Pertemuan 12- Analisis Markov

Riset Operasional - dewiyani

1

Pengertian Tidak memberikan keputusan rekomendasi Memberi informasi probabilitas tentang situasi

keputusan yang dapat membantu pengambil keputusan untuk membuat keputusan

Diterapkan pada sistem yang menampilkan pergerakan probabilitas dari satu kondisi ke kondisi lain, sepanjang waktu

Contoh :

Suatu komunitas kecil memiliki 2 pompa bensin, Petroco dan National.

Penduduk komunitas tersebut membeli bensin pada ke-2 pompa bensin tersebut atas dasar bulanan.

Bagian pemasaran Petroco mengadakan survei terhadap sejumlah penduduk dan menemukan bahwa pelanggan tidak setia sepenuhnya pada pompa bensin manapun. Pelanggan akan pindah pompa bensin sebagai akibat dari adanya periklanan, pelayanan, dan faktor lainnya. Probabilitas kesetiaan pelanggan dirangkum dalam tabel di bawah ini :

Bulan berikut Bulan ini Petroco National

Petroco 0,60 0,40 National 0,20 0,80

Sifat sifat dari contoh pompa bensin yang digambarkan di atas menentukan proses Markov yang dirangkum dalam terminologi Markov sbb :

Jika diketahui status suatu kondisi awal, maka pada kondisi berikutnya merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam probabilitas, yang disebut dengan probabilitas transisi

Jumlah probabilitas transisi untuk suatu awal keadaan dari suatu sistem tertentu = 1,0

Probabilitas probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem

Probabilitas transisi hanya tergantung pada status awal

Keadaan merupakan keadaan yang independen sepanjang waktu.

0,60

BULAN 1 BULAN 2 BULAN 3

PETROCO

PETROCO

NATIONAL

PETROCO

NATIONAL

PETROCO

NATIONAL

0,60

0,40

0,40

0,20

0,80

0,36

0,24

0,08

0,32

Sehingga :Jika di bulan I pelanggan membeli di Petroco,

maka kemungkinan di bulan ke 3 :Tetap membeli di Petroco : 0,36 + 0.08 = 0.44Beralih membeli di National : 0,24 + 0.32 =

0,56

BULAN 1 BULAN 2 BULAN 3

NATIONAL

PETROCO

NATIONAL

PETROCO

NATIONAL

PETROCO

NATIONAL

0,20

0,80

0,40

0,20

0,80

0,12

0,08

0,16

0,64

0,60

Sehingga : Jika di bulan I pelanggan membeli di

National, maka kemungkinan di bulan ke 3 :

Tetap membeli di National : 0,08 + 0.64 = 0.72

Beralih membeli di Petroco : 0,12 + 0.16 = 0,28

Walau dianggap logis, akan tetapi penggunaan diagram pohon untuk penyelesaian Analisa Markov, dianggap menghabiskan waktu dan tidak praktis.

Sebagai alternatif, analisis di atas diselesaikan dengan menggunakan teknik aljabar matriks

MATRIKS TRANSISI

Probabilitas pergerakan pelanggan dari satu pompa bensin ke pompa bensin lain, yang ditampilkan dalam diagram pohon, dapat ditampilkan dalam bentuk susunan matriks sebagai berikut :

Matriks transisi jika pelanggan bulan pertama membeli di Petroco:

8,02,0

4,06,0

Bulan Pertama Bulan Berikutnya

Petroco

National

T disebut Matriks Transisi Simbol : X Y ( i ) ; di mana X = probabilitas transaksi

dengan X, Y = probabilitas transaksi untuk

keadaan awal i = perioda Contoh : PN ( 3 ) : probabilitas transaksi

seorang pelanggan dengan asumsi bahwa pada awalnya pelanggan tersebut melakukan transaksi dengan National, dan pada bulan ke tiga melakukan transaksi dengan Petroco.

Jadi : PN ( 3 ) = 0,28

Cara perhitungan dengan matriks transisi :

Keadaan awal : Petroco

Bulan 1 : PP(1) NP(1) = [ 1,0 0,0 ]

Bulan 2 : PP(2) NP (2) = [ 1,0 0,0 ] .

= [ 0,6 0,4 ]

Bulan 3 : PP(3) NP (3) = [ 0,6 0,4 ].

= [ 0,44 0,56 ]

Bulan 4 : PP(4) NP (4) = [ 0,44 0,56 ] .

= [ 0,38 0,62]

Bulan 5 : PP(5) NP (5) = [ 0,35 0,65]

Bulan 6 : PP(6) NP (6) = [ 0,34 0,66]

Bulan 7 : PP(7) NP (7) = [ 0,34 0,66]

Bulan 8 : PP(8) NP (8) = [ 0,33 0,67]

Bulan 9 : PP(9) NP (9) = [ 0,33 0,67]

Karakteristik probabilitas keadaan akan mendekati nilai konstan

setelah sejumlah perioda waktu tertentu .

8,02,0

4,06,0

8,02,0

4,06,0

8,02,0

4,06,0

PROBABILITAS KEADAAN TETAP (STEADY STATE ) Probabilitas sebesar 0,33 dan 0,67 seperti

dalam contoh, dikenal sebagai PROBABILITAS KEADAAN TETAP ( STEADY STATE )

Teknik penentuan PROBABILITAS KEADAAN TETAP ( STEADY STATE ) adalah sebagai berikut :

Andaikan probabilitas ini berlaku untuk perioda i di masa datang begitu suatu saat keadaan tetap telah tercapai. Untuk menentukan probabilitas keadaan perioda i + 1, kita akan mengikuti perhitungan berikut :

[ PP(i+1) NP(i+1) ] = [ PP(i) NP(i) ] .

8,02,0

4,06,0

Kita telah mengetahui, jika telah tercapai keadaan tetap, maka :

[ PP(i+1) NP(i+1) ] = [ PP(i) NP(i) ]

tanpa memperdulikan periodanya:

[ PP(i) NP(i) ] = [ PP(i) NP(i) ] .

8,02,0

4,06,0

Dari operasi matriks yang ada, didapatkan :

PP = 0,6 PP + 0,2 NP dan NP = 0,4 PP + 0,8 NP

Karena NP = 1,0 – PP, maka

PP = 0,6 PP + 0,2 ( 1,0 – PP)= 0,2 + 0,4 PP

0,6 PP = 0,2 sehingga PP = 0,33 dan NP = 0.67

Latihan 1Pada contoh di atas, anggaplah bahwa Petroco ingin

meningkatkan pangsa pasarnya. Untuk mencapai tujuan

tesrebut, Petroco telah meningkatkan pelayanannya dan

matriks transisinya menjadi :

Petroco National

Petroco 0.7 0.3

National 0.2 0.8

Jika di desa tersebut terdapat 3.000 pelanggan, berapa yang

diperoleh Petroco dan berapa yang diperoleh National pada

keadaan steady state ?

Latihan 2Sebuah mesin memiliki matriks transisi harian sebagai

berikut :

Hari 2 Hari 1

Operasi Rusak

Operasi 0.9 0.1

Rusak 0.7 0.3

a. Dengan diagram pohon, tentukan probabilitas mesin

dalam keadaan dapat beroperasi dan dalam keadaan

rusak pada hari ke -4.

b. Tentukan Steady State nya

LATIHAN 3Di kota Surabaya, terdapat 2 surat kabar yang di baca oleh penduduknya, yaitu Jawa Pos

dan Surya. Dari sampel yang diambil secara acak, terjadi perpindahan merk surat kabar

yang dibaca oleh penduduk dalam setiap bulannya. Matriks probabilitas transisi untuk

perpindahan merk surat kabar yang dibaca penduduk adalah sebagai berikut :

Bulan Depan Bulan ini

Jawa Pos Surya

Jawa Pos 0.65 0.35

Surya 0.45 0.55

a. Dengan diagram pohon, tentukan probabilitas seorang penduduk membaca Jawa

Pos pada bulan ke 3, jika penduduk tersebut membaca Surya pada bulan pertama.

b. Dengan metode perkalian matriks, tentukan probabilitas seorang penduduk

membaca Jawa Pos pada bulan ke 4, jika penduduk tersebut membaca Surya pada

bulan pertama.

c. Tentukan steady statenya.

Latihan 3

Jika dipunyai matriks probabilitas transisi sbb :

dengan asumsi bulan pertama adalah A, tentukan pribabilitas status A,B dan C pada bulan ke 3 dan steady statenya.

Bulan Depan Bulan ini A B C

A 0.5 0.3 0.2 B 0.1 0.7 0.2 C 0.1 0.1 0.8