PowerPoint Presentation

Definisi 5: Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya Banyaknya permutasi dari n-elemen setiap kali dipilih k- elemen dinyatakan dengan simbol atau atau P (n, k) ; Didefinisikan: o! = 1

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA1Contoh 11: untuk n = 4 dan k = 3 , diperoleh

Definisi 5: Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya Banyaknya permutasi dari n-elemen setiap kali dipilih k- elemen dinyatakan dengan simbol atau atau P (n, k) ; Didefinisikan: o! = 1

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA2Contoh 11: untuk n = 4 dan k = 3 , diperoleh

Teorema 2: Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berbeda adalah n! (dibaca n-faktorial)

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA3Contoh 12: Ada berapa permutasi yang dapat dibentuk dari himpunan yang mempunyai 3 anggota yang berlainan. Jawab:Misalnya himpunan tersebut adalah H = {a, b, c}Permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, cba. Ada 6 susunan yang berlainan. AtauPermutasi yang dapat dibuat adalah = (3)(2)(1) = 6 (susunan yang berlainan)Teorema 3: Banyaknya permutasi n-obyek berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!Contoh 13: Berapa banyaknya permutasi dari 5 orang yang duduk di meja bundar.Jawab: Misalnya nama orang tersebut adalah A, B, C, D, E Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk melingkar ini adalah 4! = 24 susunan26/04/2015AGUSTINI TRIPENA4Teorema 4:Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berlainan jika diantaranyan1 berjenis pertama, n2 berjenis ke-2, . , nk berjenis ke-k adalah

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA5Contoh 14: Berapa banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam penyelenggaran pelatihan kerja, untuk 3 penceramah dalam 3 pertemuan bila ke-3nya bersedia memberikan pelatihan setiap hari selama 5-hari kerja?

Jawab: Dalam hal ini n = 5 dan k = 3, permutasi yang dapat dibentuk adalahJadi banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam penyelenggaran pelatihan kerja tersebut adalah 60 macam susunan

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA6Definisi 5: Suatu himpunan bagian yang terdiri dari k elemen yang diperoleh dari suatu himpunan dengan n elemen disebut suatu Kombinasi dari n elemen setiap kali diambil k elemen.Diberi simbol sebagai: Dengan rumus:

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA7Teorema 5: Banyaknya kombinasi dari n-obyek yang berlainan bila diambil sebanyak r-sekaligus adalahTeorema 6: Banyaknya cara menyekat suatu himpunan dari n-obyek dalam r-sel, masing-masing berisi n1 unsur dalam sel-pertama, n2 dalam sel ke-2, , nr dalam sel ke-r adalah

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA8Catatan: Dari satu kombinasi dapat disusun k! permutasi, ini berarti bahwa jumlah permutasi yang diperoleh dari semua kombinasi, sama dengan k! kali jumlah kombinasinya.Jadi atau

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA9Contoh 15: Berapa banyaknya cara untuk menampung 7 orang dalam 3 kamar hotel, jika tersedia 1 kamar mempunyai 3 tempat tidur sedangkan 2 kamar lainnya mempunyai 2 tempat tidur?Jawab: Jumlah seluruh sekat adalah cara

Contoh 16 :Berapa kombinasi dari 4 huruf ABCD, jika diambil 3 huruf ?Jawab : Untuk n = 4 dan k = 3 diperoleh

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA10HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSIOLEHAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENA4/26/2015AGUSTINI TRIPENA12Pengantar: Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut harapan matematis (atau nilai harapan) dan variansi. Harapan matetatis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan , Variansi dari X da Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan .

AGUSTINI TRIPENA4/26/2015AGUSTINI TRIPENA13Daftar Isi Materi: Rata-rata Perubah Acak Variansi dan Kovariansi Rata-rata dan Variansi dari Kombinasi linier Teorema Chebyshev26/04/2015AGUSTINI TRIPENA15Nilai Harapan dan Varians dari Variabel Acak DiskritNilai Harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil ( outcome ). 26/04/2015AGUSTINI TRIPENA16Nilai Harapan Variabel Acak DiskritE ( X )= x = xi.f (x)atauE ( X )= x = (xi.P(x))Dimana :Xi = nilai ke i dari variabel acak XP(xi) = probabilitas terjadinya xi26/04/2015AGUSTINI TRIPENA17Contoh :X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) = probabilitas X = x.

X0123P(x)0,1250,3750,3750,125Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan.26/04/2015AGUSTINI TRIPENA18Varians dan Simpangan BakuDengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :

Var (X) = 2 = E(X2) (E(X))2 Var (X) = 2 = (x ) 2. P(x) = Var (X)26/04/2015AGUSTINI TRIPENA19Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama.E[h(x,y) = h(x,y) p(x,y)dimana :h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Yp(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.26/04/2015AGUSTINI TRIPENA20Contoh :Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut :X\Y01234P(x)200,10,10,200,430,100,100,20,440,10,10000,2q(y)0,20,20,20,20,21Carilah nilai E (X+Y)Carilah nilai E (X) + E (Y)Carilah nilai E (XY)26/04/2015AGUSTINI TRIPENA21Contoh :Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut :X\Y01234P(x)200,10,10,200,430,100,100,20,440,10,10000,2q(y)0,20,20,20,20,21Carilah nilai E (X+Y)Carilah nilai E (X) + E (Y)Carilah nilai E (XY)26/04/2015AGUSTINI TRIPENA22

Dimana :Xi = nilai variabel acak X ke iYi = nilai variabel acak Y ke ip(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yii = 1, 2, 3, ., nPersamaan Kovarians1. Rata-rata Perubah Acak. Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis X atau . . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai E(X)..Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas.1. Rata-rata Perubah Acak. Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis X atau . . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai E(X)..Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas..E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil yang muncul dalam percobaannya..Rata-rata ini yang disebut rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak yang menyebutnya harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X. Definisi 1: Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (atau rata-rata) perubah acak X adalah

Contoh 2: Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan dan 3 ahli biologi.Jawab: Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia. X = {0, 1, 2, 3} Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai

Dari perhitungan diperoleh:

Dibuat tabel distribusi probabilitas X Tabel 1. Distribusi Probabilitas X

Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah:

x0123f(x)

AGUSTINI TRIPENA4/26/2015AGUSTINI TRIPENA28Contoh 3 Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu, yang dinyatakan dalam bentuk berikut:

Jawab: menurut definisi Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya)) berumur 200 jam

Teorema 1: Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah

Contoh 4: Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini: Tabel 2. Distribusi Probabilitas X

x456789P(X=x)

Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut.

Jawab:

Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67

Contoh 5

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi padat pobabilitas:

Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3Jawab: Nilai harapan g(x) = 4X+3 adalah

Definisi 2: Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah

1. Untuk X dan Y diskret

2. Untuk X dan Y kontinu

Contoh 6: Jika X dan Y suatu perubah acak dengan distribusi peluang gabungan seperti tabel berikut: Tabel 3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y

Hitung nilai harapan g(X,Y) = XY

f(x,y)XJumlah baris 0 1 2Y0

1

2

Jumlah kolom

1

Jawab:

Contoh 7: Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang

Jawab:

Catatan: Jika dalam definisi (2) g(X,Y) = X, maka

dan

dimana: g(x) distribusi marginal X dan h(y) distribusi marginal Y

2. Variansi dan Covariansi Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat berguna dalam memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar nilai rata-rata . Variansi dari perubah acak X diberi notasi Var(X)Definisi 3: Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x) dengan rata-rata ,maka variansi X adalah 2

2. Variansi dan Covariansi Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat berguna dalam memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar nilai rata-rata . Variansi dari perubah acak X diberi notasi Var(X)Definisi 3: Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x) dengan rata-rata ,maka variansi X adalah 2

Teorema 3:Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(X) adalah a. untuk kasus diskret

b. untuk kasus kontinu Bukti: Langsung menggunakan teorema (1) dan definisi (3)

Definisi 4: Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah a. untuk kasus X dan Y diskret

b. untuk kasus X dan Y kontinu

Teorema 4: Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus:

Bukti:a. untuk kasus X dan Y diskrit

Karena

Maka diperoleh:

b. Untuk kasus X dan Y kontinu (seperti a) dg mengganti tanda jumlahan dengan integral)

Contoh 8: Berikut ini perubah acak X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin jika 3 suku cadang disampling dari rantai produksi dan diuji. Kemudian hitung variansinya pada tabel di bawah ini Tabel 4. Distribusi Probabilitas X

Jawab:

Jadi banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin mempunyai variansi sebesar 0,4979x0123f(x)0,510,380,100,01

Contoh 9: Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:

Carilah rata-rata dan variansinya Jawab:

Jadi rata-ratanya, dan variansinya,Contoh 10: Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi probabilitas: Tabel 4.5. Distribusi Probabilitas X Jawab: Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3

Menggunakan teorema (3) pada kasus ini diperolehy0123f(y)

Contoh 11:Jika X perubah acak dengan fungsi probabilitas seperti contoh (5), maka cari variansi perubah acak g(X) = 4X + 3Jawab: Dari contoh (5) diperoleh; Menggunakan teorema (3) pada kasus ini diperoleh:

Jadi variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 adalah:

AGUSTINI TRIPENA4/26/2015AGUSTINI TRIPENA50 Contoh 12:Jika perubah acak X dan Y diberikan seperti pada contoh (6) dengan distribusi probabilitas gabungan pada tabel (1) maka carilah kovariansi dari X dan Y Jawab: Dari contoh (6) diperoleh Sekarang pada kasus ini diperoleh:

dan Sehingga diperoleh kovariansi dari X dan Y adalah:

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA53 Contoh 13: Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan diberikan sbb:

maka carilah kovariansi dari X dan YJawab: Dari contoh (10) diperoleh: dan Dan dapat dinyatakan sebagai:

dan

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA54Fungsi padat gabungan diatas, diperoleh:

Dan

Jadi kovariansi dari X dan Y

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA553. Rata-rata dan Variansi dari Konbinasi LinierDibawa ini diberikan beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan perhitungan rata-rata dan variansi Teorema 5: Jika a dan b konstanta sembarang, maka

Bukti:Menurut definisi nilai harapan (kasus kontinnyu)

Karena: dan

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA56 Akibatnya: 1. Jika diambil a=0, maka 2. Jika diambil b=0, maka Contoh 14:Kembali ke contoh (4) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan Dari contoh (4) diperoleh

Jadi

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA57 Contoh 15:Kembali ke contoh (5) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan sebagai: Dari contoh (4.5) diperoleh

Jadi Hasilnya sama seperti pada contoh (5)

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA58 Teorema 5: Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti:Menurut definisi (kasus kontinnyu)

Analog untuk kasus diskrit

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA59 Contoh 16:Diketahui X perubah acak dengan distribusi probabilitas sbb: Tabel 6. Distribusi Probabilitas X

Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas pada fungsi diperoleh Dengan

Jadi x0123f(x)0

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA60 Contoh 17:Jika diketahui X perubah acak dengan fungsi padat sbb:

Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas: Akibatnya:

Jadi

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA61 Teorema 7: Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X dan Y sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti:Menurut definisi (kasus kontinnyu)

Analog untuk kasus diskrit

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA62 Akibatnya: 1. Jika maka diperoleh:

2. Jika maka diperoleh

Teorema 8: Jika X dan Y merupakan dua perubah acak bebas, maka

Bukti:Menurut definisi diatas (kasus kontinnyu)

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA63 Karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis Dimana g(x) dan h(x) merupakan distribusi pias, sehingga

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA64 Contoh 17: Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan distribusi probabilitas gabungan:

Periksa apakah dipenuhi?

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA65 Jawab

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA66

Jadi26/04/2015AGUSTINI TRIPENA67 Teorema 9: Jika a dan b konstanta sembarang, maka Bukti:Menurut definisi,dan

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA68Sehingga:

Akibatnya: 1. Jika a=1, maka 2. Jika b=0, maka

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA69Teorema 10: Jika X dan Y perubah acak dengan distibusi probabilitas f(x,y) maka Bukti:Menurut definisi,

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA70dan

Maka

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA71Akibatnya: 1. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka

2. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka3. Jika perubah acak bebas, maka berlaku

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA72 Contoh 18: Jika X dan Y perubah acak dengan variansi ; dan kovariansi . Carilah variansi perubah acak : Jawab:

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA73 Contoh 19: Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan variansi ; Carilah variansi perubah acak Jawab:

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA744. Teorema Chebyshev . Telah dikemukakan diatas bahwa variansi perubah acak akan memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar rata-rata. . Bila variansi dan simpangan baku dari perubah acak kecil maka dapat diharapkan bahwa pengamatan akan mengelompok di sekitar nilai rata-rata. . Sehingga probabilitas perubah acak dalam selang tertentu di sekitar rata-rata akan lebih besar dari perubah acak serupa, yang lebih besar simpangan bakunya.. Tetapi jika nilai besar menyatakan keragaman yang lebih besar, sehingga dapat diharapkan pengamatan akan lebih menyebar. . Perhatikan gambar 1dibawah ini. 26/04/2015AGUSTINI TRIPENA75

Gambar 1. Keragaman pengamatan di sekitar rata-rata

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA76

Gambar 2. Keragaman pengamatan dengan

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA77Teorema 11 (teorema Chebyshev) Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k-simpangan baku dari nilai rata-rata adalah sekurang-kurangnya yaitu

Kurva Normal dan Variabel Random NormalDistribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.26/04/2015AGUSTINI TRIPENA78x26/04/2015AGUSTINI TRIPENA79Pada distribusi kontinu, P(Z z) dan P(Z < z) nilainya sama saja.Contoh menghitung peluang dengan Tabel Normal:

Sifat kurva normal, yaitu :Kurva mencapai maksimum padaKurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui Kurva mempunyai titik belok pada Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normalSeluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA80

Distribusi NormalVariabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :

X1x

X226/04/2015AGUSTINI TRIPENA82Distribusi Normal Standar (1) apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi maka :26/04/2015AGUSTINI TRIPENA83

ternyata substitusi

menyebabkan distribusi normal

menjadi

, yang disebut distribusi normal standar. Distribusi Normal Standar (2): Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai

ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar. 26/04/2015AGUSTINI TRIPENA84

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA85Contoh 2Nilai IPK 300 mahasiswa tahun pertama dianggap mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 2,1 dan standar deviasi 0,6. Berapa banyak mahasiswa yang diharapkan mempunyai IPK di antara 2,45 dan 3,55 ?Penyelesaian:Diketahui: X = nilai IPK dan sehingga nilai z yang berpadanan adalah: dan

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA86 Ditanyakan: = = = 0,9922 0,7190= 0,2732Jadi 27,32% mahasiswa mendapat nilai IPK di antara 2,45 dan 3,55.

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA87Jika Z ~ N(0,1) Apa interpretasi dari P(z1 < Z < z2)?Peluang antara z1 dan z2; atauLuas di bawah kurva normal baku yang dibatasi oleh z1 dan z2

Kurva tersebut dapat dipandang sebagai selisih luas di bawah kurva berikut:

sehingga P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) - P(Z < z1)

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA88Bagaimana bentuk distribusi yang tidak normal? Tidak simetris (miring kiri atau miring kanan). Sebagai ilustrasi:

Miring kanan (rata-rata > median) Miring kiri (rata-rata < median)

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA89Jika diberikan suatu data, bagaimana cara memeriksa distribusinya apakah normal atau tidak? Bandingkan nilai rata-rata dan mediannya. Jika nilainya hampir berdekatan berarti distribusinya mendekati normal; atauLihat histogramnya atau diagram batang-daunnya apakah mendekati simetris atau tidak; atauBuat normal probability plot. Jika titik-titiknya menyebar di sekitar garis linier berarti distribusinya mendekati normal;

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA90Contoh 3 Sebuah perusahaan memproduksi susu bubuk rendah lemak. Diasumsikan kadar lemak susu bubuk merk A berdistribusi normal dengan mean 3,5 % dan standar deviasi 0,3 %. Berapakah probabilitas kadar lemak susu bubuk yang diambil secara acak berkisar antara 2,9 hingga 3,8 %?

Jika standar pabrik menentukan bahwa maksimal kadar lemak susu bubuknya adalah 4,0 %, hitunglah berapa persentase produk yang tidak memenuhi syarat tersebut?

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA91Jawaban soal nomor 3.Diketahui : = 3,5 dan = 0,3a. P( 2,9 x 3,8) =

Sehingga : P( 2,9 x 3,8) = P( -2,0 x 1) = P( -2,0 x 0) +P( 0 x 1,0) = 0,4772 + 0,3412 = 0,8184

P(X 4,0) = 0,5 P(0 x 4,0) = 0,5 P(0 Z 1,67) = 0,5 0,4525 = 0,0475

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA92Tabel. Distribusi Normal Nilai pada tabel III adalah luas dibawah kurva normal dari 0 sampai bilangan positif b atau P(0Zb).Contoh :4 Luas kurva normal dari 0 hingga 1,9P(0 Z 1,9)=0,3621

Karena Kurva normal simetris di =0 maka P(-1,9 Z 0)= 0,321

Karena kurva normal simetris di =0 dan luas dibawah kurva normal = 1 maka : P(0 Z +) = 0,5 dan P(-Z0)= 0,5 P(2,5 Z +) = 0,5 P(0Z2,5)= 0,5 0,4798=0,0202 P(0,5 Z 2,5) = P(0 Z 2,5)- P(0 Z 0,5) = 0,4798 0,1915 =0,2883

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA935. Suatu distribusi normal mempunyai mean 60 dan standar deviasi 12. Hitunglah :Luas kurva normal antara =60 dan x= 76 adalah : P(60 x 76) = .. Dicari dulu nilai Z-nya

Jadi P(60 x 76)= P(0 Z 1,33) = 0,4082

Luas kurva normal antara x1=68 dan x2=84.

P(68 x 84)= P(0,67 Z 2,00)= 0,4772-0,2486 = 0,2284

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA94Luas kurva normal antara x3=37 dan x4=72.

P(37 x 72)= P(-1,92 Z 1,00) = P(-1,92 Z 0,00) + P(0,00 Z 1,00) = 0,4726 + 0,3412 = 0,8136

d. Luas kurva normal antara x4=72 sampai positif takterhingga

P(72 x +)= 0,5 P(0 Z 1,00) = 0,5 0,3412 = 0,1588

Latihan 1Rata-rata berat 500 mahasiswa Fabio adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat kurang dari 53 kgdi antara 53 kg dan 57 kgBila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan deviasi standar 7.9, hitunglahNilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai 10% terendah mendapat E. Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA95Hubungan Distribusi Normal dan Distribusi Binomial:Jika n besar dan p atau q menuju 0, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal, sehingga bila X adalah variabel random yang berdistribusi Binomial dengan mean dan variansi maka Z berdistribusi normal standar 26/04/2015AGUSTINI TRIPENA96

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA97Pendekatan normal untuk binomialDistribusi normal akan memberikan pendekatan yang sangat baik jika n besar dan p mendekati 0,5. dalam hal ini : = np dan 2=np(1-p) sehingga : Contoh 4.Suatu proses produksi mempunyai kemungkinan 10% cacat, jika sampel sebanyak 100 buah diambil secara acak dari proses tersebut maka berapakah probabilitas :a. Delapan produk cacatb. Paling banyak lima produk cacatc. Paling sedikit lima belas produk cacatINGAT : Distribusi Normal : Kontinu VS Distribusi Binoamial : Diskrit

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA98Jawab : Kejadian binomial tetapi n besar shg didekati dengan distribusi normal, sehingga : = np = 100 X 10% = 10 2 = np(1-p) = 100. 10% X 0,9 = 9 = 3Maka :P(x = 8) = P (7,5 x 8,5) = P(-0,83 Z -0,5) = P (-0,83 Z 0) - (-0,5 Z 0) = 0,2967 0,1915 = 0,1052b. P(x 5) = P(x 5,5) = P(Z -1,5) = 0,5 P(-1,5 Z 0) = 0,5 0,4332 = 0,0668c. P(x 15) = P(x 14,5) = 0,5 P(0 x 14,5) = 0,5 P(0 Z 1,5) = 0,5 - 0,4332 = 0,0668

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA99Akhir tahun 1999, jumlah mahasiswa Kampus Selang sebanyak 752 orang. Yang mendapat bea siswa dari kampus tersebut ada 650 orang. Peluang yang mendapat bea siswa adalah 90%. Berapakah :a.Rata-rata mahasiswa yang seharusnya mendapat bea siswa ?b.Standar deviasinya ?c.Standar normalnya ?

Penyelesaian :Dik : x = 650, n = 752, p = 90% = 0.9 q = 1 p = 1 0.9 = 0.1Dit : a. : ? b. : ? c. Z : ?

26/04/2015AGUSTINI TRIPENA100jawab :a. = n . p = 752 . 0.9 = 676.8

b. = n . p . q = 752 . 0.9 . 0.1 = 67.68 = 8.227

c. Z = (x - )/ = 650 676.8/ 8.227 = - 26.8 / 8.227 = - 3.25826/04/2015AGUSTINI TRIPENA101Distribusi Chi-SquarePeubah acak kontinu X berdistribusi chi-square (khi-kuadrat) dengan d.k (derajat kebebasan) r, dinotasikan dengan , bila fungsi kepadatan peluangnya diberikan oleh

Gambar 1. Nilai yang ditabelkan