Matematicko-fyzikální fakulta

University Karlovy v Praze

MICHAL BAŤKA

PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY

OBJEKTIVNÍMI METODAMI

O autorovi

Doc. RNDr. Michal Baťka, DrSc. je pražským rodákem. Po absolvování gymnasia vystudoval

na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze obor matematika. Po ukončení studia v roce

1960, jak bylo v této době obvyklé, dostal umístěnku a to do výpočetní laboratoře

ministerstva dopravy. Hydrometeorologický ústav byl v této době řízen ministerstvem

dopravy a bylo tedy logické, že požádal výpočetní laboratoř dopravy, aby s ním začala

spolupracovat na numerické předpovědi počasí. Byl proto pověřen touto spoluprací, a tak se

začal zabývat problémy numerické předpovědi počasí a v důsledku toho také i fyzikou

atmosféry. V této době na základě rovnice vorticity úspěšně realizoval na počítači Ural 2

model pro předpověď hladiny 500 hPa, který byl obdobou modelu vyvinutého v USA v letech

po druhé světové válce. V roce 1965 se stal aspirantem na matematicko-fyzikální fakultě,

nejdříve v Centru numerické matematiky, kde začala jeho spolupráce s katedrou meteorologie

a klimatologie vedenou profesorem Stanislavem Brandejsem. Členem této katedry se později

stal. Vyučoval zde numerickou matematiku a realizaci meteorologických modelů na

počítačích. Pro realizaci složitějších již třídimensionálních modelů měl zde možnost

k výpočtům používat v této době moderní počítače ICT v ČKD a později IBM v ČSAV. Po

habilitačním řízení byl v roce 1984 jmenován docentem v oboru numerická matematika a

ustanoven na katedře meteorologie MFF UK. V květnu 1991 získal hodnost DrSc. v oboru

meteorologie a klimatologie a habilitoval se také i na docenta v tomto oboru. V letech 1991 až

1994 byl členem mezinárodního týmu v Méteo France v Toulouse a zúčastnil se vývoje

lokálního modelu pro předpověď počasí ALADIN, který je v současné době v ČHMU

používán pro každodenní předpověď počasí a jeho výsledky jsou prezentovány v televizi.

V současnosti se jako emeritní pracovník účastní práce na katedře meteorologie a

klimatologie.

MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA

UNIVERSITY KARLOVY V PRAZE

PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY

OBJEKTIVNÍMI METODAMI

Michal Baťka

PRAHA 2014

Vydavatelský záznam

Obsah knížky strana

Předmluva

1. Modelování vývoje atmosféry a základy numerické předpovědi počasí

synoptickéhoměřítka používaná v meteorologii 1

2. Kartografická zobrazení používaná v meteorologii 15

3. Optimalizace geografie modelů na omezené oblasti a optimální volba

parametrů Lambertova konformního zobrazení 35

4. Rovnice pro změnu hybnosti a tradiční aproximace 48

5. Rovnice mělké vody 83

6. Formulace prognostických rovnic na zemské sféře 98

7. Systémy vertikálních souřadnic, klasická teorie 109

8. O transformaci dat mezi systémy vertikálních souřadnic 126

9. Úvod do diferenčních metod 144

10. Lineární oscilátor kmity a vlny 158

11. Časová integrační schémata a jejich aplikace na rovnici lineárního

oscilátoru a tření 169

12. Rovnice advekce 187

13. Vlnové pohyby v atmosféře a jejich důsledky pro předpovědní modely 205

14. Hydrostatické modely a modely s plně stlačitelnou atmosférou 223

15. Početní disperse gavitačních-inerciálních vln v diferenčních schématech

a simulace geostrofického přizpůsobení 247

16. Nelineární evoluční parciální diferenciální rovnice 264

17. Aproximace nelineární rovnice advekce - konzervativní schémata 269

18. Eulerovský baroklinní model v hydrostatickém přiblížení 281

19. Semi-Lagrangeovské baroklinní modely v hydrostatickém přiblížení 302

20. Formulace rovnic pro semiimplicitní korekci a jejich řešení 327

21. Diagonalizace matice pro metodu redukce dimenze 335

22. Ortogonální vertikální normální módy 339

23. Metody rozkladu pro řešení nestacionárních úloh 352

24. Galerkinova aproximace a spektrální metody 359

25. Finitní Fourierova transformace 372

26. Spektrální model na omezené oblasti a principy modelu ALADIN 383

27. Inicializace meteorologických modelů a gravitační vlny 408

28. Základní informace o parametrizacích používaných v modelech 416

29. Příprava dat pro předpovědní modely - objektivní analýza 423

30. Technika programování meteorologických modelů 428

31. Možnosti objektivní předpovědi počasí a změn klimatu 431

32. Dodatky

Modifikace rovnic se stavovou rovnicí pro vlhký vzduch 435

Modelové atmosféry 438

Horizontální difúze 442

Rotace sférických souřadnic 444

Výpočet vah vlivu řídícího modelu 447

Vztah mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi 448

K obsahu jednotlivých kapitol

Text publikace můžeme podle obsahu v podstatě rozdělit na dvě části. První část

skládající se z kapitol 1. až 7. se zabývá formulací rovnic do tvaru vhodného pro výpočet

vývoje atmosféry. Úvodní kapitol krátce popisuje historický vývoj objektivní předpovědi

počasí a pak shrnuje základní poznatky fyziky atmosféry. Další dvě kapitoly 2. A 3. jsou

věnovány matematické kartografii, která se používá pro formulaci modelů na omezené

oblasti. Vzhledem k tomu, že předpověď se provádí na dostatečně velké oblasti, nebo docela

globální předpověď, tedy na celé zeměkouli, jsou v kapitole 4. formulovány řídící rovnice ve

sférických souřadnicích. V této kapitole jsou studovány důsledky zjednodušení rovnic

nazývané Normanem Phillipsem „tradiční aproximace“. Tato část dává také odpověď na

otázku, které členy rovnic je třeba při použití „tradičních aproximací“ v rovnicích vynechat,

aby byl zachován zákon zachování momentu hybnosti. Kapitola 5. Popisuje model atmosféry

zjednodušený na jedinou vrstvu konstantní hustoty. Tento model se nazývá divergentní

barotropní model atmosféry nebo též „Rovnice mělké vody“. Tento jednoduchý model má již

většinu vlnových vlastností jako složité modely atmosféry. Na tomto modelu je možné

demonstrovat názorně mnoho vlastností a také formulací prognostických rovnic. Model je

také používán pro testování numerických metod řešení předpovědních rovnic. V kapitole 6. Je

pak odvozena formulace řídících rovnic pro modely na omezené oblasti, které jako

horizontální souřadnice používají kartézský systém v rovině konformní mapy. Poslední

Kapitola 7. této první části je věnována klasické teorii transformace rovnic do souřadnicových

systémů, které používají zobecněnou vertikální souřadnici. Je třeba zdůraznit, že tato klasická

teorie předpokládá, že atmosféra je stále v hydrostatické rovnováze. Jako základní systém, ze

kterého se pro transformace vychází, je z-systém, kde vertikální souřadnicí je výška nad

hladinou moře. Transformace do nového systému vertikální souřadnice je formulována

obecně pro libovolný monotónní vztah mezi původními a novými souřadnicemi. Hlavní

pozornost je věnována formulaci řídících rovnic pro dva systémy používané pro předpověď.

Jsou to 𝜎-systém a hybridní 휂-systém. Obecnou transformaci lze použít i pro transformaci

rovnic do p-systému, kde nezávisle proměnnou je tlak p.

Kapitolou 8. začíná druhá část knížky, která se věnuje numerickým metodám řešení

meteorologických problémů. Tato první kapitola této druhé části bezprostředně navazuje a

doplňuje předchozí kapitolu. Je zde řešena numerická realizace transformace dat mezi dvěma

systémy vertikálních souřadnic. Obsah kapitoly vychází ze zkušeností s transformacemi z p-

systému do 𝜎-systému a zpět. Tyto transformace byly používány v předpovědním modelu

daného v roce 1988 do provozu v ČHMU. Transformace pomocí kubických splinů se ukázala

efektivní a velmi přesnou. V příloze je také uvedena také transformace s interpolací

kvadratických polynomů, kterou použil Shuman.F., Hovermale J. B. v roce 1968 v provozním

modelu v USA: An Operational Six-Layer Primitive Equation Model. V současnosti, kdy

modely mají vertikálně více než 30 hladin je při tomto rozlišení možné používat i méně

přesnou jednoduchou lineární interpolaci.

Další kapitoly 9. až 11. seznamují čtenáře se základními poznatky o metodě konečných

diferencí, které se v meteorologii používají. Jsou zde zavedeny pojmy aproximace derivací,

ale i evolučních rovnic, numerického řešení evolučních rovnic a podmínek jeho stabilního

řešení. Dále jsou studována diferenční schémata vzhledem k proměnné času.

Kapitola 12. je věnována řešení lineární i nelineární rovnice advekce diferenční metodou.

Kapitola 13. se zabývá studiem vlnových pohybů v atmosféře a plně stlačitelnými

nehydrostatickými modely v souvislosti s vlnovou teorií.

Kapitola 14. S názvem „Hydrostatické modely a modely s plně stlačitelnou atmosférou“. Na

základě vlnové teorie srovnává funkci hydrostatických modelů s nehydrostatickými modely

s plně stlačitelnou atmosférou. Studuje také problémy vnikající při formulaci a realizaci

nehydrostatického modelu v křivočarých souřadnicích kopírujících terén. Stručně se zmiňuje i

o významných nehydrostatických modelech využívaných v meteorologii.

Kapitola 15. Studuje lineární část řídících rovnic, která simuluje proces geostrofického

přizpůsobení. Pro numerické řešení tohoto systému se zde posuzuje aproximace na různých

střídavých sítích z hlediska početní disperse gravitačních-inerciálních vln.

Kapitoly 16. a 17. se zabývá nelineárními evolučními parciálními diferenciálními rovnicemi a

jejich aproximacemi, které splňují zákony zachování.

Kapitoly 18. a 19. Obsahují formulace aproximací Eulerovského a semi-Lagrangeovského

modelu v hydrostatickém přiblížení.

Kapitoly 20., 21. a 22. popisují metodiku řešení implicitní části aproximace předpovědních

rovnic. Celkový postup je následující. Semiimplicitní schéma je formulováno ve dvou

krocích. Prvním krokem je explicitní aproximace, druhým krokem je pak oprava, která změní

toto schéma na semiimplicitní a vyřeší implicitní rovnice této opravy.

Kapitola 32. se zabývá řešením nestacionárních úloh metodou faktorizace, která původní

úlohu rozdělí na několik po sobě jdoucích jednodušších úloh.

Kapitoly 24., 25. a 26. Definují spektrální metodu obecně jako metodu nejlepší aproximace v

metrice Hilbertova prostoru. Tato definice je založena na Galerkinově metodě. Pro model

ALADIN, který je spektrálním modelem na omezené obdélníkové oblasti jsou jako base

použity ve směru obou horizontálních proměnných trigonometrické funkce. Ve spektrálním

prostoru jsou tedy funkce vyjádřeny jako konečné Fourierovy řady. Pro realizaci transformací

do spektrálního prostoru a zpět je pak použita rychlá Fourierova transformace. Protože funkce

předpovědního modelu nejsou na obdélníkové výpočetní oblasti periodické, je výpočetní

oblast rozšířena a funkce na této rozšířené oblasti jsou doplněny vhodným způsobem na

periodické funkce. Kromě transformací do spektrálního prostoru a zpět je zde uveden také

výpočet derivací v spektrálním prostoru.

Kapitola 27. Je vlastně poslední kapitolou, která podrobněji vysvětluje studovanou látku. V ní

je studován problém odstranění nežádoucích gravitačních vln vetší amplitudy, které jsou

způsobeny tím, že v počátečních datech není pole rozložení hmoty atmosféry v rovnováze s

polem proudění. Odstranění těchto nežádoucích gravitačních vln z modelu úpravou

počátečních podmínek se nazývá inicializací.

Další již velmi krátké kapitoly 28. až 31. jsou pouze informačními, aby doplnily celkový

pohled na modelování v meteorologii. Poslední kapitola pak obsahuje osobní názory autora na

možnosti předpovědi počasí a klimatu, globální oteplení a jiné sporné otázky.

Na závěr je uvedeno šest dodatků, které obsahují některé znalosti používané v meteorologii.

Předmluva

Úkolem této knížky je shrnout základní poznatky, které by měl znát meteorolog, který

pracuje v oboru modelování vývoje atmosféry na počítačích. Stěžejním úkolem v této oblasti

je numerická předpověď počasí na základě integrace rovnic hydrodynamiky atmosféry.

Dalšími aplikacemi využívající tuto předpověď jsou například výpočty šíření znečišťujících

látek v synoptickém, tedy územním měřítku z průmyslových aglomerací, zejména po

haváriích v chemických závodech, nebo dokonce i atomových elektráren. Předpovědní

modely jsou po určitých úpravách také používány v oblasti klimatologie.

Pro provedení výpočtů i zobrazení jejich výsledků se používají mapy. Je proto logické,

že výklad začíná některými důležitými poznatky z kartografie. Dále jsou formulovány rovnice

dynamiky atmosféry na rotující Zemi. Přitom je kladen důraz na konzistenci zjednodušení

obecných rovnic dynamiky atmosféry a také jejich formulaci na zakřiveném povrchu Země.

Pro lokální modely na omezené oblasti je to systém ortogonálních souřadnic na konformní

mapě. Závěrem této první části zabývající se formulací modelů jsou studovány systémy

křivočarých vertikálních souřadnic kopírujících zemský povrch používaných pro numerickou

předpověď meteorologických prvků.

Druhá, hlavní část knížky se zabývá problémy numerické realizace této předpovědi.

Tato problematika je velmi složitá, protože se jedná o řešení evolučních nelineárních

parciálních diferenciálních rovnic. Tyto rovnice popisují v podstatě dva základní mechanizmy

změn proměnných popisujících stav atmosféry. Jedním z nich jsou změny způsobené

pohybem atmosféry v poli větru. V rovnicích tento jev popisují právě nelineární členy rovnic.

Druhým mechanizmem jsou vlnové pohyby v atmosféře. Pro meteorologii jsou to zejména

gravitační vlny a nejdůležitější Rossbyho vlny. Po obecné teorii numerického řešení

evolučních rovnic jsou zde formulovány rovnice konkrétního meteorologického modelu

v hydrostatickém přiblížení a vysvětleny metody řešení, tedy časová integrace rovnic tohoto

modelu. Tato část vychází ze zkušeností autora s realizací modelu, který byl v denním

provozu v ČHMU (Českém hydrometeorologickém ústavu), dále z modelů, které byly

zkoušeny v rámci doktorského studie studentů, které jsem vedl pro získání Ph.D. a také

z účasti na vývoji regionálního modelu ALADIN, kde byl autor v letech 1991 až 1994 členem

mezinárodního týmu v Méteo France v Toulouse. Model ALADIN je v současné době

v ČHMU používán pro každodenní předpověď počasí.

Knížka vznikla z přednášek autora na Matematicko-fyzikální fakultě UK pro obor

meteorologie a klimatologie zkušenostech při vedení kandidátských a doktorských prací.

Obsahuje také původní teoretické výsledky autora. Je to zejména kapitola o optimální volbě

Lambertovy konformní mapy a řešení rovnic semiimplicitní korekce tak, aby vzniklá okrajová

úloha byla pro separabilní eliptickou parciální diferenciální rovnici.

V Praze v říjnu roku 2014. Michal Baťka

1

1. Modelování vývoje atmosféry a základy numerické předpovědi

počasí synoptického měřítka

Úvod

Proč je modelování vývoje atmosféry pro meteorologii tak důležité?

Dnešní meteorologii můžeme chápat jednak jako vědní obor, který se zabývá

fyzikálními zákony, které atmosféra splňuje a na tomto základě studuje různé meteorologické

jevy. Tato vědní oblast se nazývá také fyzikou atmosféry. Jednak jako praktickou činnost

zabývající se převážně zpracováním meteorologických informací, dále poskytující předpověď

počasí, varování před nebezpečnými meteorologickými ději i další informace. Nezasvěceným

by se mohlo zdát, že teoretická výzkumná činnost je v určité míře nezávislá na praktické

meteorologické činnosti a obráceně, že praktická meteorologická činnost používá jen málo

výsledků teoretické meteorologie, ale není tomu tak. Meteorologie jako fyzikální věda má tu

zvláštnost, že atmosféru jako celek nemůžeme napodobit v malém měřítku v laboratorních

podmínkách. Proto laboratoří meteorologie je skutečná atmosféra Země a experiment

v laboratoři je nahrazen měřením údajů, pozorováním a vysvětlením dějů, které v atmosféře

probíhají. K tomu se v poslední době používá numerické modelování studovaných dějů. Tyto

výpočty umožňují současné vysoce výkonné počítače. Při modelování se počítá obvykle

vývoj objektivních parametrů popisujících stav atmosféry vztahujících se k některému jevu

v atmosféře, nebo i celkovému vývoji atmosféry. V tomto druhém případě se jedná o modely

všeobecné cirkulace, tedy globální meteorologické modely a rovněž modely na omezené

oblasti, které dovolují detailnější popis stavu atmosféry. Modelování vývoje atmosféry se

opírá o hluboké teoretické poznatky oboru meteorologie a matematiky, zejména numerické

matematiky a programování počítačů, na kterých se tyto rozsáhlé výpočty realizují. Do

modelování vývoje atmosféry spadá tedy numerická předpověď počasí, jak pro výzkumné

účely, tak i pro každodenní předpověď v meteorologické praxi.

Položme si nyní otázku, co je dnes základním úkolem praktické meteorologie. Řekl

bych, že to je co možná nejpřesněji objektivně zjistit současný stav atmosféry a jejího dalšího

vývoje. Tím rozumíme sběr, kontrolu zpracování a archivaci časového průběhu stavu

atmosféry na vhodných počítačových mediích. Vývoj stavu atmosféry se pak využije pro

předpověď počasí, varováním před nebezpečnými meteorologickými jevy, případným velkým

znečištěním atmosféry kumulací emitovaných látek, nebo při haváriích. Uchovávaná data se

používají také k teoretickým studiím chování atmosféry, posuzování klimatických změn i pro

modelování změn klimatu. Meteorologie zajišťuje tedy informace jak pro občanskou

veřejnost, tak i speciální informace pro národní hospodářství, dopravu, zemědělství, sport i

armádu. Ve Spojených státech spočítali, že ekonomický přínos meteorologické služby je

přinejmenším desetkrát větší než náklady vynaložené na její činnost.

1.1. Několik slov z historie

Na historii vývoje objektivní předpovědi počasí na základě rovnic hydrodynamiky je

zajímavé, že teorie v podstatě o celé století předběhla první úspěšné numerické předpovědi.

Úplný systém rovnic hydrodynamiky pro vývoj atmosféry byl znám již v roce 1858

Helmholtzovi [3], který jej studoval z hlediska řešení meteorologických problémů. Sám

2

Helmholtz si asi ani nemyslil, že by se tyto rovnice daly použít k předpovědi počasí. Může se

zdát překvapivým, proč musel uběhnout tak velký čas, prakticky 100 let, než byly tyto rovnice

úspěšně použity pro předpověď meteorologických prvků, tedy předpověď počasí. Odpověď

na to je následující. Systém rovnic hydrodynamiky a tedy i hydrodynamiky atmosféry je

nelineární a velmi komplikovaný. Neexistuje zřejmě jeho tak zvané analytické řešení

v konečném tvaru a tento systém je možné řešit pouze metodami numerické matematiky.

Druhým problémem jsou počáteční a okrajové podmínky, které je třeba pro časovou integraci

znát na dostatečně velké oblasti, tedy oblasti synoptického měřítka. Pro zadání počátečních

podmínek mohly sloužit synoptické mapy. Jejich název pochází z řeckého „syn optein“ což

znamená „současně vidět“. Již z názvu je tedy zřejmé, že synoptická mapa zobrazuje

meteorologické údaje v daný časový okamžik, tj. v době pozorování na dostatečně velké

oblasti zemského povrchu. Synoptická mapa je pro studovanou oblast vhodná, obvykle

zjednodušená geografická mapa, na které je předtištěna poloha meteorologických stanic. Do

této mapy jsou číslicemi a smluvenými symboly zaneseny výsledky pozorování v síti

meteorologických stanic v daném termínu. Tyto údaje jsou však nepřehledné. Proto se

provádí analýza map, jejímž hlavním výsledkem je zakreslení čar stejných hodnot

analyzované fyzikální veličiny. Zakreslují se například spojnice bodů stejného tlaku –

izobary, stejné teploty – izotermy i dalších veličin. Oba tyto úkony, jak zakreslení pozorování

do podkladové mapy, tak i zakreslení izobar subjektivně rukou, prováděl meteorolog –

synoptik. Takto získaná mapa se nazývá subjektivně analyzovaná synoptická mapa. Taková

mapa je již schopna poskytnout počáteční data pro numerickou předpověď. Když mapu

pokryjeme například pravidelnou čtvercovou sítí a odečteme hodnoty opět subjektivní

interpolací do uzlových bodů sítě, dostaneme na obvykle obdélníkové oblasti počáteční data

pro analyzovanou veličinu. Tak se také skutečně připravovaly počáteční údaje pro první

numerické předpovědi počasí. Po druhé světové válce, kdy byly provedeny první úspěšné

numerické prognózy, byla příprava dat také postupně automatizována. Subjektivní analýza dat

byla nahrazena objektivní analýzou prováděnou na počítačích. Objektivní analýza spočívá

v tom, že z naměřených údajů získáme matematickou, tedy objektivní cestou, data přímo

v uzlových bodech výpočetní sítě. Pak je možné pomocí programů pro kreslení vrstevnic

snadno nakreslit izočáry libovolné fyzikální veličiny. První objektivní analýzy spočívaly na

interpolaci naměřených dat pomocí polynomů. Ukázalo se však, že interpolace pomocí

polynomů ze zcela nepravidelné sítě měřících stanic do pravidelné výpočetní sítě se

neosvědčila. Pro tuto složitou interpolační úlohu se hodí lépe metody založené na

matematické statistice. Statistické metody vycházejí z předběžného pole, které je definováno

v uzlech pravidelné výpočetní sítě. Hodnoty z předběžného pole jsou na pravidelné síti, a

proto je snadné je interpolovat do bodů měřících stanic, například pomocí Lagrangeových

polynomů. Po této interpolaci můžeme vypočítat odchylky předběžného pole od naměřených

hodnot v bodech měřících stanic. Potom pro každý uzlový bod sítě násobíme odchylky

v měřících stanicích vhodnými váhami a po jejich sečtení obdržíme pravděpodobnou

odchylku ve studovaném bodě. Přičtením těchto odchylek k hodnotám předběžného pole

dostaneme výsledné opravené pole analyzovaného meteorologického elementu. Podle

způsobu výpočtu vah této interpolace můžeme tyto metody označit za jednoduché korekční

metody, kde váhy interpolace závisely pouze na vzdálenosti od uzlu, do kterého

interpolujeme, nebo na přesnější statistické metody vyvinuté ruským matematikem-

3

statistikem A. Kolmogorovem při kterých jsou pro analyzovanou veličinu studovány tak

zvané autokorekační funkce. Váhy interpolace pak závisejí i na rozložení stanic v okolí uzlu,

do kterého interpolujeme. Tato metoda interpolace se nazývá metoda optimální interpolace a

byla pro meteorologii rozpracována Lvem Gandinem, (nejdříve v Rusku, později v USA). Při

prvních aplikacích této metody se jako předběžné pole volilo pole statistických normálů

analyzovaných veličin. Později se ukázalo, že je lepší jako předběžné pole vzít pole

předpověděné na prvních 6, nebo 12 hodin. Tak vlastně přirozenou cestou vznikla metoda

asimilace dat do předpovědního modelu, která se ukázala vzhledem k malému pokrytí

některých území měřícími stanicemi jako velmi efektivní. Jistá nevýhoda této metody spočívá

v tom, že pro asimilační proces lze použít pouze data naměřená v časových termínech po šesti

nebo dvanácti hodinách. Tomu vyhovují data z pozemních a radiosondážních stanic a data ze

stacionárních družic. Data z pohyblivých zdrojů, jako jsou družice na polárních drahách, nebo

měření z lodí a letadel se při této metodě se použít nedají. Aby byla odstraněna tato nevýhoda

klasické asimilace dat byla vyvinuta obecnější metoda založená na minimalizaci odchylek od

naměřených hodnot, která je formulována matematicky jako minimalizace určitého

funkcionálu. Proto se tato metoda nyzývá variační asimilací dat. Tato metoda je přesnější a

mimo to umožňuje využít i data z pohyblivých zdrojů, zejména družic létajících na polárních

drahách, které v každém okamžiku měří data v jiné oblasti. Metoda variační asimilace dat

také zahrnuje innicializaci dat pro jejich přímé použití jako počátečních podmínek pro

časovou integraci. Důležitou roli pro včasné získání počátečních dat pro předpověď v reálném

čase sehrál rozvoj telekomunikací, bez kterého by větší rozvoj numerické předpovědi nebyl

vůbec možný.

První přízemní synoptické mapy byly sestaveny německým meteorologem H. W.

Brandesem v létech 1816-1820, ovšem z archivního materiálu. Aktuální synoptické mapy

umožnil sestavit až vynález telegrafu. První aktuální synoptické mapy byly publikovány ve

zprávách o počasí v novinách „Daily News“ v roce 1848 [5]. V této době se jednalo pouze o

přízemní mapy. Výškové mapy, popisující údaje v celé troposféře byly umožněny až

radiosondážními měřeními. To bylo ovšem až v období mezi oběma světovými válkami.

Dvě základní podmínky pro hydrodynamickou předpověď počasí vyslovil norský

meteorolog Vilhelm Bjerknes v roce 1904. Je to jednak dostatečně přesná znalost počátečních

podmínek stavu atmosféry, jednak znalosti zákonů, jimiž se změny atmosféry řídí. Početní

předpověď počasí označil Bjerknes za hlavní a konečný cíl meteorologie jako exaktní vědy.

Norská škola sehrála také významnou úlohu v pochopení dějů synoptického měřítka.

První praktický pokus početní předpovědi počasí provedl Levis F. Richardson koncem

první světové války. Při formulaci rovnic dynamiky atmosféry vycházel Richardson z velmi

známé a obsáhlé knihy Horace Lamb: Hydrodynamics [8]. Tento pokus publikoval v roce

1922 v rozsáhlé knížce [6] mající 236 stran. Tato knížka je z hlediska historického velmi

zajímavá, neboť se zabývá rozsáhlou problematikou meteorologie. Zabývá se problémy, jako

je záření, voda v atmosféře, energetika atmosféry, vertikální pohyby, tření o zemský povrch

atd. I když teorie v knížce je rozsáhlá, pro praktický pokus nezbývalo nic jiného, než se

omezit na základní vztahy. Přesto pokus skončil neúspěšně. Pokus byl formulován jako

prostorově dvojdimensionální model, neboť v té době byla měřena a tedy k dispozici pouze

přízemní data. Výpočetní postup na základě konečných diferencí byl z dnešního hlediska

velmi moderní. Podle soudobého názvosloví používal Richardson v podstatě střídavou C-síť

4

v Arakawově klasifikaci [4]. Tato síť je popsána na straně 149 knížky [6]. Prostorová síť

používala ve směru poledníků krok 200 km a ve směru rovnoběžek 128 km. Časový krok

explicitního časového schématu s centrovanou diferencí byl 3 hodiny. Soustava rovnic byla

však dostatečně obecná, obdobná rovnicím mělké vody, takže její formulace obsahovala i

relativně rychlé gravitační vlny. Pro stabilitu výpočtu by bylo nutné splnit CFL kriterium

stability, které by pro zvolený prostorový krok dovolovalo maximální délku časového kroku

řádově jednotky minut. Toto kriterium však odvodil a publikoval Courant, Fridrichs a Lewy

až v roce 1928 v článku [1]. Dalším problémem mohla být i správná příprava počátečních dat.

Počáteční data by neměla obsahovat gravitační vlny větší amplitudy. Richardson ovšem

neměl tehdy k dispozici počítač, takže místo počítače měl sál s mnoha počtářkami

vybavenými mechanickými kalkulátory. Proto by neměl šanci tuto úlohu se správnou délkou

časového kroku v rozumném čase spočítat.

Po prostudování Richardsonovy práce bych chtěl upozornit ještě na následující

nedostatek jím použitého modelu. Model je totiž formulován na základě linearizovaných

rovnic uvedených v Lambově hydrodynamice. Tyto rovnice, které se nazývají Laplaceovy

slapové rovnice (Laplace tidal equations) neobsahují členy popisující advekci. Rovnice

popisují správně Rossbyho vlny, neboť Coriolisův parametr v rovnicích je funkcí zeměpisné

šířky a tedy proměnný. Rovnice však popisují také rychlé gravitační vlny, které právě pro

stabilitu výpočtu vyžadují relativně krátký časový krok, což bylo hlavní příčinou havárie

výpočtu.

Úspěšná předpověď se podařila až po druhé světové válce skupině vedené Charneym,

Fjortoftem a von Neumannem s použitím prvního počítače ENIAC, vyvinutého v roce 1945

v USA. Tato předpověď byla založena na integraci rovnice vorticity pro předpověď výšky

hladiny 500 milibarů, (v novém označení 500 hPa), za předpokladu že vítr v modelu je

geostrofický. Takto formulovaný model popisuje pouze advekci a Rosbyho vlny, nepopisuje

však rychlé gravitační vlny, a proto i při použití explicitního schématu dovoluje při zachování

stability o řád větší délku časového kroku.

1.2. Rovnice, jimiž se řídí pohyb atmosféry formulované v Eulerově tvaru

v inerciálním kartézském systému.

Zákony zachování

V meteorologii, stejně jako v hydrodynamice, kde vyšetřované jevy mají

makroskopický charakter a týkají se tedy statistického chování velkého množství molekul, se

pro vyšetřování pohybu vzduchu používá představa spojitého prostředí – kontinua. Tato

představa nám umožňuje popis pohybu vzduchu pomocí matematického aparátu

diferenciálních rovnic. V tom je určitý rozpor mezi fyzikou a matematikou. Hovoříme-li

z hlediska fyziky o částici jakožto malém elementu objemu vzduchu, považujeme jej však

ještě natolik velký, že obsahuje velký počet molekul. Matematika nám dává adekvátní popis

pohybu takovýchto částic, i když matematická analýza interpretuje tyto částice jako

„nekonečně malé“, tj. přesněji libovolně malé, a dívá se na ně jako na body. Pro matematický

popis pohybu vzduchu používáme, stejně jako v klasické mechanice Eukleidovský prostor se

systém souřadnic x, y, z, který popisuje polohu bodu v prostoru a čas t. Pro určení polohy

5

bodů v prostoru se v meteorologii používá některý ze systémů obvykle ortogonálních

křivočarých souřadnic. Pohyb vzduchu můžeme nyní popsat, jak je to v hydrodynamice

obvyklé těmito funkcemi: vektorovým polem 𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde v je vektor rychlosti částic, tj.

vektor větru, jehož složky označme 𝐯 = (𝑢, 𝑣, 𝑤) a dvěma skalárními poli, tlakovým polem

𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) a hustotou vzduchu 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Protože tlak p, hustota 𝜌 a absolutní teplota T

jsou svázány stavovou rovnicí, 𝑝 𝜌⁄ = 𝑅𝑇 kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch,

používá se v meteorologii k popisu stavu atmosféry místo hustoty teplota T, a již zmíněný tlak

p, což je přirozenější. Poznamenejme ještě, že fyzikální parametry částice, rychlost, tlak,

teplota a hustota jsou dány její polohou a časem (Eulerova formulace) a jsou nezávislé na její

velikosti nebo hmotnosti. Proto můžeme částice považovat za částice jednotkové hmotnosti.

Rovnice popisující časový vývoj stavu atmosféry, kterým budeme říkat řídící rovnice,

jsou formulovány na základě zákonů zachování. Jsou to zákony zachování:

1. zákon zachování hmoty

2. zákon zachování energie

3. zákon zachování hybnosti

4. zákon zachování vody v atmosféře.

(Množství vody v atmosféře bývá popsáno jedním zákonem zachování a to

zachováním vodní páry, ale ve složitějších modelech s mikrofyzikou i třmi zákony

zachování, pro každé skupenství vody zvlášť.)

5. zákony zachování různých příměsí v atmosféře.

Zákony zachování zde rozumíme podle fundamentální práce P. D. Laxe: „Hyperbolic

systéms of Conservation Laws II“ hyperbolické systémy rovnic, jejichž tvar je definován takto:

Zákon zachování je rovnice v divergentním tvaru, tedy

𝑢𝑡 + ∑𝜕

𝜕𝑥𝑗𝑓𝑗 = 0

3

𝑗=1

(1.2.1)

Tato rovnice vyjadřuje fakt, že rychlost změny veličiny u obsažené v každé oblasti G

x-prostoru je dána tokem vektorového pole (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3) v G:

𝑑

𝑑𝑡∭ 𝑢𝑑𝑥 = ∬ 𝑓 𝑑𝑠

𝐵𝐺𝐺

(1.2.2)

Mnoho fyzikálních zákonů má tvar zákona zachování. Veličiny u a f závisí na proměnných,

popisujících stav fyzikálního systému a na jeho derivacích. Systémům tohoto typu věnujeme

dále celou kapitolu. Na prvé straně rovnice, vyjadřující zákon zachování je nula. Na prvé

straně této rovnice může být i nějaká zdrojová funkce, která pak ovšem hodnoty veličiny u,

mění. Pro zákon zachování energie je to například přítok, nebo ztráta tepla při radiačních

procesech, nebo vlivem fázových přechodů vody, nebo při parametrizacích konvekce. Tyto

zdrojové funkce jsou dány tak zvanými parametrizacemi modelu. Pro rovnice hybnosti jsou

jako zdrojové funkce parametrizace tření. Pouze zákon zachování hmoty atmosféry, který je

vyjádřen rovnicí kontinuity, je obvykle v čisté podobě, bez zdrojových funkcí. Slovo obvykle

je zde proto, že byla zkoušena i parametrizace, která vyjadřovala úbytek hmoty atmosféry,

6

tedy vlastně vodní páry vlivem srážek, která odteče v srážkové vodě. Při studiu této

parametrizace se ukázalo, že tento úbytek hmoty atmosféry je pro meteorologii nepodstatný.

První tři zákony můžeme považovat za základní část modelu. Tato část modelu daná

zákony zachování se obvykle nazývá dynamická část modelu. Tato část modelu nám dává

vývoj základních parametrů určující stav atmosféry, tedy vývoj termobarického pole a pole

větru. Při numerickém řešení se používají dnes obvykle částečně implicitní (semi-implicitní)

schémata, při kterých pro výpočet hodnot proměnných v následujícím časovém kroku

dostáváme složitou soustavu pěti parciálních diferenciálních rovnic, vyjadřujících tyto tři

zákony, kterou musíme řešit. Je-li tendence vývoje atmosféry v daném časovém okamžiku

z dynamické části modelu již vypočtena, pak výpočet časových změn předpovídaných veličin

daných vnějšími vlivy je zahrnuta do pravých stran rovnic vyjadřujících zákony zachování.

Tyto pravé strany rovnic, nazývané parametrizacemi modelu, můžou zahrnout například

změny množství vody a její fázové přechody v atmosféře, při nichž vznikají přítoky, nebo

odběry tepla z atmosféry jsou do změn teploty zahrnuty obvykle až po vyřešení dynamické

části modelu. Tento způsob zahrnutí parametrizace je vlastně metoda faktorizace, které se

věnujeme při metodách numerického řešení rovnic modelů. Výpočet parametrizací modelu

probíhá tedy vcelku nezávisle na dynamické části modelu, zejména na numerické metodě

řešení dynamické části modelu. Výpočet parametrizací proto nezávisí na tom, byla-li použita

diferenční, spektrální metoda, nebo i v meteorologii méně používaná metoda konečných

elementů. Parametrizace jsou formulovány a řešeny vždy na diskrétní výpočetní síti, a proto

jsou vlastně universální vzhledem k libovolnému způsobu řešení dynamické části modelu.

Všimněme si nyní matematické formulace jednotlivých zákonů zachování

v kartézském systému souřadnic.

Eulerův tvar pohybových rovnic

Nechť u, v, w jsou složky rychlosti rovnoběžné s osami souřadnic v bodě (𝑥, 𝑦, 𝑧) v

čase t. Tyto veličiny jsou funkcemi nezávisle proměnných x, y, z, t. Předpokládejme dále, že

nejenom složky rychlosti u, v, w jsou konečnými a spojitými funkcemi proměnných x, y,

z, ale i prostorové derivace 𝜕𝑢 𝜕𝑥, 𝜕𝑣 𝜕𝑥, 𝜕𝑤 𝜕𝑥, . . , atd⁄⁄⁄ . jsou všude konečné. Takovémuto

proudění říkáme „spojitý pohyb“ a v dalším studiu se na něj omezíme. Pro každou danou

hodnotu t definují složky rychlosti pohyb ve všech bodech prostoru, ve kterém se nachází

tekutina. Pro pevně zvolené hodnoty x, y, z je dána historie pohybu, která proběhla v tomto

místě. Změny libovolného fyzikálního parametru F jsou v tomto pevném bodě dány parciální

derivací podle času, tedy hodnotou 𝜕𝐹 𝜕𝑡⁄ která se nazývá lokální časovou změnou funkce F.

Kromě této změny, můžeme studovat časovou změnu vztaženou na jednu konkrétní částici.

Budeme-li sledovat pohyb částice, která je omezena malou uzavřenou plochou obklopující

studovaný bod P pohybující se s kapalinou, pak tato plocha uzavírá ve svém vnitřku, stále

stejnou hmotu obklopující bod P. Změna hodnoty fyzikální veličiny F této pohybující se

konkrétní částice, se nazývá individuální změnou veličiny F a rychlost její změny je dána

derivací, kterou označujeme 𝑑𝐹 𝑑𝑡⁄ . Tuto hodnotu nazýváme obvykle totální derivací, nebo

také individuální časovou změnou.

7

Abychom spočítali změnu funkce 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) měnící se s pohybující se částicí,

všimněme si, že se částice z počáteční polohy (𝑥, 𝑦, 𝑧) v čase t se dostane v čase 𝑡 + 𝛿𝑡 do

polohy (𝑥 + 𝑢𝛿𝑡, 𝑦 + 𝑣𝛿𝑡, 𝑧 + 𝑤𝛿𝑡). Odpovídající hodnota F v tomto koncovém bodě je pak

𝐹 𝐹(𝑥 + 𝑢𝛿𝑡, 𝑦 + 𝑣𝛿𝑡, 𝑧 + 𝑤𝛿𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡)

= 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) + 𝑢𝛿𝑡𝜕𝐹

𝜕𝑥+ 𝑣𝛿𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑦+ 𝑤𝛿𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑧+ 𝛿𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑡+ 𝑜(𝛿𝑡)

(1.2.3)

Hodnotu 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) převedeme na levou stranu rovnice, rovnici dělíme 𝛿𝑡 a přejdeme

k limitě pro 𝛿𝑡 → 0. Na levé straně rovnice dostaneme hodnotu, kterou podle Stokese

označme symbolem 𝑑 𝑑𝑡⁄ nebo též 𝐷 𝐷𝑡⁄ označující derivování sledující pohyb tekutiny a

nazýváme ji tedy obvykle totální derivací, nebo individuální časovou změnou. Novou hodnotu

F můžeme vyjádřit vztahem,

𝐹 +𝑑𝐹

𝑑𝑡𝛿𝑡

kde

𝑑𝐹

𝑑𝑡=

𝜕𝐹

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝐹

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝐹

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝐹

𝜕𝑧

(1.2.4)

Poznamenejme zde, že operátor

𝑢𝜕𝐹

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝐹

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝐹

𝜕𝑧

je nelineární a v matematice se nazývá konvektivním operátorem, v meteorologii operátorem

advekce, protože popisuje posun hmoty atmosféry. Vzhledem k nelineárnosti vyžaduje tento

operátor při diferenční aproximaci použít vhodná konzervativní diferenční schémata.

V současné době se používají často tak zvaná semi-Lagrangeovská schémata, kde se totální

derivace v daném uzlovém bodě výpočetní sítě aproximuje následovně. Při obvyklém

označení nechť 𝐹+ znamená hodnotu funkce v uzlovém bodě, v čase t. Pak nalezneme polohu

výchozího bodu v čase 𝑡 − ∆𝑡, ze kterého se částice v čase t dostala do zvoleného uzlového

bodu. Nyní z okolních uzlových bodů v čase 𝑡 − ∆𝑡 interpolujeme hodnotu funkce do

výchozího bodu trajektorie, kterou označme 𝐹−. Nyní můžeme totální derivaci vypočítat ze

vztahu (𝐹+ − 𝐹−) ∆𝑡⁄ .

Při použití například Lagrangeovy kubické interpolace v rovině z okolních šestnácti uzlových

bodů sítě dostaneme velmi přesnou a numericky stabilní aproximaci i pro relativně dlouhé

časové kroky.

Matematická formulace zákonů zachování v atmosféře je následující:

Zákon zachování hmoty je vyjádřen rovnicí, kterou nazýváme rovnice kontinuity

Tento zákon lze formulovat pro jednu z těchto veličin. Pro hustotu 𝜌, což je v hydrodynamice

nejobvyklejší, pro měrný objem 𝛼 = 1 𝜌⁄ a v meteorologii po transformaci vertikální

souřadnice také pro tlak p. Všimněme si nyní formulace tohoto zákona pro hustotu 𝜌 a měrný

objem 𝛼. Odvození lze najít v každé učebnici hydrodynamiky. Ve většině učebnic

hydrodynamiky se rovnice kontinuity odvozuje pomocí Gaussovy věty. Tento způsob

8

odpovídá matematické teorii nelineárních parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického

typu v divergentním tvaru, tedy matematické teorii rovnic zákonů zachování. Z Gaussovy

věty se také vychází při formulaci diferenčních schémat takzvanou metodou kontrolovaného

objemu. Rovnici kontinuity můžeme tedy pro hustotu 𝜌 napsat v advektivním tvaru

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝜌 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧) = 0

(1.2.5)

a pro měrný objem 𝛼 = 1 𝜌⁄ ve tvaru

𝑑𝛼

𝑑𝑡− 𝛼 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧) = 0

(1.2.6)

Dosadíme-li sem za totální derivaci její rozvoj, můžeme rovnici kontinuity psát

v divergentním tvaru

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(𝜌𝑢) +

𝜕

𝜕𝑦(𝜌𝑣) +

𝜕

𝜕𝑧(𝜌𝑤) = 0

(1.2.7)

zde vektor 𝝆𝐯 se nazývá tokem hmoty. Vzhledem ke znaménku mínus u součinu měrného

objemu s divergencí se rovnice (1.2.7) nedá přepsat tak jako rovnice kontinuity (1.2.6) psaná

pro hustotu do divergentního tvaru. Proto se asi rovnice kontinuity pro měrný objem téměř

nepoužívá.

Zákon zachování energie

Tento zákon zachování energie je vyjádřen první větou termodynamiky. Jestliže

atmosféru považujeme za nevazkou tekutinu, pak zákon zachování energie nám říká, že

změna energie určitého objemu vzduchu, pohybující se částice vzduchu, je dána pouze

přítokem energie a to jednak přítokem tepla do dané pohybující se částice, které můžeme

kvantitativně popsat individuální časovou změnou tepla na jednotku hmoty tedy hodnotou

𝑑𝑞 𝑑𝑡⁄ , a jednak prací danou expanzí, (nebo naopak stlačováním) daného objemu vzduchu.

Tato práce je dána zvětšením objemu proti působení normálových tlakových sil působících na

povrch objemu. Práce vykonávaná při expanzi proti síle tlaku na jednotku hmoty za jednotku

času je dána hodnotou 𝑝(𝑑𝛼 𝑑𝑡⁄ ). Je tedy dána vlastně součinem tlaku a rychlosti rozpínání

objemu vzduchu. Protože vnitřní energie ideálních plynů závisí pouze na absolutní teplotě, je

rychlost změny vnitřní energie částice dána hodnotou 𝐶𝑣(𝑑𝑇 𝑑𝑡⁄ ) a termodynamickou větu

můžeme psát ve známém tvaru

𝐶𝑣

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝑑𝑞

𝑑𝑡− 𝑝

𝑑𝛼

𝑑𝑡

(1.2.8)

Kde 𝑪𝒗 je měrné (dříve specifické) teplo při konstantním objemu, (𝐶𝑣 je množství tepla které

je potřeba k ohřevu 1 kg vzduchu o 1 K). Pro suchý vzduch je 𝐶𝑣 = 717 𝐽 𝑘𝑔−1𝐾−1, T je

absolutní teplota, p tlak vzduchu, α je měrný objem a tedy 𝑝(𝑑𝛼 𝑑𝑡⁄ ) nám přestavuje rychlost

9

práce vykonávané reversibilním rozpínáním objemu částice vzduchu, tedy rychlost změny

vnitřní energie částice jednotkové hmoty. Neuvažujeme zde tedy viskozitu.

Při formulaci meteorologických modelů je používáno několik termodynamických

veličin. Jsou to tlak p, absolutní teplota T, měrný objem α a hustota 𝜌. Tyto veličiny však

nejsou nezávislé. Měrný objem je převrácenou hodnotou hustoty, tedy 𝛼 = 1 𝜌⁄ . Protože

vzduch lze pro naše účely považovat za dokonalý plyn, tři z těchto veličin splňují stavovou

rovnici

𝑝𝛼 = 𝑅𝑇 (1.2.9)

kde 𝑹 = 𝟐𝟖𝟕 𝑱 𝒌𝒈−𝟏𝑲−𝟏 je plynová konstanta pro suchý vzduch. Derivujeme-li stavovou

rovnici, dostaneme

𝑝𝑑𝛼

𝑑𝑡= 𝑅

𝑑𝑇

𝑑𝑡− 𝛼

𝑑𝑝

𝑑𝑡

(1.2.10)

Dosadíme-li z předchozího vztahu 𝑝(𝑑𝛼 𝑑𝑡⁄ ) do (1.2.8) máme

𝐶𝑣

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝑑𝑞

𝑑𝑡− 𝑅

𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 𝛼

𝑑𝑝

𝑑𝑡

(1.2.11)

neboli

𝐶𝑝

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝛼

𝑑𝑝

𝑑𝑡+

𝑑𝑞

𝑑𝑡

(1.2.12)

Kde 𝑪𝒑 = 𝑪𝒗 + 𝑹 = 𝟏𝟎𝟎𝟒 𝑱 𝒌𝒈−𝟏𝑲−𝟏

je měrné teplo při konstantním tlaku. Individuální

změna tlaku p se nazývá zobecněnou vertikální rychlostí. Můžeme ji také interpretovat jako

rychlost v souřadném systému, kde vertikální souřadnicí je tlak p. Tato veličina se označuje

řeckým písmenem . Podle definice je tedy 𝜔 = 𝑑𝑝 𝑑𝑡⁄ . Rovnici (1.2.12) v předpovědních

modelech používáme ve tvaru

𝐶𝑝

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝜔𝛼 +

𝑑𝑞

𝑑𝑡

(1.2.13)

Kde 𝑑𝑞/𝑑𝑡 je rychlost přítoku tepla na jednotku hmotnosti. První člen na pravé straně této

rovnice se nazývá „omega-alfa“ člen. Tento člen vyjadřuje tu část vnitřní energie, která se

mění na práci danou gradientem tlaku. Správná aproximace tohoto členu hraje důležitou úlohu

v meteorologických modelech.

Pro adiabatické děje je přítok tepla roven nule, tedy 𝑑𝑞 𝑑𝑡 = 0⁄ termodynamickou rovnici

píšeme ve tvaru

𝐶𝑝

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝜔𝛼

(1.2.14)

Pro studium entropie použijeme ještě jiný tvar termodynamické věty. Rovnici (1.2.13) dělíme

absolutní teplotou T. Pomocí stavové rovnice (1.2.9) dostaneme

𝑑𝑄

𝑑𝑡=

1

𝑇

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐶𝑝

𝑑 𝑙𝑛𝑇

𝑑𝑡− 𝑅

𝑑 𝑙𝑛𝑝

𝑑𝑡

(1.2.15)

Kde 𝑑𝑄/𝑑𝑡 je individuální změna entropie Q. Vztah

10

𝑑𝑄

𝑑𝑡=

1

𝑇

𝑑𝑞

𝑑𝑡

(1.2.16)

vyjadřuje individuální změnu entropie vzduchové částice, tedy určitého objemu vzduchu.

Tento vztah (1.2.15) můžeme považovat za jednu z možných definici entropie, která je tím

určena až na aditivní integrační konstantu. Pro adiabatické děje je individuální časová

změna entropie hydrodynamickým invariantem. Charakterizuje také adiabatický děj. Je-li

rovna nule, pak děj je adiabatický.

Pro definici a odvození vlastností potenciální teploty, která je hydrodynamickým

invariantem při adiabatických dějích v atmosféře postupujeme následovně. Do rovnice (1.14)

dosadíme za ze stavové rovnice (1.2.9) máme

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝑅

𝐶𝑝

𝑇

𝑝𝜔

(1.2.17)

Bezrozměrná konstanta 𝑹 𝑪𝒑 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟖⁄ se obvykle označuje řeckým písmenem𝜿, tedy

𝑹 𝑪𝒑 = 𝜿⁄ . Předchozí rovnici pak napíšeme ve tvaru

1

𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝜅

1

𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑡

(1.2.18)

neboli

𝑑

𝑑𝑡ln𝑇 = 𝜅

𝑑

𝑑𝑡ln 𝑝

(1.2.19)

Podle předchozí rovnice je levá strana následující rovnice rovna nule

𝑑

𝑑𝑡(ln 𝑇 − ln 𝑝𝜅) =

𝑑

𝑑𝑡ln

𝑇

𝑝𝜅=

𝑝𝜅

𝑇

𝑑

𝑑𝑡

𝑇

𝑝𝜅= 0

(1.2.20)

odtud máme

𝑑

𝑑𝑡

𝑇

𝑝𝜅= 0

(1.2.21)

Vezmeme-li nějakou charakteristickou konstantní hodnotu tlaku 𝑝0 je jasné že platí

𝑑𝑝0𝜅 𝑑𝑡⁄ = 0. I když hodnota 𝑝0 se často volí jako 103 ℎ𝑃𝑎, může být libovolná. Vztah

(1.2.21) můžeme psát v obvyklém tvaru

𝑑

𝑑𝑡𝑇 (

𝑝0

𝑝)

𝜅

= 0

(1.2.22)

Veličina 𝑇 (𝑝0

𝑝)

𝜅

se nazývá potenciální teplotou a označuje řeckým písmenem 휃. Potenciální

teplota je pro adiabatické procesy v atmosféře hydrodynamickým invariantem a první větu

termodynamiky můžeme psát ve tvaru

𝑑휃

𝑑𝑡= 0

(1.2.23)

11

Často se také zavádí tak zvaná Exnerova funkce π definovaná vztahem

𝜋 = (𝑝 𝑝0⁄ )𝜅 (1.2.24)

Vztah mezi absolutní teplotou a potenciální teplotou pak můžeme psát ve tvaru

𝑇 = 𝜋휃 (1.2.25)

Podle mého názoru není zvláštní důvod nezvolit konstantu 𝑝0 rovnu 1, protože měřítko

Exnerovy funkce se tím příliš nezmění, neboť při obvyklé volbě 𝑝0 = 103ℎ𝑃𝑎 je 𝑝0𝜅 pouze

𝑝0𝜅 = 10000.288 = 7.31139, což měřítka výpočtů v pohyblivé čárce příliš neovlivní.

Studujme nyní vztah entropie a potenciální teploty. Na základě potenciální teploty

můžeme vyjádřit změnu entropie následujícím způsobem. Ve druhém členu pravé strany

rovnice (1.2.15) nahradíme R součinem 𝑅 = 𝐶𝑝𝜅. Konstantu 𝜅 pak zahrneme do exponentu

tlaku p. Po úpravách pak obdržíme

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝐶𝑝

𝑑

𝑑𝑡ln 휃 =

𝐶𝑝

휃

𝑑휃

𝑑𝑡

(1.2.26)

𝑄 = 𝐶𝑝𝑙𝑛휃 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (1.2.27)

Kde const je integrační konstanta. Tento vztah můžeme považovat též za definici entropie,

Podle vztahu (1.2.26) je pro adiabatické procesy individuální entropie rovna nule a je tedy

hydrodynamickým invariantem pro adiabatické děje v atmosféře.

Pro další studia, zejména vlnových vlastností atmosféry, potřebujeme často vyjádřit

vztah mezi individuální změny tlaku p a hustoty 𝜌. Termodynamická věta (1.2.8) pro

adiabatický proces kde 𝑑𝑞 𝑑𝑡⁄ = 0 má tvar

𝐶𝑣

𝑑𝑇

𝑑𝑡+ 𝑝

𝑑𝛼

𝑑𝑡= 0

(1.2.28)

Derivujeme-li stavovou rovnici (1.2.9) dostaneme

𝛼𝑑𝑝

𝑑𝑡+ 𝑝

𝑑𝛼

𝑑𝑡= 𝑅

𝑑𝑇

𝑑𝑡

(1.2.29)

Z předešlých dvou rovnic vyloučíme člen se změnou absolutní teploty, tím, že rovnici (1.2.28)

násobíme zlomkem 𝑅 𝐶𝑣⁄ . Srovnáním s rovnicí (1.2.29) máme s použitím vztahu

1 +𝑅

𝐶𝑣=

𝐶𝑣 + 𝑅

𝐶𝑣=

𝐶𝑝

𝐶𝑣= 𝛾

(1.2.30)

Kterým zavádíme novou bezrozměrnou konstantu 𝛾=1.400, dostáváme

1

𝛾𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑡=

1

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝑡

(1.2.31)

Neboli pro adiabatický proces platí

1

𝛾

𝑑 𝑙𝑛𝑝

𝑑𝑡=

𝑑 𝑙𝑛𝜌

𝑑𝑡

(1.2.32)

12

Zákon zachování hybnosti, nebo také změny hybnosti v inerciální soustavě

Rovnice vyjadřující zákon zachování hybnosti, formulujeme na základě Newtonova

zákona zachování hybnosti v inerciálním systému kartézských souřadnic, mají tvar

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑋 −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥

(1.2.33)

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑌 −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦

(1.2.34)

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝑍 −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧

(1.2.35)

Položíme-li pravé strany rovnic rovny nule, vyjadřují tyto rovnice zákon zachování hybnosti.

Pravé strany rovnic popisují změnu hybnosti silou gradientu tlaku a vektor (𝑋. 𝑌. 𝑍) může

vyjadřovat parametrizace modelu jako je vliv tření o zemský povrch, zahrnutí vlivu orografie.

Protože hybnost je vektorovou veličinou, má 3 složky a hustota a teplota jsou skaláry, je

základní pohyb atmosféry popsán pěti rovnicemi. Pomocí stavové rovnice také redukujeme

počet proměnných dynamické části modelu na pět neznámých, takže výsledně máme pět

rovnic pro pět prognostických veličin.

1.3. Síly působící v atmosféře Země v rotující soustavě

Newtonův druhý pohybový zákon popisuje změnu hybnosti objektu v inerciální

soustavě souřadnic danou součtem všech sil působících na daný objekt. V meteorologii jsou

to následující síly: síla tlakového gradientu, síla gravitace a tření. V meteorologii však

obvykle vztahujeme pohyb vzhledem k systému rotujícím se Zemí, který není inerciální. Pro

studium pohybu na rotující Zemi používáme tíhovou sílu Země, která je součtem gravitační a

odstředivé síly Země. Pro Newtonův druhý pohybový zákon v tomto případě musíme přidat

ještě Coriolisovu sílu. Tato zdánlivá síla je způsobena rotací Země a bude studována

podrobně v kapitole 4.

O sílách tlakového gradientu, gravitace a tření předpokládáme, že jsou dostatečně

známy, proto se zde budeme věnovat pouze silám, které jsou v meteorologii třeba k formulaci

rovnic v soustavě pevně spojené s rotující Zemí.

Síla gravitace

Newtonův zákon obecné gravitace říká, že každé dva hmotné elementy se přitahují

vzájemně silou, která je úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná čtverci jejich

vzdáleností. Obecný gravitační zákon můžeme formulovat následovně. Nechť máme dva

hmotné elementy o hmotnostech M a m a nechť r je vektor směřující od elementu o hmotnosti

M směrem k elementu o hmotnosti m. Síla, kterou působí hmota M na hmotu m je dána

vztahem

𝐅 = −𝐺𝑀𝑚

𝑟2(

𝐫

𝑟)

13

(1.3.1)

kde G je universální gravitační konstanta. Pro objekty jejichž hmota je rozložena symetricky

kolem středu můžeme jejich vzdálenost považovat za vzdálenost jejich středů. Když za

hmotný element M, budeme považovat Zemi a r nechť je průvodič ze středu Země k elementu

m, a za částici m vezmeme element atmosféry, pak síla, kterou je element přitahován k Zemi

vztažená na jednotku hmoty je rovna

𝐅

𝑚= 𝐠∗ = −

𝐺𝑀

𝑟2(

𝐫

𝑟)

(1.3.2)

V meteorologii se obvykle jako vertikální souřadnice používá výška nad hladinou moře, kde

výšku hladiny moře považujeme za konstantní, odpovídající střední hodnotě poloměru Země,

který označujeme a. Ten volíme obvykle a=6371 km. Položíme-li r=a+z pak můžeme psát

𝐠∗ =𝐠𝟎

∗

(1 + 𝑧 𝑎⁄ )2

(1.3.3)

kde

𝐠0∗ = −

𝐺𝑀

𝑎2(

𝐫

𝑟)

(1.3.4)

což je gravitační síla pro střední hladinu moře. V meteorologii, kde atmosféra na povrchu

země tvoří jen relativně tenkou vrstvu je z mnohem menší než poloměr Země a zanedbáváme

proto poměr z/a. Gravitační sílu pak považujeme nezávislou na výšce nad povrchem Země,

klademe 𝐠∗ = 𝐠0∗ a gravitační síla je tedy konstantní.

Dostředivá síla

Předpokládejme, že částice o hmotě m se pohybuje po kružnici o poloměru r

konstantní úhlovou rychlostí 𝜔. Z hlediska pozorovatele v soustavě rotující s částicí je její

rychlost jeví jako konstantní, ve skutečnosti se však její trajektorie nepřetržitě mění, to

znamená, že její rychlost není konstantní. Abychom vypočítali zrychlení, uvažujme změnu

vektoru rychlosti 𝛿𝐕, která vznikne za časový přírůstek 𝛿𝑡, při kterém částice urazí úhel 𝛿휃,

(Obrázek 1.1). Protože 𝛿휃 je také úhel mezi vektory V a 𝐕 + δ𝐕, velikost vektoru δ𝐕 je rovna

|𝛿𝐕| = |𝐕|𝛿휃. Když dělíme tento vztah 𝛿𝑡 a přejdeme k limitě 𝛿𝑡 → 0, δ𝐕 směřuje k ose

rotace a máme

𝑑𝐕

𝑑𝑡= |𝐕|

𝑑휃

𝑑𝑡(−

𝐫

𝑟)

(1.3.5)

Avšak |𝐕| = 𝜔𝑟 a 𝑑휃 𝑑𝑡 = 𝜔⁄ , odkud máme 𝑑𝐕

𝑑𝑡= −𝜔2𝐫

(1.3.6)

V pevně zvoleném (nerotujícím) systému je dán pohyb konstantním zrychlením směřujícím

k ose rotace. Jeho velikost je rovna součinu čtverce úhlové rychlosti a vzdálenosti od osy

rotace. Toto zrychlení se nazývá dostředivým zrychlením. Odstředivé zrychlení má stejnou

velikost, ale opačný směr.

Síla zemské tíže

14

Na částici vzduchu v atmosféře, která rotuje společně se Zemí, působí dvě síly. Síla

gravitace a odstředivá síla. Součet těchto dvou sil nazýváme sílou zemské tíže. Tato síla je

rovna

𝐠 = 𝐠∗ + Ω2𝐫 (1.3.7)

Síla zemské tíže působí nejenom na atmosféru, ale i na samotnou hmotu Země. Země

proto nemá tvar koule, ale geoidu, jehož povrch je plochou konstantního geopotenciálu a síla

zemské tíže působí vždy kolmo k této ploše, tedy ve směru geografické zeměpisné šířky

(která je definována obecně pro referenční kouli, rotační elipsoid i geoid) jakožto úhel, který

svírá normála plochy v daném bodě s rovinou zemského rovníku a označuje se písmenem 𝜑.

Úhel který svírá spojnice středu Země a uvažovaného bodu s rovinou zemského rovníku je

nazýván geocentrickou zeměpisnou šířkou. Protože rozdíl mezi těmito dvěma zeměpisnými

šířkami je malý, v meteorologii jej zanedbáváme. Považujeme proto Zemi za sféru a sílu

zemské tíže konstantní mířící do středu Země. Podrobnější výklad tohoto problému je uveden

ve čtvrté kapitole. Zrychlení zemské tíže v meteorologii pokládáme tedy za konstantní a jeho

velikost se klade obvykle 9.8 nebo 9.81 𝑚/𝑠2. Poznamenejme, že při zavedení technické

soustavy jednotek se používá tak zvané normální tíhové zrychlení, které je rovno zrychlení

zemské tíže na 450 zeměpisné šířky při hladině moře a je rovno g=9.80665 𝐦/𝐬𝟐.

Literatura:

[1] BRDIČKA M.: Mechanika kontinua. Nakladatelství ČSAV Praha 1959.

[2] COURANT R., FRIDRICHS K., LEWY H.: Über die Differenzengleichungen der

Mathematischen Physik. Math. Annalen 100, 1928

[3] CHARNEY J. G., FJØRTOFT R. VON NEUMANN J.: Numerical integration of the

barotropic vorticity equation. Tellus 2, 1950

[4] HELMHOLTZ H.: Über atmosphärische Bewegungen. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen 3,

307, 1889

[5] HOLTON JAMES R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New

York and London 1972

[6] Sir HORACE LAMB: Hydrodynamics. CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS,

SIXTH EDITION 1932

[7] LANDAU L.D., LIFŠIC E. M.: Gidrodinamika. – Teoretičeskaja fizika to VI. Moskva

Nauka 1986

[8] LAX P. D.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws II. Communications on Pure and

Applied Mathematics VOL. X, 537-566. 1957.

[9] MESINGER F., ARAKAWA A.: Numerical Methods used in Atmospheric Models. Vol I.

GARP Publications Series No. 17, August 1976, WMO

[10] MUNZAR J. a kol.: Malý průvodce meteorologií. Mladá fronta Praha 1989.

[11] PECHALA F., BEDNÁŘ J.: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991.

[12] RICHARDSON L. F.: Weather Prediction by Numerical Process.Cambridge Univ.

Press. London 1922

[13] THOMPSON P. D.: Numerical weather analysis and prediction. The Macmillan

Company New York 1961

15

2. Kartografická zobrazení používaná v meteorologii

Úvodem Zobrazení povrchu země, do roviny má pro meteorologii velkou důležitost. Výsledky

měření, pozorování i výsledky meteorologických předpovědních modelů používají zobrazení

povrchu Země do roviny, tedy na mapu. Ať je to mapa na papíře, nebo rovina obrazovky

monitoru počítače. Na mapě jsou zobrazovány skalární pole tlaku, teploty vlhkosti i různá

další pole. Tato pole jsou zobrazována pomocí čar stejných hodnot dané veličiny, tak zvaných

vrstevnicových map. Vektorová pole proudění se často zobrazují pomocí šipek - vektorů

větru.

Při numerické předpovědi počasí je možné postupovat dvěma způsoby. Buďto rovnice

dynamiky atmosféry formulujeme přímo pro křivočaré souřadnice na kouli a jako nezávisle

proměnné jsou použity zeměpisné souřadnice , , nebo jsou pro předpověď použity

pravoúhlé souřadnice v rovině mapy. V obou případech se však výsledky zobrazují na

meteorologických mapách, tedy v rovině.

Modely na omezené oblasti označované zkratkou LAM (z anglického Limited Area

Model), jako je například model ALADIN, vyvinutý za mezinárodní spolupráce v Méteo

France, patří k druhé skupině. Jako nezávisle proměnné na horizontální ploše používají

kartézský systém souřadnic v rovině mapy. Pro model je podle polohy oblasti možné zvolit

různá zobrazení. Pro oblasti, které obsahují severní pól, se často používá streografická mapa.

Pro oblasti neobsahující severní pól se používají kuželová nebo válcová konformní zobrazení.

Pro oblasti rovníkové je to válcové zobrazení - Mercatorova mapa a pro ostatní oblasti

(zejména oblasti ve středních šířkách) je nejvhodnější kuželové zobrazení - Lambertova

konformní mapa. Všechny tyto mapy jsou konformní a nezkreslují tedy úhly. Ukážeme si

také, že stereografickou a Mercatorovu mapu můžeme považovat za mezní případy

Lambertovy konformní mapy. To je umožněno tím, že Lambertovo konformní zobrazení

závisí na jednom parametru, který můžeme podle potřeby měnit.

V úvodní části seznámíme čtenáře s některými pojmy a poznatky z diferenciální

geometrie, které jsou třeba k dostatečně přesnému pochopení kartografických zobrazení a

jejich vlastností. Na jejich základě bude dále řešen i problém optimální volby kartografického

zobrazení pro lokální předpovědní model, zejména pro model na Lambertově mapě, jako je

například model ALADIN.

1. Základní pojmy a vztahy

Geoid a referenční plochy

Předmětem kartografie je zobrazování povrchu Země. Tento povrch není přesně

geometricky definovanou plochou, nýbrž je nepravidelný následkem působení sil na hmotu

země, která navíc nemá homogenní hustotu. Nejvýznamnější z těchto sil je síla gravitace a

odstředivá síla vznikající rotací země kolem své osy. Výslednicí těchto sil je pak síla zemské

tíže, která je kolmá k povrchu země – je tedy ve směru normály k povrchu země. Plochu

nulové výšky nad hladinou moře tvoří plocha, která je určena hladinou moře ve vybraném

místě a je v každém bodě kolmá ke směru zemské tíže. Tato plocha se nazývá geoid. Tuto

plochu můžeme také považovat za plochu stejného geopotenciálu. Geoid se nedá dosti dobře

16

geometricky charakterizovat, proto pro geodetické výpočty není vhodný. Dá se však s velkou

přesností nahradit rotačním elipsoidem, vzniklým rotací elipsy podél svislé kratší osy, která

splývá s osou země. Tento rotační elipsoid má ovšem malé zploštění a lze jej s určitou

přesností nahradit kulovou plochou, což vyhovuje pro mapy malého měřítka zobrazující

velkou oblast na zemi a tedy také pro účely meteorologie.

Referenční elipsoid je rotační těleso vzniklé rotací elipsy podle malé osy. Referenční

elipsoid je plně určený co do tvaru i velikosti dvěma údaji – délkou velké a malé poloosy a,b

meridiální elipsy. Tento elipsoid je charakterizován také ještě dvěma konstantami výstředností

e a zploštěním , které jsou definovány vztahy:

abaabae /,/222 (2.1.1)

Tento elipsoid není však jediný, neboť se jeho parametry s časem měnily (upřesňovaly).

Parametry referenčního elipsoidu můžeme dnes charakterizovat přibližně těmito hodnotami:

a = 6 378 km, b = 6 357 km, odtud je 298/1,0067.02 e . (2.1.2)

Referenční koule

Matematická kartografie formuluje a studuje válcová a kuželová zobrazení pro

referenční elipsoid. Válec a kužel musí být ovšem v tak zvané základní poloze, to znamená,

že osa kužele a válce musí být zároveň rotační osou elipsoidu. Takové zobrazení je přesnější,

než zobrazení kulové plochy. Má však určité nevýhody. Je složitější a platí pouze pro kužel a

válec v základní poloze. V meteorologii se nyní používají často tak zvané rotované

souřadnice. V tomto případě zeměpisné souřadnice otočíme tak, jak potřebujeme. Osa zemské

sféry pak prochází sice středem Země, ale je obecně jiná než osa zemské rotace.

Pro účely meteorologie se proto používá výhradně referenční koule. Tato koule má

přibližně stejný povrch i objem jako referenční elipsoid. Poloměr zemské sféry zaokrouhlený

na celé km je a = 6 371 km. V modelu ALADIN je použita pro poloměr zemské sféry hodnota

a = 6 371.229 km. Pro účely meteorologie je rozdíl mezi těmito hodnotami nepodstatný.

Přechod z referenčního elipsoidu na referenční kouli se v geodézii provádí tak, že se

elipsoid napřed vhodnou metodou zobrazí na kouli a z této se pak převádějí geometrické

prvky do roviny, tedy na mapu. Chyba vzniká tím, že ačkoliv se kulová plocha elipsoidu země

velmi blíží, má konstantní křivost, kdežto elipsoid proměnnou křivost, která se mění se

zeměpisnou šířkou. To způsobuje určité rozdíly v délkách na elipsoidu a na kouli mezi body

se stejnými zeměpisnými souřadnicemi.

Referenční rovina, kdy povrch země nahradíme rovinou, můžeme použít pouze pro

zobrazení malé části povrchu země, pro kartografické plány v oblasti o průměru asi 20 km.

Zeměpisné souřadnice a geografická síť.

Polohu bodu P na povrchu země udáváme nejčastěji zeměpisnými souřadnicemi,

šířkou a délkou. Zeměpisná šířka je definována (obecně pro referenční kouli, rotační elipsoid i

geoid) jakožto úhel, který svírá normála plochy v bodě P s rovinou zemského rovníku.

Budeme ji označovat písmenem . Proložíme-li osou rotace země svazek rovin a jednu z nich

zvolíme za základní – nulovou, svírají tyto roviny se základní rovinou úhel, který nazýváme

zeměpisnou délkou a označujeme . Geometrickým místem bodů konstantní zeměpisné šířky

17

( .konst ) na referenční ploše jsou rovnoběžky (ty vytvářejí na povrchu referenčního

elipsoidu kružnice se středem v ose rotace). Obdobně geometrickým místem bodů konstantní

zeměpisné délky ( .konst ) na referenční ploše jsou poledníky (ty vytvářejí na povrchu

referenčního elipsoidu elipsy). Každým bodem na referenční ploše tedy prochází právě jeden

poledník a jedna rovnoběžka. Tyto křivky tvoří na referenční ploše tzv. geografickou síť. Tato

síť poledníků a rovnoběžek je ortogonální. Výjimku tvoří pouze severní a jižní pól, kterými

procházejí všechny poledníky, tedy pro ně platí 000 3600,90 až . Vzhledem k této

vlastnosti jsou póly singulárními body a při zobrazování se chovají jinak, než ostatní body.

Předmět kartografického zobrazování

Při kartografickém zobrazování je naším úkolem zobrazit povrch země, přesněji

řečeno povrch referenční plochy do roviny. Tento obraz nazýváme mapou. Při tomto

zobrazení se na mapě zkreslují délky, úhly, plochy, poloměry křivosti i jiné prvky originálu a

dostáváme proto obraz určitým způsobem deformovaný. Pro jednotlivá zobrazení budeme

studovat zkreslení délek, úhlů a ploch, po případě, jak se zobrazují přímky a kružnice,

zejména poledníky a rovnoběžky. Prostředky pro toto studium nám dává diferenciální

geometrie, která mimo jiné studuje vnitřní geometrii ploch a také ještě daleko obecnější

problémy vzájemného zobrazování ploch. Skutečnost, že námi uvažované plochy leží uvnitř

třírozměrného Euklidovského prostoru (jsou v něm vnořeny), není podstatná. Pro studium

kartografických zobrazení nám stačí vnitřní geometrie ploch, která je dána metrickým

tenzorem, neboli první základní formou plochy. Pomocí metrického tenzoru jsou také dány

vztahy mezi délkami, úhly plochami na mapě a na referenční ploše aproximující povrch země.

Definice plochy v diferenciální geometrii

Plochy v diferenciální geometrii definujeme obvykle parametrickými vektorovými

rovnicemi tvaru

21 u,uxx (2.1.3)

kde 321 x,x,xx jsou kartézské souřadnice bodu x v třírozměrném Euklidovském

prostoru 3E . Souřadnice bodu plochy 21 ,uuxi jsou spojitými funkcemi proměnných 21 ,uu

definovaných na společné oblasti . Tyto funkce nechť mají spojité parciální derivace do

řádu 1r a matice

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

u

x

u

x

u

xu

x

u

x

u

x

(2.1.4)

má ve všech bodech 21 ,uu hodnost rovnu dvěma. Jsou-li splněny předchozí

předpoklady, pak množina všech bodů daná rovnicemi (2.1.3) se nazývá regulární plochou a

rovnice (2.1.3) parametrickým vyjádřením této plochy. Proměnné parametry 21 ,uu

nazýváme křivočarými souřadnicemi nebo též Gaussovými souřadnicemi bodu x plochy.

Zvolíme-li na ploše pevný bod o křivočarých souřadnicích 21 ,cc , pak množinu bodů X

, které jsou popsány vektorovou rovnicí

18

21 c,uˆ xx (2.1.5)

kde 2c je pevně zvolené a parametr 1u je proměnný nazýváme parametrickou 1u - křivkou.

Obdobně rovnici

21 u,c~ xx (2.1.6)

kde 2u se mění, nazýváme parametrickou 2u - křivkou. Vektory definované vztahy

1

3

1

2

1

1

111u

x,

u

x,

u

x

udu

ˆd xxx (2.1.7)

2

3

2

2

2

1

222u

x,

u

x,

u

x

udu

~d xxx (2.1.8)

jsou tečnými vektory parametrických křivek v bodě 21 ,cc . Jestliže tyto vektory jsou

lineárně nezávislé je uvažovaný bod regulární a procházejí jím právě dvě parametrické křivky.

Tyto křivky se v tomto bodě navzájem nedotýkají. Tyto vektory 21 xx , v daném bodě 21 ,cc

určují tedy tečnou rovinu a můžeme je zvolit za souřadnicové vektory. Každý vektor a

v tečné rovině v daném bodě můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci těchto souřadnicových

vektorů. Můžeme tedy psát i

iaxa , kde se sčítá přes i=1,2 (2.1.9)

Čísla 21 ,aa nazýváme kontravariantními souřadnicemi vektoru a .

Transformace parametrů na ploše

Tutéž plochu lze zapsat pomocí různých vektorových rovnic.

Studujme libovolnou vzájemně jednoznačnou transformaci parametrů 21 ,uu plochy na

nové parametry 21 ,uu dané rovnicemi

2111 ,uuuu , 2122 uuuu kde 21 u,u (2.1.10)

při kterých si vzájemně odpovídají oblasti a , přičemž funkce definující transformaci

jsou spojité i se svými parciálními derivacemi do řádu 1r ve všech bodech .

Jestliže v trojrozměrném Eukleidovském prostoru je dána regulární plocha vektorovou

rovnicí

21 u,uxx kde 21 u,u (2.1.11)

pak vektorová rovnice

212211 u,uu,u,uuxx kde 21 u,u (2.1.12)

je vektorová rovnice téže plochy. Přejdeme-li při studiu plochy od jedné vektorové rovnice

ke druhé, říkáme, že jsme provedli regulární transformaci parametrů.

První základní tenzor plochy neboli metrický tenzor plochy

Skalární součiny tečných vektorů parametrických křivek 21 xx , určují čísla jig která

se nazývají kovariantními složkami metrického tenzoru. Jsou dány vztahy

jijig xx kde i, j probíhají čísla 1,2 (2.1.13)

Protože skalární součin je komutativní platí

1221 gg (2.1.14)

19

a metrický tenzor je symetrický. Takto definovaná čísla tvoří složky tenzoru, což může čtenář

najít v každé učebnici tenzorového počtu či diferenciální geometrie.

Jsou-li parametrické křivky k sobě kolmé, což nastává, když jsou kolmé jejich tečné

vektory je

01221 21 xxgg (2.1.15)

Skalární součin vektorů

Skalární součin vektorů v tečné rovině plochy můžeme vyjádřit pomocí jejich

kontravariantních souřadnic.

V tečné rovině zadané plochy zvolme dva vektory i

i

i

i b,a xbxa (2.1.16)

a vypočtěme jejich skalární součin. S použitím vlastností skalárního součinu (linearity a

zákona distributivního) máme ji

ji baxxba (2.1.17)

Kde skalární součiny souřadnicových vektorů jsou složkami metrického tenzoru (2.1.13), a

proto můžeme psát

ji

ji bagba (2.1.18)

což je hledaný výsledný vztah. V předchozím vztahu je použita Einsteinova sumace, obvyklá

v tenzorovém počtu. Součty se provádějí přes stejný jeden dolní a jeden dolní index, tedy pro

21,i a 21,j .

Délka křivky na ploše

Máme-li v třírozměrném Euklidovském prostoru křivku zadánu parametrickými

vztahy

tpp (2.1.19)

kde 321 p,p,pp jsou kartézské souřadnice bodů křivky, pak délka křivky je

dána vztahem

t

t

dtts

0

pp kde dt

dpp (2.1.20)

kde ts je délka oblouku v intervalu od 0t do t. Čtverec elementu délky oblouku je tedy dán

vztahem 22 dtds pp (2.1.21)

kde pp je skalární součin tečných vektorů křivky. Tečkou nad proměnnou se označuje

derivace proměnné podle parametru t.

Máme-li na ploše

21 u,uxx (2.1.22)

zadánu křivku rovnicí

tuu ii (2.1.23)

vektorová rovnice křivky v třírozměrném Eukleidovském prostoru má tvar

tu,tu 21xy (2.1.24)

20

kde tutu 21 , jsou zadané funkce parametru t. Délka křivky je dána výrazem

dtttts

t

t

0

yy (2.1.25)

Pro úpravu skalárního součinu ve vztahu (2.1.25) použijeme rovnost,

ji

ij

j

j

i

i uuguutt xxyy (2.1.26)

kde se, jak bylo již dříve napsáno se v tenzorovém počtu obvyklé sčítá přes dvakrát se

objevující stejné indexy. Je zde tedy použita úmluva, která se někdy nazývá Einstejnovou

sumací. Proto můžeme vztah (2.1.24) napsat ve tvaru

t

t

ji

ij dtuugts

0

(2.1.27)

Vztah (2.1.26) nám ukazuje, že pro výpočet délky křivky nám stačí znát funkce (2.1.23) a

pole metrického tenzoru plochy. O vlastnostech, pro jejichž popis je třeba znát pouze

metrický tenzor plochy, se říká, že patří k tak zvané vnitřní geometrii plochy.

V diferenciální geometrii se většinou studují lokální vlastnosti, a proto se obvykle

předchozí vztahy zapisují pomocí diferenciálů. Označme idu diferenciál funkce tu i , a tedy

platí

dtudu ii (2.1.28)

Zvolíme-li si obě proměnné t a dt pevně 0dt , jsou idu kontravariantní souřadnice

vektoru kolineárního s tečným vektorem o kontravariantních souřadnicích iu . Pomocí vztahu

(2.1.28) můžeme vztah (2.1.27) přepsat do tvaru

dtdudugs

t

t

ji

ij0

(2.1.29)

Výraz pod odmocninou v předchozím vztahu, který je kvadratickou formou vzhledem

k proměnným 21,dudu se nazývá první základní forma plochy a vyjadřuje čtverec délky

vektoru idu , neboli též čtverec elementu délky oblouky křivky, jejímž tečným vektorem je

právě vektor idu . Proto první formu plochy píšeme ve tvaru ji

ij dudugds 2 (2.1.30)

Tvoří-li parametrické křivky ortogonální síť a je tady 02112 gg má první forma plochy

jednodušší tvar

22

22

21

11

2 dugdugds (2.1.31)

v tomto případě se zavádějí také Lameovy koeficienty 21 ,hh , jejichž čtverce jsou rovny

složkám metrického tenzoru, je tedy

22

2

211

2

1 , ghgh (2.1.32)

a první formu plochy můžeme psát ve tvaru

222

2

212

1

2 duhduhds (2.1.33)

Na výraz (2.1.33) se můžeme dívat jako na Pythagorovu větu, kde čtverec elementu celkové

délky oblouku je roven součtu čtverců přírůstků elementů ve směru obou vzájemně kolmých

21

parametrických křivek. Přírůstky délky oblouku ve směru jednotlivých parametrických křivek

jsou dány vztahy 2

2

1

1 duhdsaduhds (2.1.34)

Tyto vztahy (2.1.33) a (2.1.34) vyjadřující délku oblouku se nazývají v kartografii elementy

délkové.

Úhel dvou křivek plochy

Úhlem dvou křivek, které procházejí společným bodem, nazveme úhel jejich tečen

respektive jejich tečných vektorů ve společném bodě. Cosinus úhlu těchto vektorů je roven

jejich skalárnímu součinu lomeného jejich délkou, což vypočteme ze vztahů (2.1.18) a

(2.1.30).

První základní forma sférické plochy

Povrch referenční koule, který tvoří sférická plocha je dán v třírozměrném

Eukleidovském prostoru rovnicemi

coscosax

cossinay (2.1.35)

sinaz

tečné vektory k parametrickým křivkám .konst (rovnoběžky), .konst (poledníky) jsou

01 ,coscosa,cossina x (2.1.36)

cosa,sinsina,sincosa 2x (2.1.37)

kovariantní složky metrického tenzoru dostaneme ze vztahu

lkklg xx (2.1.38)

odtud máme

0,,cos 2112

2

22

22

11 ggagag (2.1.39)

síť parametrických křivek (poledníků a rovnoběžek) je tedy ortogonální a první základní

forma plochy má tvar 222222 dadcosads (2.1.40)

odtud vidíme, že pro referenční kulovou plochu je element oblouku po rovnoběžce roven

dadsr cos a element oblouku po poledníku je roven dads p .

Zobrazení a rozvinutí plochy na plochu

Řekneme, že je dáno vzájemně jednoznačné zobrazení jedné plochy na druhou plochu,

jestliže je určeno pravidlo, které každému bodu jedné plochy přiřazuje právě jeden bod druhé

plochy a toto zobrazení je vzájemně jednoznačné. Řekneme, že vzájemné zobrazení plochy na

plochu je regulárním zobrazením, jestliže na jedné z obou ploch lze provést regulární

transformaci parametrů, po které každé dva navzájem si odpovídající body obou ploch mají

na obou plochách shodné křivočaré souřadnice. Pak řekneme, že na obou plochách je

zavedena shodná soustava křivočarých souřadnic.

Zvláštním případem regulárního zobrazení plochy na plochu je tak zvané rozvinutí

plochy na plochu. Tento pojem můžeme zavést následující definicí: Regulárním zobrazením

plochy na plochu nazveme rozvinutím plochy na plochu, jestliže toto zobrazení přiřazuje

22

každé křivce ležící na jedné ploše křivku stejné délky na ploše druhé. O rozvinutí plochy na

plochu lze dokázat následující tvrzení: Předpokládejme, že při daném regulárním zobrazení

dvou ploch na sebe jsou na obou plochách zvoleny shodné soustavy křivočarých souřadnic.

Potom toto regulární zobrazení je rozvinutím právě tehdy, jestliže v odpovídajících si bodech

obou ploch jsou koeficienty prvních základních forem stejné. Jinak řečeno kovariantní

souřadnice metrických tenzorů jsou stejné. Plochu, kterou lze rozvinout do roviny (na

rovinnou oblast) nazveme rozvinutelnou plochou. Zvolíme-li na ploše soustavu křivočarých

souřadnic shodnou s kartézskou soustavou souřadnic v rovině, má pak první forma této

rozvinutelné plochy tvar 222 dydxds (2.1.41)

Konformní zobrazení oblasti plochy do roviny

Nechť yx, jsou kartézské souřadnice v rovině a mimo to máme regulární zobrazení

kusu plochy do roviny. Na ploše nechť máme zavedenu shodnou soustavu křivočarých

souřadnic, pak regulární zobrazení plochy do roviny nazveme konformním zobrazením,

jestliže první forma plochy má tvar

222 , dydxyxds (2.1.42)

kde yx, je funkce definovaná pro body plochy. Tato funkce je rovna kovariantním

složkám metrického tenzoru, které jsou si rovny. Parametrické křivky tvoří ortogonální síť.

O konformním zobrazení se dá snadno ukázat, že zachovává velikost úhlů (dvou křivek, nebo

vektorů) a zkreslení zobrazení v bodě nezávisí na směru, a tedy lineární elementy délky

křivky ve směru parametrických křivek jsou si rovny.

Kartografické zobrazení

Kartografickým zobrazením budeme rozumět regulární zobrazení části referenční

sférické plochy (zemského povrchu) do roviny. Obrazem povrchu sféry je mapa. Toto

zobrazení určíme následovně:

Libovolný bod P na povrchu zemském nechť je dán zeměpisnými souřadnicemi , .

Jeho obraz na mapě P nechť je určen souřadnicemi x, y, v libovolně zvoleném systému

pravoúhlých souřadnic. Aby zobrazení bylo definováno, musí být zadán vztah mezi

souřadnicemi bodu P na povrchu země a jeho obrazu P v rovině mapy.

Tento vztah nechť je dán rovnicemi

,,, gyfx (2.1.43)

kde funkce jsou spojité a diferencovatelné a zobrazení kromě pólů je vzájemně jednoznačné.

Póly, jakožto singulární body, mohou být na mapě zobrazeny rovněž jako body, ale mohou

být zobrazeny jako křivky.

Délkovým zkreslením (koeficientem zkreslení konformní mapy), který se v meteorologii

označuje obvykle písmenem m, rozumíme poměr nekonečně malé délky na mapě dS k délce

jejího originálu na zemi ds. Tedy

ds

dSm (2.1.44)

Protože ds je skutečná délka je podle vztahu (2.1.44) a (2.1.41)

23

22

2

2

2

2 11dydx

mdS

mds

(2.1.45)

Srovnáme-li tento vztah se vztahem (2.1.42) vidíme, že

yxm

,1

2

(2.1.46)

Nebo jinými slovy, že koeficient zkreslení konformní mapy je roven odmocnině z převrácené

hodnoty kovariantních složek metrického tenzoru, které jsou stejné.

Důležité vztahy používané v dalším textu

Pro další odvozování rovnic kartografických zobrazení budeme používat některé

matematické vztahy – identity. Dále pro zkrácení zápisu vzorců budeme v některých vztazích

místo zeměpisné šířky používat úhlovou pólovou vzdálenost , která je doplňkem úhlu

zeměpisné šířky a tedy platí

2

, ale i opačně

2

. (2.1.47)

Rovněž označme doplněk zeměpisné šířky 0 jako 0 , je tedy

002

. (2.1.48)

Pro goniometrické funkce těchto hodnot platí

cos2

sinsin

,

sin

2coscos

(2.1.49)

Dále používáme vztah pro tangens polovičního úhlu, který odvodíme následovně

2cos2

2cos2

sin2

2cos

2sin

2 2

tg (2.1.50)

pomocí vzorců pro sinus a cosinus dvojnásobného úhlu pak máme

sin1

cos

cos1

sin

2

tg , (2.1.51)

dále budeme potřebovat hodnotu následujícího integrálu

CtgCtgd

ln2

lnln24

lncos

0

(2.1.52)

který snadno ověříme derivováním. Připomeňme zde, že

xtgx

xtg 2

21

cos

1

(2.1.53)

Nakonec uvedeme ještě jednu trigonometrickou identitu. Ze vztahu pro cos dvojnásobného

úhlu máme

2cos1cos2 2 (2.1.54)

24

2. Zobrazení kuželová, válcová a azimutální

V kartografii se pří zobrazení kuželovém, válcovém i azimutálním uvažují dva případy.

Tak zvaná poloha normální, kde osa rotace země je shodná s osu kužele, či válce a při

azimutálním zobrazení je rovina na kterou se zobrazuje kolmá k ose země. Přesněji je tato

poloha definována dále. Při této poloze se zobrazuje v geodesii a kartografii rotační elipsoid

na plochu kuželovou, válcovou nebo rovinu přímo. Druhým případem je poloha obecná, kdy

osa zobrazení není osou rotace země. V tomto případě se obvykle rotační elipsoid zobrazí

nějakým, podle požadavků vhodným, zobrazením (například konformním) na referenční kouli

a pak teprve na kužel, válec či rovinu. Je zřejmé, že pro zobrazení referenční koule zkreslení

povrchu na poloze osy nezávisí a je pouze funkcí rotovaných zeměpisných souřadnic. My se

proto v dalším budeme pro jednoduchost věnovat pouze zobrazení referenční koule.

Poznamenejme zde ještě, že kužel i válec jsou rozvinutelné plochy a proto se dají bez

jakéhokoliv dalšího zkreslení zobrazit – rozvinout do roviny. Ve skutečnosti definujeme tato

zobrazení tak, jako kdyby plochy, na které zobrazujeme, (kužel, válec) byly již rozvinuty do

roviny.

Zobrazení kuželová a Lambertovo konformní zobrazení

Základní vlastnosti normálních kuželových zobrazení jsou následující:

Poledníky se zobrazují v rovině mapy jako svazek polopřímek vycházejících ze středu

V , jenž je obrazem vrcholu kužele V. Rovnoběžky jsou soustředné kružnice o středu V . Pro

definici zobrazení použijeme v rovině mapy polární souřadnice ,r , takže zeměpisným

souřadnicím , odpovídají v rovině souřadnice ,r (které snadno převedeme na kartézské

souřadnice v rovině mapy). Vybereme jeden poledník, ležící v našem zobrazovaném území,

který nazveme základním a označme 0 . Od obrazu tohoto poledníku budeme měřit úhly

v polární soustavě souřadnic. Obdobně zvolíme jednu rovnoběžku, procházející zobrazovanou

oblastí, kterou nazveme rovněž základní. Tato rovnoběžka zeměpisné šířky 0 bude

zobrazena na mapě jako kružnice o poloměru 0r se středem V . Poledník procházející

zobrazovaným bodem P o zeměpisné délce se zobrazuje jako polopřímka vycházející

z bodu V svírající s obrazem základního poledníku úhel .

Aby zobrazení bylo definováno, je nutné stanovit vzájemně jednoznačný vztah mezi

zeměpisnými souřadnicemi , a polárními souřadnicemi v rovině mapy ,r . Protože

všechny body obrazu rovnoběžky o zeměpisné souřadnici konstantní leží na kružnici a

mají v polárních souřadnicích konstantní hodnotu r, nezávisející na , je fr . Podobně

je to z obrazy poledníků, které jsou polopřímky vycházející z bodu V a tedy úhel nezávisí

na zeměpisné souřadnici . Navíc, aby obrazy poledníků které na referenční ploše svírají

mezi sebou stejné úhly svíraly i na mapě mezi sebou stejné úhly musí být úhly a

úměrné. Tato závislost platící pro všechna kuželová zobrazení má tvar K . Protože

může probíhat úhly v rozmezí 0 až 360 stupňů, aby se mapa nepřekrývala, musí být 10 K

.

25

Jeden z poledníků 0 a jednu z rovnoběžek 0 zvolme jako základní. Zobrazení pak

definujeme vztahy

0 K a fr (2.2.1)

Můžeme ještě také požadovat, aby rovnoběžka 0 se zobrazovala na mapě jako kružnice o

poloměru 0r , a tedy aby

00 fr (2.2.2)

Nyní v rovině mapy přejdeme od polárních souřadnic ke kartézským souřadnicím x, y.

Systém pravoúhlých souřadnic zvolíme tak, že osa y splývá s obrazem poledníku 0 a je

orientována k severu, osa x je k němu kolmá. Počátek souřadnic zvolíme tak, aby vrchol

kužele měl souřadnici y rovnu 0y . Přechod od polárních ke kartézským souřadnicím je pak

dán vztahy

cos,sin 0 ryyrx (2.2.3)

Kuželové zobrazení referenční plochy kulové je pak dáno vztahy

0sin Kfx , 00 cos Kfyy (2.2.4)

kde funkce f zatím není ještě definována. Tvar této funkce určíme z požadavku, aby

zobrazení bylo konformní. Nyní si vyjádříme vztah mezi diferenciály dydx, a dd , .

Diferencováním vztahů (2.2.4) máme

dKKfdKfdx 00 cossin (2.2.5)

dKKfdKfdy 00 sincos (2.2.6)

po umocnění a sečtení předchozích vztahů dostáváme

2222222 dKfdfdydx (2.2.7)

Nyní, aby zobrazení bylo konformní, musí mít první forma referenční sférické plochy

v souřadnicích yx, tvar

222 , dydxyxds (2.2.8)

přičemž v souřadnicích , má tvar

222222 cos dadads (2.2.9)

Dosadíme-li součet čtverců 22 dydx ze vztahu (2.2.7) do (2.2.8) a porovnáme s (2.2.9)

máme

222222222cos, dadadKfdfyx (2.2.10)

Protože vztah musí platit pro všechny hodnoty dd , musí být

22, afyx a 2222

cos, aKfyx (2.2.11)

Neboť 0, yx , můžeme předchozí vztahy vzájemně vydělit a eliminovat tím yx, .

Dostaneme tak diferenciální rovnici pro funkci f tvaru

cos

K

f

f

(2.2.12)

Pro integraci přepíšeme tuto rovnici do tvaru

cos

lnK

f

(2.2.13)

26

Nyní s použitím vztahu (2.1.52) dostaneme

CtgKf ln2

lnln

(2.2.14)

kde Cln je integrační konstanta a připomeneme, že 2/ .

Integrační konstantu Cln určíme tím, že do vztahu dosadíme 0 , respektive 0

a máme

CtgKr ln2

lnln 0

0

(2.2.15)

Odečtením předchozích dvou vztahů pak dostaneme K

tg

tg

r

r

2

2lnln

00

(2.2.16)

neboli

K

tg

tg

rfr

2

2

0

0

(2.2.17)

Pomocí dříve uvedených trigonometrických vztahů můžeme tento vztah psát též ve tvaru KK

rr

sin1

cos

cos

sin1

0

0

0 . (2.2.18)

Vztah (2.2.17) nebo (2.2.18) společně se vztahem

0 K (2.2.19)

nám definuje Lambertovo konformní zobrazení.

Ze vztahu (2.2.11) máme

22

22 cos,

fK

ayx (2.2.20)

s použitím vztahů (2.1.46), (2.2.20) a (2.2.17) vypočteme délkové zkreslení Lambertovy

konformní mapy

K

tg

tg

a

rK

yxyxm

2

2

sin,

1,

0

0

(2.2.21)

Pomocí vztahu (2.1.51) můžeme předchozí vztah napsat ve tvaru odpovídajícímu vztahu

(2.2.18)

KK

a

rKyxm

sin1

sin1

cos

cos

cos, 0

0

0 (2.2.22)

27

Stanovení parametrů jednoznačně určujících Lambertovu konformní mapu

Ve vztazích (2.2.17), nebo (2.2.18), které spolu se vztahem (2.2.19), jednoznačně určují

konkrétní Lambertovo zobrazení, je ještě několik parametrů, které můžeme libovolně zvolit.

Tyto parametry můžeme také určit pomocí dalších podmínek. Je to jednak parametr 0 , který,

jak snadno z rovnic zobrazení nahlédneme, nám dává zeměpisnou délku polohy středu

zobrazované oblasti a je zřejmé, že nemění geometrii zobrazení. Proto se také v koeficientu

délkového zkreslení mapy nevyskytuje. Dále jsou to dva parametry 0 a 0r které nám

společně určují velikost měřítka zobrazení. Zvolíme-li pevně 0 a měníme-li 0r dostáváme

mapy vzájemně podobné. V délkovém zkreslení mapy se proto 0r vyskytuje jako lineární

činitel. Zatím diskutované parametry tedy neovlivňují geometrii zobrazení. Zbylá konstanta

K je proto pro zobrazení nejdůležitější, neboť právě ona je odpovědná za geometrii zobrazení.

Tuto konstantu můžeme zvolit přímo, nebo na zobrazení budeme klást další podmínky, ze

kterých tuto konstantu určíme. Přitom z těchto podmínek vyjádříme i konstantu 0r a ukážeme

její geometrický smysl.

Jedna z možností, obvyklá v kartografii vychází z faktu, že kužel, na který zobrazujeme, je

v normální poloze, a protíná kouli ve dvou rovnoběžkách o zeměpisných šířkách 10 .

Proto na obrazech těchto dvou rovnoběžek je zkreslení mapy rovno jedné a máme tedy dvě

podmínky:

1,1 10 mm (2.2.23)

Druhá možnost vychází z představy, že kužel je tečný ke kouli a dotýká se koule

na rovnoběžce o zeměpisné šířce 0 . Tato druhá podmínka je použita pro určení zobrazení

v modelu ALADIN. První podmínka je tedy stejná jako v předchozím případě. V obou

případech je tedy splněn vztah 10 m .

Podívejme se na důsledky vztahu 10 m . Do vztahu (2.2.21) pro zkreslení m dosadíme

0 což je ekvivalentní se vztahem 0 . Ze vztahu 10 m pak dostaneme že 0r je

rovno

000 sincos K

a

K

ar (2.2.24)

Tím je ve vztazích (2.2.17), (2.2.18) pro polární souřadnici r a ve vztazích (2.21), (2.22)

pro délkové zkreslení určen poloměr 0r kružnice, která je obrazem základní rovnoběžky 0 .

Polární souřadnici r pak můžeme za použití vztahů (2.2.24) a (2.2.51) napsat ve tvaru

K

KK

K

tgK

a

tg

tg

K

ar

2cos1sin

2

2sin 00

1

0

0

(2.2.25)

Zkreslení mapy je pak dáno vztahem K

tg

tg

m

2

2

sin

sin

0

0

(2.2.26)

28

Další podmínky nám již určují konstantu K.

První možností je dosadit do předchozího vztahu 1 , neboli 1 . Pomocí podmínky

11 m obdržíme po logaritmování rovnice obvyklý vzorec pro konstantu K:

2//2/ln

sin/sinln

01

01

tgtgK (2.2.27)

Druhou možností, je požadavek, že kužel, na který referenční sféru zobrazujeme je tečný

k této sféře. Tato podmínka je použita pro určení konstanty K v modelu ALADIN a její

důsledky si ukážeme níže.

Nyní studujme souvislost vrcholového úhlu kužele, s konstantou K. Označme úhel,

který svírá povrchová přímka kužele s osou kužele, která je zároveň osou země. Podle

(Obr.2.1) máme z trojúhelníka ABV

sincos

0

0 r

a (2.2.28)

Dosadíme-li do tohoto vztahu 0r ze vztahu (2.2.24) dostaneme

sinK (2.2.29)

Tento vzorec nám dává jednoduchou interpretaci konstanty K.

Obr. 2.1. Kuželové zobrazení na sečný kužel zemské sféry

Všimněme si ještě zvláštního případu, když kužel, na který zobrazujeme, je tečný ke sféře a

dotýká se jí na rovnoběžce 0 . Pak trojúhelník SBV (Obr. 2.2) je pravoúhlý, neboť poloměr

SB je kolmý k tečně BV a je

0 (2.2.30)

29

Obr. 2.2. Kuželové zobrazení na kužel tečný k zemské sféře

V případě kužele tečného ke sféře dostaneme pro konstantu K velmi jednoduchý vztah

0sinsin K (2.2.31)

Konstanta K nám určuje velikost kruhové výseče, na kterou je sféra zobrazována. Tato výseč

je dána úhlem 2K .

Všimněme si ještě jedné důležité vlastnosti Lambertova konformního zobrazení. Základní

konstanta K Lambertova konformního zobrazení na kužel, který protíná zemskou sféru ve

dvou rovnoběžkách a konformního zobrazení na kužel, který se pouze dotýká zemské sféry je

dána v obou případech sinem úhlu který svírají povrchové přímky s osou sféry. Proto

Lambertovy mapy, jejichž úhel je stejný se liší pouze měřítkem, jsou tedy homotetické a

tedy v podstatě stejné. Liší se tedy pouze celkovým měřítkem zobrazení. Proto stačí studovat

a používat mapy vzniklé zobrazením na kužel tečný k zemské sféře a není třeba studovat a

používat mapy vzniklé projekcí na sečný kužel. Proto také v další kapitole, ve které je řešena

optimalizace Lambertovy mapy jsou studovány pouze mapy zobrazující povrch Země na

kužel tečný k zemské sféře.

3. Zobrazení válcová

Při všech normálních zobrazeních válcových se zobrazuje rovník i všechny rovnoběžky do

roviny mapy jako rovnoběžné přímky a poledníky jako soustava přímek kolmých k obrazu

rovnoběžek. Představíme-li si válcovou plochu, jejíž osa je zároveň osou zemskou, jsou na ní

obrazy poledníků povrchové přímky válce (rovnoběžné s osou země) a rovnoběžky se

zobrazují jako povrchové kružnice (průsečnice válce s rovinami kolmými k jeho ose).

Rozvinutím do roviny pak dostaneme obraz na mapě. Zvolíme-li v rovině nějaký bod jako

počátek souřadnic, pak obrazy poledníků a rovnoběžek vytvoří pravoúhlý systém souřadnic.

Jeden meridián 0 zvolíme jako základní. Jeho obraz zvolíme jako rovnoběžku s osou y o

30

souřadnici ex . Obraz rovníku nechť je rovnoběžka s osou x o souřadnici ey . Podle

předcházejících vlastností mají rovnice válcového zobrazení tvar:

0 nxx e a fyy e (2.3.1)

Mercatorovo zobrazení

Mercatorovo zobrazení je normální válcové konformní zobrazení. Ve vztazích ,2.3.1) je

zatím neurčena konstanta n a funkce f. Pro nalezení tvaru této funkce, budeme postupovat

obdobně jako pro Lambertovo zobrazení a určíme ji z podmínky, že zobrazení má být

konformní. Vypočteme tedy součet čtverců diferenciálů x a y. Máme

dndx , dfdy (2.3.2)

odkud máme

222222 dfdndydx (2.3.3)

Aby zobrazení bylo konformní, první forma plochy v souřadnicích x,y musí mít tvar

222 , dydxyxds (2.3.4)

Po dosazení do (2.3.4) z (2.3.3) máme

22222 , dfdnyxds (2.3.5)

Hodnota takto vyjádřeného kvadrátu přírůstku délky oblouku 2ds musí být stejná jako na

referenční kouli 222222 cos dadads (2.3.6)

Porovnáním (2.3.5) a (2.3.6) máme

222 cos, anyx (2.3.7)

22, afyx (2.3.8)

Vydělíme li vztah (2.3.8) vztahem (2.3.7) dostaneme po odmocnění diferenciální rovnici pro

funkci f

cos

nf (2.3.9)

Pro její integraci použijeme vztahu (2.1.52) a dostaneme

CtgnCtgnf

2lnln

24ln

(2.3.10)

Abychom určili integrační konstantu C dosadíme sem pro rovník 0 . Podle (2.3.1) je levá

strana (2.3.10) rovna nule a vzhledem k tomu, že 142

tgtg dostáváme C=0.

Vztah (2.3.7) nám určuje hodnotu yx, , máme tedy

2

22 cos,

n

ayx

(2.3.11)

Odtud dostáváme pro koeficient zkreslení mapy yxm , vztah

31

cos,

1,

a

n

yxyxm (2.3.12)

Pro zobrazení jsou rovněž dvě možnosti. Válec na který zobrazujeme protíná kulovou plochu

ve dvou podle rovníku symetrický položených rovnoběžkách, jejichž zeměpisné šířky jsou

0 . Druhou možností, což je vlastně mezní případ první, že válec se kulové plochy

dotýká na rovníku, kde 2

0

. Proto pro 0 musí být v obou případech koeficient

zkreslení roven 1, a tedy podle vztahu (2.3.12) je

1cos 0

a

n (2.3.13)

odkud máme jednak

0cosan (2.3.14)

a koeficient zkreslení mapy můžeme psát ve tvaru

cos

cos 0m (2.3.15)

Dosadíme-li nyní do rovnic (2.3.1), které definují obecné normální válcové zobrazení za f a n

ze vztahů (2.3.10) a (2.3.14) dostaneme zobrazení, kterému říkáme Mercatorovo zobrazení.

To je tedy dáno vztahy

00cos axx e (2.3.16)

24

lncos 0

tgayy e (3.3.17)

V těchto vztazích je možné libovolně volit hodnoty ee yx , které určují počátek

pravoúhlých souřadnic v rovině mapy. Do hodnoty ey je také zahrnuta integrační konstanta

ze vztahu (2.3.10). Ze vztahů (2.3.16) a (2.3.17) je vidět, že mění-li se 0 , pak dostáváme

mapy, které jsou si vzájemně podobné, přičemž konstanta úměrnosti je daná vzájemnými

poměry 0cos . Koeficient délkového zkreslení Mercatorovy mapy je dán vztahem (2.3.15) a

je rovněž úměrný 0cos .

Všimněme si ještě úhlu, který svírá povrchová přímka válce s osou země. Tento úhel je

označovaný v práci [3] jako . Pro Mercatorovo zobrazení je tedy roven nule, je tedy 0

.V případě, že se kužel dotýká kulové plochy na rovníku je úhel = 0 =0.

Na Mercatorovo zobrazení se můžeme dívat jako na mezní-limitní případ Lambertova

konformního zobrazení když úhel necháme blížit k nule, tedy 0 . V tomto případě se

z kužele stává válec. Problémem je, jak tento limitní přechod správně interpretovat, neboť

vztahy které jsme odvodili pro Lambertova zobrazení, ztrácejí smysl. Pro zápis zobrazení

nemůžeme použít polární souřadnice, neboť obrazy poledníků jsou rovnoběžné. Vyjdeme-li

však z představy, že osa x vznikla limitním přechodem z kružnice, jejíž poloměr vzrostl

k nekonečnu a na této kružnici měříme úhly délkou oblouku, pak si vztahy (2.2.1) a (2.2.1)

vzájemně odpovídají. Protože pro odvození vztahů není možné použít polární souřadnice,

bylo třeba Mercatorovo zobrazení studovat odděleně.

32

4. Stereografické zobrazení

Stereografické zobrazení patří do skupiny azimutálních zobrazení. Na rozdíl od

předchozích dvou námi studovaných zobrazení, které byly definovány pomocí matematických

vztahů, se dá jednoduše geometricky popsat pomocí projekce.

Stereografická mapa pro zobrazení severní polokoule vznikne projekcí země (referenční

sféry) z jižního pólu na rovinu proloženou rovnoběžkou o severní šířce 0 .

Obrázek 2.3 Stereografická projekce

V případě, že 0

0 90 jde o projekci na rovinu tečnou k zeměkouli v severním pólu, což

je nejobvyklejší stereografická mapa. Označíme-li

00 cos1sin1 aaM (2.4.1)

kde a je poloměr referenční sféry, můžeme při našem obvyklém označení (Obr. 2.3),

z trojúhelníku určeném body jižním pólem, průsečíkem roviny na kterou promítáme se

zemskou osou a obrazem bodu A na mapě vyjádřit pólovou vzdálenost r na mapě. Máme

2

cos12

0

tgatgMr (2.4.2)

Zvolíme-li v rovině mapy soustavu kartézských souřadnic s počátkem v obrazu severního

pólu a záporná část osy y nechť splývá s obrazem poledníku o zeměpisné délce 0 , (Obrázek

2.4), pak rovnice zobrazení můžeme napsat ve tvaru

00 sin24

sin

tgMrx (2.4.3)

00 cos24

cos

tgMry (2.4.4)

33

Obrázek 2.4 Vztah mezi souřadnicemi x, y a geografickými souřadnicemi 𝜆, 𝜑.

Abychom ukázali, že stereografické zobrazení je konformní a vypočetli koeficient zkreslení

mapy, vyjádříme ze vztahů (2.4.3) a (2.4.4) diferencováním

dtgMdM

dx 00

2

cos24

sin

24cos2

(2.4.5)

dtgMdM

dy 00

2

sin24

cos

24cos2

(2.4.6)

umocněním a sečtením předchozích dvou vztahů máme pro křivočaré souřadnice x, y, na

sféře

2

2

22222

2

22

2cos2

cos

24cos

1

2ds

a

Mdada

a

Mdydx

(2.4.7)

odkud máme, že

22

2

2

2cos

2dydx

M

ads

(2.4.8)

zobrazení je konformní a koeficient zkreslení mapy je s použitím (2.S1) roven

cos1

cos1

2cos2

cos1

2cos2

, 00

a

Myxm (2.4.9)

34

Na stereografickou projekci se můžeme dívat jako na zvláštní případ Lambertova zobrazení,

kdy povrchová polopřímka kužele svírá s osou kužele úhel který je pravý, tedy 2

a

kužel se redukuje na rovinu, která prochází rovnoběžkou o zeměpisné šířce 0 . Konstanta

K je v tomto případě rovna 1. Povrch kužele tedy vyplní celou rovinu. Položíme-li ve vztahu

(2.2.25) a (2.2.26) pro Lambertovo zobrazení 1K dostaneme s použitím vztahu (2.1.51)

vztahy (2.4.2) a (2.4.9). Vztah (2.2.19) se redukuje na vztah 0 který je v podstatě

použit ve vztazích (2.4.3) a (2.4.4). Obdobně jako u Lambertova zobrazení jsou mapy, které

promítají zemský povrch na různé roviny kolmé k zemské ose procházející různými

rovnoběžkami o zeměpisných šířkách 0 podobné, tedy homotetické vzhledem k severnímu

pólu. Proto stačí tedy studovat a používat pouze „klasickou“ stereografickou projekci na

rovinu tečnou k zemské sféře v severním pólu.

Literatura:

[1] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM Část 1 – Definice kartografických zobrazení a

jejich vlastnosti. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 1. s. 9-17.

[2] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM Část 2 – Optimální volba parametrů Lambertova

konformního. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 2. s. 33-39.

[3] Budinský B. - Kepr B. : Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi.

SNTL – Nakladatelství technické literatury, Praha 1970, 342 s.

[4] Fiala F. : Kartografické zobrazování.

Státní pedagogické nakladatelství 1952, (skriptum ), 240 s.

[5] Joly A.: Geographic parametres of ARPEGE / ALADIN

Interní zpráva Méteo France 1992, 24 s.

[6] Kreyszig E. : Differentialgeometrie. Akademische Verlagsgesellschaft,

Geest & Portik K. G. LEIPZIG 1957, 421 s.

35

3. Optimalizace geografie modelů na omezené oblasti a optimální

volba parametrů Lambertova konformního zobrazení

Úvodem

Tato kapitola rozšiřuje znalosti předchozí kapitoly, ale jejím hlavním úkolem je

studium otázky optimálního zobrazení pro model na zadané omezené oblasti. Tato kapitola je

zcela původní prací autora a byla publikována v Meteorologických zprávách [2]. Pro

snadnější čtení této kapitoly si nejdříve shrneme a doplníme nejdůležitější fakta, která budeme

potřebovat pro řešení úlohy optimalizace zejména Lambertovy konformní mapy. Zejména

rovnice definující Lambertovo konformní zobrazení odvozené a diskutované v předchozí

kapitole. Dále se budeme zabývat transformací geografických souřadnic na kartézské

souřadnice v rovině mapy, a rovněž transformace opačné. Bude též studován průběh

koeficientu zkreslení mapy jakožto funkce zeměpisné šířky. Nakonec se věnujeme hlavnímu

cíli práce – problému určení výpočetní oblasti a optimální volbou Lambertova zobrazení pro

danou oblast. Optimální volbou oblasti je míněno to, že délkové zkreslení mapy na námi

vybrané oblasti se mění co nejméně, tedy délkové zkreslení v celé oblasti je blízké jedné. Pro

hodnotu délkového zkreslení mapy rovnou jedné jsou délky na mapě i skutečné na zemi stejné

a obraz je nezkreslený. Je-li délkové zkreslení zobrazované plochy do roviny rovno jedné, pak

tato plocha je rozvinutelná. Koule však rozvinutelnou plochou není a my se proto musíme

s určitým zkreslením jejího obrazu v rovině smířit, ale chceme, aby bylo co nejmenší.

Požadavek, aby délkové zkreslení mapy ve výpočetní oblasti se měnilo co nejméně je důležitý

z několika důvodů. Jestliže se zkreslení v oblasti málo mění, odpovídá kroku v síti na mapě

přibližně stejně velký skutečný krok na zemi a skutečné rozlišení je na celé oblasti přibližně

stejné. Z hlediska numerické matematiky je tento požadavek důležitý pro efektivnost výpočtů

a také při formulaci semiimplicitního schématu. Ukážeme, že požadavek na malé zkreslení

mapy se dá pro oblast neobsahující severní pól splnit použitím optimálně zvolené Lambertovy

mapy. Zajímavé je, že Lambertova mapa s optimální volbou zobrazení se ukazuje být

efektivnější než stereografická mapa i v případě, kdy se oblast značně přibližuje k severnímu

pólu.

1. Lambertova konformní mapa

Pro definici popis a vlastnosti zobrazení potřebujeme určovat polohu bodů na sféře.

K tomu použijeme křivočaré (Gaussovy) souřadnice zeměpisnou délku a zeměpisnou šířku

. Místo zeměpisné šířky budeme raději používat pólovou úhlovou vzdálenost , neboť

matematické vztahy jsou při jejím použití jednodušší. Pólová úhlová vzdálenost je doplňkem

zeměpisné šířky a tedy se zeměpisnou šířkou souvisí vztahem

2

.

Lambertovo konformní zobrazení je kuželové zobrazení, to znamená, že povrch koule se

zobrazuje na kuželovou plochu. Když tuto plochu rozvineme do roviny, pak vytvoří kruhovou

výseč se středem V. Bod V na Lambertově mapě je obrazem severního pólu.

Lambertovo konformní zobrazení je pak definováno následujícím způsobem:

36

Zobrazuje referenční sféru země do roviny tak, že poledníky zobrazuje jako svazek

polopřímek vycházejících z vrcholu V a rovnoběžky jako soustředné kružnice se středem

rovněž ve vrcholu V. Na sféře vybereme jeden poledník o zeměpisné délce 0 a jednu

rovnoběžku o zeměpisné šířce 0 , nebo o úhlové pólové vzdálenosti 0 , procházející

zobrazovanou oblastí. V rovině zvolíme soustavu polárních souřadnic tak, že úhel měříme

od obrazu poledníku 0 a poloměr r jako vzdálenost od vrcholu rozvinutého kužele.

Lambertovo konformní zobrazení přiřazuje bodu o křivočarých souřadnicích , bod

v rovině o polárních souřadnicích r, daný vztahy

0 K (3.1.1)

K

tg

tg

rr

2

2

0

0

(3.1.2)

Dosadíme-li do tohoto vztahu 0 , vidíme že 00 rr . Význam hodnoty 0r je jasný, je to

poloměr obrazu rovnoběžky 0 v rovině mapy. O významu konstanty K pojednáme dále.

Vztah (3.1.2) přepíšeme stručněji K

tgCr

2

(3.1.3)

kde jsme označili C konstantu

K

tg

rC

2

0

0

(3.1.4)

První diferenciální forma, vyjadřující čtverec elementu délky, má na sférické ploše

v křivočarých souřadnicích x,y, tvar

22

2

2 1dydx

mds

(3.1.5)

zde

21

mjsou kovariantní složky metrického tenzoru a zobrazení je tedy konformní. Proto

yxm , je délkové zkreslení mapy, nazývané také koeficientem zkreslení mapy. (Tedy pro

měření menších - lokálních vzdáleností je skutečná délka na zemi rovna délce na mapě dělené

délkovým zkreslením mapy.) Vypočteme-li koeficient zkreslení Lambertova konformního

zobrazení, podle předchozí kapitoly obdržíme

K

tg

tg

a

rKmyxm

2

2

sin,

0

0

(3.1.6)

37

Nyní požadujme, aby kužel, na který zobrazujeme, procházel rovnoběžkou 0 : To znamená,

že buďto v ní kužel sféru protíná, nebo pokud je tečný, se na této rovnoběžce sféry dotýká.

Proto na této rovnoběžce musí být délkové zkreslení mapy rovno 1, tedy 10 m .

Dosazením 0 do vztahu (3.1.6) obdržíme

00 sinaKr (3.1.7)

Pomocí vztahu (3.1.7) můžeme vzorec pro délkové zkreslení mapy přepsat do tvaru,

ze kterého je patrná nezávislost zkreslení mapy na poloměru zemské sféry

K

tg

tg

m

2

2

sin

sin

0

0

(3.1.8)

Nyní v rovině mapy přejdeme od polárních souřadnic ke kartézským souřadnicím x,y.

Systém pravoúhlých souřadnic zvolíme tak, že osa y splývá s obrazem poledníku 0 a je

orientována k severu, osa x je k němu kolmá. Počátek souřadnic zvolíme tak, aby vrchol

kužele měl souřadnici y rovnu 0y . Přechod od polárních ke kartézským souřadnicím je pak

dán vztahy

cos,sin 0 ryyrx (3.1.9)

kde a r jsou dány vztahy (3.1.1) a (3.1.2). Volíme-li počátek souřadnic v obrazu vrcholu V,

potom 00 y .

Obrácenou transformaci souřadnic tj. výpočet souřadnic , ze souřadnic yx,

vyjádříme následovně. Umocněním a sečtením vztahů (3.1.9) dostaneme pro pólovou

vzdálenost na mapě, tedy polární souřadnici r

20

2 yyxr (3.1.10)

Ze vztahu (3.1.3) pak máme

K

C

rarctg

1

2

(3.1.11)

což se při výpočtech realizuje podle vztahu

C

r

Karctg ln

1exp2 (3.1.12)

Pro úhel máme

yy

xarctg

0

(3.1.13)

Předchozí vztah použijeme pro yyx 0 . Při obrácené nerovnosti použijeme vztah

x

yyarctg

0

2

(3.1.14)

ze vztahu (3.1.1) pak vypočteme

k

0 (3.1.16)

38

Je ještě užitečné, si vyjasnit význam konstanty K. Označme úhel, který svírá

povrchová přímka kužele, na který zobrazujeme s jeho osou, která zároveň splývá s osou

země. (Obr. 2.1). Označme ještě úhel, který svírá povrchová přímka s rovinou kolmou

k zemské ose. Úhel je tedy úhlem doplňkovým k úhlu a tedy platí

2

.

Z trojúhelníka ABV máme

0

0coscossin

r

a (3.1.17)

Dosadíme-li sem ze vztahu (3.1.7) máme

cossin K (3.1.18)

Tento vzorec nám dává jednoduchou interpretaci konstanty K.

Všimněme si ještě zvláštního případu, když kužel, na který zobrazujeme je tečný ke

sféře a dotýká se jí na rovnoběžce 0 . Pak trojúhelník SBV (Obr. 2.2) je pravoúhlý, neboť

poloměr SB je kolmý k tečně BV a je

0 , 0 (3.1.19)

V případě kužele tečného ke sféře dostaneme pro konstantu K velmi jednoduchý vztah

00 cossin K (3.1.20)

Konstanta K nám vždy určuje velikost kruhové výseče, na kterou je sféra zobrazována. Tato

výseč je dána úhlem 2K .

Zabývejme se ještě otázkou, čím je Lambertova mapa jednoznačně určena. Zadáním

zeměpisné délky základního poledníku 0 určíme na zemi oblast, kterou budeme zobrazovat.

Poledník 0 , který nám určuje směr os x, y, volíme ve středu zobrazované oblasti.

Uvažujeme-li zobrazení na tečný kužel tečný ke sféře, je Lambertova mapa již jednoznačně

určena volbou zeměpisné šířky 0 rovnoběžky dotyku. Tímto je také určena nejenom

konstanta K, neboť 0sinK , ale i poloměr kružnice 0r , která je obrazem rovnoběžky o

zeměpisné šířce 0 . Tento poloměr je dán vztahem (3.1.7)

0000 sincos tgaK

a

K

ar (3.1.21)

Pro jednoznačné určení Lambertovy mapy, která zobrazuje sféru na tečný kužel, tedy stačí,

zadáme-li základní poledník 0 a zeměpisnou šířku 0 dotyku kužele na jehož povrch sféru

zobrazujeme.

2. Průběh délkového zkreslení mapy v závislosti na zeměpisné šířce.

Pro optimalizaci volby mapy je třeba studovat průběh funkce koeficientu zkreslení

mapy m v závislosti na . K tomuto účelu přepíšeme vztah (3.1.8) do stručnějšího tvaru.

Konstantu E zavedeme následujícím vztahem

K

tg

E

2

sin

0

0

(3.2.1)

a vztah pro výpočet délkového zkreslení mapy můžeme pak napsat stručněji

39

sin

2

K

tg

Em

(3.2.2)

Derivováním tohoto vztahu dostaneme

cos

sin

22

K

tg

Ed

dmm

K

(3.2.3)

Poznamenejme, že pro úpravu výsledku vypočtené derivace jsme použili trigonometrických

identit

cos12

cos2 2 a

cos1

sin

2 tg (3.2.4)

a následujícího vztahu, který jsme obdrželi derivováním

sin

2

2

K

K tg

Ktg

(3.2.5)

Průběh funkce délkového zkreslení mapy m i její derivace budeme studovat na intervalu

2

0

(3.2.6)

Proto bude 42

0

a tedy odtud 12

0

K

tg

. Zlomek ve výrazu (3.2.3) bude

kladný a znaménko derivace m bude tedy záviset pouze na znaménku rozdílu cosK ,

který je podle vztahu (3.1.18) roven coscos . Protože funkce cos je na intervalu (2.6)

klesající je na intervalu :

0 výraz cosK záporný a je tady 0 m a funkce m je klesající,

2

výraz cosK kladný a je tedy m >0 a funkce m je rostoucí

Pro , neboli , nabývá funkce délkového zkreslení m svého minima jehož

hodnotu označme minm .

Nyní studujme chování funkce m na koncích intervalu

2,0

. Všimněme si, že

pro severní pól kde je 0 není hodnota výrazu (3.2.2) definována. Proto studujme limitu

výrazu (3.2.2) v bodě 0 zprava, tedy pro 0 . K tomuto účelu přepíšeme pomocí (3.2.4)

výraz (3.2.2) do tvaru

K

K

K

E

tg

Em

1sin

cos1

sin

2 (3.2.7)

Protože čitatel zlomku Kcos1 >1 a pro 0 je 0sin1 K a tedy pro 0 je

m . Je třeba poznamenat, že m roste k nekonečnu velmi pomalu, neboť pro

40

oblasti ve středním pásu se K pohybuje okolo 0.8. Pro malé úhly můžeme sin nahradit

obloukem a jmenovatel je přibližně roven K1 . Tato veličina pro 2.01 K když

0 konverguje k nule velmi pomalu. Pro 2

je funkce m definována, dosazením

do (2.2) obdržíme 22

Em

.

Shrneme-li tedy průběh funkce zkreslení mapy m v závislosti na úhlové pólové

vzdálenosti máme: Procházíme-li hodnoty funkce m od severního pólu, kde m

nabývá nekonečně velké hodnoty směrem k rovníku, pak na rovnoběžce nabývá m

svého minima a směrem k rovníku opět stoupá k hodnotě 2E .

V případě, že kužel na který zobrazujeme je tečný k zemské sféře, je podle (3.2.1),

(3.2.2) a (3.1.19) 10min mmm . V případě kdy kužel protíná sféru země ve dvou

rovnoběžkách 01 a přičemž je 01 , potom na těchto rovnoběžkách je

101 mm a platí, že 01 a 1min m .

Po zjištění předchozích skutečností teprve nyní můžeme formulovat, co znamená, že

délkové zkreslení mapy m se v dané oblasti mění co nejméně. Pro tento účel je proto třeba na

výpočetní oblasti nalézt nejmenší hodnotu m, kterou jsme označili minm a největší hodnotu m,

kterou označme maxm . Pak proměnlivost délkového zkreslení můžeme kvantifikovat

poměrem minmax /mm , který je vždy větší než 1. Tím, že pro posuzování proměnlivosti

zkreslení použijeme poměr, nikoliv rozdíl maximální a minimální hodnoty m, vyloučíme

závislost hodnocení na celkovém měřítku vzájemně podobných map. Úkolem je tedy, pro

danou oblast nalézt zobrazení tak, aby poměr minmax /mm byl minimální. Mapu, která má

tuto vlastnost nazveme optimální Lambertovou mapou.

Na závěr ještě poznamenejme, že všechny Lambertovy mapy, které mají stejnou hodnotu

K, jsou si geometricky podobné. To plyne přímo ze vztahu (3.2.2) pro délkové zkreslení, kde

se vyskytuje výraz E, který je podle (3.2.1) pro celou oblast konstantní a tedy odpovídající si

délky na těchto mapách jsou úměrné.

3. Problém zadání výpočetní oblasti a stanovení optimálního geografického zobrazení

Při volbě výpočetní oblasti se setkáváme se dvěma problémy. Zaprvé jak a čím určit

oblast, kterou jsme si pro výpočet zatím přibližně vybrali a jaké zobrazení pro tuto oblast

zvolit. Na zobrazení klademe požadavek, aby zkreslení mapy se v námi zvolené oblasti

měnilo co nejméně, tedy poměr maximální a minimální hodnoty délkového zkreslení mapy

minmax /mm byl co nejmenší.

Nyní se podívejme na problém určení výpočetní oblasti. Nejdříve si všimněme, jaké

vlastnosti na výpočetní oblast požadujeme. Z hlediska numerických metod je třeba, aby obraz

oblasti na mapě byl obdélníkem, jehož strany by byly rovnoběžné s osami pravoúhlých

souřadnic x,y, mapy. Tato okolnost vyplývá z konstrukce výpočetní sítě, kterou vytvářejí

průsečíky rovnoběžek s osami souřadnic. Délky stran obdélníka i krok v síti je ovšem měřen

na mapě a neodpovídá přesně skutečné délce na zemi. Na jiné mapě nejsou také strany

41

obdélníka částmi přímek, ale křivky. Je-li zobrazení zadáno, je možné oblast jednoduše určit

například pomocí pravoúhlých souřadnic mapy. To však není náš případ, neboť optimální

zobrazení teprve určíme podle zadané oblasti. Proto obdélníkovou oblast musíme zadat

nezávisle na použitém zobrazení, tedy nezávisle na mapě. K tomu použijeme zeměpisné

souřadnice. Směr stran obdélníka na mapě je určen směrem os x, y, systému souřadnic mapy a

k tomu stačí zadat pouze základní poledník 0 . Základní poledník, který budeme volit vždy

ve středu výpočetní oblasti, však nesouvisí s optimalizací mapy, která je dána výhradně

konstantou K, neboli úhlem alfa (či beta). Proto při zadávání oblasti můžeme tento poledník

zvolit před optimalizací zobrazení. Pro optimální zobrazení je přirozené předpokládat, což

také učiníme, že obdélníková oblast je symetrická vzhledem k obrazu poledníku 0 na mapě,

tedy vzhledem k ose y. Po volbě základního poledníku 0 můžeme obdélníkovou výpočetní

oblast určit různými způsoby.

Jedna z možností jak obdélníkovou oblast určit je že zadáme zeměpisné souřadnice

dvou rohových bodů ležících na úhlopříčce obdélníka, například souřadnice jihozápadního a

severovýchodního rohu oblasti. Bez zadání směru stran, tedy poledníku 0 , nebo jiných

dalších podmínek není obdélník oblasti určen, neboť obdélníků majících stejnou úhlopříčku je

nekonečně mnoho. Zadáme-li poledník 0 , nemůžeme již požadovat symetrii oblasti

vzhledem k tomuto poledníku, úloha je v tomto případě přeurčena. Požadujeme-li symetrii,

stačí, když zadáme místo obou pouze jednu ze zeměpisných souřadnic severovýchodního

rohu obdélníka. Zadání obdélníkové oblasti zeměpisnými souřadnicemi dvou úhlopříčně

položených rohů obdélníka má dvě nevýhody. Po volbě zeměpisných souřadnic jednoho

z rohů, například jihozápadního a poledníku 0 je velmi obtížné správně zvolit zeměpisné

souřadnice druhého rohu v tomto případě severovýchodního, abychom dostali oblast, jakou si

představujeme. K určení souřadnic severovýchodního rohu nám nepomůže ani jiná mapa,

neboť oblast na ní vypadá poněkud jinak. Druhým problémem je v tomto případě nesnadná

optimalizace parametrů Lambertovy mapy, neboť zeměpisné souřadnice nejsevernějšího bodu

oblasti jsou funkcí nejenom zeměpisných souřadnic úhlopříčných bodů obdélníka a

zeměpisné délky základního poledníku 0 , ale i základního parametru 0 (nebo jemu

ekvivalentnímu parametru, například K) Lambertova zobrazení.

Ukážu nyní jednoduchý a efektivní způsob zadání oblasti i výpočtu optimálních

parametrů Lambertova zobrazení. Zadáme zeměpisnou délku základního poledníku 0 . Dále

požadujeme, aby zadaná oblast byla symetrická vzhledem k poledníku 0 . Oblast pak zadáme

zeměpisnými souřadnicemi 11, jihozápadního rohu oblasti a zeměpisnou šířkou S

středu severní strany obdélníka. Tento bod má tedy zeměpisné souřadnice S ,0 a je

průsečíkem severní strany obdélníka s obrazem poledníku 0 , neboli s osou Y. Tento bod je

též nejsevernějším bodem oblasti. Stačí tedy pouze čtyři údaje. Nejjižnějšími body oblasti

jsou oba rohové body jižní strany obdélníka. Volba výše zmíněných údajů pro určení

výpočetní obdélníkové oblasti je snadná a názorná. Můžeme k tomu použít některou z

běžných map, například Stereografickou mapu, Lambertovu mapu s jinými parametry aj. Při

volbě zmíněných údajů se nám také velmi zjednoduší výpočet optimálních parametrů

42

Lambertovy mapy, neboť přímo známe interval, ve kterém se pohybuje zeměpisná šířka . Je

to interval S 1 . Pro pólovou úhlovou vzdálenost tedy interval 1 S .

4. Optimalizace parametrů Lambertovy mapy na intervalu 1 S .

Jednoduchý výpočet optimální hodnoty parametru K pro Lambertovu mapu vychází

z průběhu zkreslení mapy v závislosti na úhlové pólové vzdálenosti . Jestliže nejmenší

hodnotu minm nabývá m v bodě a bod, ve kterém toto minimum nabývá, leží uvnitř

oblasti a tedy v intervalu 1 S potom maximální hodnotu maxm může funkce m

nabývat pouze v koncovém bodě intervalu. Intuice nám proto říká, že pro optimální volbu, tj.

aby poměr minmax /mm byl co možná nejmenší, je třeba zvolit tak, aby v koncových bodech

intervalu bylo zkreslení stejně velké, tedy aby platilo

Smm 1 (3.4.1)

Z tohoto předpokladu můžeme již optimální hodnotu snadno spočítat. Dosazením do

vztahu (3.2.2) máme

1

1

1sin

2

K

tg

Em

(3.4.1)

a obdobně

S

K

S

S

tg

Em

sin

2

(3.4.2)

dosadíme-li z předchozích vztahů do podmínky (3.4.1) máme

11 sin

sin

2

2

S

K

S

tg

tg

(3.4.3)

odkud pro parametr K dostáváme

2/

2ln

sin/sinln

1

1

tgtg

KS

S (3.4.4)

Zbývá nám ovšem ukázat, že takto zvolený parametr K je opravdu optimální a poměr

minmax /mm , kde maxm maximální a minm minimální hodnota funkce m na intervalu

10 S , pro K nabývá hodnotu minimální. Musíme tedy dokázat tvrzení:

K tomu, aby poměr minmax /mm byl na intervalu 10 S minimální a tedy K bylo

optimálně zvoleným parametrem Lambertovy mapy je nutné a stačí, aby 1 mm S .

43

Než přikročíme k důkazu, všimněme si, že neměníme-li a tudíž ani cosK a

měníme pouze 0 , že podle vztahů (3.2.1) a (3.2.2) dostáváme ve smyslu geometrie podobné

mapy, neboť zkreslení těchto map jsou si úměrná a tedy i délky na těchto mapách jsou si

úměrné. Mapy se proto liší pouze v celkovém měřítku, a poměr minmax /mm zůstává stejný.

Můžeme proto bez újmy obecnosti studovat tento problém pro zobrazení na kužel tečný ke

sféře. V tomto případě je 0 , 1min m a místo důkazu, že hodnota minimalizuje

hodnotu poměru minmax /mm je třeba ukázat, že hodnota 0 minimalizuje hodnotu maxm .

Chceme-li nalézt optimální hodnotu 0 , pro kterou maximum maxm funkce m na

intervalu 1 S je minimální, je třeba studovat chování délkového zkreslení mapy,

jakožto funkce 0 v koncových bodech intervalu 1, S . K tomu účelu funkci (3.1.8) budeme

studovat jako funkci dvou proměnných 0 a , a pouze těchto dvou proměnných. Proto do

vztahu (3.1.8) dosadíme za hodnotu K ze vztahu (1.20) 0cos

0cos

0

00

2

2

sin

sin,

tg

tg

m (3.4.5)

Tuto funkci studujme v koncových bodech 1 aS intervalu jakožto funkci 0 .

Poznamenejme, že vzhledem ke svému průběhu, může funkce m jakožto funkce nabývat

hodnot maxm jedině v koncových bodech intervalu a že tedy maxm musí být buďto Sm , nebo

1m .

Funkce 0, Sm je na intervalu 10 S rostoucí od hodnoty 1 kterou nabývá pro

S 0 . Obdobně funkce 01,m je na intervalu 10 S klesající k hodnotě 1 kterou

nabude pro 10 . Proto exaktní podmínka pro výpočet hodnoty 0 , pro kterou je maxm

minimální, je

010 ,, mm S (3.4.6)

Dosadíme-li do této rovnosti hodnoty ze vztahu (3.4.5) dostaneme vzhledem k tomu, že

0cos K po vykrácení stejný vztah jako je (3.4.3) a tedy vzorec (3.4.4) opravdu řeší úlohu

minimalizace.

Nyní si uvedeme vztah pro výpočet poměru minmax /mm, abychom viděli efektivnost

zvoleného zobrazení. Po výpočtu optimální hodnoty K ze vztahu (3.4.4) a 0 ze vztahu

Karccos0 je

K

S

S

s

tg

tg

mm

m

2

2

sin

sin,

0

00

min

max

(3.4.7)

44

5. Stereografická a Mercatorova mapa jako mezní případ Lambertovy mapy

Studujme Lambertovu mapu, která zobrazuje sféru na kužel, který protíná sféru na

rovnoběžce 0 . Dříve jsme již označili úhel, který svírá povrchová přímka tohoto kužele

s rovinou kolmou k ose kužele, jako úhel . Necháme-li nyní 0 konstantní a úhel budeme

zvětšovat až na hodnotu 090 , tedy na pravý úhel, pak konstanta Lambertovy mapy

dosáhne hodnoty 1sin K a kužel rozvinutý do roviny vyplní celou rovinu. Dá se

snadno ukázat, že tato mapa je stereografickou mapou, která vznikne projekcí sféry z jižního

pólu na rovinu proloženou rovnoběžkou o zeměpisné šířce 0 . Vzhledem k tomu, že K=1 se

vztahy pro stereografickou projekci značně zjednoduší. Úhly mezi poledníky budou na mapě

stejné jako na sféře. Vztah pro pólovou vzdálenost (3.1.2) s použitím vztahů (3.1.7) a (3.2.4)

můžeme napsat ve tvaru

2

cos1 0

tgar (3.5.1)

obdobně se zjednoduší i výraz (3.1.8) pro délkové zkreslení mapy. Opět s použitím vztahu

(3.2.4) máme

cos1

cos1 0

m (3.5.2)

Z předchozího vztahu vidíme, že délkové zkreslení mapy je od pólu k rovníku rostoucí funkcí,

která z hodnoty 2/cos10 0m roste přes hodnotu 10 m na rovnoběžce 0 až

k hodnotě 0cos12/ m . Pro posouzení, jak se pro tuto mapu chová podíl minmax /mm

na naší obdélníkové oblasti je účelné zvolit S 0 , pak nejmenší hodnota délkového

zkreslení na obdélníku, je rovna 1Sm a podíl minmax /mm je roven

1

1

min

max

cos1

cos1

Sm

m

m (3.5.3)

Studujme nyní ještě dva limitní případy, které nám objasní vztah Lambertovy a

steregrafické mapy, zasahuje-li výpočetní oblast do blízkosti pólu. Zvolme obdélníkovou

oblast poledníkem 0 , jihozápadním bodem o zeměpisných souřadnicích 11 , a

nejsevernějším bodem, bodem o souřadnicích S ,0 . Oblast nyní zvětšujme směrem

k severnímu pólu. Studujme tedy limitní přechod 2 S . Zvolme nyní zeměpisnou šířku

dotyku kužele a sféry 0 postupně dvěma způsoby.

Nejdříve položme S 0 . Obdržíme tak Lambertovu mapu, pro kterou je

v nejsevernějším bodě délkové zkreslení 1Sm a v nejjižnějším bodě, jihozápadním

rohu obdélníka, dostaneme pro hodnotu 1m podle vztahu (3.1.8) s použitím identity (3.2.4)

45

K

S

K

Sm

1

1

1

1cos1

cos1

sin

sin

(3.5.4)

Pro 2 S je 1sin SK . Pro hodnoty K blízké 1 je vztah (3.5.4) přibližně stejný

jako vztah (3.5.3) a pro hodnotu 1K v něj spojitě přechází. I hodnota minmax /mm , která je

rovna 1m je přibližně stejná jako pro stereografickou mapu. Délkové zkreslení monotónně

roste v celém intervalu 1, S a dostáváme mapy velice blízké ke stereografické mapě

vzniklé projekcí sféry z jižního pólu na rovinu proloženou rovnoběžkou o zeměpisné šířce S

. V limitě tyto mapy přejdou ve stereografickou mapu vzniklou projekcí sféry z jižního pólu

na rovinu tečnou v pólu severním.

Zvolíme-li ovšem hodnotu 0 podle vztahu (3.4.4), tedy tak, aby podíl minmax /mm byl

minimální, bude tento podíl minmax /mm vždy menší než v předchozím případě nebo pro

stereografickou mapu a dostaneme tak vždy zobrazení z hlediska zkreslení o něco lepší. I

v tomto případě pro 2 S konverguje 1K a mapa se jako v předchozím případě

mění ve stejnou stereografickou mapu.

Zcela jinou mapu obdržíme, zmenšujeme-li úhel k nule. V tomto případě přechází

kužel, na který zobrazujeme ve válec a vrchol V, obraz pólu se vzdaluje do nekonečna a

obrazy poledníků jsou rovnoběžné. V tomto případě musíme pro popis zobrazení použít přímo

kartézskou soustavu, místo soustavy polární. Dostaneme tak válcové zobrazení. Jestliže

požadujeme, aby toto zobrazení bylo konformní, obdržíme Mercatorovo zobrazení. Jeho

rovnice se odvodí obdobně jako pro zobrazení Lambertovo. Při zobrazení rovníkové oblasti se

délkové zkreslení Lambertovy i Mercatorovy mění jen málo a nenastávají žádné problémy.

6. Zadání obdélníkové oblasti a volba optimální Lambertovy mapy - výsledek

Úlohu řešíme pro obdélníkovou oblast, která je symetrická vzhledem k obrazu

základního poledníku, který splývá s osou Y. Pro určení polohy oblasti a optimální volby

parametru K Lambertovy mapy zadáme následující čtyři údaje :

zeměpisnou délku základního poledníku 0 ,

zeměpisné souřadnice jihozápadního rohu obdélníka 11 , (nebo 11 , )

zeměpisnou šířku S (nebo S ) středu severní strany obdélníka, neboli průsečíkem

severní strany obdélníka s poledníkem 0 . Tento bod označme S, má tedy souřadnice S ,0 .

Nyní postupujeme následovně:

Ze vztahu (3.4.4) a (3.1.20) vypočteme parametry optimální Lambertovy mapy K a 0

Ze vztahů (3.1.3) a (3.1 .4) vypočteme pólovou vzdálenost 1r jihozápadního rohu a stejně tak

pólovou vzdálenost Sr bodu S , která se záporným znaménkem je souřadnicí y obou severních

rohů obdélníka. Ze vztahu 01 K vypočteme úhel, který na mapě svírá poledník 1

procházející jihozápadním rohem s poledníkem základním 0 . Pravoúhlé souřadnice

jihozápadního rohu pak vpočteme ze vztahů sin11 rx , cos11 ry . Ostatní pravoúhlé

souřadnice všech rohů obdélníka vyplývají ze symetrie.

46

Nakonec zvolíme krok v síti, nebo počet uzlových bodů v jednom ze směrů. Rozměry

oblasti pak zaokrouhlíme, nebo jinak opravíme na celé násobky kroku sítě. Závěrem opravíme

polohu jihozápadního rohu oblasti podle rozměrů sítě. Polohu středu severní strany je lépe

neměnit, neboť blíže k pólu se délkové zkreslení mění rychleji.

7. Srovnání délkového zkreslení stereografické a Lambertovy mapy a jejich možností

Srovnání provedeme pro konkrétně zvolenou oblast mapy. Abychom ukázali možnosti

Lambertovy mapy, zvolíme pro studium větší oblast, která se extremně přibližuje k severnímu

pólu. Je to přibližně oblast, na které byl na přelomu osmdesátých a devadesátých let počítán

předpovědní model v Československu. Zeměpisné souřadnice, které obdélníkovou oblast

určují, volíme následovně. Základní poledník volíme Greenwichský, tedy 0 =0. Souřadnice

jihozápadního rohu obdélníka nechť jsou 0

1 33 a 0

1 23 zeměpisnou šířku středu

severní strany volíme úmyslně velmi blízko pólu 089S , tedy pouze jeden úhlový stupeň,

což představuje 111 km. Pro tuto oblast vychází zeměpisná šířka dotyku kužele 0

0 36.66 .

Při této volbě vychází poměr maximální a minimální hodnoty zkreslení pro Lambertovu mapu

1.250, zatímco pro stereografickou mapu 1.437. Tento výsledek ilustruje skutečnost, že

neobsahuje-li oblast přímo severní pól, je vždy lepší optimálně vybraná Lambertova mapa.

Zajímavý je také průběh jak se mění délkové zkreslení mapy 0,m v krajních bodech

tohoto intervalu, tedy pro hodnoty 01 a 067 když 0 bude probíhat interval

0

0

0 671 . Zkreslení 00 ,1 m roste od hodnoty 1 až k hodnotě 9.718, zatímco 00 ,67 m

klesá z hodnoty 1.437 na hodnotu 1. Stejnou, tedy i optimální hodnotu 1.251 nabývají tyto

funkce pro 0

0 64.23 .

Poznamenejme, že ani pro zobrazení celé polokoule není stereografická mapa ideální.

Vlivem zkreslení stereografické mapy odpovídá 100 km na mapě v oblasti severního pólu,

rovněž 100 km na zemi, zatímco v oblasti rovníku 100 km na mapě odpovídá ve skutečnosti

na zemi pouze 50 km. Proto při použití sítě s konstantním krokem je popis proměnných

v rovníkové oblasti zbytečně podrobný, což zvyšuje počet uzlových bodů a tím prodlužuje a

zdražuje výpočet.

8. Závěry

Z předchozích úvah můžeme pro optimální výběr konformní mapy udělat následující

závěry:

1. Chceme-li zobrazit obdélníkovou oblast na jedné z konformních map: stereografické

projekci, Lambertově kuželovém zobrazení nebo Mercatorově válcovém zobrazení

v normální poloze, (osa kužele, válce splývá s osou země), tak, aby poměr maximální a

minimální hodnoty koeficientu zkreslení mapy byl co nejmenší, je situace následující:

Pro obdélníkovou oblast na severní (resp. jižní) polokouli, která neobsahuje pól je nejlepší

Lambertova mapa s optimálním výběrem rovnoběžky, na které se kužel dotýká povrchu

47

Země. Zeměpisnou šířku této rovnoběžky dostaneme z podmínky, že zkreslení mapy je

nejsevernějším a nejižnějším bodu oblasti stejné – vztah (3.4.4).

2. Pro určení polohy obdélníkové oblasti je nejlépe vyjít z volby nejsevernějšího bodu oblasti,

tj. průsečíku severní strany s poledníkem, který prochází středem oblasti a určuje směr stran

obdélníka. Ten určíme pomocí zeměpisných souřadnic. Máme tak přímou kontrolu

vzdálenosti oblasti od severního pólu, což je důležité, přibližuje-li se oblast do blízkosti pólu.

Polohu tohoto bodu po volbě mapy již raději neměníme, protože zkreslení mapy se zde mění

rychleji. Chceme-li velikost oblasti upravit bez změny mapy, provedeme jí změnou polohy

jihozápadního (resp. jihovýchodního) rohu obdélníka. Zde se zkreslení mapy mění málo a

tato změna má malý vliv na volbu optimálního parametru Lambertovy mapy. Optimální volbu

pak můžeme ještě doladit opakováním výpočtu volby optimální mapy.

3. Chceme-li z nějakých důvodů použít obdélníkovou oblast, která není symetrická vzhledem

k základnímu poledníku, provedeme výběr optimální mapy pro symetrickou oblast, která

vznikne zvětšením menší části posunutím jedné ze stran rovnoběžných s obrazem základního

poledníku tak, aby vzniklá oblast byla symetrická. Protože výběr optimální Lambertovy mapy

závisí pouze na zeměpisné šířce nesevernějšího a nejjižnějšího bodu oblasti, zmenšíme-li

symetrickou obdélníkovou oblast na jedné ze stran, optimální výběr mapy se nezmění.

Literatura

[1] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM 1 - Definice kartografických zobrazení a jejich

základní vlastnosti. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 1.

[2] Baťka M.: Optimalizace geografie LAM Část 2 – Optimální volba parametrů Lambertova

konformního. Meteorologické zprávy. Ročník 55-2002. Číslo 2. s. 33-39.

48

4. Rovnice pro změnu hybnosti a tradiční aproximace V první kapitole „Rovnice, jimiž se řídí pohyb atmosféry“ jsme formulovali zákon

zachování hybnosti pouze pro kartézský inerciální systém souřadnic. Za takovýto systém

můžeme například považovat systém pravoúhlých souřadnic, jehož počátek leží ve středu

zemské sféry a jehož osy směřují pod stále stejnými úhly ke hvězdám. Tento systém nerotuje

se Zemí otáčející se kolem své osy. Nyní se budeme zabývat tvarem rovnic v souřadném

systému pevně spojeného s rotující Zemí a nejenom to, budeme se věnovat také

zjednodušením rovnic vyplývající ze skutečnosti, že atmosféra tvoří na povrchu Země

k jejímu poloměru relativně pouze tenkou vrstvu. Zjednodušení rovnic vycházející z této

skutečnosti nazval Norman Philips „tradičními aproximacemi“. Tyto aproximace vedou

k metrickému zjednodušení a zahrnutí odstředivé síly vznikající při rotaci Země do síly

zemské tíže. Síla zemské tíže je pokládána za konstantní, nezávisející na zeměpisné šířce, a

její směr je vždy kolmý k povrchu Země. Pro formulaci rovnic v souřadné soustavě rotující

společně se zemí je výhodné použít vektorový zápis rovnic hybnosti. Všimneme si navíc ještě

jedné zajímavosti, a to formulace rovnic hybnosti pro semi-Lagrangeovská schémata, kde

Coriolisovy členy jsou zahrnuty do individuální změny hybnosti. To nám do jisté míry také

objasní mechanizmy spojené s Coriolisovou silou.

4.1. Rovnice pro změnu hybnosti ve vektorovém tvaru

Vektory v pevné a rotující soustavě souřadnic

Pro studium vztahu mezi vyjádřením vektoru v pevné a rotující soustavě souřadné

vycházíme z důležité vlastnosti vektoru, která spočívá v tom, že vektor je dán pouze svou

velikostí a směrem. Není tedy vázán na pevné místo v prostoru, což je základní vlastností

bodů v prostoru a odtud i skalárních veličin. Studujeme zde tedy tak zvané volné vektory.

Důsledkem této vlastnosti je, invariantnost složek vektoru vůči translaci souřadné soustavy.

To znamená, že provedeme-li rovnoběžné posunutí soustavy souřadnic, složky vektoru se

nezmění a popisují nám stále stejný vektor. Bez újmy obecnosti proto pro názorné odvození

vztahů mezi souřadnými soustavami můžeme tyto soustavy studovat tak, že počátky obou

soustav umístíme do jednoho bodu a to do libovolného bodu na ose otáčení. Při rotaci

soustavy souřadnic se samozřejmě složky vektoru mění, i když studujeme stále stejný vektor.

Z invariantnosti vektoru vůči translaci souřadné soustavy ovšem také vyplývá, že si

můžeme tuto stejnou soustavu představit také tak, že počátek této rotující soustavy je umístěn

do pevně zvoleného bodu na zeměkouli, otáčí se zároveň se zemí a že osa x směřuje na

východ, osa y k severu a osa z kolmo k povrchu země a je kladně orientována směrem

vzhůru. Takováto soustava souřadnic se nazývá lokální soustava souřadnic, nebo též

standardní soustavou. Můžeme ji použít pro studium meteorologických jevů v okolí počátku

lokálního souřadného systému na Zemi. Použití lokálního systému je možné, když chyba

nahrazení zakřiveného povrchu Země tečnou rovinou procházející počátkem lokální soustavy

souřadnic je vzhledem k chybě řešeného problému malá. Lokální soustava souřadnic je

používána především v dynamické meteorologii. Pro studium všeobecné cirkulace atmosféry

49

v meteorologických modelech, které se vždy týkají dějů velkého (synoptického) měřítka na

velké oblasti, nebo i celém povrchu Země však použití lokální soustavy souřadnic nestačí.

Vektor rotace

Při pohybu pevného tělesa otáčejícího se podél pevné osy otáčení (rotace) konají

všechny jeho body s výjimkou pevných bodů na ose rotace kruhový pohyb se společnou

úhlovou rychlostí Ω = 𝑑𝜆 𝑑𝑡⁄ . Tento pohyb můžeme popsat vektorem úhlové rychlosti 𝛀,

jehož velikost je 𝛺 a jeho směr je shodný s osou otáčení. Rychlost v, libovolného bodu tělesa

otáčejícího se kolem osy, můžeme vyjádřit jako 𝐯 = 𝛀 × 𝐫 kde vektor r je průvodič vedený

z jednoho pevného bodu na ose otáčení do otáčejícího se bodu. Je to zřejmé z toho, že vektor

v je kolmý k rovině určené dvojicí vektorů 𝛀 a r. Aby tento výraz byl správný, orientace

vektoru 𝛀 je zvolena tak, aby vektory 𝛀, r, v v tomto pořadí tvořily pravotočivý systém.

Délka vektoru v, je dána vztahem 𝑣 = 𝜔𝑟 𝑠𝑖𝑛 휃, kde 휃 je úhel mezi vektory r a 𝛀 . Je-li

počátek průvodiče zvolen ve středu zemské sféry je úhel 휃 pólová úhlová vzdálenost. Výraz

𝑟 𝑠𝑖𝑛 휃 je roven kolmé vzdálenosti průvodiče r od osy otáčení. Z toho je vidět, že 𝛺 je

skutečně úhlová rychlost otáčení.

Totální derivace vektoru (individuální časová změna) v rotující soustavě souřadnic.

Než začneme výklad tohoto odstavce o vztahu individuální časové změny částice

v inerciální a rotující soustavě souřadnic chci zdůraznit, že pro tento odstavec je zcela

nepodstatné jaký má rotující Země tvar, tedy geoidu nebo rotačního elipsoidu, který se

používá v geodézii, nebo referenční koule, používané obvykle v meteorologii.

Začneme studiem libovolného se svými derivacemi spojitého vektorového pole A.

Vektor A je funkcí času t a tří prostorových ortogonálních souřadnic x, y, z. Inerciální, nebo

též absolutní kartézský systém souřadnic zvolíme tak, že počátek souřadnic leží na zemské ose,

která je osou rotace a směr souřadnicových os zůstává stejný vzhledem ke hvězdám. Jinak

směr jeho os může být zvolen libovolně. Jestliže i, j, k, jsou příslušné jednotkové vektory na

osách souřadnic, můžeme vektor A psát ve tvaru

𝐀 = 𝐴𝑥𝐢 + 𝐴𝑦𝐣 + 𝐴𝑧𝐤 (4.1.1)

kde 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦, 𝐴𝑧 jsou složky vektoru A vzhledem k osám x, y, z. Nechť x‘ ,y‘, z‘ jsou kartézské

souřadnice v soustavě, která vznikne ze soustavy x, y, z tak, že jí necháme rotovat společně se

zemí a otáčí se tedy kolem zemské osy úhlovou rychlostí Ω. Počátky obou soustav jsou stejné.

Nechť i‘, j‘, k‘ jsou jednotkové vektory na osách souřadnic x‘, y‘, z‘, pak vektor A můžeme

psát také ve tvaru

𝐀 = 𝐴𝑥′𝐢′ + 𝐴𝑦′𝐣′ + 𝐴𝑧′𝐤′ (4.1.2)

Kde 𝐴𝑥′, 𝐴𝑦′, 𝐴𝑧′ jsou složky vektoru A v rotující soustavě souřadnic x‘, y‘, z‘. Při výpočtu

totální derivace musíme vzít v úvahu, že směry jednotkových vektorů i‘, j‘, k‘ se mění

s časem a proto aplikujeme-li totální diferenciál na vztah (4.2) dostaneme

𝑑𝐀

𝑑𝑡=

𝑑𝐴𝑥′

𝑑𝑡𝐢′ +

𝑑𝐴𝑦′

𝑑𝑡𝒋′ +

𝑑𝐴𝑧′

𝑑𝑡𝐤′ + 𝐴𝑥′

𝑑𝐢′

𝑑𝑡+ 𝐴𝑦′

𝑑𝐣′

𝑑𝑡+ 𝐴𝑧′

𝑑𝐤′

𝑑𝑡

(4.1.3)

První tři členy pravé strany rovnice tvoří totální derivaci vektoru A vzhledem k rotující

soustavě souřadnic x‘, y‘, z‘, kterou označme 𝑑′

𝑑𝑡 . Protože na jednotkové vektory i‘, j‘, k‘ se

50

můžeme dívat jako na průvodiče s počátkem na ose rotace, jsou rychlosti i‘, j‘, k‘ dány rotací

a platí

𝑑𝐢′

𝑑𝑡= 𝛀 × 𝐢′ ,

𝑑𝐣′

𝑑𝑡= 𝛀 × 𝐣′ ,

𝑑𝐤′

𝑑𝑡= 𝛀 × 𝐤′

(4.1.4)

Kde 𝛀 je vektor který definuje rotaci vzhledem k ose Země. Poslední tři členy pravé strany

rovnice (4.1.3) zapsány vektorově nám dají 𝛀 × 𝐀. Zde jsme použili následující vztahy platné

pro vektorový součin: 𝐀 × 𝐁 = −𝐁 × 𝐀, násobení vektorového součinu skalárem

𝜆(𝐀 × 𝐁) = (𝜆𝐀) × 𝐁 = 𝐀 × (𝛌𝐁) a distributivní zákon 𝐀 × (𝐁 + 𝐂) = 𝐀 × 𝐁 + 𝐀 × 𝐂.

Rovnice (4.1.3), která nám dává vztah mezi totální derivací v inerciální a rotující soustavě

má tvar

𝑑𝐀

𝑑𝑡=

𝑑′𝐀

𝑑𝑡+ 𝛀 × 𝐀

(4.1.5)

Předchozí vztah platí pro libovolné vektorové pole A. Všimněme si, že v předchozím vztahu

(4.5) je čárkou indikující rotující soustavu označena pouze absolutní derivace, neboť vektor je

geometrický objekt a nezávisí na soustavě souřadnic.

V meteorologii se však všechny výpočty provádějí v soustavě souřadnic pevně spojené

s rotující Zemí, proto nyní změníme označení totálních derivací a totální derivaci v absolutní,

tedy inerciální soustavě označíme 𝑑𝑎𝐀

𝑑𝑡 a totální derivaci v rotujícím systému souřadnic bez

čárky, tedy 𝑑𝐀

𝑑𝑡. Vztah (4.5) nabude obvyklý tvar

𝑑𝑎𝐀

𝑑𝑡=

𝑑𝐀

𝑑𝑡+ 𝛀 × 𝐀

(4.1.6)

Aplikujeme-li nyní předchozí vztah a na vektor A za který zvolíme rádius-vektor r

definovaný vztahem

𝐫 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑧𝐤 = 𝑥′𝐢′ + 𝑦′𝐣′ + 𝑧′𝐤′ (4.1.7)

pak rovnice (4.1.5) nabude tvaru

𝑑𝑎𝐫

𝑑𝑡=

𝑑𝐫

𝑑𝑡+ 𝛀 × 𝐫

(4.1.8)

Protože 𝑑𝑎𝐫

𝑑𝑡= 𝐯𝐚

je vektorem rychlosti částic vzhledem k inerciální soustavě, který jsme označili va a 𝑑𝐫

𝑑𝑡= 𝐯 je

vektorem rychlosti částic vzhledem k rotující soustavě, tedy vzhledem k povrchu země, máme

𝐯𝑎 = 𝐯 + 𝛀 × 𝐫 (4.1.9)

Což můžeme jednoduše interpretovat tak, že vektor rychlosti vzhledem k inerciální, nebo též

absolutní soustavě souřadnic va je součtem vektoru rychlosti vzhledem k Zemi v, (tedy

vzhledem k rotující soustavě), a vektoru rychlosti dané rotací v bodě, kde se částice nachází.

51

Vektor rychlosti rotace je přirozeně brán vzhledem k inerciální soustavě, vzhledem k Zemi je

samozřejmě nulový.

Aplikujeme-li rovnici (4.1.5) platící pro libovolný vektor na vektor rychlosti vzhledem k

absolutní inerciální soustavě V, obdržíme obdobný vztah pro zrychlení

𝑑𝑎𝐯𝑎

𝑑𝑡=

𝑑𝐯𝑎

𝑑𝑡+ 𝛀 × 𝐯𝑎

(4.1.10)

Dosadíme-li do pravé části rovnice (4.1.10) za v ze vztahu (4.9) obdržíme

𝑑𝑎𝐯𝑎

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝐯 + 𝛀 × 𝐫) + 𝛀 × (𝐯 + 𝛀 × 𝐫) =

𝑑𝐯

𝑑𝑡+ 2𝛀 × 𝐯 + 𝛀 × (𝛀 × 𝐫)

(4.1.11)

kde jsme použili skutečnosti, že vektor rotace 𝛀 je konstantní, a platí 𝑑

𝑑𝑡(𝛀 × 𝐫) = 𝛀 ×

𝑑𝐫

𝑑𝑡= 𝛀 × 𝐯

(4.1.12)

Aplikujeme-li rovnici (4.1.5) platící pro libovolný vektor na vektor rychlosti vzhledem k

absolutní inerciální soustavě v, obdržíme obdobný vztah pro zrychlení

proto vztah (4.1.11) můžeme psát ve tvaru

𝑑𝑎𝐯

𝑑𝑡=

𝑑𝐯

𝑑𝑡+ 2𝛀 × 𝐯 + 𝛀 × (𝛀 × 𝐫)

(4.1.13)

V předchozí rovnici je 𝑑𝑎𝐯

𝑑𝑡 zrychlení vzhledem k inerciální soustavě, zatímco

𝑑𝐯

𝑑𝑡 je zrychlení

vzhledem k rotující soustavě spojené se Zemí. Na rozdíl mezi těmito dvěma výrazy se

můžeme dívat jako na výslednici virtuálních sil vztažených na jednotku hmotnosti, které

musíme brát v úvahu v rotujícím systému souřadnic i když žádné reálné síly na částice

nepůsobí. Člen 2𝛀 × 𝐯 nám představuje Coriolisovo zrychlení a člen 𝛀 × (𝛀 × 𝐫) dobře

známé odstředivé zrychlení. Abychom tuto skutečnost ještě více objasnili, označme R

projekci vektoru r na normálu k ose otáčení, pak podle obecného vztahu pro vektorový součin

𝐚 × (𝐛 × 𝐜) = 𝐛(𝐚 ∙ 𝐜) − 𝐜(𝐚 ∙ 𝐛)

Máme

𝛀 × (𝛀 × 𝐫) = 𝛀 × (𝛀 × 𝐑) = 𝛀(𝐑 ∙ 𝛀) − 𝐑(𝛀 ∙ 𝛀) = −Ω2𝐑 (4.1.14)

kde je velikost vektoru 𝛀 , neboli úhlová rychlost rotace Země. Ta je rovna

2𝜋/délka hvězdného dne = 𝛺 = 7.292 115 9 ∗ 10−5𝑠𝑒𝑐−1,

Kde délka hvězdného dne = 86 164.090 54 sec. Odstředivé zrychlení se obvykle zahrnuje do tíhového zrychlení Země, které se tedy skládá z

tíhového zrychlení země g*, které by vyvolávala gravitační síla Země, kdyby se neotáčela.

Tíhové zrychlení rotující Země je tedy rovno součtu

𝐠 = 𝐠∗ + Ω2𝑹 (4.1.15)

Velikost tohoto vektoru stačí pro meteorologii považovat za konstantní a můžeme pro ni

zvolit hodnotu normálního zrychlení, které je rovno 2806659 ms.g . Tato hodnota

tíhového zrychlení se používá v definici soustavy technických jednotek a je rovna zrychlení

52

zemské tíže na 45 stupni severní šířky při hladině moře. Zaokrouhlujeme ji obvykle na 289 ms.g . Za předchozího zjednodušení budeme rovněž předpokládat, že vektor g míří do

středu Zeměkoule. Člen 𝛀 × (𝛀 × 𝐫) v rovnici (4.1.13) je pak zahrnut do síly zemské tíže a

v rovnici (4.1.13) jej vynecháváme. Rovnici (4.1.13) píšeme pak ve tvaru

𝑑𝑎𝐯

𝑑𝑡=

𝑑𝐯

𝑑𝑡+ 2𝛀 × 𝐯

(4.1.13a)

Důsledky této aproximace je však třeba více vysvětlit, což provedeme dále.

Rovnice pro změnu hybnosti v rotující souřadné soustavě

Druhý Newtonův zákon je obvykle formulován jako zákon zachování hybnosti. Tento

zákon je matematicky formulován rovnicemi hybnosti (anglicky momentum equations).

Protože hybnost je vektorová veličina, můžeme v třírozměrném prostoru, ve kterém žijeme,

tento zákon také zapsat pomocí tří rovnic pro jednotlivé složky vektoru hybnosti.

Když pro formulaci rovnic změny hybnosti použijeme výše zavedené označení,

dostaneme rovnice v obvyklém tvaru používaném v meteorologii. Hodnoty proměnných

v rotujícím sytému již nebudeme označovat čárkou a hodnoty v absolutním inerciálním

systému označme indexem a, tyto hodnoty stejně nebudeme v dalším potřebovat.

Druhý Newtonův zákon můžeme tak v inerciální soustavě napsat symbolicky ve tvaru

𝑑𝑎𝐯𝑎

𝑑𝑡= ∑ 𝐅

(4.1.16)

Levá strana zde reprezentuje změnu vektoru rychlosti v absolutní inerciální soustavě, tedy

vlastně změnu hybnosti částic vztaženou k jednotkové hmotnosti. Pravá strana reprezentuje

součet všech reálných sil působící na částice vztažených k jednotkové hmotnosti. Rovnice pro

změnu hybnosti můžeme s pomocí vztahů (4.1.13), (4.1.14) a (4.1.15) tedy psát ve tvaru

𝑑𝑎𝐯

𝑑𝑡=

𝑑𝐯

𝑑𝑡+ 2𝛀 × 𝐯 = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅

(4.1.17)

kde P je síla tlakového gradientu, g síla zemské tíže a F sílu vnitřní vazkosti vztažené na

jednotku hmotnosti.

Aproximace spojené se zemskou tíží

Na všechny hmotné objekty nacházející se v blízkosti zemského povrchu rotující spolu

se Zemí působí síla zemské tíže. Tato síla zemské tíže se skládá ze dvou složek. Jednou ze

složek je gravitační síla Země podle známého Newtonova zákona. Druhou složkou je

odstředivá síla, způsobená rotací Země a tedy i rotací těles samotných, které se pohybují spolu

se zemským povrchem. Kdyby Země nerotovala, měla by teoreticky tvar koule. Vzhledem

k odstředivé síle rotace nemá Země tvar koule, ale geoidu.

V atmosféře dominantním potenciálním polem působícím na atmosféru je gravitační

síla Země. Poznamenejme, že odstředivou sílu vzniklou rotací Země vyjádřenou členem

53

−𝛀 × (𝛀 × 𝐑) můžeme psát ve tvaru 1

2∇Ω2R2 a kombinujeme tento člen s gravitačním

potenciálem Země abychom dostali geopotenciál ,

Φ = Φ∗ −1

2Ω2𝑅2 (4.1.18)

a označme 𝐠 = −∇Φ vektor zemské tíže.

Nehomogennost zemské kůry i další odchylky způsobují, že plocha konstantního

není přesně povrchem rotační plochy ideálního geoidu. My ovšem ignorujeme tyto relativně

malé rozdíly a plochu konstantního geopotenciálu na povrchu geoidu budeme považovat

plochu vzniklou rotací. Plocha povrchu geoidu je tedy plochou konstantního geopotenciálu.

Tíhové pole země, které je dáno gradientem geopotenciálu, dobře souhlasí s pozorovaným

skutečným tíhovým polem Země. Ignorujeme také rozdíl mezi geografickou a geocentrickou

zeměpisnou šířkou. Nyní podle N. Phillipse (1973) definujeme souřadnice na základě

tíhového pole Země. Nejdříve definujeme ortogonální křivočaré souřadnice, ty jsou dány

následujícími plochami

𝜉1 = 𝜆 = východní délku – tvoří poloroviny vycházející se zemské osy, jsou to tedy

poloroviny poledníků

𝜉2 = rotační plochy kolmé k ploše stejného geopotenciálu, vytvoří se rotací svislé

polopřímky v daném bodě geoidu kolem zemské osy

𝜉3 = Φ plochy stejného geopotenciálu

Φ0 je hodnota geopotenciálu Φ na povrchu referenčního geoidu, což je „průměrná hladina

moře“. Naše volba souřadnic je diktována přáním, aby se zemská tíže vyskytovala pouze

v jedné složce pohybových rovnic. To je velmi důležité! My jednoduše používáme

geocentrické sférické souřadnice, přestože vzdálenost od středu Země se pohybuje od 6 357

km na pólech k 6 378 km na rovníku a souřadnicová plocha traverzuje výškově atmosférou 22

km. Takováto gravitační síla by byla dominantní silou v rovnicích horizontálních složek

hybnosti. Takovýto systém je samozřejmě komplikovaný, neboť metrické (Lameovy)

koeficienty ℎ1, ℎ2, ℎ3 v přírůstku délky

(𝑑𝑙)2 = ℎ12(𝑑𝜉1)2 + ℎ2

2(𝑑𝜉2)2 + ℎ32(𝑑𝜉3)2

(4.1.19)

jsou komplikovanými funkcemi 𝜉1, 𝜉2, 𝜉3

Systém souřadnic zjednodušíme následujícím způsobem. Definujeme referenční sféru,

jejíž poloměr a je průměrnou hodnotou poloměru Země a = 6 371 km a pro libovolný bod P

atmosféry, jehož souřadnice jsou 𝜉1, 𝜉2, 𝜉3 přiřadíme sférické souřadnice 𝜆𝑠, Φ𝑠, 𝑟𝑠 , že

𝜆𝑠 = 𝜆 = 𝜆𝑠(𝜉1) (4.1.20)

Φ𝑠 = Φ = Φ(𝜉2) (4.1.21)

𝑟𝑠 = 𝑎 + ∫𝑑Φ

(Φ)= 𝑟𝑠(𝜉3)

Φ

Φ0 (4.1.22)

kde (Φ) je průměrná hodnota g na ploše konstantního Φ a integrál je vyhodnocován při

konstantním 𝜉1, 𝜉2. Protože 𝜆𝑠 → 𝜉1, Φ𝑠 → 𝜉2, 𝑟𝑠 → 𝜉3 zůstává 𝜆𝑠, Φ𝑠, 𝑟𝑠 ortogonálním

systémem. Protože g se příliš nemění je vzdálenost 𝑟𝑠 stále rovna geometrické výšce nad

hladinou moře pokud bod P není příliš vzdálen od referenčního geoidu.

Nyní tedy připustíme, že jak jsme předpokládali, můžeme metrické koeficienty

aproximovat sférickým systémem tedy

54

(𝑑𝑙)2 = 𝑟𝑠2𝑐𝑜𝑠2Φ𝑠(𝑑𝜆𝑠)2 + 𝑟𝑠

2(𝑑Φ𝑠)2 + (𝑑𝑟𝑠)2 (4.1.23)

neboli

ℎ1 = 𝑟𝑠 cos Φ𝑠, ℎ2 = 𝑟𝑠, ℎ3 = 1 (4.1.24)

touto cestou dosáhneme, že tíhová síla Země je komponentou pouze v „radiálním“ směru.

Souřadnice určující polohu na Zemi jsou brány podél ploch konstantního geopotenciálu spíše

než podél ploch konstantní vzdálenosti od středu Země.

Souřadnice můžeme geometricky interpretovat následovně. Pro libovolný bod P, jehož

souřadnice jsou 𝜉1, 𝜉2, 𝜉3 je zeměpisná délka dána vztahem 𝜆𝑠 = 𝜉1 = 𝜆; Φ𝑠 je dáno úhlem

mezi směrem zemské tíže a rovinou rovníku když bodem P pohybujeme podél čáry

𝜉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., 𝜉3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. na referenčním geoidu. Souřadnice 𝑟𝑠 je definována jednoduše, jako

konstanta plus vzdálenost definovaná prací danou pohybem proti průměrné tíhové síle Země.

Poznamenejme, že když Φ = Φ0 tak 𝑟𝑠 = 𝑎 a 𝑟𝑠 není rovna vzdálenosti plochy referenčního

geoidu od geometrického středu Země.

Při této aproximaci předpokládáme, že atmosféra je tekutina pohybující se téměř po

sférické (s vyloučením modulace dané terénem) ploše a konstantní tíhová síla působí pouze

podél vertikální souřadnice. Obvykle klademe 𝑧 = 𝑟𝑠 − 𝑎. V tomto případě si jednoduše

připomeňme, že všechna data použitá pro předpověď nebo verifikaci jsou dána vzhledem

k plochám konstantního Φ.

Rovnice hybnosti v lokálním systému souřadnic

Pro studium pohybu vzduchu v okolí určitého bodu na Zemi je možné použít lokální

pravoúhlý souřadný systém souřadnic. V bodě P na povrchu Země v tečné rovině k ploše

stejného geopotenciálu (v jednodušší interpretaci v rovině tečné k referenční kouli

aproximující Zemi), zvolíme kartézský systém souřadnic s počátkem v bodě P. Osa y nechť

směřuje k severu, osa x k východu. Svislá souřadnice z, nechť směřuje kolmo k tečné rovině

a je kladně orientována vzhůru. V tomto systému souřadnic si vyjádřeme složky Coriolisovy

síly, které jsou dány vztahem−2𝛀 × 𝐯.

Vektor rotace leží v rovině poledníku, proto složka 0 x kolmá k rovině poledníku musí

být rovna 0.

Obrázek 4. 1. Složky vektoru rotace v lokální soustavě souřadnic

55

Složky vektoru Ω ve směru souřadných os y, z, jsou jeho průměty do souřadných os y, z

v rovině poledníku. Souřadnice vektoru rotace v našem lokálním systému jsou tedy

𝛀 = (0, Ω cos 𝜑 , Ω sin 𝜑) (4.1.25)

Kde je zeměpisná šířka. Rovnice pro změnu hybnosti (4.1.17) které psány ve vektorovém

tvaru jsou

𝑑𝐯

𝑑𝑡+ 2𝛀 × 𝐯 = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅

(4.1.26)

nyní přepíšeme do složkového tvaru. Nejdříve si vyjádříme Coriolisovy členy. Označíme-li

složky Coriolisovy síly ve směru souřadnic x, y, z 𝐂 = (𝐶x, 𝐶𝑦, 𝐶𝑧), máme

𝐂 = −2𝛀 × 𝐯 = 2Ω |𝐢 𝐣 𝐤0 cos φ sin φ𝑢 𝑣 𝑤

| (4.1.27)

Z determinantu dostáváme složky Coriolisovy síly

𝐶𝑥 = 2𝑣Ω sin 𝜑 − 2𝑤Ω cos 𝜑 (4.1.28)

𝐶𝑦 = −2𝑢𝜑Ω sin 𝜑 (4.1.29)

𝐶𝑧 = 2𝑢Ω cos 𝜑 (4.1.30)

Rovnice (4.26) ve složkovém tvaru jsou

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −∝

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 2𝑣Ω sin 𝜑 − 2𝑤Ω cos 𝜑

(4.1.31)

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑦− 2𝑢Ω sin φ

(4.1.32) 𝑑𝑤

𝑑𝑡= −∝

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝑔 + 2𝑢Ω cos φ

(4.1.33)

Tyto rovnice odvozené formálně z rovnic ve vektorovém tvaru mají stejnou vadu jako

obvykle uváděné rovnice v polárních souřadnicích, kde je polární souřadnice r nahrazena

poloměrem zemské sféry. Neberou totiž v úvahu důsledky zjednodušení geometrie, nazývané

podle Carla Eckarta „tradičními aproximacemi“, publikované roku 1960 v monografii [1].

Podle Normana Phillipse [8] jsou v nich proto obsaženy nežádoucí členy. V první rovnici je to

člen −2𝑤Ω cos 𝜑 a v poslední rovnici člen 2𝑢Ω cos φ. Tyto členy se obvykle v dynamické

meteorologii pro zjednodušení vynechávají se zdůvodněním, že jsou malé. Skutečný jejich

význam i to, že do rovnic nepatří, budeme studovat dále, v souvislosti se zákonem zachování

momentu hybnosti. Pohyby atmosféry synoptického, tedy velkého měřítka jsou

kvasihorizontální, tedy přibližně rovnoběžnými s plochami konstantního geopotenciálu. Pro

modely synoptického měřítka je atmosféra v podstatě stále v hydrostatické rovnováze.

Rovnice hybnosti tak nepopisují tepelnou konvekci, jejíž měřítko je o několik řádů menší, a

proto je řešena parametrizacemi. Poslední rovnice (4.1.33) je pak redukována na

hydrostatickou rovnici. Zanedbáváme tedy vertikální zrychlení 𝑑𝑤 𝑑𝑡⁄ a samozřejmě proto

také i Coriolisův člen. Problémem tedy zůstává zejména člen 2Ω𝑤 cos 𝜑 v první rovnici.

Tento člen je vlivem malých vertikálních rychlostí nejméně o dva řády menší a v dynamické

56

meteorologii se pro zjednodušení rovnic zanedbává. O tom, že člen 2Ω𝑤 cos 𝜑 je v rovnicích

nežádoucí, neboť způsobuje porušení principu zachování momentu hybnosti (agular

momentum princip), bude pojednáno podrobněji dále. V modelech, které jako horizontální

souřadnice používají kartézský systém v rovině mapy jsou svislé souřadnice kolmé k rovině

mapy a tedy rovnoběžné. Situace je tedy odpovídá tradičním aproximacím, neboť i zde se

vzdálenosti měří po povrchu Země a Lameovy koeficienty nezávisí na výšce nad zemí. V

osmé kapitole uvidíme, že všechny horizontální vzdálenosti a to i v systémech

vertikálně transformovaných souřadnic zahrnujících orografii jsou měřeny v rovině mapy.

Tuto aproximaci umožňuje skutečnost, že atmosféra tvoří na povrchu země vzhledem k jejímu

poloměru nejen tenkou vrstvu, ale i to, že pro synoptické měřítko, vlivem malého

horizontálního rozlišení na výpočetní síti, má takto zobrazená orografie vzhledem

k vodorovné ploše jen velmi malé sklony. Rovnice (4.1.31), (4.1.32), (4.1.33) se pro modely

synoptického měřítka zjednodušují. Bez parametrizace tření je píšeme ve tvaru

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝑓𝑣

(4.1.34)

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑦− 𝑓𝑢

(4.1.35)

0 = −𝛼𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝑔

(4.1.36)

kde 𝑓 = 2Ω sin 𝜑 se nazývá Coriolisův parametr

Rozepíšeme-li zde individuální změny složek hybností, můžeme rovnice pro změny

horizontálních složek hybnosti psát ve tvaru

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧− 𝑓𝑣 + 𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 0

(4.1.37)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑣

𝜕𝑧+ 𝑓𝑢 + 𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 0

(4.1.38)

Možnosti použití lokálního systému souřadnic a rotované systémy

Ukážeme si nyní, jak velké rozdíly ve vzdálenostech vznikají mezi vzdálenostmi na

kouli a v tečné rovině v okolí počátku lokálního systému souřadnic. Vyjdeme přitom

z obvykle známé skutečnosti, že délka oblouku do 50 úhlové míry se málo liší od délky

průmětu tohoto oblouku na tečnu. Pro větší úhly se pak tento rozdíl rychle zvyšuje. Této

skutečnosti se používá ve fyzice při studiu kyvadla, aby se rovnice popisující jeho kyvy stala

57

lineární. Budeme tedy studovat rozdíl mezi délkou oblouku daného úhlem 휃 na kružnici o

poloměru a=6371 km, což je poloměr Země, délkou jeho kolmého průmětu na tečnu

procházející počátkem souřadnic, což je ve skutečnosti lokální systém souřadnic, a navíc

délkou průmětu kružnice z opačného bodu na kružnici, což je stereografická projekce.

Obrázek 4. 2. Možnosti použití lokální soustavy souřadnic

Uhel 휃 můžeme interpretovat jako pólovou úhlovou vzdálenost od pólu osy rotace Země. Trik

s otočením osy Země, která nám pak definuje novou otočenou obdobu geografických

souřadnic, se dnes používá v některých modelech. Tím se rozšíří možnosti pro volby

souřadných systémů v lokálních modelech. Je pak možné použít k zobrazení Země systém

pravoúhlých souřadnic na zvolené obvykle konformní mapě, což může být Mercatorova

mapa, stereografické zobrazení, Lambertova mapa, nebo i přímo systém otočených

zeměpisných souřadnic. Nová poloha osy zeměpisných souřadnic je v tomto případě volena

tak, aby střed mapy ležel v rovníkové oblasti takto otočené sítě souřadnic. Nyní si musíme si

upřesnit, co rozumíme lokálním souřadným systémem. Je to kartézský systém souřadnic

v tečné rovině s počátkem v bodě dotyku se Zemí. Bodům na Zemi budou v tečné rovině

odpovídat jejich ortogonální průměty do roviny lokálního systému souřadnic.

Pro pólovou úhlovou vzdálenost 휃 = 50 dostaneme následující vzdálenosti od počátku

lokálních souřadnic:

vzdálenost po oblouku je 𝑠 = 𝑎 𝜋

180휃, 𝑠 = 0.087 266 ∗ 𝑎 = 555.97 km,

vzdálenost d po průmětu oblouku na tečnou rovinu, tedy vzdálenost od počátku lokálního

systému souřadnic 𝑑 = 𝑎 sin 휃, 𝑑 = 0.087 156 ∗ 𝑎 = 555.27 km

vzdálenost po stereografickém průmětu oblouku do roviny lokálního systému souřadnic

𝑝 = 𝑎 ∗ 2 tan 휃/2, 𝑝 = 0.087 322 ∗ 𝑎 = 556.33 km

58

Vidíme, že chyba v horizontální vzdálenosti, která je pro meteorologii rozhodující, je do

vzdálenosti 555 km od počátku souřadnic lokálního souřadného systému z hlediska

synoptické meteorologie malá. Při průmětu povrchu Země do roviny lokálního systému

souřadnic činí rozdíl vzdáleností po povrchu Země a v rovině lokálních souřadnic 0.7 km. Pro

rotované stereografické souřadnice ovšem a to i bez zavedení zkreslení mapy je tato chyba

pouze 0.36 km. Pro účely geodezie jsou však tyto chyby nepřijatelné a proto je často i pro

meteorologii prezentováno, že lokální systém je možné použít pouze pro oblast čtverce o

straně 20 km.

4.2 Rovnice hybnosti ve sférických souřadnicích

Rovnice hybnosti, které jsme odvodili ve vektorovém tvaru, nyní převedeme do

složkového tvaru ve sférických souřadnicích. Tento tvar rovnic je důležitý pro obecné

studium vln v atmosféře a pro modely obecné cirkulace, neboť rovnice ve složkovém tvaru

potřebujeme pro výpočty numerickými metodami. Právě globální modely jsou formulovány

ve sférických souřadnicích a jsou používány pro studium všeobecné cirkulace a v současnosti

zejména pro střednědobou předpověď počasí, čímž je myšlena předpověď na časové období

do dvou týdnů.

Nechť (𝜆, 𝜑, 𝑟) jsou sférické souřadnice, 𝜆 zeměpisná délka, 𝜑 zeměpisná šířka a r je

vzdálenost od středu Země. Vzhledem k tomu, že elipticita Země je malá, nahradíme plochu

povrchu Země sférou o poloměru r=a, s tím, že zemská tíže nemá 𝜑 - složku. Dostaneme tak

adekvátní popis pro analýzu pohybu atmosféry. Označme písmenem z výšku nad hladinou

moře. Dále nechť (𝐢, 𝐣, 𝐤) jsou vzájemně ortogonální jednotkové vektory i ve směru podél

rovnoběžky na východ, j ve směru poledníku na sever a k, směrem vzhůru. Tyto jednotkové

souřadnicové vektory rotují společně se Zemí, nejsou tedy konstantní. Vektor rychlosti v pak

můžeme vyjádřit v soustavě rotující se Zemí ve tvaru

𝐯 = 𝑢𝐢 + 𝑣𝐣 + 𝑤𝐤 (4.2.1)

kde složky rychlostí v tomto křivočarém systému souřadnic jsou

𝑢 = ℎ𝜆

𝑑𝜆

𝑑𝑡= 𝑟 cos 𝜑

𝑑𝜆

𝑑𝑡, 𝑣 = 𝑓𝜑

𝑑𝜑

𝑑𝑡= 𝑟

𝑑𝜑

𝑑𝑡, 𝑤 = ℎ𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 1

𝑑𝑟

𝑑𝑡

, (4.2.2)

Kde ℎ𝜆, ℎ𝜑 , ℎ𝑟 jsou příslušné Lameovy koeficienty. Vyjádříme-li individuální změnu vektoru

v derivováním vztahu (4.2.1), dostáváme pro zrychlení

𝑑𝐯

𝑑𝑡=

𝑑𝑢

𝑑𝑡𝐢 +

𝑑𝑣

𝑑𝑡𝐣 +

𝑑𝑤

𝑑𝑡𝐤 + 𝑢

𝑑𝐢

𝑑𝑡+ 𝑣

𝑑𝐣

𝑑𝑡+ 𝑤

𝑑𝐤

𝑑𝑡

(4.2.3)

Podle definice absolutní derivace můžeme jednotlivé individuální změny vektorů (𝐢, 𝐣, 𝐤) psát

ve tvaru

𝑑𝐢

𝑑𝑡=

𝜕𝐢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝐢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝐢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝒊

𝜕𝑧

(4.2.4)

Protože vektor i je funkcí pouze proměnné x jsou všechny jeho derivace kromě derivace podle

x nulové, a předchozí vztah se redukuje na

59

𝑑𝐢

𝑑𝑡= 𝑢

𝜕𝐢

𝜕𝑥

(4.2.5)

Pro výpočet parciálních derivací souřadnicových vektorů (𝐢, 𝐣, 𝐤) provedeme tuto

úvahu. Studujme souřadnicový vektor i, který se pohybuje po kružnici o poloměru R, na níž

délka je oblouku x dána součinem poloměru R a úhlem v obloukové míře 𝜆, kde R můžeme

interpretovat jako vzdálenost od zemské osy.

Obrázek 4. 3. Změna jednotkového souřadnicového vektoru i při pohybu po rovnoběžce

Nechť z počáteční polohy x se vektor 𝐢(𝑥) = 𝐢(𝑟𝜆) pootočí o úhel Δ𝜆 a tedy urazí vzdálenost

𝑅Δ𝜆 do bodu 𝑥 + Δ𝑥 = 𝑅(𝜆 + Δ𝜆) kde vektor i má hodnotu 𝐢(𝑥 + Δ𝑥). Studujme nyní

rozdíl Δ𝐢 = 𝐢(𝑥 + Δ𝑥) − 𝐢(𝒙).

Protože vektory 𝐢(𝑥 + Δ𝑥) a 𝐢(𝑥) spolu svírají úhel Δ𝜆 a jsou jednotkové, proto velikost

vektoru Δ𝐢 je |Δ𝐢| = Δ𝜆 a pro délku vektoru parciální derivace |𝜕𝐢

𝜕𝑥| můžeme psát limitu

|𝜕𝐢

𝜕𝑥| = lim

Δ𝑥→0

|∆𝐢|

∆𝑥=

∆𝜆

𝑅∆𝜆=

1

𝑅

(4.2.6)

Pro výpočet délky vektoru parciální derivace |𝜕𝐢

𝜕𝑥| je R poloměr kružnice rovnoběžky, proto

𝑅 = 𝑟 cos 𝜑 a je tedy

|𝜕𝐢

𝜕𝑥| =

1

𝑟 cos 𝜑

(4.2.7)

Vektor Δ𝐢 po přechodu k limitě pro ∆𝜆 → 0 je kolmý k vektoru i a leží v rovině rovnoběžky

𝜑 i poledníku 𝜆. Vektor 𝜕𝐢

𝜕𝑥 míří tedy směrem k ose Země a jeho složky lze snadno odvodit

v rovině poledníku.

Vektor Δ𝐢 je tedy lineární kombinací vektorů j, k. Promítnutím vektoru Δ𝐢 do os j, k, máme

𝜕𝐢

𝜕𝑥=

1

𝑟 cos 𝜑(sin φ𝐣 − cos φ 𝐤)

(4.2.8)

a ze vztahu (4.2.5) je

60

𝑑𝐢

𝑑𝑡=

1

𝑟 cos 𝜑(sin φ𝐣 − cos φ 𝐤)

(4.2.9)

Obrázek 4. 4. Rozklad vektoru 𝛿𝐢 na severní a vertikální složku+

;-

Obdobné vztahy jako (4.2.3) platí i pro individuální změnu vektorů j, k. Pro výpočet

individuální změny vektorů j, k, je třeba spočítat parciální derivace těchto vektorů.

Nejdříve si všimněme vektoru j. Ten je funkcí proměnných x, y, r. Měníme-li souřadnici x,

pak všechny vektory j míří do stejného bodu ležícího na ose Země, který označme V. Změnu

vektoru j vzhledem k proměnné y studujme v rovině poledníku. Obrázek 4.5.

Obrázek 4. 5. Výpočet derivací vektoru j v rovině poledníku

61

Polopřímka ve směru vektoru j vedená z bodu P, ve kterém se nachází souřadnicový vektor j,

protíná osu Země v bodě, který označme V. Střed Země nechť je S. Vrcholový úhel

trojúhelníka ∆SPV při vrcholu V je roven zeměpisné šířce . Proto jeho odvěsna PV má

délku 𝑟 tan 𝜑⁄ . Posunu-li nyní vektor 𝐣(𝑥) z bodu P do bodu Q ve směru souřadnice x o délku

∆𝑥, pak dostanu vektor 𝐣(𝑥 + ∆𝑥).

Obrázek 4. 6. Výpočet derivací vektoru j pomocí trojúhelníku PQV

Rozdíl těchto vektorů označme ∆𝐣 = 𝐣(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐣(𝑥). Jestliže přejdeme k limitě ∆𝑥 → 0,

pak vektor ∆𝐣/∆𝑥 bude v limitě kolmý k rovině poledníku a tedy také k vektorům j a k. Bude

tedy násobkem vektoru i. Zbývá proto určit tento činitel. Studujme proto trojúhelník PQV.

Otočíme-li vektor 𝐣(𝑥) ve směru rovnoběžky o úhel ∆𝜆 posune se vektor 𝐣(𝑥) ve směru osy x

o délku ∆𝑥 a dostaneme tak vektor 𝐣(𝑥 + ∆𝑥). V trojúhelníku PQV pak označme 𝛼 úhel při

vrcholu V. Vektor 𝐣(𝑥 + ∆𝑥)pak bude s úsečkou QV svírat také úhel 𝛼. Nyní můžeme

obdobně, jako v prvním případě, spočítat velikost vektoru který je derivací vektoru j podle x.

Pro ∆𝑥 → 0 máme

|𝜕𝐣

𝜕𝑥| = lim

∆𝑥→0

|𝐣(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐣|𝑥||

∆𝑥=

∝

𝑑𝛼=

1

𝑑=

tan 𝜑

𝑟

(4.2.10)

Výpočet parciální derivace vektoru j podle y je ještě snazší, neboť celý výpočet probíhá

v rovině poledníku a obdobně jako v prvním případě celkově pak máme

𝜕𝐣

𝜕𝑥= −

tan 𝜑

𝑟𝐢 a

∂𝐣

∂y= −

𝐤

𝑟

(4.2.11)

výsledkem je pak, že

𝑑𝐣

𝑑𝑡= −

𝑢 tan 𝜑

𝑟𝐢 −

𝑣

𝑟𝐤

(4.2.12)

62

Obdobně obdržíme i vztah pro individuální změnu vektoru k

𝑑𝐤

𝑑𝑡=

𝑢

𝑟𝐢 +

𝑣

𝑟𝐣

(4.2.13)

Dosadíme-li vztahy pro individuální změny souřadnicových vektorů do (4.2.3) máme

𝑑𝐯

𝑑𝑡= (

𝑑𝑢

𝑑𝑡−

𝑢𝑣 tan 𝜑

𝑟+

𝑢𝑤

𝑟) 𝐢 + (

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝑢2 tan 𝜑

𝑟+

𝑣𝑤

𝑟) 𝐣 + (

𝑑𝑤

𝑑𝑡−

𝑢2 + 𝑣2

𝑟) 𝐤

(4.2.14)

Tento vztah můžeme napsat také v poněkud jiném tvaru a to

𝑑𝐯

𝑑𝑡= (

𝑑𝑢

𝑑𝑡−

𝑢

𝑟 cos 𝜑(𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)) 𝐢 + (

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝑢

𝑟 cos 𝜑(𝑢 sin 𝜑) +

𝑣𝑤

𝑟) 𝐣

+ (𝑑𝑤

𝑑𝑡−

𝑢

𝑟 cos 𝜑(𝑢 cos 𝜑) −

𝑣2

𝑟) 𝐤

(4.2.15)

Dostali jsme tak vyjádření individuální změny vektoru rychlosti ve sférických souřadnicích.

Vyjdeme-li ze vztahů ve vektorovém tvaru (4.1.26) až (4.1.30) můžeme rovnice hybnosti

napsat ve tvaru publikovaném v článku N. Phillipse [8].

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝐹𝜆 + (2Ω +

𝑢

𝑟 cos 𝜑) (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)

(4.2.16)

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝐹𝜑 − (2Ω +

𝑢

𝑟 cos 𝜑) 𝑢 sin 𝜑 −

𝑤𝑣

𝑟

(4.2.17)

𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝐹𝑟 − 𝑔 + (2Ω +

𝑢

𝑟 cos 𝜑) 𝑢 cos 𝜑 +

𝑣2

𝑟

(4.2.18)

kde 𝐹𝜆, 𝐹𝜑 , 𝐹𝑟 zahrnují složky gradientu tlaku a tření na jednotku hmotnosti. Tato formulace

rovnic se pro jednodušší a snadnější užití při numerické předpovědi počasí ještě zjednodušuje.

Vzhledem k tomu, že atmosféra vzhledem k velikosti Země tvoří jen tenkou vrstvu, měříme

horizontální vzdálenosti v rámci „tradičních aproximací“ po povrchu zemské sféry.

Připomeňme ještě, že název „tradiční aproximace“ pochází, jak jsme se již zmínili, od Carla

Eckarta, který jej zavedl v knize [8]. Toto zjednodušení spočívá v tom, že v předchozích

rovnicích nahradíme sférickou souřadnici r poloměrem Země a. Nové Lameovy koeficienty

pak obsahují místo délky průvodiče r poloměr Země a. Horizontální složky rychlosti po

zjednodušení, označme čárkou. Vztahy (4.2.3) se po dosazení r=a redukují na jednodušší,

nezávisející na souřadnici r

𝑢′ = ℎ𝜆

𝑑𝜆

𝑑𝑡= 𝑎 cos 𝜑

𝑑𝜆

𝑑𝑡, 𝑣′ = 𝑓𝜑

𝑑𝜑

𝑑𝑡= 𝑎

𝑑𝜑

𝑑𝑡, 𝑤 = ℎ𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 1

𝑑𝑟

𝑑𝑡

(4.2.19)

Obdobně se zjednoduší rovnice (4.216) až (4.2.18). Ty pak budou ve tvaru stejném, jako

v monografiích [2] a [3]. Tedy

63

𝑑𝑢′

𝑑𝑡= 𝐹𝜆 + (2Ω +

𝑢′

𝑎 cos 𝜑) (𝑣′ sin 𝜑 − 𝑤′ cos 𝜑)

(4.2.20)

𝑑𝑣′

𝑑𝑡= 𝐹𝜑 − (2Ω +

𝑢′

𝑎 cos 𝜑) 𝑢′ sin 𝜑 −

𝑤′𝑣′

𝑎

(4.2.21)

𝑑𝑤′

𝑑𝑡= 𝐹𝑟 − 𝑔 + (2Ω +

𝑢′

𝑎 cos 𝜑) 𝑢′ cos 𝜑 +

𝑣′2

𝑎

(4.2.22)

Poznámka: pro posouzení předchozího zjednodušení studujme změnu horizontální

vzdálenosti ve sférických souřadnicích s výškou

Měříme-li vzdálenost dvou bodů na povrchu Země, kterou si nyní představujeme jako

kouli o poloměru kma 3716 , pak je jasné, že ve výšce z nad povrchem zemské sféry, je

vzdálenost bodů na stejných polopřímkách ze středu Země větší. Vyjádříme si nyní tuto

změnu kvantitativně. Z podobnosti kruhových výsečí na povrchu Země, a ve výšce z nad

Zemí, platí úměra

𝑐/𝑏 = (𝑎 + 𝑧)/𝑎 (4.2.23)

kde c je délka kruhové úseče ve výšce z nad povrchem Země, b je délka stejné úseče měřená

po povrchu Země, z je výška nad povrchem Země. Poloměr Země a klademe roven a = 6371

km. Z předchozího vztahu vidíme, že

𝑐 = 𝑏 (1 +𝑧

𝑎)

(4.2.24)

a na příklad ve výšce 20 km nad zemí je 𝑧/𝑎 = 20/6371 = 0.00314 a tedy ve 20 km nad

zemí se délky prodlouží přibližně o 0.3%. Tato skutečnost umožňuje v meteorologii zanedbat

tento rozdíl a měřit všechny horizontální vzdálenosti po povrchu Země, což je předpokladem

pro použití „tradičních aproximací“.

4.3. Fyzikální význam jednotlivých členů rovnic.

Tvar rovnic se zahrnutím Coriolisových členů do individuální změny složek větru

Při použití semi-Lagrangeovy metody pro řešení prognostických rovnic se v současné

době Coriolisovy členy často zahrnují do absolutní derivace, tedy do individuální změny

hybnosti. Abychom obdrželi rovnice v tomto tvaru vyjdeme ze vztahu (4.1.17).

𝑑𝑎𝐯

𝑑𝑡=

𝑑𝐯

𝑑𝑡+ 2𝛀 × 𝐯 = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅

(4.3.1)

Dosadíme-li do tohoto vztahu za člen 2𝛀 × 𝐯 ze vztahu (4.1.12)

64

𝑑

𝑑𝑡(𝛀 × 𝐫) = 𝛀 × 𝐯

(4.3.2)

můžeme jej zahrnout do časové individuální změny. Dostáváme tak

𝑑

𝑑𝑡(𝐯 + 2𝛀 × 𝐫) = 𝐏 + 𝐠 + 𝐅

(4.3.3)

Pro použití předchozího vztahu (4.3.2) v numerickém předpovědním modelu musíme tento

vztah napsat ve složkách v použitém systému souřadnic. Je třeba tedy vyjádřit i složky

vektoru rychlosti rotujícího bodu na povrchu Země v souřadnicích použitých v předpovědním

modelu a tyto složky připočítat k složkám rychlosti v rotující soustavě souřadnic. Rovnici

můžeme vlastně interpretovat tak, jako kdybychom individuální změnu počítali v nerotující

soustavě souřadnic a k celkové rychlosti částice v absolutní soustavě, která je rovna součtu

rychlosti v rotující soustavě a rychlosti rotace která je podle (4.1.9) rovna

𝐯𝑎 = 𝐯 + 𝛀 × 𝐫

(4.3.4)

připočetli ještě zrychlení dané rotací vyjádřené v absolutní soustavě, jež je dáno vztahem

(4.1.10)

𝑑𝑎𝐯𝑎

𝑑𝑡=

𝑑𝐯𝑎

𝑑𝑡+ 𝛀 × 𝐯𝑎

(4.3.5)

proto se člen 𝛀 × 𝐫 ve vztahu (4.3.2) vyskytuje v dvojnásobku. Odstředivá síla zůstává

zahrnuta do síly zemské tíže. Pro lokální modely používající pravoúhlé souřadnice na

konformní mapě to nečiní žádný problém. Tento vektor rychlosti pohybu pevného bodu na

Zemi můžeme interpretovat i odvodit následovně. Je jasné že, směr tohoto vektoru je dán

vektorem tečným k rovnoběžce směřujícím na východ a jeho velikost je dána součinem

úhlové rychlosti otáčení se vzdáleností od osy rotace, která je rovna 𝑎 cos 𝜑. Poloměr

referenční sféry Země je obvykle zvolen a = 6 371 km. Pro modely na omezené oblasti

(LAM), používající ortogonální systém na konformní mapě, nám tedy zbývá člen 2𝛀 × 𝐫

vyjádřit ve složkách v ortogonálním systému souřadnic na použité konformní mapě.

Pro kvantitativní představu si všimneme ještě jednoho zajímavého údaje. Ptejme se,

jaká je rychlost pevného bodu na povrchu Země v absolutní inerciální soustavě souřadnic.

Tato rychlost je dána součinem úhlové rychlosti otáčení Země 𝛺 = 7.292 115 9 ∗ 10−5𝑠𝑒𝑐−1

se vzdáleností od osy rotace. Pro body na rovníku je vzdálenost od osy rotace největší a

rychlost, která je dána pouze rotací Země je rovna Ω𝑎 = 464.5974 𝑚/𝑠 = 1672.55 𝑘𝑚/

ℎ𝑜𝑑 Chceme-li dostat tuto rychlost pro bod ležící na rovnoběžce o zeměpisné šířce ,

musíme tento údaj ještě násobit cos , rychlost rotujícího bodu bude tedy cosa . U nás na

500 severní šířky je tato rychlost rovna hod/km.cosa 0941075500 . Tato rychlost je tedy

o dva řády vyšší, než obvyklá rychlost větru na Zemi. Z této relativně velké rychlosti rotace

Země vyplývá také skutečnost, že rakety s družicemi směřující na oběžnou dráhu kolem Země

jsou vždy vystřelovány východním směrem.

65

Fyzikální význam členů rovnic v rotujícím systému

Protože předchozí úvahy při studia pohybu na rotující Zemi, při použití vektorového

zápisu, byly sice z teoretického hlediska přesné, ale zejména z fyzikálního hlediska málo

názorné a neukazovaly význam některých členů rovnic, uvedeme si nyní elementární řešení

této problematiky s důrazem na některé další aspekty pohybových rovnic.

Pohyb v silovém centrálním poli.

Centrálním silovým polem nazýváme takové pole, pro které sílu F lze psát ve tvaru

𝐅 = 𝑓(𝑟)𝐫

𝑟 (4.3.6)

Kde r je radiusvektor (polohový vektor) určující bod, v němž sílu uvažujeme. Při zápisu síly

v předchozím tvaru je střed centrální síly v počátku souřadnic. Velikost r vektoru r je

vzdálenost od středu centrální síly a síla 𝑓(𝑟)je libovolnou funkcí vzdálenosti r.

Pro pohyb hmotného bodu v poli centrální síly platí, že moment hybnosti (točivost) M

hmotného bodu vzhledem ke středu centrální síly, tedy vektor

𝐌 = 𝐫 × 𝑚𝐯 (4.3.7)

Je konstantní po celou dobu pohybu. Toto tvrzení plyne bezprostředně z rovnice zachování

momentu hybnosti 𝑑𝑴

𝑑𝑡= 𝐌(𝐅)

(4.3.8)

kde 𝐌(𝐅) = 𝐫 × 𝐅 je moment síly F. Podle definice centrální síly je M(F) součinem dvou

rovnoběžných vektoru a proto je roven nule. Je tedy

𝑑𝑴

𝑑𝑡= 0

(4.3.9)

Moment hybnosti 𝐌 = 𝐫 × 𝑚𝐯 je tedy roven konstantnímu vektoru. Z toho vyplývá, že

vektory r a v, leží stále ve stejné rovině, kolmé k vektoru M, a proto pohyb v centrálním

silovém poli je rovinný. Protože vektor M je konstantní, je konstantní i jeho velikost M. Když

vektorový součin geometricky interpretujeme, jako součin délek těchto vektorů násobených

sinem α úhlu, který svírají, máme

𝑀 = 𝑚𝑟𝑣 sin α (4.3.10)

Výraz (𝑟𝑣 sin 𝛼)/2 bývá nazýván plošnou rychlostí vp hmotného bodu, neboť udává velikost

plochy, kterou opíše průvodič pohybujícího se bodu za jednotku času. Z předchozího vztahu

plyne, že

𝑣𝑝 =(𝑟𝑣 sin 𝛼)

2=

𝑀

2𝑚

(4.3.11)

a tedy plošná rychlost pohybujícího se hmotného bodu v centrálním silovém poli je

konstantní.

Závěr pro meteorologii:

Uvažujeme-li Zemi bez její rotace kolem své osy, pak hmotný bod (neboli částice) se

pohybuje v rovině určené středem Země a směrem daným vektorem rychlosti. Když by se

částice pohybovala po povrchu Země, pak by se pohybovala po hlavní kružnici. Hlavní

66

kružnice na povrchu Zeměkoule v centrálním silovém poli Země zde představuje pro pohyb

přímku.

Coriolisova síla

Popis pohybu v systému pevně spojeném s rotující Zemí vychází rovněž z druhého

Newtonova zákona. V tomto rotujícím systému, je třeba kromě tíhové síly Země uvažovat

navíc ještě odstředivou sílu, působí na částici, danou rotací Země. Právě výsledkem zahrnutí

těchto síl nám umožňuje formulaci druhého Newtonova zákona i v rotujícím systému

souřadnic. V tomto systému vznikne při formulaci tohoto zákona síla, která se nazývá

Coriolisovou silou.

Studujme tedy částici v inerciálním systému, na kterou nejdříve nepůsobí žádné síly.

Podle Newtonova zákona se bude pohybovat rovnoměrně přímočaře. Jako první sílu nyní

v tomto inerciálním systému přidejme gravitační sílu Země. Protože v inerciálním systému

chybí odstředivá síla působící vzhledem k povrchu Země, je to skutečně pouze gravitační síla

Země, nikoliv síla zemské tíže. V tomto případě průsečnice rovin určených osami lokálního

souřadného systému a středem Země jsou na Zeměkouli hlavními kružnicemi. A také částice

pohybující se ze středu lokálního systému souřadnic libovolným směrem vytváří v průmětu na

Zeměkouli hlavní kružnici. Pohybuje-li se tedy východním směrem, její trajektorií není tedy

rovnoběžka. Ta se v rovině lokálního systému zobrazuje jako oblouk kružnice. Proto jsou

v rovnicích, které používají zeměpisné souřadnice členy, které můžeme nazvat metrickými

členy. Tyto členy nejsou výsledkem rotace Země, jsou ale způsobeny geometrií použitých

zeměpisných souřadnic. V čisté podobě je dostaneme tak, když v rovnicích hybnosti (4.2.16)

až (4.2.18) položíme úhlovou rychlost rotace Země Ω rovnu nule.

Nyní se věnujme případu, kdy systém souřadnic spojíme pevně s rotující Zemí. To je

zcela přirozené, protože my rotaci Země nevnímáme. Dlouhou dobu si také lidé myslili, že se

Země neotáčí, ale naopak, že se po nebi pohybují Slunce a hvězdy. Z tohoto hlediska i

praktického hlediska, aby se neměnily souřadnice místa na Zemi s časem, se v meteorologii

používá systém souřadnic rotující se Zemí.

Studujme objekt, který se pohybuje rovnoměrně přímočaře, vzhledem k inerciálnímu

systému souřadnic. Když tento objekt pozorujeme z rotujícího systému s osou rotace kolmou

k rovině pohybu, pak se nám trajektorie pohybu jeví jako křivka. V rotujícím systému tedy

existuje zdánlivá síla, která odchyluje objekt v inerciálním přímočarém pohybu na zakřivenou

trajektorii. Výsledná trajektorie je zakřivena ve směru opačném, než je směr rotace. Tato

vychylující síla je právě Coriolisova síla. Pozorováno z rotujícího systému je relativní pohyb

akcelerující pohyb, se zrychlením rovným součtu Coriolisovy síly a odstředivé síly.

Coriolisova síla, která působí kolmo na vektor rychlosti, může měnit pouze směr dráhy.

Jakkoliv odstředivá síla působí radiálně ven, má i složku ve směru pohybu, která zvyšuje

rychlost částice relativně vzhledem k rotujícímu souřadnému systému tak, že částice se

pohybuje po spirále ven. Tedy v tomto případě inerciální pohyb pozorovaný z rotujícího

systému obsahuje oba efekty, jak Coriolisovu sílu, tak i odstředivou sílu. Oba výše zmíněné

příklady jsou jednoduché snadno pochopitelné z každodenní zkušenosti a dávají nám pohled

na kvantitativní aspekt Coriolisovy síly.

67

Studujme nyní částici jednotkové hmotnosti, která se volně bez tření pohybuje po

horizontální ploše na rotující Zemi. Když částice je na začátku v klidu vzhledem k Zemi, pak

na ní působí pouze gravitační síla a odstředivá síla způsobená rotací Země. Součet těchto

dvou sil definuje sílu zemské tíže (effective gravity), která směřuje kolmo k lokální

horizontální ploše. Tato horizontální plocha tuto sílu zemské tíže pokud je částice v klidu

vzhledem k zemskému povrchu zcela eliminuje. V atmosféře je síla, která eliminuje svislou

sílu zemské tíže, Archimédova vztlaková síla. Předpokládejme nyní, že částice je dána

impulsem síly do pohybu východním směrem. Protože částice nyní rotuje rychleji než Země,

odstředivá síla působící na částici se zvětší. Nechť Ω je velikost úhlové rychlosti Země, a

nechť R je vzdálenost částice od osy rotace a u je složkan rychlosti ve východním směru, pak

můžeme celkovou odstředivou sílu psát ve tvaru

(Ω +𝑢

𝑅)

2

𝐑 = Ω𝟐𝐑 +2Ω𝑢𝐑

𝑅+

𝑢𝟐𝑹

𝑅2

(4.3.12)

První člen pravé strany je odstředivá síla daná rotací Země. Ta je ovšem zahrnuta do síly

zemské tíhy. Další dva členy reprezentují vychylující síly, působící ven ve směru vektoru R,

který je kolmý k ose rotace. Pro pohyby synoptického měřítka je 𝑢 ≪ 𝛺𝑟 a poslední člen

můžeme zanedbat. Zbylý člen v předchozím vztahu 2Ω𝑢(𝐑/𝑅) je Coriolisova síla náležející

pohybu ve směru rovnoběžky (zonálním směru). Tuto Coriolisovu sílu můžeme rozdělit do

dvou složek ve vertikálním a meridionálním směru.

Obrázek 4. 7. Složka Coriolisovy síly vzhledem k relativnímu pohybu poledníku

Složky Coriolisovy síly pro pohyb podél rovnoběžky. Tedy relativní pohyb ve směru

rovnoběžky východním směrem produkuje zrychlení ve směru poledníku jižním směrem.

Platí tedy

(𝑑𝑣

𝑑𝑡)

𝐶𝑜𝑟= −2Ω sin φ

(4.3.13)

a zrychlení ve vertikálním směru je

(𝑑𝑤

𝑑𝑡)

𝐶𝑜𝑟= 2Ω cos φ

(4.3.13)

68

kde je zeměpisná šířka, a index Cor indikuje, že toto zrychlení je dáno pouze Coriolisovou

silou. Částice pohybující se v horizontální rovině na severní polokouli východním směrem je

vychylována směrem na jih Coriolisovou silou, zatímco při pohybu na západ je vychylována

směrem na sever. V obou případech směřuje vychýlení částice doprava od směru pohybu.

Vertikální složka Coriolisovy síly (4.3.13) je obvykle mnohem menší, než síla gravitace, a

efekt zvyšování či snižování zdánlivé výšky podle směru pohybu na východ či západ je malý.

Nyní studujme Coriolisovu sílu vzniklou pouze pohybem částice ve směru poledníku.

Předpokládejme nyní, že na začátku je z klidu vzhledem k zemi částice dána do pohybu

impulsem směrem k rovníku. Když se částice pohybuje ve směru poledníku, je zachován

moment hybnosti (točivost) za předpokladu, že na částici nepůsobí žádná vnější točivá síla ve

směru rovnoběžky. Protože vzdálenost od osy rotace R roste, když částice se pohybuje

směrem k rovníku, když je zachován absolutní moment hybnosti musí se relativní rychlost v

západním směru měnit, aby součin ramene momentu a zonální rychlosti zůstal stejný.

Označme R změnu vzdálenosti od osy rotace mezi zeměpisnou šířkou 0 a zeměpisnou

šířkou 𝜑0 − 𝛿𝜑. Ze zachování momentu hybnosti v zonálním směru dostaneme

Ω𝑅2 = (Ω +δ𝑢

𝑅 + 𝛿𝑅) (R + δR)2

(4.3.14)

kde u je relativní rychlost východního směru, když se částice dostane do zeměpisné šířky

𝜑0 + 𝛿𝜑 . Provedeme-li násobení na pravé straně, dostaneme

Ω𝑅2 = Ω(𝑅2 + 2𝑅𝛿𝑅 + 𝛿𝑅2) + δ𝑢(𝑅 + 𝛿𝑅) (4.3.15)

zanedbáme členy druhého řádu, které při přechodu k limitě konvergují k nule, máme

0 = 2𝛺𝑅𝛿𝑅 + 𝛿𝑢𝑅 (4.3.16)

odtud je

𝛿𝑢 = −2Ωδ𝑅 (4.3.17)

nahradíme-li ještě

𝛿𝑅 = −𝑟𝛿𝜑 sin 𝜑0 (4.3.18)

kde r je délka průvodiče polohy částice vycházející ze středu Země, dostáváme

𝛿𝑢 = 2Ω𝑟𝛿𝜑 sin 𝜑0 (4.3.19)

Význam tohoto vztahu je na obrázku.

69

Obrázek 4. 8. Vztah mezi 𝛿𝑅 a přírůstkem 𝛿𝑦 = 𝑟𝛿𝜑 po poledníku

Vydělíme-li předchozí vztah časovým přírůstkem 𝛿𝑡 a přejdeme-li limitě 𝛿𝑡 → 0, dostaneme

(𝑑𝑢

𝑑𝑡)

𝐶𝑜𝑟= 2Ω𝑟

𝑑𝜑

𝑑𝑡sin 𝜑0 = 2Ω𝑣 sin 𝜑0

(4.3.20)

kde 𝑣 = 𝑟𝑑𝜑

𝑑𝑡 je složka rychlosti severního směru.

Obdobně můžeme postupovat, když se částice bude pohybovat vertikálně na

rovnoběžce o zeměpisné šířce 0 . Zachování absolutního momentu hybnosti požaduje

zrychlení v zonálním směru rovné −2Ω𝑤 cos 𝜑0, kde w je vertikální rychlost. V obecném

případě horizontálního i vertikálního pohybu platí

(𝑑𝑢

𝑑𝑡)

𝐶𝑜𝑟= 2Ω𝑣 sin 𝜑 − 2Ω𝑤 cos 𝜑

(4.3.21)

Tento vztah ovšem platí v obecném případě polárních souřadnic. Jakmile ale provedeme

rámci tradičních aproximací náhradu průvodiče r, za průvodič konstantní délky a se situace

poněkud změní. Všechny horizontální vzdálenosti měříme pak po povrchu Země a svislé

souřadnice v atmosféře, i když směřují do středu Země, považujeme v okolí studovaného

bodu na Zemi vzájemně rovnoběžné. Tím při vertikálním posunu, nemá-li se měnit její

moment hybnosti, se nemůže měnit ani rychlost částice, neboť její moment hybnosti je

součinem stále stejné délky ramene a s její rychlostí. Stejná situace je při použití kartézského

systému souřadnic v rovině libovolné mapy, neboť svislé souřadnice jsou k rovině mapy

kolmé a tedy rovnoběžné. V této situaci je změna rychlosti dána pouze pohybem částice ve

směru poledníku po povrchu Země. Při tomto pohybu se mění vzdálenost R od osy rotace

podle vztahu 𝑅 = 𝑎 sin 𝜑, kde 𝜑 je zeměpisná šířka počáteční polohy částice. Tato změna

zonální rychlosti u, je dána právě členem 2Ω𝑣 sin 𝜑.

70

4.4. Moment klouzavého vektoru vzhledem k ose

Než přikročíme ke studiu momentu hybnosti, vyjasníme si následující čtyři pojmy.

Pojem volného vektoru, vázaného vektoru, klouzavého vektoru, momentu klouzavého

vektoru vzhledem k bodu a momentu klouzavého vektoru vzhledem k ose. Tyto úvahy jsou

v podstatě určitou geometrickou abstrakcí dále studovaných fyzikálních pojmů. Je třeba

upozornit, že zejména ve fyzikálních aplikacích, kdy vektorem znázorňujeme sílu, zrychlení,

nebo rychlost, záleží často při porovnání vektorů na jejich umístění v prostoru. V tomto

smyslu je pak nutno někdy považovat za stejné vektory jenom ty, jež jsou znázorněny nejen

úsečkami téže délky, směru a orientace, ale jež jsou ještě vázány podmínkou, že leží na jedné

přímce, při jinak libovolném počátečním bodě na této přímce. Takovým vektorům se říká

klouzavé vektory. V učebnicích mechaniky je často studován moment síly aplikovaný na

pevné těleso, což je jednodušší. V meteorologii však potřebujeme zcela obecnou teorii.

Volný a vázaný vektor.

Obecně vektorem rozumíme volný vektor, ten je určen pouze svou velikostí a

směrem. Na rozdíl od toho je vázaný vektor určen nejenom svou délkou a směrem, ale jeho

počátek je umístěn do daného bodu. Příkladem vázaného vektoru může být průvodič bodu

vycházející z pevně zvoleného bodu, často z počátku souřadnic. V geometrii však pracujeme

obvykle s volnými vektory.

Klouzavé vektory

Dva klouzavé vektory budeme nazývat ekvivalentními, jestliže leží na jedné přímce a

mají stejný směr, stejnou délku a tedy také i orientaci. Je zřejmé, že klouzavé vektory kromě

souřadnic volných vektorů, které určují jejich směr a délku, musí být určeny ještě polohou

přímky, na které leží. To znamená také, že klouzavým vektorem můžeme pohybovat po této

přímce, aniž by se měnil.

Fyzikální důvody pro zavedení pojmu klouzavý vektor

Proč tento pojem zavádíme, vyplyne z následujícího příkladu mechaniky. Všimněme

si všeobecně známého pojmu moment síly, který popisuje účinek síly na tuhé těleso. Protože

těleso se může otáčet jak kolem bodu, tak kolem osy, zavádí se moment síly vzhledem k bodu

i vzhledem k ose. Je však třeba říci, že obecně bod nebo osa, ke které moment síly

vztahujeme, nemusí být totožný s bodem či osou kolem které se těleso otáčí. Moment síly F,

která působí v bodě určeným průvodičem r, který vychází z pevně zvoleného bodu O, je

definován jako vektor M, který je dán vektorovým součinem 𝐌 = 𝐫 × 𝐅. Je to tedy vektor

kolmý k rovině určené průvodičem r a vektorem F. Jeho velikost je rovna součinu délky obou

vektorů násobená sinem úhlu, který svírají. Vektor síly F je zde vázaným vektorem

umístěným v bodě daným průvodičem r. Posunujeme-li nyní vektorem F po přímce dané

směrem vektoru síly F, která prochází původní polohou průvodiče r, bude průvodič

posunovaného bodu 𝒓 + 𝝀𝑭 a moment je v tomto případě roven 𝐌 = (𝐫 + λ𝐅) × 𝐅 = 𝐫 × 𝐅 a

tedy se nemění. Tato skutečnost vede právě k definici a studiu klouzavých vektorů. V případě,

když průvodič, jehož koncový bod vytváří přímku klouzavého vektoru, je k této přímce

71

kolmý, neboli je-li průvodič r je kolmý k vektoru F, pak délka vektoru M je dána součinem

délek vektorů r a F a řekneme, že průvodič r je ramenem, na kterém tato síla F působí.

Moment síly vzhledem k ose je definován jako průmět momentu síly vzhledem k bodu

ležícím na této ose do této osy. Tento průmět můžeme chápat jako vektor mající směr této

osy, nebo docela jako skalární veličinu, která je orientovanou délkou tohoto vektoru, kladnou,

jestliže směr tohoto vektoru souhlasí s kladnou orientací této osy.

Moment klouzavého vektoru vzhledem k bodu O

Nechť O je pevně zvolený bod, který nazveme středem momentů. Studujme nyní klouzavý

vektor A ležící na přímce k, a umístíme jej tak, že vychází z bodu A.

Nechť r je průvodič vycházející ze středu momentů O do libovolného bodu M přímky k, a

nechť rO je průvodič do bodu A.

Přímku k pak můžeme parametricky vyjádřit vztahem

𝒓 = 𝒓𝒐 + 𝑨 ∙ 𝑡 (4.4.1)

kde t je parametr, nabývající libovolnou hodnotu.

Obrázek 4. 9. Moment klouzavého vektoru vzhledem k bodu O

Vztah, který nám ukazuje, že bod M daný průvodičem r leží na přímce k, odvodíme

z rovnoběžnosti vektorů A a r-rO. Jejich vektorový součin je pak roven nule a dá nám

následující rovnici

(𝐫 − 𝐫O) × 𝐀 = 0 (4.4.2)

Odtud máme

𝐫 × 𝐀 = 𝐫O × 𝐀 (4.4.3)

Položme proto

𝐌O(𝐀) = 𝐫 × 𝐀 (4.4.4)

Ze vztahu (4.4.3) vidíme, že 𝐌O(𝐀) nezávisí na poloze vektoru A na přímce k.

Volný vektor 𝐌𝐎(𝐀) daný vztahem (4.4.4) se nazývá momentem klouzavého vektoru

vzhledem ke středu O.

72

Geometrická interpretace vektoru 𝐌O(𝐀) je následující: tento vektor je kolmý k rovině určené

přímkou k a bodem O. Můžeme si jej představit tak, že vychází ze středu momentů O, což

ovšem není nutné, neboť je to volný vektor. Nyní si ukážeme, že klouzavý vektor A je určen

volnými vektory A a 𝐌O(𝐀) a středem momentů O.

Abychom to ukázali, podívejme se, jak je možné vypočítat opačnou hodnotu ze

skalárního a vektorového součinu. Studujme nejdříve vektorovou rovnici danou skalárním

součinem

𝐚 ∙ 𝐱 = 𝑝 (4.4.5)

Vektor a a skalár p nechť jsou zadány a my chceme určit vektor x. Tuto úlohu můžeme řešit

dělením skalárním součinem a∙ 𝐚 = 𝑎2. Dosadíme-li do rovnice za x výraz

𝐱 = 𝑝𝐚

𝑎2 , (4.4.6)

vidíme, že tento výraz je jedno z řešení této rovnice. Toto řešení však není jednoznačně

určeno, neboť levá strana rovnice se nezmění, když místo vektoru x vezmeme vektor

𝐲 = 𝐱 + 𝐪 ×𝐚

𝑎2, (4.4.7)

kde q je libovolný vektor kolmý k vektoru a. Protože vektor q jsme zvolili kolmý k vektoru a

je vektorový součin na pravé straně roven nule. Řešením skalární rovnice (4.4.5) je proto

vektor

𝐱 = 𝑝𝐚

𝑎2 + 𝐪 ×𝐚

𝑎2 (4.4.8)

Vezměme si nyní rovnici s vektorovým součinem

𝐚 × 𝐱 = 𝐪 (4.4.9)

Abychom tuto rovnici mohli řešit, je jasné, že z vlastnosti vektorového součinu musí být

vektor q kolmý k vektoru a. Ze známého vztahu pro vektorový součin

𝐚 × (𝐛 × 𝐜) = 𝐛(𝐚 ∙ 𝐜) − 𝐜(𝐚 ∙ 𝐛) (4.4.10)

Dostaneme, že vektor

𝐱 = 𝐪 ×𝐚

𝑎2 (4.4.11)

splňuje rovnici (4.4.9), neboť

𝐚 × (𝐪 ×𝐚

𝑎2) = 𝐪 (𝐚 ∙

𝐚

𝑎2) −

𝐚

𝑎2(𝐚 ∙ 𝐪) =q (4.4.12)

Obecné řešení rovnice (4.4.9) dostaneme, když k němu přičteme člen 𝑝𝐚

𝑎2, kde p je libovolný

skalár. Neboť 𝐚 × 𝐚 = 0 je obecné řešení rovnice (4.4.9)

𝐱 = 𝐪 ×𝐚

𝑎2 + 𝑝𝐚

𝑎2 (4.4.13)

Poznamenejme, že soustava rovnic (4.4.5) a (4.4.9) určuje řešení jednoznačně.

Aplikujeme-li řešení rovnice (4.4.9) na vektorovou rovnici (4.4.4) ve tvaru

𝐀 × 𝐫 = −𝐌O(𝐀) (4.4.14)

kterou řešíme vzhledem k vektoru r, máme

𝐫 =𝐀

𝐴𝟐 × 𝐌𝐨(𝐀) + 𝜆𝐀 (4.4.15)

kde 𝜆 je libovolný skalár. Tím jsme ukázali, že vektor r, který považujme za průvodič

vycházející z bodu O, vytváří přímku k. Vektor A a moment 𝐌O(𝐀) tedy spolu s jeho

středem O, určuje klouzavý vektor A. Položíme-li ve vztahu (4.4.15) 𝜆 = 0, pak průvodič r

realizuje nejkratší vzdálenost bodu O od bodů přímky na níž klouzavý vektor leží a je také

k ní kolmý. Tento vektor je pak obdobou ramene síly vzhledem k středu O. Odtud zavedeme

tuto definici. Průvodič r vycházející ze středu momentů O, jehož konec leží na přímce

73

klouzavého vektoru A, kolmý k této přímce nazveme ramenem momentu MO. Délka

momentu MO je pak rovna součinu délek ramene momentu a délky vektoru A. To vyplývá

přímo ze vztahu (4.4.14), neboť v tomto případě, kdy jsou vektory r a A k sobě kolmé, je

délka vektorového součinu rovna součinu délek jeho činitelů.

Klouzavý vektor A vzhledem, k středu O, je tedy jednoznačně určen šesti složkami:

třemi souřadnicemi volného vektoru A a třemi složkami vektoru 𝑴𝑶(𝑨).

Všimněme si ještě, že nalezených šest souřadnic, určujících vázaný vektor není

nezávislých. Z kolmosti vektorů A a 𝐌𝐎(𝐀) vyplývá pro skalární součin 𝐀 ∙ 𝐌O(𝐀)=0.

Moment klouzavého vektoru A, který jsme označili 𝐌O(𝐀), nezávisí na volbě výchozího

bodu A, kam jsme klouzavý vektor pro odvození vztahů umístili a nezávisí tedy na poloze

průvodiče r. Moment klouzavého vektoru A je určen tedy pouze klouzavým vektorem A a

polohou středu momentů O.

Moment klouzavého vektoru vzhledem k ose

Nejdříve si vysvětleme, čím rozumíme projekcí vektoru na osu Oz.

Máme-li vektor a a jednotkový vektor k osy Oz, potom projekcí vektoru a na osu Oz

nazveme reálné číslo dané skalárním součinem 𝐚 ∙ 𝐤. Geometricky je to skutečně

orientovaná délka průmětu vektoru a na osu Oz. Geometricky ji dostaneme tak, že

z koncových bodů vektoru a vedeme roviny kolmé k ose Oz. Orientovaná vzdálenost těchto

dvou rovin je právě projekcí vektoru na osu Oz. Tyto dvě roviny kolmé k ose z, můžeme

považovat za souřadnicové roviny kartézského systému souřadnic. Číselně je hodnota

projekce vektoru a na osu Oz je dána délkou vektoru a násobenou cosinem úhlu, který svírá

směr tohoto vektoru s osou Oz. Kladné znaménko je dáno stejnou orientací projekce vektoru a

na osu Oz a vektoru k, který určuje orientaci osy Oz.

Předpokládejme, že máme zadánu osu Oz a klouzavý vektor A. Na ose zvolíme dva

libovolné body O1 a O2 .

Obrázek 4. 10. Moment vázaného vektoru vzhledem k ose

74

Dokážeme nyní následující tvrzení:

Projekce na osu Oz dvou momentů klouzavého vektoru A vzhledem ke středům O1 a

O2 , ležících na ose Oz, jsou si rovny.

Důkaz:

Označme průvodiče ze středů O1 a O2 do bodu umístění počátku klouzavého vektoru A

jako r1 a r2 a B vektor B=O2 –O1. Potom je

𝐫2 = 𝐫1 + 𝐁 (4.4.16)

Odtud máme

𝐌O2(𝐀) = 𝐫2 × 𝐀 = 𝐫𝟏 × 𝐀 + 𝐁 × 𝐀 = 𝐌O1

(𝐀) + 𝐁 × 𝐀 (4.4.17)

Označme písmenem k jednotkový vektor osy Oz, potom délka projekce libovolného

vektoru na osu Oz je dána skalárním součinem tohoto vektoru s vektorem k. Vektor k, je však

rovnoběžný s vektorem B, a proto vektor 𝐁 × 𝐀 je kolmý k vektoru k a tedy (𝐁 × 𝐀) ∙ 𝐤 = 0,

odkud máme

𝐌O1∙ 𝐤 = 𝐌O𝟐

∙ 𝐤 (4.4.18)

Čím je důkaz proveden.

Předchozí tvrzení umožňuje následující definici.

Definice: Projekci momentu M(A) klouzavého vektoru A vzhledem ke středu momentů O

ležícího na ose Oz, na osu Oz nazýváme momentem klouzavého vektoru A vzhledem k ose

Oz. Moment klouzavého vektoru vzhledem k ose Oz je tedy skalární veličinou. Podle

předchozího tvrzení definice momentu klouzavého vektoru vzhledem k ose nezávisí na volbě

bodu O na ose Oz.

Poznámka ke geometrické konfiguraci studovaných vektorů:

Přímka, na které leží klouzavý vektor A, a osa Oz, jsou obecně přímky mimoběžné.

Rovněž roviny, které jsou určené přímkou, na které leží klouzavý vektor A a různými středy

momentů ležících na ose Oz nejsou rovnoběžné, a proto ani momenty klouzavých vektorů

vzhledem k různým středům momentů ležícím na ose Oz nejsou rovnoběžné. Průměty těchto

momentů na osu Oz jsou však stejné.

Volný plošný element a jeho moment

Studujme libovolný element plochy roviny s pevně zvoleným směrem chodu po jeho

hranici. Dva plošné elementy budeme pokládat za stejné, jestliže leží v rovnoběžných

rovinách, mají stejnou plochu a stejný směr obcházení jejich hranice. Za kladnou orientaci

směru obcházení hranice, volíme směr proti pohybu hodinových ručiček. Protože v definici

plošného elementu nezáleží na jeho tvaru a poloze v prostoru, nazýváme jej svobodným

plošným elementem. Ke svobodnému plošnému elementu přiřadíme nyní vektor, který je

kolmý k rovině elementu, směřuje do poloprostoru vyťatém rovinou, ve které leží, a ze které

má obcházení jeho hranice kladnou orientaci, tedy proti směru hodinových ručiček. Délka

tohoto vektoru nechť je rovna ploše elementu. Tento vektor se nazývá momentem plošného

elementu, nebo také jeho doplňkem. Aplikujeme-li tuto obecnou definici plošného momentu

na kosodélník, který vytvoří dva vektory a, b, vycházející z jednoho bodu, je momentem

tohoto plošného elementu vektorový součin těchto vektorů a×b. Plocha elementu je rovna

součinu délek těchto vektorů násobená sinem úhlu, který svírají, což je všeobecně známou

vlastností vektorového součinu.

75

Objasněme si nyní geometrický smysl projekce momentu vektoru A vzhledem ke

středu O na ose Oz do osy Oz:

moment MO, jakožto vektorový součin 𝐌O = 𝐫 × 𝐀 je vektor kolmý k rovině určené

těmito dvěma vektory, jeho velikost MO je rovna ploše kosodélníka, jehož strany jsou tvořeny

vektory r a A vycházející ze stejného bodu. Projekce momentu MO na osu Oz je ekvivalentní

projekci plošného elementu tvořeného vektory r a A na libovolnou rovinu kolmou k ose Oz.

Označme α úhel, který svírá moment MO s osou Oz. Moment klouzavého vektoru A

vzhledem k ose Oz je roven délce vektoru MO násobeného cos α. Proveďme nyní ortogonální

projekci kosodélníka vytvořeného vektory r a A, na zmíněnou rovinu kolmou k ose Oz, pak

dostaneme kosodélník, jehož strany nechť tvoří vektory, které označme r1, A1. Plocha tohoto

kosodélníka je rovna ploše původního kosodélníka násobeného rovněž cos 𝛼, neboť roviny

těchto kosodélníků svírají úhel který je roven úhlu momentu MO s osou Oz. Průmět momentu

MO na osu Oz je stejně velký jako délka vektorového součinu průmětů r1, A1. Moment

klouzavého vektoru A1 vzhledem ke středu momentů který jsme zvolili jako průsečík osy Oz

s kolmou rovinou, na kterou jsme promítali je rovnoběžný s osou Oz. Jeho délka je tedy rovna

jeho projekci na osu Oz.

Závěr: Chceme-li najít moment klouzavého vektoru A vzhledem k ose Oz, pak stačí provést

ortogonální projekci vektoru A na libovolnou rovinu kolmou k ose O. Tento průmět

označme A1. Pak stačí nalézt moment vektoru A1 vzhledem k centru momentu, za který

zvolíme průsečík osy Oz se zvolenou rovinou kolmou k ose Oz. Tento průsečík označme O1.

Tím je řešení této úlohy převedeno do roviny kolmé k ose Oz.. Moment klouzavého vektoru

A vzhledem k ose Oz je stejný jako moment vektoru A1 vzhledem k bodu O1 na ose Oz.

Protože moment vektoru A1 vzhledem bodu O1 je rovnoběžný s osou Oz, je jeho projekce na

osu Oz přímo délka tohoto vektoru.

Obrázek 4. 11. Průmět klouzavého vektoru do roviny kolmé k ose rotace

4.5. Zákon zachování momentu hybnosti

Moment hybnosti hmotného bodu

Obdobně jako jsme definovali moment klouzavého vektoru A vzhledem ke středu O,

je ve fyzice definován moment hybnosti hmotného bodu vzhledem ke středu O jako vektor

M daný vztahem

76

𝐌 = 𝑚𝐫 × 𝐯 (4.5.1)

kde r je průvodič hmotného bodu vycházející ze středu O, m hmotnost bodu, a v je vektor

jeho rychlosti. Součin mv je tedy hybnost hmotného bodu. Moment hybnosti, (anglicky

angular momentum), vzhledem k danému bodu prostoru O, je česky nazýván také točivostí.

Obdobným způsobem je také definován moment síly. Nechť r je průvodič hmotného bodu B,

který vychází z bodu O, a nechť na hmotný bod B působí síla F. Momentem síly vzhledem

k bodu O, nazýváme vektor 𝐌(𝐅), definovaný vztahem

𝐌(𝐅) = 𝐫 × 𝐅 (4.5.2)

Studujme nyní individuální časovou změnu momentu hybnosti. To ovšem provedeme

v inerciální soustavě souřadnic. Derivujeme-li nyní vztah (4.5.1) dostaneme

𝑑𝐌

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑𝐫

𝑑𝑡× 𝐯 + 𝑚𝐫 ×

𝑑𝐯

𝑑𝑡

(4.5.3)

Vezmeme-li v úvahu, že 𝑑𝐫

𝑑𝑡= 𝐯 a že součin

𝑑𝐫

𝑑𝑡× 𝐯 = 𝐯 × 𝐯 = 0 má předchozí rovnice tvar

𝑑𝐌

𝑑𝑡= 𝑚𝐫 ×

𝑑𝐯

𝑑𝑡

(4.5.4)

V inerciální soustavě má druhý Newtonův zákon tvar

𝑚𝑑𝐯

𝑑𝑡= 𝐅

(4.5.5)

kde F je síla působící na hmotný bod. Dosadíme-li tento vztah do (4.5.4) máme 𝑑𝐌

𝑑𝑡= 𝐫 × 𝐅 = 𝐌(𝐅)

(4.5.6)

Vztah (4.5.6) se nazývá „zákonem zachování momentu hybnosti“, neboli česky též méně

používaným „zákonem zachování točivosti“, anglicky „angular momentum princip“.

Tento zákon vyjadřuje následující tvrzení: individuální časová změna momentu hybnosti,

(která se také nazývá absolutním momentem hybnosti, neboť tento vztah je vyjádřen

v inerciální soustavě), je rovna momentu sil působících na hmotný bod.

Vztah (4. 5. 6) je možné považovat za druhý Newtonův zákon pro studium rotačních

pohybů.

V meteorologii je obvyklejší, druhý Newtonův zákon formulovat pro hmotný bod

v inerciálním systému, který je interpretován jako vzduchová částice jednotkové hmotnosti.

V tomto případě můžeme druhý Newtonův zákon psát ve tvaru

𝑑𝐯

𝑑𝑡= 𝐅

(4.5.7)

kde síla F je rovněž vztažena k jednotce hmotnosti. Pohybové rovnice meteorologie se však

používají v rotujícím systému spojeném pevně se Zemí. Směr osy rotace Země i rychlost její

rotace považujeme pro účely meteorologie za konstantní.

77

Pro studium všeobecné cirkulace je v meteorologii důležitý absolutní moment hybnosti

vzhledem k zemské ose, tedy v systému, který nerotuje se Zemí. Vektor rychlosti částice,

vzhledem k tomuto inerciálnímu systému, je roven součtu rychlosti vůči Zemi a rychlosti

dané rotací Země. Proto složky rychlosti zvolené částice v systému nerotujících sférických

souřadnic jsou 𝒗𝒂 = (𝑢 + Ω𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑣, 𝑤). Počátek vektoru rychlosti umístíme do polohy, kde

se částice nachází. Tím je určen i přímka, na které vektor rychlosti leží, který proto můžeme

považovat za klouzavý vektor. Tento vektor promítneme do roviny kolmé k ose Země

procházející bodem, polohy částice. Průmětem vektoru 𝒗𝒂 do této roviny označme 𝐯. Protože

průměty složek vektoru rychlosti ležící v rovině poledníku, jsou rovnoběžné s průmětem

průvodiče částice, je jejich vektorový součin roven nule. Dále zonální složka 𝑢 + Ω𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 je

kolmá na průvodč r, a průvodič je tedy ramenem momentu hybnosti. Uvažujeme-li průmět

vektoru rychlosti 𝐯 jakožto vektorový součet jeho složek, dostáváme, že vektorový součin

𝐫 × 𝐯 kolmý k rovině průmětu a moment vektoru 𝒗𝒂 vzhledem k ose Země je roven součinu

délek těchto vektorů. Tato hodnota, kterou označme jako 𝜇 se nazývá absolutním momentem

hybnosti vzhledem k ose Země 𝝁. Absolutní moment hybnosti vzhledem ose Země je tedy

roven součinu zonální rychlosti v inerciální soustavě se vzdáleností od osy rotace Země. Je

tedy

𝜇 = 𝑟 cos 𝜑(𝑢 + Ω𝑟 cos 𝜑) = 𝑟 cos 𝜑 𝑢 + Ω𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜑

(4.5.8)

Hodnotu momentu hybnosti vzhledem k ose Země můžeme odvodit také přímo z jeho

definice ve vektorovém tvaru. Pro částici jednotkové hmotnosti v atmosféře je moment

hybnosti vzhledem k bodu na ose rotace dán podle (4.5.1) vektorovým součinem

𝐌 = 𝐫 × 𝐯 (4.5.9)

Tento vztah platí v inerciální nerotující soustavě souřadnic. Kde r je průvodič částice

vycházející ze středu zemské sféry a v je vektor rychlosti částice. V nerotující - absolutní

sférické soustavě má tento vektor složky

𝐯 = (u + Ωr cos φ, v, w) (4.5.10)

Složky vektoru M pak vypočteme z vektorového součinu

𝐌 = |𝐢 𝐣 𝐤0 𝟎 𝑟

𝑢 + 𝛺𝑟 cos 𝜑 𝑣 𝑤| (4.5.11)

Je tedy

𝐌 = (−𝑟𝑣, 𝑟(𝑢 + 𝛺𝑟 cos 𝜑), 0) (4.5.12)

Abychom dostali moment hybnosti vzhledem k ose Země 𝜇, je třeba ještě moment M

vzhledem k bodu na ose Země násobit skalárně jednotkovým vektorem osy Země Oz. Tento

vektor má stejnou orientaci jako vektor rotace Země Ω, liší se tedy svou jednotkovou délkou.

Je tedy

𝐎𝐳 = (0, cos 𝜑, sin 𝜑) (4.5.13)

78

Dostáváme tak

𝜇 = 𝐌 ∙ 𝐎𝐳 = 𝑟 cos 𝜑 (𝑢 + Ω𝑟 cos 𝜑) (4.5.14)

Což je stejný výsledek jako (4.5.8).

Poznamenejme ještě, že tento absolutní moment hybnosti se skládá ze dvou členů. První člen

je nazýván relativním momentem hybnosti a druhý člen obsahující úhlovou rychlost rotace

Země Ω se nazývá Ω-momentem hybnosti.

Nyní je třeba vysvětlit, proč se zachováním momentu hybnosti v atmosféře zabýváme. Důvod

je jednoduchý, moment hybnosti je důležitým parametrem pro zachování střední zonální

cirkulace.

Zachování střední zonální cirkulace

Ze studia rozložení středního zonálního větru u povrchu Země vyplývá, že v zóně

západního přenosu (ve středních zeměpisných šířkách) má napětí tření na povrchu Země

východní složku. Analogicky v zóně východního větru (v rovníkové oblasti) má napětí tření

na povrchu Země západní složku. Země má sice určitá sezónní úhlová zrychlení, avšak

pozorovatelné změny delší periody úhlové rychlosti rotace Země nebyly zjištěny. Celkový

vliv napětí tření musí být proto roven nule.

Zároveň s tím, jak pohyb atmosféry vyvolává napětí tření na povrchu Země, tak podle

třetího Newtonova zákona působí Země stejnou silou opačného směru na atmosféru. V oblasti

tropů, kde převládá přízemní východní vítr, je atmosféra tažena třením na východ. V tropické

zóně proto vzniká absolutní moment hybnosti, který nazýváme kratčeji momentem hybnosti,

od otáčející se Země. Totéž platí i o zóně polárních východních větrů, ale díky malému

ramenu páky velikost momentu hybnosti předávaná Zemí atmosféře je velmi malá. Zóna

západního přenosu středních zeměpisných šířek naopak předává moment hybnosti pevnému

povrchu Země.

Tyto výše popsané zóny existují během dlouhých časových period, proto přebytek

momentu hybnosti v tropické a polární atmosféře musí být předáván do zóny západního

přenosu. Zde zase musí být moment hybnosti přenášen dolu k povrchu Země, aby byla

kompensována ztráta momentu hybnosti v dolních vrstvách v důsledku tření. Zdůrazněme, že

přenos momentu hybnosti vysvětluje spíše zachování obecné cirkulace, než její vznik.

Studiem rovnováhy momentu hybnosti můžeme však obdržet cenné informace o rozvoji

všeobecné cirkulace. Proto je zachování absolutního momentu hybnosti vzhledem k ose Země

pro správné modelování všeobecné cirkulace meteorologickými modely důležité.

Zachování absolutního momentu hybnosti

Zákon zachování momentu hybnosti vzhledem k danému středu je dán vektorovým

vztahem (4.5.6)

79

𝑑𝐌

𝑑𝑡= 𝐫 × 𝐅 = 𝐌(𝐅)

(4.5.15)

Abychom odvodili zákon zachování momentu hybnosti vzhledem k ose Země, násobíme

předchozí vztah skalárně jednotkovým vektorem k ležícím na ose Země. Prvou stranu

předchozí rovnice můžeme upravit stejně, jako jsme upravili moment hybnosti vzhledem

k ose Země, dostaneme tak, že moment síly vzhledem k ose Země na pravé straně této rovnice

je roven součinu složky síly ve směru rovnoběžky, kterou označme 𝐹𝜆 s délkou ramene síly,

která je rovna 𝑟 cos 𝜑 . Zákon zachování momentu hybnosti vzhledem k ose Země můžeme

pro částici jednotkové hmotnosti psát v inerciální soustavě ve tvaru

𝑑

𝑑𝑡𝜇 =

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑(𝑢 + Ω𝑟 cos 𝜑)) =

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑 𝑢 + Ω𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜑) = 𝑟 cos 𝜑 𝐹𝜆

(4.5.16)

Tento zákon tedy říká, že absolutní moment hybnosti individuální částice se může měnit

pouze momentem síly a to gradientem tlaku v zonálním směru a třením. Tento moment síly

je dán členem 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝑭𝝀.

Nyní si ukážeme, že rovnice změny hybnosti v obecném tvaru (4.2.16) až (4.2.19)

splňují zákon zachování momentu hybnosti částice vzhledem k ose Země. Mělo by to být

zcela přirozené, neboť jak jsme viděli při fyzikálně názorném odvození Coriolisových členů

rovnic hybnosti (4.3.14) až (4.3.21), jsme použili právě zákon zachování momentu hybnosti.

K odvození zákona zachování absolutního momentu hybnosti nám stačí pouze rovnice

(4.2.16) popisující změnu zonální rychlosti

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝐹𝜆 + (2Ω +

𝑢

𝑟 cos 𝜑) (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)

(4.5.17)

která je formulována v rotujícím systému souřadnic. Předchozí rovnici vynásobíme činitelem

𝑟 cos 𝜑, dostaneme tak

𝑟 cos 𝜑𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑢𝑤 cos 𝜑 = 2Ω𝑟 cos 𝜑 (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑) + 𝑢𝑣 sin 𝜑 + 𝑟 cos 𝜑𝐹𝜆

(4.5.18)

Derivováním součinu 𝑟 cos 𝜑 𝑢 s použitím definice vertikální složky rychlosti 𝑤 =𝑑𝑟

𝑑𝑡 a

skutečnosti, že při advekci částice v meridionálním směru se mnění její vzdálenost od osy

rotace v závislosti na zeměpisné šířce 𝜑, a tedy 𝜑 je při derivování proměnná, dostaneme

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑 𝑢) = 𝑟 cos 𝜑

𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑢

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑) = 𝑟 cos 𝜑

𝑑𝑢

𝑑𝑡+ 𝑢𝑤 cos 𝜑 − 𝑢𝑣 sin 𝜑

(4.5.19)

Pro odvození tohoto vztahu bylo třeba vyjádřit absolutní derivaci součinu 𝑟 cos 𝜑. Vzhledem

k tomu, že r nezávisí na čase t ani na x a 𝜑 nezávisí navíc na r a je 𝜑 = 𝑦/𝑟 máme

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑) = 𝑣

𝜕

𝜕𝑦(𝑟 cos

𝑦

𝑟) + 𝑤

𝜕

𝜕𝑟(𝑟 cos 𝜑) = −𝑣 sin 𝜑 + 𝑤 cos 𝜑

(4.5.20)

Do vztahu (4.5.19) dosadíme za první dva členy pravé strany (4.5.18). Dostaneme tak

80

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑 𝑢) = 2Ω𝑟 cos 𝜑 (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑) + 𝑟 cos 𝜑𝐹𝜆

(4.5.21)

obdobně jako vztah (4.5.19) obdržíme derivováním

𝑑

𝑑𝑡(Ω𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜑) = Ω

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑)2 = 2Ω𝑟 cos 𝜑 (𝑣 sin 𝜑 − 𝑤 cos 𝜑)

(4.5.22)

Sečtením vztahů (4.5.21) a (4.5.22) máme

𝑑

𝑑𝑡(𝑟 cos 𝜑 𝑢 + Ω𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜑) = 𝑟 cos 𝜑𝐹𝜆

(4.5.23)

Shrňme si nyní předchozí výsledek. Pro popis pohybu atmosféry rovnicemi

hydrodynamiky jsou v článku Normana Phillise [8], uvedena následující zjednodušení. Je

použit systém sférických souřadnic s počátkem ve středu Země, kde r je sférická souřadnice

(délka průvodiče částice), zeměpisná délka, zeměpisná šířka. Vzhledem k malé elipticitě

Země, klademe-li hladinu moře do ar , tedy na referenční kulovou plochu aproximující

Zemi, zemská tíže nemá -složku, což je adekvátní pro exaktní analýzu atmosférických

pohybů. Relativní složky rychlosti jsou pak dány vztahy (4.2.2) a rovnice změny hybnosti

vztahy (4.2.16) až (4.2.18). Přestože tyto rovnice nejsou tedy zcela exaktní, neboť jsou

založeny na předpokladu, že elipticita Země je malá a blízko povrchu Země se geografická

šířka liší jen málo od geocentrické šířky, jsou adekvátní pro popis pohybu atmosféry.

Předchozí předpoklady se dále studovaných aproximací netýkají, nicméně se v dalších

studiích používají pro matematické zjednodušení formulace rovnic. V předchozím studiu jsme

ukázali, že zjednodušení v rovnicích (4.2.16) až (4.2.18) neporušuje zákon zachování

absolutního momentu hybnosti.

Pro jednodušší a snadnější užití při numerické předpovědi počasí se tato soustava dále

zjednodušuje. Toto zjednodušení, které je základem „tradičních aproximací“ spočívá

v záměně sférické souřadnice r poloměrem a zemské sféry. Zavádí se souřadnice

z, definovaná vztahem z = r - a. Všechny horizontální vzdálenosti v atmosféře jsou pak

měřeny po povrchu zemské sféry. Soustava rovnic hybnosti je pak tvaru (4.2.19) až (4.2.22).

Po této aproximaci má ale tato soustava závažný nedostatek, nesplňuje princip zachování

absolutního momentu hybnosti. To způsobuje člen úměrný 𝑤 cos 𝜑. Jestliže tento člen

v rovnici (4.2.20) vynecháme, rovnice přejde do tvaru

𝑑𝑢′

𝑑𝑡= 𝐹𝜆 + (2Ω +

𝑢′

𝑎 cos 𝜑) 𝑣′ sin 𝜑

(4.5.24)

Po této úpravě můžeme stejným způsobem ukázat, že soustava splňuje princip zachování

absolutního momentu hybnosti, ovšem ve tvaru, kde r = a

𝑑

𝑑𝑡(𝑎 cos 𝜑(𝑢′ + Ω𝑟 cos 𝜑)) = 𝑎 cos 𝜑 𝐹𝜆

(4.5.25)

Tato skutečnost se mi jeví jako přirozený důsledek toho, že délka ramene momentu v tomto

případě nezávisí na vertikální souřadnici a zůstává stále rovna 𝑎 cos 𝜑 a rovněž složka

rychlosti u, při posunu částice ve svislém směru se nemění. Změnu ramene momentu

81

způsobuje pouze posun ve směru poledníku, rameno momentu je pak funkcí zeměpisné šířky

𝜑.

V následující kapitole 6., která pojednává o transformaci rovnic do křivočarých souřadnic,

tedy i do sférických souřadnic, vycházíme ze zápisu rovnic v tak zvaném invariantním tvaru

𝑑𝒗

𝑑𝑡= 𝑭 + 𝒈 − 𝛁 (

1

2𝒗2) + 𝒗 × 𝑟𝑜𝑡(𝒗 + 𝒗𝑒)

(4.5.26)

Kde 𝒗𝑒 je vektor rychlosti východního směru o velikosti Ωℎ𝜆 = Ω𝑟 cos 𝜑. V šesté kapitole, i

když jsou studovány rovnice mělké vody, tato skutečnost pro horizontální aproximaci

nesnižuje obecnost. Výsledkem transformace do sférického systému je, že druhá rovnice

(4.2.21) vychází bez členu s vertikální rychlostí w, tedy ve tvaru

𝑑𝑣′

𝑑𝑡= 𝐹𝜑 − (2Ω +

𝑢′

𝑎 cos 𝜑) 𝑢′ sin 𝜑

(4.5.26)

Pro globální modely je v současné době vždy rovnice pro změnu vertikální rychlosti w

redukována na hydrostatickou rovnici.

Otázkou zachování momentu hybnosti se při formulacích modelů atmosféry zabýval

ve svém článku o „tradičních aproximacích“ pro mělkou rotující atmosféru Norman Phillips

[8]. Ve svém článku se zabýval dlouho trvající nejasností atmosférické dynamiky, kterou je

role Coriolisova členu úměrného cosinu zeměpisné šířky. V hydrostatických problémech je

tento člen z mnoha logických důvodů ignorován, ale jak upozorňuje Ecart [1] (1960, str. 95-

101), jeho význam v nehydrostatických problémech není tak jasný. Eckart ovšem studuje

tento problém pro linearizované rovnice metodou perturbací. Jeho poznámka je co se týče tak

zvaných nehydrostatických, neboli plně stlačitelných modelů značně skeptická, „neboť

poskytuje racionální důvody pro to, abychom se vzdali studia obecného pohybu v mělké

atmosféře“.

Shrneme-li nyní co je hlavním předmětem studia „tradičních aproximací“, můžeme

říci, že je to upřesnění formulace řídících rovnic pohybu atmosféry zejména ve sférických

souřadnicích.

Pro formulaci rovnic je možné vzhledem k malé elipticitě Země použít sférické

souřadnice, s tím, že úroveň hladiny moře klademe na povrch sféry o poloměru a, nečiníme

rozdíl mezi skutečnou a geocentrickou zeměpisnou šířkou a síla zemské tíže nemá 𝜑-složku.

Ukazuje však, že zjednodušení takto formulovaných rovnic tím, že jednoduše sférickou

souřadnici r nahradíme konstantou – poloměrem Země a vede k porušení principu zachování

absolutního momentu hybnosti. Aby tato rovnice neměly tuto vadu, je třeba tato rovnice

upravit. Tato úprava spočívá ve vynechání několika členů rovnic. Pro formulaci rovnic ve

křivočarých souřadnicích a to i ve sférických souřadnicích, je lepe vycházet z rovnic v tak

zvaném invariantním tvaru (4.5.25) a příslušné operátory nahradit jejich tvarem v křivočarých

souřadnicích.

Závěrem můžeme ještě jinak objasnit základní princip a důsledky „tradičních

aproximací“ pro formulaci modelu ve sférických souřadnicích. Ten spočívá v tom, že

vzhledem k malé tlušťce atmosféry studované v meteorologických modelech vzhledem

82

k jejím horizontálním rozměrům, tím že v rovnicích nahradíme polární souřadici r poloměrem

Země a, tím první difefenciální forma v atmosféře nezávisí na výšce nad hladinou moře a

všechny horizontální vzdálenosti jsou měřeny v úrovni hladiny moře. To znamená, že

vzdálenost dvou bodů daných jejich zeměpisnými souřadnicemi zůstává v modelu stále stejná,

ať jsou na povrchu Země či vysoko v atmosféře, kde jejich skutečná vzdálenost nad povrchem

sféry je větší. Právě tato skutečnost má za důsledek, že po tomto zjednodušení geometrie

modelu, je třeba vynechat Coriolisovy členy, které vyjadřují změnu hybnosti v závislosti

na pohybu ve vertikálním směru.

Rovnice, kterými se řídí pohyb atmosféry, odvodíme v kapitole 6. ještě jiným

způsobem. Tento způsob, který je v této šesté kapitole použit pro odvození rovnic

používajících v horizontále ortogonální systém souřadnic na konformní mapě, je možné

použít i pro sférické souřadnice. Tento způsob již v sobě zahrnuje skutečnost, že horizontální

vzdálenost měříme v rovině mapy. Dostaneme takto stejný tvar rovnic jako po zanedbání

členů v důsledku použití „tradičních aproximací“. Je tedy zřejmé, že i model používající

sférické souřadnice počítáme po zavedení „tradičních aproximací“ stejně jako lokální model

nad rovinnou oblastí, na které jsou skutečné vzdálenosti dány první diferenciální formou

sférické plochy. Svislé přímky, ve směru kterých působí síla zemské tíže, jsou rovnoběžné

s osou z a kolmé k rovině znázorňující povrch Země. Pro model, který jako systém

horizontálních souřadnic používá konformní mapu, jsou pak skutečné vzdálenosti bodů v této

rovině dány Lameovými koeficienty této konformní mapy, tedy zkreslením mapy.

Literatura:

[1] Eckart, C.: Hydrodynamics of Ocean and Atmosphere. Pergamonn Press, New York 1960.

[2] Haltiner G. J., Martin F. L.: Dynamical and Physical Meteorology. New York Toronto

London 1957

[3] Holton James R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New York

and London 1972

[4] Kilčevskij N. A: Kurs teoretičeskoj mechaniky. Nauka, Moskva 1977.

[5] Kvasnica Josef a kolektiv: Mechanika, Academia Praha 1988

[6] Pechala František, Bednář Jan: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991

[7] Phillips Norman A, Sborník, redaktor Morel P. A.: Dynamic Meteorology Sumer School,

Springer 1973

[8] Phillips Norman A.: The Equations of Motion for a Shallow Rotating Atmosphere and the

“Traditional Approximation”. Journal of the Atmospheric Science Vol. 23 p. 626-628, (1966)

[9] Thompson Phillip D.: Numerical Weather Analysis and Prediction, The Mack Millan

Company New York 1961

[10] Veronis George: Comments on Phillips’ Proposed Simplification of the Equations of

Motion for a Shallow Rotating Atmosphere. With Reply by Norman Phillips, Journal of the

Atmospheric Science Vol. 25 p. 1154-1157, (1968)

83

5. Rovnice mělké vody – divergentní barotropní model

Formulace rovnic mělké vody a jejich různé tvary

Jedním z jednoduchých modelů atmosféry, ve kterém se dá studovat mnoho jevů

probíhajících v atmosféře, zejména vlnových pohybů atmosféry, jsou rovnice mělké vody.

Tyto rovnice v podstatě popisují divergentní barotropní model atmosféry. Rovnice mělké

vody se také často používají k testování numerických metod používaných v předpovědních

numerických modelech.

Model mělké vody vychází z představy, že atmosféra se skládá z dvou vrstev nestlačitelné

kapaliny v hydrostatické rovnováze, které se spolu nemísí a mezi nimiž je rozhraní, které je

dáno přibližně horizontálně položenou plochou. Tuto plochu nazýváme hladinou mělké vody.

Síla zemské tíže nechť působí ve svislém směru a je všude konstantní. Dále předpokládáme,

že spodní vrstva kapaliny leží na pevném rovinném povrchu, tedy zemský povrch je zde

aproximován rovinnou, a její tloušťka je malá ve srovnání s horizontální oblastí, ve které

problém studujeme. Horní vrstvu si můžeme představit jako nekonečně silnou a

předpokládáme, že v nějaké pevně zvolené výšce z nad povrchem země je horizontální

gradient tlaku nulový. Z fyzikálních předpokladů vyplývá název modelu, neboť atmosféru

skutečně modelujeme jako tenkou vrstvu kapaliny - vody.

Studujme nejdříve horizontální gradient tlaku. Nechť zyx ,, je systém pravoúhlých

souřadnic. Souřadnice yx, klademe do roviny podkladu. Souřadnice z je vertikální

souřadnicí a vyjadřuje výšku nad rovinou podkladu. Výšku rozhraní, tedy výšku hladiny

mělké vody v daném bodě označujeme písmenem h . Nechť 1 označuje hustotu kapaliny

spodní vrstvy a 2 označuje hustotu kapaliny horní vrstvy a hustota vrchní vrstvy 1 je

menší, než hustota dolní vrstvy, takže systém je stabilní. Nejdříve ukážeme, že horizontální

gradient tlaku na vertikální přímce (rovnoběžné s osou z ) je uvnitř obou vrstev konstantní.

Derivujme hydrostatickou rovnici podle x

𝜕𝑝

𝜕𝑧= −𝑔𝜌

(5.1.1)

Pravá strana je součinem konstanty tíhového zrychlení a hustoty a je tedy konstantní, proto

levá strana je rovněž konstantní. Je tedy spojitá a parciální derivace tlaku p podle x,y jsou

rovněž spojité funkce x,y a tedy záměnné, proto máme

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑝

𝜕𝑧) =

𝜕

𝜕𝑧(

𝜕𝑝

𝜕𝑥) = 0

(5.1.2)

obdobně ve směru osy y. Proto horizontální gradient tlaku (𝜕𝑝

𝜕𝑥,

𝜕𝑝

𝜕𝑦) je ve vertikálním směru

uvnitř vrstev konstantní. Podle předchozího předpokladu je horizontální gradient tlaku ve

vrchní vrstvě všude nulový. Horizontální gradient tlaku se tedy mění pouze přechodem přes

84

rozhraní vrstev. Vztah pro hodnotu horizontálního gradientu tlaku ve spodní vrstvě odvodíme

diferenční úvahou dle obrázku 5. 1. Tato úvaha je velmi názorná.

Obrázek 5.1. K výpočtu gradientu tlaku pro model mělké vody

Z obrázku je vidět, že přírůstek tlaku ve dvou blízkých bodech na ose x vzdálených od sebe

∆𝑥, je dán u prvního z nich, který leží na hranici obou vrstev, přírůstkem tlaku ve svislém

sloupci horní vrstvy a je z hydrostatické rovnice roven 𝑔𝜌2∆𝑥 𝜕ℎ𝜕𝑥⁄ . Pro druhý bod, jehož

přírůstek tlaku ve svislém směru je dán kapalinou dolní vrstvy je přírůstek tlaku roven

𝑔𝜌1∆𝑥 𝜕ℎ𝜕𝑥⁄ . Přírůstek tlaku po úsečce ∆𝑥 je pak roven rozdílu těchto dvou přírůstků tlaku

ve svislém směru

∆𝑝 = 𝑔(𝜌1 − 𝜌2)∆𝑥𝜕ℎ

𝜕𝑥

(5.1.3)

vydělením vzdáleností x obou bodů a přechodem k limitě 0x dostaneme

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 𝑔(𝜌1 − 𝜌2)

𝜕ℎ

𝜕𝑥

(5.1.4)

Obdobný vztah můžeme odvodit také pro osu y

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 𝑔(𝜌1 − 𝜌2)

𝜕ℎ

𝜕𝑦

(5.1.5)

Můžeme tedy říci, že horizontální gradient tlaku ve spodní vrstvě nezávisí na výšce. Závisí

pouze na sklonu rozhraní obou vrstev (sklonu hladiny mělké vody) a je úměrný rozdílu jejich

hustot.

Pro odvození pohybových rovnic předpokládáme ještě následující: kapalina se

pohybuje bez tření a nemá ani vnitřní tření (vazkost), ani tření vzhledem k podkladové ploše.

Volně bez tření tedy klouže po povrchu země (podkladové ploše). Dále ještě předpokládejme,

85

že rozložení horizontálních složek rychlosti v dolní vrstvě nezávisí na výšce., je tedy s výškou

konstantní a rozložení horizontálních složek rychlosti pro dolní vrstvu závisí tedy pouze na

proměnných x, y. V horní vrstvě pohyb neuvažujeme, neboť je nulový. Pro částice jednotkové

hmotnosti můžeme v dolní vrstvě psát zákon zachování hybnosti v obvyklém tvaru

𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝑓𝑣 +

1

𝜌1

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 0

(5.1.6)

𝑑𝑣

𝑑𝑡+ 𝑓𝑢 +

1

𝜌1

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 0

(5.1.7)

Z uvedených rovnic vyplývá, že stačí požadovat, aby rozložení horizontálních složek rychlosti

s výškou bylo konstantní pouze v počátečním časovém okamžiku. Protože všechny členy

předchozích rovnic nezávisí na vertikální souřadnici, pak i zrychlení a horizontální složky

rychlosti budou rovněž nezávislé na souřadnici z, což můžeme vyjádřit vztahem

𝜕𝑢

𝜕𝑧=

𝜕𝑣

𝜕𝑧= 0

(5.1.8)

Použijeme-li vztahů (5.1.4), (5.1.5) a (5.1.8) a rozepíšeme-li individuální časovou změnu,

můžeme rovnice pro změnu hybnosti v dolní vrstvě mělké vody psát ve tvaru

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦− 𝑓𝑣 + 𝑔 (1 −

𝜌2

𝜌1)

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

(5.1.9)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑓𝑢 + 𝑔 (1 −

𝜌2

𝜌1)

𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(5.1.10)

Klademe-li hustotu horní vrstvy nulovou 02 , pak model mělké vody nazveme

jednovrstvým. V tomto případě mají rovnice pro změnu hybnosti tvar

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦− 𝑓𝑣 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

(5.1.11)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑓𝑢 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(5.1.12)

V tomto případě je horizontální gradient tlaku ve vrstvě mělké vody roven horizontálnímu

gradientu geopotenciálu Φ = 𝑔ℎ hladiny mělké vody. Rovnice obou modelů mělké vody

86

(5.1.9), (5.1.10) a (5.1.11), (5.1.12) dvouvrstvého a jednovrstvého modelu jsou v podstatě

stejné a liší se pouze konstantním koeficientem ve členu gradientu tlaku. Z toho je vidět, že

dvouvrstvý model mělké vody je ekvivalentní s jednovrstvým modelem mělké vody se

zmenšenou hodnotou konstanty tíhového zrychlení. Místo dvouvrstvého modelu můžeme

proto studovat jednovrstvý model s hodnotou konstanty tíhového zrychlení.

𝑔∗ = 𝑔 (1 −𝜌2

𝜌1)

Poznámka: Tohoto triku použili Houghton – Kasahara – Washington při testování

numerického řešení. Aby rychlost gravitačních vln při testu byla blízká reálné atmosféře, kde

pro studovanou tlakovou hladinu uvažovali poměr hustot horní a dolní vrstvy 0.86 použili

jednovrstvý model s konstantou tíhového zrychlení rovnou 1.4 𝑚/𝑠𝑒𝑐2 .

Chceme-li kompletovat rovnice popisující mělkou vodu, tak zvané řídící rovnice, musíme

rovnice hybnosti, vyjadřující zákon zachování hybnosti, doplnit ještě rovnicí kontinuity,

vyjadřující zákon zachování hmoty mělké vody. Tento zákon má pro nestlačitelnou kapalinu,

což je náš případ známý tvar

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

(5.1.13)

kde u, v, w jsou složky rychlosti vzhledem osám x, y, z.

Tuto rovnici integrujme podle z přes tloušťku vrstvy mělké vody, tedy od 0 do h. Máme

𝑤(ℎ) − 𝑤(0) = − ∫ (𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) 𝑑𝑧 = −ℎ

ℎ

0

(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

(5.1.14)

Neboť na dolní podkladové pevné ploše nemohou být vertikální pohyby je

𝑤(0) = 0

(5.1.15)

a podle definice složek rychlosti je

𝑤(ℎ) =𝑑ℎ

𝑑𝑡

(5.1.16)

můžeme integrovanou rovnici kontinuity (5.1.14) psát ve tvaru

𝑑ℎ

𝑑𝑡+ ℎ (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

(5.1.17)

Protože h je funkcí pouze x, y a nezávisí a proměnné z je

𝜕ℎ

𝜕𝑧= 0

87

(5.1.18)

má rovnice kontinuity konečný tvar

𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕ℎ

𝜕𝑦+ ℎ (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

(5.1.19)

Jiný obvyklý tvar rovnice kontinuity je tak zvaný divergentní tvar

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(ℎ𝑢) +

𝜕

𝜕𝑦(ℎ𝑣) = 0

(5.1.20)

Tvar se nazývá podle toho, že dáme-li druhý a třetí člen rovnice na pravou stranu, má časová

změna výšky sloupce mělké vody h tvar divergence vektoru vhuh, , který vyjadřuje

celkovou hybnost ve svislém sloupci mělké vody.

Rovnice hybnosti můžeme psát také v různých tvarech. Kromě advektivního tvaru (5.1.11),

(5.1.12) je velmi často, zejména pro numerickou realizaci a jednoduché zavedení

ortogonálních křivočarých souřadnic, používán tvar s vorticitou a gradientem celkové energie.

Někdy se tomuto tvaru říká také, podle mého mínění nesprávně, invariantní tvar rovnic. Jeho

použití se v meteorologii objevilo v šedesátých létech, i když tento tvar rovnic byl znám již

dávno předtím, přesněji již v 19. století. Rovnice pro změnu hybnosti můžeme psát

následovně

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝑣휂 +

𝜕

𝜕𝑥(𝑔ℎ + 𝐾) = 0

(5.1.21)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢휂 +

𝜕

𝜕𝑦(𝑔ℎ + 𝐾) = 0

(5.1.22)

Kde 휂 je absolutní vorticita, která je rovna součtu relativní vorticity

휁 =𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦

(5.1.23)

a Coriolisova parametru 𝑓(𝑥, 𝑦). Absolutní vorticita je tedy rovna

휂 = 휁 + 𝑓 =𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑓

(5.1.24)

a kde K je kinetická energie

𝐾 =1

2(𝑢2 + 𝑣2)

(5.1.25)

88

V rovnicích (5.1.21), (5.1.22) má součet gh+K fyzikální význam součtu potenciální a

kinetické energie, tedy celkové energie daného svislého sloupce mělké vody. Správnost

vztahů (5.1.21) a (5.1.22) se snadno ověří. Derivujeme-li vztah pro kinetickou energii podle x,

dostaneme

𝜕𝐾

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥(

𝑢2 + 𝑣2

2) = 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥

Dosadíme-li tento vztah a hodnotu vorticity 휂 ze vztahu (5.1.24) do rovnice (5.1.21), dva

členy se vyruší a dostaneme rovnici (5.1.11). Obdobně můžeme ukázat i správnost rovnice

(5.1.22).

Dalším důležitým tvarem rovnic vyjadřující zákon zachování hybnosti je divergentní

tvar rovnic. Tento tvar dostaneme tak, že rovnici (5.1.11) násobíme výškou hladiny h a k této

rovnici přičteme rovnici kontinuity (5.1.19) násobenou u. Dostaneme tak

𝜕

𝜕𝑡(𝑢ℎ) +

𝜕

𝜕𝑥(𝑢2ℎ) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑢𝑣ℎ) − 𝑓𝑣ℎ + 𝑔ℎ

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

(5.1.26)

𝜕

𝜕𝑡(𝑣ℎ) +

𝜕

𝜕𝑥(𝑢𝑣ℎ) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑣2ℎ) + 𝑓𝑢ℎ + 𝑔ℎ

𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(5.1.27)

Druhý a třetí člen předchozích rovnic, tedy členy popisující advekci, jsou opravdu ve tvaru

divergence. Vektor (𝑢ℎ, 𝑣ℎ) popisuje celkovou hybnost svislého sloupce. Proto se tomuto

tvaru říká také hybnostní tvar rovnic. Původní tvar vyjadřuje totiž změnu hybnosti částice

jednotkové hmotnosti a popisuje proto vlastně změnu složky rychlosti.

Rovnice vorticity pro model mělké vody

Tuto rovnici odvodíme nejsnáze z rovnic ve tvaru s vorticitou a gradientem celkové

energie (5.1.21), (5.1.22). Derivujeme-li rovnici (5.1.22) podle x a odečteme od této rovnice

rovnici (5.1.21) derivovanou podle y máme

𝜕

𝜕𝑡(

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦) +

𝜕

𝜕𝑥(𝑢휂) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑣휂) = 0

(5.1.28)

Vezmeme-li v úvahu, že Coriolisův parametr f není funkcí času a je tedy

𝜕𝑓

𝜕𝑡= 0

(5.1.29)

dostaneme s použitím vztahu (5.1.24) rovnici vorticity v divergentním tvaru

89

𝜕휂

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(𝑢휂) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑣휂) = 0

(5.1.30)

Tuto rovnici můžeme napsat též v advekčním tvaru, máme

𝜕휂

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕휂

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕휂

𝜕𝑦+ 휂 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

(5.1.31)

nebo s použitím individuální časové změny

𝑑휂

𝑑𝑡+ 휂 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

(5.1.32)

Poznamenejme nyní, že hydrodynamickým invariantem rozumíme veličinu , která se při

advekci nemění. Tato veličina je tedy charakterizována vztahem

𝑑𝜑

𝑑𝑡= 0

(5.1.33)

který vyjadřuje, že individuální časová změna pro tuto veličinu je rovna nule.

Podíváme-li se nyní na rovnici (5.1.31), vidíme, že kromě individuální časové změny vorticity

jsou v rovnici ještě dva další členy, které jsou součinem absolutní vorticity a horizontální

divergence, kterou označme d. Jest tedy

𝑑 =𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

(5.1.34)

Absolutní vorticita tedy není hydrodynamickým invariantem. Ukážeme si nyní, že

invariantem pro rovnice mělké vody je veličina 휂/ℎ která se nazývá absolutní potenciální

vorticita. Přesněji tedy se tato veličina nazývá absolutní potenciální vorticita pro barotropní

atmosféru. Pro tuto veličinu platí

𝑑

𝑑𝑡(

휂

ℎ) = 0

(5.1.35)

což ovšem musíme dokázat.

Derivujme absolutní potenciální vorticitu, tedy podíl 휂/h. Máme

90

𝑑

𝑑𝑡(

휂

ℎ) =

1

ℎ2(ℎ

𝑑휂

𝑑𝑡− 휂

𝑑ℎ

𝑑𝑡)

(5.1.36)

dosadíme-li do tohoto vztahu ze vztahů (5.1.32) a rovnice kontinuity (5.1.17), vidíme, že

pravá strana je rovna nule.

Divergenční teorém

Nyní si odvodíme vztah, který nám vyjadřuje časovou změnu horizontální divergence

d. Derivujeme-li rovnici (5.1.11) parciálně podle x a přičteme k ní rovnici (5.1.12)

derivovanou parciálně podle y, obdržíme vztah pro časovou změnu d

𝜕

𝜕𝑡𝑑 + 𝑢

𝜕

𝜕𝑥𝑑 + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦𝑑 + (

𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

−𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) + 𝑔∇2ℎ = 0

(5.1.37)

Kde jsme pro Laplaceův operátor použili označení

∇2=𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2

(5.1.38)

První tři členy vztahu (5.1.37) popisují individuální časovou změnu horizontální divergence,

proto můžeme divergenční teorém psáti rovněž stručněji ve tvaru

𝑑

𝑑𝑡𝑑 + (

𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

−𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) + 𝑔∇2ℎ = 0

(5.1.39)

Horizontální divergence d je pro procesy synoptického měřítka v atmosféře malá a mění se

jen pomalu, neboť ve skutečné atmosféře se vyskytují gravitační vlny jen velmi malé

amplitudy. Rychlejší změny horizontální divergence právě tyto gravitační vlny popisují. Tato

skutečnost se dá ověřit na průběhu přízemního tlaku měřeného citlivým mikrobarografem.

Proto lze ve vztahu (5.1.39) individuální změnu horizontální divergence zanedbat. V tomto

případě se divergenční teorém redukuje na diagnostický vztah, který se nazývá balanční

rovnice. Tento vztah nám dává velmi reálný vztah mezi polem rozložení hmoty atmosféry

(mělké vody) a mezi polem proudění. Balanční rovnici můžeme psát proto ve tvaru

(𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

−𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) + 𝑔∇2ℎ = 0

(5.1.40)

Zanedbáme-li divergenci zcela a atmosféru pokládáme za nedivergentní, což znamená, že

𝑑 =𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

(5.1.41)

91

vyjadřuje nám rovněž balanční rovnice rovnováhu mezi silami gradientu tlaku a ostatními

silami, obecnější a přesnější, než je geostrofická aproximace. V tomto případě lze balanční

rovnici ještě upravit. Umocníme-li vztah (5.1.41) na druhou, máme

(𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

= −2𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

(5.1.42)

Tři nelineární členy balanční rovnice můžeme proto napsat ve tvaru

(𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

= 2 (𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −2 ∙ 𝐽(𝑢, 𝑣)

(5.1.43)

kde 𝐽(𝑢, 𝑣) je Jacobiho determinant, který je roven

𝐽(𝑢, 𝑣) = ||

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

|| =𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦−

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑥

(5.1.44)

Balanční rovnici můžeme pro nedivergentni proudění pasát ve tvaru

−2𝐽(𝑢, 𝑣) −𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) = −𝑔∇2ℎ

(5.1.45)

Poznamenejme, že z hlediska matematiky je balanční rovnice nelineární parciální

diferenciální rovnicí Monge-Ampérova typu. Tato rovnice se dříve používala pro inicializaci

modelů atmosféry, jakožto diagnostický vztah, který nám umožňoval výpočet zbalancovaného

pole proudění, nebo rozložení hmoty v modelu, je-li dáno to druhé. Jestliže je zadáno pole

proudění, tj. složky větru, dostaneme snadno pole rozložení hmoty řešením okrajové úlohy

pro h, které je řešením Poissonovy rovnice. Je-li však zadáno pole rozložení hmoty, v našem

případě h, je výpočet pole proudění komplikovaný iterační proces, v jehož každém kroku je

třeba řešit okrajovou úlohu.

2. Zahrnutí orografie do rovnic mělké vody

Předpoklady pro model se zahrnutím orografie zůstávají stejné jako nad rovinným

terénem, s tím rozdílem, že místo toho, aby mělká voda ležela na rovinném terénu, leží na

nerovném terénu zemského povrchu - orografické ploše. Výšku terénu měřenou v metrech

nad referenční rovinnou plochou označme 𝑏(𝑥, 𝑦), což je znázorněno na obrázku 5.2.

92

Obrázek 5.2 Model mělké vody se zahrnutím orografie

Vrstva mělké vody nad orografickou plochou (dnem na kterém leží vrstva mělké vody), má

tedy tloušťku h, zatímco výška hladiny mělké vody je nyní rovna 𝑏 + ℎ. V této vrstvě je

horizontální rychlost s výškou konstantní a i gradient tlaku se s výškou uvnitř vody nemění a

je dán pouze sklonem hladiny mělké vody. Proto rovnice hybnosti pro složky horizontálního

vektoru rychlosti zůstávají stejné, jako v případě rovinného terénu.

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦− 𝑓𝑣 + 𝑔

𝜕(𝑏 + ℎ)

𝜕𝑥= 0

(5.2.1) 𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑓𝑢 + 𝑔

𝜕(𝑏 + ℎ)

𝜕𝑦= 0

(5.2.2)

Rovnici kontinuity odvodíme obdobně jako v případě rovinného terénu, s tím

rozdílem, že rovnici kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu (kapalinu) integrujeme od b do

b+h a na dolní hranici není vertikální rychlost w nulová a je dána tak zvanou kinematickou

podmínkou, kterou si nyní odvodíme. Ta vychází z předpokladu, že na povrchu země je

rychlost kolmá k orografické ploše rovna nule. Odtud dostaneme vztah mezi horizontálními

složkami a vertikální složkou větru. Tímto vztahem je tedy dána vertikální složka větru na

orografické ploše. Orografická plocha nezávisí na čase a je definována explicitně vztahem

𝑧 = 𝑏(𝑥, 𝑦) (5.2.3)

Plocha je pak množinou bodů [𝑥, 𝑦, 𝑏(𝑥, 𝑦)]. Pro další geometrické úvahy napíšeme

raději formálně plochu v parametrickém tvaru tím, že souřadnice x, y budeme považovat za

parametry a formálně položíme

𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝑦, 𝑦 = 𝑏(𝑥, 𝑦) (5.2.4)

Tečné vektory k parametrickým křivkám

𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (5.2.5)

mají souřadnice

93

(𝜕𝑥

𝜕𝑥,𝜕𝑦

𝜕𝑥,𝜕𝑧

𝜕𝑥) = (1,0,

𝜕𝑏

𝜕𝑥) 𝑎 (

𝜕𝑥

𝜕𝑦,𝜕𝑦

𝜕𝑦,𝜕𝑧

𝜕𝑦) = (0,1,

𝜕𝑏

𝜕𝑦)

(5.2.6)

Vektor kolmý k těmto dvěma vektorům a tedy kolmý k povrchu orografické plochy označme

𝐤 a vypočteme ho jako vektorový součin vektorů parametrických křivek. Máme tedy

𝐤 =||

𝑒1 𝑒2 𝑒3

1 0𝜕𝑏

𝜕𝑥

0 1𝜕𝑏

𝜕𝑦

||

= (−𝜕𝑏

𝜕𝑥, −

𝜕𝑏

𝜕𝑦, 1)

(5.2.7)

Vektor pohybu částic podél orografické plochy (𝑢, 𝑣, 𝑤) musí být kolmý k vektoru k a tedy

skalární součin musí být roven nule. Odtud máme

(𝑢, 𝑣, 𝑤) ∙ (−𝜕𝑏

𝜕𝑥, −

𝜕𝑏

𝜕𝑦, 1) = 0

(5.2.8)

A na povrchu orografické plochy máme

𝑤(𝑏) = 𝑢𝜕𝑏

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑏

𝜕𝑦

(5.2.9)

Což je hledaný vztah „kinematická podmínka“.

Rovnici kontinuity odvodíme i v našem případě integrací rovnice kontinuity pro

nestlačitelnou kapalinu

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

(5.2.10)

nyní rovnici integrujeme na intervalu 𝑧 ∈ (𝑏, 𝑏 + ℎ). Máme tedy

𝑤(𝑏 + ℎ) − 𝑤(𝑏) = − ∫ (𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) 𝑑𝑧 = −ℎ

𝑏+ℎ

𝑏

(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

(5.2.11)

protože vertikální rychlost je v sloupci tekutiny konstantní, máme podle (5.2.9)

𝑤(𝑏 + ℎ) =𝜕

𝜕𝑡(𝑏 + ℎ) + 𝑢

𝜕

𝜕𝑥(𝑏 + ℎ) + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦(𝑏 + ℎ)

(5.2.12)

Neboť b nezávisí na čase, je první člen pravé strany nulový, derivace b podle x a y

však nulové nejsou. V rozdílu se podle (5.2.12) a (5.2.9) ale tyto dva členy vyruší a máme

𝑤(𝑏 + ℎ) − 𝑤(𝑏) =𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕ℎ

𝜕𝑦=

𝑑ℎ

𝑑𝑡

(5.2.13)

Tento vztah pro vertikální rychlost w je stejný jako „kinematická podmínka“ a vyjadřuje tedy,

že částice kopíruje terén. Dosadíme-li (5.2.13) do (5.2.11) dostáváme rovnici kontinuity

v advekčním tvaru

𝑑ℎ

𝑑𝑡+ ℎ (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

(5.2.14)

94

Rovnici kontinuity můžeme psát také v divergentním tvaru 𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(ℎ𝑢) +

𝜕

𝜕𝑦(ℎ𝑣) = 0

(5.2.15)

Rovnice kontinuity je při tomto označení, kde h je tloušťka vrstvy vody, stejná jako

nad rovinným terénem, ale h zde znamená něco jiného. Není to výška hladiny jako pro vodu

nad rovinou, ale tloušťka vrstvy nad orografickým terénem – nerovinným dnem vody.

Pro dno s proměnnou výškou zůstávají rovnice odvozené pro rovinné dno většinou

s některými úpravami v platnosti. V rovnicích hybnosti (5.1.21) a (5.1.22) v tak zvaném

invariantním tvaru je třeba nahradit výšku hladiny h její hodnotou v novém označení, tedy

b+h. Změna v rovnicích hybnosti se tedy týká pouze členů gradientu tlaku. Při odvození

rovnice vorticity (5.1.32) se členy s gradientem tlaku se opět vyruší, takže rovnice vorticity

zůstává stejná a neobsahuje explicitně členy s gradientem tlaku. Kombinujeme-li tuto rovnici

s rovnicí kontinuity (5.2.14) obdržíme opět zákon zachování potenciální vorticity ve tvaru

(5.1.35) 𝑑

𝑑𝑡(

휂

ℎ) = 0

(5.2.16)

Kde ovšem h je tloušťka vrstvy mělké vody. Pro formulaci schémat baroklinních modelů

atmosféry, se používá pojem absolutní potenciální vorticity pro barotropní atmosféru, která je

v 𝜎-systému definována jako absolutní vorticita dělená tlakem na orografické ploše 휂/𝑝𝑠, kde

𝑝𝑠 odpovídá tloušťce mělké vody. Horizontální gradient tlaku je ovšem pro 𝜎-systém odvozen

až v kapitole 7.

Dynamický tlak

V mnoha geofyzikálních systémech se hustota tekutiny mění relativně jen málo,

vzhledem k průměrné hodnotě hustoty této tekutiny. To vede k zavedení pojmu dynamického

tlaku. To platí rovněž i pro atmosféru, kde hustota vzduchu závisí hlavně na nadmořské

výšce. Maximální změny hustoty jsou pak při hladině moře a naopak ve velkých výškách je

pak hustota dána prakticky pouze nadmořskou výškou a její odchylky od její průměrné

hodnoty jsou minimální. Pro kapalinu můžeme tuto vlastnost napsat ve tvaru

𝜌 = 𝜌0 + 𝜌′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde 𝜌′ ≪ 𝜌0 (5.2.17)

pro atmosféru je pak 𝜌0 funkcí nadmořské výšky z, proto je

𝜌 = 𝜌0(𝑧) + 𝜌′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde 𝜌′ ≪ 𝜌0(𝑧) (5.2.18)

Pro tlak v kapalině, kde hustota kapaliny je konstantní, pak za předpokladu že kapalina je

v hydrostatické rovnováze, platí

𝑝 = 𝑝0(𝑧) + 𝑝′(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) kde 𝑝′ ≪ 𝑝0 (5.2.19)

Kde

𝑝0(𝑧) = 𝑝0 − 𝜌0𝑔𝑧

(5.2.20)

Pro atmosféru v hydrostatické rovnováze podle (5.2.19) je horizontální gradient tlaku roven

horizontálnímu gradientu 𝒑′(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕), proto jeho účinek v rovnicích hybnosti je stejný jako

pro celkový tlak p. Proto tlak 𝒑′můžeme nazvat dynamickým tlakem. V rovnicích mělké

vody horizontální gradient tlaku uvnitř vrstvy mělké vody nezávisí na výšce a je dán pouze

průběhem výšky hladiny mělké vody nad referenční rovinou, což je pro atmosféru úroveň

95

hladiny moře. V modelu s proměnnou výškou dna nad referenční rovinou je dynamický tlak

dán vztahem

𝑝 = 𝜌1𝑔(𝑏 + ℎ) (5.2.21)

V baroklinní atmosféře v hydrostatické rovnováze je tento tlak dán pouze vertikálním

rozložením hustoty nad uvažovaným bodem.

3. Dynamika modelu mělké vody

Uvažujme rychle rotující tekutinu, kde Coriolosovo zrychlení je spolu se zrychlením

daným silou horizontálního gradientu tlaku dominantní člen v rovnicích popisujících změnu

hybnosti tekutiny. Tak je tomu na povrchu rotující Země. Matematicky pohyb této tekutiny

popisují homogenní rovnice nejnižšího řádu rychle otáčejícího se vzduchu bez tření, které

jsou následujícím zjednodušeným tvarem pohybových rovnic.

−𝑓𝑣 = −1

𝜌0

𝜕𝑝

𝜕𝑥

(5.3.1)

𝑓𝑢 == −1

𝜌0

𝜕𝑝

𝜕𝑦

(5.3.2)

0 = −1

𝜌0

𝜕𝑝

𝜕𝑧

(5.3.3) 𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

(5.3.4)

Tyto všeobecně známé rovnice se nazývají geostrofickou aproximací a definují nám

geostrofický vítr. Z předchozích rovnic pro složky geostrofického větru dostaneme

𝑢 = −1

𝜌0𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑦 , 𝑣 =

1

𝜌0𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑥

(5.3.5)

Z předešlého víme, že složky rychlosti u, v i gradient tlaku nezávisí na výšce z uvnitř vrstvy

mělké vody. V rovnicích mělké vody tedy platí obdobně jako v atmosféře geostrofická

aproximace. Částice se pohybují podél čar stejného tlaku, a izobary jsou zároveň

proudnicemi.

Studujeme-li proudění v meridionálním pásu, který není příliš široký, můžeme

zanedbat změnu Coriolisova parametru f ve směru poledníků a položit f konstantní. Takový

systém v rovinné oblasti se nazýváme f – rovinou. V tomto případě derivováním předchozích

vztahů podle x a y dostaneme, že horizontální divergence geostrofického větru je nulová

𝑑 =𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

(5.3.6)

a z rovnice kontinuity máme 𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0

(5.3.7)

96

jejímž důsledkem je, že vertikální rychlost w je rovněž nezávislá na vertikální souřadnici.

Když kapalina se pohybuje po rovinné ploše, pak vertikální rychlost je nulová a proudění je

(přesně) striktně horizontální.

Homogenní geostrofické proudění nad nerovinným povrchem.

Studujme nyní rychle rotující tekutinu, jejíž proudění je geostrofické, ale podkladová

plocha (v meteorologii povrch Země) není rovinou. Jako příklad můžeme uvést pohyb

mělkého moře (homogenní kapalina) s tloušťkou od 20 do 50 metrů, kde vlny na hladině

tekutiny jsou řádu centimetrů.

Když proudění stoupá nebo klesá s podkladovou plochou, je vertikální rychlost

úměrná stoupání:

𝑤 = 𝑢𝜕

𝜕𝑥(𝐻 − ℎ) + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦(𝐻 − ℎ) = −𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑥− 𝑣

𝜕ℎ

𝜕𝑦

(5.3.8)

Kde h je tloušťka tekutiny měřená k hladině a H je konstantní referenční tloušťka tekutiny.

Obrázek 5.3. K problému vertikálních pohybů v okolí izolovaných hrbolů

H-h je tedy stoupání dna (podkladové plochy) vzhledem k referenční ploše. Podle předchozí

analýzy je vertikální rychlost konstantní v celé tloušťce vrstvy. Protože vertikální rychlost na

hladině je rovna nule, musí být nulová i vertikální rychlost na podkladové ploše. To znamená,

že

𝑢𝜕ℎ

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(5.3.9)

a proudění to zabraňuje stoupat a klesat podle dna (podkladové plochy). Tato vlastnost má za

následek. Jestliže v topografii dna se vyskytují izolované hrboly, (nebo prohlubně) na jinak

rovinné ploše, pak tekutina se nepohybuje přes ně, ale musí je obcházet. Vertikální „ztrnulost“

způsobuje ono obcházení hrbolů. Podobně u prohlubní. Takové stálé válce tekutiny kolem

hrbolů, nebo prohlubní se nazývají Taylorovy sloupce.

V oblastech s rovinným podkladem můžeme geostrofické proudění pokládat

z vzorové, odpovídající počátečním podmínkám. Jestliže ale podkladová plocha má nenulové

stoupání, pak prouděná tekutiny není geostrofické, ale sleduje čáry stejné hloubky,(anglicky

97

isobaths). Tyto čáry se někdy nazývají geostrofickými čarami. Čáry stejné hloubky jdoucí od

hranice k hranici oblasti neurčují žádné proudění, jinými slovy vzduch prochází bočními

hranicemi dovnitř i ven. Tím je proudění jednoduše blokováno. Volné geostrofické proudění

může fungovat pouze podél uzavřených čar stejné hloubky.

Literatura:

[1] Cushman-Roisin Benoit: Introduction to Geophysical Fluid Dynamics, Prentice Hall,1994

[2] Thompson Phillip D.: Numerical Weather Analysis and Prediction, The MackMillan

Company New York 1961

98

6. Formulace prognostických rovnic na zemské sféře

V předchozích kapitolách jsme formulovali a studovali rovnice, kterými se řídí vývoj

atmosféry pouze v lokálním kartézském systému souřadnic. Pro předpověď a modelování

atmosféry však potřebujeme tyto úlohy řešit na relativně velké oblasti Země, kde již zakřivení

zemské sféry nelze zanedbat. Proto musíme řídící rovnice formulovat pro sférickou plochu.

K tomu se používají obvykle buďto sférické zeměpisné souřadnice , , nebo kartézský

systém souřadnic na některé z konformních map. Ten pak na povrchu zemské sféry vytváří

systém ortogonálních křivočarých souřadnic. My oba tyto systémy budeme studovat

současně, když tyto křivočaré souřadnice zavedeme obecněji. Budeme pouze požadovat, aby

tyto křivočaré souřadnice tvořily ortogonální systém. Oba jmenované předchozí systémy pak

jsou jejím zvláštním případem. Tyto souřadnice se týkají povrchu zemské sféry, tedy

horizontální plochy, proto se zde při formulaci omezíme na rovnice mělké vody. Souřadnicím

na vertikální ose, které jsou používány v obecných baroklinních modelech, bude věnována

samostatná kapitola. Pro formulaci rovnic v ortogonálním křivočarém systému souřadnic

vyjdeme ze studia diferenciálních operátorů v tomto novém systému souřadnic.

6.1 Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích

V dynamické meteorologii se používají následující čtyři diferenciální operátory. V kartézských souřadnicích můžeme tyto operátory definovat vztahy:

Gradient skalární funkce z,y,xf je třírozměrný vektor definovaný vztahem

kjiz

f

y

f

x

fff

grad (6.1.1)

Divergence vektoru v= w,v,u je skalární funkce definovaná vztahem

z

w

y

v

x

u

vvdiv (6.1.2)

Rotace vektoru v= w,v,u je vektorová funkce definovaná vztahem

kji

kji

vvv

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

wvu

zyxcurlrot . (6.1.3)

Horizontální složka rotace, složka u souřadnicového vektoru k, se v meteorologii nazývá

vorticita.

Laplaceův operátor

Aplikujeme-li na skalární funkci f operátor gradient a pak operátor divergence, dostáváme

Laplaceův operátor

fzyx

fff

2

2

2

2

2

22

(6.1.4)

Operátory gradient, divergence a Laplaceův operátor se obdobně definuje i ve

dvourozměrném případě.

99

Pro meteorologické modely se používají pro určení polohy bodů na povrchu referenční

kulové plochy aproximující povrch Země systémy ortogonálních křivočarých souřadnic. To

mohou být jednak zeměpisné souřadnice, nebo z nich odvozené systémy vzniklé otáčením

zeměpisných souřadnic, tak, že osa a póly těchto systémů souřadnic neleží již na ose rotace

Země. Další možností je použití kartézského systému souřadnic na některé z konformních

map, jehož obrazem na zemské sféře je ortogonální systém křivočarých souřadnic.

Z předpokladu, že studujeme pouze ortogonální systémy křivočarých souřadnic dvou

proměnných x, y, vyplývá z výsledků diferenciální geometrie uvedených v druhé kapitole, že

nenulové jsou pouze dva koeficienty první diferenciální formy (metrického tenzoru), které

jsou čtverci Lameových koeficientů a které označujeme y,x hh . První diferenciální forma má

v tomto případě jednodušší tvar (bez členů, které jsou součinem dx. dy)

22222 dyhdxhdl yx (6.1.5)

Všimněme si ještě vyjádření vektoru rychlosti uvažované částice v systému ortogonálních

křivočarých souřadnic. Připomeňme, že repér je lokální kartézský systém souřadnic, jehož

souřadnicovými vektory jsou jednotkové vektory tečné k parametrickým křivkám. Neboť

xhx a yhy jsou skutečné vzdálenosti ve směru souřadných os lokálního repéru, které urazí

částice za čas t , definujeme složky horizontální rychlosti větru v = (u,v) vztahy

dt

dyhv,

dt

dxhu yx (6.1.6)

Vyjádření gradientu v ortogonálních křivočarých souřadnicích

Nejjednodušší z vyjádření diferenciálních operátorů v ortogonálních křivočarých

souřadnicích je vyjádření gradientu skalárního pole, který si uvedeme pro dvě dimense.

Uvažujeme-li ortogonální lokální repér, pak skutečné délky ve směru vektorů repéru jsou

dány vztahy dxhds xx a obdobně dyhds yy odkud

jijiy

f

hx

f

hs

f

s

ff

yxyx

11 grad (6.1.7)

Obdobný vztah platí i pro tři dimenze.

Složitější je situace s operátory rotace a divergence. K tomu použijeme jejich integrální

definice.

Integrální definice rotace a vyjádření vorticity v křivočarých souřadnicích

Nechť v je vektorové pole rychlosti proudění tekutiny a P je pevně zvolený bod uvnitř

tekutiny. Bodem P proložme libovolnou rovinu tak, aby její orientaci určoval paprsek určený

vektorem o, kolmým k rovině, ležícím ve směru normály roviny, vycházející z bodu P.

V této rovině veďme kolem bodu P uzavřenou neprotínající se křivku a na ní je kladný směr

orientace, což je ten směr, který při pohledu proti paprsku o, je proti smyslu pohybu

hodinových ručiček. Průmět vektoru v do směru elementu ds této křivky označme 𝐯𝑠 a

utvořme křivkový integrál podél uzavřené křivky S, tedy

ds sv (6.1.8)

100

Nechť s je obsah plochy vymezené uzavřenou křivkou S. Rotaci vektoru v, vzhledem k ose

o, definujeme jako limitu

ds

slim vv

1roto , pro 0s (6.1.9)

Je-li v spojitě diferencovatelná funkce, limita existuje a nezávisí na tvaru křivky.

Najdeme si nyní vyjádření vorticity , v meteorologii nazývané rotace horizontálního pole

větru vzhledem k svislé ose z.

v,uzrot (6.1.10)

Tuto veličinu nyní vyjádříme v obecných křivočarých ortogonálních souřadnicích x, y.

Za uzavřenou křivku vezmeme obdélník o stranách y,x jehož strany jsou rovnoběžné

s osami souřadnic. Průměty vektoru větru na strany obdélníka jsou přímo složky větru, které

bereme ve středech stran obdélníka. Plocha obdélníka s je rovna

yxhhs yx (6.1.11)

Skutečné délky stran obdélníka jsou zakresleny v diagramu

Obrázek 6.1 Obdélník v křivočarých souřadnicích pro vyjádření vorticity

Podle integrálního vztahu můžeme nyní psát

22-22[1

/yy,xu/yy,xhx/yy,xu/yy,xhxs

xx

]2222 y,/xxvy,/xxhyy,/xxvy,/xxhy yy

(6.1.12)

po přechodu k limitě máme

uh

yvh

xhhxy

yx

1 (6.1.13

což je vyjádření (relativní) vorticity v ortogonálních křivočarých souřadnicích.

101

Integrální definice divergence a její vyjádření v ortogonálních křivočarých souřadnicích

Nechť opět v je vektor prudění tekutiny a P pevně zvolený bod uvnitř tekutiny.

Obklopme jej uzavřenou neprotínající se plochou S. Nechť V je objem vymezený plochou.

Na ploše S zvolme plošku ds . Směr vnější normály k této ploše nechť je n. Ploškou ds

proteče za jednotku času množství tekutiny obsažené v šikmém válci, jehož základnou je ds a

jehož výškou je průmět vektoru v do směru vnější normály n. Označme tento průmět nv

Tedy celkové množství tekutiny, které proteče ploškou za jednotku času je dsnv . Jestliže

tekutina proudí dovnitř objemu V je průmět vektoru v záporný. Sečteme-li dsnv po celé

ploše S dostaneme rozdíl mezi množstvím tekutiny, které plochou S vteče a vyteče. Výtok

z objemu V dělený objemem V se nazývá výtok z jednotky objemové. Existuje-li limita

tohoto podílu při 0V , nazýváme jí divergencí vektoru v. Tedy obecná integrální definice

divergence v trojrozměrném prostoru je

S

dsV

D nvv1

lim div kde 0V (6.1.14)

Za předpokladu, že v je spojitě diferencovatelná funkce místa, limita existuje a je nezávislá na

tvaru objemu V . Vyjádříme si nyní divergenci v křivočarých ortogonálních souřadnicích

tří-dimensionálního prostoru. Element délky je dán v tomto případě vztahem

2222222 dzhdyhdxhds zyx (6.1.15)

Kolem středu P opíšeme kvádr, jehož hrany jsou rovnoběžné s osami souřadnic a délky hran

v křivočarém systému jsou z,y,x . Skutečný objem kvádru je

zyx hhhzyxV (6.1.16)

Pro složky vektoru divergence Dx máme

z,y,/xxuz,y,/xxhhzyV

D zyx 22[1

lim

]22 z,y,/xxuz,y,/xxhhzy zy (6.1.17)

Po přechodu k limitě máme

uhh

xhhhD zy

zyx

x

1 (6.1.18)

Obdobné platí pro osy y a z. Celkovou divergenci tedy máme

whh

zvhh

yuhh

xhhhD yxzxzy

zyx

1 (6.1.19)

V meteorologických aplikacích bývá, například v z-systému 1zh . Divergence má pak tvar

z

wvh

yuh

xhhD xy

yx

1 (6.1.20)

Pro dvourozměrnou divergenci – divergenci horizontálního větru platí obdobný vztah

102

vh

yuh

xhhD xy

yx

1 (6.1.21)

Laplaceův operátor v ortogonálních křivočarých souřadicích pro dvě dimenze

V meteorologii se zejména v okrajových úlohách semi-implicitních schémat používá

Laplaceův operátor, samozřejmě v ortogonálních křivočarých souřadicích. Aplikujeme-li na

skalární funkci y,xf postupně operátor gradientu a pak operátor divergence dostaneme

vyjádření Laplaceova operátoru v ortogonálních křivočarých souřadicích. Máme tedy

y

f

h

h

yx

f

h

h

xhhff

y

x

x

y

yx

12 (6.1.22)

6.2 Použití diferenciálních operátorů pro přepis rovnic mělké vody do ortogonálních

křivočarých souřadnic

Pro přepis rovnic mělké vody vyjdeme z rovnic napsaných ve vhodném tvaru. Tento

postup zůstává stejný i pro obecnější rovnice baroklinních modelů v hydrostatickém

přiblížení, kde vertikální souřadnici považujme vždy kolmou k horizontálním souřadným

plochám a tato vertikální souřadnice je víceméně na horizontálních souřadnicích nezávislá.

Pro přepis rovnice kontinuity do křivočarých souřadnic vyjdeme z tak zvaného divergentního

tvaru

0

vh

yuh

xt

h (6.2.1)

Časová lokální změna je závislá pouze na poloze bodu a je na systému souřadnic nezávislá.

Divergenci vektoru vhuh, , která je celkovou hybností ve svislém sloupci mělké vody

napíšeme v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Tím bude přepis rovnice kontinuity do

ortogonálních křivočarých souřadnic proveden. Můžeme tedy psát

01

vhh

yuhh

xhht

hxy

yx

(6.2.2)

Provedeme-li derivování, můžeme psát tuto rovnici v advekčním tvaru

0x

vh

yuh

hh

h

y

h

h

v

x

h

h

u

t

hxy

yxyx

(6.2.3)

kde operátor advekce pro skalární veličinu je v ortogonálním křivočarém systému dán

vztahem

yh

v

xh

u

tdt

d

yx

(6.2.4)

103

a dále budeme dt

d označovat právě tento operátor, zde uvedený pro dvojdimensionální

případ. Poznamenejme, že pro vektorovou veličinu má advekce ještě další, tak zvané metrické

členy.

Protože divergence D je v ortogonálním křivočarém systému daná vztahem

vh

yuh

xhhD xy

yx

1 (6.2.5)

můžeme rovnici kontinuity psát i v našem případě stručněji ve tvaru

0 Dhdt

dh (3.2.6)

Rovnice hybnosti pro přepis do křivočarých souřadnic použijeme ve tvaru s vorticitou

a gradientem celkové energie. Tento tvar rovnic je uveden v kapitole „Rovnice mělké vody“.

Označíme-li, jak je obvyklé, geopotenciál hladiny mělké vody řeckým písmenem , je tedy

gh (6.2.7)

a rovnice pro změnu hybnosti můžeme psát následovně

0

K

xv

t

u (6.2.8)

0

K

yu

t

v (6.2.9)

Pro systém ortogonálních křivočarých souřadnic má absolutní vorticita , která je rovna

součtu relativní vorticity a Coriolisova parametru yxf , tvar

f , kde

uh

yvh

xhhxy

yx

1 (6.2.10)

a kde K je kinetická energie

22

2

1vuK .(6.2.11)

V rovnicích hybnosti je třeba napsat rovněž gradient součtu K v systému ortogonálních

křivočarých souřadnic. Fyzikální význam součtu K , tedy součtu potenciální a kinetické

energie, je celková energie svislého sloupce mělké vody. Rovnice mělké vody můžeme tedy v

systému ortogonálních křivočarých souřadnic psát ve tvaru

02

11 22

vu

xhvfuh

yvh

xhhv

t

u

x

xy

yx

(6.2.12)

02

11 22

vu

yhufuh

yvh

xhhu

t

v

y

xy

yx

(6.2.13)

provedeme-li derivování a sečteme-li příslušné členy a v zápisu použijeme operátor advekece

můžeme rovnice hybnosti pro mělkou vodu psát ve tvaru

011

xhv

y

hu

x

hv

hhf

dt

du

x

xy

yx

(6.2.14)

104

011

yhu

y

hu

x

hv

hhf

dt

dv

y

xy

yx

(6.2.15)

Členy

y

hu

x

hv

hh

xy

yx

1 násobené složkami větru u, respektive v nazýveme

metrickými členy. Tyto členy vyjadřují zdánlivou změnu hybnosti způsobenou zakřivením

souřadnic. Všimněme si také, že vektor této zdánlivé síly je stejně tak jako vektor

Coriolisových členů kolmý v každém bodě k vektoru horizontální rychlosti, o čemž se snadno

přesvědčíme pomocí skalárního součinu těchto vektorů. Je to logické, neboť v opačném

případě by tyto členy způsobovaly změnu celkové hybnosti částice.

Rovnici kontinuity můžeme napsat také pro geopotenciál hladiny mělké vody , když

rovnici kontinuity násobíme konstantou tíhového zrychlení země, máme

0

Ddt

d (6.2.16)

Na základě předchozí teorie si nyní si rozepíšeme tyto rovnice jednak pro ortogonální systém

sférických souřadnic, který tvoří zeměpisné souřadnice, a jednak pro systém který je

definován kartézským systémem na konformní mapě.

6.3 Ortogonální systém sférických souřadnic

Tento systém souřadnic na referenční sféře, která aproximuje povrch Země, tvoří

rovnoběžky a poledníky. Souřadnicí na rovnoběžkách je úhel měřený v obloukové míře, od

Greenwichského poledníku kladně orientovaný směrem k východu. Tato souřadnice se

nazývá zeměpisná délka a označuje řeckým písmenem . Na poledníkách je souřadnicí úhel

v obloukové míře s nulovou hodnotou na rovníku, kladně orientovaný k severu, nazývaný

zeměpisnou šířkou. V moderní literatuře se často místo zeměpisné šířky používá úhlová

pólová vzdálenost , což je úhel měřený od severního pólu směrem k jihu. Se zeměpisnou

šířkou souvisí vztahem 2/ .

V meteorologii považujeme vertikální tloušťku atmosféry vzhledem k velikosti Země

za tenkou vrstvu, proto v rámci matematického zjednodušení měříme horizontální vzdálenost

dvou bodů vždy po povrchu zemské sféry, jejíž poloměr označujeme a. Toto zjednodušení má

za následek i zjednodušení rovnic hybnosti, které Norman Phillips formuloval a nazval

„tradičními aproximacemi“. V modelech je obvykle zvoleno a = 6 371 km. V modelu

ALADIN je použito a = 6 371 229 m.

Ortogonálními křivočaré souřadnice x, y, jsou v tomto případě sférickými

souřadnicemi a jsou tedy vlastně definovány vztahy

y,x (6.3.1)

Lameovy koeficienty jsou rovny

cosahhx , ahhy , (6.3.2)

složky vektoru horizontální rychlosti větru jsou tedy dány vztahy

dt

dcosa

dt

dxhu x

,

dt

da

dt

dyhv y

(6.3.3)

105

Dosazením hodnot Lameových koeficientů do předchozích obecnějších vztahů obdržíme

diferenciální operátory ve sférických souřadnicích ve tvaru:

gradient jiji

f

a

f

cosay

f

hx

f

hff

yx

1111 grad (6.3.4)

divergenci

vh

yuh

xhhD xy

yx

1

vcos

u

cosaD

1v (6.3.5)

relativní vorticitu

ucos

v

auh

yvh

xhhxy

yx

11

(6.3.6)

Laplaceův operátor

fcos

f

coscosay

f

h

h

yx

f

h

h

xhhff

y

x

x

y

yx

2

2

2

2 111

(6.3.7)

Operátor advekce pro skalární veličinu má tvar

a

v

cosa

u

tyh

v

xh

u

tdt

d

yx

(6.3.8)

Rovnice hybnosti pro mělkou vodu můžeme psát v advekčním tvaru

01

cosavtg

a

uf

dt

du (6.3.9)

01

autg

a

uf

dt

dv (6.3.10)

rovnici kontinuity můžeme psát ve stejném stručném tvaru

0

Ddt

d . (6.3.11)

6.4 Systém ortogonálních křivočarých souřadnic, definovaných pomocí konformní mapy

Pro modely na omezené oblasti se nejčastěji používá zobrazení povrchu Země na

některé z konformních map. Konformní zobrazení má ty přednosti, že zachovává velikost

úhlů a zkreslení v daném bodě je ve všech směrech stejné. Na konformní mapě tedy platí, že

Lameovy koeficienty ve směru obou parametrických křivek jsou si rovny a pro všechny body

platí rovnost yx hh . Pro konformní zobrazení se všechny matematické vztahy značně

zjednoduší a rovnice lze dále upravit, zjednodušit.

Protože kartografická zobrazení zobrazují část povrchu Země na mapu vzájemně

jednoznačně, můžeme na zemské sféře definovat systém ortogonálních křivočarých souřadnic

tak, že tento systém souřadnic je obrazem kartézské soustavy souřadnic na konformní mapě

při inversním zobrazení.

Pro konformní mapy se místo Lameových koeficientů používá koeficient zkreslení

mapy, který se obvykle označuje písmenem m a jeho kvadrát označujeme písmenem s. Pro

tyto veličiny tedy platí vztahy

106

yx hhm

1

a 2ms (6.4.1)

metrická základní forma plochy má pak tvar

22

2

2 1dydx

mdl (6.4.2))

Složky skutečného větru jsou pak definovány vztahy

dt

dy

mv,

dt

dx

mu

11 (6.4.3)

Pro zkrácení zápisu rovnic zavedeme pojem „modelový vítr“ *v , jehož složky nechť jsou ** v,u . Tento modelový vítr je definován vztahy

m

vv,

m

uu ** (6.4.4)

Na tomto místě bych chtěl upozornit, že tento modelový vítr není průmětem větru na

konformní mapu, tedy rychlostí jakou se pohybuje zvolený bod po konformní mapě, neboť

rychlost pohybu po konformní mapě je dána složkami mv,mu , tato rychlost pro modelový

vítr je tady sv,su . Tato skutečnost je důležitá pro semi-Lagrageovská schémata.

Pro takto zavedené nové označení přepíšeme diferenciální operátory pro souřadnice

konformní mapy a pak dosadíme do rovnic mělké vody ve tvaru s vorticitou a gradientem

celkové energie (tak zvaný invariantní tvar rovnic). Diferenciální operátory mají pro

souřadnice konformní mapy tvar:

gradient

jiy

fm

x

fmff

grad (6.4.5)

divergence

y

v

x

us

m

v

ym

u

xsD

**

(6.4.6)

relativní vorticitu

y

u

x

vs

m

u

ym

v

xs

**

(6.4.7)

Laplaceův operátor

2

2

2

22

y

f

x

fsff (6.4.8)

Operátor advekce pro skalární veličinu má tvar

yv

xus

tyv

xum

tdt

d ** (6.4.9)

Pomocí složek modelového větru můžeme napsat i kinetickou energii. Máme

22

122

22** vu

svuK

(6.4.10)

Vydělíme-li rovnice (**) zkreslením mapy m, dosadíme-li do těchto rovnic za Lameovy

koeficienty zkreslení mapy a místo skutečného větru použijeme modelový vítr, máme

107

0

K

xv

t

u **

(6.4.11)

0

K

yu

t

v **

(6.4.12)

Zde jsme ovšem použili skutečnosti, že koeficient zkreslení mapy nezávisí na čase a tudíž

platí t

u

m

u

tt

u

m

*

1 a obdobný vztah platí i pro v.

Dostali jsme tak rovnic hybnosti, tak zvaném invariantním tvaru v souřadnicích konformní

mapy. Chceme-li dostat advekční tvar rovnic, který se používá zejména při semi-

Lgrangeových metodách, budeme postupovat stejně, jako v kapitole „Rovnice mělké vody“.

Dosadíme do rovnic za absolutní vorticitu její tvar pro modelový vítr a derivujeme člen

s kinetickou energií. Označme ještě formálně

2

22 *** vu

K

(6.4.13)

obdobu skutečné kinetické energie pro složky modelového větru. Skutečná kinetická energie

je pak rovna *sKK a můžeme psát

x

sK

x

KssK

xx

K **

*

a obdobně

y

sK

y

KssK

yy

K **

*

(6.4.14)

Při derivování kinetické energie vyjádřené pomocí složek modelového větru dostáváme tedy

ještě v každé rovnici jeden člen navíc. Jsou to tak zvané metrické členy x

sK *

a

y

sK *

.

Rovnice můžeme psát v advekčním tvaru následovně

0

xx

sKfv

y

uv

x

uus

t

u ***

**

**

(6.4.15)

0

yy

sKfu

y

vv

x

vus

t

v ***

**

**

(6.4.16)

Rovnici kontinuity pak buďto v divergentním tvaru

0

** vy

ux

st

(6.4.17)

nebo advekčním tvaru

0

y

v

x

us

yv

xus

t

****

(6.4.18)

Poznamenejme, že používáme-li v modelu vektor a složky modelového větru, pro

zjednodušení zápisu a zejména programů neoznačujeme je obvykle hvězdičku, a složky

modelového větru místo *u a *v označujeme jednoduše jako u a v . V tomto případě, rovnice

až na součinitel čtverce zkreslení mapy s a metrických členů, jsou velmi podobné rovnicím

napsaným v kartézském systému souřadnic.

108

Literatura:

[1] Brdička Miroslav, Ladislav Samek, Bruno Sopko: Mechanika kontinua, ACADAMIA

Praha 2000.

[2] Methods in Computational Physics, Volume 17. General Circulation Models of the

Atmosphere, Volume editor: Julius Chang. (Arakawa - Leng), Academic Press 1977.

[3] Numerical Methods used in Atmospheric Models, Volume II.(Williamson D.), GARP

Publication Series No. 17, 1979.

109

7. Systémy vertikálních souřadnic, klasická teorie

Pro studium problému použití systémů souřadnic pro modelování vývoje atmosféry si

shrňme některé nejdůležitější předpoklady a výsledky obsažené v předchozích kapitolách.

Chci zde zdůraznit, že předkládaná klasická teorie transformace vertikálních souřadnic se týká

modelů synoptického měřítka a vychází z předpokladu, že atmosféra na Zemi tvoří tenkou

vrstvu. V této vrstvě jsou pohyby atmosféry synoptického měřítka kvasi-horizontální. Proto je

možné pro formulaci rovnic použít „Tradiční aproximace“ studované ve čtvrté kapitole. Pro

numerické modelování v meteorologii jsou používány rovnice v Eulerově tvaru. Jsou tedy

formulovány pro změny fyzikálních veličin v pevně zvolených bodech prostoru.

Meteorologické modely počítají předpověď meteorologických prvků pro rozsáhlá území na

povrchu Země. Nemůžeme proto zanedbat zakřivení zemské sféry. Pro určení polohy bodů

v prostoru se v meteorologii jako základní systém souřadnic používá tak zvaný z-systém. Je to

ortogonální systém křivočarých souřadnic x, y, z. Tento systém souřadnic je zvolen tak, že x, y

jsou souřadnicemi dávajícími polohu bodu na povrchu zemské sféry. Vertikální souřadnice z

je kolmá k povrchu Země, směřuje směrem vzhůru a její počátek leží v úrovni hladiny moře.

Tato plocha je povrchem Geoidu a je plochou konstantního geopotenciálu. V meteorologii je

tento systém spojen pevně s rotující Zemí. Není tedy inerciální a v rovnicích se proto objevují

Coriolisovy členy. Jako systém souřadnic určující polohu na Zemi můžeme zvolit zeměpisné

souřadnice , . Tato volba se používá zejména pro globální modely. Pro modely na

omezené oblasti je používán kartézský systém v rovině konformní mapy. Vzhledem k tomu,

že zemská atmosféra ve srovnání s horizontálními rozměry zemského povrchu tvoří nad

povrchem Země pouze tenkou vrstvu, pokládáme Lameovy koeficienty yx h,h ve směru

vertikální souřadnice z konstantní. Lameovy koeficienty yx h,h jsou tedy funkcemi pouze

horizontálních souřadnic x, y. Svislé osy souřadnic ve všech bodech y,x můžeme proto

chápat jako rovnoběžné. Vzdálenost dvou bodů měříme tedy vždy po povrchu země. Ve

skutečnosti na sférické ploše by svislé osy v každém bodě ležely na polopřímce vycházející ze

středu Země a nebyly by tedy rovnoběžné. To, že tuto skutečnost v meteorologii

zanedbáváme, je součástí tak zvaných „tradičních aproximací“ (N.Phillips [5]), o kterých

jsme pojednali v kapitole 4. Pro formulaci rovnic popisujících vývoj atmosféry potřebujeme

přirozeně ještě jednu nezávisle proměnnou. Touto proměnnou je čas t.

V meteorologii není v současné době příliš obvyklé na vertikální souřadné ose

používat jako nezávisle proměnnou souřadnici geometrickou výšku z, měřenou od povrchu

referenčního geoidu, neboli od hladiny moře. V dynamické i synoptické meteorologii se pro

studium atmosféry od padesátých let minulého století nejčastěji používá na vertikální ose jako

souřadnice atmosférický tlak. Tento systém se nazývá p-systém a byl poprvé použit

Eliassenem v roce 1949, [2]. Nicméně pro transformaci rovnic vyjdeme ze z-systému, jako ze

základní soustavy souřadnic, neboť na rozdíl od systémů souřadnic studovaných dále, se v z-

systému souřadnice pevně zvolených bodů v prostoru s časem nemění. z-systém tedy

odpovídá původní Eulerově formulaci rovnic. Pro systémy souřadnic s novou nezávisle

proměnnou na vertikální ose, kterou nazýváme zobecněnou vertikální souřadnici, je

charakteristické, že plochy konstantního x a y zůstávají stejné, tedy jinými slovy horizontální

110

souřadnice bodů x,y se při přechodu k jiné vertikální souřadnici nemění. Pouze na vertikální

ose je jako souřadnice zvolena jiná fyzikální veličina, která je však pro pevně zvolený bod

funkcí času. V meteorologii se jako zobecněná vertikální souřadnice používá nejčastěji tlak,

což je přirozené, neboť vzhledem k tlaku p jsou měřeny a vyhodnocovány také výstupy

radiových sond. Pro některé teoretické práce je jako vertikální souřadnici výhodné použít

potenciální teplotu označovanou , nebo 0/lg pp . Při teoreticky správném postupu v

systémech zobecněné vertikální souřadnice dostáváme soustavu křivočarých souřadnic, kde

souřadnicovými plochami pro konstantní x, nebo konstantní y jsou svislé k sobě kolmé svazky

ploch, avšak plochy konstantní zobecněné vertikální souřadnice jsou, nahlíženo z hlediska z-

systému, plochami v prostoru zakřivenými a navíc tyto plochy se souřadnými rovinami x, y

netvoří ortogonální systém souřadnic. Vzhledem k poměru vertikálních k horizontálním

rozměrům atmosféry pro synoptické měřítko předpokládáme, že svislé přímky svírají s

plochami konstantní vertikální souřadnice konsts přibližně pravý úhel a plochy konsts

jsou tedy přibližně horizontální. Vzdálenosti mezi body na těchto plochách měříme pak po

povrchu Země, tedy pro .konstz To vede k určitým problémům. Důsledkem toho je velmi

zjednodušená práce s vektorovými veličinami. Zavádí se proto pojem horizontálního vektoru

větru, což můžeme interpretovat jako průmět vektoru větru do horizontální roviny v z-

systému. Obdobně se zavádí pojem horizontálního gradientu tlaku.

Pro předpovědní modely synoptického měřítka, které splňují hydrostatickou rovnici,

tedy tak zvané modely v hydrostatickém přiblížení, se v současné době používají většinou

prakticky pouze dva systémy vertikální souřadnice. Tyto systémy jsou odvozeny od vertikální

souřadnice tlaku p a mají tu vlastnost, že zemský povrch je v nich souřadnicovou plochou,

proto se jim také říká „systémy kopírující terén“. Tato vlastnost je velmi vhodná pro

formulaci evolučních úloh popisujících vývoj atmosféry a je velmi důležitá pro jejich

numerické řešení. První z těchto systémů formuloval N. Philips [5]. Vertikální souřadnice

označována byla definována vztahem spp / , kde sp je tlak na povrchu země, tedy na

orografické ploše. Druhý používaný systém vertikální souřadnice, tak zvaný hybridní systém

vertikální souřadnice, nazývaný též -systém, podle označení vertikální souřadnice, byl

vyvinut A. J. Simmonsem a D. M Burridgem [9] v ECMWF (European Centre for Medium

Range Wether Forecast) v Redingu ve Velké Britanii. Oba tyto systémy se používají

v současných provozních meteorologických předpovědních modelech.

V této kapitole všechny následující úvahy o nových zobecněných systémech vertikální

souřadnice vycházejí z předpokladu, že atmosféra, i když se mění, se v každém okamžiku

nachází v hydrostatické rovnováze. V atmosféře zanedbáváme vliv setrvačné hmoty na

pohyby ve vertikálním směru. Rovnice pro změnu vertikální složky hybnosti se redukuje na

hydrostatickou rovnici. Důsledkem toho je, že vertikální rychlosti jsou dány třírozměrným

polem divergence horizontálního větru a k výpočtu vertikálních rychlostí nám stačí použít

pouze rovnici kontinuity.

111

7.1 Transformace rovnic ze z-systému do systému se zobecněnou vertikální

souřadnicí s.

Standardní postup formulace rovnic dynamiky atmosféry v systémech s jinou, zcela

obecně zvolenou, vertikální souřadnicí, než geometrickou výškou z, za předpokladu, že

atmosféra je v hydrostatické rovnováze, byl po prvé popsán Akirou Kasaharou v roce 1974 v

článku [3]. Do učebnice [4] z roku 1979 byla tato teorie zařazena do první kapitoly, jejímž

autorem je švédský meteorolog Hilding Sundqvist. Tato teorie ovšem, jako zvláštní případ,

zahrnuje i transformaci do p-systému vertikální souřadnice, kde vertikální souřadnicí je tlak p,

který je již delší dobu používán jako základní systém v dynamické meteorologii. Pro odvození

rovnic v systému s novou vertikální souřadnicí je možné jako výchozí systém zvolit i jiný

systém, než z-systém, například p-systém. Tento postup zvolil již v roce 1956 Norman

Phillips ve svém fundamentálním, i když pouze v dvoustránkovém článku [5], ve kterém

formuluje -systém a odvozuje systém řídících rovnic v tomto novém systému.

My vyjdeme ze systému rovnic formulovaných v z-systému. Novou vertikální

souřadnici s na ose z, která se nazývá také zobecněnou vertikální souřadnicí, definujeme

spojitou diferencovatelnou funkcí tzyxss ,,, , která má tu vlastnost, že pro pevně zvolené

x, y, t je vztah mezi z a s monotónní a existuje tedy inversní funkce, kterou označme

tsyxzz ,,, . Ve skutečnosti, což uvidíme dále, můžeme tuto záměnu proměnných

definovat zadáním funkce tsyxzz ,,, , aniž bychom potřebovali vyjádřit funkci

tzyxss ,,, explicitně. Systém souřadnic x, y, s , t se nazývá s-systémem.

Studium transformací mezi jednotlivými systémy vertikální souřadnice začneme

vyjádřením parciálních derivací skalární funkce )t,z,y,x(f v nové soustavě vertikální

souřadnice. Protože skalární funkci v každém bodě v prostoru a čase odpovídá stejná hodnota,

nezávislá na soustavě souřadnic, můžeme tuto funkci v s-systému vyjádřit vztahem

)),,,,(,,(),,,( ttsyxzyxftsyxF (7.1.1)

Poznamenejme, že F je z matematického hlediska jiná funkce než f a je také funkcí jiných

proměnných. Derivujeme-li nyní předchozí vztah parciálně podle , kde je postupně

tyx ,, , dostáváme

z

z

ffF (7.1.2)

a také

s

z

z

f

s

F

(7.1.3)

s použitím vztahu pro derivaci inversní funkce máme též

s

F

z

s

z

f

(7.1.4)

Dosazením vztahu (7.1.4) do (7.1.2) dostáváme

s

fz

z

sFf

(7.1.5)

V meteorologii je obvyklé funkce f a F nerozlišovat a označovat je stejně, například malým f.

Abychom rozlišili jejich parciální derivace, které jsou rozdílné, označujeme je, hrozí-li

112

nedorozumění, dolními indexy z, nebo s, podle souřadného systému, ve kterém je funkce

derivována. Je tedy

f totéž co

z

f

a

F totéž co

s

f

, což má tu výhodu, že se zápis týká pouze

operátorů derivování a nemusíme vypisovat konkrétní skalární proměnnou a vztahy (7.1.4)

můžeme psát ve tvaru

sz

s

z

(7.1.6)

Indexy s a z tam, kde nehrozí nedorozumění, jsou vynechány. Vztah (7.1.5) pak píšeme ve

tvaru

s

z

z

s

ssz

(7.1.7)

Předchozí postup je matematicky přesný, ale nenázorný, proto, abychom si situaci lépe

uvědomili, podáme názorné, ve fyzice často používané odvození pomocí diferencí a limitního

přechodu. K těmto úvahám vyjdeme z následujícího obrázku.

Obrázek 7.1 Transformace do s-systému vertikální souřadnice

Na obrázku 7.1 jsou v rovině řezu svislou rovinou .consty zobrazeny body, označené 0 a 1

ležící v hladině konstantního z a body 0 a 2 ležící na ploše konstantního s. Z obrázku je vidět,

že máme-li zadánu nějakou skalární funkci f a chceme-li vyjádřit její parciální derivace podle

x v bodě 0 v z-systému a s-systému a odvodit vztah mezi nimi, můžeme postupovat

následovně. Derivaci funkce f podle x v z-systému, tedy při konstantním z, můžeme vyjádřit

limitou kde 0x

x

fflim

x

f

z

01 (7.1.8)

zatímco derivaci funkce f podle x v s-systému, tedy při konstantním s limitou

113

x

fflim

x

f

s

02 (7.1.9)

Všimněme si zde, že předchozí vztah není zcela korektní, neboť horizontální vzdálenost x je zde měřena pro z konstantní, nikoliv správně pro s konstantní. To je ovšem v souvislosti

s „tradičními aproximacemi“, kde atmosféra tvoří na povrchu Země jen tenkou vrstvu a pro

všechny vertikální systémy souřadnic měříme vzdálenost po povrchu Země, tedy vlastně v z-

systému. Aproximaci v předchozím vztahu odpovídá to, že ve vztahu (7.1.1) pro odvození

vztahů mezi derivacemi je novou funkcí souřadnic x, y, s, t pouze souřadnice z a souřadnice x,

y, zůstávají stejné.

Z obrázku je patrné, že

x

ff

x

fflim

x

fflim

x

f

z

120201 (7.1.10)

Limita prvního členu je dána (2.8) a limitu druhého členu upravíme následovně

s

f

z

s

x

z

s

ff

z

s

x

zlim

x

fflim

1212 (7.1.11)

Dosazením do vztahu (7.1.10) máme

s

f

z

s

x

z

x

f

x

f

ssz

(7.1.12)

Tím jsme dostali pro x vztah shodný se vztahem (7.1.7). Poznamenejme, že derivace z

s

je nazývána koeficientem roztažení, anglicky „stretching factor“.

Transformace operátorů horizontálního gradientu a divergence do s-systému

Na základě vztahů (7.1.6) a (7.1.7) můžeme napsat vztah mezi horizontálním

gradientem v s a z-systému.

Máme

sz

szssz

(7.1.13)

a obdobně pro divergenci horizontálního vektoru větru v,uv máme

z

s

szssz

vvv (7.1.14)

Poznámky k transformaci vertikální souřadnice

Při této transformaci je použito několik zjednodušení, i když se o nich většinou

nemluví. Na tato zjednodušení se nyní podívejme. Zcela jistě nám to více objasní situaci

souřadnicových systémů používaných v předpovědních modelech synoptického měřítka.

Tato zjednodušení jsou následující:

1. Při transformaci do systémů nové zobecněné vertikální souřadnice zůstávají

horizontální souřadnice x, y stejné, jako v z-systému. Polohu bodů definujeme

tedy souřadnicemi na povrchu zemského geoidu, tedy pomocí geografických

souřadnic, nebo kartézského systému souřadnic na konformní mapě. Tyto

114

horizontální souřadnice tvoří vždy na ploše stejného geopotenciálu ortogonální

křivočarý systém. Transformace do zobecněného systému vertikální souřadnice se

tedy provádí pouze na ose z, kde poloha bodů je určena novou souřadnicí s. Ve

skutečných křivočarých souřadnicích v trojrozměrném prostoru by souřadnice x, y

znamenaly něco jiného, parametrické křivky na s-plochách, jinak řečeno,

průsečnice plochy consts s plochami constx a consty . Tento systém

souřadnic x, y, by nebyl ortogonálním systémem, ale podle diferenciální geometrie

afinním systémem křivočarých souřadnic. V důsledku toho i vzdálenost by byla

vyjádřena obecným tvarem první diferenciální formy plochy a nebyla by již

vyjádřena jednoduše pomocí Laméových koeficientů. Pro hodnoty skalárních

funkcí nečiní tato transformace problém. Pro jejich derivace je již situace jiná.

Z tohoto hlediska je derivace v z-systému (7.1.8) aproximována správně, zatímco

derivace (7.1.9) v s-systému aproximována jenom přibližně, protože vzdálenost

x je brána stejně v z-systému na plochách stejného geopotenciálu a ne po s-

ploše. Proto gradient skalární funkce vzhledem k proměnným x, z, musíme chápat

jako horizontální gradient, stejně tak, jako složky horizontálního větru. Podle

definice našeho s-systému je ovšem aproximace (7.1.9) provedena obdobně, je

však užitečné, abychom si tuto skutečnost uvědomili. V odvození transformací

derivováním je toto zjednodušení dáno tím, že ve vztahu (7.1.1) je funkcí t,s,y,x

pouze nezávisle proměnná z, zatímco nezávisle proměnné x, y, zůstávají v novém

vertikálním systému stejné, a nezávisí tedy na ostatních souřadnicích.

Podívejme se nyní, jaký maximální úhel může svírat s-plocha kopírující terén

s horizontální rovinou v modelech synoptického měřítka. Vezměme například

globální model s horizontálním krokem x 100 km a náběh na pohoří Himaláje o

průměrné výšce 7 km. Potom maximální úhel stoupání do Himaláje z výšky

hladiny moře do výšky 7 km na vzdálenosti jednoho kroku v síti 100 km vypočteme

ze vztahu 04070 .arctgx/varctg . Obrázek 7. 2.

Obrázek 7. 2. Úhel s-souřadnice s horizontální rovinou

To je také odchylka kolmice k s-ploše od svislého směru osy z. Délka l v systému

kopírující terén je proto delší a je rovna 24100.cos/x km. Což znamená, že ve

vzdálenosti a tedy i při výpočtu derivace vzniká chyba 0.24% , což je možné zanedbat.

115

Pro lokální model v oblasti Evropy s krokem x 10 km a převýšením v=2.5 km na

přechodu do oblasti Alp máme úhel 01425.0 arctg a 3.1014cos/10 l . V

tomto případě je chyba v délce 3%. Pro menší měřítka jsou gradienty stoupání a tedy i

chyby větší. Krok 10 km bych podle předchozího proto považoval za nejmenší možný

krok pro tento systém souřadnic.

V přírodě jsou ovšem svahy vyšších hor Tatry, Alpy velmi strmé. Malá délka kroku

v síti pak umožňuje origrafii těchto hor dobře popsat. Systém souřadnic kopírujících

terén v tomto případě již nelze považovat za ortogonální a použitelný pro exaktní

předpověď jejího vývoje

2. Nejvýznamnějším zjednodušením v systémech se zobecněnou vertikální

souřadnicí je popis vektorů pomocí složek v kartézském systému souřadnic x, y, z.

Týká se to zejména složek horizontálního větru a horizontálního gradientu tlaku.

Místo toho abychom vektory v třírozměrném prostoru popisovali pomocí složek

vzhledem k lokálním systémům souřadnic - repéru, což je správný popis vektorů

v křivočarém systému souřadnic, tak místo toho pracujeme s jejich složkami

v základním z-systému a zavádíme proto pojem horizontálního větru a

horizontálního gradientu tlaku, jejichž složkami jsou ve skutečnosti průměty těchto

vektorů do ploch .constz Obdobně je zavedena i zobecněná vertikální rychlost,

která zůstává stále ve směru osy z. V modelech tedy nepracujeme se skutečnými

vektory větru v třírozměrném prostoru, ale pouze s vektory v dvourozměrných

horizontálních rovinách stejného geopotenciálu. To se týká zejména horizontálních

složek větru a horizontálního gradientu tlaku. Je celkem jasné, že takovýto přístup

odpovídá popisu dynamiky v modelech s hydrostatickou aproximací, kde

vertikální pohyby jsou dány zákonem zachování hmoty atmosféry a můžeme je

vypočítat z rovnice kontinuity. O tom je pojednáno v dalším. Toto zjednodušení

systémů souřadnic kopírujících terén je z hlediska diferenciální geometrie a studia

vektorů v třírozměrných křivočarých souřadnicích fundamentální. V diferenciální

geometrii jsou složky vektoru definovány vzhledem k lokální soustavě souřadnic –

repéru, který je vytvořen jednotkovými vektory tečnými k parametrickým

křivkám.

116

Obrázek 7.3 Systém souřadnic kopírující terén a systém křivočarých souřadnic

3. Na obrázku jsou jednotkové vektory lokálního repéru označeny i a k, zatímco

jednotkové souřadnicové vektory z-systému používané v systému souřadnic

kopírujících terén používané v meteorologii jsou označeny jako označeny jako x a

z. Vezmeme-li libovolný konstantní volný vektor, jehož počátek si umístíme do

počátku repéru. Pohybujeme-li vektorem po s-ploše, mění se směr souřadnicových

vektorů lokální souřadné soustavy a tím se mění všechny tři souřadnice stejného

vektoru. Tento efekt, při kterém se mění složky vektoru při pohybu lokálního

systému souřadnic, se nazývá paralelním přenosem vektoru. Při transformaci

vertikální souřadnice v meteorologii nepoužíváme v podstatě pro popis vektorů

lokální systém souřadnic, protože pro složky vektorů používáme původní

kartézský systém souřadnic. Mluvíme-li o horizontálním větru, je jeho vertikální

složka rovna nule. Důsledkem zjednodušení, které je používáno v meteorologii je

také to, že metrické členy v s-systému jsou dány pouze geometrií v horizontální

rovině a týkají se tedy pouze křivočarých souřadnic x, y určujících polohu bodů na

geoidu.

4. Dalším problémem v takto formulovaném s-systému je problém správného

modelování vlivu orografie, tedy vlivu hor na proudění vzduchu. Horské překážky

mají fyzikálně dvojí vliv na proudění. Je to jednak zvýšené tření, které způsobuje

nehladkost orografie. Druhým vlivem, který brzdí přechod vzduchu přes horské

překážky je síla zemské tíže, která je přibližně kompenzována vertikálním

gradientem tlaku. Rozdíl těchto sil působí ve vertikálním směru. Pro částice blíže

povrchu Země pevný povrch Země neumožňuje jejich čistě horizontální pohyb.

Proto se musí pohybovat také ve vertikálním směru, kde se zmíněné síly uplatní.

Rozdíl těchto sil pak působí při pohybu do stoupání orografické plochy proti

pohybu částic, při klesání naopak. Vlivem účasti těchto sil by pohyb částic

atmosféry měl záviset na tepelném zvrstvení atmosféry. Protože my pracujeme

pouze s horizontálními vektory větru, v z-hladině se tyto síly nemůžou uplatnit,

neboť působí ve vertikálním směru. Ve skutečných křivočarých souřadnicích by se

117

zřejmě objevily v gradientu tlaku. V našich zjednodušených souřadnicích se tento

efekt popsat nedá. V hydrostatických modelech se rovnice hybnosti ve vertikálním

směru redukuje na hydrostatický vztah a žádné síly ve vertikálním směru se

neuplatňují, neboť zemská tíže a vertikální gradient tlaku jsou vždy v přesné

rovnováze. Námi popsaný systém vertikální souřadnice nám nedovoluje zahrnout

vliv orografie přímo do dynamické části modelu a vliv orografie se proto zahrnuje

do parametrizace tření.

Vyjádření individuální a lokální změny skalární proměnné v s- systému .

Všechny změny fyzikálních parametrů, jako je teplota, tlak, vlhkost,… se

v meteorologii vztahují k dané určité částici, která je obvykle jednotkové hmotnosti, a

pohybuje se v poli větru. Rychlost časové změny parametrů této částice vyjadřujeme tak

zvanou individuální změnou a vyjadřujeme symbolem dt

d, tedy úplnou derivací podle času.

Změny hodnot těchto fyzikálních parametrů můžeme studovat též v pevně zvoleném bodě

v prostoru a rychlost těchto časových změn je vyjádřena parciální derivací podle času t

, tuto

časovou změnu nazýváme lokální. V tomto případě se v každém časovém okamžiku bude

nacházet v daném bodě jiná vzduchová částice a změna fyzikálních parametrů bude

způsobena také tím, že se bude týkat jiné částice. Nyní si vyjádříme vztah mezi těmito

derivacemi, ovšem ve zobecněném systému vertikálních souřadnic.

Vezměme nyní libovolnou skalární funkci tsyxf ,,, . Uvažujme nyní částici která je

v čase t v bodě syx ,, . V čase dttt je tato částice v bodě dssdyydxx ,, .

Studujme nyní rozdíl

tsyxfdttdssdyydxxfdf ,,,,,, (7.1.15)

Tento rozdíl vyjadřuje změnu fyzikálního parametru f za časový interval dt. Použijeme-li nyní

Taylorova rozvoje, (stačí pouze jeho první členy) máme

dtdsdydxodtt

fds

s

fdy

y

fdx

x

fdf ,,,

(7.1.16)

Tento vztah vydělíme dt a přejdeme v limitě 0dt . Obdržíme tak operátor individuální

změny (totální derivace) ve tvaru

ss

yv

xu

tdt

d

(7.1.17)

kde dt

dyv

dt

dxu , jsou složky horizontální rychlosti a

dt

dss se nazývá zobecněná

vertikální rychlost. Stejnou úvaha, jako předchozí, se provádí při definici individuální změny

(které se také říká totální derivace) v z-systému. Dostaneme tak standardní vyjádření

individuální změny. Vertikální složku větru v z-systému označujeme obvykle w a je rovna

dt

dzw . Vztah (7.1.15) se podle prací [3], [4] považuje za definici individuální změny v s-

systému. Dosadíme-li do vztahu (7.1.17) ze vztahů (7.1.6), (7.1..7) a (7.1.14) dostaneme

118

sz

sw

sz

sz

sz

s

t

z

tzw

tdt

ds

ss

z

z

vvv s (7.1.18)

neboli

sz

sz

t

zw

tdt

ds

s

s

s

vv (7.1.19)

Srovnáme-li vztahy pro individuální změnu (7.1.17) a (7.1.19) dostáváme vztah mezi

vertikální rychlostí w v z-systému a zobecněnou vertikální rychlostí s v s-systému

z

t

zw

z

ss s

s

v (7.1.20)

V horizontální rovině používáme skutečné křivočaré souřadnice y,x , a proto pro vektorové

veličiny, tedy například pro horizontální složky větru, je třeba operátor advekce (7.1.17)

doplnit o další tak zvané metrické členy. Tato skutečnost byla popsána v kapitole „Formulace

prognostických rovnic na zemské sféře“.

Hydrostatická rovnice v s-systému

V z-systému můžeme jako základní tvar hydrostatické rovnice považovat

gz

p

(7.1.21)

přejdeme-li k inversní funkci, dostaneme vlastně tvar hydrostatické rovnice v p-systému

gp

z 1

(7.1.22)

Hydrostatická rovnice se často formuluje pro změnu geopotenciálu, který je definovaný

vztahem gz , máme

1

p (7.1.23)

Podle vztahu (7.1.6) můžeme hydrostatickou rovnici (7.1.21) napsat v s-systému

gs

p

z

s

z

p

(7.1.24)

Přejdeme-li k inversní funkci, máme

s

p

s

zg

s

(7.1.25)

Předchozí vztah je nejobvyklejším tvarem hydrostatické rovnice v s-systému.

Rovnice kontinuity

V z-systému ji píšeme obvykle v divergentním tvaru

0

z

w

t

v (7.1.26)

Pro transformaci použijeme však raději advekční tvar

0

z

wln

dt

dv (7.1.27)

119

Z rovnice (7.1.20) dávající do souvislosti vertikální rychlost v z a s-systému máme

s

zsz

t

zw s

s

v (7.1.28)

Tento vztah je vlastně vertikální rychlost w, tedy individuální časová změna z, napsaná v s-

systému. Derivujeme-li tento vztah podle z, s použitím vztahu (7.1.6), dostaneme vyjádření

derivace z

w

v s-systému

s

sz

ss

z

dt

d

z

s

z

s

s

w

z

ws

v (7.1.29)

Dosazením (7.1.14) a (7.1.29) do (7.1.27) máme

0

s

sz

s

z

dt

d

z

s

z

s

szln

dt

dsss

s

vvv (7.1.30)

Dva členy se zde vyruší a všimneme-li si, že platí

s

z

dt

d

z

sln

dt

d

s

zln

dt

dln

dt

d

s

zlnln

dt

d

s

zln

dt

d

(7.1.31)

dostaneme tak

0

s

s

s

zln

dt

ds

v (7.1.32)

což je rovnice kontinuity v s-systému. Tato rovnice se dá přepsat také do divergentního tvaru

0

s

zs

ss

z

s

z

ts

s

v (7.1.33)

Pro zjednodušení rovnice kontinuity nyní použijeme předpokladu o hydrostatické rovnováze.

S použitím hydrostatické rovnice můžeme rovnici kontinuity napsat ve tvaru

0

s

ps

ss

p

t

p

ss

s

v (7.1.34)

Hilding Sundqvist [8] zavádí novou proměnnou, kterou označuje m vztahem, který je

hydrostatickou rovnicí (7.1.25)

ms

p

s

(7.1.35)

rovnici (7.1.33) pak píše ve tvaru

0

sm

sm

t

ms

s

v (7.1.36)

Pro numerické předpovědní metody je otázkou, zdali je toto označení vhodné, neboť

v předpovědních modelech používající souřadnice konformní mapy se písmenem m označuje

koeficient zkreslení konformní mapy.

Rovnice horizontální hybnosti

Již v názvu pojem „horizontální hybnost“ nás upozorňuje, že jde o hybnost, kterou zde

uvažujeme je ve směru horizontální plochy, tedy hybnost jak je definována v z-systému.

Název odstavce je anglicky „Horizontal Momentum Equation“.

120

V z-systému mají tyto rovnice tvar

Fpfdt

d

1vk

v (7.1.37)

po transformaci do s-systému máme

Fs

pz

z

spf

dt

dss

11vk

v (7.1.38)

s použitím hydrostatické rovnice (7.1.24) můžeme rovnice hybnosti psát ve tvaru

Fpfdt

dss

1vk

v (7.1.39)

Termodynamická rovnice

První věta termodynamiky formulovaná jako termodynamická rovnice má v obou

systémech souřadnic prakticky stejný tvar.

V z-systému i s-systému má pro změnu absolutní teploty T tvar

Qdt

dTc p (7.1.40)

Kde dt

dp je zobecněná rychlost v p-systému, tedy individuální změna tlaku p a

1 je

měrný objem a Q je přítok tepla za jednotku času na jednotku hmotnosti.

Termodynamická věta se často formuluje jako zákon zachování potenciální teploty.

Pro adiabatické děje ve tvaru

0dt

d (7.1.41)

nebo ve tvaru

Tc

Qln

dt

d

p

(7.1.42)

kde je potenciální teplota, definovaná vztahem

P/T (7.12.43)

a kde P je Exnerova funkce, která je definovaná vztahem

0p/pP kde 2860.c/R p (7.1.44)

kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch a pc je měrné teplo při konstantním tlaku a kde

0p je konstanta – standardní tlak. Obvykle se volí hPap 00010 . Podle mé zkušenosti je

možné volit 10 p , neboť pro hPap 00010 je 21170 .p

, což je vcelku malá hodnota a

problémy s měřítky – velkými hodnotami nenastanou.

Horní a dolní okrajová podmínka

Základním principem kladeným na model je zákon zachování celkové hmoty

atmosféry. To vede k podmínkám na horní a dolní hranici oblasti. Pro číselné modelování je

třeba, aby oblast modelu atmosféry byla ve směru vertikální osy byla v s-systému konečným

intervalem. Jestliže předpokládáme, že vrchní hranice, tedy strop modelu, je souřadnicovou

plochou .constsT , potom hraniční podmínkou pro zachování hmoty je podmínka, aby touto

121

plochou vzduch neprotékal a jako okrajovou podmínku můžeme položit 0s . Tato

podmínka je pro modely vyhovující, ale je třeba, aby strop modelu byl dostatečně vysoko.

Horní okrajovou podmínku můžeme formulovat vztahem

Tsspros 0 (7.1.45)

Poznamenejme, že vzhledem k numerické integraci modelů, je pro každou vertikální

souřadnici s třeba, aby interval integrace, ve směru souřadnice s byl konečný. V z-systému to

pak znamená, že strop modelu je v konečné výšce. Vezmeme-li jako vertikální souřadnici tlak

p pak například interval integrace sp,p 0 , kde sp je tlak na povrch země je vzhledem

k souřadnici p konečné délky, avšak strop modelu, kde klademe podmínku (7.1.45) je

nekonečně vysoko. Totéž platí i pro některé systémy vertikální souřadnice kopírující terén,

pro klasický Phillipsův -systém, kde vertikální souřadnicí je sp/p a nebo hybridní

systém s vertikální souřadnicí označovanou řeckým písmenem , proto -systém. Podle

práce [4] mají tyto systémy některé přednosti oproti modelům se stropem v konečné výšce.

Vlny vertikální struktury, a vlastní oscilace atmosféry, tedy vertikální normální módy jsou

v tomto případě modelovány správně, bez určitých zkreslení vznikajících stropem atmosféry

v konečné výšce nad Zemí. Často dříve používaná vertikální souřadnice definovaná

vztahem TsT pp/pp pro model se stropem v tlakové hladině 0Tp se z těchto

důvodů v současné době již téměř nepoužívá. Poznamenejme, že pro 0Tp je tento systém

klasickým Phillipsovým -systémem z roku 1957. Jiná situace je pro tak zvané plně

stlačitelné nehydrostatické modely, kde se i pro systémy kopírující terén vychází obvykle se

z-systému.

Dolní okrajovou podmínku dostaneme z kinematické podmínky: normálová složka

větru vzhledem k povrchu Země musí být nulová. Kinematická podmínka má smysl pro

systémy, které nekopírují orografický povrch Země. Pro systémy kopírující terén se redukuje

na nulovou zobecněnou vertikální rychlost. Souřadnice s pevného bodu se na dolní hranici se

obecně mění vzhledem k času. Obecná podmínka na dolní hranici má proto tvar

HHHhH ssprost

ss

v (7.1.46)

kde hodnota s na dolní hranici - povrchu Země je

t,H,y,xssH (7.1.47)

a Hv je horizontální část větru pro Hss . Jestliže povrch Země je souřadnicovou plochou,

pak podmínka (7.1.46) se redukuje na jednoduchou podmínku

constsspros H 0 (7.1.48)

a pro každý bod daný horizontálními souřadnicemi x, y, nabývá souřadnicová plocha Hss

výšku y,xH nad terénem. Kinematická podmínka je pro modelování z hlediska numerické

matematiky prakticky neschůdná, a proto dnešní modely používají výhradně systémy terén

kopírujících vertikálních souřadnic.

122

7.2 Tvar řídících rovnic v používaných systémech vertikální souřadnice

p-systém

Historicky prvním systémem vertikální souřadnice používaným v meteorologii jiným

než z-systém byl p-systém. K používání p-systému vertikální souřadnice vedly zřejmě dvě

skutečnosti. Jedním důvodem bylo to, že radiosondy dávají naměřené hodnoty teploty

vlhkosti, větru jako funkce tlaku p a také tím, že na synoptických mapách se analyzovaly a

zobrazovaly hodnoty proměnných v hladinách konstantního tlaku. Druhým důvodem může

být i skutečnost, že v p-systému jsou i rovnice dynamické meteorologie jednodušší. V p-

systému je zobecněnou vertikální souřadnicí tedy tlak p. Rovnice hydrostatické rovnováhy má

v tomto systému tvar (7.2.3). Dosadíme-li do hydrostatické rovnice za hustotu ze stavové

rovnice TRp , kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch 11287 KkgJR ,

můžeme hydrostatickou rovnici psát ve tvaru

p

RT

p

(7.2.1)

nebo pro aproximaci častěji užívaném tvaru

RTpln

(7.2.2)

V p-systému je tedy nezávisle proměnnou tlak p. Z hlediska obecného s-systému je tedy

ps . Zobecněnou vertikální rychlost v p-systému označujeme , takže je dt

dp . Protože

derivace nezávisle proměnné podle času je nulová, je 0

t

p a rovnice kontinuity (7.1.34) se

redukuje na vztah

0

p

v (7.2.3)

a v p-systému má rovnice kontinuity stejný tvar jako v z-systému pro nestlačitelnou tekutinu.

Horizontální gradient tlaku v rovnicích (7.1.39) hybnosti se ze stejných důvodů redukuje na

jediný člen .

Systémy kopírující terén

Systémem kopírující terén budeme nazývat každý systém zobecněné vertikální

souřadnice s, pro který je povrch Země zahrnující ovšem orografii, tedy horami zvlněný terén

je zároveň plochou konstantní souřadnice s. Tato plocha konstantní souřadnice s, tvoří

zároveň také dolní stěnu výpočetní oblasti modelu. Protože tato plocha je fyzicky

neprostupná, je na této ploše zobecněná vertikální rychlost s rovna 0.

Klasický Phillipsův -systém

Nyní si rovnice napíšeme v klasickém systému. Zobecněná vertikální souřadnice

je definovaná vztahem

sp/p (7.2.4)

123

kde sp je tlak na orografické ploše, tedy povrchu země. Takový systém zahrnuje jednoduše

pohoří do modelu, neboť orografická plocha je pro 1 zároveň souřadnicovou plochou.

Probíhá-li tlak od 0 do tlaku na orografické ploše sp , pak probíhá v každém bodě

horizontální souřadnice interval 10, .

Hydrostatická rovnice (7.1.25) má v tomto případě tvar

p1 (7.2.5)

Vezmeme-li v úvahu, že spp odkud spp

a

sp

RT

p

RT

1 máme

RT

(7.2.6)

neboli též

RTln

(7.2.7)

Rovnice kontinuity (7.1.34) v divergentním tvaru se redukuje na tvar

0

sss ppt

pv (7.2.8)

v rovnicích hybnosti (7.1.39) je třeba upravit pouze horizontální gradient tlaku

ss

s

plnRTpp

RTp

1 (7.2.9)

a dostaneme obvyklý tvar rovnic hybnosti v -systému

FplnRTfdt

ds vk

v (7.2.10)

pravou stranu první věty termodynamiky upravíme též. Neboť sp

RT

p

RT

1 a ze

vztahu spp máme dt

dppp

dt

d

dt

dp sss dosazením do (7.1.40) je

p

s

p

ss

sp c

Qpln

dt

dT

c

Q

dt

dpp

pc

RT

dt

dT

(7.2.11)

kde jsme jak je to v meteorologii obvyklé označili pc

R .

Hybridní systém, -systém (éta-systém) vertikální souřadnice

Uvažujme obecnou vertikální souřadnici kopírující terén, která je monotónní funkcí

tlaku p a závisející na tlaku sp na orografické ploše:

sp,ph (7.2.12)

kde 00 sp,h a 1ss p,ph . Souřadnice probíhá tedy stejně jako souřadnice

interval 10, , kde =1 je na orografické ploše povrchu Země. Ve skutečnosti souřadnici

definujeme implicitně, tím, že zadáme tlak p jakožto funkci vztahem

124

spBpAp 0 (7.2.13)

V článku [9] Simmons a Burridge zadávají a tedy aproximují tyto funkce polynomy. Při

numerické realizaci modelů se však funkce A a B zadávají hodnotami na diskrétní síti

vertikální proměnné Simmons and Strüfing [10]. Pro každou plochu vertikální diskrétní

sítě, které jsou v modelech ECMWF a tedy i v článku [9] označovány lomenými indexy typu

21/k , tedy 21 /k , jsou zadány tabulkou hodnoty funkcí 2121 /k/k B,A . Tyto -plochy

oddělují vrstvy modelu. 0p je konstantní tlak obvykle volený jako 1013.2 hPa. Hodnoty

funkcí A, B jsou voleny tak, že ve stratosféře je systém shodný s p-systémem, který se

s klesající výškou mění spojitě na systém, který se u Zemského povrchu blíží k -systému.

Při realizaci modelu je tedy tlak na 21 /k plochách dán vztahy

t,y,xpBpAp s/k/k/k 2102121 (7.2.14)

Obdobně jako pro -systém formulujeme řídící rovnice v -systému dosazením příslušných

hodnot do rovnic obecného s-systému. Klademe s , s a dostáváme:

rovnice hybnosti

Fpp

RTf

dt

d vk

v (7.2.15)

kde

yv

xu

tdt

d (7.2.16)

hydrostatickou rovnici

p

p

RT (7.2.17)

rovnice kontinuity

ppv

y

pu

x

p

t (7.2.18)

termodynamická rovnice

p

T

dt

dT (7.2.19)

Poznámka:

V současnosti tento systém je velmi často používán v hydrostatických modelech.

Tento hybridní systém je již podle názvu určitým zkřížením -systémemu u povrchu Země a

p-systému ve stratosféře, kde přechod od jednoho ke druhému je pozvolný. Dá se říci, že je to

jakási lineární kombinace obou souřadnic s vahami. Je také přímým zobecněním -systému,

položíme-li A =0 a B = . Rozdíl mezi Phillipsovým -systémem a -systémem při

numerické realizaci modelů spočívá v tom, že v -systémemu všechny výpočty týkající se

vertikálních derivací výpočtu logaritmů, Exnerových funkcí atd. se provádějí vzhledem ke

konstantním hodnotám 2/1k a nemění se horizontálně ani v čase. Tyto hodnoty tak lze

vypočítat předem, před výpočtem. Na rozdíl od toho se v -systému vzhledem k tomu, že

tento systém je definován vlastně implicitně vztahem (7.2.12) respektive (7.2.13) se všechny

125

tyto výpočty provádějí vzhledem k tlaku p , který je ovšem podle (7.2.13) na hladinách

funkcí x,y i času t. Proto výpočty v - systému jsou asi o 30% časově náročnější (Podle

ústního sdělení A.J.Simmonse). Hlavní výhody - systémutohoto systému jsou údajně při

asimilaci dat ve stratosféře. Také vyjádření horizontálního gradientu tlaku je v tomto systému

ve stratosféře přesnější, protože je dán stejně jako v p-systému jediným členem, zatímco v -

systémemu jako rozdíl dvou členů s opačnými znaménky.

Literatura:

[1] Arakawa A., Suarez M. J. 1983: Vertical Differencing of Primitive Equations in Sigma

Coordinates. Mon. Wea. Rev. 111, 34-45

[2] Eliassen, A., 1949: The quasi-static equations of motion with pressure as independent

variable. Geofys. Publ. 17, No. 3, 44 pp.

[3] Kasahara A., 1974: Various Vertical Coordinate Systems Used for Numerical Weather

Prediction. Mon. Wea. Rev. 102, 509-522.

[4] Lindsen R. S., Batten E. S., Kim J.W. 1968: Oscillations in Atmospheres with Tops. Mon.

Wea. Rev. 96, 133-140.

[5] Philips N. A., 1957: A Coordinate System Having some Special Advantages for

Numerical Forecasting. Journal of Meteorology 14, 184-185.

[6] Phillips Norman, 1966: The Equations of motion for Shallow Rotating Atmosphere and

the “Traditional Approximation”, Journal of the Atmospheric Sciences, 23, 626-628.

[7] Phillips Norman, 1974: Application of Arakawa’s Energy-conserving Layer Model to

Operational Numerical Weather Prediction. NATIONAL METEOROLOGICAL

CENTER, OFFICE NOTE 104

[8] Sundqvist H. 1979: Numerical Methods Used in Atmospherical Models. Volume 2, GARP

Publication Series No. 17, September 1979. Cap. 1. 5-38.

[9] Simmons A. J., Burridge D. M., 1981: An Energy and Angular-Momentum Conserving

Vertical Finite-Difference Scheme and Hybrid Vertical Coordinates. Mon. Wea. Rev. 109,

758-766.

[10] TECHNICAL REPORT No. 28. AN ENERGY AND ANGULAR MOMENTUM

CONSERVING FINITE-DIFFERNCE SCHEME, HYBRID COORDINATES AND

MEDIUM-RANGE WEATHER PREDICTION. By A. J. Simmons and R. Strüfing,

November 1981.

126

8. O transformaci dat mezi systémy vertikálních souřadnic

Transformace meteorologických údajů mezi dvěma systémy s různou vertikální

souřadnicí se používá v současnosti prakticky v každém meteorologickém předpovědním

modelu. Je to proto, že meteorologická data jsou z velké části měřena a analyzována

vzhledem k nezávisle proměnné tlaku, zatímco téměř všechny meteorologické modely

používají pro integraci systém souřadnic kopírující terén. Další transformaci potřebujeme,

abychom předpověděná data prezentovali v synopticky interpretovatelném tvaru, což

souřadný systém kopírující terén rozhodně není. Proto předpověděná data musíme

transformovat do tlakových hladin, tedy do p-systému, nebo také do přízemních map, kde

jsou hodnoty přepočtené na hladinu moře.

Transformaci použijeme také v případě, že v modelu s vertikální souřadnicí kopírující

terén chceme přejít horizontální interpolací na jemnější síť. Tuto interpolaci musíme provést

v systému, který nezávisí na orografii, nejčastěji v p-systému. K této interpolaci by bylo

možné použít též z-systém. Když interpolujeme data ze sítě řídícího modelu do jemnější sítě

vloženého modelu výška orografické plochy v hrubší síti uzlových bodech řídícího modelu

obvykle jiná, než orografie na jemné síti vloženého modelu. To je proto, že jemnější síť

dovoluje popsat orografii podrobněji a tedy přesněji. Z hlediska vloženého modelu, bude také

orografie řídícího modelu hladší než orografie vloženého modelu. Horizontální interpolace

nezávislá na výšce orografie nám dá po transformaci těchto horizontálně interpolovaných dat

do systému kopírujícího terén data odpovídající nové přesnější orografii.

V této kapitole se budeme zabývat transformací meteorologických proměnných mezi

dvěma systémy vertikální souřadnice a to mezi p-systémem a systémem kopírujícím terén

nebo systémem. Tyto transformace se v praxi vyskytují nejčastěji. Prezentovaná teorie

nám dá návod pro provedení transformací i jiných systémů vertikálních souřadnic. Tuto

transformaci provedeme pomocí interpolace. Data, která transformujeme, jsou: výšky

tlakových hladin na výšky tlakových hladin systému jiné vertikální souřadnice s, která může

být zejména -souřadnicí, nebo -souřadnicí, či ještě nějakou jinou. Dále se provádí

transformace teploty, vlhkosti (obvykle relativní vlhkosti) a složek větru.

8.1 Transformace z p-systému do nebo - systému

Studium této transformace začneme transformací výšek, nebo geopotenciálu tlakových

hladin. Touto transformací musíme začít, neboť jejím prvním krokem je výpočet hodnot tlaku,

nebo spíše logaritmu tlaku v uzlových bodech sítě v s-systému. Teprve pak můžeme provést

interpolaci výšek tlakových hladin, nebo geopotenciálu, vlhkosti a složek větru do s-systému.

Transformace geopotenciálu je o něco složitější než transformace ostatních proměnných,

protože ve vstupních datech nebývá zadán tlak na orografické ploše, který je přirozeně na

výšce orografické plochy závislý. Orografická plocha je vždy zadána nadmořskou výškou

nebo geopotenciálem povrchu Země, v každém bodě sítě. Prvním úkolem je proto výpočet

tlaku na orografické ploše, což je v podstatě obrácená úloha, než je ostatní interpolace. Pro

transformaci vždy předpokládáme, že atmosféra je v hydrostatické rovnováze a splňuje tedy

hydrostatickou rovnici. Tento předpoklad se používá pro přípravu dat, jak pro modely

s hydrostatickou aproximací, tak i pro plně stlačitelné nehydrostatické modely. Při

127

transformaci z p-systému je vhodné provádět interpolace vzhledem k proměnné přirozenému

logaritmu tlaku, kterou označujeme h, neboť průběh meteorologických proměnných je

vzhledem k této nezávislé proměnné pro interpolaci vhodnější, než interpolace vzhledem

k proměnné tlaku p. To se týká zejména průběhu geopotenciálu a teploty. Byly zkoušeny

interpolace i vzhledem k jiným nezávisle proměnným, na svislé ose, například Exnerově

funkci 0p/p [6]. Ukazuje se však, že interpolace vzhledem k proměnné přirozenému

logaritmu tlaku je nejvýhodnější. V současnosti se interpolace provádí obvykle vzhledem k

logaritmu tlaku.

Proměnná h, vzhledem ke které budeme interpolovat, je tedy definována vztahem

ph ln (8.1.1)

Hydrostatickou rovnici pak píšeme ve tvaru

RTh

(8.1.2)

kde

zg je geopotenciál tlakových hladin

z jsou výšky tlakových hladin měřené vzhledem k povrchu moře v metrech 28.9 smg konstanta tíhového zrychlení

122287 KsmR plynová konstanta pro suchý vzduch

T absolutní teplota ve stupních Kelvina

Termobarické pole je v modelech určeno dvěma způsoby. Jednou možností je zadat

průběh geopotenciálu v závislosti na vertikální souřadnici, což je pak v diskrétní podobě

zadáním geopotenciálu v uzlových bodech vertikální souřadnice. V tomto případě můžeme

pole teploty získat derivováním hydostatické rovnice. Druhou možností je zadáním pole

teploty. Integrací hydrostatické rovnice můžeme získat pole geopotenciálu. Pro určení

integrační konstanty však potřebujeme znát jednu dvojici hodnot geopotenciálu a tlaku (nebo

logaritmu tlaku) v jednom bodě na každé vertikální ose. V modelech bývá tato dvojice zadána

na povrchu Země, tedy na orografické ploše, jejíž geopotenciál je dán výškou terénu a na této

ploše je dán i tlak.

V modelech používajících nebo -systém je tlak na orografické ploše, nebo jeho

přirozený logaritmus, prognostickou proměnnou, a proto musí být zadán v počátečních

podmínkách. Je tedy znám po celou dobu časové integrace. Další prognostickou proměnnou

je teplota. Pro časovou integraci modelu však potřebujeme geopotenciál, abychom mohli

vypočítat horizontální gradient tlaku. V modelech, které používají nebo -systém, se

proto v každém časovém kroku provádí numerická integrace teploty po svislé ose, čímž

dostaneme geopotenciál v uzlových bodech, ze kterého pak vypočteme horizontální gradient

tlaku.

Zde bychom si mohli položit otázku, proč pro transformaci do s-systému

neinterpolujeme přímo teplotu T, když je prognostickou proměnnou. Důvod je následující,

geopotenciál v s-systému bychom pak vypočítali integrací hydrostatické rovnice od Země

směrem vzhůru. Chyby interpolace by se při této integraci kumulovali, takže geopotenciál ve

stratosféře by byl zatížený větší chybou. Interpolujeme-li však přímo geopotenciál, tuto chybu

tím eliminujeme. Když pak pro integraci modelu vypočteme teploty vrstev z aproximace

128

hydrostatické rovnice, tak je vše v pořádku, neboť jejich zpětná integrace pomocí stejné

aproximace pro výpočet geopotenciálu není v tomto případě zatížena žádnou chybou.

Prognostické modely pracují s naměřenými daty. Je proto samozřejmé, že data pro

model jsou zadány na síti uzlových bodů. V tří-rozměrném prostoru jsou hodnoty

proměnných dány třemi indexy. Dva z nich udávají polohu ve vodorovném směru a třetí ve

směru vertikálním. V našem případě, kdy studujeme transformaci pouze po pevně zvolené

vertikální ose, budeme proměnné označovat pouze jedním indexem. Je to zcela přirozené,

neboť i v programu, ve kterém se realizuje transformace na počítači, přepisujeme hodnoty pro

každý uzel horizontální sítě z třírozměrných polí pro interpolaci do jednodimensionálních

vektorů. Podívejme se proto nyní jak vypadá rozložení údajů na vertikální ose.

V p-systému jsou proměnné zadány obvykle ve stejných uzlových bodech vertikální

osy, tedy na tak zvané standardní síti. Tato síť má však proměnnou délku kroku a proto je

zadána rostoucí posloupností hodnot tlaku – zadaných hladin, ty označíme

KZpz......pzpzpz 321 (8.1.3)

KZ tedy označuje počet zadaných tlakových hladin. Výšky bývají často uvedeny v tak

zvaných standardních talkových hladinách. Jsou to hladiny

10, 20, 30, 50, 70, 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500, 700, 850, 925, 1000 hPa (8.1.4)

Z předchozího je zřejmé, že v tomto případě klademe vždy hPapKZ 1000 . V uvedených

hladinách jsou obvykle zadávány i ostatní údaje, složky větru a některý z vlhkostních

parametrů, který je pro interpolaci vhodné převést na relativní vlhkost. Teplotu ve

standardních hladinách není potřeba zadávat, neboť výškami (geopotenciálem) tlakových

hladin je hydrostatickou rovnicí dána i teplota. Pro interpolaci, jak bylo uvedeno, budeme na

svislé ose v p-systému používat přirozené logaritmy tlaku a tedy používat síť uzlových bodů

KZhz.........hzhzhz 321 (8.1.5)

Tyto uzlové body jsou dány vztahy

KZ,......,Kpropzlghz KK 1 (8.1.6)

V novém s-systému, kde s je nebo , ve kterém model integrujeme je pro časovou

integraci rozložení proměnných jiné. Pro integraci se používá ve vertikálním směru střídavá

síť. Model se skládá z vrstev, kterým jsou v terminologii ECMWF (Evropean Centre for

Medium Range Weather Forecast) přiřazeny celočíselné indexy a proto je nazývají „full-

level“, my je budeme nazývat vrstvami a přiřazovat jim také celé indexy. Tyto vrstvy jsou od

sebe odděleny hladinami konstantní souřadnice s. Tyto hladiny ECMWF označuje indexy

tvaru 21/K a tyto hladiny nazývá half-level. Tedy vrstva K je omezena hladinami

2121 /Ka/K . Plochy zadané konstantními hodnotami s, nazýváme hladinami, na

rozdíl od vrstev, pro které hodnota s odpovídající vrstvě nemusí být ani určena. I když

označení používané v ECMWF je velmi názorné, jeho nevýhoda spočívá v tom, že

v programech se používají pouze celé indexy. Proto na rozdíl od ECMWF budeme i hladiny

označovat celými indexy. Síť v s-systému zadáme uzlovými body

10 3210 KSs......ssss (8.1.7)

Volbu indexů vrstev je pak možné zavést dvěma způsoby. Vrstvě omezené hladinami o

indexech K, K+1 můžeme přiřadit index K, nebo K+1. Zvolil jsem první možnost a proto

indexy - hladin probíhají hodnoty 1 až KS, protože hodnota 0s se nezadává, zatímco

129

hodnoty indexů vrstev probíhají hodnoty 1 až KV=KS-1. Zde hodnota 0s odpovídá stropu

modelu a KSs povrchu orografické plochy. Zadaným uzlovým bodům odpovídají v s-systému

hodnoty tlaku. Tyto hodnoty tlaku, a tedy také hodnoty logaritmu tlaku, jsou dány konkrétním

výběrem vertikální souřadnice. Pro klasický Phillipsův - systém, kde

Sp/p (8.1.8)

a Sp je tlak na orografické ploše jsou hodnoty tlaku dány vztahem

Spp (8.1.9)

Pro dnes již málo používaný -systém se stropem v tlakové hladině Tp jehož vertikální

souřadnice je dána vztahem

TST pp/pp (8.1.10)

je tlak dán vztahem

TST pppp (8.1.11)

Pro hybridní systém vertikální souřadnice, vyvinutý v ECMWF nazývaný obvykle -systém,

není souřadnice s definována explicitně jako u předchozích dvou, je však pomocí ní

definován pouze atmosférický tlak jako funkce proměnné vztahem

SpBpAp 0 , (8.1.12)

kde 0p je konstanta. V modelech ECMWF je použita hodnota hPa.p 210130 . V praxi jsou

ovšem funkce BaA zadány tabelárně hodnotami v uzlových bodech souřadnice,

tedy jako hodnoty s indexy KK B,A . Všimněme si, že ve všech případech k zadání tlaku,

respektive jeho logaritmu potřebujeme znát tlak sp na orografické ploše. Poznamenejme

ještě, že na rozdíl od systému vertikální souřadnice (8.1.10), kde strop modelu má konstantní

nenulový tlak a je tedy v konečné výšce, Phillipsův -systém i -systém zahrnují celou

atmosféru od tlaku 0p až do tlaku spp na orografické ploše.

Provedení transformace dat z p-systému do a systému

Postup je následující. Nejdříve sestrojíme interpolační funkci nezávisle proměnné

logaritmu tlaku h aproximující geopotenciál . Pro tuto funkci pak musíme řešit obrácenou

úlohu – ke známé hodnotě geopotenciálu povrchu Země s je třeba nalézt přízemní tlak sp ,

respektive jeho přirozený logaritmus ss plgh . Tím je teprve dána síť uzlových bodů

v novém souřadném systému, která vyplývá z jeho definice. Nyní můžeme vypočítat tlak a

tedy logaritmus tlaku v uzlových bodech sítě v -systému, který je zadán posloupností

hodnot ls , ze vztahů

Sll pp (8.1.13)

pro -systém pak ze vztahů

Slll pBpAp 0 (8.1.14)

a potom

ll plnh , (8.1.15)

130

což v -systému můžeme realizovat také pomocí vztahu slll plnlnplnh .

Teprve nyní, když známe polohu uzlových bodů, do kterých interpolujeme, můžeme

transformaci interpolací uskutečnit.

Pro přesnost transformace je rozhodující transformace termobarického pole, tedy

geopotenciálu . Tato transformace je důležitá tím, že definuje tlak na - respektive -

hladinách a je tedy základem i pro interpolaci ostatních proměnných a také pro výpočet

teploty vrstev z hydrostatické rovnice. Transformace geopotenciálu je z hlediska přesnosti

nejcitlivější, proto je ji třeba provést s větší přesností. Podle mne je nejvhodnější použít

interpolaci kubickými spliny. Podle ústního sdělení je tato metoda je používána v ECMWF.

Splinová interpolace je určitě přesnější než použití kvadratických polynomů, které byly

použity Shumanem a Hovermalem [6] v provozním modelu NMC – USA. Některé

meteorologické služby v provozních modelech používají pouze lineární interpolaci, to lze

podle mne použít pouze v případě, mají-li hodnoty pro vertikální transformaci na dostatečně

husté síti vertikální osy. Síť standardních tlakových hladin taková určitě není. Pro složky

větru, nebo relativní vlhkost je lineární interpolace postačující. Techniku kubických splinů, i

když je dosti známá, si nyní vyložíme vzhledem k tomu, že pro určení splinů je možné použít

některé nestandardní okrajové podmínky, které odpovídají zadání některých fyzikálních

veličin popisujících stav atmosféry při povrchu země, či ve stratosféře.

Specifické vlastnosti některých transformací

Systémy vertikální souřadnice odvozené od vertikální souřadnice tlaku můžeme

zařadit do dvou skupin. Do první skupiny, zahrneme modely, pro které se transformace

provádí jen do určité konečné výšky nad Zemí. Jsou to modely se stropem, kde strop modelu

bývá hladinou konstantního tlaku a modely v -systému, kde od určité s-hladiny výše nad

povrchem Země jsou 0KB a s-hladiny jsou zároveň tlakovými hladinami. Systém

vertikálních souřadnic se v této oblasti, tedy ve stratosféře stává p-systémem. Nad touto

hladinou, je-li zde vertikální síť vyhovující, není třeba interpolaci provádět. Do druhé skupiny

patří klasický Phillipsův -systém, kde je třeba transformaci provést pro celou

neohraničenou atmosféru. V tomto systému je tlak v -hladině dán vztahem sk p a strop

modelu, pro který 01 je sice také hladinou konstantního tlaku, ale nulového. Tato hladina

je teoreticky nekonečně vzdálená a model vlastně fyzikální strop nemá. Rovněž logaritmus

tlaku 1h není pro tuto hladinu definován.

Označme nyní operátorem diferenci hodnot funkce definované v -hladinách k

kkk 1 (8.1.16)

jejíž hodnotu přiřadíme k-té -vrstvě. Pro diferenci logaritmu tlaku pak v klasickém -

systému máme

kkskk lnlnplnplnh (8.1.17)

Odtud vidíme, že aproximaci hydrostatické rovnice můžeme psát ve tvaru

RTlnh

(8.1.18)

131

Vzhledem k tomu, že 01 nemá pro první vrstvu předchozí vztah smysl. Předpokládáme-li,

že průměrná teplota první, tedy nejvýše položené vrstvy je konečná, můžeme se na tento

vztah dívat jako na limitní případ pro konečný interval, pro který 0 . Proto pro

hydrostatickou rovnici zvolíme místo 01 určitou nenulovou hodnotu souřadnice ,

kterou označíme strop. Označíme-li v souladu s (8.1.17)

strop/lnh 21 (8.1.19)

tato hodnota je konečná a bude mít smysl i pro první vrstvu. Správná volba 1h pro modely

v -systému vychází z energetických úvah a obvykle se klade

4221 lnlnh (8.1.20)

odtud podle (8.1.19) je hodnota souřadnice s na stropu modelu rovna

42 /strop (8.1.21)

Pro model proto definujeme logaritmy tlaků -hladin vztahy

stroplnplnh s 1 (8.1.22)

ksk lnplnh KS,...,k 2 (8.1.23)

Protože 1KS , je 0KSln a

sKS plnh (8.1.24)

Pro formulaci počátečních podmínek v nejvýše položené vrstvě modelu, ve stratosféře

vyjdeme z předpokladu, že pohyb vzduchu zde ustává a horizontální gradient tlaku se blíží

k nule. Pro integraci modelu potřebujeme znát horizontální gradient tlaku a teplotu i v nejvýše

položené vrstvě modelu. Tyto veličiny však pro jednoduchost chceme počítat stejně jako

v ostatních vrstvách. Proto jsme pro výpočet horizontálního gradientu tlaku a teploty

v nejvýše položené vrstvě zavedli uměle definovanou -hladinu v konečné výšce o nenulové

souřadnicí strop , která tuto nejvýše položenou vrstvu ohraničuje. Vztahy pro výpočet

horizontálního gradientu tlaku a teploty v této nejvyšší vrstvě budou pak stejné jako

v ostatních vrstvách. Skutečný strop modelu kde klademe 0 zůstává však pro 0 .

Také pro výpočet změny přízemního tlaku a zobecněné vertikální rychlosti je rovnice

kontinuity integrována od 0 do 1 . Pro -hladinu strop potřebujeme určit

hodnoty geopotenciálu. Z hlediska proudění v nejvyšší vrstvě je přirozené požadovat, aby

horizontální gradient tlaku byl na -hladině strop nulový. V p-systému je to

jednoduché, tam stačí, aby geopotenciál této hladiny byl konstantní. V -systému při

klidovém stavu celé atmosféry je hodnota s1 konstantní a tedy plocha strop

kopíruje orografický terén a není tedy hladinou konstantního geopotenciálu. Pro výpočet

geopotenciálu hladiny strop použijeme následující trik. Zvolíme vhodně dvě tlakové

hladiny konstantního geopotenciálu tak, aby hladina strop ležela mezi nimi. Pak

geopotenciál 1 dostaneme automaticky při transformaci do -systému, interpolací do

hodnoty spstroplnh 1 . Nyní se věnujme vhodné volbě těchto dvou p -hladin. Označíme-

li maxpsmin,ps minimální a maximální možnou hodnotu přízemního tlaku sp , pak

transformace do -systému pomocí interpolace bude probíhat na intervalu

maxpsmin,psstrop . Veličiny maxpsmin,ps odhadneme takto: minps hodnotou 500

132

hPa pro výšku Himaláje a maximální tlak na hladině moře maxps hodnotou 1100 hPa. Tyto

dvě tlakové hladiny s jejich geopotenciály přidáme jako první k tlakovým hladinám, ve

kterých jsou zadány analyzované hodnoty geopotenciálu. Stanou se tedy tlakovými hladinami

21 pzapz a je tady

5001 stropminpsstroppz (8.1.25)

11002 stropmaxpsstroppz (8.1.26)

3pz je tedy nyní nejvýše položená zadaná analyzovaná tlaková hladina. Zvolíme-li nyní

100032 /pz (8.1.27)

pak -hladina strop , jejíž tlak je spstrop leží podle (8.1.21), (8.1.25), (8.1.26) a (8.1.27) v

intervalu mezi tlakovými hladinami

31 1250 pz.pz a 32 2750 pz.pz (8.1.28)

a posloupnost prvních tří uměle zvolených tlakových hladin je vždy rostoucí

321 pzpzpz (8.1.29)

Konstantní výška těchto dvou položených tlakových hladin byla vypočtena ze standardní

atmosféry NASA [4] podle vztahu

p/.ln.gp 522346638110769 (8.1.30)

V provozním modelu Českého hydrometeorologického ústavu byla nejvyšší analyzovaná

hladina 100 hPa a zvolili jsme 0502 . a odtud podle vztahu (8.1.21) bylo 1250.strop a

skutečný interval interpolace byl 1100256 ,. hPa.

8.2 Realizace transformace pomocí splinové interpolace

Pro daný uzel horizontální sítě určíme nejdříve na vertikální ose interval, na kterém

budeme kubický spline konstruovat. Máme dvě možnosti. Může to být interval všech

zadaných hodnot KZhz,hz1 , nebo nejmenší interval na kterém budeme skutečně

interpolovat. Tento interval označme

KBhz,hz1 , (8.2.1)

kde KB je první index, pro který v daném bodě horizontální sítě leží tlaková kladina KBpz pod

terénem. Leží-li hladina KZpz nad terénem, pak klademe KZKB . Z volby KB vyplývá, že

je-li

KZs , (8.2.2)

pak logaritmus přízemního tlaku sh leží v intervalu

KBsKB hzhhz 1 (8.2.3)

a je-li

KZs (8.2.4)

KZKB a sh se počítá extrapolací jako argument polynomu, který je definován na

posledním intervalu interpolace, tedy polynomu splinu definovaném na intervalu

KZKZ hz,hz 1 . Protože bod sh v tomto případě leží blízko bodu KZhz je extrapolace

vyhovující.

133

Konstrukce splinu s vhodnými okrajovými podmínkami

Při konstrukci splinu vycházím z knížky [3] a budu používat i označení zavedené

v této knížce. Proto některá písmena budou mít v této části jiný význam, než v ostatním textu

této kapitoly. Spline bude zde funkcí x, nikoliv h, a bude definován funkčními hodnotami y.

Písmeno h zde označuje přírůstky nezávisle proměnné x a momenty splinu. Při aplikaci

splinu zvolíme ovšem za x proměnnou plnh , tedy v programu s formálním parametrem x

při volání subrutiny volíme skutečným parametrem h.

Zabývejme se nyní konstrukcí splinu. Nechť máme zadáno n uzlů interpolace

nx...xx 21 (8.2.5)

a v těchto uzlech jsou dány hodnoty funkce iy . Kubickým splinem na intervalu nx,x1 se

nazývá funkce xs , která je na každém intervalu 1ii x,x 11 n,...,i kubickým

polynomem proměnné x, je spojitá se svou první i druhou derivací na intervalu nx,x1 a

v uzlových bodech nabývá hodnot ix , tedy

ii yxs , n,...,i 1 (8.2.6)

Poznamenejme, že těmito podmínkami není ještě spline jednoznačně určen. K jeho určení

chybí ještě dvě podmínky, které se nazývají okrajové. Tyto podmínky hrají pro naši úlohu

důležitou roli a jejich volbě je pojednáno dále.

Označíme-li na každém intervalu

1ii x,x , 11 n,...,i (8.2.7)

iii xxh 1 (8.2.8)

ii h/xxw (8.2.9)

ii h/xxww 11 (8.2.10)

iiii h/yy 1 (8.2.11)

můžeme lineární interpolaci na intervalu 1ii x,x psát ve tvaru

1 iiiii wyywxxyxL (8.2.12)

Z definice splinu vyplývá, že druhá derivace kubického splinu je spojitá po částech lineární

funkce, kterou ve shodě s (8.2.12) napíšeme ve tvaru

166 ii wwxs (8.2.13)

z uvedeného vztahu a definice w a w (9.2.9), (9.2.10) vyplývá, že v uzlových bodech je

iixs 6 (8.2.14)

a tedy, že parametr splinu i je roven druhé derivaci splinu v uzlovém bodě lomený šesti

6/xs ii (8.2.15)

Parametry splinu i , které se často nazývají momenty splinu, nemáme zatím určeny.

Integrací vztahu (8.2.13) můžeme však dostat celkový tvar kubického splinu, který můžeme

napsat v následujícím tvaru

iiiii wwwwhywwyxs

3

1

32

1 (8.2.16)

134

Všimněme si nyní, že první dva členy splinu reprezentují lineární interpolaci. Zbylé členy

jsou polynomy třetího stupně a zajišťují nám doplňující požadavek hladkosti. Součet těchto

členů je v koncových bodech intervalu nulový a je tedy

ii yxs , 11 ii yxs (8.2.17)

což nám zaručuje spojitost splinu. Vezmeme-li v úvahu, že

ih/w 1 a ih/w 1 (8.2.18)

můžeme derivace splinu napsat ve tvaru

iiii wwhxs 1313 2

1

2 (8.2.19)

ii wwxs 66 1 (8.2.20)

iii h/xs 16 (8.2.21)

Ze vztahu (8.2.20) vyplývá rovněž spojitost druhé derivace xs , která je po částech

lineární. Jejím grafem je tedy lomená čára. Třetí derivace je pak podle (8.2.21) na každém

intervalu 1ii x,x konstantou.

Všimněme si nyní spojitosti první derivace splinu xs , tedy hladkosti splinu. Pro polynom

na intervalu 1ii x,x dostaneme ze vztahu (8.2.19) pro koncové body

12 iiiii hxs (8.2.22)

iiiii hxs 11 2 (8.2.23)

odtud pro hodnotu ixs polynomu definovaného na intervalu ii x,x 1 máme

111 2 iiiii hxs (8.2.24)

Podmínka spojitosti je pak v uzlu ix vyjádřena vztahem

ii xsxs 12 n,.....,i (8.2.25)

Tuto podmínku můžeme interpretovat jako soustavu lineárních rovnic pro určení i

1111 2 iiiiiiiii hhhh , 12 n,...,i (8.2.26)

Soustava má však n-2 rovnic, ale n neznámých. Proto pro určení i chybějí ještě dvě

podmínky. Tyto podmínky se týkají podmínek pro určení 1 a n , tedy hodnot momentů

splinu na okrajích intervalu definice splinu, proto se nazývají okrajovými podminkami.

Než přikročíme k podrobnějšímu studiu okrajových podmínek, přepíšeme si spline xs do

tvaru obvyklého pro polynomy. Na intervalu 1ii x,x , 11 n,...,i napíšeme spline ve

tvaru

32

iiiiiii xxdxxcxxbyxs (8.2.27)

Místo momentů i si pak musíme zapamatovat koeficienty iii d,c,b , jejichž vyjádření

pomocí momentů spline provedeme následovně.

Do vztahu pro spline (8.2.16) dosadíme za w a w (8.2.9) a (8.2.20)

ii hxxw /)( , ii hxxw /)(1

máme

135

i

i

iii

i

iii

i

iii

i

ii

iiiiii

hxxh

hxxh

hxxh

hxxh

yhxxyhxxxs

11

11

11

/1/)(

2

3

2

1

2

1

3

2

1

(8.2.28)

neboť je

3

3

2

2

3

113

131

11

i

i

i

i

i

i

i

ih

xxh

xxh

xxh

xx

(8.2.29)

Dostáváme tak

xs

i

iiiiiii

ii

i

i

i

y

hhyyxx

xx

hxx

i

2/

3

1

11

2

1

3

(8.2.30)

Odtud máme

iiiiiii hh/yyb 211 (8.2.31)

iic 3 (8.2.32)

iiii h/d 1 (8.2.33)

Spline v obvyklém tvaru polynomu (8.2.27) je také výhodnější pro výpočet derivací splinu.

Derivace splinu pak můžeme psát ve tvaru

232 iiiii xxdxxcbxs (8.2.34)

iii xxdcxs 62 (8.2.35)

idxs 6 (8.2.36)

Pro hodnoty derivací splinu v uzlových bodech máme pak jednoduché vztahy

ii bxs (8.2.37)

ii cxs 2 (8.2.38)

ii dxs 6 (8.2.39)

Vraťme se nyní k problému okrajových podmínek splinu. Tyto okrajové podmínky pro

interpolaci geopotenciálu zhodnotíme zejména z fyzikálního – meteorologického hlediska.

Zajímá nás především okrajová podmínka při povrchu Země, tedy pro uzlový bod nx , který

při interpolaci je nahrazen skutečným parametrem KBhz . Aproximujeme-li splinem

geopotenciál, pak podle hydrostatické rovnice máme

RThs (8.2.40)

h

TRhs

(8.2.41)

136

Výraz R/hs můžeme proto interpretovat jako teplotu a hs jako násobek vertikálního

gradientu teploty.

Nejjednodušší a nejobvyklejší okrajové podmínky jsou okrajové podmínky přirozeného splinu

01 a 02 , neboli 01 xs a 0nxs (8.2.42)

Okrajovou podmínku 0nxs můžeme fyzikálně interpretovat tak, že v okolí koncového

bodu nx , tedy při povrchu Země je podle (8.2.41) v atmosféře izotermie. Z hlediska

meteorologie není okrajová podmínka přirozeného splinu v okolí povrchu Země zcela ideální.

Ideální by bylo při Zemi předepsat reálnější okrajové podmínky. Buďto předepsat hodnotu

nxs , nebo nxs . K tomu bychom potřebovali analýzu přízemní teploty, nebo znalost

gradientu teploty. Tyto údaje bohužel nejsou obvykle k dispozici. Podle mého názoru je

fyzikálně nejrozumnější prakticky použitelnou podmínkou, aby na posledním intervalu

interpolace nn x,x 1 byl vertikální gradient teploty konstantní, a tedy, aby teplota byla

lineární funkcí logaritmu tlaku h. Tento fyzikální předpoklad je velmi reálný a v meteorologii

se pro aproximaci lokálního průběhu teploty často používá. Pro spline to prakticky znamená

okrajovou podmínku

0nxs (8.2.43)

Podle vztahů (8.2.36) a (8.2.33) máme

01 nd a odtud 1 nn (8.2.44)

Důsledkem této okrajové podmínky je že spline je na intervalu nn x,x 1 pouze kvadratickým

polynomem. Pro nás je tato skutečnost výhodná, protože pro polynom definovaný na tomto

intervalu musíme řešit obrácenou úlohu, ke známé hodnotě geopltenciálu s musíme nalézt

logaritmus přízemního tlaku sh . Při použití okrajové podmínky (8.2.43) vede tato úloha na

řešení kvadratické rovnice . Tuto úlohu pak můžeme řešit jednoduše bez iteračního procesu.

Okrajové podmínky publikované v knížce [3], které požadují, aby spline v koncových

bodech intervalu měl třetí derivace shodné s polynomem třetího stupně proloženým

posledními čtyřmi body se mi ani při interpolaci horizontálních polí v okolí hranic oblasti

příliš neosvědčily.

8.3 Výpočet logaritmu přízemního tlaku jeho jednoznačnost a realizace

Tento výpočet záleží především na tom, zda na intervalu, který obsahuje tlak povrchu

na orografické ploše je geopotenciál aproximován kvadratickým, nebo kubickým polynomem.

To je závislé jednak jak jsme viděli na okrajové podmínce splinu a také na tom, na jakém

intervalu spline konstruujeme. Tedy končí-li interval splinu v prvním bodě zadaných

tlakových hladin pod povrchem orografické plochy, jehož index je KB, nebo konstruujeme-li

spline na celém intervalu ℎ𝑧1 𝑎ž ℎ𝑧𝑘𝑧 . V tomto druhém případě bude na některých

intervalech geopotenciál aproximován kubickým polynomem a bude třeba pro tlak na

orografické ploše (přízemní tlak) řešit rovnici třetího stupně.

Zdálo by se, že otázka existence a jednoznačnosti řešení úlohy nalezení přízemního

tlaku, při obecnějších okrajových podmínkách splinu bude velmi komplikované. Zejména kdy

pro nalezení sh je třeba řešit kubickou rovnici. Ve skutečnosti tomu tak není. Podíváme-li se

137

na koeficienty splinu a na jeho průběh, uvidíme následující obraz. Koeficienty splinu při

vyšších mocninách ihh jsou menší a je tedy

iii dcb (8.3.1)

a mocniny rozdílu ihh můžeme odhadnout následovně

iiiii pz/pzlnhhhh 11 (8.3.2)

Maximální podíl mezi dvěma sousedními standardními tlakovými hladinami (9.1.4) je 1.4.

Odtud dostáváme odhad

133647041 ..lnhh i (8.3.3)

Odtud vyplývá, že mocniny se s růstem exponentu zmenšují

1132102

.hh i a 3

ihh 0. 038092 (8.3.4)

Je tedy vidět, že pro průběh splinu na intervalu 1ii h,h je rozhodující lineární člen, který je

největší. Spline má tedy v našem případě relativně malou křivost a je na všech intervalech i na

posledním intervalu obsahující povrch Země monotónně klesající. Proto na intervalu, ve

kterém funkce shs mění znaménko existuje právě jedno řešení sh naší úlohy shs .

Realizace úlohy je následující: logaritmus tlaku sh musíme hledat podle (8.2.3) na

intervalu KBKBnn hz,hzx,x 11 , nebo v případě KZKB i na rozšíření tohoto intervalu.

Při okrajové podmínce (8.2.43) 0nxs je na tomto intervalu 01 nd a spline je

kvadratickou funkcí tvaru

2iiiii hzhchzhbhs , kde 1 KBi (8.3.5)

sh dostaneme pak řešením kvadratické rovnice

02 siii zbzc (8.3.6)

kde jsme položili

1 KBs hzhz (8.3.7)

Dvě řešení této kvadratické rovnice můžeme psát ve tvaru

isiiii, c/cbbz 242

21

(8.3.8)

a tedy

zhzh KBs 1 (8.3.9)

Protože geopotenciál je klesající funkcí h musí být

02 iii hhcbhs (8.3.10)

Dosadíme-li sem za hodnoty h řešení kvadratické rovnice 21,sh z (8.3.8) máme

siiis cbhs 42

(8.3.11)

Protože derivace shs musí být záporná, je třeba v (8.3.8) vybrat kořen se znamínkem

mínus. Při výpočtu sh se může vyskytnout ještě jedna obtíž. Koeficient ic může být blízký

nule, nebo docela nulový. Zlomek v řešení (8.3.8) kvadratické rovnice proto rozšíříme

výrazem

138

siiii cbb 42

(8.3.12)

Dostaneme tak pro výpočet sh vztah.

siiii

si

is

cbbhh

4

2

2 kde 1 KBi (8.3.13)

Tento vztah již nemá zmíněný nedostatek.

V obecnějším případě, například okrajové podmínky přirozeného spline, je spline na

intervalu KBKB hz,hz 1 polynomem třetího stupně. Tento polynom je klesající funkcí a je-li

KZKB , pak podle (9.2.3) má funkce shs v koncových bodech opačná znaménka. Je-

li KZKB je tato funkce rovněž klesající, ale v bodě KZhz může nabývat kladnou hodnotu.

V tomto případě se pro výpočet sh používá extrapolace a interval na kterém hledáme sh

musíme zvětšit. Položíme-li maxpslnmaxhs , bude jistě smaxhss záporné a řešení

můžeme hledat na intervalu maxhs,hzKZ 1 . Můžeme však zvolit i jiný postup. Hodnotu

konce intervalu KZpz můžeme postupně zvětšovat, až pro její logaritmus, který označme

rovněž maxhs bude 0 smaxss . Pro nalezení nulového bodu sh funkce shs

použijeme podprogram – subrutinu ZEROIN publikovanou v knížce [1], nebo můžeme použít

jednoduchou, ale spolehlivou metodu půlení intervalu, která je pro tyto účely také dostatečně

rychlá.

8.4 Zpětná transformace ze -systému do p-systému

Tuto transformaci provedeme opět pomocí interpolace dat z výpočetní sítě definované

v -systému do sítě v p-systému. Interpolace se provádí opět vzhledem k logaritmu tlaku.

Protože hodnoty tlaku v uzlových bodech obou sítí již známe před transformací, je

transformace v tomto směru jednodušší.

Při zpětné transformaci se však vyskytuje jiný problém. V oblasti vysokých hor (Alpy,

Grónsko) leží některé tlakové hladiny hluboko pod terénem. Obraz je pak následující.

Zatímco vstupní data po analýze tlakového pole osahují určitým způsobem definovaná data i

v uzlových bodech, které leží hluboko pod terénem, pracuje model v systémech kopírujících

terén pouze s údaji ve skutečné atmosféře. Při transformaci do -systému jsme si mohli

všimnout, že údaje položené níže pod terénem jsme pro transformaci nepotřebovali a

informace v nich uložená byla při transformaci ztracena. Ukázalo se, že do bodů ležících

hlouběji pod terénem se nedají meteorologická data po vertikální ose extrapolovat z dat

daných v -systému, neboť vlivem velkých chyb jsou zcela nereálná. Je to podobná situace,

jako při přepočtu tlaku naměřených meteorologickými stanicemi na hladinu moře. Tento

přepočet s použitím barometrické formule, což není nic jiného, než přepočet pomocí

hydrostatické rovnice, se provádí pouze pro stanice do 800 m nad mořem. Ostatní stanice jsou

považovány za horské a tlak na hladinu moře se v nich nepřepočítává. Ukazuje se, že

zapamatovat si informaci, kterou při transformaci do -systému ztrácíme, nemá rovněž

smysl. Tato informace není součástí modelu a nemůže se s časem měnit. Po časové integraci

je pak již nepoužitelná. Proto doporučuji následující postup, který se nám osvědčil. Hodnoty

teploty, větru a vlhkosti pod terénem při zpětné transformaci do p-systému nepočítat. Vítr pro

139

zobrazení šipkami můžeme v těchto oblastech volit nulový. Tyto hodnoty nemají stejně reálný

fyzikální smysl. Chceme-li však, abychom pro grafické zpracování dostali plošně kompletní

tlakové pole, můžeme pro uzly pod terénem postupovat následovně. Pro body které leží

nehluboko pod terénem, můžeme hodnoty geopotenciálu stanovit extrapolací po vertikální

ose, obdobně jako se provádí při redukci tlaku na hladinu moře.

Pro posouzení, zda bod již leží hlouběji pod povrchem Země, odvodíme následující

kriterium. Obdobně jako je tomu u přepočtu tlaku na hladinu moře my označíme uzly ležící

pod terénem níže, než 800 m za uzly hlouběji položené. V těchto uzlových bodech nebudeme

již geopotenciál nepočítat extrapolací po vertikále. Toto kriterium musíme ovšem vyjádřit

alespoň přibližně pomocí tlaku, respektive logaritmu tlaku. Vyjdeme-li z hydrostatické

rovnice ve tvaru

Tg

R

h

z

(8.4.1)

do které na pravé straně dosadíme jako přibližné následující hodnoty v soustavě SI

287R , 819.g a absolutní teplotu KT 300 , pak předchozí vztah můžeme aproximovat

přibližným vztahem tvaru

8777

h

z (8.4.2)

Kriterium pro to, že tlaková hladina p leží již hlouběji (přibližně více než 800 m) pod

terénem, je dáno nerovností kterou obdržíme, když do (8.4.2) dosadíme za mz 800 .

Dostáváme tak pro plnh kriterium

091108777800 ./p/plnplnpln ss (8.4.3))

Aplikujeme-li na tuto nerovnost exponenciální funkci, máme pro bod ležící hlouběji pod

terénem, když tlak p v tomto bodě splňuje nerovnost

pp. s 0951 (8.4.4)

Pro vertikální extrapolaci můžeme použít polynom splinu definovaný na posledním intervalu.

Uzlové body ležící níže pod terénem tvoří určité ostrůvky – oblasti. V těchto oblastech pak

pro doplnění tlakového pole použijeme v podstatě interpolaci v horizontální rovině. V

uzlových bodech těchto oblastí definujeme geopotenciál jako harmonickou funkci, určenou

okrajovými podmínkami, geopotenciálem v bodech hranice těchto oblastí. Tato diskrétní

Dirichletova úloha se dá snadno řešit iterační metodou. Doplnění geopotenciálu touto

metodou se v praxi dobře osvědčilo.

Celkový obraz transformace je tedy následující.

Transformaci geopotenciálu z p-systému do -systému a zpět provedeme pomocí

splinu. Teplotu ve vrstvách, odpovídající v podstatě tloušťkám vrstev vypočteme diferenčně

pomocí hydrostatické rovnice. Chceme-li vypočítat teplotu v libovolném bodě vertikální osy,

například v - hladinách, můžeme ji vypočítat pomocí derivace splinu. Transformaci složek

horizontální rychlosti a vlhkosti můžeme provést také pomocí splinu, což je ovšem zbytečný

luxus. Pro transformaci těchto veličin postačí lineární interpolace, kterou ovšem provedeme

také vzhledem logaritmu tlaku h.

Přesnost transformace byla kontrolována a hodnocena následovně. Byla provedena

transformace do -systému a zpět do p-systému. Výsledek byl porovnán s původními

140

netransformovanými hodnotami v p-systému. V uzlových bodech uvnitř skutečné atmosféry

byly rozdíly mezi původními a transformovanými hodnotami maximálně pouze desítky

centimetrů. Pod terénem byly rozdíly o něco větší, ale též přijatelné. Spliny navíc zajistily

hladkost transformovaných dat v - systému, zejména v případě, že síť v -systému byla

jemnější než síť v p- systému.

Příloha: Vertikální souřadný systém Frederika G. Shumana a Johna B. Hovermala

Popis vertikálního souřadného systému vertikální souřadnice Frederika G. Shumana a

Johna B. Hovermala a transformace z p-systému do tohoto systému zde uvedeme, protože

polokulový model popsaný v článku [6] byl ve Spojených státech v denním provozu ve

státním meteorologickém centru „ National Meteorological Center“ od března 1967 po dobu

asi dvanácti let. Tento model je z hlediska historie numerické předpovědi počasí tedy jednou

z důležitých etap. Horizontální oblast modelu tvořila obdélníková oblast o 53x57 uzlových

bodech s horizontálním krokem v síti 381 km na stereografické mapě. Vertikálně se model

skládal ze sedmi vrstev s velmi složitou strukturou vertikálních souřadnic. Ve vertikálním

směru byly použity čtyři různé systémy vertikální souřadnice. V každém z těchto čtyř

segmentů měla vertikální souřadnice tvar

L

U

pp

pp

(P1)

kde Up je tlak na horní a Lp tlak na dolní hladině segmentu vertikální souřadnice. Tyto

segmenty směrem od Země jsou:

1. Mezní vrstva, pro kterou sL pp , kde sp je tlak na orografické ploše Země má

vzhledem k tlaku konstantní tloušťka 50 hPa tvoří jednu vrstvu modelu.

2. Dále následují tři vrstvy troposféry, které od stratosféry odděluje hladina tropopauzy,

která je definována jako materiální plocha určená analyzovaným tlakem hladiny

tropopauzy.

3. Nad tropopauzou jsou dvě vrstvy stratosféry

4. Nad nimi ještě jedna vrstva konstantní potenciální teploty , která je shora omezena

tlakovou hladinou 0p pro 0 .

Tento systém je tedy systém kopírující terén. Pro takto řídkou vertikální síť se zřejmě

tento systém při použití časových explicitních schémat osvědčil. Později při přechodu na

efektivnější metody časové integrace pomocí semi-imlicitních schémat se ukázalo, že pro

takto složitou vertikální strukturu se ani v NMC nepodařilo vyvinout správně fungující

semiimplicitní schéma. Proto se v předpovědních modelech začal používat relativně

jednoduchý původní Phillipsův systém vertikální souřadnice sp/p . Shuman-

Hovermalův model nahradil v roce 1979 Selův spektrální model právě ve Phillipsově

původním -systému. J.G.Sela [5]

V článku o modelu je však více zajímavých věcí. Jednak Shuman-Hovermalovo

explicitní schéma relativně dobře pracující na standardní síti (Arakawa A-síť) a také

transformace dat z p-systému do -systému pomocí kvadratických polynomů, kterých si

nyní všimneme.

141

Interpolace vychází z předpokladu, že mezi sousedními izobarickými plochami je

teplota lineární funkcí pln , což jsme my označili jako h. Zde má však tato funkce obecnější

význam. Je to libovolná funkce pouze tlaku hpp , kterou při interpolaci použijeme jako

nezávisle proměnnou. Hydrostatickou rovnici můžeme pak psát ve tvaru

h (P2)

kde dp/dhp/RT . Poznamenejme, že pro h je pc , kde je Exnerova

funkce a potenciální teplota. Pro náš obvyklý případ je plnh a RT . V dalším se

celkem bez ztráty obecnosti omezíme na tento nejdůležitější případ.

Na rozdíl od uvedené splinové interpolace geopotenciálu, která vycházela pouze

z hodnot geopotenciálu v uzlových bodech, Shuman as Hovermale pro určení interpolační

funkce použil i hodnot teploty v uzlových bodech interpolace. Zde bych chtěl upozornit, že

hodnoty teplot jsou zde v podstatě navíc, neboť musí splňovat hydrostatickou rovnici. Z této

rovnice rovněž vyplývá, že máme-li zadány v uzlových bodech teploty, pak jsou tím

v uzlových bodech zadány derivace geopotenciálu podle h podle vztahu

RTh

(P3)

Jsou-li dány tyto čtyři hodnoty

21

21

h,

h,, (P4)

pak je tím na intervalu 21 h,h určen polynom třetího stupně, který snadno obdržíme jako

Hermitovu interpolaci.

Chceme-li geopotenciál jakožto funkci h aproximovat po částech kvadratickými

polynomy, pak hodnotami (P4) by byly přeurčeny. Proto požadavek (P4) musíme oslabit.

Zjednodušení spočívá v tom, že je-li aproximující funkce h kvadratický polynom, potom

její derivace je lineární funkcí a podle hydrostatické rovnice je tedy také teplota lineární

funkcí a gradient teploty vzhledem k proměnné h konstantní. Proto nemůžeme splnit

podmínky Hermitovy interpolace, aby tato funkce nabývala v uzlových bodech předepsané

hodnoty derivací. Místo toho Shuman a Hovermale požaduje, aby gradient teploty, který je

dán interpolačním polynomem a je konstantní na intervalu 21 h,h byl dán diferenčním

vztahem

12

12

hh

TT

h

T

(P5)

Kvadratický polynom h napíšeme v souladu s Shumanem a Hovermalem ve tvaru

2

332

hhb

hhach (P6)

kde jsme souřadnici středu intervalu 21 h,h označili 2213 /hhh . Derivováním

předchozího vztahu máme

3hhbah

RT

(P7)

142

což vyjadřuje lineární průběh teploty. Derivujeme-li vztah (P7) obdržíme snadno hodnotu

koeficientu b. Máme

bhh

TR

2

2

(P8)

Podle (P5) pak máme

12

12

hh

TTRb

(P9)

Pomocí hodnot 21 , určíme koeficienty b, c. Dosazením 21 h,h do (P6) máme

2

313112

hhb

hhac (P10)

2

323222

hhb

hhac (P11)

Vzhledem k tomu že

22131 /hhhh a 21232 /hhhh (P12)

je

2

1221182

hhb

hha

c (P13)

2

1212282

hhb

hha

c (P14)

Odečtením těchto vztahů máme

1212 hha (P15)

Tento vztah nám určuje koeficient a

12

12

hha

(P16)

který můžeme fyzikálně interpretovat jako průměrnou teplotu na intervalu 21 h,h , tedy

v podstatě tloušťku dané vrstvy. Sečtením vztahů (P13) a (P14) dostaneme

2

12214

2 hhb

c (P17)

odkud dostáváme hodnotu c

2

122182

1hh

bc (P18)

Při této interpolaci je geopotenciál h spojitou, ovšem jen po částech hladkou funkcí h,

neboť uzlových bodech má jinou derivaci zleva a zprava. Stejně je to i s teplotou, která také

nenabývá v uzlových bodech původní zadané hodnoty.

Máme-li na vertikální ose dán průběh geopotenciálu jako funkce proměnné h potom

teplota je v každém bodě hydrostatickou rovnicí již jednoznačně určena. Proto zadáme-li

v uzlových bodech geopotenciál i teplotu, nemůžou být tyto údaje na sobě nezávislé, protože i

ony musí s určitou přesností splňovat aproximaci hydrostatické rovnice. Máme-li například

průběh geopotenciálu aproximován splinem, pak v uzlových bodech může být teplota dána

derivací splinu. Odtud je vidět, že pro aproximaci geopotenciálu splinem jsou údaje o teplotě

v uzlových bodech nadbytečné. Máme-li zadány údaje geopotenciálu i teploty v uzlových

143

bodech a jsou-li z nich některé údaje chybné, pak je možné provést kontrolu správnosti,

popřípadě i korekturu údajů. To je účelné provést s údaji naměřenými aerologickými

měřeními, které přicházejí po telekomunikační síti před provedením objektivní analýzy. Tato

kontrola se dá například uskutečnit proložením splinu metodou nejmenších čtverců, kde se

minimalizuje součet čtverců odchylek hodnot geopotenciálu i teploty s určitými váhami. Je-li

tento součet čtverců odchylek velký, jsou v údajích chyby, pak geopotenciál a teploty sobě

neodpovídají. Je-li součet malý, pak jsou údaje v pořádku. Pomocí této metody popsané

v článku [2] se dají i jednotlivé chybné údaje opravit. Z toho vyplývá, že údaje teplot

v uzlových bodech jsou pro aproximaci geopotenciálu opravdu nadbytečné. Poznamenejme

ještě, že kdybychom měli správné adekvátní údaje geopotenciálu i teploty, tedy též derivací

geopotenciálu v uzlových vypočtených derivováním splinu, pak při použití Hermitovy

interpolace bychom dostali stejné polynomy třetího stupně, jako při použití interpolace

pomocí splinu.

Literatura:

[1] Baťka M., Bubnová R.: O transformaci dat pro vertikálně diskretizované předpovědní

modely, ve kterých je použita transformovaná vertikální souřadnice. Meteorologické Zprávy,

ročník 41, č. 6, 1988 str.168-173.

[2] Baťka M., Bubnová R.: Vertikální kontrola aerologických dat pro objektivní analýzu

založená na slinové aproximaci. Meteorologické Zprávy, ročník 43, č. 3, 1990 str. 65-69.

[4] Foshyte G. E., Malcolm M. A., Moler C. B.: Computer Methods for Mathematical

Computations. Prentice-Hall, 1977.

[4] Haltiner G. J., Martin F.L.: Dynamical and Physical Meteorology. McGraw-Hill, New

York Toronto London 1957

[5] J.G. Sela: Spectral Modeling at the National Meteorological Center. Monthly Weather

Review Vol. 108, No. 9. 1980, s. 1279-1292.

[6] Shuman.F., Hovermale J. B. 1968: An Operational Six-Layer Primitive Equation Model.

J. of Applied Meteorology 7, No.4, 525-547.

144

9. Úvod do diferenčních metod

Evoluční úlohy

V této části se budeme zabývat časovou integrací evolučních úloh, které popisují

vývoj atmosféry. Evoluční úlohu lze formulovat ve velmi obecném tvaru. V monografiích o

numerické matematice pro matematiky je tato úloha formulována pomocí termínů

funkcionální analýzy v Banachových prostorech [6]. Banachův prostor B je definován jako

úplný lineární normovaný prostor, jehož normu prvku u, označujeme u .

Evoluční úlohu formulujeme následovně:

Hledáme jednoparametrický soubor prvků Banachova prostoru B tu , kde t je reálný

parametr takový, že

TtprotAutudt

d 0 (9.1)

a je splněna počáteční podmínka

00 uu

kde A je lineární operátor a 0u je zadaný prvek Banachova prostoru B.

Pro řešení evolučních úloh meteorologie, které budeme studovat prvky tu popisují

stav atmosféry a jsou to funkce prostorových proměnných a času t. 0u tedy charakterizuje

počáteční stav fyzikálního systému. Funkce tu může být obecně i vektorovou funkcí.

V úlohách dynamiky atmosféry je však operátor A nelineární diferenciální operátor. Pro

takovéto úlohy bychom potřebovali obecnější teorii. I když teorie prezentovaná v monografii

[6] platí pouze pro linearizované rovnice dynamiky atmosféry, dává nám určitý pohled na

problémy jejich časové integrace, neboť mnohé z teorie má smysl i pro obecnější případ.

Musíme si ještě vysvětlit, co znamená derivace dt/tdu . Tato derivace je dána tím, že ve

formulaci evoluční úlohy (1) definujeme, co rozumíme přesným řešením této evoluční úlohy

na intervalu Tt 0 . Řešením je jednoparametrický soubor prvků ležících v definičním

oboru operátoru A pro který 00 uu a pro libovolné t z intervalu Tt 0 je

0

tAu

t

tuttu pro 0t (9.2)

Jestliže jsou zadány okrajové podmínky, pak předpokládáme, že definiční obor operátoru A

se skládá z funkcí, které tyto podmínky splňují. Operátor A může záviset i explicitně na čase t,

což nastává v případě, že koeficienty diferenciálních rovnic jsou funkcemi času t.

Evoluční úlohu nazýváme korektní úlohou, neboli korektně zadanou úlohou jestliže

pro určitou množinu D počátečních podmínek Du 0 existuje jednoznačně určené řešení této

úlohy a tato řešení spojitě závisí na počátečních podmínkách, tedy jsou-li tv,tu přesná

řešení evoluční úlohy s počátečními podmínkami 00 v,u ležícími v D pak existuje konstanta

K, že

00 uvKtutv . (9.3)

145

Základní způsoby řešení evolučních rovnic

Evoluční úlohy, které budeme studovat, jsou formulovány jako řešení parciálních

diferenciálních rovnic, které je funkcí času. Jedná se tedy o řešení parciálních diferenciálních

rovnic hyperbolického a parabolického typu. Pro studium rovnic, které popisují vývoj

atmosféry a jejích řešení, se používá několik různých přístupů. Rovnice skutečných

předpovědních modelů jsou natolik a složité, zejména vzhledem k své nelinearitě, že jejich

řešení není možné vyjádřit pomocí elementárních funkcí, tedy v tak zvaném konečném tvaru,

čemuž se také někdy říká analytické řešení. Rovnice můžeme tedy řešit pouze numericky.

Použití numerického řešení vyplývá také z toho, že vstupní údaje jsou data naměřená

na konečném počtu bodů nepravidelné sítě a jsou zadána tedy diskrétně. Proto prvním krokem

pro řešení těchto rovnic je přepracování vstupních dat do tvaru použitelného pro jejich řešení,

kterému se říká objektivní analýza. Výsledkem objektivní analýzy jsou počáteční data pro

předpověď zadaná již na regulární výpočetní síti, ovšem rovněž diskrétně. Regulární sítí zde

rozumíme síť uzlových bodů v rovině, která vznikne jako průsečíky zadaných souřadnicových

křivek. Obdobně v prostoru jako průsečíky souřadnicových ploch. Například pro systém

kartézských souřadnic v rovině tvoří regulární síť průsečíky přímek rovnoběžných s osami

souřadnic. Krok v síti však nemusí být nutně konstantní. Objektivní analýza je v současné

době stále složitějším procesem, který je spojen s časovou integrací evoluční úlohy, při které

se vkládají v některých okamžicích, nebo i průběžně nové naměřené údaje.

I když pro numerické řešení evoluční úlohy předpokládáme, že počáteční podmínky

jsou zadány hodnotami proměnných na diskrétní síti uzlových bodů, které se říká také

kolokační síť, jsou možné v podstatě dva základní přístupy při numerickém řešení zmíněných

evolučních úloh. Nejběžnější a také nejstarší a nejpoužívanější jsou diferenční metody.

V tomto případě pracujeme přímo s hodnotami na síti, když diferenciální operátory nahradíme

operátory diferenčními. Těmto metodám se budeme věnovat nejdříve.

Druhou možností je dodefinovat funkce diskrétně zadané na kolokační síti na celou

spojitou oblast, tedy i mimo uzlových bodů. To se obvykle provede tak, že funkce definované

na kolokační síti aproximujeme lineárními kombinacemi funkcí nějaké zvolené base. Tyto

basové funkce jsou definované v celé oblasti a jsou tedy funkcemi prostorových proměnných.

Koeficienty těchto lineárních kombinací jsou naopak funkcemi pouze času t. Basi mohou

tvořit například trigonometrické funkce. Mají-li basové funkce derivace, pak tyto lineární

kombinace můžeme derivovat člen po členu a tedy výpočty derivací provádět analyticky.

Chyba při výpočtu derivací je pak dána tím, že lineární kombinace pouze aproximuje danou

skutečnou funkci a tato chyba závisí také na vlastnostech použité base.

Druhý přístup studia evolučních rovnic předpovědi meteorologických proměnných

spočívá v jejich dosti drastickém zjednodušení, zejména odstraněním jejich nelineárních

členů, (linearizace rovnic), abychom tyto rovnice mohli vyřešit analyticky. Analytické řešení

těchto zjednodušených rovnic nám pak dovolí studium jejich vlnových vlastností. To

znamená, jaké vlny dané rovnice popisují, jaké jsou jejich fázové rychlosti, atd. Tímto

146

způsobem se studují i některé jevy probíhající v atmosféře, jako jsou různé případy instability,

například baroklinní instabilita.

Diferenční metody řešení evolučních rovnic

Prvním problémem, kterým se budeme nyní zabývat, je způsob jakým při použití

diferenčních metod nahradíme derivace jejich aproximacemi. Zde bych chtěl upozornit na

jednu skutečnost, která se týká teorie interpolace a numerického výpočtu derivací, že metoda

výpočtu derivací pomocí diferencí je metodou dosti obecnou. Když totiž přibližný výpočet

derivací provedeme tak, že funkci zadanou v uzlových bodech aproximujeme algebraickým

polynomem, který potom derivujeme, neobdržíme nějakou novou aproximaci, ale aproximaci

derivace, kterou můžeme rovněž vyjádřit pomocí diferencí.

Studujme nyní funkci xuu zadanou na intervalu L,x 0 . Interval rozdělíme na

J stejných dílů délky x , kterou nazýváme délkou kroku v síti, nebo jednodušeji krokem

v síti. Uzlovými body jsou koncové body jednotlivých intervalů o souřadnicích xj , kde

J,...,,,j 210 . Funkce je pak aproximována přibližnými hodnotami xjuu j ,

J,...,,,j 210 v uzlových bodech sítě. Často se tyto hodnoty interpretují jako průměrné

hodnoty funkce v okolí uzlového bodu, v našem jednorozměrném případě jako

průměrné hodnoty funkce na intervalech 22

xx,

xx

. I v případě, že bychom znali

hodnoty funkce xu v uzlových bodech sítě s velkou přesností, nedávají tyto hodnoty

informaci o tom, jak se chová tato funkce mezi těmito uzlovými body.

Pro vyjasnění některých vlastností aproximací, je účelné vyjádřit studovanou funkci na

intervalu L,x 0 ve tvaru Fourierovy řady, (tedy vlastně jako již zmíněnou lineární

kombinaci base tvořené trigonometrickými funkcemi)

L

xnsinb

L

xncosa

axu n

n

n 222 1

0

(9.4)

Protože máme zadáno pouze 1J hodnot ju nemůžeme vypočítat všechny koeficienty

jj b,a nekonečné Fourierovy řady, můžeme je ale použít k výpočtu 1J rozličných

koeficientů. Je přirozené určit 1J koeficientů dlouhovlnných složek, tedy složek

s nejnižšími vlnovými čísly. Připomeňme zde, že vlnové číslo n je počet sinusových vln na

intervalu L,x 0 a délka vlny s vlnovým číslem n je rovna L/n. Potřebujeme tedy určit

koeficient 0a a členy s koeficienty jj b,a pro 221 /J,...,,n . Mezi těmito složkami je

nejkratší vlna pro 2/Jn . Délku této vlny můžeme vyjádřit následovně

xx/L

L

J

L

n

L

2

22 (9.5)

Z toho vyplývá, že pomocí hodnot ju v uzlech sítě nemůžeme popsat vlnu kratší, než vlnu

délky x2 . Vlna délky x2 je nejkratší vlna, kterou může daná síť popsat. Poznamenejme

ještě, že Fourierovy řady se bez újmy obecnosti obvykle studují na intervalu jednotkové délky

xu

xu

147

a proměnná x pak probíhá interval 2,0x . Efektivní provedení výpočtu koeficientů

konečné Fourierovy řady je studováno v kapitole 24. Finitní Fourierova transformace.

Zabývejme se nyní rozdíly mezi hodnotami ju , které v dalším použijeme pro

aproximaci derivací. Tyto rozdíly se nazývají diferencemi, nebo též konečnými diferencemi.

Tyto diference můžeme počítat na jednom i více intervalech x . V závislosti na tom,

vzhledem ke kterému bodu diferenci vztahujeme, což může být i například střed úsečky mezi

dvěma uzlovými body, považujeme diference za centrální, nebo diference vpřed, nebo vzad.

Bod, ke kterému diferenci vztahujeme, označíme indexem u diference. Vztahujeme-li

diferenci ke středu intervalu x označujeme ji lomeným indexem 21 /j . Takže diferenci

jjj uuu 1 (9.6)

považujeme za diferenci vpřed, zatímco stejnou diferenci vztaženou ovšem ke středu

intervalu x

jj/j uuu 121 (9.7)

považujeme za centrální diferenci.

Diference je výhodné definovat obecnějším vztahem, ve kterém nepoužijeme indexy.

Centrální diferenci definujeme pak vztahem

22

xxu

xxuu (9.8)

Aproximaci derivace x

u

centrální diferenci na intervalu délky x pak píšeme ve tvaru

22

1 xxu

xxu

xx

uux (9.9)

Obdobně, jako jsme definovali diferenci, definujeme i výpočet průměru na síti. Ten

definujeme vztahem

222

1 xxu

xxuu x

. (9.10)

Tyto dva vztahy můžeme spolu kombinovat a dostáváme tak nové zápisy diferenčních vztahů.

Snadno nahlédneme, že například

x/uux/xxuxxuuu jj

x

x

x

x 22 11 (9.11)

je obvyklá aproximace derivace centrální diferencí na intervalu x2 . Pomocí operátoru x

můžeme také snadno zapisovat aproximaci druhých derivací. Výraz

22 x/xxuxuxxuuxx (9.12)

je obvyklá aproximace druhé derivace.

Je-li funkce y,xu funkcí dvou proměnných x, y, můžeme operátory diferencování

y a průměru yu ve směru osy y definovat obdobně a můžeme také tyto operátory ve

směrech obou os y,x spolu vzájemně kombinovat. Toho se při zápisech aproximací rovnic

předpovědních modelů hojně používá.

Jednou z možností, jak aproximovat diferenciální rovnice, je jednoduše nahradit

derivace jejich příslušnými konečnými diferencemi. Například

148

x

uu

dx

du jj

j

1 (9.13)

Tento podíl diferencí je pouze jednou z možností, jak aproximovat první derivaci v uzlovém

bodě j.

Jestliže jakýkoliv diferenční výraz má být použit jako aproximace derivace, musí být

konzistentní. Tím rozumíme, že limitou výrazu, když se délka kroku blíží k nule, musí být

hodnota aproximované derivace. Hodnoty diferenčních aproximací musí tedy pro 0x

konvergovat k hodnotě derivace.

Důležité informace o aproximaci dostaneme, když přesné řešení xju dosadíme do

aproximace derivace místo hodnot ju , zadaných v uzlových bodech sítě, a členy tvaru

xjxu rozvineme v Taylorův rozvoj se zbytkovým členem v Lagrangeově tvaru v okolí

centrálního bodu, (bodu ve kterém derivaci aproximujeme). Dostaneme tak vztah

x~

dx

udx

dx

du

x

xuxxu

j

2

2

2 (9.14)

kde bod x~ leží v intervalu xx,xx~ . Chyba aproximace, kterou označme je tedy

rovna

x~

dx

udx

2

2

2 (9.15)

Tato chyba má tvar konstanty násobené krokem v síti, tedy xc , což označujeme jako xo

a říkáme, že tato aproximace je prvního řádu. Obdobně můžeme vyjádřit chybu aproximace

derivace centrální diferencí, máme

x~

dx

udx

dx

du

x

xxuxxu

j

3

32

62 (9.16)

vidíme, že chyba aproximace má zde tvar konstanty násobené 2x , což zapisujeme ve tvaru

2xo a říkáme, že tato aproximace je druhého řádu přesnosti. Obdobně můžeme zjistit, že

aproximace druhé derivace udx

udxx

2

2

je rovněž druhého řádu přesnosti. Chybu, která

vzniká při této lokální aproximaci, nazýváme chybou aproximace.

Diferenční schémata pro řešení evolučních úloh diferenciálních rovnic

Algebraickou rovnici, kterou dostaneme, když v diferenciální rovnici nahradíme

derivace příslušnými konečnými diferencemi, nazýváme diferenční aproximací diferenciální

rovnice, nebo diferenčním schématem. Metodu, při které diferenciální rovnici nahradíme

diferenčními aproximacemi, nazýváme diferenční metodou, nebo také často metodou sítí.

V tomto odstavci zavedeme pojem konsistence, chybu aproximace stabilitu schématu a

chybu diferenčního schématu.

149

Pro snadné odvození i pochopení vlastností diferenčních aproximací rovnic

používaných pro předpověď počasí se nyní soustředíme na řešení evolučních úloh pro několik

jednoduchých rovnic. Výsledky, ke kterým dojdeme lze zobecnit i na mnohem obecnější

případy systémů rovnic popisujících vývoj atmosféry.

Lineární rovnice advekce

Jako první začneme se studiem lineární rovnice advekce v jednodimensionálním

případě. Tato rovnice má tvar

0

x

uc

t

u (9.17)

kde t,xuu je funkcí prostorové souřadnice x a času t a c je kladná konstanta.

Předchozí rovnice popisuje advekci proměnné u konstantní rychlostí ve směru osy x.

Tuto jednoduchou rovnici můžeme ovšem řešit analyticky. Je užitečné nejdříve řešit tuto

rovnici analyticky, abychom mohli studovat vlastnosti numerických řešení jejich srovnáním

se známými vlastnostmi přesného řešení.

Pro vyjádření přesného řešení, je účelné přejít od proměnných x, t, k novým

proměnným t, substitucí

ctx (9.18)

Použijeme-li označení

t,Ut,xu (9.20)

derivováním dostaneme

t

UUc

t

t

t

U

t

U

t

u

(9.21)

U

x

t

t

U

x

U

x

u (9.22)

Dosadíme-li nyní (9.21) a (9.22) do rovnice (9.17) dostáváme

0

t,U

t (9.23)

Odtud vidíme, že funkce U nemůže být funkcí času t, ale může být libovolnou funkcí .

Řešení lineární rovnice advekce (9.17) je proto

ctxffu (9.24)

kde f je libovolná funkce. Toto řešení je obecným řešením rovnice advekce (9.17), protože

může splňovat libovolnou počáteční podmínku

xF,xu 0 (9.25)

kde funkce xF je námi zadaná počáteční podmínka, neboť

ctxFu (9.26)

je řešením rovnice advekce (9.17) vyhovující počáteční podmínce (9.25).

Pro fyzikální interpretaci je výhodné studovat řešení v rovině x, t. Vidíme, že v tomto

případě nabývá řešení konstantní hodnoty na přímkách

constctx (9.27)

150

Tyto přímky jsou charakteristikami rovnice advekce. Rovina x, t s charakteristikou

constctx , je zobrazena na obrázku 9.1. Můžeme říci, že řešení se šíří podél

charakteristik.

Obrázek 9.1 Zobrazení charakteristiky lineární rovnice advekce

Nyní odvodíme schéma pro nalezení přibližného řešení rovnice advekce (9.17) pomocí

metody sítí.

Nyní budeme hledat pouze přibližné řešení na diskrétní soustavě bodů v rovině ,

které tvoří síť, jejímiž uzlovými body jsou body o souřadnicích tn,xj . Hodnoty

přibližného řešení v těchto uzlových bodech označme n

ju .

Chování přesného řešení, které se šíří podél charakteristik v rovině t,x nám navozuje

myšlenku sestrojit aproximaci rovnice advekce nahrazením časové derivace diferencí vpřed a

prostorové derivace diferencí vzad. Jako výsledek dostáváme následující schéma

01

1

x

uuc

t

uun

j

n

j

n

j

n

j (9.28)

Toto schéma můžeme nazvat schématem vpřed, směřujícím proti proudu, anglicky (forvard

and upstream scheme). Poslední slova indikují polohu bodu 1j vzhledem ke směru

rychlosti advekce. Je to samozřejmě jen jedna z možných konsistentních aproximací dané

diferenciální rovnice.

Numerické řešení pomocí daného schématu dostaneme tak, že vyjádříme hodnoty

pomocí hodnot ze vztahu (9.28). Máme

n

j

n

j

n

j

n

j uux

tcuu 1

1

(9.29)

Protože pro výpočet hodnot 1n

ju nepotřebujeme řešit soustavy rovnic, ale máme explicitně

vyjádřeny hodnoty v čase n+1, nazýváme takováto schémata explicitními. Postupujeme-li tak,

že vyjdeme z počátečních podmínek v čase n=0 a počítáme hodnoty pomocí schématu (9.29)

v dalších časových hladinách pro n 1, 2, 3, …, dostáváme numerické řešení n

ju . Schéma

můžeme zapsat také stručněji, označíme-li

x

tc

(9.30)

ve tvaru

t,x

1n

jun

ju

151

n

j

n

j

n

j uuu 1

11

(9.31)

Předchozí schéma můžeme také interpretovat následujícím způsobem. Chceme-li získat

hodnotu v čase 1n z hodnot v čase n, víme z analytického řešení, že za čas t se

řešení posune doprava o délku tc . Nechť souřadnice uzlového bodu j je rovna x, pak

hodnota 1n

ju bude stejná jako hodnota u v předchozím čase n v bodě , kterou

označme *u , tedy . Jinými slovy uzlový bod tn,x 1 a bod tn,tcx leží

na stejné charakteristice constctx . Padne-li bod tcx do intervalu x,xx , což

nastává v případě, že 1 x/tc , pak vidíme že vztah (9.31) můžeme interpretovat jako

lineární interpolaci hodnoty do bodu tcx pomocí hodnot v uzlových bodech o

souřadnicích xx a x, tedy o indexech j,j 1 .

Pro malé hodnoty t,x diferenční rovnice aproximují diferenciální rovnici, proto je

možné očekávat, že numerické řešení bude též aproximovat řešení diferenciální rovnice.

V mnohých případech však tomu tak není. Pro studium vlastností numerických řešení je

výhodné porovnávat numerické řešení s přesným řešením, které máme v našem případě

k dispozici. Rozdíl mezi numerickým a přesným řešením

tn,xjuun

j (9.32)

nazýváme chybou numerického řešení.

Je zřejmé, že chybu numerického řešení obvykle neznáme. Můžeme však určit míru

přesnosti schématu když dosadíme přené řešení tn,xju diferenciální rovnice do

numerického schématu. Protože přesné řešení nesplňuje přesně diferenční schéma, dostaneme

po jeho dosazení do numerického schématu hodnotu, kterou označme . Je tedy

x

tn,xjutn,xjuc

t

tn,xjutn,xju 11 (9.33)

Hodnota se nazývá chyba aproximace. Tato chyba ukazuje lokální přesnost aproximace.

Rozvedeme-li obdobně jako při studiu aproximace derivaci v okolí bodu tn,xj členy

(9.33) v Taylorův rozvoj, dostaneme, že chybu aproximace můžeme napsat ve tvaru

xoto (9.34)

což se obvykle píše ve zkráceném tvaru

x,to (9.35)

Odkud vidíme, že schéma (9.28) je prvního řádu přesnosti pro prostorovou souřadnici i čas.

Diferenční schéma nazýváme konzistentní, jinými slovy, že aproximuje danou diferenciální

rovnici, když je alespoň prvního řádu přesnosti pro všechny nezávisle proměnné.

1n

ju

tcx

*n

j uu 1

*n

j uu 1

152

Konvergence numerického schématu

Chybu aproximace můžeme zmenšováním časového a prostorového kroku x,t

udělat libovolně malou. Bohužel z toho však nevyplývá, že se též zmenšuje chyba

numerického řešení. Proto se nyní vrátíme ke studiu chyby numerického řešení.

Položme si nyní dvě následující otázky.:

1. Jak se chová chyba numerického řešení tn,xjuun

j v pevně zvoleném časovém

intervalu tn, 0 , když přírůstky t,x se blíží k nule?

2. Jak se chová tato chyba tn,xjuun

j , když necháme hodnoty t,x konstantní,

ale počet kroků n necháme růst k nekonečnu.

Na první otázku je snadná odpověď. Tato otázka vede k definici konvergence

numerického schématu k přesnému řešení, což je vlastně cílem numerické metody. Řekneme

tedy, že když pro 00 t,x rovněž 0 tn,xjuun

j , pak numerické řešení

konverguje k přenému řešení. To však nenastává automaticky vždy.

Nyní se budeme zabývat druhou otázkou, která vede k definici stability schématu.

Stabilita schématu je totiž klíčovou vlastností pro možné použití schématu pro výpočet i pro

jeho konvergenci k přesnému řešení.

K pochopení problému vede také souvislost mezi tím, v jaké oblasti je určeno

numerické řešení ve vztahu k charakteristikám diferenciální rovnice. Při výpočtu numerického

řešení vycházíme z počáteční podmínky, která je pro numerické řešení stanovena vždy na

konečném intervalu. Numerické řešení určené schématem (9.28), neboli (9.30) je definováno

v určitém pásu. Tento pás je dán hodnotami, které jsou pro výpočet hodnot v síti v dalším

časovém kroku k dispozici. Obrázek 9.2.

Obrázek 9.2 Možná poloha charakteristiky a oblasti numerického řešení, které je označeno

kroužky, což je oblast závislosti

Tento pás budeme nazývat oblastí závislosti. Tangens úhlu, který svírají hranice pásu s osou

x, je roven x/t . Vezmeme-li nyní některý uzlový bod na levé hranici oblasti závislosti a

vedeme jím charakteristiku diferenciální rovnice, pak můžou nastat dva případy. Buďto

charakteristika prochází intervalem, ve kterém jsou definovány počáteční podmínky, pak je

153

vše v pořádku a řešení může být definováno. Když však charakteristika prochází mimo

interval počátečních podmínek, pak přesné řešení je dáno průsečíkem charakteristiky s osou x

a nemá tedy nic společného s hodnotami, které určují numerické řešení. Aby numerické řešení

mělo smysl, je tedy třeba, aby sklon a tedy tangens úhlu charakteristiky byl větší nebo roven

než úhel hranic oblasti závislosti. Derivováním rovnice charakteristiky constctx máme

cdx

dt 1 a tedy

cx

t 1

, odkud máme

xtc (9.36)

což je podmínka stejná, jako jsme výše potřebovali, aby schéma ve tvaru (9.31) jsme mohli

interpretovat jako interpolaci.

Definice stability schématu

Obecná přesná definice stability, která je uvedena například v monografii Richtmyera

a Mortona [6] využívá prostředky funkcionální analysy. Pro naše účely takto obecnou

formulaci nepotřebujeme, protože se týká řešení diferenciálních rovnic, které nemají omezená

řešení. Rovnice používané v meteorologii jsou však takového charakteru, že jejich řešení jsou

omezená, existuje vždy tedy konstanta K, že pro řešení, v našem případě u, platí Ku .

Odpověď na otázku 2. bude tedy následující. Budeme studovat, zda chyba tn,xjuun

j

zůstává omezená při konstantních hodnotách ∆𝑥, ∆𝑡, když n zvětšujeme nad všechny meze.

Vzhledem k předpokladu omezenosti řešení stačí, místo omezenosti chyby tn,xjuun

j

požadovat omezenost samotného numerického řešení. Proto můžeme v našem případě

definovat stabilitu následovně: Numerické schéma nazveme stabilním, když pro konstantní

t,x a pro n je numerické řešení omezené, tedy Kun

j , kde K je konstanta.

Laxova věta o ekvivalenci

Nechť máme korektně zadanou úlohu s lineárním operátorem a její

diferenční aproximace je konzistentní (její chyba aproximace je alespoň prvního řádu

přesnosti) pak stabilita je nutnou a postačující podmínkou pro konvergenci.

V tomto tvaru je uvedena Laxova věta například v monografii Richtmyera a Mortona [6].

Metody vyšetřování stability.

Pro studium stability numerických schémat budeme v dalším stále předpokládat, že

přesné řešení aproximované diferenciální rovnice je omezené a proto také můžeme používat

zjednodušenou definici stability.

Pro studium stability schématu (9.28) budeme používat jeho zápis ve tvaru

n

j

n

j

n

j uuu 1

11

(9.37)

kde

x

tc

(9.38)

154

Přímá metoda

Je-li , což vzhledem k tomu, že podle předpokladu je 0 není nic jiného

než že Ze vztahu (9.37) dostáváme odhad

n

j

n

j

n

j uuu 1

11

(9.39)

Odhadneme-li pravou stranu tím, že zaměníme hodnoty a n

ju 1 maximem n

jumax

přes všechny indexy j dostaneme pro maximum 1n

umax odhad

n

j

n

j umaxumax 1

(9.40)

za předpokladu, že , což je kriterium stability dostáváme, že maxima z absolutní

hodnoty diferenčního řešení tvoří docela nerostoucí posloupnost a diferenční řešení je tedy

omezené a tedy stabilní.

Nevýhoda této jednoduché metody analýzy stability spočívá v tom, že ji lze použít jen

v omezeném počtu případů, například také pro aproximace parabolických rovnic, kde prvá

strana splňuje princip maxima.

Energetická metoda

Výhoda této velmi hojně používané metody spočívá v tom, že ji lze použít pro velmi

širokou třídu rovnic, zejména tím, že je použitelná i pro aproximace nelineárních parciálních

diferenciálních rovnic. Tato metoda je založena na tom, že je-li omezeno diferenční řešení, je

také omezen součet a také obráceně, je-li omezen tento součet, jsou omezeny také

hodnoty n

ju a schéma je pak stabilní. Tato metoda se nazývá energetickou metodou, neboť

součty kvadrátů ve fyzice mají často význam energie. Zde se ovšem budeme dívat na součet

j

n

ju2

pouze jako na matematickou definici energie, pomocí které můžeme dokázat

stabilitu numerického schématu.

Umocníme-li diferenční výraz (9.37) na druhou mocninu a sečteme přes index j,

dostaneme

(9.41)

Nyní předpokládejme, že funkce u je periodickou funkcí proměnné x, což bývá pro mnohé

úlohy splněno a jsou tedy splněny cyklické okrajové podmínky, například

Juu 1 (9.42)

v tomto případě je

j j

n

j

n

j uu22

1 (9.43)

Na prostřední člen prvé strany (9.41) použijeme Schwarzovu nerovnost

22 baab (9.44)

(Levou stranu Schwarzovy nerovnosti můžeme interpretovat jako skalární součin vektorů a

pravou stranu jako součin jejich délek. Podíl těchto dvou veličin je cosinem úhlu, který

01

xtc

n

ju

xtc

j

n

ju2

j j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j uuuuu2

1

2

1

2221121

155

vektory svírají. Geometrická interpretace nerovnosti nám tedy říká, že cosinus je v absolutní

hodnotě vždy menší nebo roven jedné.) Dostaneme tak odhad

j j

n

j

j j

n

j

n

j

n

j

n

j uuuuu22

1

2

1 (9.45)

Použijeme-li vztahy (9.43), (9.45) a předpokladu, že 01 platí pro (9.41) odhad

j j

n

j

n

j uu2

2221121 (9.46)

což je

j j

n

j

n

j uu221

(9.47)

Tím jsme ukázali, že pro cyklické okrajové podmínky při splnění podmínky stability

xtc je schéma stabilní.

Metoda von Neumanna

Metoda von Neumanna založená na rozvoji do Fourirovy řady je používána nejčastěji.

Nevýhodou této metody je, že se nedá použít pro zjištění stability nelineárních rovnic, a proto

se studium jejich stability musí omezit pouze na jejich linearizovanou versi. Řešení lineárních

rovnic nicméně můžeme vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady, jejíž každá harmonická složka je

rovněž řešením. Proto můžeme stabilitu testovat pro každou harmonickou složku řešení a

stabilita všech harmonických složek je pak nutnou podmínkou pro stabilitu schématu.

Pro ilustraci této metody je užitečné odvodit analytické řešení rovnice advekce (9.17)

0

x

uc

t

u (9.48)

ve tvaru pro jednu harmonickou složku

ikxetURet,xu (9.49)

Kde tU je amplituda vlny, komplexní funkce reálné proměnné času t, k vlnové číslo.

Dosadíme-li tento výraz do předchozí rovnice (9.48) dostaneme

0 ikcUdt

dU (9.50)

Problém řešení parciální diferenciální rovnice je tak převeden na řešení obyčejné diferenciální

rovnice. Její řešení je

ikcteUtU 0 (9.51)

kde 0U je počáteční hodnota amplitudy. Odtud hledané harmonické řešení má tvar

ctxikeURet,xu 0 (9.52)

Vidíme, že každá vlnová složka se posunuje s konstantní rychlostí c ve směru osy x aniž by se

její amplituda měnila. Poznamenejme, že do rovnice (9.48) jsme dosadili komplexní hodnotu

ikxetU , která má obě složky reálnou i imaginární a vztah musí platit pro obě složky. Proto

jako harmonické řešení bychom místo (9.49) mohli vzít také imaginární část.

156

Vraťme se nyní k metodě von Neumanna. Budeme proto hledat řešení diferenční

rovnice v analogickém tvaru jako rovnice diferenciální. Do rovnice (9.31)

n

j

n

j

n

j uuu 1

11

(9.53)

dosadíme řešení v následujícím tvaru

xikjnn

j eUReu (9.54)

Zde nU je amplituda v časovém kroku n. Výraz

xikjn eU dosadíme do (9.53) a po vydělení

rovnice hodnotou xikje , dostaneme

xiknnn eUUU 11 (9.55)

neboli nn UU 1

(9.56)

kde xike 1 (9.57)

Přejdeme-li ve vztahu (9.56) k absolutním hodnotám, máme nn UU 1 (9.58)

Odtud pak dostaneme, že

0UUnn (9.59)

Z tohoto vztahu je vidět, že když 1 , pak pro rostoucí n roste nU nade všechny meze.

Nutnou a postačující podmínkou pro stabilitu schématu je aby

1 (9.60)

Poznamenejme, že tato podmínka je nutnou pouze v našem případě omezených řešení.

Studujme nyní stabilitu řešení naší diferenční rovnice (9.53). Hodnota pro toto

schéma je dána vztahem (9.57). Pro rozbor stability potřebujeme nejdříve vypočítat absolutní

hodnotu . Protože je komplexní číslo, jeho absolutní hodnotou je odmocnina ze součtu

čtverců jeho reálné a imaginární složky. Máme tedy

(9.61)

V důsledku toho je podmínka 01 opět postačující podmínkou pro stabilitu schématu.

Vztah (9.61) obsahuje však další informace o chování řešení, které můžeme dostat

budeme-li studovat závislost jako funkce pro různé hodnoty xk . Můžeme si zobrazit i

křivky jakožto funkce . V našem případě jsou tyto křivky parabolami. Kromě toho si

připomeňme, že nejkratší délka vlny L na síti je pro vlnové číslo . Nyní si

najdeme ještě minimální hodnoty . Derivujeme-li (9.61) podle dostaneme

xkcosd

d 1212

2

(9.62)

Pro 2

1 je tento výraz nulový, a všechny paraboly, nabývají v tomto bodě minimum,

protože jsou obráceny směrem vzhůru, je minimum rovněž vrcholem paraboly.

xkcos 11212

x2 x/

157

Pro délku vlny je x/k a 011 cosxkcos . Odtud vidíme že-je-li

pro vlnu délky x2 hodnota , v tomto případě stačí jediný časový krok, aby

amplituda této vlny zcela vymazána, tedy nulová. Obdobně pro vlnu délky x4 a je

x/k 2 , 02 /cosxkcos a odtud 502

. .

Vidíme tedy, že metoda von Neumanna nám kromě podmínek stability dává i některé

kvantitativní vlastnosti metody, což je její značná přednost.

Literatura:

[1] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME I.

By F. Mesinger and A. Arakawa, GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME

(GARP), WMO-ICSU Joint Organization Committee

GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1976.

[2] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME II.

GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME (GARP), WMO-ICSU

GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1979.

[3] Numerical methods by R. W. Riddaway (Revise by Mario Hortal), Lecture Series

Europiem Centre for Medium-Range Weather Forecast (ECMWF) March 1990

[4] Numerical methods in atmospheric models Volume I. SEMINAR PROCEEDINGS,

Europiem Centre for Medium-Range Weather Forecast (ECMWF) September 1991

[5] METHODS IN COMPUTATIONAL PHYSICS Volume 17.

General Circulation Model sof the Atmosphere, Editor J. Chány.

ACADEMIC PRESS 1977

[6] Richtmyer R. D., Morton K. W.: Diference methods for initial-value probléme,

John Wiley&Sons, NEW YORK 1967

x2

21 /

21 /

158

10. Lineární oscilátor, kmity a vlny

10.1 Lineární oscilátor a harmonické kmity

Většina fyzikálních systémů má určité vlastnosti, které jim umožňují kmitat. To se

týká i mnoha jevů v atmosféře. Kmity mají také úzkou souvislost s vlnami, což v dalším

ukážeme. Abychom porozuměli podstatným znakům tohoto pohybu, budeme nejdříve

studovat modelový systém, který má pouze vlastnosti nutné pro kmitání.

Náš model nechť tvoří hmotný bod, jehož hmota je m (𝑚 > 0) který leží na ose y.

Nechť bod je v rovnovážném stavu v bodě 𝑦 = 0 ve kterém na něj nepůsobí žádné vnější síly.

Jestliže však bod vychýlíme z rovnovážného stavu, začne na něj působit vratná síla úměrná

jeho výchylce. Vratná síla F bude tedy rovna 𝐹 = 𝑘𝑦 (𝑘 > 0). Podle Newtonova zákona pro

změnu hybnosti tohoto bodu dostáváme vztah

𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= −𝑘𝑦

(10.1.1)

Aby další výsledky bylo možné snadněji přenést na kmitavé pohyby jiných systémů (kmity

v elektrických obvodech, atmosféře aj.) přepíšeme tuto rovnici do standardního tvaru

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= −𝜔2𝑦

(10.1.2)

kde kladná konstanta je dána vztahem

𝜔 = √𝑘 𝑚⁄ (10.1.3)

Řešením rovnice (10.1.2) je

𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) (10.1.4)

kde A je libovolná nezáporná konstanta a je libovolný konstantní úhel. Že funkce (10.1.4)

je řešením rovnice (10.1.2) snadno ověříme derivováním

𝑦′(𝑡) = −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼) (10.1.5)

𝑦′′(𝑡) = −𝜔2𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) = −𝜔2𝑦(𝑡) (10.1.6)

Jestliže nějaká veličina závisí na čase tímto způsobem, říkáme, že se mění harmonicky a tyto

kmity se nazývají harmonické kmity. Rovnici (10.1.2) pak rovnicí lineárního oscilátoru.

Ukážeme si ještě, že vztah (10.1.4) zahrnuje všechna možná řešení. Nechť 𝑦 = 𝜑(𝑡) je

libovolné řešení rovnice (10.1.2). Položme nyní 𝜑(0) = 𝑦0 , 𝜑′(0) = 𝑦′0 pak lze zvolit

hodnoty A a α tak, aby splňovaly vztahy 𝐴 cos 𝛼 = 𝑦0 , −𝐴𝜔 sin 𝛼 = 𝑦′0 .

Fázový úhel 𝜔𝐭 + 𝛂 je veličinou, která řídí chování výchylky 𝐲(𝐭) nazýváme jej

také kratčeji fází. Z periodičnosti funkce cos vyplývá i periodičnost pohybu. Změní-li se

fázový úhel o celý násobek 𝟐𝝅, nabývají všechny veličiny pohybu (výchylka, rychlost, směr

pohybu, zrychlení) stejné hodnoty. To se opakuje vždy po uplynutí časového intervalu 𝝉

daného rovnicí 𝝎𝝉 = 𝟐𝝅. Tento časový interval se nazývá periodou kmitů. Z konstant

pohybu je pouze konstanta 𝜔 zadána v diferenciální rovnici kmitů (10.1.1). Fázová konstanta

159

𝛼 způsobuje pouze časový posun řešení a je nazývána počáteční fází. Konstanta A se nazývá

amplituda a udává maximální výchylky 𝑦(𝑡). Tyto dvě konstanty jsou dány obvykle

počátečními podmínkami.

Počet kmitů za jednotku času je frekvence ta je rovna

𝜈 = 1 𝜏 = 𝜔 2𝜋⁄⁄ (10.1.7)

Jestliže čas měříme v sekundách, pak frekvence se udává v hertzích. (Hz). Ze vztahu

(10.1.7) můžeme vyjádřit také 𝜔 pomocí . Máme

𝜔 = 2𝜋𝜈 (10.1.8)

Abychom odlišili veličinu 𝝎 od frekvence 𝜈, nazýváme ji úhlovou frekvencí, neboť ve

fázovém úhlu vystupuje veličina 𝜔𝑡 jako úhel. I když tyto dvě veličiny mají stejný fyzikální

rozměr, neboť veličina 2𝜋 je bezrozměrná, používají se pro frekvenci jako jednotky Hz, ale

pro úhlovou frekvenci jednotky 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑎−1. Zavedení úhlové frekvence zjednoduší vztahy,

neboť pak již neobsahují faktor 2𝜋.

Rovnice (10.1.1) je rovnicí druhého řádu, proto pro jednoznačné určení řešení

potřebujeme dvě počáteční podmínky. Jako počáteční podmínku můžeme v čase 𝑡 = 0 zadat

například hodnotu funkce 𝑦(0) = 𝐴 cos 𝛼 = 𝐴1 výchylky a její první derivace 𝑦′(0) =

−𝜔𝐴 sin 𝛼 = 𝐴2, která má fyzikální význam rychlosti. Pro nulovou počáteční rychlost

𝐴2 = 0, která nastává při maximální výchylce, musí být sin 𝛼 = 1. Volíme-li v tomto případě

konstantu A kladnou, pak musí být 𝛼 = 0, a odtud 𝐴 = 𝐴1 a řešení (10.1.4) má tvar 𝑦(𝑡) =

𝐴 cos 𝜔𝑡

Řešení (10.1.4) se píše často v jiném tvaru. Rozložíme-li cos pomocí součtových

vzorců, máme

𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) = 𝐴 cos 𝛼 cos 𝜔𝑡 − 𝐴 sin 𝛼 sin 𝜔𝑡 (10.1.9)

Položíme-li zde

𝑎 = 𝐴 cos 𝛼 , 𝑏 = 𝐴 sin 𝛼 (10.1.10)

dostáváme harmonickou funkci 𝑦(𝑡) ve tvaru, ekvivalentnímu předchozímu

𝑦(𝑡) = 𝑎 cos 𝜔𝑡 + 𝑏 sin 𝜔𝑡 (10.1.11)

ve tvaru používaném ve Fourierových řadách.

Metoda komplexních amplitud

Zároveň s reálnou harmonickou funkcí (10.1.4) studujme nyní jí odpovídající

komplexní harmonickou funkci

𝑈(𝑡) = 𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡 (10.1.12)

kde 𝑈(𝑡) je komplexní funkce reálné proměnné t a kde

𝜌 = 𝑟𝑒𝑖𝛼 (10.1.13)

je komplexní konstanta. Komplexní číslo 𝜌 dané vztahem (10.1.13) je komplexní amplituda

komplexní harmonické funkce (10.1.12). Pomocí Moivrovy věty a Eulerových vzorců

𝑒𝑖𝛼 = cos 𝛼 + 𝑖 sin 𝛼 , 𝛼−𝑖𝛼 = cos 𝛼 − 𝑖 sin 𝛼 (10.1.14)

můžeme funkci 𝑈(𝑡) (10.1.12) psát ve tvaru

𝑈(𝑡) = 𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑟𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝛼) = 𝑟 cos(𝜔𝑡 + 𝛼) + 𝑖𝑟 sin(𝜔𝑡 + 𝛼) (10.1.15)

Hodnota 𝜌 v sobě zahrnuje reálnou amplitudu r, která je rovna absolutní hodnotě

komplexního čísla 𝜌. Je tedy

𝑟 = |𝜌| (10.1.16)

160

i počáteční fázi 𝛼. Reálná část komplexní harmonické funkce (10.1.15) je tedy reálná

harmonické funkce, neboť reálná část má přímo tvar (10.1.4). Imaginární část komplexní

harmonické funkce (10.1.15) můžeme psát ve tvaru 𝑟 sin(𝜔𝑡 + 𝛼) = 𝑟 cos(𝜔𝑡 + 𝛼 − 𝜋 2⁄ ),

což je rovněž harmonická funkce, pouze fázově posunutá o prvý úhel. Počáteční fázi 𝛼

můžeme vypočítat z konstanty 𝜌 ze vztahu tan 𝛼 = 𝑖𝑚𝜌 𝑟𝑒𝜌⁄ , kde 𝑖𝑚𝜌 je imaginární část

a 𝑟𝑒𝜌 je reálná část 𝜌.

Derivujeme-li vztah (10.1.12) podle času t dostaneme

𝑑𝑈

𝑑𝑡= 𝑖𝜔𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑖𝜔𝑈

(10.17)

Dostáváme tak diferenciální rovnici pro komplexní funkci 𝑈(𝑡) reálné proměnné t. Tuto

rovnici prvního řádu nazýváme rovněž rovnicí kmitů, oscilační rovnicí, nebo rovnicí

lineárního oscilátoru. Dalším derivováním podle t bychom dostali rovnici oscilátoru ve tvaru

rovnice druhého řádu obdobnou původní rovnici

𝑑2𝑈

𝑑𝑡2= −𝜔2𝜌𝑒𝑖𝜔𝑡 = −𝜔2𝑈

(10.1.18)

Rovnice kmitů s útlumem

Studujme nyní ještě obecnější kmitavý pohyb daný rovnicí

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝑎

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑘𝑦 = 𝑓(𝑡)

(10.1.19)

což je lineární rovnice druhého řádu s reálnými konstantními koeficienty 𝑎 > 0 , 𝑘 > 0 . Pro

naše účely budeme studovat případ, kdy 𝑓 = 0. V tomto případě se rovnice nazývá

homogenní, což znamená, že jde o volné kmity nevynucené vnější silou. Rovnice má v tomto

případě tvar

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 𝑎

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑘𝑦 = 0

(10.1.20)

Fyzikální význam této rovnice je podobný jako pro rovnici (10.1.1). Vratná síla −𝑘𝑦 úměrná

výchylce zůstává stejná, navíc je zde síla útlumu kmitání −𝑎𝑑𝑦

𝑑𝑡 která působí proti pohybu a

je úměrná rychlosti 𝑑𝑦

𝑑𝑡 pohybu kmitajícího bodu. Pro 𝑎 = 0 nepůsobí žádná síla způsobující

útlum a rovnice (10.1.20) je shodná s rovnicí (10.1.1), přičemž 𝜔2 = 𝑘.

Řešení rovnice (10.1.20) budeme hledat ve tvaru

𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 (10.1.21)

Kde 𝜆 zatím neurčená konstanta. Dosadíme-li (10.1.21) do rovnice (10.1.20) dostáváme

(𝜆2 + 𝑎λ + k)𝑒𝜆𝑡 = 0 (10.22)

Rovnici vydělíme nenulovou hodnotou 𝑒𝜆𝑡 a dostaneme pro 𝜆 kvadratickou rovnici

𝜆2 + 𝑎𝜆 + 𝑘 = 0 (10.23)

Tato rovnice se nazývá charakteristickou rovnicí diferenciální rovnice (10.1.20). Aby 𝑒𝜆𝑡 bylo

řešením rovnice (10.1.20) musí 𝜆 splňovat rovnici (10.1.22) což nastává v případě, že 𝜆

splňuje kvadratickou rovnici (10.1.23). Řešením kvadratické rovnice dostaneme

161

𝜆1,2 =−𝑎 ± √𝑎2 − 4𝑘

2

(10.1.24)

Studujme nyní jednotlivé případy kořenů kvadratické rovnice (10.1.22)

a) 𝑎2 − 4𝑘 > 0. Oba kořeny jsou v tomto případě reálné různé a záporné. Odpovídají jim

dvě řešení, jejichž lineární kombinací dostáváme obecné řešení

𝑦 = 𝐶1𝑒𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒𝜆2𝑡 (10.1.25)

V tomto případě se jedná o silný útlum, kdy se zvětšujícím-se časem t řešení monotónně klesá

k nule.

b) 𝑎2 − 4𝑘 = 0. Diskriminant kvadratické rovnice je tedy roven nule a kvadratická rovnice

má pouze jeden dvojný kořen 𝜆 = − 𝑎 2⁄ . V tomto případě obecné řešení rovnice je

𝑦 = 𝐶1𝑒𝜆𝑡 + 𝐶2𝑒𝜆𝑡 (10.1.26)

i pro tuto mezní hodnotu diskriminantu řešení monotónně klesá k nule, když se čas t zvětšuje

nade všechny meze. Tomuto případu se říká také kritický útlum.

c) 𝑎2 − 4𝑘 < 0. V tomto případě jsou oba kořeny komplexní, jejich imaginární část je

nenulová a navíc jsou tyto kořeny komplexně sdružená čísla

𝜆1,2 = − 𝑎 2⁄ ± 𝑖 𝛽 2⁄ , kde jsme položili 𝛽 = √4𝑘 − 𝑎2 (10.1.27)

V tomto případě má rovnice (10.1.19) dvě komplexně sdružená lineárně nezávislá řešení

𝑦1 = 𝑒𝜆1𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡 2⁄ 𝑒𝑖𝛽𝑡 2⁄ = 𝑒−𝑎𝑡 2⁄ (cos𝛽

2𝑡 + 𝑖𝑠𝑖𝑛

𝛽

2𝑡), 𝑦2 = 𝑦1

∗ (10.1.28)

Řešení (10.1.28) rovnice (10.1.20) nám ukazuje, že se jedná o kmity se slabým útlumem. Ze

vztahu (10.1.28) vidíme, že úhlová frekvence kmitů 𝜔 je rovna 𝜔 = 𝛽 2⁄ . Bod y tedy kmitá

periodicky s konstantní periodou 𝜏 pro kterou platí 𝜏𝛽 2 = 2𝜋⁄ , tedy 𝜏 = 4𝜋 𝛽⁄ a frekvence

kmitů je 𝜈 = 1 𝜏 = 𝛽 4𝜋⁄⁄ . Největší hodnota 𝛽 = 2√𝑘 je dosažena pro 𝑎 = 0, tedy pro

případ bez útlumu, proto frekvence kmitů s útlumem je sice rovněž konstantní, ale o něco

nižší. Amplituda kmitů se zmenšuje (kmity zanikají) exponenciálně s časem podle zákona

𝑒−𝑎𝑡 2⁄ . S růstem času se řešení přibližuje k hodnotě rovnovážného stavu 𝑦 = 0. V případě

když 𝑎 = 0 dostáváme harmonické kmity s frekvencí 𝜔 = √𝑘.

Nyní si uvedeme jednu aplikaci rovnice lineárního oscilátoru v meteorologii.

10.2 Brunt-Väisälova frekvence a statická stabilita atmosféry

Jako příklad čistého vlnového pohybu v atmosféře budeme studovat příčné svislé

oscilace známé jako gravitační vlny. Tyto vlny mohou existovat pouze při stabilním zvrstvení.

Pro studium tohoto jevu vyjdeme z metody částice. Předpokládejme, že máme suchou

atmosféru v hydrostatické rovnováze. Studujme pohyb částice vzduchu po svislé přímce, na

které jako souřadnici zvolme výšku z. Průběh tlaku, hustoty a teploty a potenciální teploty na

této přímce označme 𝑝, 𝜌, , 휃. Pro tyto veličiny nechť je splněna hydrostatická rovnice

162

𝜕

𝜕𝑧= −𝑔

(10.2.1)

Předpokládejme, že jsme vybrali určitou částici. Na svislé ose z, zvolme za počátek

souřadnic bod, ve kterém se částice nachází, je-li v klidu. Počáteční poloha částice je tedy

𝑧 = 0. Nyní nějakou vnější silou posuneme částici ve vertikálním směru o malou vzdálenost

z. Tato částice bude mít po vychýlení jinou hustotu než okolní atmosféra, kterou označme .

Protože tlak částice se ihned přizpůsobuje tlaku okolní atmosféry, bude tlak částice stejný

jako v okolní atmosféře a tedy . Podle Archimédova zákona působí na částici kromě zemské

tíže G také vztlaková síla F, která je rovna váze vzduchu, který by zaujal objem dané částice.

Na částici tedy působí síla zemské tíže, která je rovna

𝐆 = −g𝑉ρ (10.2.2)

kde V je objem uvažované vzduchové částice. Vztlaková síla, opačného směru je pak rovna

𝐅 = 𝑔𝑉 (10.2.3)

Podle Newtonova zákona je výsledná síla působící na částici součinem hmotnosti částice 𝑉𝜌

A jejího zrychlení ve vertikálním směru

𝑑𝑤

𝑑𝑡=

𝑑2𝑧

𝑑𝑡2

je tedy

𝑉𝜌𝑑𝑤

𝑑𝑡= −𝑔𝑉𝜌 + 𝑔𝑉

(10.2.4)

neboli po vydělení rovnice objemem V máme

𝑑𝑤

𝑑𝑡= −𝑔 + 𝑔

𝜌= −𝑔

− 𝜌

𝜌

(10.2.5)

Ze stavové rovnice máme jednak = 𝜌𝑅𝑇 a jednak = 𝑅 eliminujeme-li z těchto

vztahů tlak dostáváme 𝜌𝑇 = neboli též

𝜌=

𝑇

(10.2.6)

Použijeme-li definici potenciální teploty 𝑇 = 𝜋휃, kde 𝜋 = (𝑝 𝑝0⁄ )𝜅 je Exnerova funkce a

𝜅 = 𝑅 𝑐𝑝 = 0.288⁄ a skutečnosti že tlak je pro částici okolní atmosféru stejný je hodnota

Exnerovy funkce pro 𝑇 𝑖 stejná a máme

𝜌=

𝑇

=

휃

휃

(10.2.7)

Odtud máme

163

𝑑2𝑧

𝑑𝑡= −𝑔 + 𝑔

휃

휃= −𝑔

휃 − 휃

휃

(10.2.8)

V počáteční poloze 𝑧 = 0, má částice potenciální teplotu 휃 rovnu 휃 = 휃(0), pak pro malý

přírůstek z můžeme potenciální teplotu okolní atmosféry vyjádřit ve tvaru

휃(𝑧) ≅ 휃(0) +𝑑휃

𝑑𝑧𝑧

(10.2.9)

Je-li částice posunuta o tento přírůstek adiabaticky, potenciální teplota částice se nezmění je

tedy 휃(𝑧) = 휃(0). Odtud dostáváme

𝑑2𝑧

𝑑𝑡= 𝑔

휃 − 휃

휃= 𝑔

휃(0) − (휃(0) +𝑑휃𝑑𝑧

𝑧)

휃(𝑧)= −

𝑔

휃

𝑑휃

𝑑𝑧𝑧

(10.2.10)

označíme-li

𝑁2 =𝑔

휃

𝑑휃

𝑑𝑧

(10.2.11)

je 𝑁2 mírou statické stability vnější atmosféry a můžeme psát

𝑑2𝑧

𝑑𝑡= −𝑁2𝑧

(10.2.12)

což je rovnice lineárního oscilátoru, kde 𝜔 = 𝑁. Pro 𝑁 > 0 částice osciluje kolem počáteční

hladiny s periodou 𝜏 = 2𝜋/𝑁. Tato perioda se nazývá periodou vztlakové oscilace a

odpovídající frekvence N se nazývá Brunt- Väisälovu frekvencí.

Všimněme si ještě otázky stability atmosféry. Ze vztahu (10.2.8) vidíme, že jsou

možné tyto případy:

휃

휃=

휃(0)

휃(𝑧)< 1

a tedy potenciální teplota s výškou roste, tedy

𝑑휃

𝑑𝑧> 0

je vztlaková síla menší než síla zemské tíže a částice má tendenci se vrátit na své původní

místo. V tomto případě je také výraz (10.2.11) kladný, N reálné číslo a nastává tedy kmitavý

pohyb. V tomto případě říkáme, že atmosféra je v tomto bodě stabilní.

164

Je-li

𝑑휃

𝑑𝑧≤ 0

potenciální teplota s výškou neroste, nepůsobí již síla, která by částici vracela zpět a kmitavý

pohyb nenastane. Teplotní zvrstvení je v tomto případě instabilní, nebo indiferentní.

10.3 Vlny a jejich vlastnosti

Vlnový popis fyzikálních dějů

Studium vln v podstatě do jisté míry abstrahuje od fyzikální podstaty tohoto jevu a

tedy také od prostředí, ve kterém se tyto vlny šíří. V matematice jsou taková zobecnění

obvyklá, aby jediná teorie byla použitelná pro řešení různých příbuzných problémů, musí být

proto dostatečně obecná. Zabýváme se proto matematickým popisem vln. Proto jej můžeme

použít prakticky pro všechny fyzikální problémy, kde se vlny vyskytují. Z hlediska abstrakce

někteří autoři [4] zavádějí pro popis vlny veličinu napětí. Napětí pak může znamenat

například: změnu tlaku pro zvukové vlny, příčnou výchylku struny, amplitudu vlny na vodě

atd. My však místo pojmu napětí vystačíme s pojmem amplitudy vln, který v obecném

významu v podstatě odpovídá termínu napětí, a proto pojem amplitudy v tomto smyslu

považuji za dostatečně obecný. Je to proto, že stejné matematické vztahy, které popisují

příčnou vlnu, mohou popisovat i podélnou vlnu, například stlačení vzduchu v podélném

směru, které fyzikálně popisuje zvukové vlny.

Studujme sinusové vlny libovolné fyzikální povahy, které se šíří ve směru, který

budeme nazývat směrem x. Pro popis vln je vhodnější použít funkci cosinus než sinus. Funkce

cosinus je názornější, neboť interval 𝑥 ∈ ⟨0,2𝜋⟩ pro cos 𝑥 můžeme interpretovat jako

vzdálenost dvou po sobě jdoucích vrcholů-hřebenů vln. Také při použití zápisu v komplexním

tvaru je reálná část exponenciální funkce 𝑒𝑖𝛼 rovna cos 𝛼.

Funkce sinus, respektive cosinus jsou definovány na celé nekonečné ose x. Tyto

funkce jsou ovšem periodické. My se však při studiu sinusových vln budeme v dalším

omezovat pouze na interval konečné délky L. A délka tohoto intervalu bude také délkou

nejdelší vlny, kterou budeme uvažovat. Bez omezení obecnosti můžeme na ose x zvolit takové

měřítko, aby nejdelší vlna, tedy sinusoida, kterou budeme uvažovat, jejíž perioda je 2𝜋 měla

skutečnou délku L. Délka intervalu v novém měřítku ve kterém vlny studujeme, pak bude

𝐿 = 2𝜋. Tato délka přísluší vlnovému číslu 𝑘 = 1. Tím se ve vztazích uvnitř goniometrických

funkcí zbavíme koeficientu 2𝜋 𝐿⁄ . Taková fyzikální realita vzniká v meteorologii, když

studujeme například nějakou funkci na celé rovnoběžce a délku po této rovnoběžce měříme v

radiánech. Taková funkce, i když není sinusová má periodu 2 .

Sinusové postupné vlny

Studium vln začněme nejjednodušším případem, příčnou sinusovou vlnou ležící

v rovině, pohybující se ve směru osy x. Studujme proto závislost výchylky 𝑢(𝑥, 𝑡)

libovolného bodu v čase t ve vzdálenosti x od počátku.

Sinusová vlna se v mechanice, například učebnici [2], je psána ve tvaru

𝑢 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑) (10.3.1)

165

kde

A- je konstantní veličina, kterou nazýváme amplituda vlny

t - je čas

x – vzdálenost ve směru šíření vlny

𝜔 - nazýváme úhlovou frekvencí nebo také kruhovou frekvencí

k – nazýváme vlnovým vektorem, nebo též fázovou konstantou

𝜑- konstanta nazývaná počáteční fází vlny

Vidíme, že veličina u, může být vyjádřena pomocí úhlu 휃

𝑢 = 𝐴 cos 휃 (10.3.2)

kde úhel 휃 je dán vztahem

휃 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑 (10.3.3)

Počáteční fázi vlny volíme obvykle rovnou nule, klademe tedy 𝜑 = 0.

Budeme-li studovat změnu výchylky v pevně daném bodě osy x, a tedy k x bude konstantní,

pak vztah (10.3.1) bude shodný se vztahem (10.1.4). Můžeme tedy říci, že výchylky budou

v každém bodě k x kmitat harmonicky se stejnou frekvencí a kmity mají také stejnou

amplitudu. Fázová konstanta však vzrůstá nebo klesá lineárně se vzdáleností podél osy x.

V každém jednotlivém okamžiku, tedy pro pevně zvolený čas t výchylky podél osy x mají

tvar sinusoidy.

Perioda T je nejkratší doba opakování stejné výchylky v daném bodě x, je tedy 𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑇) =

𝑢(𝑥, 𝑡) . Definice je tedy stejná jako pro lineární oscilátor. Obdobně najdeme vlnovou délku

jako minimální vzdálenost ∆𝑥 = 𝜆, při níž je v daném čase t stejná fáze a tudíž i stejná

výchylka. Převrácená hodnota periody T se nazývá frekvencí, kterou označme písmenem f.

Je tedy 𝑓 = 1 𝑇⁄ a f je pak počet vrcholů vln, které projdou daným bodem za jednotku času.

Připomeňme, že mezi frekvencí a úhlovou frekvencí platí vztah

𝜔 = 2𝜋𝑓 (10.3.4)

Nyní si odvodíme fázovou rychlost vln, tedy rychlost jakou se vlny pohybují. Tu

odvodíme následující úvahou:

zvolme si pevně bod x. Když čas t vzroste o přírůstek ∆𝑡 změní se výchylka 𝑢(𝑥, 𝑡) na

novou hodnotu 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) výchylky v ostatních bodech v okolí se rovněž změní a v jednom

z těchto bodů, řekněme v bodě 𝑧 + ∆𝑧, bude výchylka 𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) rovna původní

výchylce 𝑢(𝑥, 𝑡) v bodě x. Výchylky 𝑢(𝑥, 𝑡) a 𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) budou stejné, když

odpovídající fázové konstanty 휃 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 budou stejné, máme tedy

𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 = 𝜔(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑘(𝑥 + ∆𝑥) (10.3.5)

Protože fáze je lineární funkcí proměnných t a x z předchozího vztahu máme 𝜔∆𝑡 = 𝑘∆𝑥

neboli

∆𝑥

∆𝑡=

𝜔

𝑘

Přechodem k limitě máme

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝜔

𝑘= 𝑐

(10.3.6)

Protože odvození platí pro libovolný bod x vyplývá z předchozího vztahu, že celý sinusový

profil se pohybuje nalevo nebo napravo rychlostí 𝑐, kterou nazýváme fázovou rychlostí vlny,

166

protože označuje rychlost pohybu bodu ve kterém má fázový úhel stejnou hodnotu. Tím, že

jsme ve fázovém úhlu napsali člen 𝑘𝑥 se znaménkem mínus, tedy −𝑘𝑥 způsobilo, že 𝑣 má

stejné znaménko jako k, takže sinusový profil se pohybuje ve směru zvětšující se souřadnice x

a pro kladnou hodnotu členu naopak. Fázovou rychlost proto píšeme ve tvaru ±𝑐. Tento

pohyb je znám jako sinusová postupná vlna. Ze známé fázové rychlosti vlny dostáváme

ihned vztah mezi periodou T a délkou vlny 𝝀 jednoduchý vztah

𝜆 = 𝑐𝑇 (10.3.7)

Počet vln k, na délce 2𝜋 se nazývá vlnočet, nebo obvykleji vlnové číslo. Je tedy

𝑘 = 2𝜋 𝜆⁄ , neboli 𝑘𝜆 = 2𝜋 (10.4.8)

Všimněme si ještě dvou používaných zápisů sinusové vlny. Podle (10.3.5) máme že 𝜔 = 𝑘𝑐,

neboli 𝑘 = 𝜔 𝑐⁄ a proto úhel 휃 můžeme psát ve tvaru

휃 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 = 𝜔(𝑡 − 𝑥 𝑐⁄ ) = 𝑘(𝑐𝑡 − 𝑥) (10.3.9)

Předchozí vztah vyjadřuje různé zápisy fáze vlny 휃. V meteorologii je používán zápis

sinusové vlny obvykle tvaru

𝑢 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘(𝑥 − 𝑐𝑡) (10.3.9)

Vlnová rovnice

V předchozím jsme viděli, že při vlnovém pohybu se nezávisle proměnné vyskytují

pouze v kombinacích 𝑟 ± 𝑐𝑡. Tento poznatek nám dovolí najít odpovídající diferenciální

rovnici vlnového pohybu.

Studujme nejdříve jednorozměrný případ. Výchylka vlny nechť je popsána závislostí

𝑢 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) (10.3.11)

Tento vztah derivujeme jako složenou funkci 𝑓(𝑠), kde 𝑠 = 𝑥 − 𝑐𝑡 podle x a také t. Máme

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑑𝑓

𝑑𝑠

𝜕𝑠

𝜕𝑥= 𝑓′,

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝑑𝑓

𝑑𝑠

𝜕𝑠

𝜕𝑡= −𝑐𝑓′

(10.3.12)

Po druhém derivování máme

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 𝑓′′ ,

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 𝑐2𝑓′′

(10.2.13)

Srovnáním obou předchozích vztahů dostáváme vlnovou rovnici

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2−

1

𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 0

(10.3.14)

Kdybychom místo řešení 𝑢 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) vzali řešení 𝑢 = 𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡) dostali bychom stejnou

vlnovou rovnici. Při změně c za −𝑐 se rovnice nezmění. Řešení vlnové rovnice ve tvaru

součtu 𝑢 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡) pochází od J.d’Alamberta. Vlnová rovnice je lineární

parciální diferenciální rovnice druhého řádu hyperbolického typu. Obvykle se píše také ve

tvaru

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 𝑐2

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

(10.32.15)

K terminologii parciálních diferenciálních rovnic poznamenejme následující: parciální

diferenciální rovnice druhého řádu se dvěma nezávislými proměnnými x, y je vztah mezi

167

těmito dvěma nezávislými proměnnými a prvními a druhými derivacemi neznámé funkce

𝑢(𝑥, 𝑦). Obvykle jsou studovány tak zvané kvasilineární rovnice. Ty mají tvar

𝑎11 𝑢𝑥𝑥 + 2𝑎12𝑢𝑥𝑦 + 𝑎22𝑢𝑦𝑦 + 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦) = 0 (10.3.16)

kde 𝑎11, 𝑎12, 𝑎22 jsou funkcemi nezávisle proměnných x, y.

Rovnice se nazývá lineární, když je ve tvaru

𝑎11 𝑢𝑥𝑥 + 2𝑎12𝑢𝑥𝑦 + 𝑎22𝑢𝑦𝑦 + 𝑏1𝑢𝑥 + 𝑏2𝑢𝑦 + 𝑐𝑢 + 𝑓 = 0 (10.3.17)

kde koeficienty derivací a, b, c i funkce f jsou funkcemi pouze proměnných x, y. Lineární

rovnice se nazývá homogenní, jestliže 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0. Homogenní rovnici se často, z hlediska

matematiky nesprávně, říká rovnice bez pravé strany, protože každá rovnice má dvě strany i

když jedna strana může být nulová. Jestliže koeficienty a, b, c jsou konstanty, říkáme, že

rovnice je s konstantními koeficienty.

Homogenní lineární parciální diferenciální rovnice má tu vlastnost, že násobek řešení

konstantou zůstává řešením této rovnice a také součet dvou řešení této rovnice je rovněž

řešením této rovnice. Z toho plyne, že také lineární kombinace dvou řešení homogenní

rovnice je rovněž řešením této rovnice. Tuto vlastnost má tedy i vlnová rovnice, neboť je

lineární a homogenní.

Řešení vlnové rovnice v komplexním tvaru

Řešení rovnice (10.32.15) se pokusíme obdobně jako pro rovnici lineárního oscilátoru

hledat ve tvaru exponenciály s imaginárním exponentem. Tedy ve tvaru

𝑢 = 𝐴𝑒𝑖𝜃 = 𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) (10.3.18)

Kde amplituda A je obecně komplexní konstanta. Druhé parciální derivace u pak jsou rovny

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= −𝜔2𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) ,

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= −𝑘2𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)

(10.3.19)

Dosadíme-li tyto vztahy do vlnové rovnice (10.3.15) dostaneme

𝜔2𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) = 𝑐2𝑘2𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥) (10.3.20)

Tato rovnice pro komplexní hodnoty nám vlastně představuje dvě rovnosti jednu pro reálnou

část a druhou pro imaginární část. Je-li tedy splněna podmínka

𝜔2 = 𝑐2𝑘2 (10.3.21)

Jsou obě části (10.3.18) reálná i imaginární jsou řešením řešením vlnové rovnice (10.3.15).

Pro reálné hodnoty výchylky u píšeme řešení obvykle ve tvaru

𝑢 = 𝑅𝑒 (𝐴𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)) (10.3.22)

kde ovšem musí být splněna podmínka (10.3.21). Vztah (10.3.21) je po odmocnění ovšem

splněn ve dvou případech

𝜔 = ±𝑐𝑘 (10.3.23)

Dostáváme tak dvě řešení, která se pohybují opačným směrem.

Závěrem můžeme říci, že jednou z nejdůležitějších vlastností vlnové rovnice spočívá v tom,

že je lineární a homogenní a proto každá libovolná lineární kombinace je opět řešením této

rovnice. Proto řešení této rovnice můžeme vyjádřit pomocí Fourierovy řady, což je základem

spektrálních meto používaných v meteorologii.

168

Vlny šířící se v rovině a prostoru

Zatím jsme studovali jednorozměrný případ, kdy vlny se šířily ve směru osy x.

Veličina 𝑡 − 𝑥/𝑐 nazývaná fází vlny určovala výchylku 𝑢(𝑥, 𝑡) v bodě x v čase t. Označme

𝑡0 − 𝑥0/𝑐 fázi v bodě 𝑥0 v čase 𝑡0 . Ve všech bodech a ve všech časech pro které platí vztah

𝑡 − 𝑥 𝑐 = 𝑡0 − 𝑥0 𝑐⁄⁄ bude fáze stejná. Pro vlny stejné fáze, které nazýváme vlnoplochy a

tedy i výchylka 𝑢(𝑥, 𝑡) bude stejná. V čase 𝑡0 je 𝑥 = 𝑥0 , je rovnice roviny procházející

bodem 𝑥0 kolmé k ose x. V jednorozměrném případě vlnoplochy jsou roviny posouvající s e

v prostoru as fázovou rychlostí c.

Tuto úvahu nyní zobecníme na dvojrozměrný případ potřebný pro meteorologii, i když

takové zobecnění platí i pro třírozměrný případ. Pro jednoduchost zápisu, nechť v čase 𝑡 = 𝑡0

uvažujme vlnu vycházející z počátku souřadnic O. Nechť n je jednotkový vektor, který určuje

libovolný směr přímky vycházející z počátku souřadnic.

Vlnové číslo je převrácená hodnota délky vlny, neboli počet vln na jednotku délky ve směru

šíření vlny (pohybu vlny). V meteorologii je používáno planetární vlnové číslo k, což je počet

vln na délce celé rovnoběžky: 𝑘 = (2𝜋𝑎 cos 𝜑) 𝜆⁄ , kde 𝜆 je délka vlny, 𝜑 zeměpisná šířka a

kde a je poloměr Země.

Sférická vlna

Tekutiny, tedy plyny a kapaliny, a tedy i atmosféra, se vyznačují tím, že jejich

vlastnosti jsou ve všech směrech stejné, což se označuje termínem izotropie. V izotropních

prostředích se rozruch šíři ve všech směrech stejně, proto amplituda 𝑢(𝐫, t) v daném čase t

v daném bodě, (jehož průvodičem je vektor 𝐫 = (𝑥, 𝑦)) závisí pouze na absolutní vzdálenosti.

Šíření vlny vycházející z počátku souřadnic pak závisí pouze na vzdálenosti 𝑟 = |𝐫| =

√𝑥2 + 𝑦2 od místa rozruchu. Rozruch se bude šířit v kruzích. Vlnoplochy budou

koncentrické kruhy rozpínající se (šíří se ) fázovou rychlostí c.

Literatura

[1] Holton James R.: An introduction to Dynamic Meteorology, Academic Press New York

and London 1972

[2] Kvasnica Josef a kolektiv: Mechanika, ACADEMIA PRAHA 1988

[3] Main Iain G.: Kmity a vlny ve fyzice. Academia Praha 1990

[4] Pierce J.: Almost all about Waves, The MIT Press Cambridge, Massachusetts and London

1974

[5] Pontrjagin L. S.: Obyknovennyje differencialnye urovnenija. Gosudarstvennoe izdatelstvo

fiziko-matematičeskoj literatury. Moskva 1961.

[6] Tichonov A. N., Vasiljeva A. B. Svešnikov A. G.: Differenciálnyje urovnenija, Nauka

1985.

169

11. Časová integrační schémata a jejich aplikace na rovnici

lineárního oscilátoru a tření

V této kapitole se budeme zabývat řešením obyčejných diferenciálních rovnic s jednou

neznámou funkcí jedné nezávisle proměnné – času t. Tato úloha je jakýmsi prototypem pro

časovou integraci evolučních úloh pro parciální diferenciální rovnice prognostických modelů.

Znalost vlastností časových schémat pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

se pak využijí při formulací řešení parciálních diferenciálních rovnic. Zvláštní zájem pro nás

tvoří rovnice volných netlumených kmitů i obecnější rovnice kmitů s útlumem, nebo přímo

rovnice útlumu, kterou budeme nazývat rovnicí tření.

Je zajímavé, že při řešení evolučních rovnic v meteorologii se prakticky používají

stejná časová schémata nezávisle na tom, jaká aproximace se používá pro výpočet derivací

podle prostorových proměnných. Ať jsou to aproximace diferenční, spektrální, či konečné

elementy.

Další charakteristickou vlastností při aproximaci těchto rovnic je použití relativně

jednoduchých časových schémat. Pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic existují velmi

přesné metody, ve smyslu vysokého řádu aproximace. V tomto případě je dosažena vysoká

přesnost numerického řešení i při relativně dlouhém časovém integračním kroku. To však při

časové integraci parciálních diferenciálních rovnic nepřichází v úvahu. Rozhodujícím

faktorem pro délku časového integračního kroku je stabilita schématu. Ta drastickým

způsobem omezuje délku časového kroku, zejména při použití explicitních schémat. Ale ani

při použití semi-implicitních schémat se délka integračních kroků dostatečně neprodlouží. To

způsobují nelineární členy zejména advekce, které jsou aproximovány vždy v podstatě

explicitně. Win-Nielsen kdysi odhadoval chyby, které vznikají při aproximaci

meteorologických prognostických modelů, a přišel k závěru, že největší chyby v řešení jsou

dány aproximací podle horizontálních proměnných, obvykle označovaných x, y, nebo , . O

řád menší chyby vznikají při aproximaci na vertikální ose, kde jako nezávisle proměnná je

tlak p, nebo od něj odvozená proměnná kopírující terén, například a . Nakonec ještě

nejméně o řád menší chybu způsobuje časové schéma. Při použití semi-impliciních metod

zejména v kombinaci se semi-Lagrangeovskou aproximací nelineárních členů by realizace

složitých časových schémat byla zbytečně složitou a nezvýšila by efektivnost metody.

Moderní numerické postupy se proto zaměřily zejména na odstranění vzniku té největší

chyby, tedy aproximace v horizontální rovině, ve které se místo diferenční aproximace

používá často spektrální metoda.

Časová schémata pro obyčejnou diferenciální rovnici

Studujme proto nyní numerické řešení obyčejné diferenciální rovnice

t,Ufdt

dU (11.1)

kde řešení této rovnice tUU je funkcí času t. Časovou osu rozdělíme na intervaly stejné

délky t . Označme nU přibližnou hodnotu U v čase tn . Předpokládejme, že známe

hodnoty ...,U,U nn 1 a chceme sestrojit schéma pro výpočet hodnoty 1nU . Pro výpočet

170

této hodnoty máme mnoho možností. Začneme se studiem nejjednodušších dvou-hladinových

schémat.

.

Dvou-hladinová schémata

(anglicky two level schemes) jsou schémata, která pro výpočet hodnoty 1nU v časové

hladině 1n potřebují pouze hodnoty v časové hladině n a 1n . Řešení diferenciální

rovnice je určeno počáteční podmínkou, kterou je hodnota 0UU v čase 0t . V prvním

kroku integrace lze proto použít pouze dvou-hladinové schéma.

Přesný vztah pro řešení jednoho kroku diferenciální rovnice je

tn

tn

nn dtt,UfUU

1

1 (11.2)

Jako první studujme tři schémata, která nepoužívají iterace. Jsou to

Eulerovo schéma (anglicky forward scheme) které je dáno vztahy nnn ftUU 1 , kde tn,Uff nn (11.3)

Toto schéma je prvního řádu přesnosti to . Aproximace integrálu je dána plochou

obdélníka se stranami nf,t . Je to schéma „vpřed“ nepoužívající centrální diferenci.

Zpětné implicitní schéma (anglicky backward scheme) je dáno vztahem 11 nnn ftUU , kde tnUff nn 1,11 (11.4)

Jestliže hodnota 1nf je závislá na hodnotě 1nU , nazývá se takové schéma implicitní.

V případě obyčejné diferenciální rovnice je třeba vyřešit rovnici pro hodnotu 1nU , což

nemusí být velký problém. V případě parciálních diferenciálních rovnic to vyžaduje řešit

velkou soustavu rovnic, o počtu rovnic, který je počtem uzlových bodů oblasti řešení.

Většinou se jedná o soustavy rovnic řádu tisíců neznámých. Jestliže v diferenční rovnici

veličina f nezávisí na 1nU , pak schéma nazýváme explicitním schématem. Chyba

aproximace zpětného implicitního schématu je rovněž prvního řádu, tedy to .

Lichoběžníkové schéma (anglicky trapeziodal scheme)

Jestliže integrál ve vztahu (1.2) aproximujeme plochou lichoběžníka, jehož střední příčka má

délku 21 /ff nn a výška je t dostáváme schéma

11

2

nnnn fft

UU (11.5)

Toto schéma je implicitní, ale na rozdíl od předchozích je druhého řádu přesnosti, tedy 2to

Další skupinou schémat, kterou se budeme nyní zabývat, jsou schémata s iterací.

Důvodem pro jejich studium jsou jejich vlastnosti. Nejde zde pouze o zvýšení přesnosti, ale

jak uvidíme dále zejména otázky stability při jejich použití. Tyto metody se také nazývají

metodami prediktor – korektor. Jsou zde uvedeny dvě schémata napsaná ve tvaru prediktor

korektor a to Matsunovo schéma a Heunovo schéma. Po dosazení korektoru do prediktoru zde

dostáváme jednokroková chémata, korektor zde není použit pro několik iterací, takže tyto

schémata skutečnými schématy prediktor - korektor valstně nejsou.

Matsunovo schéma (Nebo též Eulerovo schéma s iterací), (anglicky Euler-backward scheme)

171

Prvním krokem tohoto schématu je obyčejné Eulerovo schéma. Hodnotu U, kterou tímto

schématem dostaneme, označme *U n 1 a použijeme ji pro výpočet přibližné hodnoty *f n 1 . Tuto přibližnou hodnotu *f n 1 pak použijeme místo hodnoty 1nf ve zpětném

implicitním schématu. Tímto trikem se z původně implicitního schématu stává explicitní

schéma. Dostáváme tedy dvou-krokové schéma nnn ftU*U 1

*ftUU nnn 11 (11.6)

kde tn,*Uf*f nn 111

které je prvního řádu přesnosti.

Heunovo schéma

Je to schéma definované analogickým způsobem jako Matsunovo schéma. Druhým krokem je

však obdoba lichoběžníkového schématu

nnn ftU*U 1

*fftUU nnnn 11

2

1 (11.7)

schéma je druhého řádu přesnosti.

Tří-hladinová schémata

(anglicky three level schemes)

S výjimkou prvního kroku časové integrace si můžeme pro další kroky uschovat

hodnotu 1nU a pomocí ní konstruovat tříhladinová schémata. Tato schémata mohou být

formulována jako aproximace vztahu

tn

tn

nn dtt,UfUU

1

1

11 (11.8)

kde použijeme hodnotu 1nU pro zvýšení přesnosti aproximace f.

Schéma s centrální diferencí (angl. leapfrog scheme)

(Pro anglicky termín „leapfrog schneme“, navrhuji česky termín „obkročné schéma“,

protože tento termín věcně odpovídá anglickému významu i samotné funkci schématu. Dosud

používaný opis „schéma s centrální diferencí pole času“ je příliš dlouhý.)

Nejjednodušším způsobem, jak dostaneme přesnější odhad integrálu (11.8) že za hodnotu f

vezmeme hodnotu ve středu intervalu délky t2 . Schéma s centrální diferencí můžeme

napsat ve tvaru nnn ftUU 211 (11.9)

Toto schéma můžeme zapsat také ve stručném tvaru zápisu diferencí fUt

t . Schéma je

tedy druhého řádu přesnosti 2to . V současné době je to jedno z nejpoužívanějších schémat

v numerických předpovědních modelech.

Adams-Bashforthovo schéma

V atmosférických modelech se používá zjednodušená varianta originálního Adams-

Bashforthova schématu. Tuto variantu schématu dostaneme tak, že aproximaci hodnoty f ve

172

středovém bodě intervalu tn,tn 1 v integrálu (11.2) vypočteme pomocí lineární

extrapolace z hodnot v předcházejících časových hladinách. Dojdeme tak ke vztahu

11

2

1

2

3 nnnn fftUU (11.10)

Schéma je rovněž druhého řádu přesnosti.

Tímto jsme zdaleka nevyčerpali možnosti různých časových schémat. Dají se studovat

například více-hladinová schémata, nejen pouze tří-hladinová. Předchozí formulace byla

zatím značně obecná, proto nemohla zahrnout některá schémata, která jsou formulována

pouze pro některé konkrétní rovnice. Omezili jsme se pouze na základní používaná schémata

uvedená v učebnici [1]. Rozsáhlejší studii lze nalézt v článku [2] Younga (1968).

Vlastnosti časových schémat pro rovnici kmitů

Problémem, kterým se budeme nyní zabývat, jsou vlastnosti již prezentovaných

časových schémat pro řešení rovnice volných netlumených kmitů, tedy rovnici lineárního

oscilátoru. Zajímá nás především stabilita schémat. Volbou této úlohy je dána pravá strana

diferenciální rovnice (11.1). Tato rovnice pro komplexní funkci U reálné proměnné t má tvar

(10.17). Pravá strana rovnice je tedy Uif . Rovnice kterou budeme numericky řešit je

tedy

Uidt

dU , kde tUU (11.11)

Důvod, proč studujeme řešení této rovnice, můžeme prezentovat následujícími příklady:

Harmonická složka

ikxetURet,xu

je řešením lineární rovnice advekce (lineární vlnové rovnice)

0

x

uc

t

u kde c je konstanta

jestliže komplexní amplituda tU splňuje rovnici

0 ikcUdt

dU

což je rovnice lineárního oscilátoru, kde kc .

Jako jiný jednoduchý příklad můžeme uvést zrychlení a Coriolisovy členy v horizontálních

složkách pohybových rovnic atmosféry, které jsou

fvdt

du , fu

dt

dv , kde f je Coriolisův parametr.

Položíme-li

ivuU

pak obě předchozí rovnice můžeme napsat ve tvaru

ifUdt

dU

což je také rovnice lineárního oscilátoru (2.1) kde f

Další a obecnější příklady popisující vlnové pohyby atmosféry, které souvisí s rovnicí kmitů

lze nalézt v článku [2] J. Younga.

173

Obecné řešení rovnice (11.1) má tvar

tieUtU 0

Pro diskrétní hodnoty tnt dostáváme

tineUtnU 0 (11.12)

Vidíme tedy, že v komplexní rovině argument řešení se při každém kroku zvětšuje o úhel

t , zatímco jeho amplituda se nemění. Řešení tedy leží na kružnici o poloměru absolutní

hodnoty amplitudy U .

Vlastnosti různých schémat aplikovaných na rovnici (11.1) budeme analyzovat

pomocí metody von Neumanna. Tato metoda, jak z předchozího víme, definuje proměnnou

pomocí vztahu nn UU 1 (11.13)

napíšeme nyní ve tvaru ie (11.14)

Numerické řešení můžeme takto napsat ve tvaru

innn eUU 0 (11.15)

Z předchozího vztahu (11.15) vidíme, že je změna fáze numerického řešení v každém

časovém kroku. Protože víme, že amplituda přesného řešení se nemění, budeme pro stabilitu

výpočtu požadovat, aby 1 V souvislosti s tím budeme říkat, že schéma je:

Nestabilní, nebo též instabilní, když >1

Neutrální, když 1

Disipativní, když 1

Můžeme také porovnat změny fáze numerického řešení se změnou fáze přesného řešení

která je t . Poměr těchto fázových změn t/ je relativní fázová změna numerického

řešení. Řekneme, že schéma:

Je zrychlující > 1

Nemění fázovou rychlost, když t

= 1

Je zpomalující < 1

Pro zajištění vysoké přesnosti schématu je nutné, aby koeficient přechodu i relativní

fázová změna měly hodnotu blízkou jedné. Výjimku tvoří tak zvaný „početní modus“ (angl.

computational modes), což uvidíme dále, který se objevuje jako nesprávná superpozice

fyzikálního řešení. Takováto řešení pak nekonvergují k přesnému řešení, když délka

prostorového i časového kroku se blíží k nule. Jestliže takováto řešení existují, pak každé

z nich bude mít vlastní hodnotu koeficientu přechodu. Protože tato řešení nejsou přiblížením

k přesnému řešení, je žádoucí, aby jejich amplituda byla co možná nejmenší, což znamená, že

jejich koeficient přechodu musí být menší než jedna.

Studujme nyní vlastnosti již popsaných schémat.

Dvouhladinová neiterační schémata shrneme do jediné diferenční rovnice 11 nnnn fftUU (11.16)

174

ve kterém je 1 . V tomto případě je toto schéma pro 01 , Eulerovým

schématem, pro 10 , zpětným implicitním schématem a pro 21/ dostáváme

lichoběžníkové schéma. Aplikujeme-li toto schéma na oscilační rovnici, máme 11 nnnn UUtiUU (11.17)

Pro zkrácení zápisu položme ještě

tp (11.18)

Nejdříve jako zvláštní případ vyšetříme stabilitu Eulerova schématu nn UipU 11 (11.19)

odkud vidíme, že ip1 odkud

21 p (11.20)

a tedy Eulerovo schéma je pro rovnici kmitů vždy nestabilní.

Abychom vyšetřili stabilitu schémat v závislosti na parametrech , zápis schématu

(11.17) upravíme následujícím způsobem. Zavedeme nový parametr , který vyjadřuje tak

zvaný, anglicky „decentring“, který s parametry , souvisí vztahy

2

1

,

2

1

(11.21)

kde leží v intervalu 10 . Z toho plyne, že v tomto případě volby leží hodnoty v

intervalu 2/10 a leží v intervalu 12/1 . Pro 0 dostáváme lichoběžníkové

schéma a pro 1 zpětné implicitní schéma. Nyní přepišme schéma v našem novém

označení. Máme

11

2

1

2

1 nnnn UUipUU

(11.22)

Pro zjištění stability a vlastností schématu si vyjádříme hodnotu . Rovnici (11.21) vyřešíme

vzhledem k 1nU . Dostáváme tak

nn U

pi

pi

U

2

11

2

11

1

(11.23)

Máme tedy

pi

pi

2

11

2

11

Po odstranění imaginární části jmenovatele máme

pipi

p2

11

2

11

2

11

1

2

2

Po provedení součinu na pravé straně dostáváme

175

ipp

p

22

2

2 4

11

2

11

1

(11.24)

Odtud již máme

2/1

24

222

2

2

2 16

1

2

11

2

11

1

ppp

p

Což můžeme dále upravit do tvaru

2/1

4

222

2

2

2 16

1

2

11

2

11

1

pp

p

nebo též

2/1

4

224

224

222

2

2

2 16

1

16

1

16

1

2

11

2

11

1

pppp

p

a tedy

2/1

4

224

222

22

2

2 16

1

16

1

4

11

4

11

1

ppp

p

a konečně

2/1

42

2

22

2

2 44

11

4

11

1

pp

p

(11.25)

Ze vztahu (11.23) vidíme, že pro 10 je 1 implicitní schéma je vždy stabilní,

nezávisle na výběru velikosti t . Taková schémata nazýváme nepodmíněně stabilní, (angl.

unconditionally stable). Dosadíme-li pro lichoběžníkové schéma do (11.25) 0 dostáváme

1 (11.26)

což znamená, že lichoběžníkové schéma je neutrální, a nemění tedy amplitudu kmitů. Pro

hodnoty 0 je 1 a schéma je disipativní. Velikost disipace se zvětšuje se zvětšující se

frekvencí . Taková vlastnost schématu je často žádoucí. Můžeme si například představit

systém, v němž se zároveň vyskytuje velké množství frekvencí. Takovýto jev se vyskytuje i

v reálné atmosféře. Je však nutné, aby tato frekvence zachovávaly správné proporce. Proto se

ukazuje často užitečným zmenšit amplitudy kmitů s vysokou frekvencí, které tvoří ve spektru

frekvencí nežádoucí šum. Pro meteorologické úlohy se proto tato schémata používají

k potlačení nežádoucích krátkých vln, například i gravitačních vln nereálně velké amplitudy.

Velikost disipace je dána absolutní hodnotou , jejíž velikost je určena parametrem

176

„decentringu“ . Pro dostáváme zpětné implicitní schéma, jehož disipace je největší.

Dosazením do (11.25) pro zpětné implicitní schéma dostáváme

(11.27)

Parametrem „decentringu“ můžeme tedy si velikost disipace optimálně zvolit, jak

potřebujeme.

Iterační dvou-hladinová schémata

Podobně jako pro dvou-hladinová schémata i zde napíšeme tato schémata do jednoho

a to následujícího vztahu

(11.28)

Pro obdržíme Matsunovo schéma a pro dostáváme Heunovo

schéma.

Aplikujeme-li nyní toto schéma na rovnici lineárního oscilátoru (2.1) dostáváme

(11.29)

Z těchto vztahů eliminujeme a pro zkrácení zápisu použijeme (2.8), máme

a tedy

(11.30)

Pro Matsunovo schéma je

(11.31)

Pro Heunovo schéma

(11.32)

Pro vyšetření stability odhadneme . Pro Matsunovo schéma dostáváme

(11.33)

Schéma je stabilní, když , jinak řečeno, aby schéma bylo stabilní, musíme délku

časového kroku vybrat dostatečně malou, tak aby

(11.34)

Matsunovo schéma je tedy podmíněně stabilní. Čím větší bude frekvence, tím větší omezení

je na délku časového kroku.

Derivujeme-li (11.33) dostaneme, že

1

1

2121/

p

nnn ftU*U 1

11 nnnn fftUU

1

10 , 21/

nnn tUiU*U 1

*UUtiUU nnnn 11

*U n 1

nn UpipU 21 1

pip 1

pip 21

pip 2

2

11

21421/

pp

1p

t

1t

2

214221

1p

pp

p

dp

d/

177

Z tohoto vztahu plyne, že koeficient přechodu pro Mtsunovo schéma má minimum pro

. Matsuno v článku [6] poznamenává, že pro systémy obsahující velký počet

frekvencí můžeme časový krok vybrat tak, aby byla splněna podmínka 0<p<1/ pro

všechny vyskytující se frekvence. V tomto případě bude schéma potlačovat amplitudu

vysokých frekvencí, podobně jako zpětné implicitní schéma. Matsuno toto schéma úspěšně

použil pro integraci meteorologického modelu. Výhodou tohoto schématu je, že je explicitní,

je však pouze prvního řádu.

Pro Heunovo schéma máme

(11.35)

a vidíme, tato veličina je vždy větší než jedna, proto Heunovo schéma, stejně tak jako

Eulerovo schéma je pro rovnici kmitů vždy instabilní. Po rozvinutí vztahu (11.35) v řadu

vidíme, že rychlost růstu řešení je menší, než u Eulerova schématu,

nicméně řešení roste.

Z dosud studovaných dvou-hladinových schémat bylo pro rovnici kmitů stabilní

pouze jedno explicitní schéma a to Matsunovo a schémata implicitní.

Zajímavé je též studium změny fáze a také relativní fázovou změnu. , kde

připomeňme, že .

Označíme-li

(11.37)

máme

(11.38)

odkud

(11.39)

Pro Eulerovo a zpětné implicitní schéma je možné pomocí vztahů (11.21) a (11.22) dostat pro

relativní fázovou změnu následující vztah

(11.40)

Protože pravá strana rovnosti je vždy menší než jedna, docházíme k závěru, že obě schémata

zpomalují pohyb vln. Pro máme .

Pro ostatní schémata není efekt změny fáze tak jasný. Analýza fázových chyb není ve

srovnání s analýzou změny amplitudy, kde jde o stabilitu výpočtu tak důležitá.

Tří-hladinová schémata a početní modus

Studujme nejdříve schéma s centrální diferencí podle času, neboli obkročné schéma.

Aplikujeme-li toto schéma na rovnici oscilací, dostaneme

(11.42)

21 /p

2

21

4

4

11

/

p

....p 4

8

11

p/

tp

imre i

re

imarctg

re

imarctgpp

1

parctgpp

1

1p 4/p/

nnn UtiUU 211

178

Pro výpočet pomocí tohoto schématu potřebujeme více, než jednu počáteční podmínku.

Zatímco z fyzikálního i matematického hlediska pro jednoznačné určení řešení diferenciální

rovnice potřebujeme pouze jednu počáteční podmínku. Tato přirozená počáteční podmínka je

zadání hodnoty . Jako doplňující informaci potřebuje tří-hladinové schéma ještě hodnotu

. Tuto hodnotu nemůžeme vypočítat pomocí tří-hladinového schématu, proto jej musíme

určit pomocí některého z dvou-hladinových schémat. V souladu s (11.13) můžeme řešení

diferenční rovnice (11.42) psát

(11.43)

Dosadíme-li tyto vztahy do (11.42) dostaneme pro kvadratickou rovnici

Řešení této rovnice jsou

(11.44)

Existují tedy dvě řešení diferenční rovnice ve tvaru . To je důsledkem toho, že

studujeme tří-hladinové schéma. Podívejme se nyní na obě řešení kvadratické rovnice.

Jestliže řešení tvaru je přibližným řešením přesného řešení pak pro se

musí . Pro hodnoty (11.44) je a my skutečně máme, že , zatímco

. Řešení diferenční rovnice spojené s hodnotou se nazývá fyzikální modus,

zatímco řešení s hodnotou nazýváme početní modus.

Pro objasnění této skutečnosti studujme následující jednoduchý případ., když . Rovnice

má v tomto případě tvar

(11.45)

Přesným řešením diferenciální rovnice je v tomto případě

(11.46)

Aplikujeme-li na tuto rovnici schéma s centrální diferencí, dostaneme

(11.47)

Všimněme si, že kvadratická rovnice pro má jednoduchý tvar a řešení jsou tedy

a .

Zadáme-li fyzikální počáteční podmínku , studujme dvě možná zadání hodnoty

1. Předpokládejme, že hodnota je rovna přesné hodnotě, tedy počáteční hodnotě

Podle vztahu (11.47) dostáváme pro všechna n

.

Vidíme, že v tomto případě je

a tedy , dostáváme tak numerické řešení, které je přesným řešením. Toto řešení se

skládá pouze z fyzikálního modu

2. Zvolíme-li hodnotu , potom pro všechna n máme

0U 1U

1211 nnnn UU,UU

0122 ip

pip 2

1 1

ipp 2

2 1

nn UU 1

nn UU 1 0t

1 0 tp 11

12 1

2

0

0dt

dU

.constU

11 nn UU

12

11 12

0U 1U 1U

0U nn UU 1

nn UU 1

1

11

01 UU nn UU 1

179

neboli

V tomto případě se numerické řešení skládá pouze z početního modu.

Obecné řešení rovnice lineárního oscilátoru (11.11) pomocí schématu s centrální

diferencí podle času (11.42) je lineární kombinací obou modů, žádoucího fyzikálního modu i

nežádoucího početního modu. Jejich výskyt v řešení, závisí na doplňující počáteční podmínce

. Ideální by bylo, kdybychom uměli zvolit tak, aby řešení neobsahovalo početní

modus. V tomto případě bychom dostali správné fyzikální řešení. To ovšem tak není.

Hodnotu obvykle počítáme pomocí některého z časově dvou-hladinových schémat,

nejčastěji pomocí Eulerova explicitního schématu a řešení pak obsahuje početní vždy modus,

i když malé amplitudy. Ale i kdybychom uměli zvolit , tak, že by řešení početní modus

neobsahoval, dostal by se do řešení zaokrouhlovacími chybami, neboť výpočty na počítači

mají jen omezenou přesnost. Poznamenejme, že při výpočtech na obvyklých personálních

počítačích (PC) s dvojnou přesností má mantisa obvykle 16 dekadických desetinných míst.

Početní modus by se tak během časové integrace do řešení vždy dostal, i když je známo, že

zaokrouhlovací chyby při řešení rovnic atmosférických modelů nemají na výsledky významný

vliv.

Studujme nyní stabilitu schématu. Vezmeme-li do úvahy skutečnost, že řešením

schématu (11.42) je lineární kombinace obou módů a početní modus z výpočtu odstranit

nemůžeme, je třeba, aby koeficienty přechodu obou módů nebyly v absolutní hodnotě větší

než jedna. Proto musíme studovat tři případy:

1. . Ve vztazích (11.44) je pak rozdíl kladený, odmocnina reálná a tedy

(11.50)

V tomto případě jsou oba módy neutrální a tedy stabilní. Změna fáze, která je dána vztahem

(11.38) nám pro jednotlivé módy dává

(11.51)

Je proto účelné studovat chování změny fází jakožto funkci p zejména když .

Studujme napřed případ kdy . Protože pro oba módy je imaginární část rovna

a je tedy kladná leží v intervalu . Reálná část je podle (11.44)

rovna . Ze znaménka této veličiny máme, že a .

Ze vztahů (11.51) máme , odkud vzhledem k tomu, že

je . Charakteristické je, že pro se , zatímco . Pro malá

aproximuje tedy fyzikální modus přesné řešení, početní modus se chová jinak. V případě,

že můžeme obdobně dostat, že , což můžeme shrnout do vztahu

nn UU 2

1

1U 1U

1U

1U

1p 21 p21 p

121

21

1 p

parctg

22

1 p

parctg

0p

0p

psinim 0

21 pre 20 1 / 22/

112 tgtgtg 0

12 0p p1 p2

t

0p 12

180

(11.52)

Abychom dosáhli přesnost fyzikálního módu je třeba, aby pokud možno přesně

aproximoval změnu fáze přesného řešení. Rozvineme-li první výraz v (11.51) v mocninnou

řadu, dostaneme

Vidíme, že schéma s centrovanou diferencí podle času zrychluje vlnový pohyb. Pro malé

hodnoty p je schéma dostatečně přesné. Pro hodnoty chyby však rychle rostou.

Derivujeme-li první výraz (11.51), dostáváme

vidíme, že fázová chyba pro rychle roste, když .

Abychom ilustrovali chování obou dvou módů, dostáváme v komplexní- Gaussově rovině

, (11.53)

Chování obou módů si ilustrujeme na případu, kdy a kdy pro jednoduchost

v počátečním momentu je imaginární část řešení rovna nule. Fyzikální modus se v každém

kroku otáčí v kladném směru o úhel , zatímco početní modus se v případě p>0 otáčí o úhel

.

Detailní znalost o chování početního módu je užitečná pro zjištění jejího výskytu při

časové integraci. Proto si zobrazíme reálnou a imaginární část početní módy jako funkce času.

Za tímto účelem si vztah (11.53) přepíšeme do následujícího tvaru

Vzhledem k činiteli vidíme, že reálná i imaginární část početního módu krok od kroku

oscilují. Podle toho výskyt početního módu v řešení snadno identifikujeme.

2. . Je to limitní případ řešení studovaný pro . Ze vztahu (11.44) vidíme, že obě

módy se sobě rovnají a je

a v důsledku toho je

(11.54)

Oba módy jsou tedy neutrální. Protože ani jeden z nich nemá reálnou část, je

dostáváme

(11.55)

Oba módy můžou být napsány ve tvaru

(11.56)

V komplexní rovině se v každém časovém kroku otáčejí o úhel , zatímco přesné řešení

se otáčí o úhel . Proto chyba fáze je v tomto případě velká.

3. Obě hodnoty ve výrazech (11.44) mají pouze imaginární část, je tedy

,

12

1

....6

1 3

1 pp

1p

2

1

1

1

pdp

d

1p 2//1 p

1

0

11

inneUU

10

22

inneUU

8/1

1

1

11

0

22 sincos1 ninUUnn

n1

1p 1p

ip 21

121

1p

2/21

2/0 inn eUU

2/

1

1p

12

1 ppi 12

2 ppi

181

Máme tedy pro a pro . Tedy pro je schéma s centrální

diferencí podle času insatbilní.

Klady tohoto schématu spočívají v jeho jednoduchosti, druhého řádu přesnosti a neutrálnosti

v oblasti stability . Jeho nedostatkem je existence neutrálního početního módu. Pro

nelineární úlohy jeví schéma tendenci k pomalému růstu početního módu.

Na závěr studia stability schémat pro rovnice lineárního oscilátoru si uvedeme schéma

Adamas-Bahforta

(11.57)

Dosazením ze vztahů (11.43) dostáváme pro obdobně kvadratickou rovnici

(11.58)

Řešeními této rovnice jsou

(11.59)

(11.60)

Odkud pro dostáváme, že , zatímco . Proto řešení, pro které je

je fyzikální modus, zatímco početní modus. Analýza koeficientů přechodu je zde dosti

obtížná, což způsobuje v koeficientech přechodu se vyskytující člen s odmocninou.

Z předchozích vztahů ovšem pro malá p plyne, že a fyzikální mód a tedy schéma je

nestabilní. Na rozdíl od schématu s centrální časovou diferencí je však amplituda početního

módu potlačována.

Vlastnosti časových schémat pro rovnici tření

Studujme vlastnosti diferenčních schémat aplikovaných na rovnici tření. Rovnicí tření

budeme nazývat následující rovnici.

, kde , (11.61)

Není obtížné vysvětlit náš zájem o tuto rovnici. Položíme-li například , pak rovnice

popisuje efekt tření, který je úměrný vektoru rychlosti, což je obvyklý předpoklad pro pohyb

vzduchu v blízkosti povrchu Země. Dalším příkladem může být rovnice vedení tepla neboli

rovnice difúze

, kde

Když řešení budeme hledat ve tvaru harmonické složky

11 1p 12 1p 1p

1t

11

2

1

2

3 nnnn UUtiUU

022

312

pipi

ipppi 2

14

91

2

31

2

1

ipppi 2

24

91

2

31

2

1

0p 11 02

1 2

11

kUdt

dU tUU 0k

ivuU

2

2

x

u

t

u

0

xietUtxu Re,

182

dostaneme rovnici

která je ekvivalentní s rovnicí (11.61), když označíme .

Obecným řešením rovnice (11.61) je

(11.62)

Což znamená, že obě části, reálná i imaginární část, se zmenšují exponenciálně s časem, Jako

ve výše popsané rovnici silného útlumu.

Vlastnosti schémat aplikovaných na rovnici tření (11.61) budeme studovat opět

pomocí metody von Neumanna. Jako v předchozí části budeme studovat nejdříve dvou-

hladinová schémata (11.16) bez iterace. Aplikujeme-li je na rovnici tření, máme

(11.63)

Označme

(11.64)

Z rovnice (11.63) vyjádříme , máme

(11.65)

Pro Eulerovo schéma je odkud vidíme, že schéma je stabilní, když ,

což nastává když

(11.66)

Vidíme tedy, že aplikujeme-li časová schémata na různé rovnice, jejich vlastnosti nezůstávají

stejné. V případě podmínky stability (11.66) můžeme na volbu klást další požadavky.

Můžeme například vybrat , abychom vyloučili oscilace řešení krok od kroku, tedy

oscilace délky .

Zpětné implicitní schéma je vždy stabilní při a znaménka řešení

neosciluje krok od kroku.

Lichoběžníkové schéma je pro také vždy stabilní. Řešení

neosciluje, když .

Studujeme-li iterační dvou-hladinová schémata (11.28) dostáváme

(11.67)

proto Matsunovo i Hunovo schéma je pro dostatečně malé hodnoty stabilní.

Je důležité a instruktivní studovat pro rovnici tření schéma s centrální diferencí podle

času, tedy obkročné schéma. Aplikujeme-li jej na rovnici (11.61) dostáváme vztah

(11.68)

Pro koeficienty přechodu dostáváme rovnici

jejíž řešení jsou

(11.69)

Udt

dU 2

2k

kteUtU 0

11 nnnn UUtkUU

tkK 1nU

nn UK

KU

1

11

0,1 11 K

20 K

t

1K

t2

1,0 0K

2

1 0K

2K

nn UKKU )1( 21

K

nnn KUUU 211

0122 K

2

1 1 KK

2

2 1 KK

183

Jestliže , pak a . Řešení odpovídající je fyzikální mód a řešení

odpovídající početní mód. Pro , pro integraci ve směru rostoucího času máme

. Z čehož vyplývá, že početní mód je vždy instabilní. Mění znaménko krok od kroku

a jeho amplituda roste. Protože početní mód nemůžeme z výpočtu plně odstranit a jeho růst

není malý, se schéma s centrální diferencí podle času nehodí pro integraci rovnice tření.

Nakonec pro schéma Adamse-Bashfortha dostáváme

(11.70)

Odtud vyplývá, že pro dostatečně malá K je schéma stabilní a amplituda početního módu se

zmenšuje.

Kombinace schémat

Je přirozené si nyní položit otázku, jak je třeba postupovat, když rovnice obsahuje

členy vyjadřující oscilace tak členy tření. Příkladem může být rovnice

(11.71)

Mohli bychom použít schéma s centrální diferencí, protože je zde člen popisující oscilace, ale

my víme, že je nemůžeme použít pro člen tření . V tmto případě a jemu analogických

můžeme použít různá schémata pro členy různého charakteru. Použijeme-li pro členy

popisující oscilace schéma s centrální diferencí a pro členy popisující tření, tedy i difůzi,

Eulerovo schéma dostáváme aproximaci

(11.72)

která je v Eulerovských modelech používána nejčastěji. Jsou však možné i jiné kombinace.

Robert-Asselinův časový filtr

Problém odstranění početního modu, tedy časových oscilací vlnové délky 2Δ𝑡 ve tří-

hladinovém schématu obsahujícím centrální časovou diferenci, jako je schéma (11.72) vyřešil

A. Robert, který ve spektrálním modelu použil časový filtr [5]. Vlastnosti tohoto filtru byly

zevrubně prostudovány Asselinem [2] a proto se tento filtr nazývá často pouze Asselinovým

filtrem. Při časové integraci vznikají pro meteorologické proměnné na časové ose oscilace

vysoké frekvence. Ta nejvyšší frekvence, generovaná početním modem vytváří na časové ose

vlny délky 2Δ𝑡, což jsou nejkratší vlny, které může síť na časové ose popsat. Hlavním úkolem

Asselinova filtru je právě tyto vlny odstranit. Kromě těchto vln se při výpočtu vyskytují ještě i

jiné vlny dosti vysoké frekvence. Tyto vlny jsou způsobeny rychlými mody gravitačních vln

nereálně velké amplitudy, které jsou způsobeny nerovnováhou pole rozložení hmoty a pole

proudění, tedy termobarického pole a pole větru v počátečních podmínkách. Tyto gravitační

vlny relativně vysoké frekvence, i když v reálné atmosféře existují, mají velmi malou

amplitudu. Lze je zaznamenat například na grafu změn přízemního tlaku měřeným velmi

citlivým mikrobarografem. Tyto vlny jsou z výpočtu odstraňovány zejména úpravou

počátečních podmínek, tak zvanou inicializací počátečních dat, kde je odstraněna

0K 11 12 1

2 0K

12

2

4

91

2

31

2

1KKK

kUUidt

dU

kU

111 2 nnnn kUUitUU

184

nerovnováha mezi polem rozložení hmoty a pohybem atmosféry. Další metodou, která krátké

vlny v závislosti na jejich délce odstraňuje je použití decentringu v časovém semi-implicitním

schématu, nebo docela použitím zpětného implicitního schématu. Takové schéma selektivně

potlačuje amplitudu krátkých vln. Existenci gravitačních oscilací v modelu můžeme zjistit

snadno. Stačí si vytisknout hodnoty prognostické proměnné v jednom zvoleném bodu

v prostoru a tuto časovou posloupnost si zakreslit do grafu. V grafu vidíme krásně existenci

početního modu, který jakožto vlna 2Δ𝑡 způsobuje, že graf je zubatý. Zvolíme-li pro studium

časového průběhu vhodnou proměnnou, například přízemní tlak, nebo geopotenciál některé

z tlakových hladin, můžeme se podívat, zda se ve výpočtu vyskytují i gravitační vlny vysoké

frekvence nereálně velké amplitudy.

Idea časového filtru je jednoduchá. Vezmeme-li hodnoty proměnné 𝐹(𝑡) ve třech

časově po sobě jdoucích bodech, kde hodnoty 𝐹(𝑡 − 1), 𝐹(𝑡), 𝐹(𝑡 + 1) známe, vidíme, že

když se prostřední hodnota 𝐹(𝑡) příliš liší od aritmetického průměru obou krajních hodnot,

tedy od hodnoty (𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2, pak funkce nebude příliš hladká. Idea vetšiny

filtrů je vlastně snížit odchylku 𝐹(𝑡) od aritmetického průměru (𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2. To

můžeme provést tak, že za novou již filtrovanou hodnotu proměnné F, kterou označme 𝐹(𝑡)

vezmeme lineární kombinaci veličin 𝐹(𝑡) a aritmetického průměru (𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2

s váhami, tedy

𝐹(𝑡) = (1 − 𝜈)𝐹(𝑡) + 𝜈(𝐹(𝑡 − 1) + 𝐹(𝑡 + 1))/2 (11.73)

kde 𝜈 leží v intervalu (0,1). Tento vztah můžeme ovšem přepsat do obvyklého tvaru

𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 0.5𝜈(𝐹(𝑡 − 1) − 2𝐹(𝑡) + 𝐹(𝑡 + 1)) (11.74)

Kde druhý člen na pravé straně rovnice je obvyklá aproximace druhé derivace funkce F

násobená čtvercem délky časového kroku (Δ𝑡)2, což z hlediska diferenciálních rovnic

představuje difuzní člen. 𝐹(𝑡) je tedy filtrovaná hodnota a 𝝂 parametr filtru.

Studujme nyní funkci

𝐹(𝑡) = 𝐹(0)𝑒𝑖𝜔𝑡 (11.75)

Která je řešením oscilační rovnice v komplexním tvaru (10.7)

𝑑𝐹

𝑑𝑡= 𝑖𝜔𝑡

(11.76)

Pro diskrétní hodnoty řešení dostáváme

𝐹(𝑛Δ𝑡) = 𝐹(0)𝑒𝑖𝑛𝜔𝑡 (11.77)

Tím je na diskrétní síti s jednotkovým krokem a úhlovou frekvencí 𝜔 je dána časová

posloupnost hodnot F. Pro kvantitativní analýzu filtru označme

𝐹(𝑡) = 𝑅𝐹(𝑡) (11.78)

Kde komplexní číslo R koeficient přechodu se nazývá reakcí filtru (anglicky response of the

filter). Dosadíme-li nyní (11.78) do (11.74) a za 𝐹(𝑡) klademe z (11.77) pak po vykrácení

zlomku faktorem 𝐹(0)𝑒𝑖𝑛𝜔Δ𝑡 dostaneme

𝑅 =𝐹(𝑡)

𝐹(𝑡)= 1 + 0.5𝜈(𝑒𝑖𝜔Δt − 2 + 𝑒−𝑖𝜔Δ𝑡) = 1 − 𝜐(1 − cos 𝜔Δ𝑡)

(11.79)

tnt

185

Z velikosti absolutní hodnoty |𝑅| vyplývá, že takovýto filtr zmenšuje koeficient přechodu a

tedy zvětšuje disipativnost schématu a nenarušuje tedy kriterium stability.

Ve skutečnosti je však filtr, který nazýváme Asselinův filtr definován jinak. Filtr se

používá obvykle v každém časovém kroku, přičemž filtrovaná veličina v čase t se stává

v dalším kroku veličinou v čase 𝑡 − Δ𝑡, a je tedy již veličinou filtrovanou z předchozího

kroku. Proto Asselinův filtr musíme napsat ve tvaru

𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑡) + 0.5𝜈 (𝐹(𝑡 − Δ𝑡) − 2𝐹(𝑡) + 𝐹(𝑡 + Δ𝑡)) (11.80)

Kde 𝜈 je parametr filtru. Dosadíme-li opět do předchozího vztahu za 𝐹(𝑡) z (11.78) a (11.77)

dostaneme obdobně že

𝑅 =(2 − 𝜈)2 + 2𝜈2(1 − cos 𝜔Δ𝑡)

(2 − 𝜐)2 + 4𝜐(1 − cos 𝜔Δ𝑡)𝑒𝑖𝜔Δ𝑡

(11.81)

Změna fáze v tomto případě není nulová. Pro malé hodnoty 𝜔Δ𝑡 je však malá. Amplituda

koeficientu přechodu je pro malé hodnoty 𝜈 je podobná jako u filtru (11.74). Podrobný

kvantitativní rozbor je proveden v Asselinově práci [2]. Je třeba říci, že pro Eulerovské

baroklinní modely v hydrostatickém přiblížení funguje Asselinův časový filtr bez problémů

velmi dobře. Obvykle se používají malé hodnoty parametru 𝜈, například 0.02, nebo i 0.002.

Filtr v tomto případě nemá na přesnost řešení prakticky nežádoucí vliv. Pro modely, kde se

používá pro difúzi implicitní schéma je situace složitější. Větší hodnoty 𝜈 můžou vést

k insatbilitě. Tyto problémy jsou studovány v práci [4]. Vzhledem k tomu, že časový filtr je

při integraci modelů velmi často používán, byl proto studován jeho vliv na integraci

meteorologických modelů. Jeho vliv na řešení rovnic mělké vody je studován ve článku [6].

Problémy spojené s použitím časového filtru v modelech používající pro časovou integraci

Semi-Lagrangeovská schémata jsou studovány v práci [3].

Literatura:

[1] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME I.

By F. Mesinger and A. Arakawa, GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME

(GARP), WMO-ICSU Joint Organization Committee

GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1976.

[2] Asselin R. 1972: Frequency filter for time integrations. Mon. Wea. Rev., 100, 487-490

[3] Cordero E., Staniforth A. 2004: Problem with the Robert-Asselin Time Filter for Three-

Time-Level Semi-Implicit Semi-Lagrangian Discretizations, Monthly Weather Review Vol.

132, No.2, pp. 600-610

[4] Déqué M., Cariolle D. 1986: Some Destabilizing Properties of the Asselin Time Filter,

Monthly Weather Review Vol. 114, pp.880-884

[5] Robert, André J. 1966: The integration of a Low Order Spectral Form of the Primitive

Meteorological Equations, Journal of the Meteorological Society of Japan Ser.2, Vol 44,

No.5, pp. 237-245

[6] Schlesinger R. E., Uccellini L.W., Johnson D.R. 1983: The effect of the Asselin Time

filter on Numerical Solution to the Linearized Shallow-Water Wave Equations, Monthly

Weather Review Vol. 111, pp. 455-467

186

[7] Young, J. A., 1968: Comparative properties of some time differencing schemes for linear

and nonlinear oscillations. Mon. Wea. Rev. 96, 357-364

187

12. Rovnice advekce

V této části budeme studovat parciální diferenciální rovnici advekce s jednou i více

prostorovými proměnnými. Dá se říci, že členy vyjadřující advekci v rovnicích dynamiky

atmosféry jsou jednou z jejich nejdůležitějších částí. Právě tyto členy vyjadřují zákony

zachování pohybu vzduchu. Nejdříve se budeme zabývat zjednodušenými tvary rovnice

advekce s jednou prostorovou proměnnou a potom přejdeme ke studiu složitějších rovnic.

12.1. Diferenční schémata druhého řádu

Studujme lineární rovnici advekce

, kde (12.1.1)

kde funkce je funkcí dvou nezávisle proměnných, prostorové proměnné x a času t.

Rovnice (12.1.1) se proto obvykle nazývá jednodimensionální rovnicí advekce. V kapitole 9.

jsme si ukázali, že obecné řešení této rovnice je

(12.1.2)

kde je libovolná funkce. Rovnice (12.1.1) byla nazvána „rovnicí advekce“ Normanem

Phillipsem.

Aproximujme nyní derivaci prostorové proměnné v rovnici (12.1.1) centrální diferencí

a časovou derivaci ponecháme, dostáváme aproximaci této rovnice v tak zvaném semi-

diskrétním tvaru

(12.1.3)

index j zde označuje hodnoty v uzlových bodech sítě, tedy .

Schémata pro numerické řešení rovnice (12.1.1) pak dostaneme tak, že pro aproximaci

derivace podle času v rovnici (12.1.3) použijeme jedno z uvedených schémat z předchozí

kapitoly. Můžeme například použít obkročné schéma, (schéma s centrální diferencí podle

času). Dostaneme tak aproximaci

(12.1.4)

jako jedno z možných numerických řešení rovnice (12.1.1).

Vlastnosti takto sestrojených schémat pak můžeme odvodit ze známých vlastností

časových schémat aplikovaných na rovnici kmitů. Abychom vyjasnili toto tvrzení, dosadíme

do semi-diskrétního tvaru (12.1.3) řešení ve tvaru jednoduché harmonické složky

(12.1.5)

Po dosazení do (12.1.3) a vydělením dostáváme

a s použitím vztahu máme

0

x

uc

t

uconstc

txuu ,

ctxfu

f

x

uuc

t

u jjj

2

11

xjx

x

uuc

t

uun

j

n

j

n

j

n

j

22

11

11

xjki

j etUu Re

xjkietU xjkie

Ux

eec

dt

dU xikxik

2

xiee ixix sin2

188

(12.1.6)

Označíme-li

(12.1.7)

je (12.1.6) rovnicí lineárního oscilátoru z předchozí kapitoly. Jestliže nyní rovnici lineárního

oscilátoru (12.1.6) aproximujeme některým časovým schématem studovaným v předchozí

kapitole, pak dostaneme stejné diferenční rovnice, jako kdybychom použili toto schéma na

rovnici (12.1.3) a potom do ní dosadili vlnové řešení (12.1.5). Vlastnosti diferenčních

schémat, které obdržíme z (12.1.3) můžeme odvodit z výsledků předchozí kapitoly, přičemž

frekvence je dána vztahem (12.1.7).

Jestliže například aproximujeme rovnici kmitů (12.1.6) pomocí obkročného schématu,

dostaneme

(12.1.8)

Použijeme-li označení z předchozí kapitoly , je podle (12.1.7)

(12.1.9)

Stejnou diferenční aproximaci jako je (12.1.8) můžeme odvodit i jinak. Aplikujeme-li

obkročné schéma na rovnici v semi-diskrétním tvaru (12.1.3) dostaneme diferenční

aproximaci (12.1.4). Dosadíme-li (12.1.5) do (12.1.4) dostáváme rovněž (12.1.8). Vlastnosti

schématu (12.1.4) můžeme proto stanovit z (12.1.7) a ze známých vlastností obkročného

schématu aplikovaného na rovnici oscilátoru.

Studujme nyní některé závěry, které dostaneme tímto způsobem. Pro stabilitu

obkročného schématu je třeba, aby byla splněna podmínka , pro všechny hodnoty , to

znamená, že musí splňovat podmínku

pro všechny přípustné hodnoty k. Protože má maximum rovné jedné v oboru

přípustných k, nabývá podmínka stability tvar

(12.1.10)

Toto kriterium, které jsme odvodili v kapitole 9, nám ukazuje, že stabilitu nelze jednoduše

dosáhnout pouze nezávislým na sobě zmenšováním časového kroku a prostorového kroku. Ve

skutečnosti, abychom obdrželi stabilní schéma je nutné zachovat určitý poměr přírůstků

. První tuto podmínku (12.1.10) odvodili Courant, Fridrichs a Lewy v roce 1928 [2].

Tato podmínka je proto nazývána Courant-Fridrichs-Lewyho kriteriem stability, nebo

zkratkou CFL kriteriem stability.

Všimněme si ještě, že maximální hodnota , tedy minimum stability je svázáno

s vlnou , neboť je právě jeho maximální hodnota. Protože vlnové

číslo (počet vln na vzdálenosti ) je dáno vztahem , kde L je délka vlny. Pro

Uxkx

ci

dt

dU

sin

xkx

c

sin

nnn Uxkx

tciUU

sin211

tp

xkx

tcp

sin

1p

1sin

xk

x

tc

xksin

1

x

tc

xt /

p

2/xk 12/sin

2 Lk /2

189

minimum stability je což je pro délku vlny , což je

tedy dvakrát delší, než nejkratší vlna, kterou síť může popsat, což je vlna délky .

Můžeme použít i jiné výsledky předešlé analýzy. Jsou dvě řešení pro , fyzikální a

početní modus

, (12.1.11)

Kde a jsou dány rovnicí (11.44) předchozí kapitoly 11.

V případě stability máme pro a s použitím vztahu je

,

(12.1.12)

Ze vztahu (12.1.5) vidíme, že aproximace má také fyzikální a početní modus. Fyzikální

modus

(12.1.13)

početní modus

(12.1.14)

Tyto výrazy můžeme srovnat s přesným řešením rovnice (12.1.1) ve tvaru jedné harmonické

složky, které bylo odvozeno v předchozí kapitole 11.

(12.1.15)

Ze srovnání vztahů (12.1.13) a (12.1.14) vyplývá, že fázová rychlost fyzikálního modu je

rovna , a fázová rychlost početního modu , kterou budeme uvažovat pouze

v sudých krocích je . Z druhého vztahu (12.12) rozvinutého v mocninnou řadu

dostáváme

a poměr charakterizující změnu fázové rychlosti můžeme psát ve tvaru

pro

vidíme, že když , a z (12.1.9) vyplývá, že pro , 𝑝 → −𝑐𝑘∆𝑡.

Tedy když pak , tedy fázová rychlost fyzikálního modu se

blíží k fázové rychlosti přesného řešení, zatímco . Navíc početní modus mění

xk 2/ xx

kL

42

2/2

x2 nU

0

111 UUnn

0

222 UUnn

1 2

0p 1 ie

ie1

21 p

parctg

ii ee 2

n

ju

tn

tkxjik

n

j eUu

0

1Re

tn

tkxjik

nn

j eUu

0

21Re

ctxikeUtxu 0Re,

1c

tk / 2c

tk/

53

2 6

1

1popp

p

parctg

16

11 422

tot

tp

0t

0t p 0x

00 tax cc 1

cc 2

190

znaménko ve všech uzlových bodech krok od kroku v čase, protože (12.1.14) obsahuje faktor

.

Nyní pro časovou aproximaci použijeme jiné časové schéma z předchozí kapitoly a to

Matsunovo schéma. Realizace Mtsunova schématu se skládá z dvou kroků. Nejdříve

vypočteme hodnotu pomocí Eulerova schématu

(12.1.16)

a v druhém kroku tuto hodnotu použijeme ve zpětném implicitním schématu, tedy

(12.1.17)

Z těchto dvou rovnic můžeme eliminovat přibližné veličiny , když ve vztahu (12.1.16)

index j nahradíme indexy j+1 a j-1 a dosadíme do (12.1.17) . Takto dostaneme Matsunovo

schéma zapsané v jako jednokrokové

(12.1.18)

Bez posledního členu tento výraz představuje aproximací Eulerovým explicitním schématem

použitým pro časovou derivaci ve vztahu (12.1.3). Třetí člen konverguje k nule, když

. Proto (12.1.18) je konsistentní aproximací rovnice advekce. Z jiného

hlediska pro pevně zvolené poslední člen (12.1.19) pro konverguje k .

Tento člen má tedy stejný tvar jako aproximace členu difúze a jeho efektem je snižování

amplitudy. Snižování amplitudy závisí však na délce vlny. Protože tento člen je aproximován

na intervalu , snižuje nejvíce amplitudu vln délky . Amplitudu nejkratších vln délky

nepotlačuje vůbec. I kdybychom chtěli použít efektu selektivního potlačování amplitudy

krátkých vln, chybí to nejdůležitější, potlačování amplitudy těch nejkratších vln, tak zvaného

šumu. Proto se Matsunovo schéma pro řešení rovnice advekce nehodí.

Je užitečné studovat také možnosti použití energetické metody pro studium stability

schémat. Je to proto, že tuto metodu můžeme použít i pro zjištění stability nelineárních rovnic

a také ke studiu vlivu okrajových podmínek na stabilitu. Tuto metodu použijeme nyní pro

zjištění stability pro celou skupinu schémat pro řešení rovnice (12.1.3)

Dostatečně širokou třídu schémat pro řešení rovnice (12.1.3) můžeme zapsat

následujícím způsobem

(12.1.19)

kde

𝜇 = 𝑐∆𝑡

∆𝑥 (12.1.20)

a je lineární funkcí hodnot . Například, abychom obdrželi neiterativní dvou-

hladinové schéma, položíme

(12.1.21)

n1

*1n

ju

x

uuc

t

uun

j

n

j

n

j

n

j

2

11

*1

x

uuc

t

uun

j

n

j

n

j

n

j

2

*1

1

*1

1

1

*1n

ju

2

22211

1

2

2

2 x

uuutc

x

uuc

t

uun

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

00 tax

t 0x2

22

x

utc

x4 x4

x2

1*

1*1

2

1

jj

n

j

n

j uuuu

ju* n

ju

1*

n

j

n

jj uuu

191

pro iterační schémata klademe

(12.1.22)

nakonec pro Adams-Bashfortovo schéma klademe

(12.1.23)

Studujme nejdříve stabilitu neiteračních dvou-hladinových schémat. Je vhodné

nejdříve vynásobit (12.1.19) a sečíst přes všechna j. Dostaneme tak

Za předpokladu, že jsou splněny cyklické okrajové podmínky je pravá strana nulová a

v tomto případě je

.

Přičtením předchozího vztahu k identitě

dosadíme-li za z (12.1.21) a eliminujeme-li po úpravách máme

(12.1.24)

V důsledku toho, jestliže pak schéma je nestabilní. Jestliže schéma je stabilní a

neutrální a jestliže , schéma je stabilní a zmenšuje amplitudu vln, přičemž celková

energie se s rostoucím časem monotónně zmenšuje.

Na závěr podrobíme analýze schéma, které navrhli Lax a Wendroff v roce (1960). Toto

schéma se nazývá schématem Lax-Wendroffa, přesněji dvou-krokovou versí schématu Lax-

Wendroffa. Na rozdíl od dříve studovaných schémat, schéma Lax-Wendroffa nemůže být

odvozeno z nezávisle provedené prostorové a časové aproximace derivací rovnice advekce.

Abychom popsali odvození tohoto schématu, použijeme šablonu zobrazenou na obrázku

n

j

n

j

n

jj uuuu 11

*

1*

2

1

2

3

n

j

n

jj uuu

ju*

j j

jjjn

j

n

jj uuuuuu 1*

1**1*

2

1

j

n

j

n

jj uuu 01*

n

j

n

j

n

j

n

j

jj

n

j

n

j uuuuuu

11221

(2

1

2

1

ju* 1

j

n

j

n

j

j

n

j

n

j uuuu21221

2

1

2

1

2

1 1

2

1

j

n

ju2

2

1

192

Obrázek 12.1 Časo-prostorová molekula bodů pro konstrukci aproximace schématu

Lax-Wendroffa

Nejdříve vypočteme mezivýsledky ve středech dvou obdélníků této šablony označených

křížky. To provedeme pomocí Eulerova schématu s centrovanými diferencemi podle

prostorové proměnné x, kde za hodnoty ve středech intervalů délky , které označme

a vezmeme aritmetické průměry z dvou nejbližších bodů v síti. Pak máme

(12.1.25)

Pomocí těchto mezivýsledků provedeme ještě jeden krok s použitím centrovaných diferencí

pro aproximaci derivací podle časové i prostorové proměnné. Máme

(12.1.26)

Dosadíme-li mezivýsledky a ze vztahů (12.1.25) do výsledného vztahu

(12.1.26) dostáváme

(12.1.27)

Je si potřeba všimnout, že tato diferenční rovnice je velmi podobná rovnici (12.1.18) pro

Matsunovo schéma. Liší se pouze v členu difúze. Poslední člen (12.1.27) pro pevné a

konverguje k . Tento difúzní člen má tedy stejný tvar jako ve vztahu

(12.1.18), je však poloviční. Navíc je tento člen aproximován na intervalu a efekt

potlačování amplitudy bude největší pro vlnu délky . Takováto závislost zmenšování

amplitudy v závislosti na délce vlny je velmi užitečná. Později ukážeme, že je to proto, že

s nejkratšími vlnami popsanými danou sítí vznikají problémy. Tyto problémy často můžeme

potlačit právě pomocí disipativních schémat, které zmenšují amplitudu vln délky dvou kroků

sítě.

Další předností schématu Lax-Wendreffa proti Matsunovu schématu je, že je

schématem druhého řádu v časové i prostorové proměnné, tedy , zatímco

Matsunovo schéma mělo časovou aproximaci pouze prvního řádu, tedy .

nu xn

ju 2/1

n

ju 2/1

x

uuc

t

uuu n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

1

1

2/1

2/1

2

12

1

x

uuc

t

uuu n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

1

1

2/1

2/1

2

12

1

x

uuc

t

uuěn

j

n

j

n

j

n

j

2/1

2/1

2/1

2/1

1

2/1

2/1

n

ju2/1

2/1

n

ju

2

11211

12

2

1

2 x

uuutc

x

uuc

t

uun

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

t

0x2

22

2

1

x

utc

x2

x2

22 , txo

to

193

Abychom vyšetřili stabilitu schématu Lax-Wendroffa dosadíme do jednokrokové

varianty Lax-Wendrffova schématu (12.1.27)

(12.1.28)

Dostaneme

(12.1.29)

Je tedy

(12.1.30)

S použitím identit

dostáváme

(12.1.31)

Výraz v stojící v hranatých závorkách je rozdílem dvou čtverců, které jsou kladné, když

, tedy když , neboli když

což je CFL kriterium stability. V tomto případě je a schéma je stabilní.

Účelná je také analýza závislosti potlačování amplitudy v závislosti na . Pro

nejkratší vlnu zobrazenou na síti, vlnu je a v důsledku toho je

(12.1.32)

Pro vlnu dvojnásobné délky, tedy vlnu délky je a

(12.1.33)

V obecném případě, derivujeme-li vztah (12.1.31) máme

všechny křivky mají minimum v bodě . Dosadíme-li tuto hodnotu do (12.1.31)

dostáváme pro koeficient přechodu minimální hodnotu

(12.1.34)

V důsledku toho, když vlnu prodlužujeme od délky , minimální hodnota se

monotónně zvětšuje od nuly. Když délku vlny zvětšujeme nade všechny meze, minimální

hodnota konverguje k jedné.

xilknneUu Re

nn UxkixkU sin1cos1 21

xkixk sin1cos1 2

2sin21cos 2 xk

xk

2cos

2sin2sin

xkxkxk

2/1

422

2sin141

xk

01 2 12

1

x

tc

1

x2 xk

22/142 21441

x4 2/xk

2/1421

2/1

422

42

2sin141

2sin214

xk

xk

d

d

2/1

2/1

4

2sin1

xk

x2

194

Koeficienty přechodu pro vlny délky a vypočítané ze vztahů (12.1.32) a

(12.33) jsou zobrazeny na Obr. 12.2.

Obrázek 12.2 Koeficienty přechodu pro schéma Lax-Wendroffa jako funkce 𝜇 = 𝑐∆𝑡/∆𝑥 pro

vlny délky 2∆𝑥 𝑎 4∆𝑥

Jak je vidět, potlačování amplitudy vln je dostatečně velké pro nejkratší vlny, zejména vlnu

délky . Potlačování amplitudy však závisí na kroku v síti, na rychlosti proudění i na

poměru , což je určitým nedostatkem schématu Lax-Wendroffa.

Studované schéma Lax-Wendroffa můžeme odvodit také jinak. Pomocí charakteristik.

Půjdeme-li z bodu o indexu j v čase t po charakteristice do bodu v

čase o jeden časový krok zpět. Hodnota v tomto bodě, kterou označme je rovna hledané

hodnotě Obr. 12.3.

Obrázek 12.3 Výpočet hodnoty řešení rovnice advekce v uzlu 𝑗∆𝑥, (𝑛 + 1)∆𝑡 na základě

charakteristiky 𝑥 − 𝑐𝑡 = const

Vypočteme-li tuto hodnotu interpolací pomocí Lagrangeova polynomu druhého

stupně z hodnot ve třech uzlových bodech, dostaneme rovněž schéma Lax-

Wendroffa. Klademe-li pro interpolaci hodnotu souřadnice x v uzlovém bodě j rovnu nule,

x2 x4

x2

xt /

constctx tcx *u

n

ju

*uun

j

n

j

n

j

n

j uuu 11 ,,

195

pak souřadnice x uzlovém bodu je , uzlovém bodu je a

souřadnice x bodu do kterého interpolujeme je . Lagrangeův polynom pak můžeme

napsat ve tvaru

Dosadíme-li sem za hodnotu , dostaneme výslednou hodnotu

což je stejný výraz jako (12.27). Tímto odvozením schématu Lax-Wendfoffa je také dána jeho

určitá souvislost se semi-Lagrangeovými schématy, které budeme studovat dále.

Podle mého názoru se v současných modelech synoptického měřítka založených na

rovnicích v hydrostatickém přiblížení toto schéma téměř nepoužívá. Schéma Lax-Wendroffa

bylo vyvinuto v USA pro řešení obtékání křídel nadzvukových letounů, při kterých vzniká

balistická vlna, tedy diskontinuita. Takovou diskontinuitou by měly být v atmosféře

atmosférické fronty. To je ovšem do jisté míry fikce, protože v atmosféře difúzní procesy tyto

diskontinuity eliminují a vznikají tak místo diskontinuit pouze místa s relativně velkými

gradienty veličin, zejména složek větru a teploty.

12.2. Početní disperse

Připomeňme si znovu, že lineární rovnice advekce

kde (12.2.1)

má řešení ve tvaru jedné harmonické komponenty

(12.2.2)

jestliže je splněna podmínka

(12.2.3)

V této rovnici kmitů je součin roven frekvenci , takže je fázová rychlost vln.

Vidíme, že vlny všech délek se šíří se stejnou rychlostí, jinými slovy, že funkce se

posunuje bez změny tvaru konstantní rychlostí ve směru osy x. V tomto případě se zde

nevyskytuje disperse.

Studujme nyní rovnici

, (12.2.4)

kterou jsme dostali aproximací prostorové derivace centrovanou diferencí. Rovnice (12.2.4)

není ani diferenciální, ani diferenční rovnicí, ale jejich hybridem, který budeme nazývat

diferenciální-diferenční rovnicí, nebo semi-diskrétní rovnicí.

Diferenční aproximace rovnice (12.2.4), kterou dostaneme aproximací časové derivace

pomocí některého časového schématu, bude konvergovat k rovnici (12.2.4), když se časový

krok bude blížit nule. Tedy pro malá je rovnice (12.2.4) přiblížením diferenční

aproximace této rovnice.

1j xx 1j xx

tcx

n

j

n

j

n

j ux

xxxu

x

xxxxu

x

xxxxL 12212

2

22

tcx

n

j

n

j

n

j

n

j ux

tc

x

tcu

x

tcu

x

tc

x

tctcLuu 12

22

2

22

12

222*1

22222

0

x

uc

t

u.constc

ikxeUtxu 0Re,

0 ikcUdt

dU

kc kc /

txu ,

c

x

uuc

t

u jjj

2

11

t

196

Protože časová derivace zůstává v diferenciálním tvaru, jsou všechny chyby

aproximace (12.2.4) způsobeny pouze prostorovou aproximací. Proto rovnici tohoto typu

můžeme použít pro studium specielně vlivu prostorových diferenčních aproximací na

vlastnosti numerického řešení.

Připomeňme, že (12.2.4) má řešení ve tvaru harmonické komponenty

(12.2.5)

jestliže je splněna rovnice

(12.2.6)

Rovnici (12.2.6) jsme zapsali ve stejném tvaru jako rovnici (12.2.3), abychom mohli srovnat

fázovou rychlost vln. Je vidět, že místo konstantní fázové rychlosti c se vlny pohybují

fázovou rychlostí

(12.2.7)

která je závislá na vlnovém číslu k. V důsledku toho prostorové diferenční aproximace

způsobují dispersi vln. Tento efekt budeme nazývat početní dispersí.

Když zvětšujeme od nuly, fázová rychlost monotónně klesá od c do nuly,

kterou dosáhneme pro nejkratší rozlišitelnou vlnu na síti délky pro kterou .

Všechny vlny se tedy pohybují menší rychlostí, než je správná fázová rychlost c. Toto

zpomalení roste s tím, jak se zkracuje délka vlny. Vlny délky dvou kroků v síti jsou

stacionární.

Příčina, proč krátké vlny délky dvou kroků v síti jsou stacionární, je zcela zřejmá. Pro

tyto vlny ve všech bodech sítě je a podle (12.2.4) je .

Vznikají tak dva efekty. Zaprvé, rychlost advekce je menší, než je správná rychlost

advekce. V důsledku toho vzniká celkové zpomalení rychlosti advekce. Zadruhé, rychlost

advekce se mění v závislosti na vlnovém čísle. Tato falešná-parazitní disperse se nejvíce

projevuje u nejkratších vln.

Jestliže provádíme advekci soustavy, která je superpozicí vln, pak parazitní

disperse způsobí deformaci této soustavy. To se nejvíce týká systémů malého měřítka, jako

jsou fronty, linie skokových změn větru, atd., které jsou reprezentovány superpozicí více vln,

obsahujících významnou část nejkratších vln. Proto při numerické předpovědi takovéto

systémy, když se v předpovědi vyskytují, se velmi rychle deformují, dokud nedosáhnou méně

ostrého tvaru, (s menšími gradienty proměnných), než na začátku. Protože při numerické

předpovědi hrají takovéto systémy malého měřítka důležitou úlohu, je třeba, abychom efekt

početní disperse brali v úvahu.

Nyní studujme grupovou rychlost. Pro lineární rovnici (12.2.1) dostáváme pro

grupovou rychlost následující vztah

(12.2.8)

Grupová rychlost je v tomto případě konstantní a je rovna fázové rychlosti c.

Pro diferenciálně-diferenční rovnici (12.2.4) s použitím vztahu (12.2.7) dostáváme grupovou

rychlost

xjki

j etUtu Re

0sin

U

xk

xkcik

dt

dU

xk

xkcc

sin*

xk *c

x2 xk

11 jj uu 0

t

u j

cdk

kcdcg

)(

197

(12.2.9)

Když se zvětšuje od nuly, grupová rychlost klesá monotónně od do hodnoty

Kterou nabývá pro , tedy pro nejkratší vlnu zobrazitelnou na síti délky . Tyto

výsledky jsou zobrazeny na obrázku 12.4.

Obrázek 12.4 Fázová rychlost c a grupová rychlost c* lineární rovnice advekce

c a cg je pro přesné řešení diferenciální rovnice

c*

a cg* po diferenční aproximaci prostorové derivace

12.3. Schémata s centrovanými prostorovými diferencemi čtvrtého řádu

Hlavním nedostatkem schémat, které jsme studovali v předchozím odstavci, byly

zejména chyby ve fázové rychlosti a početní disperse. Tyto chyby vzniky aproximací

prostorových derivací. Je proto třeba studovat i možnosti konstrukce jiných aproximací.

Jednou možností je použití aproximací vyššího stupně přesnosti. Takovou aproximaci si nyní

sestojíme.

Když rozložíme přibližnou hodnotu v Taylorovu řadu v okolí centrálního bodu a

dosadíme do diferenčního výrazu, dostaneme

xkc

dk

kcdc g cos

**

xk gc*gc

gc

xk

xL 2

ju

198

(12.3.1)

Tato aproximace je druhého řádu přesnosti. Je vytvořena diferencemi hodnot v uzlových

bodech vzdálených jeden krok v síti od centrálního bodu. Stejnou diferenci utvoříme pomocí

bodů vzdálených dva kroky od centrálního bodu. Když nahradíme v (12.3.1) hodnotou

máme

(12.3.2)

Tato aproximace je též druhého řádu přesnosti, ale s většími koeficienty. Jinou aproximaci

derivace můžeme odvodit jako lineární kombinaci obou předchozích. Tuto lineární

kombinaci volíme tak, aby se chyby aproximace druhého řádu vyrušily. Dostaneme tak

(12.3.3)

což je aproximací derivace čtvrtého řádu přesnosti.

Studujme nyní jaký vliv má použití aproximace (12.3.3) prostorové derivace v rovnici

advekce na fázovou rychlost řešení. Nahradíme-li v (12.2.1) derivaci aproximací (12.3.3)

dostaneme semi-diskrétní rovnici

(12.3.2)

Stejně jako v předchozím odstavci studujme řešení jedné harmonické komponenty

Použijeme-li prostorové diference druhého řádu přesnosti, dostáváme pro fázovou rychlost

vztah

Stejným způsobem, použijeme-li vztahy pro aproximaci čtvrtého řádu přesnosti, dostaneme

následující vztah pro fázovou rychlost

(12.3.5)

Srovnejme si oba výsledky. Pro diference druhého řádu, když pro malá k rozvineme v řadu

vztah pro fázovou rychlost, dostáváme

Pro diferenční aproximaci čtvrtého řádu dostaneme

Z předchozích dvou vztahů vidíme, že pro malé hodnoty k dochází k menšímu zpomalování

vln, a řešení je tedy jak by se pro aproximaci vyššího řádu předpokládalo, opravdu přesnější.

42

3

311

!3

1

2xox

x

u

x

u

x

uu jj

ju

x

x2

42

3

322

!3

4

4xox

x

u

x

u

x

uu jj

dx

du

42211

43

1

23

4xo

x

u

x

uu

x

uu jjjj

dx

du

043

1

23

4 2211

x

uu

x

uuc

t

u jjjjj

xjkieUtxu 0Re,

xk

xkcc

sin*

xk

xk

xk

xkcc

2

2sin

3

1sin

3

4**

...

!3

11

2* xkcc

...

!5

41

4** xkcc

199

Nicméně se zvětšujícím se vlnovým číslem se fázová rychlost zmenšuje a pro vlnu délky

je opět fázová rychlost rovna nule a tato vlna je tedy též stacionární. Obrázek 12.5.

Obrázek 12.5 Fázová rychlost c řešení lineární diferenciální rovnice advekce.

Fázová rychlost c* po aproximaci diferencí druhého řádu.

Fázová rychlost c**

po aproximaci diferencí čtvrtého řádu.

Problém s přesností fázové rychlosti krátkých vln proto zůstává i v tomto případě nevyřešen.

Aproximace vyššího řádu, jak jsme viděli, potřebují v diferenčním schématu i body vzdálené

dva i více kroků v síti od centrálního bodu aproximace. Pro modely na omezené oblasti tím

vznikají problémy s aproximací u bočních okrajů oblasti a formulací bočních okrajových

podmínek. Pro integraci baroklinních modelů v hydrostatickém přiblížení, integrovaných

diferenčními metodami, jsou používány střídavé sítě. Na nich se obvykle používají

aproximace druhého řádu přesnosti. V globálních modelech, v nichž se boční okrajové

podmínky nevyskytují, neboť prognostické funkce jsou periodické, převládla spektrální

metoda. Proto se aproximace čtvrtého řádu příliš často nepoužívají.

12.4. Rovnice advekce pro dvě prostorové proměnné

Studujme lineární dvojrozměrnou rovnici advekce

kde (12.4.1)

kde je funkce dvou prostorových proměnných, jsou složky rychlosti

advekce. Rychlost advekce je proto dána vztahem

(12.4.2)

Stabilitu schémat pro řešení rovnice (12.4.1) budeme studovat obdobnou metodou jako

v jednodimensionálním případě popsaném v odstavci 12.1. Aproximujme derivace podle

prostorových proměnných standardními diferencemi druhého řádu aproximace

(12.4.3)

Zde jsme použili obvyklý zápis, kde indexy i označují polohu uzlového bodu na ose x a index

j na ose y. Souřadnice uzlových bodů jsou tedy . Hodnoty numerického

řešení tedy označujeme , zatímco hodnoty přesného řešení v uzlových bodech označme

x2

0

y

uc

x

uc

t

uyx

., constcc yx

tyxuu ,, yx cc ,

22

yx ccc

y

uuc

x

uuc

t

u jiji

y

jiji

x

ji

22

1,1,,1,1,

yjyxix ,

jiu ,

200

. Řešení hledejme opět ve tvaru harmonické komponenty a proto do rovnice

(12.4.3) dosaďme výraz

(12.4.4)

docházíme tak k rovnici lineárního oscilátoru

(12.4.5)

Zvolíme-li pro derivaci podle času obkročné schéma, dostaneme podmínku stability ve tvaru

(12.4.6)

Tato nerovnost musí být splněna pro všechny hodnoty přípustných vlnových čísel k a l. Pro

jednoduchost budeme studovat pouze případ, ve kterém , což je ovšem v modelech

na omezené oblasti téměř vždy splněno. Označme krok v síti . V rovině vlnových čísel,

tedy v diagramu se souřadnicovými osami k a l jsou přípustná vlnová čísla obsažena ve

čtverci souřadnice jehož rohů jsou . Uvnitř této oblasti levá část

nerovnosti (12.4.6) nabývá největší hodnotu ve středu čtverce. V tomto bodě délka vlny má ve

směru obou os x a y délku . Proto . Maximální rychlost advekce je

ve směru úhlopříčky čtverce, tedy když vektor směru vektoru rychlosti svírá s osou x úhel

. V tomto případě je CFL kriterium stability má v tomto případě tvar

(12.4.7)

V důsledku toho v dvojdimensionálním případě je pro splnění podmínky stability délka

časového kroku násobena . Délku časového kroku musíme je tedy volit menší než

v jednodimensionálním případě. Všimněme si, že minimum stability nastává pro vlny ve

směru osy x a y které mají dvojnásobnou délku, než nejkratší vlny popsané sátí délky ,

což je stejné jako v jednodimensionálním případě. Dvojrozměrné vlnové číslo je pro tuto vlnu

rovno a je krát větší než vlnová čísla podél os souřadnic a délka této vlny ve

stejném poměru menší.

12.5. Falešná interpretace vln a nelineární instabilita

Studujme nyní další možné zobecnění jednoduché jednodimensionální lineární rovnice

advekce, kterým je nelineární rovnice advekce

(12.5.1)

Vrátili jsme se k jednodimensionální rovnici a je tedy . Obecné řešení této rovnice

má tvar , kde f je libovolná funkce, což si ukážeme v jedné z dalších kapitol.

Studujme nyní pouze efekt způsobený násobením v nelineárním členu. Používáme-li

diferenční metodu, jsou funkce zadávány hodnotami na síti uzlových bodů. Tím se setkáváme

yjxiu ,

lykxi

ji etUu Re,

Uyly

cxk

x

ci

dt

dU yx

sinsin

1sinsin

tyl

y

cxk

x

c yx

yx

x

,0,,,0,,0,0

x4 1sinsin ylxk

4/ .2

2ccc yx

12

x

tc

2/2

x2

22 lk 2

0

x

uu

t

u

txuu ,

utxfu

201

s problémem, že na této síti není možné popsat vlny, jejichž délka je kratší než dva kroky

v síti, tedy, které jsou kratší, než Těmto vlnám odpovídá vlnové číslo , což

je maximální vlnové číslo vln které síť ještě popisuje. Studujme nyní funkci , která může

být reprezentována hodnotami v uzlových bodech sítě, například

(12.5.2)

kde . Dosadíme-li nyní tuto funkci do nelineárního členu rovnice (12.5.1) dostaneme

Vidíme, že když se vlnové číslo nachází v intervalu , pak nelineární člen

produkuje vlnové číslo, které je za hranicemi vlnových čísel, které se dají na síti zobrazit.

Výpočty pomocí konečných diferencí s takto vysokými vlnovými čísly nemohou dát správné

adekvátní výsledky.

Abychom pochopili, co se v této situaci odehrává, uvažujme vlnu, pro kterou .

Například nechť délka této vlny je . Obrázek 12.6.

Obrázek 12.6 Chybná interpretace vlny délky 4∆𝑥/3 na síti jako vlny 4∆𝑥.

Tato vlna je na obrázku znázorněna plnou čárou. Jestliže známe pouze hodnoty v uzlech sítě,

nemůžeme odlišit od sebe tuto vlnu od vlny délky , zobrazenou na obrázku čárkovaně.

Tím tuto vlnu interpretujeme chybně jako vlnu délky , neboť ta na síti zobrazitelná je.

Takto vzniká chyba falešné (nesprávné) interpretace vln, která se anglicky nazývá aliasing

error.

V obecnějším případě předpokládejme, že funkce je součtem několika

harmonických komponent

.

Nelineární člen pak bude obsahovat součiny harmonických komponent s různými vlnovými

délkami, jako jsou

Pro tento součin můžeme napsat identitu

x2 xk /max

xu

kxu sin

maxkk

kxkkxkxkx

uu 2sin

2

1cossin

maxmax2

1kkk

maxkk

xL 3

4

x4

x4

u

n

nuu

xkxk 21 sinsin

xkkxkkxkxk 212121 coscos2

1sinsin

202

ze které vidíme, že i když výpočty pomocí diferencí startovaly s vlnami, pro které všechna

vlnová čísla splňovala podmínku , vzniknou velmi rychle procesem nelineárních

interakcí vlny s vlnovými čísly a tedy rovněž i chybná interpretace těchto vln.

Obecně můžeme psát

dosadíme-li sem a použijeme-li vzorec pro sin rozdílu

,

dostaneme

Protože v uzlech sítě je

a

dostáváme

(12.5.3)

Jsou-li známy pouze hodnoty v uzlech sítě, pak nemůžeme rozlišit vlnu s vlnovým číslem

k od vlny s vlnovým číslem . To znamená, že jestliže a přijmeme dříve

popsanou konvenci, (že uvažujeme pouze vlny delší než ), můžeme říci, že vlna,

s vlnovým číslem k, bude chybně interpretována, jako vlna délky

(12.5.4)

Napíšeme-li předchozí vztah ve tvaru , pak můžeme říci, že vlnu, kterou

takto dostáváme má vlnové číslo , které je menší než o tolik o kolik je k větší než

. Můžeme si představit vlnové číslo jako určitý zrcadlový obraz hodnoty k vzhledem

k bodu do oblasti přípustných vlnových čísel.

Vraťme se k našemu příkladu , který jsme ilustrovali obrázkem. V tomto

případě bylo , podle (12.5.4) dostáváme , což je vlna délky

, která je znázorněna na obrázku.

Podívejme se nyní na důsledky chyb falešné interpretace vln na numerickou integraci.

Prognostickou meteorologickou proměnnou, která je funkcí prostorových proměnných,

můžeme napsat ve tvaru řady harmonických funkcí. Je užitečné studovat „energii“ těchto

vlnových komponent (složek) a zejména jejich příspěvek do střední hodnoty kvadrátu této

prognostické proměnné jako funkci vlnového čísla. Takováto funkce se nazývá energetickým

spektrem. Například, vybereme-li složky rychlosti větru jako prognostickou proměnnou, pak

tato funkce je spektrem kinetické energie. Toto spektrum popisuje, jakou roli hrají složky

různých měřítek v poli této proměnné. Ze zkušenosti víme, že spektra atmosférických

proměnných se s časem příliš nemění.

Na synoptických mapách se nevyskytují situace, při kterých jeden den dominují složky

malého měřítka a další den se nevyskytují. Tomu odpovídá skutečnost, že tvar spekter se

v čase příliš nemění. Energie některé určité komponenty spektra se sice měnit může, ale

maxkk

maxkk

xkkkkx maxmax 22sinsin

xk /max

sincoscossinsin

xkxx

xkxx

kx

2sin

2cos

2cos

2sinsin

xjx

02

sin

xjx

1

2cos

xj

x

xjkkxkj max2sinsin

kk max2 maxkk

x2

kkk max

* 2

max

*

max kkkk

*k maxk maxk

*k

maxk

xL 3

4

xk 2/3 xk 2/* xL 4

203

charakteristický tvar spektra vcelku zůstává nezměněný. Například pro spektrum zonální

rychlosti větru ve středních zeměpisných šířkách je typické, že má maximum pro vlnová čísla

4 až 7, to znamená, pro délky vln od 4 do 7 na kružnici rovnoběžky. Zároveň je pozorováno

rychlé snižování křivky energie, když vlnové číslo je větší než 10. Pro vlnová čísla, která jsou

blízko maximálnímu vlnovému číslu, je tedy příspěvek energie velmi malý.

Při integraci pomocí diferenčních schémat, vzhledem k malým fyzikálním změnám se však

tvar spektra může měnit v důsledku falešné interpretace vln. Jestliže spektrum má námi dříve

popsaný tvar, a uvažujeme různé kombinace , která jsou větší než , vidíme, že

velká část takových kombinací bude náležet ke komponentám s vlnovými čísly, která nejsou o

moc větší než . V důsledku falešné interpretace vln vzniká chybný přítok energie

k vlnovým číslům, která nejsou o mnoho menší než , a časem energie těchto složek roste

za hranice fyzikálně akceptovatelnou mez. Zkušenost ukazuje, že neučiníme-li nějaká

preventivní opatření, může integrace skončit katastrofou. Tento jev je způsoben nelineárností

studovaných rovnic se nazývá nelineární instabilitou. První kdo tento jev popsal, byl

Norman Philips [3]. Tento jev objevil při integraci nedivergentní rovnice vorticity na 30 dní.

Aby tento jev analyzoval a objasnil, provedl při časové integraci každé dvě hodiny

harmonickou analýzu vorticity a eliminoval všechny komponenty s vlnovými čísly

Advekční členy pak nemnohou generovat složky s vlnovými čísly . Při tom se

předpokládalo, že po určitém čase se amplitudy eliminovaných vln znova objeví a nabudou

určitou amplitudu. Použitá procedura filtrace eliminovala důsledky falešné interpretace vln a

potvrdila existenci nelineární instability.

K odstranění nelineární instability při integraci se v současné době může postupovat

několika způsoby. Způsob, který je nejblíže původní Phillipsově práci je používán ve

spektrálních modelech, kde při použití transformační techniky máme v každém časovém

kroku k dispozici spektrum. Nejkratší nežádoucí vlny můžeme snadno odstranit tak zvaným

uřezáváním, při kterém jednoduše amplitudy nežádoucích vln klademe rovny nule.

Problémem se zabýval Orszag [3], který ukázal, že stačí odstranit pouze jednu třetinu

vlnových čísel, protože odfiltrujeme-li vlny s vlnovými čísly , pak vlnová čísla

falešně interpretovaných vln budou splňovat podmínku a v důsledku toho budou

eliminovány. V čistě diferenčních modelech je možné postupovat tak, že přidáme difúzní

členy, které krátké vlny potlačují. Schéma, které je také založeno na této vlastnosti a nevede

k nelineární instabilitě je například schéma Lax-Wendroffa. Další možností je použití

kvadraticky konservativních schémat, kterými se budeme zabývat později. Stabilita těchto

schémat je založena na tom, že nedovolují celkové zvyšování energie. Jejich stabilitu pak

můžeme dokázat energetickou metodou.

21 kk maxk

maxk

maxk

max2

1kk

maxkk

max3

2kk

max3

2kk

204

Literatura:

[1] NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS, VOLUME I.

By F. Mesinger and A. Arakawa, GLOBAL ATMOSPHERIC RESEARCH PROGRAMME

(GARP), WMO-ICSU Joint Organization Committee

GARP PUBLICATION SERIES No. 17, August 1976.

[2] Courant R., Fridrichs K., Lewy H.: Über die partiellen Differenzengleichungen der

marhematischen Physik Math. Annalen 100, 1928, s. 32-74.

[3] Orszag S. A.: On the elimination of aliasing in finite-difference schemes by filtering high-

wavenumber components, J. Atmospheric Sci. 28, 1971, s. 1074.

[4] Philips N.: An Example of Non-Linear Computational Instability. The Atmosphere and

the Sea in Motion, Rossby Memorial Volume, New York, 1959, Roockefeller Institute Press,

501-504

205

13. Vlnové pohyby v atmosféře a jejich důsledky pro předpovědní

modely V této kapitole se budeme zabývat hlavními typy vln, které se v atmosféře vyskytují.

Účelem této kapitoly není zevrubné studium vlnových pohybů atmosféry, což je předmětem

spíše dynamické meteorologie. Tato kapitola je zaměřena na hlubší pochopení způsobu

numerického řešení rovnic dynamiky atmosféry, tedy jejich časové integrace, v souvislosti s

jejich vlnovými pohyby. Úkolem je pochopit, proč se rovnice, jimiž se řídí pohyb atmosféry,

v modelech zjednodušují tak, aby byly odfiltrovány, tedy z modelů odstraněny, určité vlny.

Pro numerické řešení je pak potřeba vědět, které vlny a jakým způsobem z rovnic odfiltrovat a

jak tyto rovnice pro efektivní řešení správně aproximovat. Předmětem našeho studia budou,

z fyzikálního hlediska, tři hlavní typy vlnových pohybů v atmosféře, které si nejdříve názorně

popíšeme a potom se budeme věnovat jejich matematickou formulací, založenou na

zjednodušení rovnic dynamiky atmosféry. Pochopení zejména vlnových mechanizmů je

základem takové formulace rovnic, která umožňuje efektivní řešení prognostických rovnic, a

dává také návod jak správně formulovat numerické postupy jejich řešení. Například, které

členy rovnic v semi-implicitních schématech je třeba aproximovat implicitně. Také, jakým

způsobem je třeba kombinovat semi-implicitní a semi-Lagrangeovská schémata v

numerickém řešení.

Zabývejme se nyní třemi základními typy pohybů, které mohou při velmi speciálních

podmínkách existovat v čistém tvaru. Tyto pohyby tím spíše budou existovat v obecnějších

podmínkách. Pro možnost jednoduchého matematického řešení budeme studovat vlnové

pohyby, které popisují linearizované rovnice hydrodynamiky pro adiabatický pohyb nevazké

tekutiny, za kterou vzduch považujeme. Tyto rovnice mají periodická řešení v čase i prostoru.

Pomocí superpozice jednotlivých komponent máme potom možnost popsat i obecnější řešení.

Pro naše cíle můžeme typy vlnových pohybů klasifikovat a nazvat vlnami podélnými,

vlnami vertikálně příčnými a vlnami horizontálně příčnými. Thompson [8]. Podélné vlny

jsou vlnami lokálního stlačení vzduchu. Trajektorie částic při pohybu těchto vln leží na

liniích, ve kterých se tyto vlny šíří. Na rozdíl od toho při vertikálně příčném vlnění se částice

pohybují nahoru a dolu ve svislém směru zároveň s tím jak se tyto vlny horizontálně

pohybují. Analogicky při příčných horizontálních vlnách částice kmitají ve směru poledníků

na sever a zpět na jih, zatímco se tyto vlny pohybují ve směru rovnoběžek. Nyní si tyto

jednotlivé pohyby matematicky formulujeme a odtud získáme jejich vlastnosti, zejména

fázovou rychlost těchto vln, jejíž znalost je důležitá pro numerické řešení.

13.1. Linearizace rovnic dynamiky perturbační metodou a zvukové vlny

Perturbační metoda se používá pro odstranění nelineárních členů z rovnic popisujících

pohyby různých prostorových a časových měřítek. Hlavním úkolem linearizace rovnic je tedy

oddělit od sebe popis pohybu částic vzduchu, který je dán prostým posunem vzduchu daným

průměrnou rychlostí větru nazývaným advekcí a vlnovými pohyby, které jsou popsány

linearizovanými rovnicemi dynamiky atmosféry. Advekce, tedy prostorový posun atmosféry,

má v podstatě malý vliv na vlastní vlnové pohyby atmosféry, zejména nad rovinným

povrchem. Úkolem linearizovaných rovnic je právě popsat malé odchylky od základního

206

pohybu atmosféry vzniklé právě vlnovými pohyby. Výsledný pohyb je pak superpozicí

(sečtením) vlnových pohybů a advekce. Tato metoda nám pro studium vlnových pohybů

redukuje rovnice na lineární. Tyto lineární rovnice mají analytické řešení v konečném tvaru,

které můžeme použít pro studium vlastností těchto vln. Ve složitějších rovnicích, zejména

třírozměrných modelů, jsou i některé další proměnné rozděleny na hlavní konstantní část a na

proměnnou odchylku od konstantního stavu, která musí být vzhledem k hlavní konstantní

části malá.

Cílem perturbační metody aplikované na rovnice dynamiky atmosféry, je tedy

linearizace těchto rovnic. Metoda se zakládá se na předpokladu, že pohyb atmosféry se skládá

z malé perturbace základního ustáleného pohybu. Smirnov [6] a Haltiner - Martin [2]. Skládá

se tedy základního ustáleného pohybu a malých změn tohoto ustáleného pohybu.

Základní princip této metody jsou následující:

1. Základní ustálený pohyb musí sám splňovat řídící rovnice dynamiky atmosféry.

2. Celkový pohyb atmosféry včetně perturbace musí rovněž splňovat tyto rovnice.

3. Součiny veličin charakterizujících perturbace je možné zanedbat vzhledem ke členům

prvního řádu. Členy prvního řádu jsou samotné perturbace a členy druhého řádu, které

zanedbáváme, jsou jejich součiny.

4. Po odečtení rovnic ustáleného pohybu a zanedbání členů druhého řádu, dostaneme

lineární rovnice, které nám popisují samotné vlnové pohyby atmosféry.

Pro studium perturbační metody vyjdeme z rovnic formulovaných ve 4. kapitole a to rovnic

hybnosti (4.1.34), (4.1.35), (4.1.36) a (1.2.35)

𝑑𝑢

𝑑𝑡= −𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝑓𝑣

(13.1.1)

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑦− 𝑓𝑢

(13.1.2)

Pro nehydrostatické modely, pracující s plně stlačitelnou atmosférou, můžeme rovnici

hybnosti ve směru osy z, psát ve tvaru

𝑑𝑤

𝑑𝑡= −𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝑔

(13.1.3)

Pro modely v hydrostatickém přiblížení

0 = −𝛼𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝑔

kde 𝑓 = 2Ω sin 𝜑 se nazývá Coriolisův parametr

Rozepíšeme-li individuální změny složek hybností, můžeme rovnice pro změny

horizontálních složek hybnosti psát ve tvaru

207

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧− 𝑓𝑣 + 𝛼

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 0

(13.1.4)

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z+ fu + α

∂p

∂y= 0

(13.1.5)

Rovnici kontinuity (1.2.5), tedy zákona zachování hmoty atmosféry ∂ρ

∂t+ div ρ𝐯 = 0

(13.1.6)

Kterou můžeme psát také pro měrný objem ∝ ve tvaru d ∝

dt−∝ div 𝐯 = 0

(13.1.7)

Nedá se však napsat v divergentním tvaru jako pro hustotu ρ v (13.1.6).

Termodynamická rovnice pro adiabatické děje může být podle potřeby formulována jako

zákon zachování potenciální teploty, nebo entropie.

Do rovnic nyní za hodnoty proměnných celkového pohybu dosadíme součty hodnot

proměnných základního proudění označené pruhem a perturbace označené čárkou

u = u + u′, v = v + v′, w = w + w′, p = p + p′, ρ = ρ + ρ′ , ∝=∝ +∝ ′,

(13.1.8)

kde pro jednoduchost zápisu jsme použili i měrný objem α i když je pouze převrácenou

hodnotou hustoty ρ. Proměnná α tedy v podstatě nemění počet neznámých v rovnicích.

Dosadíme-li tyto vztahy do rovnice hybnosti (13.1.4) máme

∂

∂t(u + u′) + (u + u′)

∂

∂x(u + u′) + (v + v′)

∂

∂y(u + u′) + (w + w′)

∂

∂z(u + u′)

= −(∝ +∝ ′)∂

∂x(p + p′) + f(v + v′)

(13.1.9)

Základní ustálený pohyb musí splňovat rovnici

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z= −∝

∂p

∂x+ fv

(13.1.10)

Tuto rovnici odečteme od rovnice (13.1.9) a zanedbáme-li členy druhého řádu, dostáváme

linearizovanou rovnici hybnosti ve směru osy x.

∂u′

∂t+ u

∂u′

∂x+ v

∂u′

∂y+ w

∂u′

∂z+ u′

∂u

∂x+ v′

∂u

∂y+ w′

∂u

∂z= −∝

∂p′

∂x−∝′

∂p

∂x+ fv′

(13.1.11)

Stejným způsobem linearizujeme i rovnice ve směru os y, z.

Tyto linearizované rovnice si můžeme napsat také ve vektorovém tvaru

∂𝐯′

∂t+ ∙ grad 𝐯′ + 𝐯′ ∙ grad = −∝ grad p′ − ∝′ grad p − 2𝛀 × 𝐯′ − 𝐠

(13.1.12)

208

Přičemž základní ustálený pohyb bude splňovat rovnici

∂

∂t+ ∙ grad = − ∝ grad p − 2𝛀 ×

(13.1.13)

Pro studium zvukových a gravitačních vln budeme rychlost ustáleného pohybu považovat

v čase za konstantní, a bude tedy ∂ ∂t = 0⁄ . V tomto případě ustálený pohyb musí splňovat

rovnici

∙ grad = − ∝ grad p − 2𝛀 × (13.1.14)

Aby vektor zůstal stále v čase konstantní, musí splňovat i perturbace stejnou podmínku.

Proto linearizovanou rovnici pro zvukové a gravitační vlny můžeme psát ve tvaru

∂𝐯′

∂t+ ∙ grad 𝐯′ = −∝ grad p′ − 𝐠

(13.1.15)

Tento systém linearizovaných Eulerových rovnic hybnosti není samozřejmě úplný a

neurčuje tedy řešení. Aby tento systém byl úplný a určoval řešení, je třeba k rovnicím přidat

ještě rovnici kontinuity a v obecném případě atmosféry i první větu termodynamiky, nebo jiné

předpoklady. Na příklad že studujeme případ adiabatických dějů v atmosféře, nebo že

atmosféra je nestlačitelná, následkem čehož musí být perturbace měrného objemu ∝′ rovna

nule. Další rovnice proto přidáme až pro studium jednotlivých vlnových pohybů, které

budeme studovat za určitých vhodných předpokladů.

Pro studium vln budeme vesměs považovat rychlost základního ustáleného pohybu, za

konstantní v čase i prostoru. Tento ustálený pohyb budeme uvažovat jako advekci, která je

dána konstantním vektorem v čase i prostoru. Advekce nebude mít v tomto případě na

vlnové pohyby vliv a v linearizovanou rovnici (13.1.15) můžeme vypustit i členy advekce

∙ grad 𝐯′ , které můžeme interpretovat jako posun atmosféry konstantní rychlostí . Na

vlastní vlnové pohyby nemá tento posun vliv.

Nejdříve se zabývejme podélnými vlnami, neboli vlnami lokálního stlačení vzduchu,

což jsou zvukové vlny. Tyto vlny jsou studovány nejčastěji pro prostorově jednorozměrný

případ. Fyzikálně tento případ představuje například šíření zvukových vln uvnitř roury

naplněné vzduchem. Pro pochopení mechanizmu odfiltrování zvukových vln v modelech

raději studujme třírozměrný případ.

13.2. Zvukové vlny v atmosféře

Zvukové vlny vznikají podélným stlačením vzduchu, malé amplitudy, při kterých

v každém místě dochází postupné stlačení a pak expanze malého objemu vzduchu. Při tomto

procesu nedochází k přítoku, nebo odběru tepla, proto je tento proces adiabatický. Tento

jev, protože se týká stlačení, musíme studovat bez předpokladu hydrostatického stavu

atmosféry.

Pro studium zvukových vln vyjdeme z následujících rovnic: zákona zachování

hybnosti v inerciálním systému, který je v 1. kapitole formulován rovnicemi (1.2.33),

(1.2.34), (1.2.35). du

dt= Fx −

1

ρ

∂p

∂x

(13.2.1)

209

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝐹𝑦 −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑦

(13.2.2) 𝑑𝑤

𝑑𝑡= 𝐹𝑧 −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧

(13.2.3) Tyto tři rovnice můžeme napsat také ve vektorovém tvaru

𝑑𝐯

𝑑𝑡= 𝐅 −

1

𝜌𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝

(13.2.4)

Rovnici kontinuity (1.2.5), tedy zákona zachování hmoty atmosféry 𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝐯 = 0

(13.2.5)

Poslední rovnici, kterou přidáme k soustavě, vyjadřuje skutečnost, že se jedná o adiabatický

děj. Ten můžeme charakterizovat tím, že v pohybujících se částicích je zachována potenciální

teplota 휃 a tedy také entropie Q, což popisuje rovnice (1.2.26) 𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝑐𝑝

𝑑 𝑙𝑛휃

𝑑𝑡=

𝑐𝑝

휃

𝑑휃

𝑑𝑡= 0

(13.2.6)

Předchozí rovnice vyjadřuje, že pohyb atmosféry je adiabatický. Ve speciálním případě se

může stát, že v počátečním časovém okamžiku bude entropie ve všech bodech vzduchu stejná.

V tomto případě s měnícím se časem i pohybem vzduchu zůstává entropie nadále všude

stejná, a tedy konstantní. Podmínku že pohyb je adiabatický můžeme zapsat také vztahem

𝑄 = 𝑄0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (13.2.7)

Takový pohyb, kde se nemění entropie částic se nazývá izentropickým. V tomto případě

máme

𝑝 = 𝑓(𝜌, 𝑄0) = 𝑓(𝜌) (13.2.8)

Atmosféra, která je z hlediska globálního pohybu v rovnovážném stavu, to znamená

bez zvukových vln, a splňuje tedy rovnici hydrostatické rovnováhy. Tento rovnovážný stav

nechť je popsán hodnotami proměnných označených pruhem a . Tyto dvě veličiny tedy

splňují hydrostatickou rovnici. Označíme-li odchylky od tohoto rovnovážného stavu 𝜌′ a 𝑝′

můžeme napsat

𝜌 = + 𝜌′, 𝑝 = + 𝑝′ (13.2.9)

Kde ovšem čárkované veličiny – perturbace jsou o řády menší, než jejich rovnovážné

hodnoty. Je tedy

≪ 𝜌′, ≪ 𝑝′ (13.2.10)

Poznamenejme, že čárkované veličiny, tedy perturbace vyjadřují změny veličin ve zvukové

vlně. Veličina p‘ se nazývá zvukovým tlakem Smirnov [6] . Dosadíme-li vztahy (13.1) do

rovnic zachování hybnosti (1.2.28), (1.2.29), (1.2.30) a zanedbáme-li členy druhého řádu,

tedy součiny perturbací a jejich derivací, zjednoduší se nám tyto rovnice a za předpokladu, že

na částice nepůsobí žádné vnější síly, neboť síla zemské tíže je podle hydrostatické rovnice

zcela kompenzována vertikální složkou silou síly gradientu tlaku , a tedy je

𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 0 , 𝐹𝑧 = 0 (13.2.11)

Pro přehlednost si rovnice napíšeme znovu, a značení pro zjednodušení zápisu

trošku změníme. U perturbací složek větru vynecháme apostrof. Vektor rychlosti v zde pak

znamená pouze změnu rychlosti částic vzduchu způsobenou zvukovými vlnami.

210

Dosadíme-li do rovnice kontinuity (13.1.5) vztahy (13.1.9) a zanedbáme-li malé

veličiny druhého řádu tvořené součiny veličin prvního řádu (𝜌′, 𝑝′, 𝐯,𝜕𝑢

𝜕𝑥,

𝜕𝜌′

𝜕𝑥,

𝜕𝑝′

𝜕𝑥, … ) dostane

rovnice kontinuity tvar

𝜕𝜌′

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣𝐯 = 0

(13.2.12)

Položíme-li

𝑠 =𝜌′

=

𝜌 −

(13.2.13)

Dostaneme

𝜕𝑠

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣𝐯 = 0

(13.2.14)

V Eulerových rovnicích (13.1.1) až (13.1.3) nechť nepůsobí vnější síly, neboť síla zemské tíže

je zahrnuta do základního pohybu atmosféry, dostáváme ve stejném přiblížení rovnice ve

tvaru

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −

1

𝜕𝑝′

𝜕𝑥,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −

1

𝜕𝑝′

𝜕𝑦,

𝜕𝑤

𝜕𝑡= −

1

𝜕𝑝′

𝜕𝑧

(13.2.15)

nebo ve vektorovém tvaru

𝑑𝐯

𝑑𝑡= −

1

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑝′

(13.2.16)

Rovnice kontinuity (13.1.6) a hybnosti (13.1.16) obsahují neznámé funkce 𝐯, 𝑠, 𝑝′. Pro

eliminaci jedné z těchto funkcí, zvukového tlaku p‘ použijeme rovnici izentropického děje

(13.1.8) podle které je

𝑝 = + 𝑝′ = 𝑓(𝜌) = 𝑓( + 𝜌′) ≅ 𝑓() + 𝑓′()𝑝′ (13.2.17)

kde 𝑓 ′ = 𝑑𝑓 𝑑𝜌⁄ . Podle předpokladu perturbační metody je též = 𝑓(), proto v přiblížení

můžeme psát

𝑝′ = 𝑓′()𝜌′ = 𝑓′()𝑠 = 𝑎2𝑠 (13.2.18)

Kde jsme položili

𝑎2 = 𝑓′() (13.2.19)

A dosadíme z předchozího vztahu 𝑎2 do rovnice (13.1.16) máme

𝜕𝐯

𝜕𝑡+ 𝑎2𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 = 0

(13.2.20)

Vztah (13.1.19) vyjadřuje fyzikálně tu skutečnost, která platí pro všechny kapaliny a plyny

v přírodě, že při konstantní entropii s rostoucí hustotou roste tlak. Je tedy 𝑓′(𝜌) > 0.

211

Aplikujeme-li na rovnici (13.1.20) operátor divergence a zaměníme-li pořadí derivování podle

času s operátorem divergence dostaneme

𝜕

𝜕𝑡𝑑𝑖𝑣 𝐯 = −𝑎2𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 = −𝑎2∆𝑠

(13.2.21)

kde

∆𝑠 =𝜕2𝑠

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑠

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑠

𝜕𝑦2

(13.2.22)

Derivováním (13.1.14) podle času t kam dosadíme ze vztahu (13.1.21) dostáváme

𝜕2𝑠

𝜕𝑡2= 𝑎2 (

𝜕2𝑠

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑠

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑠

𝜕𝑦2)

(13.2.23)

Dosadíme-li do předchozího vztahu (13.2.23) za s ze vztahu (13.2.18) 𝑠 = 𝑝′ 𝑎2⁄ dostáváme

pro zvukový tlak p‘ stejnou vlnovou rovnici tvaru (13.2.23). Obdobnou rovnici můžeme

obdržet i pro změnu rychlosti způsobenou zvukovými vlnami v.

Předpokládejme nyní, že v počátečním okamžiku existuje rychlostní potenciál, neboli

divergenční potenciál 𝜑, tedy

𝐯|𝑡=0 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑0(𝑥, 𝑦, 𝑧) (13.2.24)

Z rovnice (13.2.21) dostáváme

𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝐯|𝑡=0 − 𝑎2 𝑔𝑟𝑎𝑑 ∫ 𝑠 𝑑𝑡𝑡

0 (13.2.25)

Podle vztahu (13.2.24) pak máme

𝐯 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 [𝜑0(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑎2 ∫ 𝑠 𝑑𝑡𝑡

0] = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (13.2.26)

Tento vztah znamená, že v libovolný časový moment existuje divergenční potenciál

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) který je dán vztahem

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜑0(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑎2 ∫ 𝑠 𝑑𝑡𝑡

0 (13.2.27)

Nyní si ukážeme, že divergenční potenciál 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) splňuje vlnovou rovnici.

Skutečně, derivujeme-li rovnici (13.2.27) podle času t dvakrát, dostaneme

𝜕2𝜑

𝜕𝑡2= 𝑎2

𝜕𝑠

𝜕𝑡

(13.2.28)

Zároveň , když do rovnice (3.2.14) dosadíme vektor rychlosti z rovnice (13.2.26) máme

𝜕𝑠

𝜕𝑡= 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑 = ∆𝜑

(13.2.29)

Dosazením derivace 𝜕𝑠 𝜕𝑡⁄ z předchozího vztahu do vztahu (13.2.28) máme

𝜕2𝜑

𝜕𝑡2= 𝑎2 (

𝜕2𝜑

𝜕𝑥2+

𝜕2𝜑

𝜕𝑦2+

𝜕2𝜑

𝜕𝑦2)

(13.2.30)

Poznamenejme, že znalost divergenčního potenciálu 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) nám stačí k tomu, abychom

definovali celý proces pohybu vzduchu při zvukové vlně. Je to proto, že

212

𝐯 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑, 𝑠 =1

𝑎2

𝜕𝜑

𝜕𝑡, 𝑝′ =

𝜕𝜑

𝜕𝑡

(13.2.31)

První ze vztahů je přímo vztah (13.2.26) druhý dostaneme derivováním vztahu (13.2.27)

podle času t jednou a poslední z druhého vztahu pole (13.2.18).

Formulujme si ještě počáteční a okrajové podmínky. Studujme vzduch uvnitř prostorového

objemu V, ohraničeného plochou Σ. V počátečním časovém okamžiku t=0 nechť je zadána

relativní změna hustoty vzduchu s pole vektoru rychlosti v v každém bodě objemu V. Tyto

hodnoty definují počáteční podmínky ve tvaru

𝜑|𝑡=0 = 𝜑0(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∂φ

∂t|𝑡=0 = 𝑎2𝑠

(13.2.32)

Jestliže hranice Σ je pevná neproniknutelná plocha, pak na této ploše je derivace ve směru

normály k této ploše rovna nule, což vede k odrazu vln.

Studujme nyní ještě obvyklý jednodimensionální případ.

Pro adiabatické děje v atmosféře můžeme rovnici kontinuity (13.1.6) psát také v jiném

tvaru Holton [4]. Pro adiabatické procesy v atmosféře podle vztahu (1.2.31) platí

𝑑𝜌

𝑑𝑡=

𝜌

𝛾𝑝

𝑑𝑝

𝑑𝑡

(13.2.33)

kde 𝛾 = 𝑐𝑝 𝑐𝑣⁄ . V rovnici kontinuity můžeme proto nahradit individuální změnu hustoty

individuální změnou tlaku. Rovnici (13.1.6) v advekčním tvaru

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝜌 𝑑𝑖𝑣 𝐯 = 0

(13.2.34)

Dosadíme-li do předchozího vztahu za 𝑑𝜌 𝑑𝑡⁄ ze vztahu (13.1.33) dostaneme 𝑑𝑝

𝑑𝑡+ 𝛾𝑝 𝑑𝑖𝑣 𝐯 = 0

(13.2. 35)

Z předchozího třírozměrného studia zvukových vln je vidět, že zvukové vlny se šíří

od počátečního zdroje všemi směry stejnou rychlostí. Proto se studuje obvykle pouze

jednorozměrný případ, což by fyzikálně odpovídalo šíření zvukových vln v rouře. Můžeme

proto studovat zvukové vlny vytvářené stlačením ve směru osy x tím, že položíme rovny nule

složky rychlosti kolmé k ose x tedy v=w=0. Navíc ještě vyloučíme závislost složky rychlosti

u na proměnných x a z. Složka rychlosti 𝑢(𝑥, 𝑡) bude funkcí pouze souřadnice x a času t.

V tomto případě můžeme Eulerovy rovnice psát ve tvaru 𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 0

(13.2.36) 𝜕𝑝

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝛾𝑝

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 0

(13.2.37)

Řešení budeme hledat perturbační metodou. Rovnovážný ustálený stav je dán hodnotami

proměnných

𝑢 = , 𝜌 = , 𝑝 = (13.2.38)

213

při čemž

𝜕

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑥= 0

(13.2.39)

Do rovnic (13.2) a (13.2) dosadíme

𝑢 = + 𝑢′, 𝑝 = + 𝑝′, 𝜌 = + 𝜌′ (13.2.40)

Pro zanedbání členů druhého řádu si nejdříve vyjádříme převrácenou hodnotu + 𝜌′ jako

součet řady. Použijeme k tomu následujícího rozvoje.

Následující řada střídající znaménka je pro 0 ≤ 𝑎 < 1 je konvergentní a její součet je

1 − 𝑎 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − 𝑎5 + ⋯ =1

1 + 𝑎

protože následující geometrická řada ji majorizuje a je za těchto podmínek konvergentní

1 + 𝑎 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎3 + 𝑎5 + ⋯ =1

1 − 𝑎

Zlomek 1 ( + 𝜌′)⁄ můžeme podle předchozích vztahů upravit následovně

1

+ 𝜌′=

1

(1 +

𝜌′

)

−1

=1

(1 −

𝜌′

+ (

𝜌′

)

2

− (𝜌′

)

3

+ ⋯ )

Po zanedbání členů druhého vyšších řádů můžeme psát

1

+ 𝜌′≅

1

(1 −

𝜌′

)

(13.2.41)

Po dosazení hodnot a zanedbání členů druhého řádu dostaneme

𝜕𝑢′

𝜕𝑡+

𝜕𝑢′

𝜕𝑥+

1

𝜕𝑝′

𝜕𝑥= 0

(13.2.42)

𝜕𝑝′

𝜕𝑡+

𝜕𝑝′

𝜕𝑥+ 𝛾

𝜕𝑢′

𝜕𝑥= 0

(13.2.43)

Eliminujeme-li z těchto dvou rovnic 𝑢′ dostáváme

(𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥) (

𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥) 𝑝′ =

𝛾

𝜕2𝑝′

𝜕𝑥2

(13.2.44)

Což je všeobecně známá vlnová rovnice. Tato rovnice má periodické neboli „vlnové“ řešení

ve tvaru

𝑝′ = 𝐴𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡) (13.2.45)

kde k je vlnové číslo, A konstantní amplituda a c konstantní fázová rychlost. Dosadíme-li

řešení ve tvaru (13.2.45) do (13.2.44) po vydělení faktorem 𝐴𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡) dostáváme

(−𝑖𝑘𝑐 + 𝑖𝑘)2 −𝛾

(𝑖𝑘)2 = 0

(13.2.46)

Což je rovnice určující fázovou rychlost c. Tuto rovnici řešíme vzhledem k c a pro fázovou

rychlost dostáváme

214

𝑐 = ± (𝛾

)

12⁄

(13.2.47)

nebo též

𝑐 = ± √𝛾𝑅 (13.2.48)

Kde je absolutní teplota rovnovážného stavu. Poslední vztah je znám jako vzorec pro

rychlost zvuku. Hodnota √𝛾𝑅 se nazývá adiabatická rychlost zvuku. Konstantní rychlost

hraje pouze jako Dopplerův posun frekvence zvukových vln. Pro frekvenci platí

𝜈 = 𝑘𝑐 = 𝑘 ± 𝑘√𝛾𝑅 (13.2.49)

pro pozorovatele, který se vzhledem ke zdroji zvuku nepohybuje.

Srovnáním rovnic je zřejmé, že a z třírozměrného studia zvukových vln je rovno 𝑎2 = 𝛾 ⁄ ,

tedy pro = 0 je 𝑎 = 𝑐 je fázová rychlost zvukových vln.

Rychlost zvuku c je z předchozího vztahu pro T=273.15 K (nula stupňů Celsia), 𝛾 = 1.4

(bezrozměrná konstanta), R=287 [𝐽 𝑘𝑔−1𝐾−1] odtud rozměr RT je [𝐽 𝑘𝑔−1 ≡ (𝑚 𝑠⁄ )2] odtud

pro rychlost zvuku máme c=331 m/s neboli 1192 km/hod.

13.4. Gravitační a Rossbyho vlny – vertikálně příčné a horizontálně příčné vlny

V předchozí části kapitoly jsme dosti podrobně vyčerpali problematiku modelů, které

v každém okamžiku nejsou v hydrostatické rovnováze a existují v nich vlny podélného

stlačení, tedy zvukové vlny. Pro studium dalších typů vlnových pohybů, tedy vertikálně

příčných vln a horizontálně příčných vln použijeme model mělké vody. Tento model,

nejenom že je hydrostatický, ale na tekutinu je kladena ještě silnější podmínka

nestlačitelnosti, jejímž důsledkem je konstantní hustota 𝝆 a jde tedy vlastně o kapalinu.

Podmínka nestlačitelnosti sama také neumožňuje zvukové vlny.

Gravitační vlny

Abychom ze studia vyloučili horizontálně příčné vlny, omezíme pohyb částic do rovin

rovnoběžných se souřadnicovou rovinou určenou osami souřadnic x, z . V pohybových

rovnicích mělké vody položíme rovu nule složku rychlosti v. Rovnice hybnosti (5.1.9)

(5.1.10) se pak redukují na jednu rovnici pro složku rychlosti u.

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑔 (1 −

𝜌2

𝜌1)

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

(13.4.1)

Rovnice kontinuity (5.1.19) se pak redukuje na rovnici

𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑥+ ℎ

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 0

(13.4.2)

Tyto dvě rovnice tvoří uzavřený systém rovnic pro časový vývoj proměnných u a h . Pro

řešení těchto dvou nelineárních rovnic použijeme opět perturbační metodu. Rovnovážný

ustálený stav je charakterizován konstantní složkou rychlosti 𝑢 = a klidovou výškou

215

hladiny mělké vody ℎ = 𝐻. Derivace těchto rovnovážných proměnných podle času t a

souřadnici x jsou rovny nule. Perturbace jako obvykle označíme apostrofem. Do rovnic

dosaďme tedy

𝑢 = + 𝑢′, ℎ = 𝐻 + ℎ′ (13.4.3)

Po zanedbání součinů perturbací dostáváme

𝜕𝑢′

𝜕𝑡+

𝜕𝑢′

𝜕𝑥+ 𝑔 (1 −

𝜌2

𝜌1)

𝜕ℎ′

𝜕𝑥= 0

(13.4.4)

𝜕ℎ′

𝜕𝑡+

𝜕ℎ′

𝜕𝑥+ 𝐻

𝜕𝑢′

𝜕𝑥= 0

(13.4.5)

Eliminací u‘ z těchto dvou rovnic dostáváme

(𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥) (

𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥) ℎ′ = 𝑔𝐻 (1 −

𝜌2

𝜌1)

𝜕2ℎ′

𝜕𝑥2

(13.4.6)

Poznamenejme, že tato rovnice má z hlediska matematiky stejný tvar jako rovnice (13.2.44)

pro zvukové vlny. Perturbace výška hladiny h‘ odpovídá zvukový tlak p‘ a konstantě 𝑔ℎ(1 −

𝜌2 𝜌1⁄ ) odpovídá konstanta 𝛾 ⁄ . Rovnice má proto vlnové řešení tvaru

ℎ′ = 𝐴𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡) (13.4.7)

Když fázová rychlost je dána vztahem

𝑐 = ± [𝑔𝐻 (1 −𝜌2

𝜌1)]

1/2

(13.4.8)

V páté kapitole jsme si ukázali, že dvouvrstvý model mělké vody je ekvivalentní

s jednovrstvým modelem, kde 𝜌2 = 0, ale konstanta tíhového zrychlení je rovna 𝑔∗ =

𝑔(1 − 𝜌2 𝜌1⁄ ), V tomto případě je fázová rychlost dána vztahem 𝑐 = ± [𝑔∗𝐻]1/2.

V případě že nás zajímá pouze fázová rychlost vln je = 0 a fázová rychlost je dána známým

vztahem √𝑔𝐻.

V baroklinním modelu, který se skládá z více vrstev různé teploty a tedy i hustoty je

spektrum vertikálních vln složitější. V kapitole o vertikálních normálních módách si ukážeme,

že vertikální strukturu baroklinniho modelu který má n vrstev můžeme pomocí normálních

módů rozložit na n modelů mělké vody a pro baroklinní model odvodit fázové rychlosti vnější

i vnitřních gravitačních vln.

Rossbyho vlny

Studujme nyní horizontálně příčné vlny. Tyto vlny identifikoval a popsal švédsko-

americký meteorolog Carl-Gustav Arvid Rossby v roce 1939 narozený v roce 1898 ve

Stockholmu. Tyto vlny mají pro meteorologii zásadní význam, protože se jimi společně se

západním přenosem řídí pohyb tlakových útvarů. Jsou způsobeny rotací Země, přesněji

řečeno změnou Coriolisova parametru ve směru poledníků. Mimo oblast meteorologie jsou

však téměř neznámé. Pro objasnění mechanizmu Rossbyho vln použijeme příklad, který

předložil sám C. G. Rossby. Pro jejich studium vyjdeme opět z rovnic mělké vody, které jsou

216

pro modelování v meteorologii nejpoužívanějším zjednodušením, které implicitně popisuje

meteorologicky důležité vlny a hodí se i pro testování a vývoj numerických metod

používaných v meteorologii. Pro eliminaci vertikálně-příčných gravitačních vln požadujme,

aby trajektorie částic ležely v horizontálních plochách. Zvukové vlny jsou eliminovány tím,

že vrstva mělké vody je nestlačitelná. Tím obdržíme Rossbyho vlny v čisté podobě.

Předpokládejme tedy, že vertikální rychlost je v celé vrstvě mělké vody rovna nule, tedy

𝑤 = 0. Konstantní hustotu ve vrstvě označme jednoduše 𝜌. Pro další odvození použijeme

rovnice hybnosti (5.1.11) a (5.1.12) které v tomto označení jsou

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦− 𝑓𝑣 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

(13.4.9)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑓𝑢 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(13.4.10)

Rovnice kontinuity pro pohyb ve vrstvě nestlačitelné kapaliny s přihlédnutím k tomu, že

𝑤 = 0 znamená, že divergence horizontálního větru je rovna nule, tedy

𝑑 =𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

(13.4.11)

Nyní odvodíme rovnici pro časovou změnu relativní vorticity 휁 a absolutní vorticity 휂

휁 =𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦, 휂 = 휁 + 𝑓

(13.4.12)

Z předchozích rovnic hybnosti odvodíme rovnici vorticity derivováním rovnice (13.4.10)

podle x odečteme od ní rovnici (13.4.9) derivovanou podle y dostaneme

𝜕휁

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕휁

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕휁

𝜕𝑦+ 𝑢

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑓

𝜕𝑦+ (휁 + 𝑓)𝑑 = 0

(13.4.13)

Vzhledem k tomu, že Coriolisův parametr f nezávisí na čase, můžeme rovnici vorticity napsat

stručněji

𝑑휂 𝑑𝑡 +⁄ 휂𝑑 = 0 (13.4.14)

Všimněme si toho, že při odvození rovnice vorticity se vždy vzájemně vyruší členy gradientu

tlaku. Tím, že předpokládáme, že vertikální rychlost w je rovna nule musí být h konstantní a

členy gradientu tlaku jsou rovny nule, i když se v rovnici vorticity nevyskytují. Navíc i člen

(휁 + 𝑓)𝑑 = 0 je v předchozí rovnici roven nule.

Rovnici vorticity ještě v souvislosti s perturbační metodou ještě zjednodušíme. Podle

předpokladu je horizontální divergence větru rovna nule. Rossbyho vlny se obvykle studují

v tak zvané β-rovině. V této rovině nechť máme kartézský systém souřadnic, kde souřadnice x

nechť směřuje na východ, souřadnice y na sever. β-rovina ovšem spočívá v tom, že Coriolisův

parametr f je ve směru osy x konstantní, tedy 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 0⁄ a ve směru osy y se mění lineárně a

derivace podle y je rovna β, tedy 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝛽⁄ je konstanta. Konstanta β se nazývá Rossbyho

parametrem. Rovnice (13.4.13) se tím zjednoduší na tvar

217

𝜕휁

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕휁

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕휁

𝜕𝑦+ 𝛽𝑣 = 0

(13.4.15)

Abychom vyjádřili fázovou rychlost horizontálně-příčných vln, předpokládejme, že vlny se

pohybují pouze ve směru osy x. K tomu stačí, aby složky rychlosti u,v nezávisely na

souřadnici y, směřující k severu. Nezávisí-li u a v na souřadnici y, pak rovnice kontinuity

(13.4.11), říkající že divergence je rovna nule má jednoduchý tvar

𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 0⁄ (13.4.16)

A relativní vorticita 휁 je rovna

휁 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥⁄ (13.4.17)

Nelinearitu rovnice (13.4.15) odstraníme tím, že v souladu s předchozím budeme

předpokládat, že proudění se bude skládat z hlavní konstantní západní složky větru, střední

zonální složky větru 𝑢 = a malé meridionální perturbace 𝑣 = 𝑣 ′(𝑥, 𝑡). Rovnice vorticity

(13.4.15) pro perturbaci má pak tvar

𝜕

𝜕𝑡(

𝜕𝑣′

𝜕𝑥) +

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑣′

𝜕𝑥) + 𝛽𝑣 ′ = 0

(13.4.18)

Řešení této rovnice můžeme hledat ve tvaru

𝑣 ′ = 𝐴𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡) (13.4.19)

kde A je amplituda vlny 𝑘 = 2𝜋/𝐿 je vlnové číslo, L délka vlny, c fázová rychlost vlny.

Dosazením do rovnice (13.4.18) dostaneme řešení s fázovou rychlostí

𝑐 = − 𝛽 𝑘2⁄ (13.4.20)

Tento vztah se nazývá vzorcem Rossbyho vln. Hodnota středního zonálního větru je vždy

kladná. Rossbyho vzorec nám říká, že Rossbyho vlny se pohybují západním směrem relativně

vzhledem k průměrnému zonálnímu proudění. Rychlost Rossbyho vln závisí na zonálním

vlnovém číslu. Rossbyho vlny jsou dispersní vlny, jejichž fázová rychlost se zvyšuje

s vlnovou délkou. Vztah pro fázovou rychlost Rossbyho vln (13.4.20) nám dává možnost

odhadnout jejich rychlost pro synoptické útvary typických rozměrů Wiin-Nielsen [7]. Pro

střední zeměpisnou šířku 𝜑 = 450 severní šířky máme tyto hodnoty: můžeme odhadnout

hodnotou 20m/s pro zimní období a 10 m/s pro letní období a 𝛽 = 𝜕𝑓 𝜕𝑦⁄ = (2Ω/a) cos 𝜑 =

1.6 ∙ 10−11𝑚−1𝑠−1 kde je poloměr Země. Hodnota 𝑐𝑅 = 𝛽/𝑘2 se nazývá Rossbyho rychlost.

Závisí na délce vlny L. Její směr je od východu k západu. Pro 450 s. š. je přibližně 𝑐𝑅 =

(𝛽/(2𝜋)2) ∙ 𝐿2 = 0.4 ∙ 𝑙2 kde l je délka vlny měřená v jednotkách 106 metrů.

Je-li − 𝛽 𝑘2⁄ > 0 Pohybuje se vlna, tedy tlakový útvar na východ. Při obrácené

nerovnosti na západ. Vlna je stacionární, když pro její délku 𝐿𝑠 platí 𝐿𝑠 = 2𝜋√/𝛽.

V zimním období je délka stacionární vlny 𝐿𝑠 přibližně 7 tisíc kilometrů, pro letní období je

typickou hodnotou 5 tisíc kilometrů. Protože však tlakové útvary mívají rozměry menší,

pohybují se zejména v zimním období na východ.

Závěr pro předpovědní metody

Rossbyho vlny jsou pro meteorologii nejdůležitější. V modelech je nutné se vyhnout

zjednodušení, které by Coriolisův parametr položilo rovný konstantě. V tomto případě mají

Rossbyho vlny nulovou fázovou rychlost, a tedy vlastně neexistují.

218

Vlnové pohyby smíšeného typu

V předchozí části jsme studovali tři typy vlnových pohybů, které existují v čisté formě

jen při speciálních podmínkách. Při obvyklých podmínkách tyto vlny existují zároveň. Je

třeba poznamenat, že vlny v atmosféře se v mnohém od sebe liší. Nejenom v mechanizmu

jejich šíření, ale také jejich charakteristickými hodnotami amplitud a fázové rychlosti. Fázová

rychlost zvukových je zhruba 300 m/s, tedy přibližně 1100 km/hod. Fázová rychlost vnější

gravitační vlny, která je ve spektru gravitačních vln nejvyšší, se rychlosti zvuku blíží a lze ji

odhadnout rychlostí kolem 1000 km/hod. Jsou to tedy rychle se pohybující vlny. Rossbyho

vlny jsou vlny s dispersí a jejich fázová rychlost závisí na jejich vlnové délce. Jejich fázová

rychlost obvykle leží v intervalu 10 až 20 km/hod, což je rychlost relativně malá. Jiná situace

je v amplitudách tlaku těchto vln. Amplituda zvukových vln je nejmenší, je to pouze malý

zlomek hektopascalu. Amplituda gravitačních vln je také malá, rovněž zlomek hPa, zatímco

amplituda Rossbyho vln, která často převyšuje 20 hPa je proti tomu značná. Gravitační vlny

lze měřit a sledovat ve změnách přízemního tlaku pomocí citlivého mikrobarografu. Průběh

gravitačních vln můžeme rovněž studovat při časové integraci modelu, zapíšeme-li si hodnoty

přízemního tlaku v pevně zvoleném bodě v každém časovém kroku. Dostaneme tak

posloupnost, ve které je průběh gravitačních vln vidět. Správně by měly mít stejně jako

v přírodě velmi malou amplitudu. Když malou amplitudu nemají, je to známkou toho, že

počáteční data modelu nejsou zcela v pořádku. V tomto případě pole rozložení hmoty

atmosféry s polem proudění není v rovnováze. Aby tato situace nenastala, musí být před

integrací vždy provedena tak zvaná inicializace, která tuto závadu odstraní. Mohlo by se zdát,

když je amplituda gravitačních vln tak malá, že v procesu integrace nebudou gravitační vlny

dělat potíže. Není tomu tak. Sama existence vln s touto velkou fázovou rychlostí je pro

stabilitu v CFL kritériu rozhodující. Existence těchto vln je rozhodující také v tak zvaném

procesu geostrofického přizpůsobení, který svým působením stále přibližuje pohyb atmosféry

ke geostrofickému proudění. Abychom se v modelu zbavily problému rychlých vln, jejichž

důsledkem je z důvodů stability při integraci krátký časový krok, lze postupovat dvěma

způsoby. Jedním z nich je upravit rovnice modelu tak, aby model tyto vlny nepopisoval.

Tomu se říká odfiltrování vln. Viděli jsme, že pro odfiltrování zvukových vln stačí rovnici

hybnosti ve vertikálním směru zjednodušit na hydrostatickou rovnici. Tato úprava je

nejčastější a používá se ve většině předpovědních modelů. Dalším stupněm by bylo ještě

odfiltrování gravitačních vln. Zůstanou pak v modelu pouze Rossbyho vlny. Tento postup byl

z důvodů efektivnosti používán v první úspěšné etapě předpovědních metod. Tato úprava

vede k formulaci modelů používajících geostrofickou aproximaci. V dalším si ukážeme, proč

to není správná cesta. Později se totiž ukázalo, že z hlediska efektivnosti modelu stačí

hydrostatické přiblížení a stejnou efektivnost zajistí použití semiimplicitních schémat.

Nyní se již věnujme vlnám smíšeného typu z gravitačních a Rossbyho vln

Tyto smíšené vlny budeme studovat opět na modelu mělké vody, který oba typy vln

popisuje. Thompson [8]. Tento model je často nazýván barotropní divergentní model.

Shrneme si nyní systém rovnic ve tvaru, který budeme dále potřebovat. Jsou to jednak rovnice

hybnosti

219

(5.1.11) a (5.1.12)

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦− 𝑓𝑣 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

(13.4.21)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑓𝑢 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(13.4.22)

a rovnice kontinuity (5.1.19)

𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕ℎ

𝜕𝑦+ ℎ (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

(13.4.23)

Tři předchozí rovnice tvoří úplný systém rovnic pro časový vývoj tří proměnných u, v, h.

Společný charakter vlnových řešení předchozích tří rovnic divergentního barotropního

modelu nalezneme opět perturbační metodou. Chceme-li studovat vlnové pohyby složené z

gravitačních a Rossbyho vln, musíme je studovat v zonálním proudění. Omezíme se tedy na

studium vln pohybujících se ve směru osy x. Tím úlohu zjednodušíme na prostorově

jednodimensionální. Předpokládejme tedy, že složky rychlosti u, v, nezávisejí na souřadnici y

ve směru poledníků. Základní ustálené proudění nechť charakterizují následující hodnoty: je

průměrná konstantní rychlost zonálního proudění, meridionální složka ustáleného zonálního

proudění je rovna nule. Hodnoty ustáleného proudění musí splňovat rovnice modelu.

Dosazením hodnot základního ustáleného proudění do rovnice (13.4.22) dostáváme, že

hodnoty a ℎ musí splňovat rovnici

𝑓 + 𝑔𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(13.4.24)

což znamená, že složka základního proudění splňuje vztah geostrofického větru. Hodnota ℎ

ustáleného proudění je tímto vztahem určena. Perturbace od základního stavu označme, jako

obvykle 𝑢′, 𝑣 ′, ℎ′. Rovnice pro odchylky od ustáleného proudění můžeme napsat ve tvaru

(𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥)

𝑀𝑢′ − 𝑓𝑣 ′ + 𝑔

𝜕ℎ′

𝜕𝑥= 0

(13.4.25)

(𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥)

𝜕𝑣′

𝜕𝑥+ 𝛽𝑣 ′ + 𝑓

𝜕𝑢′

𝜕𝑥= 0

(13.4.26)

(𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥) ℎ′ + 𝑣′

𝜕ℎ

𝜕𝑦+ ℎ

𝜕𝑢′

𝜕𝑥= 0

(13.4.27)

V rovnici (13.4.25) dolní index M u prvního operátoru zdůrazňuje, že se liší od stejných

operátorů ve dvou následujících rovnicích. Pro zápis rovnice (13.4.27) byl použit vztah

(13.4.24).

Řešení předchozích tří perturbačních rovnic budeme hledat ve tvaru, který zapišme vektorově

220

𝑢′

𝑣′

ℎ′

= 𝑈𝑉𝐻

𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑐𝑡)

(13.4.28)

Kde U, V, H jsou konstantní amplitudy. Derivujeme-li libovolnou složku předchozího vztahu,

podle t a podle x dostaneme

𝜕𝑢′

𝜕𝑡= (−𝑖𝑘𝑐)𝑢′ ,

𝜕𝑢′

𝜕𝑥= (𝑖𝑘)𝑢′ ,

𝜕2𝑢′

𝜕𝑥2= −𝑘2𝑢′

(13.4.29)

Odtud porovnáním pravých stran předchozích vztahů máme

𝜕

𝜕𝑡= −𝑐

𝜕

𝜕𝑥 ,

𝜕2

𝜕𝑥2= −𝑘2

(13.4.30)

Použijeme-li tyto vztahy pro úpravu perturbačních rovnic, obdržíme

( − 𝑐)𝑀

𝜕𝑢′

𝜕𝑥− 𝑓𝑣 ′ + 𝑔

𝜕ℎ′

𝜕𝑥= 0

(13.4.31)

−𝑘2( − 𝑐)𝑣 ′ + 𝛽𝑣 ′ + 𝑓𝜕𝑢′

𝜕𝑥= 0

(13.4.32)

( − 𝑐)𝜕ℎ′

𝜕𝑥−

𝑓𝑣 ′

𝑔+ ℎ

𝜕𝑢′

𝜕𝑥= 0

(13.4.33)

Kde ( − 𝑐)𝑀 odpovídá operátoru (𝜕

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥)

𝑀 . Systém rovnic (13.4.31) až (13.4.33) je

systémem homogenních algebraických rovnic pro neznámé 𝜕𝑢′ 𝜕𝑥⁄ , 𝑣 ′ , 𝜕ℎ′ 𝜕𝑥⁄ . Takový

systém má netriviální řešení pouze když determinant soustavy je roven nule, tedy když

|

𝛽 − 𝑘2( − 𝑐) 0 𝑓

−𝑓 𝑔 ( − 𝑐)𝑀

−𝑓𝑢

𝑔( − 𝑐) ℎ

| = 0 (13.4.34)

Po výpočtu determinantu a úpravě výsledku můžeme jeho hodnotu napsat ve tvaru

[𝛽 − 𝑘2( − 𝑐)][𝑔ℎ − ( − 𝑐)( − 𝑐)𝑀] − 𝑓2[( − 𝑐) − ] = 0 (13.4.35)

Tato rovnice je tak zvanou rovnicí frekvence, která nám dává možné hodnoty fázové rychlosti

c, odpovídající danému vlnovému číslu k. Tuto rovnici je možné chápat jako kubickou rovnici

pro neznámou ( − 𝑐). S řešením kubické rovnice to není tak jednoduché, proto ji na základě

fyzikální interpretace pro jednotlivé případy zjednodušíme.

Jeden z kořenů kubické rovnice (13.4.35) můžeme přibližně nalézti, vezmeme-li

předem v úvahu, že

( − 𝑐)2 ≪ 𝑔ℎ (13.4.36)

Když tedy zanedbáme druhý člen v druhém činiteli kubické rovnice, dostaneme takto

zjednodušené rovnice snadno řešení

221

𝑐 − = −𝛽 + (𝑓2/𝑔ℎ)

𝑘2 + (𝑓2/𝑔ℎ)

(13.4.37)

Podíváme-li se na předchozí vztah, pak pro libovolnou možnou hodnotu √𝑔ℎ gravitačních vln

je relativní fázová rychlost vypočtená z předchozího vztahu velmi malá. To ospravedlňuje náš

předpoklad o zanedbání členu v kubické rovnici. Pohyb vln odpovídající tomuto řešení jsou

zřejmě pomalu se pohybující Rossbyho vlny, směr jejich pohybu se s časem nemění.

Přibližné hodnoty ostatních kořenů rovnice (13.4.35) můžeme nalézti, když předběžně

budeme předpokládat, že | − 𝑐| je mnohem větší, než 𝛽 𝛼2 − 𝑐𝑅𝑂𝑆⁄ , kde 𝑐𝑅𝑂𝑆 je fázová

rychlost čistých Rossbyho vln. V tomto případě vynecháme první člen v prvním činiteli

prvního členu kubické rovnice (13.4.35). Všimněme si, že v tomto případě je | − 𝑐| ≫ ,

odtud dostaneme, že

( − 𝑐)( − 𝑐)𝑀 = 𝑔ℎ +𝑓2

𝑘2

(13.4.38)

kde rychlost čistých gravitačních vln je √𝑔ℎ . Rychlost gravitačních vln je vzhledem

k prostředí je mnohem větší, než rychlost Rossbyho vln, takže náš předpoklad o kořenech

kubické rovnice byl dodatečně potvrzen. V případě, že model popisuje zároveň gravitační a

Rossbyho vlny, je jejich fázová rychlost mírně modifikována.

V dřívějších publikacích i monografiích bylo věnováno mnoho pozornosti problému

odfiltrování gravitačních vln z předpovědních modelů. Také první úspěšné modely pro

předpověď geopotenciálu používaly rovnice neobsahující popis gravitačních vln. Odfiltrování

gravitačních vln však vede ke geostrofické aproximaci. Předpověď je v tomto případě

založena na předpovědi čistých Rossbyho vln. Časový vývoj atmosféry vlivem těchto vln je

v podstatě popsán pouze rovnicí vorticity. Ze změny vorticity se pak odvozuje pomocí vztahů

geostrofického větru změna geopotenciálu, která vede na řešení Dirichletovy okrajové úlohy

pro Poissonovu rovnici. Pro předpověď výšky hladiny nondivergence, za kterou byla

pokládána hladina 500 hPa stačila pouze rovnice vorticity a vztahy geostrofického větru. Pro

třídimensionální baroklinní model v p-systému k nim přibyla ještě tak zvaná omega rovnice,

vyjadřující kvasigeostrofickou vertikální rychlost v p-systému, ze které se pomocí rovnice

kontinuity vypočetla divergence větru potřebná do rovnice vorticity. Takový model pracoval

v podstatě ve vrstvě mezi dvěma tlakovými hladinami. Horní i dolní hranici oblasti tvořily

tedy plochy stejného tlaku. Horní hranici plocha nulového tlaku, dolní hranici obvykle hladina

1000 hPa. Na těchto plochách byla okrajovou podmínkou nulová zobecněná vertikální

rychlost v p-systému, tedy 𝜔 = 0. Tato podmínka není ve skutečnosti reálná, neboť

neprostupnou plochou je jedině povrch Země, nikoliv s časem měnící se poloha tlakové

hladiny 1000 hPa. Také všechny pokusy formulovat okrajovou podmínku pro tyto modely na

povrchu Země pomocí kinematického vztahu skončily neúspěšně. Důsledkem toho je, že tyto

modely nesplňovaly zákon zachování hmoty atmosféry. Další, i když o něco méně závažnou

vadou je, že fázová rychlost Rossbyho vln není v těchto modelech zcela přesná, protože, jak

jsme zjistili při studiu smíšených vln, je přece jenom jejich fázová rychlost mírně pozměněna

222

gravitačními vlnami. Z těchto důvodů se v současnosti kvasi-geostrofické modely již

k předpovědi nepoužívají. Tyto modely jsou nyní používány jenom k některým teoretickým

studiím, kde jsou po vhodném zjednodušení řešeny analyticky.

Z výsledků této kapitoly vyplývá podle mne tento závěr:

Pro předpovědní modely zůstává jako nejvhodnější formulace baroklinní model

s hydrostatickou aproximací v systému souřadnic kopírujících terén odvozených od p-

systému souřadnic. Tedy klasický Phillipsův 𝝈-systém, nebo hybridní 𝜼 − 𝒔𝒚𝒔𝒕é𝒎.

Literatura:

[1] Baťka Michal: Zpracování meteorologických informací hlavní úkol současné

meteorologie., Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, ročník 37 (1992) s. 80-95.

[2] Haltiner G. J., Martin F. L.: Dynamical and Physical Meteorology. New York Toronto

London 1957.

[3] Haltiner G. J., Williams R. T.: Numerical Prediction and Dynamic Meteorology. John

Wiley 1980.

[4] Holton James R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New York

and London 2004

[5] Pechala F., Bednř J.: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991.

[6] Smirnov M. M.: Differencialnyje urovnenija v častnych proizvodnych vtorogo porjadka.

Nauka, Moskva 1964.

[7] Wiin-Nielsen A.: Compendium of meteorology. Volume I. World Meteorological

Organization – Geneve 1973.

[8] Thompson P. D.: Numerical weather analysis and prediction. The Macmillan Company

New York 1961.

223

14. Hydrostatické modely a modely s plně stlačitelnou atmosférou

Modely vývoje atmosféry a jevů, které v ní probíhají.

Formulace meteorologických modelů vychází ze tří zákonů zachování. Zákona

zachování hmoty atmosféry, který je dán rovnicí kontinuity, dále zákon zachování energie

atmosféry, který je formulován jako první věta termodynamiky, formulovaná obvykle pro

změnu absolutní teploty. Pravá strana této rovnice obsahuje člen, který vyjadřuje úbytek

součtu vnitřní a potenciální energie atmosféry, která je spotřebována na změnu hybnosti

atmosféry danou silou gradientu tlaku. Část modelu tvořená těmito zákony zachování se

nazývá dynamickou částí modelu. Změny hodnot meteorologických proměnných vlivem

dalších fyzikálních vnějších vlivů jako je ohřev atmosféry slunečním záření, vyzařování tepla

do kosmu, tření o povrch Země, tepelná konvekce a další tvoří parametrizace modelu. Tyto

vlivy jsou vyjádřeny členy na pravých stranách rovnic zákonů zachování. Tato problematika

je předmětem teorie všeobecné cirkulace atmosféry.

Na základě těchto tří zákonů zachování jsou tedy formulovány tak zvané řídící

rovnice, kterými se opravdu řídí pohyb a další vývoj atmosféry. Řídící rovnice jsou systémem

parciálních diferenciálních rovnic popisující v podstatě všechny jevy pohybu atmosféry. Pro

praktickou předpověď vývoje jevů není ovšem situace tak jednoduchá. Je totiž důležité, jaké

je prostorové i časové měřítko těchto jevů a také, zda je možné jejich vznik a zejména místo

jejich vzniku předpovídat.

Každá předpověď vývoje atmosféry vychází z počátečních hodnot, které určují stav

atmosféry na začátku předpovědi. Problémem však je, že systémy parciálních diferenciálních

rovnic popisující vývoj atmosféry jsou nelineární. Jednou z vlastností těchto systémů je, že i

při přesném řešení těchto rovnic chyba v počátečních datech se s časem předpovědi zvětšuje

exponenciálně. Protože nemůžeme našim měřením přesně zjistit počáteční stav atmosféry, a

navíc numerickou integrací přidáváme další chyby, tak po určité době se celková chyba zvětší

natolik, že naše předpověď již neodpovídá skutečnosti. Ve výsledcích to není jednoduše vidět.

Je to vlivem toho, že rovnice vyjadřují zákony zachování a řešení zůstává omezené a na první

pohled nevypadá nevěrohodně. To ovšem neznamená, že bychom nemohli předpovídat vývoj

atmosféry a tedy předpovídat počasí vůbec. Možnost předpovědi vývoje jevů velmi závisí na

jejich prostorovém ale zejména časovém měřítku a čas a polohu kde některé jevy po určité

době vzniknou, není možné určit vůbec. Takovým jevem je například tepelná konvekce, jejíž

problematiku studoval Edvard Lorenz [15]. Ukázalo se, že pro mnohé fyzikální děje není

možná kauzální předpověď na další časovou dobu. Vznikl tak celý nový vědní obor

„deterministický chaos“. Předpověď pohybu atmosféry patří také do této kategorie jevů.

14.1. Měřítka meteorologických jevů

Než budeme studovat možnosti předpovědi různých meteorologických jevů,

upřesníme si zde některé všeobecně známé pojmy, které budeme v dalším používat. Jedná se

zejména o rozlišení měřítek meteorologických jevů, které se v meteorologii používá. K přesné

standardní formulaci měřítek meteorologických použijeme Meteorologický slovník [25], který

také sjednocuje českou terminologii. Největší měřítko se obvykle nazývá synoptickým, nebo

224

makrometeorologickým měřítkem. Popisuje objekty všeobecné cirkulace, pohyb tlakových

výší, níží, atmosférické fronty, frontální srážky i další úkazy vztahující se k velkoprostorovým

dějům. Tyto děje jsou studovány na synoptických mapách. Horizontální rozměr těchto dějů

činí stovky až tisíce kilometrů, což odpovídá rozměrům tlakových útvarů. Důležitá je také

časová délka, ve které tyto jevy existují. Zde je to řádově dny až týdny. Dále je to

mezosynoptické měřítko, jehož horizontální rozměry jsou v řádu desítky až několik stovek

km, například místní cirkulační systémy, bouřky čáry instability apod. Tyto děje mají také

většinou kratší trvání. Subsynoptické měřítko pak zahrnuje děje mezosynoptického měřítka i

mikrometeorologické děje. To jsou děje malého měřítka: jde o děje charakterizované

přítomností vírových pohybů v atmosféře s osami rotace v obecné poloze s poloměry nejvýše

stovek metrů.

Vertikální pohyby vzduchu v atmosféře

Studium vertikálních pohybů vzduchu patří k jednomu z nejdůležitějších problémů

meteorologie. Obdobně jako meteorologické jevy v meteorologii jsou v knížce L. T.

Matveeva [17] do tří měřítek zařazeny i vertikální pohyby atmosféry. Tato měřítka také

korespondují s jevy daných měřítek. Vertikální pohyby vzduchu jsou spojeny s časovými

změnami mnohých meteorologických veličin, teploty, tlaku, vlhkosti i dalších veličin. Velkou

roli hrají vertikální pohyby na tvorbu a vývoj oblačnosti a srážek. V důsledku toho mají pak

vliv na teplotu atmosféry i přízemní vrstvy. Znalost vertikálních pohybů atmosféry má také

praktické použití, neboť vertikální pohyby vzduchu mají přímý vliv na přenos příměsí

v atmosféře a jejich znalost je důležitá i pro letectví.

Nejdříve poznamenejme, že pojmu „vertikální rychlosti“ nebo „vertikálnímu toku“ je

dáván často různý význam. Je to tím, že v atmosféře pozorujeme vertikální rychlosti velmi

různých hodnot i různých měřítek. Měřítkem zde rozumíme velikost té oblasti (objemů

vzduchu), ve které mají vertikální rychlosti stejné znaménko. Velikost - měřítko objemů

vzduchu se stejným znaménkem vertikální rychlosti může nabývat velmi různých hodnot. Při

studiu každého konkrétního jevu však můžeme ukázat na určité měřítko, které je pro tento jev

charakteristické. Analýza rovnice kontinuity ukazuje, že čím větší jsou horizontální rozměry

oblasti, ve kterých má vertikální rychlost stejné znaménko, tím menší je absolutní hodnoty

samotné vertikální rychlosti.

V závislosti na charakteristických horizontálních rozměrech jevů, můžeme všechny

vertikální pohyby v atmosféře rozdělit do tří základních tříd.

Třída I – neuspořádané (pulsující) vertikální pohyby. Charakteristické horizontální

rozměry objemů vzduchu (dyzen) se v tomto případě pohybují od několika centimetrů do

desítek i stovek metrů. Charakteristická vertikální rychlost je obvykle několik m/s, v

mohutných konvektivních mracích zejména dešťových a bouřkových je docela do několika

desítek m/s. Vliv těchto vertikálních rychlostí na přenos a přerozdělení různých fyzikálních

vlastností, teploty, vlhkosti, hybnosti i příměsí se obyčejně popisuje pomocí aparátu polo

empirické teorie turbulence.

Třída II – mezoměřítkové vertikální pohyby. Horizontální rozměry objemů

vzduchu se stejným znaménkem vertikální rychlosti se pohybují v rozmezí od několika

kilometrů do 20 až 30 kilometrů. Charakteristické hodnoty vertikálních rychlostí se pohybují

225

od několika cm/s do desítek cm/s. K této třídě patří pohyby vznikající z nehomogennosti

zemského povrchu, mořská bríza a cirkulace v horách-dolinách.

Třída III – makroměřítkové vertikální pohyby (vertikální pohyby synoptického

měřítka). Takové pohyby se stejným znaménkem vertikální rychlosti mají horizontální

rozměry sta až tisíce kilometrů. Jejich rozměry jsou dány tlakovým polem – cyklonami a

anticyklonami. Vertikální rychlosti se pohybují od zlomků cm/s do několika cm/s . Obvykle

ne více než 1 až 2 cm/s. Vertikální rychlosti Třídy II a III jsou vždy popsány řídícími

rovnicemi pohybu atmosféry přímo. Vertikální rychlosti synoptického měřítka, tedy třídy III.

není možné zjistit přímým měřením, ale je možné je určit několika způsoby, popsanými

například v Příručce dynamické meteorologie autorů Pechala – Bednář [19]. V kapitole 13.7

Vertikální rychlosti v tlakových útvarech, nebo v knize Jamese Holtona [11] v odstavci 3.5

Vertical motion.

14.2 Důsledky hydrostatické aproximace a modely s plně stlačitelnou

atmosférou

V této části o vlnách v atmosféře se nejdříve věnujme důsledkům hydrostatické

aproximace pro meteorologické modely. V dalším také vývoji nehydrostatických modelů

s plně stlačitelnou atmosférou a jejím možnostem a uplatněním v meteorologii.

Úvodem si připomeneme zásadní rozdíl mezi nehydrostatickým modelem s plně

stlačitelnou atmosférou a modelem používajícím hydrostatickou aproximaci, který nazýváme

stručněji hydrostatickým modelem. Tento rozdíl spočívá ve zjednodušení rovnice vyjadřující

změnu hybnosti ve vertikálním směru. Tuto rovnici píšeme v z-systému ve tvaru

𝑑𝑤

𝑑𝑡= −𝜌−1

𝜕𝑝

𝜕𝑧− 𝑔

(14.2.1)

Pro synoptické měřítko je velikost členů této rovnice odhadována následovně. Členy

této rovnice mají charakteristickou řádovou velikost 𝑑𝑤 𝑑𝑡⁄ 10−7 𝑚𝑠−2 zatímco členy pravé

strany jsou řádu 10 𝑚𝑠−2 a mají opačná znaménka. (James Holton [11] strana 41.)

Zanedbáme-li tedy člen 𝑑𝑤 𝑑𝑡⁄ dostáváme rovnici hydrostatické rovnováhy, kterou píšeme

obvykle ve tvaru

𝜕𝑝

𝜕𝑧= −𝑔𝜌

(14.2.2)

V tomto případě atmosféra v celém svém vývoji je stále v hydrostatické rovnováze a

proto nemá snahu se rozpínat. Tato vlastnost ji právě odlišuje od nehydrostatického modelu

plně stlačitelné atmosféry. Model, ve kterém je atmosféra stále v hydrostatické rovnováze

nazýváme hydrostatický.

Podívejme se nyní na tyto dva modely z hlediska vln v atmosféře. Připomeňme si,

zpředchozí kapitoly, že v atmosféře se vyskytují tři základní vlnové pohyby. Pro meteorologii

jsou nejdůležitější k rovnoběžkám kolmé horizontální příčné vlny, které první identifikoval

švédský meteorolog, pracující ve Spojených státech, Carl-Gustav Arvid Rossby. Podle něj

jsou tyto vlny nazvány Rossbyho vlnami. Ty společně s advekcí zonálního větru určují ve

středních zeměpisných šířkách pohyb tlakových útvarů. Další vlny v atmosféře jsou příčné

vertikální vlny nazývané gravitační vlny. Přestože mají v atmosféře jen malou amplitudu, jsou

226

důležitou součásti procesu, který atmosféru stále přibližuje ke stavu geostrofické aproximace.

Tento proces se nazývá geostrofickým přizpůsobením. Posledním typem vln jsou zvukové

vlny. Jsou to podélné vlny lokálního stačení vzduchu. Zvukové vlny se v hydrostatickém

modelu nevyskytují. Jsou tímto zjednodušením zcela odfiltrovány.

Z hlediska diferenciálních rovnic je fungování modelu zcela jasné. Nezjednodušené

rovnice tedy rovnice nehydrostatického modelu popisují pohyb atmosféry pro všechna

měřítka meteorologických dějů. Popisují tedy advekci a všechny typy vlnových pohybů.

Vertikální rychlost zde popisuje rychlost částic, tedy velmi malých objemů vzduchu.

V diskrétních modelech je situace poněkud jiná, což je dáno tím, že každý diskrétní model

pracuje s určitým rozlišením a může tedy popisovat jevy a tedy i vertikální rychlosti jen do

určitého měřítka. Tato vertikální rychlost, kterou model popisuje je dána celkovým tokem

hmoty atmosféry ve vertikálním směru určitou horizontální plochou danou rozlišením

modelu. V numerických modelech je tato horizontální plocha ve skutečnosti dána velikostí

čtverců horizontální výpočetní sítě. Když rozlišení modelu pro popis studovaných dějů není

dostatečné, to se týká zejména konvekce, pak nastává situace, že celkový tok hmoty vzduchu

ve vertikálním směru se ve čtvercích horizontální sítě skládá z pohybů směrem vzhůru i dolu

menších měřítek. Model při takovém rozlišení pak nepopisuje fyzikální děje těchto menších

měřítek v atmosféře.

Pro předpověď je třeba rozlišit modely podle typu předpovědi, na modely

meteorologické pro předpověď počasí v časovém intervalu dní až dvou týdnů a modely pro

studium krátkodobých jevů v řádu hodin, například studium vývoje konvektivní bouřky, kde

je tento lokální jev zadán již počátečními podmínkami simulace.

Současné modely LAM, (anglická zkratka Limited Area Model) tedy modely pro

předpověď počasí na omezené oblasti mající rozlišení dané krokem v síti řádově jednotek až

desítek kilometrů se hodí k popisu jevů třídy II a III.

Pro popis konvektivních jevů, tedy jevů třídy I, je třeba ještě jemnější rozlišení. Jinou

otázkou ovšem je, zda pokus o deterministickou předpověď konvekce má v meteorologických

modelech vůbec smysl, to by znamenalo, že je možné přesně předpovědět, kdy a kde takový

jev jako třeba bouřka nastane.

Studujme otázku, jakými mechanizmy vznikají vertikální pohyby vzduchu. Uvažujme

proto svislý sloupec vzduchu. V tomto sloupci studujme, jakým způsobem vzniká lokální

změna tlaku a v důsledku toho změna vertikálního gradientu tlaku. Tady můžeme uvažovat

zejména dva mechanizmy. Jeden mechanizmus je dán divergencí pole horizontálního větru a

ten má v reálné atmosféře synoptický charakter. Druhý přítokem tepla, tedy ohřevem

atmosféry sluneční radiací a také uvolňováním latentního tepla při kondenzaci vodní páry.

Tento druhý mechanizmus umožňuje vznik tepelné konvekce, která vzniká v případě, když

teplotní zvrstvení atmosféry není příliš stabilní. Iniciovat tento proces může také proudění

vzduchu přes horské masivy. Po dodání dostatečného množství tepla vznikají na základě

Archimédova zákona vztlakové síly, které v atmosféře vyvolají konvektivní pohyby. Měřítko

většiny těchto konvektivních pohybů včetně bouřek z tepla je sub synoptických rozměrů, tedy

třídy I. Podle fundamentální práce Edwarda Lorenze [15] se navíc, kde a kdy tyto konvektivní

pohyby vzniknou, se nedá předpovědět. Empiricky tuto skutečnost si lze ověřit pozorováním

konvektivních jevů, jejich vzniku a vývoje na výsledcích měření meteorologických radarů.

227

Všimněme si nejdříve, jak na změny vertikálního gradientu tlaku reaguje tak zvaný

plně stlačitelný, tedy nehydrostatický model atmosféry. Lokálním zvýšením tlaku vlivem

divergence horizontálního větru nebo ohřevem vzduchu vznikne ve vertikálním směru

nerovnováha mezi vertikálním gradientem tlaku a silou zemské tíže, tím vznikne ve

vertikálním směru síla, která podle Newtonova zákona způsobí změnu vertikální rychlosti

vzduchu. Touto silou vznikne tedy lokální stlačení vzduchu, které můžeme interpretovat také

jako podélné stlačení vzduchu i ve vertikálním směru, což vytváří ve vertikálním směru

zvukovou vlnu. Tato vlna urychluje rychlost přenosu síly způsobující pohyb vzduchu -

advekci ve vertikálním směru. Podobně vznikají i pohyby směrem dolů. Podélné vlny

stlačení, tedy zvukové vlny jsou tedy přirozenou součástí skutečné atmosféry a to samozřejmě

v horizontálním i ve vertikálním směru.

Nyní se podívejme, jak na stejnou situaci reaguje hydrostatický model. Tyto modely

atmosféry jsou charakterizovány tím, že v nich neustále platí hydrostatická rovnice.

Interpretujeme-li fyzikální význam hydrostatické rovnice, ten znamená, že v každém bodě

v atmosféře je síla vertikálního gradientu tlaku stále zcela přesně v rovnováze se silou zemské

tíže. V atmosféře v hydrostatické rovnováze neexistuje ve vertikálním směru žádná síla, která

by podle Newtonova zákona měnila vertikální rychlost vzduchu. Vertikální pohyby jsou

v tomto případě dány na základě přerozdělování hmoty atmosféry a jsou dány rovnicí

kontinuity. V diskrétním modelu je hydrostatická rovnováha splněna na začátku i na konci

každého integračního kroku. Přítok tepla probíhá během výpočtu změn prognostických veličin

během časového kroku. Horizontální i vertikální rychlost je pro průběh daného integračního

kroku dána počátečním stavem na začátku integračního kroku, a vertikální rychlost je dána

jednoznačně pouze třírozměrným polem divergence horizontálních složek větru. Můžeme ji

proto vypočítat z rovnice, která vyjadřuje zákon zachování hmoty atmosféry, tedy z rovnice

kontinuity. Při tomto procesu, který je pro úplnost dále podrobně popsán, obdržíme také

časové změny přízemního tlaku. Samotný tlak v každém místě atmosféry a samozřejmě i

přízemní tlak je dán hydrostatickou rovnicí a to váhou vzduchového sloupce nad daným

místem.

Hydrostatický model mechanizmus konvekce nepopisuje, protože vertikální rychlost

při konvekci vzniká nerovnováhou mezi vertikálním gradientem tlaku a silou zemské tíže, a ta

je v tomto modelu stále v rovnováze. Při numerické realizaci je na konci každého integračního

kroku, tedy na začátku dalšího kroku atmosféra v hydrostatické rovnováze, neboť pole

geopotenciálu je vypočteno integrací hydrostatické rovnice z pole teploty a přízemního tlaku.

V důsledku toho se při přítoku tepelné energie tato energie začne v určitém místě hromadit a

tedy zvyšovat teplotu natolik, že zde dojde k instabilnímu teplotnímu zvrstvení. Ve skutečné

atmosféře tak vznikají místa, kde vztlakové Archimédovy síly zrychlují pohyb vzduchu a

vznikají vertikální konvektivní proudy. Tím je vertikálně přenášena hmota atmosféry a s ní i

tepelná energie směrem vzhůru. V okolí vznikají pak sestupné pohyby, při kterých se

chladnější vzduch pohybuje směrem dolu. V hydrostatickém modelu tento mechanizmus

přenosu tepelné energie konvekcí není a proto je tento stav třeba odstranit parametrizací

konvekce, která přenese potřebnou část tepla směrem vzhůru, aby bylo odstraněno labilní

teplotní zvrstvení. Je-li tento proces konvekce adiabatický je parametrizace formulována tak,

aby při ní zůstala zachována totální potenciální energie sloupců, kde toto konvektivní

přizpůsobení probíhá. Pro ne-adiabatické procesy, kdy je uvolňováno latentní teplo

228

kondenzace, je odstranění instability atmosféry zahrnut do parametrizace konvektivních

srážek. Vzhledem k tomu, že hydrostatické modely nepopisují konvekci, je jejich

nedostatkem, že nepopisují transport znečišťujících příměsí z přízemních vrstev atmosféry do

vyšších vrstev. Nemohou modelovat například modelovat šíření sopečného prachu činné

sopky a podobné úlohy vyžadující advekci ve vertikálním směru, neboť pro tyto úlohy jsou

vertikální rychlosti synoptického měřítka nepoužitelně malé.

Rozměry některých jevů probíhajících v zemské atmosféře

Skutečná atmosféra je ovšem stlačitelná a hydrostatická rovnováha v některých

místech je narušena a vznikají konvektivní výstupné proudy, které musí být z hlediska zákona

zachování hmoty atmosféry kompenzovány proudy sestupnými. Tyto vertikální pohyby, i

když mohou mít značnou rychlost, mají pro globální synoptické modely, ale také i pro modely

na omezené oblasti, vzhledem k čtvercům horizontálně malé rozměry. Celkové průměrné

vertikální rychlosti v objemech tvořených výpočetní sítí (boxech) daná konvekcí je ve

vertikálním směru v modelu synoptického měřítka proto nereálně malá. Uvažujeme-li

synoptický model v současné době s extrémně malou délkou horizontálního kroku v síti 5 km,

je jasné, že konvektivní proudy jsou horizontálně plošně o řád až o tři řády menší, proto jejich

přenos tepelné energie ve vertikálním směru i výpočet konvektivních srážek je typickým

objektem parametrizací. Synoptické vertikální rychlosti, tedy ve své podstatě, vycházejí z

průměrných vertikálních toků hmoty atmosféry ve čtvercích horizontální výpočetní sítě. Pro

názornost poznamenejme ještě, že pro adekvátní popis konvektivní bouřky o horizontální

rozloze čtverečního kilometru nestačí krok v síti 1 km, protože takový jev nemůže být popsán

jedním uzlovým bodem horizontální sítě. To by vedlo k nejkratší vlně, kterou tato síť

popisuje, tedy vlně délky dvou kroků v síti, navíc je tato vlna pro většinu aproximací advekce

stacionární a ve spektrálních modelech jsou tyto nejkratší vlny zcela smazány uřezáváním.

Proto pro odpovídající popis konvekce je třeba jemnější rozlišení, než jsou samotné rozměry

vertikálního proudu. Diskrétní synoptický model, svým rozlišením proto neodpovídá popisu

plně stlačitelné atmosféry dané diferenciálními rovnicemi. Že skutečná atmosféra takto

funguje, potvrzuje také skutečnost, že rychlé oscilace přízemního tlaku dané gravitačními

vlnami mají velmi malou téměř nulovou amplitudu. Pro modely synoptického měřítka je tedy

použití hydrostatické aproximace adekvátní.

Skutečná atmosféra nesplňuje přesně hydrostatickou rovnici a existují v ní zvukové

vlny, přesto se obecně se soudí, že na vývoj atmosféry nemají zvukové vlny z hlediska

meteorologie prakticky žádný vliv. Je to zejména proto, že zvukové vlny se šíří vzhledem k

měřítku meteorologických dějů relativně jen na krátké vzdálenosti, neboť jejich energie se v

prostoru disipuje. Vlny podélného stlačení přenášejí na vzduchové hmoty ve vertikálním

směru zrychlení způsobené nerovnováhou mezi vertikálním gradientem tlaku a silou tíhového

zrychlení Země. Jsou proto přirozenou součástí mechanizmu fungování atmosféry.

Pro fyzikální představu pohybu atmosféry si je dobré uvědomit, o jak velké hmoty se

jedná. Jako příklad uveďme, že hmotnost sloupce atmosféry o průřezu čtverečního metru je

rovna přízemnímu tlaku (v hPa) lomenému konstantou tíhového zrychlení Země g. Pro

přízemní tlak 1013 hPa a g=9.8 ms-2

je váha sloupce vzduchu jednotkového průřezu 1 m2

229

rovna 10.3 tuny. Z hydrostatické a stavové rovnice můžeme též odhadnout hmotnost

kubického metru vzduchu při Zemi. Při teplotě 300 K a tlaku 1013 hPa dostáváme ze stavové

rovnice hustotu 𝜌 = 𝑝 𝑅𝑇⁄ = 101 300 (287 ∙ 300)⁄ = 1.1765 𝑘𝑔 a tedy v 1 m3 vzduchu při

povrchu Země váží přibližně 1.2 kg. Všimněte si zde v rozdílu výpočtu váhy celého

vertikálního sloupce vzduchu, ten je dán přímo tlakem na povrch Země, zatímco pro výpočet

váhy krychlového metru vzduchu při Zemi jsme potřebovali stavovou rovnici a jeho teplotu.

Je to proto, že v druhém případě jde o přírůstek váhy, k čemuž bychom pro výpočet, obdobný

prvnímu, potřebovali znát tlak ve dvou hladinách vertikálně vzdálených od sebe jeden metr.

Při studiu odfiltrování vln v modelech atmosféry je třeba si všímat, jaké důsledky pro

pohyb atmosféry má zjednodušení některých jejích rovnic. Pohyb v atmosféře pak nemusí

odpovídat zcela přesně pohybu v reálné atmosféře, a je třeba posoudit, zdali pro dané měřítko

pohybů atmosféry bude zjednodušení modelu atmosféry nepodstatné.

Hydrostatický model atmosféry a princip jeho numerické realizace

Vraťme se ještě k hydrostatickému modelu. Abychom pochopili, jak funguje model

s hydrostatickou aproximací, nestačí si jen prohlédnout rovnice modelu, je dobré se podívat i

na postup při integraci modelu, který situaci zcela objasní. Časová integrace takového modelu

je založena na časové extrapolaci následujících dvou polí:

Pole rozložení hmoty atmosféry, tedy termobarického pole, je popsáno v 𝜎-systému,

(obdobná situace nastává i v hybridním 휂-systému) prognostickými proměnnými

třírozměrným polem teploty a tlakem označovaným 𝑝𝑠 na orografické ploše, jejíž nadmořská

výška a tedy i geopotenciál je znám. Tím je nepřímo dáno také pole geopotenciálu, které

potřebujeme k výpočtu horizontálního gradientu tlaku. Druhým je pole proudění dané polem

horizontálního větru.

Pole proudění je tedy určeno třírozměrným polem horizontálního větru, které je dáno

složkami horizontální rychlosti (𝑢, 𝑣). Vertikální rychlost zde není přímo zadána.

Prognostické proměnné, které nesou celou historii vývoje atmosféry, jsou v hydrostatickém

modelu tedy: horizontální složky rychlosti větru u, v, absolutní teplota T, a tlak na orografické

ploše 𝑝𝑠 (tlak na povrchu Země).

Postup časové extrapolace v hydrostatickém modelu integrovaného explicitním schématem je

v 𝜎-systému, obdobně i v hybridním 휂-systému následující:

1. Z rovnice kontinuity postupem popsaným v dodatku z divergence horizontálního větru

vypočteme vertikální rychlost v 𝜎-systému a časovou změnu přízemního tlaku 𝑝𝑠,

tedy předpověď přízemního tlaku. (Obdobně v 휂-systému).

2. Nyní máme již kompletní sadu hodnot proměnných potřebných pro explicitní časovou

extrapolaci. Třírozměrná pole: termobarické pole, složky horizontálního větru a

vypočtené složky zobecněné vertikální rychlosti. Z prostorově aproximovaných

řídících rovnic pak vypočteme složky horizontálního větru, absolutní teplotu a

přízemní tlak v následujícím časovém kroku.

3. Integrací hydrostatické rovnice ve tvaru 𝜕Φ 𝜕𝑙𝑛𝜎 = −𝑅𝑇 ⁄ po vertikále, tedy podle 𝜎-

souřadnice z pole teploty a počáteční podmínky, která je dána tím, že známe

geopotenciál Φ pro 𝜎 = 1, tedy povrchu orografické plochy, vypočteme celé

třírozměrné pole geopotenciálu Φ. (V 휂-systému integrujeme obdobně rovnici

230

𝜕Φ 𝜕𝑙𝑛𝑝 = −𝑅𝑇 ⁄ od p=𝑝𝑠). Tím máme vypočteny hodnoty popisující kompletní

termobarické pole v následujícím časovém kroku. Hodnoty geopotenciálu pak

potřebujeme pro výpočet horizontálního gradientu tlaku pro další integrační krok.

4. Pomocí pole rychlosti větru můžeme z rovnice kontinuity vodní páry, nebo jiných

příměsí v atmosféře vypočítat jejich hodnoty po advekci.

Pro časovou extrapolaci je možné použít například explicitní schéma s centrální diferencí

podle času, tedy tak zvané obkročné schéma (angl. leapfrog scheme).

Z uvedeného postupu je jasně vidět, že rovnice hybnosti ve vertikálním směru, která je

v hydrostatickém modelu redukována na hydrostatickou rovnici, se v modelu používá pouze

pro výpočet geopotenciálu v následujícím časovém kroku. Touto integrací je zaručeno, že

v každém bodě v atmosféře je síla vertikálního gradientu tlaku zcela přesně v rovnováze se

silou zemské tíže. Setrvačnost hmoty atmosféry ve vertikálním směru se tedy vůbec

neuvažuje. Model v hydrostatickém přiblížení bych osobně charakterizoval jako kvasi-

horizontální. Poznamenejme ještě, že vliv ohřevu atmosféry, který je dán parametrizacemi

pravé strany termodynamické rovnice mění teplotu a geopotenciál. Výsledek tohoto přítoku

nebo odtoku tepelné energie se projeví až v následujícím časovém kroku změnou rychlosti

horizontálního větru. Podrobný popis integrace hydrostatického modelu zde uvádíme

v dodatku.

Závěrem můžeme říci, že formulace hydrostatických modelů je v současné době

ustálená. Základem formulace je p-systém souřadnic, ze kterého vycházejí používané systémy

vertikální souřadnice jak klasický Phillipsův 𝜎-systém, tak jeho varianta se stropem modelu

v konečné výšce, tak i jeho zobecnění, hybridní 휂-sytém. Všimněme si, jakou výhodu má,

použijeme-li jako výchozí p-systém. Tato výhoda spočívá v tom, že oblast integrace modelu

tvoří interval 𝑝 ∈ (0, 𝑝𝑠), což je interval vzhledem k proměnné p konečné délky. V obou

systémech kopírující terén, klasickém Phillipsově 𝜎-systému i v hybridním 휂-sytému je to

interval (0,1). Aby interval po vertikále byl konečné délky v z-systému, což je pro

numerickou realizaci nutné, musí končit v konečné výšce 𝑧 = 𝑧𝑇, která tvoří strop modelu.

Klademe-li na stropu modelu vertikální rychlost w rovnu nule, strop modelu tvoří

neprostupnou hranici a nastává na ní odraz vln. Horní okrajová podmínka pak způsobuje

určité problémy.

14.3. Nehydrostatické modely plně stlačitelné atmosféry

V posledních třiceti letech začal postupně vzrůstat zájem o modelování

atmosférických dějů mezoměřítka, což umožnil vývoj vysoce výkonných počítačů. Tyto

meteorologické děje jsou charakterizovány svými relativně menšími rozměry i kratším

časovým trváním. Pro výpočet potřebují tedy jemnější sítě. Modely, které simulují děje

mezoměřítka jsou většinou typu LAM, tedy počítány na omezené oblasti a pro výpočet

potřebují předpověď z globálních předpovědních modelů v zónách u bočních hranic výpočetní

oblasti a obvykle také počáteční podmínky. Pro předpověď mezoměřítkových dějů, mezi něž

patří zejména děje s vertikální rychlostí třídy II. Matveev [17], zahrnující cirkulaci vzduchu

v horách, nemůžeme již pro předpověď jejich vývoje používat hydrostatické modely. Proto

pro nehydrostatické modely vznikl v současné době větší zájem. Realizace nehydrostatických

231

modelů pro provozní předpověď počasí naráží na dva problémy. Jeden problém je spojen se

správnou formulací rovnic v oblasti hor a druhým je efektivnost integrace nehydrostatického

modelu, neboť model popisuje i šíření velmi rychlých zvukových vln a to i ve vertikálním

směru, kde má síť modelu nejkratší krok. Vertikální délka kroku je přibližně až o dva řády

kratší, než krok sítě horizontální. Proto se modely často vyhýbají simulaci jevů třídy II

zahrnující přesnou simulaci pohybu vzduchu přes horské masivy a jejich nehydrostatické

modely zahrnují konvekci do modelů jako perturbaci termodynamických proměnných od

základního stavu splňujícího hydrostatickou rovnici. Zahrnují do předpovědi tedy vertikální

pohyby třídy I.

Formulace systémů souřadnic používaných pro formulaci modelů

v meteorologii

Formulace souřadných systémů používaných v meteorologických modelech vychází

z tak zvaných „Tradičních aproximací“, kterými jsme se podrobně zabývali v kapitole 4.

Hlavní zjednodušení této aproximace vychází z faktu, že atmosféra na zemském povrchu je

jen tenkou vrstvou vzhledem k poloměru Země, a proto můžeme svislé přímky směřující do

středu Země ve směru zemské tíže považovat v této tenké vrstvě, kterou tvoří atmosféra, za

rovnoběžné. Základní systém tří souřadnic používaných v meteorologii, tak zvaný z-systém

můžeme proto zvolit následovně. Tvoří jej ortogonální systém souřadnic x, y v rovině mapy a

souřadnice z, kolmá k rovině mapy. Rovinu mapy považujeme také za hladinu moře.

Horizontálně tvoří oblast výpočtu obvykle obdélník se stranami rovnoběžnými s osami

souřadnic x, y. Souřadnice z je tedy výškou nad hladinou moře. Vzhledem k zakřivení

povrchu Země jsou skutečné vzdálenosti mezi body na mapě pak dány 1. diferenciální formou

použitého zobrazení zemského povrchu. Koeficienty této diferenciální formy jsou v tomto

případě nezávislé na nadmořské výšce. Pro konformní mapu je používáno obvykle zkreslení

této mapy. Transformace řídících rovnic do systému souřadnic daného zobrazení je popsána

v kapitole 6. Ze základního z-systému vertikální souřadnice vycházejí přímo některé

nehydrostatické modely. V dynamické meteorologii i pro modelování se v meteorologii

používá častěji p-systém souřadnic. Místo výšky z nad hladinou moře, se jako vertikální

souřadnice používá tlak p, který je vzhledem k původní souřadnici z monotónní. Povrch Země

tvoří tak zvanou orografickou plochu, která je dána výškou povrchu Země nad hladinou

moře. Tato skutečnost způsobuje pro realizaci modelů poměrně značné problémy. Pro

numerickou realizaci se ukázalo, že nejschůdnější cestou je zvolit systém křivočarých

souřadnic tak, aby oblast výpočtu byla omezena souřadnicovými plochami. To platí zejména

pro povrch Země. Tento problém první vyřešil již v roce 1959 Norman Phillips [20]

zavedením svého 𝜎-systému vertikální souřadnice 𝜎 = 𝑝 𝑝𝑠⁄ . Tím ovšem zavedl první systém

vertikální souřadnice kopírující terén.

Nehydrostatické modely v systému souřadnic kopírujících terén.

Nyní se zastavme u jednoho zásadního problému systémů souřadnic kopírujících

terén. Transformace navržená Normanem Phillipsem do 𝜎-systému je určena pro modely

synoptického měřítka, ve kterých je s velkou přesností splněna hydrostatická rovnice. Totéž

232

ovšem platí o článku Akiry Kasahary [12], který byl základem kapitoly 7. „O transformaci

rovnic do systému obecné vertikální s-souřadnice“, který je základním článkem o

transformacích řídících rovnic mezi systémy souřadnic pro modely s hydrostatickou

rovnováhou. V článku je vysloveně uvedeno, že transformace jsou provedeny za předpokladu

hydrostatické rovnováhy v atmosféře, i když toto omezení zde není v podstatě zdůvodněno.

Důvod je však jasný. Je to tím, že v tomto případě na částice atmosféry nepůsobí ve

vertikálním směru Archimédovy síly zrychlení, neboť gradient tlaku je stále v přesné

rovnováze se silou zemské tíže. Vektor zrychlení působí na vzduchové částice pouze v

horizontálním směru. Proto stačí studovat pouze změnu horizontální rychlosti vlivem

horizontálního gradientu tlaku. Mohli bychom také říci, že pohyb celé atmosféry je poháněn

pouze horizontálním gradientem tlaku a ostatní pohyb vyplývá z rovnice kontinuity, tedy

zákona zachování hmoty atmosféry. Není-li v atmosféře splněna hydrostatická rovnice, což

nastává právě v nehydrostatickém modelu, pak vektor síly, který působí na vzduchové částice,

neleží obecně v horizontální rovině a není tedy totožný se svou projekcí do horizontální

roviny.

Všimněme si, že transformace rovnic hydrostatického modelu používá zjednodušený

systém křivočarých souřadnic. Skalární proměnné jsou při této transformaci definovány

správně v bodech určených křivočarými souřadnicemi, zatímco vektorové veličiny - vektory

rychlosti a zrychlení, protože leží v horizontální rovině, jsou definovány přímo v původním z-

systému, tedy pomocí ortogonálního systému souřadnic v rovině mapy. Hydrostatická

aproximace tedy dovoluje místo studia vektorů v třírozměrném prostoru uvažovat pouze

projekce do horizontální roviny. Tím, že složky větru a síly které způsobují změnu hybnosti

vzduchových hmot, promítneme do horizontální roviny, eliminujeme vliv vertikální složky sil

na změnu horizontální rychlosti pohybu atmosféry i změnu vertikální rychlosti vlivem

horizontálního zrychlení na svazích hor.

Transformace do s-systému popsaná Kasaharou má zároveň dvě zjednodušení. Jedno

odpovídá tomu, že ve vertikálním směru na částice nepůsobí žádná síla zrychlení, což

odpovídá modelům s hydrostatickou aproximací. To je tedy v pořádku. Druhé zjednodušení

spočívá v tom, že pro transformaci vektorů je chápána orografická plocha, a tedy i

souřadnicové plochy křivočarých souřadnic, jako roviny kolmé k ose z. V tomto případě je

zakřivení povrchu Země popsáno správně 1. diferenciální formou sférické plochy a

transformace rovnic je tedy v pořádku. To znamená, že by se tato orografická plocha neměla

příliš lišit od roviny kolmé k ose z, aby bylo možné takto vzniklý systém souřadnic považovat

za ortogonální. To je ovšem splněno přibližně pouze pro modely synoptického měřítka, kde

horizontální krok sítě je vzhledem k výšce hor relativně velký a svahy hor, popsané takovou

sítí, svírají s horizontální rovinou jen malé úhly. Pro modely třídy III. jsou tyto podmínky

přibližně splněny a zjednodušení použité pro systém kopírující terén je akceptovatelný.

Pro modely mezosynoptického měřítka, modely třídy II. ke kterým patří popis pohybů

vznikajících z nehomogennosti zemského povrchu, pohyb vzduchu vzhledem k svahům hor,

cirkulace v horách-dolinách je toto zjednodušení těžko akceptovatelné. Pro dostatečně jemnou

síť se popis hor v modelu blíží k realitě a svahy hor jsou již dostatečně strmé, aby nemohly

být považovány v podstatě za vodorovné. Při pohybu vzduchu vynuceném pohořími vznikají

na svazích hor síly ve vertikálním směru v závislosti na stabilitě teplotního zvrstvení, což jsou

rovněž vztlakové síly Archimédova typu. Tyto síly tedy narušují podmínku, že atmosféra je

233

v hydrostatické rovnováze. Model mezosynoptického měřítka s reálnou orografií by měl být

proto nehydrostatický. Síly působící ve vertikálním směru mají samozřejmě vliv i na

horizontální pohyby atmosféry, tedy na horizontální rychlost větru. Proto není možné použít

zjednodušení, kde místo vektorů v třírozměrném prostoru používáme pouze jejich průměty do

horizontální roviny. Pro nehydrostatické modely není tedy možné zjednodušit transformaci do

křivočarých souřadnic, jak je používána pro modely s hydrostatickou aproximací popsanou

Kasaharou [12]. V tomto případě je správné postupovat striktně podle v souladu s teorií

křivočarých souřadnic jak je prezentována v diferenciální geometrii a tenzorovém počtu.

Rozdíl mezi zrychlením vzduchu daným třídimenzionálním vektorem síly

působící na vzduchové částice a jeho zjednodušením v hydrostatickém

modelu

Pro pochopení, jaký je rozdíl mezi fungováním hydrostatického a nehydrostatického

modelu v hornatém terénu, si uvedeme jednoduchý případ. Tento příklad nám ukazuje

důsledky nesprávného zjednodušení křivočarého systému pro nehydrostatické modely.

Zjednodušení, používané v hydrostatických modelech, ale i v některých nehydrostatických

modelech, má za důsledek, že třírozměrný vektor síly F způsobující zrychlení vzduchových

částic je rozdělen na součet dvou vektorů a to na projekci vektoru F do vodorovné roviny,

která mění horizontální rychlost větru a na nezávislou svislou složku, ta mění opět pouze

vertikální rychlost a nemá vliv na horizontální složku větru. Zjednodušení lze udělat ve dvou

případech. Jednak když výpočet provádíme nad rovinným terénem, to znamená v modelu bez

orografie, nebo v hydrostatickém modelu, kde ve vertikálním směru na částice vzduchu

nepůsobí žádná síla vertikálního zrychlení respektive zpomalení, a svahy hor svírají

s horizontální rovinou jen malé úhly. Pro nehydrostatické modely s plně stlačitelnou

atmosférou, které mají správně popsat dynamiku atmosféry zejména vliv pohoří na proudění,

kde je pro popis orografie používán systém křivočarých souřadnic kopírujících terén, je

zjednodušení používané v hydrostatických modelech chybou.

Abychom si existenci tohoto problému ukázali, studujme pohyb částice pohybující se

podél orografické plochy. V tomto případě této skutečnosti odpovídá teorie pohybu bodu

vázaného na plochu. Třírozměrný vektor síly F v bodu P daný rozdílem gradientu tlaku a síly

zemské tíže zde musíme rozložit na součet dvou vektorů na skutečnou sílu působící

způsobující změnu rychlosti částic a na vhodnou vazbovou sílu G, která je kolmá k tečné

rovině orografické plochy a její vliv způsobuje, že částice kopíruje povrch plochy. Dostaneme

pak skutečnou sílu S, která mění velikost a směr třírozměrného vektoru rychlosti větru V.

Průmětem vektoru S do horizontální roviny, pak obdržíme skutečnou sílu měnící horizontální

vektor větru, horizontální složka této síly dává horizontální zrychlení částice jednotkové

hmotnosti, kterou označíme 𝑁 zatímco složku v hydrostatickém modelu označme 𝑯 . Tato

skutečnost je znázorněna na obrázku, kde rozklad vektoru síly F na složky G a S je znázorněn

ve vertikální rovině. Z obrázku 14.3.1 je vidět rozdíl mezi horizontálním zrychlením

počítaném zjednodušeným způsobem stejným jako je používán v hydrostatickém

modelu hydrostatickém a při správné formulaci nehydrostatického modelu.

234

Obrázek 14.3.1. Rozklad vektoru síly působící na částice vzduchu na složky.

Na matematický popis tohoto procesu je ovšem třeba použít metodu tenzorového

počtu Mc. Connell [18]. Problém spočívá v tom, že v křivočarých souřadnicích kromě polohy

bodu potřebujeme v každém bodě daném souřadnicemi určit také souřadnice vektorů. Ty jsou

určeny vzhledem k jednotkovým tečným vektorům k parametrickým křivkám křivočarého

systému souřadnic, tento systém těchto tří vektorů, vzhledem ke kterému určujeme souřadnice

vektorů, se nazývá repér. Jednotkové vektory tohoto repéru májí v každém bodě určeným

křivočarými souřadnicemi obecně jiný směr. Vztah mezi souřadnicemi vektorů v různých

bodech je dán afinní konexí. Ta je formulována pomocí Christoffelových symbolů a dá se

proto vyjádřit pomocí koeficientů první základní formy plochy a jejich prvních parciálních

derivací Budinský-Kepr [3]. Volba systému křivočarých souřadnic kopírujících terén je

obvykle následující. Souřadnice z je výškou nad hladinou moře, tedy nad rovinou mapy.

povrch Země tvořený orografickou plochou je zároveň souřadnicovou plochou křivočarého

systému a ostatní souřadnicové plochy jsou odvozeny na základě definice nové zobecněné

vertikální souřadnice a výšky orografické plochy nad rovinou mapy.

Obdobnou úvahu si můžeme představit i v každém bodě oblasti výpočtu, kde můžeme

uvažovat souřadnicovou plochu která je ve stejném směru jako orografická plocha a v tomto

bodě definovat repér, který se skládá s jednotkových tečných vektorů k parametrickým

křivkám. Tyto vektory nám definují souřadnicový systém pro určení kontravariantních

souřadnic vektorů. Afinní konexe nám pak dává vztahy mezi kontravariantními souřadnicemi

vektorů v různých bodech prostoru určovaných křivočarými souřadnicemi. Proto správná

formulace nehydrostatického modelu v terénu s orografií je relativně složitá a bez znalosti

diferenciální geometrie se proto neobejde. Matematická formulace rovnic nehydrostatického

modelu v křivočarých souřadnicích není problémem. Diferenciální geometrie a tenzorový

235

počet nám poskytuje metodiku k jeho řešení Mc. Connell [18], Raševskij [22]. Hlavním

problém je tedy spíše realizace modelu pomocí numerické matematiky. Explicitní schémata

pro řešení by byla neefektivní, neboť by pro časovou integraci z hlediska kritéria stability

výpočtu vyžadovala velmi krátké časové kroky, řádově zlomky vteřin. Při použití

semiimplicitních schémat nedostáváme v tomto případě tak jako je tomu v hydrostatických

modelech separabilní systémy rovnic, které se dají řešit redukcí dimense pomocí spekter

příslušných operátorů. Nehydrostatické modely se bohužel takto efektivně řešit nedají.

Spektrální technika pro řešení rovnic těchto nehydrostatických modelů je také vyloučena, je to

proto, že orografie modifikuje 1. diferenciální formu plochy povrchu Země a není proto

možné použít obvyklou spektrální reprezentaci polí, která se používá v horizontálním směru.

Vzniklé třídimensionální systémy implicitních částí modelu by bylo možné asi řešit

efektivněji multigridními iteračními metodami. Vývoj takového modelu, formulace, navržení

a naprogramování numerického řešení a jeho vyzkoušení je velmi náročné. Jsou k tomu třeba

znalosti z více oborů a je tu také téměř nepředstavitelná práce s realizací takového projektu.

Některé nehydrostatické modely testované a používané do současnosti

Ponecháme stranou některé starší nehydrostatické modely počítané v z-systému

souřadnic nad rovinným terénem, ať už to byly simulace některých jevů v atmosféře, nebo i

předpověď počasí v Británii a budeme se věnovat raději modelům zahrnující předpověď také

nad oblastí pohoří.

Pravděpodobně prvním modelem, který byl vyvinut na základě tenzorového počtu, s

exaktní transformací Navier-Stokesových rovnic do křivočarého systému souřadnic [8] a také

numerické řešení rovnic tohoto modelu [9] publikovali Gal-Chen Tzvi, Sommerville Richard

v roce 1975. Numerické řešení bylo ovšem testováno na prostorově dvoudimensionálním

modelu ve svislé rovině a navíc se Navier-Stokesovy rovnice týkají proudění nestlačitelné

tekutiny. Pro meteorologii proto měla práce jen omezený význam.

Na model autorů Gal-Chen Tzvi a Richarda Sommerville navázal v roce 1977 Terry L.

Clark [5] s realizací nehydrostatického modelu kopírujícího terén. V modelu byla použita

anelastická aproximace, která filtrovala zvukové vlny. Pro model s topografií byla použita

transformace souřadnic kopírující terén 𝑧 = 𝐻 (𝑧 − 𝑧𝑆) (𝐻 − 𝑧𝑆)⁄ , kde H je výška stropu

modelu a 𝑧𝑆(𝑥, 𝑦) je výška orografie. Varianta s topografií je řešena jako perturbace

termodynamických proměnných od základního stavu. Aplikace modelu je zde rovněž pouze

dvoudimensionální.

Ve vysokoškolské učenici se tematika exaktní transformace rovnic meteorologických

modelů na základě tenzorového počtu objevila v Pielkeho knize [21], ale konkrétní formulace

a řešení rovnic takového modelu zde není. Je zřejmé, jak je tato věc bez zjednodušení obtížná.

Problematikou normálních módů pro globální nehydrostatický model nad rovinným terénem

se zabýval také Akira Kasahara [13], využití globálních modelů v praxi vidí ovšem až ve

vzdálenější budoucnosti.

Nyní si uvedeme některé významné a téměř populární modely, které jsou používány

v praxi pro různé zejména výzkumné účely. Charakteristickým rysem těchto modelů je, že

236

vycházejí z hydrostatického modelu a tento jednodušší model je také používán pro různé

výpočty. Nehydrostatická verse je jakýmsi rozšířením této hydrostatické verse modelu.

Jsou to následující modely:

Americký model MM5.

Tento model zahrnuje dvě verse:

1. Hydrostatický model

Který je formulován v -systému se stropem v tlakové hladině tp , tedy vertikální

souřadnice je definována vztahem

ts

t

pp

pp

(14.3.1)

kde tyxps ,, je tlak na orografické ploše. Pět rovnic popisující vývoj atmosféry je

všeobecně známý.

2. Nehydrostatický model

Je formulován jako perturbace od konstantního referenčního stavu následovně:

tzyxpzptzyxp ,,,,,, 0

tzyxTzTtzyxT ,,,',,, 0 (14.3.2)

tzyxztzyx ,,,,,, 0

Profil teploty referenčního stavu je analytickou funkcí nadmořské výšky tak že

představuje střední hodnoty teplotního profilu v troposféře. Referenční stav se zřejmě

předpokládá v hydrostatické rovnováze. Splňuje tedy hydrostatickou rovnici.

Vertikální -souřadnice je definována zcela pomocí referenčního tlaku.

ts

t

pp

pp

0 (14.3.3)

kde sp a tp je tlak na povrchu Země (na orografické ploše) a stropu modelu

referenčního stavu atmosféry a je nezávislý na čase. Tlak tp je konstanta. Celkový

tlak v uzlových bodech je pak dán vztahem

pppp t * (14.3.4)

kde

ts pyxpyxp ,,* (14.3.5)

Třídimenzionální perturbace tlaku p je předpovídaná hodnota (prognostická

proměnná).

Formulace rovnic modelu je podle práce: Dudhia, J., 1993 [7] a v rozsáhlé 117

stránkové Technické notě z roku 1994. Velká část je zde věnována také

parametrizacím.

Lapriseova vertikální souřadnice „hydrostatický tlak“

Použití tlaku jako vertikální souřadnice pro formulaci rovnic nehydrostatických

modelů pravděpodobně vyplynul z myšlenky, že pak by tato formulace mohla být podobná

237

formulaci rovnic hydrostatických modelů. Skutečný tlak se k tomu však nehodí, protože se

mění v závislosti na vertikálních pohybech nehydrostatické atmosféry. Proto kanadský

meteorolog René Laprise v článku [14] navrhl, aby v tomto případě byl jako vertikální

souřadnice použit hydrostatický tlak i v nehydrostatickém modelu. Formulaci hydrostatického

tlaku v atmosféře, která není v hydrostatické rovnováze, si nyní uvedeme.

Pro zavedení souřadnice, kterou Laprise [14] nazval hydrostatický tlak, vyjdeme

z rovnic v obecném s-systému vertikální souřadnice Kapitoly 7. V tomto systému má rovnice

kontinuity tvar (7.1.33) kterou pro přehlednost opakujeme

0

s

zs

ss

z

s

z

ts

s

v (14.3.6)

Rovnici hydrostatické rovnováhy (7.1.24) můžeme v s-systému psát ve tvaru

gs

p

z

s

z

p

(14.3.7)

Přejdeme-li k inversní funkci, máme je podle (7.1.25)

s

p

s

zg

s

(14.3.8)

Hilding Sundqvist [24] zavádí novou proměnnou, kterou označuje m vztahem, která je

definována hydrostatickou rovnicí (7.1.36)

ms

p

s

zg

s

(14.3.9)

Veličinu m můžeme interpretovat jako přírůstek tlaku, tedy i jako přírůstek hmotnosti v

závislosti na výšce v s-systému. Při tomto označení můžeme rovnici kontinuity psát ve tvaru

0

sm

sm

t

ms

s

v (14.3.10)

Chceme-li zavésti souřadnici hydrostatický tlak, musíme si všimnout, že v p-systému nemá

rovnice kontinuity člen s časovou derivací. Je to proto, že stejný objem v p-systému má vždy

stejnou hmotnost. Důsledkem toho je, že hodnota m je konstantní, a rovnice kontinuity po

vydělení konstantou m má tvar

∇𝑠𝐕 +𝜕

𝜕𝑠= 0

(14.3.11)

Zvolíme-li za obecnou vertikální souřadnici s, hydrostatický tlak, který označme π, má

v novém označení rovnice kontinuity tvar

∇𝜋𝐕 +𝜕

𝜕𝜋= 0 𝑘𝑑𝑒 =

𝑑𝜋

𝑑𝑡

(14.3.12)

Při tomto novém označení je podle (14.3.7)

𝜕𝜋

𝜕𝑧= −𝑔𝜌

(13.2.13)

Integrací této rovnice dostáváme hodnoty souřadnice π

238

𝜋(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜋𝑇 + ∫ 𝑔 ∙ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧´, 𝑡)𝑑𝑧´

𝑧𝑇

𝑧

(14.3.14)

kde 𝜋𝑇 ≡ 𝜋(𝑥, 𝑦, 𝑧𝑇 , 𝑡)

Geopotenciál pak počítáme z hydrostatické rovnice

𝜕Φ

𝜕𝜋= −

1

𝜌= −𝛼

(14.3.15)

Studujeme, jak je tato souřadnice definována. Objektivní analyza nám poskytuje data, která

jsou v hydrostatické rovnováze. Je to dáno tím, že odchylky stavu atmosféry od hydrostatické

rovnováhy jsou v synoptickém měřítku velmi malé a navíc je neumíme v současnosti změřit.

Dalším důvodem, proč pro časovou integraci hydrostatického, ale i nehydrostatického

modelu, máme k dispozici pouze počáteční podmínky, které jsou v hydrostatické rovnováze,

je dáno tím, že všechny manipulace se vstupními daty, zejména transformace do systému

souřadnic, který je použit pro integraci modelu, jsou prováděny pomocí hydrostatické rovnice.

Počáteční podmínky pro integraci nehydrostatikého jsou tedy v hydrostatické rovnováze.

Vzájemně jednoznačný vztah mezi geopotenciálem Φ a hustotou 𝜌 (nebo měrným objemem

𝛼) dostaneme integrací hydrostatické rovnice. Stavová rovnice nám pak dává vztah mezi

polem geopotenciálu a absolutní teplotou. Abychom mohli hydrostatickou rovnici integrovat,

potřebujeme znát právě jednu integrační podmínku, tedy dvojici příslušných hodnot Φ ↔ π,

respektive 𝑧 ↔ 𝜋. Tím je pak dána celková funkční závislost těchto dvou hodnot. Je také

jasné, že zvolíme-li jednu dvojici veličin Φ ↔ π, pak každá jiná dvojice již definována a bude

funkcí souřadnic x, y i času t. V každém systému vertikálních souřadnic je oblast modelu

omezena horní a dolní hranicí. Tyto hranice jsou v našem případě dány konstantními

hodnotami nezývisle proměnné hydrostatického tlaku 𝜋𝑇 a 𝜋𝑠 , tyto hodnoty určijí také

souřadnicové plochy omezující oblast integrace a jsou pro vzduch nepropustné. To znamená,

že normálová složka rychlosti by zde měla být rovna nule. Pro definování vertikální

souřadnice hydrostatický tlak je ovšem rozhodující dvojicí výška orografie, která je dána

povrchem Země a je v čase konstantní a k ní příslušný hydrostatický tlak na povrchu Země,

který je i funkcí času. Na základě znalosti měrného objemu 𝛼 pak integrací dostaneme celý

průběh geopotenciálu jakožto souřadnice hydrostatický tlak 휂 a tedy i výšku stropu modelu.

Podle mne jsou vztahy hydrostatické rovnice v z-systému (14.3.13) a (14.2.14) sice

správné, avšak z výpočetního hlediska pro model nepoužitelné. Průběh hustoty vzhledem

k výšce v diskrétních počátečních datech máme k dispozici obvykle v p-systému nebo od něj

odvozeném hybridním systému a nikoliv jako funkci z. Protože vstupní data jsou

hydrostatická, tak známe hydrostatický tlak na povrchu země vztahy (14.3.13) a (14.2.14) ani

nepotřebujeme.

Studujme nyní souvislost Laprisem použitého hybridního 휂-systému s obvyklým 𝜎-

systémem se stropem modelu v konečné výšce, tedy nenulovým tlakem. Hybridní systém je

definován implicitně vztahem

𝜋(𝑥, 𝑦, 휂, 𝑡) = 𝐴(휂) + 𝐵(휂)𝜋𝑠(𝑥, 𝑦, 휂, 𝑡) (14.3.16)

kde 𝜋𝑠 je hydrostatický tlak na zemském povrchu a jednotkového průřezu je to tedy váha

svislého sloupce působící na povrch Země. V hydrostatickém modelu je tedy roven

239

skutečnému přízemnímu tlaku 𝑝𝑠. Konstantní hodnoty 휂𝑇 , 휂𝑠 souřadnice 휂 nám ve vertikálním

směru vymezují oblast výpočtu, souřadnice 휂 se tedy pohybuje v intervalu (휂𝑇 , 휂𝑠). Funkce

𝐴(휂) a 𝐵(휂) volíme tak, aby souřadnicová plocha 휂 = 휂𝑠 kopírovala terén, tedy aby na této

ploše byl hydrostatický tlak roven 𝜋 = 𝜋𝑠. Proto na povrchu orografické plochy musí být

splněno

𝐴(휂𝑠) = 0 , 𝐵(휂𝑠) = 1 (14.3.17)

Horní hranici oblasti tvoří plocha 휂 = 휂𝑇 a A a B proto musí splňovat podmínku

𝐴(휂𝑇) = 𝜋𝑇 ≥ 0, 𝐵(휂𝑇) = 0 (14.3.18)

V modelu se pak používají jednoduché okrajové podmínky založené na zákonu

zachování hmoty atmosféry. Používají se pak kinematické okrajové podmínky

휂(휂𝑠) = 0 a 휂(휂𝑇 = 0) (14.3.19)

Časová změna přízemního hydrostatického tlaku se počítá podle Lapriseho článku [14] ze

vztahu (45)

𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛𝜋𝑠 +

1

𝜋𝑠∇ ∙ ∫ 𝐕

𝜕𝜋

𝜕휂′𝑑휂′ = 0

𝜂𝑠

𝜂𝑇

(14.3.20)

obdobně jako v hydrostatickém modelu, kde V je horizontální vektor větru. Tento postup je

vysvětlen v dodatku této kapitoly.

Ukážeme si nyní souvislost hybridního systému se 𝜎-systémem se stropem, který je

používán právě pro nehydrostatické modely, což je zřejmě spojeno s vlastnostmi plně

stlačitelné atmosféry. Ta se vlivem tlaku má možnost se rozpínat a není tedy možné, aby na

horní hranici atmosféry byl tlak rovný nule. Nulový tlak na stropu modelu je možný pouze u

hydrostatických modelů, kde je atmosféra stále v hydrostatické rovnováze a nemá se tedy

vzduch tendenci roztahovat. Souvisí to také úzce s formulací horní okrajové podmínky, která

je chceme-li potlačit odrazy vln od stropu modelu, pro nehydrostatické modely problémem.

Sigma systém se stropem je definován obvyklým vztahem

𝜎 = (𝑝 − 𝑝𝑇) (𝑝𝑠 − 𝑝𝑇)⁄ (14.3.20)

Kde 𝑝𝑠 je tlak na zemském povrchu a 𝑝𝑇 je tlak na stropu modelu. Souřadnice 𝜎 pak leží

v intervalu (0,1). Chceme-li zapsat tento systém jako speciální případ hybridního systému,

vyjádříme si z předchozí definice tlak, jako funkci souřadnice 𝜎. Takto je vlastně implicitně

definována souřadnice 휂 hybridního modelu. Máme tedy

𝑝 = (1 − 𝜎)𝑝𝑇 + 𝜎𝑝𝑠 (14.3.21)

Odtud je zřejmé, že tento systém můžeme zapsat ve tvaru

𝑝 = 𝐴(𝜎) + 𝐵(𝜎)𝑝𝑠, kde 𝐴(𝜎) = (1 − 𝜎), 𝐵(𝜎) = 𝜎 (14.3.22)

Chceme-li tento vztah ve tvaru souřadnice 휂, kde tato souřadnice leží v intervalu (휂𝑇 , 휂𝑠),

Pak stačí provésti lineární transformaci proměnné 𝜎za novou souřadnici 휂 podle vztahu

𝜎 = (휂 − 휂𝑇) (휂𝑠 − 휂𝑇)⁄ (14.3.23)

To považuji za zbytečné, protože souřadnice 휂 by i v obecném případě hybridního systému

mohla probíhat rovněž interval (0,1). Původní 𝜎-systém Normana Phillipse měl strop modelu

v nekonečnu, což je ekvivalentní s nulovým tlakem na stropu modelu, tedy pro 𝑝𝑇 = 0.

Z fyzikálního hlediska je mezi modelem se stropem, ve kterém je na stropu modelu nenulový

tlak a modelem, kde na stropu modelu je tlak roven nule značný rozdíl.

240

Po definování souřadnice hydrostatický tlak René Laprise [14] provádí transformaci

rovnic modelu do systému kopírujícího terén podle článku Akiry Kasahary [12]. V tomto

případě však atmosféra není v hydrostatické rovnováze, což transformace popsaná v článku

Akiry Kasahary předpokládá. Pomocí obecné teorie transformací hydrostatických modelů

do s- systému, pak přepisuje rovnice do hybridního 𝜼-sytému. To ovšem pro modely

v křivočarých souřadnicích správné není.

V Laprisově pojetí je nehydrostatiký model počítán jako perturbace pro odchylky od

hydrostatického stavu. Vývoj tohoto hydrostatického stavu je počítán obdobně, jako

předpověď hydrostatickéhomodelu. Takový zjednodušený přístup, kdy je nehydrostatický

model počítán jako odchylka od určitého základního stavu, používají i některé jiné modely,

zejména pro výpočty z ekologické oblasti.

Americký model Global Einvironmental Multiascale (GEM)

Tento model je zaměřen na ekologické problémy a byl vytvořen za velké spolupráce

více organizací a publikován Americkou meteorologickou společností ve třech částích. Třetí

část je pak věnována nehydrostatické formulaci modelu. Vertikální souřadnice 휂 kopírující

terén vychází z Lapriseovy souřadnice „hydrostatický tlak“ označované písmenem 𝜋. Model

je se stropem, který je definován konstantním tlakem 휂𝑇 . Hydrostatický tlak na orografické

ploše je označen 휂𝑆. Vertikální souřadnice je pak definována vztahem

휂 = (𝜋 − 𝜋𝑇) (𝜋𝑆 − 𝜋𝑇)⁄ . Model je diferenční a rovnice pro změnu hybnosti jsou

formulovány pro horizontální složky větru obdobně jako v hydrostatickém modelu. Klíč pro

přepínání hydrostatické a nehydrostatické verse modelu je obsažen v rovnici pro změnu

vertikální hybnosti. Skutečný celkový tlak v atmosféře je reprezentován jako perturbace

hydrostatického tlaku. Na stropu modelu jsou oba tlaky stejné a tedy konstantní. Aproximace

advekce používá semi-Lagrangeovské schéma. Nehydrostatický model je tedy v podstatě

perturbací hydrostatického modelu. Podrobný popis modelu je uveden v rozsáhle publikaci

[N4]. Nehydrostatická verse modelu je zřejmě zaměřena na řešení ekologických problémů.

Podrobný popis modelu GEM je publikován v rozsáhlé třídílné publikaci [N4] vydané

Americkou meteorologickou společností.

Nehydrostatické modely používané v současnosti se od sebe značně liší, jednak podle

toho, které jevy mají simulovat. Má-li to být předpověď na velmi jemné síti [7], nebo pro

použití v problematice životního prostředí [6], který se úspěšně používá v modelování

chemických procesů v atmosféře, nebo populární model MM5 z USA [10] pro různé účely.

Tyto vyjmenované modely používají také nejen různé systémy vertikální souřadnice, ale i

jinou aproximaci horizontální, diferenční, konečné elementy a spektrální techniku. Některé

jsou Eulerovské, některé semi-Lagrangeovské.

Integrace rovnic plně stlačitelné atmosféry spektrálního nehydrostatického modelu

ALADIN v souřadnicích kopírujících terén

V Českém hydrometeorologickém ústavu byl v druhé polovině devadesátých let dán

do provozu na nově zakoupeném Japonském počítači NEC hydrostatický spektrální model

ALADIN pro každodenní výpočet předpovědi počasí na omezené oblasti. Model byl vyvinut

241

za mezinárodní spolupráce s francouzskou meteorologickou službou s naší českou

spoluúčastí. Spektrální metoda řešení modelu je popsána v kapitolách 24, 25 a 26 této knížky.

V současné době je podle mne jakousi prestižní záležitostí významnějších meteorologických

institucí prezentovat vlastní vývoj nehydrostatických modelů. Je to samozřejmě nosné a

zajímavé téma pro další výzkum a získání nových vědeckých výsledků. Proto zřejmě Méteo

France iniciovala vývoj nehydrostatického modelu, na kterém se podílela i česká

meteoroložka Radmila Bubnová-Brožková [1], [2]. Tento model vychází z hydrostatického

modelu ALADIN. Pro svou formulaci používá Laprisevu vertikální souřadnici hydrostatický

tlak a spektrální metodu na omezené oblasti. Prognostickou veličinou v modelu je rozdíl mezi

skutečným nehydrostatickým tlakem a Laprisovým hydrostatickým tlakem. Model používá

křivočarý systém souřadnic kopírujících terén. Vertikální souřadnice 휂 je definována na

základě Laprisova hydrostatického tlaku. Transformace rovnic do křivočarého systému

souřadnic se provádí stejně jako pro hydrostatické modely podle Akiry Kasahary [12], což je

popsáno v kapitole 7. Tato transformace je převzata z Lapriseova článku [14], kde je použita

sice pro hydrostatickou souřadnici, ale atmosféra sama zůstává nehydrostatickou, nesplňuje

tedy hydrostatickou rovnici. Třírozměrný gradient tlaku je zde rozdělen na dvě nezávislé

složky vertikální a horizontální, což v křivočarém systému souřadnic není možné.

Horizontální složka gradientu tlaku je pak použita pouze pro změnu horizontálního větru.

Vertikální složka mění vertikální nehydrostatickou složku rychlosti. Časové změny

horizontálních složek větru jsou tedy počítány v podstatě podobně jako v hydrostatickém

modelu a vektory jsou místo v křivočarém systému určeny souřadnicemi v původním

výchozím z-systému souřadnic x, y v horizontální rovině. Důsledky tohoto zjednodušení jsou

následující. Model sice popisuje vertikální rychlosti způsobené tepelnou konvekcí, ale

nepopisuje správně dynamiku atmosféry v oblasti hor, tedy horizontální i vertikální rychlosti

měřítka Třídy II. podle Matveeva [17]. Takto formulovaný nehydrostatický model by zřejmě

správně pracoval nad rovinným terénem. Zjednodušení transformace do křivočarých

souřadnic, která od sebe odděluje vzájemný vliv vertikální a horizontální složky nad horským

terénem, mění tuto úlohu na separabilní a je možné použít stejný efektivní princip řešení jako

u hydrostatického modelu, tedy redukci dimense, a umožňuje také použít spektrální metodu.

Správné nezjednodušené formulace při použití křivočarých souřadnic pro svou složitost a

výpočetní náročnost se vyhýbá i řada jiných modelů. Nehydrostatickou složku formulují jako

perturbaci základního hydrostatického modelu. Tento přístup vyhovuje pro řešení různých

ekologických úloh, protože právě vertikální pohyby vyvolané konvekcí jsou schopny

modelovat přenos znečišťujících látek advekcí do vyšších vrstev atmosféry, což vertikální

rychlosti hydrostatických modelů nedovolují.

Modely pro řešení ekologických úloh a předpovědi počasí

Současná meteorologie společně s numerickou matematikou nám dává možnost

vytvářet modely vývoje atmosféry, které jsou nástrojem pro řešení dvou okruhů úloh. Je to

jednak nejstarší úloha meteorologie, kvalitní předpověď počasí. Druhým okruhem jsou úlohy

z ochrany přírodního prostředí, tedy v našem případě atmosféry. Ty se týkají zejména příměsí

v atmosféře, které způsobují změny chování atmosféry způsobené lidskou činností. Změny

chemického složení atmosféry, které mají pak vliv na radiační procesy v atmosféře, jako jsou

242

skleníkové plyny, množství ozónu ve stratosféře i další úkoly. Podívejme se nyní, jaké hlavní

úlohy řeší meteorologie i který druh modelu je vhodný pro jejich řešení.

Globální střednědobá předpověď meteorologických prvků je jednou ze základních a

nejdůležitějších úloh meteorologie. Je to proto, že nám poskytuje nejen předpověď na dobu 14

dní, ale dává nám v daném časovém okamžiku i analýzou počátečních dat pro předpověď tedy

stav atmosféry na celé Zemi. Tento stav také monitoruje, tedy ukládá jako časovou

posloupnost do speciálních velkých pamětí počítače. Tyto údaje se pak mohou použít pro

studium jevů, které se v atmosféře udály a také v klimatologii. Pro tyto výpočty jsou v denním

provozu používány globální spektrální modely s hydrostatickou aproximací. Tyto modely jsou

dovedeny do velké dokonalosti. Z hlediska vertikálních rychlostí patří do Typu III. Omezení

pro jejich další vývoj spočívá ve dvou problémech. Jedním je rychlé zmenšování efektivnosti

transformací do spektrálního prostoru a zpět zjemňujeme-li horizontální sít modelu. Druhé

omezení spočívá v tom, že pro modelování efektů měřítka třídy II vznikajících v horách je

třeba použít nehydrostatický model. To však spektrální model neumožňuje.

V současných hydrostatických modelech je vliv orografie řešen parametrizacemi tření

o zemský povrch. Vzhledem k tomu, že vektor síly tření má opačný směr, než vektor

rychlosti, nemohou tyto parametrizace i z více důvodů nahradit dynamiku nehydrostatického

modelu.

Nehydrostatické modely pro předpověď počasí popisující i jevy způsobené pohořími

třídy II. nejsou v současnosti zatím běžně k dispozici. Pro velkou obtížnost úlohy je správná

optimální formulace rovnic a jejich efektivní řešení diferenčními metodami stále ve vývoji.

Při zvyšování výkonů počítačů je však možné předpokládat, že v budoucnu i globální modely

budou nehydrostatické a budou přesněji modelovat vliv orografie na vývoj atmosféry. Pro

řešení budou používat zřejmě diferenční metody. V současnosti však žádný takový dokonalý

nehydrostatický model není v denním provozu. I v Českém hydrometeorologickém ústavu je

nyní pro předpověď počasí v provozu hydrostatická verse modelu ALADIN na velmi jemné

síti.

Nehydrostatické modely se zjednodušenou dynamikou. Jsou to modely, které se

vyhýbají problému řešení problému křivočarých souřadnic v oblasti hor. Vesměs vycházejí

z hydrostatických modelů a advekci ve vertikálním směru způsobenou zejména tepelnou

konvekcí počítají jako perturbaci základního hydrostatického stavu. Zahrnují tedy do modelu

vertikální rychlosti Třídy I., ale vyhýbají se správné formulaci vertikálních rychlostí třídy II.

a jejich vlivu i na horizontální proudění. Tyto modely jsou používány zejména pro výpočty

z oblasti ekologie. Pro vlastní předpověď počasí podle mne velký význam nemají. To dokládá

i stálé použivání hydrostatické verse ALADINu pro denní předpověď počasí u nás.

Položme si nyní tuto otázku: proč se pro každodenní provozní předpověď počasí

v současné době nepoužívají nehydrostatické modely?

Moje odpověď na tuto otázku zní, že je tomu z více důvodů. Současná velká

meteorologická centra se zabývají spíše globální střednědobou předpovědí, a proto stále

pracují spíše na zdokonalování globálních spektrálních modelů, které se velmi osvědčily.

Modely na omezené oblasti (LAM) pro přesnější každodenní předpověď počasí, vycházejí

243

z předpovědí globálních spektrálních modelů, které jim poskytují potřebnou předpověď

v zónách kolem bočních hranic modelu a většinou také i počáteční podmínky, které můžou

být pak vlastní asimilací dat upřesněny. Pro přesnější simulaci vlivu orografie nemají zatím

ani LAM dostatečně jemné rozlišení a navíc by byly proti hydrostatickým modelům složité a

zřejmě i méně efektivní, tedy provozně dražší. Měly by tedy přesněji modelovat chování

atmosféry v oblasti hor, než jednodušší hydrostatické modely. Je ovšem problém, zda se toto

zlepšení ekonomicky vyplatí. Dalším problémem je, zda mají tyto nehydrostatické modely

předpovídat jevy spojené s konvekcí, což je předpověď jevů vertikálních rychlosti typu I. Kde

a kdy tyto jevy vzniknou nelze totiž předpovídat. Z jejich výskytu při předpovědi se dá

usuzovat spíše pouze, že se budou v dané oblasti vyskytovat.

Zařazení výkladu nehydrostatických modelů do učebnic a monografií naráží na

problém, že každý model je svým způsobem od formulace až po jeho realizaci unikátem, a

není k dispozici nějaký vzorový model blízký standardu.

14.4. Doplněk-výpočet vertikální rychlosti v hydrostatickém modelu

Tento výklad provedeme ve Phillipsově 𝜎-systému vertikální souřadnice. I když lze

tyto úvahy provést v libovolném systému souřadnic, volba 𝜎-systému má několik výhod.

Tento systém vychází z nezávisle proměnné tlaku a proto horní hranici atmosféry – na stropu

modelu klademe tlak 𝑝 = 0. Poznamenejme, že v 𝑧-systému a ve vertikálních souřadnicích

kopírující terén z něho odvozených, by byl nulový tlak v nekonečnu, proto v modelech

používajících systémy vertikální souřadnice odvozené ze z-systému klademe pro numerické

řešení strop modelu do konečné výšky nad Zemí. Strop modelu je pak ovšem pevnou hranicí

v konečné výšce nad Zemí, což při časové integraci způsobuje nežádoucí odrazy vln od horní

hranice oblasti integrace a problémy s okrajovými podmínkami na této hranici.

Pro naše úvahy vyjdeme z rovnice kontinuity v -systému napsané v divergentním

tvaru. Horizontální souřadnice nechť tvoří kartézský systém na konformní mapě. Koeficient

zkreslení mapy nechť je m a 𝑠 = 𝑚2. Nechť u ,v jsou horizontální složky modelového větru,

tedy složky skutečného větru, dělené koeficientem zkreslení mapy m. Dále nechť U,V jsou

složky toku hmoty, které jsou definovány vztahem

𝑈 = 𝑝𝑠𝑢, 𝑉 = 𝑝𝑠𝑣 (14.4.1))

kde 𝑝𝑠 je tlak na povrchu Země. Rovnice kontinuity v divergentním tvaru je

𝜕𝑝𝑠

𝜕𝑡+ 𝑠 (

𝜕𝑈

𝜕𝑥+

𝜕𝑉

𝜕𝑦) +

𝜕(𝑝𝑠)

𝜕𝜎= 0

(14.4.2)

Okrajové podmínky modelu jsou nulová rychlost na horní hranici modelu tedy pro 𝜎 = 0 i

dolní hranici modelu, kde 𝜎 = 1. Vzhledem k tomu, že 𝑝𝑠 nezávisí na vertikální souřadnici 𝜎

můžeme tuto rovnici vydělit 𝑝𝑠 a napsat ve tvaru

𝜕

𝜕𝑡ln 𝑝𝑠 +

𝑠

𝑝𝑠(

𝜕𝑈

𝜕𝑥+

𝜕𝑉

𝜕𝑦) +

𝜕

𝜕𝜎= 0

(14.4.3)

Integrací této rovnice vzhledem k na intervalu 𝜎𝜖(0,1) dostaneme s použitím horní

okrajové podmínky, která požaduje, aby pro =0 bylo následující vztah

0

244

+ 𝜎𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛 𝑝𝑠 = − ∫

𝑠

𝑝𝑠(

𝜕𝑈

𝜕𝑥+

𝜕𝑉

𝜕𝑦) 𝑑𝜎

𝜎

0

(14.4.4)

V kapitole 22. jsme podle Kasahary - Shigehisy zavedli označení w pro výraz

𝑤 = + 𝜎𝜕

𝜕𝑡𝑙𝑛 𝑝𝑠

(14.4.5)

Který je lineární částí 𝜔 𝑝𝑠⁄ neboť

𝜔 =𝑑𝑝

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝜎𝑝𝑠) = 𝑝𝑠 + 𝜎

𝑑𝑝𝑠

𝑑𝑡

(14.4.6)

a podle vztahů (14.4.6) a (14.4.5) máme 𝜔

𝑝𝑠= + 𝜎

𝑑

𝑑𝑡𝑙𝑛 𝑝𝑠 = 𝑤 + 𝜎𝑠 (𝑢

𝜕

𝜕𝑥𝑙𝑛 𝑝𝑠 + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦𝑙𝑛 𝑝𝑠)

(14.4.7)

Člen 𝜎𝑑

𝑑𝑡ln 𝑝𝑠 násobený 𝑝𝑠 ve vztahu (14.4.7) vyjadřuje individuální časovou změnu tlaku v

𝜎-hladině o souřadnici 𝜎 a 𝑝𝑠 ∙ je vertikální tok hmoty. Hodnotu w můžeme vyjádřit podle

vztahu (14.4.4) integrálem

𝑤(𝜎) = − ∫𝑠

𝑝𝑠(

𝜕𝑈

𝜕𝑥+

𝜕𝑉

𝜕𝑦) 𝑑𝜎

𝜎

0

(14.4.8)

Pro w můžeme odvodit také diferenciální rovnici derivováním vztahu (13.3.8) podle a

pomocí vztahu (14.4.1) máme 𝜕𝑤

𝜕𝜎= −

𝑠

𝑝𝑠(

𝜕𝑈

𝜕𝑥+

𝜕𝑉

𝜕𝑦) = −𝑠 (𝑢

𝜕

𝜕𝑥𝑙𝑛 𝑝𝑠 + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦𝑙𝑛 𝑝𝑠) − 𝐷

(14.4.9)

Kde

𝐷 = 𝑠 (𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

(13.3.10)

Výpočet vertikální rychlosti a w:

Vertikální rychlost a w můžeme v každém uzlovém bodě základní sítě vypočítat

následovně: nejdříve ze vztahu (13.3.8) vypočteme 𝑤(𝜎) a pak ze vztahu (14.4.5) máme

= 𝑤(𝜎) − 𝜎 ∙ 𝑤(1) (14.4.11)

při tom jsme použili vztah

𝑤(1) =𝜕

𝜕𝑡ln 𝑝𝑠

(14.4.12)

který obdržíme, pomocí dolní okrajové podmínky (1) = 0.

245

Literatura:

[1] Bubnova R., Hello G., Bénard P., and Geleyne J. F., 1994: An efficient alternative to

z-coordinate for Compressible flow over orography: Use of hydrostatic pressure as vertical

coordinate in a complete NWP mesoscale model. Preprints 10th Conf. on Numerical Weather

Preduction , Amer. Meteor. Soc., 35-37.

[2] Bubnova R., Hello G., Bénard P., and Geleyne J. F., 1995: Integration of the Fully Elastic

Equations Cast in Hydrostatic Pressure Terrain-Following Coordinate in the Framework of

the ARPEGE/Aladin NWP Systém. Mon. Wea. Rev. 123, 515-535.

[3] Budinský B., Kepr B.: Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi, SNTL –

Nakladatelství technické literatury, Praha 1970.

[4] Byun D. W.: Dynamically Consistent Formulations in Meteorological and Air Quality

Models for Multiscale Atmospheric studies. Part I: Governing Equations in a Generalized

Coordinate System. Journal of the Atmospheric Sciences Vol. 56, 1999, 3789-3807.

[5] Clark Terry L.: A Small-Scale Dynamic Model Using a Terrain-Following Coordinate

Trabsformation. Journal Of Computational Physics, Vol. 24, 1977, pp. 186-215.

[6] Cote J., Gravel S., Méthot A., Patoine A., Roch M., Staniforth A.: The Operational CMC-

MRB Global Einvironmental Multiascale (GEM) Model Part I., II., III. American

Meteorological Society 2005.

[7] Dudhia, J., 1993 : A nonhydrostatic version of the Penn State / NCAR mesoscale model:

Validation tests and simulation of an Atlantic cyklone and cold front. Mon. Wea. Rev., 121,

1493-1513

[8] Gal-Chen Tzvi, Sommerville Richard C. J.: On the Use of a Coordinate Transformation

for the Solution of the Navier-Stokes Equations, Journal of Computational Physics 17, (1975)

p. 209-228.

[9] Gal-Chen Tzvi, Sommerville Richard C. J.: Numerical Solution of the Navier-Stokes

Equations with Topography. Journal of Computational Physics 17, (1975) p. 276-310.

[10] Grell G. A., Dudhia J., Staufer D. R.: A Description of the Fifth-Generation Penn

State/NCAR Mesoscale Model (MM5), NCAR TECHNUCAL NOTE, December 1994.

[11] Holton James R.: En Introduction to Dynamic Meteorology. Academic press, New York

and London 2004.

[12] Kasahara Akira: Various Vertical Coordinate Systems Used for Numerical Weather

Predicition, Mon Wea. Rev. 1974, Vol. 102, 509-664

[13] Kasahara Akira, Jian-Hua Qian: Normal modes a Global Nonhydrostatic Atmospheric

Model. Mon Wea. Rev. 2000, Vol. 128, 3357-3375.

[14] Laprise Réne: The Euler Equations of Motion with Hydrostatic Pressure as an

Independent Variable. Mon. Wea. Rev. 120, 1992, 197-207.

[15] Lorenz N. Edward: Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of Atmospheric Sciences,

1963, Volume 20 s. 130-141.

[16] Martin Jonatan E: Mid Latitude Dynamics J. WILEY 2006.

[17] Matveev L. T.: Kurs obščej meteorologii. Fizika atmosfery, Gidrometeoizdat, Leningrad

1974.

[18] Mc. Connell A. J.: Application of Tensor Analysis, DOVER PUBLICATIONS, INC,

NEW YORK 1957.

[19] Pechala F., Bednř J.: Příručka dynamické meteorologie, Academia Praha 1991.

246

[20] Phillips N., A.: A coordinate system having some special advantages for numerical

forecasting. Journal of Meteorology, 1957, Vol. 14, pp. 184-185.

[21] Pielke R. A.: Mesoscale Meteorological Modeling, Academic Press 1984, 612 pp.

[22] Raševskij P. K.: Rimanova geometrija I tenzornzj analiz. Izdatělstvo NAUKA,

MOSKVA 1964.

[23] Roisin Benoit Cushman, Beckers Jean-Marie: Introduction to Geophysical fluid

dynamics, Academic Press 2011.

[24] Sundqvist H. 1979: Numerical Methods Used in Atmospherical Models. Volume 2,

GARP Publication Series No. 17, September 1979. Cap. 1. 5-38.

[25] Meteorologický slovník, ACADEMIA Praha 1993.

247

15. Početní disperse gravitačně-inerciálních vln v diferenčních

schématech a simulace geostrofického přizpůsobení

V této kapitole budeme studovat rovnice, které popisují inerciálně-gravitační vlny,

jejichž správný popis numerickými metodami je velmi důležitý při modelování vývoje

atmosféry. Podle Arakawy [1], [2], [3] vznikají při integraci rovnic popisujících pohyb

atmosféry diferenčními metodami dva problémy. První problém spočívá ve správném popisu

procesu kvasi-geostrofického přizpůsobení. Díky tomuto procesu se v atmosféře vytváří

charakteristický kvasi-nedivergentní stav, který je výsledkem disperse gravitačně-inerciálních

vln. Při tomto procesu je role nelinearity rovnic malá. Numerické procesy popisující tento děj

budou studovány v druhé části této kapitoly.

Druhým problémem je správné modelování kvasi-nedivergentního pohybu útvarů

velkého - synoptického měřítka po vzniku tohoto kvasi-nedivergentního stavu. Při tomto

popisu pohybu atmosféry je rozhodující advekce, která je ovšem nelineárním procesem. Tento

proces nelineární advekce bude podrobněji studován v dalších kapitolách.

Intensivní studium problému integrace rovnic popisujících chování inerčně-

gravitačních vln začalo podstatně později, než studium rovnice advekce. První neúspěšný

Richardsonův pokus časové integrace rovnic meteorologie byl založen na integraci

linearizovaných rovnic atmosféry popisujících gravitační-inerciální a Rosbyho vlny. Tyto

rovnice jsou obvykle nazývány Lagrangeovými slapovými rovnicemi a Richardson je převzal

z knihy Horace Lamba: Hyrodynamics. Poznamenejme, že tyto rovnice neobsahovaly popis

advekce, který je pro meteorologii velmi důležitý. Rovnice, které řešil, popisovaly tedy pouze

gravitační a Rossbyho vlny, tedy vlastně pouze proces kvasi-geostrofického přizpůsobení. Je

však zajímavé, že Richardson pro jeho numerickou aproximaci použil v podstatě optimální C-

síť v Arakawově klasifikaci. První úspěšné integrace byly založeny na tak zvaných

filtrovaných rovnicích. Tento zjednodušený předpovědní model byl založen na časové

integraci rovnice vorticity s geostrofickou aproximací větru. Popisoval advekci absolutní

vorticity a tedy změny tlakového pole způsobeného pohybem větru a také Rossbyho vlnami.

Tyto filtrované rovnice nepopisovaly rychlé gravitační vlny, odtud také vyplývá název

„filtrované rovnice“. Tento model, založený na časové integraci rovnice vorticity byl těsně po

druhé světové válce úspěšně použit k předpovědi tlakového pole pro hladinu nondivergence,

tedy výšky hladiny 500 HPa v USA Charneym, Fjørtoftem a von Neumannem na prvním

elektronkovém počítači ENIAC. V současné době se modely s geostrofickou aproximací pro

předpověď vývoje atmosféry již nepoužívají. Protože všechny současné modely gravitační

vlny popisují, je dnes studium ineciálně-gravitačních vln důležité. Pro pochopení obecnějšího

dvourozměrného případu studujme napřed jednorozměrný případ šíření gravitačních vln.

15.1 Gravitační vlny a centrální diference

Gravitační vlny-jednodimensionální případ

Tento nejjednodušší případ rovnic pro nevazkou nestlačitelnou homogenní kapalinu

vznikne zjednodušením rovnic mělké vody, kde odstraníme členy popisující nelineární

advekci a Coriolisovy členy. V jednodimensionálním případu se omezíme pouze na dva

248

členy rovnice pro změnu hybnosti složky u a také dva členy rovnice kontinuity, pro změnu

výšky hladiny h. Tento systém rovnic můžeme pak psát ve tvaru

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥,

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻

𝜕𝑢

𝜕𝑥, 𝑔, 𝐻 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

; (15.1.1)

Dostáváme tak systém rovnic s dvěma nezávisle proměnnými x, t, který popisuje časové

změny dvou funkcí u, h. Řešení tohoto systému budeme hledat ve tvaru

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜈𝑡)]; ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[ℎ𝑒𝑖(𝑘ℎ−𝜈𝑡)] (15.1.2)

Dosazením do (15.1.1) dostáváme homogenní soustavu

𝜈 = 𝑔𝑘ℎ, 𝜈ℎ = 𝐻𝑘,

A eliminujeme-li z této soustavy , je tím eliminováno z rovnic také ℎ a pro frekvenci

dostáváme

𝜈2 = 𝑔𝐻𝑘2 (15.1.3)

Pro fázovou rychlost c pak máme

𝑐 =𝜈

𝑘= ±√𝑔𝐻

(15.1.4)

Gravitační vlny se mohou tedy pohybovat podél osy x v obou směrech rychlostí ±√𝑔𝐻 . Tato

rychlost nezávisí na vlnovém číslu, proto zde nenastává disperse vln.

Studujme nyní diferenciálně-diferenční rovnice

𝜕𝑢𝑗

𝜕𝑡= −𝑔

ℎ𝑗+1 − ℎ𝑗−1

2∆𝑥,

𝜕ℎ𝑗

𝜕𝑡= −𝐻

𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗−1

2∆𝑥

, (15.1.5)

které jsme obdrželi aproximací prostorových derivací centrovanými diferencemi. Řešení nyní

hledejme ve tvaru

𝑢𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒[𝑒𝑖(𝑘𝑗∆𝑥−𝜈𝑡)] , ℎ𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒[ℎ𝑒𝑖(𝑘𝑗∆𝑥−𝜈𝑡)], (14.1.6)

Dosadíme-li tato řešení do rovnic (14.1.5) dostáváme

𝜈 = 𝑔sin 𝑘∆𝑥

∆𝑥ℎ, 𝜈ℎ = 𝐻

sin 𝑘∆𝑥

∆𝑥,

Ze kterých dostáváme vztah pro frekvenci

𝜈2 = 𝑔𝐻 (sin 𝑘∆𝑥

∆𝑥)

2

. (15.2.7)

Gravitační vlny se nyní nešíří konstantní rychlostí, ale fázovou rychlostí závislou na vlnovém

číslu, rychlostí

𝑐∗ = ±√𝑔𝐻sin 𝑘∆𝑥

∆𝑥

(15.1.8)

Neboli

𝑐∗ = 𝑐sin 𝑘∆𝑥

∆𝑥

(15.1.9)

249

Tato rychlost je funkcí vlnového čísla a v důsledku toho vidíme, že použitím aproximace

prostorových derivací pomocí centrovaných diferencí způsobuje opět početní dispersi vln.

Vztah (15.1.9) je stejný jako vztah, který jsme obdrželi při studiu početní disperse pro

lineární rovnici advekce, kterou jsme studovali v kapitole 12 o rovnici advekce. Proto fázová i

grupová rychlost závisí na vlnové délce stejně tak, jak jsme ukázali již dříve. Obrázek 12.1.

Je zde nicméně důležitý rozdíl mezi tímto problémem a rovnicí advekce, neboť zde

máme dvě závislé proměnné. Předpokládali jsme, že jejich hodnoty jsou určeny v každém

bodu sítě. Jak je znázorněno na obrázku 15.1.

------ u, h, ----- u, h, ----- u, h, ----- u, h, ----- Obrázek 15.1 Síť se dvěma závislými proměnnými,

které jsou definovány v každém bodě sítě.

Všimněme si však rovnic (15.1.5), že v nich každá na obrázku podtržená hodnota proměnné u

nebo h závisí pouze na podtržených hodnotách proměnných u, h. Totéž platí i o

nepodtržených hodnotách. Proto síť uzlových bodů se rozpadá na dvě „podsítě“, na nichž jsou

řešení na sobě zcela nezávislá. Je tedy lepší počítat pouze jedno z těchto řešení, použijeme-li

síť zobrazenou na obrázku 15.2.

----- u, ----- h, -----u, -----h, -----u, -----h, ----- u, ----- Obrázek 15.2 Síť se dvěma závislými proměnnými, se

střídajícími se proměnnými v uzlových bodech – střídavá síť

Taková síť se nazývá střídavou sítí, anglicky staggered grid, v ruské literatuře také

šachovnicovou sítí. Výpočetní čas na této síti je pak poloviční a chyba aproximace zůstává

stejná. Navíc jsou z výpočtu eliminovány vlny s 𝑘∆𝑥 > 𝜋/2 což jsou právě ty vlny, které mají

největší chybu fázové rychlosti a mají zápornou grupovou rychlost. V důsledku toho, grafické

zobrazení fázové a grupové rychlosti na obrázku 12.4 se omezuje na vlny délky do délky 4∆𝑥

a graf se omezuje pouze na jeho levou půlku, což je značným zlepšením.

Chceme-li aby v našich výpočtech byly i původní vlny délky mezi 4∆𝑥 a 2∆𝑥, pak

můžeme délku kroku zmenšit na polovinu. Výpočet bude trvat stejně dlouho, jako na původní

nestřídavé síti a bude přesnější.

Gravitační vlny dvoj-dimensionální případ

Pro studium tohoto případu vyjdeme, stejně jako v předchozím případě, ze systému

linearizovaných rovnic, nyní ovšem se třemi nezávislými proměnnými x, y, t. Rovnice pro

předpověď veličin u, v, h jsou následující

𝜕𝑢

𝜕𝑡´ − 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑦,

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

15.1.10)

Dosadíme sem vlnová řešení

𝑢 = 𝑅𝑒[𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡)], 𝑣 = 𝑅𝑒[𝑣𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡)], ℎ = 𝑅𝑒[ℎ𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡)] , (15.1.11)

dostaneme

𝜈2 = 𝑔𝐻(𝑘2 + 𝑙2) (15.1.12)

250

Tedy také v dvojdimensionálním případě se gravitační vlny šíří stejnou konstantní fázovou

rychlostí √𝑔𝐻, tedy bez disperse.

Na základě výsledků jednodimensionálního případu studujme možnosti prostorového

rozmístění proměnných. V dvojdimensionálním případě pro tři prognostické proměnné je

možné více variant prostorového rozmístění. Akira Arakawa pro formulaci obecného

cirkulačního modelu [2] studoval vlastnosti pěti různých rozmístění závislých-

prognostických proměnných u, v, h na výpočetní síti. Tato rozmístění označil písmeny (A),

(B), (C), (D), (E). Tato rozmístění jsou zobrazena na obrázku 15.3 a jsou všeobecně

používána, jako klasifikace sítí podle Akiry Arakawy.

Obrázek 15.3 Prostorové rozložení závislých proměnných na pravidelné čtvercové síti v

klasifikace Arakawy

251

Pro gravitační vlny v čisté podobě budeme studovat zatím pouze tři možnosti

rozložení proměnných na pravidelné čtvercové síti, zobrazených na obrázku 15.3. Označení

těchto sítí písmeny (A), (E), (C). Nejkratší vzdálenost mezi uzly sítě označme 𝑑∗. Jak je vidět

z obrázku 15.3, při stejném kroku v síti 𝑑∗ je na síti (E) dvakrát méně a na síti (C) čtyřikrát

méně proměnných na jednotku plochy, než na síti (A). Síť (E) můžeme dostat tak, že přes

sebe přeložíme dvě (C) sítě a síť (A) přeložením přes sebe dvou sítí (E), nebo čtyř sítí (C),

samozřejmě s jejich patřičným vzájemným posunutím. Pro síť (E) posunutím sítě (C) o 𝑑∗/2

v obou směrech a pro síť (A) posunutím sítě (E) o 𝑑∗ v jednom ze směrů os x, nebo y.

Přípustné oblasti v rovině vlnových čísel můžeme najít ze studia délek nejkratších vln

rozlišitelných na síti. Poznamenejme, že na (E) síti úsečky, které spojují nejbližší uzlové body

se stejnými proměnnými, svírají s osami sítě úhel 45 stupňů, zatímco pro ostatní dvě sítě tyto

úsečky leží na osách sítě. Na obrázku 15.4 jsou zobrazeny oblasti přípustných vlnových čísel.

Zmenšení počtu proměnných na polovinu odpovídá zmenšení plochy přípustných vlnových

čísel také na polovinu.

Obrázek 15.4 Oblasti vlnových čísel přípustných pro tři typy sítí A, E, C v Arakawově

klasifikaci

252

Pro aproximaci rovnic (15.1.10) použijeme tentýž standardní způsob diferenční

aproximace pro všechny tři sítě. Pro zápis těchto aproximací použijeme nám již známé

diferenční operátory 𝛿𝑥 a 𝛿𝑦 . Soustavu (15.1.10) můžeme v semi-diskrétním tvaru

aproximovat následovně

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑦ℎ,

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻(𝛿𝑥𝑢 + 𝛿𝑦𝑣)

(15.1.13)

Dosadíme-li sem vlnové řešení analogické (15.1.11) dostaneme

𝜈2 = 𝑔𝐻𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑑∗ + 𝑠𝑖𝑛2𝑙𝑑∗

𝑑∗2

(15.1.14)

Zaveďme označení 𝑋 = 𝑘𝑑∗ a 𝑌 = 𝑙𝑑∗. Pak poměr fázové rychlosti 𝑐∗, definované vztahem

(15.1.14) k správné fázové rychlosti √𝑔𝐻 má tvar

𝑐∗

√𝑔𝐻= √

𝑠𝑖𝑛2𝑋 + 𝑠𝑖𝑛2𝑌

𝑋2 + 𝑦2

(15.1.15)

Tento vztah se pro jednodimensionální případ redukuje na (15.1.8) nebo (15.1.9).

Obrázek 15.5 Relativní fázová rychlost gravitačních vln, když derivace podle prostorových

proměnných v (15.1.11) jsou aproximovány centrovanými diferencemi.

Hodnoty relativní fázové rychlosti (15.1.15) v rovině vlnových čísel přípustných v síti

(E) jsou zobrazeny na obrázku 15.5. Vzhledem k symetrii vzhledem k přímce l=k stačí

zobrazit pouze polovinu oblasti. Z obrázku 15.4 vyplývá, že síť (C) připouští pouze levou

polovinu trojúhelníkové oblasti zobrazené na obrázku 15.5. Je zřejmé, že (C) síť dává

přesnější fázovou rychlost gravitačních vln, než libovolná jiná zde uvažovaná síť. Na této síti

vznikají však bohužel obtíže s vyjádřením Coriolisova členu, neboť každá ze složek rychlosti

se nachází v jiném uzlovém bodě.

Z hlediska rychlosti výpočtu je zřejmé, že výpočty modelů na střídavých sítích jsou

efektivnější. Například na (E) síti je čas výpočtu poloviční a je také odstraněna značná část

253

vlnových čísel spojená s velkou chybou v popisu fázové rychlosti a početní dispersí. Zbylý

výpočetní čas je tracen na výpočty spojené právě s vlnami, které nemohou zlepšit výsledky

integrace.

Z diagramu fázové rychlosti vidíme, že ani (E) síť není zbavena výpočetních

problémů. Analogicky s jednodimensionálním případem se řešení na (E) síti rozpadá na dvě

nezávislá řešení na (C) sítích, ze kterých se přeložením přes sebe tato (E) síť dá vytvořit. Tato

dvě řešení mohou při integraci od sebe vzdalovat a tedy divergovat. Například budou-li na

jedné z (C) sítí konstantní hodnoty prognostických proměnných, potom tyto hodnoty budou

po dobu výpočtu stacionární, nezávisle na tom jaké hodnoty budou mít proměnné na druhé

(C) síti. Dvě stacionární řešení s různými konstantními hodnotami na každé z těchto dvou

doplňujících se sítích budou dávat stacionární vlnu reprezentovanou pravou částí

trojúhelníkové oblasti diagramu na obrázku 15.5 s nulovou fázovou rychlostí. Tato vlna se

obvykle nazývá dvou krokovou vlnou. Stejným způsobem může mít (A) síť až čtyři nezávislá

stacionární řešení, která jsou různými konstantami pro každou (C) síť, z nichž je tato síť

složena.

Dvou-krokové vlny můžou být při výpočtu snadno generována nedokonalými

hraničními podmínkami, dále mohou vznikat například v poli teploty při uvolňování

latentního tepla při procesu kondenzace, tedy při výpočtu dešťových srážek. Tyto gravitační

vlny se mohou šířit také i pouze po jedné z (C) sítí generujících tuto (A) síť.

Tyto krátké dvou-krokové vlny se při procesu integrace mohou na základě nesprávné

interpretace vln, které vznikají vlivem nelineárních členů rovnic a měnit na delší vlny. Když

tyto vlny začnou postupně nabývat větších amplitud, je třeba tento vývoj zamezit, což bude

předmětem dalšího odstavce.

15.2 Aproximace gravitačně-inerciálních vln při procesu geostrofického

přizpůsobení

V této části se budeme zbývat problémy správné simulace procesu tak zvaného

geostrofického přizpůsobení, anglicky Geostrophic adjustment. Tento proces je velmi

důležitý pro integraci modelů atmosféry, které obsahují popis gravitačních vln, nejen pro

jednoduché barotropní modely, ale zejména pro modely baroklinní. Problém je následující.

Ve skutečné atmosféře se gravitační vlny sice vyskytují, ale jejich amplituda je velmi malá.

Tyto vlny se dají detekovat například na průběhu přízemního tlaku velmi citlivými

mikrobarografy. Je to proto, že atmosféra z hlediska synoptického měřítka se nachází blízko

rovnovážného kvasi-nedivergentního stavu a jsou to právě gravitační-inerciální vlny, které

atmosféru do tohoto stavu dostávají. Je proto přirozené, že i při průběhu integrace modelu

atmosféry by měla být amplituda gravitačních vln rovněž malá. K tomu, aby tento stav

v modelech nastal, slouží jednak tak zvaná inicializace modelu, při které se dostává do

rovnovážného stavu pole rozložení hmoty s polem proudění, čímž se z počátečních dat

vyloučí generování gravitačních vln velké amplitudy a jednak správná simulace procesu

geostrofického přizpůsobení během časové integrace. Geostofické přizpůsobení přirozeným

fyzikálním procesem redukuje amplitudu gravitačních vln. O procesu geostrofického

přizpůsobení bylo napsáno mnoho článků. Pro toho, kdo by se chtěl hlouběji seznámit s tímto

problémem lze doporučit například velmi rozsáhlý článek, jehož autor je William Blumen [4].

254

Proces geostrofického přizpůsobení budeme studovat pro linearizované rovnice mělké

vody, které můžeme napsat ve tvaru

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝑓𝑣 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 0

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑓𝑢 + 𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑦= 0

(15.2.1)

𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝐻 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

kde u, v jsou perturbace složek rychlosti, h perturbace výšky volné hladiny mělké vody, H

ekvivalentní tloušťka hladiny mělké vody, tedy klidová hodnota výšky hladiny mělké vody, a

f Coriolisův parametr. Řídící rovnice v tomto tvaru, ve kterém jsou rovnice pro časovou

změnu složek větru, neboli pro časovou změnu hybnosti, se nazývají anglicky také „Primitive

equations“ což bychom do češtiny měli přeložit jako rovnice v původním tvaru, zatímco

fyzikálně naprosto stejný model můžeme popsat soustavou, kterou můžeme nazvat vorticity-

divergenční tvar rovnic. Zjednodušenou rovnici vorticity a divergenční teorém pro

linearizované rovnice mělké vody můžeme z rovnic (15.2.1) odvodit obdobným způsobem

jako v kapitole 5. Místo časové změny složek rychlosti zde bude časová změna vorticity 휁 a

divergence D. Označíme-li tedy

휁 =𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦 , 𝐷 =

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦 , ∇2ℎ =

𝜕2ℎ

𝜕𝑥2+

𝜕2ℎ

𝜕𝑦2

(15.2.2)

Pak rovnice pro změnu složek rychlosti nahradit rovnicemi pro časovou změnu vorticity a

časovou změnu divergence

𝜕휁

𝜕𝑡+ 𝑓𝐷 + 𝑢

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 0

(15.2.3)

𝜕𝐷

𝜕𝑡− 𝑓휁 + 𝑢

𝜕𝑓

𝜕𝑦− 𝑣

𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑔∇2ℎ = 0

Pro analytické řešení a studium vln se tyto rovnice uvažují často v tak zvané „beta rovině“,

kde Coriolisův parametr nezávisí na souřadnici x a je tedy 𝜕𝑓

𝜕𝑥=0 a derivace Coriolisova

parametru f podle y je nenulovou konstanta 𝛽 =𝜕𝑓

𝜕𝑦, v případě, že i derivace Coriolisova

parametru i podle y je nulová a tedy sám Coriolisův parametr je konstantní, pak rovnice

nepopisují Rossbyho vlny, neboť v tomto případě je jejich fázová rychlost nulová. Rovnice

kontinuity zůstává i pro vorticity-divergenční tvar rovnic ve stejném tvaru. Vorticity-

divergenční tvar rovnic v beta rovině pak píšeme ve tvaru

𝜕휁

𝜕𝑡+ 𝑓𝐷 + 𝑣𝛽 = 0

255

𝜕𝐷

𝜕𝑡− 𝑓휁 + 𝑢𝛽 + 𝑔∇2ℎ = 0

(15.2.3)

𝜕ℎ

𝜕𝑡+ 𝐻 (

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

Při použití rovnic ve vorticity-divergenčním tvaru však vzniká určitý problém.

Prognostickými veličinami jsou zde vorticita a divergence, ale my i při jejich integraci

potřebujeme znát také složky větru. Jejích výpočet pomocí proudové funkce a divergenčního

potenciálu nečiní sice v globálních spektrálních modelech problém. Pro modely na omezené

oblasti a zejména pro diferenční modely výpočet proudové funkce a divergenčního potenciálu

není jednoduchý ani jednoznačný, neboť v řešení může být navíc harmonická složka. Výpočet

proudové funkce a divergenčního potenciálu vede k řešení soustav lineárních rovnic

vzniklých diskretizací okrajových úloh. Numerické řešení těchto soustav pak prodlužuje

výpočet. Způsob výpočtu složek větru z vorticity a divergence pro modely používající

diferenční aproximace je popsán v článcích Petra Lynche [5] a [6]. Pro modely na omezené

oblasti se proto obvykle používají rovnice v původním tvaru.

Řešení linearizované soustavy rovnic mělké vody

Pro posouzení vhodnosti diferenčních schémat pro simulaci procesu geostrofického

přizpůsobení vyjdeme se znalosti exaktního řešení rovnic (15.2.1). Řešení tohoto systému

diferenciálních rovnic budeme hledat ve tvaru Fourierových komponent pro jednotlivé

prognostické proměnné

(𝑢𝑣ℎ

) = (𝑣ℎ

) 𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) (15.2.4)

kde , 𝑣, ℎ jsou konstantní amplitudy. Derivováním vztahů (15.2.4) a jejich dosazením do

soustavy (15.2.1) a vydělením 𝑒𝑖(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) dostaneme homogenní soustavu lineárních rovnic,

kterou napišme ve vektorovém tvaru

(−𝑖𝜈 −𝑓𝑚 𝑔𝑖𝑘

𝑓 −𝑖𝜈 𝑔𝑖𝑙𝐻𝑖𝑘 𝐻𝑖𝑙 −𝑖𝜈

) (𝑣ℎ

) =0 (15.2.5)

Aby tato soustava měla řešení, musí determinant této soustavy být roven nule

|−𝑖𝜈 −𝑓 𝑖𝑔𝑘

𝑓 −𝑖𝜈 𝑖𝑔𝑙𝑖𝐻𝑘 𝑖𝐻𝑙 −𝑖𝜈

| = 0 (15.2.6)

Vypočteme-li hodnotu tohoto determinantu, dostaneme

𝑖[𝜈3 − 𝜈𝑔𝐻(𝑘2 + 𝑙2) − 𝜈𝑓2] = 0 (15.2.7)

Řešení pro, které je 𝜈 = 0 znamená stacionární případ, neboť v tomto případě je 𝜕

𝜕𝑡= 0 což

dává geostrofické proudění:

𝑢𝑔 = −𝑔

𝑓

𝜕ℎ

𝜕𝑦 , 𝑣𝑔 =

𝑔

𝑓

𝜕ℎ

𝜕𝑥

(15.2.8)

256

Jakákoliv odchylka od tohoto stacionárního proudění generuje gravitační-inerční vlny, které

mají tendenci rozptýlit energii těchto vln do okolního prostoru. Frekvence dalšího řešení je

podle (15.2.7) dána vztahem

𝜈2 − 𝑔𝐻(𝑘2 + 𝑙2) − 𝑓2 = 0

Odkud dostáváme frekvenci

𝜈 = ±√𝑓2 + 𝑔𝐻(𝑘2 + 𝑙2) (15.2.8)

Tato frekvence popisuje superpozici gravitačně-inerciálních vln s maximální grupovou

rychlostí rovnou √𝑔𝐻 .

Pro semi-diskrétní případ, při kterém jsou aproximovány derivace podle prostorových

proměnných, upravíme tvar řešení následovně.

Při diferenční aproximaci derivací podle prostorových proměnných se objeví dispersní

faktor. Podle zprávy [8] provedeme ještě určité úpravy tvaru řešení, které dosazujeme do

rovnic soustavy. Při aproximaci na střídavých sítích je v některých případech třeba

průměrovat Coriolisův parametr, což produkuje činitel, který označme m. Pro pozdější

zkrácení zápisu zavedeme ještě tato označení. Po zavedení činitelů dx,dy,m, nahradíme

derivace výrazy:

𝐻𝜕𝑢

𝑑𝑥= 𝐻𝑖𝑘𝑑𝑥𝑢 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 𝑖𝑙𝑑𝑦𝑣 , 𝑓𝑢 = 𝑚𝑓𝑢 atd. ,

rovnice po dosazení diskrétního řešení do diferenčních aproximací rovnic pak můžeme napsat

v maticovém tvaru

(

−𝑖𝜈 −𝑓𝑚 𝑔𝑖𝑘𝑑𝑥𝑓𝑚 −𝑖𝜈 𝑔𝑖𝑙𝑑𝑦

𝐻𝑖𝑘𝑑𝑥 𝐻𝑖𝑙𝑑𝑦 −𝑖𝜈) (

𝑣ℎ

) 𝑒(𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜈𝑡) =0 (15.2.9)

Pro existenci jednoznačného řešení je nutné, aby determinant této soustavy byl roven nule.

Tato podmínka dává pro dispersi vztah

𝑖[𝜈3 − 𝜈𝑔𝐻(𝑘2𝑑𝑥2 + 𝑙2𝑑𝑦2) − 𝜈𝑓2𝑚2] = 0 (15.2.10)

odchylka od stacionárního proudění generuje gravitační-inerční vlny, které mají tendenci

rozptýlit energii těchto vln do okolního prostoru. Tentokráte, mimo nulové frekvence, je

bezrozměrná frekvence dalšího řešení je podle (15.2.10) dána vztahem

(𝜈

𝑓)

2

= 𝑚2 + 𝜆2(𝑘2𝑑𝑥2 + 𝑙2𝑑𝑦2)

(15.2.11)

Kde 𝜆 = √𝑔𝐻/𝑓 je Rossbyho radius deformace. Temperton [9] ukázal, že 𝜆 je kritická

vlnová délka v tom smyslu, že pro vlny malého měřítka 𝐿 ≪ 𝜆 se rozložení hmoty atmosféry

přizpůsobuje poli větru, a pro vlny velkého měřítka se pole větru přizpůsobuje poli rozložení

hmoty atmosféry s návratem ke geostrofickému proudění. To je důležité pro inicializaci a

asimilační proces, obzvláště v tropickém pásmu, kde 𝜆 je velké, nebo pro malé rychlé vlny.

Pro exaktní řešení můžeme vztah (15.2.8) napsat také pro bezrozměrnou frekvenci ve

tvaru

(𝜈

𝑓)

2

= 1 + (𝜆

𝑑)

2

((𝑘𝑑)2 + (𝑙𝑑)2)

(15.2.12)

257

Kde prostorové měřítko je normalizováno délkou d, což je uvažovaná délka kroku v síti. Pro

typické délky kroku v síti:

d km 𝜆/𝑑

hrubá síť 400 12

typická síť 200 15

jemná síť 100 30

mezo-měřítková síť 50 60

Podle Arakawy [2], [3] nebo [4] předvedeme výsledky pro 𝜆/𝑑 = 2 na intervalu

0 ≤ 𝑘𝑑 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑙𝑑 ≤ 𝜋 , což odpovídá vlnovým délkám Lx , Ly od nejkratších na síti

zobrazitelných vln (vln délky dvou kroků v síti) do nejdelších možných vln. Bezrozměrná

frekvence (15.2.12) je jakožto funkce k a l zobrazena na obrázku 15.5 .

Přesné řešení se skládá z kružnic se středem v počátku s monotónně se zvyšující frekvencí od

1 (čisté inerciální oscilace pro dlouhé vlnové délky), oscilace s periodou 15 hodin, až

například do 8.9 pro nejkratší popsatelné vlny (oscilace časové délky 2 hodin). Grupová

rychlost 𝑐𝑔 = 𝑣𝑘𝜐,

Schémata pro rovnice dvoj-dimensionální gravitační vlny

Obvyklé rozložení proměnných v uzlových bodech sítě bývá, že všechny proměnné se

nacházejí ve všech, tedy stejných bodech sítě. Takovouto síť můžeme nazvat standardní, na

rozdíl od střídavých sítí, které jsme studovali již na začátku této kapitoly. Pro modelování

pohybu atmosféry jsou ovšem vhodnější střídavé sítě. Aproximace na některých

konfiguracích těchto sítí, jak uvidíme v dalším, daleko lépe simulují procesy v atmosféře. Pro

studium aproximací a přehlednou terminologii zavedl Arakawa označení těchto sítí písmeny

A až E. Toto označení sítí se všeobecně ujalo, takže můžeme říci, že označení sítě je

v Arakawově klasifikaci. Rozmístění proměnných na střídavých sítích je zobrazeno na

obrázku 15. 3. Poznamenejme zde, že aproximace kompletních nelineárních rovnic může být

na těchto sítích různá, avšak aproximace lineární části rovnic centrovanými diferencemi, která

je zodpovědná za vlnové procesy, je v podstatě dána rozložením proměnných na síti.

Všimněme si ještě sítí na obrázku 15. 3. Poslední síť E může vzniknout také ze sítě B

otočením souřadnicových os o 45 stupňů. Efektivní délka kroku v síti E je pak ovšem rovna

𝑑/√2. Při standardním označení diferencí a průměrování jsou aproximace na sítích A až E

následující:

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ 𝑥 + 𝑓𝑣 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑦ℎ 𝑦 − 𝑓𝑢

(15.2. A)

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻(𝛿𝑥𝑢 𝑥 + 𝛿𝑦𝑣 𝑦)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ 𝑦 + 𝑓𝑣 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑦ℎ 𝑥 − 𝑓𝑢

(15.2. B)

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻(𝛿𝑥𝑢 𝑦 + 𝛿𝑦𝑣 𝑥)

258

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ + 𝑓𝑥𝑦 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑦ℎ − 𝑓𝑥𝑦

(15.2. C)

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻(𝛿𝑥𝑢 + 𝛿𝑦𝑣)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ 𝑥𝑦 + 𝑓𝑥𝑦 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑦ℎ 𝑥𝑦 − 𝑓𝑥𝑦,

(15.2. D)

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻(𝛿𝑥𝑢 𝑥𝑦 + 𝛿𝑦𝑣 𝑥𝑦)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ + 𝑓𝑣 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑦ℎ − 𝑓𝑢

(15.2. E)

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻(𝛿𝑥𝑢 + 𝛿𝑦𝑣)

Pro zjednodušení, v podstatě bez újmy obecnosti, studujeme případ, kdy šíření vln nezávisí na

souřadnici y. V tomto případě proměnné u, v, h nezávisejí na y. Máme tedy

𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑡), ℎ = ℎ(𝑥, 𝑡)

A systém diferenciálních rovnic (15.2.1) se redukuje na

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥+ 𝑓𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑓𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻

𝜕𝑢

𝜕𝑥

(15.2.13)

Dosadíme-li sem vlnové řešení

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜈𝑡)]; ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑅𝑒[ℎ𝑒𝑖(𝑘ℎ−𝜈𝑡)] (15.2.14)

Dostaneme pro frekvenci následující vztah

(𝜈

𝑓)

2

= 1 +𝑔𝐻

𝑓2𝑘2

(15.2.15)

Protože poloměr deformace

𝜆 =√𝑔𝐻

𝑓

není nikdy roven nule, frekvence gravitačně-inerčních vln se monotónně zvětšuje s vlnovým

číslem k. V důsledku toho grupová rychlost 𝜕𝜈/𝜕𝑘 není nikdy rovna nule, což je důležité pro

popis procesu geostrofického přizpůsobení, protože je tím odstraňována lokálně nahromaděná

energie vln.

Studujme nyní v tomto případě efekt diferenční aproximace . Aproximace systému

rovnic (15.2.13) vznikne zjednodušením aproximace pro dvourozměrný případ. Vzhledem

259

k tomu, že proměnné nejsou funkcemi souřadnice y, odpadá také průměrování přes tuto

souřadnici. Pro sítě A až E v Arakawově klasifikaci je aproximace následující

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ 𝑥 + 𝑓𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑓𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻𝛿𝑥𝑢 𝑥

(15.2. A1)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ + 𝑓𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑓𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻𝛿𝑥𝑢,

(15.2. B1)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ + 𝑓𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑓𝑥

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻𝛿𝑥𝑢,

(15.2. C1)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ 𝑥 + 𝑓𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑓𝑥

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻𝛿𝑥𝑢 𝑥

(15.2. D1)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝑔𝛿𝑥ℎ + 𝑓𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑡= −𝑓𝑢

𝜕ℎ

𝜕𝑡= −𝐻𝛿𝑥𝑢

(15.2. E1)

Dosazením vlnového řešení do předchozích systémů rovnic A1 až E1 dostáváme následující

výrazy pro frekvence

(𝜐

𝑓)

2

= 1 + (𝜆

𝑑)

2

𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑑, (15.2. A1F)

(𝜐

𝑓)

2

= 1 + 4 (𝜆

𝑑)

2

𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝑑

2, (15.2. B1F)

(𝜐

𝑓)

2

= 𝑐𝑜𝑠2 𝑘𝑑

2+ 4 (

𝜆

𝑑)

2

𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝑑

2, (15.2. C1F)

(𝜐

𝑓)

2

= 𝑐𝑜𝑠2 𝑘𝑑

2+ 4 (

𝜆

𝑑)

2

𝑠𝑖𝑛2𝑘𝑑, (15.2. D1F)

(𝜐

𝑓)

2

= 1 + 2 (𝜆

𝑑)

2

𝑠𝑖𝑛2 𝑘𝑑

√2𝑘𝑑, (15.2. E1F)

Z předchozích vztahů vidíme, že bezrozměrná frekvence 𝜈/𝑓 je závislá na dvou parametrech

kd a 𝜆/𝑑.

Analyzujme nyní dispersní vlastnosti dané předchozími vztahy pro každou z pěti sítí.

Délka nejkratší zobrazitelné vlny ve směru osy x je pro sítě A až d rovna 2d a √2𝑑 pro E-síť.

Proto pro sítě A až D musíme uvažovat interval 0 ≤ 𝑘𝑑 ≤ 𝜋 a pro síť E je třeba uvažovat

interval 0 ≤ 𝑘𝑑 ≤ √2𝜋.

260

A-síť. Frekvence má maximum pro 𝑘𝑑 = 𝜋/2, což znamená, že grupová rychlost je pro

𝑘 = 𝜋/(2𝑑) rovna nule.

Jestliže gravitačně-inertní vlny s vlnovým číslem přibližně této délky jsou vybuzeny

v některém bodě výpočetní oblasti, například v důsledku nelineárních efektů, přítoku tepla,

nebo orografií, pak vlnová energie zůstává v blízkosti tohoto bodu. Mimo toto maximum, pro

𝜋/2 < 𝑘𝑑 ≤ 𝜋 se frekvence zmenšuje s růstem vlnového čísla. V důsledku toho má grupová

rychlost chybné znaménko. A nakonec vlna délky dvou kroků sítě s 𝑘𝑑 = 𝜋 se chová jako

čistě inerciální vlnění a jeho grupová rychlost je rovna nule.

B-síť. Frekvence roste monotónně v intervalu 0 < 𝑘𝑑 ≤ 𝜋. Frekvence dosahuje maxima na

konci tohoto intervalu a grupová rychlost je rovna nule pro vlnu dvou kroků sítě při 𝑘𝑑 = 𝜋.

C-síť. Frekvence se v závislosti na kd monotónně zvětšuje, jestliže 𝜆/𝑑 > 1/2 a zmenšuje

jestliže 𝜆/𝑑 < 1/2. Rovněž dosahuje extrém pro 𝑘𝑑 = 𝜋 spolu s grupovou rychlostí rovnou

nule. Pro 𝜆/𝑑 = 1/2 je grupová rychlost rovna nule pro všechna vlnová čísla k.

D-síť. Frekvence dosahuje maxima pro (𝜆/𝑑)2 cos 𝑘𝑑 = 1/4 . Vlna délky dvou kroků sítě je

pro 𝑘𝑑 = 𝜋 stacionární.

E-síť. Frekvence dosahuje maximum pro 𝑘𝑑 = 𝜋/√2. Nejkratší zobrazitelná vlna na síti

s délkou 𝑑𝑘 = √2𝜋 se chová jako čistě inerciální oscilace a její grupová rychlost je rovna

nule.

Souhrnné výsledky prezentujeme na obrázku 15. 6. Zobrazuje nám funkci |𝜈|/𝑓

v případě pro y/𝑑 = 2.

Obrázek 15.6 Funkce |𝜈|/ dané vztahy (15.2.15) a (15.2.AF) až (15.2. EF) pro 𝜆/𝑑.

Grafy na obrázku názorně ilustrují nedostatky sítí D a A. Fázová rychlost a dispersní

vlastnosti jsou pro ostatní tři sítě mnohem lepší. Nicméně nulová grupová rychlost se objevuje

pro všechny sítě. V důsledku toho pro každou ze sítí budou s popisem geostrofického

přizpůsobení těžkosti.

Rozdíl mezi výsledky pro B a E sítí je zajímavý protože tyto sítě můžeme obdržet

jednu z druhé rotací o úhel 𝜋/4 . Jestliže uvažujeme jednodimensionální případ, ve kterém

jsou závislé (prognostické) proměnné konstantní podél přímky 𝑦 = 𝑥 + 𝑐, pak dostaneme pro

261

tyto sítě přímo opačné s tím, co bylo prezentováno na obrázku 14. F. V obecném případě

zavedeme novou soustavu souřadnic 𝑥′, 𝑦′ rotací souřadnic 𝑥, 𝑦 v kladném směru o úhel 𝜋/4

s použitím vztahů

𝑢′ =√2

2(𝑢 + 𝑣) 𝑣′ =

√2

2(−𝑢 + 𝑣)

Můžeme provézt záměnu proměnných 𝑢, 𝑣, ℎ za proměnné 𝑢′, 𝑣′, ℎ. Nalézáme, že systém

(15.2. B) je transformován na (15.2. E) a obráceně, systém (15.2. E) na (15.2.B). Proto

dispersní vlastnosti sítí B a E můžeme považovat za ekvivalentní. Gravitačně-inerční vlna

v jedné z těchto sítí má fázovou rychlost a dispersní vlastnosti identické s analogickou vlnou

v druhé síti s čelem otočeným o úhel 𝜋/4.

Obrázek 15.7 Funkce |𝜐|/𝑓 pro přesné řešení a pro řešení systémů

(15.2.B) a (15.2.C) pro 𝜆/𝑑 = 2.

262

Na závěr je třeba se ještě podívat na plně dvojdimensionální případ. Hodnoty |𝜈| 𝑓⁄ ,

které dostaneme pro přesné řešení a pro B a C síť jsou zobrazeny na obrázku 15.7 pro

𝜆 𝑑 = 2⁄ . Diagram pro E síť obdržíme otočením diagramu pro B síť ve směru pohybu

hodinových ručiček. Diagram pro C síť nám ukazuje, že tato síť nám dává mnohem lepší

aproximaci přesného řešení než sítě B a E. V diagramu pro B síť čárkovaná čára ukazuje

maximum |𝜈| 𝑓⁄ pro daný poměr 𝑙 𝑘⁄ . Všimněme si, že taková čára se nevyskytuje

v diagramu pro C síť, ani pro přesné řešení. Takové maximum se objevuje pouze ve dvou

krajních bodech digramu C sítě. V důsledku toho na C síti nejsou žádné vlny, jejichž grupová

rychlost má špatné znaménko. Tato vlastnost nicméně závisí na parametru 𝜆 𝑑⁄ . Ve

stratifikované atmosféře poloměr deformace 𝜆 závisí na stabilitě atmosféry. Když je stabilita

atmosféry natolik slabá, že 𝜆 𝑑⁄ je řádu jednotky, nebo menší, pak C síť ztrácí přednosti,

ukázané na obrázku 15.7. Nicméně pro typické rozlišení sítí používaných v modelech

atmosféry se tento případ nevyskytuje a proto Arakawa dochází k závěru, že C síť je nejlepší

pro simulaci procesu geostrofického přizpůsobení. Proto tuto síť použil ve svém modelu

všeobecné cirkulace [3]. Při použití sítí B a E vznikají problémy ve spojitosti s výskytem

chybných frekvencí nejkratších vln. Vlna délky dvou kroků sítě, která byla jako čistě

gravitační vlna stacionární, se stává čistě inerciální vlnou.

Závěr a další literatura.

Na závěr bychom mohli shrnout následující. Modely popsané původními rovnicemi

(tedy rovnicemi pro časové změny hybnosti), používající pro řešení aproximace pomocí

diferencí je nejlepší C síť. Je to nejenom z důvodů nejpřesnějšího popisu procesu

geostrofického přizpůsobení, ale zejména také proto, že v současné době jsou téměř výhradně

používány semiimplicitní časové aproximace. Při tom je třeba řešit velké systémy lineárních

rovnic vzniklých po aproximaci okrajových úloh parciálních diferenciálních rovnic

eliptického typu. V rovnicích se obvykle vyskytuje Laplaceův operátor. Při jeho diferenčním

odvození z aproximací původních rovnic při použití C sítě vznikne obvyklá diferenční

aproximace Laplaceova operátoru, zatímco při použití B sítě vznikne aproximace otočená o

45 stupňů. Tato skutečnost nedovoluje pro řešení soustav lineárních rovnic použít velmi

rychlé přímé metody, jako je cyklická redukce, nebo FFT. Pro řešení semiimplicitních

schémat na B síti je proto nutné použít iterační metody, které zdaleka nejsou tak efektivní.

Další podrobnosti a rozšíření znalostí o tomto problému je možné získat v technické

zprávě [10] od Hannu Savijärvi, kde jsou studovány na sítích klasifikovaných Arakawou také

aproximace čtvrtého řádu. Aproximace čtvrtého řádu se však z důvodů problémů s bočními

okrajovými podmínkami a také problémů s aproximací horizontálního gradientu tlaku při

použití vertikálních souřadnic kopírujících terén se prakticky nepoužívají. Nejzajímavější

rozšíření znalostí o námi studované aproximaci vlnové části rovnic lze nalézti v článku Beny

Nety a R. T. Williamse [8]. Zde jsou tyto problémy studovány také pro metodu konečných

prvků a pro modely používající tak zvané odvozené rovnice, tedy pro modely s rovnicemi pro

časovou změnu vorticity a divergence. Pro odvozené rovnice mají jejich aproximace ještě

lepší vlastnosti, než aproximace původních rovnic (primitive equations).

V globálních spektrálních modelech se prakticky vždy používají rovnice pro časovou změnu

vorticity a divergence. Tím je odstraněna diskontinuita pole větru v severním a jižním pólu.

V modelech na omezené oblasti se rovnice pro časovou změnu vorticity a divergence téměř

263

nepoužívají. Je to proto, že výpočet složek větru potřebných pro advekci z vorticity a

divergence je relativně složitý a okrajová úloha pro proudovou funkci nemá jednoznačné

řešení. Tímto problémem se zabývají články Petra Lynche [6] a [7].

Literatura:

[1] Numerical Methods used in Atmospheric Models by F. Mesinger and A. Arakawa Vol. 1

GARP PUBLICATIONS SERIES No. 17 WMO-ICSU 1976

[2] Arakawa Akiro: Desing of the UCLA General Circulation Model. Technical Report No. 7,

1972, Department of Meteorology University of California, Los Angeles

[3] Arakawa A., Lamb V. R: Computational design of the Basic Dynamical Processes UCLA

General Circulation Model, METHODS IN COMPUTATIONAL PHYSICS Volume 17,

Editor Julius Chang, Academic Press 1977

[4] Blumen Wiliam: Geostrophic Adjustment. Reviews of Geophysics and Space Physics Vol.

10, 1972 s. 485-527

[5] Lamb sir Horace: Hydrodynamics, Cambridge at the University Press 1932.

[6] Lynch Peter: Deducing the Wind from Vorticity and Divergence. Monthly Weather

Review Vol. 116, 1988, s. 86-93

[7] Lynch Peter: Partitioning Wind in a Limited Domain.

[8] Neta B., Williams R. T.: Rossby Wave Frequencies and Group Velocities for Finite

Element and Difference Approximations to the Vorticity-Divergence and Primitive Forms of

tne Shallow Water Equations. Monthly Weather Review Vol. 117, 1989 s. 1439-1457

[9] Richardson L. F.: Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge Univ. Press.

London 1922.

[10] Savijärvi H.: Computational Dispersion of Gravity-inertia Waves in various difference

schemes. Report No. 10, Helsinki 1976

[11] Temperton A.: Some experiments in dynamic inicialization for a simple primitive

equation model. Q. J. R. M. S. Vol. 99, 1973, s. 303-319

264

16. Nelineární evoluční parciální diferenciální rovnice

Rovnice zákonů zchování

P. D. Lax svou fundamentální práci „Hyperbolic systems of Conservation Laws II“ [3]

začíná následující definicí: Zákon zachování je rovnice v divergentním tvaru, tedy

𝑢𝑡 + ∑ 𝜕𝑓𝑗

𝜕𝑥𝑗

3

𝑗=1

= 0

Tato rovnice vyjadřuje fakt, že rychlost změny veličiny u obsažené v každé oblasti G

x-prostoru je dána tokem vektorového pole (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3) ∈ 𝐺:

𝑑

𝑑𝑡∭ 𝑢𝑑𝑥 = ∬ 𝑓 ∙ 𝑛 𝑑𝑆

𝐵𝐺𝐺

Mnoho fyzikálních zákonů má tvar zákona zachování. Veličiny u a f závisí na proměnných,

popisujících stav fyzikálního systému a na jejich derivacích. V teorii, která ignoruje

mechanizmus disipace, jako je viskozita, tepelná konvekce, tření jsou zákony zachování

rovnicemi prvního řádu, což znamená, že hodnoty u a f jsou funkcemi stavových proměnných,

nikoliv však jejich derivací. Lax ve svém článku studuje pouze systémy prvního řádu a v

teorii se omezuje, stejně, jako ostatní, na systémy jedné prostorové proměnné. Jako složky u,

jsou zvoleny proměnné, které popisují stav systému. Systém má pak tvar

𝑢𝑡 + 𝑓𝑥 = 0 (16.1)

kde u je vektor o n složkách a 𝑓 = 𝑓(𝑢𝑗) je vektor, který je funkcí u.

Provedeme-li derivování tohoto systému (16.1), dostaneme kvasilineární systém

prvního řádu tvaru

𝑢𝑡 + 𝐴(𝑢)𝑢𝑥 = 0, 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 (16.2)

Systém zákonů zachování (16.1) se nazývá hyperbolický, když kvasilineární systém (16.2) je

hyperbolický což je, když matice 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 má reálná různá vlastní čísla pro všechny

hodnoty složek u.

Počáteční problém spočívá v určení řešení u systému (16.1) z jeho počátečního stavu

𝑢(𝑥, 0) = 𝜙 pro všechen následující čas. V článku je pak vyvíjena adekvátní teorie řešení

počátečních úloh pro systém zákonů zachování.

V libovolném čase 𝑡0 na funkci 𝑢(𝑥, 𝑡0) popisující stav systému jsou požadovány

následující vlastnosti. Označme 𝜙soubor „přípustných“ stavů. Chceme nyní přiřadit ke

každému stavu ze souboru 𝜙 řešení 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑆(𝑡)𝜙 pro všechen čas 𝑡 ≥ 0 které má

následující vlastnosti:

(1) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑆(𝑡)𝜙 je řešením systému zákona zachování (16.1),

(2) Operátor 𝑆(𝑡) zobrazuje systém přípustných stavů sám na sebe,

(3) Operátor 𝑆(𝑡) tvoří jednoparametrickou semi-grupu, je tedy

𝑆(𝑡1 + 𝑡2) = 𝑆(𝑡1)𝑆(𝑡2), 𝑡1, 𝑡2 ≥ 0, 𝑆(0) = 𝐼,

(4) Operátor 𝑆(𝑡) je spojitý v nějaké topologii.

Řešení v klasickém smyslu kvasilineárního hyperbolického systému (16.2) vytváří po

konečném čase singularity (diskontinuity), ať jsou počáteční data jakkoliv hladká a není

možné pokračovat dále v regulárním řešení. Můžeme však pokračovat v řešení ovšem pro

265

řešení v zobecněném smyslu. Tento způsob zobecnění je diktován integrální versí zákona

zachování, který vychází z toho, že vektorové pole (𝑢, 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3) je nedivergentní v prostoru a

čase. Zobecněné neboli slabé řešení, je funkce u, pro které zmíněné vektorové pole je

nedivergentní v zobecněném smyslu.

Definice slabého řešení

Funkce 𝑢(𝑥, 𝑡) je slabým řešením systému zákona zachování (16.1) s počáteční

hodnotou 𝜙 když u a 𝑓(𝑢) jsou integrovatelné funkce na každém omezeném souboru

polorovin 𝑡 ≥ 0 a integrální vztah

∫ ∫ 𝑤𝑡𝑢 + 𝑤𝑥𝑓(𝑢)𝑑𝑥𝑑𝑡 + ∫ 𝑤(𝑥, 0)∞

−∞

∞

−∞

∞

0

𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0

(16.3)

Je splněno pro všechny hladké testovací vektory w vektory, pro které je |𝑥| + 𝑡 dostatečně

velké.

Tato situace nastává v meteorologii, jestliže v rovnicích nejsou členy popisující difuzi

a tření. Jestliže do rovnic tyto členy přidáme, změní se systém z hyperbolického systému na

parabolický systém rovnic. Zde ovšem již působením difuze diskontinuity již nevzniknou,

místo toho se vytvoří pouze místa s velkými gradienty. Rozdíl ve vlastnostech rovnic je

poměrně značný. Parabolické systémy na rozdíl od hyperbolických systémů nemůžeme

integrovat časově zpět. To je třeba vědět, protože časová integrace zpět se v současné době

používá pro inicializaci pomocí časových filtrů. Důležité vlastnosti zobecněného řešení jsou

obsaženy v pracích ruské matematičky O. A. Olejnik, zejména v rozsáhlém článku [5]. V

článku jsou důkazy existence a jednoznačnosti zobecněného řešení, je zde studována také

závislost řešení na počátečních podmínkách, je zde ukázáno, že chyba v počátečních

podmínkách se v řešení rovnic s časem exponenciálně zvětšuje. Tato vlastnost řešení

v podstatě omezuje deterministickou předpověď počasí pouze na určitý časový interval.

Numerické metody používané pro řešení rovnic zákonů zachování byly vyvíjeny v období po

druhé světové válce v souvislosti s obtékáním křídel nadzvukových letounů. Tam vzniká jako

nespojitost rázová vlna. Numerické metody pro taková řešení studoval Peter Lax a Burton

Wendroff [4].

Jednoduché příklady typů rovnic používaných v meteorologii

V meteorologii je pro řešení hyperbolických systémů zákonů zachování přirozenější

přístup, který použil Eberhard Hopf [2], nazývaný „metodou viskozity“. Řešení systému

zákona zachování obdržíme jako limitu řešení parabolických rovnic, kde koeficient disipace

necháme konvergovat k nule. Hopf studoval Burgerovu rovnici tvaru

𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 = 𝜇𝑢𝑥𝑥 , 𝜇 > 0 (16.4)

Difuzní člen na pravé straně zde znemožňuje vznik nespojitosti. V meteorologii jsou za

takovéto nespojitosti považovány atmosférické fronty, i když vlivem difuzních procesů

v atmosféře vznikají místo diskontinuit pouze místa s velkým gradientem. Odstraníme-li

z pravé stany difuzi, tím že položíme 𝜇 = 0 dostaneme nelineární rovnici hyperbolického

typu zákona zachování. Je to nelineární rovnice advekce tvaru

𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 = 0 (16.5)

266

Tuto rovnici studoval George Platzman [6]. V jeho článku je podrobný rozbor vlastností a

různých způsobů řešení této rovnice pro speciálně zadané počáteční podmínky. Tato

nelineární rovnice advekce má obecné řešení ve tvaru

𝑢 = 𝐹(𝑥 − 𝑢𝑡) (16.6)

které má podobný tvar jako obecné řešení lineární rovnice advekce

𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0 (16.7)

kterou jsme studovali v kapitole 9. V této lineární rovnici je rychlost advekce konstantní a

graf řešení, tedy graf funkce u, se posunuje rychlostí c doprava, nebo doleva podle znaménka

konstanty c.

Řešení nelineární rovnice advekce (16.5) tak jednoduché není. Tuto skutečnost si

můžeme demonstrovat na řešení této rovnice na intervalu 𝑥𝜖⟨−𝜋, 𝜋⟩ s počáteční podmínkou

𝑢(𝑥, 0) = −𝑈 sin 𝑘𝑥 (16.8)

Obecné řešení je potom

𝑢 = −𝑈 sin 𝑘(𝑥 − 𝑢𝑡) (16.9)

Zvolíme-li konstanty 𝑈 a 𝑘−1 jako jednotky rychlosti a délky, potom

𝑢 = − sin(𝑥 − 𝑢𝑡) (16.10)

Kde 𝑢, 𝑥, 𝑡 nyní odpovídají hodnotám 𝑢 𝑈⁄ , 𝑘𝑥, 𝑘𝑈𝑡 ve vztahu (16.9).

Na obrázku 30.1 je na levé části znázorněno, jak se mění počáteční podmínka (16.10)

ve tvaru funkce sin při nelineární advekci, tedy x, u – konfiguraci řešení pro daný čas. Na

pravé části obrázku je znázorněn x, t - diagram, který ukazuje několik typických charakteristik

u=0, 𝑢 = ±1 rovnice (16.10). Pomocí silných čar znázorňuje vrcholovou oblast s vrcholem

pro 𝑡 = 1, uvnitř které má řešení tři hodnoty.

Protože každá hodnota u se šíří ve směru x rychlostí u, vyplývá z toho, že hřeben vlny

(𝑢 > 0) se pohybuje v kladném směru osy x a brázda (𝑢 < 0) v záporném směru. Mimo to,

když |𝑢1| > |𝑢2| , pak 𝑢1 se šíří rychleji, než 𝑢2 a potom sklon 𝑆 ≡ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ⁄ když S je na

začátku záporné dostáváme profilu vlny strmější, a zplošťuje se, když S je na začátku kladné.

Tento proces můžeme kvantitativně zkoumat výpočtem změny sklonu podle charakteristiky:

Podle (16.5) máme

267

𝑑𝑆

𝑑𝑡=

𝜕𝑆

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑆

𝜕𝑥= −𝑆2

(16.11)

Integrací dostáváme

𝑆 = (𝑡 − 𝑆0−1)−1 (16.12)

Kde 𝑆0 je počáteční hodnoty S. Tato rovnice ukazuje, že pro každou hodnotu u kde 𝑆0 < 0,

dostáváme sklon klesající záporný, až dosáhneme kritického času 𝑡𝑐 ≡ −𝑆0−1 , kdy se stane

nekonečným, pak je kladný a klesá k nule (tak jako 𝑡−1). Minimální hodnota 𝑡𝑐 nastane pro

u=0 pro x =0, poněvadž −𝑆0−1 = sec 𝑥 má minimum rovno 1, což snadno nahlédneme ze

vztahu (30.10). T toho vyplývá, že vrchol zobrazený x, t – rovině je v bodě x=0, t=1.

Důsledky vlastnosti řešení rovnic zákona zachování pro meteorologii

Předchozí příklad ukazuje, jak v meteorologii se vlivem nelineární advekce zvětšují

gradienty meteorologických proměnných. Nelineárnost rovnic vychází z advekce složek

rychlosti větru (hybnosti), ty jsou pak koeficienty kvasilineárních rovnic pro advekci ostatních

proměnných, zejména teploty. Advekce pak zvětšuje jejich gradienty a v případě rovnic bez

difuze dosáhnou až singularity, kdy již nemůžeme uvažovat klasické řešení. Do rovnic vývoje

atmosféry jsou proto dávány i uměle difuzní procesy. Podle předchozí teorie můžeme říci, že

pro synoptické měřítko s jeho idealizací atmosférických front, jakožto diskontinuit, je úloha

předpovědi skutečně správně formulována pomocí nelineárních parciálních rovnic

hyperbolického typu, tedy rovnic bez disipace. Ve skutečné atmosféře vlivem difuze

k diskontinuitám nedojde a nelinearita rovnic vytvoří pouze velké gradienty, což je vidět

nejlépe na poli teploty. Tento proces se v meteorologii nazývá frontogeneze. Je tedy zcela

přirozené, že při integraci modelu, který vychází ze zcela hladkých počátečních podmínek, se

po určité době vytvoří atmosférické fronty. Z pozorování víme, že šíře pásma atmosférické

fronty je několik desítek kilometrů, ve vertikálním směru několik set metrů, přičemž

průměrný sklon frontální plochy vzhledem k povrchu Země bývá úhlových 0.50. Tyto údaje

jsou důležité pro posouzení popisu fronty na diskrétní síti. V globálním modelu

s horizontálním rozlišením, například s krokem v síti 100 km je fronta popsána vždy nejkratší

vlnou, kterou je možné na sítí popsat tedy vlnou dvou délek kroku v síti. Taková vlna je však

pro většinu numerických metod stacionární, tedy se nepohybuje. Model s krokem 100 km také

nemůže popsat dostatečně velké gradienty vznikající frontogenezí. Modely na omezené

oblasti s jemnějším rozlišením - LAM (limited area model) s krokem v síti 10 km velký

gradient v oblasti fronty můžou popisovat lépe, včetně pohybu fronty. Počáteční data pro

model jsou vlivem objektivní analýzy vždy dosti hladké, což pro diskrétní data znamená, že

koeficienty Fourierova rozvoje těchto dat s rostoucím vlnovým číslem konvergují rychle

k nule a neobsahují tedy popis front. Proto si můžeme položit otázku, jak je to s předpovědí

atmosférických front? Je vidět, že globální model vlivem rozlišení nemůže pohyb fronty

advekcí popsat. Zřejmě to příliš nevadí, když model dobře popisuje frontogenzi, která pro

výpočet správných frontálních srážek stačí. Rychlost pohybu front není totiž příliš velká a

některé fronty bývají i téměř stacionární.

Prakticky téměř všechny meteorologické modely jsou numericky integrovány na

obdélníkové horizontální oblasti. Globální modely mají ovšem tu výhodu, že nepotřebují

boční okrajové podmínky, protože jsou integrovány na celé zemské sféře, v systému

268

zeměpisných souřadnic jsou podmínky na okrajích obdélníka periodické. Úloha globální

předpovědi je proto Cauchyho úlohou. Předpověď na omezené oblasti pro určení řešení však

potřebuje mít dány změny meteorologických proměnných na okraji předpovědní oblasti,

změny na okrajích výpočetní oblasti sám vypočítat nemůže. Potřebuje proto ještě tak zvané

boční okrajové podmínky. Není však známa n nebo vůbec neexistuje formulace korektních

okrajových podmínek. Tento problém je řešen tak, že se v pásu podél hranice oblasti řešení

modelu na omezené oblasti přizpůsobuje řešení globálního „řídícího modelu“. Údaje

z globálního modelu se interpolují na sít lokálního modelu s kratším prostorovým krokem a

předpověď v tomto pásu vzniká jako lineární kombinace předpovědi lokálního modelu a

interpolovaných hodnot globálního modelu do sítě uzlových bodů lokálního modelu. Hodnoty

do pásů podél hranice výpočetní oblasti lokálního modelu se předávají z globálního modelu

po třech, nebo i šesti hodinách, a pro jejich kombinaci s hodnotami lokálního modelu se do

stejného času lineárně interpolují. Zdá se, že časový krok tři hodiny je dostačující, protože

globální model prakticky dostatečně nepopisuje atmosférické fronty a zejména jejich pohyb.

Přechod front přes z globálního modelu před hranice do lokálního modelu se v podstatě

nekoná. Důsledkem toho je, že oblast lokálního modelu nemůže být příliš malá.

Literatura

[1] Courant Richard: Partial differential equations, Methods of Mathematical Physics by R.

Courant and D. Hilbert, Volume II, New York-London 1962. (též ruský překlad 1964)

[2] Hopf Eberhard: The Differential Equations ut+uux=c uxx, Comm. Pure Appl. Math.,

Vol. 3, 1950 pp. 201-230.

[3] Lax P. D.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws II. Communications on Pure and

Applied Mathematics VOL. X, 537-566. 1957.

[4] Lax P., Wendroff B.: Systems of Conservation Laws. Communications on Pure and

Applied Mathematics VOL. XIII, 217-237. 1960.

[5] Olejnik O., A.: Razryvnyje rešenija nelinejnych differenciálnych urovnenij. Uspechi

matematičeskich nauk, tom XII. vyp. 3. maj 1957. s. 3-73.

[6] Platzman G. W.: An exact integral of spectral equations for unsteady one-dimensional

flow. Tellus XVI (1964), s. 422-430.

269

17. Aproximace nelineární rovnice advekce - konzervativní

schémata

V této kapitole se budeme zabývat aproximací nelineární rovnice advekce. Advekcí

rozumíme posun hmoty atmosféry prouděním, tedy větrem. Tento mechanizmus, spolu

s vlnovými pohyby vzduchových částic nám dává časový vývoj atmosféry. Přičemž advekce,

která je popsána v rovnicích nelineárními členy, má na svědomí vznik míst s velkými

prostorovými gradienty prognostických proměnných, tedy ze synoptického hlediska

atmosférických front. Bez nelineární advekce by tedy nebyla v atmosféře možná

frontogeneze.

17.1 Aproximace rovnice advekce Rovnici advekce můžeme napsat pro aproximaci ve dvou základních tvarech. První

tvar, který je pro aproximaci vhodnější, je divergentní tvar. Rovnici advekce veličiny α

píšeme v divergentním tvaru následovně

𝜕𝛼

𝜕𝑡+ 𝛁 ∙ (𝐯α) = 0

(17.1.1)

Kde α je libovolná proměnná, vektor rychlosti v, je buď dvourozměrný vektor 𝐯 = (𝑢, 𝑣),

nebo třírozměrný vektor rychlosti 𝐯 = (𝑢, 𝑣, 𝑤). 𝛁 je dvourozměrný, nebo třírozměrný

operátor divergence. Pro názornost si rozepišme vztah (17.1.1) pro dvourozměrný případ.

Máme

𝜕𝛼

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(𝑢α) +

∂

∂y(𝑣α) = 0

(17.1.2)

Druhou možností je rovnice advekce v tak zvaném advekčním tvaru, který ve vektorovém

zápisu je

𝜕𝛼

𝜕𝑡+ 𝐯 ∙ (𝛁α) = 0

(17.1.3)

Tento tvar se v dynamické meteorologii používá nejčastěji. Rozepsaný advekční tvar rovnice

advekce pro dvourozměrný případ je

𝜕𝛼

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝛼

𝜕𝑥+ 𝑣

∂α

∂y= 0

(17.1.4)

Integrujeme-li (17.1.1) na uzavřené oblasti V, pak dostaneme

𝜕

𝜕𝑡∫ ∝ 𝑑𝑣 = − ∫ 𝛁 ∙ (𝐯 ∝)𝑑𝑣

(17.1.5)

Integrál na pravé straně za předpokladu, že normálová složka vektoru v je na hranici oblasti

nulová, je podle Gaussovy věty roven nule. (Gaussova věta je formulována dále v souvislosti

s metodou kontrolovaného objemu). Vidíme tedy, že střední hodnota proměnné α je pro

rovnici v divergentním tvaru konzervativní veličinou, to znamená, že střední hodnota

proměnné se s časem nemění. Násobíme-li rovnici (17.1.1) proměnnou α máme

270

𝛼𝜕𝛼

𝜕𝑡= −𝛼 𝛁 ∙ (𝐯α)

(17.1.6)

Upravíme-li pravou stranu pomocí identity

𝛼∇(𝐯α) =1

2∇(𝐯 ∝2) +

∝2

2∇(𝐯)

(17.1.7)

kterou můžeme ověřit derivováním a integrujeme na oblasti V, dostáváme

𝜕

𝜕𝑡∫

𝛼2

2𝑑𝑣 = − ∫

1

2∇(𝐯 ∝2)𝑑𝑣 − ∫

𝛼2

2𝛁 ∙ 𝐯𝑑𝑣

(17.1.8)

Upravíme-li první integrál na pravé straně rovnice pomocí Gaussovy věty, máme

∫ ∇(𝐯 ∝2)𝑑𝑣 = ∮(𝐯 ∝𝟐)𝑛𝑑𝑠 = 0

kde jsme v Gaussově větě za A položily 𝑨 = 𝐯 ∝𝟐. Z předpokladu, že normálová složka

vektoru A je na hranici oblasti nulová je předchozí integrál roven nule. Dostáváme důležitý

vztah

𝜕

𝜕𝑡∫

𝛼2

2𝑑𝑣 = − ∫

𝛼2

2𝛁 ∙ 𝐯𝑑𝑣

(17.1.9)

Řešení diferenciální rovnice advekce tedy tento vztah splňuje. Proto řešení rovnice advekce

je kvadraticky konzervativní. Je proto rozumné, aby i diferenční schémata měla tuto

vlastnost také. Je-li splněn tento vztah pro diferenční aproximaci rovnice advekce, říkáme,

že diferenční schéma je kvadraticky konzervativní. Diferenční schéma, které zachovává

pouze střední hodnotu proměnné ∝, nazýváme konzervativním schématem. Diferenční

schéma, které zachovává střední hodnotu proměnné a navíc splňuje diferenční analogii

vztahu (17.1.9) nazýváme kvadraticky konzervativním schématem.

Jako příklad aproximace rovnice advekce (17.1.2) můžeme uvést následující vztah

𝛿𝑡𝛼𝑡 = 𝛿𝑥(𝛼𝑢) 𝑥 + 𝛿𝑦(𝛼𝑣) 𝑦

(17.1.10)

kde funkce α i složky větru jsou dány ve stejných uzlových bodech sítě. Pomocí sumace

můžeme ukázat, že toto schéma je konzervativní, není však kvadraticky konzervativní a není

také stabilní, což způsobuje nelineární instabilita. Již z intuitivního hlediska se dá říci

následující. Vlastnost kvadratické konservativnosti je vlastně obdobou zákona zachování

energie, ovšem energie v matematickém slova smyslu, o kterém jsme při energetické metodě

důkazu stability. Kvadraticky konzervativní schéma je tedy podle energetické metody stabilní

a to i ve smyslu nelineární instability. Je zřejmé, že pouhá konzervativnost ke stabilitě

schématu nestačí, neboť může nastat případ, kdy některé kladné hodnoty rostou nade všechny

meze a v součtu mohou být kompenzovány zápornými členy, které v absolutní hodnotě také

obdobně rostou.

Schémata typu Lax-Wendroffa

Jednou z možností jak dosáhnout stabilní aproximace nelineární rovnice advekce je

přidání difúzních členů do její aproximace. Tato metoda byla rozpracována v několika pracích

271

Laxe [6], a Lax-Wendroffa [7], nebo v monografii Rychtmyera a Mortona [8]. Jejich práce i

práce ruské školy, týkající se této rovnice, se soustředily na jiný problém, než je předpověď

počasí. Tyto práce byly motivovány numerickým modelováním obtékání křídel

nadzvukových letounů. Zde vzniká rázová vlna, která je skutečně diskontinuitou. Z tohoto

důvodu byla studována tak zvaná zobecněná řešení rovnice advekce založená na integrální

definici zobecněného řešení. Nicméně meteorologie se bez tohoto aparátu obejde, neboť

atmosférické fronty ve skutečnosti nejsou diskontinuitami, neboť tomu zbrání difuzní

procesy, které v atmosféře probíhají. Fronty jakožto diskontinuity jsou jistou užitečnou

abstrakcí v synoptické meteorologii, sloužící k názornému objasnění určitých stavů a dějů

v atmosféře, které zejména v minulosti sloužily k předpovědi počasí. Ve skutečnosti jsou

atmosférické fronty místy relativně velkých gradientů některých veličin. Tyto relativně velké

gradienty v poli teploty a větru jsou obvykle na intervalu délky čtyřiceti až padesáti kilometrů.

Vzhledem k tomu, že současné modely na omezené oblasti pracují s horizontální délkou

kroku okolo 10 km, jsou frontální oblasti celkem již dobře popsány a nejsou již dány vlnami

délky dvou kroků v síti. V globálních modelech je ovšem krok v síti obvykle asi 10 krát větší.

Na takové síti jsou pole veličin vlivem rozlišení sítě značně hladká a gradienty popisující

fronty zmenšené. Také jejich lokalizace nemůže být tak přesná.

Nicméně schémata typu Lax-Wendrofa byla úspěšně použita v některých

předpovědních modelech. Schéma Lax-Wendroffa pro účely meteorologie upravil Gadd [2]

tak, aby početní disperse vln a tedy chyba ve fázové rychlosti vln důležitých pro meteorologii

byla menší, než u původního schématu. V současnosti se však schéma Lax-Wendrffa

v předpovědních modelech vývoje atmosféry téměř nepoužívá. Nyní se používají zejména

kvadraticky konzervativní schémata, do kterých spadají i metody založené na Galerkinově

aproximaci, tedy spektrální metody i metody konečných prvků. V poslední době se pro

advekci používají nejčastěji semi-Lagrangeovská schémata.

Kvadraticky konzervativní schémata

Kvadraticky konzervativní schémata je možné odvodit pomocí Gaussovy věty.

Odvození kvadraticky konzervativního schématu pomocí Gaussovy věty se v současnosti

nazývá metodou kontrolovaného objemu. Tuto metodu pro rovnici advekce za předpokladu

nulové divergence, tedy 𝛁𝐯 = 0 formuloval pro velmi obecnou geometrickou konfiguraci sítě

Bryan [1]. Rovnici advekce lze pak totiž snadno napsat do divergentního tvaru. V tomto

případě má rovnice kontinuity tvar stejný jako v p-systému vertikální souřadnice a rovněž

stejný jako pro nestlačitelnou kapalinu, 𝛁𝐯 = 0. Pro pravidelnou síť, jejíž plochy ve třech

dimenzích omezují objemy tvaru kvádru, je tato metoda nazývána anglicky „box method“. To

je ovšem případ nejčastějšího použití metody kontrolovaného objemu. Metody založené na

jiné než diferenční aproximaci, například metody založené na Galerkinově aproximaci, což

jsou například spektrální metody, jsou rovněž kvadraticky konzervativní. Tyto metody ovšem

nejsou odvozeny metodou kontrolovaného objemu. Vlastnost, že tyto metody jsou

kvadraticky konzervativní, lze dokázat přímo. To je ovšem možné i pro diferenční schémata.

Abychom se seznámili se základními vlastnostmi kvadraticky konzervativní aproximace,

věnujme se jednoduchému případu aproximace rovnice advekce na dvourozměrné regulární

síti. Aproximace pro tuto regulární dvourozměrnou síť je uvedena v článku Arne

272

Grammeltvedta [2], ovšem bez jejího odvození metodou kontrolovaného objemu. Aproximace

je následující

𝛿𝑡𝛼𝑡 + 𝛿𝑥(𝑥𝑢𝑠) + 𝛿𝑦(𝑦𝑣𝑠) = 0

, (17.1.11)

což je v podstatě aproximace na střídavé síti, kde hodnoty proměnné α jsou definovány

v základních uzlech sítě a hodnoty složek rychlosti jsou definovány na síti posunuté o

polovinu kroku v obou směrech souřadných os x, y. Tyto složky rychlosti, 𝑢𝑠 a 𝑣𝑠 jsou tedy

vlastně normálovými složkami rychlosti ke stranám obdélníků tvořených souřadnicovými

přímkami posunuté sítě.

Průměrované hodnoty advehované proměnné α jsou definovány ve stejných bodech

jako složky rychlosti. Poznamenejme ještě, že kvadraticky konzervativní schémata je vhodné,

stejně jako proces geostrofického přizpůsobení, konstruovat na střídavých sítích. Na

standardní síti, kde všechny proměnné jsou definovány ve stejných bodech lze pro

kvadraticky konzervativní schéma definovat složky rychlosti v bodech střídavé sítě

průměrováním 𝑢𝑠 = 𝑥, 𝑣𝑠 = 𝑦.

Abychom ukázali, že schéma (17.1.11) je kvadraticky konzervativní, násobíme tento

vztah veličinou α a sečteme přes indexy j a k. Diferenční rovnice pro střední hodnotu kvadrátu

předpovědní proměnné má pak tvar

∑ 𝛼𝛿𝑡𝛼𝑡𝑗𝑘 = − ∑ [𝛼𝛿𝑥(𝑥𝑢𝑠) + 𝛼𝛿𝑦(𝑦𝑣𝑠)]𝑗𝑘 (17.1.12)

Pro zkrácení zápisu si provedeme úpravu prvního členu pravé strany, tedy na ose x. Druhý

člen upravíme pak stejně. Pro úpravu tohoto členu použijeme nejdříve diferenční obdobu

derivace součinu funkcí

𝛿𝑥(𝛼𝛽) = 𝑥𝛿𝑥𝛽 + 𝑥𝛿𝑥𝛼, (17.1.13)

jejíž platnost se dá snadno ověřit rozepsáním do indexovaných proměnných. Dostaneme tak

𝛼𝛿𝑥(𝑥𝑢𝑠) = 𝛼𝑥𝑥𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝑢𝑠 𝑥𝛿𝑥𝑥

Nyní zde nahradíme ještě činitel 𝑥𝑥 pomocí identity

𝑥𝑥 = (𝑥) 𝑥 =1

4[𝛼(𝑥 + ∆𝑥) + 2𝛼(𝑥) + 𝛼(𝑥 − ∆𝑥)]

(17.1.14)

Poznamenejme, že v základním uzlu, jemuž je přiřazena hodnota x nevypisujeme a píšeme

bez hodnoty proměnné, tedy 𝛼(𝑥) píšeme stručněji jako α. Dále používáme také označení 1

2[𝛼(𝑥 + ∆𝑥) + 𝛼(𝑥 − ∆𝑥)] = 2𝑥

(17.1.15)

První člen pravé strany proto je roven

𝛼𝛿𝑥(𝑥𝑢𝑠) = 𝛼𝑥𝑥𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝑢𝑠 𝑥𝛿𝑥𝑥 =1

2𝛼2𝑥𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝛼𝑢𝑠 𝑥𝛿𝑥𝑥 +

1

2𝛼2𝛿𝑥𝑢𝑠 (17.1.16)

Nyní pomocí předchozího vztahu můžeme vztah (16.1.12) napsat ve tvaru

∑ 𝛼𝛿𝑡𝛼𝑡

𝑗𝑘

= − ∑ [1

2𝛼2𝑥𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝛼𝑢𝑠 𝑥𝛿𝑥𝑥 +

1

2𝛼2𝑦𝛿𝑦𝑣𝑢𝑠 + 𝛼𝑣

𝑦𝛿𝑦𝑦]

𝑗𝑘

− ∑1

2𝛼2(𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝛿𝑦𝑣𝑠)

𝑗𝑘

(17.1.17)

První sumace na prvé straně se skládá ze součtu vždy dvou stejných členů s opačnými

znaménky. Pouze první a poslední člen celý nemusí vyrušit. Je-li funkce α periodická, vyruší

se pevní a poslední člen také. Není-li funkce α periodická, je třeba předpokládat, aby do

273

oblasti nebyl vtok ani z ní výtok, tedy aby na hranici oblasti V byly nulové normálové složky

rychlosti. První suma na pravé straně je tedy rovna nule. Proto platí

∑ 𝛼𝛿𝑡𝛼𝑡

𝑗𝑘

= − ∑1

2𝛼2(𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝛿𝑦𝑣𝑠)

𝑗𝑘

, (17.1.18)

což je diferenční obdoba (17.1.5) a diferenční aproximace je tedy kvadraticky konzervativní.

Nyní studujme ještě rovnici advekce napsanou v advekčním tvaru. 𝜕𝛼

𝜕𝑡+ 𝐯 ∙ (𝛁α) = 0

(17.1.19)

V tomto tvaru rovnice nezachovává střední hodnotu proměnné α , není to tedy konzervativní

tvar. Rovnici proto přepíšeme následovně 𝜕𝛼

𝜕𝑡+ 𝛁 ∙ (𝐯α) − α𝛁 ∙ 𝐯 = 0

, (17.1.20)

Rovnici advekce v tomto tvaru násobme α a integrujme opět přes uzavřenou oblast V. Při

postupu stejném jako při odvození rovnice (17.1.9) docházíme ke vztahu, který se liší od

vztahu (17.1.9) znaménkem na pravé straně rovnice

𝜕

𝜕𝑡∫

𝛼2

2𝑑𝑣 = ∫

𝛼2

2𝛁 ∙ 𝐯𝑑𝑣

(17.1.21)

Rovnice (17.1.20) rozepsaná do složek je 𝜕𝛼

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(𝑢α) +

∂

∂y(𝑣α) − α (

∂𝑢

∂x+

∂v

∂y) = 0

(17.1.22)

Použijeme-li pro první dva členy aproximaci (17.1.7) můžeme aproximaci (16.1.15) napsat

ve tvaru

𝛿𝑡𝛼𝑡 + 𝛿𝑥(𝑥𝑢𝑠) + 𝛿𝑦(𝑦𝑣𝑠) − 𝛼(𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝛿𝑦𝑣𝑠) = 0

(17.1.23)

Po vynásobení proměnnou α a sumací dostáváme vztahy obdobné jako pro (17.1.18), tedy

∑ 𝛼𝛿𝑡𝛼𝑡

𝑗𝑘

= ∑1

2𝛼2(𝛿𝑥𝑢𝑠 + 𝛿𝑦𝑣𝑠)

𝑗𝑘

(17.1.24)

Tento vztah je zákonem zachování průměrné hodnoty čtverce proměnné α. Je-li splněn je

schéma kvadraticky konzervativní.

Metoda kontrolovaného objemu a Gaussova věta

Chceme-li snadno pochopit smysl a formulaci Gaussovy věty, a její použití při

konstrukci diferenčních schémat, vyjdeme z fyzikálních představ, které ještě navíc

přizpůsobíme budoucímu využití v diferenčních metodách používaných při modelování

atmosféry. Studujme proto proudění tekutiny kvádrem, jehož hrany jsou rovnoběžné s osami

souřadnic a tedy plochy stran rovnoběžné se souřadnicovými rovinami. Délky hran kvádru

nechť jsou ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧. Tekutina nechť proudí tímto kvádrem ve směru osy x. Plocha průřezu

kvádru ve směru toku tekutiny je ∆𝑞 = ∆𝑦 ∙ ∆𝑧. Intenzitu proudění charakterizujeme

proudovou hustotou J, což je množství tekutiny, které proteče jednotkovou plochou za

jednotku času. Je tedy

𝐽 =∆𝑚

∆𝑞 ∙ ∆𝑡

274

, (17.1.25)

kde ∆𝑚 je hmotnost množství tekutiny která protekla tímto kvádrem za čas ∆𝑡. Proudovou

hustotu tekutiny ve směru osy x můžeme upravit na tvar

𝐽 = 𝐽𝑥 =∆𝑚

∆𝑞 ∙ ∆𝑥

∆𝑥

∆𝑡= 𝜌𝑢

(17.1.26)

Kde 𝜌 = ∆𝑚/∆𝑉 je hustota tekutiny, ∆𝑉 = ∆𝑞 ∙ ∆𝑥 je její objem a 𝑢 = ∆𝑥/∆𝑡 je její rychlost

ve směru osy x. Přechodem k limitě ∆𝑉 → 0, ∆𝑡 → 0, ∆𝑥 → 0 dostaneme místní hustotu a

rychlost.

Rychlost proudění je ovšem dána vektorovým polem rychlosti v, a hustota skalární

funkcí 𝜌 . Tyto veličiny jsou v prostoru funkcemi souřadnic x, y, z, t. Zavedeme také pojem

vektor proudové hustoty, který definujeme vztahem

𝐉 = 𝜌𝐯 (17.1.27)

Součin hmotnosti a rychlosti je hybnost, takže 𝑱 je vlastně hybností objemové jednotky.

Vezmeme-li libovolně orientovaný plošný element dS, pak za jednotku času proteče tímto

plošným elementem množství tekutiny 𝐉 ∙ d𝐒 ≡ JndS, kde Jn je normálová komponenta.

Uzavřená plocha vytváří určitý objem V. Množství tekutiny, které proteče za jednotku času

touto hraničenou plochou do okolního prostoru, je tok (intenzita proudění), což vyjádříme

integrálem

𝐼 ≡ ∮ 𝐉 ∙ d𝐒

(17.1.28)

Kde kroužek u integrálu zdůrazňuje, že se jedná o integraci přes uzavřenou plochu. S ohledem

na uvedený příklad, se každý integrál tvaru

∮ 𝐀 ∙ d𝐒 ≡ ∮(AxdSx + AydSy + AzdSz)

(17.1.29)

nazývá tokem vektoru A uzavřenou plochou S. Poněvadž uzavřená plocha ohraničuje jistý

objem, dá se očekávat, že integrál (17.1.29) se dá převést na integrál přes objem ohraničený

touto uzavřenou plochou. Naznačíme ideu takové transformace.

Rozdíl toku složky 𝐴𝑥 vektoru A mezi ploškami 𝑑𝑆𝑥 ≡ 𝑑𝑦𝑑𝑧 postavenými v bodech osy x

(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧) a (𝑥, 𝑦, 𝑧), tedy v našem případě zjednodušené oblasti tvaru kvádru rozdíl mezi

hodnotou na pravé a levé straně kvádru je

[𝐴𝑥(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝐴𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)]𝑑𝑦𝑑𝑧

(17.1.30)

Protože rozdíl v předchozím vztahu můžeme napsat jako

𝐴𝑥(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝐴𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥

(17.1.31)

Rozdíl toků mezi pravou a levou ploškou je tedy roven

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑉

kde 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 je objemový element. Obdobně upravíme členy podle ostatních

souřadnicových os. Sečtením toků všemi třemi ploškami dostaneme tok vektoru A celou

uzavřenou plochou. Výsledkem je Gaussova věta (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)

275

∮ 𝐀 ∙ 𝑑𝐒 = ∭ div𝐀 dV

(17.1.32)

Která převádí integrál přes uzavřenou plochu S na integrál přes objem V vytvořený touto

uzavřenou plochou.

Odvození kvadraticky konzervativního schématu metodou kontrolovaného objemu

Nyní se věnujme konstrukci kvadraticky konzervativního schématu pomocí Gaussovy

věty. Při konstrukci kvadraticky konzervativního schématu se inspirujeme v práci Kirka

Briana [1], která je z hlediska geometrie možné sítě velmi obecná. Hodí se například i pro sítě

ve sférických souřadnicích, kde se počet uzlů ve směru k pólu zmenšuje, což je použito

v práci Kurihara a Holloway [1].

Při prvním pohledu se v následující formulaci jeví předpoklad nulové divergence

studovaných rovnic jako omezující, což interpretujeme-li tuto nulovou divergenci jako rovnici

kontinuity budí dojem, že se tato metoda dá použít pouze v p-systému souřadnic. V dalším si

ukážeme, že tomu tak není a ukážeme si jak je tomu například v 𝜎-systému, kde rovnice

kontinuity obsahuje člen s časovou derivací. Brian ovšem studuje následující rovnice

𝜕𝛼

𝜕𝑡+ 𝐯 ∙ (𝛁α) = 0

(17.1.33)

∇ ∙ 𝐕 = 0

a vlastnosti jejich řešení na oblasti, kterou označme R. Normálový složka proudění vzhledem

k hranici oblasti nechť je rovna nule. Oblast R rozdělme na J podoblastí, jejich objemy

označme 𝑟𝑗 . Nechť ∝𝑗 jsou střední hodnoty veličiny ∝ v j-té podoblasti. Zavedeme

následující součty

∑ ∝𝑗 𝑟𝑗 = 𝐼1

𝐽

𝑗=1

(17.1.34)

∑ ∝2𝑗 𝑟𝑗 = 𝐼2

𝐽

𝑗=1

(17.1.35)

Integrujme nyní rovnici advekce (17.1.23) po objemu 𝑟𝑗 , dostaneme

𝑟𝑗

𝜕 ∝𝑗

𝜕𝑡= − ∭ 𝛁 ∙ (𝐯α)dV

(17.1.36)

S použitím Gaussovy věty máme

𝑟𝑗

𝜕 ∝𝑗

𝜕𝑡= ∮ 𝑉𝑛 ∝𝑠 𝑑𝑠

(17.1.37)

Kde 𝑉𝑛 a ∝𝑠 jsou normálová složka rychlosti a hodnota ∝ na ploše podoblasti s indexem j .

Při aproximaci pravé strany (17.1.37) předpokládáme, že plocha podoblasti s indexem j se

skládá z 𝐾𝑗 ploch rozhraní s jinými podoblastmi a tyto plochy mají velikost 𝐴𝑘,𝑗. Střední

hodnotu normálové složky rychlosti pro každou tuto plochu rozhraní označme 𝑉𝑗,𝑘.

276

Hodnotu ∝, na ploše rozhraní mezi dvěma podoblastmi s indexy j a k, definujeme jako

aritmetický průměr (∝𝑗+∝𝑘)/2. Při tomto označení můžeme aproximaci (17.1.37) a tedy

aproximaci (17.1.33) psát ve tvaru

𝑟𝑗

𝜕 ∝𝑗

𝜕𝑡= − ∑ 𝑉𝑘,𝑗(∝𝑗+∝𝑘)𝐴𝑘,𝑗/2

𝐾𝑗

𝑘=1

(17.1.38)

Aproximace rovnice kontinuity má pak tvar

∑ 𝑉𝑘,𝑗𝐴𝑘,𝑗 = 0

𝐾𝑗

𝑘=1

(17.1.39)

Nyní ukážeme, že aproximace (17.1.38) a (17.1.39) zachovává hodnoty 𝐼1 a 𝐼2 jestliže

nebereme v úvahu chyby vzniklé aproximací časových derivací. Vypočteme-li součet přes

všechny podoblasti, dostaneme, že změna veličiny 𝐼1 je

𝜕𝐼1

𝜕𝑡= − ∑ ∑ 𝑉𝑘,𝑗(∝𝑗+∝𝑘)

𝐾𝑗

𝑘=1

𝐴𝑗,𝑘/2

𝐽

𝑗=1

(17.1.40)

Členy pravé strany této rovnice se dělí na dvě skupiny. Ty členy, které odpovídají plochám

oddělujícím dvě sousední podoblasti, tvoří dvojice, jimž odpovídají dva členy s obráceným

znaménkem a ty se vyruší. Ostatní členy odpovídají plochám, které tvoří vnější hranici

oblasti. Ty jsou nulové, protože normálová složka rychlosti k vnější hranici je nulová.

Změnu veličiny 𝐼2 můžeme napsat ve tvaru

𝜕𝐼2

𝜕𝑡= − ∑ ∑ 𝑉𝑘,𝑗(∝𝑗

2+∝𝑘∝𝑗)

𝐾𝑗

𝑘=1

𝐴𝑗,𝑘/2

𝐽

𝑗=1

(17.1.41)

Neboli

𝜕𝐼2

𝜕𝑡= − ∑ ∝𝑗

2 ∑ 𝑉𝑘,𝑗

𝐾𝑗

𝑘=1

𝐴𝑗,𝑘 − ∑ ∑ ∝𝑘∝𝑗

𝐾𝑗

𝑘=1

𝐴𝑗,𝑘𝑉𝑘,𝑗

𝐽

𝑗=1

𝐽

𝑗=1

(17.1.42)

První člen je roven nule, jestliže je splněn vztah (17.1.39) který je aproximací vztahu nulové

divergence tedy vztahu ∇ ∙ 𝐕 = 0. Druhý součet na pravé straně (17.1.42) je roven nule ze

stejných příčin, jako je tomu ve vztahu (17.1.40). Ty členy, které odpovídají plochám

oddělujícím dvě sousední podoblasti, tvoří dvojice, jimž odpovídají dva členy s obráceným

znaménkem a ty se vyruší. Ostatní členy odpovídají plochám, které tvoří vnější hranici

oblasti. Ty jsou nulové, protože normálová složka rychlosti k vnější hranici je nulová.

Metoda kontrolovaného objemu se dá ještě dále modifikovat a zobecňovat.

Všimneme-li si že rozhodujícím faktem při odvození schémat touto metodou je, aby na

plochách omezujících dva sousední objemy byly pro oba objemy stejné hodnoty toků.

V jednom ven a v druhém dovnitř. Proto tyto toky musí být v absolutní hodnotě stejné a musí

mít opačné znaménko. Pak se totiž při sumaci vzájemně vyruší. Hodnota α na hranici objemů

277

musí být tedy pro oba objemy stejná, nemusí to ovšem být jejich aritmetický průměr hodnot

v obou sousedních objemech, jak je to v předchozím textu. Může to být například jejich

geometrický průměr, tedy odmocnina z jejich součinu. V nových metodách definování této

hodnoty může být i složitější, například s použitím kombinací schémat vyššího řádu

s monotónními schématy. Po těchto zobecněních se pak metoda odvození schématu nazývá

metodou kontrolovaných toků.

Příklad použití metody kontrolovaného objemu.

Pomocí této metody odvodíme aproximaci (17.1.11) rovnice (17.1.1), která je shodná

s rovnicí (17.1.33). Aproximaci této rovnice metodou kontrolovaného objemu dává vztah

(17.1.38). Při nulové divergenci aproximované vztahem (17.1.39) jsou zachovány veličiny 𝐼1

a 𝐼2 . Aproximaci provedeme na C-síti, kde ∆𝑥 𝑎 ∆𝑦 jsou délky kroků v síti na ose x,y, a kde

složky vektoru rychlosti označme indexem s. Aproximace ve směru osy x je následující.

Neboť 𝑟𝑗 = ∆𝑥∆𝑦 je podle (17.1.38)

∆𝑥∆𝑦𝜕𝛼

𝜕𝑡= −∆𝑦[𝑢𝑥](𝑥 + ∆𝑥/2) + ∆𝑦[𝑢𝑥](𝑥 − ∆𝑥/2)

, (17.1.43)

Ve zkráceném zápisu pro obě prostorové proměnné x, y pak máme

𝜕𝛼

𝜕𝑡= −𝛿𝑥(𝑥𝑢𝑠) + 𝛿𝑦(𝑦𝑣𝑠)

, (17.1.44)

což je výsledné hledané schéma.

17.2 Sadournyho schéma Kvadraticky konzervativní aproximace, které jsme studovali v předchozí části, se sice

mohou použít pro všechny prognostické proměnné a dostaneme tím stabilní schémata. Ve

skutečnosti jsou vhodné zejména pro aproximaci advekce skalárních veličin. Z hlediska

hydrodynamických invariantů je pro aproximaci advekce pole větru vhodné použít poněkud

složitější přístup. Schéma vhodné pro aproximaci advekce větru pochází od Sadournyho [9] a

je založeno na zákonu zachování absolutní potenciální vorticity a též jejího kvadrátu,

absolutní potenciální enstrophie. V jeho v článku je formulováno pro rovnice mělké vody.

Toto schéma je velmi zdařilé.

Zobecnění tohoto schématu pro baroklinní atmosféru jsem použil v modelu počítaném

v létech 1987 – 1994 v ČHMU. Toto schéma bylo použito také v provozním modelu

PERIDOT francouzské meteorologické služby, o čemž pojednáme dále. Z hlediska zákonů

zachování Sadournyho schéma zachovává absolutní potenciální vorticitu pro rovnice mělké

vody, což je 휂/ℎ a její čtverec nazývaný absolutní potenciální enstrophií. Zde použijeme

stejná označení, jako v kapitole 5. Rovnice mělké vody.

Formulaci rovnic pro zapsání schématu ještě trochu upravíme. Zavedeme složky toku

hmoty, neboli složky vektoru proudové hustoty, označené velkými písmeny vztahy

𝑈 = ℎ𝑢 a 𝑉 = ℎ𝑣 (17.2.1)

Absolutní vorticitu označíme obvyklým písmenem 휂 , je tedy

278

휂 =𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑓

(17.2.2)

Absolutní potenciální vorticitu označme

𝑣𝑜𝑟 =휂

ℎ= (

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑓) /ℎ

(17.2.3)

Rovnice mělké vody pro aproximaci s přihlédnutím ke vztahům 𝑣휂 = 𝑉. 𝑣𝑜𝑟 , 𝑢휂 = 𝑈. 𝑣𝑜𝑟

napíšeme ve tvaru

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝑉. 𝑣𝑜𝑟 +

𝜕

𝜕𝑥(gh + 𝐾) = 0

(17.2.4) 𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑈. 𝑣𝑜𝑟 +

𝜕

𝜕𝑦(gh + 𝐾) = 0

(17.2.5)

kde K je kinetická energie

𝐾 = (𝑢2 + 𝑣2)/2 (17.2.6)

Φ je geopotenciál volné hladiny, tedy Φ = 𝑔ℎ

Divergence je

𝐷 =𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦

(17.2.7)

Rovnici kontinuity (23) můžeme psát pro explicitní schéma v divergentním tvaru

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(𝑢ℎ) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑣ℎ) = 0

(17.2.8)

Pro aproximaci rovnic aproximaci použijeme c-síť v Arakawově klasifikaci sítí.

Nyní již můžeme přikročit k aproximaci rovnic. Složky toku hmoty (25) aproximujeme

vztahy

𝑈 = ℎ𝑥𝑢 a 𝑉 = ℎ𝑦𝑣 (17.2.9)

absolutní potenciální vorticitu (26) aproximujeme

𝑣𝑜𝑟 = (𝛿𝑥𝑣 − 𝛿𝑦𝑢 + 𝑓)/ℎ𝑥𝑦 (17.2.10)

Poznamenejme, že hodnoty Coriolisova parametru máme tabelovány ve všech uzlových

bodech, tedy i v uzlech posunutých sítí, proto nejsou nikde průměrovány. Divergenci

𝐷 = 𝛿𝑥𝑢 + 𝛿𝑦𝑣 (17.2.11)

Aproximace rovnic (17.2.4.) a (17.2.5), která zachovává potenciální enstrophii má tvar

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝑥𝑦𝑣𝑜𝑟 𝑦 + 𝛿𝑥(Φ + 𝐾) = 0

(17.2.12)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑥𝑦𝑣𝑜𝑟 𝑥 + 𝛿𝑦(Φ + 𝐾) = 0

(17.2.13)

kde kinetická energie z hlediska zákonů zachování musí být aproximována vztahem

279

𝐾 = (𝑢2 𝑥+ 𝑣2 𝑦

) /2 (17.2.14)

Zbývá nám ještě aproximovat rovnici kontinuity, která splňuje zákony zachování. Ta může

mít různý tvar. Nejjednodušší je vyjít z rovnice v divergentním tvaru. Pak taková aproximace

má velmi jednoduchý přirozený tvar

∂Φ

𝜕𝑡+ 𝛿𝑥𝑈 + 𝛿𝑦𝑉 = 0

(17.2.15)

Diferenční schéma (17.2.12) a (17.2.13) je z hlediska meteorologie tak výhodné, protože je

to schéma kvadraticky konzervativní, které ovšem zachovává důležitý hydrodynamický

invariant absolutní potenciální vorticitu a její kvadrát, který se nazývá absolutní potenciální

enstrophií. To ovšem je zde formulováno pro rovnice mělké vody, tedy pro barotropní

atmosféru. Princip důkazu tohoto tvrzení je následující. Stejným způsobem, jako se odvozuje

rovnice vorticity derivováním ve spojitém případě, použijeme stejný postup na diferenční

úrovni. Na diferenční aproximace rovnic aplikujeme místo derivací jim odpovídající

diferenční operátory a odvodíme tak diferenční analogii rovnice vorticity.

Na rovnici (17.2.13) aplikujeme operator 𝛿𝑥 a odečteme od ní rovnici (17.2.12) na níž

jsme aplikovali operátor 𝛿𝑦. Vzhledem k tomu, že 𝛿𝑥𝑦 = 𝛿𝑦𝑥 členy s diskrétním gradientem

se vyruší a vzhledem k tomu, že 𝑣𝑜𝑟. ℎ𝑥𝑦 = 𝛿𝑥𝑣 − 𝛿𝑦𝑢 + 𝑓 a derivace Coriolisova

parametru podle času je rovna nule máme

𝜕

𝜕𝑡(𝑣𝑜𝑟. ℎ𝑥𝑦) + 𝛿𝑥(𝑥𝑦𝑣𝑜𝑟 𝑥) + 𝛿𝑦(𝑥𝑦𝑣𝑜𝑟 𝑦) = 0

(17.2.16)

Což je diskrétní analogie rovnice vorticity v divergenčním tvaru. Z čehož vyplývá zákon

zachování střední hodnoty absolutní potenciální vorticity ve vertikálním sloupci tekutiny.

Kombinací této rovnice s diferenční analogií rovnice kontinuity průměrované ve směru os x,y

𝜕

𝜕𝑡(ℎ𝑥𝑦) + 𝛿𝑥(𝑥𝑦) + 𝛿𝑦(𝑥𝑦) = 0

(17.2.17)

Snadno nahlédneme, že pro derivace platí vztah 𝜕

𝜕𝑡(𝑣𝑜𝑟2ℎ) = 2𝑣𝑜𝑟

𝜕

𝜕𝑡(𝑣𝑜𝑟. ℎ) − 𝑣𝑜𝑟2

𝜕ℎ

𝜕𝑡

(17.2.18)

Diferenční analogii tohoto vztahu můžeme psát ve tvaru

2𝑣𝑜𝑟𝛿𝑥(𝑣𝑜𝑟 𝑥ℎ) − 𝑣𝑜𝑟2𝛿𝑥 = 𝛿𝑥(𝑣𝑜𝑥2ℎ)

, (17.2.19)

kde 𝑣𝑜𝑥2 znamená čtverec geometrického průměru, tedy vlastně součin obou veličin.

Násobíme-li rovnici (17.2.16) koeficientem 2. 𝑣𝑜𝑟 a odečteme od ní rovnici kontinuity

(17.2.17) násobenou čtvercem absolutní potenciální vorticity 𝑣𝑜𝑟2 s použitím předchozích

dvou vztahů dostaneme 𝜕

𝜕𝑡(𝑣𝑜𝑟2ℎ𝑥𝑦) + 𝛿𝑥 (𝑣𝑜𝑟2

𝑥𝑥𝑦) + 𝛿𝑦 (𝑣𝑜𝑟2

𝑦𝑥𝑦) = 0

(17.2.20)

Což ukazuje, že schéma je kvadraticky konzervativní. Kdybychom v rovnicích změny

hybnosti členy s vorticitou průměrovali následovně

280

𝜕𝑢

𝜕𝑡− 𝑥𝑣𝑜𝑟 𝑦 + 𝛿𝑥(Φ + 𝐾) = 0

(17.2.21)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑦𝑣𝑜𝑟 𝑥 + 𝛿𝑦(Φ + 𝐾) = 0

(17.2.22)

Dostáváme schéma, které zachovává celkovou energii. Toto schéma není pro meteorologii

nejvýhodnější, protože v meteorologii je rozhodující rotační část větru. Divergenční část větru

je spojená s gravitačními vlnami, jejichž amplituda je proto v modelech potlačována.

Literatura:

[1] Bryan Kirk: A Scheme for Numerical Integration of the Equations of Motion on an

Irregular grid Free of Nonlinear Instability. Monthly Weather Review Vol. 94, 1966, s. 39-40.

[2] Gadd A. J.: A numerical sdvection scheme with small phase speed errors, Qurt. J. R. Met.

Soc. Vol. 104, (1978), s. 583-594.

[3] Grammeltvedt Arne: A Survey of the Finite-Difference Schemes for the Primitive

Equations for a Barotropic Fluid. Monthly Weather Review Vol. 97, 1969, s. 384-404.

[4] Kurihara Y.,Holloway J. L.: Numerical Integration of a Nine-Level Global Primitive

Equations Model Formulated by the Box Method, Monthly Weather Review Vol. 95, 1967,

s.509-530.

[5] Kvasnica Josef: Matematický aparát fyziky. ČSAV, Academia, Praha 1989.

[6] Lax Peter: Hyperbolic Systems of Conservations Laws II. Communications on Pure and

Applied Mathematics Vol. X, (1957) s. 537-566.

[7] Lax Peter, Wenroff Burton: Systems of Conservation Laws. Communications on Pure and

Applied Mathematics Vol. XIII, (1960), s. 217-237.

[8] Richtmyer Robert. D., Morton K.W.: Difference Methods for Initial-Value Problems,

INTERSCIENCE PUBLISHERS OF John Wiley & Sons, 1967.

[9] Sadourny Robert: The Dynamics of Finite-Difference Models of the Shallow-Water

Equations, Journal of Atmospheric Sciences Vol. 32, (1975), s. 680-689.

281

18. Eulerovský baroklinní model v hydrostatickém přiblížení Úvod

V tomto úvodu chci navázat na kapitolu 13. „Vlnové pohyby v atmosféře“ a vysvětlit,

proč při současné numerické předpovědi počasí se stále používají modely s hydrostatickou

aproximací, ve kterých je rovnice hybnosti ve vertikálním směru zjednodušena na pouhé dva

členy a redukována tedy na rovnici hydrostatické rovnováhy. Tato skutečnost je dána

v podstatě tvarem oblasti fyzikální úlohy synoptické předpovědi. Vrstva vzduchu na naší

planetě totiž tvoří vzhledem k rozměrům Země jen velmi tenkou vrstvu nad povrchem Země.

Proto i výpočetní oblast modelů na omezené oblasti, označovaných zkratkou LAM (z

anglického Limited Area Model) má tvar tenké obdélníkové desky. Pro přesnější představu

měla oblast modelu, na které jsem zkoušel různé techniky aproximace horizontální rozměr

přibližně čtverec o straně 6 000 km. Ve vertikálním směru byl sice použit 𝜎-systém, ale

tloušťku skutečné atmosféry můžeme odhadnout na 20 km. To znamená, že horizontální

rozměr oblasti výpočtu v km má poměr 1 : 300 a oblast výpočtu má skutečně tvar tenké

destičky. Další skutečností je, že i v modelech s orografií se používají horizontální složky

větru a gradientu tlaku a model bych v tomto případě nazval kvazi-horizontální. Synoptické

vertikální rychlosti jsou v modelu s hydrostatickou aproximací dány divergencí

horizontálního větru, nezahrnují také tepelnou konvekci, jejíž rozměry jsou menší, než je

rozlišení výpočetní sítě. Tepelná konvekce nemůže tudíž být v modelu ani adekvátně popsána.

Přesný popis konvekce by vzhledem k nemožnosti předpovědi polohy, kde se konvektivní

výstupní proud vyskytne, nemá proto ani smysl. Tato skutečnost vyplývá z prací o tepelné

konvekci Edvarda Lorenze. Konvekce je tedy v modelech v podstatě vždy parametrizací, kdy

se odstraňuje instabilita teplotního zvrstvení atmosféry, tím, že se přebytečné teplo přenáší

směrem vzhůru. Řešení rovnic nehydrostatických, tedy modelů plně stlačitelné atmosféry

naráží zejména na problém, že ve vertikálním směru se vyskytují zvukové vlny, jejichž fázová

rychlost je velká (přibližně 300 m /s). Pro explicitní schéma by vzhledem k CFL kritériu

stability výpočtu bylo třeba volit časový krok řádově sekundy, což by na současných

počítačích bylo z hlediska výpočetního času neúnosné. Časové změny prognostických veličin

v jednotlivých časových krocích by byly také velmi malé, což by vyžadovalo dostatečnou

přesnost výpočtů. Tato přesnost by však pro současné superpočítače nebyla asi problémem.

Pro efektivnost výpočtů musí být tedy aproximace zvukových vln implicitní. Podle mého

názoru, používá-li se i v modelech s orografií zjednodušení, že místo skutečného větru a

gradientu tlaku se používá pouze jejich průmět do horizontální roviny, tedy horizontální vítr a

horizontální gradient tlaku, nebudou se výsledky modelu s hydrostatickou aproximací a s plně

stlačitelnou atmosférou od sebe významně lišit. Toto zjednodušení je adekvátní stejně pouze

pro hydrostatické modely. Je dobré si také všimnout, že modely, které jsou v provozu pro

každodenní předpověď počasí, používají až na výjimky hydrostatickou aproximaci. Na vývoji

nehydrostatických modelů sice pracuje, což je motivováno také prestiží. Myslím si však, že

tyto modely se uplatní spíše pro jiné účely, jako je modelování konvektivní bouřky, nebo

tropické cyklóny, než pro synoptickou předpověď počasí. I když jsem se vývojem

nehydrostatických modelů rovněž zabýval, není podle mého názoru vyřešen problém

správného zahrnutí orografie do nehydrostatického modelu tak, aby umožnil jeho

jednoduchou a efektivní numerickou realizaci. To je také důvod, proč se nehydrostatické

282

modely pro každodenní předpověď většinou neužívají a i my se v dalším budeme zabývat

pouze předpovědními modely v hydrostatické aproximaci.

18.1. Řídící rovnice modelu v 𝝈-systému vertikální souřadnice

V této kapitole si formulujeme řídící rovnice baroklinního modelu v hydrostatickém

přiblížení v 𝜎-systému vertikální souřadnice pro model na omezené oblasti. Tyto modely jsou

označovány zkratkou LAM, což zkracuje Limited Area Model. Formulaci řídících rovnic

provedeme jednak pro Eulerovský model, ale zároveň s ní také modifikaci těchto rovnic pro

semi-Lagrangeovský způsob časové integrace. Porovnání obou způsobů integrace je poučné a

docela zajímavé. Zásadní rozdíl ve formulaci rovnic spočívá v tom, že pro Eulerovský model

se pro aproximaci používají rovnice ve tvaru zákona zachování, tedy v divergentním tvaru,

zatímco pro semi-Lagrangeovskou aproximaci se používají rovnice v advekčním tvaru. Za

vertikální souřadnici jsem zvolil Phillipsův 𝜎-systém, protože je hojně používaný a princip

aproximací na základě zákonů zachování je v něm nejnázornější. Výklad v p-systému by byl

archaický, neboť se v prognostických modelech v současnosti již nepoužívá. Zároveň je také

poněkud zavádějící, protože rovnice kontinuity neobsahuje časovou derivaci, a v důsledku

toho ve stejném objemu vyjádřeném v souřadnicích p-systému je vždy stejné množství hmoty

atmosféry. Advekční tvar pro složky větru je proto možné přepsat do divergentního tvaru pro

libovolnou veličinu, například pro složky rychlosti. V 𝜎-systému to není možné, což odpovídá

tomu, že příslušný zákon zachování není pro složky rychlosti, ale pro složky hybnosti. Postup

časové integrace takto formulovaného modelu si včetně semi-implicitního schématu

probereme do všech detailů, včetně vysvětlení správné formulace výpočetního schématu.

Formulace předloženého modelu také navazuje na výklad transformace z p-systému do 𝜎-

systému a zpět, který je popsán v 8. Kapitole.

Označení proměnných a konstant modelu

V modelu používáme následující označení proměnných a konstant: Nezávisle proměnné:

x, y jsou pravoúhlé souřadnice na konformní mapě

t čas

𝜎 = 𝑝 𝑝𝑠⁄ vertikální souřadnice (𝑥, 𝑦, 𝜎) tvoří 𝜎-systém vertikálních souřadnic),

kde p je tlak a 𝑝𝑠 je tlak na povrchu země (na orografické ploše)

(v programech je tlak 𝑝𝑠 často označovaný PN, jako tlak normalizační)

Konstanty a funkce použité v modelu:

a = 6 371 229 m je poloměr zemské sféry

den = 86 164 sec délka hvězdného dne

𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠2 tíhové zrychlení země

Ω=𝜋 43 082⁄ = 7.292123 ∙ 10−5 je úhlová rychlost otáčení Země

zeměpisná šířka

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2Ω sin 𝜑 Coriolisův parametr

𝑚(𝑥, 𝑦) koeficient zkreslení konformní mapy

283

𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑚2(𝑥, 𝑦) čtverec zkreslení mapy

R = 287 [𝐽 𝑘𝑔−1𝐾−1] plynová konstanta pro suchý vzduch

𝑐𝑝 = 1004 [𝐽 𝑘𝑔−1𝐾−1] specifické teplo suchého vzduchu při konstantním tlaku

𝜅 = 𝑅 𝑐𝑝 = 0.286⁄

c je koeficient útlumu divergence horizontálního větru

Poznámka: Při pohybu Země kolem Slunce je délka roku 365.25 dne což v sekundách je

𝑑 = 365.25 ∗ 24 ∗ 3600 = 315 576 600 s. Vzhledem ke hvězdám má ovšem rok o jednu

otáčku více, tedy 366.25 otáčky. Délka času jedné otáčky je proto kratší a je rovna

𝑑 366.25⁄ = 86 164 𝑠. Tato hodnota dává skutečnou rychlost otáčení Země.

Prognostické proměnné:

𝑢∗, 𝑣∗ jsou horizontální složky skutečného větru na Zemi. (Připomínám, že jsou

definovány pomocí souřadnic x, y konformní mapy a koeficientu zkreslení mapy m

vztahy 𝑢∗ =1

𝑚𝑑𝑥/𝑑𝑡, 𝑣∗ =

1

𝑚𝑑𝑦/𝑑𝑡, a koeficient zkreslení mapy je definován

jako poměr m=délka na mapě/skutečné délce)

𝑢 = 𝑢∗ 𝑚⁄ , 𝑣 = 𝑣∗ 𝑚⁄ horizontální složky modelového vektoru větru v.

(Předchozí vztah můžeme považovat za definici modelového větru. Pro výpočet

pohybu částic na mapě potřebujeme při semi-Lagrangeově metodě rychlost částice

na mapě. Složky této rychlosti jsou (𝑠𝑢, 𝑠𝑣), kde 𝑠 = 𝑚2.

V západní literatuře se používá označení obráceně. 𝑢∗, 𝑣∗ je tedy modelový vítr, ten se

používá v programech na počítači, kde jej jednoduše označíme u, v.

𝑃𝑁𝐿𝐺 = ln 𝑝𝑠 přirozený logaritmus tlaku na povrchu orografické plochy

𝑈 = 𝑝𝑠𝑢, 𝑉 = 𝑝𝑠𝑣 jsou složky vektoru toku hmoty, neboli složky vektoru proudové

hustoty, tyto složky jsou tedy také úměrné složkám hybnosti

T absolutní teplota

Q směšovací poměr vodní páry

Diagnostické proměnné:

Φ = 𝑔𝑧 je geopotenciál a z je výška nad hladinou moře

𝑃 = Φ + 𝑅𝑇∗ ln 𝑝𝑠 potom ∇𝑃 je lineární část horizontálního gradientu tlaku

=𝑑𝜎 𝑑𝑡⁄ zobecněná vertikální rychlost

𝐾 = (𝑢2 + 𝑣2)/2 kinetická energie modelového větru

Diferenciální operátory použité v modelu:

třídimensionální individuální časová změna

𝑑

𝑑𝑡= 𝑠 (𝑢

𝜕

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕

𝜕𝑦) + 𝜎

𝜕

𝜕𝜎

horizontální individuální časová změna 𝑑𝐻

𝑑𝑡= 𝑠 (𝑢

𝜕

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕

𝜕𝑦)

vyjádření individuální změny v semi-Lagrangeovském schématu s dvojrozměrnou

interpolací v - vrstvách a na - ploše kde =1.

𝑑

𝑑𝑡=

𝑑𝐻

𝑑𝑡+

𝜕

𝜕𝜎

284

divergence horizontálního větru

𝑑 = 𝑠 (𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

Hamiltonův operátor

∇= [𝜕

𝜕𝑥,

𝜕

𝜕𝑦]

Laplaceův operátor

∇2=𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2

Proměnné pro Eulerovské a Sadournyho schéma:

relativní vorticita

𝜉 = 𝑠 (𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦)

absolutní vorticita 휂 = 𝜉 + 𝑓

absolutní potenciální vorticita pro barotropní atmosféru 𝑣𝑜𝑟 = 휂/𝑝𝑠

kinetická energie skutečného větru

𝐸 =𝑠(𝑢2 + 𝑣2)

2= 𝑠𝐾

vertikální rychlost v p-systému 𝜔 =𝑑𝑝

𝑑𝑡

Derivováním vztahu 𝑝 = 𝜎𝑝𝑠 dostaneme

𝜔 =𝑑𝑝

𝑑𝑡= 𝑝𝑠 + 𝜎

𝑑𝑝𝑠

𝑑𝑡= 𝑝𝑠 ( + 𝜎

𝜕

𝜕𝑡ln 𝑝𝑠) + 𝜎𝑝𝑠𝑠𝐯∇ ln ps

lineární část 𝜔/𝑝𝑠 označme w neboli

𝑤 = + 𝜎𝜕

𝜕𝑡ln 𝑝𝑠

a individuální změnu tlaku můžeme psát ve tvaru

𝜔 = 𝑝𝑠𝑤 + 𝜎𝑝𝑠𝑠𝐯∇ ln ps

18.2. Divergentní tvar rovnic v 𝝈-systému vertikální souřadnice, kde

horizontální souřadnice x, y tvoří kartézský systém na konformní mapě

Rovnice dynamické meteorologie jsou obvykle formulovány pro individuální změnu

určitých fyzikálních veličin. Takové fyzikální veličiny, které jsou funkcemi polohy a času,

označme písmenem F. Funkce F tedy nechť popisuje určitou fyzikální vlastnost částice,

například rychlost, teplotu, vlhkost i jiné veličiny, která se pohybuje v prostoru. Funkce F se

v časovém průběhu, při kterém se částice pohybuje, mění, mění se ovšem vnějšími vlivy,

285

které můžeme shrnout do zdrojové funkce zdroj. Rovnici pro individuální změnu veličiny F,

popisující časovou změnu určité konkrétní částice můžeme tedy napsat ve tvaru

𝑑𝐹

𝑑𝑡= 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗

(18.2.1)

Připomeňme zde, že časová individuální změna se týká částice, která se skládá stále ze

stejných molekul hmoty. Tedy hmotnost částice se při přenosu nemění a rovnici proto

můžeme považovat vztaženou k jednotce hmoty. Popisuje tedy časovou změnu hodnoty F pro

částici jednotkové hmotnosti, kterou považujeme za bod, přesněji umísťujeme do určitého

bodu. Na rozdíl od dynamické meteorologie, kde se používá lokální systém souřadnic, a

nebere se v úvahu zakřivení povrchu Země, v předpovědních metodách je ignorovat

nemůžeme. Protože se naše studium týká zejména modelů na omezené oblasti, volíme jako

souřadnice kartézský systém souřadnic na konformní mapě. Rozepíšeme-li individuální

změnu do Eulerova rozvoje v tomto systému souřadnic, máme

𝑑𝐹

𝑑𝑡=

𝜕𝐹

𝜕𝑡+ 𝑠 (𝑢

𝜕𝐹

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝐹

𝜕𝑦) +

𝜕𝐹

𝜕𝜎= 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗

(18.2.2)

Funkce čtverec zkreslení mapy 𝑠(𝑥, 𝑦) nezávisí na čase t, ani na vertikální souřadnici 𝜎, proto

můžeme zavést následující označení. Nechť vektor v, má složky

𝐯 = (𝑢, 𝑣, /𝑠). (18.2.3)

Pak můžeme (18.2.2) napsat stručněji

𝜕𝐹

𝜕𝑡= 𝑠𝐯. 𝛁𝐹 = 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗

(18.2.4)

kde 𝜕𝐹/𝜕𝑡 vyjadřuje lokální změnu dané veličiny vztaženou na jednotku hmoty, tedy

v Eulerově smyslu, a v rovnici (18.2.3) je operátor ∇= (𝜕

𝜕𝑥,

𝜕

𝜕𝑦,

𝜕

𝜕𝜎). Zdrojová funkce proto

musí vyjadřovat změnu rovněž vztaženou k jednotce hmoty. Zdrojovou funkcí zde máme na

mysli nejen parametrizace fyzikálních dějů, ale i ostatní členy rovnic, které nepopisují

advekci. Jsou to například Coriolisovy členy, gradient tlaku a tření v rovnicích změny

hybnosti, v termodynamické větě 𝜔𝛼 člen a člen přítoku tepla atd. Všimněme si, že je to

právě advekční tvar, ve kterém se změny týkají částice jednotkové hmoty.

Druhou možností je napsat rovnice v divergentním tvaru. Zde musíme chápat fyzikální

veličiny vztažené ne k jednotce hmoty, ale k množství hmoty obsažené v jednotce objemu.

Objem zde musíme ovšem chápat v zobecněném smyslu, tedy objem v použitém systému

souřadnic. Tedy kvádr, jehož hrany jsou rovnoběžné s osami ortogonálního systému souřadnic

a jejichž délky jsou Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝜎 má v 𝜎-systému objem Δ𝑥. Δ𝑦. Δ𝜎. Vezmeme-li však ještě

v úvahu, že souřadnice x, y jsou ortogonálními souřadnicemi na konformní mapě, jejíž

zkreslení je m a jehož kvadrát jsme označili s, pak skutečné délky hran kvádru jsou

𝑚Δ𝑥, 𝑚Δ𝑦, a skutečný objem tohoto kvádru bude 𝑠. Δ𝑥. Δ𝑦. Δ𝜎. Všimněme si ještě souřadnice

𝜎, protože tato souřadnice je bezrozměrná, má objem tohoto kvádru rozměr pouze čtverečního

metru. Studujme nyní svislý sloupec atmosféry jednotkového průřezu v souřadnicích x, y.

Nechť tedy Δ𝑥. Δ𝑦 = 1. Zajímá nás množství hmoty v tomto sloupci, respektive v jeho

286

řezech o tloušťce Δ𝜎. Z hydrostatické rovnice pro malé hodnoty přírůstků proměnných

můžeme psát

∆𝑝

𝑔= −𝜌∆𝑧. 𝑠

(18.2.5)

Kde pravá strana rovnice je násobena čtvercem zkreslení mapy s, aby objem na prvé straně

byl skutečným objemem a jeho skutečná hmotnost je pak 𝜌∆𝑧. 𝑠. Neboť ∆𝑝 = 𝑝𝑠∆𝜎, odtud

máme že, vrstva o síle Δ𝜎 svislého sloupce má hmotnost rovnu Δ𝜎𝑝𝑠/(𝑠𝑔). V 𝜎-systému má

celý svislý sloupec atmosféry o jednotkovém průřezu Δ𝑥. Δ𝑦 = 1 objem rovný jedné, neboť

v tomto případě je Δ𝜎 = 1. Jeho hmotnost je proto rovna 𝑝𝑠/(𝑠𝑔). Konstanty tíhového

zrychlení Země g se v rovnicích zbavíme jednoduše tím, že je vynásobíme g. Konstanta

tíhového zrychlení zde vyjadřuje pouze rozdíl mezi jednotkami hmotnosti a váhy

v gravitačním poli Země.

Při tomto přístupu je logické že je třeba fyzikální veličiny chápat odpovídajícím

způsobem. Rychlost jako hybnost jednotky hmoty, teplotu jako úměrnou vnitřní energii… Je

tedy jasné, že chceme-li popisovat změny veličin vztažené k hmotě obsažené v jednotce

objemu, musíme do rovnic zahrnout i časové změny množství hmoty v studovaném objemu.

Tyto změny jsou vyjádřeny rovnicí kontinuity, která se v 𝜎-systému obvykle píše ve tvaru

𝜕𝑝𝑠

𝜕𝑡+ 𝑠 (

𝜕

𝜕𝑥(𝑝𝑠𝑢) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑝𝑠𝑣)) +

𝜕

𝜕𝜎(𝑝𝑠) = 0

(18.2.6)

Vidíme, že pravá strana není v divergentním tvaru, ale vzhledem k tomu, že čtverec zkreslení

mapy s, není funkcí času, ani vertikální souřadnice 𝜎, můžeme rovnici napsat ve tvaru

𝜕

𝜕𝑡(

𝑝𝑠

𝑠) +

𝜕

𝜕𝑥(𝑝𝑠𝑢) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑝𝑠𝑣) +

𝜕

𝜕𝜎(𝑝𝑠

𝑠) = 0

(18.2.7)

Což je již v divergentním tvaru. Vzhledem k volbě vektoru v (18.2.3) můžeme tuto rovnici

napsat také vektorově

𝜕

𝜕𝑡(

𝑝𝑠

𝑠) + ∇(𝑝𝑠𝐯) = 0

(18.2.8)

Nyní již můžeme rovnici (18.2.2) nebo (18.2.4) napsat v divergentním tvaru. Rovnici advekce

v advekčním tvaru (18.2.2) násobíme 𝑝𝑠/𝑠 a přičteme k ní rovnici kontinuity (18.2.7)

násobenou F dostáváme

𝜕

𝜕𝑡(

𝑝𝑠𝐹

𝑠) +

𝜕

𝜕𝑥(𝑝𝑠𝑢𝐹) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑝𝑠𝑣𝐹) +

𝜕

𝜕𝑥(

𝑝𝑠𝐹

𝑠) =

𝑝𝑠

𝑠𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗

(18.2.9)

vektorový zápis je ovšem stručnější

𝜕

𝜕𝑡(

𝑝𝑠𝐹

𝑠) + ∇(𝑝𝑠𝐯𝐹) =

𝑝𝑠

𝑠𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗

(18.2.10)

Poznamenejme ještě, že když rovnici (18.2.9) násobíme s, pak dostaneme rovnici k ní

ekvivalentní v obvyklém tvaru

287

𝜕

𝜕𝑡(𝑝𝑠𝐹) + 𝑠 (

𝜕

𝜕𝑥(𝑝𝑠𝑢𝐹) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑝𝑠𝑣𝐹)) +

𝜕

𝜕𝑥(𝑝𝑠𝐹) = 𝑝𝑠𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗

(18.2.11)

a také, že když v této rovnici položíme funkci F =1, a zdroj=0 dostaneme rovnici kontinuity.

Časová změna veličiny 𝑝𝑠𝐹/𝑠 vyjadřuje změnu veličiny F vztaženou k jednotce objemu,

neboli zahrnuje též změnu množství hmoty v jednotce objemu. Všimněme si ještě, že i

hodnota zdrojové funkce na pravé straně rovnice je násobena 𝑝𝑠/𝑠, nebo ve tvaru (18.2.11)

přízemním tlakem 𝑝𝑠.

Položme nyní zdrojovou funkci rovnu nule, tedy 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗 = 0 a studujme nyní vlastnosti

řešení rovnice advekce v divergentním tvaru na oblasti G, do které vzduch ani nevtéká, ani

z ní nevytéká. Normálová rychlost ke hranici S této oblasti je tedy rovna nule. Podle

Gaussovy věty (18.1.32) , kde za vektorové pole A vezmu 𝑝𝑠𝐯𝐹, dostáváme, pro integrál přes

oblast G

∭ 𝑝𝑠𝐯𝐹 𝑑𝑉 = 0

(18.2.12)

Integrujeme-li tedy rovnici (18.2.10) pro 𝑧𝑑𝑟𝑜𝑗 = 0 . Pak podle (17.2.12) dostáváme, že též

𝜕

𝜕𝑡∭ (

𝑝𝑠𝐹

𝑠) 𝑑𝑉 = 0

(18.2.13)

Tento zákon nám říká, že střední hodnota 𝑝𝑠𝐹/𝑠 se s časem nemění.

Násobíme-li rovnici advekce (18.2.2) za předpokladu, že zdrojová funkce je rovna

nule 2F, dostaneme pro časovou změnu F2 rovněž rovnici advekce

𝑑

𝑑𝑡𝐹2 = 0

(18.2.14)

Když tuto rovnici násobíme rovněž 𝑝𝑠/𝑠 a přičteme k ní rovnici kontinuity (18.2.8)

násobenou F2 dostaneme rovnici pro advekci F

2 v divergentním tvaru

𝜕

𝜕𝑡(

𝑝𝑠𝐹2

𝑠) + ∇(𝑝𝑠𝐯𝐹2) = 0

(18.2.15)

Odtud stejně jako v předchozím případě pro F dostáváme zákon zachování středního kvadrátu

veličiny F na oblasti G ve tvaru

𝜕

𝜕𝑡∭ (

𝑝𝑠𝐹2

𝑠) 𝑑𝑉 = 0

(18.2.16)

Předchozí vztahy nám říkají, že řešení rovnice advekce je kvadraticky konzervativní.

Diferenční schéma, které bude splňovat diskrétní analogii těchto vztahů je pak stabilní.

Vztah (18.2.15) můžeme obdržet z rovnice advekce F v divergentním tvaru (18.2.10) tímto

umělejším způsobem. Rovnici (18.2.10) násobíme 2F a odečteme od ní rovnici kontinuity

násobenou F2. Pomocí vztahu (18.1.7) snadno obdržíme (18.2.15).

288

18.3 Řídící rovnice ve tvaru pro Sadournyho schéma

V tomto odstavci si doplníme některé vztahy, abychom zobecnili Sadournyho schéma

formulované pro rovnice mělké vody, pro rovnice baroklinního modelu v hydrostatickém

přiblížení. Naše zobecnění se týká dvou skutečností. První zobecnění spočívá v jeho

formulaci pro třírozměrný model v 𝜎-systému, toto zobecnění se tedy týká vertikální struktury

modelu. Druhé zobecnění spočívá v přechodu od roviny k povrchu Země použitím souřadnic

konformní mapy a tedy zavedení metrických koeficientů.

Řídící rovnice v diferenciálním tvaru splňují pro celou řadu veličin zákony zachování.

Po jejich aproximaci již nedokážeme, aby jejich diskrétní tvar všechny tyto zákony, které

splňují diferenciální rovnice, rovněž splňoval. Je proto třeba z hlediska meteorologie vybrat ty

nejvhodnější nejdůležitější veličiny, které mají být na diskrétní úrovni zachovány. Pro rovnice

mělké vody jsme viděli, že to může být absolutní potenciální vorticita a její kvadrát, absolutní

potenciální enstrophie. Pro rovnice mělké vody takové schéma pochází od Sadournyho [6],

které jsme studovali v kapitole 16. Sadourny také ukázal, že pro studovaný model je

zachování potenciální vorticity a enstrophie mnohem lepší, než například zachování kinetické

energie, nebo i přímo hybnosti. My toto schéma zobecníme pro baroklinní model. Prezentuji

zde schéma, které bylo použito v provozním modelu v Českém hydrometeorologickém ústavu

[1], kde bylo v provozu od 15. dubna 1988 do příchodu nového modelu ALADIN v druhé

polovině devadesátých let. Toto schéma je velice zdařilé. Později, v roce 1992 jsem po

obdržení technické zprávy o modelu PERIDOT [5], když jsem pracoval v týmu ALADIN

v Méteo France v Toulouse zjistil, že obdobné schéma bylo úspěšně použito i ve

francouzském modelu PERIDOT. Bylo také zřejmě použito i při vývoji globálního

diferenčního modelu v ECMWF, kde nahradilo složitější Arakawovo schéma, zachovávající

navíc i kinetickou energii, které mělo určité problémy [4]. Další vývoj diferenčního

globálního modelu zřejmě dlouho nepokračoval, protože pro globální modely se ukázala

efektivnější spektrální technika řešení. Zobecnění Sadournyho schématu pro broklinní

atmosféru funguje velice dobře a zcela jistě by je bylo možné používat v modelech na

omezené oblasti, modelech označovaných LAM (limited area model). Náš výklad začneme

formulací rovnice pro změnu zjednodušené potenciální vorticity, která je splněna pro

barotropní atmosféru.

Pro formulaci zobecněného Sadournyho schématu si zaveďme toto označení.

Relativní vorticitu označme

𝜉 = 𝑠 (𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦)

(18.3.1)

absolutní vorticitu 휂 = 𝜉 + 𝑓 (18.3.2)

absolutní potenciální vorticitu pro barotropní atmosféru

𝑣𝑜𝑟 = 휂/𝑝𝑠 (18.3.3)

kinetická energii skutečného větru

𝐸 =𝑠(𝑢2 + 𝑣2)

2= 𝑠𝐾

289

(18.3.4)

vertikální rychlost v p-systému

𝜔 =𝑑𝑝

𝑑𝑡

(18.3.5)

Derivováním vztahu 𝑝 = 𝜎𝑝𝑠 dostaneme

𝜔 =𝑑𝑝

𝑑𝑡= 𝑝𝑠 + 𝜎

𝑑𝑝𝑠

𝑑𝑡= 𝑝𝑠 ( + 𝜎

𝜕

𝜕𝑡ln 𝑝𝑠) + 𝜎𝑝𝑠𝑠𝐯∇ ln ps

(18.3.6)

lineární část 𝜔/𝑝𝑠 označme w neboli

𝑤 = + 𝜎𝜕

𝜕𝑡ln 𝑝𝑠

(18.3.7)

a individuální změnu tlaku můžeme psát ve tvaru

𝜔 = 𝑝𝑠𝑤 + 𝜎𝑝𝑠𝑠𝐯∇ ln ps (18.3.8)

Pro odvození rovnice vorticity vyjdeme z rovnic hybnosti ve tvaru

𝑑𝑢

𝑑𝑡+

𝜕𝑢

𝜕𝜎− 휂𝑣 +

𝜕

𝜕𝑥(𝐸 + Φ) + 𝑅𝑇

𝜕

𝜕𝑥ln 𝑝𝑠 =

1

𝑚𝐹𝑥

(18.3.9)

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝜕𝑣

𝜕𝜎+ 휂𝑢 +

𝜕

𝜕𝑦(𝐸 + Φ) + 𝑅𝑇

𝜕

𝜕𝑦ln 𝑝𝑠 =

1

𝑚𝐹𝑦

(18.3.10)

Nyní postupujeme obvyklým způsobem. Od rovnice pro změnu 𝜕𝑣 𝜕𝑡⁄ derivované podle x

odečteme rovnici pro změnu 𝜕𝑢 𝜕𝑡⁄ derivovanou podle y a výslednou rovnici násobíme

čtvercem zkreslení mapy s. Dostaneme tak vztah

𝑑휂

𝑑𝑡+ 휂𝑑 + 𝐵 = 0

(18.3.11)

kde

𝐵 = 𝑠 (𝜕

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝜎−

𝜕

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝜎)

(18.3.12)

Člen B je vzhledem k ostatním členům rovnice malý a většinou se zanedbává. Proto rovnici

vorticity pro náš baroklinní model můžeme psát ve tvaru

𝑑휂

𝑑𝑡+ 휂𝑑 = 0

(18.3.13)

Zde absolutní vorticita 휂 není ještě hydrodynamickým invariantem. Tím je absolutní

potenciální vorticita, jejíž vyjádření je poměrně složité a nehodí se proto pro zobecnění

290

Sadournyho schématu. Ukážeme si však, že veličina 휂 𝑝𝑠⁄ je přibližně hydrodynamickým

invariantem obdobným potenciální vorticitě pro barotropní atmosféru. Abychom odvodili

časovou individuální změnu veličiny 휂 𝑝𝑠⁄ aplikujeme na tuto veličinu operátor 𝑑 𝑑𝑡⁄

dostaneme

𝑑

𝑑𝑡(

휂

𝑝𝑠) =

1

𝑝𝑠(

𝑑휂

𝑑𝑡−

휂

𝑝𝑠

𝑑𝑝𝑠

𝑑𝑡)

(18.3.14)

Vzhledem k tomu že přízemní tlak 𝑝𝑠 nezávisí na 𝜎, je 𝜕𝑝𝑠 𝜕𝜎⁄ = 0 a rovnici kontinuity

můžeme napsat ve tvaru

1

𝑝𝑠

𝑑𝑝𝑠

𝑑𝑡+ 𝑑 +

𝜕

𝜕𝜎= 0

(18.3.15)

S použitím rovnice kontinuity dostane rovnice (17.3.14) tvar

𝑑

𝑑𝑡(

휂

𝑝𝑠) =

휂

𝑝𝑠

𝜕

𝜕𝜎

(18.3.16)

Pravá strana této rovnice je rovněž velmi malá. Když ji zanedbáme, dostáváme, že veličina

휂 𝑝𝑠⁄ je přibližně také hydrodynamickým invariantem, který zde budeme rovněž nazývat

absolutní potenciální vorticitou, přesněji absolutní potenciální vorticitou pro barotropní

atmosféru. Všimněme si také, že je shodná s absolutní potenciální vorticitou pro rovnice

mělké vody, tedy pro divergentní barotropní model, neboť pro nestlačitelnou atmosféru, kde

hustota 𝜌 je konstantní je výška této atmosféry úměrná přízemnímu tlaku. Odtud vyplývá také

její název.

Shrnutí rovnic pro formulaci Sadournyho diferenčního schématu

Nyní si shrneme systém řídících rovnic ve tvaru pro aproximaci zachovávající absolutní

potenciální vorticitu (která je přesně splněna pro barotropní atmosféru) a její kvadrát absolutní

potenciální enstrophii. Pro zkrácení zápisu použijeme složky toku hmoty definované vztahy

𝑈 = 𝑝𝑠𝑢, 𝑉 = 𝑝𝑠𝑣 (18.3.17)

Připomeňme ještě vztah pro absolutní potenciální vorticitu vor, který použijeme pro

aproximaci ve tvaru

𝑣𝑜𝑟 = (𝑠 (𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦) + 𝑓) 𝑝𝑠⁄

(18.3.18)

Pro semi-implicitní schéma je třeba oddělit lineární a zbytkovou nelineární část rovnic.

Všimněme si proto, že horizontální gradient tlaku se skládá z dvou členů, z nichž druhý člen

je nelineární, protože je v něm součin teploty T a logaritmu přízemního tlaku

𝜕Φ

𝜕𝑥+ 𝑅𝑇

𝜕

𝜕𝑥ln 𝑝𝑠

(18.3.19)

proto druhý člen horizontálního gradientu tlaku rozdělíme na lineární část, pro kterou

zavedeme funkci P vztahem

𝑃 = Φ + 𝑅𝑇∗ ln 𝑝𝑠 (18.3.20)

291

Kde 𝑇∗ je referenční profil absolutní teploty atmosféry, který je funkcí pouze souřadnice 𝜎,

pro semi-implicitní schéma se obvykle volí konstantní teplota 300 K.

Protože se zabýváme formulací dynamické části modelu, tedy bez parametrizací, zdrojové

funkce na prvých stranách rovnic položíme rovny nule. Rovnice pro časovou změnu hybnosti

(18.3.9) a (18.3.10) budou mít po těchto úpravách nyní tvar

𝑑𝑢

𝑑𝑡+

𝜕𝑢

𝜕𝜎− 𝑣𝑜𝑟 𝑉 +

𝜕

𝜕𝑥(𝐸 + 𝑃) + 𝑅(𝑇 − 𝑇∗)

𝜕

𝜕𝑥ln 𝑝𝑠 = 0

(18.3.21)

𝑑𝑣

𝑑𝑡+

𝜕𝑣

𝜕𝜎+ 𝑣𝑜𝑟𝑈 +

𝜕

𝜕𝑦(𝐸 + 𝑃) + 𝑅(𝑇 − 𝑇∗)

𝜕

𝜕𝑦ln 𝑝𝑠 = 0

(18.3.22)

Rovnici kontinuity a termodynamickou větu napíšeme také v divergentním tvaru.

Protože 𝑝𝑠 nezávisí na 𝜎 můžeme rovnici kontinuity (18.2.6) psát ve tvaru

𝜕𝑝𝑠

𝜕𝑡+ 𝑠 (

𝜕𝑈

𝜕𝑥+

𝜕𝑉

𝜕𝑦) + 𝑝𝑠

𝜕

𝜕𝜎= 0

(18.3.23)

Termodynamickou větu (1.2.14) musíme upravit také do divergentního tvaru

𝑐𝑝

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝜔𝛼 +

(18.3.24)

kde je přítok tepla na jednotku hmoty od parametrizací. Pro dynamickou část modelu

klademe přítok tepla nulový, tedy = 0. Divergentní tvar této rovnice obdržíme tak, že tuto

rovnici násobíme přízemním tlakem 𝑝𝑠 a přičteme k ní rovnici kontinuity násobenou T,

dostaneme vztah tvaru (18.2.11) pro veličinu F=T po vydělením 𝑝𝑠 máme

𝑐𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑡+

𝑠

𝑝𝑠(

𝜕

𝜕𝑥(𝑈𝑇) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑉𝑇)) +

𝜕

𝜕𝜎(𝑇) = 𝜔𝛼

(18.3.20)

Poslední rovnicí je rovnice hydrostatické rovnováhy, kterou použijeme ve tvaru

𝜕Φ

𝜕 ln 𝜎= −𝑅𝑇

(18.3.21)

18.4 Aproximace rovnic modelu

Aproximace rovnic v Eulerově tvaru vychází ze zákonů zachování. Aproximace

nelineární advekce se většinou odvozuje stejně jako zákony zachování pro diferenciální

rovnice z Gaussovy věty. Proto i na diskrétní úrovni diferenční rovnice splňují vybrané

zákony zachování přesně, což je ve srovnání se semi-Lagrangeovskými schématy jejich

výhoda. Diskrétní model je tedy jakousi obdobou modelu popsanému diferenciálními

rovnicemi, které aproximuje. Můžeme se na něj proto dívat také tak, že přímo modeluje děje v

atmosféře, protože sám odpovídá zákonům, které platí v atmosféře.

Výpočetní síť pro časovou integraci modelu

V horizontální rovině použijeme jako základní sít pravidelnou čtvercovou síť na

obdélníkové oblasti v rovině konformní mapy, jejíž strany jsou rovnoběžné s osami souřadnic

292

x, y. Krok v síti ∆𝑥 = ∆𝑦 nechť je ve směru souřadných os stejný. Na této základní síti jsou

zadávány hodnoty geopotenciálu, teploty, přízemního tlaku divergence i zobecněné vertikální

rychlosti. Rozmístění složek větru nechť odpovídá C-síti. Vorticita je umístěna ve středech

čtverců základní sítě. Obrázek 18.1.

Obrázek 18.1 V 𝜎-hladinách a vrstvách je použita C-síť

Na vertikální ose je třírozměrná oblast omezena na interval 0 ≤ 𝜎 ≤ 1, kde 𝜎 = 1 tvoří dolní

hranici oblasti povrch Země. Ve vertikálním směru je oblast rozdělena na K vrstev (layer).

Tyto vrstvy od sebe odděluje a tvoří tedy jejich dolní a horní hranici, K+1 hladin (level)

konstantního 𝜎, jejichž hodnoty jsou zadány

𝜎1 = 0 < 𝜎2 < 𝜎3 < < 𝜎𝐾 < 𝜎𝐾+1 = 1 (18.4.1)

𝜎-hladiny tvoří spolu s horizontální C-sítí třírozměrnou síť, která po vertikále nemá

konstantní délku kroku. Ve vertikálním směru jsou v uzlech 𝜎-hladin zadávány hodnoty

geopotenciálu Φ a hodnoty vertikální rychlosti . Uvnitř vrstev jsou vlastně zadány průměrné

hodnoty proměnných: složek rychlosti u, v, absolutní teploty T, směšovacího poměru vodní

páry, ale i odvozených veličin vorticity, horizontální a třídimensionální divergence. Body, ke

kterým se tyto hodnoty na vertikální ose vztahují, nemusí být ve vertikálním směru v daném

bodě horizontální sítě na vertikální ose definovány. Jsou to jednoduše hodnoty ve vrstvách.

Obrázek 18. 2.

293

Obrázek 18.2. Ve vertikálním směru je použita střídavá síť. Na obrázku je znázorněno

rozmístění proměnných v 𝜎-hladinách a vrstvách.

Modely ECMWF označují v publikacích vrstvy (layer) celými indexy, tedy například

𝑘 = 1, 2, … , 𝐾 − 1, 𝐾, zatímco hladiny konstantního 𝜎 indexy lomenými tedy

𝑙 = 1 2, 1 + 1 2⁄ , 2 + 1 2⁄ , … . , 𝐾 − 1 2, 𝐾 + 1 2⁄⁄⁄ . V programech se ovšem lomené

indexy pro střídavá schémata nepoužívají, proto jsou 𝜎-hladiny indexovány buď od nuly do

K, nebo což je použito v našich modelech indexování od 1 di K+1. Vrstvy jsou indexovány

od 1 do K.

Aproximace horizontálního gradientu tlaku

Aproximaci začneme odvíjet od aproximace horizontálního gradientu tlaku, který je

třeba aproximovat odpovídajícím způsobem. V z-systému a v p-systému je horizontální

gradient tlaku vyjádřen jedním členem a žádný problém nevzniká. V 𝜎-systému, ale i

v ostatních systémech vertikální souřadnice kopírujících terén je situace jiná. V 𝜎-systému je

horizontální gradient tlaku vyjádřen dvěma členy −∇Φ − 𝛼∇𝑝 . Tyto členy mají opačná

znaménka, a jejich rozdíl, zejména v místech, kde orografická plocha má spád, je ve srovnání

s velikostí členů malý. Na obrázku 18.3 vidíme, že 𝑝1 > 𝑝2 a zároveň Φ1 < Φ2 .

294

Obrázek 18.3 K určení znamének členů horizontálního gradientu tlaku.

Odtud v tomto případě je 𝜕Φ 𝜕𝑥 ≈ (Φ2 − Φ1)/∆𝑥 > 0⁄ a zároveň 𝜕𝑝 𝜕𝑥 ≈ (𝑝2 − 𝑝1)/∆𝑥⁄ <

0. Při nevhodné aproximaci gradientu vzniká velká chyba. Protože měrný objem je vždy

kladný, mají uvažované členy opačná znaménka. Také je zřejmé, že čím má 𝜎-plocha větší

spád jsou oba členy větší. Pro aproximaci ovšem musíme nahradit měrný objem, jehož

hodnotu získáme ze stavové rovnice ∝= 𝑅𝑇 𝑝 = 𝑅𝑇 𝜎𝑝𝑠⁄⁄ a horizontální gradient píšeme ve

tvaru

−∇Φ − 𝛼∇𝑝 = −∇Φ − 𝑅𝑇∇ ln 𝑝𝑠 (18.4.2)

Aproximuji-li horizontální gradient tlaku ze tří uzlových bodů, kde hodnotu absolutní teploty

T vezmu v prostředním bodě, tedy

−𝛿𝑥 𝑥

Φ − 𝑅𝑇𝛿𝑥𝑙𝑛 𝑝𝑠 𝑥 (18.4.3)

je tato aproximace zcela chybná. První, kdo si této situace všiml, byl N. Phillips při studiu

výsledků všeobecného cirkulačního modelu vypracovaném v USA pod vedením

Smagorinského. Ten pro odstranění chyby navrhl lokálně transformovat geopotenciál do p-

systému a v tomto systému horizontální gradient spočítat. Ke stejné aproximaci došel také

Corby [3]. Aproximace pak vyplynula z požadavku, aby pro profil teploty lineární vzhledem

k logaritmu tlaku a nulový horizontální gradient v p-systému dala aproximace v 𝜎-systému

rovněž nulovou hodnotu.

Nyní si všimněme techniky výpočtu horizontálního gradientu tlaku pomocí lokální

transformace do p-systému. Ukážeme si ji pro složku gradientu ve směru osy x. Pro zvýšení

obecnosti nemusíme vertikální lokální interpolaci geopotenciálu provádět vzhledem

k proměnné tlaku p, jak to dělal Smgorinsky, ale k libovolné monotónní funkci ℎ(𝑝) tlaku p.

Vhodná funkce je ovšem ℎ(𝑝) = ln 𝑝, vzhledem k logaritmu tlaku je teplota většinou lineární

funkcí. Lineární transformace geopotenciálu do lokálního p-systému je znázorněna na

obrázku 18. 4.

295

Obrázek 18.4 Aproximace horizontálního gradientu tlaku lokální transformací do p-systému.

Do p-systému si zakresleme 𝜎-plochu. Pro výpočet horizontálního gradientu tlaku použijeme

hodnoty geopetenciálu Φ, teploty T a logaritmu tlaku h ve dvou sousedních uzlových bodech

na 𝜎-ploše. Tyto body označme indexy 1 a 2. Prostředku úsečky mezi body 1 a 2 ježící na 𝜎-

ploše, ve kterém gradient počítáme, odpovídá logaritmus tlaku který je aritmetickým

průměrem logaritmů tlaku h v bodě 1 a 2, tedy ℎ𝜎 = (ℎ1 + ℎ2) 2⁄ . Interpolace tedy probíhá

vzhledem k logaritmu tlaku h do tlakové hladiny 𝑝 = 𝑒𝑥𝑝(ℎ𝜎). Hodnoty geopotenciálu v této

tlakové hladině v bodech 1 a 2 označme Φ1∗ a Φ2

∗. Pro interpolaci je třeba znát hodnoty

derivací geopotenciálu podle h. Tyto hodnoty nám dá hydrostatická rovnice

𝜕Φ

𝜕ℎ= −𝑅𝑇

(18.4.4)

Hodnoty geopotenciálu pro výpočet horizontálního gradientu tlaku v lokálním p-systému tedy

jsou

Φ1∗ = Φ1 + (ℎ𝜎 − ℎ1) (

∂Φ

𝜕ℎ)

1

(18.4.5)

Φ2∗ = Φ2 + (ℎ𝜎 − ℎ1) (

∂Φ

𝜕ℎ)

2

(18.4.6)

Pomocí hydrostatické rovnice (18.4.4) je přepíšeme do tvaru

Φ1∗ = Φ1 − 𝑅𝑇1(ℎ2 − ℎ1)/2 (18.4.7)

Φ2∗ = Φ2 + 𝑅𝑇2(ℎ2 − ℎ1)/2 (18.4.8)

Připomeňme, že pravé strany předchozích rovnic jsou v 𝜎-systému. Dále platí

(ℎ2 − ℎ2) ∆𝑥 = 𝛿𝑥ℎ = 𝛿𝑥 ln 𝑝⁄ = 𝛿𝑥 ln(𝜎𝑝𝑠) = 𝛿𝑥 ln 𝑝𝑠 (18.4.9)

Odečtením (18.4.7) od (18.4.8) a dělením Δ𝑥 dostáváme aproximaci horizontálního tlaku

296

(𝜕Φ

𝜕𝑥)

𝑝≈

Φ2∗ − Φ1

∗

∆𝑥=

Φ2 − Φ1

Δ𝑥+ 𝑅

𝑇1 + 𝑇2

2

ℎ2 − ℎ1

Δ𝑥

(18.4.10)

Výslednou aproximaci můžeme s použitím (18.4.9) psát ve tvaru

(𝜕Φ

𝜕𝑥)

𝑝≈ 𝛿𝑥Φ + 𝑅𝑥𝛿𝑥 ln 𝑝𝑠

(18.4.11)

Tato aproximace horizontálního gradientu tlaku je vzhledem k rozmístění proměnných

konstruována pro C-síť.

Napíšeme-li analogii této aproximace pro standardní A-síť, můžeme ji napsat ve tvaru

(𝜕Φ

𝜕𝑥)

𝑝≈ 𝛿𝑥Φ 𝑥 + 𝑅2𝑥𝛿𝑥 ln 𝑝𝑠

𝑥

(18.4.12)

Právě k této aproximaci dospěl Corby [9] již zmíněným jiným způsobem. K aproximaci na

standardní A-síti, je třeba poznamenat, že průměrování teploty do prostředního bodu je velmi

důležité. Když teplotu průměrovanou podle x nahradíme teplotou v prostředním uzlovém

bodě, dostaneme chybné výsledky. V teplotě se mohou vyskytovat vlny délky 2Δ𝑥 a výsledek

je pak zcela jiný. Poznamenejme zde, že ve spektrálním modelu tento problém nehrozí,

protože nejkratší vlny jsou uřezáváním odstraněny.

Aproximace řídících rovnic modelu

Nyní napíšeme aproximace rovnic (18.3.17) až (18.3.22). Tato aproximace je obdobou

Sadournyho aproximace popsané v kapitole 16. „Aproximace rovnice advekce“. Začneme je

aproximací proměnných vyskytujících se v řídících rovnicích. Složky toku hmoty jsou

umístěny v uzlových bodech složek rychlostí a jejich aproximace jsou

𝑈 = 𝑝𝑥𝑢, 𝑉 = 𝑝

𝑦𝑣 (18.4.13)

Kinetickou energii umístěnou v uzlových bodech základní sítě je třeba, aby absolutní

potenciální vorticita splňovala zákony zachování přesně, aproximovat následovně

𝐸 = 𝑠 (𝑢2 𝑥+ 𝑣2 𝑦

) 2⁄ (18.4.14)

Absolutní potenciální vorticita je umístěna ve středech čtverců základní sítě následovně

𝑣𝑜𝑟 = (𝑠(𝛿𝑥𝑣 − 𝛿𝑦𝑢) + 𝑓) 𝑝𝑥𝑦⁄ (18.4.15)

Aproximace rovnic modelu napíšeme tak, že od sebe oddělíme lineární část, která je v semi-

implicitním schématu vyhodnocována implicitně a zbytkem aproximovaným explicitně.

V modelech je obvyklé, generovat semiimplicitní schéma tak, že nejdříve vypočteme hodnotu

v následujícím časovém kroku explicitním schématem, a výsledek pak opravíme na hodnotu

vypočtenou semiimplicitním schématem procedurou nazývanou semiimplicitní korekcí. Ta je

založena ovšem na řešení složité soustavy lineárních rovnic. Tento postup má řadu výhod,

například správnost funkce semiimplicitního schématu můžeme zkontrolovat srovnáním

výsledků integrace explicitním a semiimplicitním schématem. Podle mé zkušenosti obě

schémata dávají stejné výsledky, efektivnost semiimplicitního schématu je však několikrát

větší. Abychom semi-impicitní korekci mohli použít beze změn pro Eulerovské i semi-

Lagrageovské modely, použijeme netradičně některá označení používaná v semi-

Lagrangeovských modelech i pro modely Eulerovské. V obou případech je třeba od sebe

297

oddělit lineární část rovnic popisující gravitační vlny aproximovanou semiimplicitně a zbytek

aproximovaný explicitně. Abychom byli konkrétnější, uvažujme evoluční úlohu ve tvaru

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝐹𝑧

(18.4.16)

kde nelineární operátor pravé strany rovnice rozdělíme na dvě části. Na lineární část Lz která

popisuje rychle se pohybující gravitační vlny a na nelineární část Nz která zahrnuje ostatní

členy. Tato část popisuje pouze relativně pomalu se pohybující Rossbyho vlny a v Eulerovské

versi modelu také advekci. Můžeme tedy psát

𝐹𝑧 = 𝐿𝑧 + 𝑁𝑧 (18.4.17)

Časová aproximace obkročného schématu vztahu (18.4.16) je v Eulerovských schématech

zapisována vztahem

𝛿𝑡𝑧 𝑡 = 𝐹𝑧 (18.4.18)

My ji však zapíšeme ve stejném tvaru jako pro semi-Lagrangeovská schémata. Explicitní

obkročné schéma pro úlohu (18.4.16) zapíšeme následovně

𝑧+𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑧−

2Δ𝑡= 𝐹𝑧 = 𝐿𝑧 + 𝑁𝑧

(18.4.19)

Pro Eulerovské schéma jsou všechny veličiny ve stejném uzlovém bodě a 𝑧+ je hodnota

z v čase 𝑡 + Δ𝑡 a 𝑧− je z v čase 𝑡 − Δ𝑡. Pravá strana rovnice je v čase t. Hodnotu 𝑧+

vypočtenou explicitním schématem (18.4.19) jsme označili indexem expl, tedy 𝑧+𝑒𝑥𝑝𝑙 ,

hodnotu vypočtenou semiimplicitním schématem označujeme jednoduše 𝑧+, tedy bez indexu.

Zavedeme-li časové průměrování s tak zvaným decentingem, kde 0 ≤ 휀 ≤ 1. Obvykle se

používá malá hodnota 휀 pro zvýšení stability schématu a filtraci krátkých vln. Pro hodnotu

휀 = 0 dostáváme lichoběžníkové schéma a pro 휀 = 1 dostáváme zpětné implicitní schéma.

Decetring je vyložen v kapitole 11, vztah (11.21). Časové průměrování zavedeme vztahem

𝑧 = ((1 + 휀)𝑧+ + (1 − 휀)𝑧−) 2⁄ (18.4.20)

kde 𝑧 je průměrovaná hodnota. Semi-implicitní schéma můžeme pak napsat ve tvaru

𝑧+ − 𝑧−

2Δ𝑡= 𝐿𝑧 + 𝑁𝑧

(18.4.21)

Poznamenejme, že v semi-Lagrageovském schématu znamená vztah (17.4.20) trochu něco

jiného. Hodnota 𝑧+ je umístěna v příchozím bodě trajektorie, který je uzlovým bodem.

Hodnota 𝑧− je však umístěna do výchozího bodu trajektorie a nelineární člen do středu

trajektorie.

Aproximace řídících rovnic explicitním schématem.

Pro rovnice časové změny horizontálních složek větru použijeme Sadournyho aproximaci

𝑢+𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑢−

2∆𝑡= 𝐿𝑢 + 𝑁𝑢

(18.4.22)

𝐿𝑢 = −𝛿𝑥𝑃

𝑁𝑢 = −𝑅(𝑇 − 𝑇∗)𝛿𝑥(ln 𝑝𝑠) + 𝑣𝑜𝑟 𝑦𝑥𝑦 − 𝛿𝑥𝐸 −1

𝑝𝑥

𝑝𝑠 𝑥∆𝑢 𝜎

∆𝜎

298

𝑣+𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑣−

2∆𝑡= 𝐿𝑣 + 𝑁𝑣

(18.4.23)

𝐿𝑣 = −𝛿𝑦𝑃

𝑁𝑣 = −𝑅(𝑇 − 𝑇∗)𝛿𝑦(ln 𝑝𝑠) + 𝑣𝑜𝑟 𝑥𝑥𝑦 − 𝛿𝑦𝐸 −1

𝑝𝑦

𝑝𝑠 𝑦∆𝑣 𝜎

∆𝜎

Rovnici kontinuity v napsanou zde v divergentním tvaru

𝑝𝑠+

𝑒𝑥𝑝𝑙− 𝑝𝑠

−

2∆𝑡= −𝑠(𝛿𝑥𝑈 + 𝛿𝑦𝑉) −

∆(𝑝𝑠)

∆𝜎

(18.4.24)

upravíme pro semiimplicitní schéma tak, že ji vydělíme přízemním tlakem 𝑝𝑠 a napíšeme v

advekčním tvaru pro ln 𝑝𝑠 , čímž se u třírozměrné divergence zbavíme činitele 𝑝𝑠 a ta pak

představuje lineární členy

(ln 𝑝𝑠)+𝑒𝑥𝑝𝑙

− (ln 𝑝𝑠)−

2∆𝑡= −

∆

∆𝜎− 𝑑 − 𝑁𝑐

(18.4.25)

Lineární část pravé strany rovnice kontinuity je tedy

𝐿𝑐 = −∆

∆𝜎− 𝑑

(17.4.26)

kde 𝑁𝑐 je nelineární člen advekce rovnice kontinuity

𝑁𝑐 =𝑠

𝑝𝑠(𝑢𝛿𝑥𝑝𝑠

𝑥+ 𝑣𝛿𝑦𝑝𝑠

𝑦)

(18.4.27)

a d je divergence horizontálních složek větru

𝑑 = 𝑠(𝛿𝑥𝑢 + 𝛿𝑦𝑣) (18.4.28)

Protože w obsahuje derivaci podle času, musíme rozlišovat mezi hodnotami explicitního

schématu 𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 a hodnotami v semiimplicitním schématu w, Rovnice kontinuity pro

semiimplicitní schéma pak píšeme ve tvaru

∆𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙

∆𝜎= −𝑑 − 𝑁𝑐

(18.4.29)

kde

𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 = + 𝜎(ln 𝑝𝑠)+

𝑒𝑥𝑝𝑙− (ln 𝑝𝑠)−

2∆𝑡

(18.4.30)

Termodynamickou větu aproximujeme následovně

𝑇+𝑒𝑥𝑝𝑙 − 𝑇−

2∆𝑡=

𝜅𝑇∗

𝜎∗𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 𝜎 + 𝑁𝑇

(18.4.31)

kde aproximace nelineární části pravé strany termodynamické věta je

299

𝑁𝑇 = −1

𝑝𝑠[𝑠(𝑈𝛿𝑥𝑇 𝑥 + 𝑉𝛿𝑦𝑇 𝑦) +

𝑝𝑠𝜎Δ𝑇

Δ𝜎

𝜎

− 𝑝𝑠

𝜅(𝑇 − 𝑇∗)

𝜎∗𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 𝜎

−𝜅𝑠(𝑈𝑥𝛿𝑥(ln 𝑝𝑠) 𝑥 + 𝑣𝑦𝛿𝑦(ln 𝑝𝑠) 𝑦)

]

a kde

1

𝜎∗=

Δ ln 𝜎

Δ𝜎

(18.4.30)

V aproximaci termodynamické věty je nelineární člen energeticky konsistentní s aproximací

horizontálního gradientu tlaku, práce tohoto gradientu tlaku je rovna omega-alfa členu

termodynamické věty.

Diferenční analogii hydrostatické rovnici můžeme psát ve tvaru

ΔΦ

Δ ln 𝜎= −𝑅𝑇

(18.4.31)

Nebo také v ekvivalentním tvaru

ΔΦ

Δσ= −

𝑅𝑇

𝜎∗

(18.4.32)

Aproximace řídících rovnic semiimplicitním schématem

Semiimplicitní aproximace rovnic pro časovou změnu horizontálních složek větru jsou

𝑢+ − 𝑢−

2∆𝑡= 𝐿 + 𝑁𝑢

(18.4.33)

𝑣+ − 𝑣−

2∆𝑡= 𝐿 + 𝑁𝑣

(18.4.34)

Semi-implicitní aproximace rovnice kontinuity je

(ln 𝑝𝑠)+ − (ln 𝑝𝑠)−

2∆𝑡= −

∆

∆𝜎− − 𝑁𝑐

(18.4.35)

pro realizaci ji použijeme ve tvaru

∆𝑤

∆𝜎= − + 𝑁𝑐

(18.4.36)

kde

𝑤 = + 𝜎(ln 𝑝𝑠)+ − (ln 𝑝𝑠)−

2∆𝑡

Semiimplicitní aproximace termodynamické věty má pak tvar

𝑇+ − 𝑇−

2∆𝑡=

𝜅𝑇∗

𝜎∗𝜎 + 𝑁𝑇

(18.4.37)

Aproximace hydrostatické rovnice, která je pouze diagnostickým vztahem, zůstává stále

stejná

300

∆Φ

Δ ln 𝜎= −𝑅𝑇

(18.4.38)

Semiimplicitní korekce

Semiimplicitní korekce nám opraví explicitní schéma na schéma semiimplicitní. Formulujme

si nyní semiimplicitní opravu aproximace pro evoluční úlohu (18.4.16). Odečteme-li od

semiimplicitní aproximace (18.4.21) explicitní aproximaci (18.4.19) dostáváme vztah pro

semiimplicitní opravu ve tvaru

𝑧+ − 𝑧+𝑒𝑥𝑝𝑙

2Δ𝑡= 𝐿(𝑧 − 𝑧)

(18.4.39)

Kde lineární kombinaci hodnot 𝑧+, 𝑧−, 𝑧 označujeme jako 𝜏𝑧 a tedy je

𝜏𝑧 = 𝑧 − 𝑧 =1 + 휀

2𝑧+ +

1 − 휀

2𝑧− − 𝑧

(18.4.40)

Korekční člen na pravé straně rovnice pak můžeme psát ve tvaru 𝐿(𝜏𝑧).V modelech ECMWF

se pro semiimplicitní část používá lichoběžníkové schéma, pro které je 휀 = 0 a tedy

𝑧 = (𝑧+ + 𝑧−) 2⁄ V tomto případě má korekční člen tvar 𝐿𝜏𝑧 =1

2(𝑧+ − 2𝑧 + 𝑧−) a je

násobkem diferenční aproximace druhé derivace. V tomto případě korekční člen zapisují ve

tvaru 1

2𝐿Δ𝑡𝑡𝑧.

Semiimplicitní schéma můžeme tedy provésti ve dvou krocích. Jako první krok

provedeme výpočet hodnot z v následujícím časovém kroku explicitním schématem. Tyto

hodnoty označujeme 𝑧+𝑒𝑥𝑝𝑙 . Ty obdržíme z rovnic

𝑧+𝑒𝑥𝑝𝑙 = 𝑧− + 2Δ𝑡 𝐹𝑧 (18.4.41)

Jako druhý krok provedeme semiimplicitní opravu, která je dána vztahy

𝑧+ = 𝑧+𝑒𝑥𝑝𝑙𝑧

− + 2Δ𝑡𝐿𝜏𝑧 (18.4.42)

Separujeme-li od sebe hodnoty 𝑧+ a hodnoty dané explicitně, dostaneme pro 𝑧+ soustavu

lineárních rovnic,

(1 − Δ𝑡𝐿(1 + 휀))𝑧+ = 𝑧+𝑒𝑥𝑝𝑙 + Δ𝑡𝐿((1 − 휀)𝑧− − 2𝑧) (18.4.43)

Shrnutí rovnic pro semiimplicitní korekci

Korekce explicitního schématu na schéma semiimplicitní je dána těmito vztahy

𝑢+ = 𝑢+𝑒𝑥𝑝𝑙 − 2Δ𝑡𝛿𝑥𝜏𝑃 (18.4.44)

𝑣+ = 𝑣+𝑒𝑥𝑝𝑙 − 2Δ𝑡𝛿𝑦𝜏𝑃 (18.4.45)

Δ

Δ𝜎(𝑤 − 𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙) = −𝜏𝑑

(18.4.46)

𝑇+ = 𝑇+𝑒𝑥𝑝𝑙 = 2Δ𝑡

𝜅𝑇∗

𝜎∗(𝑤 − 𝑤𝑒𝑥𝑝𝑙 𝜎)

(18.4.47)

∆Φ

Δ ln 𝜎= −𝑅𝑇

(18.4.48)

301

Tuto soustavu rovnic můžeme řešit buď vzhledem k 𝜏𝑃, nebo 𝜏𝑑. Myslím, že lepší volba je

řešit soustavu vzhledem 𝜏𝑑. Řešení je pak obdobné řešení semiimplicitní korekce pro semi-

Lagrangeovské schéma.

Literatura:

[1] Baťka M: Czech Hydrometeorological Institute Limited-Area Operational Forecast

Model. Studia geograph. et geod. 35. (1991) s. 109-124.

[2] Baťka M, Tran Thuc Nam: LIMITED-AREA FORECASTING MODEL BASED ON

SEMI-LAGRANGIAN SEMI-IMPLICIT SCHEME LEADING TO SOLVING THE

SEPARABILE ELLIPTIC EQUATIONS, Studia geograph. et geod. 48. (2004) s. 811-828.

[3] Corby G. A., Gilchrist A., Newson R. L.: A general circulation model of the atmosphere

suitable for long period integrations. Quart. J. R. Met. Soc. (1972), 98, pp. 809-832.

[4] Hollingsworth A., Kållberg P., Renner V., Burridge D. M.: An internal symmetric

computational instability. Quart. J. R. Met .Soc. (1983) 109, pp. 417-428

[5] Imbard. M, Joly A, Juvanon du Vachat R: Le modele prevision numerique PERIDOT,

formulation dynamique et modes de fonctionnement. Technická zpráva No 161

[6] Sadourny Robert: The Dynamics of Finite-Difference Models of the Shallow-Water

Equations, Journal of Atmospheric Sciences Vol. 32, (1975), s. 680-689.

302

19. Semi-Lagrangeovské baroklinní modely v hydrostatickém

přiblížení

Nyní si popíšeme semi-Lagrangeovský model s časově tří-hladinovou aproximací a

s použitím dvoudimensionální interpolací prognostických proměnných ve vrstvách. Schéma

s interpolací pouze v horizontální rovině je odpovídající pro modely v hydrostatické

rovnováze, protože zde jsou synoptické vertikální rychlosti malé, neomezují proto většinou

délku časového kroku. Vertikální advekce se pak počítá stejně jako v Eulerovském modelu,

což má také určitou výhodu, neboť pak vertikální advekce splňuje přesně zákony zachování i

v diskrétním případě. Označení proměnných i aproximace rovnic, které nejsou modifikovány

semi-Lagrangeovskou metodou zůstávají stejné jako v Eulerovském modelu. Celá koncepce

projektu a zejména její nejsložitější části, semiimplicitní opravy explicitního schématu je

provedena tak, aby se bez zásadních úprav teorie i programů dalo přejít ke studiu jednak

modelů s třírozměrnou interpolací a jednak nověji používaných modelů s časově dvou-

hladinovými schématy. Poznamenejme, že rozdíl mezi časově tří-hladinovými a dvou-

hladinovými schématy spočívá v tom, že v tří-hladinovém časovém schématu se používá

obvyklé schéma s centrovanou diferencí podle času a časové derivace se tedy aproximují na

intervalu tttt , a členy, které se aproximují semiimplicitně se průměrují rovněž na

tomto časovém intervalu. Naproti tomu se v dvou-hladinovém časovém schématu časové

derivace aproximují na intervalu ttt , a aby aproximace zůstala druhého řádu přesnosti je

třeba pole větru a pravé strany rovnic s nelineárními členy extrapolovat do časového

okamžiku 2/tt . Časové průměrování členů aproximovaných semiimplicitně se pak

provádí rovněž na intervalu ttt , . Při realizaci schématu je si třeba pro časovou

extrapolaci zapamatovat rovněž hodnoty proměnných ve třech časových hladinách

ttttt ,, . Efektivní délka časového kroku je tedy u dvou-hladinového časového

schématu poloviční, což umožňuje počítat s ještě delším časovým krokem, než u tří-

hladinového schématu. Vzhledem k časové extrapolaci použité ve dvou-hladinovém schématu

je toto schéma náchylnější na vznik různých krátkovlnných šumů a nežádoucích vln. Tyto

nežádoucí vlny generuje například orografie. Schéma proto vyžaduje vždy určitou filtraci. To

je možné řešit buď zvýšenou difůzí, nebo podle našeho mínění lépe filtrací časového vývoje

divergence horizontálního větru. Tuto filtraci lze také použít pro odstranění problémů, jestliže

inicializace modelu není zcela dokonalá, tj. když pole rozložení hmoty atmosféry-

termobarické pole není v dokonalé rovnováze s polem proudění. Taková situace vzniká

například při interpolaci dat, z řídícího modelu do sítě LAM, čímž se může poněkud porušit

rovnováha mezi polem proudění a termobarickým polem a nová inicializace těchto dat by

byla zbytečným přepychem. Proto do modelu pro všechna schémata zabudujeme dva

mechanizmy, které utlumují časově i prostorově krátké vlny spojené s divergencí

horizontálního větru D a volbou konstant můžeme účinnost filtrace regulovat, nebo ji zcela

vyloučit. Uvedené skutečnosti vyplynuly z testování výpočetních schémat na seminářích na

matematicko-fyzikální fakultě, které jsem v uplynulých letech vedl.

303

19.1. Formulace řídících rovnic pro semi-Lagrangeovský model

Rovnice pro změnu hybnosti

Pro semi-Lagrangeovský model, s dvoj-dimensionální interpolací prognostických

proměnných ve -vrstvách, píšeme rovnice změny hybnosti ve tvaru [6]

XsH F

x

sK

x

Dcp

xRT

xfv

u

td

ud

lg

(19.1.1)

YsH F

y

sK

y

Dcp

xRT

yuf

v

td

vd

lg

(19.1.2)

Pro filtraci nežádoucích šumů a gravitačních vln použijeme tyto dva mechanizmy:

do rovnic pro změnu hybnosti jsme přidali na pravou stranu člen cD , kde 0c je

koeficient útlumu divergence, Bates et al. [1]. Tento člen představuje v podstatě horizontální

difůzi divergence horizontálního větru, do formulace semiimplicitní korekce přidáme do

časového průměrování lineárních členů váhy 1,1 , kde 10 . (Bates et al. [1]

klade 01.0 až 07.0 , McDonald [3] použil 05.0 ). Pro 0 bude průměrování

odpovídat obvykle používanému lichoběžníkovému schématu, zatímco pro 1 by

odpovídalo zpětnému implicitnímu schématu. Tento mechanizmus založený na časovém

zpětném implicitním schématu potlačuje amplitudu krátkých vln spojených s divergencí.

Proto tento mechanizmus je dosti selektivní.

Rovnice kontinuity, její integrály a výpočet vertikální rychlosti

Pro naše další úvahy vyjdeme z rovnice kontinuity v -systému napsané v

divergentním tvaru

p

ts

U

x

V

y

ps s

( )0

(19.1.3)

Připomeňme zde, že

U p u V p vs s ,

(19.1.4)

jsou složky toku hmoty a s je čtverec zkreslení mapy.

Tuto rovnici můžeme psát také ve tvaru

0lg

y

V

x

U

p

sp

t s

s

(19.1.5)

304

Druhý člen v předchozí rovnici můžeme napsat také v jiném tvaru. Když sem dosadíme za

složky toku hmoty z (19.1.4) a provedeme derivování, dostáváme

Dpy

vpx

usDy

pv

x

pu

p

s

y

V

x

U

p

sss

ss

ss

lglg (19.1.6)

a rovnici kontinuity napsat můžeme napsat v advekčním tvaru

0lg

D

y

pv

x

pu

p

sp

t

ss

s

s

(19.1.7)

Integrací rovnice kontinuity (19.1.5) vzhledem k dostaneme s použitím horní okrajové

podmínky, která požaduje, aby pro =0 bylo 0 následující vztah

0

lg dy

V

x

U

p

sp

t s

s (19.1.8)

Podle Kasahary - Shigehisy zavedeme pro lineární část sp

, kde

dt

dp je individuální

časová změna tlaku označení w

spt

w lg

(19.1.9)

Neboť je

sss pdt

dpp

dt

d

dt

dp

(19.1.10)

máme s užitím vztahů (19.1.6) a (19.1.9)

sss

s

py

vpx

uswpdt

d

plglglg

(19.1.11)

Člen sptlg

násobený sp ve vztahu (19.1.9) vyjadřuje časovou lokální změnu tlaku v

-hladině o souřadnici a ps je vertikální tok hmoty. Hodnotu w můžeme vyjádřit

podle vztahu (19.1.8) integrálem

0

dy

V

x

U

p

sw

s

(19.1.12)

Pro w můžeme odvodit také diferenciální rovnici derivováním vztahu (19.1.12) podle a

pomocí vztahu (19.1.6) máme

Dpy

vpx

usy

V

x

U

p

swss

s

lglg

(19.1.13)

Výpočet vertikální rychlosti a w:

305

Vertikální rychlost a w můžeme v každém uzlovém bodě základní sítě vypočítat

následovně: nejdříve ze vztahu (19.1.12) vypočteme w a pak ze vztahu (19.1.8) máme

1ww

(19.1.14)

při tom jsme použili vztah

spt

w lg1

(19.1.15)

který obdržíme, pomocí dolní okrajové podmínky 01 , dosazením do vztahu (18.1.9).

Věta termodynamická.

První větu termodynamiky v -systému píšeme ve varu

cdT

dtp

(19.1.16)

kde

RT

p ,

R

cp

, p ps

(19..117)

Dosazením (19.1.17) do vztahu (19.1.16) máme

dT

dt c

R

c

T

p

T

pp p s

1

(19.1.18)

Nyní si uvedeme dva tvary termodynamické věty, které použijeme pro její dvě různé

aproximace. První tvar použijeme pro čistě semi-Lagrangeovskou aproximaci. Dosadíme-li do

rovnice (19.1.11) můžeme psát

sp

dt

dT

dt

dTlg

(19.1.19)

Všimněme si, že v tomto vztahu zůstává na pravé straně individuální časová změna logaritmu

přízemního tlaku spdt

dlg . Druhý tvar termodynamické rovnice, který se používá

v Eulerovských modelech je možné použít i v semi-Lagrangeovských modelech. V tomto

případě je individuální časová změna přízemního tlaku rozdělena na dva členy. Na lokální

časovou změnu přízemního tlaku a na člen vyjadřující změnu přízemního tlaku advekcí,

ovšem celé vrstvy atmosféry. V tomto případě pro aproximaci členu termodynamické

věty píšeme podle (19.1.11) a (19.1.4) sp

ve tvaru

306

)(lg)(lg ss

ss

py

Vpx

Up

sw

p

(19.1.20)

Pravou stranu rovnice (19.1.18) můžeme pak přepsat do tvaru

ss

ss

py

VTpx

UTp

sw

T

p

Tlglg

(19.1.21)

Správná aproximace termodynamické věty je v Eulerovských modelech odvozena

z požadavku, aby aproximace členu termodynamické věty, (který popisuje přeměnu

vnitřní a potenciální energie na práci vykonanou horizontálním gradientem tlaku) byla

konsistentní s aproximací horizontálního gradientu tlaku.

V čistě semi-Lagrangeovských modelech individuální změnu tlaku v členu

nerozepisujeme na časovou lokální změnu a advekční nelineární člen a aproximujeme ji

Lagrangeovsky.

Hydrostatická rovnice

Hydrostatická rovnice se používá ve tvaru

RT

lg

(19.1.22)

19.2. Semi-Lagrangeova aproximace advekce

Semi-Lagrangeova metoda je v podstatě založena na metodě sledování pohybu částice.

Změnu hodnoty meteorologické proměnné za čas t2 pro danou pevně zvolenou částici

nazýváme individuální časovou změnou a matematicky ji vyjadřujeme derivací dt

d.

V Eulerovských modelech se tato individuální změna aproximuje pomocí rozvoje, který se

skládá z lokální časové změny a nelineárních členů popisujících advekci. V semi-

Lagrangeovských modelech se aproximace se provádí následovně: zvolme si uzlový bod, ve

kterém se studovaná částice nachází v čase tt , ten nazveme příchozí bod. Hodnotu

meteorologických proměnných v tomto bodě a v čase označme z (viz obr.1). Dále pomocí

pole větru v čase t najdeme polohu, ve které se částice nacházela v čase tt , tak zvaný

výchozí bod. Nyní z hodnot meteorologických proměnných v čase tt nacházejících se v

okolí výchozího bodu vypočteme interpolací hodnoty meteorologických proměnných ve

výchozím bodě. Tyto hodnoty označme z . Interpolace však musí býti dosti přesná. Při

použití například lineární interpolace z hodnot ve čtyřech uzlových bodech tvořících čtverec

obsahující výchozí bod trajektorie by při výpočtu vznikala nežádoucí početní difůze. Proto je

obvykle zvolena Lagrangeova interpolace pomocí kubických polynomů z šestnácti uzlových

307

bodů, kde výchozí bod trajektorie leží v prostředním čtverci, nebo kombinace kubické a

lineární interpolace používající dvanáct uzlových bodů. Mne se tato aproximace, kde na

vnějších stranách interpolačního čtverce místo kubické aproximace, použijeme lineární

interpolaci ze dvou bodů, nezdá příliš výhodná. Při testování v modelu se mi model

s použitím této interpolace ukázal méně stabilní. Váhy interpolace jsou pro daný směr pro

všechny čtyři úsečky daného směru stejné, takže když je vypočteme a pak pomocí nich

provedeme kubickou interpolaci prakticky při zjednodušené a méně přesné interpolaci žádný

čas neušetříme.

Semi-Lagrageovská a semiimplicitní diskretizace rovnic modelu

I když v současné době jsou používána více dvou-hladinová časová schémata, neboť

skutečná efektivní délka časového kroku je poloviční a umožňují proto integraci s krokem o

něco delším, my pro první studium semi-Lagrangeovských semiimplicitních schémat se

omezíme zatím na studium tří-hladinových modelů s průměrováním pravých stran podél

trajektorie v čase i prostoru, podobně jako v pracích [4] a [7]. Výhoda tohoto schématu

spočívá v tom, že téměř zcela vylučuje problémy, které v semi-Lagrangeovských modelech

způsobuje orografie. Toto schéma lze též považovat za velice přesné.

V této etapě se budeme tedy zabývat popisem-hladinového časového schématu. Pro tří-

hladinová časová schémata zavedeme tato označení: pro funkci tyxz ,,, označíme

ttyxzz ,,, hodnotu funkce v uzlovém bodě do kterého částice vzduchu přichází

v čase tt - tento bod nazveme příchozím, nebo koncovým bodem. V anglické literatuře se

nazývá „arrival point“, nebo „final point“. ttyxzz ,,2,2 je hodnota funkce

v počátečním bodě trajektorie, ze kterého se částice vzduchu za čas t2 dostane do

koncového bodu trajektorie. Je to tedy poloha sledované částice v čase tt . Tento bod

nazveme výchozím, nebo počátečním bodem trajektorie částice. V anglické literatuře se

nazývá „departure point“ nebo „ initial point“

Předpokládáme, že trajektorie za tento časový úsek t2 je málo zakřivená a proto ji

aproximujeme úsečkou. Hodnotu v jejím středu v čase t označme 0z . Je tedy

tyxzz ,,,0 . V literatuře se tento bod označuje jako „middle point“ nebo

„medium point“. Pro složky větru v tomto bodě platí 00ust a 00vst . Těmito

vztahy jsou veličiny , určeny. Prvním krokem realizace dvou-dimensionálního SL

schématu je výpočet hodnot , a tedy nalezení výchozího bodu trajektorie, což se provede

následujícím iteračním procesem:

tyxust nnn ,,1 (19.2.1)

tyxvst nnn ,,1 (19.2.2)

Počáteční přiblížení je možné vzíti z předchozího časového kroku. Pro dostatečnou přesnost

stačí výpočet dvou až tří iterací. Při výpočtu složek větru se v iteračním procesu používá

lineární interpolace.

Individuální časová změna je v SL-schématu s dvoudimenzionální interpolací aproximována

vztahem (Lagrangeova derivace)

308

t

zz

td

zdH

2 (19.2.3)

Pro semiimplicitní schéma použijeme operátor průměru podél trajektorie v prostoru i čase, a

který definujeme vztahem

2

11

zzz

(19.2.4)

kde parametr můžeme podle potřeby volit z intervalu 10 .

Tento operátor se aplikuje na lineární členy pravých stran rovnic popisující vlny s velkou

fázovou rychlostí, což jsou gravitační vlny.

18.3. Semiimplicitní schéma jako oprava explicitního časového schématu

Pro formulaci časových schémat uvažujme evoluční úlohu ve tvaru

Fzdt

dz (19.3.1)

kde nelinární operátor pravé strany rovnice Fz rozdělíme na dvě části. Na lineární část Lz,

která popisuje rychle se pohybující gravitační členy a na část Rz, která zahrnuje ostatní členy.

Tyto členy ovšem popisují pouze relativně pomalu se pohybující Rossbyho vlny a

v Eulerovské versi modelů též advekci. Můžeme tedy psát

RzLzFz (19.3.2)

Semi-Lagrangeovské explicitní schéma s centrální časovou diferencí (Leapfrog-schéma) má

pro naší evoluční úlohu tvar

RzLzFzt

zz

2 (19.3.3)

kde pravá strana je vyhodnocována v čase t. Toto explicitní semi-Lagrangeovské schéma zde

formulujeme, i když nezvyšuje efektivnost modelu, ve srovnání s explicitním Eulerovským

schématem. Je to tím, že délka časového integračního kroku je pro obě explicitní schémata

dána zejména fázovou rychlostí gravitačních vln. Schéma slouží však jako základ pro

formulaci semiimplicitnho semi-Lagrangeovského schématu, které obdržíme po

semiimplicitní opravě explicitního semi-Lagrangeovského schématu. Smiimplicitní oprava je

prkticky stejná jak pro semi-Lagrangeovská, tak i pro Eulerovská schemata, což zajišťuje

maximální modulárnost a flexibilitu kódu programů modelu. Systém řešení se semiimplicitní

oravou explicitního schématu je použit v modelech ECMWF, v modelu ARPEGE i ALADIN.

Explicitní schema, které je součástí tohoto postupu, je také užitečné pro ladění program a

testování modelu.

Označme průměr podle trajektorie i času pruhem nad písmenem, tedy

2/11 zzz (19.3.4)

kde 10 . Semiimplicitní semi-Lagrangeovské schéma má pak tvar

309

02

RzzLt

zz

(19.2.5)

v Eulerovském schématu je člen Rz vyhodnocován v čase t ve stejném uzlovém bodě, ve

kterém se počítá z . V semi-Lagrangeovském modelu se však člen vyhodnocuje v čase t ve

středu trajektorie částice. Máme dvě možnosti, jak vypočítat hodnotu členu Rz, v čase t ve

středu trajektorie. Výpočet členů Rz (respektive členů Fz) ve střdech trajektorií při obou

postupech začneme vypočtem hodnot členů Rz (respektive členů Fz) v uzlových bodech

výpočetní sítě. První možností je, že se do středu trajektorie hodnota Rz interpoluje přímo

z okolních bodů. Druhou, lepší možností, je prostorové průměrování [38], při kterém hodnotu

Rz interpolujeme do počátečního bodu trajektorie, což provedeme společně s interpolací

hodnot z (používá se pole větru v čase t, tedy stejné) a pak vypočteme aritmetický průměr této

hodnoty s hodnotou v koncovém bodě trajektorie, který je uzlem sítě. Tento druhý způsob je z

hlediska aproximace lepší, ale šetří i stojový čas počítače, neboť interpolace pravých stran

rovnic Rz se provádí do počátku trajektorie, tedy do stejných bodů. Hodnotu ve středu

trajektorie v čase t budeme označovat nahoře indexem o, tedy o . Hodnota je v tomto

případě dána vztahem

2/,,2,2,,,0

tyxztyxzz (19.3.6)

Semiimplicitní schéma můžeme napsat také v jiném tvaru. Členy Rz napíšeme jako

rozdíl celé pravé strany Fz a lineární části Lz, tedy

Rz=Fz-Lz (19.3.7)

a semiimplicitní schéma (19.3.5) psát ve tvaru (19.3.5) psát ve tvaru

)(2

zzLFzt

zz

(19.3.8)

Vidíme, že prvá strana schématu se skládá z pravé strany explicitního schématu Fz a členu

zzL , který se nazývá semiimplicitní korekcí. Zavedeme–li pro lineární kombinaci hodnot

zzz ,, označení

zzzzzz

2

1

2

1 (19.3.9)

pak korekční člen můžeme psát ve tvaru zL . V modech ECMWF [27], nebo ARPEGE, se

pro semiimplicitní část používá lichoběžníkové schéma, pro které je 0 a tedy

2/ zzz . V tomto případě má korekční člen tvar zzzLzL 22

1 a je

násobkem diferenční aproximace druhé derivace. V tomto případě korekční člen zapisují ve

tvaru zL tt2

1.

310

Semiimplicitní schéma můžeme proto provésti ve dvou krocích. Jako první krok provedeme

výpočet hodnot z v následujícím časovém kroku explicitním schématem. Tyto hodnoty

označme lz exp . Ty dostaneme z rovnic

tFzzz l 2exp (19.3.10)

Jako druhý krok provedeme semiimplicitní opravu, která je dána vztahy

ztLzz l 2exp (19.3.11)

Separujeme-li od sebe neznámé hodnoty z a hodnoty, které jsou dány explicitně, dostaneme

pro z soustavu lineárních rovnic

zztLzztL l 2111 exp (19.3.12)

19.4. Postorová síť použitá v modelu

Vertikální diskretizace modelu

Model je formulován na střídavé vertikální síti. Diferenční aproximace na vertikální ose,

kterou nyní popíšeme je používána v současné době prakticky ve všech modelech. Ve

vertikálním směru se model skládá z KV vrstev. Tyto vrstvy jsou od sebe odděleny, nebo

spíše vymezeny KS=KV+1 plochami konstantního . Tyto plochy budeme nazývat -

plochami, nebo -hladinami. Tyto -plochy jsou zadány jako rostoucí posloupnost hodnot

k tvaru

1....0 321 KS (19.4.1)

Poznamenejme, že v modelech ECMWF [5] a i v mnohé literatuře jsou tyto -hladiny

nazývány jako „poloviční hladiny“, anglicky „half-levels“, neboť jsou indexovány indexy ve

tvaru k+1/2 kde k =0,…,KLEV. Pro zápis teorie je to možná o něco přehlednější a

symetričtější, ale při programování se pak stejně používají jako indexy pouze celá čísla a

indexy -hladin jsou zaokrouhleny směrem dolu (ECMWF) nebo nahoru, jak to je v našem

modelu. Zaokrouhlení lomených indexů směrem nahoru vzniklo v našich starších modelech,

kde se používaly starší verse jazyka FORTRAN, ve kterém nebylo možné používat index 0,

neboť se všechny proměnné indexovaly od 1.

V modelu jsou používány hodnoty proměnných na - hladinách i v - vrstvách.

Použijeme zde označení, podle Arakawy. Proměnné, jejichž hodnoty se používají jak na -

hladinách, tak i ve vrstvách označíme na -hladinách stříškou nad označením. To se týká

zejména proměnných geopotenciálu a funkce w. Na - plochách, které jsou dány

hodnotami k jsou zadány hodnoty proměnných: geopotenciálu k , vertikální rychlosti v

systému k a proměnné kw . Ve vrstvách je zadána hodnota složek větru kk vu , ,

311

absolutní teplota kT , proměnná kP , divergence horizontálního větru kD a geopotenciál k ,

který se používá pro výpočet horizontálního gradientu tlaku. Definujme ještě operátor

vertikálního průměrování. Tento operátor, dvěma hodnotám proměnné F na sousedních sigma

plochách přiřazuje hodnotu aritmetického průměru, této proměnné ve sigma vrstvě, kterou

omezují. Operátor aritmetického průměru označme symbolem

2/1 kkk FFF

(19.4.2)

Operátor diferencování vzhledem k vertikální souřadnici zavedeme vztahem

kkk FFF 1

(19.4.3)

kde hodnoty na pravé straně předchozích dvou vztahů náležejí sigma plochám a hodnota

průměru a diference na levé straně rovnic náleží vrstvě, kterou tyto plochy omezuje, nebo

zejména pro operátor průměru i obráceně.

Stejné označení použijeme i pro nezávisle proměnnou, je tedy

kkk 1

(19.4.4)

a též

kkkkk /lglglglg 11 pro KVk ,...,2

(19.4.5)

hodnotu 1

lg pro k=1 definujeme následovně

4lg2lg2lg1

(19.4.6)

Při tomto označení můžeme napsat aproximaci hydrostatické rovnice ve tvaru

k

kk

kk

k

k RT

/lg

ˆˆ

lg

ˆ

1

1 (19.4.7)

Jako důsledek vztahu (5.6) je platnost předchozího vztahu i pro k=1. Vztah (5.7) pro 1k

nám definuje i hodnotu 1 , která ovšem neodpovídá hodnotě 0 a tedy nulovému tlaku.

Podle vztahu (5.6) platí 4lg/lg 12 , z čehož pro aproximaci hydrostatické rovnice

v nejvýše položené -vrstvě plyne, že hodnota geopotenciálu 1 přísluší hodnotě

4/21 . Tím je určena i hodnota geopotenciálu 1 v nejvýše položené vrstvě.

Hodnoty geopotenciálu ve vrstvách definujeme vztahem

2/ˆˆˆ1 kkkk

, KVk ,...,1 (19.4.8)

Pomocí diferenční aproximace vztahu pro derivaci přirozeného logaritmu

1lg

(19.4.9)

definujeme hodnotu v sigma vrstvách, kterou označme *

312

*

1lg

kk

k

(19.4.10)

Ze vztahu (19.4.6) také plyne, že pro nejvýše položenou vrstvu je 4lg/11* . Vztahem

spp 1* je pak definován tlak odpovídající nejvýše položené vrstvě.

.

Horizontální diskretizace modelu

Pro reprezentaci údajů v - hladinách i vrstvách se používá C-síť Arakawovy

klasifikace.

Diferenční operátory fx i operátory prostorového průměru x

f (zde aplikovaný na funkci

f zde mají obvyklý význam. Celková obdélníková oblast modlu je znázorněna na obrázku 3.

Námi použité indexování proměnných na C-síti je zobrazeno na obrázku 5.

19.5 Aproximace rovnic modelu

Při aproximaci rovnic modelu vyjdeme z aproximace rovnice kontinuity. Tato rovnice má

v modelu v hydrostatickém přiblížení zvláštní postavení. V části 2 jsme viděli, že pro model

v hydrostatickém přiblížení určuje tato rovnice z divergence horizontálního větru vertikální

rychlost , w, lokální i individuální časovou změnu logaritmu přízemního tlaku splg aniž

by k tomu bylo třeba ostatních rovnic modelu. Proto se na tento vztah můžeme v modelu dívat

jako na diagnostický a zároveň i prognostický vztah. Diagnostické použití rovnice kontinuity

však přísluší pouze explicitnímu řešení rovnic modelu. Rovnice kontinuity se používá

v modelu ke třem účelům. K výpočtu vertikální rychlosti v -systému pro advekci ve

vertikálním směru. K výpočtu členu termodynamické věty a zejména k předpovědi

logaritmu přízemního tlaku, tedy i předpovědi přízemního tlaku. V modelu se mohou používat

i různé aproximace rovnice kontinuity, což si ukážeme dále. Explicitní aproximace rovnice

kontinuity se v semiimplicitním modelu používá pouze pro výpočet advekce. V obou zbylých

případech se používá aproximace smiimplicitní, která s aproximací ostatních rovnic modelu

nám dává soustavu lineárních rovnic pro prognostické proměnné v následujícím časovém

kroku.

Explicitní aproximace rovnice kontinuity a výpočet vertikální rychlosti

Nejdříve se soustředíme na výpočet pro advekci ve vertikálním směru. V Eulerovském

modelu postupujeme následovně. Diskrétní tvar rovnice kontinuity pro model v -systému

na Arakawově C-síti je následující:

Složky toku hmoty jsou aproximovány vztahy

vpVupUy

s

x

s , (19.5.1)

Aproximace vztahu (19.1.12) je

313

1

1

][ˆk

l

lyx

s

k VUp

sw (pro k=2,…,KS) (19.5.2)

Protože pro 1 0 máme 011 w , můžeme vztah (19.5.2) použít jako rekurentní vztah

pro výpočet kw pro k=1,...,KV, ve tvaru

k

yx

s

kk VUp

swww

ˆˆ,0ˆ

11 (19.5.3)

kde KS je počet - hladin modelu a tedyKS 1. Připomeňme, že model se skládá z

KV=KS-1 -vrstev, jejichž tloušťka je . Vertikální rychlost pak pro všechny uzlové

body základní sítě vypočteme z diferenční obdoby vztahu (19.1.14)

KSkkk ww ˆˆ pro k=2,..., KV, 01 KS (19.5.4)

V semi-Lagrangeovských modelech lze postupovat dvěma způsoby a oba postupy byly

v semi-Lagrangeovských modelech prakticky použity. Jednou z možností je i v semi-

Lagrangeovském modelu použít Eulerovskou aproximaci rovnice kontinuity. Tento postup

byl použit v modelu ECMWF [5]. Druhou možností je i rovnici kontinuity aproximovat semi-

Lagrangeovsky, což je častější. Výše popsaný výpočet vertikální rychlosti používaný

v Eulerovských modelech však neodpovídá semi-Lagrangeovské metodě. Proto v semi-

Lagrangeovském modelu budeme počítat vertikální rychlost v principu stejně, ale ze semi-

Lagrangeovské aproximace rovnice kontinuity. Proces výpočtu je třeba modifikovat, protože

při semi-Lagrangeovské aproximaci nejde od sebe oddělit individuální a lokální časová změna

a musíme proto vždy pracovat pouze s individuální časovou změnou, která v sobě zahrnuje

nelineární člen advekce. Zásadní rozdíl mezi lokální a individuální časovou změnou logaritmu

přízemního tlaku spočívá v tom, že zatímco lokální časová změna nezávisí na vertikální

souřadnici a je tedy vzhledem k konstantní, je individuální časová změna funkcí .

Nemůžeme proto pomocí ní definovat obdobu funkce w. Místi toho budeme pracovat s funkcí

sp/ , jejíž lineární částí je w.

Pro semi-Lagrangeovskou aproximaci napíšeme rovnici kontinuity podle vztahů (19.1.5) a

(19.1.6) v advekčním tvaru.

0lg

Dp

dt

ds

H (19.5.5)

Explicitní semi-Lagrangeovskou aproximaci pak můžeme psát ve tvaru

D

t

pp sls

2

lglg exp (19.5.6)

kde divergenci D aproximujeme vztahem

vusD yx (19.5.7)

314

I když levá strana rovnice (19.5.6) nezávisí zdánlivě na souřadnici , není tomu tak, protože

počáteční bod trajektorie částice, do kterého hodnotu splg interpolujeme má v každé vrstvě

jiné horizontální souřadnice yx, . Tomu v Eulerovském zápisu odpovídá to, že v každé

vrstvě má advekční člen jiné složky větru. Z pohledu Eulerovského modelu člen splg

v sobě vlastně obsahuje advekci horizontálního větru. Proto bychom měli v rovnici (19.5.6) u

členu splg psát index k, abychom zdůraznili závislost hodnoty tohoto členu na vrstvě,

zatímco hodnota členu splg v každé vrstvě přísluší stejnému uzlovému bodu a má proto

stejnou hodnotu pro všechny vrstvy. Novou hodnotu logaritmu přízemního tlaku splg

vypočteme tak, že rovnici kontinuity integrujeme po vertikále pro na intervalu 10 .

V diskrétním případě proto rovnici (19.1.12) nejdříve přepíšeme do tvaru

Dtpp ksls 2lglg exp

(19.5.8)

násobíme a sečteme přes všechny vrstvy. Protože

k

l

kl

1

1 a

KV

k

k

1

1

(19.5.9)

s použitím okrajových podmínek 01 KS máme

KV

k

KV

k

kkkskls Dtpp1 1

exp 2lglg

(19.5.10)

Předchozí vztah nám dává předpověď (časovou extrapolaci) logaritmu přízemního tlaku

explicitním semi-Lagrangeovským schématem.

Výpočet vertikální rychlosti provedeme obdobně jako v Eulerovském modelu. Rovnici

(19.5.8) násobíme a sečteme přes k vrstev. Dostaneme pro

(19.5.11)

Ze vztahů (19.1.10) a (19.1.11) můžeme již vypočítat. Výpočet ovšem realizujeme tak, že

si uložíme jednotlivé součty, které označme dané vztahy

pro

(19.5.12)

neboť je

(19.5.13)

KSk ,...,2

1

1

1

1

exp 2lglgk

l

k

k

l

lllsllsk Dtpp

ksum

1

1

1

1

2lgk

l

k

l

lllslk Dtpsum KSk ,...,2

01 KSKS a lsKS psum

explg

315

a můžeme (19.5.11) napsat ve tvaru

(19.5.14)

odkud po dosazení z (19.5.13) můžeme vyjádřit vztahem

pro a

(19.5.15)

kde součty vypočteme z rekurentních vztahů

(19.5.16)

Pravá strana rovnice (19.5.6) vyhodnocovaná v čase t by ovšem měla být interpolována do

středu trajektorie. My používáme ovšem schéma s průměrováním pravých stran rovnic v čase

t podél trajektorie. Proto při výpočtu pravé strany rovnice kontinuity vypočteme nejdříve

divergenci ve všech uzlových bodech, pak interpolujeme divergenci do počátečního bodu

trajektorie a nakonec vypočteme vážený průměr této hodnoty s hodnotou v uzlovém bodě

konce trajektorie. Z výpočtu vertikální rychlosti podle vztahů (19.5.10) až (19.5.16) je vidět,

že hodnoty vertikální rychlosti jsou již dány individuální změnou logaritmu přízemního

tlaku a divergencí D ve všech vrstvách.

Nyní máme již všechny hodnoty potřebné pro výpočet výrazu , který se

vyskytuje v termodynamické větě. Hodnoty definujeme ve vrstvách a proto hodnotu

danou explicitním schématem v k-té vrstvě definujeme vztahem

(19.5.17)

kde explicitní individuální časová změna logaritmu přízemního tlaku je v k-té -vrstvě

definována vztahem

(19.5.18)

Aproximace rovnic změny hybnosti

Explicitní SL-schéma píšeme ve tvaru

kklsk sump explg

KSkkk sumsum 1,...2 KSk 01 KS

ksum

KVktDpsumsumsum kkkskkk ,...,1,2lg,0 11

sp/

l

sH

ks

lp

dt

d

pexp

explg

t

ppp

dt

d sls

l

sH

2

lglglg

exp

exp

316

(19.5.19)

kde

(19.5.20)

(19.5.21)

kde

(19.5.22)

Abychom zapsali lineární část pravé strany rovnic, kterou aproximujeme implicitně,

postupujeme obvyklým způsobem. Zavedeme funkci P, kterou definujeme vztahem

(19.5.23)

kde je referenční teplota, která nezávisí na čase ani souřadnicích x, y a je tedy funkcí

pouze vertikální souřadnice . Pro semi-implicitní schéma zvolíme teplotu referenční

atmosféry konstantní. Z hlediska stability SL-schématu vyhovuje obvykle teplota

referenční izotermní atmosféry . Semiimplicitní semi-Lagrangeovské schéma

rovnic hybnosti pak napíšeme ve tvaru

(19.5.24)

kde

(19.5.25)

(19.5.26)

kde

olFu

t

uu

2

exp

Xxsxx

x

s

x

s

Fx

sKDcpRTfv

up

pFu

lg1

olFv

t

vv

2

exp

Yysyy

y

s

y

s

Fy

sKDcpRTuf

vp

pFv

lg1

spRTP lg*

*T

*T

KT 300*

oxx NuDcPt

uu

2

Xsx

x

s

x

s

Fx

sKpTTRfv

up

pNu

lg1 *

oyy NvDcPt

vv

2

317

(19.5.27)

Lineární část horizontálního tlaku je . Do lineární části operátoru pravé strany rovnic

zahrneme také členy, které vytvářejí difúzi divergence horizontálního větru. Lineární část

pravých stran rovnic jsme tedy zvolili následovně

a

(19.5.28)

Semiimplicitní opravu explicitního kroku dostaneme opět odečtením explicitního schématu

od semiimplicitního schématu po úpravě dostaneme

(19.5.29)

(19.5.30)

Lineární část pravé strany, kterou vyhodnocujeme v čase t ve středu trajektorie částice a která

je součástí (členem) operátoru časové lineární kombinace (18.3.8) si při výpočtu pravé strany

rovnic pro výpočet semiimplicitní korekce zapamatujeme (uložíme do paměti).

Semiimplicitní aproximace rovnice kontinuity a výpočet členu termodynamické

věty.

V této části si formulujeme dvě semiimplicitní aproximace rovnice kontinuity Jedna

semiimplicitní aproximace odpovídá Eulerovské aproximaci rovnice kontinuty, druhá semi-

Lagrangeovské aproximaci. Použití Eulerova přístupu je zřejmě motivované výpočtem

členu termodynamické věty. Tento člen vyjadřuje vzájemnou přeměnu celkové vnitřní

energie (tedy součtu vnitřní a potenciální energie) v kinetickou energii a jeho aproximace by

měla být v souladu s aproximací horizontálního gradientu tlaku, neboť práce tohoto gradientu

tlaku vyjadřuje vzájemnou přeměnu celkové potenciální energie v kinetickou. Oba tyto členy

by měly mít tedy stejnou hodnotu. Při Eulerovském přístupu lze tento požadavek splnit

přesně. Zdá se však, že i čistě semi-Lagrangeovské aproximace, kde zákony zachování jsou

splněny jen přibližně, neprojevují patologické chování při přeměnách energie.

Nejdříve si všimněme čistě semi-Lagrangeovské aproximace. Pro tuto aproximaci vyjdeme

z explicitní aproximace rovnice kontinuity (19.5.6), tedy

(19.5.31)

Ysy

y

s

y

s

Fy

sKpTTTRuf

vp

pNv

lg1 *

P

DcPLu xx DcPLv yy

)(2exp DcPtuu xxl

DcPtvv yyl 2exp

D

t

pp sls

2

lglg exp

318

Předchozí vztah je ovšem semi-Lagrangeovská explicitní aproximace, neboť divergence a

vertikální rychlost má v tomto výrazu explicitní hodnotu v čase t která odpovídá středu

trajektorie a není časově průměrována, jak je tomu v semiimplicitním schématu. Rovnice ve

tvaru (19.5.29) slouží tedy k výpočtu logaritmu přízemního tlaku explicitním semi-

Lagrangeovským schématem.

Levá strana rovnice (19.5.29) je explicitní semi-Lagrangeovskou změnou a budeme ji proto

označovat

(19.5.32)

Poznamenejme, že předchozí vztah platí pro každou vrstvu modelu a všimněme si, že v každé

vrstvě má jinou hodnotu. Předchozí hodnoty pak můžeme použít pro výpočet

členu termodynamické věty.

Semiimplicitní aproximace odpovídající vztahu (19.5.29) má tvar

(19.5.33)

kde prvá strana rovnice je průměrována časově podél trajektorie částic.

Semiimplicitní semi-Lagrangeovskou změnu danou vztahem (19.5.31) budeme označovat

jednoduše

(19.5.34)

Poznamenejme ještě, že hodnotu výrazu daná semiimplicitním schématem označme

jednoduše rovněž a ta je dána vztahem

(19.5.35)

kde individuální časová změna logaritmu přízemního tlaku je dána semiimplicitně., tedy

vztahy (19.5.31) a (19.5.32).

Chceme-li formulovat rovnici pro semiimplicitní opravu explicitního schématu odečteme

od rovnice (19.5.34) rovnici (19.5.32) . Máme

t

ppp

dt

d ksls

l

sH

2

lglglg

exp

exp

ksp

lg

D

t

pp ss

2

lglg

t

ppp

dt

d kss

sH

2

lglglg

sp/

sp/

sH

ks

pdt

d

plg

319

(19.5.36)

Předchozí vztahy můžeme psát také ve tvaru, kde na levé straně je nová hodnota logaritmu

přízemního tlaku

(19.5.37)

a semiimplicitní opravu pro rovnici kontinuity psát ve tvaru

(19.5.38)

Chceme-li, aby model byl striktně energeticky konsistentní, musíme pro výpočet

členu zvolit jinou aproximaci. Tento přístup byl realizován v modelech ECMWF ovšem v -

systému vertikální souřadnice. Proto obdobně jako v modelu ECMWF aproximujeme rovnici

kontinuity stejně jako v Eulerovském modelu. Ukážeme, že při aproximaci na C-síti při

správné aproximaci je stejné, vyjdeme-li z divergentního či advekčního tvaru. My vyjdeme

z divergentního tvaru a aproximaci explicitního schématu napíšeme následovně

(19.5.39)

kde je hodnota ve stejném uzlovém bodě, ale v čase . Nyní provedeme úpravy

(19.5.39), abychom dostali advekční tvar. Pro zkrácení zápisu označme aproximaci

divergence horizontálního větru

(19.5.40)

na C-síti rovněž písmenem D, neboť nehrozí nedorozumění. Tedy

(19.5.41)

Vzhledem k tomu, že na C-síti pro diferenční aproximace platí identity

(19.5.42)

(19.5.43)

D

t

pp lss

2

lglg exp

Dtpp kss 2lglg

Dtpp lss 2lglg exp

VU

p

s

t

ppyx

s

n

sls

2

lglg1

exp

1lg

n

sp tt

y

v

x

usD

vusD yx

uppuupU xs

x

sx

x

sxx

vppvvpV ys

y

sy

y

syy

320

je předchozí divergentní aproximace (18.5.39 ) ekvivalentní s advekční aproximací

(19.5.44)

Semiimplicitní Eulerovskou aproximaci rovnice kontinuity můžeme tedy použít ve tvaru

(19.5.45)

Lineární část pravé strany rovnice kontinuity je proto

(19.5.46)

Semiimplicitní oprava explicitního kroku má pro rovnici kontinuity shodný tvar

(19.5.47)

pro Eulerovskou i semi-Lagrangeovskou aproximaci. Rozdíl je tedy pouze ve způsobu

výpočtu explicitní hodnoty . Buď se počítá ze vztahu (19.5.31) nebo ze vztahu

(19.5.44).

Při Eulerovské aproximaci se v termodynamické větě se vyskytuje veličina w, kterou

musíme rovněž vyjádřit. K tomu použijeme diskrétní analog vertikálního integrálu (19.1.12).

Tento vztah je obdobou vztahu (18.5.2) pro . Pro w máme

(19.5.48)

Pomocí vztahů (19.5.39) a (19.5.40) můžeme tento vztah psát také ve tvaru

(19.5.49)

Tak jak je tento vztah napsán, platí pro explicitní schema, proto jeho hodnotu budeme

označovat . Semiimplicitní hodnota je definovaná stejným vztahem, ve kterém je

však místo divergence D v čase t vážený průměr v čase i po trajektorii . Rozdíl

semiimplicitní a explicitní hodnoty w je pak dán vztahem

Dpvpu

p

s

t

pp y

sy

x

sx

s

n

sls

2

lglg1

exp

Dpvpu

p

s

t

pp y

sy

x

sx

s

n

ss

2

lglg1

DpL slg

Dtpp lss 2lglg exp

lsp explg

w

1

1

12

12/ˆˆ

k

l l

yx

sk

yx

s

kkk VUp

sVU

p

swww

1

1

1

12

1

2

1 k

l

ll

k

l l

y

sy

x

sx

s

kk

k

y

sy

x

sx

s

k Dpvpup

sDpvpu

p

sw

lkw exp kw

D

321

(19.5.50)

Aproximace termodynamické věty

Uvedeme si dvě různé aproximace termodynamické věty. Pro první aproximaci

vyjdeme ze vztahu (19.1.21), který pro schéma s dvou-rozměrnou interpolací upravíme

následovně

(19.5.51)

nebo stručněji s použitím (19.1.20)

(19.5.52)

Explicitní semi-Lagrangeovskou aproximaci termodynamické rovnice pak pomocí označení

(6 .17), mohu psát

(19.5.53)

Pro semiimplicitní aproximaci musíme termodynamickou rovnici rozdělit na lineární část a

zbytek obsahující nelineární členy. Lineární část oddělíme vzhledem k absolutní teplotě.

Absolutní teplotu T rozdělíme na součet dvou částí: referenční teploty a zbytku .

Můžeme tedy termodynamickou větu napsat ve tvaru

(19.5.54)

nebo stručněji

(19.5.55)

a její explicitní aproximaci (19.5.55) napsat rovněž v tomto tvaru

1

1exp

2

1 k

l

llkklkk DDww

s

HH pdt

dTT

dt

Tdlg

s

H

p

TT

dt

Td

s

ll

p

TT

t

TT exp

*

exp

2

*T *TT

s

Hs

HH pdt

dTTp

dt

dTT

dt

Tdlglg

**

ss

H

p

TT

p

TT

dt

Td

**

322

(19.5.56)

k ní odpovídající semiimplicitní aproximace má tvar

(19.5.57)

druhý člen pravé strany však není lineární, protože obsahuje individuální změnu a ta

v sobě skrývá nelineární člen advekce logaritmu . Vezmeme-li však v úvahu, že podle

(19.5.31) až (19.5.33) je

(19.5.58)

a tento rozdíl již lineární je, neboť advektivní členy, které obsahuje individuální změna se

stejně jako u Eulerovských modelů vzájemně vyruší. Proto rovnice semiimplicitní opravy

explicitního schématu termodynamické věty jsou lineární. Když od sebe odečteme

semiimplicitní a explicitní aproximaci (19.5.56) a (19.5.57), dostaneme semiimplicitní opravu

explicitní aproximace termodynamické rovnice ve tvaru

(19.5.59)

Pro druhou aproximaci termodynamické věty, kde použijeme jinou aproximaci

členu, příbuznou Eulerovským modelům. Vyjdeme z termodynamické rovnice ve tvaru

(19.5.60)

člen obsahující funkci w rozdělíme na lineární část s konstantním koeficientem a na nelineární

zbytek vzhledem k referenční teplotě, píšeme tedy

(18.5.61)

a explicitní SL-schéma píšeme ve tvaru, kde jsme člen s explicitní hodnotou rozdělili na

dvě části

s

l

s

ll

p

TT

p

TT

t

TT exp

*

*exp

*

*exp

2

s

l

s p

TT

p

TT

t

TT exp

*

*

*

*

2

splg

splg

Dp

dt

dp

dt

d

l

sH

sH

exp

lglg

l

s

l

p

T

t

TTexp*

*exp 1

2

ss

s

H py

VTpx

UTp

sw

TT

dt

Tdlglg

ss

s

H py

VTpx

UTp

sw

TTw

TT

dt

Tdlglg

**

lwexp

323

(19.5.62)

kde

(19.5.63)

pro semiimplicitní aproximaci vyjdeme z rovnice (18.5.62) a píšeme ji ve tvaru

(19.5.64)

po odečtení rovnic (19.5.57) od (19.5.59) dostaneme semiimplicitní opravu explicitní

termodynamické rovnice

(19.5.65)

Lineární část operátoru pravé strany termodynamické rovnice proto volíme následovně:

(19.5.66)

Poznamenejme, že zlomek je funkcí pouze nezávisle proměnné . Semiimplicitní

korekci termodynamické věty můžeme psát také ve tvaru

(19.5.67)

Porovnejme si ještě semiimplicitní opravu termodynamické věty (19.5.59) a (19.5.65).

Všimněme si nejdříve veličiny w. Tato je definována vztahem (19.1.9), nebo integrálem

(19.1.12). V diskrétním případě je ovšem i definováno na -plochách a časová změna

na nezávisí. Proto jsme v diskrétním případě definovali veličinu vztahem

(19.5.68)

y

sy

yx

sx

x

s

ll

lpTVpTU

p

sw

TTw

TT

t

TTlglg

2exp*

*

exp*

*exp

1

*

ln

y

sy

yx

sx

x

s

l pTVpTUp

sw

TTw

TT

t

TTlglg

2exp*

*

*

*

ll

wwT

t

TTexp*

*exp

2

lwwT

LT exp*

*

*

*

T

ll wwT

tTT exp*

*

exp 2

sptlg

w

spt

w lgˆ

324

na -plochách. Veličinu w vyskytující se v termodynamické větě, jsme definovali vztahem

(19.5.69)

Všimněme si nyní rozdílu . Ten je podle (19.5.44) a (19.5.45) roven

(19.5.70)

a podle (19.5.47) je tedy

(19.5.71)

Obdobný vztah můžeme odvodit i pro . Podle vztahů (19.5.17), (19.5.18),

(19.5.34) až (19.5.36) můžeme psát

(19.5.72)

odkud podle (19.5.38) je

(19.5.73)

Ze vztahů (19.5.71) a (19.5.73) vidíme, že

(19.5.74)

a pro semiimplicitní opravu explicitní aproximace termodynamické věty můžeme použít pro

obě schémata i pro Eulerovský model vztah (19.5.67).

Aproximace rovnice hydrostatické rovnováhy

Hydrostatická rovnice je jednoduchým diagnostickým vztahem, který musí být

v hydrostatickém modelu splněn stále. Pro zápis diferenčních vztahů zavedeme úmluvu, že

nehrotí-li nedorozumění, vynecháme ve vztazích index k. Aproximace hydrostatické rovnice

je proto stejná pro všechny schémata a má tedy na vertikální střídavé síti tvar

spt

ww lgˆ

lww exp

t

ppww

lssl

2

lglg exp

exp

Dww lexp

sl p/exp

t

pp

p

lssl

s

2

lglg1 exp

exp

D

pl

s

exp

1

ll

s

wwp

expexp

1

325

(19.5.75)

Pro zajímavost poznamenejme, že předchozí aproximace je ekvivalentní s aproximací

(19.5.76)

Doplněk. Interpolace používané v semi-Lagrangeových modelech na regulární síti

Při interpolaci prognostických proměnných do výchozího bodu trajektorie částic je obvykle

používána Lagrangeova interpolace třetího stupně. Je to podle mého mínění nejvhodnější

metoda, je efektivní a velice přesná. Je možné použít také Hermitův polynom třetího řádu

konstruovaný rovněž ze čtyř bodů, nebo i spline třetího řádu konstruovaná lokálně rovněž

z hodnot ve čtyřech sousedních uzlech. Klasické použití splinů konstruovaných přes celou

oblast by bylo neefektivní, protože v každém čtverci má výchozí bod jinou polohu. Nicméně

pro každý čtverec v síti pro každý směr interpolace stačí hodnoty Lagrangeových koeficientů

pouze jednou. V prvním směru interpolace jsou tyto koeficienty použity čtyřikrát, v druhém

směru pak pouze jednou. Pro interpolaci pole větru při hledání výchozího bodu postačuje

lineární interpolace.

Lagrangeova interpolce polynomem třetího stupně

Tento polynom konstruujeme na regulární sítí (sítí s konstantním krokem h) čtyř

uzlových bodů 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. V těchto bodech nechť máme zadány hodnoty interpolované

funkce 𝑦0, 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3. Pro tuto regulární síť s krokem h máme 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = ℎ pro 𝑖 = 0, 1, 2.

Uzlové body interpolace vybíráme tak, že bod, ve kterém hodnotu polynomu počítáme, leží

v prostředním intervalu, tedy intervalu ⟨𝑥1, 𝑥2⟩. Z teorie interpolace plyne, že v tomto

intervalu je interpolace nejpřesnější. Pro rychlé nalezení vhodných uzlů interpolace na síti

použijeme pro interpolaci normalizovanou souřadnici t, kterou definujeme substitucí

(𝑥 − 𝑥0) ℎ⁄ = 𝑡, neboli 𝑥 − 𝑥0 = 𝑡ℎ. Pro uzlové body pak máme 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ. Podle

předchozích vztahů máme

𝑥 − 𝑥𝑖 = 𝑥 − 𝑥0 − 𝑖ℎ = 𝑡ℎ − 𝑖ℎ = (𝑡 − 𝑖)ℎ

Lagrangeovy koeficienty 𝜙𝑖(𝑥) jsou pak dány vztahy

𝜙0(𝑥) =(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)

(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥3)=

(𝑡 − 1)(𝑡 − 2)(𝑡 − 3)

−6

𝜙1(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)

(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)=

𝑡(𝑡 − 2)(𝑡 − 3)

2

𝜙2(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)

(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)=

𝑡(𝑡 − 1)(𝑡 − 3)

−2

RT

lg

ˆ

*

ˆ

RT

326

𝜙3(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

(𝑥3 − 𝑥0)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)=

𝑡(𝑡 − 1)(𝑡 − 2)

6

Lagrageův polynom je pak dán vztahem

𝐿3(𝑥) = 𝑦0𝜙0(𝑥) + 𝑦1𝜙1(𝑥) + 𝑦2𝜙2(𝑥) + 𝑦3𝜙3(𝑥)

Linární interpolace

Lineární interpolace je v semi-Lagrangeovských modelech používána v iteračním

procesu při kterém hledáme výchozí bod trajektorie. Tato interpolace je dána jednoduchým

vztahem

Ve dvou dimensích, při interpolaci funkcí se dvěma nezávisle proměnnými x, y nazýváme

tuto interpolaci bilineární. Označíme-li normalizované souřadnice vzhledem

k počátku souřadnic , pak tuto interpolaci můžeme psát ve tvaru

Literatura:

[1] Bates J. R., Moorthi S., Higgins R. W.: A Global Multilevel Atmospheric Model Using a

Vector Semi-Lagrangian Finite Difference Scheme. Part I: Adiabatic Formulation. Mon.

Wea. Rev. 121, 1993, s. 224-263.

[2] Kurihara Y., Holloway J. L.: Numerical Integration of a Nine-Level Global Primitive

Equations Model Formulated by the Box Method. Mon. Wea. Rev. 95, 1967.

[3] McDonald A., Haugen J. E.: A Two- Time-Level, Three-Dimensional Semi-Lagrangian

Semi/Implicit, Limited-Area Grid point Model of the Primitive Equations, Mon. Wea. Rev.

120, 1992, s. 2603-2621.

[4] Ritchie H., Tanguay M.: A comparison of Spatially Averaged Eulerian and Semi-

Lagrangian Treatments of Mountains. Mon. Wea. Rev. 123, 1995, s. 167-181.

[5] Ritchie H., Temperton C., Hortal M., Davies T., Dent D., Hamrud M.: Implementation of

the Semi-Lagrangian Method in a High-Resolution Version of the ECMWF Forecast Model.

Mon. Wea. Rev. 123, 1996, s. 489-514.

[6] Robert André, Tai Loy Yee, Ritchie Harold: A Semi-Lagrangian and Semi-Implicit

Numerical Integration Scheme for Multilevel Atmospheric Models. Mon. Wea. Rev. 113,

1985, s. 388-394.

[7] Tanguay M., Yakimiv E., Ritchie H., Robert A.: Advantages of Spatial Averaging in

Semi-Implicit Semi-Lagrangian Schemes. Mon. Wea. Rev. 120, 1992, s. 113-

101 1 ytytxL

yx ,

0,0

1,11,010,110,011, yFxyFxFyxFyxyxF

327

20. Formulace rovnic pro semiimplicitní korekci a jejich řešení

20.1. Shrnutí rovnic pro semiimplicitní korekci

Dosadíme-li vztahy (19.5.29) a (19.5.30) za lineární kombinaci do vztahu (19.3.8) a

separujeme-li neznámé, dostaneme rovnice pro semiimplicitní opravu složek větru

(20.1.1)

(20.1.2)

kde pravé strany předchozích rovnic jsou

(20.1.3)

(20.1.4)

Semiimplicitní korekci rovnice kontinuity (19.5.38) upravíme rovněž tak, že za lineární

kombinaci dosadíme opět do (19.3.8) a separujeme neznámé, máme

(20.1.5)

kde

(20.1.6)

Obdobně upravíme i semiimplicitní korekci termodynamické věty (19.5.67). Pro k-tou -

vrstvu máme

(20.1.7)

a po dosazení za w z (19.5.50)

(20.1.8)

obdržíme

ux ScDPtu 1

vy ScDPtv 1

cDPtcDPtuS xlu 21exp

cDPtcDPtvS ylv 21exp

cs SDtp

1lg

DtDtpS lsc 21lg exp

ll wwT

tTT exp*

*

exp 2

1

1exp

2

1 k

l

llkklkk DDww

328

(20.1.9)

kde

(20.1.10)

Poslední rovnicí je aproximace hydrostatické rovnice (20.5.75), kterou použijeme

v nezměněném tvaru

(20.1.11)

Čímž je soustava pěti rovnic pro semiimplicitní korekci kompletní a zbývá ji jen vyřešit.

20.2. Princip řešení rovnic semiimplicitní korekce

Abychom vyřešili soustavu předchozích pěti rovnic (20.1.1), (20.1.2), (20.1.5), (20.1.9) a

(20.1.11) budeme postupovat následovně. Nejdříve redukujeme počet rovnic na dvě rovnice,

které ovšem obsahují také pouze dvě neznámé a to . To provedeme takto. Na první

dvě rovnice (20.1.1) a (20.2.2) aplikujeme diskrétní operátor divergence a

dostaneme tak vztah pro , který ovšem obsahuje ještě neznámou

(20.2.1)

kde

(20.2.2)

Dalším krokem je, že ze tří rovnic (20.1.5), (20.1.9) a (20.1.11) eliminujeme neznámé

, abychom obdrželi rovnici pouze s neznámými .

Tato rovnice má tvar

(20.2.3)

kde složky vektorů jsou hodnoty těchto veličin ve vrstvách, a CH je matice

vertikální struktury. Přesný význam tohoto vztahu je vyložen dále. Pro přehledný a jasný

výklad jsou rovnice psány ve vektorovém tvaru, kde složky vektorů-sloupců tvoří hodnoty

T

k

l

llkk SDDtT

T

1

1*

*

2

11

1

1

1

1*

*

exp

2

12

2

11

k

l

llkk

k

l

llkklT DDDDtT

TS

RT

lg

PaD

vus yx

D P

Dx ScDPtsD

21

cDPtcDPtsDSSsS lvyuxD 22exp 21

spT lg,, PaD

PStCHDP 1

DaP

329

proměnných ve vrstvách modelu. Z předchozích dvou rovnic pro (20.2.1) a

(20.2.3) eliminujeme proměnnou a dostaneme tak jedinou rovnici pro neznámou . Po

vyřešení Dirichletovy okrajové úlohy pro pak dosazením do rovnic obdržíme hodnoty po

semiimplicitní korekci.

20.3. Maticový zápis vertikální struktury rovnic semiimplicitní korekce a

jejich řešení

Při řešení diskretizovaných rovnic modelu budeme postupovat obdobně jako v práci [1]

a [2]. Pro zjednodušení zápisů nyní přejdeme k maticovému zápisu. Hodnoty proměnných ve

vrstvách budeme považovat za složky KV rozměrných vektorů. Tedy například teploty ve

vrstvách budou dány vektorem-sloupcem

(20.3.1)

kde horní index T znamená transponovanou matici (tedy sloupcový vektor).

Nyní si odvodíme vertikálně integrovanou, v diskrétním případě tady sumovanou

hydrostatickou rovnici, která nám na základě teplot vrstev a výšky terénu vyjadřuje

geopotenciál. Aproximaci hydrostatické rovnice (20.1.9) píšeme ve tvaru

(20.3.2)

Neboť geopotenciál výšky terénu je znám (je roven výšce terénu násobené konstantou

tíhového zrychlení), můžeme rekurentně ze vztahů (20.3.2) postupně určit všechny hodnoty

geopotenciálu pro k=KV, KV-1, …., 1. Sumací vztahů (20.2.2) pak dostaneme

(20.3.3)

My ovšem potřebujeme vertikálně průměrované hodnoty gepoptenciálu, tedy hodnoty příslušné vrstvám. Ze vztahu (19.3.3) ihned máme

(20.3.4)

Pro maticový zápis předchozích i dalších vztahů budeme používat několik čtvercových matic

řádu KV×KV. Jsou to následující matice:

(20.3.5)

Samozřejmě řádu KV×KV - nikoliv 5×5.

Dále matici L transponovanou k matici U, je tedy ale též .

DaP

P D

D

TKVTTTT ,....,, 21

kkkk RT ln1

KS

KV

kl

llKSk TR ln

KV

kl

llkkKSk TRRT1

lnln2

1

2/10000

12/1000

112/100

1112/10

11112/1

U

TUL TLU

330

Dále budeme používat vektor e, jehož složky mají všechny hodnotu 1. Tedy

(20.3.6)

Matici E řádu KV×KV jejíž všechny prvky jsou rovny 1.

(20.3.7)

a následující diagonální matice

(20.3.8)

(20.3.9)

(20.3.10)

Vertikálně integrovanou hydrostatickou rovnici (20.3.4) můžeme nyní napsat v maticovém

tvaru. Máme

(20.3.11)

Poznamenejme, že R je skalární veličina – plynová konstanta pro suchý vzduch.

Aproximaci termodynamické věty (20.1.7) napíšeme rovněž v maticovém tvaru. Máme

(20.3.12)

Obdobně jako vztah (20.3.11) odvodíme z aproximace rovnice kontinuity (20.1.5), kterou

vynásobíme a sečteme, vztahy pro a . Po zapsání v maticovém tvaru máme

(20.3.13)

Ze vztahu (19.5.68) vyplývá, že a proto

(20.3.14)

Nyní již můžeme napsat vztah pro SLSI-změnu veličiny P definované vztahem (18.5.23)

(20.3.15)

Dosazením do vztahu (20.3.15) ze vztahů (19.3.11), (19.3.12), máme

(20.3.16)

po dosazení za ze vztahu (20.3.12)

(20.3.17)

a dosazením ze vztahů (20.3.13) a (20.3.14) do (20.3.17) konečně máme

Te 1,.....1,1

11111

11111

11111

11111

11111

TeeE

kdiagH

kdiagZ ln

*

*

k

kTdiagS

RUZTeKS

Tl SwwtST

exp2

k w P

tLHDww l 1exp

sks pw lgˆ

eptEHDep lss explg1lg

epRTP s lg*

epRTRUZTeP sKS lg*

T

epRTSwwSRUZeP sTlKS lg*

exp

eeptEHDRTRUZStLHDRUZSP KSlsT exp

* lg11

331

(20.3.18)

neboli

(20.3.19)

kde

(20.3.20)

a

(20.3.21)

Poznamenejme, že matice CH, nazývaná maticí vertikální struktury. Matice C je

symetrickou a pozitivně definitní maticí [1]. Vlastní čísla matice CH jsou různá a kladná a

jsou čtverci fázových rychlostí gravitačních vln referenční atmosféry. Označíme je .

Vlastní vektory matice CH se nazývají vertikální normální módy. Vytvoříme-li z těchto

vektorů jako sloupců čtvercovou matici G, pak tato matice diagonalizuje matici CH a tedy

platí

(20.3.22)

Nyní studujme soustavu rovnic (20.3.1) a (20.3.19) tedy soustavu

(20.3.23)

(20.3.24)

Obě rovnice předchozí soustavy násobíme maticí zleva a označíme-li

(19.3.25)

Dostaneme tak novou soustavu

(20.3.26)

(20.3.27)

Při úpravě druhé z rovnic jsme použili vztahu

(20.3.28)

který dostaneme, násobíme-li vztah (20.3.22) maticí zprava.

Přepíšeme-li tyto vektorové rovnice (20.3.26) a (20.3.27) do složek, máme

(20.3.29)

(20.3.30)

PSCHDtP 1

)( *ETUZSLRC

TlsKSP RUZSepRTeS exp

* lg

2

kc

kkkcGCHG 21

DScDPstD 21

PSCHDtP 1

1G

PDPD SSPDGSSPD ,,,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 1

DSDcPstD ˆˆˆ1ˆ 2

Pkkk SDctP ˆˆ1ˆ 2

121 GcCHG kkk

1G

kDkkk SDcPstD )ˆ(ˆˆ1ˆ 2

kPkkk SDctP )ˆ(ˆ1ˆ 2

332

Z těchto dvou rovnic můžeme eliminovat buďto , nebo . Dostaneme pak

okrajovou úlohu pro druhou veličinu. My eliminujeme a dostaneme tak pro

Dirichletovu okrajovou úlohu pro parciální diferenciální rovnici eliptického typu

(20.3.31)

kde

(20.3.32)

(20.3.33)

Tím je třídimensionální úloha pro nalezení horizontální divergence redukována na KV dvou-

rozměrných okrajových úloh. Po jejich vyřešení dostaneme snadno všechny potřebné hodnoty

pro realizaci semi-implictního schématu.

20.4. Semiimplicitní schéma se separabilní okrajovou úlohou.

Při řešení rovnic semiimplictního schématu (dále jen SI-schématu) je třeba řešit

mnohokrát okrajovou úlohu pro parciální diferenciální rovnici eliptického typu (20.3.31). Při

předešlé klasické formulaci SI-schématu je tato úloha příliš obecná a pro řešení velkých

soustav lineárních rovnic, vzniklých po aproximaci této úlohy, nemáme k dispozici

nejefektivnější metody řešení. Požadavku dostatečné efektivnosti nevyhovují iterační metody,

jako například metoda SOR, i když tyto metody mají některé jiné přednosti, zejména to že

umožňují řešit velmi obecné okrajové úlohy. Nejefektivnější metody řešení rovnic, jako je

použití FFT pro řešení soustav lineárních rovnic nebo cyklická redukce, mají tu vlastnost, že

počet aritmetických operací pro soustavy N rovnic roste s N pouze úměrně a pro

velké soustavy jsou tedy tyto metody velmi efektivní. Při použití těchto metod se výpočet

jednoho kroku SI-schématem oproti kroku explicitním schématem časově prodlužuje jen

nepatrně. Proto prodloužení časového kroku několikanásobě zvyšuje efektivitu SI-schématu

ve srovnání se schématem explicitním rovněž několikanásobně. SLSI-schéma pak dovoluje,

při zachováním stability výpočtu, další prodloužení časového integračního kroku a ještě větší

zvýšení efektivnosti modelu. Cyklickou redukcí (a obdobně též pomocí FFT) se však dají řešit

pouze lineární soustavy vzniklé diskretizací okrajových úloh tak zvaných separabilních

parciálních diferenciálních rovnic. Pro řešení lineárních rovnic používáme algoritmus

cyklické redukce „POIS“, který vyvinul P.Swarztrauber a R. Sweet pro NCAR (National

Center for Atmospheric Research) v USA právě pro řešení podobných meteorologických

kD kP

kP kD

Dkk FDs ˆ1 22

ctct kk 112222

kPkDkD StsSF ˆ1ˆ)( 2

NN log2

333

rovnic. Tento algoritmus umožňuje řešit okrajové úlohy pro separabilní parciální diferenciální

rovnici tvaru:

(20.4.1)

Po diskretizaci obdržíme soustavu lineárních rovnic

(20.4.2)

kde (20.4.3)

a kde počet rovnic ve směru osy x musí být součinem mocnin čísel 2,3,5 mínus 1, tedy tvaru

. Tato podmínka pro hodnotu N je splnitelná snadno, tím že zvolíme

požadovaná počet uzlů sítě ve směru osy x. Splnění požadavku, aby úloha byla separabilní je

ovšem složitější. Při obvyklé formulaci SI-schématu dostáváme rovnici (20.3.31), která

vlivem toho, že čtverec koeficientu zkreslení mapy je funkcí obou proměnných x,y a

ne pouze proměnné y, způsobuje, že rovnice (20.3.31) separabilní není. Požadavek, aby

rovnice (20.3.31) byly požadovaného tvaru dosáhneme úpravou SI-schématu. Za tím účelem

napíšeme rovnici kontinuity (20.1.3) ve tvaru

(20.4.4)

kde přibližná hodnota čtverce zkreslení mapy je funkce pouze souřadnice y. Pro

konformní mapy je zkreslení s funkcí pouze zeměpisné šířky a osa y ve středu oblasti je

obrazem poledníku a na něm je skutečně s pouze funkcí y. (Poznamenejme, že na

Mercatorově mapě je s pouze funkcí y a dostáváme separabiní rovnici automaticky.) Ve

výpočetní oblasti rozdělíme proto zkreslení na hlavní část a na menší zbytek

. Hlavní část čtverce zkreslení mapy můžeme položit také konstantě .

Pro zjednodušení zápisů zavedeme ještě hlavní část divergence horizontálního větru, kterou

označme , a definujeme vztahem

(20.4.5)

a rovnici kontinuity napsat stručněji

(20.4.6)

),()(2

2

2

2

xygx

uuyc

y

uyb

y

uya

),()1,(),(*2)1,(

),1(*)(),(*)(),1(*)(

JIYJIXJIXJIX

JIXICJIXIBJIXIA

NJMI ,...,2,1,,...,2,1

1532 rqpN

),( yxs

y

v

x

uss

y

v

x

usp

dt

ds

H ~~lg

ys~

),( yxs ys~

ysyxs ~, ys~ 0s

D~

y

v

x

usD ~~

DDDpdt

ds

H ~~lg

334

V aproximaci rovnice kontinuity je člen aproximován implicitně a zbytek

explicitně. Aproximace rovnice (20.4.6), tedy obdoba (20.1.5) má pak tvar

(20.4.7)

kde

(20.4.8)

Vztahy (20.3.29), (20.3.30) i výsledná rovnice (20.3.31) jsou formulovány rovněž místo D pro

.

Literatura:

[1] Bates J. R., Moorthi S., Higgins R. W.: A Global Multilevel Atmospheric Model Using a

Vector Semi-Lagrangian Finite-Difference Scheme, Part I: Adiabatic Formulation, Mon. Wea.

Rev. 121, 1993, s. 244-263.

[2] Baťka M.: Czech Hydrometeorological Institute Limited-Area Operational Forecast

Model. Studia geophysica et geodetica 35, 1991, s. 109-124.

[3] Baťka M., Tran Thuc Nam: Limited- Area Forecasting Model Based on Semi-Lagrangian

semi-Implicit scheme Leading to Solving the Separable Elliptic Equations. Studia geophysica

et geodetica 48, 2004, str.811-828.

D~

DD~

kP

k

k

kks SDtp )(~

1lg

DDtDtpSk

k

kkskP

~2

~1lg)(

D~

335

21. Diagonalizace matice pro metodu redukce dimenze

Velmi efektivní metoda redukce dimense se používá pro řešení soustav lineárních rovnic

vzniklých aproximací okrajových úloh parciálních diferenciálních rovnic. Tato metoda je

založena na diagonalizaci matice, která je aproximací této okrajové úlohy ve směru jedné

nebo dvou prostorových souřadnic. Abychom však tuto metodu mohli použít, musí mít daná

soustava určitý tvar, což nastává v případě, že eliptická parciální diferenciální rovnice je

separabilní. Tento pojem si definujeme dále. Nejdříve se věnujme problému diagonalizace

matice.

Diagonalizace matice

Začneme jednou důležitou vlastností vlastních čísel a vektorů, kterou dále hojně

využijeme:

Věta 1 : Předpokládejme, že čtvercová matice A řádu n má n lineárně nezávislých vlastních

vektorů. Vytvoříme-li matici S, jejímiž sloupci jsou vlastní vektory matice A, potom matice

je diagonální maticí , na jejíž diagonále jsou vlastními čísla matice A:

(21.1)

Důkaz: Nechť matice S je vytvořena ze sloupců, které jsou vlastními vektory matice A.

Vypočtěme součin AS. Násobíme-li postupně skalárně řádky matice A se sloupci matice

S, dostáváme, neboť pro součin matice A s vlastním vektorem příslušnému vlastnímu číslu

platí

(21.2)

můžeme psát

(21.3)

Matici stojící na pravé straně předchozího vztahu můžeme psát také jako součin matice

S s diagonální maticí, na jejíž diagonále jsou vlastní čísla, tedy

(21.4)

odkud máme, že . Z předpokladu, že vlastní vektory matice A jsou lineárně

nezávislé, znamená že matice S je regulární a existuje tedy matice , a platí tedy že

a též (21.5)

Poznámka: Matice S, která diagonalizuje matici A není jednoznačně určena. Násobíme-li

libovolný vlastní vektor nenulovou konstantou, zůstává vlastním vektorem a na diagonalizaci

matice A to nemá vliv.

V dalším budeme studovat pouze reálné matice A, tedy matice, jejíž prvky jsou reálná

čísla. V našich numerických výpočtech se totiž komplexní matice nevyskytují. Ukážeme si, že

je-li matice symetrická, tvoří její vlastní vektory ortogonální basi. Není-li matice A

ASS1

n

n

1

2

1

1 .ASS

kx

k

kkk xAx

nnn xxxxxxAAS ,...,,,...,, 221121

nnn xxxxxx ,....,,...,, 212211

SAS1

S

ASS

1 1 SSA

336

symetrická její vlastní vektory nemusí být ortogonální, nicméně za určitých předpokladů

můžeme vytvořit biortogonální base.

Věta 1: Předpokládejme, že vlastní čísla matice A jsou reálná a různá a nechť jsou

vlastními vektory matice A a jsou vlastní vektory transponované matice

odpovídající stejným vlastním číslům ( matice a její transponovaná mají stejná vlastní

čísla), nechť tedy

a , (21.6)

potom pro skalární součin vlastních vektorů platí

, pro ,

a systémy vlastních vektorů a se nazývají biortogonální a můžeme je normovat tak,

že

(21.7)

V tomto případě říkáme, že tento systém tvoří biortonormální basi.

Pro důkaz této věty si dokážeme následující Lemma.

Lemma: Vlastní vektory odpovídající vzájemně různým vlastním číslům jsou lineárně

nezávislé

Důkaz: Kdyby tomu tak nebylo, můžeme vzít maximální systém lineárně nezávislých

vlastních vektorů. Libovolný vlastní vektor, který nepatří tomuto systému, můžeme pak

napsat jako lineární kombinaci vektorů tohoto systému. Například nechť

(21.8)

kde vektor je lineárně závislý na vektorech maximální soustavy. Násobíme-li tuto lineární

kombinaci maticí A zleva, máme

(21.9)

Dosadíme-li do tohoto vztahu za lineární kombinaci (21.8), dostaneme

(21.10)

což je ve sporu s předpokladem lineární nezávislosti, neboť .

Vrátíme se nyní k důkazu věty 1

Důkaz:

Pro skalární součin matice A s její transponovanou maticí platí vztah

(21.11)

odtud podle vztahů (20.6) máme

(21.12)

ix

*

ix*A

i

iii xAx ***

iii xxA

0,*ji xx 0,

*ii xx ji nji ,...,2,1,

ix*

ix

ji

jijiji

0

1,

*xx

k

i

iij a1

xx

jx

k

i

iiijj a1

xx

jx

0/11

i

k

i

jiia x

0/1 ji

*A

***,, jiji xAxxAx

**,, jijjii xxxx

337

pro je a v důsledku toho je skalární součin

(21.13)

Zbývá tedy dokázat, že

(21.14)

Podle lemmatu jsou systémy vektorů

, a , (21.15)

lineárně nezávislé systémy tvořící base soustavy všech vlastních vektorů. Kdyby

(21.17)

pak

Lineární systémy separabilních okrajových úloh

Při řešení rovnic semiimplictního schématu (dále jen SI-schématu) je třeba řešit

mnohokrát okrajovou úlohu pro parciální diferenciální rovnici eliptického typu. Při klasické

formulaci SI-schématu je tato úloha příliš obecná a pro řešení velkých soustav lineárních

rovnic, vzniklých po aproximaci této úlohy, nemáme k dispozici nejefektivnější metody

řešení. Požadavku dostatečné efektivnosti nevyhovují nejefektivnější iterační metody, jako

například metoda SOR, i když tyto metody mají některé jiné přednosti, zejména že umožňují

řešit velmi obecné okrajové úlohy. Nejefektivnější metody řešení rovnic, jako je použití FFT

pro řešení soustav lineárních rovnic, nebo cyklická redukce mají tu vlastnost, že počet

aritmetických operací pro soustavy N rovnic roste s N pouze úměrně a pro velké

soustavy jsou tedy tyto metody velmi efektivní. Při použití těchto metod se výpočet jednoho

kroku SI-schématem oproti kroku explicitním schématem časově prodlužuje jen nepatrně.

Proto prodloužení časového kroku několika-násobě zvyšuje efektivitu SI-schématu ve

srovnání se schématem explicitním rovněž několikanásobně. SLSI-schéma pak dovoluje, při

zachováním stability výpočtu, další prodloužení časového integračního kroku a ještě větší

zvýšení efektivnosti modelu. Cyklickou redukcí (a obdobně též pomocí FFT) se však dají řešit

pouze lineární soustavy vzniklé diskretizací okrajových úloh tak zvaných separabilních

parciálních diferenciálních rovnic. Pro řešení lineárních rovnic tohoto typu je pak možné

použít algoritmus cyklické redukce „POIS“, který vyvinul P.Swarztrauber a R. Sweet pro

NCAR (National Center for Atmospheric Research) v USA právě pro řešení rovnic

meteorologických modelů. Tento algoritmus „POIS“ umožňuje řešit okrajové úlohy pro

separabilní parciální difernciální rovnici tvaru:

(21.18)

Po diskretizaci obdržíme soustavu lineárních rovnic

(21.19)

kde

(21.20)

ji ji

0,*ji xx

0,*ii xx

ix ni ,...,1*

ix ni ,...,1

0,*ii xx

NN log2

),()(2

2

2

2

xygx

uuyc

y

uyb

y

uya

),()1,(),(*2)1,(

),1(),(*)(),1(*)(

JIYJIXJIXJIX

JXICJIXIBJIXIA

NJMI ,...,2,1,,...,2,1

338

a kde počet rovnic ve směru osy x musí být součinem mocnin čísel 2,3,5 mínus 1, tedy tvaru

. Tato podmínka pro hodnotu N je splnitelná snadno, tím že zvolíme

požadovaná počet uzlů sítě ve směru osy x. Splnění požadaveku, aby úloha byla separabilní je

ovšem složitější. Při obvyklé formulaci SI-schématu dostáváme rovnici (19.3.31), která

vlivem toho, že čtverec koeficientu zkreslení mapy je funkcí obou proměnných x, y a

ne pouze proměnné y, způsobuje, že rovnice (19.3.31) separabilní není. Požadavek, aby

rovnice (19.3.31) byly požadovaného tvaru, dosáhneme úpravou SI-schématu. To dosáhneme

rozdělením divergence na dvě části. To je popsáno v paragrafu 19.4. „Semiimplicitní schéma

se separabilní okrajovou úlohou“ předchozí kapitoly.

Literatura:

Srang Gilbert: Linear algebra and its applications. ACCADEMIC PRES 1976.

1532 rqpN

),( yxs

339

22. Ortogonální vertikální normální módy

V tomto pojednání se budeme zabývat odvozením a vlastnostmi vertikálních normálních

módů pro baroklinní model v hydrostatickém přiblížení formulovaný v -systému vertikální

souřadnice. Normální módy, jak jsme viděli v předchozí kapitole, jsou důležité pro řešení

rovnic semiiplicitních schémat diferenčních meteorologických modelů. První, kdo vertikální

módy použili pro řešení implicitních rovnic modelů, byli již v roce 1967 Marčuk G. I.,

Kontarev G. P., Rivin G. S. [3]. Model byl ovšem v p-systému a vertikální módy byly

biortogonální. Biortogonální normální módy jsem vyzkoušel pro řešení semiimplicitních

rovnic modelu v roce 1979 [1]. Dalším krokem byla práce [2] Kasahara Akira and Sigehisa

Yosuke 1983, kteří vhodnou volbou profilu referenční teploty dosáhli, že v -systému se

normální módy staly ortogonálními, nejen biortogonálními. Pro řešení semiimplicitních

rovnic globálního diferenčního modelu byly použity v ECMWF [4] Temperton Clive 1984.

Rovnice pro odvození vertikálních normálních módů

Nechť x, y je systém ortogonálních souřadnic na konformní mapě. Vertikální souřadnice

sigma zavedená Normanem Phillipsem je definována vztahem , kde p je tlak a

je tlak na povrchu země, tj. na orografické ploše o geopotenciálu . Při obvyklém označení

meteorologických proměnných zavedeme pro linearizaci rovnic hybnosti proměnnou

(22.1)

jejíž derivace podle x a y tvoří složky hlavní lineární části horizontálního gradientu tlaku v

-systému. Linearizované rovnice hybnosti pak můžeme psát ve tvaru

(22.2)

(22.3)

Označíme-li divergenci horizontálního větru d, tedy

(22.4)

kde je čtverec zkreslení konformní mapy, pak pro změnu divergence můžeme psát

(22.5)

Chceme-li rovnice pro časovou změnu hybnosti linearizovat pro obvyklé semiimplicitní

schéma, při kterém se změny hybnosti způsobené Rossbyho vlnami počítají explicitně,

zjednodušíme rovnice (22.2), (22.3) vynecháním Coriolisových členů. Rovnice pak mají tvar

spp / sp

s

spRTP ln)(*

0

x

Pfv

t

u

0

y

Pfu

t

v

y

v

x

usd

),( yxs

02

Pfu

yvf

xdt

340

(22.6)

(22.7)

Všimněme si v tomto případě ještě rovnice pro časovou změnu absolutní vorticity

(22.8)

Tato rovnice se nazývá rovnicí vorticity a odvodíme ji tak, že (22.3) derivujeme podle x a

odečteme (22.2) derivované podle y, což násobíme s. Máme tak

(22.9)

Vidíme, že tato rovnice neobsahuje proměnnou P a tedy změna vorticity, která je dána touto

rovnicí je nezávislá na proměnné P. Změna divergence daná rovnicemi (22.6),(22.7) má pak

tvar

(21.10)

Nyní odvodíme rovnici pro časovou změnu P. K tomu potřebujeme tři rovnice. Jsou to

rovnice kontinuity, termodynamická rovnice a rovnice hydrostatické rovnováhy. První dvě

rovnice musíme ovšem linearizovat. Třetí, rovnice hydrostatické rovnováhy je pouhý lineární

diagnostický vztah, který neobsahuje časovou změnu.

Začneme rovnicí kontinuity. V sigma-systému je psána obvykle v divergentním tvaru

(22.11)

Tuto rovnici dělíme a upravíme do tvaru

(22.12)

kde pravá strana rovnice představuje nelineární část spojenou s advekcí, levá část nám

představuje linearizovanou rovnici kontinuity

(22.13)

Zavedeme-li novou proměnnou w, kterou definujeme vztahem

(22.14)

pak linearizovanou rovnici kontinuity můžeme psát ve tvaru

0

x

P

t

u

0

y

P

t

v

fy

u

x

vs

0

fv

yfu

xs

t

Psdt

2

0

ssss pvpy

upx

spt

sp

y

pv

x

pu

p

sdp

t

ss

s

s

ln

0ln

dp

ts

sp

tw ln

341

(22.15)

Další rovnicí, kterou potřebujeme pro odvození rovnice pro časovou změnu P je

termodynamická rovnice. Ta se obvykle píše ve tvaru

(22.16)

kde je specifické teplo při konstantním tlaku, je specifický objem a je

generalizovaná vertikální rychlost v p-systému a tedy

(22.17)

odtud můžeme psát

(22.18)

kde první dva členy pravé strany rovnice tvoří lineární část podílu a tvoří právě

proměnnou w. Další dva členy tvoří nelineární část příslušnou k advekci. Tyto členy při

linearizaci termodynamické věty zahrneme do její nelineární části. Než začneme s linearizací

termodynamické rovnice (22.16), rozepíšeme ji podrobněji

(22.19)

kde . Při linearizaci formulujeme termodynamickou rovnici pro odchylku absolutní

teploty od absolutní teploty referenční standardní atmosféry, kterou označme

. Tato teplota referenční atmosféry je funkcí pouze vertikální souřadnice a není

tedy funkcí prostorových souřadnic x, y a času t. Derivace podle proměnných x, y, t

jsou si tedy rovny. S použitím vztahu (22.18) můžeme proto psát

(21.20)

kde

Linearizovanou termodynamickou rovnici můžeme proto psát ve tvaru

(22.21)

dw

td

Tdc p

pcp

RT

sss pp

dt

dp

dt

d

dt

dp

sss

s

py

vpx

uptp

lnlnln

sp/

sp

TT

y

Tv

x

Tus

t

T

pc

R

*TTT *T

)(* T

TaT

)(**

TNwTT

t

T

ss p

yvp

xusTw

TTTT

y

Tv

x

TusTN lnln)(

**

wT

t

T

*

342

kde .

Hydrostatickou rovnici píšeme raději ve tvaru

(22.22)

než v původním tvaru

(22.23)

i když, jak uvidíme dále, pro diferenční aproximaci obou tvarů rovnice dostaneme stejné

vztahy.

Vzhledem k tomu, že v teorii vertikálních normálních módů jede pouze o vertikální strukturu

modelu, nebudeme upřesňovat aproximaci modelu vzhledem k souřadnicím x, y a času t.

Můžeme si třebas představit, že aproximace v horizontálních plochách vzhledem

k proměnným x, y je provedena na C-síti, nebo konečnými elementy, či spektrálně. Diferenční

aproximaci ve směru osy je však třeba popsat přesně.

Model je formulován na střídavé vertikální síti. Diferenční aproximace na vertikální ose,

kterou nyní popíšeme, se používá v současné době prakticky ve všech modelech. Ve

vertikálním směru se model skládá z KV vrstev. Tyto vrstvy jsou od sebe odděleny, nebo

spíše vymezeny KS=KV+1 plochami konstantního . Tyto plochy budeme nazývat sigma

plochami, nebo sigma hladinami. Tyto sigma plochy jsou zadány jako rostoucí posloupnost

hodnot tvaru

(22.24)

Poznamenejme, že v modelech ECMWF a i v mnohé literatuře jsou tyto sigma hladiny

nazývány jako „poloviční hladiny“, neboť jsou indexovány indexy ve tvaru k+1/2 kde k =0,

…, KV. Pro zápis teorie je to možná o něco přehlednější a symetričtější, ale při programování

se pak stejně používají jako indexy pouze celá čísla.

Na sigma plochách jsou zadávány proměnné: , geopotenciál , vertikální

rychlost v systému , proměnná a absolutní teplota referenční atmosféry . Ve

vrstvách jsou zadávány hodnoty složek větru , absolutní teplota , proměnná ,

divergence a po případě vorticita. Definujme nyní vertikální operátor průměrování. Tento

operátor dvěma hodnotám proměnné na sousedních sigma plochách přiřazuje hodnotu

aritmetického průměru této proměnné v sigma vrstvě, kterou omezují. Operátor aritmetického

průměru označme symbolem

(22.25)

a operátor diferencování definujme vztahem

(22.26)

*T

RT

ln

RT

k

KS ....0 321

k k

k kw kT *

kk vu , kT kP

kd

2/1 kkk

kkk 1

343

kde hodnoty na pravé straně náleží sigma plochám, hodnota diference na levé straně náleží

vrstvě, kterou tyto plochy omezují. Při tomto označení můžeme napsat aproximaci

hydrostatické rovnice ve tvaru

(22.27)

Pomocí diferenční aproximace vztahu pro derivaci přirozeného logaritmu

(22.28)

hodnotu v sigma vrstvách, kterou označíme definujeme vztahem

(22.29)

Pří takto definované hodnotě ve vrstvách, je aproximace hydrostatické rovnice vyjádřené

vztahy (22.22) a (22.23) stejná a je dána vztahem (22.27).

Vyjádření matice vertikální struktury

Rovnici pro časovou změnu proměnné P již budeme odvozovat pro danou vertikální

aproximaci. Přitom použijeme maticové vyjádření vztahů. Pro diskrétní aproximaci ovšem

definujeme funkci P danou vztahem (22.1) následovně

(22.30)

tedy ve vrstvách. Hodnoty proměnných ve vrstvách budeme považovat za složky KV

rozměrných vektorů. Tedy teploty ve vrstvách budou dány vektorem-sloupcem

(22.31)

kde horní index T znamená transponovanou matici (tedy sloupcový vektor).

Nyní si odvodíme vertikálně integrovanou – v diskrétním případě tady sumovanou

hydrostatickou rovnici, která nám na základě teplot vrstev a výšky terénu vyjadřuje

geopotenciál. Aproximaci hydrostatické rovnice (22.27) přepíšeme do tvaru

(22.32)

Neboť geopotenciál výšky terénu je znám (je roven výšce terénu násobené konstantou

tíhového zrychlení g), můžeme rekurentně ze vztahů (22.32) postupně určit všechny hodnoty

geopotenciálu pro k=KV, KV-1, …., 1. Sumací vztahů (22.32) pak dostaneme

(22.33)

My ovšem potřebujeme vertikálně průměrované hodnoty gepoptenciálu, tedy hodnoty

příslušné vrstvám. Ze vztahu (21.33) ihned máme

k

kk

kk

k

k RT

/lnln 1

1

1ln

*

*

1ln

kk

k

skkk pTRP ln*

TKVTTTT ,....,, 21

kkkk RT ln1

KS

KV

kl

llKSk TR ln

344

(22.34)

Pro maticový zápis předchozích i dalších vztahů budeme používat několik čtvercových matic

řádu KV×KV. Jsou to následující matice:

(22.35)

Samozřejmě řádu KV×KV - nikoliv 5×5.

Dále matici L transponovanou k matici U, je tedy ale též .

Dále budeme používat vektor e, jehož složky mají všechny hodnotu 1. Tedy

(22.36)

Matici E řádu KV×KV jejíž všechny prvky jsou rovny 1.

(22.37)

a následující diagonální matice

(22.38)

(22.39)

(22.40)

(22.41)

(22.42)

kde je diferenční aproximace vertikálního gradientu referenční teploty v -systému, tedy

derivace viz vztah (22.21) a bude určena později

(22.43)

součin matic je opět diagonální matice

KV

kl

llkkKSk TRRT1

lnln2

1

2/10000

12/1000

112/100

1112/10

11112/1

U

TUL TLU

Te 1,.....1,1

11111

11111

11111

11111

11111

TeeE

kdiagH

kdiagZ ln

kdiagS

*

*

k

kTdiagK

kdiag

k

*T

*

kTdiagY

ZS

345

(22.44)

Vertikálně integrovanou hydrostatickou rovnici (21.34) můžeme nyní napsat v maticovém

tvaru. Máme

(22.45)

Poznamenejme, že R je skalární veličina – plynová konstanta. Z tohoto vztahu dostaneme také

ihned derivováním vztah pro časovou změnu geopotenciálu. Vzhledem k tomu, že člen

a matice jsou konstantní (nezávislé na čase), máme

(22.46)

Nyní si aproximujeme rovnici kontinuity. Nejdříve si všimněme, že ze vztahu (22.13) pro

, vezmeme-li v úvahu že vertikální rychlosti v -systému jsou na horní i dolní hranici

oblasti rovny nule, tedy máme

(22.47)

Přirozená aproximace linearizované rovnice kontinuity (22.15) má pak tvar

(22.48)

odtud sumací předchozího vztahu máme jednak

(22.49)

a pro vertikálně průměrované w ve vrstvách

(22.50)

V maticovém tvaru mají dva předchozí vztahy tvar:

Vztah (22.49) určuje vektor, jehož všechny složky jsou stejné a jsou rovny časovým změnám

přirozeného logaritmu přízemního tlaku

(22.51)

Vztah (21.50) přepsaný do maticového tvaru je

(22.52)

Pro aproximaci termodynamické věty (22.21) ve tvaru

(22.53)

k

k

kTdiagKZZK

ln*

*

RUZTeKS

eKS RUZ

t

TRUZ

t

1

01 KS

sKS pt

ww ln,01

k

k

kk dww

1

lKV

l

lKSs dwplnt

1

1

12

1 k

l

llkkk ddw

EHdept

s

ln

LHdw

0

*

k

kkk

k wT

t

T

346

potřebujeme maticově vyjádřit ještě vertikální rychlost . Postupujeme obdobně jako pro

vyjádření w. Diferenční aproximaci linearizované rovnice kontinuity (22.13) sečteme přes

l=1,…k. Vzhledem k tomu, že máme

(22.54)

Vertikálním průměrováním předešlého vztahu máme

(22.55)

Vztah (22.55) přepíšeme do maticového tvaru, máme

(22.56)

Dosadíme-li do termodynamické věty (22.53) ze vztahů (22.52) a (22.56) dostaneme

v maticovém tvaru vyjádřenu časovou změnu vektoru teploty, jakožto funkci divergence

(22.57)

Rovnici pro časovou změnu P odvodíme derivováním vztahu (21.30) podle času t

(22.58)

což zapsáno v maticovém tvaru je

(21.59)

Dosadíme-li do předchozího vztahu hodnoty časových změn ze vztahů (21.46) a (21.51)

máme

(21.60)

pomocí vztahu (22.57) dostaneme hledaný vztah

(22.61)

kde

(22.62)

Nyní ukážeme, že tato matice C, která se nazývá maticí vertikální struktury, je symetrická.

Označme nyní diagonální matici

(22.63)

Vynásobíme-li vektor maticí U zleva, máme

01

k

l

llskk dpt 1

ln

k

l

llkkskk ddpt 112

1ln

HdLSELHdSEHd

HdLSEKLwKt

T

skkk p

tTR

tt

Pln

*

ept

RYtt

Ps

ln

RYEHdt

TRUZ

t

P

CHdt

P

YESELKUZRC

**

1 kk TTdiag

Tkk TTe**

1

347

(22.64)

Proto můžeme psát

(22.65)

po vynásobení předchozího vztahu vektorem-řádkem máme

(22.66)

Dosazením do vztahu (62) za YE můžeme matici C napsat ve tvaru

(22.67)

První člen matice je symetrický, neboť je součinem matice U, diagonální matice a matice L

druhý člen je rovněž symetrický. Aby matice byla symetrická musí být i třetí člen

symetrický, což je možné jen tehdy, když je nulová matice. Tato

matice je nulová, když

(22.68)

což přepsáno ve složkách znamená

(22.69)

Předchozí vztah můžeme vzhledem ke vztahům (21.28) a (21.29) považovat za aproximaci

vertikálního gradientu referenční teploty, kterou potřebujeme, aby matice struktury byla

symetrická. Na závěr odvození matice struktury se podíváme na případ, izotermní referenční

atmosféry. Izotermní referenční atmosféra se používá v semiimplicitních schématech.

Z důvodů stability je hodnota kladena obvykle 300 K. v tomto případě nezávisí na

vertikální souřadnici a gradient je roven 0. Matici struktury můžeme v tomto případě psát

ve tvaru

(22.70)

V obecném případě, když použijeme správnou definici gradientu teploty referenční atmosféry,

která je dána vztahem (21.69) má matice struktury v podstatě stejný tvar, kde pouze teplota ve

vztahu je teplota referenční atmosféry na povrchu země a máme

(22.71)

Matice je diagonální matice a matice C je v obou případech symetrická, neboť je

součtem dvou symetrických matic. Matice

(22.72)

násobené konstantou R a matice T*E . Matice C je positivně definitní, neboť diagonální

matice ZS má všechny prvky kladné a můžeme psát

***

2

**

1

*,....,, KVKSKSKS TTTTTTeU

eUeTeY KS *

Te

EUETYE KS *

ESZUETLKUZRC KS *

ESZU SZ

11 SZ

kk

kkk

TT

ln

**

1

*T *T

ERTRUZKLC *

ERTLKRUZC*

KS

K

LZSUUZSLLZSU TTT )(

348

(22.73)

a tedy vlastní čísla matice C jsou reálná kladná.

Rovnice (22.61) pro časovou změnu funkce P na základě divergence horizontálního větru

nám definuje vertikální normální módy. Vlastní vektory , matice

splňující tedy vztahy

(22.74)

jsou vertikální normální módy. Kasahara-Shigesia [2] Temperton [4]. Vlastní čísla matice

, které jsme označili jsou čtverci fázových rychlostí vertikálních normálních módů.

Matice se nazývá maticí vertikální struktury. Ekvivalentní hloubky vertikálních

normálních módů odpovídají jejich fázovým rychlostem vztahem

(22.75)

Rovnici (21.74) můžeme přepsat ve tvaru

(22.76)

Matice je rovněž symetrická a pozitivně definitní. Z rovnice (22.76) vyplývá, že

vlastní čísla této matice jsou reálná kladná a jsou shodná s vlastními čísly matice CH. Protože

matice je symetrická, jsou její vlastní vektory ortogonální a platí

(22.77)

Vlastní vektory matice CH dostaneme vynásobením vlastních vektorů symetrické matice

diagonální maticí zleva. Diagonalizaci matice CH můžeme tedy provést

následujícím způsobem. Nechť M je matice složená ze sloupců, které jsou vlastními vektory

matice . Pak M je ortogonální matice a a matici G, která diagonalizuje

matici CH a jejíž sloupce jsou normální módy, můžeme psát ve tvaru

(22.78)

Protože platí

(22.79)

máme

(22.80)

T

ZSUZSULZSZSU

2

12

1

2

1

2

1

)()()(

k KV,...,k 1 CH

kkk c 2

CH

CH2

kc

CH kh

2

kk chg

kkk HcHHCH 2

122

1

2

1

2

1

)()(

2

1

2

1

HCH

2

1

2

1

HCH kH 21

lkk

T

l HH

2

1

2

1

2

1

2

1

HCH 2

1

H

2

1

2

1

HCH IMM T

MHG 2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1 HMHMMHG T

22

1

2

1

1

k

T cdiagMCHHMGCHG

349

Všimněme si ještě, že matice CH není obecně symetrická. Je symetrická, když součin matic

CH je komutativní, neboť pak

(22.81)

Tato skutečnost nastává v případě vertikální ekvidistantní sítě, neboť matice H je v tomto

případě skalární a je rovna .

V případě, že matice CH není symetrická, vlastní vektory matice příslušné

vlastním číslům označme . Je tedy

(22.82)

Vlastní vektory matice můžeme dostat násobením vektorů matice

maticí zleva. Tyto vlastní vektory jsou tedy sloupci matice , neboli řádky matice

. Vidíme tedy, že vektory a tvoří biortonormální basi Marčuk at all.

[3], Baťka [1]

(22.83)

což má v maticovém zápisu tvar

(22.84)

Příloha

V této příloze si pro snazší a přesnější orientaci v maticových zápisech našeho textu shrneme

některé vztahy pro matice, které používáme. Používané matice jsou většinou speciálního

tvaru. Některé tyto matice a vektory si definujeme. Všechny matice budou čtvercové řádu n a

vektory sloupce dimense n. Vektor o složkách budeme označovat , kde

index T nahoře značí transponovanou matici, tedy i vektor.

1. Násobíme-li matici A konstantou K, dostaneme matici, jejíž všechny prvky jsou násobeny

konstantou K. Matice tvaru KI, kde I je jednotková matice se nazývá skalární matice.

Násobení matice konstantou K nebo skalární maticí KI je stejné, KIA=KA.

2. Nyní si definujeme matice a vektory používané v textu:

je vektor, jehož všechny složky jsou rovny 1. Máme pak .

Označme E matici, jejíž všechny prvky jsou rovny 1. Je

CHCHCH TTT

I

TCH2

kc*

k*2*

kkk

T cCH

HCCHT 2

1

2

1

HCH

2

1

H MH 2

1

2

1

1 HMG T

k*

k

kllk *

IGG 1

ku Tnuuu ,...,1

Te 1,....,1,1 1,.....,1,1Te

1111

1111

1111

1111

1111

1

1

1

1

eeE T

350

3. Dále si definujeme trojúhelníkové matice L a U :

a je

Poznamenejme, že .

4. Diagonální matice jsou matice, které mají nenulové prvky pouze v hlavní diagonále.

Pro tyto matice platí:

Součin diagonálních matic je opět diagonální matice a platí

5. Součin diagonální matice a vektoru je vektor tvaru

6. Zvláštním případem předchozího vztahu je, násobíme-li diagonální maticí vektorem e.

Dostaneme tak vektor, jehož složky jsou stejné jako prvky v diagonále matice

.

7. Násobíme-li vektor d maticí E zleva, dostaneme vektor, jehož všechny složky budou

stejné a budou rovny součtům složek původního vektoru, tedy

.

8. Součinem matice a vektoru je vektor, jehož složky jsou skalární součiny řádků matice a

daného vektoru

2/1111

02/111

002/11

0002/1

L

2/1000

12/100

112/10

1112/1

UTUL

ULE

nnnn ba

ba

ba

ba

b

b

b

b

a

a

a

a

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

000

33

22

11

3

2

1

3

2

1

nnnn ud

ud

ud

ud

u

u

u

u

d

d

d

d

33

22

11

3

2

1

3

2

1

000

000

000

000

deddiag k

n

k

k

n

k

kn

k

k

d

d

edEd

1

1

1

351

9. Speciálním případem předchozího vztahu je násobení vektoru diagonální maticí zleva

10. Násobíme-li čtvercovou matici diagonální maticí zprava, dostaneme matici, která se

skládá ze sloupců původní matice násobenými příslušným prvkem diagonální matice,

k-tý sloupec matice je tedy násoben k-tým prvkem diagonální matice B)

11. Násobíme-li čtvercovou matici diagonální maticí zleva, dostaneme matici, která se skládá

z řádků původní matice násobených příslušným prvkem diagonální matice,

(k-tý řádek je násoben k-tým prvkem diagonální matice B)

12. Součin symetrické a diagonální matice není obecně symetrická matice: příklad

Literatura:

[1] Baťka M.: On the use of Biortogonalization for solving Systems o Linear Equations in

Numerical Weather Forecast. Studie geoph. at geod. Vol. 23, 1979.

[2] Kasahara Akira and Sigehisa Yosuke : Ortogonal Normal Modes of a Vertically Staggered

Discretized Atmospheric Model. Monthly Weather Review Vol.111, 1983, p. 1724-1735.

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

bababa

bababa

bababa

b

b

b

aaa

aaa

aaa

...

...

...

2211

2222121

1212111

2

1

21

22221

11211

nnnn ba

ba

ba

b

b

b

a

a

a

22

11

2

1

2

1

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

bababa

bababa

bababa

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2211

1222121

1212111

2

1

21

22221

11211

nnnnnnn

n

n

nnnn

n

n

n bababa

bababa

bababa

aaa

aaa

aaa

b

b

b

21

21222221

11112111

21

22221

11211

2

1

21

21

20

01

11

11

22

11

11

11

20

01

352

[3] Marčuk G. I., Kontarev G. P., Rivin G. S. Kratkosročnyj prognoz pogody po púolnym

urovnenijam na ograničennoj territorii. Fizika atmosfery i okeana Tom III. 1967.

[4] Temperton Clive : Orthogonal Normal Modes for a Multilevel Model, Monthly Weather

Review Vol.112, 1984. 503-509.

353

23. Metody rozkladu pro řešení nestacionárních úloh.

V současné praxi je třeba často numericky řešit složité úlohy matematické fyziky.

V našem případě to je například časová integrace rovnic dynamické meteorologie pro

předpověď počasí, pro klimatické modelování i šíření znečišťujících látek v atmosféře.

Jednou možností je převést tuto složitou úlohu na několik úloh jednodušších. Jedním ze

zakladatelů a propagátorů tohoto postupu je prof. G. I. Marčuk, který této problematice se

svými žáky a spolupracovníky, původně v Novosibirském oddělení Akademie věd, věnoval

mimo mnoha článků v časopisech i několik knih.

V originální ruské literatuře se používá termín „metod rasščeplenija“, který se obvykle

překládal jako metoda štěpení. Tento překlad také v doslovném překladu odpovídá

anglickému termínu „splitting“. V českém překladu knihy G. I. Marčuka: Metody numerické

matematiky (ACADEMIA Praha 1987) se objevil překlad metoda rozkladu, čímž je do jisté

míry dán oficiální název této metody. Podle mého názoru by tomuto termínu mohl v češtině

odpovídat též termín faktorizace, který vychází z vlastnosti této metody i anglické

terminologie. Já se ve výkladu přidržím termínu štěpení, který se mi zdá výstižnější. Na

rozdíl od obecné teorie, kterou se zabývá již zmíněná Marčukova kniha, se budeme po

krátkém úvodu vysvětlující princip této metody zabývat jejími aplikacemi v numerické

předpovědi počasí a jaký byl jejich vývoj v průběhu času. Mnoho pokusů na využití této

metody však skončilo v podstatě neúspěchem, neboť nepřineslo efektivnější a přesnější řešení

rovnic dynamické části předpovědních modelů. Z druhé strany, při praktickém provedení

výpočtů fyzikálních parametrizací byla metoda štěpení-faktorizace použita dosti často, aniž by

si to možná meteorologové uvědomovali.

Princip metody štěpení pro nestacionární úlohy

Nejdříve si všimněme otázky, co je štěpení a jeho principu. Studujme evoluční rovnici

tvaru

(23.1)

s počáteční podmínkou v oblasti G v čase , kde operátor - matice L nezávisí na

čase a je obecně vektor-sloupec. My tento operátor napíšeme jako součet dvou operátorů, a

tedy nechť je

(23.2)

Rovnici (23.1) zatím pro jednoduchost aproximujeme explicitní aproximací tvaru

(23.3)

vyjádřením z předchozího vztahu máme

(23.4)

kde I je jednotková matice. Štěpení, znamená řešit úlohu ve dvou krocích. S použitím vztahu

(23.2) můžeme schéma (23.3) štěpit na dva kroky

(23.5)

0L

t

g 0t

BAL

0Ln

t

nn 1

1n

nn t LI 1

021

n

n/n

t

A

354

(23.6)

kde hodnotu po prvním operátoru jsme označili jako obvykle . „Lomené indexy“

používají pro označení prostorových hodnot na střídavých sítích v popisech modelů

v ECMWF v Redingu. Při metodě štěpení se ovšem lomené indexy používaly již dříve a

poněkud v jiném významu, protože lomený index n+1/2 zde neznamená hodnotu uprostřed

časového kroku. Janěnko proto tuto metodu nazývá rusky „metod drobnych šagov“, tedy

metodou lomených kroků. Tento termín lze považovat za další synonymum pro metodu

štěpení.

Přepíšeme-li vztahy (23.5) a (23.6) do explicitního tvaru obdobně jako (23.3) do tvaru

(22.4) máme

(23.7)

(23.8)

Dosadíme-li nyní výraz (22.7) do (22.8) máme

(23.9)

Předchozí vztah nám dává jeden krok metody štěpení. Vidíme, že původní operátor byl

nahrazen součinem dvou operátorů, proto se této metodě říká také metoda faktorizace, což je

anglicky v matematice obvyklejší.

Dosazením vztahu (23.2) do vztahu (23.3), nebo provedení součinu ve vztahu (26.9)

dostaneme s použitím (23.2)

(23.10)

což nám představuje řešení při použití metody štěpení. Vidíme, že dostáváme aproximaci

podobnou jako (23.3), ale je zde navíc člen řádu , který nám představuje

chybu, která vzniká při štěpení navíc. Symetrizací schématu, což se provede tak, že napřed

použijeme operátor A a B s polovičním časovým krokem a pak opačně operátor B a pak A

rovněž s polovičním krokem, tedy schéma rozložíme na čtyři faktory, pak se chyba metody

zmenší na chybu řádu .

Ptejme se nyní, k čemu je faktorizace dobrá. Má vůbec smysl? Proč třebas

nepoužijeme původní schéma. Smysl štěpení je následující: dává nám možnost vytvářet nová

další schémata, jsou-li stabilní jednotlivé kroky (například v energetické normě, která se

v numerických metodách požívaných v meteorologii vzhledem k nelineárnosti rovnic často

k důkazu stability řešení používá), pak je schéma se štěpením stabilní. Dále je si třeba

uvědomit, že v meteorologických modelech se při parametrizacích meteorologických

fyzikálních dějů používá štěpení, ačkoliv to nikde není explicitně řečeno. Snad to někteří

meteorologové ani nevědí, že je tato metoda použita.

Hlavním důvodem vývoje metody štěpení pro aplikace v meteorologii i jiných

podobných problémech bylo zvýšení efektivnosti výpočetních metod. To se mělo podařit

zvětšením časového integračního kroku, který pro explicitní schéma musí v závislosti na délce

prostorového kroku v síti splňovat pro délku časového kroku CFL kritérium stability.

Explicitní schémata se pak musí počítat s relativně malým časovým krokem a pro celkovou

integraci je pak potřeba těchto kroků zbytečně mnoho. Na rozdíl od toho, implicitní schémata

021211

/n/nn

t

B

21 /n

n/n t AI 21

211 /nn t BI

nn tt AIBI 1

0BAL

nn

nn

tt

1

nt BA to

2to

355

bývají většinou absolutně stabilní a délka kroku je pak spíše omezena požadavkem dostatečné

přesnosti výpočtu. Cílem použití štěpení bylo formulovat vhodná vysoce efektivní stabilní

schémata. Úkolem štěpení je aproximovat úlohu tak, aby její řešení se skládalo z několika po

sobě jdoucích implicitních absolutně stabilních schémat. V pojetí G. I. Marčuka tato

jednotlivá schémata měla být Crnak-Nicholsonova, tedy v podstatě lichoběžníková schémata.

V časovém kroku měla aproximace rovnice (23.1) při štěpení operátoru daném

(23.2) tvar

(23.11)

(23.12)

eliminujeme-li pomocnou proměnnou , můžeme převést předchozí soustavu do tvaru

(23.13)

kde

(23.14)

jestliže předpokládáme, že a , potom operátory vyjadřující implicitní

části T můžeme rozvinout v konvergující mocninné řady. Operátor T můžeme pak psát ve

tvaru

(23.15)

tento vztah můžeme přepsat do obdoby vztahu (10). Je tedy

(23.16)

dostáváme tak aproximaci rovnice (23.1) složenou ovšem pouze z implicitních kroků.

Podrobnostmi metody se lze informovat v knihách G. I. Marčuka. Tato aproximace je sice

absolutně stabilní je však opět zatížená určitou chybou štěpení, jejíž velikost je závislá na

délce časového kroku .

Abychom si přiblížili použití štěpení v meteorologii, aplikujeme tuto metodu na řešení rovnic

mělké vody. Této model je pro aplikaci metody dostatečně obecný a zároveň pro pochopení

aplikace metody dostatečně jednoduchý. V obecném baroklinním modelu s hydrostatickou

aproximací je navíc pouze vertikální struktura modelu, která je dána tím, že model je

třírozměrný. Rovnice mělké vody si napišme pro tyto účely v advekčním tvaru. Při obvyklém

označení (viz předchozí kapitoly), můžeme napsat

(23.17)

(23.18)

(23.19)

1 nn ttt

02

2121

n/nn/n

t

A

02

211211

/nn/nn

t

B

21 /n

nn T1

AIAIBIBIT2222

11tttt

12

At

12

Bt

tott LIT

0L

tot

nnn

1

t

0

x

hgfv

y

uv

x

uu

t

u

0

y

hgfu

y

vv

x

vu

t

v

0

y

v

x

uh

y

hv

x

hu

t

h

356

Štěpení se týká jednoho integračního kroku na časovém intervalu . Ve schématu

jsou v advekčních členech složky rychlosti u, v aproximovány v počátečním čase intervalu, tj.

hodnotami , které označme pro jasnost . To je určitá linearizace advekce na

intervalu jednoho časového kroku. Na intervalu štěpení můžeme tedy koeficienty

advekčních členů pokládat za konstantní. V prvních pracích Marčuk použil štěpení rovnic

(23.17), (23.18) a (23.19) na dvě části. Na část, kterou nazval přenos (což je v podstatě

advekce) a na část adaptace, která je lineární částí rovnic a popisuje geostrofickou adaptaci

meteorologických polí – pole rozložení hmoty a pole větru, tedy podle naší terminologie

geostrofické přizpůsobení.

Přenos je dán rovnicemi

(23.20)

(23.21)

(23.22)

adaptace je dána rovnicemi

(23.23)

(23.24)

(23.25)

Napíšeme-li rovnice mělké vody ve tvaru (23.1) má vektor řešení tvar

(23.26)

operátor celé soustavy (23.1) je

(23.27)

operátor přenosu A je pak roven

1 nn ttt

nn v,u v,u

1 nn ttt

0

y

uv

x

uu

t

u

0

y

vv

x

vu

t

v

0

y

hv

x

hu

t

h

0

x

hgfv

t

u

0

y

hgfu

t

v

0

y

v

x

uh

t

h

h

v

u

yv

xu

yh

xh

yg

yv

xuf

xgf

yv

xu

L

357

(23.28)

operátor adaptace, tedy vlnové části je pak

(23.29)

aby operátor B byl lineární, nahradili jsme zde, obdobně jak to bylo uděláno v baroklinním

modelu, hodnotu výšky hladiny mělké vody její klidovou konstantní hodnotou . Rovnice

(23.25) se tím stává lineární diferenciální rovnicí. Zrychlení zemské tíže g je konstanta a

Coriolisův parametr je funkcí proměnných x, y, nezávislý na čase.

Ve schématu výpočtu se rovnice přenosu štěpí ještě jednou a to na přenos (advekci) ve

směru osy x a ve směru osy y. Lichoběžníkové schéma pro každý směr vede na řešení

soustavy s tří-diagonální maticí, kterou je možné řešit efektivně pomocí rekurentních vztahů

ekvivalentních s Gaussovou eliminací. I když takto dostaneme absolutně stabilní schéma, což

znamená, že stabilita nezávisí na poměru délkového a časového kroku, po provedení mnoha

pokusů, které srovnávaly efektivnost a zejména přesnost schémat pro realizaci advekce

ukázaly, že schéma advekce pomocí štěpení na směry není při delším časovém kroku příliš

přesné. Nepožadujeme-li však časový krok tak dlouhý můžeme advekci aproximovat

explicitním schématem, které je v tomto případě efektivnější i přesnější. Je to tím, že advekce

nepopisuje žádné rychlé vlny, jako jsou gravitační vlny v části adaptace. Tím se pro výpočet

advekce explicitním schématem může použít několikrát delší krok, než pro vlnovou část –

adaptaci. Tato skutečnost se běžně používá při použití smi-implicitních Eulerovských

schématech, kde pouze gravitační vlny jsou aproximovány schématem implicitně. V současné

době se pro advekci používá semi-Lagrangeova metoda, která je velmi přesná a navíc

dovoluje použít dostatečně dlouhý časový krok.

Větším problémem je řešení rovnic adaptace. Výše popsané schéma je původní

schéma publikované v článku [7]. Toto schéma je však chybné, neboť druhá část adaptace je

pro implicitní řešení příliš obecná, neboť zahrnuje implicitně i změny rotační části větru.

Předložené řešení na základě řešení okrajové úlohy, pouze pro divergenci, je možné pouze

v případě, že Coriolissův parametr je konstantní, což ovšem vylučuje existenci Rossbyho vln

a nepostihuje správně změny rotační části větru. Proto při dalším vývoji schémat kolektiv

Marčuka přidal do štěpení další krok, který zahrnoval vliv proměnného Coriolissova

parametru. Řešení úlohy adaptace bylo v podstatě rozděleno na dva kroky, krok vlivu

proměnného Coriolissova parametru a hlavní části implicitní adaptace, popisující v podstatě

pouze gravitační vlny. Rozdělení adaptace na takové dva kroky nebylo příliš šťastné, vznikla

tím zřejmě velká chyba štěpení. Při této metodě tedy vznikají dva problémy. Problém, aby

yv

xu

yv

xu

yv

xu

00

00

00

A

0

0

0

yh

xh

ygf

xgf

B

h

358

celková chyba řešení vzniklá štěpením nebyla velká. Na první problém dal v podstatě

odpověď článek Yakimova - Roberta [8], který ukázal, že při tomto způsobu štěpení rovnic na

advekci a adaptaci vzniká značná chyba. Pro její odstranění je třeba volit dostatečně malý

krok. Metoda pak není efektivní a nemá tedy smysl. Způsob, jak se zbavit problému řešení

obecných rovnic adaptace navrhl a vyzkoušel v Anglii Gadd [4]. Jeho schéma spočívalo

v tom, že po jednom kroku advekce provedl tři kroky adaptace s třetinovou délkou časového

kroku, což umožnilo adaptaci aproximovat explicitním schématem. Ani pokusy s plně

implicitním schématem [2] v USA neměly v meteorologii prakticky žádné použití.

Oba zmíněné problémy byly však po počátečním zkoušení různých schémat pro

meteorologii velmi úspěšně vyřešeny. Řešení spočívá v tom, že původní adaptační část byla

aproximována zbytečně celá implicitně. Ukázalo, se že implicitně je třeba aproximovat členy

týkající se gravitačních vln, což jsou složky rychlosti horizontálního větru a horizontální

gradient tlaku. Odvodíme-li na diferenční úrovni po aproximaci rovnici vorticity, její

aproximace je zcela explicitní, zatímco divergentní teorém pro výpočet divergence

v následujícím časovém kroku je imlicitní diferenční rovnicí pro výpočet buďto divergence,

nebo geopotenciálu. Takováto aproximace se nazývá semi-implicitním schématem. Podle mne

je zajímavé a na práci [7] nejvýznamnější, že zřejmě poprvé byl systém lineárních rovnic

vzniklých při implicitní aproximaci v tomto schématu řešen redukcí dimenze s použitím

vertikálních normálních módů. Tato metoda se stala později standardně používanou metodou

řešení rovnic v semiimplicitních schématech a zjednodušena použitím vertikálních

ortogonálních normálních módů, o čem bylo pojednáno v předchozích kapitolách.

Semiimplicitní schéma použil také například Burridge [1]. Je-li však advekce počítána

explicitním schématem, je štěpení zcela zbytečné, protože i bez štěpení je schéma stabilní a

štěpení zvyšuje zbytečně chybu aproximace. První semiimplicitní diferenční schémata

používaná v modelech počítaných v denním provozu používala explicitní aproximaci advekce

spolu s implicitním řešením rovnic semiimplicitního schématu. To prakticky znamenalo

možnost použití asi 7 krát delšího časového kroku proti explicitnímu schématu. Délka

časového kroku tohoto schématu byla dána podmínkou stability advekce. Později, když byl

výpočet advekce aproximován semi-Lagrangeovskými schématy se mohla délka časových

kroků zvětšit ještě více. Semi-implicitní aproximace rovnic modelů v hydrostatickém

přiblížení s advekcí počítanou semi-Lagrangeovskými schématy je v současnosti standardem

numerické předpovědi počasí.

I když můžeme říci, že se metoda štěpení pro řešení rovnic dynamické části modelu

nepoužívá, při realizaci parametrizací je tomu spíše naopak. Vezmeme-li v úvahu jak se

v modelech počítají například srážky, nebo konvekce, bývá to tak, že po provedení časového

kroku dynamické části modelu se studuje nasycení atmosféry a přebytečná voda tvoří srážky.

Tím se opravuje výsledné pole vlhkosti a teploty uvolněným latentním teplem. Obdobně

můžeme postupovat i u konvekce. Tam se přebytečné teplo z dolních vrstev přenáší směrem

vzhůru, přičemž musí být odstraněno labilní zvrstvení a zachována celková potenciální

energie vzduchového sloupce. Takovýto postup je samozřejmě faktorizací, neboli štěpením,

čili metodou rozkladu. Jak je parametrizace modelů nejlépe realizovat se zabývá více prací.

Pro úplnost uveďme alespoň práci Dubala a spol. [3] z roku 2004.

359

Literatura:

[1] Burridge D. M.: A split semi-implicit reformulation of the Bushby-Timpson 10-level

model, Quar. J. R. Met. Soc. (1975), 101, pp. 777-792

[2] Cohn S. E., Dee D., Isaacson. E., Marchesi D., Zwas G.: A Fully Implicit Scheme for the

Barotropic Primitive Equations, Monthly Weather Review Volume 113, p. 436-448 (1985)

[3] Dubal M. Wood N. Staniforth A.: Analysis of Paraller versus Sequential Splitttings for

Time-Stepping Physical Parametrizations, Monthly Weather Review Vol. 132, No. 1, pp. 121-

132, (2004)

[4] Gadd A. J.: A split integration scheme for numerical wather prediction, Quar. J. R. Met.

Soc. (1978), 104, pp. 569-582

[5] Marčuk G. I.: Čislennoje metody v prognoze pogody, Gidrometeorologičeskoje

izdatělstvo, Leningrad 1967

[6] Marčuk G. I.: Čislennoje rešenie zadač dinamiky atmosfery i okeány.

Gidrometeoizdat, Leningrad 1974

[7] Marčuk G. I., Kontarev G. R., Rivin G. S.: Kratkosročnyj prognoz pogody po polnym

urovnenijam na ograničennoj territorii. Fizika atmosfery i okeány Tom III No 11. (1967)

[8] Marčuk G. I.: Metody numerické matematiky, ACADEMIA Praha 1987.

[9] Yakimov E., Robert A.: Accuracy and Stability Analysis of a Fully Implicit Scheme for

the Shallow Water Equation, Monthly Weather Review Volume 114 s. 240-244. (1986).

360

24. Galerkinova aproximace a spektrální metody.

V této kapitole se seznámíme s teoretickým základem důležité třídy metod nazývané

Galerkinovy metody. Do této třídy metod spadají jednak spektrální metoda a také metoda

konečných prvků. Pro obecnou formulaci Galerkinovy metody, a jejího zobecnění Petrov –

Galerkinovy metody použijeme některé pojmy z funkcionální analýzy, normované prostory a

Hilbertův prostor, ve kterých jsou studovány nejlepší aproximace. Pro stručnost neuvedeme

zde důkazy některých tvrzení. Ty lze nalézti například v prvním díle knihy Berezin- Židkov

Metody vyčislenij [1]

Normovaný lineární prostor

Řekneme, že množina R je lineárním normovaným prostorem, jestliže R je lineárním

prostorem, nad tělesem reálných nebo komplexních čísel, a kromě toho každému prvku v R je

přiřazeno reálné číslo které nazýváme normou prvku f a tato norma, která je funkcí

definovanou na R, splňuje následující podmínky:

1) , přičemž je právě tehdy, když f=0; (N1)

2) pro libovolné číslo c; (N2)

3) (N3)

Normovaný lineární prostor je vždy také metrickým prostorem. Vzdálenost

(metriku) v něm můžeme definovat vztahem:

(N4)

Snadno nahlédneme, že takto definovaná vzdálenost splňuje definici a axiomy metrického

prostoru: Množina X se nazývá metrickým prostorem, když každé dvojici prvků je

přiřazeno reálné číslo a vzdálenost těchto dvou prvků x, y splňuje následující

podmínky:

1) a právě když

2) symetrie vzdálenosti

3) pro libovolný prvek (trojúhelníková nerovnost)

tyto podmínky jsou v podstatě obdobou vztahů (N1),(N2) a (N3) a ihned z nich plynou.

Normovaný prostor R nazýváme přísně normovaný, jestliže v nerovnosti

nastává rovnost právě tehdy, když pro reálné .

Poznámka: Zavedeme-li do normovaného prostoru metriku, kde vzdálenost je

definována vztahem (N4), potom požadavek na vlastnost normy (N3) odpovídá v metrickém

prostoru trojúhelníkové nerovnosti. Je-li lineární prostor přísně normovaný, pak nastává-li

v trojúhelníkové nerovnosti rovnost, tj. že součet dvou stran je roven straně třetí, pak

trojúhelník se redukuje na úsečku a všechny tři vrcholy trojúhelníka leží na stejné přímce.

Nejlepší přiblížení v normovaném lineárním prostoru

V normovaném lineárním prostoru R studujme všechny možné lineární kombinace

n+1 lineárně nezávislých prvků tvaru

(24.1)

f

f 0 f 0

cf c f

f f f f1 2 1 2

f f1 2,

f f f f1 2 1 2,

Xy,x

y,x

0y,x 0z,x yx

x,yy,x

y,zz,xy,x Xz

f f f f1 2 1 2 12 ff 0

21 f,f

0 1, ,..., n

a a an n0 0 1 1 ...

361

Tyto lineární kombinace tvoří lineární podprostor prostoru R. Zvolíme-li nyní pevně prvek

a studujeme číselnou množinu

(24.2)

pak tato množina je omezená zdola, protože norma je nezáporné číslo. Proto existuje infimum

. (24.3)

Položme si nyní otázku, zda existuje prvek pro který je dosaženo tohoto infima, tedy

existuje-li prvek , pro který platí

? (24.4)

Každý prvek pro který platí vztah (24.4) budeme nazývat prvkem nejlepšího

přiblížení prvku f v . Dále dokážeme, že takový prvek , pro který je splněna

předchozí rovnost vždy existuje. Tento prvek nejlepšího přiblížení prvku f v , nazýváme

také projekcí prvku f na .

Poznámka: Projekčním operátorem rozumíme v matematice takový operátor, pro který

platí .

Existence prvku nejlepšího přiblížení.

Věta: Pro libovolný prvek existuje v prvek nejlepšího přiblížen – který je tedy

nejlepší aproximací prvku f v podprostoru .

Jednoznačnost prvku nejlepší aproximace Věta 1: V přísně normovaném prostoru R je prvek nejlepšího přiblížení jednoznačně určen,

existuje tedy jen jeden.

Hilbertův prostor

Nechť R je lineární prostor. Řekneme, že v tomto prostoru je definován skalární

součin, jestliže každé dvojici jeho prvků v daném pořadí je přiřazeno komplexní číslo

které se nazývá skalárním součinem těchto prvků. Skalární součin musí splňovat

následující vztahy:

1) Čísla a jsou komplexně sdružená, tedy ; (24.5)

2) Pro libovolné prvky a libovolná komplexní čísla platí

(24.6)

3) Skalární součin prvku f se sebou samým je reálné nezáporné číslo, které je rovno

nule právě tehdy, když f=0. Je tedy

a . (24.7)

Ze vztahů (24.5) a (24.6) lze pomocí jednoduchých vztahů komplexně sdružená čísla

,

odvodit, že platí dva distributivní zákony

a také

a komplexní číslo lze ze skalárního součinu vytknout, což je dáno opět dvěma vztahy

R

f R

f f,

f f pro R inf , ,

0 R

0 R

0 ff

0 R

R 0 R

R

R

f

ff

Rf R

R

f f1 2,

f f1 2,

f f1 2, 12 f,f 1221 f,ff,f

f f f1 2 3, , 1 2,

1 1 2 2 3 1 1 3 2 2 3f f f f f f f , ,

f f, 0 f f f, 0 0

baba baab

g,fg,fg,ff 2121 2121 f,gf,gff,g

362

, ale vytkneme-li komplexní číslo z druhého členu, platí ,

po vyknutí se číslo změní na komplexně sdružené číslo. Shrneme-li tyto vztahy do jediného,

pak máme

(24.8)

Pro skalární součin platí Cauchyho nerovnost

Věta 2: Pro libovolné dva prvky f, g z prostoru R platí Cauchyho nerovnost

(24.9)

Jestliže v lineárním prostoru R je definován skalární součin, pak můžeme tento prostor

normovat, definujeme-li normu prvku vztahem

(24.10)

Takto definovaná norma splňuje tři podmínky definice normy, které norma musí splňovat.

Věta 3: Prostor se skalárním součinem, v němž normu definujeme vztahem

je též přísně normovaným prostorem a tedy, rovnost ve vztahu nastává

pouze v případě, když prvky f a g jsou kolineární, tedy když pro reálné .

Definice: Lineární prostor H, ve kterém je zaveden skalární součin se nazývá Hilbertův

prostor, jestliže je separabilní, to znamená, že v něm existuje hustá spočetná množina. (Připomeneme, že spočetná množina je množina, jejíž všechny prvky můžeme napsat ve tvaru

posloupnosti, a množina je hustá v H, když její topologický uzávěr tvoří celý prostor, tedy

například všechny prvky prostoru H můžeme napsat jako limity posloupností prvků ze

zmíněné spočetné množiny.)

Grammův determinant

V lineárním prostoru je známým způsobem definována lineární nezávislost soustavy

prvků . V Hilbertově prostoru můžeme tuto vlastnost studovat také pomocí

Grammova determinantu.

Grammovým determinantem soustavy prvků nazveme determinant

(24.11)

Pro Grammův determinant platí následující věta:

Věta 4: Aby soustava prvků prostoru R byla lineárně závislá, je nutné a stačí,

aby Grammův determinant této soustavy prvků byl roven nule.

Ortonormální systémy

Dva prvky f a g Hilbertova prostoru se nazývají ortogonálními, jestliže jejich

skalární součin je rovný nule, tedy . Prvek f nazýváme normovaným, když jeho

norma je rovna jedné.

Konečnou, nebo nekonečnou soustavu prvků nazveme ortogonální soustavou, jestliže každé

dva libovolně vybrané prvky jsou ortogonální. Soustava se nazývá ortonormální, jestliže je

ortogonální a navíc jsou její prvky normované.

Ortonormální soustava je vždy lineárně nezávislá, neboť její Grammův determinant je

roven jedné.

g,fg,f g,fg,f

31221132211 f,ff,fff,f

g,gf,fg,f 2

Rf

f,ff

f,ff

gfgf

12 ff 0

f f f n1 2, ,...,

f f f Rn1 2, ,...,

G f f f

f f f f f f

f f f f f f

f f f f f f

n

n

n

n n n n

1 2

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

, ,...,

, , ,

, , ,

, , ,

f f f n1 2, ,...,

G f f f n1 2, ,...,

f g, 0

363

Věta 5: Jestliže je soustava lineárně nezávislých prvků Hilbertova prostoru,

pak můžeme sestrojit ortonormální soustavu takovou, že jejími prvky budou

lineární kombinace prvků soustavy , bude však platit i opačné.

Úplné systémy v Hilbertově prostoru

Ortonormální systém v Hilbertově prostoru nazveme úplný, jestliže neexistuje žádný

od nuly různý prvek, který je ortogonální ke všem prvkům systému.

Jinak řečeno, úplnost systému znamená, že tento systém nemůžeme již rozšířit přidáním

nových prvků, abychom jej rozšířili.

Věta 6: V Hilbertově prostoru je libovolný ortonormální systém nejvýše spočetný.

Věta: V každém Hilbertově prostoru existuje nejvýše spočetný úplný ortonormální systém

prvků.

Fourierovy řady v Hilbertově prostoru

Nechť je nějaký ortonormální systém prvků Hilbertova prostoru R.

Skalární součiny nazveme Fourierovými koeficienty prvku f vzhledem

k ortonormálnímu systému . Prvku f můžeme přiřadit řadu, (nebo konečný součet

v tom případě, že ortonormální systém má pouze konečný počet prvků)

(24.12)

která se nazývá Fourierovou řadou prvku f vzhledem k ortonormálnímu systému

.

Pro koeficienty Fourierovy řady platí důležitá nerovnost, která se nazývá Besselovou

nerovností. Studujme čtverec normy rozdílu f a , kde je částečný součet Fourierovy

řady. Dostaneme

(24.13)

odkud

(24.14)

Protože tato nerovnost platí pro všechna n, řada konverguje a

(24.15)

Předchozí nerovnost se nazývá Besslovou nerovností.

Věta 7: Jestliže Hilbertův prostor je úplný, potom Fourierova řada prvku f vzhledem

k ortonormálnímu systému konverguje.

n,...,, 21

ng,...,g,g 21

n,...,, 21

,.....g,...,g,g n21

ii g,f

kg

......g....ggf nn 2211

,.....g,...,g,g n21

ns ns

nnnnnnn s,ss,ff,sf,fsf,sfsf2

n

k

n

k

n

k

n

j

jkjkkkkk g,gg,ff,gf1 1 1 1

2

n

k

n

k

kkkk

n

k

n

k

kkk ff1 1

22

1 1

20

n

k

k f1

22

1

2

k

k

1

22

k

k f

kg

364

Věta: V úplném Hilbertově prostoru R Fourierova řada libovolného prvku vzhledem

k ortonormálnímu systému konverguje k tomuto prvku.

Neboť

(24.16)

přejdeme-li k limitě, máme

(24.17)

Tedy místo Besselovy nerovnosti dostáváme rovnost, která se nazývá Parsevalovou rovností.

Nejlepší přiblížení v Hilbertově prostoru

Nechť H je lineární podprostor Hilbertova prostoru R, a f libovolný prvek z R.

Položme si následující úkol: v podprostoru H najít prvek , který je nejlepším přiblížením

prvku f, tedy prvek, pro který platí

(24.17)

Dokážeme následující tvrzení.

Věta 8: Jestliže v podprostoru H existuje prvek h0 , který je nejlepším přiblížením prvku,

potom rozdíl f - h0 je ortogonální ke všem prvkům podprostoru H.

Předpokládejme opak, tedy, že existuje prvek , pro který .

Můžeme předpokládat, že norma prvku je rovna jedné. V opačném případě bychom vzali

místo prvku prvek . Studujme prvek a odhadneme normu prvku :

(24.18)

Odtud máme, že

(24.19)

což není možné, neboť byl podle předpokladu prvkem nejlepšího přiblížení.

Důsledek: V podprostoru H nemůžou existovat dva různé prvky nejlepšího přiblížení, tedy

takový prvek je jen jeden.

Předpokládejme, že pro prvek existují dva prvky nejlepšího přiblížení a

. Potom pro všechny prvky platí a také . Neboť

musí platit také a také . Proto platí

což znamená, že .

Jestliže podprostor je konečné dimenze n a jeho prvky jsou tedy lineárními

kombinacemi lineárně nezávislých prvků , potom na základě výsledků

předchozí kapitoly prvek nejlepšího přiblížení vždy existuje. Podle předchozího důsledku je

tento prvek pouze jeden. Pro konečně-dimensionální případ jeho jednoznačnost také plyne

také z toho, že Hilbertův prostor je přísně normovaným prostorem.

n

k

kn fsf1

222

1

22

k

kf

0h

Hhprohfinfhf 0

Hh 1 010 h,hf

1h

1h1

1

h

h102 hhh 2hf

101022

2

2 hhf,hhfhf,hfhf

11100100 h,hh,hfhf,hhf,hf 22

0

2

0 hfhf

2

0

2

2 hfhf

0h

Rf 0h

00 Hh Hh 00 h,hf 00 h,hf

Hhh 00 0000 hh,hf 0000 hh,hf

000000000000000

2

00 hh,hfhh,fhhh,hffhhh,hhhh

00 hh

nHH

nh,,....h,h:R 21

365

Sestrojení prvku nejlepšího přiblížení

Nyní studujme otázku, jakým způsobem prvek nejlepšího přiblížení zkonstruujeme.

Nechť prostor je generován prvky a je prvkem nejlepšího

přiblížení prvku v prostoru . Prvek jako prvek prostoru může být vyjádřen

jako lineární kombinace tvaru

(24.20)

V důsledku toho se úloha nalezení prvku nejlepší aproximace redukuje na nalezení

koeficientů . Výše jsme již ukázali, že pro prvek nejlepšího přiblížení

(aproximace) platí

pro všechny prvky (24.21)

a navíc předchozí vztah platí pouze pro tento prvek. Tento požadavek je ekvivalentní

s požadavkem, aby vztah platil pro n prvků generující prostor , tedy

pro (24.22)

Z předešlých podmínek dostáváme pro nalezení koeficientů soustavu lineárních

rovnic

………………………………………………. (24.23)

Determinant soustavy je Grammův determinant a protože prvky

jsou lineárně nezávislé, není roven nule a soustava má právě jedno řešení . Proto

je

(24.24)

Nyní nalezneme nejlepší přiblížení prvku f v , tedy hodnotu .

Pro tuto hodnotu dostáváme

(24.25)

je tedy

(24.26)

dosadíme-li do předchozího vztahu za součet ze vztahu (24.24), máme

(24.27)

Determinant

=0 (24.28)

je roven nule, neboť podle vztahů (24.23) a (24.27) je poslední sloupec determinantu lineární

kombinací prvního, až n-tého slupce. Rozvineme-li determinant (24.28) podle prvků

posledního

řádku, dostaneme, že

nH nh,....,h,h 21 0h

Rf nH 0h nH

nnh....hhh 22110

n,....,, 21

00 h,hf nHh

nH

00 ih,hf n,....,,i 21

n,....,, 21

11122111 h,fh,h....h,hh,h nn

22222211 h,fh,h....h,hh,h nn

nnnnnn h,fh,h....h,hh,h 2211

nh,....,h,hG 21 nh,....,h,h 21

n,....,, 21

n

i

iihh1

0

nH 0hf

f,hfh,hff,hfhf,hfhf 000000

2

0

2

f,hf,f 0

2

0h

2

2211 f,ff,h....f,hf,h nn

2

21

21

222221

111211

f,ff,h....f,hf,h

h,fh,h....h,hh,h

..........................................

h,fh,h....h,hh,h

h,fh,h....h,hh,h

n

nnnnn

n

n

366

(24.29)

Všimněme si, že pro je . Pro a budeme mít

to znamená, že (23.30)

Indukcí se dá lehce dokázat, že Grammův determinant systému lineárně nezávislých prvků

nabývá kladné hodnoty.

Sestrojení (nalezení) prvku nejlepšího přiblížení je zvláště jednoduché, když systém

prvků je ortonormálním systémem. V tomto případě soustava rovnic (H55) je

tvaru

(24.31)

to znamená, že jsou Fourierovými koeficienty prvku f v systému a

prvkem nejlepšího přiblížení je prvek

(24.32)

Hodnotu odchylky můžeme snadno vypočítat ze vztahů

(24.33)

Je tedy

(24.34)

Na závěr studujme v Hilbertově prostoru R úplný ortonormální systém prvků

a předpokládejme, že R je úplný Gilbertův prostor. Studujme posloupnost

podprostorů kde prostor je generován prvky . Pro

budeme postupně nacházet prvky nejlepšího přiblížení v . Prvkem

nejlepšího přiblížení prvku f v je k-tý částečný součet Fourierovy řady prvku f

vzhledem k ortonormálnímu systému . Odchylka nejlepšího přiblížení

(24.35)

konverguje k nule pro , a posloupnost konverguje k prvku f.

Galerkinova metoda

Rovnice používané pro předpověď počasí můžeme bez ztráty obecnosti psát ve tvaru

𝜕𝐹𝑖

𝜕𝑡= 𝐴𝑖(𝐹𝑗) , 𝑗 = 1, … , 𝐽

(24. 36)

Kde 𝐽 je počet prognostických proměnných 𝐹𝑗

𝐹𝑖 = 𝐹𝑖(𝑥, 𝑡) (24.37)

Kde x reprezentuje v třídimensionální prostorovou souřadnici a t čas.

n

n

h,...,h,hG

f,h,...,h,hG

21

212

1n 0111 h,hhG 2n fh 2

02

1

21 hG

h,hG 021 h,hG

nh,....,h,h 21

nn h,f

..............

h,f

h,f

22

11

n,...,, 21 nh,....,h,h 21

nnh....hhh 22110

nn

nn

....f

f,h....f,hf,hf,f

2211

2

2211

2

n

k

kf1

22

.....h,....,h,h n21

,....H,...H,H n21 nH ,....h,....,h,h n21

Rf ,....H,...H,H n21

kh0 kH

nh

k

k

kk f1

22

k k

h0

367

Pro meteorologické aplikace předpokládáme, že funkce 𝐹𝑖 jsou spojité hladké funkce i

se svými derivacemi. Operátory 𝐴𝑖 jsou obecně nelineární a zahrnují parciální derivace podle

prostorových proměnných, popřípadě i integrály vzhledem k prostorovým proměnným.

Při použití diferenčních metod používáme síť uzlových bodů (𝑥𝑝, 𝑡𝑞) , nazývanou též

pro některé metody kolokační sítí. Při použití diferenčních metod se nahrazují diferenciální

operátory jejich diferenčními aproximacemi s požadovaným řádem přesnosti.

Systém (24.36) můžeme nahradit novým systémem evolučních rovnic v bodech 𝑥𝑝, ve

kterých jsou zadány počáteční podmínky 𝐹𝑖(𝑥𝑝, 0).

Jako alternativou pole 𝐹𝑖 v každém časovém okamžiku jsou hladké funkce x, které

můžeme považovat za prvky lineárního (vektorového) prostoru H (Jako příklad uveďme

prostor všech spojitě diferencovatelných funkcí).

Nechť f a g jsou dvě funkce z lineárního prostoru H, pak můžeme definovat skalární

součin vztahem

(𝑓, 𝑔) = ∫ 𝑓𝑑𝑥

𝑆

(24.38)

kde je komplexně sdružené ke g a normu definujeme vztahem

‖𝑓‖ = √(𝑓, 𝑓) = ∫|𝑓|2𝑑𝑥

𝑆

12

(24.39)

Lineární prostor H zvolíme tak, aby s metrikou definovanou skalárním součinem byl

separabilní, tedy aby v něm existovala hustá spočetná base. Tento prostor H s takto

definovaným skalárním součinem se nazývá Hilbertův prostor. V takovém prostoru pak

můžeme každý prvek napsat jako lineární kombinaci konečného, nebo nekonečného součtu

prvků base.

Nyní předpokládejme, že v Hilbertově prostoru H máme množinou prvků 𝑒𝑚(𝑥),

která je ortonormální, tedy (𝑒𝑚, 𝑒𝑛) = 0 pro 𝑚 ≠ 𝑛 a (𝑒𝑚, 𝑒𝑚) = 1 a každý prvek F

Hilbertova prostoru H můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci prvků této množiny, tedy

𝐹 = ∑ 𝐹𝑚𝑒𝑚

𝑚∈𝑀

(24.40)

Tuto množina prvků budeme nazývat Hilbertovou basí i když tato množina M není obecně

konečná a basí rozumíme obvykle konečnou množinu. Hilbertův prostor je podle definice

separabilní a Hilbertova base by měla být tedy spočetná. Součet (23.40) můžeme v tomto

případě skutečně napsat ve tvaru řady. Je ovšem třeba napřed ukázat, že námi definovaný

prostor se skalárním součinem splňuje předpoklady Hilbertova prostoru. Koeficienty 𝐹𝑚

v součtu (24.40) jsou ortogonálními projekcemi F na podprostory generovanými prvky 𝑒𝑚,

jinými slovy

𝐹𝑚 = (𝐹, 𝑒𝑚) = ∫ 𝐹𝑒𝑚

𝑆

𝑑𝑥

368

(24.41)

Spektrální metoda v jednodimensionálním případě

Pro objasnění principů spektrální metody, provedeme výklad základních principů této metody

pro jednodimensionální problém

𝜕𝐹

𝜕𝑡= 𝐴(𝐹)

(24.42)

S počáteční podmínkou 𝐹(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).

Protože nemůžeme pracovat s nekonečným počtem složek, promítneme F na konečně-

dimensionální podprostor Hilbertova prostoru H. jehož basi tvoří prvky 𝑒𝑚(𝑥) pro 𝑚 =

1, … , 𝑀. Tato projekce se nazývá procedurou uřezávání (truncation procedure). Prvek F je

v tomto případě aproximován součtem

(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐹𝑚(𝑡)𝑒𝑚(𝑥)

𝑀

𝑚=1

(24.43)

Podle věty 8 je zároveň prvkem nejlepší aproximace v podprostoru , pro skalární součin

platí

((𝐹 − ), 𝑒𝑚) = 0 pro všechna 𝑚 = 1, … , 𝑀 (24.44)

rozdíl 𝐹 − je tedy kolmý ke všem prvkům podprostoru a pro prvek nabývá vzdálenost

‖𝐹 − ‖ od podprostoru minimální hodnotu.

Z ortogonality prvků 𝑒𝑚, ze vztahu (24.44) s použitím distribučního zákona pro

skalární součin také vyplývá, že vztahy (24.44) a (24.43) jsou ekvivalentní.

Dalším krokem je řešení rovnice (24.42) pro , tedy v podprostoru s počáteční

podmínkou 𝐹(𝑥, 0) = (𝑥. 0) ležící v podprostoru . To znamená, že levá i pravá strana

rovnice, musí ležet v podprostoru . A rovnici (24.42) zkusíme napsat ve tvaru

𝜕

𝜕𝑡= 𝐴()

(24.45)

Zde pro pravou stranu rovnice (23.42) vznikají dva problémy. Je třeba, aby pravá strana po

jejím vyhodnocení ležela v podprostoru , ale vzhledem k tomu že operátor A je nelineární

výsledek 𝐴() již obecně nemusí ležet v podprostoru . Pro funkce trigonometrických basí

jsme již viděli, že některé součiny těchto funkcí mají vyšší vlnová čísla a neleží již

v podprostoru . Druhým problémem je vyhodnocení operátoru 𝐴(), který obsahuje

součiny funkcí base a proto jej nemůžeme vyhodnotit ve spektrálním prostoru, což by bylo

přirozené. To je však možné jen v případě, když operátor A je lineární. Proto rovnici (24.45)

nahradíme rovnicí

𝜕

𝜕𝑡= 𝐴()

(24.46)

Ve které již pravá strana leží rovněž v podprostoru . Tato rovnice se nazývá rovnicí po

uřezání (truncated equation).

369

Ze vztahu (24.41) vyplývá, že předchozí vztah (24.46) je ekvivalentní se vztahem

𝑑𝐹𝑚

𝑑𝑡= 𝐴()

𝑚= (𝐴(), 𝑒𝑚(𝑥)) = ∫ 𝐴()𝑒𝑚(𝑥)

𝑆

𝑑𝑥

(24,47)

Je zřejmé, že toto je Galerkinova metoda s testovacími funkcemi 𝑒𝑚. Dostáváme tak systém

jednoduchých obyčejných diferenciálních rovnic, které lze řešit kvadraturami.

Poznamenejme, poněvadž 𝐴() neleží podprostoru je

𝑅() =𝜕

𝜕𝑡− 𝐴() ≠ 0

(24.48)

Při řešení rovnice (24.46) vzniká uřezáním na pravé straně chyba – residuum

𝑅() = 𝐴() − 𝐴()

(24.49)

které je rovněž nejlepším přiblížením pravé strany rovnice v podprostoru .

Dalším triviálním důsledkem vztahu (24.49) je, neboť 𝑒𝑚 jsou ortogonální, leží 𝑅()

v doplňku podprostoru , tedy v podprostoru 𝐻 − a proto je ortogonální ke všem prvkům

a tedy i k . Jinými slovy

(𝑅(), ) = ∫ 𝑅()𝑑𝑥 = 0

𝑠

(24.50)

Z této vlastnosti vyplývá mnoho důsledků důležitých pro další aplikace.

Jedním z důsledků je konvergence řešení uřezané rovnice k přesnému řešení. Pro Hilbertovu

basi prvků 𝑒𝑚 a libovolný prvek F z prostoru H platí Bessel-Parsevalova rovnost (24.17)

z které plyne

∑ |𝐹𝑚|2

𝑚∈𝑀

= ‖𝐹‖2

(23.51)

Protože je prvkem prostoru H je pro něj splněna obdobná Bessel-Parsevalova rovnost

∑ |𝐹𝑚|2

𝑀

𝑚=1

= ‖‖2

(24.52)

Odkud vyplývá, že když konverguje k H, pak konverguje stejnoměrně k F a 𝑅()

konverguje stejnoměrně k nule. Tedy, když počáteční podmínka 𝐹(𝑥, 0) je reprezentována

konečným rozvojem, pak řešení rovnice po uřezání (truncated equation)konverguje

k přesnému řešení, když konverguje k H.

Závěrem poznamenejme, protože 𝐹𝑚 je ze spektra funkce F, je odvozen název této metody

„spektrální metoda“.

Transformační metoda

Transformační metoda se používá, když hodnotu pravé strany rovnice (23.45)

nemůžeme vyhodnotit ve spektrálním prostoru. Tato metoda spočívá v tom, že v každém

370

časovém kroku provádíme transformaci ze spektrálního prostoru do fyzikálního prostoru a

zpět a to co nelze vyhodnotit ve spektrálním prostoru, vyhodnotíme v prostoru fyzikálním.

Podle operátoru pravé strany rovnice (24.42), můžeme uvažovat různé případy. Nejjednodušší

případ nastává, když operátor 𝐴(𝐹) je lineární. Pouze v tomto případě je možné hodnotu

operátoru vypočítat ve spektrálním prostoru. Tento lineární operátor označme 𝐿(𝐹).

Když do rovnice

𝑑𝐹𝑚

𝑑𝑡= 𝐴()

𝑚= (𝐴(), 𝑒𝑚(𝑥)) = ∫ 𝐴()𝑒𝑚(𝑥)

𝑆

𝑑𝑥

(24.53)

Dosadíme rozvoj (24.43) kde jsme změnili sčítací index na j

(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐹𝑗(𝑡)𝑒𝑗(𝑥)

𝑀

𝑗=1

(24.54)

Dostáváme s pomocí distributivního zákona pro skalární součin

𝑑𝐹𝑚

𝑑𝑡= (𝐿 (∑ 𝐹𝑖(𝑡)𝑒𝑗(𝑥)

𝑀

𝑗=1

) , 𝑒𝑚) = ∑ 𝐹𝑚(𝑡)

𝑀

𝑚=1

(𝐿(𝑒𝑗), 𝑒𝑚)

(24.55)

pro všechna 𝑚 = 1, … , 𝑀. Protože lineární kombinace bázových funkcí podprostoru leží

rovněž v tomto podprostoru, leží i pravá strana předchozí rovnice v tomto podprostoru a není

třeba dalšího uřezání jako v nelineárním případě. Navíc, jsou-li funkce prvky báze vlastními

funkcemi operátoru L, a platí tedy vztah 𝐿(𝑒𝑙) = 𝜆𝑙 kde 𝜆𝑙 jsou vlastními čísly lineárního

operátoru L pak se předchozí vztah redukuje na

𝑑𝐹𝑚

𝑑𝑡= 𝜆𝑚𝐹𝑚(𝑡)

(24.56)

čímž se soustava rozpadne na jednotlivé nezávisle rovnice. Právě tohoto efektu se používá

k řešení lineárních rovnic semiimplicitních schémat.

Nyní se vraťme k třírozměrnému případu. Rovnice meteorologie jsou složitější a

operátor A není lineární. Použití transformační metody si vyžaduje výpočet následujících

členů rovnic, které nejde vyčíslit ve spektrálním prostoru. Jsou to nelineární členy advekce,

popisující pohyb vzduchu větrem. Další člen rovnic, který obsahuje součin funkcí a není

možné vyčíslit ve spektrálním prostoru je Coriolosův člen a v poslední řadě jsou to pravé

strany rovnic, které jsou výsledkem fyzikálních parametrizací a ty jsou samozřejmě

vyhodnocovány ve fyzikálním prostoru. Proto je třeba v každém časovém kroku při integraci

provádět transformace do spektrálního prostoru a zpět. Časová numerická integrace je

založena na časové extrapolaci koeficientů rozvojů do spektrálních funkcí. Pro semiimplicitní

schéma rozdělíme operátor 𝐴(𝐹) na lineární část rovnic a na zbylou nelineární část,

obdobným způsobem jako u dříve studovaných diferenčních modelů. Semiimplicitní schéma

je také obvykle realizováno ve dvou krocích. Pomocí lineární části se provádí semiimplicitní

korekce kroku explicitního schématu. Rozdíl od diferenčních modelů spočívá v tom, že

371

semiimlicitní korekce se provádí ve spektrálním prostoru. V třírozměrném modelu se

spektrální metoda používá pouze pro aproximaci vzhledem k horizontálním proměnným

konformní mapy nebo v globálních modelech pro geografické souřadnice. Ve vertikálním

směru a pro časové derivace je používána metoda diferencí. Semiimplicitní schéma je

založeno na tom, že členy popisující gravitační vlny jsou aproximovány implicitně. Jsou to

složky horizontálního větru a složky linearizovaného horizontálního gradientu tlaku. Tato

implicitní část rovnic je stejně jako v diferenčních modelech převedena na třírozměrnou

diskrétní okrajovou úlohu pro jedinou proměnnou buďto divergenci horizontálního větru nebo

v některých modelech na výpočet geopotenciálu. V rovnicích semiimplicitní korekce se

v horizontální rovině souřadnic x, y figuruje vždy Laplaceův operátor. Protože bázové funkce

jsou vybrány tak, že jsou vlastními funkcemi Laplaceova operátoru, se systém lineárních

rovnic redukuje na jednotlivé nezávislé rovnice, tak, že pro každý uzlový bod horizontální sítě

dostaneme soustavu rovnic pro hodnoty spektrálních koeicientů v uzlových bodech vertikální

sítě. Takto vzniklé lineární rovnice nejsou velké, protože modely ve vertikálním směru mívají

obvykle kolem třiceti vrstev. Řešení rovnic semiimplicitní korekce je v jistém smyslu

obdobou metody redukce dimenze kterou jsme použili pro řešení rovnic semiimplicitních

schémat diferenčních modelů. Zde jsme řešení soustavy pro semiimplicitní korekci převedli

na řešení jednodušších soustav v horizontálním směru. Ve spektrální metodě je to naopak.

Použitím spektra rovnic v horizontálním směru redukujeme úlohu hned o dvě dimenze na

rovnice ve směru vertikálním.

Určitým problémem při realizaci modelu s Fourierovou goniometrickou bází je, že

Laplaceův operátor v souřadnicích konformní mapy má součinitel čtverec zkreslení mapy,

který je funkcí souřadnic x, y. Proto model ALADIN není počítán na příliš rozsáhlé oblasti a

pro výpočet byla zvolena optimální Lambertova mapa, jejíž zkreslení je v celé oblasti blízké

jedné. Tento problém se dá asi také odstranit linearizací divergence, tak jako je to popsáno

v odstavci 19.4 „Semiimplicitní schéma se separabilní okrajovou úlohou“. Není to však velký

problém, neboť se vlastně týká malých změn v difúzi divergence. V globálních modelech má

ve sférických souřadnicích Laplaceův operátor ovšem jiný tvar a jiné spektrum, které tvoří

sférické harmonické funkce. Transformace ve směru rovnoběžek používá stejně FFT, ale ve

směru poledníků Legendreovu transformaci. Ta je však pro velké rozlišení neefektivní. Pro

menší rozlišení je tato metoda však relativně velmi přesná a v globálních modelech

nejpoužívanější.

První verse modelu ALADIN byla čistě Eulerovská a derivace pro advekční členy

byly vyhodnocovány ve spektrálním prostoru. Tento způsob výpočtu zaručuje nejmenší chyby

fázové rychlosti při advekci a téměř úplně eliminuje početní dispersi. Tento způsob je sice

velmi přesný, ale nedovoluje při časové integraci použít tak dlouhý krok jako při použití semi-

Lagrangeovského schématu. Použitím semi-Lagrangeovského schématu, kde se celá advekce

počítá ve fyzikálním prostoru je model efektivnější. Ve spektrálním prostoru je tedy řešena

vlnová část modelu a jsou řešeny soustavy rovnic semiimplicitní korekce. Podrobný popis

spektrálního modelu na omezené oblasti je v 25. Kapitole.

Literatura

[1] Berezin I. S., Židkov N. P.: Metody vyčislenij, Tom I. Moskva 1962.

[2] Fletcher C. A. J.: Computational Galerkin Methods, Springer-Verlag 1984.

372

[3] Gottlieb D., Orszag S.: Numerical Analyzis of Spectral Methods: Theory and

Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia,

Pennsylvania19103 (1977), 172 stran.

[4] Jarraut M., Simmons A. J.: The Spectral Technique, Numerical methods for Weather

Prediction, ECMWF – Reading, U. K. Seminar September 1983. pp. 1-59.

373

25. Finitní Fourierova transformace

Úvod

V této kapitole se budeme zabývat finitní Fourierovou transformací, která je v české

literatuře nazývána též diskrétní Fourierovou transformací. Budeme používat raději první

termín, protože odpovídá obvyklé anglické zkratce FFT. Je třeba poznamenat, že tato zkratka

termínu „Finite Fourier Transform“, hojně používaná v anglické literatuře je shodná se

zkratkou anglického pojmu „Fast Fourier Transform“ čemuž v češtině odpovídá termín

„rychlá Fourierova transformace“. Tímto termínem jsou míněny efektivní algoritmy, které

finitní Fourierovu transformaci realizují, proto nemůže dojít k nedorozumění a lze pro oba

termíny používat stejnou zkratku. FFT je jeden z nejpoužívanějších algoritmů v numerické

matematice a přírodních vědách vůbec. V numerické matematice se používá jednak ve

spektrálních metodách řešení diferenciálních rovnic a také při řešení velkých soustav

lineárních rovnic vzniklých při diskretizaci parciálních diferenciálních rovnic. Ve fyzice a

přírodních i technických vědách se používá ke studiu vln a periodických jevů i hledání

periodičnosti v časových řadách (například v klimatologii).

Obdobně jako existuje spektrální teorie funkcí definovaných na kontinuu – reálné přímce,

kterou se zabývá matematická analýza, Fourierovou transformací na nekonečném intervalu a

Fourierovými řadami pro periodické funkce, lze spektrální teorii studovat též pro konečné

posloupnosti, které můžeme považovat také za nekonečné periodické posloupnosti. Chceme-li

si však všimnout vztahu této teorie k matematické analýze, můžeme si představit, že tyto

posloupnosti jsou tvořeny hodnotami periodické funkce na diskrétní síti uzlových bodů

přímky tvořící osu souřadnic, nebo též na diskrétní síti definované na kružnici. Celá teorie

FFT je však definována a vybudována na algebraickém základě, bez použití matematické

analýzy, neboť se jedná o teorii konečných periodických posloupností hodnot.

Vlastnosti N-té komplexní odmocniny jedničky

Obrázek 25.1 N-té komplexní odmocniny jedničky zobrazené v Gaussově rovině pro N sudé.

374

N-tou komplexní odmocninou jedničky nazýváme čísla , pro která je .

Položme

(25.1)

což je komplexní odmocnina jedné s nejmenším od nuly různým kladným

argumentem (úhlem vzhledem k reálné ose). Tato odmocnina (25.1) je ovšem různá od reálné

hodnoty 1, která je sama také jednou z N-tých odmocnin jedné. Všechny odmocniny z jedné

můžeme psát jako mocniny , kde j je celé číslo, neboť podle (4.1) je a tedy také

jsou komplexní odmocniny 1. N komplexních jednotek

s nejmenšími argumenty jsou tedy . Tyto hodnoty si můžeme

v Gaussově rovině zobrazit na jednotkové kružnici. Jejich argumenty jsou celé násobky úhlu

. Všechny odmocniny z jedné leží tedy na jednotkové kružnici (fázový diagram) a jsou

tvaru , kde j probíhá celá čísla například čísla j=0,1,… , N-1 , nebo též j=1,2….,N.

Z hlediska algebry jsou obě předchozí posloupnosti N-tých odmocnin jedné stejné. V dalším

však uvidíme, že v aplikacích, díváme-li se na tyto posloupnosti komplexních čísel jako na

hodnoty funkcí na diskrétní síti bodů, je situace jiná. Všimněme si ještě, že posloupnosti

jsou periodické s periodou N, neboť a tudíž pro

každé celé k.

Lemma 1: Pro a je .

Tato suma je součtem konečné geometrické řady s kvocientem , je tedy

, neboť čitatel je roven 0

a jmenovatel je od 0 různý, neboť podle předpokladů věty je .

Pomocí tohoto lemmatu můžeme dokázat následující tvrzení:

Věta 1 : Vektory

a (25.2)

(25.3)

jsou pro ortogonální a platí

(25.4)

.

(25.5)

Všimněme si ještě některých vztahů, které platí pro N-té odmocniny z jedné:

jsou čísla komplexně sdružená, tedy

(25.6)

pro N sudé je

1N

NiNNiW /2sin/2cos/2exp

jW 1NW

1jNjNNj WWW

1132 NN W,W,...,W,W,W

N/2jW

jW

1kNkN WW

jkNjkNj WWWW

0k Nnásobkůodk

1

0

0N

j

kjW

kW

01

1...1

11

12

k

NkNkkk

W

WWWW

1kW

nNnnjn WWWW 12 ,...,,,1

mNmmjm WWWW 12 ,...,,,1

mn

mnproWWN

j

jmjn

01

0

mnproNWWWN

j

N

j

jmjn

1

0

01

0

kNkk WWaW kk WW

~

375

je reálné, a tedy

(25.7)

Pro N sudé znamená násobení číslem přičtení k argumentu N/2

a tedy otočení o 180 stupňů.

Finitní Fourieriva transformace

Definice: Přímou finitní Fourierovou transformací, zkratka FFT, označme F

definujeme jako zobrazení, které konečné posloupnosti N komplexních čísel

přiřazuje posloupnost N komplexních čísel

danou vztahem

(25.8)

Obdobně definujeme i inversní finitní Fourierovu transformaci vztahem

(25.9)

Pro některé teoretické úvahy je výhodné psát FFT v maticovém tvaru, při čemž konečné

posloupnosti píšeme jako vektory-sloupce. Tedy X = a

A = , kde index T nahoře znamená transponovanou matici, tedy

v našem případě vektor.

Přímou finitní Fourierovu transformaci pak můžeme psát ve tvaru:

(25.10)

Matici této transformace včetně faktoru 1/N označme W a všimněme si, že tato matice je

symetrická, je tedy není však hermitovská, neplatí tedy , kde vlnkou je

označena matice, jejíž prvky jsou čísla komplexně sdružená.

Inversní finitní Fourierovu transformaci můžeme psát rovněž v maticovém tvaru:

(25.11)

12/ NW k/NK/Nk WWWW 22

12/ NW

1,..,1,0, NjjX 1,...,1,0, NnnA

1,...,1,01 1

0

NnWjXN

nA jnN

j

1F

1

0

1,...,1,0N

n

nj NjWnAjX

T)N(X),...,(X),(X 110

TnAAA )1(),...,1(),0(

)1(

)3(

)2(

)1(

)0(

1

1

1

1

11111

1

)1(

)3(

)2(

)1(

)0(

)1)(1()1(3)1(2)1(

)1(3963

)1(2642

)1(321

NX

X

X

X

X

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

N

NA

A

A

A

A

NNNNN

N

N

N

WW TWW~T

)1(

)3(

)2(

)1(

)0(

1

1

1

1

11111

)1(

)3(

)2(

)1(

)0(

)1)(1()1(3)1(21

)1(3963

)1(2642

132

NA

A

A

A

A

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

NX

X

X

X

X

NNNNN

N

N

N

376

Tato matice je rovněž symetrická a označme ji . Všimněme si, že tato matice až na faktor

1/N je tvořena komplexně sdruženými hodnotami matice W.

Z ortogonality řádků a sloupců matic W a vyplývá, že tyto matice jsou opravdu inversní.

Viz paragraf 4.1, věta 1. Vlastnosti N-té komplexní odmocniny jedničky, a tím také přímá a

inversní finitní Fourierova transformace, jak byly definovány, jsou k sobě opravdu

transformacemi inversními.

Z definice Fourierovy transformace F a a periodičnosti komplexních odmocnin

z jedné, které jsou vyplývá, že posloupnosti definované FFT můžeme

považovat definované pro všechna celá čísla n a j. Periodičnost těchto posloupností můžeme

vyjádřit vztahy:

(25.12)

(25.13)

Proto pro použití FFT často uvažujeme posloupnosti A a X definované pro všechny

celočíselné hodnoty. Tyto posloupnosti jsou ovšem periodické s periodou N. Posloupnosti

můžeme považovat za zadané v diskrétních bodech ležících na kružnici, čímž

vynikne ještě více jejich periodičnost. Speciálním případem periodičnosti jsou pak vztahy

a .

(25.15)

Při tomto pojetí FFT, kdy posloupnosti považujeme za nekonečné a periodické, pro

určení celé posloupnosti ve skutečnosti stačí N za sebou jdoucích prvků posloupnosti.

V tomto případě se mluví o „posunutých kopiích“ FFT. Proto stačí definovat pro

. Ostatní konečné posloupnosti, například když je definováno pro

kde k je libovolné nenulové celé číslo nazýváme

posunutými kopiemi FFT. Z algebraického hlediska není mezi oběma transformacemi rozdíl,

avšak pro aplikace může být rozdíl velký.

Studujme například úlohu ve které máme sestrojit funkci (křivku) definovanou

konstantní posloupností na diskrétní síti uzlových bodů .

Dosadíme-li hodnotu c do vztahu pro přímou FFT

pak podle lemmatu z paragrafu 4.1. je a .

Když zpětnou FFT použijeme pro spojitý argument a dosadíme tento výsledek do zpětné

FFT (4.9) máme

Dosadíme v tomto případě , což očekáváme.

1W

1W

1F

jW )()( jXanA

)()( kNjXjX ,...)2,1,0( k

)()( kNnAnA ,...)2,1,0( k

)()( jXanA

)()( jNXjX )()( nNAnA

)(nA

1...,,1,0 Nn )(nA

)1(...,,2,1, Nkkkkn

X

cjX )( 1...,,1,0),( Njj

1

0

1

0

1)(

N

j

N

j

jnjn WN

ccW

NnA

1,...10)( NnpronA cA )0(

1

0

0 00N

n

n cAWAWnAX

cX

377

Definujeme-li nyní diskrétní komplexní transformaci tak, že ve vztahu (4.9) necháme

probíhat a místo původně definované inversní FFT vztahem (4.9) budeme

sčítat pro n od 1 do N , tedy

(25.16)

pak po dosazení spojitého argumentu do této transformace máme

při inversní transformaci jsme použili jednu z jejích posunutých kopií, a proto jsme obdrželi

že . Uvažujeme-li tedy jako funkci, která je definována hodnotami

v uzlových bodech , pak v prvním případě dostáváme funkci

pro všechny hodnoty , v druhém případě máme , která mimo

uzlové body nabývá zcela jiných hodnot (pro reálnou posloupnost sinusoidu místo konstantní

funkce). Proto pro některé aplikace (například spektrální metody) je třeba požadovat, aby

bylo vyjádřeno pomocí komplexních exponenciálních funkcí s minimálními vlnovými

čísly. V tomto případě je přímá finitní Fourierova transformace definována stejně jako

výše, tedy vztahem

(25.17)

avšak zpětnou Fourierovu transformaci je třeba definovat vztahy:

pro N sudé

(25.18)

pro N liché

(25.19)

Jak uvidíme dále, má pro aplikace význam zejména první vztah, neboť v aplikacích můžeme

požadovat, aby N bylo sudé.

Poznámka :

Terminologie týkající se finitní, neboli diskrétní Fourierovy transformace není zcela

ustálena. Definice finitní Fourierovy transformace daná vztahy (25.8) a (25.9) je převzata ze

článku Cooley- Lewis-Welch [1]. P. N. Swarztrauber z NCAR [2] takto definovanou

transformaci nazývá diskrétní komplexní periodickou transformací s posunutými

kopiemi, kde ještě na rozdíl ve vztahu (25.9) je součet ,místo od 0 do N-1 uvažuje součet od 1

do N. Diskrétní komplexní periodická Fourierova transformace je pak definována

definována vztahy (25.17), (25.18), (25.19). Clive Temperton z ECMWF [3] definuje FFT

stejnými vztahy (25.8) a (25.9), ale (25.9) nazývá přímou FFT a (25.8) inversní transformací,

tedy opačně, než předchozí autoři.

N,...,,n 21

N

n

nj N,...,,jWnAjX1

110

N

n

Nn iNexpcWNAWnAX1

0

iNcX exp)( )(X

1...,,1,0),( Njj

cX )( iNcX exp)(

)( jX

1,...,1,01 1

0

NnWjXN

nA jnN

j

2/

12/

1,...,1,0N

Nn

nj NjWnAjX

2/)1(

2/)1(

1,...,1,0N

Nn

nj NjWnAjX

378

Vlastnosti Fourierovy transformace a posloupností A(n) a X(j)

Definice: Řekneme, že dvě posloupnosti tvoří Fourierovu dvojici, nebo obšírněji

dvojici při FFT, jestliže splňují vztahy uvedené v definici FFT. Pro tuto dvojici zavedeme

označení

(25.20)

Věta 1 : FFT je lineární transformací, tj. je-li

a

(25.21)

pak pro libovolné komplexní konstanty a a b platí

(25.22)

Věta vyplývá ihned z definice FFT.

Abychom mohli formulovat další výsledky o FFT , označme číslo komplexně sdružené

ke komplexnímu číslu .

Věta 2 : Když , pak je

.

(25.23)

Důkaz : Podle definice inverzní FFT je

nahradíme-li v předchozím vztahu j za –j máme

V tomto vztahu položme m=-n , pak

Z periodičnosti funkce a funkce vyplývá, že součet přes periodu

je týž jako přes periodu a proto máme

.

Čímž je důkaz završen. Důkaz je však poněkud nepřehledný, pro názornost i celkové

pochopení problému si ukážeme maticovou interpretaci důkazu.

Jako i v původní versi důkazu vyjdeme z inversní transformace , které odpovídá

maticový zápis (25.11) . Přehodíme nyní pořadí řádků matice na opačné. Tím vznikne i

opačné pořadí prvků vektoru x na levé straně a obdržíme

)()( nAjX

)()( 11 nAjX )()( 22 nAjX

)()()()( 2121 nbAnaAjbXjaX

)(~jY

)( jY

)()( nAjX

)()( nAjX

1

0

1,...,1,0N

n

nj NjWnAjX

1

0

N

n

njWnAjX

)1(

0

N

m

mjWmAjX

)( mA mjW 0),1( N

)1,0( N

1

0

N

m

mjWmAjX

1F1W

379

Nyní použijeme periodičnosti složek vektorů i prvků matice . Od indexu složek vektoru

X odečteme N. Tím se hodnoty vektoru nezmění. Prvek matice stojící v k-tém sloupci a j-tém

řádku je W s exponentem (N-j)(k-1), (k-1 probíhá tedy čísla 0,…,N-1). Od tohoto exponentu

odečteme (k-1)N. Protože je rovněž .

S použitím předchozího vztahu máme

Poslední složka vektoru X(-N) je následkem periodičnosti rovna X(0) a poslední řádek matice

předchozího vztahu se skládá ze samých jedniček. Dáme-li poslední složku vektoru X na

první místo a rovněž poslední řádek matice jako první dostaneme vztah

Všimněte si, že matice předchozího vztahu je až na faktor 1/N shodná s maticí W přímé FFT

.Podobnou úpravu jako jsme provedli na řádky matice a vektor X provedeme nyní na sloupce

matice a vektor A. Postupně tak obdržíme vztah

což bylo dokázat.

)1(

)2(

)3(

)1(

)0(

1111

1

1

1

1

)0(

)1(

)2(

)2(

)1(

12

)1(242

)2)(1()2(22

)1)(1()1(21

NA

NA

NA

A

A

WWW

WWW

WWW

WWW

X

X

X

NX

NX

N

N

NNNN

NNNN

1W

11 NkW 1111 kjkNkjNkjN WWW

)1(

)2(

)2(

)1(

)0(

1

1

1

1

1

)(

))1((

)3(

)2(

)1(

)1(32

)1)(1()1(3)1(2)1(

)1(3963

)1(2642

)1(321

NA

NA

A

A

A

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

WWWW

NX

NX

X

X

X

NNNNN

NNNNN

N

N

N

)1(

)2(

)1(

)0(

1

1

1

1111

)1((

)2(

)1(

)0(

)1)(1()1()1(

)1(242

)1(21

NA

A

A

A

WWW

WWW

WWW

NX

X

X

X

NNNN

N

N

)N(A

)(A

)(A

)(A

)N((X

)(X

)(X

)(X

1

2

1

0

1

2

1

0

1W

380

S použitím periodičnosti můžeme také psát

.

(25.24)

Interpretujeme-li proměnnou j jako čas, pak z věty 2 vyplývá, že FFT není vzhledem k času

reversibilní. Tato vlastnost FFT se stane jasnou v dalším textu ve spojitosti s konvolucí

(convolution) a operací fázového zpoždění (fázového zpětného posuvu - zdvihu) (lagged-

product opertions).

Definice: Řekneme, že posloupnost je sudá, když , obdobně řekneme,

že posloupnost je lichá, když .

Z věty 2 ihned plyne :

Důsledek 1 : je sudá, právě když je sudá,

je lichá, právě když je lichá.

Důkaz: Nechť , pak podle Věty 2 je též .

Nyní je-li například sudá, pak je a z jednoznačnosti FFT

musí být též .

Posloupnosti a jsou periodické s periodou N. Nyní, když je sudá a

periodická s periodou N , pak . Když posloupnost je lichá a

periodická s periodou N, pak . Proto na intervalu

sudost a lichost posloupností a znamená symetrii ( resp. antisymetrii) mezi

hodnotami pro index j a N-j.

Nyní budeme studovat vztah mezi FFT posloupnosti FFT posloupnosti

skládající se z členů komplexně sdružených .

Věta 3 : Když

(25.25)

pak

(25.26)

a též

.

(25.27)

Důkaz: Podle definice obrácené FFT (25.9) máme

Použijeme-li nyní následujících vztahů mezi komplexně sdruženými veličinami

(25.28)

)()( jNXjX

)( jY )()( jYjY

)()( jYjY

)( jX )(nA

)( jX )(nA

)()( nAjX )()( nAjX

)( jX )()( jXjX

)()( nAnA

)( jX )(nA )( jY

)()()( jNYjYjY )( jY

)()()( jNYjYjY 1,0 N

)( jX )(nA

)( jX

)(~jX

)()( nAjX

)(~

)(~

nAjX

)(~

)(~

nAjX

1

0

1,...,1,0N

n

nj NjWnAjX

jnjn WWjajabaab ~

,)()(,.

381

máme

Položíme-li nyní v tomto vztahu , pak

Z periodičnosti funkce a funkce vyplývá, že součet přes periodu je

týž jako přes periodu a proto máme

Což je důkaz první poloviny věty. Druhá plyne ihned z Věty 2.

Důsledek 2 :

je reálná právě když

je reálná právě když

je ryze imaginární právě když

je ryze imaginární právě když

Důkaz:

Předpokládejme, že je reálná, pak a podle věty 3 .

Předpokládejme, že , pak podle věty 3 je a je reálná.

Předpokládejme, že je ryze imaginární, pak a podle věty 3

. Předpokládejme že , pak podle věty 3 je a

je ryze imaginární.

Zbylá dvě tvrzení se dokazují obdobně.

Důsledek 3 :

je reálná a sudá, právě když je reálná a sudá.

je reálná a lichá, právě když je ryze imaginární a lichá.

je ryze imaginární a sudá, právě když je ryze imaginární a sudá.

je ryze imaginární a lichá, právě když je reálná a lichá.

Důkaz :

Předpokládejme, že je reálná a sudá, podle Důsledku 1 je sudá. Podle Důsledku 2

je . Neboť a zároveň je , je též a

je reálná. Opačná implikace se dokáže stejně. Zbylá tři tvrzení se dokáží obdobně.

S použitím lineárnosti transformace a Důsledku 2 snadno ukážeme, jak můžeme obdržet

současně dvě reálné transformace. Nechť a jsou reálné posloupnosti a nechť

1

0

)(~

)(~ N

n

njWnAjX

nm

)1(

0

)(~

)(~ N

m

mjWmAjX

)( mA mjW 0,1 N

)1,0( N

1

0

)(~

)(~ N

m

mjWmAjX

jX nNAnAnA ~~

)(nA )(~

)(~

)( jNXjXjX

)( jX nNAnAnA ~~

)(nA )(~

)(~

)( jNXjXjX

)( jX )(~

)( jXjX )(~

)( nAnA

)(~

)( nAnA )(~

)( jXjX )( jX

)( jX )(~

)( jXjX

)(~

)( nAnA )(~

)( nAnA )(~

)( jXjX

)( jX

)( jX )(nA

)( jX )(nA

)( jX )(nA

)( jX )(nA

)( jX )(nA

nAnA ~

)()( nAnA nAnA ~

nAnA~

)(nA

jX1 jX 2

382

a . Vytvořme funkci a nechť

je její transformace, pak z lineárnosti transformace máme

Je zřejmé, že

a tedy

Protože a jsou reálné máme podle Důsledku 2 že a také

můžeme vztah pro psát ve tvaru

Kombinujeme-li tento vztah se vztahem pro , dostaneme pro a vztahy

a

Poznamenejme, že v elektrotechnice, kde se studuje vlnění v závislosti na čase,

představuje proměnná – index j časovou osu, zatímco n frekvenční osu. Pro spektrální metody

pak j je indexem bodů v síti na prostorové ose kartézských souřadnic a n stejně osou

frekvenční.

V teorii FFT by se daly studovat další problémy časový posun, konvoluce,

Parsevalovu větu a algoritmy, kterými se FFT realizuje. Realizace rychlých algoritmů FFT

tvoří dnes velmi rozsáhlou teorii. Pro aplikace můžeme tyto algoritmy používat, aniž bychom

je detailně znali. Pro spektrální metody je vhodné použít algoritmy vytvořené speciálně pro

transformace reálných posloupností. Je třeba ovšem vědět, že rychlost algoritmů realizujících

FFT závisí na délce – počtu členů N posloupnosti, kterou transformujeme. První algoritmy

FFT byly pouze pro N, které je mocninou čísla 2, tedy . Tato posloupnost je však

zejména pro větší N dosti „řídká“ (N se pak zvětšuje o příliš velký krok). Druhým extrémem

by bylo, použití algoritmu FFT pro zcela libovolné N. Takový algoritmus vyvinul Richard

Singlton [3], jeho obecnost je zajímavá avšak poněkud zbytečná, protože rychlost

transformací závisí na tom, aby N bylo součinem co možná největšího počtu prvočinitelů. Je-

li N prvočíslo, pak FFT je stejné, jako násobení maticí transformace, protože v tomto případě

není možné transformaci zrychlit. Rychlost algoritmů FFT se projeví zejména pro větší

hodnoty N. Pro algoritmy kde je celkový počet početních operací úměrný číslu

, zatímco počet operací při násobení maticí transformace je úměrný . Pro

aplikace v meteorologii Clive Temperton z ECMWF (European Centre for Medium Range

Weather Forecasts) sestavil a naprogramoval algoritmy FFT pro transformaci reálných

posloupností pro N sudé, které je součinem mocnin čísel 2, 3 a 5, tedy ve tvaru ,

kde p,q,r jsou celá nezáporná čísla a . Čísla N takto definovaná vytvářejí dostatečně

možností pro použití aplikací.

nAjX 11 nAjX 22 jiXjXjX 21 nA

niAnAnA 21

nNiAnNAnNA 21

nNA~

inNA~

nNA~

i~

nNA~

nNA~

211

jX jX 2 nAnNA

~1

nAnNA~

22 nNA~

niAnAnNA~

21

nA nA1 nA2

21

nNA~

nAnA

2

2

nNA~

nAnA

lN 2

lN 2

NlogN 2

2 3N

rqpN 532

1p

383

Literatura:

[1] Cooley J.W., Lewis P. A. W., Welch P.D.: The Finite Fourier Transform,

IEEE Transition on Audio and Electroacoustic Vol. 17, No 2, s.77 – 85.

[2] Swartztrauber P.N. in: Parallel Computations ed. G. Rodrigue, Academic Press 1982.

[3] Singleton Richard C.: An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier

Transform. IEEE Transition on Audio and Electroacoustic Vol. 17, No 2, s. 93-103.

[4] Temperton Clive : Fast Mixed-Radix Fourier Transforms.

Journal of Computational Physics 52, 340-350 (1983)

384

26. Spektrální model na omezené oblasti a principy modelu ALADIN Globální modely a spektrální metoda

Spektrální metoda svou přesností a svou vysokou efektivností se velmi osvědčila pro

časovou integraci globálních meteorologických modelů. Je třeba ovšem říct, že tyto modely

pracovaly s menším rozlišením, to bylo obvykle 64 vln na rovnoběžce, což bylo dáno

výkonem počítačů. Po příchodu velmi výkonných superpočítačů se ve velkých centrech jako

je ECMWF rozlišení zvyšovalo až na přibližně 250 vln na rovnoběžce. Při tomto rozlišení

není spektrální metoda již tak efektivní, protože transformace do spektrálního prostoru a zpět

zabírají celou polovinu výpočetního času. Je to proto, že globální modely používají sférické

souřadnice a ve spektrálním prostoru používají sférické harmonické funkce. V tomto případě

se ve směru rovnoběžek při transformaci do spektrálního prostoru a zpět používá FFT, která

efektivní je, ve směru poledníků se však používá Legendreova transformace, jejíž náročnost

na výpočetní čas rychle vzrůstá s počtem uzlových bodů. Ukázalo se tedy, že spektrální

metoda použitá v globálních modelech je přesná a zároveň do určitého rozlišení i vysoce

efektivní. V současné době proto většina provozních globálních modelů používá právě

spektrální metodu, která je pro rozlišení těchto modelů adekvátní. Spektrální metoda se ovšem

ve všech modelech používá pro popis proměnných pouze vzhledem k horizontálním nezávisle

proměnným. Tam totiž po aproximaci vzniká při časové integraci největší chyba, a to při

aproximaci nelineární advekce, kterou je možné spektrální metodou eliminovat, aniž bychom

musili podstatně zvětšit počet uzlových bodů v horizontální rovině. Zvýšený důraz na

aproximaci v horizontální rovině odpovídá také tomu, že se jedná o modely v hydrostatické

aproximaci, kde rovnice hybnosti ve vertikálním směru je zanedbáním členů zjednodušena na

hydrostatickou rovnici. Pole větru je takovém modelu popsáno pouze horizontálními složkami

větru. Ve směru vertikály se hybnost neuvažuje a v rovnicích nejsou tedy členy nelineární

advekce hybnosti. Vertikální rychlost je pak diagnostickou, nikoliv prognostickou veličinou a

je dána rovnicí kontinuity. Pro aproximaci ve vertikálním směru pak pro dostatečnou

přesnost, stačí použít konečné diference, i když pro tuto aproximaci byla vyzkoušena také

metoda konečných prvků.

Pro spektrální metody používané v meteorologii je typickou vlastností, že se provádí

transformace reálných funkcí, obvykle dvou prostorových proměnných, abychom dostali

jejich spektrální reprezentaci, tedy jejich vyjádření ve spektrálním prostoru. Je zřejmé, že

potřebujeme také jejich zpětnou transformaci do fyzikálního prostoru, což znamená výpočet

hodnot těchto funkcí na diskrétní síti uzlových bodů. Tato síť se obvykle v matematice nazývá

kolokační sítí. Pro časovou integraci meteorologických modelů je charakteristické, že tato

transformace do spektrálního prostoru a zpět se provádí při integraci v každém časovém

kroku. Je to proto, že rovnice meteorologických modelů jsou nelineární a ve spektrálním

prostoru nemůžeme počítat součiny funkcí a pravé strany rovnic, které jsou dány fyzikálními

parametrizacemi. Ve spektrálním prostoru se počítají derivace funkcí podle horizontálních

prostorových nezávisle proměnných, důsledkem čehož je právě vysoká přesnost spektrálních

metod a ve spektrálním prostoru jsou také velmi efektivně řešeny soustavy lineárních rovnic,

vzniklé při semi-implicitní časové aproximaci. Postup výpočtu, při kterém se v každém

časovém kroku provádí transformace do spektrálního prostoru a zpět navrhl Ország, a tato

metoda je nazývána transformační metodou.

385

26.1. Problémy spektrální metody na omezené oblasti

Hlavním problémem spektrální metody na omezené oblasti je Gibbsův efekt.

O použití spektrální techniky, která se tak dobře osvědčila pro řešení rovnic globálních

modelů, pro její velmi malou chybu fázové rychlosti vln v modelu, se uvažovalo již poměrně

dlouho, v podstatě od úspěšného použití transformační spektrální metody pro globální modely

(tj. druhé poloviny 70. let). Při mém studijním pobytu na univerzitě v Kodani v roce 1979 mi

pan profesor Bennert Machenhauer, v té době přední představitel spektrálního modelování v

oblasti globálních modelů, řekl, že by chtěl použít spektrální techniku založenou na diskrétní

Fourierově transformaci i pro modely na omezené oblasti. Již tehdy jsme měli diskusi o

jednom z hlavních problémů použití této techniky pro modely na konečné oblasti, který

spočívá v tom, že reprezentace funkcí pomocí konečných součtů Fourierovy řady se vzhledem

k periodičnosti goniometrických funkcí hodí pouze pro periodické funkce, ale prognostické

proměnné na omezené oblasti vzhledem k systému horizontálních souřadnic (jak sférických,

tak souřadnic konformní mapy) periodické nejsou. Tím se předpověď na omezené oblasti

matematicky podstatně liší od globální předpovědi na celé zeměkouli, kde prognostické

proměnné jsou periodickými funkcemi sférických souřadnic. Vzniká tedy otázka, jak tento

problém obejít. Abychom si tento problém snáze vysvětlili, omezíme se zatím pro

jednoduchost na jednodimensionální případ. Máme-li spojitou, hladkou funkci 𝑓(𝑥)

definovanou na konečném uzavřeném intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩, můžeme ji rozšířit na periodickou

funkci 𝐺(𝑥), tím, že pro každé celé k a pro 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 položíme 𝐺(𝑥 + 𝑘(𝑏 − 𝑎)) = 𝑓(𝑥).

Tedy graf funkce 𝑓(𝑥) nad osou x opakujeme. Můžeme si také představit, že interval ⟨𝑎, 𝑏⟩

leží na kružnici, a bod a je totožný s bodem b, tedy interval pokrývá celou kružnici. Nyní

vzniká problém, jakou hodnotu funkce 𝐺(𝑥) zvolit v bodě a, neboli též b. Jestliže 𝑓(𝑎) =

𝑓(𝑏) můžeme položit 𝐺(𝑎) = 𝐺(𝑏) = 𝑓(𝑎) a periodická funkce 𝐺(𝑥) je definována všude a

je spojitá v bodě a resp. b. Jestliže derivace funkce 𝑓(𝑥) zprava v bodě a je rovna derivaci

zleva v bodě b, pak funkce 𝐺(𝑥) má derivaci v bodě a a je tedy je všude hladká. Spojitost a

hladkost funkce je důležitá pro rychlost konvergence Fourierovy řady. Jestliže 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏),

má funkce 𝐺(𝑥) v bodech a resp. b skok, pak z hlediska konvergence Fourierových řad je

nejvýhodnější hodnotu funkce 𝐺(𝑎) definovat jako aritmetický průměr

𝐺(𝑎) = (𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)) 2⁄ . Funkce 𝐺(𝑥) v tomto případě není v bodech a, resp. b ani hladká

ani spojitá. Takovéto rozšíření funkce definované na konečném intervalu na celou osu x

budeme nazývat jednoduchým periodickým rozšířením funkce. Pro nespojité funkce v okolí

skoku Fourierova řada špatně konverguje a vzniká tak zvaný Gibbsův efekt. Ten si ilustrujme

na následujícím příkladu: Studujme tak zvanou pilovou funkci s periodou definovanou

vztahy: 𝐺(𝑡) = (𝜋 − 𝑡) 2𝜋⁄ pro 0 < 𝑡 < 2𝜋, 𝐺(0) = 0. Z periodičnosti této funkce platí

také, že 𝐺(−𝑡) = 𝐺(𝑡). Fourierův rozvoj této funkce je roven

𝐺(𝑥) =1

𝜋∑

sin 𝑘𝑥

𝑘

∞

𝑘=1

(26.1.1)

2

386

odpovídající konečný součet je roven

𝐺𝑛(𝑥) =1

𝜋∑

sin 𝑘𝑥

𝑘

𝑛

𝑘=1

(26.1.2)

Aproximujeme-li funkci 𝐺(𝑥) konečným součtem (26.2), vznikne v bodě 𝑥 ≠ 0 chyba, která

je v našem případě rovna

𝐺(𝑥) − 𝐺𝑛(𝑥) =cos (𝑛 +

12) 𝑥

(𝑛 +12) 𝜋𝑥

(26.1.3)

Předchozí vztah nám ukazuje, že chyba sice se zvětšujícím se n konverguje k nule, nicméně

chyba závisí na součinu (𝑛 +1

2) 𝑥 , který nám ukazuje, že chyba roste, když x se přibližuje k

nule. Situace je znázorněna na obrázku 25.1.

Obrázek 26.1 Gibbsův efekt.

Na grafu funkce 𝐺𝑛(𝑥), která aproximuje funkci 𝐺(𝑥), je dobře vidět, že blížíme-li se k bodu

0 tak se vlnky se zvětšují, což je právě efekt studovaný Gibbsem v roce 1899. Z obrázku

265.1 je též patrné, že zejména výpočet derivací funkce 𝐺(𝑥), který je ve spektrální metodě

nahražen výpočtem derivací funkce 𝐺𝑛(𝑥) bude zatížen v okolí bodu 0 velkou chybu. Z

uvedeného příkladu je vidět, že jednoduché rozšíření funkce na periodickou není pro

spektrální metodu na omezené oblasti použitelné. Vzniká Gibbsův efekt, jehož výsledkem je

vznik krátkých vln velké amplitudy, které překryjí krátké vlny, které jsou obsaženy v

prognostických proměnných modelu. Odfiltrování nejkratších vln z modelu uřezáváním a

výpočet derivací prognostických proměnných je pak proveden chybně. Další problémy

vznikají také tím, že v bodě a resp. b nejsou obecně takováto rozšíření prognostických

proměnných na periodické funkce řešením soustavy prognostických rovnic. Gibbsův efekt

387

vzniká tedy vždy v okolí nespojitosti-skoku funkce. Vzniká tedy také v důsledku

atmosférických jevů, při kterých se proměnné mění skokem. Takovým jevem jsou především

atmosférické fronty. Proto použití spektrální metody na jemné síti, která je schopna tyto jevy

popsat je spojeno s určitými problémy.

Z předchozího vyplývá, že chceme-li tedy spektrální metodu použít v modelu na

obdélníkové oblasti, potřebujeme, aby na protilehlých stranách obdélníka měly funkce, pro

které ve spektrálním prostoru jsou použity Fourierovy rozvoje, stejné hodnoty a stejné

derivace, tedy aby po jejich periodickém opakování byly takto získané funkce spojité a

hladké. V lokálních modelech na obdélníkové oblasti jsou přirozeně hodnoty funkcí na

protilehlých stranách obdélníka jiné. Proto doplnění funkce na periodickou jednoduchým

opakováním hodnot na intervalu, na kterém jsou hodnoty funkcí definované, je tedy

nepoužitelné. Ukážeme si nyní jak tento problém vyřešit.

Dva způsoby řešení problému Gibbsova efektu

Chceme-li spojitou hladkou funkci definovanou na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩, která v koncových

bodech nenabývá stejné hodnoty, 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏), (tedy při jednoduchém rozšíření funkce na

periodickou je v koncových bodech skok), aproximovat pomocí konečného Fourierova

součtu, můžeme postupovat dvěma způsoby:

První způsob je založen na tom, že od funkce 𝑓(𝑥) odečteme vhodnou funkci,

řekněme 𝑝(𝑥) takovou, aby rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) měl v koncových bodech nulové hodnoty a

mimo to, aby i derivace tohoto rozdílu byly v koncových bodech intervalu nulové, pak je

jasné, že jednoduché periodické rozšíření rozdílu 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) je hladkou periodickou funkcí

na celé ose x. Místo funkce 𝑓(𝑥) pak konečným Fourierovým součtem 𝐹𝑛(𝑥) aproximujeme

rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) tedy v podstatě jinou funkci. Funkci 𝑓(𝑥) pak aproximujeme výrazem

𝑝(𝑥) + 𝐹𝑛(𝑥). Derivace funkce 𝑓(𝑥) pak aproximujeme derivacemi funkce 𝑝(𝑥) + 𝐹𝑛(𝑥).

Snadno také nahlédneme, že vzhledem k tomu, že rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) nabývá v koncových

bodech intervalu i se svými derivacemi nulové hodnoty, automaticky splňuje v koncových

bodech evoluční parciální diferenciální rovnici prvního řádu. Funkci 𝑝(𝑥) pak určíme pomocí

okrajových podmínek, přesněji řečeno, pomocí hodnot prognostických proměnných, po

případě i jejích derivací, které jsou dány řídícím modelem na hranici oblasti.

Na tomto principu vyvinul Yasuo Tatsumim [12] numerické schéma spektrálního

modelu na omezené oblasti. Model je formulován v 𝜎-systému vertikální souřadnice na

čtvercové síti na konformní mapě. Funkce 𝑝(𝑥), která je zde nazývána přídavnou

neortogonální basí je tvaru

𝑝(𝑥) = 𝑎1 sin (𝑥

2) + 𝑎2 sin 𝑥 + 𝑏1 + 𝑏2 cos (

𝑥

2)

(26.1.4)

Z hodnot prognostických proměnných a jejích derivací v uzlových bodech kolokační sítě,

které leží na boční hranici oblasti spektrálního LAM, ve kterých prognostické proměnné

řídícího modelu i LAM nabývají stejné hodnoty, určíme koeficienty 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 tak, aby

rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) nabýval i se svými derivacemi na bočních hranicích nulové hodnoty.

Rozdíl 𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥) se pak dá rozšířit na spojitou a hladkou periodickou funkci. Na tomto

principu spočívá spektrální metoda, kterou Tatsumi použil v modelu. Poznamenejme ještě, že

tento postup není původní Tatsumiho myšlenkou. Postup založený na odečtení vhodné funkce

388

byl diskutován již v roce 1977 Davidem Gottliebem a Stevenem Orszagem v jejich

matematických pracích o spektrálních metodách. V meteorologickém modelu byl zde použit

poprvé. Změny prognostických proměnných z řídícího modelu do LAM se přenášejí jednak

volbou funkce 𝑝(𝑥) a jednak kombinací hodnot vypočtených řídícím modelem a modelem

LAM v pásu podél bočních hranic ve fyzikálním prostoru, tedy na kolokační síti, stejným

způsobem, jako ve zcela diskrétních (např. diferenčních) modelech. Model založený na

popsaném principu byl pak počítán provozně Japonskou meteorologickou službou [8].

Spektrální model na tomto principu byl vyvinut také ve Washingtonském meteorologickém

centru (NMC) [6]. Určitou nevýhodou tohoto postupu jsou problémy spojené s bočními

okrajovými podmínkami a skutečností, že tak zvané „zákony zachování“ nejsou při použití

této metody exaktně, přesně splněny.

Druhý způsob řešení problému spočívá v rozšíření oblasti, na které je model

počítán. Tato myšlenka pochází od dánského meteorologa Bennerta Machenhauera. Ta

spočívá v tom, že výpočetní obdélníkovou oblast rozšíříme, na větší obdélník, v obou směrech

souřadnic přibližně asi o 15% a protilehlé strany spojíme spojitými hladkými funkcemi tak,

aby po doplnění funkcí v tomto větším obdélníku jsme obdrželi periodické spojité hladké

funkce, vhodné pro Fourierovy rozvoje. Test takto formulované metody pro model mělké

vody byl publikován v článku Machenhauera a Haugena [4]. Na této metodě ovšem pracovala

a také ji prakticky zkoušela skupina meteorologů ze severských zemí s názvem HIRLAM .

Tato skupina byla volným spolupracujícím týmem meteorologů z Dánska, Norska, Švédska a

Irska. Název HIRLAM je vlastně zkratkou „HIgh Resolution Limited Area Model“, jejímž

cílem je tedy modelování s vysokým rozlišením na omezené oblasti.

Tento princip řešení problému periodičnosti je použit i v modelu ALADIN [2], který

je vlastně součástí systému modelů ARPEGE/aladin. Z globálního modelu ARPEGE

francouzské meteorologické služby je modifikována předpověď v zóně spojení modelů, a

model ARPEGE [2] je tedy jeho řídícím modelem ALADINU. Model ALADIN byl vyvinut

za spolupráce meteorologických služeb zemí střední Evropy a Météo France v Toulouse. Na

vývoji tohoto modelu jsem se společně s Radmilou Brožkovou a později Martinem

Janouškem, v rámci spolupráce ČHMU a Météo France osobně podílel. Tento model je

spektrálním modelem na omezené oblasti zcela nové generace. Správná numerická realizace

modelu byla proto spojena s vyřešením mnoha nových problémů. Formulace rovnic modelu je

zcela standardní. Je to baroklinní model v hydrostatickém přiblížení v -systému souřadnic.

Horizontální souřadnice tvoří kartézský systém souřadnic na konformní mapě. Rovnice

použité v modelu lze nalézti v článku [2]. Fyzikální parametrizace ALDINU jsou poněkud

jiné než v modelu ARPEGE a byly přepracovány tak, aby fyzikálně odpovídaly vyššímu

rozlišení modelu. Inicializace modelu je založena na časovém digitálním filtru, který z

počátečních dat odstraní vlny vysoké frekvence. Na začátku vývoje modelu byl vedením

celého projektu pověřen Francouz Alain Joly. Hlavním iniciátorem tohoto mezinárodního

projektu byl vedoucí oddělení modelování (GMAP) Météo France Jean-François Geleyn,

který práci na projektu pečlivě sledoval. Na nových modifikacích modelu se stále pracuje,

jsou zejména zdokonalovány jeho fyzikální parametrizace, dynamická část modelu byla

přepracována z Eulerovské verse na semi-Lagrangeovskou versi, a model který byl původně

počítán na americkém vektorovém počítači CRAY je upraven pro nové, modernější japonské

389

počítače NEC u nás a Fujitsu ve Francii. Základní principy ALADINU však pocházejí z práce

uskutečněné v létech 1991-94. Každý model, který je v provozu, potřebuje totiž stálou údržbu,

zlepšování a modernizaci do té doby, dokud není nahrazen zcela novým modelem. Pak se

jeho software většinou již neudržuje v provozuschopném stavu.

Horizontální reprezentace proměnných v soustavě modelů ARPÉGE/ALADIN.

Obrázek 25.2 Horizontální uspořádání oblasti modelu ALADIN

Horizontální oblast modelu zobrazená na obrázku 25.2 se skládá z obdélníkových částí:

- Ze základní obdélníkové prognostické oblasti, ve které model ALADIN časově

integrován. Tato oblast se skládá ze dvou částí:

o z vnitřní obdélníkové oblasti, kterou označme C, ve které časová integrace

probíhá bez přímého vlivu řídícího modelu. Tuto oblast je možné chápat tak,

že se v ní výsledky globálního modelu přizpůsobují podrobnějšímu popisu

orografie a vlastností zemského povrchu. To však není vše. Tím, že se

integrace provádí na jemnější síti a také s jinými parametrizacemi, může

poskytnout i přesnější popis fyzikálních jevů. Výsledkem frontogeneze mohou

vznikat také větší gradienty prognostických proměnných. Model je tedy možné

spíše chápat jako zcela nový model označovaný obvykle LAM (Limited Area

Model), který je pouze řízen modelem většího měřítka. V pásech podél

hranice základní obdélníkové prognostické oblasti se provádí přizpůsobení

řešení ALADINU řídícímu modelu ARPEGE. Tuto zónu přímého vlivu

řídícího modelu na model LAM označme I.

o z oblasti označené I, spojení řídícího modelu s modelem ALADIN. To probíhá

ve fyzikálním prostoru, tedy na kolokační síti stejným způsobem, jako se toto

spojení provádí u diskrétních-diferenčních modelů. Interakce mezi vnějším a

řídícím modelem ARPÉGE je jednostranná, to znamená, že v zóně I se řešení

modelu ALADIN přizpůsobuje globálnímu vývoji atmosféry, který je počítán

globálním modelem ARPEGE, ale obráceně model ALADIN na model

390

ARPEGE nemá žádný vliv. Předpovídané hodnoty v lokálním modelu v této

zóně vznikají jako lineární kombinace hodnot z řídícího modelu ARPÉGE

interpolovaných na síť modelu lokálního ALADINU s hodnotami

předpovídanými lokálním modelem, tedy ALADINEM. Označíme-li g

výsledné hodnoty po časovém kroku lokálního modelu 𝑔𝐿 hodnoty časově

integrované lokálním modelem a hodnoty předpověděné řídícím (globálním)

modelem které jsou interpolovány do uzlových bodů sítě lokálního modelu, a

také časově lineárně interpolované do momentu časového kroku lokálního

modelu, pak hodnoty g jsou dány vztahem

𝑔 = (1 − 𝛾)𝑔𝐿 + 𝛾 (26.1.5)

kde váhy tohoto spojení 𝛾 jsou zvoleny tak, že na hranici E zóny je 𝛾 = 1 a v I

zóně klesá 𝛾 směrem od hranice dovnitř oblasti postupně k nule, takže na

hranici zóny C je 𝛾 = 0.

Tato technika spojení modelů byla vypracována a vyzkoušena

v ECMWF švédským meteorologem Kollbergem [7]. Váhy 𝛾 byly

Kollbergem definovány vztahem

𝛾(𝑗) − 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑗 2⁄ ) (26.1.6)

kde j zde znamená počet kroků v síti od vnější hranice E zóny ve směru

normály. Tato funkce u vnější hranice rychle klesá, ale pak se pomalu

asymptoticky přibližuje k 0. Tato vlastnost, že se hodnoty vah 𝛾 blíží směrem

ke středu oblasti asymptoticky k nule je důležitá proto, že v tomto případě

nedochází k odrazu gravitačních vln od hranice oblasti. Gravitační vlny

směřující ke hranici oblasti LAM jsou téměř zcela pohlceny. V současnosti se

tato Kollbrgem testovaná funkce v ALADINu nepoužívá. Místo ní je použita

funkce 𝛾 v E zóně definovaná vztahem tvaru 𝛾(𝜑) = (1 + cos 𝜑)/2, kde 𝜑

probíhá interval ⟨0, 𝜋⟩. Když j je opět počet uzlů od vnější hranice LAM a

nechť J je index od kterého je již váha nulová, pak

𝛾(𝑗) = (1 + cos(𝑗𝜋 𝐽⁄ )) 2⁄ (26.1.7)

kde probíhá celá čísla 𝑗 = 0, 1. … , 𝐽.

- z vnější zóny, zóny rozšíření označené E (extension zone), ve které funkce doplníme

tak, aby splňovaly okrajové podmínky a byly diskretizací spojitých hladkých ve směru

obou horizontálních proměnných periodických funkcí, neboli biperiodických funkcí.

Tento proces rozšíření funkcí do zóny E nazýváme biperiodizací.

Doplnění funkce na periodickou funkci na rozšíření oblasti.

Biperiodizace

Úkolem biperiodizace je tedy rozšířit funkci 𝑓(𝑥, 𝑦) definovanou v předpovědní

oblasti 𝐶 ∪ 𝐼 na oblast 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸 tak, aby vznikla spojitá hladká periodická funkce ve směru

obou souřadnicových os x, y. Periodické rozšíření funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) provedeme postupně ve

směru osy x a pak ve směru osy y. Rozšíření funkce je tedy prováděno jako jednorozměrné ve

391

směru obou os. Rozšíření funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) na E-zónu lze provésti při splnění předchozích

podmínek vcelku libovolně.

Rozšíření v jednom směru, například ve směru osy x si popíšeme podrobněji a

zobrazíme na obrázku 25. 3. Na obrázku je na ose x zobrazena celá oblast 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸. Jejími

rozměry ve směru osy x a y jsou 𝐿𝑥 a 𝐿𝑦, což jsou zároveň periody ve směru příslušných os.

Funkci, kterou použijeme pro spojení v E zóně, může být vcelku libovolná. Může být

například lineární kombinací trigonometrických funkcí. Takový postup zvolila skupina

HIRLAM, která používala pro periodizaci trigonometrický interpolační polynom proložený

na obou stranách intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ ≡ 𝐶 ∪ 𝐼 vždy dvěma krajními uzly kolokační sítě. Možná že

k použití trigonometrických funkcí je vedlo to, že jsou to funkce z Fourierovy báze. Já jsem

přesvědčen, že to není žádná výhoda a pro spojení můžeme použít libovolnou dostatečně

hladkou funkci. Například spline. Přirozený spline má navíc tu výhodu, že jeho amplituda je

malá, tím myslím rozdíl mezi jeho největší a nejmenší hodnotou. Což vyplývá z věty

(Holladay) [1] která říká, že mezi všemi funkcemi 𝑓(𝑥), které mají na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ spojitou

druhou derivaci, které v uzlových bodech mají předepsané hodnoty přirozený spline

minimalizuje integrál

∫|𝑓′′|2 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

(26.1.8)

což znamená, že funkce 𝑓(𝑥) má na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ mezi všemi funkcemi minimální křivost.

Proto se mi jeví použít přirozený spline pro biperiodizaci jako nejvhodnější. Věnujme se nyní

konstrukci tohoto splinu.

Konstrukce přirozeného kubického spline definovaného hodnotami ve čtyřech bodech

Sestrojme nyní přirozený kubický spline 𝑠(𝑥) z hodnot funkce f definovaných ve

čtyřech uzlových bodech, na ose x. Tyto čtyři uzlové body nám omezují na

ose x tři intervaly. Přitom interpolaci použijeme pouze na prostředním intervalu ⟨𝑥1, 𝑥2⟩.

Připomeňme si ještě definici splinu. Při konstrukci splinu vyjdeme z knížky [3], pro

zjednodušení využijeme však toho, že spline bude definován pouze čtyřmi body. Spline 𝑠(𝑥)

je na každém intervalu ⟨𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1⟩ kubickou funkcí, která je ve vnitřních uzlových bodech

intervalu, na kterém spline sestrojujeme, spojitá i se svou první i druhou derivací. Protože

druhou derivací kubického polynomu je lineární funkce, je druhá derivace splinu po částech

lineární funkcí. V uzlových bodech se obvykle definují momenty splinu, které se označují

jako . Druhé derivace splinu v uzlových bodech jsou pak šestinásobky momentů splinu,

tedy 𝑠′′(𝑥𝑖) = 6𝜎𝑖. Pro určení splinu jsou třeba ještě dvě okrajové podmínky v koncových

bodech intervalu interpolace. Pro přirozený spline, který zde použijeme, jsou to podmínky

𝜎0 = 𝜎3 = 0. V koncových bodech má tedy přirozený spline druhé derivace rovny 0.

Konstrukce splinu v obecném případě, čím zde myslíme pro libovolný počet uzlových bodů je

podrobně popsána v kapitole 8. Pro spline určený čtyřmi body se soustava pro momenty

splinu skládá pouze z dvou rovnic, které můžeme vyřešit a odvodit pro konstrukci splinu

explicitní formule. Postup je následující. Označíme-li krok v síti, který zde není konstantní

stejně jako v kapitole 8. (8.2.8)

3210 xxxx

i

392

ℎ𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 , kde v našem případě 𝑖 = 0,1,2 (26.1.9)

dostaneme z podmínky spojitosti druhé derivace a tedy z hladkosti první derivace pro hodnoty

momentů spline 𝜎1, 𝜎2 soustavu rovnic definující spline uvedenou v osmé kapitole v našem

případě pouze o dvou neznámých 𝜎1, 𝜎2 tvaru

2(ℎ0 + ℎ1)𝜎1 + ℎ1𝜎2 = 𝑃𝑆1 (26.1.10)

ℎ1𝜎1 + 2(ℎ1 + ℎ2)𝜎2 = 𝑃𝑆2 (26.1.11)

kde hodnoty pravých stran jsou dány výrazy

𝑃𝑆1 = (𝑓2 − 𝑓1) ℎ1 − (𝑓1 − 𝑓0) ℎ0⁄⁄ (26.1.12)

𝑃𝑆2 = (𝑓3 − 𝑓2) ℎ2 − (𝑓2 − 𝑓1) ℎ1⁄⁄ (26.1.13)

První rovnici soustavy vynásobme výrazem 2(ℎ1 + ℎ2) a druhou rovnici ℎ1 a rovnice od sebe

odečteme. Eliminujeme tím 𝜎2 a dostaneme výraz pro 𝜎1

𝜎1 =2(ℎ1 + ℎ2)𝑃𝑆1 − ℎ2𝑃𝑆2

4(ℎ0 + ℎ1)(ℎ1 + ℎ2) − ℎ12

(26.1.14)

Obdobně vypočteme moment . První rovnici násobíme a druhou rovnice

odečteme a dostaneme

𝜎2 =2(ℎ0 + ℎ1)𝑃𝑆2 − ℎ1𝑃𝑆1

4(ℎ0 + ℎ1)(ℎ1 + ℎ2) − ℎ12

(26.1.15)

Všimněme si, že jmenovatele ve výrazech pro jsou stejné. Spline budeme používat ve

tvaru

𝑠(𝑥) = 𝑓𝑖 + 𝑏𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖) + 𝑐𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)2 + 𝑑𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)3 (26.1.16)

kde

𝑏𝑖 = (𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖) ℎ𝑖 − ℎ𝑖(𝜎𝑖+1 + 2𝜎𝑖)⁄ (26.1.17)

𝑐𝑖 = 3𝜎𝑖 (26.1.18)

𝑑𝑖 = (𝜎𝑖+1 − 𝜎𝑖) ℎ𝑖⁄ (26.1.19)

a kde i probíhá indexy . Pro výpočet hodnot v intervalu ⟨𝑥1, 𝑥2⟩ použijeme předchozí

vztahy pouze pro i=1.

Nyní se podívejme na provedení tohoto rozšíření oblasti ve směru osy x, jak je

realizován na počítači.

Obrázek 26.3 Doplnění funkce f na hladkou periodickou funkci ve směru osy x.

2 1h 102 hh

21 ,

210 ,,i

393

Situace je znázorněna na obrázku 26.3. Hodnoty v závorce jsou indexy ve směru osy x.

Posloupnosti funkčních hodnot 𝑓(𝑗) ve směru osy x probíhají následující indexy:

V obdélníku 𝐶 ∪ 𝐼 probíhá index 𝑗 = 𝐽𝐹, … , 𝐽𝐿, index JF odpovídá prvnímu (first) členu

posloupnosti, což je bod levé straně obdélníka, JL odpovídá poslednímu (last), což je bod na

pravé straně předpovědní oblasti.

V obdélníku 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸 ve směru osy x probíhá index 𝑗 = 𝐽𝐹, … , 𝑁 + 1.

V E zóně, kterou tvoří uzavřený interval, probíhá index 𝑗 = 𝐽𝐿, … , 𝑁 + 1

Délka intervalu E zóny je pak kh, kde 𝑘 = 𝑁 + 1 − 𝐽𝐿.

Periodičnost funkce f je pak dána vztahem 𝑓(𝑗 + 𝑚(𝑀 + 1 − 𝐽𝐹)) = 𝑓(𝑗), kde m je libovolné

celé číslo. Ve skutečnosti potřebujeme pouze vztahy

𝑓(𝑁 + 1) = 𝑓(𝐽𝐹) a 𝑓(𝑁 + 2) = 𝑓(𝐽𝐹 + 1) (26.1.20)

Spline konstruujeme na intervalu daného indexy (𝑗 = 𝐽𝐿 − 1, … , 𝑁 + 2), přitom E zóna je

interval daný indexy (𝑗 = 𝐽𝐿, … , 𝑁 + 1) a interval, na kterém budeme hodnoty splinu počítat,

tedy funkci f doplňovat je dán indexy (𝑗 = 𝐽𝐿 + 1, … , 𝑁).

Krok v pravidelné síti modelu označme h. Počet intervalů E zóny je 𝑘 = 𝑁 + 1 − 𝐽𝐿, délka E

zóny je pak rovna kh. Označení čtyř hodnot, ze kterých spline konstruujeme, zvolme tak, aby

odpovídalo předchozímu označení při konstrukci spline. Označení je následující:

𝑓0 = 𝑓(𝐽𝐿 − 1), 𝑓1 = 𝑓(𝐽𝐿), 𝑓2 = 𝑓(𝐽𝐹), 𝑓3 = 𝑓(𝐽𝐹 + 1) (26.1.21)

Pro výpočet hodnot splinu v E zóně upravíme předchozí vztahy pro konstrukci splinu

následovně. Nechť znakem h bez indexu je označen krok v síti lokálního modelu. Pak v tomto

označení je ℎ0 = ℎ, ℎ1 = 𝑘ℎ, ℎ2 = ℎ. Soustavu rovnic (26.1.10) a (26.1.11) v tomto novém

označení můžeme psát ve tvaru

2(𝑘 + 1)𝜎1 + 𝑘𝜎2 = 𝑃𝑆1/ℎ (26.1.22)

𝑘𝜎1 + 2(𝑘 + 1)𝜎2 = 𝑃𝑆2/ℎ (26.1.23)

(V teorii splinů nejsou vždy momenty spinů stejně definovány. V programech modelu

ALADIN jsou místo momentů 𝜎𝑗 použity momenty 𝑀𝑗 které jsou jejich násobky, je tedy

𝑀𝑗 = 6𝜎𝑗 neboli 𝜎𝑗 = 𝑀𝑗 6⁄ )

Zavedeme ještě novou konstantu, kterou označíme 𝜆 a její hodnotu definujeme vztahem

𝜆 = 𝑘 (𝑘 + 1)⁄ (26.1.24)

Rovnice (26.1.22) a (26.1.23) násobíme konstantou 𝜆 a dělíme k, dostaneme

2𝜎1 + 𝜆𝜎2 = 𝐴 (26.1.25)

𝜆𝜎1 + 2𝜎2 = 𝐵 (26.1.26)

Kde

𝐴 =𝑃𝑆1

(𝑘 + 1)ℎ=

1

(𝑘 + 1)ℎ(

𝑓2 − 𝑓1

𝑘ℎ−

𝑓1 − 𝑓0

ℎ)

(26.1.27)

𝐵 =𝑃𝑆2

(𝑘 + 1)ℎ=

1

(𝑘 + 1)ℎ(

𝑓3 − 𝑓2

ℎ−

𝑓2 − 𝑓1

𝑘ℎ)

(26.1.28)

Řešením soustavy rovnic (26.1.25), (26.1.26) jednoduchou eliminací dostáváme momenty

splinu ve tvaru

𝜎1 = (2𝐴 − 𝜆𝐵) (4 − 𝜆2)⁄ (26.1.29)

394

𝜎2 = (2𝐵 − 𝜆𝐴) (4 − 𝜆2)⁄ (26.1.30)

Hodnoty splinu v E zóně můžeme vyjádřit ve tvaru polynomu

𝑠(𝑥) = 𝑓1 + 𝑏(𝑥 − 𝑥1) + 𝑐(𝑥 − 𝑥1)2 + 𝑑(𝑥 − 𝑥1)3 (26.1.31)

Kde vztahy (26.1.17) až (26.1.19) budou tvaru

𝑏 = (𝑓2 − 𝑓1) 𝑘ℎ − 𝑘ℎ(𝜎2 + 2𝜎1)⁄ (26.1.32)

𝑐 = 3𝜎1 (26.1.33)

𝑑 = (𝜎2 − 𝜎1) 𝑘ℎ⁄ (26.1.34)

Spline počítáme ve vnitřních bodech E zóny. Označíme-li hodnotu proměnné x v uzlovém

bodě o indexu JL, jako 𝑥1, pak pro uzlové body (𝑗 = 𝐽𝐿 + 1, … , 𝑁) ve kterých spline

počítáme je 𝑥 = 𝑥1 + 𝑗ℎ pro 𝑗 = 1, … , 𝑘 − 1, proto je (𝑥 − 𝑥1) = 𝑗𝑘.

Hodnotu splinu ve vnitřních bodech E zóny vypočteme ze vztahu

𝑠(𝑥) = 𝑓1 + 𝑗ℎ ∗ (𝑏 + 𝑗ℎ ∗ (𝑐 + 𝑗ℎ ∗ 𝑑)) (26.1.34).

Takto jsme tedy doplnili funkce ve směru osy x na hladké periodické v obdélníku části E

zóny, který leží vpravo od předpovědní oblasti 𝐶 ∪ 𝐼. Ve směru osy y doplníme pomocí spline

na hladké periodické funkce stejným způsobem, tentokráte již na celé oblasti 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸. Tím

má z hlediska periodičnosti celá oblast tvar anuloidu.

Když doplníme pomocí splinu hodnoty v E zóně ve směru osy x vzniknou ve směru

osy x hladké periodické funkce. Takto vzniklé funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) dvou proměnných x, y nejsou

ještě ideální. Je tu však určitý problém, že takto doplněné funkce ve směru osy x nejsou

dostatečně hladké ve směru osy y, což platí obdobně i pro doplnění ve směru y, kde ve směru

osy x není funkce hladká. Tento problém odstraníme následujícím způsobem. Provedeme

následující cyklický proces hlazení pomocí devítibodového diferenčního operátoru

𝑓𝑧ℎ𝑙(𝑗, 𝑖) = (4𝑓(𝑗, 𝑖) + 2(𝑓(𝑗 + 1, 𝑖) + 𝑓(𝑗, 𝑖 + 1) + 𝑓(𝑗 − 1, 𝑖) + 𝑓(𝑗, 𝑖 − 1)) +

𝑓(𝑗 + 1, 𝑖 + 1) + 𝑓(𝑗 + 1, 𝑖 − 1) + 𝑓(𝑗 − 1, 𝑖 + 1) + 𝑓(𝑗 − 1, 𝑖 − 1)) /16

(26.1.35)

V prvním cyklu aplikujeme operátor hlazení ve všech vnitřních uzlových bodech pravé části e

zóny, to znamená pro 𝑗 = 𝐽𝐿 + 1, … , 𝑁 a pro všechny hodnoty indexu i. V druhém cyklu

zúžíme tuto oblast hlazení o jeden uzlový bod zleva i zprava. To znamená, že hlazení probíhá

pro 𝑗 = 𝐽𝐿 + 2, … , 𝑁 − 1 a tak postupujeme dále, že v každém dalším cyklu hlazení ubereme

jeden bod zleva a jeden bod zprava, až dojdeme do středu oblasti, čímž proces ukončíme.

Pak totéž provedeme stejným způsobem pro druhou část E zóny, kde ovšem ubíráme uzlové

body ve směru osy y tedy pro index i. Tento způsob hlazení je zvolen tak, že nenaruší

hladkost na hranici E zóny s předpovědní oblastí a zajistí hladkost v E zóně vzhledem k

oběma proměnným. To můžeme dokumentovat na obrázcích. Obrázek 26.2

Výsledkem biperiodizace je v podstatě to, že výpočet modelu, který by probíhal na

rovinné obdélníkové oblasti, se z hlediska periodičnosti, nahradí výpočtem na anuloidu. O

technice biperiodizace v modelu ALADIN se zde zmiňuji podrobněji, protože to byl jeden

z mých úkolů při páci na vývoji modelu v Toulouse.

26.2 Transformace funkce jedné proměnné

Zobrazení funkce ve fyzikálním a spektrálním prostoru

395

Ve spektrálních modelech používáme dvojí popis funkcí. Při prvním způsobu,

zadáváme funkce jejich hodnotami na regulární síti uzlových bodů, stejně jako při použití

diferenčních metod. Připomeňme zde, že regulární sítí rozumíme síť, která ve směru každé

nezávisle proměnné má konstantní krok, i když tento konstantní krok může býti pro každou

nezávisle proměnnou jiný. Pro Galerkinovy metody a tedy i spektrální metody, které jsou

jejich zvláštním případem, nazýváme tuto síť uzlových bodů kolokační sítí. Tato síť má tedy

obvykle konstantní krok. Diskrétní popis funkce, jejich hodnotami v uzlových bodech,

nazýváme zadáním funkce ve fyzikálním prostoru. Všimněme si též, že funkce je v tomto

případě definována pouze na zmíněné síti uzlových bodů. Mimo tyto body její hodnoty

zadány nejsou. Při druhém způsobu zadáváme funkce jako rozvoj vzhledem k dané basi

ortogonálních funkcí, například ve tvaru konečného součtu Fourierovy řady. Funkce je pak

definována hodnotami koeficientů řady. Protože funkce base jsou definovány na určitém

intervalu reálné osy, tedy na kontinuu, je pak i funkce ve spektrálním prostoru definována na

kontinuu, a ne jen v uzlových bodech. Tomuto popisu funkce říkáme spektrální. Přechod od

funkce definované na síti k jejímu vyjádření ve spektrálním prostoru budeme říkat spektrální

doplnění. V angličtině tomu odpovídá termín „spectral fit“. V tomto odstavci se budeme

zabývat popisem funkce pomocí konečného součtu Fourierovy řady a transformacemi mezi

oběma popisy. Nejdříve budeme studovat jednodimensionální případ.

___________________________________________________________________________

Poznámka: Slovo „fit“ se používá v angličtině pro pojem přizpůsobení, doplnění nebo pro

spojení bodů křivkou. Slovo doplnění jsem použil proto, že v matematice se používá termín

„piecewise linear fit“, v případě, když máme funkci definovanou v uzlových bodech a ty

spojíme lomenou čarou. Tento pojem se obvykle překládá do češtiny jako „po částech lineární

doplnění“ funkce.

Na rozdíl od globálních modelů budeme v modelu na omezené oblasti, jejíž tvar je

vždy obdélník, obvykle na konformní mapě, používat ve směru obou nezávisle proměnných

rozvoj do konečné Fourierovy řady. Při transformaci do spektrálního prostoru se v obou

směrech tedy používá FFT, což zajišťuje její vysokou efektivnost. Aby transformace do

spektrálního prostoru byla smysluplná, musíme předpokládat, že studované funkce jsou

spojité hladké periodické funkce.

Finitní, neboli diskrétní Fourierovy transformace

Než přikročíme ke studiu transformací do spektrálního prostoru a zpět do fyzikálního

prostoru, tedy hodnotám funkcí na kolokační síti shrneme si definice a nejdůležitější poznatky

o diskrétních Fourierových transformacích.

V kapitole 25. Finitní Fourierova transformace je definována diskrétní komplexní

periodickou Fourierovou transformací, která je podle P. N. Swartztraubera [11] ve tvaru

s posunutými kopiemi komplexní posloupnosti 𝑿(𝒋)

Definice: Přímou finitní Fourierovou transformací, zkratka FFT, označme F

definujeme jako zobrazení, které konečné posloupnosti N komplexních čísel 𝑋(𝑗),

(𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1) přiřazuje posloupnost N komplexních čísel 𝐴(𝑛), (𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1)

danou vztahem

𝐴(𝑛) =1

𝑁∑ 𝑋(𝑗)𝑊−𝑗𝑛

𝑁−1

𝑗=0

=1

𝑁∑ 𝑋(𝑗)𝑒𝑥𝑝 −𝑖𝑗𝑛

2𝜋

𝑁

𝑁−1

𝑗=0

, (𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1 )

396

(S1)

Kde jsme použili definici 𝑊𝑗𝑛 = 𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑗𝑛2𝜋

𝑁

Obdobně definujeme i inversní finitní Fourierovu transformaci 𝐅−𝟏 vztahem

𝑋(𝑗) = ∑ 𝐴(𝑛)𝑊𝑛𝑗 =

𝑁−1

𝑛=0

∑ 𝐴(𝑛)𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑛𝑗2𝜋

𝑁

𝑁−1

𝑛=0

(𝑗 = 0, 1, . . , 𝑁 − 1)

Pro aplikace je předchozí transformace (S2) většinou nepoužitelná. Přímá transformace (S1)

je pro aplikace v pořádku. Inversní transformace pro aplikace musí být složena pouze z vln

s nejnižšími vlnovými čísly, což je ve spektrálních metodách důležité například pro

transformaci derivací.

Zpětná - inversní transformace má v tomto případě pro N sudé má tvar

𝑋(𝑗) = ∑ 𝐴(𝑛)𝑊𝑛𝑗 =

𝑁 2⁄

𝑛=−𝑁 2+1⁄

∑ 𝐴(𝑛)𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑛𝑗2𝜋

𝑁

𝑁 2⁄

𝑛=−𝑁 2+1⁄

(𝑗 = 0, 1, . . , 𝑁 − 1)

(S3)

Studujme tedy reálnou funkci 𝑓(𝑥) na intervalu 𝐿𝑥 s periodou 𝐿𝑥. Na tomto intervalu

nechť máme tuto funkci zadanou v N uzlových bodech 𝑥𝑛 (𝑛 = 0,1, … , 𝑁), přičemž

z periodičnosti funkce je 𝑓(𝑥𝑁) = 𝑓(𝑥0). Stačí tedy zadat hodnoty funkce v uzlových bodech

𝑥𝑛 pro (𝑛 = 0, 1, … , 𝑁 − 1). Délka kroku v síti je tedy 𝐿𝑥/𝑁. Tutéž periodickou funkci si

můžeme přirozeným způsobem rozšířit jako periodickou na celou reálnou osu, nebo si ji

můžeme představit místo na úsečce definovanou na jednotkové kružnici. Délka této kružnice

je ovšem 2𝜋, a když 𝑥 ∈ ⟨0, 𝐿𝑥⟩ na kružnici tomu odpovídá, že 𝑥 𝐿𝑥 ∈⁄ ⟨0,2𝜋⟩. Perioda 𝐿𝑥

přitom odpovídá vlně s vlnovým číslem 1. Při tomto označení můžeme konečný Fourierův

rozvoj psát ve tvaru

𝑓(𝑥) =𝑎0

2+ ∑ 𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛

𝑥

𝐿𝑥+ 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛

𝑥

𝐿𝑥

𝑁

𝑛=1

(26.2.1)

Ve spektrálních metodách, stejně jako při studiu Fourierových řad můžeme bez újmy na

obecnosti pro zkrácení zápisů předpokládat, že tyto funkce studujeme na jednotkové kružnici,

která má ovšem délku 2𝜋.

Vyjádření reálné transformace pomocí komplexní transformace.

Tuto souvislost potřebujeme proto, že algoritmy FFT jsou formulovány obecně pro

transformaci komplexních posloupností. Hodnoty funkcí v uzlových bodech fyzikálního

prostoru jsou však reálné. Jde nám tedy o transformace reálných posloupností. Jestliže tedy

posloupnost 𝑥𝑛 je reálná, potom FFT je symetrická vzhledem k přechodu ke komplexně

sdružené, tedy 𝑥𝑘 = 𝑁−𝑘 . (Kapitola 24. Finitní Fourierova transformace - FFT - Věta 3,

Důsledek 2) Tato skutečnost nám umožňuje zkrátit výpočty na polovinu. Když se jedná o

reálnou posloupnost, může být komplexní transformace zapsána v reálném trigonometrickém

tvaru. Věnujme se nyní podrobněji vztahu mezi reálným a komplexním zápisem této

transformace.

397

Vyjádření funkce ve spektrálním prostoru jako konečný součet Fourierovy řady

Studujme tedy periodické funkce proměnné x. Předpokládáme, že všechny funkce mají

periodu 2𝜋 a budeme je tedy studovat na intervalu 𝑥 ∈ ⟨0,2𝜋⟩. Interval ⟨0,2𝜋⟩ rozdělme na N

stejných dílů uzlovými body 𝑥𝑗 = 2𝜋𝑗 𝑁⁄ , pro 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑁 a kde body 𝑥0 a 𝑥𝑁 jsou

koncovými body intervalu ⟨0, 2𝜋⟩. Krok v síti je tedy ∆𝑥 = 2𝜋 𝑁⁄ . Ve fyzikálním prostoru

nechť máme periodickou funkci f proměnné x která na síti N uzlových bodů

𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁−1 nabývá N reálných hodnot 𝑋0, 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁−1. Předpoklad periodičnosti

můžeme tedy napsat ve tvaru 𝑋𝑚 = 𝑋𝑚±𝑁, kde tento vztah platí pro každé celé m.

Z periodičnosti také vyplývá, že 𝑋𝑁 = 𝑋0. Periodičnost nám definuje hodnoty 𝑋𝑚 pro

všechna celá m.

Ve spektrálním prostoru proto můžeme reálnou periodickou funkci 𝑓(𝑥) na intervalu

⟨0,2𝜋⟩, nebo též na intervalu ⟨−𝜋, +𝜋⟩ aproximovat konečným součtem Fourierovy řady

𝑓(𝑥) = 𝑐 + ∑(𝑎𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑥

𝑀

𝑘=1

)

(26.2.2)

Kde koeficienty řady 𝑐, 𝑎𝑘, 𝑏𝑘 pro 𝑘 = 1, … , 𝑀 jsou reálná čísla. Pro určení těchto 2𝑀 + 1

koeficientů nám stačí znát hodnoty funkce v 2𝑀 + 1 uzlových bodech, což je právě 𝑁 + 1

uzlových bodů pro 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑁. Postupným dosazením hodnot funkce v uzlových bodech

do řady (26.1.2) dostaneme pro koeficienty 2𝑀 + 1 lineárních rovnic. Periodičnost jsme při

této úvaze použili pouze pro definování hodnoty 𝑋𝑁 v bodě 𝑥𝑁. Tato soustava má právě jedno

řešení, protože z teorie o interpolaci je známo, že použité funkce trigonometrické base jsou

lineárně nezávislé. Úloha, takto formulovaná, se nazývá interpolací pomocí

trigonometrických polynomů, nebo též trigonometrickou interpolací. Všimněme si ještě

vztahu mezi hodnotami M a N. Pro interpolaci jsme použili 𝑁 + 1 hodnot pro 2𝑀 + 1

neznámých. Musí proto být 𝑵 = 𝟐𝑴. Řešení soustavy lineárních rovnic obvyklými metodami

by však bylo neefektivní. Proto tuto úlohu formulujeme tak, abychom k jejímu řešení mohli

použít FFT.

Pro efektivní nalezení spektrálního tvaru je možné použít FFT, jejíž algoritmy jsou však

formulovány pro transformaci komplexních posloupností. Proto si nejdříve ukážeme, jakým

způsobem se dá přejít od tvaru (26.2.2) ke komplexní transformaci.

Řadu (26.2.2) si proto napíšeme v komplexním tvaru. K tomu použijeme vyjádření

funkcí sin a cos pomocí exponenciálních funkcí s imaginárními exponenty. Ze známého

vztahu

𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑥) = 𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 (26.2.3)

vyplývá také že

𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑥) = 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖 sin 𝑥

(26.2.4)

odtud pro cos a sin dostaneme

cos 𝑘𝑥 =1

2(𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝑒−𝑖𝑘𝑥)

(26.2.5)

398

sink 𝑥 = −𝑖

2(𝑒𝑖𝑘𝑥 − 𝑒−𝑖𝑘𝑥)

(26.2.6)

Dosadíme-li do řady (26.2.2) za sin a cos jejich vyjádření (26.2.5) a (26.2.6) dostaneme

𝑓(𝑥) = 𝑐 + ∑ 𝑎𝑘

1

2(𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝑒−𝑖𝑘𝑥) + ∑ 𝑖𝑏𝑘

1

2(𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝑒−𝑖𝑘𝑥)

𝑀

𝑘=1

𝑀

𝑘=1

(26.2.7)

což přepíšeme ve tvaru

𝑓(𝑥) = 𝑐 + ∑1

2(𝑎𝑘 + 𝑖𝑏𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥 + ∑

1

2(𝑎𝑘 − 𝑖𝑏𝑘)𝑒−𝑖𝑘𝑥

𝑀

𝑘=1

𝑀

𝑘=1

(26.2.8)

Položíme-li nyní

𝑐𝑘 =1

2(𝑎𝑘 + 𝑖𝑏𝑘) pro 𝑘 = 1, … , 𝑀

𝑐0 = 𝑐 =1

2𝑎0

(26.2.9)

𝑐−𝑘 =1

2(𝑎𝑘 − 𝑖𝑏𝑘) pro 𝑘 = 1, … , 𝑀

Můžeme (26.2.7) a tedy i (26.2.2) psát v jednoduchém - komplexním tvaru

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝑖𝑘𝑥

𝑀

𝑘=−𝑀

(26.2.10)

Všimněme si ještě, že pro reálnou funkci 𝑓(𝑥) jsou koeficienty 𝑐𝑘 a 𝑐−𝑘 čísla komplexně

sdružená a s použitím periodičnosti můžeme napsat

𝑐𝑘 = 𝑐−𝑘 = 𝑐−𝑘 a též 𝑐𝑁−𝑘 = 𝑐−𝑘 = 𝑐 (26.2.11)

a koeficient 𝑐0 je reálný, proto můžeme formálně položit 𝑏0 = 0. Obráceně, máme-li

konečnou řadu tvaru (26.2.10) a tedy zadány koeficienty 𝑐𝑘, můžeme ze vztahů (25.1.9)

vypočítat koeficienty 𝑎𝑘, 𝑏𝑘. Tyto koeficienty jsou jednoznačně určeny a z rovnic (26.1.9) pro

ně dostáváme vztahy

𝑎𝑘 = 𝑐𝑘 + 𝑐−𝑘 , 𝑏𝑘 = −𝑖(𝑐𝑘 − 𝑐−𝑘) pro 𝑘 = 1, 2, … , 𝑀, 𝑎0 = 2𝑐0, 𝑏0 = 0 (26.1.12)

Jsou-li koeficienty 𝑐𝑘 a 𝑐−𝑘 komplexně sdružená čísla, pak 𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 jsou reálná.

Vztah (26.2.10) můžeme proto považovat za vztah, který nám definuje spektrální

reprezentaci funkce f. v komplexním tvaru. Z hlediska transformací v komplexním tvaru je

vztah (26.2.10) ekvivalentní se vztahem ve tvaru (F2)

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘𝑒𝑖𝑘𝑥

𝑁−1

𝑘=0

(26.2.13)

protože v uzlových bodech dává stejné hodnoty, i když pomocí součtu sinusových vln

s jinými vlnovými čísly. To ovšem vyplývá z periodičnosti. Koeficienty tohoto rozvoje 𝑐𝑘

jsou periodické a proto je můžeme obdržet FFT inverzní k (26.2.10) neboli též k (26.2.13) což

nám dá stejné hodnoty.

399

To můžeme uskutečnit transformací tvaru (F1)

𝑐𝑘 =1

𝑁∑ 𝑋𝑗𝑒𝑥𝑝 −𝑖 𝑗𝑘

2𝜋

𝑁

𝑁−1

𝑗=0

(26.2.14)

Při transformaci ze spektrálního prostoru do fyzikálního prostoru musíme být opatrnější,

protože je třeba, aby v reálném prostoru měla funkce f „správné- hladké hodnoty“, i mimo

uzlové body.

Transformace ze spektrálního prostoru do fyzikálního prostoru

Při této transformaci, chceme-li použít hodnoty mimo uzlových bodů, a zejména

zpětnou transformaci derivací vypočtených ve spektrálním prostoru, musí se rozvoj funkce,

jak jsme se již zmínili, skládat z lineární kombinace vln s nejnižšími vlnovými čísli, tedy

vlastně nejdelšími vlnami. Proto je třeba vycházet ze vztahu (26.2.10).

Na intervalu ⟨0, 2𝜋⟩ nechť máme zadánu reálnou periodickou funkcí f hodnotami v N

uzlových bodech 𝑥𝑗 = 2𝜋𝑗 𝑁⁄ , kde 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑁 − 1, tedy zadanou komplexní

posloupností 𝑓0, 𝑓1, 𝑓3, … , 𝑓𝑁−1. Periodičnost funkce f je zde vyjádřena vztahem 𝑓𝑗 = 𝑓𝑗+𝑘𝑁.

Tato funkce nechť je dána vztahem

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓𝑚𝑒𝑖𝑚𝑥

𝑀

𝑚=−𝑀

(26.2.15)

kde 𝑓𝑚 jsou Fourierovy koeficienty a platí 𝑓−𝑚 = 𝑓. Úkolem je nyní napsat tento součet tak,

abychom pro výpočet hodnot funkce 𝑓(𝑥) mohli použít standardní program FFT transformace

V dalším textu se vyskytují indexy indexů, což je vzhledem k jejich velikosti špatně čitelné

proto budeme exponenciální funkci 𝑒𝑥 psát ve tvaru 𝑒𝑥𝑝(𝑥), používaném na počítačích.

Položme nyní

𝑁 = 2𝑀 (25.2.14)

N je tedy sudé číslo, z čehož plyne, že 𝑓0 a 𝑓𝑁 2⁄ jsou reálná.

Pro hodnoty v uzlových bodech platí

𝑓(𝑥𝑗) = 𝑓0 + ∑ 𝑓𝑚𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗) + ∑ 𝑓𝑚𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗)

−1

𝑚=−𝑁 2⁄

𝑁 2⁄

𝑚=1

(26.2.15)

položme 𝑚 = 𝑚′ − 𝑁 dostaneme

𝑓(𝑥𝑗) = 𝑓0 + ∑ 𝑓𝑚𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗) + ∑ 𝑓−𝑚𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝑚′ − 𝑁)𝑥𝑗)

𝑁−1

𝑚′=𝑁 2⁄

𝑁 2⁄

𝑚=1

(26.2.16)

Ale

(𝑚′ − 𝑁)𝑥𝑗 = 𝑚′𝑥𝑗 − 2𝜋𝑗

(26.2.17)

odtud je

𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝑚′ − 𝑁)𝑥𝑗) = 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚′𝑥𝑗)

(26.2.18)

400

proto platí

𝑓(𝑥𝑗) = ∑ 𝑔𝑚𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑚𝑥𝑗)

𝑁−1

𝑚=0

(26.2.19)

Kde

𝑔𝑚 = 𝑓𝑚 pro 𝑚 = 0, 1, … , 𝑁 2⁄ − 1

𝑔𝑚 = 𝑓−𝑚 pro 𝑚 = 𝑁 2⁄ + 1, … . , 𝑁 − 1 (26.2.20)

𝑔𝑁 2⁄ = 2𝑓𝑁 2⁄ reálný

V tomto tvaru je spektrální vyjádření funkce připraveno pro použití FFT.

Pro použití FFT se zadávají reálné a imaginární složky komplexní posloupnosti 𝑔𝑚.

Proto položíme 𝑔𝑚 = 𝑎𝑚 + 𝑖𝑏𝑚 𝑝𝑟𝑜 𝑚 = 0, 1, … . , 𝑁 − 1. Podle vztahu (26.1.20) platí

𝑔𝑁−𝑚 = 𝑎𝑚 − 𝑖𝑏𝑚 a také, že 𝑏0 = 𝑏𝑁 2⁄ = 0. Odtud máme též 𝑎𝑁−𝑘 = 𝑎𝑘 , 𝑏𝑁−𝑘 = −𝑏𝑘 pro

𝑘 = 0, 1, … . , 𝑁 2⁄ . Proto při transformaci reálné posloupnosti 𝑌(0), 𝑌(1), … . , 𝑌(𝑁 − 1) jsou

komplexní koeficienty spektrální reprezentace zadávány ve tvaru posloupnosti jejích reálných

a imaginárních složek 𝐴(0), 𝐵(0), 𝐴(1), 𝐵(1), … . , 𝐴(𝑁 2⁄ ), 𝐵(𝑁 2⁄ ) s tím, že 𝐵(0) =

𝐵(𝑁 2⁄ ) = 0. Obě posloupnosti mají tedy zadaných členů, tedy N stupňů volnosti.

Připomeňme, že N je sudé přirozené číslo.

Transformace ze spektrálního do fyzikálního prostoru má tedy tvar

𝑌𝑗 = ∑ 𝑔𝑘𝑒𝑥𝑝(𝑖 𝑗𝑘 2𝜋/𝑁)

𝑁−1

𝑘=0

(26.2.21)

transformace k ní inversní je tedy

𝑔𝑘 =1

𝑁∑ 𝑌𝑗𝑒𝑥𝑝(−𝑖 𝑗𝑘 2𝜋/𝑁)

𝑁−1

𝑗=0

(26.2.22)

Transformaci do spektrálního prostoru a zpět je v modelu ALADIN prováděna subrutinou

FFT991 Tento program provádí transformaci reálné posloupnosti délky N, kde N musí být

součinem mocnin čísel 2,3 a 5 a zároveň musí nýt sudé. Před prvním vyvoláním subrutiny

FFT991 musí být vyvolána subrutina SET99, která spočítá hodnoty trigonometrických funkcí,

které potřebuje FFT991. Tyto programy byly vyvinuty V ECMWF Clivem Tempertonem

[13]. Nemáme-li tyto programy k dispozici, můžeme použít některý jiný dostatečně obecný

FFT program pro transformaci komplexních posloupností, například program vyvinutý v IBM

Richardem Singeltonem [9].

26.3. Spektrální reprezentace dvojdimensionálních polí

V úvodu můžeme říci, že použití spektrálních metod bylo motivováno snahou o

eliminaci chyby vznikající při advekci horizontálním větrem. Tato chyba je nazývána početní

dispersí fázové rychlosti vln. Fázová rychlost vln při advekci počítané diferenčními metodami

N

401

závisí nesprávně na délce vlny a to tak, že čím je vlna kratší, tím se pohybuje pomaleji, až

vlny délky dvou kroků v síti jsou stacionární. Tím výpočet advekce mění tvar vln a není

zejména pro kratší vlny dostatečně přesný. Další výhoda spektrální metody spočívá v tom, že

při ní můžeme odstranit chybu nesprávné interpretace krátkých vln (aliasing error), která vede

k nelineární instabilitě, tím že odstraníme nežádoucí nejkratší vlny, které vznikají při

nelineární advekci. Tento problém je podrobně popsán ve dvanácté kapitole. Poslední výhoda

spektrální metody spočívá v tom, že ve spektrálním prostoru se nám soustava rovnic semi-

implicitního schématu rozpadne na jednotlivé jednoduché rovnice. Řešení třírozměrné úlohy

semi-implicitního schématu pak provedeme metodou redukce dimenze. I když v současné

době se již advekce obvykle nepočítá pomocí členů zapsaných v Eulerově tvaru pomocí

derivací vypočtených ve spektrálním prostoru, a tedy fázová rychlost vln nebude počítána tak

přesně, druhé dvě výhody spektrální metody zůstávají. V současné době se totiž z důvodů

efektivnosti modelů používají semi-Lagrangeovské metody, ve kterých se advekce počítá

interpolací prognostické proměnné do výchozího bodu trajektorie v daném časovém kroku.

Po provedení biperiodizace prognostických funkcí, které transformujeme do

spektrálního prostoru a počítáme jejich derivace podle horizontálních proměnných, jsou tyto

funkce již hladkými periodickými funkcemi a pro jejich reprezentaci použijeme harmonické

funkce. Výhodou této volby je, že v obou směrech horizontálních proměnných se používá

rychlá Fourierova transformace a transformační metoda je velmi efektivní.

Spektrální reprezentace funkce dvou proměnných

Označme délky stran oblasti 𝐶 ∪ 𝐼 ∪ 𝐸, ve směru os souřadnic x, y na které

jsou funkce periodické 𝐿𝑥, 𝐿𝑦. Nechť 𝑄(𝑥, 𝑦) je libovolná hladká periodická funkce, jejichž

výpočet horizontálních derivací požadujeme. Pak tuto funkci můžeme vyjádřit následujícím

rozvojem

𝑄(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑄𝑚𝑛

𝑁

𝑛=−𝑁

𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚2𝜋

𝐿𝑥𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛

2𝜋

𝐿𝑦𝑦)

𝑀

𝑚=−𝑀

(26.3.1)

Uvádíme zde uřezaný tvar (truncated form) řady, to znamená, že uvažujeme pouze konečný

počet členů řady, i když v matematické analýze je tato řada nekonečná. O tomto konečném

zbytku řady budeme v dalším hovořit jako o uřezání (truncation).

Ze vztahu (26.3.1) vyplývá, že je největší vlnové číslo uvažované ve

směru osy x a je největší vlnové číslo uvažované ve směru y.

Ve spojité formulaci jsou koeficienty rozvoje dány následujícími integrály:

𝑄𝑚𝑛 =

1

𝐿𝑥𝐿𝑦∫ ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)

𝐿𝑦

0

𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑚2𝜋

𝐿𝑥𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑛

2𝜋

𝐿𝑦𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐿𝑥

0

(26.3.2)

xL/M 2

yL/N 2

402

Poznamenejme, že pro zjistíme, že 𝑄00 je střední hodnota funkce Q v dané oblasti,

což je vlastně i fyzikální význam této hodnoty.

Integrály se po diskretizaci změní v exaktní kvadratury pro jednotlivé složky

Fourierovy řady, tedy pro módy, které v součtu po uřezání zůstanou. To dovoluje ve

fyzikálním prostoru použít regulární síť, tedy síť s konstantním krokem stejným v obou

směrech. Nechť počet uzlových bodů ve směru osy x je J a počet uzlových bodů ve směru osy

y je K, potom

𝑄𝑚𝑛 =

1

𝐽𝐾∑ ∑ 𝑄(𝑥𝑗 , 𝑦𝑘)

𝐾−1

𝑘=0

𝐽−1

𝑗=0

𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑚2𝜋

𝐿𝑥𝑥𝑗) 𝑒𝑥𝑝 (−𝑖𝑛

2𝜋

𝐿𝑦𝑦𝑘)

(26.3.3)

kde

𝑥𝑗 =𝑗

𝐽𝐿𝑥 , 𝑦𝑘 =

𝑘

𝐾𝐿𝑦

(26.3.4)

Kvadratura je exaktní v tom smyslu, že přidání nových bodů, a tedy také nových módů, nemá

vliv na hodnoty koeficientů členů nízkého řádu, tedy módů nízkých frekvencí. To platí ovšem

za předpokladu, transformované funkce jsou dostatečně hladké. Velkou předností právě

tohoto dvourozměrného Fourierova rozvoje spočívá v tom, že pro jeho realizaci se v obou

směrech používá FFT, která i při zvětšování počtu členů řady zůstává efektivní.

Proměnná x tedy zde probíhá interval jedné periody, tedy interval ⟨0, 𝐿𝑥⟩ s uzlovými

body (26.3.4). Délky kroku ve směru os x, y jsou 𝐿𝑥 𝐽⁄ a 𝐿𝑦 𝐾⁄ . Výraz 2𝜋𝑥 𝐿𝑥⁄ , respektive

2𝜋𝑦 𝐿𝑦⁄ probíhá interval ⟨0,2𝜋⟩. To odpovídá intervalu FFT ⟨0,2𝜋⟩, na kterém jsou uzlové

body sítě definovány vztahy

𝑥𝑗 =𝑗

𝐽2𝜋 , 𝑦𝑘 =

𝑘

𝐾2π

Délka nejdelší vlny ve směru osy x je tedy rovna 𝐿𝑥 a přísluší ji vlnové číslo 1. Obdobně ve

směru osy y.

Vztah mezi body ve fyzikálním prostoru a módy ve spektrálním prostoru

Abychom se mohli vyjadřovat zcela jasně a přesně, ujasníme si nejdříve pojem modus.

Tím zde rozumíme jednoduchou sinusovou vlnu s určitým vlnovým číslem k. Modus je tedy

určen svým vlnovým číslem, amplitudou a fází, a představuje harmonický pohyb. Můžeme jej

zapsat také ve tvaru složky Fourierovy řady, tedy ve tvaru 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥, a také ve

tvaru jednoduché sinusové vlny 𝐶 sin(𝑘𝑥 − 𝑥0), kde C je amplituda vlny a 𝑥0 fázová

konstanta. Rozložíme-li předchozí sinus na součet, dostaneme

𝐶 sin(𝑘𝑥 − 𝑥0) = 𝐶(cos 𝑘𝑥 sin 𝑥0 + sin 𝑘𝑥 cos 𝑥0) = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥 (26.3.5)

kde

𝐴 = 𝐶 sin 𝑥0 , 𝐵 = 𝐶 cos 𝑥0 (26.3.6)

Tyto obě vyjádření jsou ekvivalentní, neboť známe-li A a B je amplituda a fáze rovna

𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2 a 𝑥0 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝐴 𝐵⁄ ) (26.3.7)

0 nm

403

Rovnice (26.3.1) a (26.3.3) jednak zahrnují 2𝑀 + 1 a 2𝑁 + 1 módů a z druhé strany

ve fyzikálním prostoru J a K bodů. Tato čísla nejsou samozřejmě na sobě nezávislá.

Reálné funkce jedné proměnné jsou v spektrálním prostoru popsány M módami, (do

módů ovšem nezapočítáváme průměrnou hodnotu funkce), a ve fyzikálním prostoru

ekvivalentně 2M body. Pro určení amplitudy módu je třeba minimálně dvou bodů, ale v tomto

případě není fáze správně určena. Nicméně, spočítáme-li součiny takových diskrétních funkcí

(polí) ve fyzikálním prostoru, vytvoří se tím informace o vlnových číslech větších než M.

Když pak provedeme kvadraturu (25.3.3) na té samé síti po provedení tohoto součinu ve

fyzikálním prostoru, koeficienty vyšších řádů obsahují chybu nesprávné interpretace krátkých

vln (aliasing error): nedokážeme zde rozlišit amplitudy módů které by měly být vně uřezání a

tím se dostanou do uřezání, tedy zpět do uvažované konečné části řady. Při delším výpočtu to

pak vede k nelineární instabilitě.

Abychom se vyhnuli chybám nesprávné interpretace – aliasingu potřebujeme více

bodů pro daný počet módů. Počet bodů závisí na nejvyšším řádu součinu, který je třeba

uvažovat pro řešení fyzikálního problému. V případě původních rovnic (primitive equations),

jsou kritickými členy popisující horizontální advekci. V modelu používajícím sférické

souřadnice, nebo rovinu s kartézským systémem souřadnic jsou tyto členy pouze kvadratické,

neboť jsou součinem pouze dvou proměnných, složky rychlosti a derivace advehované

veličiny. V modelech LAM používajících kartézské souřadnice konformní mapy se objevuje

ještě další proměnný činitel, koeficient zkreslení mapy. Pro optimálně zvolenou mapu pro

danou předpovědní oblast je možné dosáhnout toho, že koeficient zkreslení mapy se v celé

oblasti liší jen málo od jedné a navíc se prostorově mění jen nepatrně. V tomto případě se

ukazuje, že efekt zkreslení mapy nemá na nesprávnou interpretaci vln – aliasing prakticky

žádný vliv a jej lze bez problémů zanedbat.

Poznamenejme, že počet bodů požadovaných pro FFT je J pro x a K pro y. To je méně

módů, které použijeme v uřezání, než počet módů, který spočteme pomocí FFT: přebytečné

módy položíme rovny nule před inversní transformací, protože do této doby nemají na

výpočty vliv.

Struktura koeficientů dvojných Fourierových řad

Původní pole reprezentované výrazem (26.3.1) je reálné. To dovoluje redukci počtu

potřebných koeficientů, tato vlastnost platí i ve spojitém případě. Ze skutečnosti, že řady jsou

uřezané, vyplývají další vztahy.

Transformaci (25.3.1) můžeme rozdělit na dva kroky. Prvním krokem je transformace

podél osy x. Dostaneme tak koeficienty Fourierova rozvoje ve tvaru

𝑄(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑄𝑚(𝑦)𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚2𝜋

𝐿𝑥𝑥)

𝑀

𝑚=−𝑀

(26.3.8)

Protože jde o reálnou funkci je třeba pouze polovina komplexních koeficientů, neboť je

404

𝑄−𝑚 = 𝑚 (26.3.9)

Připomeňme, že pruh nad písmenem označuje komplexně sdružené číslo. Máme tedy pouze

M módů a reálnou střední hodnotu. Každá z funkcí proměnné y je však komplexní. Její další

transformace vede pro každé m ke dvěma nezávislým koeficientům 𝑄𝑚𝑛 a 𝑄𝑚

−𝑛.

Jinými slovy řečeno, na rozdíl od sféry, kde transformace ve směru poledníku nemá vliv na

změnu fáze, na oblasti anuloidu připouštějí změnu amplitudy i fáze v obou směrech.

Ze stejných důvodů platí totéž, když provedeme transformaci y a potom x. Můžeme

ukázat, že pro reálná pole platí

𝑄−𝑚−𝑛 = 𝑚

𝑛 , 𝑄−𝑚 𝑛 = 𝑚

−𝑛 (26.3.10)

Což je standardní matematické vyjádření výše uvedeného tvrzení.

Uvažujme nyní konečné uřezání, které je charakterizováno maximálními vlnovými

čísly M a N. Spektrální reprezentace polí je izotropní. To znamená, že osy x a y můžeme ve

fyzikálním prostoru otáčet a spektrální reprezentace tedy na tomto otáčení nezávisí. Eliptické

uřezávání definujeme vztahem

𝑛𝑚𝑎𝑥2 (𝑚)

𝑁2+

𝑚𝑚𝑎𝑥2 (𝑛)

𝑀2≤ 1

(26.3.11)

Pro ty, co studovali spektrální metodou, používanou v globálních modelech

poznamenejme, že toto uřezání má tytéž vlastnosti pro rovinu s kartézským systémem

souřadnic, jako trojúhelníkové uřezávání pro sférické harmonické funkce na kouli.

Isotropii musíme chápat tak, že se týká sítě bez délkového rozměru, tedy

⟨0,2𝜋⟩⟨0,2𝜋⟩. Na takovéto síti hodnoty harmonických funkcí závisejí pouze na indexu a počtu

uzlových bodů. Síť s danou délkou kroku zejména pro derivace, které jsou odvozeny z této

sítě, tuto vlastnost isotropie nezachovávají. Je to v případě, když 𝛿𝑥 ≠ 𝛿𝑦. Tyto prostorové

kroky 𝛿𝑥 a 𝛿𝑦 jsou vypočteny geografickými programy.

Pro každé vlnové číslo n (respektive m) určuje nerovnost (26.3.11) kolik módů m

(respektive n) musíme uvažovat. Pro každou dvojici vlnových čísel (𝑚, 𝑛) musíme uvažovat

dvojici komplexních čísel pokaždé, když provedeme lineární výpočet. Můžou to být (𝑄𝑚𝑛 ,

𝑄 𝑚−𝑛 ), nebo jiná ze tří dvojic, které jsme konstruovali.

Shrneme-li nyní transformaci do spektrálního prostoru abychom obdrželi spektrální

reprezentaci funkcí dvou proměnných. Transformace je provedena pomocí tří

jednodimensionálních FFT. První FFT je transformací reálné funkce 𝑄(𝑥, 𝑦) vzhledem

k proměnné x obdržíme tak koeficienty rozvoje, které jsou funkcemi proměnné y. Je to reálná

a imaginární část komplexního koeficientu, což můžeme graficky znázornit

𝑄(𝑥, 𝑦) -------- FFT -------→ 𝑄𝑚(𝑦) = 𝑄𝑚𝑟(𝑦) + 𝑖𝑄𝑚𝑖(𝑦)

Další dvě FFT aplikujeme postupně na reálnou a imaginární část 𝑄𝑚(𝑦), poznamenejme, že

obě tyto posloupnosti jsou reálné. To můžeme následovně graficky znázornit

𝑄𝑚𝑟(𝑦) -------- FFT -------→ 𝑄𝑚𝑟𝑛 = 𝑄𝑚𝑟

𝑛𝑟 + 𝑖𝑄𝑚𝑟𝑛𝑖

𝑄𝑚𝑖(𝑦) -------- FFT -------→ 𝑄𝑚𝑖𝑛 = 𝑄𝑚𝑖

𝑛𝑟 + 𝑖𝑄𝑚𝑖𝑛𝑖

Protože šlo o reálné posloupnosti, připomeňme, že platí (25.2.10).

Pro pole Q jsou tedy koeficienty příslušné vlnovým číslům (𝑚, 𝑛) označeny následovně:

𝑄𝑚𝑟𝑛𝑟 , 𝑄𝑚𝑟

𝑛𝑖 , 𝑄𝑚𝑖𝑛𝑟, 𝑄𝑚𝑖

𝑛𝑖

405

Dá se ukázat, že na rozdíl od dvojice komplexních čísel, které můžeme vybrat mezi čtyřmi

možnostmi, jsou tato čtyři reálná čísla jednoznačně určena. Jsou zejména také nezávislá na

pořadí proměnných, ve kterém se počítají. Nezávisejí na tom, zda začneme s transformací

vzhledem k x nebo y.

Tato reprezentace je účelná nejen z hlediska omezení počtu jednoduchých operací, je

však také přirozeným důsledkem použitím FFT podprogramů. Je to proto, že programy FFT

zde pracují na reálných polích. Je tedy důležité, že přehození pořadí transformací mění pouze

mezivýsledky, nemění však hodnoty konečného výsledku.

Abychom přešli od jedné reprezentace k jiné, zvolme libovolně dvojici komplexních

čísel: (𝑄𝑚𝑛 , 𝑄 𝑚

−𝑛). Pak je:

𝑄𝑚 ,𝑟𝑛 = 𝑄𝑚𝑟

𝑛𝑟 − 𝑄𝑚𝑖𝑛𝑖

𝑄𝑚 ,𝑖𝑛 = 𝑄𝑚𝑟

𝑛𝑖 + 𝑄𝑚𝑖𝑛𝑟

(26.3.12)

𝑄𝑚 ,𝑟−𝑛 = 𝑄𝑚𝑟

𝑛𝑟 + 𝑄𝑚𝑖𝑛𝑖

𝑄𝑚 ,𝑖−𝑛 = −𝑄𝑚𝑟

𝑛𝑖 + 𝑄𝑚𝑖𝑛𝑟

Zatímco obráceně máme

𝑄𝑚𝑟𝑛𝑟 =

1

2(𝑄𝑚 ,𝑟

𝑛 + 𝑄𝑚 ,𝑖−𝑛 )

𝑄𝑚𝑟𝑛𝑖 =

1

2(𝑄𝑚 ,𝑖

𝑛 − 𝑄𝑚 ,𝑖−𝑛 )

(26.3.13)

𝑄𝑚𝑖𝑛𝑟 =

1

2(𝑄𝑚 ,𝑖

𝑛 + 𝑄𝑚 ,𝑖−𝑛 )

𝑄𝑚𝑖𝑛𝑖 =

1

2(𝑄𝑚 ,𝑟

𝑛 − 𝑄𝑚 ,𝑟−𝑛 )

Výpočet derivací ve spektrálním prostoru

Lineární operátory s konstantními koeficienty můžeme snadno transformovat pomocí

rovnice (26.3.2) a integrace po částech. Jednoduché výpočty derivací, které nám spektrální

technika umožnuje, jsou její hlavní předností.

Při obvyklém zápisu matematické analýzy máme

(𝜕′𝑥)𝑚𝑛 = 𝑖𝑚 (

2𝜋

𝐿𝑥) 𝑄𝑚

𝑛 , (𝜕′𝑦)𝑚

𝑛= 𝑖𝑛 (

2𝜋

𝐿𝑦) 𝑄𝑚

𝑛 (26.3.14)

Z předchozích vztahů můžeme odvodit vztahy, pomocí kterých obdržíme čtyři reálné hodnoty

pro vlnová čísla (𝑚, 𝑛). Pro derivaci podle x ve spektrálním prostoru máme

(𝜕′𝑥)𝑚𝑟𝑛∗ = −𝑚 (

2𝜋

𝐿𝑥) 𝑄𝑚𝑖

𝑛∗ , (𝜕′𝑥)𝑚𝑖𝑛∗ = 𝑚 (

2𝜋

𝐿𝑥) 𝑄𝑚𝑟

𝑛∗ (26.3.15)

406

kde hvězdička ve vztazích znamená stejný znak, buď oba znaky r, nebo oba znaky i.

Obdobně zapíšeme čtyři reálná čísla reprezentující derivaci podle y

(𝜕′𝑦)𝑚∗

𝑛𝑟= −𝑛 (

2𝜋

𝐿𝑦) 𝑄𝑚∗

𝑛𝑖 , (𝜕′𝑦)𝑚∗

𝑛𝑖= 𝑛 (

2𝜋

𝐿𝑦) 𝑄𝑚∗

𝑛𝑟 (26.3.16)

Spektrální vlastnosti funkcí Fourierových rozvojů

Studujme nyní ještě spektrální vlastnosti jednotlivých členů rozvoje (26.3.1), tedy

členů, které označme jako 𝜑𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦), tedy

𝜑𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝑄𝑚

𝑛 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚2𝜋

𝐿𝑥𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛

2𝜋

𝐿𝑦𝑦)

(26.3.17)

Derivováním předchozího vztahu podle proměnné x dvakrát dostaneme

𝜕2

𝜕𝑥2𝜑𝑚

𝑛 (𝑥, 𝑦) = −𝑄𝑚𝑛 𝑚2 (

2𝜋

𝐿𝑥)

2

𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚2𝜋

𝐿𝑥𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛

2𝜋

𝐿𝑦𝑦)

(26.3.18)

Obdobný vztah platí pro i pro derivování podle y odkud pro Laplaceův operátor máme

∇2𝜑𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) = −𝑄𝑚

𝑛 (𝑚2 (2𝜋

𝐿𝑥)

2

+ 𝑛2 (2𝜋

𝐿𝑦)

2

) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑚2𝜋

𝐿𝑥𝑥) 𝑒𝑥𝑝 (𝑖𝑛

2𝜋

𝐿𝑦𝑦)

(26.3.19)

Označme nyní

𝛽𝑚𝑛 = 𝑚2 (

2𝜋

𝐿𝑥)

2

+ 𝑛2 (2𝜋

𝐿𝑦)

2

(26.3.20)

Pak platí

∇2𝜑𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) + 𝛽𝑚

𝑛 𝜑𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) = 0 (26.3.21)

A funkce 𝜑𝑚𝑛 (𝑥, 𝑦) jsou vlastními funkcemi Laplaceova operátoru a 𝛽𝑚

𝑛 jsou k nim

příslušnými vlastními čísly.

Tyto vztahy je možné použít k výpočtu hodnot Laplaceova operátoru, ale ještě

důležitější jsou pro řešení soustav lineárních rovnic vzniklých při semiimplicitní časové

aproximaci. Řešení těchto soustav se provádí redukcí dimenze. Při této spektrální metodě se

pomocí spektra Laplaceova operátoru redukuje třídimenzionální systém na lineární rovnice

jednodimenzionálních úloh ve směru vertikály. Formulace semiimplicitní aproximace je jinak

v podstatě stejná jako v čistě diferenčních modelech.

Zhodnocení spektrální metody s výše popsanou metodou biperiodizace

Pro kontrolu funkce spektrální metody s biperiodizací bylo zvoleno pole orografie.

Toto dvojdimensionální pole se pro tento účel hodí velmi dobře, protože pole je definované ve

fyzikálním prostoru a vzhledem k velké proměnlivosti orografické plochy není po odečtení

z map v původním stavu příliš hladké a obsahuje tedy i velmi krátké nežádoucí vlny.

407

Studujeme proto spektrální doplnění (spectral fit) tohoto pole orografické plochy. Spektrálním

doplněním zde rozumíme tento postup: biperiodizaci, transformaci do spektrálního prostoru a

uřezání. Spektrální doplnění v tomto smyslu je operátorem. Pro správnou funkci metody je

žádoucí, aby tento operátor byl projekčním operátorem. To v matematice znamená, že

aplikujeme-li tento operátor na pole proměnné dvakrát, výsledek je stejný jako když tento

operátor aplikujeme jen jednou. Ve formálním zápisu pro takový operátor platí PPx=Px.

Praktické zkoušky se spektrálním doplněním pole orografie ukázaly, že tento operátor je

prakticky přesně projekčním operátorem. Při časové integraci modelu se dobře osvědčil.

Závěrem můžeme tedy shrnout

Model ALADIN stejně jako ostatní spektrální modely používá spektrální reprezentaci pouze

pro horizontální proměnné x, y. Ve směru obou os je použita diskrétní Fourierova

transformace, která je realizována algoritmem rychlé Fourierovy transformace, označovaným

běžně FFT (Fast Fourier Transform). V ALADINU je použit algoritmus FFT, který vyvinul

Cliv Temperton v ECMWF. Na vertikální ose a pro časovou aproximaci jsou použity

konečné diference. Časové schéma je semiimplicitní, vzniklé soustavy rovnic jsou řešeny ve

spektrálním prostoru. K tomu je třeba, aby spektrální bázové funkce byly vlastními funkcemi

Laplaceova operátoru, ovšem v použitém systému souřadnic. Tento požadavek je splněn pro

sférické funkce a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích a také pro Fourierovy báze a

Laplaceův operátor v kartézských souřadnicích, neboli v rovině. Při použití kartézského

systému na konformní mapě, kde se v Lapaceově operátoru vyskytuje navíc faktor zkreslení

mapy, však Fourierovy báze bohužel vlastními funkcemi nejsou. Pro malou oblast na

zeměkouli a vhodně zvolené mapě můžeme dosáhnout, že koeficient zkreslení je v celé

předpovědní oblasti blízký jedné a v Laplaceově operátoru zkreslení zanedbat. V tomto

případě nemá toto zjednodušení na řešení rovnic semiimplicitního schématu podstatný vliv. Z

tohoto důvodu je model ALADIN použitelný pouze na menší oblasti, což bylo ovšem

záměrem celého projektu. I z názvu modelu, který je zkratkou (napsáno zde v českém

překladu) „adaptace na omezené oblasti vyvinutou mezinárodně“. Úkolem modelu ALADIN

je adaptace předpovědi poskytované modelem ARPEGE pro vybraný region pro ještě

jemnější síť, než ji může poskytnout přímo model ARPEGE. Protože tento LAM je řízen

modelem ARPEGE, který mu poskytuje rovněž počáteční data, používá části jeho software, je

tento model oficiálně označován jako ARPEGE/ALADIN.

Lteratura

[1] Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walch J. L.: The Theory of Splines and Their Application.

Academic Press 1967, New York and London.

[2] ARPEGE/aladin: adiabatic model equation and algorithm. By Alain Joly, Mars 1992.

Interní technická zpráva Météo France.

[3] Forsythe G. E., Malcolm M. a., Moler C. b.: Computer methods for mathematical

computation, Prentice-Hall, INC, Englewood Cliffs, N. J. 1977.

[4] Haugen Jan Erik, Machenhauer Bennert : A Spectral Limited- Area Model Formulation

with Time-dependent Boundary Conditions Applied to the Shallow – Water Equations

Monthly Weather Review Vol. 121, September 1993, s. 2618 – 2630.

408

[5] Jarraud M. and Simmons A. J.: The Spectral Technique, European Centre for Medium

Range Weather Forecast Reading, U. K., C. August 1994

[6] Juan H-M Henry, Kanamitsu Masao: The NMC Nested Regional Spectral Model.

Monthly Weather Review Vol. 122, January 1994, s. 3 – 25.

[7] Kallberg P.: Test of a Lateral Boundary Relaxation Scheme in a Barotropic Model.

ECMWF Internal Report 3, February 1977.

[8] Segami A., Kurihara K., Nakamura H., Ueno I. T.,Tatsumi Y.: Operational MesoScale

Weather Prediction with Japan Spectral Model, Journal of the Meteorological Society of

Japan, Vol. 67, No. 5, October 1989, s. 907-923.

[9] Singlton Richard C.: An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier

Transform. IEEE Transition on Audio and Electroacoustic Vol. 17, No 2, s. 93-103.

[11] Swartztrauber P.N. in: Parallel Computations, ed. G. Rodrigue, Academic Press 1982.

[12] Tatsumi Yuasuo: A Spectral Limited-area Model with Time-dependent Lateral Boundary

Condition and Its Application to Multi-level Primitive Equation Model.

Journal of the Meteorological Society of Japan, Vol. 64, No. 5, October 1986, s. 637- 663.

[13] Temperton Clive: Fast Mixed-Radix Fourier Transforms. Journal of Computational

Physics 52, 340-350 (1983)

[14] Tichonov, A. N. - Arsenin, V. J.: Metody rešenija nekorrektnych zadač. Nauka 1974.

409

27. Inicializace meteorologických modelů a gravitační vlny

Problematika inicializace předpovědních modelů je velmi rozsáhlá a bylo o ní

v průběhu posledních šedesáti let napsáno neskutečně mnoho prací. Toto množství literatury

je dáno také tím, že metody ale i principy inicializace se s pokrokem v oblasti numerické

integrace modelů značně měnily. Kapitola o inicializaci předpovědních modelů je zde proto

pojata spíše jako historie jejího vývoje.

Existence gravitačních vln vyplývá z rovnic dynamiky atmosféry a tyto vlny jsou

předmětem studia prakticky v každé učebnici dynamické meteorologie. Byla jim také

věnována část třinácté kapitoly. Obvykle se však jejich studium obvykle omezuje na jejich

fázovou rychlost. Hlavní význam gravitačních vln v meteorologii ovšem spočívá v tom, že

jsou součástí jednoho z hlavních mechanizmů při procesu geostrofického přizpůsobení.

Rovnovážný stav atmosféry, který je v podstatě stále blízký geostrofické rovnováze, je

narušován pohybem hmoty atmosféry polem větru, tedy advekcí. Proces geostrofického

přizpůsobení naopak směřuje k obnovení této rovnováhy. Odstraníme-li z rovnic advekci, pak

řešení vzniklého lineárního systému se v průběhu času přibližuje ke stavu geostrofické

rovnováhy. Tento proces je nazýván geostrofickým přizpůsobením. Velmi podrobný výklad

tohoto procesu lze najít v článku William Blumen [2]. Je přitom zajímavé, že při tomto

procesu a ovšem i ve skutečné atmosféře je amplituda gravitačních vln s vyšší frekvencí velmi

malá a změny přízemního tlaku probíhají vzhledem k frekvencím rychlých gravitačních vln

pomalu. Jejich existenci ve skutečné atmosféře můžeme identifikovat na velmi citlivém

mikrobarografu, jako kolísání přízemního tlaku. V kapitole o normálních módách jsme tyto

vertikální pohyby rozložili podle jejich vlastních kmitů, tedy spektra, kde jsme viděli, že se

jejich celkový vlnový pohyb se skládá ze součtu vertikálních pohybů různých frekvencí a tedy

i fázových rychlostí. Modus, který má nejvyšší frekvenci, má také nejvyšší fázovou rychlost,

se nazývá vnější gravitační vlnou. Její fázová rychlost se blíží k rychlosti zvuku. Při výpočtu

modelu je možné zjistit, že srovnáme-li vertikální módy podle frekvence, můžeme říci,

kolísání přízemního tlaku se podílí pouze módy o dvou až tří nejvyšších frekvencí. První úspěšné předpovědní modely počítané po druhé světové válce byly založeny na

geostrofické aproximaci. Pro předpověď výšky hladiny 500 hPa, která je přibližně hladinou

nondivergence, jako počáteční data stačilo pole geopotenciálu této hladiny. To určovalo

geostrofický vítr, tedy pole proudění atmosféry. Pole rozložení hmoty a proudění bylo v tomto

modelu stále přesně v geostrofické rovnováze a v modelu se nevyskytovaly gravitační vlny. Je

zajímavé, že mechanizmus vývoje takové atmosféry, který piopisoval pouze advekci a

horizontální Rossbyho vlny, pak nepoužíval tu skutečnost, že atmosféra se svou váhou opírá o

zemský povrch. Změna nastala, až s modely, které již geostrofickou aproximaci nepoužívaly. Jeden

z prvních, kdo na tyto problémy s modely, které již obsahovaly gravitační vlny, tedy modely

mělké vody, nebo baroklinní modely s hydrostatickou aproximací poukázal a také je

matematicky studoval, byl profesor K. Hinkelmann [9] který analyticky řešil linearizovaný

systém zjednodušených rovnic meteorologického modelu. Vlnové pohyby rozdělil na

meteorologické a na nepatřičný šum, v článku je také navrženo, jakým způsobem tento šum

odstranit. Tím vlastně byl formulován problém konzistence počátečních podmínek modelů.

410

Problém počátečních podmínek, spočívá v tom, že je třeba, aby pole rozložení hmoty

atmosféry a pole proudění bylo v počátečních datech v rovnovážném stavu v tom smyslu, že

gravitační vlny, které jsou obsaženy v jeho dalším časovém vývoji, mají pouze malé

amplitudy. Proces jejich odstranění z počátečních podmínek se nazývá inicializací

počátečních podmínek, odstranění nežádoucích vln v počáteční fázi jejich časové integrace

se nazývá dynamickou inicializací modelu. V průběhu posledních šedesáti let bylo vyvinuto

více různých způsobů řešení tohoto problému, proto se jednotlivými procesy nebudeme příliš

podrobně zabývat, ale vysvětlíme si spíše jejich principy.

Na problém počátečních dat narazil již ve svém pokusu na konci první světové války

Lewis F. Richardson [14], o jehož pokusu jsme se zmínili již v 1. Kapitole. Tehdy pro získání

počátečních dat neexistovala radisondážní měření a z přízemních dat se dalo zjistit pouze

celkové rozložení hmoty atmosféry, tedy pole přízemního tlaku. Pole větru proto musilo být

odvozeno z tlakového pole a tehdy ze vztahů geostrofického větru. Princip, že inicializace

vychází z termobarického pole, a vhodné pole proudění – větru je z něho odvozeno, bylo

používáno při prvních metodách inicializace. Věnujme se nyní tomuto postupu.

Balanční rovnice

První metody inicializace tedy vycházely z výpočtu proudění z pole rozložení hmoty

atmosféry, tedy z tlakového pole. Návrh této metody by publikován Normanem A. Phillipsem

[13] již v roce 1959. Za dostatečně obecný vztah mezi tlakovým polem a polem větru

odpovídající reálné atmosféře byla tehdy považována balanční rovnice. Tu jsme odvodili

v kapitole 5. pro rovnice mělké vody. Odvození rovnice vychází z divergenčního teorému,

který můžeme napsat tak, že popisuje individuální časovou změnu divergence

𝑑

𝑑𝑡𝑑 + (

𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

−𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) + 𝑔∇2ℎ = 0

(27.1)

Horizontální divergence d je pro procesy synoptického měřítka v atmosféře malá a měla by se

měnit jen pomalu. Rychlé změny horizontální divergence jsou při předpovědi generovány

nežádoucími gravitačními vlnami, které vznikají, když pole proudění neodpovídá poli

rozložení hmoty atmosféry. Položíme-li individuální časovou změnu divergence rovnu nule,

pak je jasné, že dostaneme takto rovnici, jejíž řešení tyto nežádoucí vlny neobsahuje.

Dostáváme tak balanční rovnici, která je diagnostickým vztahem mezi tlakovým polem a

polem prouděním proudění. Balanční rovnici můžeme psát proto ve tvaru

(𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

−𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) + 𝑔∇2ℎ = 0

(27.2)

Zajímá-li nás pouze rotační složka tohoto větru, můžeme položit divergenci rovnu nule

𝑑 =𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

(27.3)

V tomto případě lze balanční rovnici ještě upravit. Umocníme-li vztah (26.3) na druhou,

máme

411

(𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ (𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

= −2𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

(27.4)

Tři nelineární členy balanční rovnice můžeme proto napsat ve tvaru

(𝜕𝑢

𝜕𝑥)

2

+ 2𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ (

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

2

= 2 (𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −2 ∙ 𝐽(𝑢, 𝑣)

(27.5)

kde 𝐽(𝑢, 𝑣) je Jacobiho determinant, který je roven

𝐽(𝑢, 𝑣) = ||

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

|| =𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦−

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑥

(27.6)

Balanční rovnici můžeme pro nedivergentni proudění pasát ve tvaru

−2𝐽(𝑢, 𝑣) −𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) = −𝑔∇2ℎ

(27.7)

který nám rovněž vyjadřuje rovnováhu mezi silami gradientu tlaku a ostatními silami,

obecnější a přesnější než je geostrofická aproximace. Z hlediska matematiky je balanční

rovnice nelineární parciální diferenciální rovnicí Monge-Ampérova typu. Je studována

například v knize R. Couranta [6]. Problémem je, že rovnice je eliptického typu jen za dalších

předpokladů. Pro tlakové pole to znamená, že tlakové výšky nesmí být příliš výrazné, což

celkem neodporuje skutečnosti. Při použití této rovnice pro výpočet pole proudění je třeba

řešit tuto nelineární parciální diferenciální rovnici, obvykle formulovanou pro výpočet

proudové funkce. Tuto rovnici je však možné řešit pouze relativně složitým iteračním

procesem, v jehož každém kroku je třeba řešit okrajovou úlohu pro Poissonovu rovnici.

Ukázalo se však, že pro jednoduchou inicializaci, která je lepší než geostrofický vítr

postačí, když v balanční rovnici vynecháme nelineární členy. Rovnice se zjednoduší na

rovnici

−𝜕

𝜕𝑥(𝑓𝑣) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑓𝑢) = −𝑔∇2ℎ

(27.8)

Vynecháme-li v rovnicích mělké vody všechny členy kromě dvou největších, dostaneme

vztahy geostrofické ho větru tvaru

𝑓𝑢 = 𝑔𝜕ℎ

𝜕𝑦 𝑓𝑣 = −𝑔

𝜕ℎ

𝜕𝑥

(27.9)

Vypočteme-li z těchto vztahů vorticitu, tak, že první vztah derivujeme podle y a druhý podle x

a tyto vztahy od sebe odečteme, dostaneme rovnici (26.8). Z toho vyplývá, že tato rovnice

určuje nedivergentní tedy rotační část geostrofického větru. To je fyzikální význam rovnice

(26.8). Dosadíme-li do této rovnice za složky větru proudovou funkci

412

𝑢 = −𝜕𝜓

𝜕𝑦 𝑣 =

𝜕𝜓

𝜕𝑥

(27.10)

a zanedbáme-li derivace Coriolisova parametru, což je u geostrofického větru obvyklé,

dostáváme v tomto případě pro proudovou funkci Poissonovou rovnicí tvaru

∇2𝜓 =𝑔

𝑓∇2ℎ

(27.11)

Dostaneme tak samozřejmě nedivergentní pole proudění. Určitý problém zde činí okrajové

podmínky, protože rovnice (27.11) obecně neurčuje řešení jednoznačně. Problémy

rekonstrukce větru z vorticity a divergence se zabývá několik článků Petra Lynche, například

[10]. I když tato inicializace vcelku vyhovuje, jejím jistým nedostatkem je, že nedivergentní

pole větru nemá vertikální rychlosti, což má vliv na výpočet srážek v prvních šesti hodinách

integrace, po kterých synoptické vertikální rychlosti mají již odpovídající hodnoty.

Inicializace, které vycházejí se zadaného pole větru i geopotenciálu

Všechny další způsoby inicializace vycházejí již nejen z pole geopotenciálu, ale také

z pole horizontálních složek větru. Je ovšem třeba podotknout, že i když objektivní analýza

pole větru vychází z naměřených hodnot horizontálních složek větru, je navíc prakticky vždy

nějakým způsobem svázána s polem geopotenciálu. K tomu se používají vztahy odvozené z

geostrofického větru, nejčastěji vztahy termálního větru. Pro analýzu větru se tedy používá

přímo také pole geopotenciálu.

Metody inicializace se také liší podle toho, zdali se inicializace provádí pro globální

předpovědní model, nebo model na omezené oblasti, označovaný zkratkou LAM.

Pro globální předpovědní modely se používá inicializace pomocí horizontálních

normálních módů. Tuto metodu navrhl dánský meteorolog Bennert Machenhauer [12]. Tato

metoda byla vyvinuta pro globální i spektrální diferenční modely a byla úspěšně použita

Tempertonem a Williamsonem v ECMWF [17]. Metody inicializace jsou používány

v současnosti ve spojení s metodami asimilace dat. Poněkud jiný přístup byl použit v NMC

v USA. Joseph Sela [15] v globálním spektrálním modelu použil spektrální analýzu, kterou

vyvinul T. Flattery [7], která je založena na rozvoji pomocí Houghových funkcí, které jsou

řešením slapových rovnic. Sela navíc používá pro časovou integraci zpětné semiimplicitní

schéma, které potlačuje krátké vlny v poli divergence a tím je vlastně další dynamickou

inicializací.

Pro modely LAM byly zkoušeny v podstatě tři různé způsoby inicializace. Jsou to:

1. Metoda omezených derivací autorů Browning G., Kasahara A., Kreiss H.-O [4].

Srovnání s metodou nelineárních normálních módů je uveden v práci [1]. Tato metoda

se však v praxi příliš neuplatnila.

2. Velmi úspěšná metoda používající vertikální normální módy, která byla využita ve

více modelech, je popsána v článcích [3], [5], [16], [17], [18].

3. Nejnověji je používána metoda digitálního filtru. Tuto metodu vyvinuli Peter Lynch a

Xiang-Yu Huang [11], pro model severské skupiny HIRLAM, zabývající se vývojem

modelů s vysokým rozlišením na omezené oblasti. Tato metoda inicializace je použita

také pro inicializaci v modelu ALADIN, který je v současné době v denním provozu v

413

ČHMU. Tato metoda je založena na tom, že parciální diferenciální rovnice

hyperbolického typu lze integrovat i v čase nazpět. Adiabatický systém řídících rovnic

meteorologie bez difuzních členů, tedy i bez parametrizace tření je rovněž systémem

parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu.

Implementace metody digitálníhi filtru je velmi jednoduchá. Pro systém

adiabatických rovnic se provedou dvě integrace na 3 hodiny. Jedna v čase vpřed a

druhá v čase vzad. Pak se časová řada prognostických proměnných v každém uzlovém

bodě násobí časově proměnnou váhou a výsledky se sečtou. Váhy digitálního filtru

jsou dány jednoduchým analytickým výrazem. Teorie digitálních filtrů je podrobně

vyložena v knize Hamminga [8]. Po filtraci obdržíme velice dobře inicializovaná

počáteční data. Osobně si myslím, že tato metoda je zdokonalením metody použité

v jednom z prvních německých modelů. Tento model byl integrován na 6 hodin,

potom byl z předpověděných hodnot prognostických proměnných v jednotlivých

uzlových bodech udělán aritmetický průměr v čase z předpověděných hodnot a ten byl

považován za předpověď na 3 hodiny a byl vzat jako počáteční inicializovaná data pro

další integraci. Můžeme si zde všimnout zajímavé skutečnosti, že se v obou případech

byl vzat časový interval 6 hodin. Je také známé, vychází-li předpověď

z nedivergentního pole, tedy bez vertikálních rychlostí, pak během šesti hodin

integrace obdržíme odpovídající vertikální rychlosti.

Metoda inicializace pomocí normálních módů pro modely na omezené oblasti

Nyní se věnujme ještě podrobněji metodě inicializace pomocí vertikálních

normálních módů. S tímto způsobem inicializace mám vlastní zkušenosti, protože jsme jej

použili v modelu vyvinutém pro každodenní předpověď v ČHMU. Tento způsob inicializace

se velmi osvědčil. Inicializace vycházela z prací australských meteorologů, Bourke W.,

McGregor J. L [3] a je uveřejněna v článku Radmila Bubnová-Brožková [5]. Práce Clive

Temportona [16], [17], kde je tato metoda podrobně studována vyšly až později. Metoda je

založena na následujícím postupu. Vezmeme linearizovanou separabilní část rovnic modelu,

jejíž separabilnost byla dosažena tím, že skutečnou teplotu je nahradíme referenčním

vertikálním profilem teploty, který je zvolen ze standardní atmosféry. Tím profil teploty

závisí pouze na vertikální souřadnici 𝜎 a nezávisí tedy na horizontálních souřadnicích x, y.

Tento systém je v podstatě stejný, jako systém pro semiimplicitní opravu explicitního

schématu. Při semiimplicitní opravě je však místo referenčního teplotního profilu je zvolena

konstantní teplota 300 stupňů Kelvina. Je zde třeba poznamenat, že vertikální módy jen málo

závisí na vertikálním profilu teploty a proto je možné místo skutečné teploty zvolit její

referenční profil. Bez problému by bylo možné i pro inicializaci použít stejně tak, jako pro

semiimplicitní korekci zvolit konstantní teplotu 300K, stejně jako pro semiimplicitní korekci.

Pro iniciallizaci vypočteme vertikální normální módy a baroklinní model, který je složen

vertikálně z K vrstev rozložíme pomocí normálních módů na K modelů mělké vody.

Popisovaná metoda inicializace byla použita pro model popsaný v kapitole 17.

Eulerovské baroklinní modely a lze ji použít i pro semi-Lagrangeovské modely, ty se liší od

Eulerovských modelů výpočtem advekce a mají obvykle stejnou linearizovanou část.

Linearizovaný systém řídících rovnice pak můžeme psát ve tvaru

414

𝜕𝐮

𝜕𝑡− 𝑓0𝐯 +

𝜕𝐏

𝜕𝑥= 𝟎

𝜕𝐯

𝜕𝑡+ 𝑓0𝐮 +

𝜕𝐏

𝜕𝑦= 𝟎

(27.12)

𝜕𝐏

𝜕𝑡+ 𝐆𝐝 = 𝟎

Kde tučnými písmeny jdou označeny vektory-sloupce ve směru souřadnice 𝜎, 𝑓0 je průměrná

hodnoty Coriolisova parametru, d vektor divergence horizontálního větru. G je čtvercová

matice vertikální struktury, řádu K. Její vyjádření je popsáno v kapitole 22. Vertikální

normální módy. Výpočet matice Q, která matici G diagonalizuje, je vyložen v kapitole a

v kapitole 20. Redukce dimenze. Je tedy

𝐐−𝟏𝐆𝐐 = 𝐋 (27.13)

Matice vertikální struktury je konstruována tak, aby její vlastní čísla byla reálná různá a její

vlastní vektory ortogonální. Sloupce matice Q jsou vlastními vektory matice G a diagonále

matice L jsou vlastní čísla matice G, která jsou reálná a navíc kladná. Tyto vlastní čísla proto

můžeme označit jako druhé mocniny čísel c, a můžeme tedy položit 𝐋 = diag (𝑐𝑘2). Kde 𝑐𝑘

2

jsou pak čtverce fázových rychlostí gravitačních vln na mělké vodě. Ekvivalentní hloubky

mělké vody jsou 𝐻𝑘 = 𝑐𝑘2 𝑔⁄ , kde g je tíhové zrychlení Země. Diagonální matici L můžeme

také vyjádřit pomocí ekvivalentní hloubky hladin mělké vody, tedy 𝐋 = diag (𝑔𝐻𝑘). Po

transformaci do prostoru vertikálních módů, tedy po vynásobení maticí 𝐐−𝟏 zleva označíme

proměnné pruhem. Klademe tedy = 𝐐−𝟏𝐮, = 𝐐−𝟏𝐯, …Dostáváme tak K soustav rovnic

mělké vody pro K módů, tedy vlastních kmitů diskrétního modelu atmosféry tvaru

𝜕𝑘

𝜕𝑡− 𝑓0𝑘 +

𝜕𝑘

𝜕𝑥= 0

𝜕𝑘

𝜕𝑡+ 𝑓0𝑘 +

𝜕𝑘

𝜕𝑦= 0

(27.14)

𝜕𝑘

𝜕𝑡+ 𝑔𝐻𝑘𝒌 = 0

Tím je třírozměrná úloha převedena na K dvoudimensionálních úloh pro rovnice mělké vody.

Pro filtraci gravitačních vln je výhodné soustavu napsat ve varu pro změnu vorticity a

divergence, tedy

𝜕𝑘

𝜕𝑡= −∇2𝑘

𝜕휁

𝜕𝑡= −𝑓0𝑘

(27.15)

𝜕𝑘

𝜕𝑡+ 𝑔𝐻𝑘𝒌 = 0

415

Budeme-li předpokládat řešení těchto rovnic ve tvaru postupné vlny, dostaneme obecně tři

hlavní módy. Protože jsme v linearizovaných rovnicích zvolili Coriolisův parametr

konstantní, jsou Rossbyho vlny stacionární a mají tedy frekvenci rovnou nule, Zbývají zde

pouze gravitační vlny. Pro filtraci gravitačních vln z modelů mělké vody jsme použili metodu

navrženou Bourkem a McGregorem [3]. Pro rovnice (26.15), kde je i koeficient zkreslení

mapy položen rovný jedné. Podle Machenhauera budou gravitační oscilace potlačeny,

splníme-li filtrační podmínku danou vztahy

𝜕 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡⁄ = 0⁄ (27.16)

podmínka. Řešení rovnic filtrace je pro zvolený vertikální módus rovnic mělké vody je

prováděno iterační metodou, přičemž abychom v inicializačním procesu nepoškodily

Rossbyho módus, musí být pro korekce v jednotlivých krocích iterace splněna podmínka

𝑓0𝛿 − 𝑔𝐻𝛿휁 = 0

Filtrace se neprovádí pro všechny vertikální módy, ale pouze pro tři módy s nejvyššími

ekvivalentními hloubkami s fázovými rychlostmi 303 m/s, 133 m/s a 52 m/s. Při zařazení

dalších módů 66 m/s, 25 m/s vznikají problémy s konvergencí iteračního procesu.

Po provedení této filtrace ve třech modelech mělké vody s nejvyššími fázovými rychlostmi

přejdeme zpět do fyzikálního prostoru násobením vektorů proměnných maticí Q. Tím je

inicializace hotova.

Definici horizontálních normálních mód pro systém rovnic mělké vody a inicializaci

lineárního systému i nelineárního systému s pravou stranou rovnic také podrobněji popsal

francouzský meteorolog Régis Juvanon du Vachat v článku[19].

Je jasné, že tento inicializace pomocí vertikálních normálních módů je vhodná pro

diferenční modely LAM, kde rovnice semiimplicitního schématu jsou řešeny také pomocí

normálních módů. V takových modelech je tato metoda inicializace jejich přirozenou

součástí. Ve spektrálním modelu LAM jako je ALADIN, se vertikální módy nepoužívají, a

proto popsané schéma inicializace by bylo pro tento model cizí a zbytečně složité. Pro

inicializaci modelu ALADIN byla proto zvolena metoda digitálního filtru.

Gravitační vlny při integraci modelu můžeme snadno kontrolovat následovně. Zvolíme

si uvnitř výpočetní oblasti pevně jeden uzlový bod horizontální sítě. V tomto bodě si necháme

vytisknout v každém časovém kroku, nebo prostě zobrazit graf přízemního tlaku. Na tomto

grafu vidíme dobře jeho časové oscilace. Ty způsobují zmíněné tři gravitační módy

s nejvyššími fázovými rychlostmi. Časové oscilace jsou pak jejich superpozicí. Když je

inicializace dobře provedena, nemají se v grafu oscilace vyskytovat a časové změny

přízemního tlaku by měly být bez rychlých změn. Pro posouzení funkce inicializace můžeme

také pro zajímavost srovnat oscilace při integraci modelu bez inicializace a s inicializací.

Literatura

[1] Bijlsma S.,J., Hafkenschied L. M.: Initialization of Limited Area Model: A Comparison

between the Nonlinear Normal Mode and Bounded Derivate Method. Mon. Wea. Rev. 114,

1986, s. 1445-1455.

[2] Blumen William: Geostrophic Adjustment, Reviews of Geophysics and Space Physic,

Vol.19, No. 2, pp. 485-526.

[3] Bourke W., McGregor J. L.: A nonlinear Vertical normal Mode Initialization Scheme for

A Limiter Area Prediction Model. Mon. Wea. Rev. 111, 1983, s. 2285-2297.

416

[4] Browning G., Kasahara A., Kreiss H.-O.: Initialization of Primitive Equations by the

Bounded derivate Method. J. of the Atmospheric Sciences Vol. 37. (1980) pp. 1424-1436.

[5] Bubnová R.: Inicializace normálními mody v inovovaném lokálním modelu ČHMU.

Meteorologické Zprávy Ročník 42- 1989, č. 2, s. 43-47.

[6] Courant Richard: Partial differential equations. Methods of Mathematical Physics by R.

Courant and D. Hilbert Volume II, New York-London 1962. (též ruský překlad 1964)

[7] Flattery T. W.: Hough function. Dep. of Geophysical Sciences, The University of

Chicago, NSF Tech. Rep. No. 20 (1967) 175 pp.

[8] Hamming R. W: Digital Filters. Second Edition, Prentice-Hall, USA 1983. (Ruský překlad

1987)

[9] Hinkelmann K.: Der Mechanismus des meteorologischen Lärmes. Tellus 3, (1951), s. 285-

296.

[10] Lynch P.: Deducing the Wind from Vorticity and Divergence. Mon. Wea. Rev. 116,

1988, s. 86-93.

[11] Lynch Peter and Xiang-Yu Huang: Initialization of the HIRLAM Model Using Digital

Filter. Mon. Wea. Rev. 120, 1992, s. 1019-1034.

[12] Machenhauer B.: On the Dynamics of Gravity Oscillations in a Shallow Water Model,

with Applications to Normal Mode Initialization. Beitrage zur Physik der Atmosphäre, 50,

1977 s. 253-271.

[13] Phillips Norman A.: On the Problem of Initial Data for the Primitive Equations. Tellus

XII (1960) p. 121-126.

[14] Richardson L. F.: Weather Prediction by Numerical Process.Cambridge Univ. Press.

London 1922.

[15] Sela J. G.: Spectral Model at the National Meteorological Center. Mon. Wea. Rev. 108,

1980, s. 1279-1292.

[16] Temperton Clive: Implicit Normal Mode Initialization. Mon. Wea. Rev. 116, 1988, s.

1013-1031.

[17] Temperton Clive, Roch Michael: Implicit normal Mode Initialization for an Operational

Regional Model. Mon. Wea. Rev. 119, 1991, s. 667-677.

[18] Temperton C., Williamson D. L.: Normal Mode Initialization for a Multilevel Grid-Point

Model. Part I: Linear Aspects. Mon. Wea. Rev. 109, 1981, s. 729-742.

[19] Vachat R. J.: A General Formulation of Normal Modes for Limited-Area Models:

Application to Initialization, Mon. Wea. Rev. 114, 1986, s. 2478-287.

417

28. Základní informace o parametrizacích používaných

v modelech

V první kapitole části 1.2. jsme formulovali zákony jimiž se řídí vývoj atmosféry. Ty

vycházely jednak se zákonů zachování fyzikálních veličin a jednak z vnějších vlivů, které

mění hodnoty těchto proměnných v zákonech zachování. Tím se předpovědní model skládá

v podstatě ze dvou základních částí, dynamické části modelu a parametrizací.

Dynamické jádro modelu, popisuje vývoj atmosféry na základě zákonů zachování je

formulováno v podobě řídících rovnic. Je založeno na třech základních zákonech zachování.

Zákonu zachování hmoty atmosféry, ten je vyjádřen rovnicí kontinuity. Zákonu zachování

hybnosti. Protože hybnost je vektor, má tento zákon zachování tři složky. Posledním je zákon

zachování energie, který se používá ve tvaru termodynamické rovnice. Rovnice, které tyto

zákony vyjadřují, mají ovšem na pravé straně nuly. V tomto případě by se celkové hodnoty

zmíněných prognostických proměnných na oblasti, do které vzduch nevtéká a ani z ní

nevytéká, zůstaly zachovány. Děje, které popisuje, jsou proto adiabatické. Přesto rovnice

dovolují vzájemné přeměny energií, například přeměny totální potenciální energii na pohyb,

tedy kinetickou energii a popisují tedy změnu hybnosti. Aby model dostal tu pravou

dynamiku, slouží právě parametrizace, které mění hybnost a energii. K rovnicím dynamické

části modelu můžeme přidat i další zákony. Tyto, mohou i do jisté míry ovlivňovat dynamiku

atmosféry, ale v podstatě jsou vzhledem k dynamice modelu pasivní. Je to zákon zachování

vlhkosti, který je formulován jako rovnice advekce směšovacího poměru vodní páry a je

základem pro výpočet srážek. Dále například zákony zachování různých příměsí v atmosféře,

používané v ekologických úlohách. Parametrizace vyjadřují tedy změny hodnot v zákonech

zachování.

Parametrizace také mění typ rovnic. Dáme-li na pravou stranu rovnic zachování hybnosti

tření, jehož síla působí ve směru proti vektoru větru, pomocí kterého se modeluje vliv

orografie, mění se typ rovnic z hyperbolického na parabolický. Totéž se stane, přidáme-li na

pravou stranu rovnic difuzi, která znemožňuje, aby velké gradienty prognostických

proměnných vznikající nelinearitou rovnic se nezměnily na diskontinuity. Ve skutečné

atmosféře také diskontinuity nevznikají, protože tomu skutečně difuzní procesy zabraňují.

V synoptické meteorologii se ovšem taková místa velkých gradientů pokládají za

diskontinuity a nazývají frontami.

Druhou stejně důležitou fyzikální částí modelu jsou parametrizace. Ty jsou jako funkce

na pravých stranách rovnic zákonů zachování a ty právě mění stav atmosféry vnějšími vlivy.

Do těchto vlivů obsažených v parametrizacích jsou zahrnuty zejména procesy v atmosféře

menšího měřítka, které rozlišení diskrétního modelu popisuje pro jednotlivé body sítě. Jsou to

parametrizace přítoku tepelné energie do atmosféry ať slunečním zářením, uvolňováním

latentního tepla při srážkách, vyzažování tepelné enrgie do vesmíru. Ty mají rozhodující vliv

na změny klimatu. Do parametrizací patří také velmi důležitý výpočet srážek. Zde je třeba

řící, že v modelech jsou počítány do jisté míry nezávisle srážky dvojího druhu. Jednak tak

zvané stratiformní srážky, které jsou dány víceméně dynamickou částí modelu, a jednak

srážky které vznikají při konvekci. Ty mají z horizontálního prostorového měřítka malý

rozměr, a jsou proto typickým předmětem podsíťových parametrizací. Problém je také, že

418

místo, kde a kdy tyto konvektivní srážky vznikonou není možné přesně předpovědět, dá se

pouze předpovědět, že v dané oblasti a v daném čase tyto konvektivní srážky pravděpodobně

vzniknou. Ve skutečné atmosféře vznikají oba typy srážek často společně a nelze tyto

stratiformní srážky synoptického charakteru od sebe v pozorováních oddělit. Srážky

synoptického měřítka vznkají především při přechodu atmosférických front. Výstupné

pohyby vzduchu zde vznikají v podstatě advekcí, kdy teplý vzduch je vysouván nad klín

studeného vzduchu. Tím v atmosféře vzniká přesycení vodní párou, kondenzace a srážková

voda, zároveň stím se uvolňije latentní teplo kondenzace, které ohřívá vzduch, a toto teplo

může případně iniciovat i konvekci. Stratiformní srážky se počítají od stratosféry směrem

k Zemi, přičemž srážková voda postupně propadá až nazemský povrch.

V modelech mezi důležité parametrizace patří konvekce ve vlhkém vzduchu. Ve vlhkém

vzduchu dochází při výstupních pohybech kondenzace vodní páry a uvolňování latentního

tepla, které podporuje konvektivní výstupné proudy. Konvekce pak může vznikat i při nižším

gradientu teploty, než je suchoadiabatický gradient teploty. Úkolem suchoadiabatického

konvektivního přizpůsobení je pouze odstranění labilních oblastí v atmosféře, zejména

v oblastech, kde je atmosféra velmi suchá, tedy například nad pouštěmi. I když parametrizace

konvekce má v atmosféře také podobný efekt, jejím hlavním úkolem je však výpočet

konvektivních srážek. Konvekce také proto zvyšuje množství srážek a to často v oblasti

výskytu stratiformních srážek. I když v místech, kde se konvektivní srážka vyskytne, naprší

hodně vody, k celkovému množství srážkek na dané oblasti to však nedá vlký příspěvek.

Parametrizace konvektivních srážek vycházejí ze dvou základních prací. Jeden způsob

výpočtu je popsán článku Kua [5], druhý systém výpočtu konvektivních srážek pochází od

Arakawy a Schuberta [1] a v modelech je často používán [3], [5], [6].

Důležitou parametrizací je tření o zemský povrch. Parametrizace tření se používá

k modelování vlivu hor na pohyb atmosféry. V hydrostatických modelech tato parametrizace

nahrazuje do jisté míry dynamiku nehydrostatického modelu. Aby tuto nehydrostatickou

dynamiku parametrizace co nejlépe nahradily, jsou tyto parametrizace poměrně složité.

Původní parametrizace tření uvažovaly pouze zvýšené třní, které bylo dáno pouze výškou

pohoří v daném místě a velmi nízkým třením nad vodní hladinou.

Formulace parametrizací záleží také na typu modelu. Protože globální modely pro

střednědobou předpověď mají menší rozlišení, jsou jejich parametrizace tomuto rozlišení

přizpůsobeny. Parametrizace modelů na omezené oblasti, jejichž výpočty jsou prováděny na

sítích s jemnějším rozlišením a předpověď je počítána na relativně kratší dobu se proto

poněkud od parametrizací globálních modelů liší.

Je zajímavé, že parametrizace prakticky nezávisejí na tom, jakým způsobem je numericky

integrována dynamická část modelu, je-li použita spektrální metoda, diferenční či metoda

konečných elementů. Je to tím, že parametrizace jsou počítany vždy pro uzlové body

výpočetní sítě. Je proto obvyklé, že na dynamické části modelu a na vývoji parametrizací

pracují dva různé týmy.

Fyzikální parametrizace modelů jsou rozsáhlou oblastí předpovědních metod a

vyžadovaly by samy celou rozsáhlou monografii, a navíc je tato oblast modelování ve stálém

rychlém vývoji. Proto se zde omezím pouze na ukázku realizace principu zachování celkové

energie sloupce při suchoadiabatickém konvektivním přizpůsobení. Konvektivní přizpůsobení

je důležité pro hydrostatické modely. V těchto modelech chybí přenos tepelné energie

419

konvekcí, a proto se v některých částech atmosféry může teplo hromadit. Přenos tepelné

enrgie je také obsažen v paramertrizacích mokré konvekce zároveň s výpočtem konvektivních

srážek. Nicméně zajímavá je zde realizace zákona zachování celkové energie vzruchového

sloupce.

Historicky začal vývoj složitějších parametrizací ve Spojených státech. Velký tým, který

vedl významný americký meteorolog Joseph Smagorinsky (ředitel NOAA – National Oceanic

and Atmospheric Administration), se zde zabýval formulováním a vyzkoušením celého

systému parametrizací pro celokoulové cirkulační modely. Je evidentní, že také

parameterizace střednědobých globálních modelů vyvinutých v ECMWF [3] ve Velké

Británii z prací tohoto týmu vycházejí.

Podrobnné informace o parametrizacích modelu ALADIN, který je v současné době

v provozu v ČHMU je možné získat z článku Filipa Váni [9] uveřejněném v časopisu

Meteorologické zprávy. Pro studium parametrizací je možné doporučit Pielkeho knížku [8]

Mesoscale Meteorological Modeling.

28.1 Suchoadiabatické konvektivní přizpůsobení

Při řešení suchoadiabatického konvektivního přizpůsobení v modelu vždycky musíme

předpokládat, že teplotní zvrstvení je stabilní. Když se v některé části svislého sloupce

vzduchu vyskytne instabilní teplotní zvrstvení, pak musíme upravit v tomto sloupci rozložení

teplot tak, abychom toto instabilní zvrstvení odstranili. Ve skutečné atmosféře se to děje

procesem tepelné konvekce, která určitou část tepelné energie přenáší směrem vzhůru. Při

modelování tohoto procesu na počítači vyjdu z těchto dvou fyzikálních předpokladů:

1) celková vnitřní energie sloupce zůstane zachována

2) po úpravě profilu teploty ve sloupci se instabilní teplotní zvrstvení změní na

indiferentní.

Předpokládáme dále, že atmosféra zůstává stále v hydrostatické rovnováze a je tedy

splněna hydrostatická rovnice. V tomto případě je vnitřní energie sloupce úměrná

potenciální energii sloupce a zavádí se pojem totální (celkové) potenciální energie.

Úprava teploty ve sloupci tedy musí být provedena tak, aby se nezměnila (byla

zachována) celková energie sloupce a jeho hmotnost, vyjádřená přízemním tlakem.

Tato fyzikální fakta se musíme vyjádřit kvantitativně.

Vnitřní energie sloupce je rovna

(28.1.1)

kde je pro sloupec v daném čase je konstantní, nemusíme ji pro energetické úvahy ve

sloupci uvažovat. Budeme proto používat pouze hodnotu jí úměrnou, danou integrálem

(28.1.2)

jehož hodnota musí být zachvána. V modelu se používá diskrétní analogii tohoto integrálu,

součet

1

0

/ TdgpcI sv

gpc sv /

1

0

Td

420

(28.1.3)

Je jasné, že vnitřní energii stačí počítat v intervalu vertikálního sloupce, kde hodnoty teplot

upravujeme, neboť v ostatních částech sloupce teplotu neměníme a nemění se tedy ani

příspěvek vnitřní energie této části sloupce.

Když se konvektivní přizpůsobení provádíme v nad sebou ležících vrstvách od indexu kk až

do k, příspěvek vnitřní energie odpovídající této části sloupce vyjádřit ve tvaru

(28.1.4)

Pro posouzení stability zvrstvení použiji potenciální teplotu vrstev . Ta je definována

vztahem

(28.1.5)

kde je Exnerova funkce příslušná tlaku vrstvy , tedy

(28.1.6)

Kde tlak vrstvy je definován vztahem

(28.1.7)

odkud vidíme, že

(28.1.8)

kde je definováno vztahem . Pro algoritmus konvektivního přizpůsobení

nepotřebujeme však Exnerovu funkci kompletní. Exnerovou funkci napíšeme ve tvaru

(28.1.9)

Protože je pro celý sloupec konstantní, můžeme pro konvektivní přizpůsobení Exnerovu

funkci definovat vztahem

(28.1.10)

a místo se skutečnou potenciální teplotou počítat s jejím násobkem. Pro výpočet

konvektivního přizpůsobení definuji tedy potenciální teplotu vztahem

(28.1.11)

kKV

k

kT 1

lk

kkl

lT

k

kkkT

k*

kp

*

kk p

k

kk

p

pp

lg

*

**

lglgks

k

ks

ks

ks

k pp

p

pp

*

lg

*

*

ksk p

sp

kkk

*

sp

kkkT

*

421

Výhoda tohoto postupu spočívá v tom, že funkce nezávisí na souřadnicích x, y, t a

můžeme ji před výpočtem natabelovat, pro k = 1,……KV. Tato skutečnost platí pouze v

jednoduchém Phillipsově -systému. Výpočet v jednoduchém Phillipsově -systém je proto

nejefektivnější.

Nechť tedy jsou potenciální teploty vrstev definované vztahem (28.15). Protože

indexování vrstev je ve směru rostoucího , tedy I rostoucího tlaku, je teplotní vzrstvení

dvou sousedních vrstev:

+ Stabilní, když

+ Indiferentní, když

+ Instabilní, když

Algoritmus konvettivního přizpůsobení je následující:

Konvektivní přizpůsobení se provádí od země směrem vzhůru. Začíná se porovnáním

potenciálních teplot dvou nejnižších sousedních vrtstev. Je-li třeba, provedeme přizpůsobení

na jednotnou potenciální teplotu (indiferentně zvrstvenou atmosféru) a přiberme se další

vrstvu o indexu kk pro posouzení zvrstvení, kk tedy zmenšíme o 1.

Postupně tak se dostává následující obraz:

Zkoumáme-li teplotní zvrstvení vrstev kk až k, mají tedy vrstvy kk+1 až k indiferentní

zvrstvení a jednotnou potenciální teplotu . Je tedy

(28.1.12)

Zbývá tedy zjistit, zda

1) . V tomto případě nemá interval vrstev kk až k instabilní teplotní zvrstvení a

další instabilní zvrstvení hledáme ve výše položených vrstvách. Proto klademe k = kk a kk

zmenším o 1.

2) . Interval vrstev kk, až k, má indiferentní zvrstvení. Proto přibíráme další

vrstvu na testování stability zvrstvení tím, že kk zmenšíme o 1.

3) . Teplotní zvrstvení intervalu vrstev kk až k, je instabilní, a teploty vrstev

musíme upravit.

V tomto okamžiku je vidět, že kdybychom při konvektivním přizpůsobení uvažovali vždy

pouze dvě vrstvy, kk a kk+1, vzniklo by nové instabilní zvrstvení vrstvy kk+1 vzhledem k

vrstvě kk+2 až k. Algoritmus by pak neodstranil ve sloupci instabilní zvrstvení.

Nyní z fyzikálních podmínek 1) a 2) vypočtu nové přizpůsobené teploty. Po konvektivním

přizpůsobení budou mít vrstvy kk až k indiferentní zvrstvení, a tedy stejnou potenciální

teplotu, kterou označme . Aby příspěvek vnitřní energie vrstev, kk až k, zůstal zachván,

musí být splněna rovnost

(28.1.13)

Tento vztah nám určuje

*

k

k

1 kk

1 kk

1 kk

k

kkkkkk 121 ..........

kkk

kkk

kkk

ll

k

kkl

ll

k

kkl

l

**

422

(28.1.14)

Z této hodnoty pak vypočtu nové hodnoty teplot podle vztahu

kde l = kk, … , k (28.1.15)

Pro zefektivnění programu jsem výpočet upravil dále takto: hodnoty pro

l =1, …, KV se při výpočtu modelu nemění a jsou rovněž natabelovány předem.

Výraz (28.1.14) pro přepíši ve tvaru

(28.1.16)

kde jsem označil

(28.1.17)

(21.18.18)

Hodnoty EN a ENJ počítám postupným načítáním.

Cyclus konvektivního přizpůsobení ve sloupci startuje s hodnotami k = KV a

kk = KV-1 a je ukončen, když kk <1. Cyklus se provádí tak dlouho, dokud neproběhne

bez přizpůsobování, tj. když ve sloupci není již nikde instabilní teplotní zvrstvení. Je

samozřejmé, že konvektivní přizpůsobení se provádí na konci každého časového

integračního kroku pro všechny uzly horizontální předpovědní sítě.

Literatura

[1] Arakawa A., Schubert W. H.: Interaction of Cumulus Cloud Ensamble with the Large-

Scale Einvironment, Part I, (1974) Journal of the Atmosperic Sciences Vol. 31, pp. 674-701.

[2] Dubal M. Wood N. Staniforth A.: Analysis of Paraller versus Sequential Splitttings for

Time-Stepping Physical Parametrizations, Monthly Weather Review Vol. 132, No. 1, pp. 121-

132, (2004)

[3] European Centre for Medium Range Weather Forecast, Technical Report No 10: ECMWF

Model – Parameterizations of Sub – Grid Scale Processes 1979, by Tiedteke M., Geleyn J-F.,

Hollongsworth A., Louis J-F. (pp. 46)

k

kkl

ll

k

kkl

lll

*

*

*

llT

ll

*

ENJ

EN kkkkkkk

*

lk

kkl

lEN

*

kkkkl

k

kkl

l ENENJ

**

423

[4] GerrityF.: The LMF Model - 1976. NOAA Technical Memorandum NWS NMC 60,

National Meteorological Center Washington, D. C. December 1977, (67 stran)

[5] Kuo H. L.: Further Studies of the Parameterization of the Influence of Cumulus

Convection on Large-Scale Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, Vol. 31, (1974), pp.

1232-1240.

[6] Moorthi S., Suarez J. M.: Relaxed Arakawa-Schubert: A Parameterization of Moist

Convection for General Circulation Models, Monthly Weather Review Vol. 120, pp. 978-

1002, (1992)

[7] Newell J. E., Deaven D. G.: The LMF-II Model 1980. NOAA Technical Memorandum

NWS NMC 66. Washington, D. C. September 1981, (20 stran)

[8] Pielke R. A.: Mesoscale Meteorological Modeling, Academic Press 1984, 612 pp.

[9] Váňa Filip: Fyzikální parametrizace v modelu ALADIN. Meteorologické Zprávy. Ročník

51-1998 číslo 2.

424

29. Příprava dat pro předpovědní modely-objektivní analýza

Tato kapitola má spíše informativní charakter. Je to proto, že toto téma je velmi

rozsáhlé a podrobnější popis postupného vývoje metod objektivní analýzy a současného stavu

v této oblasti by naplnil samostatnou rozsáhlou monografii. Omezím se proto na výklad

základních principů a postupů metod objektivní analýzy.

Prvním krokem pro časovou integraci jakéhokoliv předpovědního modelu je příprava

vhodných počátečních podmínek. To znamená zadat pole meteorologických proměnných,

které potřebujeme pro integraci modelu, v počátečním čase na oblasti integrace modelu. Tyto

vstupní údaje jsou obvykle zadány diskrétně, tedy hodnotami na pravidelné síti uzlových

bodů. Horizontální souřadnice se používají podle typu modelu. Pro modely na omezené

oblasti je to obvykle pravidelná čtvercová síť vytvořená průsečíky přímek rovnoběžných

s osami souřadnic kartézského systému v rovině konformní mapy. Pro globální modely síť

daná průsečíky geografických souřadnic. Oblast integrace je v horizontálním směru obvykle

obdélníková a to i pro globální modely, kde v horizontálním směru oblast nemá žádné

hranice. V tomto případě jsou na hranicích obdélníkové oblasti určité periodické okrajové

podmínky. Ve směru rovnoběžek jsou tyto podmínky obvyklé periodické. Ve směru

poledníků je situace o něco složitější. Póly jsou v tomto případě singulární body systému

souřadnic, což se projevuje tím, že všechny uzlové body severní a obdobně i jižní stany

obdélníka jsou obrazem severního, respektive jižního pólu. Hodnoty jsou v nich pak

samozřejmě stejné. Zvláštním případem jsou složky větru. Složky větru při přechodu přes pól

se vlivem změny orientace souřadnic přechodem na poledník, jehož zeměpisná délka se

změnila o 180 stupňů, změní znaménko na opačné. Trojrozměrnou síť pak tvoří průsečíky

svislých polopřímek vycházejících z uzlových bodů horizontální sítě se souřadnicovými

plochami vertikálního systému souřadnic. Pro objektivní analýzu se dříve používal p-systém

vertikální souřadnice. Výhoda tohoto systému spočívá v tom, že údaje jsou v tomto systému

ihned interpretovatelné, neboť nezávisejí na orografické ploše. Také hodnoty radiosondážních

i dalších měření jsou zadávány v bodě měření jako funkce tlaku, tedy vlastně v p-systému.

V současné době jsou pro objektivní analýzu používány metody založené na asimilaci dat.

Tyto metody jsou spojené s časovou integrací předpovědního modelu. Proto se pro objektivní

analýzu používají většinou tytéž systémy vertikální souřadnice, které jsou použity

v předpovědním modelu. Bývá to tedy 𝜎-systém nebo 휂-systém vertikální souřadnice. Jejich

určitou nevýhodou je závislost analyzovaných hodnot na výšce orografie.

Příprava dat začíná shromažďováním a dešifrací dat z různých meteorologických

zpráv a tedy měření. Dešifrací rozumíme zobrazením dat v počítači ve tvaru vhodném pro

jejich další zpracovávání. Nejdůležitějšími daty popisující stav volné atmosféry jsou

vzhledem k jejich přesnosti hodnoty získané z radiosondážních (balonových) měření. Ty

bývají obsaženy ve zprávách „TEMP“. Dále jsou používána naměřená data na pozemních

stanicích, měření ze satelitů, letadel, lodí i jiná dostupná data.

Dalším krokem procesu je kontrola takto shromážděných dat. Ta je důležitá, protože

při měření a zejména při přenosu dat mohou být data zkomolena a mohou proto vzniknout

velké chyby, které by v objektivní analýze nepříznivě ovlivnily pole počátečních podmínek

pro časovou integraci. Provádí se například kontrola, zda naměřené údaje leží v určitých

425

klimatologicky daných intervalech. Dále se využívá skutečnosi, že výchozí data nejsou na

sobě zcela nezávislá, ale jsou vzájemně svázány určitými vztahy. Například pro model, který

byl provozován v Českém hydrometeorologickém ústavu, jsme pro kontrolu radiosondážních

dat ve zprávách TEMP, kde jsou ve standardních tlakových hladinách dány nejen výšky

takových hladin, ale i teploty, použili následující postup. Za předpokladu hydrostatické

rovnováhy jsme použili kubické spliny proložené metodou nejmenších čtverců tak, aby suma

čtverců odchylek výšek tlakových hladin, ale i ze splinů vypočtených odchylek od zadaných

teplot v uzlových bodech standardních hladin násobené určitými váhami byla co nejmenší. Je-

li tento součet malý, jsou data v pořádku. Když tento součet není dostatečně malý, jsou

v datech chyby. Tato metoda umožňuje i v některých případech jednotlivé chybné údaje

opravit. [1]

Nyní se věnujme vlastnímu procesu objektivní analýzy. Objektivní analýza spočívá

v interpolaci hodnot meteorologických proměnných z nepravidelné sítě bodů, ve kterých

jsou meteorologické údaje měřeny na pravidelnou síť. Pravidelnou sítí rozumíme síť

uzlových bodů, které vzniknou jako průsečíky souřadnicových křivek, například poledníků

a rovnoběžek, nebo pravoúhlých souřadnic na mapě. Ač se to nezdá, je tato úloha, chceme-li

dosáhnout určitou přesnost z hlediska matematiky, dosti obtížná. Jeden z hlavních problémů

spočívá v tom, že měřená data jsou rozmístěna velmi nerovnoměrně. Zatímco například

v Evropě nebo na území USA je dat více, je na území rozvojových zemí dat méně a nad

oceány je dat žalostně málo, zde jsou k dispozici prakticky pouze data z některých ostrovů.

Úkolem objektivní analýzy je také v těchto územích, kde je k dispozici jen málo dat, tyto data

nějakým způsobem doplnit. Objektivní analýza je tedy založena na interpolaci, která se

provádí v horizontálních rovinách, těmito rovinami rozumíme zde plochy konstantního

tlaku v p-systému, konstantního nebo v systémech kopírujících terén.

První pokusy o objektivní analýzu spočívaly na jednoduché horizontální interpolaci

výšek tlakových hladin. Úspěšná, i když ne příliš přesná, metoda spočívala v lineární

interpolaci do uzlového bodu sítě ze tří nejbližších měřících stanic. Metody založené na

interpolaci pomocí polynomů vyššího stupně druhého a třetího stupně, určených pomocí

hodnot v nepravidelně rozmístěných měřících stanic, i když se pro určení interpolačního

polynomu použilo více bodů měření a metoda nejmenších čtverců, se neosvědčily. Chování

takovýchto polynomů mimo měřících stanic je téměř nepředpověditelné a v některých uzlech

sítě byly vypočtené hodnoty zcela chybné. Ukázalo se, že přímá interpolace naměřených

hodnot není tou nejlepší cestou. Mnohem výhodnější je vždy vycházet z nějakého

předběžného přibližného meteorologického pole dané proměnné a místo samotné proměnné

interpolovat pouze odchylky od tohoto předběžného pole, pomocí nich pak můžeme

předběžné pole meteorologické proměnné opravit. Tuto metodu umožňuje snadná a přesná

interpolace z pravidelné sítě modelu do bodů, ve kterých se provádělo měření. Interpolaci

z pravidelné sítě modelu do bodů měření můžeme provést například pomocí Lagrangeových

polynomů druhého nebo třetího stupně. Interpolace odchylek je pak vždy snadnější a

přesnější.

Podívejme se nyní na interpolaci odchylek podrobněji. Zaveďme pro hodnoty

meteorologického prvku označeného písmenem z následující označení:

𝑧𝑃0𝑡 jsou hodnoty předběžného pole v čase t, v uzlových bodech na výpočetní síti modelu,

𝑧𝑁𝑖𝑡 jsou naměřené hodnoty v čase t ve stanicích ležících v okolí uzlového bodu (𝑖 = 1 … , 𝑛),

426

𝑧𝑃𝑖𝑡 jsou hodnoty předběžného pole v čase t interpolované do polohy měřících stanic,

𝑧𝑁𝑖𝑡 − 𝑧𝑃

𝑖𝑡 jsou tedy odchylky naměřených hodnot od předběžného pole v bodech měření,

Výslednou hodnotu v uzlovém bodě výpočetní sítě po interpolaci 𝑧𝐴0𝑡 dostaneme tak, že

k hodnotě předběžného pole přičteme lineární kombinaci odchylek násobených vhodnými

váhami ze vztahu

𝑧𝐴0𝑡 = 𝑧𝑃

0𝑡 + ∑ 𝑝𝑖(𝑧𝑁𝑖𝑡 − 𝑧𝑃

𝑖𝑡)

𝑛

𝑖=1

Mohlo by se někomu zdát, že vztah založený na přičtení lineární kombinace odchylek není

dostatečně obecný, ale není tomu tak. Vždyť i Lagrangeova interpolace má tento tvar, neboť

hodnota v bodě interpolace je dána též lineární kombinací hodnot v uzlových bodech. Celý

vtip spočívá na volbě koeficientů této lineární kombinace. V prvních metodách nazývaných

„korekčními metodami“ byly tyto koeficienty dány pouze jako funkce vzdáleností měřící

stanice od uzlového bodu, do kterého odchylky interpolujeme. Mnohem lepší a přesnější

metoda spočívá na teorii pravděpodobnosti a tedy na matematické statistice. Tato metoda byla

navržena A. N.Kolmogorovem a rozpracována ruskou školou zejména Lvem Gandinem [2] a

později dále zdokonalována v USA i Británii. Tato metoda se nazývá metodou optimální

interpolace a byla po dosti dlouhou dobu v různých modifikacích používána ve většině

světových meteorologických center.

Původní varianta metody navržená v Rusku Gandinem vycházela z předběžného pole, které

bylo klimatickými normály pro uzlové body sítě i měřících stanic. Takovéto pole se však

může od skutečného pole značně lišit. Ukázalo se, že lepším předběžným polem je předpověď

z posledního předešlého termínu. Takto vlastně přirozenou cestou byla vyvinuta metoda

asimilace dat. Tato metoda spočívá v tom, že integrujeme meteorologický model a obvykle

po šesti hodinách integrace výsledky opravujeme optimální interpolací novými naměřenými

údaji. Tato integrace je samozřejmě za vývojem atmosféry o něco zpožděná, neboť nová data

pro opravu stavu musí být naměřena, telekomunikační sítí dopravena do meteorologického

centra zkontrolována a připravena pro vlastní opravu dat. Po opravě dat se ovšem poněkud

poruší rovnovážný vztah mezi polem rozložení hmoty atmosféry s polem proudění. Musí tedy

po opravě dat vždy následovat inicializace těchto vstupních dat pro předpověď na dalších šest

hodin. Tím máme k dispozici každých šest hodin počáteční data pro integraci na delší dobu,

abychom dostali předpověď. Zmínili jsme se již, že měřící body, zejména radiosondážní

stanice, jsou na Zemi velmi nerovnoměrně rozmístěny. V oblastech oceánů, nejsou proto

k dispozici skoro žádná data. Velká výhoda metody asimilace dat spočívá v tom, že integrace

z předchozích termínů postupně určitým způsobem doplní data v těchto oblastech bez měření.

Tato velmi úspěšná metoda měla ovšem také jedno omezení. Vkládání nových dat se při

tomto postupu opakovalo po šesti hodinách, a proto byly použitelné pouze data v těchto

termínech. To znemožňovalo využití dat naměřených mimo tyto termíny, například data

měřená družicemi létajícími na polárních drahách, které měří nepřetržitě, ale ve stále měnícím

se místě, dále data z letadel a lodí, které se také pohybují. Můžeme říci, že každá naměřená

data jsou pro analyzu přínosem. Zejména ve vyšších zeměpisných šířkách, je měření

geostacionárních družic je již pod velkým úhlem. Proto byla metoda asimilace dat dále

zlepšována. Hlavním cílem proto bylo, aby se do modelu při asimilaci dat mohla vkládat

ip

427

průběžně naměřená data. Při tomto postupu je třeba, aby při opravě výchozího pole na

základě naměřených dat nebyla porušena rovnováha mezi polem rozložení hmoty a polem

proudění. To bylo dosaženo novou metodou nazývanou variační asimilací dat, označovanou

také 4D-Var., podle dalšího rozměru – času. Tato metoda produkuje navíc přesnější

analýzu počátečních dat a zlepšuje vyhlídky na přesnější výsledkyintegrace modelu.

Nyní si vysvětlíme principy, na kterých je metoda asimilace 4D-Var. založena.

V předchozích kapitolách jsme modely formulovali pomocí diferenciálních rovnic. Tyto

rovnice byly řešeny numerickými metodami a jejich vstupní údaje i výsledky byly

prezentovány jako hodnoty funkcí v uzlových bodech na regulárních sítích, naměřené

hodnoty jsou pak dány ve známých bodech, jejichž poloha může být závislá i na čase.

Numerický model je pak počítačový program, který počítá časový vývoj atmosféry z daných

počátečních a pro modely na omezené oblasti i bočních okrajových podmínek.

Na meteorologický model se tedy můžeme nyní dívat tak, že počáteční data budeme

považovat za nezávisle proměnné, a výstupy modelu jako na počátečních datech závislé

proměnné. Ty se skládají z časových posloupností meteorologických polí produkovaných

integrací a také z mnoho hodnot, které jsou z těchto meteorologických polí vypočteny.

Úloha variační asimilace dat je obecně formulována tak, že potřebujeme řešit inversní

problém, tedy určit hodnoty vstupních parametrů modelu, které budou odpovídat daným

(pozorovaným) hodnotám výstupních parametrů modelu. Takový inversní problém se obvykle

řeší jako optimalizační úloha, neboli v našem případě přesněji jako variační úloha. V této

úloze je třeba určit vstupní parametry, které minimalizují předepsanou skalární funkci

výstupních parametrů modelu, v našem případě funkci, která je mírou odklonu výstupních

parametrů od pozorovaných veličin.

Máme-li špatně předpověděnou hodnotu, tak nás zajímá, které počáteční hodnoty se na

této chybě podílejí. V tomto případě nás zajímá gradient jedné (vybrané) veličiny, která je

špatně předpověděna vzhledem ke vstupním parametrům, s tím že doufáme, že numerická

hodnota složky gradientu ukáže, na kterou vstupní hodnotu je špatně předpověděná hodnota

citlivá. V této situaci, když chceme určit gradient jednoho výstupního parametru vzhledem

k velkému množství výstupních parametrů, tak se jedná o metodou adjungovaných rovnic,

neboli metodou zpětných derivací. Z toho vychází princip pro sestrojení skalární funkce

mnoha proměnných, kterou je třeba minimalizovat, abychom pro model dostali správné

počáteční podmínky.

Variační asimilace dat je matematicky složitá úloha, která se obvykle formuluje

pomocí operátorů v Hilbertově prostoru. Matematicky je obecná teorie řešení optimalizačních

úloh popsána v 7. kapitole českého překladu monografie G. I. Marčuka [2], adjungované

rovnice meteorologických modelů v knize [4] stejného autora. Největší aktivitu na vývoji

variačních asimilačních metod mělo v uplynulé době ECMWF v Readingu, které úzce

spolupracuje s Méteo France. Literatura k tomuto tématu je zatím pouze časopisecká.

S použitím v meteorologii je možné se seznámit v článcích [2], [6], [7], [8]. K tématu variační

asimilace lze ještě pouze poznamenat, že řešením tohoto problému se mohou zabývat

v podstatě pouze velká meteorologická centra, která k tomu mají týmy vysoce

kvalifikovaných pracovníků, potřebné velké množství vstupních naměřených dat a vysoce

výkonný počítač.

428

Z teorie i praxe je známo, že pro správnou předpověď počasí pomocí

meteorologických modelů je velmi důležitá přesnost počátečních podmínek, neboť i při

přesném řešení těchto rovnic se chyba obsažená v počátečních podmínkách s časem

exponenciálně zvětšuje. V praxi se skutečně ukázalo, že zpřesnění přípravy počátečních

podmínek vždy zlepšilo předpovědi.

Literatura

[1] Baťka M., Bubnová R.: Vertikální kontrola aerologických dat pro objektivní analýzu

založená na splinové aproximaci. Meteorologické Zprávy Ročník 43- 1990 – číslo 3, s. 65-69.

[2] Coutier P., Thépaut J. N., Hollingsworth A.: A strategy for operational implementation of

4D-Var., using an incremantal approach. Q. J. R. Meteorol. Soc. (1994) 120, pp. 1367-1387.

[3] Gandin L. S.: Objektivnyj analiz meteorologičeskich polej, Gitrometeorologičeskoje

izdatělstvo, Leningrad 1963.

[4] Marčuk: 4islennoje rešenije zadač dynamiky atmosfery i okeana. Gidrometizdat,

Leningrad 1974.

[5] Marčuk G. I.: Metody numerické matematiky, ACADEMIA Praha 1987.

[6] Rabier. F., Thépaut J. N., Courtier P.: Extendid assimilation and forecast experiments with

a four-dimensional variation assimilation systém. Q. J. R. Meteorol. Soc. (1998) 124, pp.

1861-1887.

[7] Talagrand O.: The use of Adjoint Equations in Numerical Modelling of the Atmospheric

Circulation. Proseeding of Workshop on Automatic Differentiation of Algorithmus: Theory,

Implementation and Application. Colorado, January 1991.

[8] Talagrand O., Courtier P.: Variational assimilation of meteorological observation with the

adjoint vorticity equation. Q. J. R. Meteorol. Soc. (1987) 113, pp. 1311-1328.

429

30. Technika programování meteorologických modelů

Výběr jazyku programování

Meteorologické předpovědní modely jsou založeny na numerické integraci systémů

rovnic hydrodynamiky. Realizace předpovědi počasí je proto víceméně záležitostí numerické

matematiky. Pro realizaci numerických metod řešení prognostických rovnic je třeba použít

vhodný programovací jazyk. V současné době se k programování meteorologických modelů

používá prakticky výlučně jazyk FORTRAN. Neznalí situace by mohli říci, proč se nepoužívá

některý z novějších jazyků, například PASCAL nebo C, neboť FORTARAN je z těchto

jazyků nejstarší, to ovšem není úplná pravda, neboť na rozdíl od jiných jazyků, které se po

jejich definování v podstatě neměnily, FORTRAN byl stále doplňován a modernizován, a

proto je vlastně zároveň i nejnovější. K tomu je třeba říci následující. Jazyky programování

jsou v neustálém vývoji. V průběhu času vznikaly nové jazyky, a i když mnohé významné

projekty se z různých důvodů neprosadily, například PL1 svázaný příliš s hardwarem počítačů

IBM, nebo ALGOL 68 pro svou složitost a prakticky bez použitelných kompilátorů. Nicméně

vznik nových jazyků, i když se některé již nepoužívají, nebyl zcela zbytečný. Nové prvky,

které se osvědčily, byly převzaty do nově vytvářených programovacích jazyků. Zároveň s tím

byly z jazyků odstraňovány koncepce, které se neosvědčily a prvky které se nepoužívaly.

Shrneme-li vývoj jazyků programování pro matematické výpočty pak je následující.

První, řekli bychom jazyk vysoké úrovně, obsahující možnost psaní aritmetických výrazů

s indexovanými proměnnými, umožňující programovat cykly i jednoduché rozhodování

vyvinula firma IBM v druhé polovině padesátých let minulého století. Tento jazyk nazvala

FORTRAN, údajně ze slov FORMULA-TRANSLATION. Aby se programy napsané v tomto

jazyce daly realizovat na počítačích, nejprve IBM, později i počítačích jiných výrobců, byly

napsány ve strojovém kódu kompilátory, které umožnily přeložit program do strojového kódu

počítače a program nechat na počítači proběhnout. Můžeme říci, že jazyk FORTRAN byl

vlastně definován kompilátorem, který byl vyvíjen zároveň s jazykem. Proto byla také první

verse FOFTRANu dosti jednoduchá, ale zato byla efektivní. Zároveň s tím skupina

matematiků vedená Petrem Naurem v Curychu ve Švýcarsku se začala zabývat vytvořením

obecného jazyka pro zápis algoritmů matematických postupů. Tento jazyk v prvním

okamžiku nevycházel z napsání kompilátoru, jeho cílem bylo jazyk přesně definovat pomocí

metalingvistických výrazů. Pomocí nich se dalo zjistit, zdali je daná část zápisu programu

v tomto jazyce správná, což je dáno syntaxí jazyka. Význam, tedy jak program bude pracovat,

je dán sémantikou jazyka. Tímto postupem byl vyvinut velmi elegantní, ale na realizaci

kompilátorů v této době poměrně náročný jazyk, který byl podle roku jeho publikování

nazván ALGOL 60. Nejvýznamnějším pokrokem jazyka bylo zavedení logických (boolských)

proměnných, v důsledku čehož byl aritmetický výraz rozšířen na boolský výraz. Dále použití

podprogramů s formálními parametry, zobecnění mezí indexů, lokalizace proměnných v

podprogramech atd. Při vývoji kompilátorů pro ALGOL 60 v první polovině šedesátých let se

objevily některé problémy, zejména dynamické chápání rozměrů indexovaných proměnných,

kde velikost potřebné paměti je možné zadávat obecně až ve vstupních datech pro výpočet.

Tím při kompilaci není známo, jak velkou paměť skutečné indexované proměnné potřebují,

což se však netýká formálních parametrů, neboť těm se žádná paměť nerezervuje a vytvářejí

se pouze ukládací funkce. Dalším složitým prvkem pro realizaci byla možnost použití

430

rekurzivních procedur, které spočívají v tom, že podprogram může vyvolávat přímo nebo i

nepřímo sám sebe. Formulace jazyka ALGOL 60 měla na další vývoj FORTRANu velký vliv.

Do jazyka byly zavedeny rovněž boolslé proměnné, podprogramy – subroutiny s formálními

parametry. Globální proměnné však zůstaly definovány pomocí příkazu COMMON, který

ztotožňuje proměnné podle místa v paměti, nikoliv podle jejich názvů – identifikátorů.

Z důvodů efektivnosti programů nebyly povoleny dynamické proměnné. Při použití

dynamických proměnných musí ukládací funkce indexovaných proměnných obsahovat i

rozměry již dříve definovaných indexovaných proměnných, což zpomalovalo výpočet. Také

velikost místa v paměti pro indexované proměnné by nebyla již před kompilací programu

známa, což je nevýhodné při sdílení paměti více programů při současném výpočtu. Pro

složitost nebyly povoleny také rekurzivní procedury. Vývoj FORTRANU byl přímo svázán

s vývojem kompilátorů, výsledkem čehož byla geniální myšlenka, že program ve

FORTRANU se skládá z hlavního programu a podprogramů – subroutin. Tyto jednotky jsou

na rozdíl od ALGOLU a PASCALU všechny stejné úrovně a každá se dá kompilovat

samostatně, čímž vzniknou object file (cílové soubory), ze kterých pak Link-editor velice

rychle sestaví výsledný spustitelný programem. Tato skutečnost je hlavním důvodem, proč se

FORTRAN stal vhodným pro velké projekty. Vývoj FORTRANU byl vždy na určitém stupni

vývoje standardizován v USA ASA normou. Byly to normy označené podle roku standardu -

FORTRAN 66, FORTRAN 77. Jedním z významných doplnění FORTRANu 90, bylo

zavedení nového systému definování globálních proměnných pomocí příkazů MODULE a

USE, pomocí nichž se přenášejí hodnoty proměnných používaných ve více subrutinách,

ovšem podle jejich jmen. FOTRTRAN 90 byl obohacen o mnoho dalších možností, například

ukazatele - POINTERy, které se objevily nejdříve v jazyce PL1 vyvinutém firmou IBM a pak

i v PASCALU. Zvláštností FORTRANU je také skutečnost, že jsou v něm ponechány i

dřívější, již v podstatě nepoužívané příkazy a konstrukce, čímž je umožněno bez problémů a

bez úprav použít i starší hotové programy.

Také ALGOL 60 nezůstal bez dalšího vývoje. Ve stejném ústavu ve Švýcarském

Curychu kolektivem pod vedením Niklause Virtha vznikl jazyk PASCAL. Ten se zřejmě

poučil z problémů realizace kompilátorů ALGOLU 60 a pravděpodobně i z realizací

FORTRANU. Proto do PASCALU nezařadili dynamické dimenzování indexovaných

proměnných a také rekurse. Celý program v PASCALU si stejně, jak tomu bylo i v ALGOLU

60, ponechal strukturu jediné programové jednotky, ve které jsou hierarchicky vložené

podprogramy – subroutiny. Touto hierarchií je dán i přenos hodnot proměnných mezi

podprogramy, a tím je také určeno, které proměnné jsou v podprogramech lokální či globální.

Při kompilaci programu je pak třeba program kompilovat vždy celý. Tento systém se proto

nehodí pro velké projekty, na kterých pracuje najednou více programátorů i z důvodů

rychlosti kompilace při změnách v podprogramech. Dnes se pro modelování v meteorologii

proto používá prakticky výhradně FORTRAN 90, jehož další menší úprava byla provedena

v roce 1995. Pro zápis programů pro superpočítače, které pracují s vektorovými procesory,

nebo mnoha skalárními procesory jsou k dispozici kompilátory pouze pro FORTRAN. Další

vylepšování FORTRANU a jeho doplnění dalšími možnostmi spadá až do našeho 21. století.

Pro tyto nejnovější varianty FORTRANU nejsou zatím u nás běžně dostupné kompilátory.

Jazyk FORTRAN je v podstatě definován svým kompilátorem, proto pro různé počítače

obsahoval často FORTRAN různá rozšíření, které nebyly v té době v jeho americké ASA

431

normě. Když se však osvědčily, byly do normy později zahrnuty, i když s některými malými

úpravami. Myslím si, že již i FORTRAN 90, jehož kompilátory jsou u nás běžně k dospozici

je na takové úrovni, že plně vyhovuje pro kódování meteorologických modelů.

Literatura:

[1] Jiří Hřebejk, Ivan Kopeček, Jan Kučera, Pavel Polcar:

Programovací jazyk FORTRAN 77 a vědeckotechnické výpočty, Academia Praha 1989

[2] Michael Metcalf, John Reid. FORTRAN 90/95 explained. Oxford University Press 1996

432

31. Možnosti objektivní předpovědi počasí a změn klimatu

Každé modelování fyzikální reality nahrazuje tuto objektivní realitu matematickým

modelem. Ten sice vychází ze zákonů, které jsou ve fyzikální realitě splněny, často však za

určitých dalších předpokladů. Model prakticky nikdy nepopisuje objektivní realitu v úplné

obecnosti. Matematický model, v našem případě atmosféry, popsaný soustavou

diferenciálních rovnic je vždy zjednodušeným popisem a neobsahuje všechny procesy, které

v atmosféře probíhají. Atmosféra je také chápána jako spojité prostředí, i když se ve

skutečnosti skládá z velkého počtu molekul, čemuž by odpovídal spíše statistický model.

Přechodem z objektivní fyzikální reality k matematickému modelu tak vzniká první chyba,

chyba modelu, která závisí na délce předpovědi.

Chyby vznikající při předpovědi meteorologických prvků určujících počasí

Chybu fyzikálního modelu, do které zahrnujeme, zjednodušení fyzikální reality ale

také chybu v zadání počátečních podmínek označme 𝑒0 = 𝑒0(𝑡). Tato chyba může být

zejména pro delší čas t předpovědi extrémně velká. Na tuto skutečnost pro nelineární systémy

hyperbolických parciálních diferenciálních rovnic, které se používají pro předpověď

v meteorologii, poukázala ve svých pracích ruská matematička O. A. Olejnik [2]. Tyto

systémy mají sice omezená a jednoznačně určená řešení, přesto se chyba počátečních

podmínek 𝑒0(0) s rostoucím časem i pro přesné řešení soustavy exponenciálně zvětšuje a

řešení pak po určité době již vůbec neodpovídá skutečnému vývoji atmosféry. Tato skutečnost

znemožňuje předpověď počasí na delší časový interval. To vše se týká řešení nekonečně-

dimensionálního matematického modelu, které je přesným řešením rovnic modelu dané

počátečními podmínkami.

Pro numerické řešení musíme přejít k diskrétnímu modelu. To je v podstatě již jiný

model. Diskretizací vzniká další chyba, kterou označme 𝑒1(𝑡). Tato chyba závisí na způsobu

aproximace derivací vzhledem k prostorovým proměnným, na kroku v síti i na časové

aproximaci a časovém kroku při integraci. Pro aproximaci rovnic meteorologických modelů

hraje důležitou roli, aby správně vybrané zákony zachování, které jsou splněny ve spojitém

modelu, byly splněny také i pro aproximaci v tomto v podstatě novém diskrétním modelu.

Numerické metody jsou ovšem obvykle formulovány a studovány pro výpočty s reálnými

čísly, tedy jako by byly prováděny s nekonečnou přesností. Takové výpočty jsou však

technicky nerealizovatelné.

Pro realizaci výpočtů se používají počítače. Ty však pracují pouze s konečnou

přesností, tedy na konečný počet platných číslic. Tím dostáváme opět v podstatě nový model,

který na rozdíl od předchozího pracuje docela jen s celkovým konečným počtem čísel. Na

běžných personálních počítačích s procesory INTEL je rozsah čísel typu REAL, tedy

s exponentem a mantisou následující. Největší číslo v pohyblivé řádové čárce, tedy typu

REAL je 2 umocněno na 128, kde 128 =27 což je v dekadickém zápisu přibližně 3.4028235

E+38 a nejmenší kladné číslo je 2 umocněno na -126, což je v dekadickém zápisu 1.1754944

E-38. Zde můžeme říci, že rozsah hodnot reálných čísel výpočty v podstatě neomezuje. Jinou

otázkou je však jejich přesnost, s jakou jsou v počítači zobrazeny. Při výpočtech v pohyblivé

433

řádové, kde jsou čísla zapsána s exponentem a mantisou jsou aritmetické operace prováděny

přibližně na 16 dekadických míst mantisy, což je tak zvaná dvojitá přesnost výpočtů. Při

použití jednoduché přesnosti se aritmetické operace zaokrouhlují na 7 platných dekadických

cifer a výpočty a mezivýsledky a tudíž celé výpočty jsou s přesností na pouhých 7

dekadických cifer. Pro výpočty v meteorologii nemá jednoduchá přesnost smysl, neboť na

moderních počítačích jsou v obou přesnostech výpočty stejně rychlé. Ušetří se tím sice

polovina paměti pro uložení dat, což vzhledem k velikosti paměti počítačů nebývá potřeba. I

při použití dvojné přesnosti je přesnost výpočtu vzhledem k miliardám operací potřebných při

výpočtu modelu katastroficky malá, zejména pro diskrétní Fourierovy transformace, nebo pro

řešení velkých soustav rovnic vzniklých částečně implicitními aproximacemi. Proto současné

superpočítače, které se používají pro integraci meteorologických modelů, mají kromě vysoké

rychlosti výpočtů také možnost počítat až několikanásobnou přesností, než obvykle používané

personální počítače - PC. Při výpočtu na počítači tedy vzniká třetí chyba, která je dána

zaokrouhlovacími chybami při výpočtu. Tuto chybu označme 𝑒2(𝑡). Tato chyba závisí

nejenom na počtu znaků zobrazení čísel, ale také na systému realizace početních operací na

počítači. Různé počítače mají různý systém technické realizace, a nemusí mít z hlediska

zaokrouhlovacích chyb stejnou aritmetiku. Vliv na chybu vzniklou výpočtem má i způsob

naprogramování, neboť operace sčítání a násobení na počítači nejsou asociativní a při sčítání

více čísel nejsou ani komutativní. Problémy dělá například sčítání, když sčítanci mají velký

rozdíl ve velikosti exponentů. Je-li rozdíl exponentů velký, například pro PC větší než 16

řádů, nejsou malí sčítanci vůbec přičteny. Je to proto, že při sčítání se mantisa menšího čísla

posunuje doprava o rozdíl exponentů a pak teprve dojde k sečtení, vlastně v pevné řádové

čárce. Výsledky výpočtů se pak mohou i vlivem pořadí sčítání a kódu programu lišit. Proto i

programy realizující výpočty je třeba psát inteligentně. Tím, že při numerických výpočtech

může dojít k situaci, že výsledky výpočtů jsou v některých případech zcela chybné, se již

zabývalo více matematiků. Příklady takových problému jsou například v článku Michala

Křižka „Můžeme věřit numerickým výpočtům?“ [1].

Celková chyba 𝑒(𝑡) předpovědi je pak součtem předchozích tří chyb. Chyby vznikají mezi:

fyzikální realitou a matematickým modelem 𝑒0,

matematickým modelem a diskrétním modelem po aproximaci 𝑒1,

diskrétním modelem a výsledky výpočtu na počítači 𝑒2.

Celková chyba výpočtu e je tedy rovna součtu 𝑒 = 𝑒0 + 𝑒1 + 𝑒2.

Z uvedeného je zřejmé, že je-li některá z uvedených chyb velká, nemá cenu se snažit,

aby ostatní chyby byly velmi malé. V meteorologii se to například týká chyby diferenčních

aproximací podle času, kde stačí diferenční schéma druhého řádu přesnosti. Značné zlepšení

výsledků meteorologických modelů nastalo, když byla zlepšena příprava počátečních dat,

použitím variační asimilace dat. Potvrdilo to skutečnost, že chyba vznikající vlivem

počátečních podmínek je velmi významná. Což je tím, že chyba v počátečních podmínkách se

s časem zvětšuje exponenciálně.

Z předchozího vyplývá závěr, že integrace předpovědních modelů synoptického

měřítka je možná jen na určitý relativně krátký čas přibližně jednoho týdne, nejvýše dvou

týdnů. Takovéto modely se nazývají střednědobé. Deterministická dlouhodobá předpověď

není vůbec možná. Rovnice dynamické části modelu jsou založeny na zákonech zachování a

434

jejich řešení je omezené. Z definice stability je omezené i numerické řešení, což by mohlo

vésti k omylu, že tyto rovnice můžeme integrovat na libovolně dlouhou dobu, neboť se

jejich řešení nezhroutí. Řešení však již neodpovídá skutečnosti. Pro posouzení, jak rychle se

bude řešení vlivem počátečních podmínek odchylovat od skutečnosti, se provádí vhodně

zvolenými perturbacemi počátečních podmínek a zajišťuje se, jak rychle se výsledky

výpočtů s různými počátečními podmínkami vzájemně rozbíhají. Tomu se říká ansámblové

předpovědi.

Hodnocení numerických předpovědí i metod integrace modelů

Věnujme se nyní ještě problému, jak hodnotit numerické prognózy a přesnost

numerických metod. Hodnocení celkových výsledků numerických předpovědí není

jednoduché. Modely se skládají v podstatě ze dvou částí. Z dynamické části modelu a

parametrizací. Obě části jsou na sobě závislé a zejména pro správnou funkci parametrizací je

důležité, aby dynamická část modelu, bez které je nemůžeme použít, správně pracovala.

Je přirozené, že hodnocení výsledku modelů musí vždy vycházet ze shody předpovědi

ze skutečností. Pro srovnání výsledku se skutečností se ovšem používají statistické metody a

ty většinou srovnávají předpověděné a v daném čase skutečné pole meteorologického prvku.

Dříve, když se používaly jednoduché metody objektivní analýzy, které pracovaly nezávislé na

prognózách modelů, to bylo přirozené. V současné době se pro objektivní analýzu používá

výhradně asimilace dat, která spočívá v opravě předpověděných výsledků nově naměřenými

daty. Tato měření jsou však k dispozici na mnohem řidší a nepravidelné síti. Tím je výsledek

objektivní analýzy závislý na předpovědním cyklu modelu. Důsledkem použití asimilace dat

je, že v podstatě každý model má nejlepší výsledky vzhledem objektivní analýze vypočtené

vlastním asimilačním cyklem. Použijeme-li pro hodnocení modelu objektivní analýzu z jiného

modelu, budou výsledky hodnocení vždy horší, a to zejména v oblastech, kde je k dispozici

málo měření, tedy hlavně v oblastech oceánů. Proto, má-li být hodnocení výsledlů modelů

objektivní, musí se zakládat na srovnání předpověděných a přímo naměřených hodnot

v nepravidelné síti měření. Poznamenejme, že hodnoty předpovědi jsou k dispozici na

pravidelné a také dostatečně jemné síti, což umožňuje jejich snadnou a přesnou interpolaci do

bodů měření.

Možnosti simulace a předpovědi klimatu

Podívejme se nyní na problémy současné klimatologie. Dříve se klimatologie zabývala

sběrem klimatických dat a jejich zpracováním. Zabývala se proto popisem regionálního klima

v různých částech světa a také studiem změn klimatu v minulosti.

V současné době by však klimatologové rádi předpovídali nejenom změny klimatu do

budoucnosti v jeho přirozeném vývoji, ale i vliv lidské činnosti na změny klimatu. Jaké jsou

nyní možnosti k řešení tohoto problému?

Klimatické úlohy studované v současnosti bych rozdělil do dvou skupin.

Do první skupiny by patřila simulace regionálního, nebo místního klimatu na Zemi

v závislosti na celkovém klimatu a také na jeho případných změnách. Tyto simulace mají

časově rozměr desítek let. V tomto případě také můžeme předpokládat, že se globální stav

klima příliš drasticky nezmění. Úkolem simulace je pak výpočet rozložení klimatu v daném

435

regionu. To znamená výpočet průběhu fyzikálních parametrů, jako jsou teplota atmosféry,

povrchu Země oceánů, srážky, proudění atd. Kvalitu výsledků takových simulací můžeme

hodnotit, můžeme totiš simulovat klima z nedávné minulosti, jejichž klima v současnosti již

známe. Úlohy tohoto typu řeší klimatologie celkem do jisté míry úspěšně již určitou dobu. V

obecném případě předpokládáme, že známe změny globálních parametrů atmosféry a na

základě jejich vývoje předpovídáme, jaký vliv budou mít na místní klima. Tato úloha je dnes

označována, jako klimatické scénáře. Tedy například, co se stane v Čechách, když se

globální teplota zvýší, nebo sníží například o 5 stupňů Celsia. Což jsou dva různé a v podstatě

opačné scénáře.

Do druhé skupiny by měla patřit skutečná předpověď změn klima na Zemi.

Podívejme se nyní, co brání úspěšnému modelování změn klimatu na Zemi. Hlavním

problémem je, že neznáme přesně všechny fyzikální zákony, které k takové předpovědi

potřebujeme. Jsou to zákonitosti, kterými se řídí sluneční činnost, související s vyzařováním

v různých částech spektra, které se projevuje v cyklech slunečních skvrn. Přesně také

neznáme vliv změn pohybu Země kolem Slunce, jako je elipticita dráhy Země kolem Slunce a

precese směru zemské osy na množství energie přicházejícího k nám ze Slunce a zejména

také na geografické rozložení tohoto přítoku tepla na povrch Země. Také neumíme

předpovědět sopečnou činnost, která má na teplotu vliv emisemi sopečného prachu do

atmosféry.

Neznáme také všechny zpětné vazby při absorbování energie přicházející ze Slunce

Zemí a vyzařování této energie do vesmíru. Ty závisejí také na chemii atmosféry, množství

skleníkových plynů jako je vodní pára, kysličník uhličitý, metan a ozón.

Zdá se, že jednou z nejpravděpodobnějších hlavních příčin kolísání teploty je sluneční

činnost. O jejím vlivu se usuzuje ze sledování vývoje slunečních skvrn. Její vliv na klima také

do jisté míry potvrzuje nízká sluneční aktivita (Maurerovo minimum) v období malé doby

ledové na začátku druhé poloviny druhého tisíciletí.

Až lidstvo dokáže na základě metod předpovědi klimatu rekonstruovat průběh klimatu

v Evropě v průběhu posledního tisícíletí bez použití průběhu známých naměřených dat

v tomto tisíciletí, se kterými ji pak porovná, a zjistí shodu, pak bude teprve jasné, že

předpovědi klimatu již rozumíme a byl v tomto oboru učiněn základní krok.

Na závěr bych shrnul, proč je předpověď vývoje klimatu na Zemi v současné době

seriózním způsobem nerealizovatelná. Je to dáno tím, že v současné době ještě neznáme

dostatečně všechny k tomu potřebné fyzikální vlastnosti naší Země, její atmosféry i kosmu,

zejména činnost Slunce. Matematické modely bez hlubších fyzikálních znalostí tento problém

sami nevyřešit nemohou. Vyřešení problému předpovědi klimatu je tedy otázkou vzdálenější

budoucnosti.

Literatura

[1] Křížek M.: Můžeme věřit numerickým výpočtům? Pokroky matematiky, Fyziky a

astronomie, ročník 56 (2011) č. 4 s. 290-297.

[2] Olejnik O., A.: Razryvnyje rešenija nelinejnych differenciálnych urovnenij. Uspechi

matematičeskich nauk, tom XII, vyp. 3. maj 1957. s. 3-73.

436

Dodatky

Modifikace rovnic baroklinního modelu se stavovou rovnicí pro vlhký

vzduch

Starší meteorologické modely v hydrostatickém přiblížení používaly pro vztah mezi

polem teploty a geopotenciálu hydrostatickou rovnici se stavovou rovnicí pro suchý vzduch.

Stavová rovnice tedy měla známý tvar

nebo též

kde plynová konstanta R byla použita pro suchý vzduch

.

Současné modely však používají stavovou rovnici pro vlhký vzduch. A to s plynovou

konstantou pro suchý vzduch a virtuální teplotou (na př. německé modely, model PERIDOT),

nebo proměnnou plynovou konstantou R, která závisí na vlhkosti vzduchu (modely

ARPEGE, ALADIN).

Stavová rovnice má pro libovolný plyn, tedy i pro vodní páru tvar

kde je hustota vodní páry, e parciální tlak vodní páry, T absolutní teplota a

je plynová konstanta pro vodní páru.

Studujme nyní směs plynů (což dále aplikujeme pro suchý vzduch a vodní páru)

v určitém objemu V vlhkého vzduchu při teplotě T. Podle Daltonova zákona zaujímá každý

plyn celý objem a splňuje svoji vlastní stavovou rovnici. Celkový tlak směsi plynů je pak dán

součtem parciálních tlaků jednotlivých plynů. Nahradíme-li ve stavové rovnici hustotu

poměrem M/V, kde M je hmota plynu v objemu V, můžeme psát stavové rovnice pro

jednotlivé plyny ve tvaru

kde je parciální tlak, je hmotnost a je plynová konstanta pro j-tý plyn.

Sečteme-li tyto rovnice pro n jednotlivých plynů pře index j máme

kde je celkový tlak směsi plynů. Dělíme-li obě strany předchozí rovnice celkovou

hmotností směsi plynů dostaneme vztah tvaru

kde R plynová konstanta pro směs plynů je rovna

je hustota směsi plynů. Použijeme-li předchozí vztah pro suchý vzduch a vodní

páru v daném objemu vzduchu platí vztah

p RT p RT

R J kg Kd 287 1 1

e R Tv v

v

R J kg Kv 461 1 1

p V M R Tj j j

p j M j R j

pV p V T M Rj j jj

n

j

n

11

p p jj

n

1

M M jj

n

1

p RT

RM

MR

j

jj

n

1

M V/

437

kde je hmotnost suchého vzduchu a je hmotnost vodní páry v daném objemu.

Dělíme-li čitatele a jmenovatele zlomků na pravé straně rovnice hodnotou a nahradíme-li

zlomky hodnotou Q, což je směšovací poměr vodní páry a suchého vzduchu máme

kde . Vynásobením posledního přibližného vztahu

hodnotou 1+Q zjistíme, že v posledním vztahu je zanedbán člen Protože Q je

kladné a mnohem menší než 1, můžeme člen s druhou mocninou Q zanedbat.

Pro vlhký vzduch se stavová rovnice obvykle píše s virtuální teplotou, kterou

definujeme vztahem

stavová rovnice má pak tvar

.

Ve starších modelech se používalo v první větě termodynamické specifické teplo při

konstantním tlaku rovněž pro suchý vzduch. V současných modelech se pro specifické teplo

vlhkého vzduchu používá přesnější vztah, odvozený obdobně jako pro stavovou rovnici.

Studujme izobarické oteplování no ochlazování 1 kg suchého vzduchu a Q kg vodní

páry, pak podle první věty termodynamiky máme

pro jednotku hmoty pak máme

kde jsme zanedbali obdobně jako výše člen s činitelem . Protože specifické teplo pří

konstantním tlaku má je pro suchý vzduch rovno a pro vodní páru

, odtud . Termodynamickou větu při

konstantním tlaku můžeme tedy psát ve tvaru

kde specifické teplo vlhkého vzduchu při konstantním tlaku je rovno

Všimněme si nyní, kde se tato zobecnění projeví v modelu.

Stavová rovnice pro vlhký vzduch modifikuje zejména hydrostatickou rovnici, kterou

v p-systému napišme ve tvaru

RM

M MR

M

M MR

d

d v

d

v

d v

v

Md Mv

Md

M Mv d/

RQR

Q

QR R

R

RQ

QR

R

RQ R Qd v d

v

d

d

v

d

d

1

1 11

1

11 1 1 061.

R Rv d/ / . . 1 461 287 1 06063 061

R

QQ

d

061

12

.

T TR

RQ T Qv

v

d

1 1 1 061.

p R Td v

( ) ( )1 1 Q H c dT Q c dT při p constpd pv

HQc dT

Q

Qc dT

c

QQC

cdT c

c

cQ dTpd pv

pd pv

pd

pd

pv

pd

1

1 1 11 1 1

Q2

c J kg Kpd 1004 1 1

c J kg Kpv 1810 1 1

c

c

pv

pd

1 0802 08. .

H c dTpQ

c c QpQ pd 1 08.

438

kde je geopotenciál tlakových hladin.

Dosazením do předchozí rovnice ze stavové rovnice

můžeme hydrostatickou rovnici psát ve tvaru

v -systému má pak hydrostatická rovnice tvar

kde jsme plynovou konstantu pro suchý vzduch označili písmenem R bez indexu d.

V rovnicích pro změnu hybnosti se v -systému objeví virtuální teplota ve členech

horizontálního gradientu tlaku .

I když první věta termodynamická je psána pro absolutní teplotu (nikoliv virtuální

teplotu) a má tvar

je při obecnějším přístupu pro vlhký vzduch modifikována tím, že specifické teplo je

použito pro vlhký vzduch. Na pravé straně se pak objeví virtuální teplota ve všech členech

jako důsledek vyjádření hustoty ze stavové rovnice. Virtuální teplota ve vyjádření

zobecněné vertikální rychlosti odpovídá stejnému vyjádření členu vyjadřujícího

konversi mechanické a celkové potenciální energie, neboť člen na prvé straně musí odpovídat

práci vykonané horizontálním gradientem tlaku.

p

1

p R Td v

p

R T

pnebo

pR T

d v

d v ln

ln RTv

Rd

RT pv s ln

cdT

dtp

cp

dp

dt

439

Modelové atmosféry

Hodnoty meteorologických prvků – proměnných jsou definovány v daném časovém

okamžiku t pro každý bod prostoru, přesněji řečeno pro každý bod atmosféry Země. Poloha

bodů v prostoru je dána jejich kartézskými souřadnicemi x, y, z. Systém, který používá tyto

prostorové souřadnice, se v meteorologii nazývá z-systémem. V meteorologii se však často

používá místo výšky z nad hladinou moře (nebo obecněji výšky nad určitou plochou stejného

geopotenciálu) tlak p. Důležité však je, že vztah mezi z a p je vzájemně jednoznačný a

monotónní. Nyní si již můžeme definovat barotoropní atmosféru.

Modelovou atmosféru nazveme barotropní, jestliže hustota vzduchu je funkcí pouze

tlaku, to můžeme zdůraznit vztahem

(1)

Tato vlastnost se ovšem týká vztahu ke všem třem prostorovým nezávisle proměnným.

Hustota tedy není funkcí x, y. Hustota je takto vlastně definována v p-systému jako

veličina konstantní na souřadnicových p-plochách. V hydrodynamice je obvyklé popisovat

stav vektorem rychlosti V, tlakem p a hustotou . V meteorologii je však obvyklejší hustotu

nahradit ze stavové rovnice

, kde , neboli (2)

kde je specifický objem, R plynová konstanta pro suchý vzduch a T absolutní teplota.

Proto přirozenou další otázkou je, jak je to v barotropní atmosféře s teplotou?

V barotropní atmosféře specifický objem, jakožto převrácená hodnota konstantní hustoty, je

na p-plochách rovněž konstantní. Protože pro barotropní atmosféru je na p-ploše konstantní

tlak p i specifický objem , vyplývá ze stavové rovnice (2), že je konstantní i absolutní

teplota T. Ze stavové rovnice je tedy zřejmé, že barotoropní atmosféru můžeme

charakterizovat také tím, že teplota T je funkcí pouze tlaku p. Obě definice jsou tedy

ekvivalentní.

Výsledek můžeme shrnout následovně: v barotropní atmosféře jsou izobarické plochy

(plocha konstantního tlaku) současně plochami izopyknickými (konstantní hustoty),

izosterickými (konstantního měrného objemu) a izotermickými (konstantní teploty).

Je ovšem jasné, že tlak p je obecně funkcí všech tří prostorových proměnných x, y, z.

Proto v z-systému je i pro barotropní atmosféru hustota funkcí všech tří prostorových

proměnných, tuto funkci na rozdíl od funkce (1) označme a definujeme ji vztahem

(3)

Derivujeme-li tento vztah parciálně podle x a y máme

a (4)

Protože funkce je pouze funkcí p, její derivace, kterou označme je rovněž

funkcí pouze p. Funkce se nazývá koeficientem barotropie. můžeme vyjádřit jako

funkci termodynamických parametrů. Zapíšeme-li vztahy (4) pomocí symbolu gradientu, pak

dostaneme rovnici

p

p

RTp

1

RT

p

~

zyxpzyx ,,),,(~

x

p

px

~

y

p

py

~

p p

pB

pB pB

440

(5)

Tato rovnice nám říká, že v barotropní atmosféře jsou gradient hustoty a gradient tlaku

úměrné, na vrstevnicových mapách veličin to znamená, že čáry konstantního

jsou zároveň čarami konstantního p.

Pro homogenní atmosféru je konstantní a tedy a .

Pro izotermní atmosféru je teplota T konstantní, není tedy funkcí ani tlaku p. Ze

stavové rovnice derivováním podle p máme .

Pro teplotu T můžeme postupovat obdobně, jako jsme postupovali pro vyjádření

hustoty v z-systému. Teplota T je pro barotropní atmosféru funkcí pouze p. Označíme-li

obdobně teplotu v z-systému jakožto funkci prostorových proměnných

(6)

derivováním dostaneme vztah obdobný vztahu (5)

(7)

Všimněme si ještě jedné obecnější barotropní atmosféry, a to polytropní atmosféry.

Polytropní atmosféra je modelová atmosféra v hydrostatické rovnováze, kterou

charakterizuje lineární změna teploty s výškou. Vertikální gradient je tedy konstantní a

průběh teploty s výškou je dán tedy vztahem

(8)

Pro odvození dalších vztahů pro polytropní atmosféru použijeme hydrostatickou rovnici ve

tvaru

(9)

kde R je plynová konstanta pro suchý vzduch R=287 [Joule/kg.K].

Standardní atmosféru NASA-USA

Pro dokreslení uvedeme typické hodnoty pro skutečnou atmosféru. Jako přiblížení

skutečné atmosféry zvolíme standardní atmosféru NASA-USA Tato referenční atmosféra je

definovaná následovně:

1) Atmosféra se skládá ze suchého vzduchu.

2) Přízemní tlak (na úrovni hladiny moře pro z=0) je p=1013.25 hPa.

3) Přízemní teplota je 150 Celsia, tedy K.

4) Vertikální pokles teploty s výškou je 0.65 stupňů Celsia na 100 metrů do

výšky 10 769 m (výška tropopauzy standardní atmosféry).

5) Pro výšku z větší než 10 769 m je atmosféra izotermní (teplota

konstantní a rovna -55 stupňů Celsia tj. 218.15 K).

6) Tíhové zrychlení země je g=9.80665 m/sec2.

Hodnotu vertikálního gradientu označme . Tento gradient je dán derivací

do výšky definuje hodnotou

pB ~

yxpayx ,,~

~

0B 0~

RT

p

RTpB

1

zyxpTzyxT ,,),,(~

pp

TT

~

zTT 0

g

RT

p

z

ln

00 ,, pT

15.2880 T

mz 76910

441

[K/m] (10)

pro NASA atmosféru je tedy [K/m]

Po dosazení teploty ze vztahu (8) do hydrostatické rovnice (9) máme

(11)

což přepíšeme do matematicky přehlednějšího tvaru

(12)

kde

(13)

(14)

kde číselné hodnoty jsou pro NASA standardní atmosféru.

Pro integraci vztahu (12) podle proměnné z napišme tuto derivaci, jako derivaci inversní

funkce

(15)

odtud integrací

(16)

integrál na levé straně je integrál derivace, na pravé straně integrál z výrazu typu

, který se substitucí , odkud se převede na integrál

, kde C je integrační konstanta kterou můžeme napsat ve tvaru .

Můžeme tedy psát

(17)

Dosadíme-li do vztahu (17) hodnoty , vidíme, že vztah (17) se je

splněn identicky. Ze vztahu (17) dostáváme jednak vztah

(18)

Tento vztah nám určuje výšku z, jakožto funkci tlaku a jednak protože

dostáváme tradiční vztah

(19)

dz

dT

0065.0

zTg

R

p

z

0

lg

AzBp

z

lg

77.443300

TA

1902286.0g

RB

AzBdz

pd

11ln

z z

Az

dz

Bdz

dz

pd

0 0

1ln

dxxG

xG' txG dtdxxG '

Ctt

dtlg

0lg tC

A

Az

Bp

p

ln

1ln

0

00 0 ppazz

B

p

pApz

0

1)(

00

0

T

T

T

zT

A

Az

R

g

B

T

T

T

T

p

p

0

1

00

442

Ze vztahu (19) vyplývá, že pro tlak p konstantní je také teplota T konstantní a polytropní

atmosféra je barotropní.

Abychom vypočetli interval tlaku, ve kterém vzorec (18) pro NASA standardní

atmosféru platí, musíme vypočítat tlak příslušející výšce . Ze vztahu (18)

vypočteme p, máme

(20)

odkud vypočteme, že tak p odpovídající výšce je .

Pro tlak menší než vypočteme výšku příslušnou tlaku p

jednoduše integrací hydrostatické rovnice (2), kde na pravé straně je konstanta řekněme

Proto pro p menší než máme

(21)

Zvláštním případem polytropní atmosféry je atmosféra adiabatická, jejíž gradient

teploty je sucho-adiabatický gradient teploty , atmosféra izotermní a

atmosféra homogenní.

Baroklinní atmosféra je taková atmosféra, ve které hustota je funkcí tlaku i

teploty, tedy . Podle stavové rovnice má tento vztah následující podobu

. Baroklinita znamená, že v p-systému je teplota T funkcí nejenom tlaku p, ale i

horizontálních souřadnic x, y. Odtud také plyne, že i hustota je v p-systému funkcí

nejenom p, ale i horizontálních souřadnic x, y.

mz 10769

A

zA

Bpp ln

1lnexp 0

mz 10769 hPap 66.234

hPap 66.234

3.638415.218 g

RT

g

RC str

hPap 66.234

)/66.234ln(10769)( pCpz

mC /0098.0 0

Tp,

RTp /

443

Horizontální difuze

V modelech se často provádí horizontální difuze druhého i čtvrtého řádu operátory

a . Difuze je aplikována obvykle na konservativní veličiny: potenciální teplotu ,

specifickou vlhkost Q a pro složky toku hmoty . Operátory uvažujeme v

křivočarých souřadnicích, souřadnicích konformní mapy, proto označme

a tedy , kde m je koeficient zkreslení konformní mapy.

Členy difuze jsou časově aproximovány explicitně.

Difuze pro:

složky rychlosti větru (difuze hybnosti)

teplotu (difuze potenciální teploty ). Protože difuzi

provádíme ve vrstvách, kde tato veličina je konstantní je

specifická vlhkost

Difuze pro:

složky rychlosti větru

teplota

specifická vlhkost

časové schéma pro členy tření a difuze je Eulerovo, tvaru

2 4

p u p vs s,

2

2

2

2x y 2 2m

k22

u

tkm

pmp u

s

s 2

v

tkm

pmp v

s

s 2

( . )p Ts

T

tk p m p Ts s

22

Q

tk m Q 2

2

k44

u

tkm

pm mp u

s

s 42

v

tkm

pm mp v

s

s 42

T

tk p m m p Ts s

42 2

Q

tk m m Q 4

2 2

444

Podmínky stability jsou pro uvedené časové schéma následující:

Pro difuzi aby schéma bylo nejen stabilní, ale i monotonní je třeba, aby

.

Obdobně pro difuzi je třeba, aby

.

Koeficienty difuze volíme následovně:

kde M min je minimální hodnota koeficientu zkreslení m konformní mapy na

předpovědní oblasti.

.

f f

tf

t t t tt t

2

k22

kt

x2 2

1

16

4

kt

x4 4

1

128

k M x m s21 2 min ,[ / ]

k M x m s41

340 2 . min ,[ / ]

445

Rotace geografických souřadnic

Při použití geografických souřadnic je třeba někdy přejít od standardního systému

geografických souřadnic, jehož osa prochází severním a jižním pólem země přejít k jinému

obecnému systému geografických souřadnic, jehož osa prochází středem referenční sféry

aproximující zem a jejíž pól není shodný se severním pólem, ale je to bod o souřadnicích

(zeměpisná šířka a zeměpisná délka pólu rotovaného systému geografických

souřadnic) které jsou zadány v přirozeném systému geografických souřadnic.

K systémem geografických souřadnic nechť je přiřazen systém pravoúhlých

souřadnic x, y, z tak, že vektory souřadných os i, j, k tohoto systému, vycházejí ze středu

referenční sféry, jejich směr je dán geografickými souřadnicemi ,

a vektor k směřuje k severnímu pólu a tedy pro tento vektor je . Geografické a

kartézské souřadnice jsou pak spojeny vztahy

(1)

kde

(2)

Pro studium otáčení můžeme bez ztráty obecnosti použít body jednotkové sféry, a proto

položme r=1. Celkové otočení systému souřadnic do nové polohy provedeme ve dvou

krocích. V prvním kroku otočíme soustavu souřadnic, tedy jednotkové vektory i, j, k otočíme

kolem osy otáčení, dané vektorem k, o úhel ( který je měřený proti směru chodu

hodinových ručiček). Dostaneme tak novou soustavu určenou jednotkovými vektory i´,j´,k´.

Tato nová soustava je dána jako lineární kombinace původních vektorů i, j, k tvaru

(3)

Tuto lineární kombinaci můžeme napsat ve tvaru násobení vektoru (i, j, k) maticí

transformace A zprava. Tedy

(4)

p p,

0 0, 2

0,

2

x r

y r

z r

cos cos

sin cos

sin

0

0 2

2 2

r

p

i i j

j i j

k k

p p

p p

cos sin

( sin ) cos

i j k i j k

p p

p p, , , ,

cos sin

sin cos

0

0

0 0 1

446

Ve druhém kroku otočíme soustavu i´,j´,k´ kolem osy i´ o úhel , který je pólovou

vzdáleností nového rotovaného pólu vzhledem k severnímu pólu a je tedy .

Dostaneme tak výslednou soustavu i´´, j´´, k´´ , která je dána transformačním vztahem

(5)

Celkovou transformaci pak dostaneme dosazením vztahu (4) do vztahu (5). Celková

transformace je pak dána vztahem

(6)

kde matice T v předchozím vztahu je součinem matic ze vztahů (3) a (4).

Otočení nám představuje lineární transformaci Eukleidova prostoru. Tato

transformace je navíc ortogonální a matice ve vztahu (6), kterou označme T je ortogonální

maticí , tj. platí TT´= T´T=E , kde T´ znamená transponovanou matici a E matici

jednotkovou. O ortogonalitě matice T se snadno můžeme přesvědčit vynásobením matice T

maticí T´. Z toho vyplývá, že platí . Dále z lineární algebry je známo, že pro platí-li

pro souřadnicové soustavy vztah (6), pak souřadnice x, y, z vzhledem k původní bázi jsou

vyjádřeny pomocí nových souřadnic x´´,y´´,z´´ vyjádřeny vztahem

(7)

odkud z ortogonality matice T vyplývá

(8)

Dosadíme-li do vztahu (8) za x, z, y, ze vztahu (1) pro r=1, tedy

(9)

provedeme vynásobení maticí T´ dostaneme

(10)

po úpravě máme

p

p p 2

( , , ) ( , , ) cos sin

sin cos

i j k i j k p p

p p

1 0 0

0

0

i j k i j k i j k T

p p p p p

p p p p p

p p

, , , ,

cos sin cos sin sin

sin cos cos cos sin

sin cos

, ,

0

T T 1

x

y

z

T

x

y

z

x

y

z

T

x

y

z

x

y

z

p p

p p p p p

p p p p p

cos sin

sin cos cos cos sin

cos sin cos sin cos

0

x

y

z

cos cos

cos sin

sin

x

y

z

cos cos

cos sin

sin

cos cos cos cos cos sin sin

cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos

sin cos sin sin cos cos sin sin cos

p p

p p p p

p p p p

447

(11)

Použijeme-li nyní vztahy

(12)

můžeme vztahy (11) přepsat do tvaru

(13)

Vztahy (13) můžeme použít již přímo k výpočtu goniometrických funkcí nových

dvoučárkovaných rotovaných geografických souřadnic bodů určených souřadnicemi

v přirozeném geografickém systému. Po výpočtu vypočteme cos tohoto úhlu ze

vztahu

(14)

a pak ze vztahů (13) , je však třeba ošetřit výpočet goniometrických funkcí

nových souřadnic pro body ležící v okolí pólu rotovaných souřadnic, neboť souřadnice

není pro pól definovaná a při výpočtu v těsném okolí pólu by mohlo dojíti k dělení nulou.

Proto když hodnoty

nepočítáme a bod považujeme za pól rotovaných souřadnic.

cos cos cos cos

cos sin cos cos sin sin sin

sin sin cos sin cos sin

p

p p p

p p p

ppp

ppp

sin)2

cos(cos

cos)2

sin(sin

cos cos cos cos

cos sin sin cos sin cos sin

sin cos cos sin sin sin

p

p p p

p p p

,

, sin

cos sin 1 2

sin ,cos

cos 10 7 sin ,cos

448

Výpočet vah vlivu řídícího modelu

V tomto dodatku uvádím původní používané váhy pro spojení řídícího a lokálního

modelu, jak je původně navrhl P. Kållberg.

V modelu na omezené oblasti vypočteme nové hodnoty v zóně při bočních okrajích

výpočetní oblasti po provedení integračního kroku následovně. Obdržíme je jako lineární

kombinaci hodnot předpověděných řídícím modelem pracujícím na větší oblasti s řidší sítí

(nejčastěji globálním nebo polokoulovém modelem) interpolovaných na hustší síť lokálního

předpovědního modelu a hodnot předpověděných lokálním předpověděným modelem

pracujícím na této hustší síti. Nová hodnota prognostické proměnné je pak dána vztahem

kde je výsledná hodnota předpověděná lokálním modelem a je hodnota v tomtéž

uzlovém bodě interpolovaná z hodnot předpověděných řídícím modelem viz práci [1]. Váhy

definujeme následovně: označíme-li hraniční bod indexem 0 a uzlové body vzdálené

od hranice indexem I, pak váhy , které v našem modelu označujeme H(I) jsou definovány

vztahem

kde I probíhá od 0 do MW. Váhy s rostoucím I klesají od jedné k nule nejdříve rychleji a pak

stále pomaleji. Hodnota AF vyjadřuje celkovou strmost poklesu. Hodnotu H(MW)

považujeme za tak malou, že další hodnoty H(I) pro I větší než MW klademe rovny nule.

Proto průběh vah můžeme určit následovně: zadáme hodnotu nejmenší váhy H(MW) kterou

označme EPS a položme například EPS=0.002. Pak zadáme-li počet nenulovách vah jako

MW, můžeme z těchto hodnot vypočítat hodnotu AF určující strmost poklesu vah.

Vezmeme-li v úvahu, že k funkci TANH neboli v obvyklém matematickém zápisu tgh

definované vztahem

je inversní funkce

Položíme-li nyní

dostaneme odtud

[1] P. Kållberg: Test of a Lateral Boundary Relaxation Scheme in a Barotropic Model.

ECMWF Internal Report 3. February 77.

u u tDu u 1 1 11 2( )( ) ~

u 1 ~u 1

I x

H I TANH AF I( ) ( ) 1

y tgh xe e

e e

x x

x x

( )

xy

y

0 5

1

1. ln

TANH AF MW EPS( ) 1

AF MWEPS

0 5

21. ln

449

Vztah mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi

Nechť x, y, z, jsou kartézské souřadnice bodu P a 𝜆, 𝜑, 𝑟 jsou polární souřadnice bodu

P, což je znázorněno na obrázku. Naším úkolem nyní bude si vyjádřit kartézské souřadnice

bodu P x, y, z, pomocí sférických souřadnic 𝜆, 𝜑, 𝑟.

Průmět průvodiče bodu P do roviny x, y OP‘ má délku 𝑂𝑃‘ = 𝑟 cos 𝜑 = 𝑟 sin 휃

Promítneme-li úsečku OP‘ na osy x a y a r na osu z, dostaneme

𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 cos 𝜆, 𝑦 = 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜆 , 𝑧 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

Inverzní transformaci dostaneme následovně:

Umocníme-li souřadnice x, y, z na druhou a sečteme, dostaneme 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Z obrázku vidíme, že platí tan 𝜆 = 𝑦/𝑥, sin 𝜑 = 𝑧/𝑟, 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 .