presentacion semana6 nivel
DESCRIPTION
Presentacion Semana 6 NivelatoriaTRANSCRIPT
Matematicas Nivelatoria
“Si no te esfuerzas hasta el
máximo, ¿cómo sabrás donde
está tu límite?”
Ing. Medardo Galindo
4.1 Exponentes
• Repasar los conceptos básicos de los
exponentes
• Aprender las reglas de los exponentes
• Simplificar una expresión antes de utilizar
la regla de la potencia expandida
Conceptos Básicos
• En la expresión , denominamos base a
la x, y a la n, exponente.
𝑥𝑛
𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑥
𝑥4 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥
𝑥𝑚 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙∙∙∙ 𝑥
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦 = 𝑥4𝑦3
Regla del producto
• Ejemplo
• Resolver
𝑥𝑚 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛
𝑥4 ∙ 𝑥3 = 𝑥4+3 = 𝑥7
𝑎) 32 ∙ 3 𝑏) 24 ∙ 22 𝑐) 𝑥 ∙ 𝑥4
Importante
Evitar errores comunes
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
32 ∙ 31 = 33
𝐼𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
32 ∙ 31 = 93
Regla del cociente
• Resolver
𝑥𝑚
𝑥𝑛= 𝑥𝑚−𝑛 , 𝑥 ≠ 0
𝑎) 35
32 𝑏)
𝑥12
𝑥5 𝑐)
𝑦10
𝑦8
• Cuando el denominador es mayor que el
del numerador, dividimos los factores
comunes.
• Resolver
𝑥5
𝑥12=
𝑥5
𝑥5 ∙ 𝑥7=
1
𝑥7
/
/
𝑎) 𝑥9
𝑥12 𝑏)
𝑦4
𝑦9
• Regla del exponente cero
Resolver
• Regla de la potencia para los exponentes
Resolver
𝑥0 = 1, 𝑥 ≠ 0
𝑎) 𝑥0 𝑏) 3𝑥0 𝑐) 3 𝑥0 𝑑) 4𝑥2𝑦3𝑧0
(𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚∙𝑛
𝑎) (𝑥3)5 𝑏) (34)2
• Regla de la potencia expandida para
exponentes
• Simplificar
𝑎𝑥
𝑏𝑦 𝑚
=𝑎𝑚𝑥𝑚
𝑏𝑚𝑦𝑚, 𝑏 ≠ 0,𝑦 ≠ 0
𝑎) −3𝑦
2𝑧
2
𝑏) 5𝑥𝑦 3
• Simplificar una expresión antes de utilizar
la regla de la potencia expandida
𝑎) 9𝑥3𝑦2
3𝑥𝑦2
3
𝑏) 25𝑥4𝑦3
5𝑥2𝑦7
4
𝑐) 3𝑦3𝑧2 4(2𝑦4𝑧)
4.2 Exponentes Negativos
• Entender la regla del exponente negativo
• Simplificar expresiones que contienen
exponentes negativos
Entender la regla del exponente
negativo• Regla del exponente negativo
• Resolver
𝑥−𝑚 =1
𝑥𝑚, 𝑥 ≠ 0
𝑎) 𝑥−6 𝑏) 4−2
Simplificar expresiones con
exponentes negativos
• Por lo general, cuando simplifique una
expresión exponencial, la respuesta final
no debe contener exponente negativos.
1
𝑥−2=
1
1𝑥2
=1
1∙𝑥2
1= 𝑥2
Resolver
𝑎) 7𝑥4(6𝑥−9)
𝑏) 16𝑟3𝑠−3
8𝑟𝑠2
• Regla de una fracción elevada a un
exponente negativo
• Simplificar
𝑎
𝑏, 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0,
𝑎
𝑏 −𝑚
= 𝑏
𝑎 𝑚
𝑎) 𝑥2𝑦−3
𝑧4
−5
4.3 Notación Científica
• Convertir números a notación científica y
viceversa
• Reconocer números en notación
científica con coeficiente 1
• Hacer cálculos con notación científica
Convertir números a notación
científica• Es frecuente utilizar números muy
grandes o muy pequeños
• Para simplificar dichos números se
escriben en notación científica
𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑀𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑙
6,160,000,000
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐶𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
6.16 × 109
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑟𝑢𝑠 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎
0.0000001
𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐶𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
1.0 × 10−7
• Escribimos cada numero en notación científica
como un mayor o igual a uno y menor que 10
(1 ≤ 𝑎 ≤ 10)
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
1.2 × 106
3.672 × 103
8.07 × 10−2
Para escribir en notación
científica• Recorrer punto decimal del numero
original a la derecha del primer digito
diferente de cero. Esto cumple
• Contar numero de lugares que recorrimos
el punto decimal, si era 10 o mayor sera
positiva, si es menor que 1 negativa
• Multiplique el numero que obtuvimos en el
paso 1 por 10 elevado a la cuenta
(1 ≤ 𝑎 ≤ 10)
Resolver
• Escriba los números siguientes en
notación científica
𝑎) 10,700
𝑏) 0.000386
𝑐) 972,000
𝑑) 0.0083
Convertir de notación científica
a decimal• Observar exponente de la potencia 10
• Si el exponente es positivo, el punto
decimal del numero se recorre a la
derecha el mismo numero de lugares que
el exponente.
• Si es 0, el punto decimal no se mueve
• Si el exponente es negativo, el punto
decimal del numero se recorre a la
izquierda.
Resolver
• Escriba cada numero sin exponentes
𝑎) 2.9 × 104
𝑏) 6.28 × 10−3
𝑐) 7.95 × 108
Números en notación científica
con coeficiente 1
Escriba sin prefijo numérico
Prefijo Significado Símbolo nano 10−9 𝑛
micro 10−6 𝜇
mili 10−3 𝑚
unidad base 100 1
kilo 103 𝑘
mega 106 𝑀
giga 109 𝐺
183 𝑛𝑎𝑛𝑜𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
52 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠
Cálculos con notación científica
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 4.2 × 106 2 × 10−4
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎 3.2 × 10−6
5 × 10−3
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
Aplicación
• El desplazamiento del crucero Disney
Magic es alrededor de ton. El del
Destiny de la lineal Carnival, es cerca de
a.¿Cuánto mas grande es el
desplazamiento bruto del Destiny que el
de Disney Magic?
8.5 x 104
1.02 x 105
4.4 Suma y Resta de
Polinomios• Identificar Polinomios
• Sumar Polinomios
• Restar Polinomios
• Restar polinomios en columnas
Identificar Polinomios
• Un polinomio en x es una expresión que
contiene la suma de un numero finito de
términos de la forma , para cualquier
numero real a y cualquier numero entero
positivo n.
axn
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠
2𝑥
1
3𝑥 − 4
𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠
4𝑥1/2
3𝑥2 + 4𝑥−1 + 5
4 +1
𝑥
• Se escribe un polinomio en orden
descendente (o en potencias
descendentes) de la variable, con los
exponentes de esta en disminución de
izquierda a derecha.
𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
2𝑥4 + 4𝑥2 − 6𝑥 + 3
Tipos de Polinomios
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝑀𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜
# 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑈𝑛𝑜
𝐷𝑜𝑠
𝑇𝑟𝑒𝑠
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠
8, 4𝑥,−6𝑥2
𝑥 + 5, 𝑥2 − 6, 4𝑦2 − 5𝑦
𝑥2 − 2𝑥 + 3, 3𝑧2 − 6𝑧 + 7
Grado de un termino
• Es el exponente que tiene la variable en
dicho termino.
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
4𝑥2
2𝑦5
−5𝑥
3
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
𝑄𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜
Cero
Suma de Polinomios
• Simplificar
• Sumar con el uso de columnas
𝑎) 4𝑥2 + 6𝑥 + 3 + (2𝑥2 + 5𝑥 − 1)
𝑏) 3𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 + (𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦)
𝑐) 5𝑤3 + 2𝑤 − 4 𝑦 (2𝑤2 − 6𝑤 − 3)
Resta de Polinomios
• Usamos la propiedad distributiva para
eliminar paréntesis.
• Reducir términos semejantes
Simplificar
𝑎) 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 − (𝑥2 − 3𝑥 + 4)
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 −3𝑥2 − 5𝑥 + 3 𝑑𝑒(𝑥3 + 2𝑥 + 6)
Resta Polinomios en Columnas
• Escriba el polinomio que va a restar
debajo del polinomio del que se restara.
• Cambie el signo de cada termino en el
polinomio que va a restar
• Sumar los términos en cada columna
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 2𝑥2 − 6 𝑑𝑒 (−3𝑥3 + 4𝑥 − 3)
4.5 Multiplicación de Polinomios
• Multiplicar monomio por otro monomio
• Multiplicar polinomio por un monomio
• Multiplicar binomios por propiedad distrib.
• Multiplicar binomios por método PIES
• Multiplicar binomios con productos
notables
• Multiplicar polinomio por otro polinomio
Monomio por otro monomio
𝑎) 6𝑥2𝑦 7𝑥5𝑦4 = 42𝑥2+5𝑦1+4
= 42𝑥7𝑦5
𝑏) −4𝑥4𝑧9 −3𝑥𝑦7𝑧3 = 12𝑥4+1𝑦7𝑧9+3
= 12𝑥5𝑦7𝑧12
Polinomio por un monomio
• Se emplea la propiedad distributiva
𝑎) − 3𝑛 4𝑛2 − 2𝑛 − 1 =
−3𝑛 4𝑛2 + −3𝑛 −2𝑛 + −3𝑛 (−1)
−12𝑛3 + 6𝑛2 + 3𝑛
Binomios por propiedad
distributiva
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 3𝑥 + 2 𝑥 − 5
= 3𝑥 + 2 𝑥 + 3𝑥 + 2 −5
= 3𝑥2 + 2𝑥 − 15𝑥 − 10
= 3𝑥2 − 13𝑥 − 10
Método PIES
Productos Notables
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎
2𝑥 + 4 2𝑥 − 4 , 𝑠𝑒𝑎 𝑎 = 2𝑥 𝑦 𝑏 = 4
2𝑥 2 − 4 2 = 4𝑥2 − 16
Cuadrado de un Binomio
1. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
2. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟
1. 𝑥 + 5 2
2. 2𝑥 − 4 2
Polinomio por polinomio
• Resolver
3𝑥 + 2 4𝑥2 − 5𝑥 − 3
= 3𝑥 4𝑥2 − 5𝑥 − 3 + 2 4𝑥2 − 5𝑥 − 3
= 12𝑥3 − 15𝑥2 − 9𝑥 + 8𝑥2 − 10𝑥 − 6
= 12𝑥3 − 7𝑥2 − 19𝑥 − 6
4.6 División de Polinomios
• Dividir Polinomio entre un monomio
• Dividir un polinomio entre un binomio
• Comprobación de problemas de división
de polinomios
• Escribir polinomios en orden descendente
al dividir.
Dividir Polinomio entre un
Monomio• Para dividir un polinomio entre un
monomio, dividimos cada termino del
polinomio entre el monomio.
Resolver
𝑎) 2𝑥 + 16
2
𝑏) 10𝑥2 − 4𝑥
2𝑥 𝑐)
4𝑡5 − 6𝑡4 + 8𝑡 − 3
2𝑡2
Evitar Errores Comunes
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑎) 𝑥 + 2
2=𝑥
2+
2
2=𝑥
2+ 1
𝑏) 𝑥 + 2
𝑥=𝑥
𝑥+
2
𝑥= 1 +
2
𝑥
𝐼𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑎) 𝑥 + 2
2=𝑥 + 1
1= 𝑥 + 1
𝑏) 𝑥 + 2
𝑥=𝑥 + 2
𝑥=
1 + 2
1= 3
Dividir un Polinomio entre un
Binomio• Dividimos un polinomio entre un binomio
de manera muy parecida a como
realizamos una división larga.
Resolver𝑎)
𝑥2 + 6𝑥 + 8
𝑥 + 2
𝑏) 6𝑥2 − 5𝑥 + 5
2𝑥 + 3
Comprobación de problemas de
división de polinomios• Para verificar la división de polinomios
• Comprobaremos la respuesta del ejercicio
c. El divisor es 2x + 3, el cociente 3x – 7,
el residuo es 26, y el dividendo
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 × 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
6𝑥2 − 5𝑥 + 5
Escribir Polinomios en orden
descendente• Al dividir un polinomio entre un binomio,
escribimos tanto el polinomio como el
monomio en orden descendente.
• Si no existe un termino elevado a una
potencia dada, a menudo es útil incluirlo
con un coeficiente de 0. Para conservar el
lugar
Resolver: 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 −𝑥 + 9𝑥3 − 28 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (3𝑥 − 4)