politechnika pozna ska - ikb.poznan.pl · politechnika pozna ska wydziaà budownictwa, architektury...

POLITECHNIKA POZNA SKAWYDZIA BUDOWNICTWA, ARCHITEKTURY

I IN YNIERII RODOWISKAZAK AD KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA PROJEKTOWANIA

ANALIZA NUMERYCZNA CEGLANEJ KOPU Y

KO CIO A POCYSTERSKIEGO P.W. W. JANA

CHRZCICIELA W OWI SKACH KO O POZNANIA

PRACA MAGISTERSKADZ/79/2000/2001

AUTOR: MARCIN WIERSZYCKI

PROMOTOR:PROF. DR HAB. IN .

TOMASZ ODYGOWSKI

Tacie ...

Analiza numeryczna ceglanej kopu y ko cio a pocysterskiego p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach ko o Poznania

MWierszycki3

Spis tre ci

Spis tre ci 2

Wst p 5

Ko ció1. Historia i opis ko cio a 8

1.1. Historia 8

1.2. Opis 12

2. Aktualny stan kopu y 15

Analiza numeryczna 1. Geometria kopu y 20

1.1. Pierwszy model geometrii kopu y 22

1.2. Pomiary geodezyjne 24

1.3. Model numeryczny kopu y 26

2. Homogenizacja 332.1. Charakterystyka muru jako materia u konstrukcyjnego 34

2.1.1.Dwumateria owy „kompozyt” 34

2.1.2.Mechanizmy zniszczenia 34

2.1.3.Kryteria wytrzyma o ciowe 36

2.2. Wzory empiryczne na okre lanie w asno ci muru 40

2.3. Numeryczne modelowanie muru 42

2.3.1.Mikromodelowanie 42

2.3.2.Makromodelowanie 43

2.4. Zarysowanie muru w modelowaniu numerycznym 44

2.4.1.Rysy dyskretne 44

2.4.2.Rysy pasmowe, rozmyte 45

2.5. Teoretyczne metody homogenizacji 48

2.5.1.Za o enia metody wg J. Lopeza, S. Ollera, E. Onate i J. Lublinera 48

2.5.2.Wzory i obliczenia zhomogenizowanych parametrów muru 54

2.6. Do wiadczenie numeryczne z fragmentem muru 58

2.6.1.Model numeryczny fragmentu muru 58

2.6.2.Materia 59

2.6.3.Analiza w zakresie spr ystym 60

2.7. Porównanie wyników i podsumowanie 67

3. Warunki brzegowe 72 3.1. Obliczenia modelu filara 73

3.1.1.Model numeryczny filara 73

3.1.2.Materia 74

3.1.3.Analiza w zakresie spr ystym 75

3.1.4.Porównanie wyników i podsumowanie 76


MWierszycki4

3.2. Przyj ty model podparcia 78

4. Obliczenia modelu numerycznego kopu y 79 4.1. Tworzenie modelu w rodowisku ABAQUS 80

4.1.1.Przyj ty model materia u spr ysto–kruchego 80

4.2. Obliczenia modelu kopu y 86

4.2.1.Analiza numeryczna 86

4.2.2.Porównanie i analiza wyników 90

5. Wnioski i podsumowanie 104 Literatura 107

Za czniki 108


MWierszycki5

Wst p

Pocysterski ko ció w. Jana Chrzciciela w Owi skach jest jedn z najbardziej

interesuj cych pó nobarokowych budowli sakralnych w okolicach Poznania. Jego masywna ale

i niezwykle harmonijna bry a, dzie o w oskiego architekta Pompeo Ferrariego, oraz zdobi ce

sklepienia polichromie autorstwa Adama Swacha stanowi o wyj tkowej warto ci tej prawie ju

trzystuletniej wi tyni. Niestety dzisiejszy stan tego ko cio a nie napawa optymizmem. Mocno

zawilgocone s pi kne malowid a a dominuj ca we wn trzu ko cio a, pot na kopu a stanowi ca

przekrycie centralnej nawy, jest silnie sp kana. Uszkodzenia te budz powa ny niepokój i od kilku

lat próbuje si dociec ich przyczyn. W mi dzy czasie powsta o kilka hipotez na temat ich

pochodzenia. Jedna z nich zak ada, e s one wynikiem skurczy termicznych powsta ych na skutek

po aru, który w latach trzydziestych XX wieku, strawi wi ksz cz drewnianej konstrukcji

pokrycia dachowego, a dok adnie akcji stra y po arnej. W wyniku nag ego sch odzenia, rozgrzanej

do kilkuset stopni konstrukcji kopu y, pojawi si mog y silne skurcze termiczne, które mog y

spowodowa sp kania. Równie wydarzenia z lat ostatniej wojny mog y w negatywny sposób odbi

si na stanie technicznym kopu y. Z relacji osób pami taj cych tamte dni wynika, e w 1945 roku,

gdy wojska radzieckie szykowa y si do szturmu na Pozna , ko ció w Owi skach poddany zosta

ostrza owi artyleryjskiemu. Wed ug tych relacji na latarni kopu y ulokowa mia si niemiecki

snajper, którego Rosjanie starali si zlikwidowa . Jeden z pocisków trafi mia bezpo rednio

w latarni wybijaj c w jej cianie otwór. Ostatnia ze stawianych hipotez mówi o zasadniczo z ej

konstrukcji kopu y. Zak ada ona, e zbyt ci ka latarnia i le dobrana geometria powoduj

przekroczenie no no ci muru na rozci ganie. W praktyce okazuj si , e bardzo trudno

zweryfikowa przedstawione wy ej prawdopodobne przyczyny sp kania kopu y. O ile wspomniany

po ar mia miejsce na pewno ,to poza tym trudno nawet ustali jak du a cz dachu sp on a.

Ci ko na tej podstawie próbowa oszacowa skutki jakie mog o mie dzia anie wysokiej

temperatury na konstrukcj . Nie mo na te w jakikolwiek sposób potwierdzi histori ostrza u

latarni, trudno jednak za o y , e konstrukcja kopu y nie odnios a adnych uszkodze w trakcie

dzia a wojennych. Ostania z hipotez wydaje si najprostsza do weryfikacji. Wystarczy w tym celu

przeprowadzi obliczenia statyczne obiektu i okre li panuj cy w nim stan napr e . W praktyce

okazuje si to nie by takie proste. Ze wzgl du na skomplikowan geometri naszej kopu y,

klasyczne metody obliczeniowe mog nie dawa w pe ni satysfakcjonuj cych wyników. W takiej

sytuacji jedn z mo liwych prób opisu, je eli nie stanu kopu y, to przynajmniej rzeczywistego

charakteru jej pracy statycznej, jest zastosowanie numerycznych metod obliczeniowych.

Tematem mojej pracy magisterskiej jest w a nie przeprowadzenie analizy numerycznej

ceglanej kopu y ko cio a w Owi skach. Pierwsza jej cz dotyczy ko cio a, przedstawia

w ogólnych zarysach sam wi tyni , jej histori i stan obecny. W drugiej cz ci opisuj analiz


MWierszycki6

numeryczn za pomoc metody elementów sko czonych. Przedstawi em w ogólnych zarysach

jeden z kluczowych problemów, jaki napotykamy w trakcie takich oblicze , a mianowicie

konieczno matematycznego opisu zachowania si muru jako materia u konstrukcyjnego. Jego

z o ona dwumateria owa, kompozytowa struktura i nieliniowa charakterystyka wymaga przyj cia

ujednoliconego, zhomogenizowanego o rodka zast pczego. Opisa em tak e szczegó owo

modelowanie i obliczenia wykonane w rodowisku programów AutoCAD i SolidWorks oraz

systemu analizy nieliniowej ABAQUS/Standard.

W tym miejscu chcia bym podzi kowa kilku osobom, bez pomocy których ta praca nie

mog aby powsta . Przede wszystkim mojemu promotorowi prof. dr hab. in . Tomaszowi

odygowskiemu, którego aktywn pomoc i olbrzymie do wiadczenie naprawd trudno przeceni .

Dzi kuj równie koreferentowi dr in . Piotrowi Rappowi, oraz docentowi dr in . Marianowi

Krzysztofiakowi za udost pnione materia y, konsultacje i liczne cenne uwagi. Dr in . Adamowi

Glemie za wnosz ce wiele warto ciowych uwag dyskusje oraz dr in . Witoldowi K kolowi, który

zawsze ch tnie dzieli si swoj olbrzymi wiedz na temat ABAQUSa. Tak e Ks. Kazimierzowi

Tomalikowi, proboszczowi parafii w Owi skach, za wszelk pomoc przy zbieraniu materia ów

dotycz cych ko cio a. Geodetom z Zak adu Geodezji: dr hab. in . Marianowi Wójcikowi, dr in .

Ireneuszowi Wycza kowi, mgr in . Robertowi Nowakowi i mgr in Micha owi Moczko za wykonanie

pomiarów geometrii kopu y. Szczególne podzi kowania nale si równie mgr in . Micha owi

Rychlikowi i dr in . Rafa owi Mostowskiemu, którzy sp dzili z autorem tej pracy wiele godzin na

tworzeniu modelu geometrycznego kopu y. Tak e ukaszowi Matuszakowi za profesjonalne

zdj cia ko cio a wykorzystane w tej pracy.

Marcin Wierszycki

Analiza numeryczna ceglanej kopu y ko cio a pocysterskiego p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach ko o Poznania.

MWierszycki

Ko ció

Analiza numeryczna ceglanej kopu y ko cio a pocysterskiego p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach ko o Poznania Ko ció

MWierszycki8

1. Historia i opis ko cio a

1.1. Historia

Rys. 1 Widok ogólny ko cio a od pn-zach. Foto. . Matuszak

Ko ció zlokalizowany jest na prawym brzegu Warty na pó noc od Poznania we wsi Owi -

ska po o onej nad uj ciem Owi skiej Strugi. Lokalizacja ta wynika a z przyj tej przez cystersów

zasady, budowania klasztorów nad rzekami przy wa nych szlakach komunikacyjnych. Miejscowo

ta ma d ug histori szacowan na oko o 800 lat. Interesuj ca nas historia tej miejscowo ci wi e

si z postaciami Przemys a I oraz jego brata Boles awa Pobo nego, którzy byli fundatorami pierw-

szego klasztoru dla Sióstr Cysterek przyby ych z Trzebnicy. Nadano im, jako dobra klasztorne,

Rys. 2 O tarz g ówny. Foto. . Matuszak


MWierszycki9

tak e okoliczne miejscowo ci m.in. : Bolechowo, Wierzonk , Mi kowo, Radojewo. Do roku 1793

do czono do nich tak e Barlinek, Biedrusko, Bolechówko, Chludowo, Czerwon Gór , Mszcisze-

wo, Skorz cin, Trzaskowo. Czas powstania tamtej wi tyni datuje si na lata 1242-1252 i jedyne

co wiemy na jej temat to, e zosta a zbudowana w stylu gotyckim, podobnie przyklasztorne zabu-

dowania. Jednak dok adna wielko czy rozplanowanie przestrzenne nie jest znane. Zachowa y si

jedynie bardzo lakoniczne wzmianki, z których dowiadujemy si , e ko ció tamten by jednonawo-

wy i ciemny. Na pocz tku osiemnastego wieku w 1700 roku rozpocz to rozbudow klasztoru wg

projektu Jana Catenazziego, jednak dok adnie dwadzie cia lat pó niej, w wyniku po aru, który

wybuch w Wielki Pi tek roku 1720, du a cz gotyckiego ko cio a zosta a zniszczona. To tra-

giczne wydarzenie rozpoczyna histori barokowego ko cio a i jego kopu y, b d cej w a ciwym

przedmiotem tej pracy. Odbudow ko cio a i klasztoru powierzono w oskiemu architektowi Pompeo

Rys. 3 Zwie czenie filara i naro e sklepienia. Foto. . Matuszak

Ferrariemu a prace rozpocz to jeszcze w tym samym roku. Przy wznoszeniu nowego obiektu wy-

korzysta on zachowane z po aru pó nocne i po udniowe fragmenty murów g ównych (wiadomo

o tym z zawartego z nim kontraktu). Odbudowa, a w a ciwie budowa, przy której pracowali m.in.

Maksymilian Czajka ze l ska i cie la Marcin Heisler z Lwówka, trwa a osiem lat i zosta a uko -

czona w 1728 roku. Przez kolejne dwa lata pracowali w ko ciele dwaj franciszkanie: Adam Swach

i Micha ebrowski. Wykonali oni wewn trz g ównej kopu y polichromie nawi zuj ce tematycznie

do Startego i Nowego Testamentu, historii konwentu i ycia wi tych. Dnia 2 wrze nia 1731 roku


MWierszycki10

now wi tyni konsekrowa biskup che mi ski i równocze nie opat oliwski Tomasz Franciszek

Czapski. Od tamtych dni zasadnicza bry a ko cio a jak i jego wystrój wewn trzny przetrwa y do

naszych czasów w praktycznie niezmienionej formie. Krótko potem koleje historii Polski rozdzieli y

losy ko cio a w Owi skach i jego w a cicielek - cysterek. Po rozbiorach, w wyniku antypolskiej poli-

tyki rz du pruskiego, 24 stycznia 1797 roku dobra klasztorne zosta y odebrane cysterkom i przeka-

zane przywilejem donacyjnym galanteryjnikowi berli skiemu Zygmuntowi Ottonowi von Treskow.

Historia cysterek w Owi skim klasztorze ko czy si definitywnie w roku 1835 wraz z ostateczn

kasacj konwentu. Dopiero 21 stycznia 1848 roku uda o si uzyska miejscowemu proboszczowi

prawne przekazanie poklasztornej wi tyni parafii. W przej tych zabudowaniach klasztornych, po

przebudowie, otworzono 25 stycznia 1838 roku zak ad dla umys owo chorych. Jego dzaia alno

zako czyli hitlerowcy w 1939 roku morduj c przebywaj cych w nim pacjentów. Po wojnie do roku

1952 dzia a na terenie klasztoru Zak ad Poprawczy, a pó niej uruchomiono O rodek Szkolno –

Wychowawczy dla Dzieci Niewidomych, który znajduje si tam po dzi dzie . [12][13]

Rys. 4 Widok na ko cio i klasztor z drogi dojazdowej. Foto. Ks. K. Tomalik


MWierszycki11

Rys. 5. Rzut poziomy ko cio a i zabudowa poklasztornych.


MWierszycki12

1.2. Opis

Kilka informacji formalnych na temat samego ko cio a:

Ko ció klasztorny pod wezwaniem w. Jana

Chrzciciela, obecnie parafialny

Adres:

Pl. Przemys awa 10; nr hipoteczny T.I, K.7

Owi ska, gmina Czerwonak,

województwo Wielkopolskie,

W a ciciel:

Kuria Metropolitarna

Ul. Mieszka I 2

61-120 Pozna

U ytkownik:

Parafia rzymsko-katolicka w Owi skach

Pl. Przemys awa 13, tel.: 8126502

Wpis w rejestrze zabytków:

Ak I-11a/127 z dnia 21 grudnia 1932 roku

Aktualny proboszcz:

Ks. Kazimierz Tomalik

Obecny, barkowy ko ció jest orientowany wzd u osi wschód-zachód, zbudowany jest na

planie czworoboku zbli onego do kwadratu (Rys. 5). Jest to konstrukcja murowana z ceg y cera-

micznej na zaprawie wapiennej, otynkowana. We fragmentach murów na poddaszu wyst puj

w konstrukcji muru du e kamienie polne. Zasadnicz konstrukcj wyznaczaj cztery pot ne filary

Rys. 7. Widok kopu y nad naw centaln . Foto. . Matuszak

Rys. 6. Widok elewacji frontowej, zachodniejko cio a. Foto. . Matuszak


MWierszycki13

Rys. 8. Widok elewacji zachodniej i pó nocnej. Foto. . Matuszak

o przekroju wier kolistym i wymiarach 4,05 na 4,05 metra (Rys. 3), wydzielaj ce naw g ówn

o kszta cie prostok ta o bokach 15,42 m na 13,35 m ze zfazowanymi naro nikami. Ca o przekry-

ta jest kopu , b d c tematem niniejszej pracy. Kopu a wsparta na filarach (Rys. 7) oraz rozpi -

tych mi dzy nimi arkadach (wysoko przej mi dzynawowych pod arkadami ok. 12,90 m) sk ada

si z o miu powierzchni trapezowych. Cztery z nich (boczne), to wycinki powierzchni walcowych,

cztery naro ne powstaj w wyniku po czenia kraw dzi powierzchni bocznych i nie s fragmentami

walców (Rys. 3). Zwie czeniem kopu y jest sporych rozmiarów latarnia z czterema oknami przekry-

ta równie kopu (Rys. 9). Wokó nawy g ównej rozmieszczone s prostok tne prz s a tworz ce

obej cie. Od wschodniej strony mamy prezbiterium, za którym znajduje si zakrystia, znacznie

ni sza od ca ego ko cio a, przekryta o mioboczn kopu . Od zachodniej, chór zakonny (dzisiaj

muzyczny) na którym znajduj si organy. Po stronie pó nocnej i po udniowej

Rys. 9. Widok kopu y z zewn trz od strony zachodniej. Foto. . Matuszak


MWierszycki14

znajduj si nawy boczne o rzucie wyd u onego prostok ta.

Z zewn trz elewacje ko cio a s rozcz onkowane licznymi pilastrami, cz sto zdwojonymi,

zwie czone od strony zachodniej, wschodniej i pó nocnej trójk tnymi frontonami na niskich mur-

kach attykowych (Rys. 1). Na zachodniej fasadzie mamy ponadto portal w formie p ytkiego portyku

arkadowego, uj tego pilastrami i zwie czonego za amanym k towym gzymsem. W miejscu styku

fasady frontowej ko cio a i klasztoru znajduje si kwadratowa, trójkondygnacyjna dzwonnica nakry-

ta baniastym he mem. Pierwotnie znajdowa si na niej zegar, po którym obecnie wewn trz pozo-

sta y jedynie szcz tki mechanizmu, a na zewn trznych elewacjach wie y puste pola. Przekryciem

kopu y i ko cio a jest dach wielospadowy, o miodzielny. Boczne partie ko cio a nakryte s dachami

jednospadowymi a zakrystia prostym dachem dwuspadowym. Przekryciem latarni, wie cz cej

kopu , jest baniasty daszek. Konstrukcja dachu jest drewniana oparta na deskach o grubo ci ok.

30 mm. Podparciem desek s krokwie – kraw dziaki o przekroju 140x175 mm. Ca o pokryta jest

blach stalow ocynkowan . [4][5][13]

Rys. 10. Widok na ko cio i klasztor z lotu ptaka. Foto. Ks. K. Tomalik


MWierszycki15

2. Aktualny stan kopu yOdebranie ko cio a cysterkom, kilkukrotne zmiany w a cicieli, burzliwe losy tych ziem w

XIX i XX wieku i liczne wojny bardzo negatywnie odbi y si na stanie technicznym tego obiektu.

O ile jeszcze w po owie XIX wieku okre lano jego stan, ogólnie mówi c jako dobry, to ju w latach

trzydziestych nast pnego stulecia sytuacja wygl da a bardzo le i wskazywano na konieczno

wymiany pokrycia dachowego i restauracji zniszczonych fresków. W 1936 roku stan pokrycia

dachowego (g . nad zachodni cz ci ko cio a) okre lono jako „do niczego”. Powa ne

uszkodzenia pokrycia dachowego, nieszczelno stolarki okiennej latarni powodowa y ci g e

zamakanie konstrukcji, co odbi o si negatywnie nie tylko na polichromiach, ale zapewne i na

samym materiale konstrukcyjnym – ceg ach i zaprawie (Rys. 11 i 12).

Rys. 11. Zniszczenia i zawilgocenia sklepienia kopu y. Rys. 12. Zbli enie rysy po udnikowej kopu y. Foto. . Matuszak Foto. M. Krzysztofiak

W ostatnich latach przeprowadzone zosta y przez doc. dr in . M. Krzysztofiak i dr in .

P. Rappa ogl dziny bie cego stanu ko cio a a w szczególno ci kopu y. Na podstawie opracowa

obu panów [3],[4] i [5] oraz w asnych obserwacji spróbujmy opisa aktualny stan uszkodze kopu y.

Sp kania kopu y nad naw centraln mo na podzieli na dwa rodzaje. Pionowe

zarysowania w naro ach, tu przy kraw dziach mi dzy pow okami kopu i obwodowe sp kania

wspó rodkowe wokó podstawy latarni wie cz cej kopu .

Po udnikowe sp kania biegn wzd u wszystkich naro y s jednak zdecydowanie wi ksze

w naro ach po udniowo-zachodnim i pó nocno-wschodnim (po przek tnej) (Rys. 14 17). Wszystkie

one maj wyra n tendencj do zbiegania si w górnej cz ci kopu y do wewn trz naro nych


MWierszycki16

powierzchni sklepienia (Rys. 13). Szeroko rys waha si w granicach od kilku centymetrów do

kilku milimetrów, a ich wn trze jest zanieczyszczone (Rys. 12).

Rys. 13. Sp kania na kopule nawy centralnej. Zaznaczono kierunki zbiegu sp ka .Foto. . Matuszak

Rys. 14. Sp kania naro a pd. – wsch. Rys. 15. Sp kania naro a pn. – zach. Foto. . Matuszak Foto. . Matuszak


MWierszycki17

Rys. 16. Sp kania naro a pn. – wsch. Rys. 17. Sp kania naro a pn. – zach. Foto. . Matuszak Foto. . Matuszak

Sp kania wokó podstawy latarni nie s dobrze rozpoznane ze wzgl du na trudny dost p

(Rys. 18). Znajduj si one 23,00 m nad posadzk ko cio a. Pewne uszkodzenia, takie jak

sp kanie stolarki okiennej czy nieszczelno ci cian, widoczne s tak e w samym trzonie latarni

(Rys. 19).

Rys. 18. Sp kania obwodowe wokó podstawy latarni. Foto. . Matuszak

Stan powierzchni zewn trznej kopu y nie jest rozpoznany w ca o ci i trudno oceni czy

wyst puj tam jakie znacz ce uszkodzenia. Doc. dr in . M. Krzysztofiak przeprowadzi w 1996


MWierszycki18

roku inspekcj wykonuj c w trzech miejscach odkrywki w przekryciu dachowym (Rys. 20). W tych

trzech miejscach nie zauwa ono adnych uszkodze zewn trznej powierzchni wszystkie one

jednak dotyczy y jednej z o miu cz ci kopu y i mia y bardzo wycinkowy charakter.

Rys. 19. Sp kania obwodowe wokó podstawy latarni. Foto. M. Krzysztofiak

Rys. 20. Odkrywka w po aci dachu u podstawy kopu y. Widoczny fragment ebrausztywniaj cego. Foto. M. Krzysztofiak


MWierszycki

Analiza numeryczna

Analiza numeryczna ceglanej kopu y ko cio a pocysterskiego p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach ko o Poznania. Analiza numeryczna

MWierszycki20

Interesuj cy nas obiekt, kopu a centralna nad naw g ówn ko cio a, ze wzgl du na swoj

skomplikowan i nieregularn geometri sprawia olbrzymie trudno ci obliczeniowe przy zastoso-

waniu klasycznego, analitycznego opisu problemu. W praktyce, nie sposób znale dok adnego

analitycznego rozwi zania i jedyn szans na znalezienie jakiegokolwiek opisu zachowania si tej

konstrukcji czy te oszacowanie panuj cych w niej napr e i okre lenie przemieszcze jest przy-

j cie niezmiernie uproszczonego modelu, którego geometria w bardzo ma ym stopniu oddaje rze-

czywist geometri obiektu. W pewnych sytuacjach, dla niektórych rodzajów konstrukcji, post po-

wanie takie mo e doprowadzi nas do satysfakcjonuj cych, z punktu widzenia oceny in ynierskiej

wyników, które mimo i s obarczone b dami i niedok adno ciami wynikaj cymi z za o onych

uproszcze , daj szans na podj cie konkretnych in ynierskich decyzji. Niestety w przypadku ko-

pu y takie post powanie mo e prowadzi do wyników, które ze stanem faktycznym maj naprawd

niewiele wspólnego. Ca spraw dodatkowo komplikuje fakt, e zachowanie si kopu y jako ustro-

ju konstrukcyjnego jest bardzo wra liwe na zmiany geometryczne. Kopu y o podobnych gabary-

tach, ale o ró nej wynios o ci czy krzywi nie powierzchni z punktu widzenia statyki pracowa b d

w zupe nie odmienny sposób i pró no by oby szuka pomi dzy nimi analogii. W takiej sytuacji je-

dyn szans otrzymania, interesuj cych z punktu widzenia in ynierskiego, wyników jest zastoso-

wanie dyskretnych metod obliczeniowych pozwalaj cych na zast pienie problemu analitycznego

opisanego równaniami ró niczkowymi, problemem algebraicznym. Jednym z takich rozwi za jest

zastosowanie Metody Elementów Sko czonych (MES), opartej na aproksymacji pola przemiesz-

cze lub napr e w poszczególnych elementach sko czonych, b d cych sko czonymi, najcz -

ciej uproszczonymi, fragmentami zdyskretyzowanego o rodka ci g ego.

Proces tworzenia modelu numerycznego i nast pnie wykonywania na nim analizy za po-

moc metody elementów sko czonych mo na zasadniczo podzieli na trzy podstawowe etapy:

przygotowanie geometrii modelowanego obiektu,

ustalenie podstawowych parametrów fizycznych materia u, z których wykonany jest

rzeczywisty obiekt, oraz przyj cie zwi zku konstytutywnego opisuj cego zachowanie

si tego materia u,

przyj cie takich warunków brzegowych modelu, aby jak najwierniej oddawa y rzeczy-

wisty charakter pracy modelowanego obiektu, oraz sam analiz .

Przedstawiony powy ej schemat jest oczywi cie bardzo uproszczony w stosunku do rzeczywistych

kroków jakie musz zosta wykonane na kolejnych etapach post powania. Jednak w przypadku

gdy modelowanie i obliczenia wykonujemy w rodowisku konkretnego systemu MES, w naszym

przypadku zastosowano program analizy nieliniowej ABAQUS/Standard, ze wzgl du na to, e

wi kszo z tych kroków jest realizowana niejako „w tle” mo na powiedziecie, e te trzy etapy maj

podstawowe i zasadnicze znaczenie. Chcia bym uczyni z nich szkielet dalszej cz ci mojej pracy.

[1][7]


MWierszycki21

1. Geometria kopu yKopu a przekrywaj ca naw centraln jest wsparta na czterech filarach i rozpi tych mi dzy

nimi arkadach. Wysoko przej mi dzynawowych pod arkadami nie jest znana dok adnie, ale

oszacowano j na ok. 12,90 m. Podstawowy uk ad geometryczny to osiem zakrzywionych po-

wierzchni trapezowych cz cych si na górze w podstawie latarni wie cz cej kopu . Cztery

boczne, stanowi ce zasadnicz cz kopu y, opieraj si na dole bezpo rednio na cianach wy-

tyczaj cych naw g ówn . Na górze zbiegaj si u podstawy latarni. Powierzchnie te to wycinki

powierzchni walcowych. Cztery naro ne fragmenty optycznie rozgraniczone parami gurtów wspie-

raj si na naro nych filarach i powstaj w wyniku po czenia kraw dzi powierzchni bocznych. W

swej górnej cz ci ko cz si w podstawie latarni. Po acie te nie s fragmentami walców. Pierw-

szym krokiem w tworzeniu geometrycznego modelu kopu y by a próba dok adnego okre lenia

geometrii i wymiarów. Informacje jakie mo na by o uzyska z dost pnych opracowa by y bardzo

skromne. Ko ció ten, a zarazem sama kopu a, nie posiada y dok adnej inwentaryzacji i wszystkie

dost pne informacje dawa y tylko szcz tkowy obraz geometrii tego obiektu. Wi kszo dost pnych

na pocz tku danych pochodzi a z bada i pomiarów przeprowadzonych w latach 1995-1997 przez

doc. dr in . Mariana Krzysztofiaka, wykonanych na potrzeby ocen celowo ci wzmocnienia znisz-

czonej kopu y. Na podstawie tych danych mo na by o okre li podstawowe dane geometryczne

samej kopu y obarczone jednak do du ymi b dami. Podaj za tym opracowaniem [3][4]:

- Wysoko kopu y 669 cm

- Grubo pow oki kopu y 35 38 cm

- Wymiary eber wzmacniaj cych 45 x 15 cm

- Rozstaw eber 127 cm

- Wysoko latarni 635 cm

- Poziom dolnego gzymsu 1400 cm

- Podstawa krzywizny kopu y 1615 cm

Dane te nie wystarczy y do zbudowania modelu numerycznego gwarantuj cego wystarczaj c

zgodno z rzeczywist konstrukcj . Podstawowym problemem by o okre lenie dok adnej krzywi-

zny poszczególnych powierzchni, okre lenie wymiarów podstawy kopu y i latarni oraz dok adne

okre lenie krzywych przecinania si poszczególnych powierzchni.


MWierszycki22

1.1. Pierwszy model geometrii kopu y

Ze wzgl du na brak niektórych istotnych danych pierwszy model jaki zosta wykonany od-

dawa bry rzeczywistego obiektu tylko w sposób bardzo przybli ony. Wymiary podstawy poza

rozpi to ci w obu kierunkach zosta y za o one. W szczególno ci dotyczy to naro nych zfazowa .

W za o onym modelu przyj to, e naro ne powierzchnie s podobnie jak boczne wycinakami wal-

ców obrotowych, czyli e ich przekrój jest fragmentem okr gu. Przy takich za o eniach rzut na

p aszczyzn podstawy kraw dzi przeci cia powierzchni naro nych i bocznych musia by by

sieczn k ta utworzonego przez schodz ce si ciany podstawy kopu y (Rys. 21) Przy takich za o-

eniach wykonano w rodowisku programu AutoCAD model trójwymiarowy kopu y. AutoCAD jest

jednym z najlepszych programów komputerowego wspomagania projektowania, s u cym g ównie

do wykonywania rysunków p askich i przestrzennych, jednak o ograniczonych mo liwo ciach mo-

delowania 3D. Praca nad modelem kopu y wykonywana by a na wersji AutoCAD2000PL, zainsta-

lowanej na komputerze klasy ix86. Powsta y model cechowa y daleko id ce ró nice i nie cis o ci

w stosunku do rzeczywistego obiektu, co wida doskonale ju na pierwszy rzut oka obserwuj c

sam uk ad geometryczny abstrahuj c zupe nie od wymiarów. W takim uk adzie zupe nie inny

kszta t maj naro ne powierzchnie. Zbiegaj si one bardzo szybko ku swojej osi symetrii i nie

osi gaj w ogóle podstawy latarni (Rys. 22).

Rys. 21. Granice powierzchni naro nych we wst pnym modelu.

Praca nad tym modelem pozwoli a przeanalizowa ca y proces powstawania trójwymiaro-

wego modelu w rodowisku programu AutoCAD, jego transfer do rodowiska systemu

ABAQUS/CAE, przygotowanie modelu do analizy MES (nak adanie siatki elementów sko czonych,

warunków brzegowych, obci e itp.) jak i poznano ograniczenia tych rodowisk. Jednak powsta y

model nie móg stanowi punktu wyj cia do dalszej pracy. Koniecznie by o uzyskanie dok adniej-

szych informacji na temat rzeczywistej geometrii kopu y.


MWierszycki23

Rys. 22. Rzut wst pnego modelu kopu y.


MWierszycki24

1.2. Pomiary geodezyjne.

W celu zdj cia rzeczywistej geometrii kopu y przeprowadzono w ko ciele ograniczone

pomiary geodezyjne. Zdecydowano, e dla potrzeb okre lenia kszta tu kopu y nale y okre li do-

datkowo wspó rz dne po o enia:

- czterech punktów z powierzchni bocznych,

- czterech punktów z kraw dzi styku powierzchni bocznych i naro nych,

- czterech punktów wyznaczaj cych dok adne po o enie podstawy latarni,

- punktu na sklepieniu kopu y latarni.

Pomiary przeprowadzi zespó p. dr hab. in . M. Wójcika z Zak adu Geodezji Politechniki Pozna -

skiej, podczas kilku wizyt w ko ciele w Owi skach.

W ich wyniku otrzymano cenny dla potrzeb modelowania materia w postaci wspó rz dnych

38 punktów zdj tych z wewn trznej strony kopu y dla których to z dok adno ci do 5 cm okre lono

ich wspó rz dne X, Y, Z w pewnym uk adzie odniesienia oraz dodatkowo jeden punkt na sklepieniu

kopu y latarni. Poza tym wytyczono dok adnie kszta t podstawy kopu y na podstawie 48 punktów

o znanych wspó rz dnych poziomych X i Y.

Rys. 23. Punkty pomierzone na sklepieniu kopu y. Widok ogólny.

Na podstawie tych danych mo na by o dok adnie odtworzy geometri podstawy kopu y sklepienia

jak i spróbowa okre li w miar precyzyjny sposób kszta t samej kopu y.


MWierszycki25

Rys. 24. Punkty pomierzone na sklepieniu kopu y. Widok ogólny.

Rys. 25. Punkty pomierzone na sklepieniu kopu y. Widok z góry.


MWierszycki26

1.3. Model numeryczny kopu y

Tworzenie komputerowego modelu kopu y rozpocz to od wprowadzenia do systemu Au-

toCAD chmury punktów wyznaczaj cych wewn trzn powierzchni sklepienia oraz wyznaczenia

dok adnego kszta tu podstawy kopu y (Rys. 23, 24 i 25). Fizycznie pomierzone punkty opisuj ce

odstaw znajdowa y si na cianie tu pod kopu a nie na samej kopule czy jej kraw dzi wiec

ró nice warto ci ich rz dnych mo na by o spokojnie pomin . W zwi zku z tym zniwelowano ró -

nice wysoko ci mi dzy nimi i sprowadzono je wszystkie do umownego zerowego poziomu.

Powsta a amana (czerwony kontur na Rys. 25) reprezentuj ca doln kraw d kopu y jest jak wida

lekko przekrzywiona co wynika z takiego a nie innego zorientowania uk adu wspó rz dnych,

w którym zosta y okre lone wspó rz dne punktów. Ze wzgl du na niedok adno pomiaru kopu a

nie jest zupe nie symetryczna. Obrys podstawy kopu y, jak na potrzeby modelu numerycznego

zawiera za du o szczegó ów i w zwi zku z tym zosta nieco uproszczony. Zmiany te dotyczy y

naro y tego obrysu, którego skomplikowany kszta t wynika raczej z architektonicznych wyko cze

ni kszta tu zasadniczej konstrukcji kopu y. Obraz tych zmian przedstawiono na Rys. 26 gdzie za-

kreskowane obszary zosta y usuni te.

Rys. 26. Uproszczenia naro y obrysu kopu y.

Kolejnym etapem by o logiczne po czenie punktów znajduj cych si na wewn trznej po-

wierzchni sklepienia. Granatowe amane na Rys. 23, 24 i 25 odtwarzaj taki w a nie porz dek loka-

lizacji punktów. Nie wszystkie za o one do pomierzenia na rzeczywistym obiekcie punkty uda o si

wyznaczy z wystarczaj c precyzj co zwi zane by o z karko omnymi warunkami prowadzenia

pomiarów. Z po ród 48 za o onych punktów pomierzono 40, a po wykonaniu oblicze uda o si

z wymagan dok adno ci , ustali po o enia 38 punktów. Jak wida , na g ównych powierzchniach

bocznych uda o si okre li po o enia czterech punktów, co w zupe no ci wystarczy o do okre le-

nia parametrów krzywizny tych po aci. Jak ju wspomniano, ze wzgl du na niedok adno ci pomia-

rowe, utworzony model geometrii nie by dok adnie symetryczny. Zak adaj c istnienie takiej syme-

trii, wszystkie opisane poni ej kroki przeprowadzono dla jednej czwartej ca o ci. Na pocz tku,


MWierszycki27

uwspó p aszczyzniono te punkty wzgl dem ich hipotetycznych pionowych p aszczyzn symetrii.

Dalej, znaleziono okr g przechodz cy przez te wszystkie punkty b d cy przekrojem poprzecznym

powierzchni walcowych.

Rys. 27. Promienie krzywizn powierzchni bocznych kopu y.

Zaproponowane okr gi zawiera y w sobie pomierzone punkty z tolerancj wynikaj c z dok adno-

ci pomiarów (Rys. 27). Kolejno, wy-

znaczono pionowe p aszczyzny ograni-

czaj ce powierzchnie boczne (Rys. 28

i 29). Poprowadzono je przez punkty

pomierzone na kraw dziach naro y.

Powierzchnie naro ne, jak mo na by o

przypuszcza , ju na etapie przygoto-

wywania pierwszego wst pnego modelu

kopu y, okaza y si nie by powierzch-

niami walcowymi. Ich nieregularny,

trudny do matematycznego opisania

kszta t, spowodowa najwi cej trudno ci

przy samym tworzeniu jak i przenosze-

niu geometrii CAD modelu zbudowanego

w rodowisku programu AutoCAD, do ro-

dowiska MES ABAQUS/CAE. Ostatecznie

powierzchnie te wyznaczono jako cz ce

dwie kraw dzie s siednich p aszczyzn.

Pomiary geodezyjne da y do szczegó o-

we informacje na temat geometrii we-

wn trznej pow oki kopu y, jednak nie do-

starczy y praktycznie adnych informacji na

temat wie cz cej kopu latarni. O ile sama

Rys. 28. P aszczyzny ograniczaj ce powierzchnie boczne.

Rys. 29. P aszczyzny ograniczaj ce powierzchnie boczne.


MWierszycki28

jej geometria nie ma zasadniczego znaczenia dla charakteru pracy konstrukcji pow oki kopu y,

poza pier cieniem stanowi cym jej podstaw , którego podstawowe wymiary zosta y okre lone, to

jednak jej gabaryty s bardzo istotne ze wzgl du na to, e ci ar w asny latarni stanowi zasadnicz

cz obci enia kopu y. Niestety informacje jakie s dost pne na temat latarni, chocia by grubo-

ci jej cian, czy wymiarów okien s praktycznie bezwarto ciowe i jako takie zosta y przyj te na

postawie dost pnego materia u fotograficznego.

Rys. 30. Przekrój latarni. Kszta t przekroju latarni (Rys. 30) jest nieregularny i jest czym po rednim pomi dzy „rozsuni tym

okr giem” (kolor ó ty na Rys. 30) a elips (kolor czerwony na Rys. 30). Na potrzeby naszego mo-

delu wybrano to pierwsze przybli enie. Kopu wie cz c latarnie zaproponowano jako rozsuni t

po ow pow oki kulistej z fragmentem pow oki walcowej w rodku. Kolejnym bardzo wa nym ele-

mentem geometrii kopu y jest jej grubo . Ten parametr ma znaczenie decyduj ce, tak ze wzgl du

na charakter pracy kopu y, jak i jej ci ar w asny b d cy podstawowym jej obci eniem. Grubo

okre lono w trakcie inwentaryzacji (ale tylko w jednym miejscu) na oko o 35 cm [3][4]i tak warto

przyj to. Nie sposób ustali , czy jest ona jednakowa dla ca ej kopu y, mo na jedynie domniemy-

wa , e tak jest. Grubo eber usztywniaj cych na ca ej wysoko ci jest taka sama. Podobnie wy-

miary i rozstaw eber usztywniaj cych na zewn trznej powierzchni przyj to regularny dla ca ej

kopu y (Rys. 31). Nale y zaznaczy , e dok adna liczba tych eber nie jest znana.

Rys. 31. Uk ad eber kopu y.


MWierszycki29

Rys. 32. Bry owy, przestrzenny model kopu y.


MWierszycki30

Ca o opisanej wy ej geometrii zosta a utworzona w rodowisku programu AutoCAD.

W ko cowym efekcie utworzono model przestrzenny, bry owy (Rys. 32). Jedynie powierzchnie

naro ne, dla których nie uda o si ustali opisu matematycznego, zosta y do czone do ca ego

modelu w rodowisku zaawansowanego modelera SolidWorks. Program ten podobnie jak Auto-

CAD zaliczany jest do grupy programów komputerowego wspomagania projektowania, jednak jest

on g ównie nastawiony w a nie na kreowanie trójwymiarowych modeli. Nasz model opracowywano

w wersji SolidWorks2000 zainstalowanej na komputerze klasy ix86, znajduj cej si na wyposa e-

niu Instytutu Silników Spalinowych i Podstaw Konstrukcji Maszyn Wydzia u Maszyn Roboczych

i Transportu Politechniki Pozna skiej. Przenoszenie geometrii pomi dzy programami CAD (Com-

puter Aided Design) i CAE (Computer Aided Engineering) realizowano za pomoc formatu opisu

geometrii opartego na j drze modelowanie bry owego ACIS. To rozwi zanie software’owe jest

uznawane za jedno z najlepszych na wiecie. Jest to zbiór procedur stosowanych przez twórców

programów CAD CAM (Computer Aided Manufacturing), CAE do opisu przestrzennej geometrii.

Model w standardzie ACIS tworzony jest z dok adno ci do 10-6, co jest jedn z najlepszych spoty-

kanych precyzji opisu modelu. Niestety stopie skomplikowania geometrii spowodowa olbrzymie

k opoty na etapie jej importu do rodowiska ABAQUS/CAE. Import geometrii w postaci jej opisu

w a nie w formacie ACIS okaza si niemo liwy do zrealizowania. Próby wykorzystania innych

formatów takich jak IGES nie przynios y pozytywnych rezultatów. Ostatecznie, równie siatk ele-

mentów sko czonych postanowiono przygotowa w rodowisku programu SolidWorks, a nie jak

pierwotnie zak adano ABAQUS/CAE. Uzyskana siatka sk ada a si z 28553 w z ów.

Rys. 33. Element C3D10.

Procedury generowania siatki dost pne w programie SolidWorks jak i stopie skomplikowania sa-

mej geometrii pozwoli y na zastosowanie jedynie siatki elementów tetragonalnych (czworo cien-

nych). Kolejn kwesti by o przyj cie odpowiedniego typu elementów sko czonych. W gr wcho-

dzi y elementy cztero, sze cio lub dziesi ciow z owe. Tetragonalne elementy czterow z owe ce-

chuj si bardzo ma zbie no ci dok adno ci w stosunku do stopnia zag szczenia siatki. Aby

uzyska wyniki o satysfakcjonuj cej dok adno ci mo na stosowa te elementy tylko w przypadkach

ma ych warto ci gradientów panuj cych w nich napr e przy bardzo zag szczonej siatce.

W przypadku naszego modelu gdzie siatka nie jest mocno zag szczona a analiza prowadzona jest


MWierszycki31

w zakresie granicznym no no ci materia u, stosowanie tych elementów jest niemo liwe. W prakty-

ce zreszt elementy te wykorzystuje si g ównie jako wype niaj ce siatki zbudowane z elementów

o mio lub dziesi ciow z owych w miejscach gdzie stosowanie tych ostatnich nie jest mo liwe [16].

Wg dokumentacji systemu ABAQUS [17] dla automatycznie generowanej siatki (tzw free mesh)

i problemów liniowych najkorzystniej jest stosowa elementy drugiego rz du, dziesi ciow z owe

C3D10 (Rys. 33). Ostatecznie przyj te parametry generuj siatk elementów (Rys. 34 36) sko -

czonych modelu kopu y o nast puj cych cechach:

Rys. 34. Widok przestrzenny modelu kopu y z na o on siatk elementów sko czonych.

Liczba w z ów: 28553

Liczba elementów: 14477

Nazwa elementu: C3D10

Kszta t elementów: 10-w z owy, drugiego rz du, czworo cienny,

przestrzenny

Typ elementów: napr eniowo/przemieszczeniowy

Aktywne stopnie swobody: 1, 2 i 3 (przemieszczenia)

Ca kowita liczba stopni

swobody uk adu: 85659


MWierszycki32

Rys. 35. Widok z boku modelu kopu y z na o on siatk elementów sko czonych.

Rys. 36. Widok z góry modelu kopu y z na o on siatk elementów sko czonych.

Analiza numeryczna ceglanej kopu y ko cio a pocysterskiego p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach ko o Poznania Analiza numeryczna

MWierszycki33

2. Homogenizacja Praktycznie od pocz tków dzia alno ci cz owieka, któr mo na by nazwa „budowlan ”,

stosowano mur jako materia konstrukcyjny. Jednak w przeciwie stwie do popularno ci i po-

wszechno ci jego zastosowania analiza i obliczenia konstrukcji murowych s bardzo z o onymi

zagadnieniami. Spowodowane to jest dwumateria ow , kompozytow budow materia u i wynika-

j c z niej anizotropi i nieliniow charakterystyk zachowania. W praktyce in ynierskiej stosuje si

na co dzie bardzo uproszczone metody obliczeniowe a wi kszo z nich opiera si na prowadzo-

nych od wielu, wielu lat w ró nych o rodkach bada eksperymentalnych na rzeczywistych lub

uproszczonych modelach konstrukcji murowych. Jednak w sytuacji gdy zachodzi konieczno do-

k adnej analizy zachowania si zarówno samego materia u jak i wykonanej z niego konstrukcji po-

dej cie takie okazuje si niewystarczaj co dok adne. Szczególnego znaczenia nabiera to w przy-

padku analizy obiektów historycznych, zabytkowych. W przypadku konieczno ci renowacji, a cz -

sto wzmocnienia takich budynków, które z regu y charakteryzuj si skomplikowanym uk adem

statycznym, du ym ci arem w asnym no i co bardzo wa ne praktycznie bezcenn warto ci , nie-

odzowne staje si zastosowanie bardziej skomplikowanych metod obliczeniowych. W takich sytu-

acjach z pomoc przychodzi w a nie MES, daj ca szans rozwi zywania naprawd trudnych pro-

blemów in ynierskich takich jak np. nieliniowa analiza konstrukcji murowych. G ównym problemem

z jakim nale y si zmierzy przy takim podej ciu jest przyj cie jak najbardziej dok adnego i efek-

tywnego modelu materia u. Mo na wskaza zasadniczo dwie koncepcje modelowania numerycz-

nego muru. Pierwsza z nich, zwana „mikromodelowaniem” lub „modelem dwumateria owym” oraz

druga okre lana jako „makromodelowanie” lub „model ekwiwalentnego materia u”. W a nie to dru-

gie podej cie, wymagaj ce przyj cia ujednoliconego o rodka zast pczego, nazywamy homogeni-

zacj . [1][2]


MWierszycki34

2.1. Charakterystyka muru jako materia u konstrukcyjnego

2.1.1. Dwumateria owy „kompozyt”

Mur mo na traktowa jako kombinacj dwóch materia ów tworz cych warstwowy, powta-

rzalny uk ad kompozytowy. Podstawowym elementem no nym s drobnowymiarowe elementy,

z regu y prostopad o cienne, pochodzenia naturalnego (kamienie) albo zdecydowanie cz ciej

specjalnie w tym celu wytwarzane (ceg y, pustaki itp.), o stosunkowo du ej wytrzyma o ci i sztyw-

no ci. Pomi dzy nimi, jako element cz cy i wype niaj cy nierówno ci, znajduj si warstwy za-

prawy wapiennej, cementowej itp., o zdecydowanie mniejszej wytrzyma o ci. Ze wzgl du na po o-

enie warstw zaprawy w stosunku do kraw dzi cegie dzielimy je na poziome (wsporcze) i pionowe.

Zarówno ceg y jak i zaprawa a wi c i mur s materia ami kruchymi dobrze pracuj cymi na ciska-

nie za to wykazuj bardzo s ab , praktycznie przyjmowan jako zerow , wytrzyma o na rozci -

ganie. Przy projektowaniu konstrukcji murowych takie podej cie jest celowe i zalecane, jednak przy

analizie stanu zarysowania istniej cej konstrukcji wytrzyma o ta mo e mie decyduj ce znacze-

nie. Jej przekroczenie przez napr enia rozci gaj ce mo e powodowa kruche p kni cia nawet

je eli pozosta e sk adowe stanu napr e s ciskaj ce.

2.1.2. Mechanizmy zniszczenia

W rozwa aniach na temat modelowania zachowania si muru przyjmujemy, w pewnym

stopniu wyidealizowany, model quasi-kruchego materia u o nieliniowej charakterystyce. Na pod-

stawie bada do wiadczalnych z jednoosiowym ciskaniem i rozci ganiem próbek mo na okre li

charakter pracy materia u w tych podstawowych stanach napr e . Jedn z podstawowych jego

cech jest mechanizm zniszczenia na skutek pojawienia si wewn trznych mikrorys zmieniaj cych

si nast pnie w wyra nie ju widoczne makrorysy. Mechanizmy powstawania tego zarysowania s

oczywi cie ró ne w zale no ci od stanu napr e . Do tych dwóch podstawowych stanów znisz-

czenia nale a oby jeszcze do czy zdolno przenoszenia obci e cinaj cych. Poni ej przed-

stawiono za Lourenco [1] podstawowe mechanizmy zniszczenia w spoinach wsporczych i elemen-

tach murowych (Tab. 1):

1

Stan napr e :

Osiowe rozci ganie prostopadle do spoin.

Mechanizm zniszczenia:

Rozerwanie spoiny lub jej po czenia z ceg .

2

Stan napr e :

cinanie równolegle do spoin.


Po lizg w spoinie wsporczej.


MWierszycki35

3

Stan napr e :

Osiowe rozci ganie równolegle do spoin.


Rozerwanie spoiny wsporczej razem z elementem murowym.

4

Stan napr e :

ciskanie ze cinaniem.


Uko ne zarysowanie elementów murowych przylegaj cych do spoin.

5

Stan napr e :

Osiowe ciskanie prostopadle do spoin.


Zniszczenie elementów murowych na skutek ich poziomego rozci gania. Skru-

szenie zaprawy.

Tab. 1 Podstawowe mechanizmy zniszczenia w spoinach wsporczych i elementach murowych [1]

Poniewa zazwyczaj wytrzyma o zaprawy jest zdecydowanie mniejsza ni wytrzyma o

elementu murowego (ta ró nica jest cz sto nawet dziesi ciokrotna) cz sto obserwuje si wyst -

powanie 5. mechanizmu zniszczenia. Widoczne w nim makrorysy, o kierunku si ciskaj cych, po-

jawiaj si w zale no ci od wytrzyma o ci zaprawy przy napr eniach o warto ci od 40% do 80%

wytrzyma o ci ca ego muru. Ze wzgl du na du ró nic odkszta calno ci pomi dzy tymi elemen-

tami dla tych samych napr e ciskaj cych element murowy musi powstrzyma wi ksz od-

kszta calno zaprawy utrzymuj c j w trójosiowym stanie napr e ciskaj cych sam jednocze-

nie b d c poddawany dwuosiowemu rozci ganiu w p aszczy nie poziomej na skutek wi kszej

odkszta calno ci pionowych spoin (Rys. 37). Ró nice w odkszta calno ci zaprawy i elementów

murowych, jak i sama warstwowa budowa muru o du ej niejednorodno ci materia owej i geome-

trycznej, dobrze t umacz specyficzny mechanizm zniszczenia i zwi zany z nim charakter zaryso-

wa pod wp ywem jednoosiowego ciskania.

Rys. 37. Stan napr enia w elemencie murowym i zaprawie (a – ceg a, b – zaprawa).[1]

Ze wzgl du na blisk zeru wytrzyma o na rozci ganie, w praktyce nie przekraczaj c 5%

wytrzyma o ci na ciskanie, odgrywa ona kluczow rol w ród mechanizmów zniszczenia. Jej war-

to zale y silnie tak e od technicznej metody jej oznaczania. Tak na przyk ad, w przypadku bez-


MWierszycki36

po redniego rozci gania po kierunku równoleg ym do spoin wsporczych (3. mechanizm zniszcze-

nia) wytrzyma o ta mo e zale e albo od wytrzyma o ci na rozci ganie zaprawy i jednostek mu-

rowych (Rys. 38a), albo od wytrzyma o ci zaprawy spoin pionowych na rozci ganie a wsporczych

na cinanie (Rys. 38b). [1]

Rys. 38. Mechanizmy zniszczenia dla rozci gania (opis w tekscie) [1]

2.1.3. Kryteria wytrzyma o ciowe

Znajomo warto ci wytrzyma o ci konieczna jest przy ocenie stanu bezpiecze stwa kon-

strukcji murowej tak na etapie jej projektowania jak i analizy istniej cego obiektu. Dla okre lenia

parametrów wytrzyma o ciowych w przypadku materia u izotropowego wystarcz dwa parametry:

- f t – wytrzyma o na rozci ganie,

- f c – wytrzyma o na ciskanie.

W praktyce jednak konstrukcja znajduje si zazwyczaj w z o onym stanie napr e np.: dwuosio-

wym rozci ganiu, ciskaniu czy ciskaniu z rozci ganiem i w takiej sytuacji korzystamy z hipotez

wytrzyma o ciowych. Ich graficzna reprezentacja, okre lona w przestrzeni napr e , wyznacza

Rys. 39. Kryterium wytrzyma o ciowe muru zabetonowanego podane przez Hegemiera [1].


MWierszycki37

tzw. powierzchni graniczn . Punkty le ce w jej wn trzu znajduj si w bezpiecznym stanie na-

pr e , znajduj ce si na kraw dzi osi gaj warto ci graniczne a wszystkie le ce poza tym ob-

szarem traktujemy jako reprezentacj przekroczonych dopuszczalnych stanów napr e . Przed-

stawione na Rys. 39 kryterium wg pracy Hegemiera [1] w zakresie dwuosiowego rozci gania i ci-

skania z rozci ganiem ma kontur liniowy, a w dwuosiowym ciskaniu opisany jest krzyw wg hipo-

tezy Hubera–Misesa–Hencky’ego, wg wzoru: 2

2122

21 cf (1)

Mur, jako materia sk adaj cy si z naprzemiennych warstw jednostek murowych (cegie )

i zaprawy, nie wykazuje mechanicznych w asno ci izotropowych, a ju zw aszcza wytrzyma o cio-

wych. Jest materia em o naturze ortotropowej. Warto ci wytrzyma o ci na ciskanie i rozci ganie

s zale ne od orientacji wektorów napr e g ównych wzgl dem uk adu warstw muru. Dodatkowo

nale y uwzgl dni , omówione wy ej ró ne mechanizmy zniszczenia wynikaj ce ze s abszych w a-

ciwo ci mechanicznych zaprawy. Jedn z pierwszych stworzonych hipotez wytrzyma o ciowych

dla kruchych materia ów by a hipoteza najwi kszego napr enia normalnego zaproponowana

przez Rankine’a [1] (Rys. 40).

Rys. 40. Obszar graniczny hipotezy Rankine’a w p aszczy nie napr e g ównych [1].

Ogranicza ona warto ci napr e g ównych do zakresu pomi dzy wytrzyma o ci na ciskanie dla

ciskania i wytrzyma o ci na rozci ganie dla rozci gania:

tmaksc ff . (2)

Dla rozci gania w p askim stanie napr e mo na j zapisa :

txyyxyx f22 421

21

, (3)

lub:

02tytxxy ff . (4)

Inn koncepcj , pozwalaj c uwzgl dni anizotropowe w a ciwo ci muru, przyj Ganz [1].

Uwzgl dnia ona osobno cztery kryteria wytrzyma o ciowe:

I. dla rozci gania:

za o ono, e wytrzyma o na rozci ganie równa jest zeru i w zwi zku z tym:

02yxxy , (5)


MWierszycki38

II. dla dwuosiowego ciskania:

rozró niono wytrzyma o na ciskanie w kierunku pionowym f cx i poziomym f cy:

0))((2cyycxxxy ff ,

(6)

III. dla cinania ( ciskanie z rozci ganiem):

przyj to, e x = - y i wytrzyma o na rozci ganie równ zeru:

02cyyyxy f , (7)

IV. dla cinania ( tylko wzd u spoin):

do opisu ci cia spoin zastosowano hipotez Coulomba–Mohra, gdzie jako parametry

wytrzyma o ciowe przyjmuje si k t tarcia wewn trznego tg i kohezj c. Dla c = 0:

0tg2xxy , (8)

Reprezentacj graficzn powy szych warunków w uk adzie osi x , y i xy tworz powierzchnie

graficzne opisane przez dwa sto ki eliptyczne (kryteria I i II), walec (kryterium III) i p aszczyzn

(kryterium IV) (Rys. 41).

Rys. 41. Powierzchnia graniczna muru w p askim stanie napr e wg Ganza [1].

Dla opisania takiego kryterium potrzebne s trzy parametry wytrzyma o ciowe:

- wytrzyma o na ciskanie w kierunku pionowym f cx,

- wytrzyma o na ciskanie w kierunku poziomym f cy,

- k t tarcia wewn trznego tgJak pami tamy powy sza hipoteza zak ada zerow warto wytrzyma o ci na rozci ganie. Seim [1] zapropo-

nowa modyfikacj pokazanej na Rys. 41 powierzchni granicznej przez wprowadzenie mo liwo ci

Rys. 42. Powierzchnia graniczna muru w p askim stanie napr e wg Seima [1].


MWierszycki39

przenoszenia przez mur napr e rozci gaj cych f ty i otrzyma powierzchni jak na Rys. 42.

Do opisu takiego kryterium potrzebne s dwa dodatkowe parametry wytrzyma o ciowe:

- wytrzyma o na rozci ganie w kierunku poziomym f ty (Rys. 43),

- kohezja c (Rys. 44).

Rys. 43 Powierzchnia graniczna muru w p askim stanie napr e wg Seima. Przekrój 1-1 [1].

Rys. 44 Powierzchnia graniczna muru w p askim stanie napr e wg Seima. Przekrój 2-2 [1].


MWierszycki40

2.2. Wzory empiryczne na okre lanie w asno ci muru

Przy klasycznym podej ciu do projektowania konstrukcji murowych warto ci panuj cych

w nich napr e , których znajomo jest konieczna do kre lenia stanu ich wyt enia, okre lane s

na podstawie uproszczonych, zhomogenizowanych zale no ci linowej spr ysto ci dla materia u

izotropowego. Podstawowym parametrem opisuj cym t zale no jest modu spr ysto ci (Youn-

ga) E, którego warto w praktyce decyduje o no no ci i wytrzyma o ci konstrukcji. Metoda jego

wyznaczenia ma wi c zasadnicze znaczenia dla opisu zwi zku konstytutywnego materia u. Jak ju

wspomniano na pocz tku tego rozdzia u mur wykazuje jednak w asno ci zdecydowanie anizotro-

powe a charakterystyka jego zachowania jest nieliniowa, mo na by wi c zapyta na ile, a w a ci-

wie do kiedy, stosowane w praktyce in ynierskiej podej cie spr ysto–liniowe stanowi bezpieczne

przybli enie. Wi kszo norm przedmiotowych, w tym i projekt normy PrPN-99/B-03002 [8], zaleca

przyjmowa modu spr ysto ci muru dla napr e z zakresu 0 0,33 maksymalnych napr e

ciskaj cych poniewa w tym przedziale faktycznie mo na przyj , e liniowy opis zachowania si

muru jest wystarczaj co bliski zachowaniu rzeczywistemu.

Istnieje kilka metod obliczeniowego wyznaczania warto ci modu u spr ysto ci muru. Jed-

nym z podstawowych spotykanych w wi kszo ci norm przedmiotowych jest okre lanie modu u

spr ysto ci jako iloczynu wytrzyma o ci charakterystycznej muru na ciskanie i wspó czynnika

(cechy) spr ysto ci c:

ckc fE . (9)

Wspomniany wy ej projekt normy [8] zaleca do okre lania modu u spr ysto ci przyjmowa ,

w zale no ci od rodzaju elementu murowego i wytrzyma o ci zaprawy na ciskanie, warto

wspó czynnika c równ :

- 1000 dla zaprawy o wytrzyma o ci wi kszej ni 5 MPa,

- 600 dla zaprawy o wytrzyma o ci mniejszej ni 5 MPa.

Metoda ta, cho w sposób niejawny uwzgl dnia dwumateria ow struktur muru, jest jednak bar-

dzo prosta i o ile w praktyce in ynierskiej jest to jej podstawowa zaleta, to w sytuacji gdy wymaga-

na jest wi ksza dok adno ci celowe staje si poszukiwanie bardziej dok adnych metod zhomogeni-

zowanego opisu o rodka murowego. W literaturze przedmiotowej spotka mo na inne wzory empi-

ryczne do wyznaczania warto ci modu u spr ysto ci muru b d ce funkcjami modu ów spr ysto-

ci jak i stosunku grubo ci warstw zaprawy i elementów murowych. Jednym z takich wzorów jest

zale no podawana przez Matyska [8]:

bEE25,1

125,1 (10)

gdzie:

- to stosunek wysoko ci elementu murowego do grubo ci spoiny,

- to stosunek modu u spr ysto ci elementu murowego do modu u spr ysto ci za-

prawy,


MWierszycki41

- Eb to modu spr ysto ci elementu murowego.

Kolejnym b d cym tylko funkcj modu ów spr ysto ci zaprawy i elementów murowych bez

uwzgl dnienia stosunku ich grubo ci jest zale no podawana przez Brooksa [8]:

mb EEE14,086,01

(11)

gdzie:

- Eb to modu spr ysto ci elementu murowego,

- Em to modu spr ysto ci zaprawy.

Poniewa , ustalenie podstawowych parametrów fizycznych materia u jest, obok przyj cia

w a ciwego zwi zku konstytutywnego opisuj cego jego zachowanie, jednym z podstawowych fila-

rów analizy elementów sko czonych, wszystkie przedstawione powy ej metody okre lania zhomo-

genizowanego modu u spr ysto ci muru s nadal zbyt ma o dok adne. Nie pozwalaj one na

uwzgl dnienie ortotropowej struktury tego materia u nie wspominaj c ju o nieliniowym charakterze

jego pracy.


MWierszycki42

2.3. Numeryczne modelowanie muru

O ile trudno o bardziej dok adne okre lenie parametrów materia owych ni dane uzyskane

w trakcie bada eksperymentalnych na rzeczywistych modelach konstrukcji lub ich fragmentach to

jednak ze wzgl du na koszt i problematyczno a czasami wr cz niemo no ich przeprowadzenia

jedyn alternatyw pozostaje si gni cie po narz dzia analizy elementów sko czonych. Wzgl dna

atwo , w porównaniu do kosztownych i skomplikowanych bada do wiadczalnych na rzeczywi-

stych obiektach, oblicze numerycznych powoduje, e MES ju od ponad dwudziestu lat wykorzy-

stywany jest jako narz dzie wspomagaj ce obliczenia konstrukcji murowych pozwalaj ce

uwzgl dni ich anizotropowe i nieliniowe charakterystyki. Jak ju wspomniano na wst pie wyró -

niamy dwa podej cia do analizy muru metod elementów sko czonych: mikro i makromodelowa-

nie.

2.3.1. Mikromodelowanie

Je eli spojrzymy na mur przez pryzmat MESu atwo mo na zauwa y , e uk ad drobno-

wymiarowych elementów, z regu y prostopad o ciennych – cegie , jest czym w rodzaju naturalnej

dyskretyzacji. Metoda modelowania muru okre lana mianem „mikromodelowania” lub inaczej „mo-

delem dwumateria owym” zak ada taki w a nie podzia na elementy sko czone, który b dzie

w prosty sposób odpowiada tej istniej cej dyskretyzacji (Rys. 45). Bardzo wa ne jest w takim

przypadku tak e w a ciwe zamodelowanie interfejsu pomi dzy elementami reprezentuj cymi za-

praw i elementami tworz cymi jednostki murowe. Metoda ta stosowana jest w przypadku ró nego

rodzaju szczegó owych analiz zachowania si muru. Pozwala ona na obserwacje i modelowanie

specyficznych dla tego materia u zachowa z uwzgl dnieniem jego anizotropii i ró nych mechani-

zmów zniszczenia. Jednak prócz wielu zalet ma ona te swoje wady. Jednym z podstawowych

problemów jest w a ciwe okre lenie parametrów opisuj cych wspomniany przed chwil kontakt

pomi dzy jednostkami murowymi a zapraw . Zagadnienia kontaktowe s z zasady trudne i skom-

plikowane obliczeniowo i bardzo rozbudowuj zadanie. Podobnie sama metoda podzia u na ele-

menty sko czone powoduje szybki wzrost liczby tych elementów wraz ze stopniem z o ono ci

modelowanego obiektu. Cz sto tak e napotykamy na du o bardziej prozaiczny problem ju na

etapie samego podzia u na elementy sko czone, kiedy to mo emy nie by w stanie odtworzy

rzeczywistego uk adu cegie w konstrukcji. W praktyce taki sposób modelowania stosujemy w celu

Rys. 45. Schemat ilustruj c ide mikromodelowania.


MWierszycki43

obserwacji zachowania si tylko fragmentów konstrukcji, takich jak nadpro a, filarki, fragmenty

sklepie czy cian, których no no decyduje o bezpiecze stwie ca ej konstrukcji. [1][6]

2.3.2. Makromodelowanie

Dla du ych modeli numerycznych jak np. ca y budynek czy jego znaczna cz , w przy-

padku których z wymienionych wy ej powodów nie mo na stosowa tak drobnej i dok adnej dys-

kretyzacji jaka jest wymagana dla mikromodelowania, stosuje si analiz na poziomie bardziej

ogólnym okre lan jako „makromodelowanie” lub „model ekwiwalentnego materia u”. Podej cie to

wymaga przyj cia ujednoliconego, zhomogenizowanego o rodka zast pczego, b d cego uprosz-

czeniem rzeczywistego uk adu kompozytowego (Rys. 46). Jego parametry musz jednak odpowia-

da w jak najlepszym stopniu parametrom rzeczywistego materia u co jest podstaw skuteczno ci

stosowania MES. Z tego te powodu niebagateln rol w tym przypadku odgrywaj przyj te tech-

niki homogenizacji i modele konstytutywne pozwalaj ce tak opisa zast pczy materia aby

uwzgl dnia on w skuteczny sposób anizotropi i nieliniow charakterystyk muru. Takie podej cie

jest wi c swojego rodzaju kompromisem pomi dzy dok adno ci a efektywno ci oblicze . Metoda

ta jednak posiada tak e wyra ne ograniczenia wynikaj ce z u redniania w procesie homogenizacji

warto ci napr e i odkszta ce w obszarze relatywnie du ego elementu sko czonego co ograni-

cza jej zastosowanie do przypadków o raczej jednorodnym stanie napr e , w którym nie wyst pu-

j gwa towne zmiany na odcinkach mniejszych od wymiaru dyskretyzacji. Ze wzgl du na to, e dla

takiego modelu zdecydowanie atwiej uzyska satysfakcjonuj c siatk elementów sko czonych o

dowolnym kszta cie i rozs dnej, z punktu widzenia wielko ci zadania, liczbie nadaje si on do mo-

delowania ca ych konstrukcji i jest niezwykle atrakcyjny z punku widzenia praktyki in ynierskiej.

[1][6]

Rys. 46. Schemat ilustruj c ide makromodelowania.


MWierszycki44

2.4. Zarysowanie muru w modelowaniu numerycznym

Ka da konstrukcja murowa w momencie osi gni cia granicznych warto ci wytrzyma o ci

ulega zarysowaniu. Nieci g o ci jakie pojawiaj si w jej wyniku powoduj znacz ce zmiany tak

w materiale jak i samej konstrukcji. W przypadku analizy metod elementów sko czonych mo emy

wyró ni dwa podstawowe sposoby modelowania zarysowa , model rysy dyskretnej i ci g ej zwa-

nej inaczej rys rozmyt .

2.4.1. Rysy dyskretne

Model rysy dyskretnej pozwala na ledzenie i uwzgl dnienie pojedynczych zarysowa mo-

delu konstrukcji. Te geometryczne nieci g o ci powstaj np. na skutek utworzenia w w le nowego

stopnia swobody, gdy warto rozci gaj cej si y w z owej normalnej do boków elementu przekro-

czy warto maksymaln , lub poprzez wyeliminowanie elementu w którym przekroczone zostan

zadane parametry opisuj ce kryterium p kania. Do opisu tego kryterium mo na stosowa np. li-

niow mechanik p kania, która pozwala oceni w którym miejscu i w jakim kierunku rozwija b -

dzie si zarysowanie. Stan napr e i odkszta ce jest w tym przypadku opisany w taki sposób, e

w wierzcho ku rysy staje si osobliwy, warto ci napr e i odkszta ce s niesko czenie du e. Aby

temu zaradzi wprowadza si takie funkcje kszta tu elementów, które pozwalaj na oddanie tej

osobliwo ci oraz wspó czynnik intensywno ci napr e , który jest miar tej osobliwo ci a zale y od

Rys. 47. Propagacja rysy w modelu dyskretnym [1].

wielko ci obci enia i rozmiarów rysy. Warto tego wspó czynnika jest powi zana z energi uwal-

nian podczas propagacji rysy, której warto krytyczna odniesiona do jednostki powierzchni rysy

nazywana jest energi p kania. Jej warto traktujemy jako sta materia ow . Gdy warto wspó -

czynnika intensywno ci napr e osi ga w kolejnym kroku w jakim miejscu warto wi ksz od

warto ci krytycznej zak adamy niewielki rozwój rysy w kierunku prostopad ym do g ównego napr -

enia rozci gaj cego i automatycznie redefiniowana jest siatka elementów sko czonych w otocze-


MWierszycki45

niu rysy (Rys. 47). W kolejnym kroku ponownie wyznaczamy warto wspó czynnika intensywno ci

napr e dla uk adu o zmienionej geometrii i przedefiniowanej siatce i ca a procedura jest powta-

rzana. Przy stosowaniu mikromodelowania poprzez stosowanie elementów modeluj cych warstwy

zaprawy o mniejszej energii p kania ni elementy odpowiadaj ce jednostkom murowym mo na w

tym modelu odda tak e cz ciowo anizotropi muru. Aby móc uwzgl dni nieliniowo zachowa-

nia si muru mo na pos u y si modelem kontaktowym. Nale y w takim przypadku w miejscu

spodziewanego pojawienia si rysy uwzgl dni oddzia ywanie pomi dzy poszczególnymi elemen-

tami sko czonymi, opisuj c je za pomoc zwi zków konstytutywnych jak dla modelu cia a spr y-

sto–plastycznego z os abieniem. Pozwala to na przesuwanie si w z ów elementów pomi dzy

sob w taki sposób aby odda typowe dla muru mechanizmy zarysowania opisane w rozdziale

2.1.2.

Metoda dyskretnego opisu zarysowania konstrukcji murowej pozwala np. na bardzo szcze-

gó ow analiz kolejnych etapów zniszczenia, które w rzeczywisto ci s procesami o bardzo nag ej

i gwa townej naturze co w praktyce bardzo utrudnia ich obserwacj . Co prawda ten sposób mode-

lowania jest bardzo mocno zale ny od parametrów, które musz by ustalone na podstawie do-

wiadczalnych bada charakteryzuj cych si znacznym rozrzutem wyników, i w zwi zku z tym

trzeba mie mocno ograniczone zaufanie co do ilo ciowych wyników, to jednak stanowi on dosko-

na e ród o informacji pozwalaj cych lepiej zrozumie mechanizmy zniszczenia muru. [1][6]

2.4.2. Rysy pasmowe, rozmyte

Dla modeli opisuj cych rzeczywiste, o du ych wymiarach, konstrukcje jest praktycznie

niemo liwe ledzenie ka dej powstaj cej rysy indywidualnie. Zreszt tak na dobr spraw nie zaw-

sze jest to nawet konieczne. W pewnych sytuacjach wystarczy nam informacja, o pojawieniu si

rysy w danym elemencie, ewentualnie o p aszczy nie, opisuj cej jej orientacje a zdecydowanie

bardziej interesuje nas zachowanie si sp kanej ju konstrukcji. W modelu rysy rozmytej dla ele-

mentów, w których przekroczone zosta y warto ci wytrzyma o ci i powinno wyst pi zarysowanie,

modyfikuje si zale no ci pomi dzy napr eniami a odkszta ceniami w taki sposób aby jak najle-

piej opisa spadek sztywno ci i wytrzyma o ci zwi zany z faktycznie wyst puj c w nim geome-

tryczn nieci g o ci . Obszar zarysowany traktujemy wi c nadal jako o rodek ci g y, którego za-

chowanie opisujemy za pomoc klasycznej teorii napr eniowo–odkszta ceniowej. Podej cie takie

nie wymaga redefinicji siatki elementów sko czonych czy przewidywania miejsc pojawienia si

sp ka co bardzo korzystnie odbija si na efektywno ci oblicze . Nale y wspomnie , e model ten

jest zasadniczo stosowany na potrzeby analizy konstrukcji betonowych i elbetowych i w swoim

najprostszym uj ciu uwzgl dnia pojawienie si rys poprzez wprowadzenie anizotropii do pocz t-

kowo izotropowego o rodka, jednak poniewa mur jako materia kruchy pod wieloma wzgl dami

przypomina beton, to w przypadku np. konieczno ci modelowania przestrzennej pracy konstrukcji

[6], takie uproszczone podej cie mo e by bardzo przydatne i prowadzi do zupe nie satysfakcjo-

nuj cych wyników.

Jak ju wspomniano w wi kszo ci przypadków modeli rys rozmytych, zale no ci pomi dzy

napr eniami a odkszta ceniami opisane s zwi zkami teorii spr ysto ci a materia traktuje si

jako izotropowy. Gdy maksymalne napr enia g ówne przekrocz , w punkcie ca kowania elementu,


MWierszycki46

zadan wytrzyma o ci na rozci ganie, zak ada si pojawienie si , w p aszczy nie prostopad ej do

nich, rysy. W praktyce oznacza to przyj cie ortotropowego opisu materia u, gdzie po kierunku pro-

stopad ym do rysy wytrzyma o maleje, w sposób proporcjonalny do przyrostu odkszta cenia, do

zera a osie ortotropii wyznaczone s przez powsta e rysy. Metoda opisu ich zachowania si w ko-

lejnych krokach przyrostu odkszta cenia pozwala wyró ni dwa typy modelowania:

rys ustalonych,

rys obracaj cych si .

W przypadku rys ustalonych ich orientacja okre lona w chwili przekroczenia wytrzyma o ci

na rozci ganie nie zmienia si podczas trwania analizy. Mo e to prowadzi do pojawienia si na-

pr e stycznych w p aszczy nie rysy jak i prostopad ych do nich, które wraz z resztkowymi napr -

eniami normalnymi mog powodowa obrót napr e g ównych wzgl dem za o onych osi orto-

tropii. W tym nowym po o eniu mo e ponownie doj do przekroczenia wytrzyma o ci na rozci ga-

nie i konieczno ci powstania w danym punkcie ca kowania kolejnych rys.

W modelu rys obracaj cych si , bierzemy pod uwag tylko jedn ostatnio otwart rys ,

której kierunek zawsze pokrywa si z kierunkami g ównych odkszta ce i napr e . Wyklucza to

naturalnie pojawienie si napr e stycznych w zarysowanym elemencie.

W obu tych modelach mog wyst pi trudno ci numeryczne tak przy rozci ganiu jaki i ci-

skaniu ze wzgl du na odmienne algorytmy opisuj ce zarysowanie i ciskanie. Ograniczenia tego

pozbawione s rozwi zania oparte na zale no ciach teorii plastyczno ci, w których identyfikacja

rys i kierunki ich powstawania okre lane s na podstawie odkszta ce plastycznych. Posiadaj one

jednakowy algorytm opisuj cy nieliniowe zachowanie przy ciskaniu (uplastycznienie) i rozci ganiu

(zarysowanie). Jako warunek plastyczno ci jest z regu y wykorzystywana hipoteza maksymalnego

napr enia rozci gaj cego i dodatkowo uwzgl dnia si w równaniach konstytutywnych energi

p kania, okre laj c sposób dalszego otwierania si rys. Energia p kania okre la energi

Rys. 48. Wykres napr e rozci gaj cych w funkcji przemieszcze .


MWierszycki47

potrzebn na utworzenie jednostkowej powierzchni w pe ni otwartej rysy i traktowana jest jako sta a

materia owa. Jej warto mo e by obliczona na podstawie napr e rozci gaj cych w funkcji

przemieszczenia (Rys. 48).

ntf duG

Zazwyczaj stosuje si tutaj dwie energie opisuj ce odpowiednio zniszczenie dla ciskania Gfc

i rozci gania Gft, ale coraz cz ciej spotykamy modele stosuj ce cztery parametry energetyczne.

Aby w przypadku analizy metod elementów sko czonych wyniki nie by y zale ne od

wymiarów siatki okre la si maksymaln warto tzw. d ugo ci zast pczej elementu sko czonego:

2

2

t

fmaks f

EGh (12)

gdzie:

- Gf energia p kania,

- E modu spr ysto ci muru,

- ft wytrzyma o na rozci ganie.

[1][6][16]


MWierszycki48

2.5. Teoretyczne metody homogenizacji.

W omówionych w rozdziale 2.2 metodach okre lania parametrów mechanicznych muru

oraz przy omawianiu ró nych kryteriów wytrzyma o ciowych w rozdziale 2.1.3, traktowano mur jako

materia izotropowy co, jak ju wielokrotnie podkre lano, jest du ym, aczkolwiek czasami przydat-

nym lub koniecznym, uproszczeniem. W pewnych sytuacjach celowe mo e by okre lenie tylko

anizotropii spr ysto ci, albo gdy decyduj ce s kryteria wytrzyma o ci jedynie anizotropii konturu

powierzchni granicznej. Nie wolno zapomina , e dla pe nego opisu muru nale y tak e uwzgl dni

jego nieliniow charakterystyk zachowania. Analiza o rodka murowego z uwzgl dnieniem jego

anizotropii w pe nym jej zakresie jest na tyle skomplikowanym i trudnym zagadnieniem, e w litera-

turze nie wyst puj modele uwzgl dniaj ce wszystkie aspekty tego zagadnienia. Podejmowane s

nieliczne próby numerycznego modelowania muru cz cego anizotropi spr ysto ci z anizotropi

zachowania niespr ystego. Cz sto jednak, praktyczne implementacje okre lonych na podstawie

takich modeli sformu owa , wymagaj modyfikacji tak samych procedur elementowych jak

i globalnych algorytmów sterowa w systemach metody elementów sko czonych [9]. Na co dzie

próbuje si osi gn kompromis pomi dzy efektywno ci , prostot i atwo ci praktycznej imple-

mentacji, a dok adno ci , maksymalnie precyzyjnym opisem zwi zków konstytutywnych, stosowa-

nych modeli homogenizacji.

2.5.1. Za o enia metody wg J. Lopeza, S. Ollera, E. Onate i J. Lublinera

Zaproponowany przez panów J. Lopeza, S. Ollera, E. Onate i J. Lublinera [2] zhomogeni-

zowany model konstytutywny dla o rodka murowego oparty jest na zaproponowanym przez nich

wcze niej zhomogenizowanym, anizotropowym modelu spr ysto–plastycznym. W celu uwzgl d-

niania anizotropii pos u ono si fikcyjnymi, izotropowymi przestrzeniami napr e i odkszta ce .

Nast pnie odwzorowano w a ciwo ci materia u z tych fikcyjnych, izotropowych przestrzeni do do-

celowych przestrzeni anizotropowych.

Podstawowe z o enia to:

wysoko i szeroko podstawowego elementu (jednostki murowej) jest du a w po-

równaniu do jego grubo ci, co pozwala za o y p aski stan napr e dla obci enia

w ich p aszczy nie,

uk ad jednostek murowych i spoin mo e by traktowany jako ortotropowy.

Model ten bazuje na za o eniach zgodno ci odkszta ce i warunkach równowagi „modelo-

wej komórki” o rodka murowego dla ró nych przypadków obci enia (Rys. 49). Zwi zek konstytu-

tywny sformu owany jest na bazie równa równowagi i zgodno ci odkszta ce . Równania te okre-

la si dla ka dego przypadku deformacji modelowej komórki i nast pnie, korzystaj c z równa

konstytutywnych ka dego ze sk adowych modelowej komórki muru, otrzymujemy wyra enia po-

zwalaj ce opisa zale no ci pomi dzy napr eniami i odkszta ceniami ju jako zhomogenizowane

parametry mechaniczne.


MWierszycki49

Rys. 49. Oznaczenia modelowej komórki o rodka muru.

Przypadek 1.

Odpowiada ciskaniu–rozci ganiu po kierunku X (Rys. 50)

Rys. 50. Przypadek 1.

Poni ej zapisano za o enia omawianej metody dla tego przypadku.

Równania równowagi:

221122 MxMMxMMxMLxLGx hhhhh (13)

11 xMxLLM hh (14)

G

MxM

G

LxLx h

hhh 1

1 (15)

G

MxM

G

MxMx h

hhh

2

2

1

1 (16)

gdzie:


MWierszycki50

- ij odpowiada zhomogenizowanym napr eniom po i-tym kierunku dla j-tego materia-

u,

- hi to wysoko i-tej warstwy materia u.

Warunki zgodno ci odkszta ce

22 MxMGxG ll (17)

11 MxMLxLGxG lll (18)

gdzie:

- ij odpowiada zhomogenizowanym odkszta ceniom po i-tym kierunku dla j-tego mate-

ria u,

- li to d ugo i-tej warstwy materia u

oraz równania konstytutywne dla warstw materia u:pxixiixixi E (19)

pxi

ixi

xixi E

(20)

gdzie:

- pij odpowiada zhomogenizowanym odkszta ceniom plastycznym po i-tym kierunku

dla j-tego materia u,

- i to parametr zniszczenia i-tej warstwy materia u, zmniejszaj cy warto modu u Yo-

unga po przekroczeniu granicy spr ysto ci.

Przypadek 2.

Odpowiada ciskaniu–rozci ganiu po kierunku Y (Rys. 51)

Rys. 51 Przypadek 2.



MWierszycki51


2211 MyMMyMLyLGy llll (21)

22 yMyGM ll (22)

G

MyM

G

LyLy l

lll 1

1 (23)

1yMy (24)

gdzie:

- ij odpowiada zhomogenizowanym napr eniom po i-tym kierunku dla j-tego materia-

u,

- li to d ugo i-tej warstwy materia u.


22 MyMLyLGyG hhh (25)

2211 MyMMyMGyG hhh (26)

gdzie:

- ij odpowiada zhomogenizowanym odkszta ceniom po i-tym kierunku dla j-tego mate-

ria u,

- li to d ugo i-tej warstwy materia u,

oraz równania konstytutywne dla warstw materia u:pyiyiiyiyi E (27)

pyi

iyi

yiyi E

(28)

gdzie:

- pij odpowiada zhomogenizowanym odkszta ceniom plastycznym po i-tym kierunku

dla

j-tego materia u,

- i to parametr zniszczenia i-tej warstwy materia u, zmniejszaj cy warto modu u Yo-

unga po przekroczeniu granicy spr ysto ci.

Przypadek 3.

Odpowiada deformacji pod wp ywem cinania w p aszczy nie XY. Ze wzgl du na ró ne w a-

sno ci mechaniczne i wymiary geometryczne „ceg y” i warstwy „zaprawy” ulegaj ró nym od-

kszta ceniom (Rys. 52). Szukany zhomogenizowany opis zachowania modelowej komórki wy-

maga aby deformacje te by y takie same i przyrasta y liniowo.


MWierszycki52




2

1

12211 MG

MM

G

LLMMMMLLG l

lllllll (29)

G

MM

G

LL l

lll 1

1 (30)

2M (31)

gdzie:

- j odpowiada napr eniom cinaj cym w p aszczy nie XY dla j-tego materia u,

- li to d ugo i-tej warstwy materia u.


xyLxyM1 (32)

LM hh1

(33)

221122 MxyMMxyMMxyMLxyLGxyG hhhhh (34)

gdzie:

- j odpowiada k towi odkszta cenia postaciowego w p aszczy nie XY dla j-tego

materia u,

- hi to wysoko i-tej warstwy materia u

oraz równania konstytutywne dla warstw materia u:

pxyi

xyi

ixyi

pxyixyiixyii G

G (35)

Przypadek 4.

Odpowiada deformacjom poza p aszczyzn obci enia XY. Zgodnie z za o onym p askim sta-


MWierszycki53

nem napr e deformacje w p aszczyznach XZ i YZ ograniczaj si do odkszta ce wynikaj -

cych z efektu Poissona. (Rys. 53).


W przeciwie stwie do dotychczasowego post powania w tym przypadku, warto ci zhomogeni-

zowanych parametrów mechanicznych okre lamy przyjmuj c za punkt wyj cia macierz sztyw-

no ci dla materia u ortotropowego opisuj c zale no pomi dzy napr eniami i odkszta ce-

niami zhomogenizowanego materia u:

GS

G D (36)

gdzie:

- G to wektor napr e ,

- G to wektor odkszta ce ,

- DS macierz sztywno ci dla materia u ortotropowego,

zxG

yzG

xyG

yxGxyGzGyxGxzGyzGzGyzGxyGxzGzG

zxGxyGzyGyGzxGxzGyGzyGxzzGxyGyG

zyGyxGzxGxGzxGyzGyxGxGzyGyzGxG

S

GG

GD

ED

ED

ED

ED

ED

ED

ED

ED

E

D

000000000000000

0001

0001

0001

(37)

gdzie:

- zyGyxGxzGzxGyzGxyGzyGyzGzxGxzGyxGxyGD 1 . (38)

Dok adne wyprowadzenia mo na znale w pracy autorów metody [2].


MWierszycki54

2.5.2. Wzory i obliczenia zhomogenizowanych parametrów muru

Poni ej zestawiono wzory okre laj ce parametry mechaniczne w jawnej postaci dla zho-

mogenizowanego materia u.

Modu spr ysto ci pod u nej dla kierunku X:

xxL

xG DBE 1

(39)

gdzie:

GxM

M

GxL

Lx

lEl

lElD

1

1 (40)

22

2

MxM

GMxLx

L hEhlA

B (41)

21122221

121

MLxMxLMMxMxLLMxMxM

MxMxMxLxL lhEElhEElhEE

hEEEA (42)

Modu spr ysto ci pod u nej dla kierunku Y:

GyMMGyLLyL

yG hEhhEhBE

22

1 (43)

gdzie:

11

1

MyM

MGyLy

L hEhlA

B (44)

111

11

MLyLLMyM

MyMyLyL hlEhlE

lEEA (45)

Modu spr ysto ci pod u nej dla kierunku Z:

zzL

zG DBE 1

(46)

gdzie:

GzM

M

GzL

Lz

cEc

cEcD

1

3 (47)

22

2

MzM

GMzLz

L hEhcA

B (48)

21322221

121

MLxMxLMMxMxLLMxMxM

MxMxMxLzL chEEchEEchEE

hEEEA (49)

Modu odkszta calno ci postaciowej w p aszczy nie XY:

GxyMMGxyLLxyL

xyG hGhhGhAG

22

1 (50)


MWierszycki55

gdzie:

11 MxyMLxyL

GxyLxyL lGlG

lGA (51)

Modu odkszta calno ci postaciowej w p aszczy nie YX:

GyxMMGyxLLyxL

yxG lGllGlAG

11

1 (52)

gdzie:

21 MyxMLyxL

GyxLyxL hGhG

hGA (53)

Modu odkszta calno ci postaciowej w p aszczy nie XZ:

GxzMMGxzLLxzL

xzG cGccGcAG

33

1 (54)

gdzie:

11 MxzMLxzL

GxzLxzL lGlG

lGA (55)

Modu odkszta calno ci postaciowej w p aszczy nie ZX:

GzxMMGzxLLzxL

zxG lGllGlAG

11

1 (56)

gdzie:

33 MzxMLzxL

GzxLzxL cGcG

cGA (57)

Modu odkszta calno ci postaciowej w p aszczy nie ZY:

GzyMMGzyLLzyL

zyG hGhhGhAG

22

1 (58)

gdzie:

33 MzyMLzyL

GzyLzyL cGcG

cGA (59)

Modu odkszta calno ci postaciowej w p aszczy nie YZ:

GyzMMGyzLLyzL

yzG cGccGcAG

33

1 (60)

gdzie:

22 MyzMLyzL

GyzLyzL hGhG

hGA (61)


MWierszycki56

Wspó czynnik Poissona w p aszczy nie XY:

12

yGxG

xyGxyG EE

G (62)

Wspó czynnik Poissona w p aszczy nie YX:

12

xGyG

yxGyxG EE

G (63)

Wspó czynnik Poissona w p aszczy nie XZ:

12

zGxG

xzGxzG EE

G (64)

Wspó czynnik Poissona w p aszczy nie ZX:

12

xGzG

zxGzxG EE

G (65)

Wspó czynnik Poissona w p aszczy nie YZ:

12

zGyG

yzGyzG EE

G (66)

Wspó czynnik Poissona w p aszczy nie ZY

12

yGzG

zyGzyG EE

G (67)

Metoda ta i przedstawione powy ej wzory mia y stanowi punkt wyj cia dla oszacowania

zhomogenizowanych w a ciwo ci mechanicznych muru, z którego wykonana jest kopu a. Jednak

nie uda o si ustali praktycznie adnych informacji na temat parametrów mechanicznych cegie

i zaprawy z których wykonano kopu pocysterskiego ko cio a. Jedyne badanie jakie przeprowa-

dzono pod tym k tem dotyczy o wytrzyma o ci ceg y, wyj tej z muru kopu y przez doc. dr in .

M. Krzysztofiaka w 2001 roku. W jego wyniku okre lono jednak tylko klas ceg y równ 15. Na

podstawie dost pnej literatury [10][14], wg której warto ci modu u spr ysto ci cegie mieszcz si

w granicach od 7500 do 15000 MPa, w przypadku naszego muru, maj c na wzgl dzie redni

wytrzyma o ceg y, przyj to warto 9000 MPa. Za o ono, tak e izotropow struktur samych

cegie . Warto modu u Younga zaprawy jest bardzo niska, gdy w o rodku murowym spe nia ona

g ównie rol spoiwa cz cego ceg y i materia u wype niaj cego umo liwiaj cego przystosowanie

si konstrukcji murowej poddanej oddzia ywaniu takich czynników zewn trznych jak obci enie,

zmiany temperatur czy osiadania. Na podstawie informacji zaczerpni tych z literatury jego warto

mo na szacowa w granicach od 400 do 800 MPa. Jak wida obie te warto ci maj w praktyce

bardzo du y rozrzut, praktycznie 100% co powoduje, e przyj te przez nas warto s mocno

przybli one i nale y pami ta , e przybli enie to rzutuje na wszystkie otrzymane w tej pracy wyniki

modelowania kopu y oparte na obliczonych w tym rozdziale zhomogenizowanych sta ych materia-

owych.


MWierszycki57

Poni ej zestawiono przyj te warto ci wymiarów i parametrów mechanicznych cegie i za-

prawy dla modelowej komórki:

Wymiary cegie :

h1 = 0,25 m

h2 = 0,12 m

h3 = 0,065 m

Grubo ci warstw zaprawy:

g1 = 0,01 m

g2 = 0,01 m

g3 = 0,01 m

Modu Younga:

Kierunek X Kierunek Y Kierunek Z ExL = 9000 MPa EyL = 9000 MPa EzL = 9000 MPa ExM1 = 800 MPa EyM1 = 800 MPa EzM1 = 800 MPa ExM2 = 800 MPa EyM2 = 800 MPa EzM2 = 800 MPa

Tab. 2.

Wspó czynnik Poissona dla ceg y:

L = 0,167

Wspó czynnik Poissona dla zaprawy 1:

M1 = 0,167


M2 = 0,167


M3 = 0,167

Obliczone na podstawie podanych powy ej wzorów i danych wyj ciowych warto ci zhomo-

genizowanych parametrów mechanicznych modelowej komórki o rodka murowego zestawiono

w Tablicy 3.

ExG 6020,15 MPa EyG 4939,67 MPa EzG 3571,83 MPa GxyG 2882,3 MPa GyxG 2854,4 MPa GxzG 2430,6 MPa GzxG 2385,1 MPa GyzG 2164,3 MPa GzyG 2146,5 MPa

xyG 0,057 - yxG 0,047 - xzG 0,048 - zxG 0,029 - yzG 0,030 - zyG 0,022 -

Tab. 3. Obliczone zhomogenizowanych parametrów mechanicznych modelowej komórki o rodka murowego.


MWierszycki58

2.6. Do wiadczenie numeryczne z fragmentem muru

Przedstawiona w poprzednim rozdziale teoretyczna metoda homogenizacji o rodka muro-

wego panów J. Lopeza, S. Ollera, E. Onate i J. Lublinera powinna zosta potwierdzona przez

weryfikuj ce j badania eksperymentalne na rzeczywistym fragmencie muru. Jej autorzy wykonali

takie badania, które potwierdzi y poprawno zaproponowanego opisu. Z ich wynikami mo na za-

pozna si w publikacji autorów. Na potrzeby niniejszej pracy postanowiono wykona prosty eks-

peryment numeryczny, który w uproszczony sposób, pozwoli krytycznie spojrze na otrzymane,

zhomogenizowane parametry mechaniczne muru. Do wiadczenie wykonane w programie analizy

nieliniowej ABAQUS podzielono na dwie cz ci. W ka dej z nich symulowano ciskania i rozci ga-

nia w zakresie spr ystym p askiego modelu fragmentu muru o wymiarach 129,0 x 64,0 cm. Ob-

ci enie modelu realizowano na dwa sposoby:

steruj c przemieszczeniami, czyli wymuszaj c przemieszczenia kraw dzi badanego

panelu,

steruj c napr eniami, czyli przyk adaj c do jego kraw dzi równomiernie roz o one

obci enie.

W pierwszej cz ci analizowany model oddawa w uproszczony sposób rzeczywist struktur mu-

ru, podzia na jednostki murowe i warstwy zaprawy. Zastosowano izotropowy opis materia u po-

szczególnych elementów, przypisano im jednak odpowiednio ró ne wspó czynniki sztywno ci. Zre-

zygnowano z opisu kontaktu pomi dzy poszczególnymi elementami zak adaj c idealn ci g o

pomi dzy nimi. W drugiej cz ci ca y model potraktowano jako o rodek jednorodny ale opisany

jako materia ortotropowy. Na koniec na podstawie u rednionych warto ci odkszta ce i napr e

wyznaczono sta e materia owe, wspó czynniki spr ysto ci ca ego panelu oraz porównano warto ci

ca kowitej energii odkszta ce .

2.6.1. Model numeryczny fragmentu muru

P aski panel o wymiarach 129,0 x 64,0 cm zosta na potrzeby pierwszej cz ci dodatkowo

podzielony na jednostki murowe o wymiarach 25,0 x 12,0 maj ce odpowiada ceg om i warstwy

zaprawy o grubo ci równej 1,0 cm (Rys. 54). Ca o zosta a opisana siatk 8450, prostok tnych

elementów sko czonych, której struktura odpowiada uk adowi jednostek murowych i warstw spoin

przyj tego modelu (Rys. 55). Jest to wi c przyk ad omówionego w Rozdziale 2.3.1 podej cia na-

zywanego mikromodelowaniem z tym, e jak ju wspomniano zrezygnowano z opisu kontaktu na

granicach poszczególnych elementów sk adowych. Uproszczenie to niedopuszczalne w przypadku

modelowania mechanizmów zniszczenia muru czy te przy analizie w zakresie krucho–

plastycznym, jest akceptowalne w sytuacji ograniczenia si do zakresu liniowo–spr ystego pracy

materia u. Po czenie miedzy materia ami realizowane jest jako ci g e. W z y s siaduj cych ze

sob elementów reprezentuj cych zapraw i ceg y s wspólne. W drugim etapie pos u ono si

identyczn siatk jak w pierwszym. Podstawowe cechy przyj tej siatki elementów sko czonych to:



Nazwa elementu: CPS4


MWierszycki59

Kszta t elementów: 4-w z owy, pierwszego rz du, czworoboczny,

p askiego stanu napr e

Typ elementów: Napr eniowo/przemieszczeniowy

Aktywne stopnie swobody: 1 i 2 (przemieszczenia)



Rys. 54. Model fragmentu muru.

Rys. 55. Siatka elementów sko czonych modelu numerycznego fragmentu muru.

2.6.2. Materia

W pierwszej cz ci przyj to model dwumateria owego kompozytu, modeluj cego rzeczywi-

st struktur muru. Zastosowano spr ysty materia izotropowy o liniowej charakterystyce opisany

przez dwa parametry:

- wspó czynnik spr ysto ci (modu Younga) E,

- wspó czynnik Poissona


MWierszycki60

Jak wielokrotnie podkre lano w tej pracy, do pe nego opisu zachowania, a przede wszystkim

zniszczenia, o rodka murowego konieczne jest stosowanie modeli uwzgl dniaj cych jego nielinio-

w , kruch natur . Jednak ze wzgl du na to, e zakres tego do wiadczenia dotyczy tylko spr ys-

tych parametrów mechanicznych (liniowych) mo na by o zastosowa model liniowy. W Tabeli 4

podano parametry „cegie ” i „zaprawy”, których warto ci przyj to takie jak w modelu teoretycznym

(Rozdzia 2.5.2):

„Ceg a” „Zaprawa” E 9000 MPa 800 MPa

0,167 0,167 Tab. 4. Parametry mechaniczne materia ów modelu

W drugiej cz ci gdzie nie ma ju rozró nienia na dwa materia y sk adowe w panelu a ca-

o traktujemy jako o rodek jednorodny, zgodnie z teoretycznym modelem homogenizacji zasto-

sowano ekwiwalentny, ortotropowy opis muru. Najprostsz metod zdefiniowania liniowej spr y-

sto ci dla ortotropowego materia u jest opisanie jej za pomoc tzw. „sta ych in ynierskich”. W przy-

padku systemu ABAQUS istnieje taka mo liwo i za pomoc :

- trzech modu ów Younga E1, E2, E3,

- trzech wspó czynników Poissona 12, 13 i 23,

- trzech modu ów Kirchoffa G12, G13, G23

definiujemy sta e materia owe powi zane z g ównymi, prostopad ymi kierunkami materia u. Z tego

powodu konieczne by o zdefiniowanie dla elementów sko czonych modelu, uk adu wspó rz dnych

opisuj cego te kierunki. Uk ad ten przyj to w taki sposób, e pokrywa si on z osiami globalnego

uk adu wspó rz dnych (Rys 55). Warto ci tych parametrów, zestawionych w Tabeli 5 okre lone

zosta y w Rozdziale 2.5.2.

E1 6020,15 MPa E2 4939,67 MPa E3 3571,83 MPa G12 2882,3 MPa G13 2430,6 MPa G23 2164,3 MPa

12 0,057 -

13 0,048 -

23 0,030 - Tab. 5. Parametry mechaniczne materia u zhomogenizowanego

2.6.3. Analiza w zakresie spr ystym

Do wiadczenie sk ada o si z dwóch etapów. W ka dym z nich symulowano ciskania

i rozci gania w zakresie spr ystym p askiego modelu fragmentu muru.

W pierwszym etapie obci enie realizowano steruj c przemieszczeniami, wymuszaj c

przemieszczenia kraw dzi badanego panelu:


MWierszycki61

Przypadek 1.

Model ci ni to po kierunku osi 1, wymuszaj c przemieszczenia jego bocznych kraw -

dzi o 0.005 m z ka dej strony (Rys. 56), pozostawiaj c swobod odkszta ce po kierun-

ku osi 2. Wyznaczono warto ci reakcji w z owych na tych kraw dziach.

0,00

5 m

0,00

5 m


Przypadek 2.

Model ci ni to po kierunku osi 2, wymuszaj c przemieszczenia jego górnej i dolnej

kraw dzi o 0.005 m z ka dej strony (Rys. 57), pozostawiaj c swobod odkszta ce po

kierunku osi 1. Wyznaczono warto ci reakcji w z owych na tych kraw dziach.

0,005 m

0,005 mRys. 57. Przypadek 2.

Przypadek 3.

Model ci ni to po kierunku osi 1 i rozci gni to po kierunku osi 2, wymuszaj c odpo-

wiednie przemieszczenia jego wszystkich kraw dzi o 0.005 m dla ka dej z nich (Rys.

58). Wyznaczono warto ci reakcji w z owych na tych kraw dziach.


MWierszycki62

0,005 m

0,00

5 m

0,00

5 m

0,005 m


Aby wyznaczy wspó czynniki spr ysto ci ca ego panelu obliczono u rednione napr enia po

interesuj cych nas kierunkach jako sum reakcji w z owych na kraw dziach. U rednione prze-

mieszczenia po tych samych kierunkach obliczono jako stosunek wymuszonych przemieszcze do

wymiarów panelu. Na podstawie najprostszej zale no ci pomi dzy napr eniami i odkszta ceniami

wg prawa Hooka:

E (68)

wyznaczono sta e materia owe. Dodatkowo wyznaczono warto ci ca kowitej energii odkszta ce ,

któr otrzymano bezpo rednio z oblicze .

W drugim etapie obci enie realizowano steruj c napr eniami, poprzez zadawanie na

odpowiednich kraw dziach modelu równomiernie roz o onego obci enia:

Przypadek 4.

Model ci ni to po kierunku osi 1, przyk adaj c do jego lewej kraw dzi obci enie rów-

nomiernie roz o one o warto ci 0,094 MPa (Rys. 59). Warunki brzegowe prawej kraw -

dzi przyj to w taki sposób, e odebrano jej wszystkim w z om 1. i 2. stopie swobody.

Wyznaczono przemieszczenia dwóch w z ów swobodnej lewej kraw dzi: Peak-2 i Fix-2.

0,09

4 M

Pa


Przypadek 5.

Model ci ni to po kierunku osi 2, przyk adaj c do jego górnej kraw dzi obci enie

równomiernie roz o one o warto ci 0,047 MPa (Rys. 60). Warunki brzegowe dolnej

kraw dzi przyj to w taki sposób, e odebrano jej wszystkim w z om 1. i 2. stopie


MWierszycki63

swobody. Wyznaczono przemieszczenia dwóch w z ów swobodnej górnej kraw dzi:

Peak-1 i Fix-1.

0,047 MPa


Przypadek 6.

Model ci ni to po kierunku osi 2 przyk adaj c do jego górnej kraw dzi obci enie

równomiernie roz o one o warto ci 0,047 MPa i rozci gni to po kierunku osi 1, przy-

k adaj c do jego lewej kraw dzi obci enie równomiernie roz o one o warto ci 0,094

MPa (Rys. 61). W takim uk adzie obci enia trudno okre li warunki brzegowe, które

pozwala yby na poprawne przeprowadzenie modelowania. Ostatecznie przyj to, e

cztery w z y na rodkach wszystkich kraw dzi, oznaczone jako Fix-1, Fix-2, Fix-3 i Fix-

4 (Rys. 61) zostan pocz tkowo pozbawione obu stopni swobody. Natomiast w mo-

mencie rozpocz cia obci enia zostan uwolnione po kierunkach odpowiadaj cych

zadanemu na danej kraw dzi obci eniu. Wyznaczono przemieszczenia o miu w z ów

na wszystkich kraw dziach panelu: Fix-1, Fix-2, Fix-3 i Fix-4 oraz Peak-1, Peak-2, Pe-

ak-3, Peak-4.

0,047 MPa

0 047 MPa

0,09

4 M

Pa

0,09

4 M

Pa

X

X X

X


Wspó czynniki spr ysto ci dla ca ego panelu obliczono tak samo jak w pierwszym etapie, z t

ró nic , e jako u rednione napr enia przyj to zadane na kraw dziach obci enie a przemiesz-


MWierszycki64

czenia wyznaczono jako stosunek redniej pomierzonych przemieszcze do odpowiednich wymia-

rów panelu.

Wyniki obu cz ci zestawiono poni ej.

Cz pierwsza – mikromodelowanie. Etap 1. Sterowanie odkszta ceniami

Przypadek 1.

11 Reakcja EGX Energia odkszta ceniad MN MPa MPa MJ

0,01 7,75E-03 32,3715 50,58047 6524,9 1,62E-01 Tab. 6.

Przypadek 2.

22 Reakcja EGY Energia odkszta ceniad e MN MPa MPa MJ

0,01 1,56E-02 109,989 85,26279 5456,8 5,50E-01 Tab. 7.

Przypadek 3.

11 Reakcja EGX Energia odkszta ceniad e MN MPa MPa MJ

0,01 7,75E-03 25,194 39,36563 5078,222 Reakcja EGY

d e MN MPa MPa0,01 1,56E-02 103,1918 79,99364 5119,6

6,42E-01

Tab. 8.

Etap 2. Sterowanie napr eniami

Przypadek 4.

11 EGX Energia odkszta cenia m m

U rednione odkszta cenia MPa MPa MJ

Peak-2 1,82E-05 Fix-2 1,86E-05 1,44E-05

1,43E-05 0,094 6576,8 5,58E-07

Tab. 9.

Przypadek 5.

22 EGY Energia odkszta cenia m

U rednione odkszta cenia MPa MPa MJ

Peak-1 5,46E-06 8,53E-06 Fix-1 5,36E-06 8,38E-06

8,45E-06 0,047 5502,3 1,61E-07

Tab. 10.


MWierszycki65

Przypadek 6.

11 U rednione EGX Energia odkszta ceniam odkszta cenia MPa MPa MJ

Peak_1/4 1,94E-05 1,51E-05 Peak_2/3 1,94E-05 1,51E-05 Fix_2/4 1,86E-05 1,44E-05

1,48E-05 0,09375 6317,9

22 U rednione EGY

m odkszta cenia MPa MPaPeak_1/2 6,33E-06 9,89E-06 Peak_4/3 6,31E-06 9,87E-06 Fix_1/3 6,92E-06 1,08E-05

1,02E-05 0,046512 4565,1

8,27E-07

Tab. 11

Cz druga – homogenizacja. Etap 1. Sterowanie odkszta ceniami

Przypadek 1.

11 Reakcja EGX Energia odkszta ceniaD MN MPa MPa MJ

0,01 7,75E-03 29,8687 46,66984 6020,4 0,149 Tab. 12.

Przypadek 2.

22 Reakcja EGY Energia odkszta ceniaD MN MPa MPa MJ

0,01 1,56E-02 99,5622 77,18 4939,5 0,498 Tab. 13.

Przypadek 3.

11 Reakcja EGX Energia odkszta cenia

D MN MPa MPa MJ

0,01 7,75E-03 29,8687 46,66984 6020,422 Reakcja EGY

D MN MPa MPa0,01 1,56E-02 99,5622 77,18 4939,5

0,647

Tab. 14.

Przypadek 4.

11 U rednione EGX Energia odkszta ceniam Odkszta cenia MPa MPa MJ

Peak-2 2,01E-05 1,56E-05 Fix-2 2,01E-05 1,56E-05

1,56E-05 0,094 6020,1 6,03E-07

Tab. 15


MWierszycki66

Przypadek 5.

22 U rednione EGY Energia odkszta ceniam Odkszta cenia MPa MPa MJ

Peak-1 5,96E-06 9,31E-06 Fix-1 5,96E-06 9,31E-06 9,31E-06 0,047 4994,6 1,77E-07

Tab. 16.

Przypadek 6.

11 U rednione EGX Energia odkszta ceniam Odkszta cenia MPa MPa MJ

Peak-1/4 2,01E-05 1,56E-05

Peak-2/3 2,01E-05 1,56E-05

Fix-2/4 2,01E-05 1,56E-05

1,56E-05 0,094 6020,3

22 U rednione EGY

m Odkszta cenia Mpa MpaPeak-1/2 6,03E-06 9,42E-06

Peak-4/3 6,03E-06 9,42E-06

Fix-1/3 6,03E-06 9,42E-06

9,42E-06 0,047 4939,5

8,35E-07

Tab. 17.


MWierszycki67

2.7. Porównanie wyników i podsumowanie

Porównajmy teraz uzyskane rezultaty z obu cz ci eksperymentu numerycznego ze sob :

Etap 1. Sterowanie odkszta ceniami:

Przypadek 1.

Mikromodelowanie Homogenizacja


EGX = 6524,9 MPa EGX = 6020,4 MPa

Ró nica bezwzgl dna 504,47 MPa

Ró nica procentowa 8%

Energia odkszta cenia:

G = 0,162 MJ G = 0,149 MJ

Ró nica bezwzgl dna 0,013 MJ


Przypadek 2.



EGY = 5456,8 MPa EGY = 4939,5 MPa




G = 0,55 MJ G = 0,498 MJ



Przypadek 3.



EGX = 5078,2 MPa EGX = 6020,4 MPa




EGY = 5119,6 MPa EGY = 4939,5 MPa


MWierszycki68




G = 0,55 MJ G = 0,498 MJ



Etap 2. Sterowanie napr eniami

Przypadek 4.



EGX = 6576,8 MPa EGX = 6020,1 MPa




G = 5,58E-07 MJ G = 6,03E-07 MJ

Ró nica bezwzgl dna 4,47E-08


Przypadek 5.



EGY = 5502,3 MPa EGY = 4939,5 MPa




G = 1,61E-07 MJ G = 1,77E-07 MJ

Ró nica bezwzgl dna 1,59E-08 MJ


Przypadek 6.



EGX = 6142,9 MPa EGX = 6020,3 MPa




MWierszycki69


EGY = 4565,1 MPa EGY = 4939,5 MPa




G = 8,27E-07 MJ G = 8,35E-07 MJ

Ró nica bezwzgl dna 8,27E-09 MJ


Najbardziej interesuj ce jest porównanie warto ci zhomogenizowanego modu u spr ysto-

ci otrzymanych z numerycznego eksperymentu z tymi obliczonymi wg za o e teoretycznego

modelu panów J. Lopeza, S. Ollera, E. Onate i J. Lublinera (39), (43) i (46). W powy szym zesta-

wieniu wyników warto ci modu ów Younga uzyskane w drugiej cz ci eksperymentu, z wykorzy-

staniem modelu zhomogenizowanego, w sposób idealny odpowiadaj warto ciom wyliczonym w

rozdziale 2.5.2, co nie jest adnym zaskoczeniem. Warto ci te zosta y podane w tym przypadku w

sposób jawny, jako parametry ortotropowego materia u i ich idealna zgodno wiadczy o popraw-

no ci przeprowadzonej symulacji. Bardzo interesuj ce jest za to porównanie warto ci ca kowitej

energii odkszta cenia, która daje szanse porównania ze sob koncepcji mikro i makromodelowania.

Ró nice pomi dzy odpowiadaj cymi sobie warto ciami zhomogenizowanych modu ów

spr ysto ci okre lonych dla osiowego ciskania s niewielkie i zawieraj si w granicach 8 10%.

Podobne ró nice wykazuj obliczone podczas eksperymentu warto ci ca kowitej energii odkszta -

cenia. Troch inaczej wygl da sytuacja dla stanów dwuosiowych. O ile warto ci ca kowitej energii

odkszta cenia ró ni si od siebie w wyj tkowo ma ym stopniu (ok. 1%) to zhomogenizowane mo-

du y spr ysto ci zdaj si zale e od znaku napr e . W przypadku 3, w którym model ci ni to

po kierunku osi 1 i rozci gni to po kierunku osi 2, warto ci modu u Younga dla kierunku 2. ró ni

si o prawie 17 %, z kolei dla kierunku 1 uzyskano wynik wyra ne lepszy ni w stanach jednoosio-

wych z ró nic 4 %. Natomiast gdy w przypadku 6 model ci ni to po kierunku osi 2 i rozci gni to

po kierunku osi 1 sytuacja si niejako odwróci a. Warto ci zhomogenizowanego modu u spr ysto-

ci dla kierunku 1 ró ni y si mi dzy sob tylko o 2 % za to dla kierunku 2 a o 8 %, co nie odbiega

w zasadzie od redniej ró nicy w ca ym do wiadczeniu, ale wyra nie wida rozrzut pomi dzy war-

to ciami dla danego kierunku.

Ró nice pomi dzy odpowiadaj cymi sobie warto ciami modu ów spr ysto ci z cz ci

pierwszej i drugiej do wiadczenia dla stanów jednoosiowych s bardzo ma e i wynosz ok. 1%.

wiadczy to o wystarczaj cej reprezentatywno ci numerycznej z punktu widzenia homogenizacji

zaproponowanego fragmentu muru.

Jak wida wi c rozbie no ci pomi dzy modelem teoretycznym a wirtualnym eksperymen-

tem s mniejsze ni 10 %. Nie jest to du o i mo na uzna , e stanowi to potwierdzenie poprawno-

ci teoretycznego modelu homogenizacji. Podobne ró nice, a w przypadkach dwuosiowych prak-


MWierszycki70

tycznie ich brak, uzyskano dla warto ci ca kowitej energii odkszta cenia. Je eli wi c przyj kryte-

rium energetyczne jako kryterium porównawcze metod mikro i makromodelowania, mo na powie-

dzie , e stosowanie ujednoliconego, zhomogenizowanego o rodka zast pczego, b d cego

uproszczeniem rzeczywistego uk adu kompozytowego, jest rozs dnym kompromisem pomi dzy

dok adno ci a efektywno ci oblicze . Tak wi c model ekwiwalentnego materia u mo e stanowi

bardzo atrakcyjn , z punku widzenia praktyki in ynierskiej, metod opisu o rodka murowego.

Wyznaczmy te dla porównania warto ci zhomogenizowanych modu ów spr ysto ci wg

wzorów empirycznych podanych w rozdziale 2.2. Przyjmijmy dane wyj ciowe tak, aby nawi zywa y

do tych przyj tych w modelu teoretycznym i eksperymencie numerycznym:

- Modu spr ysto ci pod u nej ceg y Eb 9000 MPa

- Modu spr ysto ci pod u nej zaprawy Em 800 MPa

- Wysoko ceg y hb 0,12 m

- Grubo warstwy zaprawy hm 0,01 m

Dla wzoru (10) podawanego przez Matyska [8]:

bEE25,1

125,1

0,1201,012,0

m

m

hh

25,118009000

m

b

EE

900025,110,1225,110,1225,1E

E 5485,71 MPa

i Brooksa [8] (11):

mb EEE14,086,01

14,086,0 bm

mb

EEEE

E

14,0900086,08008009000E

E 3696,1 MPa

W przypadku wzoru Brooksa wyznaczona warto modu u spr ysto ci w znacz cy sposób odbie-

ga od rezultatów uzyskanych tak z eksperymentu jak i modelu teoretycznego. Przyczyn tego mo-

e by brak mo liwo ci uwzgl dnienia w nim zale no ci geometrycznych pomi dzy zapraw i ce-

g . Modu spr ysto ci uzyskany z wzoru Matyska, który oprócz stosunku modu u spr ysto ci

elementu murowego do modu u spr ysto ci zaprawy uwzgl dnia tak e stosunek wysoko ci ele-

mentu murowego do grubo ci spoiny jest warto ci po redni pomi dzy warto ciami modu u Yo-


MWierszycki71

unga dla kierunku X i Y obliczonymi wg modelu teoretycznego i ustalonymi na drodze numerycz-

nego eksperymentu. Wzór ten (10) mo e wi c stanowi dobre przybli enie do szacowania warto ci

modu u spr ysto ci pod u nej o rodka murowego dla potrzeb oblicze in ynierskich.


MWierszycki72

3. Warunki brzegowe Geometrie modelu numerycznego mo na w dzisiejszych systemach CAD wykona z tak

dok adno ci , e przynajmniej teoretycznie ten etap analizy metod elementów sko czonych nie

stanowi problemu. Nale y przy tym pami ta , e dok adno nie musi by jednoznaczna z wierno-

ci w stosunku do orygina u. Matematyczne opisy zwi zków konstytutywnych czy mechanizmów

zniszczenia stosowanych modeli materia ów s na tyle zaawansowane, e pozwalaj na wystar-

czaj co dok adne scharakteryzowanie zachowania tak k opotliwych materia ów jak np. mur. Po-

dobnie rozwijane od ponad 20 lat metody numeryczne, nowoopracowane jak i ci gle rozwijane

rodzaje elementów sko czonych, daj nam do r ki naprawd niezwykle pot ne narz dzie obli-

czeniowe. Jednak jak doskona ej geometrii by my nie opracowali, zaawansowanych modeli mate-

ria u nie przyj li i z o onych procedur obliczeniowych nie stosowali, nasz coraz bli szy idea owi

model numeryczny jest zawsze sko czony. Musi mie swój koniec. Problem opisu warunków brze-

gowych jest jedn z zasadniczych trudno ci w metodzie elementów sko czonych a ich wp yw na

wyniki, jedn z jej zasadniczych wad. Cz sto gdy interesuj ce nas zjawiska maj miejsce w bliskim

ich s siedztwie okazuje si , e wr cz nie sposób uzyska sensownych wyników. Jednym z naj-

prostszych sposobów rozwi zania tego problemu jest „ucieczka” z warunkami brzegowymi jak naj-

dalej od interesuj cego nas fragmentu modelu. Prowadzi to niestety prawie zawsze do powa nego

zwi kszenia rozmiarów zadania co niesie ze sob kolejne trudno ci innej ju zupe nie natury

a przede wszystkim nie zawsze jest to mo liwe. Czasami jednak najzwyczajniej brak informacji na

temat tego co si zaczyna tam, gdzie ko czy si nasz model.

B d ca tematem niniejszej pracy kopu a oparta jest na czterech pot nych filarach

o wysoko ci ponad 14 metrów i wier kolistym przekroju o wymiarach 4,05 na 4,05 metra oraz

rozpi tych mi dzy nimi arkadach. Podane wy ej informacje to jednak tylko to, co wida .


MWierszycki73

3.1 Obliczenia modelu filara

Cztery murowane filary, b d ce dominuj cym elementem, tak architektonicznego uk adu

wn trza ko cio a jak i jego uk adu statycznego, s zarazem elementami przenosz cymi ca y ci ar

pionowy kopu y na fundamenty i stanow g ówny element konstrukcyjny jej podparcia. Charaktery-

styki tych podpór maj wi c kluczowe znaczenie dla poprawno ci sformu owania warunków brze-

gowych naszego modelu a najbardziej interesuj ce dla nas s ich podatno ci w kierunkach piono-

wym i poziomym.

W celu okre lenia tych parametrów przeprowadzono, w rodowisku programu analizy me-

tod elementów sko czonych ABAQUS, ma y eksperyment numeryczny dla uproszczonego mode-

lu filara. O ile geometria tego modelu do wiernie oddaje rzeczywist geometri filara o tyle linio-

wo–spr ysty, izotropowy materia jaki zastosowano do opisu muru na pewno jest powa nym

uproszczeniem. Jednak ze wzgl du na to, e celem tego do wiadczenia by o jedynie oszacowanie

spr ystych (liniowych) parametrów sztywno ci filara jako podpory, mo na przysta na takie

uproszczenie. Podczas modelowania obserwowano zachowanie si filara pod wp ywem jednost-

kowego obci enia i na podstawie wyznaczonych pionowych i poziomych przemieszcze jego

górnej kraw dzi, oszacowano jego podatno .

3.1.1 Model numeryczny filara

a b c

Rys. 62 Model numeryczny filara: a – geometria modelu, b – siatka elemnetów sko czonych c – obci enie i warunki brzegowe modelu; Ref Pt – punkt referencyjny.

Filar potraktowano jako „belk ” wspornikow (Rys. 62a) utwierdzon u podstawy o wyso-

ko ci 14,72 m i przekroju wier kolistym o nast puj cych parametrach geometrycznych:

- Pole: 12,2878 m2

- Obwód: 15,8189 m


MWierszycki74

- Wymiary: 4,05 x 4,05 m

- rodek ci ko ci: X: 1,6808

Y: 1,6808

- Momenty bezw adno ci: X: 48,2717 m4

Y: 48,2717 m4

- Promienie bezw adno ci.: X: 1,9820 m

Y: 1,9820 m.

Dok adn geometri przyj tego modelu filara przedstawiono w Za czniku 1 - Rys 1. Na modelu

rozpi to w oparciu o 5502 w z y strukturaln siatk 4387 przestrzennych elementów (Rys. 62b).

W celu przy o enie jednostkowej si y do górnej powierzchni filara powi zano z ni , na sztywno

w sposób trwa y, p aski sztywny element o geometrii odpowiadaj cej rzutowi ciany opieraj cej si

w naszym modelu na filarze. Sztywne cia o reprezentowane jest w rodowisku systemu elementów

sko czonych poprzez tzw. „punkt referencyjny” (Rys. 62). Ze wzgl du na brak odkszta calno ci

w przypadku analizy napr eniowo–przemieszczeniowej, zachowanie si ca ego cia a mo e by

opisane za pomoc jednego punktu i jego sze ciu (dla zadania 3D) stopni swobody: trzech prze-

mieszcze i trzech obrotów. Element ten podzielono na 52 elementy sko czone typu R3D4 i z jego

pomoc zrealizowano rozk ad przy o onej si y. Podstawowe dane geometryczne tego elementu:

- Pole: 4,1193 m2

- Obwód: 12,8825 m

Podstaw filara traktujemy jako ca kowicie utwierdzon co zrealizowano odbieraj c w z om znajdu-

j cym si na jego dolnej powierzchni wszystkie trzy stopnie swobody. Podstawowe cechy przyj tej

siatki elementów sko czonych ca ego modelu (Rys. 62b):



Nazwa elementu filara: C3D8

Kszta t elementu filara: 8-w z owy, pierwszego rz du, sze cienny

Typ elementu filara: napr eniowo/przemieszczeniowy


Nazwa elementu sztywnego: R3D4

Kszta t elementu sztywnego: 4-w z owy, pierwszego rz du, czworoboczny

Typ elementu sztywnego: sztywny




3.1.2 Materia

Zastosowano spr ysty materia izotropowy o liniowej charakterystyce opisany przez dwa

parametry:

- wspó czynnik spr ysto ci (modu Younga) E,

- wspó czynnik Poissona


MWierszycki75

Parametry materia u przyj to na podstawie wyznaczonych w Rozdziale 2.5.2 warto ci

zhomogenizowanych a ich warto ci podano w Tabeli 18:

„Mur” E 5500 MPa

0,167Tab. 18.

3.1.3 Analiza w zakresie spr ystym

W ramach do wiadczenia wykonano modelowanie trzech przypadków obci enia jednost-

kow si , przy o on do punktu referencyjnego sztywnej powierzchni rozk adaj cej j w sposób

równomierny na górn cz filara. W trakcie analizy okre lono przemieszczenia trzech punktów

górnej powierzchni filara (Rys 62c) po kierunku pionowym i obu kierunkach poziomych.

Przypadek 1.

Si jednostkow przy o ono do punktu referencyjnego po kierunku 1 (poziomo).

Przypadek 2.

Si jednostkow przy o ono do punktu referencyjnego po kierunku 3 (poziomo).

Przypadek 3.

Si jednostkow przy o ono do punktu referencyjnego po kierunku 2 (pionowo).

Na podstawie u rednionych przemieszcze trzech punktów w odpowiednich kierunkach wyzna-

czono podatno podpory – filara jako stosunek przemieszczenia do przy o onego obci enia. Dla

obci enia jednostkowego podatno jest równa u rednionemu przemieszczeniu.

Wyniki oblicze przedstawiono poni ej.

Przypadek 1 (kierunek 1)

Obci enie: 1,0 MN

Przemieszczenie:

Punkt 1: -1,63E-02 m

Punkt 2: -1,61E-02 m

Punkt 3: -1,62E-02 m

Podatno : 1,62E-02 m/MN


Obci enie: 1,0 MN

Przemieszczenie:

Punkt 1: 1,63E-02 m

Punkt 2: 1,62E-02 m

Punkt 3: 1,65E-02 m



MWierszycki76


Obci enie: 1,0 MN

Przemieszczenie:

Punkt 1: -3,39E-03

Punkt 2: -3,26E-03

Punkt 3: -3,41E-03


3.1.4 Porównanie wyników i podsumowanie

Dla naszego modelu kopu y, której obj to to ok. 255,74 m3 a g sto ci muru to 18 kN/m3,

szacunkowe obci enie pionowe przypadaj ce na jeden filar wynosi:

1150,864

0,1874,255kN 15,1 MN

Jak wynika z obliczonych w tym do wiadczeniu podatno ci filara jako podpory kopu y, jego ugi cie

pod wp ywem przekazywanego na niego ci aru powinno zawiera si w granicach kilku, 3 4 mi-

limetrów co przy rozpi to ci mi dzy filarami wynosz cej ponad 14,0 i 16,0 metrów pozwala okre li

filary jako bardzo ma o podatne.

Mo na by w tym momencie powiedzie , e praktycznie ca e to do wiadczenie nie mia o

wi kszego sensu, gdy tak na dobr spraw nawet intuicyjnie mo na by o za o y , e murowany

filar

o wymiarach przekroju ponad cztery na cztery metry musi by praktycznie nie podatny. Na po-

twierdzenie tego mo na by wykona proste obliczenia, w których korzystaj c ze wzoru na wyd u-

enie dla ciskanego–rozci ganego elementu pr towego, oszacowaliby my podatno filara –

podpory:

AEhPu

gdzie:

- P si a ciskaj ca filar – pr t w MN,

- h wysoko filara – pr ta w m,

- E wspó czynnik spr ysto pod u nej w MPa,

- A pole przekroju filara – pr ta w m2.

Dla danych geometrycznych i materia owych jak dla naszego filara i jednostkowej si y podatno ta

wynosi:

MNm04-2,230E

12550072,141k ,

co jak wida jest warto ci o rz d wielko ci mniejsz ni wyniki uzyskane z oblicze dla trójwymia-

rowego modelu MES. Wida tu jak dla takiego modelu, o du ej powierzchni przekroju w stosunku

do jego wysoko ci, istotny wp yw maj odkszta cenia wynikaj ce z jego odkszta calno ci postacio-

wej.


MWierszycki77

Z jednej strony, ju na tym prostym przyk adzie wida korzy ci wynikaj ce ze stosowania

analizy metod elementów sko czonych nawet dla tak prostych zada , z drugiej za jak trudne s

w obliczeniach zabytkowe obiekty, o bardzo cz sto masywnych uk adach statycznych je eli pos u-

giwaliby my si klasycznymi analogiami np. pr towymi.


MWierszycki78

3.2 Przyj ty model podparcia

Jak ju wspomniano w Rozdziale 1. nigdy nie przeprowadzono dok adnej inwentaryzacji

ko cio a w Owi skach a wykonane pomiary geodezyjne dotyczy y tylko wewn trznego sklepienia

kopu y. Na podstawie dost pnych danych bardzo trudno ustali szczegó y konstrukcji ko cio a a co

za tym idzie odtworzy w modelu numerycznym kopu y sposób jej podparcia. Modelowanie kopu y

razem z podpieraj cymi j filarami tylko pozornie mog oby stanowi rozwi zanie problemu, za to

powoduje powa ne zwi kszenia zdania. Jak wykazano w poprzednim rozdziale, filar jako podpora

wykazuje minimaln podatno . Ze wzgl du na stosunek grubo ci, szacowanej maksymalnie na

70 cm, niskiej ciany , na której oparta jest kopu a, do ponad czterometrowego przekroju podpiera-

j cego j filara, nie sposób za o y jakiejkolwiek wspó pracy tych dwóch elementów, szczególnie

gdy uwzgl dnimy, e jest to konstrukcja murowana o niewielkiej wytrzyma o ci na zginanie. Trudno

wi c zak ada , e oszacowane w poprzednim rozdziale podatno ci poziome filara – podpory, mo -

na przyj jako charakterystyki podatno ci dla poziomych podpór kopu y. Ostatecznie za o ono e

kopu a le y na niepodatnej p aszczy nie utworzonej przez filary i rozpi te mi dzy nimi arkady, któ-

re jako ceglane uki, pracuj ce zasadniczo na ciskanie, równie wykazuj spor sztywno . Kolej-

nym podstawowym pytaniem, na które nale a o sobie odpowiedzie by o czy dolna kraw d kopu y

ma swobod poziomych przemieszcze . Wokó nawy g ównej wyznaczonej przez cztery filary pod-

pieraj ce kopu , rozmieszczone s prostok tne prz s a tworz ce obej cie, w którym od wschod-

niej strony mamy prezbiterium, zachodniej chór a po stronie pó nocnej i po udniowej znajduj si

nawy boczne. Bior c pod uwag , e sklepienia tych obej stanowi integraln cz konstrukcji

podpieraj cej kopu mo na za o y , e ca o konstrukcji poni ej kopu y jest na tyle sztywna, e

przeciwdzia a poziomym odkszta ceniom na wysoko ci dolnej kraw dzi ciany na której jest ona

wsparta.

Ostateczny model przyj tych warunków brzegowych symuluje pe ne utwierdzenie dolnej

cz ci ciany podpieraj cej kopu . W z om znajduj cym si na jej dolnej cz ci odebrano wszyst-

kie trzy stopnie swobody.


MWierszycki79

4. Obliczenia modelu numerycznego kopu y. W trzech poprzednich rozdzia ach tej pracy omówiono zasadnicze etapy tworzenia modelu

numerycznego kopu y. W Rozdziale 1 omówiono przygotowanie geometrii naszego obiektu. Usta-

lenia podstawowych parametrów fizycznych materia u – muru, z którego wykonana jest konstrukcja

i przyj cie zwi zku konstytutywnego opisuj cego jego zachowanie, dotyczy Rozdzia 2. Proble-

mem podparcia kopu y a wi c przyj ciem warunków brzegowych modelu, które maj jak najwier-

niej oddawa rzeczywisty charakter jej pracy po wi cono poprzedni, trzeci Rozdzia . Zrealizowali-

my wi c wszystkie wspomniane we wst pie etapy, konieczne do przygotowania modelu nume-

rycznego. Ostatnim etapem b dzie wi c, na podstawie uzyskanych wyników i poczynionych za o-

e , utworzenie w rodowisku ABAQUS numerycznego modelu kopu y ko cio a w Owi skach

i przeprowadzanie oblicze .

ABAQUS jest pot nym rodowiskiem analizy metod elementów sko czonych, rozwija-

nym od ponad 20 lat przez ameryka sk firm HKS, Inc. (Hibbitt, Karlsson, & Sorensen, Inc). Ser-

cem systemu s dwa modu y obliczeniowy tzw. solvery:

ABAQUS/Standard, który jest programem MES ogólnego przeznaczenia,

ABAQUS/Explicit, pozwalaj cy na symulowanie zjawisk o wybitnie dyna-

micznym charakterze.

Te dwa nawzajem uzupe niaj ce si i w du ym stopniu zintegrowane narz dzia pozwalaj na

przeprowadzanie praktycznie dowolnych symulacji in ynierskich, poczynaj c od relatywnie pro-

stych problemów liniowych a ko cz c na, stanowi cych czasami prawdziwe wyzwanie, niezwykle

skomplikowanych, nieliniowych symulacjach. ABAQUS zawiera wyj tkowo bogat bibliotek ele-

mentów sko czonych, b d cych cz sto w asnymi opracowaniami autorów systemu, które pozwala-

j na odtworzenie praktycznie dowolnej geometrii. Równie rozbudowana jest lista mo liwych do

zastosowania modeli materia ów, daj cych szans opisu zachowania, nie tylko typowych materia-

ów stosowanych w praktyce in ynierskiej, ale i tych sprawiaj cych powa ne k opoty obliczeniowe

jak beton, ska a, grunt czy mur. ABAQUS/Standard pomy lany jako narz dzie ogólnego przezna-

czenia pozwala na analiz znacznie szerszej gamy problemów ni tylko zagadnie napr eniowo–

przemieszczeniowych. Obszar jego zastosowa obejmuje problematyk przep ywu ciep a, mecha-

nik gruntów, akustyk i wiele innych. Jedn z podstawowych cech wyró niaj cych ABAQUSa

spo ród innych systemów MES jest, le ca u jego podstaw, zaawansowana implementacja analizy

nieliniowej. Dzi ki temu, e ABAQUS automatycznie tak dobiera odpowiednie przyrosty obci enia

, tolerancje i warunki zbie no ci, aby w jak najbardziej efektywny sposób uzyska dok adne roz-

wi zanie, u ytkownik rzadko kiedy musi, a z regu y wr cz nie powinien, ingerowa w ten proces.

[16][17]


MWierszycki80

4.1. Tworzenie modelu w rodowisku ABAQUS

Dok adny opis etapu budowania numerycznego modelu geometrii kopu y ko cio a w Owi -

skach przedstawiono w pierwszym rozdziale tej pracy. Przypomnijmy tylko zasadnicze parametry

przyj tej siatki elementów sko czonych modelu kopu y:



Nazwa elementu: C3D10

Kszta t elementów: 10-w z owy, drugiego rz du, czworo cienny,

przestrzenny

Typ elementów: napr eniowo/przemieszczeniowy




W Rozdziale 2. szeroko omówiono zagadnienia zwi zane z problematyk matematyczne-

go opisu zachowania si muru. Przedstawiono podstawowe, stosowane w praktyce modele nume-

ryczne o rodka murowego jak i metody opisu zarysowania tego materia u. Na podstawie teorii ho-

mogenizacji oszacowano parametry mechaniczne muru kopu y.

W poprzednim rozdziale starali my si odpowiedzie na pytanie jak okre li warunki brze-

gowe naszego modelu.

Kolejnym etapem naszej pracy by o zaimplementowanie jednego z zaproponowanych

w drugim rozdziale modeli materia u. Podstawowym kryterium wyboru by o jak najlepsze oddanie

specyfiki muru jako kruchego materia u nieliniowego.

Obliczenia wykonywano w ABAQUSie w wersji 6.1 na system IRIX 6.2 zainstalowanym na

Komputer SGI Power Challenge. Jest to komputer o wieloprocesorowej (12 procesorów) architek-

turze symetrycznej SMP (Symmetrical Multi Processing), zaprojektowany specjalnie dla celów obli-

cze naukowych wymagaj cych du ej mocy, takich jak nasze modelowanie kopu y. Architektura

64-bitowa pozwala na realizacj wymaga co do du ych obszarów pami ci (1 GB) oraz du ych

rozmiarów plików (80,9 GB), jakie stawiane s przed takimi systemami. Symetryczne przetwarza-

nie równoleg e pozwala na skuteczne wykorzystanie równoleg ego charakteru wielu zada oblicze-

niowych.

4.1.1. Przyj ty model materia u spr ysto–kruchego

Ze wzgl du na wielo i stopie skomplikowania geometrii jedynym rozwi zaniem by o za-

stosowanie idei makromodelowania. Chc c wi c uwzgl dni dwumateria ow struktur muru najle-

piej by oby zastosowa ortotropowy opis materia u, co wymaga w przypadku modelowania w ro-

dowisku ABAQUS okre lenia osi tej ortotropii dla poszczególnych elementów. Dla prostych geome-

trycznie zada nie stanowi to problemu i tak metod zastosowano w przypadku analizy fragmentu

muru omówionej w Rozdziale 2.6. Jednak dla ca ej kopu y jest to niemo liwe z powodu rozmiarów

zadania, które znaczenie przekracza oby mo liwo ci obliczeniowe dost pnego sprz tu kompute-


MWierszycki81

rowego. Poniewa zasadniczym celem tej pracy by a analiza sp ka kopu y, kluczow wag przy-

wi zano do jak najlepszego opisu zachowania si konstrukcji w takim w a nie stanie. Tutaj równie

wymiary modelowanego obiektu nie pozostawia y z udze i jedyn mo liw do zastosowania me-

tod modelowania zarysowania by y rysy rozmyte, której ogólne za o enia przedstawiono w Roz-

dziale 2.4.2. System ABAQUS oferuje model materia u CONCRETE z zaimplementowanym me-

chanizmem opisu sp kania wg rys rozmytych dla kruchych materia ów. Dodatkowo pozwala on na

opis zachowania materia u w sposób nieliniowy co w przypadku muru jest niezwykle wa ne. Jedy-

nym ograniczeniem z jakim wi za o si przyj cie tego modelu materia u by brak mo liwo ci opisu

jego ortotropii. Jednak poniewa , ze wspomnianych wy ej powodów, zastosowanie ortotropii w

praktyce wi za o by si i tak z powa nymi k opotami, zdecydowanie bardziej cenn jest mo liwo

analizy zachowania sp kanej ju konstrukcji.

Model materia u CONCRETE dost pny w rodowisku ABAQUS powsta na potrzeby analiz

konstrukcji betonowych a w a ciwie elbetowych. Pozwala on na atwe czenie opisu zachowania

si samego betonu, jako materia u charakteryzuj cego si os abieniem po przekroczeniu granicy

wytrzyma o ci na ciskanie i kruchym p kaniem na skutek rozci gania i elementów zbrojenia, któ-

rych opis odpowiada zachowaniu stali. W naszym przypadku najbardziej interesuj ca jest wi c

mo liwo modelowania zachowania kruchego materia u z uwzgl dnieniem jego sp kania.

Do opisu tego sp kania zastosowano model rys rozmytych, której ogólne za o enia przed-

stawiono w Rozdziale 2.4.2. Implementacja tego modelu w przypadku materia u CONCRETE, za-

k ada pojawienie si rys w momencie gdy napr enia osi gn warto ci graniczne, okre lone za

pomoc powierzchni zniszczenia, tzw. „crack detection surface”. Jako kryterium zniszczenia – sp -

kania zastosowano to omówione w Rozdziale 2.1.2 kryterium Rankine’a. W momencie pojawienia

si rys, zgodnie z modelem rys rozmytych, do opisu zachowania si materia u wprowadzona zosta-

je anizotropia pozwalaj ca na uwzgl dnienie spadku, w sposób proporcjonalny do przyrostu od-

kszta cenia, wytrzyma o ci po kierunku prostopad ym do powsta ej rysy, do zera. Materia ma jed-

nak nadal mo liwo przenoszenia ciskania, poniewa gdy warto ci napr e zmieni znak, za-

k adamy ca kowite zamkni cie rys. Jak pami tamy, osie tej ortotropii wyznaczone s przez p asz-

czyzny powsta ych rys a ich orientacja okre lona w chwili przekroczenia wytrzyma o ci na rozci -

ganie nie zmienia si podczas trwania analizy. Prowadzi to mo e do obrotu napr e g ównych

wzgl dem za o onych osi ortotropii. Gdy w nowym po o eniu ponownie dojdzie do przekroczenia

wytrzyma o ci na rozci ganie w punktach ca kowania powstan kolejne rysy. Taki sposób modelo-

wania rys rozmytych okre lali my jako ustalony.

Gdy dominuj cym stanem napr e jest ciskanie, zachowanie betonu opisano jako spr -

ysto–plastyczne. W pocz tkowej fazie ciskania zachowanie materia u opisane jest jako spr y-

ste, a jego charakterystyki zdefiniowane s za pomoc dwóch parametrów:

- wspó czynnika spr ysto ci pod u nej (modu u Younga) E,

- wspó czynnika Poissona

Warto ci, przyj te na podstawie wyznaczonych w Rozdziale 2.5.2 parametrów zhomogenizowa-

nych, podano w Tabeli 19:


MWierszycki82

„Mur” E 5500 MPa

0,167Tab. 19.

Przy dalszym wzro cie napr e , zaczynaj pojawia si w murze mikrosp kania co powoduje

powstawanie niespr ystych, trwa ych odkszta ce powoduj cych os abienie materia u. Definicj

tego os abienia okre lamy jako stabelaryzowan funkcj zale no ci napr e ciskaj cych i od-

kszta ce plastycznych. Warto ci i argumenty tej funkcji powinny zosta okre lone na drodze eks-

perymentalnej, najlepiej na próbce modelowanego materia u. W naszym przypadku nie uda o si

uzyska takich danych a jedyna informacja jaka by a dost pna to przybli ona klasa ceg y – 15. Na

tej podstawie oraz dost pnej literatury [6][10][11] za o ono pewien model materia u. Przyj t dla

naszego modelu funkcj przedstawiono poni ej w postaci tabeli (Tab. 20) i wykresu (Rys. 62).

tot MPa pl0,00E+00 0,009,15E-05 0,50 0 1,65E-04 0,85 1,05E-05 2,50E-04 1,16 3,87E-05 3,40E-04 1,39 8,71E-05 5,26E-04 1,72 2,13E-04 7,14E-04 1,80 3,87E-04 1,07E-03 1,63 7,74E-04 1,50E-03 0,77 1,35E-03

Tab. 20 Charakterystyka przyj tego modelu muru

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

0,0E+00 2,0E-04 4,0E-04 6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03 1,2E-03 1,4E-03 1,6E-03

MPa

Rys. 62 Model muru. Krzywa napre enia-odksztalcenia

W stanie wieloosiowego ciskania do opisu zachowania zastosowano koncepcj po-

wierzchni zniszczenia i p yni cia w przestrzeni napr e . A eby zdefiniowa kszta t powierzchni

zniszczenia zastosowano cztery parametry opisuj ce:


MWierszycki83

- stosunek granicznych napr e ciskaj cych w stanie dwuosiowym do granicznych

napr e ciskaj cych w stanie jednoosiowym

1

2

c

c

ff

, (69)

- warto bezwzgl dna stosunku granicznych napr e rozci gaj cych w stanie jedno-

osiowym do granicznych napr e ciskaj cych w stanie jednoosiowym

1

1

c

t

ff

, (70)

- stosunek warto ci g ównych sk adowych plastycznych odkszta ce dla granicznych na-

pr e ciskaj cych w stanie dwuosiowym do plastycznych odkszta ce dla granicz-

nych napr e ciskaj cych w stanie jednoosiowym

1

2

p

p , (71)

- stosunek g ównego napr enia rozci gaj cego przy sp kaniu, w p aszczy nie napr -

e , kiedy pozosta e napr enia g ówne osi gaj warto ci graniczne dla ciskania, do

napr e rozci gaj cych przy sp kaniu dla jednoosiowego ciskania.

1

2

t

t

ff

. (72)

Krzyw reprezentuj c t powierzchni w p aszczy nie napr e przedstawiono na Rys. 63.

Rys. 63. Powierzchnia zniszczenia w p aszczy nie napr e .


MWierszycki84

Dla poprawnego okre lenia tych parametrów konieczne jest przeprowadzenie co najmniej

dwóch eksperymentów:

- jednoosiowego ciskania,

- jednoosiowego rozci gania,

a eby wykalibrowa najprostszy model tego materia u. Na podstawie dost pnej literatury [6] mo na

stwierdzi , e w przypadku eksperymentalnego okre lenia tych parametrów mo na w bardzo pre-

cyzyjny sposób opisa zachowanie si materia u. Niestety na potrzeby naszej symulacji nie uda o

si przeprowadzi takich bada . Warto ci podanych wy ej parametrów przyj to na podstawie in-

formacji zachowania si muru w ró nych stanach napr e dost pnych w literaturze [1],[17]. Wy-

nosz one odpowiednio:

- dla:

16,11

2

c

c

ff

,

- dla:

09,01

1

c

t

ff

,

- dla:

28,11

2

p

p ,

- dla:

31

1

2

t

t

ff

.

Zachowanie si po sp kaniu opisane jest za pomoc tzw. sztywno ci na rozci ganie, ang.

„tension stiffening”. Okre la ona przyrost napr e dla jednoosiowego rozci gania w funkcji nie-

spr ystych odkszta ce . Funkcj t podajemy w postaci stabelaryzowanej, okre lon za pomoc

dwóch parametrów:

- cz napr e pozosta ych po sp kaniu,

- warto bezwzgl dna ró nicy ca kowitych odkszta ce do odkszta ce przy sp kaniu.

W przypadku muru parametr ten w a ciwie nie ma sensu, gdy trudno zak ada pojawienie si

jakichkolwiek napr e po kierunku prostopad ym do powsta ej rysy. Zupe nie inaczej sprawa wy-

gl da w przypadku zbrojonego betonu, dla którego ten typ materia u zosta zasadniczo opracowa-

ny. Jednak ze wzgl du na numeryczn stabilno ci zadania nale a o za o y pewn ma warto

sztywno ci na rozci ganie, której stabelaryzowany opis przedstawiono w Tab. 21.

MPa pl1 0 0 0,0001

Tab. 21. Definicja sztywno ci na rozci ganie


MWierszycki85

Poniewa podstawowym obci eniem kopu y jest jej ci ar w asny nale a o jeszcze okre-

li g sto muru. Tutaj równie ze wzgl du na brak informacji o stanie faktycznym przyj to za

literatur [10][11] warto 18 kN/m3. [16][17]


MWierszycki86

4.2. Obliczenia modelu kopu y

Podstawowym tematem tej pracy jest analiza statyczna kopu y ko cio a w Owi skach. Jak

pami tamy na etapie budowania numerycznego modelu tego obiektu poczyniono spor ilo za o-

e , koniecznych ze wzgl du na brak faktycznych danych dotycz cych materia u, podparcia czy

nawet geometrii kopu y. Nale y wi c zaznaczy ju na wst pie, e tak same obliczenia jaki i wyniki

na tyle odzwierciedla b d stan faktyczny na ile poczynione za o enia oka si prawdziwe.

4.2.1. Analiza numeryczna

Celem analizy by a próba jako ciowej oceny stanu kopu y. Ze wzgl du na brak mo liwo ci

odpowiedzi na pytanie o dok adny opis stanu napr e czy odkszta ce starali my si znale jego

„ cie k ” zmian, ledz c przy tym zamiany geometrii i zarysowania. Jako parametr steruj cy wy-

brano mno nik obci enia czyli w naszym przypadku sprowadzi o si to do zwi kszania ci aru

w asnego materia u. Za punkt wyj cia przyj to warto 1800 kg/m3 któr w trzech krokach zwi k-

szano do 1850 kg/m3, 1900 kg/m3 i 1950 kg/m3. Dla porównania wykonano tak e obliczenia bez

uwzgl dniania nieliniowej charakterystyki materia u, zak adaj c izotropowy ca kowicie spr ysty

model muru.

W ka dym z trzech przypadków ledzono ugi cie si czterech punków kontrolnych na ob-

wodzie latarni wie cz cej kopu : L-1, L-2, L-3 i L-4 oraz o miu punktów na kraw dzi przeci cia

powierzchni naro nych i bocznych, po cztery punkty na ka dej nich (K-11, K-12, K-13, K-14 i K-21,

K-22, K-23, K-24) (Rys. 64).

Rys 64. Po o enie punktów kontrolnych na wewn trznej stronie sklepienia modelu kopu y.


MWierszycki87

W wyniku przeprowadzonych oblicze uzyskano równie list elementów sko czonych

modelu, w których wg przyj tego modelu materia u przekroczona zosta a warto dopuszczalnych

napr e rozci gaj cych i pojawi o si zarysowanie.

Obliczenia numeryczne rozwi zywania równa nieliniowych realizowane s w systemie

ABAQUS za pomoc metody przyrostowo-iteracyjnej opartej na tzw. metodzie Newtona-Raphsona.

Jak wiadomo podstawowym za o eniem analizy jest spe nienie warunku równowagi si w z owych

dla ka dego w z a modelu. Równanie to mo na zapisa :

0)()( uIuP (73)

gdzie:

- P(u) si y zewn trzne,

- I(u) si y w z owe,

- u parametr okre laj cy przerost obci enie.

Przyjmijmy, e w punkcie u0 rozwi zanie równania (73) z pewn dok adno ci jest znane. Roz-

wa my teraz kolejne przyrosty tzw. inkrementy obci enia P i odpowiadaj ce im przyrosty prze-

mieszczenia u, dla których spe nione jest równanie (73), czyli spe niony jest warunek równowagi

si w z owych. Za ó my, e po i-tej iteracji i kolejnej aproksymacji ui otrzymujemy pewne przybli o-

ne rozwi zanie a ci+1 niech b dzie ró nic pomi dzy tym rozwi zaniem a rozwi zaniem dok ad-

nym równania (73). Tak wi c:

0)()( 11 iiii cuIcuP (74)

Rozwi my teraz lew stron tego równania w szereg Taylora, wzgl dem przyrostów ui:

0)()(

)()( 1iii

ii cuuI

uuP

uIuP (75)

Je eli pominiemy warto ci ma e wy szego rz du, równanie to mo na zapisa :

)()()()(

1 iiiii uIuPc

uuI

uuP

(76)

gdzie uuI

uuP ii )()(

oznaczymy jako Ki i nazywa b dziemy sztywno ci styczn . Kolejnym

przybli eniem rozwi zania b dzie:

11 iii cuu (77)

W przypadku elementowosko czonego modelu w ABAQUSie, rozwi zanie zadania prze-

biega wg nast puj cego schematu:

I. zwi kszamy o pewn warto przy o one obci enie,

II. prowadzimy iteracje a suma si w z owych b dzie wystarczaj co ma a,

III. zak adamy, e dany stan równowagi jest spe niony,

IV. ponownie przechodzimy do kroku I


MWierszycki88

Prze led my teraz proces iteracji dla zadania z jednym stopniem swobody. Zak adamy, e

mamy rozwi zanie z poprzedniego, zbie nego inkrementu w postaci znanych warto ci u0 i P0

(Rys. 65). Zwi kszmy obci enie o pewn niewielk warto P. Wyznaczona zostaje poprawka

przemieszczenia c1 ze wzoru (76) w oparciu o sztywno styczn K0 dla u0, ca kowit warto

obci enia PTOTAL i warto ci si wewn trznych z poprzedniego inkrementu I0:

K0 c1 = PTOTAL – I0

Rys. 65. Iteracja i = 1

Teraz wyznaczamy warto ci sztywno ci stycznej K1 i warto ci si wewn trznych I1 na podstawie

uaktualnionego stanu równowagi dla przemieszczenia:

101 cuu (78).

Ró nice pomi dzy ca kowit warto ci obci enia PTOTAL a wyznaczon warto ci si wewn trz-

nych I1 oznaczmy R1 i nazwijmy si residualn , resztkow :

R1 = PTOTAL - I1 (79).

Je eli R1 jest na tyle ma e, e spe nia warunki dok adno ci dla ka dego stopnia swobody w modelu

zak adamy, e uk ad znajduje si w równowadze. Je eli w wyniku realizowanej iteracji ABAQUS

nie mo e znale satysfakcjonuj cego rozwi zania, b dzie próbowa kolejnych cie ek przyrostu

obci ania, a zbie ne rozwi zanie zostanie znalezione.

Rys. 66. Iteracja i = 2

W kolejnej (i = 2) iteracji wyznaczona zostaje warto poprawki przemieszczenia c2 w oparciu

o sztywno styczn K1 i warto ci si wewn trznych I1 (Rys. 66). Obliczona zostaje warto si y


MWierszycki89

residualnej R2 i gdy jej warto jest wystarczaj co ma a uznajemy, e kolejny przyrost przemiesz-

cze u2 daje zbie ne rozwi zanie.

W trakcie prowadzenia oblicze okaza o si , e dla czwartego za o onego przyrostu obci -

enia czyli dla g sto ci materia u równej 1950 kg/m3, program nie by w stanie uzyska zbie no ci

algorytmu p kania i oblicze nie uda o si przeprowadzi do ko ca. Ostatecznie wi c uzyskano

rezultaty dla trzech przypadków obci enia. Poni ej zestawiono warto ci pomierzonych prze-

mieszcze punktów.

L-1/3 L2/4 nieliniowe Liniowe Nieliniowe Liniowe

Przypadek 1 -9,93E-04 -9,72E-05 -1,00E-03 -9,81E-05 Przypadek 2 -1,03E-03 -1,00E-04 -1,04E-03 -1,01E-04 Przypadek 3 -1,06E-03 -1,03E-04 -1,07E-03 -1,04E-04

Tab. 22 Przemieszczenia punktów L-1, L-2, L-3, L-4 na podstawie latarni.

Punkty U1 U2Poziome

wypadkowe U3

K-11 -7,76E-05 7,90E-05 1,11E-04 -8,93E-05 K-12 -5,00E-05 5,44E-05 7,39E-05 -2,24E-04 K-13 2,25E-06 4,65E-06 5,17E-06 -4,55E-04 K-14 5,89E-05 -2,32E-05 6,33E-05 -9,01E-04 K-21 -8,73E-05 1,76E-04 1,96E-04 -9,62E-05 K-22 -5,72E-05 1,82E-04 1,91E-04 -1,86E-04 K-23 -1,15E-05 1,44E-04 1,45E-04 -3,55E-04 K-24 3,12E-05 1,71E-05 3,56E-05 -7,98E-04

Tab. 23 Przemieszczenia punktów kraw dzi K-11, K-12, K-13, K-14 i K-21, K-22, K-23, K-24 dla przypadku 1.

U1 U2Poziome

wypadkowe U3

K11 -7,96E-05 8,75E-05 1,18E-04 -9,12E-05 K12 -5,22E-05 6,13E-05 8,05E-05 -2,33E-04 K13 1,02E-06 5,52E-06 5,62E-06 -4,74E-04 K14 6,00E-05 -2,35E-05 6,44E-05 -9,35E-04 K21 -9,58E-05 1,82E-04 2,05E-04 -9,92E-05 K22 -6,30E-05 1,90E-04 2,00E-04 -1,93E-04 K23 -1,31E-05 1,51E-04 1,52E-04 -3,69E-04 K24 3,15E-05 1,86E-05 3,66E-05 -8,28E-04

Tab. 24 Przemieszczenia punktów kraw dzi K-11, K-12, K-13, K-14 i K-21, K-22, K-23, K-24 dla przypadku 2.

U1 U2Poziome

wypadkowe U3

K11 -8,14E-05 9,51E-05 1,25E-04 -9,37E-05 K12 -5,40E-05 6,60E-05 8,52E-05 -2,41E-04 K13 4,06E-07 6,07E-06 6,09E-06 -4,91E-04 K14 6,15E-05 -2,41E-05 6,60E-05 -9,66E-04 K21 -1,02E-04 1,88E-04 2,14E-04 -1,02E-04 K22 -6,72E-05 1,97E-04 2,08E-04 -2,00E-04 K23 -1,42E-05 1,57E-04 1,58E-04 -3,82E-04 K24 3,22E-05 1,98E-05 3,78E-05 -8,55E-04

Tab. 25. Przemieszczenia punktów kraw dzi K-11, K-12, K-13, K-14 i K-21, K-22, K-23, K-24 dla przypadku 3.


MWierszycki90

4.2.2. Porównanie i analiza wyników

Na poni szych wykresach zestawiono warto ci przemieszcze punktów kontrolnych dolnej

kraw dzi latarni porównuj c warto ci uzyskane z analizy liniowej i nieliniowej (Rys. 67,68).

-1,20E-03

-1,00E-03

-8,00E-04

-6,00E-04

-4,00E-04

-2,00E-04

0,00E+001800 1850 1900

G sto kg/m3

Prze

mie

szcz

enia

3 m

nielinioweliniowe

Rys. 67. Przemieszczenia pionowe podstawy latarni (punkty L-1 i L-3).

-1,20E-03

-1,00E-03

-8,00E-04

-6,00E-04

-4,00E-04

-2,00E-04

0,00E+001800 1850 1900

G sto kg/m3

Prze

mie

szcz

enia

3 m

nielinioweliniowe

Tab. 68. Przemieszczenia pionowe podstawy latarni (punkty L-2 i L-4).

Na kolejnych dwóch wykresach przedstawiono nieliniowy przyrost przemieszcze punktów kraw -

dzi przeci cia powierzchni naro nych i bocznych (Rys. 69, 70).


MWierszycki91

-1,20E-03

-1,00E-03

-8,00E-04

-6,00E-04

-4,00E-04

-2,00E-04

0,00E+001800 1850 1900

G sto kN/m3

Prze

mie

szcz

enia

u3 m

K11K12K13K14

Tab. 69. Przemieszczenia pionowe 1. kraw dzi.

-9,00E-04

-8,00E-04

-7,00E-04

-6,00E-04

-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+001800 1850 1900

G sto kg/m3

Prze

mie

szcz

enia

u3 m

K21K22K23K24

Tab. 70. Przemieszczenia pionowe 2. kraw dzi.

Na podstawie danych o poziomych przemieszczeniach wykonano schematy odkszta cenia si kra-

w dzi filara przedstawiaj ce ich wypadkowe. Na Rys. 71 74 przedstawiono je za pomoc czerwo-

nych strza ek wpisanych w czerwone prostok ty. Boki tych prostok tów s sk adowymi przemiesz-

cze w kierunku 1. i 2.


MWierszycki92

Rys. 71. Przemieszczenia kraw dzi 1.

Rys. 72. Przemieszczenia kraw dzi 1, widok z góry.


MWierszycki93

Rys. 73. Przemieszczenia kraw dzi 2.

Rys. 74. Przemieszczenia kraw dzi 2, widok z góry.


MWierszycki94

Informacje o panuj cych w kopule napr eniach przedstawiono w postaci map rozk adu napr e .

Rys. 75. Mapa napr e zredukowanych Misesa dla Przypadku 1.

Rys. 76. Mapa napr e zredukowanych Misesa dla Przypadku 1. Zbili enie naro a i podstawy latarni.


MWierszycki95


Rys. 78. Mapa napr e zredukowanych Misesa dla Przypadku 3. Zbili enie naro a i podstawy latarni.


MWierszycki96

Zarysowanie modelu konstrukcji kopu y zaprezentowano na dwa sposoby. Uzyskane z oblicze

informacje o elementach, w których pojawi y si rysy przestawiono na Rys. 81 i 82. Zarysowane

elementy zosta y na nich pod wietlone na czerwono.

Rys. 79. Zarysowane elemnety dla przypadku 1

Rys. 80. Zarysowane elemnety dla przypadku 3


MWierszycki97

Na Rys. 83 86 przedstawiono mapy rozk adu g ównych odkszta ce plastycznych. W dla przyj te-

go modelu materia u rozci gaj ce odkszta cenia plastyczne mo na i nale y interpretowa jako

miejsca pojawienia si zarysowa .

Rys. 81. Mapa g ównych odkszta ce plstycznych dla Przypadku 1.

Rys. 82. Mapa g ównych odkszta ce plstycznych dla Przypadku 1. Zbili enie naro a i podstawy latarni.


MWierszycki98




MWierszycki99




MWierszycki100

Rys. 87. Mapa napr e 11 dla Przypadku 1.



MWierszycki101




MWierszycki102

Wobec braku informacji co do dok adnej konstrukcji rzeczywistego obiektu, przyj to pe ny,

przestrzenny opis konstrukcji kopu y, dzi ki czemu nie narzucono adnego okre lonego charakteru

jej pracy. Pozwoli o to na prób okre lenia specyfiki jej statycznego zachowania. Na podstawie

otrzymanych wyników mo na spróbowa j do dobrze okre li . Najbardziej wyt onymi fragmen-

tami konstrukcji modelu kopu y s :

- podstawa latarni, co bior c pod uwag wymiary latarni w stosunku do ca ej kopu y

i fakt, e stanowi ona podstawowe obci enie konstrukcji kopu y nie stanowi raczej za-

skoczenia (Rys. 75 78, 91),

- naro ne powierzchnie sklepienia, których kraw dzie poddane s znacznym deforma-

cjom i w których mo na obserwowa bardzo du e warto ci odkszta ce (Rys. 75 78).


Wielokrotnie podkre lano w tej pracy, e nieliniowo o rodka murowego jest obok ortotropii jedn

z jego podstawowych charakterystyk zachowania. Na podstawie ró nicy warto ci przemieszcze

punktów podstawy latarni, dla modelu ze spr ystym opisem materia u i modelu z uwzgl dnion

plastyczno ci , wyra nie wida wp yw plastycznego opisu zachowania na charakter pracy ca ej

konstrukcji kopu y. Tak e obserwowany dla ca ej kopu y stan napr e ciskaj cych w zakresie

plastycznym wiadczy o tym , e przyj ty model materia u poprawnie oddaje nieliniow specyfik

muru. Jednak ze wzgl du na to, e rzeczywisty stan si wewn trznych w kopule czy te prawdziwe

ugi cia podstawy latarni, nie s nam praktycznie znane, ich warto ci uzyskane z modelowania

numerycznego nie mog zosta w aden sposób zweryfikowane. Podobnie w a ciwo ci mecha-


MWierszycki103

niczne muru kopu y w Owi skach nie s praktycznie znane i trudno w takiej sytuacji odnie wy-

modelowan przez nas charakterystyk materia u do faktycznego opisu jego zachowania. Jedyn

informacj mog c stanowi wspólny punkt dla naszego modelu i kopu y ko cio a w Owi skach to

charakter obserwowanych sp ka . Porównajmy teraz krótko opisany w Rozdziale 2 pierwszej cz -

ci tej pracy stan uszkodze ze sp kaniami obserwowanymi w numerycznym modelu kopu y.

Przedstawione na Rys. 79 i 80 elementy, w których pojawi y si rysy, dobrze oddaj dwa zasadni-

cze rodzaje zarysowa kopu y: pionowe w naro ach i obwodowe wokó podstawy latarni. W naro-

ach, na kraw dziach mi dzy pow okami kopu , wyra nie wida kulminacj odkszta ce plastycz-

nych (Rys. 81 86) co potwierdza znaczne przekroczenie w tych miejscach no no ci na rozci ga-

nie. Tak e zwi kszaj c si ilo sp kanych elementów, wraz ze wzrostem zadanego obci enia,

i charakter propagacji tego zarysowania pokrywa si z faktycznie obserwowanym kierunkiem rys.

Maj one wyra n tendencj zbiegania si do rodka naro nych powierzchni sklepienia. Podobnie

widoczne doskonale, wspó rodkowe, obwodowe sp kania wokó wie cz cej kopu latarni, rów-

nie znalaz y swoje odzwierciedlenie w modelu. Warto ci napr e rozci gaj cych na obwodzie

podstawy latarni (Rys. 87 90) przekraczaj wyra nie za o on granic wytrzyma o ci na rozci ga-

nie, równ 0,162 MPa co dobrze t umaczy powstanie w tym miejscu zarysowa na skutek rozci -

gania. Na Rys. 79 i 80 wida , e rysy pojawiaj si tak e po zewn trznej stronie kopu y w rodko-

wych cz ciach bocznych powierzchni walcowych. Tych wyników nie mo na jednak zweryfikowa

gdy brak jest informacji na temat stanu kopu y w tych miejscach.


MWierszycki104

5. Wnioski i podsumowanie We wst pie do drugiej cz ci pracy pt. „Analiza numeryczna” wymieniono trzy podstawowe

etapy tworzenia modelu numerycznego i wykonywania na nim analizy za pomoc metody elemen-

tów sko czonych. Sta y si one podstaw do omówienia kolejnych kroków tworzenia modelu i obli-

czenia kopu y ko cio a w Owi skach. Jednak jak wielokrotnie wcze niej, przy ró nych okazjach,

podkre lano podczas ca ego tego procesu przysz o dzia a nam w warunkach du ej niepewno ci.

Brak wystarczaj co dok adnych dla potrzeb modelowania informacji na temat geometrii, materia u,

warunków brzegowych czy te obci enia wymusza szukanie kompromisowych rozwi za i po-

czynienie wielu za o e , które wprost przek adaj si na uzyskane i przedstawione w poprzednim

rozdziale wyniki.

Ju na samym pocz tku gdy przygotowywano geometri modelowanego obiektu, stan li-

my wobec olbrzymiego problemu braku podstawowych danych, gdy informacje jakie mo na by o

uzyska na ten temat z dost pnych opracowa [3], [4] i [5] by y bardzo skromne i dawa y tylko

szcz tkowy obraz geometrii tego obiektu. Dost pne informacje pochodz ce z bada i pomiarów

przeprowadzonych w latach 1995-1997 przez doc. dr in . Marian Krzysztofiaka, nie pozwala y na

zbudowania modelu numerycznego gwarantuj cego wystarczaj c zgodno z rzeczywist kon-

strukcj . Ko ció ten, a zarazem sama kopu a, nie posiadaj do dzi dok adnej inwentaryzacji, co

stanowi bardzo powa na przeszkod dla prowadzenia jakiejkolwiek warto ciowej analizy stanu czy

zachowania si tego obiektu. Nale y podkre li , e przeprowadzone w 2001 roku pomiary geode-

zyjne dostarczy y szczegó owych informacje jedynie na temat geometrii wewn trznej pow oki kopu-

y. Bardzo powa nym ograniczeniem jest brak jakichkolwiek konkretnych danych na temat wymia-

rów latarni wie cz cej kopu . O ile sama jej geometria nie ma zasadniczego znaczenia dla cha-

rakteru pracy konstrukcji kopu y, naturalnie poza pier cieniem stanowi cym jej podstaw , to jej

gabaryty s bardzo istotne. Oszacowane na potrzeby modelowania grubo ci cian latarni, wymiary

okien, czy nawet jej wysoko mog si bardzo mocno ró ni od ich faktycznych warto ci. Infor-

macje jakie s dost pne na ten temat s praktycznie bezwarto ciowe i jako takie zosta y przyj te

na postawie dost pnego materia u fotograficznego. W takiej sytuacji nale y pami ta , e ci ar

w asny latarni stanowi cy zasadnicz cz obci enia kopu y maj cy decyduj cy wp yw na panu-

j cy w konstrukcji kopu y stan napr e , praktycznie nie pozwala na ilo ciow analiz otrzymanych

wyników wyt enia materia u. Sytuacja wygl da analogicznie w przypadku grubo ci kopu y, gdy

jej ci ar w asny stanowi równie jej podstawowe obci enie. Ten parametr ma zreszt dodatkowo

decyduj ce znaczenie równie ze wzgl du na charakter pracy statycznej kopu y. Grubo okre-

lono w trakcie inwentaryzacji, ale tylko w jednym miejscu i nie sposób za o y na tej podstawie,

czy jest ona jednakowa dla ca ej kopu y. Pozostaje jeszcze kwestia eber usztywniaj cych na ze-

wn trznej powierzchni kopu y, których wymiary i rozstaw s zasadniczo znane, ale przeprowadzo-

ne rozpoznanie mia o wycinkowy charakter i dok adna liczba tych eber nie jest znana. Trudno

nawet powiedzie , czy s one zlokalizowane na ca ej zewn trznej powierzchni kopu y.

Kolejne zasadnicze trudno ci pojawi y si przy próbie zdefiniowania zwi zku konstytutyw-

nego opisuj cego zachowanie si muru kopu y. Dla modeli numerycznych du ych obiektów, takich


MWierszycki105

jak np. nasza kopu a, jedyn mo liw do zastosowania w praktyce metod modelowania materia u,

jest podej cie na poziomie ogólnym okre lanym jako „makromodelowanie” lub „model ekwiwalent-

nego materia u”. Podej cie to wymaga przyj cia ujednoliconego, zhomogenizowanego, o rodka

zast pczego, b d cego uproszczeniem rzeczywistego uk adu kompozytowego, ceg a – zaprawa.

W tej sytuacji przyj cie zwi zku konstytutywnego materia u, z których wykonany jest rzeczywisty

obiekt, a przede wszystkim ustalenie jego podstawowych parametrów fizycznych, jest podstaw

skuteczno ci stosowania metody elementów sko czonych i poprawno ci otrzymanych wyników.

Przyj ta w tej pracy metoda homogenizacji panów J. Lopeza, S. Ollera, E. Onate i J. Lublinera

dawa a szans wystarczaj co dok adnego opisu zachowania si materia u. Jednak ze wzgl du na

to, e jedyne badanie jakie przeprowadzono pod tym k tem, pozwoli y jedynie na okre lenie klasy

ceg y, praktycznie wszystkie informacji na temat parametrów mechanicznych cegie i zaprawy,

z których wykonano kopu ko cio a, przyj te zosta y na podstawie dost pnej literatury [1]. Roz-

bie no tych informacji jest jednak olbrzymia. Warto ci modu u spr ysto ci cegie mieszcz si w

granicach od 7500 do 15000 MPa, a zaprawy od 400 do 800 MPa. Jak wida obie te warto ci ró -

ni si praktycznie nawet o100% co powoduje, e przyj te przez nas warto ci, 9000 MPa dla ceg y

i 800 MPa dla zaprawy, s mocno przybli one i mog w bardzo znacz cy sposób odbiega od

rzeczywisto ci. Oczywist konsekwencj tego jest, e przybli enie to rzutuje na wszystkie otrzy-

mane w tej pracy wyniki modelowania kopu y. W praktyce spraw dodatkowo komplikuje fakt, e ze

wzgl du na mocne zawilgocenie sporych fragmentów kopu y, warto ci podstawowych parametrów

fizycznych zapewne nie b d jednakowe dla ca ej konstrukcji. Je eli jednak informacje takie by by

dost pne i dotyczy y nie tylko warto ci tych ró nic ale i ich lokalizacji, nie by oby problemu

z uwzgl dnieniem ich w modelowaniu.

Jednak nawet gdyby uda o si przyj niemal doskona geometri modelu, gdzie nale y

pami ta , e dok adno modelu numerycznego nie musi by jednoznaczna z idealn wierno ci

w stosunku do orygina u, czy ustali bardzo dok adnie podstawowe parametry fizyczne materia u,

nasz coraz bli szy idea owi model numeryczny jest zawsze sko czony. Musi mie swój koniec.

Jednym z podstawowych trudno ci w metodzie elementów sko czonych jest poprawny opis tego

co si zaczyna tam, gdzie ko czy si model a wi c takie przyj cie takich warunków brzegowych

modelu, aby jak najwierniej oddawa y rzeczywisty charakter pracy modelowanego obiektu. Problem

modelowania warunków brzegowych jest jedn z zasadniczych trudno ci w metodzie elementów

sko czonych a przy tym ich wp yw na ostateczne wyniki jest olbrzymi. Przyj te warunki brzegowe

symuluj ce pe ne utwierdzenie dolnej cz ci ciany podpieraj cej kopu okre lono na do w -

t ych przes ankach dotycz cych ca ej konstrukcji ko cio a, która jak podkre lano wy ej jest bardzo

s abo rozpoznana. Omawiaj c warunki podparcia kopu y nie mo na nie wspomnie , e brak jest

jakichkolwiek informacji na temat warunków gruntowo-wodnych posadowienia ko cio a. Nic nie

wiadomo te na temat ewentualnego osiadania fundamentów. Bior c pod uwag podatno kopu y

jako konstrukcji na tego typu czynniki, tak d ugo a zagadnienia te nie b d w sposób dostatecznie

jasny rozpoznane, ka da próba oceny stanu kopu y b dzie bardzo niepe na i w tpliwa.

Jak wida wszelkie próby ilo ciowego okre lenia stanu bezpiecze stwa konstrukcji s na

dzie dzisiejszy, nawet z u yciem tak zaawansowanego narz dzia jak analiza metod elementów


MWierszycki106

sko czonych praktycznie z góry skazane na niepowodzenie. Jedyne co uda o si oceni w tej pra-

cy to jako ciowy charakter zachowania i uszkodze kopu y nad naw centraln ko cio a w Owi -

skach. W przypadku naszej analizy, maj c na wzgl dzie wszystkie przytoczone wy ej za o enia i

uproszczenia, podczas której sterowali my wzrostem obci enia, widzimy, e konstrukcja kopu y

posiada pewne rezerwy no no ci. Przyj ty model traci stabilno numeryczn dla wzrostu obci -

enia o ok. 8% co przek ada si na warto ok. 2 kN/m2 powierzchni rzutu kopu y. Wspomniana

utrata stabilno ci modelu numerycznego zwi zana jest z pojawiaj cymi si : osobliwo ci macierzy

sztywno ci i brakiem zbie no algorytmu kruchego p kania co w praktyce spowodowane jest

post puj cymi deformacjami geometrii i znaczn propagacj zarysowania. Na zako czenie chcia -

bym zaznaczy , e przeprowadzenie naprawy konstrukcji kopu y i renowacji ko cio a w Owi skach

wydaje si celowe. Warto wobec tego zwróci uwag na fakt, e przyst pienie do tych prac wi za

si b dzie z dok adnym rozpoznaniem konstrukcji tego obiektu, co pozwoli oby na wyja nienie

wielu po ród wymienionych wy ej w tpliwo ci i przeprowadzenie du o bardziej dok adnej analizy.


MWierszycki107

Literatura[1]. L. Ma yszko, R. Or owicz. Konstrukcje murowe. Zarysowania i naprawy. Wydawnictwo

Uniwersytetu Warmi sko-Mazurskiego. Olsztyn 2000.

[2]. J. Lopez, S. Oller, E. Onate i J. Lubliner. A homogeneous constitutive model for masonry.

International Journal for Numerical Methods in Engineering. 46, 1999.

[3]. M. Krzysztofiak. Ko ció pocysterski p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach ko o Poznania.

Pozna 1996.

[4]. M. Krzysztofiak. Projekt wzmocnienia kopu y nad naw centraln ko cio a pocysterskiego

p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach ko o Poznania. Pozna 1997.

[5]. P. Rapp. Ocena stanu technicznego kopu y g ównej i kopu y po udniowej w ko ciele

klasztornym p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach. Pozna 1993.

[6]. A. Giordano. Numerical modeling of masonry structures using the abaqus’ „Concrete” model.

ABAQUS Users’ Conference. Pawtucket 2000.

[7]. T. odygowski, W. K kol. Metoda elementów sko czonych w wybranych zagadnieniach

mechaniki konstrukcji in ynierskich. Wydawnictwo Politechniki Pozna skiej 1991.

[8]. J. Kubica, . Drobiec, R. Jasi ski. Badania siecznego modu u spr ysto ci murów z ceg y.

XLV Konferencja Naukowa Komitetu In ynierii L dowej i wodnej PAN i Komitetu Nauki

PZITB. Wroc aw – Krynica 1999.

[9]. K. Piszczek, J. Szarli ski, A. Urba ski. Modelowanie numeryczne odkszta calno ci i

wytrzyma o ci muru wraz z weryfikacj do wiadczaln . XLV Konferencja Naukowa Komitetu

In ynierii L dowej i wodnej PAN i Komitetu Nauki PZITB. Wroc aw – Krynica 1999.

[10]. J. Sieczkowski, J. Szo omicki. Okre lanie wytrzyma o ci z o onych konstrukcji murowych.

Konferencja Naukowo – Techniczna. Konserwacje, wzmacnianie i modernizacja

budowlanych obiektów historycznych i wspó czesnych. Kielce 2001.

[11]. K. Pieper. Sicherung historischer Bauten. Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn. Berlin –

München 1983.

[12]. W. cki, P. Malu kiewicz. Wokó Poznania. Wydawnictwo PTTK „Kraj”. Warszawa 1991.

[13]. K. Tomalik. Ko ció pocysterski p.w. w. Jana Chrzciciela w Owi skach. Przewodnik.

Owi ska 1999.

[14]. PN-87/B-03002. Konstrukcje murowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.

[15]. PN-82/B-02001. Obci enia budowli. Obci enia sta e.

[16]. HKS, Inc. ABAQUS Theory Manual. 2000.

[17]. HKS, Inc. ABAQUS/Standard User’s Manual. 2000.


MWierszycki108

Za czniki

politechnika pozna ska - ikb.poznan.pl · politechnika pozna ska wydziaà budownictwa, architektury...

Documents