BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN

PH C VÀ NG NG VÀO GI I TO N

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC Ĩ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13

tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của Toán

học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích.

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình Toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Tuy nhiên, đối với HS bậc PTTH thì số phức là một nội dung còn mới mẻ. Với thời lượng không nhiều, HS mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số phức. Vì vậy, việc khai thác các ứng dụng của số phức như một phương tiện để giải các bài toán còn rất hạn chế.

Với mong muốn tổng quan một số kiến thức cơ bản về số phức, tìm hiểu sâu hơn các ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong chương trình toán bậc PTTH nhằm đưa số phức trở thành công cụ giải toán và được sự định hướng của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung học” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu. - Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức. - Ứng dụng vào việc giải một số bài toán của chương trình

PTTH, từ đó giúp HS thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong giải toán nói riêng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số

phức như một công cụ để giải toán, phân loại các dạng bài toán có thể

2

sử dụng số phức để giải được và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. - Đối tượng nghiên cứu của đề tài là số phức, các dạng biểu diễn

của số phức, một số bài toán của chương trình PTTH có thể sử dụng số phức để giải được.

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là ứng dụng của số phức trong việc giải một số bài toán của chương trình phổ thông trung học.

5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả

nghiên cứu liên quan đến số phức và các ứng dụng của nó. - Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn - Nâng cao kiến thức, kĩ năng sử dụng công cụ số phức nhằm

đưa ra cách giải hiệu quả cho một số dạng toán thường gặp ở trường PTTH. Góp phần phát huy tính tư duy và tự học của học sinh.

7. Cấu trúc luận văn Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận gồm 2 chương: Chương 1 trình bày khái niệm, các phép toán trên tập số phức,

các dạng biểu diễn của số phức. Chương 2 trình bày ứng dụng của số phức vào giải một số bài

toán trong hình học, lượng giác, đại số ở chương trình phổ thông trung học.

3

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên

quan về số phức, lịch sử hình thành khái niệm số phức, các phép toán trên tập hợp số phức, các dạng biểu diễn của số phức… Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu được tham khảo tại các tài liệu [1], [4], [6], [9]. 1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI. Đó là thời kì Phục hưng của toán học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Biểu thức dạng

1, 0a b b+ − ≠ xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai,

bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được

Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là a ib+ , trong đó kí

hiệu 1i = − được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”.

1.2. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC • Trường £ được xây dựng như trên được gọi là trường số

phức. • Mọi phần tử của £ được gọi là số phức.

• Vậy z∀ ∈£ , ta có

( , ) .(1, 0) .(0,1) , , .z a b a b a ib a b= = + = + ∀ ∈ ¡

Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó: a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez. b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz. • Số phức liên hợp

4

Cho , ,z a ib a b= + ∀ ∈¡ , khi đó z a ib= − ∈ £ được gọi

là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z .

1.3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC 1.3.1. Phép cộng Ta gọi tổng của hai số phức 1 1 1 2 2 2;z a ib z a ib= + = + là số

phức 1 2 1 2( ) ( )z a a i b b= + + + và được kí hiệu là 1 2z z z= + .

1.3.2. Phép trừ Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức

1 1 1 2 2 2;z a ib z a ib= + = + ta có thể tìm được số phức z sao cho

2 1z z z+ = . Số phức này gọi là hiệu của hai số phức 1z và 2z , kí

hiệu là 1 2z z z= − , rõ ràng từ định nghĩa ta có

1 2 1 2( ) ( ) .z a a i b b= − + −

1.3.3. Phép nhân Ta gọi tích của hai số phức

1 1 1 2 2 2;z a ib z a ib= + = + là

số phức z xác định bởi 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ).z a a bb i a b b a= − + + Và kí hiệu là

1 2z z z= .

1.3.4. Phép chia

Giả sử 2 0z ≠ . Khi đó ta có thể tìm được một số phức

z a ib= + sao cho 2 1.z z z= . Theo định nghĩa của phép nhân ta

có hệ phương trình sau : 2 2 1

2 2 1

.a a b b ab a a b b

− = + =

Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z1 và z2 .

Giải hệ 2 2 1

2 2 1

a a b b ab a a b b

− = + =

Kí hiệu 1

2

zzz

= .

5

1.3.5. Lũy thừa bậc n của số phức Tích của n lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức

z. Kí hiệu nz . 1.3.6. Căn bậc hai của số phức và giải phương trình bậc hai a. Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w, số phức z = a + bi thoả 2z w= được gọi là căn bậc hai của w.

1.3.7. Căn bậc n Số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu w n z= . Kí

hiệu w n z= . 1.3.8. Định lý

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

1 1

2 2

. .

. . 0 ( , , ).

. . Suy ra: , , .

. .

. 2Re 2 ; 2 Im 2 ( , , ).

. , .

. , .

iii z z z z

iv z z a b z a ib a b

v z z z z z z z

z zvi

z z

vii z z z a z z i z ib z a ib a b

i z z z

ii z z z

λ λ λ

+ = +

= + ≥ ∀ = + ∀ ∈

= = ∀ ∈ ∀ ∈

=

+ = = − = = ∀ = + ∀ ∈

= ∀ ∈ ⊂

= ∀ ∈

¡

¡ £

¡

¡ £

£

1.3.9. Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức Cho trước hai điểm M(m), N(n). Khi đó, độ dài đoạn

( )MN n m d m;n= − = . Trong mặt phẳng cho trước đoạn thẳng

AB. Khi đó, điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số { }1k \∈ ¡ khi và

6

chỉ khi MA k MB=uuur uuur

, ( )a m k. b m− = − trong đó a, b và m là tọa vị

các điểm A, B và M theo thứ tự đó.

Từ đó, nếu kí hiệu [ ]AB là chỉ đoạn thẳng AB, kí hiệu

(AB) là chỉ đường thẳng AB, kí hiệu [ )AB là chỉ tia AB, ta có các kết

quả sau

Cho trước hai điểm ( ) ( )A a ,B b phân biệt và điểm

( )M m . Khi đó

[ ] ( ) [ ] ( ) ( )0 0 1 1 1M AB t : z m t. b m t ; : m t a tb∈ ⇔ ∃ ≥ − = − ⇔ ∃ ∈ = − +

( ) ( ) ( ) ( )1 2M AB t : m a t. b a t : m t a tb∈ ⇔ ∃ ∈ − = − ⇔ ∃ ∈ = − +¡ ¡ a. Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm

( ) ( )1 1 2 2M z ,M z và 1 2k karg z ,k ,α = = . Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2OM ,OM Ox,OM Ox,OM mod π≡ −uuuur uuuur uur uuuur uur uuuur

hay góc định hướng tạo bởi tia 1OM với tia 2OM bằng 2

1

zargz

.

b. Tích vô hướng của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm ( ) ( )1 1 2 2M z ,M z .

Khi đó

·1 2 1 2 1 2OM .OM OM .OM .cosM OM=

uuuur uuuur

d. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

7

Khoảng cách từ điểm ( )0M z đến đường thẳng

0: .z .zα α β∆ + + = bằng ( ) 0 0

2

.z .zd M ,

.

α α β

α α

+ +∆ =

e. Đường tròn

Đường tròn tâm ( )0 0M z bán kính R là tập hợp những

điểm M(z) sao cho 0 0M M R hay z z R= − = tức là

20 0 0 0 0zz z z z z z z R− − + − = .

Từ đó mọi đường tròn đều có phương trình dạng

0zz z zα α β+ + + = , trong đó

,α β∈ ∈£ ¡ . Đường tròn này có tâm với tọa vị α− , bán kính

R αα β= − .

f. Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức

Phép dời hình.

Phép tịnh tiến. Biểu thức của phép tịnh tiến là

( )z' f z z v= = +

Phép quay. Biểu thức của phép quay là

( )0 0i .z' z e z zα− = −

Phép đối xứng trục. Phép đối xứng qua đường thẳng l là

phép biến hình biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') sao cho l là

trung trực của MM'. Từ đó

8

Phép đối xứng qua trục thực: ( )z' f z z= =

Phép đối xứng qua trục ảo: ( )z' f z z= = −

Phép vị tự tâm ( )0C z , tỷ số r ∗∈ ¡ là phép biến hình

biến mỗi điểm M(z) thành điểm M'(z') mà CM ' r.CM=uuuur uuur

. Do đó, có

biểu thức

( )0 0z' r. z z z= − + .

g. Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường

tròn

Định lý 3. Ba điểm ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3M z ,M z ,M z thẳng hàng khi và

chỉ khi

3 1

2 1

z zz z

∗−∈

−¡ hay 3 1

2 1

0z zImz z

−= −

.

Định lý 4. Bốn điểm ( ) 1 2 3 4k kM z ,k , , ,= cùng nằm trên một

đường thẳng hay đường tròn khi và chỉ khi 3 2 3 4

1 2 1 4

z z z z:z z z z

− −∈

− −¡

h. Tích ngoài của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm ( ) ( )1 1 2 2M z ,M z .

·1 2 1 1 1 2OM OM OM . OM .sin M OM× =

uuuur uuuur uuuur uuuur

1.4. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 1.4.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp số thực

9

Mỗi số phức a + bi hoàn toàn được xác định ∀a; b∈ £ gọi là các thành phần của chúng.

Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a; b), a∈ ¡ ,

b∈ ¡ được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:

i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức:

( ) ( ) {; ; .a c

b da b c d

=⇔

==

ii) Phép cộng trong tập số phức: (a; b) + (c; d) := (a +c; b +d) và cặp (a + c; b + d) được gọi là tổng của các cặp (a; b) và (c; d) .

iii) Phép nhân trong tập số phức: (a; b) (c; d) := (ac −bd; ad +bc) và cặp (ac − bd; ad + bc) được gọi là tích của các cặp (a; b) và (c; d).

iv) Số thực trong tập số phức: Cặp (a;0) được đồng nhất với số thực a, nghĩa là: (a; 0) : = a hay là (a; 0) ≡ a.

Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ . 1.4.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số Mọi số phức (a; b) ∈ £ đều được biểu diễn dưới dạng: (a; b)

= (a; 0)+ (b; 0) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi , trong đó cặp (0; 1) được ký hiệu bởi chữ i.

Từ tiên đề iii) ta có: i2 = (0;1)(0;1) = (0.0 −1.1; 0.1+1.0) = (−1; 0) = −1.

Biểu thức (a; b) = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức. 1.4.3. Biểu diễn hình học của số phức Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(a; b). Mỗi số phức z = a

+ bi có thể đặt tương ứng với điểm M(a; b) và ngược lại, mỗi điểm M(a; b) của mặt phẳng sẽ tương ứng với số phức z = a + bi.

10

Nhờ phép tương ứng: M(a; b) a a + bi, ta có thể xem các số phức như là một điểm của mặt phẳng tọa độ hay vectơ với điểm đầu tại gốc tọa độ O(0; 0) và điểm mút tại M(a; b).

1.4.4. Biểu diễn số phức dưới dạng ma trận Xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường số

thực

: ;a b

M a bb a

= ∈ −

¡

sao cho trên đó các phép toán cộng và nhân được thực hiện theo các quy tắc thông thường của đại số ma trận.

Khi đó mỗi số phức z = a + bi được đặt tương ứng với ma trận: a bb a

−

Đó là ánh xạ đơn trị một - một. Qua ánh xạ này toàn bộ trường

số phức được ánh xạ lên tập hợp M các ma trận dạng a bb a

−

.

1.4.5. Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ a. Dạng lượng giác của số phức Vì mỗi điểm có tọa độ (a, b) trong mặt phẳng tương ứng với

một véc tơ có bán kính véc tơ 2 2r a b= + và góc cực tương ứng ϕ .

Do đó mỗi số phức z có thể biểu diễn dưới dạng ( os isin )z r c ϕ ϕ= + .

Đây là dạng lượng giác của số phức, trong đó r, ϕ lần lượt là bán

kính cực và góc cực của số phức z. Bán kính r gọi là modun của số phức z, kí hiệu r z= . Góc cực ϕ gọi là argument của số phức z, kí

hiệu là Argzϕ= .

11

b. Dạng mũ của số phức

Để đơn giản cách viết số phức ta đặt os i sin ic e ϕϕ ϕ ±± =

và dạng lượng giác được biến đổi thành dạng số mũ iz re ϕ= của số phức 0z ≠ .

Dễ dàng chứng minh rằng nếu 1 21 1 2 2;i iz r e z r eϕ ϕ= = thì:

1 2 ) 1 2 )( (1 11 2 1 2 2

2 2

; ; 0.i iz rz z r r e e rz r

ϕ ϕ ϕ ϕ+ −= = ≠

Phép nâng số phức ( os i sin )z a ib r c ϕ ϕ= + = + lên lũy thừa

bậc n của số phức được thực hiện theo công thức Moivre: 2

; w ; 0 ;1; . . . ; 1kin n in n n n

kz r e z r e k nϕ π

ϕ+

= = = = −

Công thức Moivre Cho một số phức bất kì dưới dạng lượng giác

( os isin )z r c ϕ ϕ= + , theo công thức ở trên ta có

[ ( os isin )] ( osn isin ), .n n nz r c r c n n Nϕ ϕ ϕ ϕ= + = + ∀ ∈ Công thức trên được gọi là công thức Moivre.

Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số

2 2w ( os i sin ), ( ),n k kr c k Zn n

ϕ π ϕ π+ += + ∈

thì ta được z .

12

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG

TRUNG HỌC

Trong chương này, chúng tôi trình bày ứng dụng của số phức

vào giải một số dạng bài toán trong hình học, lượng giác và đại số.

Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu được tham khảo tại các tài liệu

[2], [3], [5], [6], [7, [8], [9], [10].

2.1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 2.1.1. Các bài toán về chứng minh tính chất hình học

và tính toán

Bài toán 1. Trong mặt phẳng tọa độ Descartes Oxy cho tam

giác ABC, với các đỉnh A(1; 0), B(0; 3) và C(-3; -5).

1) Xác định điểm I thỏa mãn điều kiện:

C2ΙΑ − 3ΙΒ + 2Ι = 0uur ur uur r

.

2) Xác định trọng tâm G của tam giác ABC và điểm D sao

cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Nhận xét: Vì có thể đồng nhất mỗi số phức với một điểm

trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên từ giả thiết của bài toán ta có thể xác

định được tọa độ của các điểm I hay G thông qua thông qua việc biểu

diễn điểm và vectơ theo tọa độ phức. Vì vậy bài toán có thể giải được

bằng số phức.

13

Học sinh vẫn thường làm bằng phương pháp tọa độ, xuất phát

từ việc gọi tọa độ của điểm và áp dụng biểu thức vectơ đã cho. Từ đó

tính được tọa độ của I nhờ tính chất của hai vectơ bằng nhau. Như

vậy, nếu sử dụng số phức để giải bài toán này thì có một thuận lợi nổi

bật đó là mỗi điểm chỉ có một tọa độ phức, còn theo cách cũ ta phải

xác định được hai tọa độ.

Bài toán 2. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy các điểm E và F

sao cho ( )1 1EB k EC, FB FC k .k

= = ≠uur uuur uur uuur

1) Tính AE,AF , EF theo AB,AC.uuur uuur uuur uur uuur

2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm.

3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho

DA kDB, IC kIA.= =uuur uuur uur uur

Chứng minh 0AE BI CD+ + =uuur uur uuur r

.

Bài toán 3. (Bất đẳng thức Ptolemy). Cho tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng ta luôn có AB.CD AD.BC AC.BD.+ ≥ Dấu

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B, C, D theo thứ tự là đỉnh của một

tứ một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn.

Bài toán 4. (Bài toán Napoleon). Lấy các cạnh của BC, CA,

AB của tam giác ABC làm đáy, dựng ra ngoài các tam giác đều với

tâm tương ứng 0 0 0A ,B ,C . Chứng minh rằng : 0 0 0A ,B ,C là đỉnh

của một tam giác đều.

Bài toán 5. (IMO 1977). Cho hình vuông ABCD. Dựng về

phía trong hình vuông các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN.

14

Chứng minh rằng các trung điểm các đoạn thẳng KL, LM, MN,

NK, BK, BL, CL, DM, DN, NA là đỉnh của một thập nhị giác đều.

Nhận xét: Bài toán này hoàn toàn giải được bằng phương

pháp tọa độ, hay phương pháp tổng hợp, tuy nhiên lời giải khá dài.

Bằng công cụ số phức để giải bài toán này đã làm giảm đi đáng kể các

động tác biến đổi phức tạp trên các vec tơ.

2.1.2. Các bài toán về tính chất thẳng hàng, đồng quy.

Số phức cũng tỏ ra hiệu quả trong các bài toán về thẳng hàng,

đồng quy.

Bài toán 6. Cho ABCD và BNMK là hai hình vuông không

giao nhau, E là trung điểm của AN. Gọi F là chân đường vuông góc hạ

từ B xuống đường thẳng CK. Chứng minh rằng các điểm E, F, B thẳng

hàng.

Bài toán 7. ( Định lí con nhím). Trong mặt phẳng cho đa giác

đơn 0 1 1nA A ...A − .

Xét các véc-tơ

( )1 2 1 0 1n j j j n j j ju ,u ,...,u mà u A A coi A A , u A A− −⊥ ≡ =ur uur uur uur uuuuur uur uuuuur

, juuur

hướng ra ngoài miền đa giác đơn. Chứng minh rằng

1 2 0nu u ,... u+ + =ur uur uur

.

Bài toán 8. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC ta

lần lượt dựng các tam giác đồng dạng có cùng hướng là ADB, BEC,

CFA. Chứng minh rằng các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.

Bài toán 9. (Đường tròn Euler và đường thẳng Euler).

15

Cho tam giác 1 2 3A A A có tâm đường tròn ngoại tiếp là O, trực

tâm H, trọng tâm G. Gọi 1 2 3B ,B ,B lần lượt là trung điểm các cạnh

2 3 3 1 1 2A A ,A A ,A A ; 1 2 3P ,P ,P là chân đường cao hạ từ hạ từ

1 2 3A ,A ,A xuống các đỉnh tương ứng; 1 2 3C ,C ,C là trung điểm của

đoạn thẳng nối từ đỉnh 1 2 3A ,A ,A với trực tâm của tam giác. Chứng

minh rằng

a) H, O, G thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm này gọi

là đường thẳng Euler.

b) Chín điểm 1 2 3B ,B ,B , 1 2 3P ,P ,P , 1 2 3C ,C ,C thuộc một

đường tròn, gọi là đường tròn Euler.

2.1.3 Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc

Bài toán 10. (Đề vô địch Anh 1983). Cho tam giác ABC cân

đỉnh A, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D là trung

điểm của AB và J là trọng tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng

IJ CD⊥ .

Bài toán 11. ( IMO 17, 1975).

Về phía ngoài của tam giác ABC, lần lượt dựng các tam giác

ABR, BCP, CAQ sao cho:

Chứng minh rằng: = 90, RQ = RP.

Bài toán 12. Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng bờ

BC chứa điểm C, dựng hình vuông ABDE. Trong nửa mặt phẳng bờ

16

BC chứa điểm A, dựng hình vuông BCFG. Chứng minh rằng

GA ⊥ CD.

Nhận xét: Để ý đến biểu thức tọa độ của các phép biến hình,

ta thấy phép tịnh tiến tương ứng phép cộng số phức, phép quay tương

ứng với phép nhân số phức có mođun bằng 1, phép vị tự là phép nhân

với số thực, phép vị tự quay là phép nhân với số phức bất kì.

2.1.4 Các bài toán về đại lượng hình học

Bài toán 13. Cho ba hình vuông được biểu diễn như hình vẽ

dưới đây.

Hãy so sánh tổng α β+ và γ .

Bài toán 14. Cho tam giác ABC với trọng tâm G và một điểm

M bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng:

MA2 + MB2 +MC2 = GA2+GB2+GC2+3MG2.

2.1.5 Các bài toán về xác định tập hợp điểm.

Bài toán 15. Cho hình bình hành ABCD.

1) Chứng minh rằng: 2 2 2 2( MA MC ) ( MB MD )+ − + là

hằng số, không bị phụ thuộc vị trí điểm M.

2) Tìm tập hợp điểm M sao cho 2 2 2 2 2MA MB MC MD k+ + + = (k là số thực).

Nhận xét: Nhận thấy rằng trong các biểu thức trên có chứa bình

phương độ dài của các đoạn thẳng. Các đại lượng đó cũng chính là

bình phương môđun của các số phức tương ứng. Từ đó áp dụng các

kiến thức về số phức ta dễ dàng suy ra yêu cầu của bài toán.

17

Bài toán 16. Cho tam giác ABC, trong đó các đỉnh B, C cố

định, đỉnh A thay đổi. Tìm quỹ tích các trung điểm M, N của các cạnh

tương ứng AB, AC và trọng tâm G của tam giác ABC trong các

trường hợp:

a) Độ dài đường cao AA' không đổi.

b) Chân A' của đường cao AA' cố định.

c) Độ dài đường cao AA' không đổi.

Bài toán 17. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, điểm

M chuyển động trên (C), A' là điểm đối xứng của A qua M. Tìm tập

hợp điểm A' và trọng tâm G của tam giác A'AB.

Bài toán 18. Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 2R cố

định. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Về phía ngoài tam

giác ABC dựng tam giác ACD vuông cân ở A. Tìm tập hợp điểm D.

Bài toán 19. Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R, BC là

dây cung cố định không phải là đường kính của đường tròn (C), điểm

A chuyển động trên cung lớn BC. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam

giác ABC.

2.2. ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC

2.2.1. Các bài toán về tính toán

Bài toán 20. Hạ bậc 4( ) cosf x x= .

Yêu cầu của bài toán là biến đổi các lũy thừa bậc cao của cosx

hay sinx như: cosn x , sinn x và cos .sinp px x thành tổng chứa

18

các số hạng bậc nhất đối với cos xα hay sin xβ . Như vậy bài toán

có thể sử dụng công thức Euler để giải quyết, tức là có thể giải được

bằng số phức.

Nhận xét: Cần chú ý rằng nếu hạ bậc thành thạo và biết kết

hợp với công thức Moivre chúng ta có phương pháp giải quyết các

phương trình lượng giác bậc cao hoặc phương trình lượng giác có

chứa biểu thức của sin và cosin của cung bội rất hiệu quả.

Bài toán 21. Chứng minh rằng 1 5os

5 4c π +

= .

Bài toán 22.

2.2.2. Các bài toán về chứng minh đẳng thức, công thức

lượng giác

Bài toán 23. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có

a) 2 2 2 4 4 4 6 6 6cos cos cos sin cos sin cos sin ...n n n nn n nnx x C x x x C x x x C x x x A− − −= − + − + +

với A = ( )21 sinnn

x− nếu n chẵn,

A = ( ) 1 11

2 C cosxsin1 nn

nn

x− −−

− nếu n lẻ.

b) 1 1 3 3 3 5 5 5sin cos .sinx cos sin cos sin ...n n nn n nnx C x C x x x C x x x B− − −= − + −

1

2

sin sin 2 ... sincos os2 ... cos .

S a a naS a c a na

= + + += + + +

19

với ( )2

12 1 C cosx.sinnn

nnB x

−−= − nếu n chẵn,

B = ( )1

2 sin1 nn

x−

− nếu n lẻ.

c) 3

2

1 3 5 5

2 4 4tan tan

tan tan ...

1 tan ...n n n

n n

xx

tan nx C x C C x xC C x x

=− + −

− + − .

Bài toán 24. Chứng minh công thức: 5 3

5 3

sin 5 16 sin 20 sin 5 sin .os5 16 cos 20 cos 5 cos .c

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − +

= − + Bài toán 25. Chứng minh rằng:

a) 3 5 1os os cos

7 7 7 2c cπ π π

+ + = .

b) 2 3 1os os cos

7 7 7 2c cπ π π

− + = .

Bài toán 26. Cho a, b, c là các số thực sao cho:

cos cos cos sin sin sin 0a b c a b c+ + = + + = .

Chứng minh rằng:

cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 sin2 0a b c a b c+ + = + + = .

2.2.3. Các bài toán về phương trình lượng giác

Bài toán 27. Giải phương trình lượng giác 6 62 13 cos x cos x− = .

Bài toán 28. Giải phương trình lượng giác :

+ + + + =1a)cos os3 os5 os7 os9 .2

x c x c x c x c x

20

b) 2 2tan cot 6.x x+ =

Nhận xét chung: Thông qua những kiến thức cơ bản về số

phức, giáo viên lấy những ví dụ đơn giản và phức tạp dần trong lượng

giác mà giải bằng ngôn ngữ số phức, qua đó phân tích, so sánh, đánh

giá để gây hứng thú cho học sinh trong việc dùng số phức để giải toán

lượng giác.

2.3. ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP

2.3.1. Các bài toán về chứng minh đẳng thức, bất đẳng

thức

Bài toán 29. Chứng minh rằng với các số thực ,i ia b

(i = 1, 2, …, n), ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2( ... ) (b ... ) ... .n n n na a a b b a b a b a b+ + + + + + + ≤ + + + + + +

Bài toán 30. Cho 1a , 2a là hai số thực bất kì. Chứng

minh: 2 2 2 21 2 2 1(1 a ) (1 a ) 2.a a+ − + + − ≥

Bài toán 31. Chứng minh rằng:

( )2 2 2 2 2 2 3a ab b b bc c c ca a a b c+ + + + + + + + ≥ + + ,

, a b∀ .

Bài toán 32.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 os cos sin 4sin sin sin 2 , .c x y x y x y x y x y R+ − + + − ≥ ∀ ∈

(Đại học Công đoàn – 1995)

21

Nhận xét: Qua các bài toán nêu trên, ta thấy ứng dụng của số

phức vào việc chứng minh bất đẳng thức thật là thú vị. Ẩn chứa trong

cách giải các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp số phức đó

chính là việc sử dụng cái ảo để chứng minh cái thực.

2.3.2. Các bài toán về chứng minh công thức đại số, tổ hợp

Bài toán 33. Chứng minh rằng:

a) ( )0 2 4 6 8 ... 2 cos .4

n

n n n n nC C C C C n π− + − + + =

b) ( )1 3 5 7 9 ... 2 sin .4

n

n n n n nC C C C C n π− + − + + =

Bài toán 34. Chứng minh rằng:

( ) ( )

( ) ( )

11 3 5 7

30 2 4 6

3 5 7 ... 2 os 1 .4

2 4 6 ... 2 sin 1 .4

n

n n n n

n

n n n n

C C C C n c n

C C C C n n

π

π

−

−

− + − + = −

− + − + = −

Bài toán 35. Tính tổng 3

10 3 1

kn

k nS C

≤ < +

= ∑ .

Bài toán 36.

a. Tính tổng 20

cosn

kn

kS C kx

=

= ∑ .

b. Chứng minh rằng 1

2 1 22 2

0

12 cos cos(2 2 )2

mm m k m

m mk

x C m k x C−

−

=

= − +∑ .

22

Nhận xét: Để số phức là công cụ để giải toán hình học phẳng,

lượng giác, đại số đòi hỏi phải nắm vững và sử dụng linh hoạt các kiến

thức cơ bản về số phức.

2.3.3. Các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình

Bài toán 37. Giải phương trình bậc 3:

3 2 0,ax bx cx d+ + + = trong đó: ( 0), , , ,a a b c d≠ ∈£ .

Bài toán 38. Giải phương trình:

3 23 3 14 0.x x x+ − − =

Bài toán 39. Giải phương trình :

3 29 24 19 0.x x x+ + + =

Bài toán 40. Giải hệ phương trình: 3 2

2 3

3 1.

3 3

x xy

x y y

− = −

− =

Bài toán 41. Giải hệ phương trình: 3 2

2 3

2 6 5.

6 2 5 3

x xy

x y y

− =

− =

Bài toán 42. Giải hệ phương trình:

−+ = +

+ − = −

+

2 2

2 2

16 11 7.

11 16 1

x yxx yx yy

x y

23

Bài toán 43. Giải hệ phương trình 2 2

2 2

3 3.

3 0

x yxx yx yyx y

− + = + + − = +

Bài toán 44. Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

1 213

.1 4 21

7

xx y

yx y

+ = +

− = +

Bài toán 45. Giải các hệ phương trình sau:

13 1 2.

17 1 4 2

xx y

yx y

+ = +

− = −

Bài toán 46. Giải các hệ phương trình sau:

( )

+ = + ∈

− = − +

310 1 35

, .31 1

5

xx y

x y Ry

x y

24

KẾT LUẬN Luận văn “Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông

trung học” đã hoàn thành được mục tiêu đề ra thể hiện qua các nội dung sau:

1. Nhắc lại, hệ thống và bổ sung những kiến thức cần thiết về số phức, một kiến thức mới mẻ nhưng khá quan trọng trong chương trình phổ thông.

2. Giới thiệu phương pháp giải toán hình học phẳng, lượng giác, đại số bằng ngôn ngữ số phức nhằm khai thác tối ưu các ứng dụng của số phức - một phương pháp tỏ ra có nhiều ưu điểm riêng so với những phương pháp khác.

3. Hệ thống và phân loại được một số lớp bài toán hình học phẳng, lượng giác, đại số giải được bằng phương pháp số phức để đưa ra phương pháp giải chi tiết, lời giải ngắn gọn, cụ thể nhằm minh họa rõ nhất từng ứng dụng thể hiện qua một hệ thống các bài toán được chọn lọc trong các đề thi quốc gia và quốc tế, các định lý nổi tiếng về hình học. Đặc biệt, một số bài toán tìm tập hợp điểm, ứng dụng các phép biến hình trong hình học phẳng, bài toán chứng minh bất đẳng thức tương đối khó đối với học sinh đã được giải chi tiết theo phương pháp này.

Trong quá trình làm luận văn, mặc dù có rất nhiều cố gắng song do điều kiện khách quan và năng lực có hạn của bản thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn để có thể tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu và phát triển luận văn về sau này.