pp tim min max cua bieu thuc

THCS Hội An ĐôngA MỞ ĐẦUCác bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này .Để giải các bài toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức từ các dạng đơn giản đến các dạng phức tạp .Bởi thế , có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp 2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số.Các bài toán cực trị đại số ở chương trình toán cấp 2 có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất dẳng thức , các bài toán giải phương trình và hệ phương trình , các kiên thức về tập hợp về hàm số và đồ thị hàm số. Về mặt tư tưởng bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công việc đạt hiệu quả cao nhất , tốt nhất .Tóm lại các bài toán cực trị trong đại ở chưong trình toán cấp 2 là các bài toán tổng hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng tư duy cho học sinh , nó có một vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi .Bồi dưõng HS thi vào các trường chuyên , thi vào cấp 3.B NỘI DUNG:I. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đưa về dạng Ax 0 hoặc Ax 0a, Cơ sở lý luận - Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax 0 thì GTNN của Ax = 0

Nếu M = Ax / Ax 0 thì GT LN của Ax = 0b, Các ví dụ .Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Ax = 2x2 – 8x +1 với x là số thực bất kỳ .Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì (x- 2 )2 0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7 -7 . Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ .

Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x +52

)2 + 59

Tư liệu giáo viên 1

THCS Hội An Đông

Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +52

)2 0 . Vậy Mx 59

(dấu = xảy ra khi x =

-52

. Ta có GTLN của Mx = 59

với x = -52

.

II . Phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng

cách đưa về dạng 02 kAx

hoặc 02 kAx

Ví dụ 3:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ax = xxx

316152 Vói x là các số thực dương .

Lời giải: Ta có Ax = xxx

316152 =

323

3)4( 2

xx với mọi x >0 thì

323

3)4( 2

xx

323 . Vậy GTNN của Ax =

323 với x= 4.

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Mx= 321063

2

2

xxxx với x thuộc tập hợp số thực.

Lời giải:Ta có Mx= 321063

2

2

xxxx = 3 + 2)1(

12 x . Vì 2)1(

12 x

21

nên ta có

Mx = 3 + 2)1(1

2 x 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Fx,y = 221)(

2442

222

xyyxxyyxy

với x, y là các số thực.

Lời giải:Ta có Fx,y = 221)(

2442

222

xyyxxyyxy

= )2)(1(124

4

xy

y vì y4 +1 0 với mọi giá trị

của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta được : Fx,y = 2

12 x

vì x2 0 với mọi x nên

x2 + 2 2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 2

12 x

21

Vậy Fx,y dật GTLN = 21

với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý.

III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dương a,b, c ta có:

a + b ab2 đạt được dấu = khi a=b .a + b+ c abc3 đạt được dấu = khi a=b = c .


THCS Hội An Đông 2. Các ví dụ : Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ax = x

x 28 2 với x > 0.

Lời giải:Ta có Ax = x

x 28 2 = 8x + x2

. Ta thấy 8x và x2

là hai đại lượng lấy giá trị

dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và x2

ta có:

8x + x2

81622.82 x

x dấu = xẩy ra khi 8x = x2

= > x =21

.

Vậy GTNN Ax = 8 với x = 21

.

Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dương .Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng được bất đẳng thức Côsi ta có Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > 0 , còn 16 – x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16 (*)ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lượng dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 và 16- x3 ta có 2 1616)16( 3333 xxxx suy ra x3( 16 – x3) 64 dấu = xẩy ra khi x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của Bx = 64 , với x=2.IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ :Ví dụ 8 : Với giá trị nào của x thì biểu thức

Px = 52

35680561642

234

xxxxxx đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải: Ta có : Px = 52

35680561642

234

xxxxxx = 4x2 + 8x+ 20 +

52256

2 xx

Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt

y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y + y256

với y > 0 , ta thấy 4y và y256

là hai đại lượng

luôn dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 4y và y256

ta có :

4y + y256

6416.2.2256.42 y

y . Dấu = xẩy ra khi 4y = y256

=> y = 8 hoặc y = -8

từ đó tính được x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64.Ví dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực. Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Qx = y ( 6- 2y). Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3Tư liệu giáo viên 3

THCS Hội An ĐôngVậy 2y và 6-2y là hai số dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y )26(22 yy => 3 )26(2 yy => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi

2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+22 hoặc x= 1 -

22

.Vậy GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+22 hoặc x= 1 -

22 .

Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x là các số thực tuỳ ý .

Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+ 21

)2 +431

>0 với mọi giá trị của x

*20 – x2 –x > 0 khi -5 < x < 4 .Như vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). Với -5 <x <4 ta có 8+ x2 + x và 20 – x2 –x luôn dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lượng dương 8+ x2 + x và 20 – x2 –x ta có : (8+ x2 + x )+( 20 – x2 –x) )20)(8(2 22 xxxx

14 )20)(8( 22 xxxx => 196 (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) .Dấu = xẩy ra khi 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= 2 hoặc x= -3.

Hay Hx 196 .Vậy GTLN của Hx = 196 ,với x=2 hoặc x = -3.V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lượng .Ví dụ 11 : Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .Lời giải: Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2 .Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1)2 0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.Giải hệ điều kiện trên ta được p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3 Ví dụ 12 : Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59. đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.Lời giải: Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50.Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 1. Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta được x=8 y= 3 .Vậy GTNN của F = 1 với x=8, y=3 .Ví dụ 13 : Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5. Đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.Tư liệu giáo viên 4

THCS Hội An ĐôngLời giải: Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay

P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 .Ta thấy (x+2y)2 0 ; (3y – 2z)2 0; (x- z )2 0; 2x2 0 với mọi giá trị của x, y, z .Vậy GTNN của P = 5 đạt được khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ phương trình trên ta được x= y =z = 0 .VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.

*Bất đẳng thức Buanhiacôpski. ( a1b1 + a2b2 + .........anbn)2 (a1

2 + a22 +......+an

2)(b12 + b2

2.......bn2)

Dấu bằng xẩy ra khi n

n

ba

ba

ba

......2

2

1

1

*Các ví dụ :Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất . P = x2 + y2 +z2. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995.Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có : (x.1 + y.1 + z.1)2 (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)Hay : ( x + y +z )2 3.(x2 + y2 + z2 ) . Từ đó ta có :

P = x2 + y2 + z2 3

19953

)( 22

zyx ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).

Vậy GTNN của P = 3

19952

dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =

1995 .Ta có x= y =z =665.Ví dụ 14 :Cho biểu thức Q = zyx .542 . Trong đó x,y,z là các đại lượng thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q.Lời giải:Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, 5 và x, y, z ta có : (2x + 4y + 5 z)2 { 22 + 42 + ( 5 )2}( x2 + y2 + z2) .Hay Q2 { 22 + 42 + ( 5 )2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 25.169.

Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi 542zyx

và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm

được x =526;

526

. y= .5

52;552

z =5

513;5

513

VII. Các bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho biểu thức : Q = 544

32 xx

. Tìm GTLN của Q.

Bài 2: Biểu thức : P = 212

2

xx

có giá trị lớn nhất không ?

Hãy chứng tỏ khẳng định của mình.Tư liệu giáo viên 5


Bài 3: Cho biểu thức : A = 12

12

2

xxxx . Với x -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A.

Bài 4: Cho biểu thức : B= 126146

2

2

xxxx . Tìm GTLN của B.

Bài 5: Cho biểu thức: F = xxx

316152 . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F.

Bài 6: Cho biểu thức: A = 4

2

1 xx

. Hãy tìm GTLN của A.

Bài 7: Cho biểu thức: Y = x

xx )8)(2( . Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y.

Bài 8: Cho biểu thức: Y = 1

122 23

xxxx . Tìm GTNN cua Y.

VIII. Hướng dẫn giải và đáp số :

Bài 1:Ta có : Q = 43

4)12(3

2 x . Vậy GTLN của Q =

43

, với x= 0,5.

Bài 2: Ta có P = 1 - 2)1(

2

2

xx . Vì

2)1(

2

2

xx 0 với mọi x nên P 1. Vậy GTLN của P= 1

khi x=1.

Bài 3:Ta có : A= 1 - 211

x

x . Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi 211

x

x đạt GTLN muốn

vậy x+x1

+ 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên x1

> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai

số dương x và x1

ta có : x + x1

xx 1.2 = 2 .Dấu = xẩy ra khi

x = x1

=> x= 1; x = -1 (Loại ).

Vậy GTNN của A = 1 - 43

41

, với x= 1.

Bài 4: Ta có : B= 126146

2

2

xxxx = 1+ 3)3(

22 x . Ta thấy B có GTLN thì 3)3(

22 x

phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất .

Ta có (x- 3)2 + 3 3 với mọi x . Vậy GTLN của B = 35

, với x = 3.

Bài 5: Ta có F = xxx

316152 . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = 5

316

3

xx

vì x > 0

Nên 3x

> 0; x3

16 > 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

3x

+ x3

16x

x316

32 =

38

; Dấu =

xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 + 38

= 323

; với x = 4.



Bài 6: Ta có : A = 4

2

1 xx

với x 0 thì A = 22

11

xx

. A đạt GTLN khi 2

1x

+ x2 nhỏ

nhất , ta thấy x2 và 2

1x

là hai số dương nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:

x2 + 2

1x

22 1.2

xx = 2 . Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1.

Vậy GTLN của A = 21

, với x= 1; x = -1.

Bài 7: Ta có : Y = x

xx )8)(2( . Với x > 0 Y = x +

x16

+ 10 x

x 16.2 + 10 = 18

( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và x

16). Dấu = xẩy ra khi x = 4.

Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 .

Bài 8: Ta có : Y = 1

122 23

xxxx ( với x 1) Y = ( x +

23

)2 - 45

45

.

Dấu = xẩy ra khi x = - 23

.

Vậy GTNN của Y = -45

; với x = - 23

.


pp tim min max cua bieu thuc

Education