periodicne uplate - racun uloga
DESCRIPTION
Racun ulogaPeriodicne uplateTRANSCRIPT
1
PERIODIČNE UPLATE –RAČUN ULOGA
http://www.efsa.unsa.ba/
Nakon ovog časa moći ćete...
• Izračunati konačnu vrijednost za jednake uloge gdje
je period ulaganja jednak periodu obračuna kamate
• Izračunati konačnu vrijednost za jednake uloge gdje
je period uplate češći/rjeđi od obračuna kamate
• Izračunati konačnu vrijednost za varijabilne uloge
• Izračunati iznos uloga, kamatnu stopu i broj
periodičnih uplataKMF
2
Pretpostavke
• Uplate
– u jednakim vremenskim razmacima,
– u jednakim iznosima ili
– u iznosima koji se mijenjaju po nekoj matematičkoj
zakonitosti
KMF
Konačna vrijednost periodičnih uplata (uloga)
• Ulozi jednaki
• Period uplata i obračuna kamata isti:
– anticipativni ulozi
– dekurzivni ulozi
KMF
3
Anticipativni ulozi
Ulog Konačna vrijednost
1. rn ili
2. rn-1 ili
3. rn-2 ili
… …
n-2. r3 ili
n-1. r2 ili
n. r ili
KMF
npI
1npI −
2npI −
3pI
2pI
1pI
Anticipativni ulozi cont’d
• Konačna ukamaćena vrijednost
• ukoliko oduzmemo prvu jednačinu od druge
KMF
2 3 2 1
2 3 4 1 1
... /
...
n n nn
n n nn
S r r r r r r r
S r r r r r r r
− −
− +
= + + + + + +
= + + + + + +
1
( 1) ( 1)
( 1)
( 1)
nn n
nn
n
n
S r S r r
S r r r
r rS
r
+− = −
− = −
−=−
4
Anticipativni ulozi cont’d
• Izraženo preko faktora I tablice dobija se
KMF
( )
1 2 3 2 1...
1
1
n n nn p p p p p p
nn p
n
np
S I I I I I I
S III
r rIII
r
− −= + + + + + +
=
−=
−
Anticipativni ulozi cont’d
• Konačan izraz
– Algebarski
– Tablični
KMF
( )1
1
n
n
r rK u
r
−=
−
nn pK uIII=
5
Dekurzivne uplate
Ulog Konačna vrijednost
1. rn-1 ili
2. rn-2 ili
3. rn-3 ili
… …
n-2. r2 ili
n-1. r ili
n. 1
KMF
2npI −
3npI −
2pI
1pI
1npI −
Dekurzivne uplate cont’d
• Konačna ukamaćena vrijednost
• prva jednačina je geometrijska progresija, pa je
KMF
' 2 3 2 1
' 1 2 3 2 1
1 ... /
1 ...
n n nn
n n nn p p p p p
S r r r r r r
S I I I I I
− − −
− − −
= + + + + + +
= + + + + + +
' 1
1
n
n
rS
r
−=−
6
Dekurzivne uplate cont’d
• Izraženo preko dekurzivnog kamatnog faktora dobija
se
• Izraženo preko tablica složenih kamata dobija se
KMF
' 1
1
n
n
rK u
r
−=−
( )' 11 nn pK u III −= +
Ulozi odložene realizacije
• Konačna vrijednost se računa dva ili više uplatnih
perioda nakon uplate posljednjeg uloga – m
– Anticipativni ulozi
– Dekurzivni ulozi
KMF
1n mnm p pK uIII I −=
( )' 11 n mnm p pK u III I−= +
7
Primjer 1
• Svake godine u toku 5 godina uplaćivano je po 400
KM. Kamata je obračunavana godišnje po 7%(d).
Kolika je vrijednost uloga jednu godinu nakon uplate
posljednjeg uloga?
KMF
57400
400 6,15329
2461,32
nn p
n
n
n
K uIII
K III
K
K
=
== ⋅=
( )
( )5
1
1
1,07 1,07 1400
1,07 1
400 6,15329
2461,32
n
n
n
n
n
r rK u
r
K
K
K
−=
−−
=−
= ⋅=
Primjer 2
• Uloženo je prve godine 4000 KM, druge 5000 KM a
zatim pet puta u godišnjim razmacima po 3000 KM.
Banka obračunava kamatu godišnje po 7%(d). Kolika
je konačna vrijednost na dan posljednje, sedme,
uplate?
KMF
( )6 5 47 7 74000 5000 3000 1
30267,90
n
n
K I I III
K
= + + +
=
8
Period ukamaćenja veći od posljednjeg perioda u tablicama složenih kamata
• Ukoliko za period ukamaćenja ne postoji gotov faktor
KMF
n k n k n kp p p pIII III I III− −= +
Jednaki ulozi -ulaganje češće od obračuna kamate
• Anticipativni ulozi
KMF
( )1 1
1
1
1
mn
nm
r rK u
r
−=
−mn
nm cK uIII=
1 1100
cr = +
( ) ( )111
200n
mn p
p mK u m III − +
= + +
9
Jednaki ulozi -ulaganje češće od obračuna kamate
• Dekurzivni ulozi
KMF
' 1
1
1
1
mn
mn
rK u
r
−=−
( )' 11 mnmn cK u III −= +
1 1100
cr = +
( ) ( )' 111
200n
mn p
p mK u m III − −
= + +
Primjer 3a
• Svakog mjeseca u toku 5 godina treba da se ulaže po
200 KM. Kojim će iznosom ulagač raspolagati na dan
posljednje uplate ako se kamata obračunava
godišnje po 6%(d)?
KMF
( ) ( )
( )
' 1
' 460 6
11
200
6 11200 12 1 13901,07
200
nmn p
p mK u m III
K III
− −= + +
⋅ = + + =
10
Primjer 3b
• Svakog mjeseca u toku 5 godina treba da se ulaže po
200 KM. Kojim će iznosom ulagač raspolagati jedan
mjesec nakon posljednje uplate ako se kamata
obračunava godišnje po 6%(d)?
KMF
( ) ( )
( )
1
460 6
11
200
6 13200 12 1 13968,71635
200
nmn p
p mK u m III
K III
− += + +
⋅ = + + =
Jednaki ulozi -ulaganje rjeđe od obračuna kamate
• Anticipativni ulozi
• Dekurzivni ulozi
KMF
( ) /
/
11
1
m mn mn mp m
nm m mp m
r r IIIK u u
r III
+− = = − −
/'
/
1
1
mnmnp m
nm m mp m
IIIrK u u
r III
−= =−
11
Primjer 4
• Kompanija je odlučila da ulaže početkom svake
godine u toku 5 godina po 20000 KM.
a) Kojim će iznosom raspolagati jednu godinu nakon
posljednje uplate ako banka obračunava kamatu
polugodišnje na bazi godišnje stope 6%(d)?
b) Kojim će iznosom raspolagati na dan posljednje
uplate ako banka obračunava kamatu polugodišnje
na bazi godišnje stope 6%(d)?
KMF
Primjer 4a cont’d
• Anticipativni ulozi
KMF
( )
( )2 10 123
10 2 23
10
11
1
1,03 1,03 120000 20000 1
1,03 1
119822,95
m mn mn mp
nm m mp
r r IIIK u u
r III
IIIK
III
K
+− = = − −
− = = − −
=
12
Primjer 4b cont’d
• Dekurzivni ulozi
KMF
10
10
'
1010' 3
2 23
'
1
1
1,03 120000 20000
1,03 1
112944,62
nm
mnmnp
m mp
IIIrK u u
r III
IIIK
III
K
−= =−
−= =−
=
Iznosi uloga predstavljaju aritmetičku progresiju
• Anticipativni ulozi
• Dekurzivni ulozi
KMF
( ) ( )' 1 11
1001 1n n
p p
dK u III III n
p− −= + ± + −
( )11
100n np p p
dK u III III nI
p= ± −
13
Isplate predstavljaju geometrijsku progresiju
• Anticipativni ulozi (r>q ili r<q)
• Dekurzivni ulozi (r>q ili r<q)
KMF
( )1
n n
n
r r qK u
r q
−=
−
'1
n n
n
r qK u
r q
−=−
( )1
n n
n
r q rK u
q r
−=
−
'1
n n
n
q rK u
q r
−=−
Uplate predstavljaju geometrijsku progresiju cont’d
• Anticipativni ulozi (r=q)
• Dekurzivni ulozi (r=q)
KMF
1n
n pK u nI=
' 11
nn pK u nI −=
14
Ostali elementi
• Iznos periodične uplate
• Kamatna stopa
• Broj periodičnih uplata
• Iznos kamata
KMF
Iznosi uloga
• Anticipativni ulozi
• Dekurzivni ulozi
KMF
( )( )
1
1n
n
K ru
r r
−=
−: n
n pu K III=
( )' 1
1n
n
K ru
r
−=
−'
1
1
1n np
u KIII −=
+
15
Kamatna stopa
• Linearna interpolacija
KMF
n np
KIII
u=
Broj uloga
• Anticipativni ulozi
• Dekurzivni ulozi
• Ne linearna interpolacija!!!KMF
( )1log 1 : lognK r
n rur
−= +
:n
p nIII K u=
( )' 1log 1 : logn
K rn r
u
−= +
'1 1n n
p
KIII
u− = −
16
Iznos kamata
• Anticipativni ulozi
• Dekurzivni ulozi
KMF
( )
1
n n
n n np
nn p
I K nu
nI K
III
I u III n
= −
= −
= −
( )
'
'1
1
11
1
n n
n n np
nn p
I K nu
nI K
III
I u III n
−
−
= −
= − +
= + −
Rekapitulacija
• Iznos uloga
– Jednaki
– Varijabilne
– Različiti ili isti periodi isplata i obračuna
• Ostale elementi
• Vježba
KMF
17
PITANJA?
KMF
PERIODIČNE UPLATE –RAČUN ULOGA
http://www.efsa.unsa.ba/