APOSTILA – PORCENTAGEM – Prof. CALIXTO

INTRODUÇÃO

Motivadas pelo sistema de numeração decimal, as pessoas têm o costume de expressar a relação entre certa quantidade e o todo quando este é geralmente 100. Daí o uso do termo porcentagem (relativo a frações de denominador 100).

NOTAÇÃO E USO

Quando dizemos que, se em 400 alunos de uma escola, 240 são meninas, é o mesmo que dizer que encontramos 120 meninas em cada 200 alunos, ou ainda, 60 são meninas em cada 100 alunos. Representamos esta situação assim:

(observe que os denominadores referem-se ao todo)

Temos boa noção da proporção de meninas na escola principalmente através da última fração.

Por tratar-se de frações especiais (frações com denominador 100), receberam uma notação especial: %. Assim, por exemplo:

a) 60% = = 0,6 b) 4% = = 0,04 c) 123% = = 1,23

Obs.: Uma vez que uma porcentagem representa uma fração, pode ser escrita na forma decimal. O contrário é possível: escrever um número decimal ou uma fração (mesmo sem denominador 100) na forma de porcentagem:

a) = 0,14 = = 14% b) = 0,08 = = 8%

c) = 0,375 = = 37,5% d) = 1,888... = 189%

Obs.: Note que, se uma fração possui como denominador um divisor de 100 (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ou 100), não é difícil escrever a fração de denominador 100 a ela equivalente. No item e) isto não acontece. Neste caso trabalha-se com aproximação.

a) = 75% b) = 26% c) = 0,8%

d) 4 = = 400% e) = 0,428571... 0,43 = = 43%

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EXERCÍCIOS

1 – Escrever sob a forma de números decimais as porcentagens:

a) 22% b) 3% c) 250% d) 1,85% e) 0,18%

2 – Escrever sob a forma de fração irredutível as porcentagens:

a) 30% b) 8% c) 124% d) 0,4% e) 5.000%

3 – Escrever sob a forma de porcentagem as frações e os números decimais:

a) b) c) d) e)

f) 0,12 g) 0,123 h) 0,04 i) 0,4 j) 4

4 – Escrever sob a forma de porcentagem:

a) (10%)² b) c) (12%).(5%) d)

APLICAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM

Exemplo: Qual é a quantidade que representa 24% de 350 unidades?

Resposta: 0,24 . 350 = 84 ou . 350 = 84

Calcule então:

a) 25% de 120 b) 325% de 800 c) 2% de 400

d) 13% de 21 e) 0,2% de 5 f) 4% de 3,5

AUMENTOS E DIMINUIÇÕES PERCENTUAIS

Aumento percentual

O valor V que um número N = 30 terá após sofrer um aumento percentual de P = 24% é assim calculado:

V = 30 + 0,24 . 30 = (1 + 0,24).30 = 1,24 . 30 = 37,2

3

Você sabia que: 52‰ = = 0,052 ?

Note a colocação intencional do fator comum 30 em evidência. Este procedimento auxilia na busca de uma regra que ofereça diretamente o valor V após um aumento percentual. Descubra-a através de outros exemplos e aplique-a nas situações a seguir:

a) N = 250 e P = 8% b) N = 25 e P = 80% c) N = 2.000 e P = 2,4%

d) N = 23 e P = 120% e) N = 4 e P = 340% f) N = 87 e P = 900%

Diminuição percentual

O valor V que um número N = 30 terá após sofrer uma diminuição percentual de D = 24% é:

V = 30 – 0,24 . 30 = (1 – 0,24).30 = 0,76 . 30 = 22,8

Note novamente a colocação intencional do fator comum 30 em evidência. Do mesmo modo, busque uma regra que ofereça diretamente o valor V após uma diminuição percentual. Observando que não ocorre diminuição de mais de 100%, descubra-a através de outros exemplos e aplique-a nas situações a seguir:

a) N = 235 e D = 6% b) N = 29 e D = 60% c) N = 300 e D = 7,2%

Aplicação prática

Um produto custa 40 reais e sofre sucessivamente aumento de 36% e desconto de 25%. Qual seu preço final? Qual é o percentual equivalente a estas duas variações percentuais?

aum. de 36% ( 1,36) desc. de 25% ( 0,75)

Verifica-se que o preço inicial ficou multiplicado por 1,02 (1,36 0,75). Isto significa que ocorreu um aumento, e que equivale a 2%.

EXERCÍCIOS

1 – Numa sala existem 24 meninos e 16 meninas. Qual é o percentual de meninas na classe?

2 – Um reservatório de capacidade 200 litros contém 170 litros de água. Qual é o percentual relativo à parte vazia do reservatório?

3 – Um estacionamento tem 150 carros. Se ainda existem 40% de vagas, qual é a capacidade do estacionamento?

4 – Um produto custa 8 reais e teve seu preço aumentado em 3%. Quanto passará a custar?

5 – Um produto custa 15 reais e teve um desconto de 5%. Quanto custará?

4

40,00 54,40 40,80

6 – Uma mercadoria custa 28 reais e tem seu preço reajustado por dois aumentos sucessivos de 4% e de 6%. Qual será o seu preço após estes dois aumentos?

7 – Aumentando-se a altura e a base de um retângulo em 15% e 20%, respectivamente, a área deste retângulo é aumentada em qual percentual?

8 – No dia 1° de setembro foi aberta uma caderneta de poupança e depositada uma quantia x. No dia 1° de dezembro do mesmo ano o saldo era de 665500 reais. Sabendo que, entre juros e correção monetária, a caderneta de poupança rendeu 10% ao mês, qual era a quantia x?

9 – A cada ano que se passa, o valor de um carro diminui 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no 1° ano, qual seu valor no 8° ano?

10 – O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja 100 reais, daqui a 3 anos qual será o seu preço?

11 – Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo 20 reais mais cara em B. Se esta loja oferecesse um desconto de 10%, o preço nas duas lojas seria o mesmo. Qual é o preço desta mercadoria na loja A?

12 – O preço de um produto que custava R$ 12,50 sofreu um aumento, passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo foi de qual percentual?

13 – O dólar estava cotado a R$ 1,85. Passou no próximo dia a ser cotado a R$ 1,48. Qual é o percentual de queda na cotação?

14 – Determinado produto que custa 150 reais sofre dois decréscimos sucessivos de mesmo percentual, passando a custar 96 reais. De qual percentual foi cada desconto?

15 – O preço de um produto foi reajustado em 20% de aumento por um comerciante. Este se arrependeu e retornou ao preço anterior através de um desconto. De qual percentual foi este desconto?

16 – Um recipiente contém uma mistura de leite natural e leite de soja num total de 200 litros, dos quais 25% são de leite natural. Qual a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que venha a conter 20% de leite natural?

17 – Numa classe existem 40% de meninas. Esta classe recebeu matrícula de 6 meninas, fazendo este percentual aumentar para 50%. Quantos alunos há agora?

18 – Paulo gasta 20% de seu salário com combustível, 30% com alimentação, 15% com vestuário e 20% com impostos, restando-lhe ainda 200 reais. Qual é o salário de Paulo?

5

19 – Um produto teve dois aumentos sucessivos iguais que correspondem a um único aumento de 96%. Qual é o percentual de cada aumento?

20 – Após um aumento de 20%, o preço de um produto passou a custar 288 reais. Qual era o preço do produto anterior ao aumento?

21 – A qual percentual de desconto correspondem dois descontos sucessivos de 13% e de 31%?

22 – Um terreno tem forma retangular. O que acontece com sua área se aumentarmos em 30% sua largura e diminuirmos em 30% o seu comprimento?

23 – Numa certa população, 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual é a porcentagem de homens na população?

24 – Uma máquina produz 4% de suas peças com defeito. Após 5 horas de produção, desregulou-se e essa taxa aumentou para 6%, trabalhando assim por mais 3 horas no dia. Se neste dia a produção foi de 400 peças, quantas saíram com defeito?

25 – Uma loja cobra uma taxa de juros mensal de 10% na venda de um produto na seguinte condição de pagamento: entrada de 100 reais; 240 reais após um mês e 220 reais após dois meses. Qual é o preço deste produto à vista?

26 – Numa comunidade, 30% são fumantes. Se 2 em cada 5 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes será de 900 pessoas. Qual é a população desta comunidade?

27 – Uma liga metálica de 200 kg é composta de 15% de estanho e 25% de cobre. Deseja-se acrescentar a ela, num processo de fundição, certa quantidade de cada um destes metais para que a nova liga contenha 20% de estanho e 32% de cobre. Determinar estas quantidades.

28 – Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o salário dos restantes, fazendo com que o valor de sua folha de pagamento diminuísse 10%. O salário médio de sua empresa (valor da folha de pagamento dividido pelo número de empregados) teve qual aumento percentual?

29 – A organização de uma festa distribuiu gratuitamente 200 ingressos para 100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30% dos quais para mulheres. As 500 pessoas com ingresso foram à festa. Determine o percentual de mulheres na festa. Se os organizadores quisessem ter igual número de homens e mulheres na festa, quantos ingressos a mais eles deveriam distribuir apenas para as pessoas do sexo feminino?

30 – Dos carros que vêm de A, 45% viram à B

esquerda, o mesmo ocorrendo com 35% dos que AE

vêm de B e 30% dos que vêm de C. Qual o percen- tual de carros que, passando por A, entram em E? C

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LISTA DE EXERCÍCIOS

1 – Uma geladeira, cujo preço à vista é de 680 reais, tem um acréscimo de 5% neste preço se for paga em 3 prestações mensais iguais. Qual é o valor de cada uma destas parcelas?

2 – O salário de um trabalhador era de 840 reais e passou a ser de 966 reais. Qual foi a porcentagem de aumento em seu salário?

3 – Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com 87 reais. Quanto ele tinha e quanto ele gastou?

4 – Laura gastou 900 reais na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou 60 reais a menos que a estante, e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custa cada um destes produtos?

5 – Um televisor de 685 reais está sendo vendido em uma promoção com desconto de 12%. Por quanto está sendo vendido?

6 – Um fogão está sendo vendido assim: 30% de entrada e o restante em 5 prestações iguais de 63 reais cada uma. Qual é o preço deste fogão?

7 – Um objeto que custava R$ 70,00 reais teve seu preço aumentado em R$ 10,50. Qual foi o percentual deste aumento?

8 – O mesmo modelo de uma geladeira está sendo vendido nas lojas A e B do seguinte modo: na loja A por 800 reais com desconto de 8% e na loja B por 820 reais com desconto de 10%. Em qual destas lojas o preço é menor?

9 – Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B, sendo 50 reais mais barata em B. Se a loja A oferecesse um desconto de 10%, os preços ficariam iguais. Qual é o preço na loja A?

10 – Uma quantia de R$ l.890,00 foi repartida entre três pessoas. Marta recebeu 80% da quantia de Luiz e Sérgio recebeu 90% da quantia de Marta. Quanto recebeu cada pessoa?

11 – Um comerciante comprou uma peça de tecido de 100 m por 800 reais. Se ele vender 40 m com lucro de 30%, 50 m com lucro de 10% e o restante pelo preço de custo, qual é o percentual de lucro na venda da peça toda?

12 – Um fabricante de televisores oferece como “vantagem” a devolução do dinheiro pago pelos seus produtos dois anos após a compra. Supondo-se uma inflação anual de 900% nestes dois anos, se, ao invés de devolver o dinheiro, o fabricante desse, no ato da compra, um desconto equivalente em dinheiro a ser devolvido, de quantos por cento deveria ser este desconto?

Respostas: 1) 238 2) 15% 3) 145 e 58 4) 300; 240 e 360 5) R$ 602,80

6) 450 7) 15% 8) A 9) 500 10) L=750; M=600 e S=540 11) 17% 12) 1%

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LUCRO / PREJUÍZO SOBRE CUSTO E SOBRE VENDA

Com o objetivo de dimensionar lucros e prejuízos (auxiliar na contabilização de ganhos e perdas), o comerciante utiliza-se de medidas percentuais, temas deste item.

O preço de um produto que o comerciante adquire é denominado preço de custo (C). O valor a este preço acrescentado para posterior venda é chamado lucro (L). O preço resultante da soma de C com L é chamado preço de venda (V). Se o valor da venda é menor que o valor do custo, então o lucro é negativo e será chamado de prejuízo (P).

Assim sendo: e

lucro sobre custo lucro sobre venda

prejuízo sobre custo prejuízo sobre venda

Exemplos:

1 – Um objeto que custa 60 reais é vendido por 75 reais. Qual é a porcentagem do lucro em relação ao preço de: a) custo? ; b) venda?

L + C = V a) b)

L + 60 = 75

L = 15

2 – Um automóvel de preço 56 mil reais é vendido com um prejuízo de 20% sobre este preço. Qual foi o preço de venda?

P = 0,2 . 56.000 = 11.200 reais

V = C – P V = 56.000 – 11.200 = 44.800 reais

3 – Um vendedor ambulante vende seus produtos com lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo?

Daí:

Obs.: – O lucro sobre o custo é sempre maior que o lucro sobre a venda. – O prejuízo sobre o custo é sempre menor que o prejuízo sobre a venda.

8

V = C + L V = C – P

EXERCÍCIOS

1 – Uma jóia foi comprada por R$ 7.200,00 e vendida por R$ 8.640,00. Qual foi o percentual de lucro sobre o preço de custo desta jóia?

2 – Um vendedor teve prejuízo de 250 reais equivalente a 16% sobre a venda de uma mercadoria. Por qual preço ela foi comprada?

3 – Determinar o preço de custo de um automóvel que foi vendido por R$ 37.500,00, sabendo que o lucro sobre a venda foi de 20%.

4 – Um livro foi vendido por 136 reais com lucro de 40% sobre o preço de custo. Determine este preço de custo.

5 – Uma máquina fotográfica que custou 450 reais foi vendida com um lucro de 40% sobre o preço de custo. Por quanto foi vendida?

6 – Uma mercadoria que custa 840 reais é vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda?

7 – Um vendedor negocia seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Qual é seu lucro sobre o preço de custo?

8 – O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu a seus clientes um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Teve então um lucro ou um prejuízo sobre o preço de custo?

9 – Determinar de quanto por cento sobre o custo é o prejuízo de 100% sobre a venda?

10 – Uma certa mercadoria foi comprada e revendida sucessivamente por dois negociantes. O primeiro obteve um lucro de 10% sobre o respectivo preço de compra. O segundo a negociou sofrendo prejuízo de 10% sobre o respectivo preço de compra. Calcular o preço pelo qual o primeiro a adquiriu, sabendo-se que o segundo a transferiu ao comprador por R$ 2.079,00.

11 – Um comerciante compra 60 quilos de feijão e quer vendê-los de modo a poder comprar, com o dinheiro da venda, 80 quilos do mesmo feijão. Qual é a taxa de lucro do comerciante sobre a compra?

12 – Um comerciante comprou 350 litros de aguardente a R$ 1,35 o litro. Que quantidade de água deve juntar à aguardente para vender o litro a R$ 1,75 e ganhar 30% sobre o preço de compra?

13 – Certa mercadoria foi vendida por R$ 20.602,80 com prejuízo de 12,7% sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser vendida para dar um lucro de 15% sobre o seu custo?

14 – O prejuízo sobre o preço de compra de um produto é de 20%. Se ele fosse vendido pelo triplo do preço, qual seria o lucro sobre o preço de compra?

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JUROS

Ao aplicar (investir) certa quantia (capital C) em uma instituição financeira (por exemplo, um banco) por um determinado período de tempo (t), recebe-se, ao final deste, aquela quantia acrescida de um valor denominado juro (J). O valor do juro depende de certa porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. O montante (M) é o resultado da soma daquela quantia com o juro.

M = C + J

Juros simples são juros constantes incorporados a um capital, periodicamente, como, por exemplo, acontece na correção de certas dívidas por certo período de tempo.

Juros compostos são juros crescentes (ou decrescentes) incorporados a um capital, periodicamente, como acontece, por exemplo, na correção de aplicações financeiras.

Exemplo de situação envolvendo juros simples:

Uma dívida de 530 reais venceu há 5 dias. É cobrada uma multa de 0,2% por dia de atraso no sistema de juros simples. Qual é o valor do montante desta dívida?

→ 0,2% . 530 = 0,002 . 530 = 1,06 (juro de um dia)→ 5 . 1,06 = 5,30 (correção da dívida em juros simples por 5 dias)→ montante: M = C + J = 530 + 5,30 = 535,30 reais.

Generalizando: J = C . i . t daí:

Exemplo de situações envolvendo juros compostos:

1 – Um capital de 40 mil reais foi aplicado à taxa de 2% ao mês durante 3 meses. Qual foi o montante ao final deste período?

→ 1° mês: M = 1,02 . 40.000→ 2° mês: M = 1,02 . (1,02 . 40.000) = 1,022.

40.000→ 3° mês: M = 1,02 . (1,022. 40.000) = 1.023.

40.000 = 42.448,32 reais.

Generalizando:

Obs.: Analogamente conclui-se que um capital, após descontos sucessivos e iguais, transforma-se no montante:

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M = C . (1 + i) t

M = C . (1 – i) t

M = C . (1 + i . t)

2 – Quanto receberá de juros, ao final de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de 6.000 reais à taxa de 1% ao mês?

M = C . (1 + i) t = 6.000 . 1,016 ≅ 6.369,12 reais (com auxílio de calculadora)Assim, J = 6.369,12 – 6.000 = 369,12 reais.

Obs.: – Por tratar-se de uma equação exponencial em t, calculá-lo requer conhecimentos básicos da teoria de logaritmos.

– Como visto no exemplo acima, a calculadora faz-se necessária no cálculo do capital inicial ou do capital final, sobretudo quando se tem valor elevado para t.

– O período t e a taxa i devem referir-se a mesma unidade de tempo.

EXERCÍCIOS

1 – Qual deve ser o capital que, aplicado à taxa de 20% ao ano, gera um montante de 14.400 reais em 2 anos?

2 – Calcule o montante produzido por 5.000 reais aplicado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano.

3 – O capital de 2.000 reais rendeu, após 4 meses, juros de 165 reais. Qual foi a taxa de juros?

4 – Em qual situação a aplicação de 4.000 reais terá maior rendimento:a) no sistema de juros simples a 3% ao mês, em 2 meses?b) no sistema de juros compostos a 2% ao mês, em 3 meses?

5 – Em determinada época, a taxa de correção monetária da caderneta de poupança é de 10%. Uma pessoa deseja comprar um produto oferecido em duas situações. Qual é a situação mais vantajosa:

a) à vista, por 3.000 reais?b) a prazo, em 3 parcelas de 1.100 reais (com entrada)?

6 – Um certo material radioativo perde diariamente 2% de sua massa. Se t é o tempo necessário para que sua massa fique reduzida à metade (meia vida), determine t. [use log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845]

7 – Um televisor é vendido em 4 parcelas (1 + 3) de 240 reais. A taxa de aplicação financeira na época da compra é de 10%. A partir de qual percentual de desconto a compra à vista é mais vantajosa?

8 – Uma pessoa tinha uma dívida de R$ 7.500,00 com certo banco. Após 5 meses verificou que havia sido corrigida para R$ 9.500,00. Qual foi a taxa de juros cobrada pelo banco?

9 – Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% por bimestre?

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10 – Aplicando 100 mil reais a juros compostos de 5% ao mês e 80 mil reais a 6% ao mês, depois de quanto tempo teremos montantes iguais?

CURIOSIDADE

Segundo a prática em bancos, o tempo necessário para que um capital dobre o seu valor é dado pelo quociente entre o número 70 e a taxa média de aplicação. É a denominada regra dos 70, que funciona bem com taxas pequenas.

Justificativa:

M = C . (1 + i) t [] veja que se x 0 x ln (1 + x)

2C = C . (1 + i) t

2 = (1 + i) t

ln 2 = ln (1 + i) t

t . ln (1 + i) = ln 2 []

t . i = ln 2 0,7

Daí: t = ou t =

Assim, o tempo necessário para que uma quantia dobre de valor, corrigida mensalmente por uma taxa média de 1,4%, é:

t = = = 50 meses

12

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2