) aumenta di un certo valore (∆Lelastico) con l’aumento della forza applicata

• se si supera la forza elastica limite si verifica un allungamento permanente di tipo plastico non più proporzionale alla forza (∆Lplastico)

• rimossa la forza, l’allungamento elastico (∆Lelastico) viene recuperato, mentre resta sul materiale un allungamento residuo permanente(∆Lplastico) non più recuperabile

Lo

Allungamento

L = Lo

4

3

2

1

Forza1

2 L = Lo + ∆Lelastico

∆LelasticoLo

3 L = Lo + ∆Lelastico+ ∆Lplastico

Lo ∆Lelastico ∆Lplastico

L = Lo + ∆Lplastico

Lo ∆Lplastico

forza elastica limite

4

73

MATERIALI ELASTICI ED ELASTO-PLASTICI

I materiali possono essere divisi in due categorie: • materiali a comportamento elastico, sui quali

l’applicazione di una forza non può determinare l’insorgenza di variazioni di forma permanenti, per i quali può essere individuata una forza di rottura

• materiali a comportamento elasto-plastico, sui quali l’applicazione di una forza può determinare l’insorgenza di variazioni di forma permanenti, per i quali può essere individuata sia una forza di rottura che una forza elastica limite

• I materiali ceramici (fragili) e i polimeri elastomerici (molto

deformabili) hanno tipicamente comportamento elastico • La maggior parte dei materiali metallici e i materiali

polimerici termoplastici hanno tipicamente comportamento elasto-plastico

ForzaForza

Forza elastica limite

Polimeri termoplastici

Metalli

Allungamento

Ceramici (fragili)

Polimeri elastomerici

Allungamento

MATERIALI ELASTO-PLASTICIMATERIALI ELASTICI

Forza di rotturaForza di rottura

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MASSIMO FORZA AMMISSIBILE Si immagini di realizzare un qualsiasi oggetto sottoposto a delle forze: • è sicuramente necessario che esso non si rompa • nella maggior parte dei casi è necessario anche che a

seguito dell’applicazione di una forza l’oggetto non subisca variazioni di forma irreversibili

Nel seguito ci limiteremo a considerare situazioni di questo tipo, pertanto: • nel caso di materiali elastici la forza applicata deve essere

inferiore alla forza di rottura • nel caso di materiali elasto-plastici la forza applicata deve

essere inferiore alla forza elastica limite

Forza

Allungamento

Forza di rottura

Allungamento

Forza

Forza limite elasticaForza di rottura

MATERIALI ELASTICI MATERIALI ELASTO-PLASTICI

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SFORZO E DEFORMAZIONE

Nella progettazione e realizzazione di oggetti, componenti, apparecchiature è necessario calcolare: • sotto quale forza il pezzo si rompe (o comunque resta in

campo elastico) • di quanto esso cambia di dimensioni se soggetto ad una

data forza non sufficiente per romperlo (o comunque per deformarlo in modo permanente)

Per poter giungere a tali valutazioni è tuttavia necessario tener conto delle forma iniziale del pezzo e introdurre: • accanto al concetto di forza quello di sforzo • accanto al concetto di cambio di dimensioni

(allungamento), quello di deformazione

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SFORZO È intuitivo pensare che lo stato di sollecitazione interna di un materiale (sforzo) dipenda dalla forza applicata ma anche dalla forma del pezzo Lo sforzo può essere valutato mediante opportuno rapporto tra la forza agente e le dimensioni del pezzo (sezione resistente) Lo sforzo non è una grandezza effettivamente misurabile, ma solo una astrazione elaborata per facilitare il compito al progettista La valutazione dello sforzo è facile se ci riferisce solo ai casi più semplici Nelle situazioni reali, la corretta valutazione dello sforzo è piuttosto complessa e spesso per poterlo stimare è necessario ricorrere a metodi di calcolo sofisticati quali i codici a elementi finiti

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DEFORMAZIONE

Un corpo soggetto a delle forze subisce comunque una variazione di dimensioni (allungamento, accorciamento, ecc.) La variazione di dimensione che subisce un corpo sottoposto a delle forze è una grandezza effettivamente misurabile, ma l’entità della variazione di forma dipende dalla dimensione iniziale Si definisce deformazione un opportuno rapporto tra la variazione di forma e le forma iniziale In un caso molto semplice (trazione) si immagini di avere due barre lunghe rispettivamente • lunghezza iniziale 10 cm • lunghezza iniziale 100 cm che dopo l’applicazione di una forza subiscono una variazione di forma rispettivo di • allungamento 5 cm • allungamento 50 cm dividendo l’allungamento per la lunghezza iniziale si può calcolare che • deformazione 5/10 = 0,5 • deformazione 50/100 = 0,5 i due corpi hanno subito allungamenti molto diversi (5 cm e 50 cm) ma uguale deformazione (0,5)

deformazione = 0,5

78

SFORZO E DEFORMAZIONE I casi semplici di sforzo e connessa deformazione sono:

• trazione e compressione • taglio

• flessione • torsione

- - - - - - asse neutro

MMM M

79

TRAZIONE E COMPRESSIONE Lo stato di trazione o compressione è determinato da due forze (spesso una forza applicata e una reazione vincolare) uguali ed opposte, che agiscono lungo la stessa direzione

Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si deforma allungandosi in una direzione e accorciandosi nell’altra senza variare la forma rettangolare: • se il corpo tende ad allungarsi nella direzione della forza si

parla di deformazione a TRAZIONE • se il corpo tende accorciarsi nella direzione della forza si

parla di deformazione a COMPRESSIONE

80

AZIONI INTERNE IN CASO DI TRAZIONE

• Si consideri una barra soggetta a due forze (o ad una forza applicata ed una reazione vincolare) uguali ed opposte allineate con l’asse della barra (che ne garantiscono l’equilibrio)

• Si voglia valutare se la barra è in grado di resistere oppure no alle forze applicate (si rompe oppure no) e di quanto si deforma

• Per poterlo valutare dobbiamo essere in grado di calcolare quale sia lo stato di sollecitazione effettivamente agente in una generica sezione

• Ciò può essere fatto calcolando le AZIONI INTERNE che

agiscono nella sezione stessa • La metodologia per il calcolo delle azioni interne è

relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito • Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della

barra in esame sia soggetta ad 1 forza di entità P che agisce perpendicolarmente alla sezione stessa

P

L

VA = P P

L

VA = P P

81

SFORZO Consideriamo una barra di sezione resistente A0 sottoposta ad una forza F Si definisce sforzo [nominale] (σσ ) il rapporto tra la forza applicata (F) e la sezione iniziale (A0) forza F Sforzo [nominale] = σσ = sezione iniziale A0

Unità di misura (sistema SI): • forza : Newton N (forza che applicata ad una massa di 1 kg imprime l’accelerazione di 1 m/s2) • lunghezza metro m • sforzo Pascal Pa (N/m2) o più spesso: • sforzo megaPascal MPa (MN/m2) o (N/mm2) Conversioni: • 106 N/m2 = 106 Pa = 1 MPa = 1 N/mm2 • 109 N/m2 = 109 Pa = 1 GPa • 1 kg/mm2 = 9,81 MPa

AoA

F

F

F

F

Ao A

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DEFORMAZIONE Consideriamo una barra di sezione resistente A0 e lunghezza l0 sottoposta ad una forza F, che si allunga fino a raggiungere la lunghezza l

Si definisce deformazione [nominale] (εε ) il rapporto tra l’allungamento subito (∆l = l - l0) e la lunghezza iniziale (l0) lunghezza finale - lunghezza iniziale Deformazione [nominale] = lunghezza iniziale

l - l0 ∆∆l εε = = l0 l0

Unità di misura: • adimensionale m/m mm/mm

loAo

l lo

∆lA

F

F

F

F

loAo

lo

∆lA

l

83

DEFORMAZIONE PERCENTUALE La deformazione può essere espressa anche come deformazione percentuale, che è pari alla deformazione moltiplicata per 100:

l - l0 ∆∆l εε% = εε . 100 = . 100 = . 100 l0 l0

Unità di misura: • adimensionale m/m mm/mm E’ necessario fare molta attenzione e non confondere la deformazione (εε ) con la deformazione percentuale (εε%), perché si rischia di introdurre un errore di 2 ordini di grandezza

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MODULO DI POISSON Sottoponendo un materiale ad una forza lungo l’asse z, esso subisce una deformazione positiva (allungamento) (+εεz) lungo tale direzione, e una deformazione negativa (contrazione) lungo gli assi x (-εεx ) e y (-εεy) Viceversa se si ha deformazione negativa lungo l’asse z (-εεz) si ha deformazione positiva lungo gli assi x (+εεx) e y (+εεy) In presenza di un solido isotropo εεx e εεy sono uguali

Si definisce Modulo di Poisson (νν ) il rapporto invertito di segno tra la deformazione laterale (εεx o εεy) e la deformazione longitudinale (εεz)

εε laterale εεx εεy νν = - = - = - εε longitudinale εεz εεz

Poiché le deformazioni laterale e longitudinale hanno segno opposto, l’aggiunta del segno meno garantisce che νν sia positivo

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VALORI DEL MODULO DI POISSON Per i materiali ideali νν dovrebbe essere pari a 0,5 (costanza del volume); se νν < 0,5 la contrazione laterale è inferiore al dovuto, cioè sotto sollecitazione il corpo aumenta di volume Valori tipici del coefficiente di Poisson νν : • materiali metallici 0,3 ÷÷ 0,35 • materiali ceramici 0,1 ÷÷ 0,25 • materiali polimerici (termoplastici) > 0,4 • caucciù e polimeri elastomerici ≈ 0,5

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ESERCIZIO Domanda:

Si consideri un parallelepipedo con i lati a0, b0 ed l0 inizialmente di lunghezza 5, 8 e 200 mm sottoposto ad una forza assiale di 400 kgf (orientata parallelamente al lato di lunghezza 200 mm). 1. Ipotizzando che la conversione tra kgf e N sia 1 kgf = 10

N (anziché 9,81 N), calcolare lo sforzo agente in kgf/mm

2, kN/mm2 e MPa. 2. Ipotizzando che dopo l'applicazione della forza il

parallelepipedo abbia subito una deformazione dello 0,02 e che il modulo di Poisson sia pari a 0,4, calcolare le dimensioni del parallelepipedo (lati a, b, l) dopo l'applicazione della forza stessa.

Risposta: F l - l0 εε lat

σσ = εε = νν = - A0 l0 εε long

1. σ (kgf/mm2) = 400/40 = 10 kgf/mm2 σ (kN/mm2) = (400· 10· 10-3)/40 = 0,1 kN/mm2 σ (MPa) = (400· 10· 10-6)/(40· 10-6)=100 MN/m2=100 MPa σ (MPa) = (400· 10)/40 = 100 N/mm2 = 100 MPa 2. 0,02 = (l-200)/200 4 = l-200 l = 200+4 l = 204 mm 0,4 = -(εlaterale/0,02) εlaterale = -0,4· 0,02 = -0,008 a = a0 + a0.εlaterale = 5-5· 0,008 = 5-0,04 = 4,96 mm b = b0 + b0.εlaterale = 8-8· 0,008 = 8-0,064 = 7,936 mm

87

LEGAME SFORZO-DEFORMAZIONE Fino a che si resta in campo elastico (in presenza di deformazioni reversibili), il legame sforzo-deformazione è dato dalla

LEGGE DI HOOKE

σσ = E· εε oppure E = σσ/εε oppure εε = σσ/E dove: σσ = sforzo applicato (in MPa),

εε = deformazione (adimensionale), E = modulo di elasticità o di Young (in MPa).

Unità di misura: • si calcola in MPa • per comodità spesso si riporta in GPa

• 1 GPa = 1000 MPa • 1 MPa = 10-3 GPa

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VALORI DEL MODULO DI ELASTICITÀ La deformazione che un materiale subisce se sottoposto ad un certo sforzo dipende molto dal tipo di materiale Ad esempio a parità dei dimensioni e sforzo i polimeri di più diffuso impiego (E ≈ 2 GPa) subiscono una deformazione 100 volte maggiore di un acciaio (E ≈ 200 GPa); nel caso di elastomeri (E ≈ 0,005 GPa) tale rapporto può diventare anche circa 40.000 La conoscenza del suo valore del modulo di elasticità è pertanto fondamentale per prevedere la il comportamento in esercizio di un materiale Valori tipici del modulo di elasticità E:

• metalli 70-230 GPa (acciaio 200 GPa) • ceramici:

tradizionali 10-100 GPa avanzati fino 400 GPa diamante 1000 GPa

• polimeri 2-8 GPa (valore più comune 2 GPa) • elastomeri 0,005 GPa • legno 10-30 GPa • compositi fino 200 GPa (a matrice polimerica)

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ESERCIZIO Domanda:

Un parallelepipedo con i lati ao, bo ed lo inizialmente di lunghezza 10, 20 e 100 mm è soggetto ad una forza F di 8150 kgf allineata con l'asse lo. Sapendo che il modulo di elasticità del materiale è 200 GPa, calcolare la deformazione, la deformazione percentuale e la lunghezza finale l del parallelepipedo.

Risposta: F l - l0

σσ = εε = εε% = εε · 100 σσ = E· εε A0 l0

F = 8150· 9,81 = 80.000 N σ = F/(a· b) = 80.000/(20· 10) = 400 MPa ε = σ/E = 400/200.000 = 0,002 ε% = 0,2% ε = (l-lo)/lo l-lo = lo· ε l = lo+(lo· ε) = 100+(100· 0,002) = 100,2 mm

90

ESERCIZIO

Livello 2 Domanda: Si immagini di sollevare un peso da 48,93 kg mediante un attrezzo costituito da una maniglia e un gancio di acciaio, connessi con una barra di polimero (E = 2,0 GPa, ν = 0,4) di lunghezza 1 m e sezione 4×4 mm. Calcolare, nel momento in cui il peso si solleva dal terreno, la lunghezza finale della barra di polimero e la variazione di dimensione di ogni lato della sezione (indicando se positiva o negativa). Risposta:

F l - l0 εε lat σσ = εε = σσ = E· εε νν = - A0 l0 εε long

F = 48,93· 9,81 = 480N σ = F/Ao = 480/16 = 30 MPa ε = σ/E = 30/2000 = 0,015 l-lo = ε· lo l = lo· (1+ε) = 1000· (1+0,015) = 1015 mm εlat = -ν· εlong = -0,4· 0,015 = -0,006 a-ao = ε lat· ao = -0,006· 4 = -0,024 mm

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TAGLIO Lo stato di taglio è determinato da due forze (spesso una forza applicata e una reazione vincolare) uguali ed opposte, che agiscono lungo direzioni parallele

Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si deforma trasformandosi in romboedro (inclinato di un angolo θ)

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AZIONI INTERNE IN CASO DI TAGLIO

• Considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso della trazione possono essere fatte nel caso del taglio

• Si consideri una barra soggetta a due forze (o ad una forza applicata ed una reazione vincolare) uguali ed opposte che agiscono su piani paralleli

• La metodologia per il calcolo delle azioni interne è relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito

• Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della barra in esame sia soggetta ad 1 forza di entità P che agisce parallelamente alla sezione stessa

P P

R = P

P

R = P

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SFORZO DI TAGLIO Un materiali può deformarsi per effetto di una coppia di forze che agiscono in senso opposto su due superfici tra loro parallele Immaginando che le forze S agiscano su due superfici parallele di area A, si definisce SFORZO DI TAGLIO (ττ) il valore

forza di taglio S Sforzo di taglio = ττ = sezione interessata A

Unità di misura (sistema SI): • sforzo Pascal Pa (N/m2) o più spesso: • sforzo megaPascal MPa (N/mm2)

forza di taglio S

R = S

sezione interessata A

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DEFORMAZIONE DI TAGLIO Il materiale soggetto ad uno sforzo di taglio si deforma spostando uno rispetto all’altro i due piani Immaginando che lo spostamento a si verifichi tra due superfici poste a distanza h, si definisce DEFORMAZIONE DI TAGLIO (γγ) il valore:

spostamento a Deformazione di taglio = γγ = = tg θθ distanza h

dove θθ è l’angolo di scostamento tra le due superfici, misurato in radianti (per piccoli angoli γγ = θθ ) Unità di misura: • adimensionale m/m mm/mm

forza di taglio S

R = S

angolo θθ

scostamento a

distanza h

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ESERCIZIO Domanda:

Si consideri un parallelepipedo con i lati a, b e l di lunghezza 5, 10 e 40 cm soggetto a due forze S1 e S2 uguali ed opposte pari a 200 kN che agiscono sulle superfici parallele a-b. 1. Calcolare lo sforzo di taglio τ in MPa ed in kgf/mm2. 2. Ipotizzando che la deformazione di taglio sia pari al 2%,

calcolare di quanto trasla il punto di applicazione di S2 rispetto a quello di applicazione di S1.

Risposta:

S a ττ = γγ =

A h

1. τ (MPa) = τ (N/mm2) = S/A = 200000/5000 = 40 MPa

τ (kgf/mm2) = τ (MPa)/9,81 = 4,2 kgf/mm2

spostamento a

2. deformazione taglio γ = ------------------------- = 2% = 0,02 distanza h

spostamento a = deformazione taglio γ· × distanza h =

= 0,02· 400 = 8 mm

96

LEGAME SFORZO-DEFORMAZIONE Anche nel caso del TAGLIO può essere scritta una legge che lega lo sforzo alla deformazione

ττ = G· γγ oppure G = ττ/γγ oppure γγ = ττ/G dove: ττ = sforzo di taglio applicato (in MPa),

γγ= deformazione di taglio (adimensionale), G = modulo di taglio (in MPa).

La legge è simile alla legge di Hooke valida per deformazione a trazione o compressione σσ = E· εε Il valore di G è legato a quelli di E (modulo di Young) e νν (modulo di Poisson) tramite la relazione:

G = E/2(1+νν)

97

ESERCIZIO

Livello 2 Domanda: Una lastra di vetro (E = 100 GPa, ν = 0,3) di dimensioni 1×2 metri e altezza 1 cm, sia appoggiata su due sostegni in pietra (E = 120 GPa, ν = 0,3) di dimensioni 10×60 cm e altezza 80 cm. Fra vetro e ognuno dei sostegni vengono interposti due quadrati 5×5 cm di gomma naturale (E = 6 MPa, ν = 0,5) che, dopo che il vetro è stato appoggiato, diviene di spessore 2 cm. Calcolare, trascurando le deformazioni di secondario effetto, di quanto si sposta verso destra la lastra di vetro, se essa viene spinta lateralmente da sinistra, con una forza di 1000 N.

Risposta:

S a ττ = γγ = ττ = G· γγ G = E/2(1+νν )

A h

τ = S/A = 1000/4· 502 = 0,1 MPa G = E/2(1+ν) = 6/2(1+0,5) = 2 MPa γ = τ/G = 0,1/2 = 0,05 a = γ· h = 0,05· 20 = 1 mm

98

FLESSIONE Lo stato di flessione è determinata da due momenti (spesso un momento applicato e una reazione vincolare momento) uguali ed opposti, che agiscono sullo stesso piano

• Ogni rettangolo elementare che costituisce il corpo si

deforma curvandosi • In una generica sezione si passa progressivamente da una

situazione in cui le fibre sono sollecitate a trazione e allungate (+σ, +ε), ad una condizione in cui le fibre sollecitate a compressione e accorciate (-σ, -ε)

• Esiste una zona (asse neutro) in cui le fibre non sono né sollecitate, né deformate; in caso di geometria semplice (quadrata, rettangolare, rotonda) l’asse neutro è sulla mezzaria

• Oltre che una deformazione locale (ε) si ha anche una macro deflessione (δδ) che misura lo spostamento della zona maggiormente flessa rispetto alla posizione iniziale

- - - - - - asse neutro

MMM M

δ+σ, +ε

-σ, −ε

asse neutro

99

FLESSIONE Si consideri una trave di una certa lunghezza e sezione rettangolare, caricata con due momenti uguali ed opposti La trave sia abbia nel primo caso orientata con il lato maggiore della sezione verso l’alto e nel secondo caso con il lato minore (ribaltamento di 90°) E’ intuitivo che: • le travi tendono a rompersi più facilmente e a flettersi

maggiormente quanto maggiore è la coppia di momenti applicati M (⇒⇒ σσ e δ δ aumentano con M)

• la trave orientata con il lato maggiore della sezione verso l’alto (a parità di sezione, di momenti applicati M e di materiale) si rompe più difficilmente e si flette meno rispetto

⇒⇒ σσ e δ δ diminuiscono con un parametro legato alla disposizione della sezione rispetto al carico a flessione, detto MOMENTO DI INERZIA)

• la sollecitazione dipende fortemente dalla posizione rispetto all’asse neutro (⇒⇒ σσ dipende da y)

y positivo: sforzo di trazione y nullo (asse neutro): sforzo nullo y negativo: sforzo di compressione

M

-y +y

-y +y

M M M

100

MOMENTI DI INERZIA Valuta la resistenza che una sezione oppone a essere deformata e dipende dalla sua geometria

d

d Iquadrato = d4/12

d

h Irettangolo = d·h3/12

h'

d

hd'/2 Idoppia ti=(d·h3-d'·h'3)/12

r Ibarra= πr4/4

rr' Itubo= π(r4-r'4)/4

r

t

Itubo parete sottile=2πr3t

t r Itubo tagliato=2πr3t(1-3t/2r)

101

MOMENTI DI INERZIA In linea di massima il momento di inerzia: • è proporzionale all’altezza della sezione elevata alla terza

potenza (al cubo) • è proporzionale alla larghezza della sezione alla prima

potenza Conseguentemente a parità di area della sezione (quantità di materiale): • tanto più è grande il rapporto altezza/larghezza della

sezione, tanto più è alto il momento di inerzia • la sezione a doppia T garantisce il massimo valore del

momento di inerzia • le sezioni cave determinano un momento di inerzia

superiore alle sezioni piene

102

AZIONI INTERNE IN CASO DI FLESSIONE

• Considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso della trazione e del taglio possono essere fatte nel caso di flessione

• Si consideri una barra soggetta a due momenti (o ad un momento applicato ed una reazione vincolare momento) uguali ed opposte che agiscono sullo stesso piano

• La metodologia per il calcolo delle azioni interne è relativamente complessa e verrà illustrata nel seguito

• Per il momento si dia per assodato che ogni sezione della barra in esame sia soggetta ad 1 momento di entità M che agisce perpendicolarmente alla sezione stessa

R = M M

R = M M M

103

FLESSIONE: SFORZO Lo sforzo in un generico punto della sezione può essere calcolato come:

M · y σσ = Ι Ι

ove σσ = sforzo di trazione agente (MPa = N/mm2)

M = momento agente (N.mm) y = distanza dall’asse neutro (mm) ΙΙ = momento di inerzia (mm4)

104

FLESSIONE: DEFORMAZIONE Localmente: • ogni fibra si deforma in base alla legge di Hooke σσ = E· εε A livello macroscopico: • si ha una macro deflessione δδ che a:

• aumenta con l’aumento del momento applicato M • aumenta con il quadrato dell’aumento della lunghezza

della trave L • diminuisce con l’aumento dal momento di inerzia ΙΙ • diminuisce con l’aumento dal modulo di elasticità E

La massima deflessione che subisce la trave può essere calcolata mediante opportune formule che verranno esaminate caso per caso

f (M · L2) δδmax = f (E · ΙΙ )

δ

L L

δM M M M

105

TRAVE SU DUE APPOGGI (con forza agente in mezzaria)

P

R1 R2L

L/2

R1 = R2 = P/2 Anche se la dimostrazione verrà data in seguito, alcune considerazioni sono intuitive o possono essere accettate per valide: • la trave è sollecitata da una forza P e da due reazioni

vincolari R1 ed R2 entrambe pari a P/2 • la trave tende a flettersi e il punto di massima sollecitazione

(in cui eventualmente si romperebbe) è al centro in corrispondenza al punto di applicazione di P

• il momento flettente massimo al centro della trave vale Mmax = F· L/4 e le formule di calcolo necessarie per calcolare lo sforzo e la deflessione al centro della trave valgono:

F· L· y σσ = 4· Ι Ι

F· L3 δδmax = 48· E· Ι Ι

106

107

ESERCIZIO Livello 2

Domanda:

Una trave di lunghezza 250 cm è soggetta a flessione in tre punti da parte di una forza pari a 4,8 kN applicata nel centro della trave, che poggia su due appoggi posti alla distanza di 200 cm. Ipotizzando un modulo di elasticità del materiale di cui è fatta la trave pari a 200 GPa, calcolare la massima deflessione per le tre seguenti sezioni (tutte di pari area): (1) rettangolare con w = 20 mm e h = 50 mm; (2) rettangolare con w = 50 mm e h = 20 mm; (3) a doppia T con w = 20 mm, h = 80 mm, h’ = 60 mm, w’/2 = 5 mm.

Risposta:

unità di misura utilizzate: forza in N, lunghezze in mm

ΙΙ = w· h3/12

ΙΙ1 = 20· 503/12 ≈ 210.000 ΙΙ2 = 50· 203/12 ≈ 33.000 ΙΙ3 = [(20· 803)-(10· 603)]/12 ≈

670.000

δmax = F· L3/48· E· ΙΙ

δ1max = 4800· 20003/48· 200.000· 210.000 ≈ 19 mm δ2max = 4800· 20003/48· 200.000· 33.000 ≈ 121 mm δ3max = 4800· 20003/48· 200.000· 670.000 ≈ 6 mm

108

ESERCIZIO Livello 2

Domanda: Si consideri una libreria realizzata con mensole scatolate di larghezza 25 cm, altezza 3 cm e distanza tra gli appoggi 2 m, ottenute piegando e saldando una lamiera di alluminio (E = 60 GPa) di spessore 2,5 mm [si ipotizzi che il momento di inerzia valga 240000. Si calcoli quanti libri da 1019 g possono essere caricati su ogni mensola (ipotizzando di posizionarli al centro) senza che la deflessione della mensola superi 1 cm.

Risposta:

δδmax = F· L3/48· E· ΙΙ

F = 48· δ· E· ΙΙ/ L3 = 48· 10· 60000· 240000/20003 = 864 N Peso 1 libro = 1,019· 9,81 = 10 N Libri = 864/10 = 86 libri

25 cm

W’ 3 cm h’

Spessore lamiera 2,5 mm

109

TRAVE INCASTRATA (con forza agente all'estremità opposta)

P

L

R=P

M=PL

Anche se la dimostrazione verrà data in seguito, alcune considerazioni sono intuitive o possono essere accettate per valide: • la trave è sollecitata da una forza P e da una reazione

vincolare verticale R pari a P e da una reazione vincolare momento M pari a P.L

• la trave tende a flettersi e il punto di massima sollecitazione (in cui eventualmente si romperebbe) è nell’incastro

• il momento flettente massimo nel punto dell’incastro della trave vale Mmax = F· L e le formule di calcolo necessarie per calcolare lo sforzo e la deflessione al centro della trave valgono:

F· L· y σσ = Ι Ι

F· L3 δδmax = 3· E· Ι Ι

110

TORSIONE Determinato da due momenti (un momento applicato e una reazione vincolare momento) di segno opposto agenti su due piani paralleli

Lo sforzo di torsione è dato in ogni punto da: Il momento massimo agente vale:

ττ = M· y/K

dove : M è il momento agente, y la distanza dall’asse neutro, K il momento polare di inerzia (alla torsione).

In caso di corpo di forma tonda di raggio r, lo sforzo di torsione è massimo sulla superficie esterna del tondo e vale:

ττmax = 2· M/ππ· r3

Anche per la torsione conoscendo i momenti applicati, la geometria del pezzo ed i momenti polari di inerzia, è possibile calcolare gli sforzi e le deformazione agenti.

111

MOMENTI DI INERZIA A TORSIONE

d

d Iquadrato = 0,141d4

d

Itriangolo = (√3/80)d4

r Ibarra= πr4/2

rr' Itubo= π(r4-r'4)/2

r

t

Itubo parete sottile= πr3t/2

r

t

Itubo tagliato= 2πrt3/3

112

FORMULE DA UTILIZZARE

TRAZIONE E COMPRESSIONE

F l - l0 εε lat σσ = εε = εε% = εε · 100 νν = - σσ = E· εε A0 l0 εε long

TAGLIO

S a ττ = γγ = ττ = G· γγ G = E/2(1+νν )

A h

FLESSIONE tre punti

M· y F· L F· L3

σσ = Mmax = δδmax = ΙΙ 4 48· E· ΙΙ

FLESSIONE trave incastrata

M· y F· L3

σσ = Mmax = F· L δδmax = ΙΙ 3· E· ΙΙ

MOMENTI DI INERZIA (A FLESSIONE)

rettangolare: ΙΙ = w· h3/12 doppia T: ΙΙ = (w· h3-w’· h’3)/12 circolare: ΙΙ = ππr4/4

113

114

SFORZO DI SNERVAMENTO E DI ROTTURA Un materiale a comportamento elastico (anche fragile) è caratterizzato dalla presenza di: • uno sforzo di rottura, al di sopra della quale si verifica la

rottura finale del componente Un materiale a comportamento elastico-plastico è caratterizzato dalla presenza di: • uno sforzo di snervamento, che separa il campo elastico

da quello plastico • uno sforzo di rottura, al di sopra della quale si verifica la

rottura finale del componente

Deformazione

Sforzo

Sforzo di snervamento Sforzo di rottura

Sforzo

Deformazione

Sforzo di rottura

115

MATERIALI ELASTICI (anche fragili) Se lo sforzo applicato è inferiore allo sforzo di rottura (σ < σrottura) il materiale opera in campo elastico; se si toglie lo sforzo applicato la deformazione viene recuperata Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di rottura (σ > σrottura) si supera la massima resistenza meccanica del materiale e l’oggetto si rompe

Viene recuperata la forma iniziale

rompe

116

MATERIALI ELASTO-PLASTICI Se lo sforzo applicato è inferiore allo sforzo di snervamento (σ < σsnervamento) il materiale opera in campo elastico; se si toglie il carico applicato la deformazione viene recuperata Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di snervamento ma inferiore allo sforzo di rottura (σsnervamento < σ < σrottura) il materiale opera in campo plastico; se si toglie il carico applicato la sedia resta deformata plasticamente in modo permanente poiché viene recuperata solo la componente elastica Se lo sforzo applicato è superiore allo sforzo di rottura (σ > σrottura) si supera la massima resistenza massima del materiale e l’oggetto si rompe

rompe

Resta una deformazione permanente

Viene recuperata la forma iniziale

117

GRANDEZZE NECESSARIE PER STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN MATERIALE

Ci si era posti inizialmente l’obiettivo, conoscendo le forze agenti e le dimensioni di un corpo, di calcolare gli sforzi agenti e le deformazioni conseguenti per poter verificare: • se un pezzo resiste alle forze applicate oppure no • se si deforma in modo eccessivo o no Per poter sapere se un corpo resiste alle forze applicate oppure no, per ogni materiale dobbiamo conoscere: • σσammmissibile massimo sforzo che un certo materiale può

sopportare senza rompersi o senza che su esso avvengano eccessive deformazioni plastiche irreversibili

Nel caso di materiali isotropi, (come sono in genere tutti i materiali tranne i materiali compositi a fibre e i materiali naturali) per poter calcolare, noti gli sforzi, le deformazioni che esso subisce, dobbiamo conoscere le tre costanti elastiche: • E modulo a trazione, che lega lo sforzo di trazione alla

deformazione tramite la legge di Hooke (σσ = E.εε ) • G modulo a taglio, che lega lo sforzo di taglio alla

deformazione tramite la legge (ττ = G.γγ) • νν modulo di Poisson, che lega la deformazione

longitudinale alla deformazione trasversale (νν = -εε lat/εε long) Data la formula che lega tra loro queste grandezze [G = E/2(1+νν )] è sufficiente in realtà conoscere due di tali grandezze (in genere E e ν) Nella Tabella seguente sono riportati i valori di σσammmissibile, E e νν per i principali tipi di materiali

118

GRANDEZZE NECESSARIE PER STUDIARE IL COMPORTAMENTO DI UN MATERIALE

Valori indicativi di alcune caratteristiche meccaniche per alcune classi di materiali Materiale σammissibile

(MPa) E

(GPa) ν (-)

acciai 320-2000 190-210 0,3 ghise 100-800 135-155 0,2 leghe di rame 235-860 105-125 0,35 leghe di alluminio 70-600 65-75 0,35 gomma 3-10 0,005-3 0,5 plastica 10-120 1-8 0,4 plastica rinforzata 800-1500 45-200 - calcestruzzo 30-50* 10-38 0,2 vetro 100-120 70 0,23 allumina 300 380 0,16 * a compressione (a trazione o flessione valori molto più bassi)

119

ESERCIZIO Livello 2

Domanda: Si dimensioni lo spessore dello schienale di una sedia. Esso in prima approssimazione può essere assimilato a una mensola di larghezza 40 cm e profondità 40 cm, incastrata in un estremo e sulla quale grava nell’estremo opposto un peso di 55 kgf e che sia accettabile un abbassamento massimo della mensola di 1 cm. Si ipotizzi l’uso di: (1) lega di alluminio (σammissibile = 135 MPa, E = 80 GPa) (2) polimero (σammissibile = 19,2 MPa, E = 2 GPa) (3) legno (σammissibile = 19,2 MPa, E = 20 GPa)

Risposta:

unità di misura utilizzate: forza in N, lunghezze in mm

σmax = M· y/ΙΙ = F· L· h/2ΙΙ = 6· F· L/w· h2 h = √(6· F· L/w· σmax)

δmax = F· L3/3· E· ΙΙ = 4· F· L3/E· w· h3 h = √(4· F· L3/E· w· δmax)

(1) h1σ = √(6· 540· 400/400· 135) ≈ √24 ≈ 5 mm h1δ =

3√(4· 540· 4003/80.000· 400· 10) ≈ 3√216 ≈ 6 mm (2) h3σ = √(6· 540· 400/400· 19,2) ≈ √169 ≈ 13 mm h3δ =

3√(4· 540· 4003/2.000· 400· 10) ≈ 3√17280 ≈ 26 mm (3) h2σ = √(6· 540· 400/400· 19,2) ≈ √169 ≈ 13 mm h2δ =

3√(4· 540· 4003/20.000· 400· 10)≈ 3√1728 ≈ 12 mm Ad esempio nel caso di uso di lega di alluminio, è necessario uno spessore di 5 mm per garantire che la mensola non si rompa (o pieghi) e uno spessore di 6 mm per garantire che non si pieghi eccessivamente; pertanto lo spessore minimo necessario è di 6 mm (spessore che garantisce da entrambe le eventualità)

critico

critico

critico

120

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI UN MATERIALE

Le principali caratteristiche meccaniche di un materiale sono: • resistenza • rigidezza • duttilità • tenacità Ognuna di queste caratteristiche può essere stimata mediante opportuni valori numerici La conoscenza delle caratteristiche meccaniche dei vari materiali è necessaria per giungere ad una scelta oculata

121

RESISTENZA Definizione: • capacità di un materiale di sopportare una

sollecitazione (statica) senza snervarsi e/o rompersi Grandezze caratterizzanti: • sforzo di snervamento: σσsn (σ0,2%, Rs, Rsn, TYS) • sforzo di rottura: σσR (σR, R, Rmax, UTS)

SFORZO DI SNERVAMENTO E ROTTURA

Deformazione

Sforzo

Sforzo di snervamento Sforzo di rottura

122

RIGIDEZZA Definizione: • capacità di un materiale di opporsi alla deformazione

elastica (reversibile) Grandezza caratterizzante: • modulo di elasticità: E N.B.: in presenza di flessione o torsione dipende anche dal momento di inerzia (I)

MODULO DI ELASTICITA’

Sforzo

Deformazione

alto modulo

basso modulo

123

DUTTILITA’ Definizione: • capacità di un materiale di subire deformazione plastica

(permanente) Grandezza caratterizzante: • allungamento percentuale dopo rottura: A% ALLUNGAMENTO %

Deformazione

Sforzo

Allungamento %

124

TENACITA’

Definizione: • capacità di un materiale di opporsi alla frattura fragile a

seguito della presenza di difetti o di urti

Grandezza caratterizzante: • tenacità a frattura: KIc

TENACITA’ A FRATTURA

• Se in un materiale sono presenti difetti interni (o è soggetto ad urti), il materiale può rompersi in modo fragile per la propagazione di una cricca con origine dal difetto stesso

• La frattura fragile si verifica più facilmente su alcuni materiali e meno su altri ed è tanto più facile quanto: • la sollecitazione σσ è elevata • il difetto a è grande • la forma del difetto ββ è acuta

Una grandezza che caratterizza adeguatamente tale comportamento è la tenacità a frattura KIc

KIc = ββ⋅⋅σσ⋅⋅√√ππ⋅⋅a (unità di misura MPa√m)

A B C D E

AB D>B C

125

Tanto più è basso il valore di KIc tanto più il materiale è suscettibile a rottura fragile e viceversa

126

TIPICHE CARATTERISTICHE MECCANICHE PROPRIETA’ RESISTENZA RIGIDEZZA DUTTILITA' TENACITA'

caratteristica

sforzo ammissibile

deformazione elastica

recuperabile

deformazione plastica

permanente

non fragilità

ósn (MPa) ór (MPa) E (GPa) A (%) KIc (MPa�m) METALLI acciai 320 - 1800 400 - 2000 190 - 210 1 - 60 50 - 170 ghise - 100 - 800 135 - 155 0 - 26 45 leghe di alluminio 35 - 500 90 - 570 65 - 75 3 - 40 24 - 44 leghe di rame 70 - 1400 220 - 1500 105 - 125 1 - 60 - POLIMERI polietilene (LDPE) 9 - 14,5 8,3 - 31,4 0,17 - 0,28 100 - 650 1 - 3 polistirene (PS) - 35,9 - 51,7 2,28 - 3,28 1,2 - 2,5 0,7 - 1,1 elastomero - 7 - 30 0,005 - 3 400 - 1200 - CERAMICI calcestruzzo - 37,2 - 41,4* 10 - 38 - - vetri - 100 - 120 70 - 0,8 allumina - 275 - 550 380 - 2,7 - 4,2 NATURALI legno - - 10 - 30 - -

127

ESERCIZIO Livello 2

Domanda: Si debbano realizzare: • un calcolatore portatile ultraleggero • un telefono cellulare di peso contenuto L’involucro esterno deve avere contemporaneamente le seguenti proprietà: • basso peso • alta rigidezza • alta resistenza meccanica Oltre che un basso costo del materiale, la produzione in serie impone inoltre un basso costo di lavorazione (il pezzo deve poter essere ottenuto per stampaggio) Si discutano, alla luce della tabella sorroriportata, le principali alternative, consistenti in: • polimero termoplastico gommoso (Tg20°C): polistirene • composito epossidica-fibra di carbonio bidirezionale • leghe metalliche leggere (alluminio, titanio, ecc.)

Materiale d (g/cm)

σσammissibile (MPa)

E (GPa)

Resistenza all’urto

Costo (Euro/kg)

Costo lavorazione

Polipropilene (PP) 0,90 31-37 1,5 media 1,2 basso Polistirene (PS) 1,05 35-50 3,3 bassa 1,3 basso Policarbonato (PC) 1,2 65 2,3 alta 4,0 basso Composito carbonio 2 200 50 molto alta 20 alto* Alluminio (Al) 2,70 76-160 66 molto alta 2,0 medio Titanio (Ti) 4,54 205-480 105 molto alta 11 alto** Magnesio (Mg) 1,74 124-276 45 molto alta 3,3 medio * non è possibile realizzare il pezzo per semplice stampaggio ** di difficile lavorazione