ENSEÑANZA DE FACTORIZACIÓN, CON LA AYUDA DEL MATERIAL DIDÁCTICO “EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO”, A LOS

ESTUDIANTES DE ÁLGEBRA DEL COLEGIO NUESTRA

SEÑORA DE FÁTIMA.

HERNANDO ACEVEDO RÍOS

Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de:MAGISTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Director: ORLANDO AYA CORREDOR Mgtr

UNIVERSIDAD DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

MANIZALES, COLOMBIA

2014

PROBLEMA Y JUSTIFICACIÓN • En el estudio del álgebra elemental en la educación básica secundaria se detecta el

problema del paso del lenguaje natural al lenguaje simbólico del álgebra; poco se potencianotros sistemas de representación como el uso de figuras geométricas tridimensionales paramaterializar variables algebraicas, que permiten visualizar procesos de equivalencia entredichas variables y los registros de representación semiótica o sean las figurastridimensionales que se pueden fabricar de cualquier material.

• La experiencia desde el aula muestra que los estudiantes de octavo grado de la educaciónbásica secundaria presentan dificultades en el aprendizaje, en la manipulación deoperaciones con polinomios pero particularmente, en su factorización, tanto en lo querespecta a los procesos algorítmicos como en dar una interpretación de este proceso yconcepto.

• Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego”, resulta una herramienta pertinentepara hacer el tránsito entre las estructuras del pensamiento concreto hacia las estructurasdel pensamiento abstracto.

HIPÓTESIS • Los estudiantes de grado octavo, utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”,

realizaran los procesos algorítmicos asociados a la factorización más fácilmente y conmayor nivel de comprensión, esto es dotándolo de un significado

• Los estudiantes, una vez hayan asimilado el proceso de factorización con la mediacióninstrumental del juego, podrán factorizar sin necesidad de utilizar el material didácticoes decir sin tener el referente concreto.

OBJETIVOS

GENERAL:

• Utilizar el artefacto “El Álgebra es un Juego” que permite, como mediadorinstrumental, hacer la transición entre las estructuras del pensamiento concreto alas del pensamiento abstracto, para realizar ejercicios sobre factorización,partiendo del lenguaje geométrico, para luego hacer la conversión al lenguajesimbólico y que al resolverlos los hagan comprendiendo el concepto y en formacorrecta.

ESPECÍFICOS:

• Utilizar el material didáctico “El Álgebra es un Juego” para facilitar el tránsito entrelas estructuras del pensamiento concreto hacia las estructuras del pensamientoabstracto y encontrarle mayor significado a las expresiones algebraicas.

• Usar “El Álgebra es un Juego” como un mediador instrumental que permitarealizar procesos de conversión entre el lenguaje natural y el simbólico en losdiferentes casos de factorización.

• Utilizar el material concreto “El Álgebra es un Juego”, en el marco de lasrepresentaciones sociales, realizando los procesos de tratamiento solamente paraverificar las respuestas analítica y geométricamente.

ANTECEDENTES Y REFERENTES TEÓRICOS

• Babilonios: ( 2000 y 600 a.C.)Escribas- Tablillas de arcilla- Recetas-Sistema Sexagesimal- Problemas algebraicos y geométricos

• Los Griegos: Diofanto (290 – 200 a. C.) - Arithmetica- Ecuaciones Diofánticas• Los Árabes: Al-Khwarizmi (780 - 850 d.C.) -Al-jabr wa´lmuqäbala• El Renacimiento: Imprenta- Descartes (1596 – 1650)-La Geometrie

ACTUALES:

• Lab Gear: Usa planillas que organizan los bloques en rectángulos para modelizar la multiplicación, la división y la factorización.

• Algebra Tiles: Fichas planas que trabajan sólo con una variable.

• Algeblocks: Pueden crear reglas en forma inductiva, es decir, van de lo concreto a lo abstracto.

• Puzzle Algebraico: Cantidades numéricas positivas y negativas. (Hernández et al, 2008).

• Tabletas Algebraicas: Jiménez y Salazar (2013) • Álgebra Geométrica: Ballén (2012).

Fichas que utiliza Lab Gear

Piezas de Algebra Tiles

Piezas del material manipulativo Algeblocks.

b•1

1•1 -1.1 X•1

1

-X•1 -Y•1Y•1

-b•1

X•X -X•X b•X -b•X

(b/2)•X -(b/2)•X −𝑏

4.𝑋𝑏

4•X

(b/2)•(b/2) -(b/2)•(b/2)

b•b -b•b

𝑏

4.𝑏

4−𝑏

4.𝑏

4

Piezas del Puzzle Algebraico.

Tabletas Algebraicas y un ejemplo de unión correcta.

Fichas planas para 𝒂𝟐, 𝒃𝟐, 𝒂𝒃, 𝒂, 𝒃, 𝒚 𝒍𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅

Figura que representa el trinomio 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏

ÁLGEBRA GEOMÉTRICAProblema: En un lote rectangular construir una casa de tipo A, 6

casas de tipo B y 8 casas de tipo C.

Modelos de casas: A, B y C.Una de 15 soluciones fue la siguiente: 𝑥2 + 6𝑥 + 8

Modelo A. Modelo B Modelo C.

REFERENTES MATEMÁTICOSTEOREMAS Y CASOS DE FACTORIZACIÓN

Teorema del residuo

Si el polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 se divide entre 𝑥 −𝑟, siendo 𝑟 una constante independiente de 𝑥, elresiduo 𝑅 es igual a 𝑃(𝑟) . Esto es 𝑃 𝑥 =𝑄 𝑥 . 𝑥 − 𝑟 + 𝑅 donde 𝑄(𝑥) es un polinomio degrado 𝑛 − 1 y 𝑅 = 𝑃 𝑟 .

Demostración.

Como 𝑃 𝑥 = 𝑄 𝑥 . 𝑥 − 𝑟 + 𝑅, por el algoritmode la división, se tiene que si 𝑥 = 𝑟, entonces𝑃 𝑟 = 𝑄 𝑟 . 𝑟 − 𝑟 + 𝑅, por lo tanto 𝑃 𝑟 = 𝑅.

Teorema del factor

Un polinomio 𝑃(𝑥) tiene un factor (𝑥 − 𝑐) si y sólo si 𝑃 𝑐 = 0.

Demostración.

Si 𝑐 es un cero de 𝑃(𝑥), 𝑃 𝑐 = 0.

Pero por el algoritmo de la división 𝑃 𝑥 =𝑥 − 𝑐 𝑄 𝑥 + 𝑅

Como 𝑃 𝑐 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 𝑐 = 𝑐 − 𝑐 𝑄 𝑐 +𝑅 = 0, por lo tanto 𝑅 = 0

y 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑐 𝑄 𝑥 .

Teorema Fundamental del Álgebra

• a) Todo polinomio de grado 𝒏 ≥ 𝟏 con coeficientes reales o complejostiene al menos una raíz real o compleja.

• b) Todo polinomio de grado 𝒏 ≥ 𝟏 con coeficientes reales o complejos sedescompone en un producto de factores lineales con coeficientes realeso complejos y admite 𝒏 raíces reales o complejas (distintas o repetidas).

• c) Todo polinomio de grado 𝒏 > 𝟏 con coeficientes reales puede serdescompuesto en un producto de factores con coeficientes reales deprimero o segundo grado.

𝑷 𝒙 =𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 + …+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

• 𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙 − 𝒄𝟏 𝒙 − 𝒄𝟐 …(𝒙 − 𝒄𝒏)

MARCO TEÓRICO DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA

• Desarrollo de la Inteligencia:– Las operaciones concretas (7-12 años): Paso de las intuiciones a las operaciones concretas.– Las operaciones formales (12-16 años): Formular pensamientos realmente abstractos, o lo que se

denomina un pensamiento de tipo hipotético deductivo. (Piaget, 1975)

• Representaciones Sociales: Es un conjunto de conceptos, enunciados y explicacionesoriginados en la vida diaria, en el curso de las comunicaciones interindividuales. «…aprendemos principalmente lo que somos capaces de representar.» (Moscovici , 1986)

– Actitud: Es el elemento afectivo de la representación.– Información: Refiere los conocimientos en torno al objeto de representación; su cantidad y calidad

es variada en función de varios factores.– Campo de representación: Nos sugiere la idea de “modelo”

• Procesos de Conversiones de Registros Semióticos: La actividad matemática se realizanecesariamente en un «contexto de representación». Los estudiantes también deberíanser capaces de reconocer el mismo objeto matemático en otros contextos derepresentación y usarlos. (Duval, 2006 a)

• Pensamiento Matemático Elemental y Avanzado: Durante esta transición coexisten enla mente del estudiante las experiencias más tempranas y el nuevo corpus deconocimiento deductivo. (Belmonte, 2009). Un aprendizaje efectivo precisa deestrategias para tratar tal conflicto.

METODOLOGÍATipo de estudio: Investigación–Acción y Descriptiva:

El docente autor realiza una aplicación de la propuesta y evalúa loshallazgos particulares al aplicar un material en unos temas específicos enun grado específico.

La acción metodológica estará ligada a utilizar el material didáctico “ElÁlgebra es un Juego” con el tema de factorización.

La fase descriptiva se realiza al documentar de manera global lo que ocurreal plantear unas actividades específicas con un grupo de estudiantes.

Propuesta Metodológica

Tresfases: Experiencias vividas, Diseño del material y Aplicación del material

«EL ÁLGEBRA ES UN JUEGO»PLANO CARTESIANO Y LAS FICHAS UTILIZADAS EN ESTE TRABAJO

Plano cartesiano con los ejes ampliados

y algunas casillas (𝒙, 𝒚).

Fichas que simbolizan la unidad y las variables.

REGLAS DEL JUEGO. Para multiplicar se deben tener en cuenta las siguientes reglas:

Verde ×Verde=Verde (1×1=1) Azul ×Verde= 𝑨𝒛𝒖𝒍 (𝒙 × 𝟏 = 𝒙)

Gris× 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒆 = 𝑮𝒓𝒊𝒔 (𝒚 × 𝟏 = 𝒚), Azul× 𝑮𝒓𝒊𝒔 = 𝑹𝒐𝒋𝒐 (𝒙 × 𝒚 = 𝒙𝒚), Rojo×𝑽erde = 𝑹ojo (𝒙𝒚 × 𝟏 = 𝒙𝒚) y Amarilla× Verde = 𝑨marilla (𝑥2 × 1 = 𝑥2).

Gris × Gris = Café (𝒚 × 𝒚 = 𝒚𝟐) , Café × Verde = Café (𝒚𝟐 × 𝟏 = 𝒚𝟐), Azul×Azul=

𝑨marilla (𝒙 × 𝒙 = 𝒙𝟐) Y Azul×Amarillo=Naranja (𝒙 × 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑).

Café × Gris= Blanco (𝒚𝟐 × 𝒚 = 𝒚𝟑), Azul oscuro × Café = Azul claro (𝒙 × 𝒚𝟐 = 𝒙𝒚𝟐), Rojo× 𝑮𝒓𝒊𝒔 = Azul claro (𝒙𝒚 × 𝒚 = 𝒙𝒚𝟐)

y Amarilla × Gris = Verde claro (𝒙𝟐 × 𝒚 = 𝒙𝟐𝒚).

Azul × Rojo = Verde claro (𝒙 × 𝒙𝒚 = 𝒙𝟐𝒚).

Fichas que representan 𝒙𝟓 (rosada), 𝒙𝟔 (negra), y otros registros para 𝒙𝟐 (amarilla), 𝒙𝟑 (naranja) y 𝒙𝟒 (violeta). Se cumple que 𝒙𝟐 × 𝒙𝟒 = 𝒙𝟔, −𝒙 × 𝒙𝟒 = −𝒙𝟓, −𝒙 × −𝒙 =

𝒙𝟐 y 𝒙𝟐× −𝒙 = −𝒙𝟑

PRIMEROS TABLEROS

(𝒙𝟐+𝒙) 𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 (𝒙 + 𝟑) 𝒙 + 𝟑 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗

REGLA DEL BISTURÍ: Imagine pasar un bisturí horizontal y verticalmentepor las líneas que se forman entre ficha y ficha, incluyendo las que están enlos ejes. Si el bisturí pasa libremente de un extremo al otro, sin chocarsecontra ninguna ficha, el rectángulo está bien construido.

Trinomio 2𝑥2 + 6𝑥 + 4 formando un rectángulo

Trinomio 2𝑥2 + 6𝑥 + 4 con los factores en los ejes.

REGLA DEL BISTURÍ: Imagine pasar un bisturí horizontal y verticalmentepor las líneas que se forman entre ficha y ficha, incluyendo las que están enlos ejes. Si el bisturí pasa libremente de un extremo al otro, sin chocarsecontra ninguna ficha, el rectángulo está bien construido.

Trinomio 2𝑥2 + 6𝑥 + 4con los factores en los ejes.

III

III IV

+

+

–

– +

+

-

-

–

–

+

+

EJEMPLO DE POSICIONES INCORRECTAS EN EL TABLERO

2x2 + 6x + 4

Factorización

Factor Común: 2x3 + 4x2 - 8x

Respuesta:

2x(x2+2x-4)

Caso 2: AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 =

(𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐) +(−𝟑𝒙 + 𝟗) =

𝟐𝒙𝟐 𝒙 − 𝟑 + −𝟑 𝒙 − 𝟑 =

(𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙𝟐 − 𝟑).

𝒙𝟑+𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚𝟐 =(𝒙𝟑+𝒙𝟐𝒚) + (𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝒚𝟐) =𝒙𝟐 𝒙 + 𝒚 + 𝒙𝒚 𝒙 + 𝒚 =

(𝒙 + 𝒚) 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 .

Caso 3: DIFERENCIA DE CUADRADOS

4𝑥2 − 25= (−2𝑥 − 5)(−2𝑥 + 5)

4𝑥2−𝑦2

= 2𝑥 + 𝑦 2𝑥 − 𝑦

III

III IV

+

+

–

– +

+

-

-

–

–

+

+

Diferencia de

cuadrados

x2 - 9 =

(x + 3) (x - 3)

Caso 4: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏= 𝟑𝒙 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟏

𝒙𝟐+𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐

= 𝒙 + 𝒚 𝒙 + 𝒚

III

III IV

+

+

–

– +

+

-

-

–

–

+

+

Trinomio cuadrado

perfecto

9x2 + 6x + 1 =

(3x + 1)2

III

III IV

+

+

–

– +

+

-

-

–

–

+

+

x2 - 5x + 6 =

Trinomio De la formaax2 + bx + c

a = 1

(x - 3) (x - 2)

III

III IV

+

+

–

– +

+

-

-

–

–

+

+

Trinomio De la formaax2 + bx + c

a 1

- 4x2 - 14x - 12 =

(2x + 3) (- 2x - 4)

Factorización

Suma de cubos

Factorizar x3 + 8

Respuesta

( x + 2 )( x2 - 2x + 4 )

Caso 6: SUMA DE CUBOS

𝒙𝟑 + 𝟖 =

𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒

antes de cancelar términos

𝒙𝟑 + 𝟖 =

𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒

después de cancelar términos.

Factorización

Diferencia de cubos

Factorizar x3 - 1

Respuesta:

( x - 1 )( x2 + x + 1 )

Caso 7: DIFERENCIA DE CUBOS

𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 =

𝒙 − 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐

antes de cancelar términos.

𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 =

𝒙 − 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐

después de cancelar términos.

Caso 8: EXPRESIÓN QUE ES EL CUBO DE UN BINOMIO

𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 =

(𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏).

𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟐𝒚 +𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑

= 𝒙 + 𝒚 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐

Factorización

Expresión que es el cubo de un binomio

Factorizar x3+3x2+3x+1

Respuesta 1:

( x + 1 ) ( x2 + 2x + 1 )Respuesta 2:

( x + 1 )3

Expresión que es el cubo de un binomio

Factorizar: x3+ 3x2y + 3xy2 + y3

Respuesta:

(x + y) (x2+ 2xy+y2)

= (x + y)3

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Después de identificar las dificultades históricas y epistemológicas relacionadascon la factorización de polinomios de segundo grado, y de haber mostradodiferentes ejemplos con factorizaciones, vemos que “El álgebra es un juego” esuna herramienta especialmente útil porque permite la “visualización” de lafactorización.

Siendo una investigación aplicada, ya que se trata de aplicar un material enunos temas ya conocidos, la metodología estuvo ligada a utilizar el materialdidáctico “El Álgebra es un Juego” con el tema de factorización.

La pregunta: ¿Es posible, a través del lenguaje geométrico y representacionesfísicas, contribuir a mejorar el aprendizaje del álgebra, o por lo menos,encontrar una alternativa de enseñanza que sirva como instrumento demediación entre el pensamiento concreto y el abstracto?Se logró responder utilizando el material didáctico “El Álgebra es un Juego”,justificando su uso en las teorías sobre Desarrollo de la Inteligencia,Representaciones Sociales y Procesos de tratamiento y conversión de RegistrosSemióticos.

También las consultas sobre Pensamiento Matemático Elemental y PensamientoMatemático Avanzado dejan claro que el presente trabajo enfatiza en elaspecto didáctico, sacrificando un poco el rigor matemático.

Se hizo una evaluación diagnóstica, incluyendo ejercicios de factorización porque en el TallerTiempo Libre “El Álgebra es un Juego” se habían inscrito alumnos de octavo y noveno. Elrendimiento fue del 80% para los de noveno y del 60% para los de octavo.En los Casos 1 y 2 de factorización: Factor Común, el día 12 de Julio resolvieron correctamente el75% de los ejercicios.Se observó que, cuando todos los términos son positivos, algunos estudiantes ubicaron las fichasen el tercer cuadrante.En el caso 3 de factorización: Diferencia de cuadrados. el día 19 de Julio resolvieron correctamenteel 85% de los ejercicios.Al principio los estudiantes no eran capaces de ubicar las fichas formando el rectángulo ysiguiendo las reglas del juego.Caso 4 de factorización: Trinomios Cuadrados Perfectos. el día 26 de Julio resolvieroncorrectamente el 85% de los ejercicios.En este taller ubicaron las fichas fácilmente, porque sabían que debían formar un cuadrado y senotó la creatividad de muchos estudiantes al acomodar las fichas.Caso 5 de factorización: Trinomios de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 = 𝟏., el día 1 de Agostoresolvieron correctamente el 85% de los ejercicios.Se presentaron dificultades cuando debían colocar fichas adicionales y cuando debían utilizar loscuatro cuadrantes.En losTrinomios de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 ≠ 𝟏, el día 8 de Agosto resolvieron correctamenteel 80% de los ejercicios 𝐲 𝐧𝐨𝐭𝐚𝐫𝐨𝐧 𝐥𝐚 diferencia entre usar el material y hacer el ejercicio pormedio de los algoritmos vistos.Caso 6 y 7 de factorización: Suma y diferencia de cubos. el día 22 de Agosto resolvieroncorrectamente el 80% de los ejercicios.Se observó que las niñas eran más exactas en la formación de los cubos, buscando que se vieranmás bonitos.

CONCLUSIONES• El objetivo general de este trabajo se cumple plenamente porque se

utiliza el artefacto “El Álgebra es un Juego” que permite. comomediador instrumental, hacer la transición entre las estructuras delpensamiento concreto a las del pensamiento abstracto. partiendo dellenguaje geométrico para luego hacer la conversión al lenguajesimbólico.

• También fue fundamental las consultas realizadas sobre los temasDesarrollo de la Inteligencia, Representaciones Sociales y Procesos detratamiento y conversión de Registros Semióticos. Es aquí donde sejustifica plenamente el uso del material propuesto ya que se cumple elprimer objetivo específico o sea utilizar “El Álgebra es un Juego” parahacer el tránsito entre el pensamiento concreto y el pensamientoabstracto.

• El principal mérito de “El Álgebra es un Juego”, comparado con todos losmanipulativos analizados, es que todas las operaciones, especialmente lafactorización están ligadas al plano cartesiano.

RECOMENDACIONES

• El álgebra geométrica realmente logra que exista una mejor comprensión de lostemas a pesar de las limitaciones que pueda tener, pero la parte visual que tieneeste recurso genera una mayor motivación porque se logra manipular losconceptos algebraicos de una manera más atractiva sin dejar a un lado sufundamentación teórica. A partir del álgebra geométrica como recurso didácticoy ambientación a diferentes temas creemos se pueden mejorar estos procesos deenseñanza aprendizaje. (Ballén, 2012, p.49).

• La recomendación principal es utilizar este material didáctico “ElÁlgebra es un juego” en las clases. No se pretende reemplazar laenseñanza tradicional del Álgebra, sino que sea una ayuda poderosaen la medida que los profesores la utilicen para convertir conceptosabstractos en concretos y viceversa –lo que con el juego se haceconcreto, después es más fácil hacerlo abstracto- y así los alumnosmanipulando fichas en un tablero, no solo refuerzan lo aprendidosino que también desarrollan el pensamiento tridimensional y, loprincipal, aprenden a amar y a disfrutar las matemáticas,especialmente el Álgebra.

MUCHAS GRACIAS A TODOS LOS ASISTENTES