polinomios a) p = x 2 - 2q = - 3 x 2 + 6 b) p = x + 2q = x 2 + 4 x +4 1) efectuar p q ; 3 p + q ; p...
TRANSCRIPT
Polinomios
a) P = x2 - 2 Q = - 3 x2 + 6
b) P = x + 2 Q = x2 + 4 x +4
1) Efectuar P Q ; 3 P + Q ; P2 – Q e indicar su grado cuando esto sea posible
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los
siguientes polinomios ? a) P Q b) P3 c) P + Q d) P3 + Q3
3) Determinar a
R para : a) P = a x3 - a x + 2
es tal que P(2) = - 1
b) P = x2 + 2 x + a es tal que 0 es una de sus raíces
c) P = a x2 - a x + 6
satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
Trabajo Práctico Nº 6Polinomios
4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los siguientes casos :
141 4 xP
axxP 23 72 22 2 xQ
2xQ
5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x2 - x + 3
6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio es divisible por
(x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ?
bxaxxP 234
41
a)
b)
7) Determinar a, b, c R para que :
a) P = a x2 + b x + c tenga a 1 y a 0 como raíces
b) P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b tengan a 2 como raíz común
8) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios :
122 23 xxxP 47
3 24 xxP
3211
321 23 xxxP 6575 234 xxxxP
xxxxP 44 234 si i es raíz de P
9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x
= 2 es una raíz doble.
a)
b)
c)
d)
e)
a) P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1) = 1
b) P = x8 - x6 + 6 x3 = 0
10) Determinar en cada caso la multiplicidad de como raíz de P :
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.
b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m en los siguientes casos
i) las raíces son opuestas iii) las raíces son reales e iguales.
ii) las raíces son recíprocasc) Hallar las raíces de los siguientes polinomios
reales i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 si 1 + 2 = 0
ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 si 1 = 2 + 3
Un polinomio es una expresión de la forma
012
22
21
1 axaxaxaxaxaP nn
nn
nn
...............
una sucesión de sumas de términos conformados por un coeficiente ai multiplicado por un factor xi
Podemos escribir
n
i
ii xaP
0donde el coeficiente an se llama coeficiente principal
el mayor exponente de x (n), le da el grado al polinomio
Decimos entonces que el polinomio
02
22
2 axa...............xaxaP nn
nn
es de grado n
Si an 0 y aunque alguno(s) –o todos- los coeficientes ai an sean nulos
el polinomio es de grado n, pero incompleto
P = x3 – 3 x2 + 6 x -1
P = x4 – 3 x2 + 6 x -1
polinomio completo de grado 3polinomio incompleto de grado 4
11 22 33
Faltan los términos de grado
1 y n-1
La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre términos de igual grado
P = x4 – 3 x2 + 6 x –1 Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3
P + Q =
agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio;
x4 +
Y luego operamos los términos obtenidos
x3 + + +( - 3 x2 – 2 x2 ) ( 6 x – 2 x )
( -1 + 3 )
P = x4 + x3 – 5 x2 + 4 x + 2
Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se resuelven cada uno de los términos que resulten
R · S = ( x4 – 3 x2 + 6 x ) · ( x3 - 2 x + 3 ) =
= x4 · x3 + x4 · (-2 x) + x4 · 3 + (-3x2) · x3 + (-3x2) · (-2x)
+ ( -3 x2) · 3 + 6x · x3 + 6x · (-2x) + 6x · 3 =R · S = x7 - 2x5 + 3x4 - 3x5 + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 + 18x =
Luego sumamos los términos de igual grado
R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x
P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x + 3 )
11 22 33
1 ) Si a) P = x2 – 2 y Q = - 3 x2 + 6
P Q = ( x2 – 2 ) ( - 3 x2 + 6 ) =
x2 (- 3 x2) + x2 6 + (– 2 ) (-3x2)+ (-2) 6 =
P Q = -3 x4 + 6 x2 + 6 x2 - 12 =
-3 x4 + 12 x2 - 12
3P Q = 3 ( x2 – 2 ) + ( - 3 x2 + 6 ) =
3 x2 – 6 - 3 x2 + 6 =
0
P2 Q = ( x2 – 2 )2 ( - 3 x2 + 6 ) =
grado 4
( x4 - 4x2 + 4 ) ( - 3 x2 + 6 ) =
= -3x6 + 6x4 + 12x4 - 24x2 - 12x2 + 24 =
-3x6 + 18x4 - 36x2 + 24 grado 6
P Q = ( x + 2 ) ( x2 + 4 x + 4 ) =
x3 + 4 x2 + 4 x + 2 x2 + 8 x + 8 =
x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x2 + 4 x + 4 ) =
(3 x + 6) + (x2 + 4 x + 4) =
x2 + 7 x + 10
P2 Q = ( x + 2 )2 ( x2 + 4 x + 4 ) =
( x2 + 4 x + 4 ) ( x2 + 4 x + 4 ) =
= x4 + 4x3 + 4x2 + 4x3 + 16x2 + 16x + 4x2 + 16x + 16 =P2 Q = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16
grado 4
grado 3
grado 2
b) P = x + 2 Q = x2 + 4 x +4
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ?
d) P3 + Q4
a) P · QEl grado de un producto de polinomios siempre va
a estar dado por la suma de los grados de los polinomios
Si P es gr(4) y Q es gr(3) P · Q es gr (7)
b) P3 La potencia de un polinomio será otro polinomio cuyo grado es el grado del polinomio base multiplicado por el
exponenteSi P es gr(4) P3 es gr (4 · 3) = 12
c) P + Q El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de mayor grado ó eventualmente menos (si los términos
de mayor grado se anulan entre sí)
Si P es gr(4) y Q es gr(3) P + Q es gr (4) ó menor
Si P es gr(4) P3 es gr(12) y si Q es gr(3) Q4 es gr(12)
P3 + Q4 es gr (12) ó menor
3 a) si P = a x3 - a x + 2 para hallar a tal que P(2) = - 1
debemos especializar el polinomio por x = 2
Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los lugares que ocupa x en el polinomio
P = a x3 - a x + 2 = a 23 - a 2 +
2 a 8 - a 2 + 2
= 8 a – 2 a + 2
= 6 a + 2
e igualamos a - 1
= - 1
resolvemos despejando a
= - 1
6 a = - 1 - 2
6 a = - 3
a = - 1/2
b) P = x2 + 2 x + a es tal que 0 es una de sus raíces
Las raíces de un Las raíces de un polinomio son los polinomio son los
valores de x que hacen valores de x que hacen el polinomio igual a 0el polinomio igual a 0
P = x2 + 2 x + a =
02 + 2 0 + a = 0
Entonces cuando x = 0 ; P = 0
a = 0
3 c3 c
c) Si P = a x2 - a x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
Para x = - 1
P = a x2 - a x + 6 =
a (-1)2 - a (-1) + 6 =
a 12 + a 1 + 6 =
2 a + 6 = 6
pero . . . 2 a = 6 - 6 a = 0entonces
Si a = 0 P = 0 x2 - 0 x + 6 = 6 y resulta que P no es de grado 2; en consecuencia no existe el valor de a buscado
Algoritmo del cociente de polinomios
5432 2341 xxxxPPara dividir un
polinomio por un polinomio 122
2 xxP planteamos el esquema de la división entre números enteros
5432 234 xxxx 122 xxbuscamos un valor que
multiplicado por el coeficiente principal de P2
2resulte igual en valor absoluto al an de P1 y ése es el coeficiente
principal del polinomio cociente2 1 = 2
y le agregamos como factor x elevado a un valor tal, que
multiplicado por el grado de P2 resulte del mismo grado que P1
x2
Multiplicamos el monomio así formado por cada término de P2 y los resultados encolumnamos debajo de P1 con los
términos de igual grado
234 242 xxx
Luego viene la colocación del signo, operamos en cada caso respetando la regla de los signos, y
luego para restar cambiamos el signo que resulta buscando que al operar el primer término se anule
- -+ +
+
+ + = + para restar coloco -
+
-
+ - = - para restar coloco +
+
+
+ + = + para restar coloco -
44 55
Ahora sumamos
5432 234 xxxx 122 xx
2 x2
234 242 xxx- + -23 37 xx
Bajamos el término de mayor grado de P1 que
todavía no se operó, con su signo
x4
Y empezamos de nuevo el procedimiento 7 x
xxx 7147 23 +
+
- -
xx 311 2 5
11
+
112211 2 xx- -+
1619 x
Resultado :
1172 2 xxC
resto 1619 xR
De manera que: C P2 + R = P1
4) Para dividir axxP 23 72 22 2 xQpor
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos entonces los completamos con términos de coeficientes nulos
axxxP 072 23 202 2 xxQ
202 2 xxaxxx 072 23
y operamos
xxxx 202 23
colocamos los signos de manera que al cambiar para restar, el primer
término del resultado se anule
- - -
sumamos . . .
xx 27 2
bajamos a con su signo
a
Y empezamos a operar nuevamente
27
707 2 xx
+
- - -
72 ax
27
xC
72 axR
+
4) Para dividir 1
41 4 xP 2xQpor
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto entonces lo completamos con términos de coeficientes nulos
100041 234 xxxxP 2xQ
2x100041 234 xxxx
y operamos
3
41
x34
21
41
xx
colocamos los signos de manera
que al cambiar para restar, el primer término del resultado se
anule
- +
sumamos . . .
3
21
xbajamos 0x2 con su signo
20x
Y empezamos a operar nuevamente
2
21
x
23
21
xx
+
- -2x
221
41 23 xxxC
3R
+
x0
x
xx 22
-
+ -1x2
otra vez . . .
2-
42x+ -- 3
352 23 xkxxP
32 xxQsea divisible por por
Hacemos el esquema del cociente entre polinomios
buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo igualamoa a cero. Entonces podremos decir que P es divisible por Q
32 xx352 23 xkxx
y operamos
x2xxx 622 23- + -
xx)k( 22bajamos 3
3 Y empezamos a operar nuevamente
)k( 2
)k(x)k(x)k( 2322 2
+
- + -
)k(x)k( 331
+
5) para determinar k tal que
Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser 0
0331 )k(x)k( 0131 )k(x)k(
Ambos términos deben ser 0; y esto se logra con
01 )k( 1k
es divisible por (x + 4) ; entonces bxaxxP 234
41
6)
Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinomio; luego si especializo el polinomio por –4, tendrá resultado 0
0441
44 234 b)()(a)(P 0464256 baentonces
Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18 18241
22 234 baP
181816 baP entonces 181816 ba
Con los resultados obtenidos componemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
0464256 ba Se puede escribir 25264 ba
181816 ba Se puede escribir 181816 ba
El sistema será:
338
25264
ba
ba
En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
Verificamos que las ecuaciones estén ordenadas, de manera que las
incógnitas queden encolumnadas y los términos independientes en el 2º
miembroY resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos (determinantes, sustitución, etc.)
721816418
164
2191331252133
1252
)(a
412825283364338
25264
)()()(b
aa
bb
338
25264
ba
ba
2473
a3
172b
2473
72219
3172
181032
724128
El polinomio es:
bxxxP 234
3172
2473
7) P = a x2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces
Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por 1 y 0 respectivamente, tendrán resultado 0
0002 cbaP entonces 000 c 0c
0112 cbaP entonces 00 bacba ba
Se verifica la condición siempre que c= 0 y a=b pero tienen signos diferentes
b) Si P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b para hallar valores de a y b que tengan a 2 como raíz común
0222 abP 023 baQ
Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
08
42
ba
ba
Y resolvemos el sistema aplicando sustitución
08
42
ba
basi 08 ba ba 8
Sustituimos este resultado en la primera ecuación y tenemos
482 )a(a 416 aa 415 a entonces 15
4a
Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar el valor de b, haciendo:
ba 8 b)( 154
81532
b
Los polinomios buscados resultan ser:
154
15322 xxP
1532
154 3 xQ
Regla de RuffiniAl dividir un polinomio
012
22
21
1 axaxaxaxaxaP nn
nn
nn
...............
por un polinomio Q de grado 1 de la forma x -
xQEl resultado será un
polinomio C de grado n – 1
012
22
21
1 cxcxcxcxcC nn
nn
...............
Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectasse escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado
decreciente
an an-
1
an-2 a2 a1 a0. . . . . . .
Se ubica convenientemente el valor
y se procede con el siguiente algoritmoBajamos el coeficiente principal an como
cn-1
cn-1
multiplicamos cn-1 x y colocamos debajo de an-1
cn-1
Sumamos an-1+
cn-1
cn-2
y multiplicamos ese resultado cn-2 x y colocamos debajo de an-2
cn-2
cn-3
c2 c1 c0
c1 c0 r
Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes
8a8a
99
8b8b
8c8c
1010
8e8e
En el esquema a2 a1 a0
. . . . . . .
cn-1
cn-1
cn-2
cn-2
cn-3
c2 c1 c0
c1 c0 r
an an-
1
an-2
Los ci son los coeficientes del polinomio cociente
012
22
21
1 cxcxcxcxcC nn
nn
...............
Y r es el resto que resulta de dividir P / QP
r
Q
C
Observe que si P es divisible por Q, r = 0
y también que si r = 0 ; es raíz del polinomio
. . . . . . .
. . . . . . . 8a8a
99
8b8b 8c8c
10108e8e
Teorema de Gauss01
22
22
11 axaxaxaxaxaP n
nn
nn
n
...............
Sea
Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma q
p
donde p es divisor de a0
Si P = x3 - 2x2 – x + 2
a0 = 2 y an = 1
p: divisores de 2 son 2 ; 1q: divisores de 1 son 11
11
111
21
22
12
qp
posibles raíces son: 2 ; 1
Es claro que los valores p/q hallados no son necesariamente las raíces, sino que pueden ser
raíces, porque, si el polinomio admite raíces racionales, entonces esas raíces son de la forma
p/q pero . . .
No todos los p/q tienen que ser necesariamente raíces del polinomio P
Si las raíces no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarán entre los valores hallados de la
forma p/q
y q es divisor de an
99
8a8a
8b8b
8c8c
Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es especializar en el Polinomio cada uno de los
valores de p /q que son posibles raíces.
y las posibles raíces son: 2 ; 1
Si P = x3 - 2x2 – x + 2
Para x = 2 P = 23 – 2 22 – 2 + 2
= 8 – 8 – 2 + 2 =
0 x = 2 es raíz
Para x = -2
P = (-2)3 – 2 (-2)2 – (-2) + 2
= - 8 – 8 + 2 + 2 =
-12 x = - 2 no es raíz
Para x = -1
P = (-1)3 – 2 (-1)2 – (-1) + 2
= - 1 – 2 + 1 + 2 =
0 x = -1 es raíz
Para x = 1 P = 13 – 2 12 – 1 + 2
= 1 – 2 – 1 + 2 =
0 x = 1 es raíz
P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres raíces; por ser las tres raíces racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema
de GaussObserve también que la aplicación del Teorema de Gauss nos proporcionó
una “posible raíz” de la forma p/q; x = -2 que resultó no ser raíz de P
Porque el teorema de Gauss proporciona todas las raíces racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen
necesariamente que ser raíces del polinomio
99
8a8a
8b8b
8c8c
Descomposición de un polinomio en un producto de factores
binomiales
012
22
21
1 axaxaxaxaxaP nn
nn
nn
...............Sea
Cuyas raíces son 1; 2; 3; . . . . . n-1; n
El polinomio P puede escribirse
)x()x(...)x()x()x(aP nnn 1321
Observe que si x toma el valor de cualquiera de las raíces iHabrá al menos un factor que será (x - i) = (i - i )
= 0 Haciendo P = 0
Puede suceder que un valor i sea r veces raíz de un polinomioentonces tenemos una raíz múltiple; y suponiendo que 1 es dos veces raíz del polinomio y 2 es tres veces raíz del polinomio y las
restantes raíces son simples, el polinomio factoreado será . . .
)x()x(...)x()x()x(aP jjn 133
22
1
99
8a8a
8b8b
8c8c 8d8d
8e8e
8 a) Para hallar las raíces de 122 23 xxxP
Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2 y a0 = -1Los divisores de a0 son p = 1
Los divisores de an son p = 1; 2
Las posibles raíces son de la forma 2
121
11 ;;;qp
Podríamos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaríamos solamente comprobando si esos valores son o no raíces del
polinomio; en cambio si aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también un polinomio de grado inferior que es submúltiplo de P y en consecuencia sus raíces son raíces de P; de manera que si las raíces no fueran todas racionales, vamos situándonos en mejores condiciones para
resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini.
El “sentido” de aplicar Ruffini es que si es raíz del polinomio P, entonces P es divisible por (x - ). Detectamos si es raíz del polinomio P y al mismo
tiempo obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son los mismos valores de raíces que nos restan encontrar aún
RuffiniRuffini GaussGauss
8 e8 e8 d8 d8 c8 c8 b8 b
122 23 xxxP
-1
1
2
2
1 3
31
2
2 -1 2
21
21
11 ;;;qp
01 No es raíz del polinomio
-1
-1
2
-2
-3 5
-53
-6
2 -1 2
0 -1 No es raíz del polinomio
-1
2
1
0 2
10
0
2 -1 2
1/2 ES raíz del polinomio
21
RuffiniRuffini GaussGauss
8 e8 e8 d8 d8 c8 c8 b8 b
2
-1
-1
2 0 2
21
0 No es raíz del polinomio
21
Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces es posible escribir
122 23 xxxP como )x)(x(P 2221 2
Buscamos ahora raíces para el polinomio múltiplo
de menor grado21
25
De (2x2 + 2) = 0 despejamos x
022 2x 22 2 x ix 1
Entonces:
122 23 xxxP )ix)(ix)(x( 21
2
Las raíces son 11 = 1/2 ; = 1/2 ; 22 = i ; = i ; 33 = -i = -i Observe que se cumple que: si P tiene raíces racionales, éstas son
de la forma p/q; en este caso existe una raíz racional y dos
raíces complejas asimismo se verifica que: si un número complejo es raíz de un polinomio, su conjugado también es raíz del mismo
polinomio.
RuffiniRuffini GaussGauss
FactoreoFactoreo
Como ejercicio te propongo que verifiques los resultados
obtenidos
8 e8 e8 d8 d8 c8 c8 b8 b
8 b) Para encontrar las raíces de
3211
321 23 xxxP
Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente
6116 23 xxxP Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus raíces son las mismas
an = 1 y a0 = -6
p = 1; 2; 3; 6 y q = 1
6321 ;;;qp
-6
1
1
-5 6
6-5
0
1 -6 11
1
entonces
6116 23 xxxP )xx)(x( 651 22
Buscamos ahora las raíces de
)xx( 65 22
Para aplicar el Teorema de Gauss
Aplicando la Regla de Ruffini
RuffiniRuffini GaussGauss
FactoreoFactoreo
8 e8 e8 d8 d8 c8 c
Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado encontramos las raíces
de 065 22 xx
2
1512
61455 2)(x2 = 3
x3 = 2
Las raíces de
Son xx1 1 = 1; x= 1; x2 2 = 2; x= 2; x3 3 = 3= 3
6116 23 xxxP
)x)(x)(x(P 321 Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y
que hemos comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con mas comodidad”; de manera que lo
recomponemos dividiendo todo el polinomio factoreado por 2
)x)(x)(x(P 32121
Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas entre las posibles raíces de la forma p/q
FactoreFactoreoo
GaussGauss
8 e8 e8 d8 d8 c8 c
8 c) Al polinomio xxxxP 44 234 Le falta el término independiente
Podemos comenzar sacando factor común x
)xxx(xP 4423
Encontramos que la primera raíz xx11 = = 00
(si x = 0 al ser x un factor, se anula toda la expresión)
Buscamos entonces las restantes raíces en
4423 xxx
an = 1 y a0 = -4
p = 1; 2; 4 y q = 1421 ;;
qp
donde
-4
1
1
2 -2
-22
1 1 -4
1
-6 0
1 No es raíz
-4
1
-1
0 -4
40
1 1 -4
-1
0
-1 ES es raíz; xx22 = -1 = -1
p son divisores de a0
q son divisores de an
RuffiniRuffini GausGausss
FactoreFactoreoo
8 e8 e8 d8 d
despejamos 042 x 4x
el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un producto de factores binomiales)
)xxx(xP 4423
)x)(x(xP 41 2
)x)(x)(x(x 221
42 x
FactoreFactoreoo
Buscamos ahora las raíces de
42 x
entonces )x)(x(x 41 2 )xxx(xP 4423
xx33 = 2 = 2 yy xx44 = -2 = -2
Con xx11 = 0 = 0 yy x x22 = -1 = -1 hallados
8 e8 e8 d8 d
124
71433 2
ix
21
1 x
ix27
27
3 2
793
243
21
2 x
ix27
27
4
47
3 24 xxP
Puede factorearse como
ixixxxP
27
27
21
21
a = 1; b = 3; c= -7/4a = 1; b = 3; c= -7/4
FactoreFactoreoo
Es posible aplicar la fórmula para la ecuación bicuadrática, que no es otra cosa
que: a la fórmula de la ecuación de segundo grado
aacbb
x2
42
21
Aplicarle nuevamente raíz Aplicarle nuevamente raíz cuadrada,cuadrada, y así
aacbb
x2
42
4321
47
3 24 xxP8 d) Si
Polinomio de grado cuatro con los términos de grado 3 y 1 nulos
8 e8 e
-5
i
1
i
-5 + i
6 - 5i
5 + 6i-1 - 5i
6i
1 -5 7 6
-6
0
-i
-5 6 01
-i 5i -6i )xx)(ix)(ix(P 652
1261455 2
32
)(
x 215
224255
32
x
33 x
24 x
Finalmente
)x)(x)(ix)(ix(P 23
]ix)i(x)i(x)[ix(P 6565 23
RuffiniRuffini FactoreFactoreoo
6575 234 xxxxP8 e) SiSabiendo por la consigna que i es raíz del polinomio
Entonces –i también es raíz del polinomio; aplicaremos Ruffini para esas dos raíces conocidas y el polinomio de
grado 4 quedará reducido a un polinomio de grado 2
Factorear un polinomio es transformar la expresión
012
22
21
1 axaxaxaxaxaP nn
nn
nn
...............
En otra de tipo
)x)(x.....().........x)(x(aP nnn 121
Donde los i son las raíces del polinomio con 1 i n
Puede suceder que 1 = 2 = 3 entonces diremos que ese valor de 1 es tres veces raíz del polinomio ó lo que es lo mismo 1 es raíz triple de
PEn un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo 2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será
)x()x()x()x(aP n 43
32
22
1
1 es raíz doble 3 es raíz triple
2 es raíz doble 4 es raíz simple
Raíces múltiples
99 1010
9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo
que x = 2 es una raíz doble.
Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini
-8
2
1
2
-2 2
4-4
-4
1 -4 6 8
-8
0
2
0 2 01
2 0 4
Por ser x = 2 raíz doble, volvemos a aplicar Ruffini para x
= 2
Ahora despejamos x de la expresión resultante
022 x 2xix 23
ix 24 Conocidas todas las raíces, factoreamos el polinomio
)ix)(ix)(x)(x(P 2222 Que también se puede escribir
)x()x(P 22 22
)xxx)(x(P 4222 23
)x)(x)(x(P 222 2
RuffiniRuffini FactoreFactoreoo
10 a) determinar la multiplicidad de = 1 en P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1)
P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ; y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7
Significa que P tiene 7 raíces, que pueden repetirse varias veces; o ser todas iguales ó ser todas diferentes, etc.
Analizamos por separado cada factor
(x - 1)2 = (x - 1) (x - 1)
Acá x = 1 es dos veces raíz del
polinomio(x2 - 1) = (x – 1 ) (x + 1)
acá x = 1 es una vez más raíz del polinomio
En x3 – 1 -1
1
1
1 1
11
0
1 0 0
1Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se obtienen las restantes raíces
1 es nuevamente una vez mas raíz del
polinomio
también x = -1 es raíz del polinomio
RuffiniRuffini FactoreFactoreoo
10 b10 b
ixix)x()x()x()x(P
23
21
23
21
1111 2
= 1 es cuatro veces raíz de P; el orden de multiplicidad de =1 es
4
Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la ecuación de segundo grado
Para a x2 + b x + c = 0
acabb
x
2
42
21
Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1
1211411 2
231
231 i
ix23
21
1
ix23
21
2 P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1) es
ixix)x()x()x()x()x(P
23
21
23
21
11111
Diferencia de cuadrados
FactoreFactoreoo
10 b10 b
Factoreamos P y obtenemos
Con seguridad el factor
Podemos afirmar entonces que el orden de multiplicidad de la raíz = 0 en
10 b) Para determinar la multiplicidad de = 0 en
Es k = 3Es k = 3
368 6xxxP
)xx(xP 6353
635 xx No tiene raíz 0
)xx(xP 6353
FactoreFactoreoo
Relaciones entre Raíces y Coeficientes
Dado un polinomio
012
22
21
1 axaxaxaxaxaP nn
nn
nn
...............
Con raíces 1; 2; 3; . . . . n-1; n
Es posible establecer relaciones entre las raíces i y los coeficientes ai de
P1 + 2 + 3 + n-1 + n =
1 2 + 1 3 + . . . . + n-1 n =
n
n
aa 1
n
n
aa 2
1 2 3 + . . . . + n-2 n-1 n =
n
n
aa 3
1 2 3 n-2 n-1 n =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
n
n
aa
)( 01
La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo, dividido por el coeficiente
principalLa suma de los productos binarios de
las raíces es igual al tercer coeficiente, dividido por el
coeficiente principal
Análogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios, cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente
El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n
sea par o impar, respectivamente
11a11a 11b11b 11c11c
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.
Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces
Por relaciones entre raíces y coeficientes
1 2 3 =
26
1 3)(
1 2 3 n-2 n-1 n =
n
n
aa
)( 01
331 ))((3
1 2 3 = 3
1 2 = 1 1 3 = 3
33 = 3 = 3
-6
2
6
-5 2
6-15 0
2 -11
17
3
pero entonces
ahora resolvemos la
ecuación
0252 2 xx
2222455 2
21
x4
354
95
x1 = 2
x2 = 1/2Factoreando
)x)(x)(x(P 21232
Aplicamos Ruffini con la raíz conocida
Te propongo la verificación de los resultados, que consiste en efectuar el producto de los factores binomiales y
obtener el polinomio P11 c11 c11 b11 b
11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las raíces de P sean opuestas
Si las raíces de P deben ser opuestas 1 = - 2
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes
1 + 2 =n
n
aa 1
en nuestro caso
1 + 2 = m)m(
817
pero por otro lado, sabemos
que
1 + 2 =- 2 + 2 = 0
Entonces podemos escribir 1 + 2 = 0
817
m
)m(entonces m 0
y 017 )m( 077 m 77 m 1m
Verificamos para m = 1
11178 2 x)(xP 18 2 xP
Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las raíces
018 2 x81
xix
81
1
ix81
2 11 c11 c
11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las raíces de P sean recíprocas
Si las raíces de P deben recíprocas
Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes
1 2 =na
a0
en nuestro caso
1 2 = m81 pero por otro
lado, sabemos que
1 2 =
Entonces podemos escribir
1 2 = con m 0
y 18 m
21
1
m811
22
2
2
1m81
81
m Verificamos para
1181
781
8 2 x)(xP 18492 xxP Igualando el
polinomio P a 0 y aplicando la fórmula que resuelve la
ecuación de 2º grado
81
m
12
114849
849
2
21
x
9651 ,x
1702 ,x
11 c11 c
P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales 1 = 2
En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado a
cabb2
42
042 cab Para que al quedar como soluciones solamente a
b2
sean 1 = 2ma 8 )m(b 17 1c
042 cab 018417 2 )m()]m([ 032149 2 m)m(
0321249 2 m)mm( 032499849 2 mmm 04913049 2 mm
Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado
492
49494130130 2)(
11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las raíces de P sean reales e iguales
hacemos
98
7296130
98216130
1
m
98216130
2
m
11 c11 c
11 c i) Para hallar las raíces de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 sabiendo que 1 + 2 = 0
Planteamos 2
121
321
Pero si 1 + 2 = 0
21
0 3 entonces 21
3
9
2
1
0 -18
-90
0
2 -1 -18
21
Buscamos las restantes raíces
0182 2 x 92182 x
Entonces 11 = 3 y = 3 y 22 = - 3 = - 3Factoreando
21
3329182 23 x)x)(x(xxxP
Aplicamos Ruffini Podemos escribir
)x)(x(xxxP 18221
9182 223
Recuerde que se trata de un polinomio no mónico (an
0 ) El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente principal
11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 sabiendo que 1 = 2 + 3
Planteamos
212
321 Pero si 1 = 2 + 3
211 entonces 22 1
2
1
-1
1 2
-2-1
0
1 2 3Buscamos las restantes raíces
022 xx
Factoreando
ixix)x(P
27
21
27
21
1
luego
11
-1
12
21411 2
2
811
La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, que lo resolvemos calculando la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos el
imaginario i
i27
21
2
i27
21
3
Aplicamos Ruffini
Vamos ! ! ! Vamos ! ! !
Que falta menos ! ! !Que falta menos ! ! ! Lo esencial es Lo esencial es invisible a los invisible a los
ojosojosA. De Saint ExuperyA. De Saint Exupery
Así como el hierro se oxida por falta de uso, así Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelectotambién la inactividad destruye el intelecto.. Leonardo Da Vinci.Leonardo Da Vinci.