persamaan kuadrat2
TRANSCRIPT
![Page 1: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/1.jpg)
Assalammualaikum Wr. Wb.
![Page 2: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/2.jpg)
Kelas A – Semester 4
Matematika
Kita bahas bersama, yuk . . . !!!
![Page 3: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/3.jpg)
11310015
11310005
11310006
11310026
11310008
![Page 4: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/4.jpg)
Persamaan kuadrat suatu persamaan dimana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.
Definisi Persamaan Kuadrat
![Page 5: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/5.jpg)
• Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.
Koefisien x2 koefisien x Konstanta (suku tetapan)
(jika b = 0) disebut Persamaan Kuadrat Sempurna : ax2 + c = 0
(jika c = 0) disebut Persamaan Kuadrat Tak Lengkap : ax2 + bx = 0
ax2 + bx + c = 0
![Page 6: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/6.jpg)
Nyatakan dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b dan c dari persamaan :
a. 2x2 = 3x - 8
b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)
C. 2x - 3 = x5
Jawab:
a. 2x2 = 3x – 8Kedua ruas ditambah dengan –3x + 8
– 3x + 8
2x2 – 3x + 8 =
Jadi, a = , b = dan c =2 -3 8
2x2 = 3x – 8 – 3x + 8
Contoh :
0
![Page 7: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/7.jpg)
b. x2 = 2(x2 – 3x + 1)
x2 = Kedua ruas dikurangi dengan x2
x2
x2 – 6x + 2
x2 – 6x + 2 = 0
Jadi a = , b = , dan c = 1 -6 2
c. 2x - 3 = x5
Kedua ruas dikalikan dengan x
(2x – 3)x =
2x2 – 3x =
2x2 – 3x – 5 = 0
Jadi a = , b = , dan c = 2 -3 -5
- x2= 2x2 – 6x + 2- x2
Jawab:
0 =
5
2x2 – 6x + 2
5
![Page 8: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/8.jpg)
REMEMBER .…
(a + b)(p + q) =
(a - b)2 =
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
ap + bp + aq + bq
(a + b)(a - b) = a2 - b2
![Page 9: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/9.jpg)
Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar atau menyelesaiakan persamaan kuadrat, yaitu :
1.Metode faktorisasi
2.Metode melengkapkan kuadrat
sempurna
3.Rumus kuadrat / rumus abc
![Page 10: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/10.jpg)
1. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan
Contoh: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut
02 cbxax
(ax……) (ax…..) = 0+
a . c
b
P
QP Q
1. x2 ─ x ─ 6 = 0
(x ) (x ) = 0
x = 3 atau x = ─2 ─ 3
+ 2
+─ 6
─ 1
─ 3 + 2
(2x ) (2x ) = 0 2. 2x2 ─ 3x ─ 5 = 0
2
(2x ─ 5) (x +1 ) = 0
X=2
5Atau x = ─ 1
+ 2─ 5 ─ 10
─3+
─ 5
+ 2
a
![Page 11: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/11.jpg)
092 x0)3)(3( xx
3x 3x
4.
atau
(– 3x ) (– 3x ) = 0
3. ─ 3x2 ─ 4x + 4 = 0
– 3
(– 3x + 2) (x +2 ) = 0
X= – 23
2x =
+ 2 – 6
─ 12
– 4+
+ 2
– 6
![Page 12: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/12.jpg)
Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna dirubah menjadi bentuk (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0.
Langkah-langkah :1. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum
bernilai 1 bagilah dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.
2. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x, kemudian kuadratkan
3. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas kanan disederhanakan.
2. Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat
Cara ke-1
![Page 13: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0. Solusia=-1, b = 4, c = 0. 4x - x2 = 0 x⇔ 2 - 4x = 0 ⇔(½.b)2 = (½.4)2 = 4 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 + 4 ⇔ (x – 2)2 = 4 ⇔ (x – 2) = ±√ 4 ⇔ x – 2 = 2 atau x – 2 = - 2 ⇔ x = 2 + 2 atau x = -2 + 2 ⇔ x = 4 atau x = 0 Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4
![Page 14: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 - x – 6 = 0. Solusia = 1, b = -1, c = -6. x2 - x – 6 = 0 ⇔ x2 - x = 6 (½.b)⇔ 2 = (½.1)2 = ¼ ⇔ x2 - x + ¼ = 6 + ¼ ⇔ (x - ½)2 = 6¼ ⇔ (x - ½) = ±√25/4 ⇔ x - ½ = ±5/2 ⇔ x - ½ = 5/2 atau x - ½ = - 5/2
⇔ x = 5/2 + ½ atau x = - 5/2 + ½ ⇔ x = 6/2 atau x - ½) = - 4/2 Penyelesaiannya x = 3 atau x = -2
![Page 15: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh:
x2 + px + q = 0
0q)())((x 22p2
2p
0822 xx
9)1( 2 x
3)1( x
31 x 31 x13 x 13 x
4 x 2x
1.
atau
atau
atau
081)1( 2 x
0)8()( 2
222
22 x
09)1( 2 x
dengan p = 2, q = -8
9)1( x
Cara ke-2
Jadi, akar-akarnya yaitu x = -4 atau x = 2
![Page 16: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/16.jpg)
2. 2x2 –6x –5 = 0
x2 + px + q = 0
0q)())((x 22p2
2p
Karena koefisien dari x2 belum = 1 maka kita bagi 2 (supaya menjadi satu)
x2 –3x – 5/2 = 0
0)()())(( 252
232
23 x
0)()( 25
492
23 x
0)()( 410
492
23 x
0)( 4192
23 x
4192
23 )( x
419
23 )( x
219
23 )( x
23
219 x
23
219
1 x2
319
23
219
2 x2
319
dengan p = -3, q = -5/2
![Page 17: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/17.jpg)
Rumus kuadrat / abc
Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan rumus kuadrat/abc maka :
Atau dan
a
acbbx
2
42
2,1
a
acbbx
2
42
1
a
acbbx
2
42
2
3. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat
![Page 18: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh:
0822 xx
)1(2
)8)(1(422 2
2.1
x
2
32422.1
x
2
622.1
x
2
621
x 2
622
x
41 x 22 x
, jadi a=1, b=2, c=-8
atau
atau
![Page 19: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/19.jpg)
Diskriminan (D) adalah: acbD 42 Diskriminan dapat menentukan jenis-jenis akar kuadrat, yaitu:
1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.
DISKRIMINAN
2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar )
3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).
![Page 20: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/20.jpg)
a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
Contoh:
0322 xxacbD 42
)3)(1(4)2( 2 D124
16Karena D=16>0 dan berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya berlainan dan rasional
1.Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.
![Page 21: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/21.jpg)
0322 xx0)1)(3( xx
3 x 1x atau
Contoh:
0522 xxacbD 42
)5)(1(422 24204
Karena D=24>0 tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional
Pembuktian:
![Page 22: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/22.jpg)
0522 xx
1.2
)5(1.4)2(2 2
2.1
x
2
20422.1
x
2
2422.1
x
atau
Jadi akar-akarnya adalah:
2
6222.1
x
2
)61(22.1
x
612.1 x
61x 61x
Pembuktian:
![Page 23: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/23.jpg)
2. Jika D=0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama ( akar kembar )
Contoh: 0424
1 2 xx
acbD 42 .
)4)(4
1(422 44 0
Karena D=0, maka kedua akarnya kembar
0424
1 2 xx4
01682 xx
0)4)(4( xx
4x atau
Jadi akar akarnya adalah:
4x
![Page 24: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/24.jpg)
3. Jika D<0, maka kedua akarnya tidak real ( imaginer ).
Contoh:0342 2 xx
acbD 42 )3)(2(442 2416 8
2.2
)3(2.444 2
2.1
x
4
241642.1
x
4
842.1
x 4
842.1
x0342 2 xx
atau
Jadi akar akarnya adalah:
4
84 x
4
84 x
Karena D=-8<0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar-akar real (akar-akarnya imaginer).
![Page 25: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/25.jpg)
Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat dg Akar-akarnya Memiliki Ciri-ciri Sifat Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat 0)32(22 ppxx
a. Carilah diskriminan persamaan kuadrat tersebut!
b. Tentukan nilai atau batas nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
• Mempunyai dua akar yang berbeda
• Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
• Tidak mempunyai akar-akar real
Jawab
a. acbD 42
)32)(1(4)2( 2 pp 1284 2 pp
![Page 26: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/26.jpg)
b. nilai p agar persamaan kuadrat tesebut:
0D01284 2 pp
0322 pp
0)3)(1( pp
1p 3p atau
•Mempunyai dua akar yang berbeda Mempunyai dua akar sama (akar kembar)
0D
01284 2 pp
0322 pp
0)3)(1( pp
1p 3p atau
Tidak mempunyai akar-akar real
01284 2 pp
0322 pp
0)3)(1( pp
0D31 p
![Page 27: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/27.jpg)
HUBUNGAN ANTARA KOEFISIEN PK. DENGAN SIFAT AKAR
acan berkebalik akarnya-Akar 3.
0b berlawanan akarnya-Akar 2.
a4b kembar akarnya-Akar 1. 2
![Page 28: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/28.jpg)
CONTOH :
qdan pTentukan
0.2-q5x-2qxpersamaan akar -akarkebalikan
adalah 06p-pxxPersamaan akar -Akar2
2
3qdan 0p Nilai Jadi
0p
6p6
6-p2q ca
3q
2-q1 ca
Jawab :
![Page 29: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/29.jpg)
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar P.K.
• Akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah
- =
Dapat disimpulkan bahwa :
dan
+
![Page 30: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh:
0822 xx
0)2)(4( xx
41 x 22 x atau
a
bxx 21 1
2 2
a
cxx 21.
1
8 8
0822 xx
22421 xx
82).4(. 21 xx
Pembuktian:
![Page 31: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/31.jpg)
Menghitung Bentuk Simetri Akar-Akar Persmaan Kuadrat
Sebuah bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel disebut simetri atau setangkup, jika letak variabel tersebut ditukar, maka nilai dari bentuk aljabar tersebut tidak berubah.
Contoh:
Bentuk-bentuk simetri
ba abba 22 ba 2222 abba
ba
11
abba
1111
, karena
, karena
, karena
ba abba 22 ba 2222 abba
ba
11
abba
1111
Bentuk-bentuk tidak simetri
, karena
, karena
, karena
Bentuk-bentuk simetri dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan tanpa menghitung akar-akarnya terlebih dahulu.
![Page 32: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/32.jpg)
Contoh:
0822 xxAkar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2.
Tanpa menentukan akar-akarnya, tentukanlah:
21 xx
21.xx
22
21 xx
21
11
xx
a.
b.
c.
d.
Jawab:
a
bxx 21 2
1
2
a
cxx 21. 8
1
8
a.
b.
![Page 33: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/33.jpg)
22
21 xx c. 21
221 .2)( xxxx
)8(2)2( 2 164 20
21
11
xxd.
21
12
xx
xx
8
2
4
1
![Page 34: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/34.jpg)
Menghitung Koefisien Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memiliki Cri-ciri Tertentu
Contoh:
Diketahui persamaan kuadrat 0)3(102 kxx
Jika salah satu akarnya empat kali akar yang lain, hitunglah nilai k
Jawab:
Salah satu akarnya empat kali akar yang lain.
Jadi 21 4xx Rumus jumlah akar-akar:
101
1021
a
bxx
104 22 xx
105 2 x
22 x
21 4xx
82.41 x
Dari , maka
![Page 35: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/35.jpg)
Rumus hasil kali akar-akar:
a
cxx 21. 3
1
3
kk
38.2 k
316 kk 316
13k
![Page 36: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/36.jpg)
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxax
Sifat : Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat
0)( 21 bxx
cax
x )1
(2
1
0)0( 1 cxa
bx 2
0a
c
0a
c
1.Akar-akarnya berlawanan
2. Akar-akarnya berkebalikan
3. Sebuah akarnya sama dengan 0 dan
4. Kedua akarnya bertanda sama
5. Kedua akarnya berlainan tanda
![Page 37: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/37.jpg)
Tentukan nilai p dalam persamaan kuadrat
Contoh:
0)43()12( 22 ppxpx
agar salah satu akarnya sama dengan nol.
Supaya salah satu akarnya sama dengan nol haruslah 0c
0432 pp
0)4)(1( pp
1p 4p
Jadi:
atau
![Page 38: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/38.jpg)
MENYUSUN PK YANG AKAR –AKARNYA DIKETAHUI
akar-akar
kali hasildan jumlah rumusn Menggunaka 2.
faktorPerkalian n Menggunaka 1.
![Page 39: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/39.jpg)
a. Menggunakan Perkalian Faktor
jika akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah dan , maka ax2 + bx + c =0 ekuivalen dengan a(x - ) (x - )=0. jadi, jika akar-akar persamaan kuadrat itu dan , maka persamaan kuadrat itu adalah (x - ) (x - ).
• Contoh : tent. persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5???
jawab : x1 = 2 dan x2 = 5
Maka ( x-x1) (x-x2) = 0
<=>(x-2) (x-5) = 0 <=>x2 – 7x + 10 = 0Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
![Page 40: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/40.jpg)
x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0
Contoh :x1 = 2 dan x2 = 5Maka x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7
x1. x2 = 2.5 = 10Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0
b. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya
![Page 41: Persamaan kuadrat2](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022102816/558944e0d8b42afa2b8b45c2/html5/thumbnails/41.jpg)
Wasalammualaikum Wr.
Wb.