Péndulo de torsión

Objetivos:

Determinar la constante elástica del péndulo de torsión. Determinar los momentos de inercia de varios cuerpos.

Datos: Radio: 0,05m

Empezaremos hallando la constante de torsión utilizando los datos reflejados en la siguiente tabla:

Sabiendo que el torque es igual a: τ=|F|∙|r|∙ sen(90 ° )

Representamos el torque en función del ángulo

0 50 100 150 200 250 3000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

f(x) = 0.000377142857142857 x − 0.0102333333333333

Ángulos

Tor

qu

e (N

m)

Hacemos una regresión lineal para sacar la pendiente que es igual a la constante de torsión: m=k

m=∑ y i∑ xi−n ∙∑ x i y i

¿¿¿=278,775−358,965893025−1105650

=0,00037 K = 3,7*10-4 N/m

Calculamos el error de k:

ángulo (º)

fuerza (F)

Torque (Nm)

45 0,07 0,003590 0,56 0,028135 0,78 0,039180 1,2 0,060225 1,48 0,074270 1,81 0,0905

∆ k=√n .∑¿¿¿= 3,1∙10−5 k= 3,7∙10−4±3,1∙10−5 N/m

Calculamos los momentos de inercia para distintos objetos.

Para calcular los momentos de inercia de los distintos objetos utilizaremos la ecuación del periodo y espejamos para obtener el momento de inercia y calculamos el error en cada objeto sabiendo que cada elemento tiene un error sistemático de 0,001s.

- Varilla: I = 6,35∙10-5 kg.m2

- Bola: I = 1,89∙10-5 kg.m2

- Cilindro vacío: I =1,254∙10 -5 kg.m2

- Cilindro sólido I = 7,2 ∙10 -6 kg.m2

- Disco plano : I = 2,61∙10 -5 kg.m2

nº de medidas

varilla pelota cilindro vacío

cilindro sólido

disco plano

1 2,611 1,431 1,152 0,874 1,6532 2,602 1,428 1,154 0,874 1,6973 2,599 1,429 1,154 0,876 1,6654 2,592 1,405 1,154 0,876 1,6715 2,614 1,421 1,153 0,878 1,6656 2,6 1,416 1,155 0,878 1,6697 2,613 1,407 1,156 0,877 1,6728 2,613 1,424 1,156 0,877 1,6799 2,595 1,417 1,156 0,878 1,67710 2,609 1,428 1,155 0,879 1,671media: 2,6048 1,4206 1,1545 0,8767 1,6719

nº de medidas

varilla

1 2,6112 2,6023 2,5994 2,5925 2,6146 2,67 2,6138 2,6139 2,59510 2,609media: 2,6048

Error varilla:

1º hallamos el error del periodo :

La desviación típica: σ n−1=√∑i (θi−θm)

2

(n−1)=0,26

El error aleatorio: Ea=σt n−1√n

=0,23

El error final: Et=√ (Es )2+ (Ea )2 =1,633

El error de la Varilla: ± 0,23

2º hallamos el error del momento de inercia sabiendo que para la Varilla: I = 6,35∙10-5 kg.m2

∆ I=√¿¿ =1,23∙10−5 I=6,35∙10−5±1,23 ∙10−5Kg .m2

sabiendo: ∆ k= 3,1∙10−5 ∆T=0,23; ∂ I∂ K

= T 2

4 π2=0,17 ; ∂ I

∂T= 2T4 π2

k=4,88∙10−5

Error Pelota:

1º hallamos el error del periodo :

La desviación típica: σ n−1=√∑i (θi−θm)

2

(n−1)=8,48 ∙10−3

El error aleatorio: Ea=σt n−1√n

=7,56∙10−3

El error final: Et=√ (Es )2+ (Ea )2 =7,63∙10−3

Cada elemento tiene un error sistemático de 0,001s.

El error de la pelota: ± 7,63∙10−3

2º hallamos el error del momento de inercia sabiendo que para la pelota: I = 1,89∙10-5 kg.m2

∆ I=√¿¿ =1,23∙10−5

sabiendo: ∆ k= 3,1∙10−5

∆T=7,63 ∙10−3 ; ∂ I∂K

= T 2

4 π2=0,05 ; ∂ I

∂T= 2T4 π 2

k=2,66 ∙10−5

I=1,89∙10-5±1,56 ∙10−6Kg .m2

nº de medidas12345678910media:

pelota

1,4311,4281,4291,4051,4211,4161,4071,4241,4171,4281,4206

nº de medidas12345678910media:

cilindro vacío1,1521,1541,1541,1541,1531,1551,1561,1561,1561,1551,1545

Error del cilindro vacío:

1º hallamos el error del periodo :

La desviación típica: σ n−1=√∑i (θi−θm)

2

(n−1)=02,33 ∙10−3

El error aleatorio: Ea=σt n−1√n

=2,08∙10−3

El error final: Et=√ (Es )2+ (Ea )2 =2,3∙10−3

El error del cilindro vacío: ± 2,3∙10−3

2º hallamos el error del momento de inercia sabiendo que para la el cilindro vacío: I =1,254∙10 -5 kg.m2

∆ I=√¿¿ =1,006∙10−6

sabiendo: ∆ k= 3,1∙10−5 ∆T=2,3 ∙10−3 ; ∂ I∂K

= T 2

4 π 2=0,034 ; ∂ I

∂T= 2T4 π2

k=2,16 ∙10−5

I=1,254 ∙10−5±1,006 ∙10−6 Kg .m2

Error cilindro Solido:

1º hallamos el error del periodo :

La desviación típica: σ n−1=√∑i (θi−θm)

2

(n−1)=1,795∙10−3

El error aleatorio: Ea=σt n−1√n

=1,6∙10−3

El error final: Et=√ (Es )2+ (Ea )2 =1,89∙10−3

El error del cilindro sólido: ± 1,89∙10−3

2º hallamos el error del momento de inercia sabiendo que para el cilindro sólido: I = 7,2 ∙10 -6 kg.m2

∆ I=√¿¿ =8,06∙10−6

sabiendo: ∆ k= 3,1∙10−5 ∆T=1,89 ∙10−3 ; ∂ I∂ K

= T 2

4 π2=0,02 ; ∂ I

∂T= 2T4 π2

k=1,64 ∙10−5

I = 7,2 ∙10 -6 ±8,06∙10−6kg.m2

cilindro sólido0,8740,8740,8760,8760,8780,8780,8770,8770,8780,8790,8767

nº de medidas12345678910media:

Error del disco plano:

1º hallamos el error del periodo :

La desviación típica: σ n−1=√∑i (θi−θm)

2

(n−1)=3,25∙10−3

El error aleatorio: Ea=σt n−1√n

=3,05∙10−3

El error final: Et=√ (Es )2+ (Ea )2 =3,21∙10−3

El error del disco plano: ± 3,21∙10−3

2º hallamos el error del momento de inercia sabiendo que para la Varilla: I = 2,61∙10 -5 kg.m2

∆ I=√¿¿ =2,17∙10−6

sabiendo:

∆ k

= 3,1

∙10−5

∆T=3,21 ∙10−3 ; ∂ I∂ K

= T2

4 π2=0,07 ; ∂ I

∂T= 2T4 π 2

k=3,13 ∙10−5

I=¿I = 2,61∙10 -5 ±2,17 ∙10−6kg.m2

nº de medidas12345678910media:

disco plano1,6531,6971,6651,6711,6651,6691,6721,6791,6771,6711,6719

nº de medidas12345678910media:

nº de medidas12345678910media: