pd orde 2 lecture 3 - rathera's blog · pdf file• bentuk umum persamaan diferensial...
TRANSCRIPT
PD Orde 2Lecture 3
Rudy Dikairono
Today’s Outline
• PD Orde 2 Linear Homogen• PD Orde 2 Linear Tak Homogen
– Metode koefisien tak tentu– Metode variasi parameter
Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial
Order of ODE’s
PD Orde 2 Linear Homogen
• Bentuk umum persamaan diferensial linear orde 2
)()()( ''' xryxqyxpy =++
• Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen orde 2
0)()( ''' =++ yxqyxpy
PD Orde 2 Linear Homogen
0)()( ''' =++ yxqyxpy
,rxey = ,' rxrey =rxery 2'' =
Dengan
Dengan substitusi, didapatkan
0)()(2 =++ rxrxrx eqreper
0)( 2 =++⇔ qprrerx
02 =++⇔ qprr Persamaan bantu
Penyelesaian umum persamaan bantu
)4(21 2
1 qppr −+−=
02 =++ qprr
)4(21 2
2 qppr −−−=
Terdapat 3 kemungkinan penyelesaian yang mungkin.
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar riil berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' =++ yayay
xrxr eCeCy 2121 +=
adalah:
Penyelesaian dengan kemungkinan 1
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' =++ yayay
adalah:
rxrx xeCeCy 21 +=
Penyelesaian dengan kemungkinan 2
Penyelesaian dengan kemungkinan 3
Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' =++ yayay
adalah:
)( 21
)(2
)(1
bixbixax
xbiaxbia
eCeCeeCeCy
−
−+
+=
+=
)sincos(
sin)(cos)(
)sincos sincos(
2121
22
11
bxBbxAeybxiCCbxCCey
bxiCbxCbxiCbxCey
ax
ax
ax
+=
−++=
−++=
Contoh1:
Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
0127 ''' =++ yyy
Penyelesaian:
-
4,30)4)(3(0127
21
2
=−=⇒=++⇔=++
rrrr
rr
xx eCeCy 42
31
−− +=
Contoh2:
Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
Penyelesaian:
096 ''' =+− yyy
30)3(
0)3)(3(096
21
2
2
==⇒=−⇔
=−−⇔=+−
rrr
rrrr
xx xeCeCy 32
31 +=
Contoh3:
Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
Penyelesaian:
0134 ''' =+− yyy
irirrr
32,320134
21
2
−=+=⇒=+−
xBexAey xx 3sin3cos 22 +=
PD Orde 2 Linear Tak Homogen
• Persamaan Diferensial dikatakan linear jika dapat ditulis menjadi:
dimana p,q, dan r adalah fungsi kontinyu dari x.• Dan dikatakan homogen jika r(x) = 0;
• Dan jika r(x) /= 0, maka persamaan PD 2 tersebut dikatakan tidak homogen.
• Penyelesaian untuk persamaan (1) adalah:
yp adalah penyelesaian partikular untuk (1)
• Untuk menyelesaikan yh dilakukan dengan penyelesaian PD 2 homogen.
• Untuk penyelesaian yp dilakukan dengan dua cara yaitu:– Metode koefisien tak tentu– Metode variasi parameter
Metode Koefisien Tak Tentu
• Rubah (1) menjadi:
• Pilih bentuk penyelesain yp berdasarkan bentuk r(x) sesuai tabel berikut:
• Metode ini mempunyai 3 aturan:1. Jika r(x) dalam (4) masuk dalam tabel, maka
yp dapat diselesaikan berdasarkan nilai tabel yang sesuai.
2. Jika salah satu fungsi dari yp adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, maka kalikan penyelesaian ypdengan x (atau dengan x2 jika persamaan homogennya adalah akar kembar).
3. Jika r(x) adalah penjumlahan dari fungsi-fungsi pada kolom pertama, maka penyelesaian yp adalah penjumlahan dari kolom ke dua.
Contoh aturan 1
• Selesaikan persamaan berikut:
• Penyelesaian:Penyelesaian umum untuk yh adalah:
r(x) = 0.001x2
Dengan substitusi didapatkan
Berdasarkan tabel
Penyelesaian untuk initial value
Contoh Aturan 2
• Selesaikan persamaan berikut:
Penyelesaian:Penyelesaian homogen
Penyelesaian non homogenBerdasarkan tabel, persamaan sebelah kanan e-1.5x
menghasilkan Ce-1.5x. Tetapi fungsi ini juga merupakan penyelesaian untuk yh(akar kembar), sehingga kita kalikan dengan x2.
Dengan substitusi kita dapatkan:
Dengan membandingkan koefisien x2, x1, x0 kita dapatkan 2C = -10, C = -5.
Penyelesaian untuk initial value
Contoh Aturan 3
• Selesaikan persamaan berikut:
Penyelesaian:Penyelesaian homogen
Penyelesaian non homogen
Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan
Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan:
Persamaan 1
Persamaan 2
Didapatkan
Hasil akhir
Penyelesaian untuk initial value
Metode Variasi Parameter
• Persamaan linear non homogen
Untuk r(x) yang tidak ada dalam tabel metode koefisien tak tentu, dapat diselesaikan dengan metode Lagrange
Dimana y1 dan y2 adalah penyelesaian homogen dari (1). Dan W adalah Wornskian dari y1 dan y2.
Contoh
• Selesaikan persamaan berikut:
Penyelesaian:Penyelesaian basis homogennya adalah
Wornskian
Dari (2) kita dapatkan
Hasil akhirnya
Ide dari metode ini
Penyelesaian umum PD adalah
Kita substitusikan yp dan turunannya berdasarkan (5), (7) dan (8) ke dalam (1)
y1 dan y2 adalah penyelesaian homogen persamaan di atas berubah menjadi
dan persamaan (6)
Untuk menghilangkan v’ kita kalikan (9a) dengan –y2 dan (9b) dengan y2’ dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan
Untuk menghilangkan u’ kita kalikan (9a) dengan y1 dan (9b) dengan –y1’ dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan
dan kita dapatkan
dan dengan integrasi kita dapatkan
Kita masukkan persamaan ini ke (5) kita dapatkan (2).
Thank you