POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE)

CHARAKTERISTIKY

1

PREDNÁŠKA 2

čo sú popisné charakteristiky rozdelenie popisných

charakteristík

charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky šikmosti charakteristiky špicatosti

2

POPISNÉ CHARAKTERISTIKY

číselné charakteristiky, ktoré koncentrovanou formou jedným číslom vyjadrujú určitú vlastnosť skúmaného štatistického znaku

vystihujú typické črty radu rozdelenia početností daného štatistického znaku

väčšina z nich -len pre kvantitatívne znaky

3

POPISNÉ CHARAKTERISTIKY rozlišujeme:

charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky šikmosti charakteristiky špicatosti

4

alebo stredné hodnoty vyjadrujú určitú úroveň (polohu) znaku, okolo ktorej sú ostatné hodnoty viac či menej koncentrované

5

CHARAKTERISTIKY POLOHY

CHARAKTERISTIKY POLOHY

rozlišujeme: priemery (jednoduchá, vážená forma)

aritmetickýaritmetický geometrický harmonický

ostatné stredné hodnoty modusmodus medián (kvantily)medián (kvantily)

6

CHARAKTERISTIKY POLOHY - VLASTNOSTI

majú byť typickou hodnotou štatistického súboru

musia byť jednoznačne definované pri výpočte sa do úvahy berú všetky

jednotky štatistického súboru majú byť ľahko zistiteľné mali by slúžiť k porovnávaniu stredných

hodnôt za niekoľko súborov majú čo najmenej podliehať

náhodnostiam výberu

7

PRIEMERY

PriemerPriemer predstavuje často rovnomernosť alebo normu, ktorá neexistuje. Keď v priemere každý zje hus, je možné, že niektorí zjedia dve, resp. viac, iní žiadnu.

8

PRIEMERY aritmetický priemeraritmetický priemer

jednoduchý

vážený

n – počet pozorovaní x1, x2, x3.....xn

j=1,2,3,....n ni=n

9

n

x

xn

1x

n

1jj

n

1jj

n

nxnx

nx

m

iiim

iii

1

1

1

10

PRIEMERY

priemery - aritmetický priemer

(napr. priemerná mzda, priemerná denná teplota, atď.)

Príklad: priemerná mzda (jednoduchý aritmetický priemer)

500 € 550 € 720 €1 770 € : 3 = 590 €

350 € 620 € 800 €1 770 € : 3 = 590 €

590x

500 550 720

350 620 800

PRIEMERY

aritmetický priemer aritmetický priemer - vážená forma- vážená forma

príklad: príklad: výpočet priemernej známky každú známku je potrebné násobiť

(vážiť) počtom študentov, až potom robíme súčet - „vážený súčet“, ktorý následne podelíme počtom študentov

11

známka počet študentov

xi.ni

1 12 12 2 16 32 3 9 27

spolu 37 71

xi ni xi.ni

x1 n1 x1.n1 . . .

.

.

.

.

.

.

xn nm xn.nm

spolu ni xi.ni

Priemerná známka: Priemerná známka: 1,921,92

PRIEMERY

aritmetický priemer aritmetický priemer – – výpočet z výpočet z intervalového rozdelenia početnosti (vážená intervalového rozdelenia početnosti (vážená forma)forma)

hranica hranica ni Ni xi xi*ni0 300 5 5 250 1250

300 400 7 12 350 2450400 500 12 24 450 5400500 600 14 38 550 7700600 700 18 56 650 11700700 800 27 83 750 20250800 900 13 96 850 11050900 1000 6 102 950 5700

1000 1100 3 105 1050 31501100 1 106 1150 1150

Spolu 106 69800

n

nxx

m

iii

1

12

Priemer = 658,49

Priemerný plat pracovníkov predstavuje 658 €, t.j. v priemere každý pracovník zarobí túto čiastku.

PRIEMERY

vlastnostivlastnosti aritmetického priemeru:1. stálosť súčtu hodnôt

2. platí nerovnosť: x min< x pr.<x max3. súčet odchýlok od priemeru sa rovná 0

4. súčet štvorcov odchýlok od priemeru je minimálny

13

jn x x

( ) 0jx x

2( ) minjx x

PRIEMERY

vlastnostivlastnosti aritmetického priemeru:5. Aritmetický priemer súčtu (rozdielu) hodnôt

xxjj a yyjj dvoch štatistických znakov sa rovná súčtu ich aritmetických priemerov.

6. Aritmetický priemer konštánt je rovný konštante.

7. Ak pripočítame k jednotlivým hodnotám znaku konštantu cc, zvýši sa o túto konštantu aj ich aritmetický priemer.

8. Ak vynásobíme jednotlivé hodnoty znaku konštantou cc, ich priemer bude cc-násobkom aritmetického priemeru.

14

PRIEMERY

Aritmetický priemer nemá

väčšinou žiadny odraz v

skutočnosti.

Každá priemerná rodina

má 2,2 dieťaťa, našťastie

to neznamená to, čo vidíme na obrázku.

15

PRIEMERYPRIEMERY- geometrický priemergeometrický priemer- používa sa pri časových

radoch (rast HDP za tri roky, vývoj inflácie za päť rokov...)

jednoduchý

vážený

16

n

n

jj

nng xxxxx

1

21 ......

n

m

i

ni

n nm

nng

im xxxxx

1

21 ...... 21

VÝVOJ HNP SR ZA RR.95-99 V US$ NA OBYV. A ROK

17

Rok GNPSR (US$) koeficient koeficient tempo tempo1995 3110 rastu prirastku v % rastu prirastku v %1996 3570 1.148 114.79 0.15 14.791997 3860 1.081 108.12 0.08 8.121998 3870 1.003 100.26 0.00 0.261999 3770 0.974 97.42 -0.03 -2.58

V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. na 108,12%

V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. o 8,12%

PRIEMERY

Z jednotlivých koeficientov rastu možno vypočítať:

priemerný koeficient rastu priemerný koeficient rastu

18

1-T 2 1-T

1 ...k . k .k k

Za obdobie rokov 1995-99 HNP v SR rástol ročne približne o 4,9%.

4 1,148.1,081.1,003.0,974 1.0493k

PRIEMERY

PRIEMERYPRIEMERY- harmonický priemerharmonický priemer- používa sa, ak existuje

medzi skúmanými hodnotami znaku a výsledným javom nepriamy vzťah (výpočet priemernej rýchlosti vozidla)

jednoduchý

vážený

19

n

j jn

h

x

n

xxx

nx

121

11...

11

m

i i

i

m

ii

h

xn

nx

1

1

HARMONICKÝ PRIEMER - PRÍKLAD:

20

Predpokladajme, že ideme 30 km ďaleko a prvých 15 kmprejdeme rýchlosťou 15 km za hod. a druhých 15 km rýchlosťou 75 km za hod. Akú priemernú rýchlosť sme dosiahli za hodinu?

PRIEMERYPRIEMERY

HARMONICKÝ PRIEMER (JEDNODUCHÝ)HARMONICKÝ PRIEMER (JEDNODUCHÝ)

21

Prvú trať ideme rýchlosťou 15km/hod… k jej prejdeniu potrebujeme práve 1hod. - 60 minút (15/15*60)Druhú trať (15 km) ideme rýchlosťou 75 km/hod….K jej prejdeniu potrebujeme len 12 minút (15/75*60) celková doba jazdy je teda 72 minút. Aritmetický priemer nás zmýli výsledkom (15+75)/2=45km za hodinu. K zisteniu priemernej doby jazdy pre oba úseky potrebujeme 60min+12min= 72/2 = 36 minút pre každý úsek jazdy, čo predstavuje priemernú rýchlosť 25 km / hod. (15/36*60=25) 2 2 150

251 1 1 6 6( )

15 75 75

h

j

nx

x

PRIEMERYPRIEMERY

- význam pri nesymetrických rozdeleniach u kvantitatívnych znakov,

- pri kvalitatívnych znakoch

- Patria sem:

- Kvantily – kvartily (medián)- Modus

22

OSTATNÉ STREDNÉ HODNOTYOSTATNÉ STREDNÉ HODNOTY

KVANTILYKVANTILY

Sú hodnoty znaku, ktoré v empirickom štatistickom súbore rozdeľujú štatistický súbor na rovnako početných častí.

23

Najčastejšie používané kvantily kvantily, pre ktoré = 100, sú percentily kvantily, pre ktoré = 10, sú decily kvantily, pre ktoré = 4, sú kvartily kvatil, pre ktorý =2, je medián

Ak k = 1, hovoríme o dolnom kvantile (dolnom percentile, decile, kvartile).

Ak k = -1, hovoríme o hornom kvantile (hornom percentile, decile, kvartile).

24

KVANTILKVANTIL

KVARTILYKVARTILY Predstavujú 3 reálne čísla, ktoré rozdeľujú

usporiadaný štatistický súbor na 4 rovnakopočetné časti.

Patrí sem: Prvý (dolný) kvartil

určuje 25% najnižších hodnôt v súbore

Druhý kvartil = mediánurčuje 50% najnižších hodnôt v súbore

Tretí (horný) kvartilurčuje 25% najvyšších hodnôt v súbore

25

41Q

42Q x

43Q

MEDIÁNMEDIÁN

MediánMedián - prostredná hodnota v štatistickom súbore usporiadanom podľa skúmaného znaku

( napr. výška prostredného pracovníka)

x~

26

MediánMedián je prostredná hodnota v usporiadanomštatistickom súbore. Usporiadame ženy podľa

výšky, a zistíme, ktorá z nich je prostredná.

27

MEDIÁNMEDIÁN

a) určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom je nepárny počet štatistických jednotiek

n- nepárny počet

28

xi ni Ni

1 12 122 16 283 9 37

37

2

1~

nrx

37 119

2xr

19 2x x

Medián 75.1x~

MEDIÁNMEDIÁN b) určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom

je párny počet štat. jednotiek

29

2~ 1

22

nn xx

x

2~2019 xxx

1.75 1.771.76

2x

xi ni Ni

1 12 122 17 293 9 38

38

MEDIÁNMEDIÁN

c) určovanie mediánu pri intervalovom rozdelení početností

- dá sa určiť len mediánový interval, do ktorého medián patrí. V rámci tohto intervalu potom medián určíme približne na základe absolútnych početností

a -dolná hranica medián. intervalu

h -rozpätie medián. intervalu

-početnosť medián. intervalu

- kumulat. početnosť po mediánový interval 30

1

1

12

r

ii

x

nn

x a hn

xn~

1

1

r

iin

MEDIÁNMEDIÁN

Výpočet mediánu z intervalového rozdelenia početnosti

31

Mediána 600h 100(n+1)/2 53,5KP po me 38ni me 18

Medián 688,89

Prostredný plat je 689 €, čo znamená, že 50% pracovníkov má plat vyšší a 50% pracovníkov nižší ako 689 €.

x

r

ii

n

nn

hax~

1

1

5.02~

ni NiDH HH Frequency

0 300 5 5300 400 7 12400 500 12 24500 600 14 38600 700 18 56700 800 27 83800 900 13 96900 1000 6 102

1000 1100 3 1051100 1 106

106

Výpočet dolného, resp. horného kvartilu z intervalového rozdelenia početnosti

32

)4(1

1

1

)4(1

)4(1

)4(1

5,0

Q

r

ii

n

nrhaQ

( 4)3

1(4)

3(4) (4) 13 3

0,5r

ii

Q

r nQ a h

n

dolná (horná) hranica intervalu, v ktorom sa bude nachádzať dolný (horný) kvartil

rozpätie intervalu, v ktorom sa bude nachádzať dolný (horný) kvartilporadie štatistickej jednotky, ktorej bude prislúchať dolný (horný) kvartilsúčet absolútnych početností po interval, v ktorom sa bude nachádzať dolný (horný) kvartilpočetnosť intervalu, v ktorom sa bude nachádzať dolný kvartil( 4)

1Qn

1

1

r

ii

n

(4)1r

KVARTILKVARTIL

(4)1a

h

33

( 4)1

1(4)

1(4) (4) 11 1

0.5r

ii

Q

r nQ a h

n

Dolná Hornáhranica hranica ni Ni

10 6 610 10.5 9 15

10.5 11 13 2811 11.5 17 45

11.5 12 21 6612 12.5 28 94

12.5 13 15 10913 13.5 6 115

13.5 14 3 11814 2 120

Spolu 120

25% pracovníkov má plat do 11 074 Sk a 75% pracovníkov má plat vyšší ako 11 074 Sk.

KVARTIL – výpočet dolného KVARTIL – výpočet dolného kvartilukvartilu

34

( 4)3

1(4)

3(4) (4) 13 3

0.5r

ii

Q

r nQ a h

n

Dolná Hornáhranica hranica ni Ni

10 6 610 10.5 9 15

10.5 11 13 2811 11.5 17 45

11.5 12 21 6612 12.5 28 94

12.5 13 15 10913 13.5 6 115

13.5 14 3 11814 2 120

Spolu 120

75% pracovníkov má plat do 12 438 Sk a 75% pracovníkov má plat vyšší ako 12 438 Sk.

KVARTIL – výpočet horného KVARTIL – výpočet horného kvartilukvartilu

GRAFICKÉ ZOBRAZENIE KVARTILOV

Krabicový graf – box plot

35

Box-and-Whisker Plot

8 9 10 11 12 13

plat

Z grafu je možné vyčítať informácie:• o úrovni znaku v súbore• o variabilite znaku v súbore• asymetrii znaku v súbore

MODUSMODUSMODUSMODUS

ModusModus - - najpočetnejšia alebo najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v štat. súbore

- je definovaný v jednovrcholových rozdeleniach početností

36

x̂

2ˆ xxi ni

1 122 173 9

38

MODUSMODUSMODUSMODUS

a) bezprostredne sa dá určiť v štat. súbore, ak poznáme individuálne hodnoty znaku x a ich početností

b) v prípade intervalového rozdelenia početnosti sa priamo určí iba modálny interval, t.j. interval s najväčšou početnosťou v štat. súbore. V rámci tohto intervalu sa modus určí:

37

MODUSMODUSMODUSMODUS

1. na základe vzťahu početností modálneho a priľahlých intervalov

a - dolná hranica modálneho

intervalu

h - rozpätie intervalu

d0- rozdiel medzi početnosťou modálneho intervalu a predchádzajúceho intervalu

d1- rozdiel medzi početnosťou modálneho intervalu a nasledujúceho intervalu

38

10

0ˆdd

dhax

MODUSMODUS

Výpočet v prípade intervalového rozdelenia početnosti

39

Modusa 700h 100d0 9d1 14

Najčastejšie dosahovali pracovníci plat 739 €.

10

0ˆdd

dhax

modus 739

ni NiDH HH Frequency

0 300 5 5300 400 7 12400 500 12 24500 600 14 38600 700 18 56700 800 27 83800 900 13 96900 1000 6 102

1000 1100 3 1051100 1 106

106

Vzájomná poloha modusu, mediánu a Vzájomná poloha modusu, mediánu a aritmetického priemeru v štatistickom aritmetického priemeru v štatistickom súboresúbore

- symetrické rozdelenie - nesymetrické rozdelenie

- pozitívna asymetria - negatívna asymetria

40

POROVNANIE MODUSU, MEDIÁNU A STREDNEJ HODNOTY

41

INTERVALOVÉ ROZDELENIE PLATOV

42

Plat

05

1015202530

10 10.510

1110.5

11.511

1211.5

12.512

1312.5

13.513

1413.5

14

intervaly

abs.

poč

etno

sti

Priemer 11.76667Medián 11.86905Modus 12.175

CHARAKTERISTIKY VARIABILITY variabilitavariabilita – menlivosť hodnôt znaku v

štatistickom súbore Charakteristiky variability vyjadrujú:

ako veľmi sa hodnoty znaku menia, navzájom líšia

do akej miery sú hodnoty znaku koncentrované okolo stredných hodnôt

43

CHARAKTERISTIKY VARIABILITY

44

menšia variabilita

väčšia variabilita

porovnanie súborov z hľadiska variability

CHARAKTERISTIKY VARIABILITY miery variability:

A) A) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňujú len niektoré hodnoty znaku v súbore

- variačné rozpätie- kvantilové rozpätie- kvartilové rozpätie- kvartilová odchýlka

45

B) B) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňuje každá hodnota znaku v súbore:

- absolútne - priemerná odchýlka - rozptyl - smerodajná (štandardná)

odchýlka- relatívne - pomerná priemerná odchýlka

- variačný koeficient

46

CHARAKTERISTIKY VARIABILITY

CHARAKTERISTIKY VARIABILITY variačné rozpätievariačné rozpätie

najjednoduchšia miera variability informatívny charakter – berie do úvahy len

krajné hodnoty rozdiel medzi maximálnou a minimálnou

hodnotou v súboreR = xR = xmaxmax – x – xminmin

jeho veľkosť závisí od veľkosti krajných hodnôt (extrémne hodnoty), t.j. je citlivá voči extrémnym hodnotám - nevýhoda

47

CHARAKTERISTIKY VARIABILITY rozptylrozptyl (disperzia, variancia) ss22

priemerný štvorec odchýlok od priemeru meria variabilitu v druhých mocninách

mernej jednotky je neinterpretovateľný - nevýhoda

48

2

1

2 )(1

xxn

sn

jj

i

m

ii nxx

ns .)(

1 2

1

2

jednoduchá forma

vážená forma

CHARAKTERISTIKY VARIABILITYCHARAKTERISTIKY VARIABILITY

Vlastnosti rozptylu:Vlastnosti rozptylu:1. Rozptyl konštánt sa rovná nule.2. Ak pripočítame ku všetkým hodnotám znaku

rovnakú konštantu, rozptyl sa nezmení

3. Ak násobíme všetky hodnoty xj konštantou c, rozptyl takto vzniknutých hodnôt je násobkom štvorca konštanty c a rozptylu pôvodných hodnôt: s2

cx=c2.s2

49

CHARAKTERISTIKY VARIABILITY smerodajná smerodajná (štandardná) odchýlkaodchýlka ss

vyjadruje variabilitu súboru v pôvodných merných jednotkách

o koľko +/- sa v priemere jednotlivé hodnoty odchyľujú od priemeru

variačný koeficient variačný koeficient vv vyjadruje variabilitu súboru v % koľko % z priemeru predstavuje smerodajná odchýlka slúži na porovnávanie variability znakov vo viacerých

súboroch

50

2ss

%100x

sv

VÝPOČET VARIABILITYVÝPOČET VARIABILITY

51

Dolná Horná stredy int.hranica hranica ni xi xi*ni (xi-xpr) (xi-xpr)^2*ni (xi-xpr)^3*ni (xi-xpr)^4*ni

10 6 9.75 58.5 -2.01667 24.4016667 -49.2100278 99.2402226910 10.5 9 10.25 92.25 -1.51667 20.7025 -31.3987917 47.62150069

10.5 11 13 10.75 139.75 -1.01667 13.4369444 -13.6608935 13.8885750811 11.5 17 11.25 191.25 -0.51667 4.53805556 -2.34466204 1.211408719

11.5 12 21 11.75 246.75 -0.01667 0.00583333 -9.7222E-05 1.62037E-0612 12.5 28 12.25 343 0.483333 6.54111111 3.161537037 1.528076235

12.5 13 15 12.75 191.25 0.983333 14.5041667 14.26243056 14.0247233813 13.5 6 13.25 79.5 1.483333 13.2016667 19.58247222 29.0473338

13.5 14 3 13.75 41.25 1.983333 11.8008333 23.40498611 46.4198891214 2 14.25 28.5 2.483333 12.3338889 30.62915741 76.06240756

Spolu 120 1412.00 x 121.466667 -5.57388889 329.0441389

Priemer 11,76667Rozptyl 1,012222Smer. odch. 1,006093Var. koef. 8,55%Koef. šik. -0,04561Koef. špic. -0,32378

Variabilita platov meraná smerodajnou odchýlkousmerodajnou odchýlkou predstavuje 1 006 Sk, čo znamená, že za predpokladu jednovrcholového približne symetrického rozdelenia platov sa v intervale 11 767 Sk +-1 006 Sk nachádza asi 68% platov pracovníkov.Variabilita platov meraná variačným koeficientomvariačným koeficientom predstavuje 8,55% z priemerného platu.

CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI hovoria o rozsahu zošikmenia v štatistickom

súbore vyžadujeme od nich, aby:

to boli čísla nezávislé od merných jednotiek sa rovnali 0 v prípade symetrického

rozdelenia

52

CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI

a)a) Pearsonova miera šikmosti-Pearsonova miera šikmosti- určuje mieru asymetrie podľa vzájomnej polohy modusu a priemeru- je približná

53

ˆ

x

x x

s

CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI koeficient šikmostikoeficient šikmosti presnejšia miera šikmosti,

označenie: 11

jednoduchá forma

vážená forma

54

3

1

3

1 .

)(

sn

xxn

jj

3

m

1ii

3i

1 s.n

n)xx(

CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI

vyhodnotenie 11

bezrozmerné číslo 1 = 0 symetrické rozdelenie

1 > pozitívna (ľavostranná) asymetria

1 < negatívna (pravostranná) asymetria

55

-0+

ľavostranne

asymetrické

pravostranne

asymetrické

symetrické

CHARAKTERISTIKY ŠPICATOSTI čím viac sú početnosti sústredené v okolí

nejakej hodnoty znaku, tým má polygón rozdelenia výraznejší vrchol – tým je špicatejšíšpicatejší

rozdelenie hodnôt z hľadiska špicatosti sa v súbore porovnáva s normálnym rozdelenímnormálnym rozdelením

56

CHARAKTERISTIKY ŠPICATOSTI koeficient špicatosti označenie: 22

jednoduchá forma

vážená forma

57

3s.n

)xx(

4

n

1j

4j

2

3.

)(

41

4

2

sn

nxxm

iii

CHARAKTERISTIKY ŠPICATOSTI vyhodnotenie 22

bezrozmerné číslo 2 = 0 zhodné s normálnym rozdelením

2 > 0 špicatejšie ako normálne rozdelenie

2 < 0 plochšie ako normálne rozdelenie

58

špicatejšienormálneplochšie

VÝPOČET KOEFICIENTOV VÝPOČET KOEFICIENTOV ŠIKMOSTI A ŠPICATOSTIŠIKMOSTI A ŠPICATOSTI Slide 5151

Koeficient šikmosti = -0,04561Koeficient špicatosti = -0,32378

Interpretácia:Rozdelenie platov pracovníkov je

pravostranne asymetrické, t.j. vyššie početnosti sa sústreďujú pri vyšších platoch

Rozdelenie platov pracovníkov je plochšie ako normálne rozdelenie.

59

CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI, ŠPICATOSTI - ZHRNUTIE

60

Koeficient špicatosti

Koeficient šikmosti

ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ

61