Kanrh Q. Tsgkano Kajhght Tm mato Fusik Panepisthmou Ajhn¸nEisagwg sthJEWRHTIKH MHQANIKHme 200 paradegmata kai lumèna probl mata

Aj na - 2004

PROLOGOSTo an qera sÔggramma apotele mi sÔntomh all sÔgqronh eisagwg sthJewrhtik Mhqanik . Baszetai se èna examhniao mjhma pou plèon th eikosaeta didqjhke kai didsketai se foithtè Fusik kai Majhmatik¸n, staPanepist mia Kr th kai Ajhn¸n. An kai apeujÔnetai se deuteroete foithtè tou proptuqiakoÔ kÔklou pou enai exoikoiwmènoi me ti basikè ènnoie th Fusik , autì den enai apìluto proapaitoÔmeno. Jewretai ìmw w dedomènhkpoia euqèreia tou anagn¸sth sth qr sh tou diaforikoÔ kai oloklhrwtikoÔlogismoÔ san ergalewn gia th melèth sugkekrimènwn problhmtwn Fusik .H Jewrhtik Mhqanik - maz me thn Klasik Jewra Pedwn kai thn K-lasik Statistik Mhqanik - dkaia jewretai w to akrogwniao lijri touoikodom mato th Fusik kai parllhla o spermatodìth ide¸n twn dÔo ll-wn basik¸n kldwn th Fusik , th Kbantik kai th Sqetikistik Fusik .Pèra apì aut thn anagnwrismènh axa th , h Jewrhtik Mhqanik apotelewstìso èna mèso melèth , katanìhsh , posotik anlush kai prìbleyh pol-l¸n fusik¸n fainomènwn th kajhmerin qeiropiast ma pragmatikìthto .Gi pardeigma,

• p¸ epitugqnetai h mègisth arqik epitqunsh enì motopodhltou kaise pìso qrìno fjnei sto èdafo apì dedomèno Ôyo èna alexiptwtist ;• Me t akrbeia prèpei na orsoume to arqikì plto th talntwsh enì koinoÔ oikiakoÔ ekkremoÔ rologioÔ ètsi ¸ste autì na m qnei peris-sìtero apì èna deuterìlepto thn hmèra ;

8• Pìso oxÔ enai o suntonismì diafìrwn talantwtik¸n hqewn kai giatsta Lasers epitugqnetai suntonismì me ekplhktik meglh akrbeia ;

• Poiè enai oi qarakthristikè suqnìthte pou talant¸netai eleÔjera ènagrammikì kuklikì poluatomikì mìrio kai p¸ entì exwterikoÔ magn-htikoÔ pedou katanooÔntai poiotik to fainìmeno Zeeman tou diaqwris-moÔ twn fasmatik¸n gramm¸n enì atìmou kai h metptwsh Larmor touspin twn atomik¸n hlektronwn ;

• P¸ mporoÔme na katano soume me èna aplì montèlo th diafor kanonik kai qaotik sumperifor enì m grammikoÔ dunamikoÔ sust mato , kaikat pìso prèpei na anhsuqoÔme gia th stajerìthta th troqi th Gh kai twn llwn planht¸n ;

• Sqetzontai ennoiologik oi kÔrie dieujÔnsei enì stereoÔ s¸mato meti idiokatastsei th Qamiltonian enì kbantikoÔ sust mato kai oikanonikè suntetagmène kai kanoniko trìpoi talntwsh me ti kumato-sunart sei kai idiosuqnìthte th Kbantik Fusik ;

• Giat klasik den mporoÔn na uprxoun toma me perissìtera apì Z = 137prwtìnia kai hlektrìnia kai p¸ o Rutherford upolìgise ti diastsei tou pur na twn atìmwn ;

• Me poiì aplì perama ja mporoÔse o Galilao na eqe apodexei en¸pionth Ier Exètash thn 24/wrh peristrof th G , poi enai h fortwn kukl¸nwn kai twn antikukl¸nwn th atmìsfaira kai giat o xona peristrof th Gh metapptei san autìn enì strìbou ;Epsh , sth megalÔterh Diasthmik klmaka h Klasik Mhqanik enai oadiafilonkhto plohgì th exereÔnhsh tou planhtikoÔ ma sust mato en¸parllhla sthn Astrofusik parèqei ta mèsa katanìhsh poiklwn kai entup-wsiak¸n fainomènwn tou Kìsmou. Gi pardeigma,• p¸ oi palirroiakè dunmei th Sel nh pnw sth Gh auxnoun stajerto m ko th hmèra kai p¸ h diat rhsh th olik stroform autoÔtou sust mato odhge sthn bajmiaa apomkrunsh th Sel nh apì thGh ;

• Mpore èna majht Lukeou na apodexei tou nìmou th Ournia Mhqanik tou Kepler qwr th qr sh ApeirostikoÔ LogismoÔ all mìnome th bo jeia th stoiqei¸dou Eukledeia gewmetra ;

• Poi enai h exswsh th troqi th Gh gÔrw apì ton 'Hlio kai p¸ aniqneÔoume s mera llou plan te gÔrw apì makrinoÔ astère ;

9• Poiì enai o mègisto qrìno pou èna kom th mpore na breje entì th troqi th Gh gÔrw apì ton 'Hlio kai se poi oikonomik troqi prèpeina teje èna diasthmìploio gÔrw apì ton 'Hlio gia na fjsei sÔntoma seèna kontinì Asteroeid ;

• P¸ xepernoÔn ton ad rito nìmo th diat rhsh th stroform ta en-dogalaxiak nefel¸mata ìtan katarrèoun ktw apì th barÔtht tou giana sqhmatsoun neogènnhta stra kai giat dhmiourgoÔn perteqnou p-dake plsmato oi opooi anadÔontai apì prwtoplanhtikoÔ dskou poustrobilzontai gÔrw tou ;

• P¸ mpore poiotik na exhghje h exairetik arg metptwsh tou perih-lou th troqi tou Erm kai giat se èna sÔsthma dÔo astèrwn netronwn(ìpw sthn prìsfath parat rhsh tou diploÔ plsar) pou perifèrontai sekontinè apostsei gÔrw apì to koinì kèntro mza tou h metptwshtou peristrou enai kat polÔ megalÔterh ;

• Poi enai h oikonomikìterh troqi thn opoa prèpei na akolouj sei ènadiasthmìploio gia na fjsei se kpoio sugkekrimèno plan th kai p¸ hsÔgqronh Diasthmik qrhsimopoie to pedo barÔthto orismènwn plan-ht¸n gia na prowjhjoÔn diasthmosuskeuè san mpalkia tou pgk-pìgksti esqatiè tou hliakoÔ ma sust mato kai akìmh makrÔtera ;

• Giat sqhmatsjhkan oi daktÔlioi tou Krìnou kai se poi apìstash apìmia melan op ja katatemaqisje basanistik èna tuqo astronaÔth tou opoou to skfo naughse kpou kont th sto disthma ;

• Tèlo , p¸ me th qr sh th Klasik Mhqanik mporoÔme na zugsoumeterstie ajèate melanè opè pou loufzoun sta kèntra gigantiawnmakrun¸n galaxi¸n, p¸ na upologsoume ti terstie posìthte th skotein Ôlh kai thn krsimh puknìthta kai hlika tou SÔmpanto ;Apant sei se erwt mata ìpw ta prohgoÔmena eurskontai ston parìnta tìmoo opoo enai qwrismèno se 24 enìthte , kajemi apì ti opoe antistoiqese èna dwro mjhma. Epeid sun jw èna akadhmaikì exmhno perièqei perti 12 didaktikè ebdomde , h Ôlh mpore na kalufje mèsa se autì to disth-ma me dÔo dwre dialèxei kai èna dwro ask sewn an ebdomda. H enal-laktik parousash th Analutik Mhqanik kat Lagrange kai Hamiltonparousizetai sunoptik sta 2 teleutaa keflaia, mè èmfash sth qr sh th gia thn lÔsh ask sewn oi opoe me th Neut¸neia Mhqanik enai pio dÔskolona lujoÔn.

10 Etsi, to parìn sÔggramma èqei san kÔrio skopì tou na d¸sei mi sÔntomhall sÔgqronh kai sfairik eikìna th Jewrhtik Mhqanik idiatera mèsaapì th qr sh poll¸n paradeigmtwn, ìpw aut mpore na didaqje se èna 6/mh-niao mjhma. O anagn¸sth ìmw me perissìtera endiafèronta ja tan qr simona parakolouj sei kai èna deÔtero 6/mhniao mjhma sto dio antikemeno.H èmfash th parousash th Ôlh th Jewrhtik Mhqanik sto biblo toÔ-to ddetai sti montèrne efarmogè th kai gia to skopì autì h deÔterh aut èkdosh èqei emploutisje me poll nèa lumèna probl mata. 'Etsi, sunolikparousizontai perissìtera apì 200 lumèna probl mata kai paradegmata, metthn ennoiologik olokl rwsh twn antstoiqwn enot twn, ta opoa kalÔptounèna eurÔ fsma efarmog¸n th Jewrhtik Mhqanik . Epsh , èqoun proste-je arketè nèe parapompè sto diadktuo gi sÔgqrona sqetik jèmata, en¸o anagn¸sth mpore na trèxei se Java arket eikonik peirmata ta opoaeurskontai sthn istoselda tou maj mato mèsa apì thn opoa to biblo jaupìkeitai se suneq ananèwsh.H pl rh stoiqeiojèthsh tou biblou ègine qrhsimopoi¸nta ti sÔgqrone mejìdou tou Desktop Publishing, ìpw LaTeX, Corel Draw, klp. Euqarist¸to Qr sto gia thn hlektronik epexergasa twn sqhmtwn all kai th Gewrga,ton Ant¸nh kai ton Eugènio pou entìpisan arket ekfrastik ljh sto arqikìkemeno. Gia ti upìloipe ableye pou apomènoun na diorjwjoÔn sthn epìmenhèkdosh, ja eugnwmon¸ tou anagn¸ste oi opooi ja ma ti upodexoun stomèllon. 'Allwste, den fanetai na uprqei kanèna epimèrou dhmioÔrghma pounnai pragmatik tèleio se autì ton kìsmo..K. Tsgkano , Aj na, Noèmbrio 2004

PerieqìmenaKEFALAIO 1. To Plasio th Fusik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1 To plasio th Fusik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2 Klasik Fusik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Kbantik Fusik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Sqetikistik Fusik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 'Oria Kbantik - Klasik - Sqetikistik Fusik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Mi sÔgqronh efarmog th Klasik Mhqani-k : To must rio th skotein Ôlh tou SÔmpanto . . . . . . . 291.6.1 P¸ zugzoume ti melanè opè sto kèntro twn galaxi¸n; 301.6.2 P¸ zugzoume th skotein lw twn galaxi¸n; . . . . . . 331.6.3 P¸ zugzoume th skotein Ôlh se sm nh galaxi¸n; . . . 351.6.4 Poi enai h fÔsh th skotein Ôlh ; . . . . . . . . . . . 361.6.5 Pìte dhmiourg jhke h skotein Ôlh sto SÔmpan kai p¸ ephrèase thn katanom th fwtein Ôlh pou blèpoumes mera; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.6 Poi enai h fÔsh th skotein enèrgeia ; . . . . . . . . 38ASKHSEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11

12 PERIEQOMENA

KEFALAIO 1H Klasik Mhqanik sto plasio th Fusik kai mi sÔgqronh efarmog th Skopì th enìthta aut enai na d¸sei èna sÔntomo pergramma th Fusik , twn basik¸n perioq¸n th kaj¸ kai twn orwn anametaxÔ tou . Jaklesoume me mi sÔgqronh efarmog th Klasik Mhqanik pou deqnei pìsoaut paramènei s mera èna zwntanì kai qr simo kldo th Fusik .1.1 To plasio th Fusik Antikemeno th Fusik enai h melèth, anlush, perigraf , ermhnea kaiprìbleyh twn fusik¸n fainomènwn. Aut h melèth twn fusik¸n fainomènwnmèqri ti arqè tou 20ou ai¸na ginìtan apokleistik me th qr sh th Klasik Fusik . St arqè ìmw tou 20ou ai¸na anaptÔqjhkan gia ton dio skopì dÔonèoi kldoi, auto th Kbantik Fusik kai th Sqetikìthta .Se teleutaa anlush, èna fusikì fainìmeno angetai sthn knhsh enì mikroÔ meglou arijmoÔ swmatidwn upì thn epdrash kpoiwn dunmewn pedwn. Epomènw , gia mia pl rh perigraf twn diafìrwn fusik¸n fainomènwnqreiazìmaste ta akìlouja : 23

24 To Plasio th Fusik

Sq. 1.1: H Klasik Mhqanik sto genikìtero plasio th Fusik .

Jewrhtik Mhqanik 251. Tou nìmou th knhsh twn swmatidwn upì thn epdrash dunmewn.2. Tou nìmou aut¸n twn dunmewn pedwn.3. Mia sÔndesh mikrìkosmou - makrìkosmou.H perigraf th knhsh swmatidwn upì thn epdrash dedomènwn dunmewn pedwn enai to antikemeno th Mhqanik (Klasik Kbantik ), en¸h perigraf twn jemeliwd¸n pedwn enai to antikemeno th Jewra twnPedwn (Klasik Kbantik ). Tèlo , h sÔndesh mikrìkosmou - makrìkos-mou enai to antikemeno th Statistik Mhqanik (Klasik Kban-tik ).'Ena meglo pl jo Efarmog¸n th Fusik èqei allxei to prìswpoth kajhmerin zw sti mère ma . 'Ena pergramma twn diafìrwn perioq¸nth Fusik fanetai sthn prohgoÔmenh selda, mèsa sto opoo sumperilambne-tai kai h Klasik Mhqanik .1.2 Klasik Fusik Oi tre perioqè th Klasik Fusik enai h Klasik Mhqanik , h K-lasik Jewra Pedwn kai h Klasik Statistik Mhqanik . Antikemeno th K-lasik Mhqanik enai h melèth th knhsh swmatidwn upì thn epdrashdedomènwn dunmewn. Gia pardeigma, oi nìmoi tou NeÔtwna perigrfoun thnknhsh enì sust mato ulik¸n shmewn upì thn epdrash dedomènwn dunmewn.Antikemeno th Klasik Jewra Pedwn enai h melèth twn jemeli-wd¸n dunmewn pedwn, ìpw enai to pedo barÔthta kai to hlektromagnhtikìpedo. Gia pardeigma, oi exis¸sei tou Maxwell ekfrzoun tou nìmou tou h-lektromagnhtikoÔ pedou en¸ o nìmo th pagkosmou èlxew apotele to nìmopou perigrfei th barutik allhlepdrash maz¸n sthn Klasik Fusik .Antikemeno th Klasik Statistik Mhqanik enai h sÔndeshtou mikrìkosmou, dhlad enì meglou arijmoÔ swmatidwn pou apoteloÔn ènamakroskopikì s¸ma, me to makrìkosmo kai ti basikè makroskopikè metabl-htè tou. Gia pardeigma aut th sÔndesh pragmatopoie o nìmo th entropa .H Klasik Fusik èftase sto tèlo tou 19ou ai¸na se uyhlì shmeosunèpeia kai olokl rwsh qrh sti jemeli¸dei suneisforè twn Newton,Lagrange, Hamilton, Euler, Poincare, k.a. (Klasik Mhqanik ), Maxwell,Gauss, Faraday, Ampere, Coulomb, Lorentz, k.a. (Hlektromagnhtismì ) kaiBoltzmann, Liouville, Gibbs, Claussius, k.a. (Statistik Mhqanik ).

26 To Plasio th Fusik 1.3 Kbantik Fusik Sthn Klasik Fusik èqoume dÔo fusikè ontìthte , ta swmatdia (entopis-mèna kai adiareta) kai ta kumatik peda (ektetamèna kai diairet), pou enaifore enèrgeia kai orm . Sth Fusik tou mikrìkosmou, thn Kbantik Fusik pou anaptÔqjhke sti pr¸te dekaete tou 20ou ai¸na, èqoume to sumbibasmìswmatidou - kÔmato , (duismì th Ôlh ) kai thn kbntwsh, spèrmata wstìsoth opoa èqoume dh sthn Klasik Fusik (p.q. armonikè sthn talntwshmia qord , idiosuqnìthte sust mato swmatidwn, klp). Wstìso, axzei natonisje ìti ma kainotoma th Kbantik Fusik pou llaxe rdhn thn eikìnath nteterministik Klasik Mhqanik enai h arq th abebaiìthta touHeisenberg.H Kbantik Fusik anaptÔqjhke mèsa ston 20o ai¸na (∼ 1926) qrhsti suneisforè twn Bohr, Heisenberg, Schrodinger, Sommerfeld, Dirac, DeBroglie, Feynman, k.a.1.4 Sqetikistik Fusik Sthn Klasik Fusik , o Eukledio q¸ro R3 jewretai omogen kai isìtropo kai o qrìno omogen . Epsh , ìle oi allhlepidrsei enai stigmiae en¸ oinìmoi th Klasik Mhqanik enai anallowtoi stou metasqhmatismoÔ touGalilaou. Wstìso, oi nìmoi tou HlektromagnhtismoÔ enai anallowtoi stou metasqhmatismoÔ tou Lorentz kai ìqi tou Galilaou.O Einstein diatÔpwse thn arq th Sqetikìthta th Fusik ìpou ìla taadraneiak sust mata enai isodÔnama gia th diatÔpwsh twn nìmwn th Fusik ,kaj¸ epsh kai ìti h taqÔthta tou fwtì se èna adraneiakì sÔsthma stokenì enai stajer kai anexrthth th knhsh th phg . Apotèlesma aut¸ntwn arq¸n enai ìti o q¸ro kai o qrìno den enai apìlutoi kai ìti stigmiae allhlepidrsei den enai dunatìn na uprqoun. ′Etsi, h Genik Jewra th Sqetikìthta tou Einstein (1916) tropopohse to nìmo th pagkosmou èlxew tou Newton. Shmantikè suneisforè sth Genik Jewra th Sqetikìthta èkanan ektì tou Einstein kai oi Schwarzchild, Kerr, Chandrasekhar, Hawking,Penrose, Xanjìpoulo , k.a.

Jewrhtik Mhqanik 271.5 'Oria Kbantik - Klasik - Sqetikistik Fusik ′Ena kalì diaqwrismì Kbantik - Klasik - Sqetikistik Fusik mporena doje xekin¸nta apì to gegonì ìti h Kbantik Fusik perigrfei ta fainìm-ena tou mikrìkosmou, h Klasik Fusik ta kajhmerin fainìmena tou qeiropi-astoÔ kìsmou ma , en¸ tèlo h sqetikìthta anafèretai se fainìmena th kos-mologik klmaka /kai fainìmena ìpou oi taqÔthte plhsizoun thn taqÔthtatou fwtì . ′Ena piì posotikì krit rio apotele to mègejo tou m kou kÔmato enì ulokÔmato

λ =h

p,ìpou to h enai h stajer th aprosdiorista , h = 6.63 × 10−27 ergs sec.Otan to l enai amelhtèo, oi kumatikè idiìthte th Ôlh enai amelhtèe . Giapardeigma, èna swmatdio skình me mza m ≈ 1 gr kinoÔmeno me taqÔthta

v ≈ 1 cm/sec èqei m ko kÔmato λ ≈ 10−27 cm. Apì to llo mèro to m ko De Broglie tou hlektronou me mza m ≈ 10−27 gr kai taqÔthta sto tomo touudrogìnou v = c/137 ≈ 108 cm/sec èqei antstoiqo m ko kÔmato λ ≈ 10−8

cm = 1 Angstrom.′Ena isodÔnamo krit rio apotele epsh h stroform tou swmatidou L semonde h(= h/2π). ′Etsi, mza m ≈ 1 gr kinoÔmenh me taqÔthta v ≈ 1 cm/secse kuklik troqi aktna r = 1 cm, èqei stroform L/h ≈ 1027. Apì to llomèro , h stroform tou hlektronou sthn troqi Bohr enai L/h ≈ 1.Fusik kai den uprqei kan upoya kbantik¸n fainomènwn sthn knhshswmtwn me meglh mza, p.q. sthn knhsh th Gh per ton ′'Hlio ìpou è-qoume M⊕ = 6 × 1027 gr, taqÔthta perifor v = 30 km/sec, aktna troqi

r = 1013 cm kai L/h ≈ 1074!Enai profanè loipìn ìti h Klasik Mhqanik perigrfei epark¸ thnknhsh enì s¸mato ìpou h stroform tou en sqèsei me to kontinìtero l-lo s¸ma pou ephrezei thn knhs tou enai ≫ h.′Ena posotikì krit rio sqetikistik¸n fainomènwn apotele o pargonta g,

γ =1

√

1 − β2, β =

v

c.Ston akìloujo pnaka ddontai oi timè tou g gi difore timè tou b.

28 To Plasio th Fusik b g0.01 1.000050.1 1.005040.5 ≃ 1.150.9 ≃ 2.30.99 ≃ 70.999 ≃ 220.9999 ≃ 71Ta sqetikistik fainìmena enai shmantik ìtan to γ enai arket megalÔteroth monda .Apoklsei apì thn Eukledeia gewmetra èqoume ìtan plhsizoume se di-astsei th txew th aktna Schwarzchild gÔrw apì kpoia mza M,RSch =

2GM

c2.Gia ton ′'Hlio RSch

⊙ ≈ 3 km, gia th Gh RSch⊕ ≈ 1 cm, en¸ gia to tomo touudrogìnou RSch

H ≈ 10−52 cm.Enai endiafèron ìti apì ti tre fusikè stajerè : G (th Klasik Fusik ), h (th Kbantik Fusik ) kai c (th Sqetikistik Fusik ), mporena orisjoÔn tre qarakthristikè posìthte gi th mza, m ko kai qrìno.'Etsi èqoume th qarakthristik mza Planck,mP lanck =

√

hc

G≈ 5.46 × 10−5 gr ,to m ko Planck,

λP lanck =h

mP lanckc≈ 10−33 cm ,kai to qrìno Planck,

TP lanck =λP lanck

c≈ 10−43 sec .

′Otan meletme fainìmena me timè th mza , tou m kou kai tou qrìnou kontsti timè aut¸n twn qarakthristik¸n posot twn mP lanck, λP lanck kai TP lanck,apaitetai sunduasmì th Kbantik Fusik kai th Genik Jewra th Sqetikìthta . P.q., mi tètoia (anazhtoÔmenh) jewra th Kbantik BarÔth-ta (ìpw h jewra twn uperqord¸n;) prèpei na perigrfei fainìmena ta opoasunèbhsan ti pr¸te stigmè pou akoloÔjhsan th dhmiourga tou SÔmpanto .

Jewrhtik Mhqanik 291.6 Mi sÔgqronh efarmog th Klasik Mhqani-k : To must rio th skotein Ôlh touSÔmpanto H mza apotele mi apì ti plèon jemeli¸dei idiìthte twn ulik¸n swmtwn.Sto biblo toÔto ja peristrèyoume th suz ths ma gÔrw apì th dunamik twn maz¸n, se memonwmèna ulik shmea sust mata ulik¸n shmewn, ìtanaut eurskontai upì thn ep reia diafìrwn dunmewn. Se sqèsh ìmw me thnènnoia th mza ja anaferjoÔme ed¸ en suntoma se mi sÔgqronh efarmog th Klasik Mhqanik pou èqei na knei me ton upologismì th ajèath mza mèsa kai gÔrw apì to Galaxa ma , se llou galaxe kai sm nh galaxi¸n, allkai sunolik se olìklhro to SÔmpan. 'Allwste, ìpw enai gnwstì h telik mora kai to tèlo tou SÔmpanto exarttai apì thn sunolik mza pou perièqei.Sugkekrimèna, uprqei mi qarakthristik puknìthta tou SÔmpanto , ρ = ρo hopoa diaqwrzei to kleistì Ω = ρ/ρo > 1 apì to anoiktì Ω = ρ/ρo < 1SÔmpan. Me lla lìgia, en Ω < 1 to SÔmpan ja suneqsei thn diastol pou rqise kat th Meglh 'Ekrhxh, en¸ en Ω > 1 thn arqik diastol jaakolouj sei sustol . Oi prìsfate parathr sei upodeiknÔoun ìti zoÔme seSÔmpan sto opoo Ω = 1, dhl., h sunolik posìthta Ôlh kai enèrgeia se autìantistoiqe sthn krsimh, pou enai merik toma tou udrogìnou an m3. An kaih puknìthta th Ôlh gÔrw ma enai kat dekde txei megèjou megalÔterh(p.q., h puknìthta tou aèra gÔrw ma enai 1025 toma H/m3), se kosmik klmaka h krsimh puknìthta shmanei mia terstia sunolik posìthta Ôlh kaienèrgeia .P¸ ìmw mporoÔme na upologsoume thn posìthta th Ôlh sto SÔmpan;Uprqoun genik dÔo trìpoi gi na entopsoume thn Ôparxh kai thn posìthtaÔlh sto SÔmpan : ete mesa aniqneÔonta ta fwtìnia th hlektromagnhtik aktinobola pou ekpèmpei, ete, èmmesa parathr¸nta difora fainìmena pouofelontai sto pedo barÔthta gÔrw th . Me thn prìodo th teqnologa kaithn teleiopohsh twn epgeiwn aniqneut¸n kai thleskopwn, all kurw me thdiajesimìthta twn sÔgqronwn doruforik¸n parathrhthrwn pou eurskontai setroqi gÔrw apì th Gh, mporoÔme s mera na sullègoume me meglh euaisjh-sa ìle ti dunatè hlektromagnhtikè kosmikè aktinobole , apì ta megloum kou kÔmato radiokÔmata èw ti apeiroelaqstou m kou kÔmato aktne -g,pou proèrqontai apì ti plèon apomakrusmène gwniè tou SÔmpanto . Me autìton trìpo oi astronìmoi mporoÔn na zugsoun katarq n th fwtein mza touSÔmpanto , upologzonta ton arijmì twn galaxi¸n kai upojètonta ìti autoenai omoiìmorfa katanemhmènoi sto q¸ro kai ìti se kje galaxa filoxenoÔn-

30 To Plasio th Fusik tai merikè ekatontde disekatommÔria astère twn opown h lamprìthta enaianlogh th mza tou . Aut h mza ìmw prokÔptei apelpistik anepark ,ligìterh tou 1% th krsimh mza tou SÔmpanto . Prosjètonta thn jer-m endogalaxiak Ôlh pou aktinobole sti aktne - Q, to sunolikì posostìth sun jou Ôlh pou aniqneÔetai apì thn ekpomp hlektromagnhtik akti-nobola den uperbanei to 4% th krsimh , dhl., tou sunolikoÔ posoÔ th Ôlh pou pisteÔoume ìti uprqei sto SÔmpan (0.4 % se astère kai fwtein Ôlh,3.6% se jerm endogalaxiak Ôlh pou aniqneÔetai kurw qrh sthn ekpomp aktnwn - Q, 0.1% se netrna, 0.04 % se melanè opè ). 'Ena polÔ megalÔteroposostì, 5-10 forè autoÔ th aniqneÔsimh hlektromagnhtik Ôlh pou up-ologzetai gÔrw sto 23% tou sunolikoÔ, enai h legìmenh skotein Ôlh, dhl.,Ôlh agn¸stou fÔsew h opoa den ekpèmpei kamma aktinobola all h Ôparx th proddetai mìno apì ta apotelèsmata tou barutikoÔ th pedou. To upìloipo73% apokaletai skotein enèrgeia kai apaitetai ston isologismì th sunolik Ôlh tou SÔmpanto gi na exhg sei ta parathrhsiak kosmologik dedomèna,ìpw ja doÔme paraktw (bl. Sq. 1.1). 'Omw , p¸ katal goume se aut tamegla posost th skotein Ôlh kai enèrgeia sto SÔmpan;

Sq. 1.2: Ta posost twn diafìrwn morf¸n Ôlh sto SÔmpan.1.6.1 P¸ zugzoume ti melanè opè sto kèntro twngalaxi¸n;Epeid to pleston th Ôlh enì galaxa fanetai na uprqei sti puknè ken-trikè tou perioqè , a xekin soume me ton upologismì th Ôlh pou eursketaisto kèntro galaxi¸n. P¸ mporoÔme na zugsoume me thn bo jeia th Klasik

Jewrhtik Mhqanik 31

Sq. 1.3: Parathr sei me to Diasthmikì Thleskìpio twn metatopsewnDoppler th ekpomp tou fsmato pou ekpèmpei to aèrio udrogìno sto kèntrotou galaxa M87 odhgoÔn ston upologismì th taqÔthta peristrof kai ensuneqea sth mza pou eursketai sto kèntro tou M87, h opoa uperbanei katpolÔ thn parathroÔmenh fwtein tou mza.Mhqanik mia gigantiaa melan op sto kèntro enì makrinoÔ galaxa; Me tondio trìpo pou mporoÔme na zugsoume ton 'Hlio, an gnwrzoume thn taqÔthtaperistrof enì plan th gÔrw apo autìn kai thn apìstas tou apì ton 'Hlio.'Estw ìti o plan th kinetai se kuklik troqi aktna r kai taqÔthta vφ(r) gÔrw apì ton 'Hlio mza M⊙. Tìte, epeid h barutik èlxh pou askeo 'Hlio ston plan th enai h kentromìlo dÔnamh gia na diagryei o plan th thn kuklik troqi èqoume,

M⊙ =v2

φr

G.Gia pardeigma, h peristrofik taqÔthta th Gh sthn troqi th per ton 'Hlioenai vφ= 30 km/sec kai h apìstas th apì ton 'Hlio r = 1.5×1013 cm, opìte

M⊙ = 2× 1033 gr (G = 6.6 × 10−8cm3gr−1 sec−2).A doÔme sth sunèqeia to anlogo prìblhma upologismoÔ th mza mi melan op sto kèntro enì makrinoÔ galaxa, gÔrw apì ton opoo upr-

32 To Plasio th Fusik qei èna peristrefìmeno dsko aerou, kurw udrogìnou. To jermì aèri-o, jermokrasa T ∼ 104 K aktinobole sti grammè tou udrogìnou, p.q.th seir Balmer. 'Estw vφ(r) h taqÔthta peristrof tou aerou sthnapìstash r. Lìgw metatìpish Doppler tou fsmato ìtan to aèrio plhsizeiton parathrht apomakrÔnetai apì autìn, h metatìpish Dl twn gramm¸n ma dnei thn taqÔthta vφ,vφ(r)

c=

∆λ

λ.O nìmo th metabol th vφ(r) exarttai apì thn katanom th mza entì tou ìgkou aktna r. A doÔme dÔo aplè dunatìthte :(a). 'Estw ìti entì th apìstash r uprqei ma katanom twn astèrwnme puknìthta r(r) = staj. Tìte, h mza M(r) pou perièqetai entì tou ìgkoume aktna r enai M(r) = 4πρr3/3 kai epomènw h taqÔthta enai

vφ(r) =

√

GM(r)

r=

√

4πGρ

3r ∝ r ,dhl., h taqÔthta peristrof enai anlogh th apìstash r kai mhdenzetai stokèntro.(b). 'Estw ìti h mza enai sugkentrwmènh se mia mikr perioq sto kèntro,opìte h M(r) enai stajer kai sh me th mza aut sto kèntro. Se aut thnperptwsh,

vφ(r) =

√

GM

r∝

1√r

.Ed¸ parembanei h parat rhsh. Sugkekrimèna, parathr sei tou DiasthmikoÔThleskopou deqnoun ìti sta kèntra arket¸n energ¸n galaxi¸n h taqÔthtatou aerou enai vφ(r) ∼ 1/√

r ant na enai vφ(r) ∼ r. Gi pardeigma, ston gi-gantiao elleiptikì galaxa M87 se apìstash per ta 50 ekatommÔria èth fwtì (e.f.) apì em , h metatìpish Doppler (bl. Sq. 1.3) dnei taqÔthta peristrof tou aerou gÔrw apì to kèntro tou vφ ∼ 550 km/sec kai h prohgoÔmenh sqèshM = 109M⊙, se èna ìgko aktna r ∼ 60 et¸n fwtì . Epomènw , h puknìthtamza se aut thn perioq enai

ρ ∼ 3400M⊙e.f.3 .H puknìthta aut enai kat polÔ uyhlìterh th sun jou astrik puknìthta stou galaxe . Epsh , o lìgo th mza pou fanetai na uprqei eke pro thn mza pou aktinobole enai perpou 500. Kai oi endexei autè upodeiknÔounthn Ôparxh mi melan op kai/ llh skotein Ôlh sto kèntro autoÔ tougalaxa.

Jewrhtik Mhqanik 331.6.2 P¸ zugzoume th skotein lw twn galaxi¸n;H Ôparxh skotein Ôlh se galaxe protjhke to 1932 apì ton astronìmoOorto opoo mètrhse thn epdrash th katanom th mza tou dskou tou Galaxama sti taqÔthte twn astèrwn, ìpw akrib¸ metr¸nta thn epitqunsh me thnopoa pèftei èna s¸ma sto pedo barÔthta th G h mporoÔme na upologsoumethn mza th Gh . Me autì ton trìpo upelìgise ìti h galaxiak mza prèpeina enai toulqisto diplsia sthn apìstash tou 'Hliou aut pou blèpoume seastère kai fwtein nefel¸mata (Sq. 1.4a,b).(á)

(â)

Sq. 1.4: H kampÔlh peristrof tou galaxa ma (a) kaj¸ kai h katanom th sunolik perikleiìmenh mza san sunrthsh th apìstash apì to galaxiakìkèntro (b).

34 To Plasio th Fusik Epsh , èqei melethje h knhsh sfairwt¸n smhn¸n sth Galaxiak lw, gÔr-w apì to kèntro tou Galaxa ma . Ta sfairwt aut sm nh èqoun periìdou per ta 90 - 120 ekatommÔria èth kai kinoÔntai se tuqae elleiptikè troqiè per to galaxiakì kèntro se apostsei pou fjnoun èw kai 300.000 e.f. apìautì. H knhsh aut¸n twn smhn¸n ephrezetai apì to barutikì pedo ìlou tougalaxa kai dnei thn dunatìthta stou astronìmou na upologsoun th suno-lik galaxiak mza. Prìsfatoi upologismo angoun th sunolik galaxiak mza se perpou 500 disekatommÔria hliakè mze , mi posìthta kat polÔmegalÔterh th fwtein mza pou entopzetai se astère kai nefel¸mata kaipou upodeiknÔei thn Ôparxh enì meglou posostoÔ skotein mza sto Galaxama .ÁêôéíéêÞ áðüóôáóç óå ÷éëéÜäåò å.ö.

Ðåñ

éóôñ

ïö

éêÞ

ôá

÷ýôç

ôá ó

å k

m/s

Sq. 1.5: H kampÔlh peristrof tou Galaxa th Andromèda O upologismì th skotein Ôlh se llou speiroeide galaxe enaiakìmh piì eÔkolo apì ìti sto Galaxa ma , epeid ìloi oi astère tou eu-rskontai sthn dia perpou apìstash apì em kai ìlh h èktash tou galaxaenai orat . H ekpomp sto oratì mei¸netai ekjetik me thn aktinik apìstashapì to galaxiakì kèntro, all parathr¸nta ti metatopsei Doppler sth gram-m ekpomp toÔ udrogìnou twn 21 cm mporoÔme na upologsoume thn taqÔthtaperistrof twn nefelwmtwn udrogìnou se megle apostsei apì to galax-iakì kèntro. Me aut thn qr simh mèjodo upologismoÔ th taqÔthta peri-strof tou galaxa apì ti parathr sei twn metatopsewn Doppler th akti-nobola sta radiokÔmata kai to oratì èqoun kataskeuasje arketè eppede galaxiakè kampÔle peristrof (Sq. 1.4a) kai èqei upologisje h posìthtaskotein Ôlh se ekatontde speiroeide galaxe . Oi parathr sei autè èqoun dexei ìti h mza twn galaxi¸n fanetai na auxnetai me thn apìstash apìto galaxiakì kèntro kai pèra apì ta ìria tou galaxa (Sq. 1.4b),vφ(r) ≈ staj. =⇒ M(r) ∝ r .

Jewrhtik Mhqanik 35Autì shmanei ìti oi speiroeide auto galaxe peribllontai apì lw ajèath Ôlh . Se pollè peript¸sei h kampÔlh peristrof èqei metrhje ìti paramèneieppedh mèqri apostsei pentaplsie th orat eikìna tou galaxa (Sq. 1.5,1.6). AfoÔ h olik mza enai anlogh th apìstash , h olik mza tou galaxaprèpei loipìn na enai toulqiston pentaplsia th orat mza (1.4b)!

Sq. 1.6: Sqhmatik eikìna tou Galaxa ma , ìpw ja fainìtan apì èna makrunìshmeo pnw sto Galaxiakì eppedo. H skotein Ôlh sqhmatzei mi lw pouektenetai arket makrÔtera apì ta exwterik tm mata tou oratoÔ Galaxa.1.6.3 P¸ zugzoume th skotein Ôlh se sm nh galaxi¸n;Uprqoun epsh poll sm nh galaxi¸n sta opoa oi merikè ekatontde èw qilide galaxe pou ta apartzoun eurskontai dèsmioi tou koinoÔ tou pedou

36 To Plasio th Fusik barÔthto . 'Etsi, sto Topikì Sm no èqoume per tou 30 galaxe diafìrwnmegej¸n ek twn opown oi piì shmantiko enai o Galaxa ma kai o galaxa th Andromèda . 'Alla parìmoia geitonik tètoia sm nh enai autì th Parjènoukai th Kìmh th Berenkh ta opoa apoteloÔntai apì qilide galaxe . En,ìpw fanetai, oi galaxe auto enai dèsmioi tou koinoÔ tou pedou barÔthta ,oi taqÔthtè tou prèpei na enai mikrìtere th taqÔthta diafug apì to koinìautì pedo to opoo exarttai apì th sunolik mza tou sm nou , M∗,vo ≤

√

2GM∗

r.'Etsi, prokÔptei ìti h sunolik mza tou sm nou enai megalÔterh kpoia tim h opoa prokÔptei na enai arket megalÔterh th parathroÔmenh fwtein mza tou sm nou .1.6.4 Poi enai h fÔsh th skotein Ôlh ;Apì t rage apoteletai aut h skotein Ôlh; 'Eqoun protaje difore apan-t sei se autì to jemeleiakì er¸thma. Mi dunatìthta enai na apoteletai apìthn gnwst ma baruonik Ôlh sta eponomazìmena MACHOs (Massive Astro-

physical Compact Halo Objects), pou mporoÔn na enai leuko nnoi, melanè opè , astère netronwn kafet astère mza mikrìterh apì 0.08M⊙, akìmh, lloi megloi plan te . Metr sei ìmw sthn lw tou Galaxa ma twnapotelesmtwn tou barutikoÔ fakoÔ pou dhmiourge to pedo barÔthto tètoiwnantikeimènwn apèdeixan ìti h sugkèntrws tou enai polÔ qamhl gia na exhg -sei ìlh thn apaitoÔmenh skotein Ôlh sto Galaxa. 'Etsi apomènei h dunatìthtah skotein Ôlh na enai mh baruonik proèleush , sta eponomazìmena WIMP-S (Weakly Interacting Massive Particles), dhl., exwtik upoatomik swmatdiaìpw netrna, neutralino’s, klp. DÔo dunatìthte èqoun protaje : ete na è-qoume jerm m baruonik Ôlh (p.q. netrna), , yuqr m baruonik Ôlh, ìpw ta neutralino’s. Ta prìsfata peirmata tou upìgeiou aniqneut netrnwn Super-Kamiokande sthn Iapwna èqoun dexei ìti ta ainigmatik netrna prèpei na è-qoun mza epeid talant¸nontai anmesa sti tre morfè twn hlektroniak¸n,mionik¸n kai netrnwn-t kai ètsi mporoÔn na suneisfèroun sth skotein Ôlh.Ta neutralino’s, enai stajer upoatomik swmatdia pou problèpoun oi Uper-summetrikè jewre pedou kai ja enai anmesa stou stìqou twn peiramtwnpou anamènontai me to Large Hadron Collider sto CERN ta amèsw epìmenaqrìnia. Pntw , o qrìno kai oi prospjeie twn Fusik¸n ja dexoun poi enaih lÔsh se autì to must rio th ajèath Ôlh tou SÔmpanto pou xeknhse apìmi apl efarmog th Klasik Mhqanik , to akrogwniao autì lijri touoikodom mato th Fusik .

Jewrhtik Mhqanik 371.6.5 Pìte dhmiourg jhke h skotein Ôlh sto SÔmpan kaip¸ ephrèase thn katanom th fwtein Ôlh poublèpoume s mera;Mi pr¸th apnthsh se autì to er¸thma fanetai na èrqetai apì ti parathr -sei tou doruforikoÔ parathrhthrou COBE (COsmic Background Explorer),to opoo anqneuse to 1990 thn kosmik aktinobola upobjrou me polÔ meglhakrbeia.

1/ëSq. 1.7: Anqneush th Kosmik aktinobola upobjrou me to COBE. HkampÔlh enai h kalÔterh prosarmog sta dedomèna kai antistoiqe se kampÔlhmelanoÔ s¸mato jermokrasa T=2.73±0.006 K.'Opw fanetai sto Sq. 1.7, oi metr sei th èntash th kosmik akti-nobola upobjrou apì ta 0.5 mm èw to 1 cm antistoiqoÔn sthn kampÔlhmelanoÔ s¸mato jermokrasa T=2.73±0.006 K. H èntash th aktinobola aut enai idiatera isìtroph, kti pou epishmanei ìti to SÔmpan tan idiat-era isìtropo ìtan h aktinobola aut aposundèjhke apì thn Ôlh, 300.000 èthmet th Meglh 'Ekrhxh. PolÔ mikrè ìmw anisotrope , th txew tou enì se 100.000 mèrh parathr jhkan apì to COBE. Prìkeitai gi nhsde qamh-lìterh jermokrasa mèsa sthn omogen en gènei kai isìtroph katanom th jermokrasa th kosmik aktinobola . Oi nhsde autè ofelontai se ants-toiqe nhsde kai diakumnsei th puknìthta tou SÔmpanto pou prop rqanth epoq twn 300.000 et¸n met thn Meglh 'Ekrhxh, ìtan to SÔmpan èginediafanè sthn kosmik aktinobola h opoa ètsi aposundèjhke apì thn Ôlh,

38 To Plasio th Fusik dhl., polÔ prin arqsei o sqhmatismì twn galaxi¸n kai twn astèrwn. S mer-a deqìmaste ìti autè oi diakumnsei tou upobjrou th arqègonh kosmik puknìthta ofelontai sth skotein Ôlh kai dhmiourg jhkan apì kbantikè di-akumnsei tou kenoÔ kat th dirkeia th Kosmik epoq tou plhjwrismoÔ.Sth sunèqeia oi anisotrope aut th skotein Ôlh pareqan to upìbajrokai ta elqista th katanom th barutik dunamik enèrgeia sta opoa sug-kentr¸jhke h sun jh Ôlh gia na sqhmatsei sth sunèqeia galaxe kai astère ,merik disekatommÔria qrìnia argìtera. 'Etsi loipìn, h skotein Ôlh pou blè-poume na uprqei s mera sthn lw twn galaxi¸n fanetai na dhmiourg jhkepolÔ prin thn sun jh fwtein Ôlh kai na ephrèase katalutik thn katanom th fwtein Ôlh ìpw th blèpoume s mera. Me lla lìgia, oi diakumnsei th puknìthta th skotein Ôlh apoteloÔn ta spèrmata apì ta opoa genn jhkantelik oi galaxe kai eme .1.6.6 Poi enai h fÔsh th skotein enèrgeia ;To 1998 dÔo megle ereunhtikè omde melèthsan ti apostsei mia kath-gora uperkainofan¸n (Supervovae 1a) oi opooi sto mègistì tou fjnounlamprìthta sh me perpou 100.000 hliakè lamprìthte kai ètsi enai oratoakìma kai ìtan sumbanoun se polÔ megle apostsei apì em , poll ekatom-mÔria e.f. Aut h kathgora uperkainofan¸n fanetai na aktinobole thn diaposìthta enèrgeia kai ètsi prèpei na èqoun thn dia apìluth lamprìthta. Giautì, mporoÔn na qrhsimopoihjoÔn w prìtupa mètrhsh kosmologik¸n apos-tsewn, oi opoe prokÔptoun apì th sÔgkrish th fainìmenh lamprìtht twnme thn apìluth. 'Etsi, melet¸nta thn epitqunsh tou SÔmpanto se megle apostsei prokÔptei ìti h diastol tou den epibradÔnetai ìpw upojètame èw t¸ra, all antjeta epitaqÔnetai. Gia na exhghje aut h epitqunsh th di-astol tou SÔmpanto , apaitetai kpoia perergh morf enèrgeia h opoa naèqei to qarakthristikì na odhge se pwsh ant th sun jou èlxh .Se antjesh me thn skotein Ôlh h opoa enai elktik , h skotein aut enèrgeiapou enai upeÔjunh gia thn epitaqunìmenh diastol , den mpore na dhmiourg -sei susswmat¸mata. 'Etsi, mìno h skotein Ôlh enai upeÔjunh th dhmiourga dom¸n sto SÔmpan. En psei peript¸sei, h katanìhsh th fÔsh th skotein enèrgeia fanetai ap¸terh th katanìhsh th fÔsh th skotein Ôlh , epeid h skotein Ôlh mpore sto mèllon na aniqneuje.

Jewrhtik Mhqanik 39DiadktuoPerissìtere sqetikè plhrofore gia ta prohgoÔmena endiafèronta jèmata m-porete na brete sto diadktuo kai sti akìlouje dieujÔnsei :http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1994/23/http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1995/47/http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1997/01/http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1997/12/http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1997/18/http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1997/28/http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1998/14/http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/2004/19/image/ahttp://http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/cobe/Ask sei 1.1 H Gh kinetai se perpou kuklik troqi per ton 'Hlio se apìstash r=8lept¸n fwtì me perodo t=1 èto . Parìmoia, o 'Hlio kinetai se perpoukuklik troqi per to kèntro tou Galaxa ma se apìstash R=30.000e.f. me perodo T=240 ekatommÔria èth. Me bsh aut kai mìno ta de-domèna upologste th mza tou Galaxa ma sunart sei th mza tou'Hliou jewr¸nta ìti to pleston th Galaxiak mza enai sugkentr-wmèno eswterik th apìstash tou 'Hliou ètsi ¸ste h barutik èlxhtou Galaxa ston 'Hlio na mpore na proseggisje jewr¸nta ìti ìlh hmza tou Galaxa MG enai sugkentrwmènh sto kèntro tou. H tim githn MG pou ja upologsete enai th dia txew megèjou me thn lep-tomerèstera upologizìmenh apì ti parathr sei mza tou Galaxa. [Ap.

MG = (Rr)3( t

T)2M⊙ ≈ 1011M⊙.