UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO – MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

PRIMENA FAKTORSKIH PLANOVA

U KONTROLI KVALITETA

-master rad-

Kandidat:

Valentina Ilić

Mentor:

dr Miodrag Đorđević

Niš, 2019.

1

SADRŽAJ:

Predgovor ........................................................................................................................ 2

1 Uvod ........................................................................................................................... 3

1.1 Smernice za projektovanje eksperimenta ............................................................ 5

2 Faktorski plan ............................................................................................................. 7

3 Analiza varijanse ...................................................................................................... 10

3.1 Jednofaktorska analiza varijanse ....................................................................... 10

3.2 Dvofaktorska analiza varijanse .......................................................................... 16

4 2𝑘 faktorski plan ....................................................................................................... 22

4.1 22 faktorski plan ................................................................................................. 22

4.2 23 faktorski plan ................................................................................................. 24

5 Delimični 2𝑘 faktorski plan ........................................................................................ 31

5.1 Delimični „jedna polovina“ 2𝑘 faktorski plan ....................................................... 33

5.2 Delimični „jedna četvrtina“ 2𝑘 faktorski plan ....................................................... 37

6 Blok plan u 2𝑘 eksperimentalnom planu ................................................................... 40

6.1 Faktorski eksperiment u nepotpunim blokovima ................................................ 41

6.2 Eksperimenti sa dva nepotpuna bloka ............................................................... 42

6.3 Eksperiment sa četiri nepotpuna bloka .............................................................. 43

7. Primer ....................................................................................................................... 45

8. Dodaci ..................................................................................................................... 47

8.1 Popis slika.......................................................................................................... 47

8.2 Popis tabela ....................................................................................................... 47

Literatura ....................................................................................................................... 49

Biografija ....................................................................................................................... 50

2

PREDGOVOR

Tema ovog master rada je primena faktorskih planova u kontroli kvaliteta. Kod

faktorskog eksperimenta ispituje se uticaj dva ili više faktora, od kojih svaki ima bar dva

nivoa, na jednu ili više promenljivih. U nizu eksperimenata se uključuju sve moguće

kombinacije nivoa posmatranih faktora. U ovakvom eksperimentu se pored uticaja

pojedinačnih faktora, može ispitati i uticaj interakcije faktora na promenljive.

Rad se sastoji od 3 delova i u svakom delu pored teorijskog dela, navedeni su i primeri,

na kojima su objašnjeni primena i način izvođenja statističke analize.

U prvom delu rada govorimo o faktorskom eksperimentu, analizi varijanse i o osnovnim

pojmovima jednofaktorske i dvofaktorske analize varijanse. Ovim delom se bave drugo i

treće poglavlje.

U drugom delu govorimo o 2𝑘 faktorskom planu – planu sa 𝑘 fakora, od kojih svaki ima

samo po dva nivoa. Specijalno, pokazani su 22 – plan sa dva faktora, 23 – plan sa tri

faktora. Na kraju drugog dela je opisan 2𝑘 delimični faktorski plan. Ova tema je opisana

u četvrtom i petom poglavlju.

U trećem, poslednjem delu rada govorimo o blok planu u 2𝑘 eksperimentalnom planu i

faktorskom eksperimentu u nepotpunim blokovima. Blok plan je opisan u šestom

poglavlju.

Ovaj rad je urađen pod rukovodstvom profesora dr. Miodraga Đorđevića. Zahvaljujem mu

se na velikoj pomoći koju mi je pružio u toku izrade master rada prateći ceo tok izrade i

procenjujući rezultate. Pored njega, zahvalnost dugujem i profesorima Miroslavu Ristiću

i Aleksandru Nastiću.

3

1. UVOD

Planiranje eksperimenta je moćna tehnika u otkrivanju ključnih faktora koji utiču na

posmatranu karakteristiku kvaliteta procesa. Ova tehnika se zasniva na sistematskom

variranju kontrolisanih faktora i otkrivanju efekata koji ti faktori imaju na rezultujuću

karakteristiku. Rezultat ove tehnike je smanjenje varijabilnosti karakteristike kvaliteta i

utvrđivanje nivoa ulaznih kontrolisanih faktora koji će optimizovati performanse procesa.

Tri osnovna principa planiranja eksperimenta su ponavljanje, randomiziranje i pravljenje

blokova. Ovi principi su važan deo svakog eksperimenta.

Pod ponavljanjem se podrazumeva izvođenje eksperimenta više puta pod istim uslovima.

Na taj način se povećava mogućnost tačnije ocene faktora greške i efekata ulaznih

promenljivih na izlaznu promenljivu.

Randomizacija (nasumičan redosled) je polazni korak statističkih metoda u planiranju

eksperimenta. Redosled rasporeda kombinacija nivoa faktora u eksperimentalnim

pokušajima bi trebalo da bude slučajan što je više moguće, da bi se izbalansirali efekti

nekontrolisanih faktora na izlaznu promenljivu, smanjila pristrasnost i uvela nezavisnost

među opservacije izlazne promenljive.

Pravljenje blokova je tehnika koja se koristi kako bi se povećala preciznost

eksperimenata. Blok predstavlja deo uzorka koji je na neki način homogeniji u odnosu na

ceo uzorak. Drugim rečima, pravi se grupisanje.

Prilikom planiranja eksperimenta neophodno je da svi koji su uključeni u eksperiment

imaju unapred jasnu ideju o cilju eksperimenta, koje tačno faktore treba proučavati, kako

će eksperiment biti sproveden i razumevanje dalje analize dobijenih podataka.

Dakle, u planiranju eksperimenta se posmatra uticaj jednog ili više ulaznih faktora na

izlazne veličine. Faktori koji utiču na izlazne veličine su podeljeni u dve grupe: kontrolisani

ulazni faktori (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝) i nekontrolisani ulazni faktori (𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑘). Kod kontrolisanih

faktora se vrednosti tokom procesa proizvodnje mogu podešavati na željene vrednosti,

dok je kod nekontrolisanih faktora to nemoguće ili previše skupo. Neka promenljiva 𝑦

označava karakteristiku kvaliteta koja će biti mera kvaliteta procesa i proizvoda.

Ciljevi eksperimenta uključuju:

1. određivanje faktora koji najviše utiču na promenljivu 𝑦.

2. određivanje vrednosti kontrolisanih ulaznih faktora tako da vrednosti izlazne

promenljive budu najbliže ciljnoj vrednosti.

4

3. određivanje vrednosti kontrolisanih ulaznih faktora tako da vrednosti izlazne

promenljive imaju najmanje rasipanje (najmanju varijansu).

4. određivanje vrednosti kontrolisanih ulaznih faktora tako da se efekti

nekontrolisanih promenljivih 𝑧 minimiziraju.

Posle određivanja faktora koji imaju značajan uticaj na karakteristike procesa,

određujemo funkcionalnu vezu između ulaznih promenljivih i rezultata. U ovom slučaju,

najčešće se koristi regresiona analiza ili analiza vremenskih nizova.

Planiranje eksperimenata se veoma često koristi u DMAIC (Define, Measure, Analyze,

Improve, Control) proceduri i predstavljaju važan korak u poboljšanju. Takođe ima važnu

ulogu u Six Sigma strategije.

5

1.1 SMERNICE ZA PROJEKTOVANJE EKSPERIMENTA

Planiranje eksperimenata podrazumeva sledeće korake:

1. Prepoznavanje i definisanje problema – U praksi je ponekad teško shvatiti da

postoji problem koji zahteva formalno uključivanje planiranja eksperimenta. Zbog

toga može biti teško odrediti jasnu definiciju problema. Zbog toga je neophodno

prići problemu sa svih mogućih strana. Takođe je veoma bitno postaviti i specifične

ciljeve metoda poboljšanja, i među njima planiranja eksperimenata. Neophodno je

prikupiti informacije od što više učesnika u procesu – inženjera, ljudi iz kvaliteta,

menadžmenata, marketinga, operatera, kupaca. Što se više korisnih informacija

prikupi o problemu, to će njegovo razumevanje i kasnije rešavanje biti lakše.

2. Izbor faktora i njihovih nivoa – Jedna od osnovnih stvari je izbor ulaznih

kontrolisanih faktora čije će se vrednosti varirati u eksperimentu. Potrebno je

odrediti raspon vrednosti, kao i nivoe vrednosti svakog faktora. Za to je potrebno

dobro poznavati proces i kombinovati praksu i teoriju, odnosno praktična iskustva

i teorijske preporuke. U početnim fazama, kada se još vrši ispitivanje uticaja

faktora, preporučuje se variranje faktora na malom broju nivoa, najčešće dva,

eventualno tri nivoa.

3. Izvor varijable odgovora – Prilikom izbora izlazne promenljive potrebno je voditi

računa da ona stvarno pruži korisnu informaciju i da ispravnu sliku o stanju procesa

koji se ispituje. U ogromnoj veličini slučajeva se prate srednja vrednost i

standardna varijacija izlazne promenljive. Takodje važan faktor je mogućnost

merenja. Ako je sposobnost merenja loša, onda će se eksperimentom uglavnom

otkriti samo ekstremne promene izlazne promenljive koje predstavljaju posledicu

efekta nekih ulaznih faktora.

4. Izbor plana eksperimenta – Ako su prva tri koraka ispravna, ovaj korak je

relativno lak. Izbor plana eksperimenta uključuje razmatranje obima uzorka, izbor

odgovarajućeg redosleda eksperimenata i odgovarajućeg algoritma

randomizacije.

5. Izvođenje eksperimenta – Tokom izvođenja eksperimenata važno je pažljivo

pratiti proces kako bi se osiguralo da se sve vrši prema planu. Bilo kakva

odstupanja od utvrđenog plana mogu da ugroze validnost. U okruženju složenih

procesa veoma je lako potceniti pravila definisana pravom eksperimenta.

6. Analiza podataka – Da bi se dobili objektivni rezultati i zaključci potrebno je na

prikupljene podatke primeniti statističke analize. Tako dobijeni zaključci će biti

pouzdaniji od ličnog subjektivnog ocenjivanja pojedinaca. Za statističke analize se

mogu koristiti mnogi softverski paketi koji uz pravilnu upotrebu, olakšavaju rad i

tumačenje, počevši od najjednostavnijih grafičkih prikaza pa do najsloženijih

6

multivarijacionih analiza podataka. Važne su i rezudualna analiza i validnost

modela.

7. Zaključci za dalje delovanje– Nakon analize podataka potrebno je pravilno i

praktično interpretirati rezultate i preporučiti dalje delovanje, u smislu da rezultati

statističkih analiza budu “prevedeni” na jezik razumljiv svakom od učesnika u

procesu. U ovom koraku grafičke metode mogu znatno da olakšaju interpertaciju i

razumevanje rezultata. Da bi se potvrdili rezultati analiza, ponekad je potrebno

ponovo izvršiti određeni niz eksperimenata. Grafičke metode su veoma korisne u

ovoj fazi, posebno u prezentaciji rezultata drugim. Da bi se potvrdili zaključci iz

eksperimenta, treba se takodje izvršiti postupci nadgledanja i testiranja potvrda.

Prva tri koraka: prepoznavanje i definisanje problema, izbor faktora i njihovih nivoa i izbor

zavisne promenljive se obično nazivaju pre-eksperimentalno planiranje. Bitno je da se ovi

koraci izvode što je pravilnije, što je bolje moguće, da bi eksperiment bio uspešan. Tokom

čitavog procesa važno je imati na umu da je izvođenje eksperimenta deo neprekidnog

procesa učenja. U svakoj iteraciji, mi postavljamo hipotezu u vezi sa procesom, izvodimo

eksperimente i na osnovu rezultata prihvatamo ili odbacujemo postavljenu hipotezu, a

zatim postavljamo novu hipotezu i tako dalje.

7

2. FAKTORSKI PLAN

U okviru faktorskog plana se svaka od mogućih kombinacija nivoa faktora

uključenih u analizu ispituje bar u jednom eksperimentu. Ako, na primer, posmatramo

uticaj dva faktora 𝐴 i 𝐵, pri čemu faktor 𝐴 ima 𝑎 nivoa, a faktora 𝐵 ima 𝑏 nivoa, onda će

svaki ciklus ponavljanja niza eksperimenata imati po 𝑎𝑏 ponavljanja, jer toliko različitih

kombinacija nivoa faktora 𝐴 i 𝐵 je moguće. Uticaj ili efekat faktora definiše se kao

promena vrednosti posmatranog obeležja nastala promenom nivoa faktora. Ovaj efekat

se često naziva glavni efekat.

Fa

kto

r B

Faktor A Slika 1: Faktorski eksperiment sa dva faktora

Na primer, razmotrimo podatke sa slike 1. U ovom faktorskom planu, faktori 𝐴 i 𝐵 imaju

dva nivoa, označeni sa “ − “ i “ + ”. Ova dva nivoa se nazivaju “niži“ i “viši“ , respektivno.

Fa

kto

r B

Faktor A Slika 2: Faktorski eksperiment sa interakcijom

8

Glavni efekat faktora 𝐴 možemo da posmatramo kao razliku između prosečne vrednosti

obeležja na višem nivou faktora 𝐴 i prosečne vrednosti na nižem nivou faktora 𝐴:

𝐴 = �̅�𝐴+ − �̅�𝐴− = 30 + 40

2−

10 + 30

2= 20.

Ovo znači da promenom nivoa faktora 𝐴 sa nižeg nivoa (−) na viši nivo (+) dolazi do

promene prosečne vrednosti obeležja za 20 jedinica.

Analogno, glavni efekat faktora 𝐵 je:

𝐵 = �̅�𝐵+ − �̅�𝐵− = 20 + 40

2−

10 + 30

2= 10.

Na slici 1 vrednost izlazne promenljive pri nižem nivou faktora 𝐴 manja je od vrednosti pri

višem nivou faktora 𝐴, bez obzira na to da li je faktor 𝐵 na nižem ili višem nivou. I ako

sada posmatramo slučaj gde nije tako, odnosno vrednost izlazne promenljive pri nižem

nivou faktora 𝐴 je jednaka vrednosti pri višem nivou faktora 𝐴, tada će efekat faktora 𝐴

zavisiti od izbora nivoa faktora 𝐵. Što nas dovodi do promene na slici 2. Posmatrajmo

sada podatke sa slike 2 i odredimo efekte faktora 𝐴 i 𝐵.

Vidimo da je efekat faktora 𝐴, na nižem nivou faktora 𝐵:

𝐴 = 30 − 10 = 20.

Takođe vidimo i da je efekat faktora 𝐴, na višem nivou faktora 𝐵:

𝐴 = 0 − 20 = −20.

Kako efekat faktora 𝐴 zavisi od izbora nivoa faktora 𝐵 , to postoji interakcija između

faktora 𝐴 i 𝐵. Kada je interakcija velika, odgovarajući glavni efekti nemaju veliki značaj.

Na primer, koristeći podatke sa slike 2 pronaći ćemo glavni efekat faktora 𝐴 kao:

𝐴 =30 + 0

2−

10 + 20

2= 0

i na osnovu toga zaključujemo da promena nivoa faktora 𝐴 ne izaziva promenu u

prosečnim vrednostima izlazne promenljive. Međutim, kada ispitamo glavni efekat faktora

𝐴 pri različitim nivoima faktora 𝐵, vidimo da to nije slučaj. Efekat faktora 𝐴 zavisi od nivoa

faktora 𝐵. Dakle, informacija da postoji interakcija faktora 𝐴 i 𝐵 može da bude korisnija od

informacije vezane za glavni efekat.

Posmatrajmo sada sliku 3 i sliku 4 dobijene na osnovu istih podataka kao i slika 1 i slika

2.

9

Slika 3: Faktorski eksperiment, bez interakcije

Slika 4: Faktorski eksperiment sa interakcijom

Na slici 3 vidimo da su linije 𝐵+ i 𝐵− približno paralelne, a to bi trebalo da ukazuje na

nepostojanje interakcije faktora 𝐴 i 𝐵.

Međutim, na slici 4 linije 𝐵+ i 𝐵− se seku, što može ukazivati na postojanje interakcije

između faktora 𝐴 i 𝐵. Ovakav grafički prikaz, s obzirom na njegovu intuitivnost, može biti

vrlo koristan prilikom prezentacije rezultata.

10

3. ANALIZA VARIJANSE

Izraz analiza varijanse (ANOVA što potiče od engleskog naziva: Analysis of

Variance) opisuje grupu statističkih procedura koje je razvio britanski statističar Sir

Ronald Fisher i izložio ga 1923.godine. Analiza varijanse je statistička metoda kojom se

ispituje efekat jedne ili više nezavisnih promenljivih na jednu zavisnu promenljivu.

Nezavisne promenljive se nazivaju faktori uticaja i oni sadrže više nivoa, a njihov efekat

se odražava na veće ili manje promene vrednosti zavisne promenljive. Kada se ispituje

uticaj jedne nezavisne promenljive (jednog faktora), koji ima dva ili više nivoa, na zavisnu

promenljivu, onda je to jednofaktorska analiza. U višefaktorskoj analizi varijanse ispituje

se uticaj dva faktora (dvofaktorska analiza varijanse), tri faktora (trofaktorska analiza

varijanse) ili više faktora, od kojih svaki ima više nivoa, na jednu zavisnu promenljivu. U

ovom radu će biti opisani različiti slučajevi analize varijanse.

3.1 JEDNOFAKTORSKA ANALIZA VARIJANSE

U ovom eksperimentu, posmatra se dejstvo jednog faktora 𝐴 na ishod

eksperimenta. Faktor 𝐴 ima 𝑎, 𝑎 ≥ 2 različitih nivoa (vrednosti) u eksperimentu. Neka su

različiti nivoi uticaja obeleženi sa 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑎.

Nivoi faktora

Merenja

1 𝑦11, 𝑦12, ⋯ , 𝑦1𝑗, ⋯ , 𝑦1𝑛1

2 𝑦21, 𝑦22, ⋯ , 𝑦2𝑗 , ⋯ , 𝑦2𝑛2

⋮ ⋯

𝑖 𝑦𝑖1, 𝑦𝑖2, ⋯ , 𝑦𝑖𝑗 , ⋯ , 𝑦𝑖𝑛𝑖

⋮ ⋯

𝑎 𝑦𝑎1, 𝑦𝑎2, ⋯ , 𝑦𝑎𝑗 , ⋯ , 𝑦𝑎𝑛𝑎

Tabela 1: Podaci za jednofaktorski eksperiment

11

Linearan matematički model za jednofaktorski eksperiment je:

𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝜀𝑖𝑗 𝑖 = 1,2, … , 𝑎, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑖

gde je 𝜇 =∑ 𝜇𝑖

𝑎𝑖=1

𝑎 srednja (očekivana) vrednost zavisne promenljive, 𝜇𝑖 srednja vrednost

zavisne promenljive pri dejstvu 𝑖-tog nivoa faktora 𝐴, 𝜀𝑖𝑗 nezavisne slučajne promenljive

sa istom raspodelom 𝜀𝑖𝑗 : 𝒩(0, 𝜎2) i 𝜏𝑖 = 𝜇𝑖 − 𝜇 efekat 𝑖-tog nivoa faktora 𝐴.

Neka je 𝑦𝑖. suma svih vrednosti obeležja 𝑦 u uzorku na 𝑖-tom nivou faktora 𝐴, 𝑦.. suma

svih vrednosti obeležja 𝑦, a �̅�𝑖. i �̅�.. odgovarajuće uzoračke sredine.

𝑦𝑖. = ∑ 𝑦𝑖𝑗

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑦.. = ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

�̅�𝑖. =𝑦𝑖.

𝑛𝑖

�̅�.. =𝑦..

∑ 𝑛𝑎𝑖=1 𝑖

Suma kvadrata greške, 𝜀𝑖𝑗 je:

∑ ∑ 𝜀𝑖𝑗2𝑛𝑖

𝑗=1 = ∑ ∑ (𝑦𝑖𝑗 − 𝜇𝑖)2𝑛𝑖𝑗=1

𝑎𝑖=1

𝑎𝑖=1

Minimiziranjem ove vrednosti, može se pokazati da je ocena za 𝜇𝑖:

�̅�𝑖. =∑ 𝑦𝑖𝑗

𝑛𝑖𝑗=1

𝑛𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑎

Kako su 𝜀𝑖𝑗 nezavisne slučajne promenljive sa sredinom 0 i istom varijansom, ocena iz

prethodne jednačine je takođe nepristrasna ocena za 𝜇𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑎.

▪ Suma kvadrata greške je:

𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − �̅�𝑖.)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

▪ Ukupna suma kvadrata je:

𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − �̅�..)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

gde je �̅�.. =∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗

𝑛𝑖𝑗=1

𝑎𝑖=1

∑ 𝑛𝑖𝑎𝑖=1

ocena za 𝜇.

12

Razlika između 𝑆𝑆𝑇 i 𝑆𝑆𝐸 je:

𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − �̅�..)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

− ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − �̅�𝑖.)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

= ∑ 𝑛𝑖(�̅�𝑖. − �̅�..)2

𝑎

𝑖=1

,

što znači da se ukupna suma kvadrata može predstaviti na sledeći način:

∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − �̅�..)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

= ∑ 𝑛𝑖(�̅�𝑖. − �̅�..)2

𝑎

𝑖=1

+ ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗 − �̅�𝑖.)2

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

.

Dakle, ukupna suma kvadrata se može predstaviti u obliku zbira dve sume kvadrata,

sume kvadrata faktora 𝐴 i sume kvadrata greške. Suma kvadrata faktora 𝐴 sadrži

informaciju o odstupanjima srednjih vrednosti zavisne promenljive po nivoima faktora

uticaja od ukupne srednje vrednosti, čime se obuhvata ocena efekta nivoa faktora.

Ispitivanje uticaja jednog faktora na ishod eksperimenta se može svesti na testiranje

hipoteza.

Testira se nulta hipoteza

𝐻0: (𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑎 = 𝜇)

da su sve prosečne vrednosti zavisne promenljive po nivoima faktora jednake, što

ukazuje na to da niti jedan nivo faktora ne prouzrokuje promenu vrednosti zavisne

promenljive, tj. nema uticaj, protiv alternativne hipoteze

𝐻1: (𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑗 𝑧𝑎 𝑏𝑎𝑟 𝑗𝑒𝑑𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑖, 𝑗)

da postoje bar dva nivoa faktora takva da se prosečne vrednosti zavisne promenljive

razlikuju.

Ove hipoteze se mogu zapisati u terminima efekata nivoa faktora i na sledeći način:

Nulta hipoteza će biti

𝐻0: (𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑎 = 0)

da je efekat bilo kog nivoa faktora 𝐴 jednak nuli, odnosno faktor 𝐴 nema nikakav uticaj

na vrednost zavisne promenljive, protiv alternativne

𝐻1: (𝜏𝑖 ≠ 0 𝑧𝑎 𝑏𝑎𝑟 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜 𝑖 = 1,2, … , 𝑎)

da postoji bar jedan nivo faktora 𝐴 čiji je efekat različit od nule, tj.faktor 𝐴 ipak utiče na

vrednosti zavisne promenljive.

13

Važna pretpostavka u postupku testiranja ovih hipoteza je pretpostavka da svi 𝑦𝑖𝑗 imaju

istu varijansu (𝜎2). Popravljena varijansa iz 𝑖-te podgrupe je:

𝑠𝑖2 =

∑ (𝑦𝑖𝑗 − �̅�𝑖.)2𝑛𝑖

𝑗=1

𝑛𝑖 − 1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑎

Korišćenjem ovih 𝑎 ocena, možemo dobiti ocenu ukupne varijanse:

�̂�2 =∑ 𝑠𝑖

2𝑎𝑖=1

𝑎=

1

𝑎∑ ∑

(𝑦𝑖𝑗 − �̅�𝑖.)2

𝑛𝑖 − 1

𝑛𝑖

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

.

Da bismo odredili raspodelu test statistike, odredićemo prvo stepene slobode za svaku

od suma kvadrata koje će se koristiti u daljim izračunavanjima. Ocena parametra dovodi

do gubitka jednog stepena slobode. Izračunavanje 𝑆𝑆𝑇 zahteva izračunavanje �̅�... Broj

stepeni slobode za ukupnu sumu kvadrata će biti:

𝑑. 𝑓. (𝑆𝑆𝑇) = ∑ 𝑛𝑖

𝑎

𝑖=1

− 1 = 𝑁 − 1

gde je 𝑁 obim celog uzorka, 𝑁 = ∑ 𝑛𝑖𝑎𝑖=1 . Broj stepeni slobode za sumu kvadrata

tretmana 𝑆𝑆𝐴 će biti:

𝑑. 𝑓. (𝑆𝑆𝐴) = 𝑎 − 1,

a broj stepeni slobode za sumu kvadrata greške 𝑆𝑆𝐸 se dobija oduzimanjem broja stepeni

slobode za 𝑆𝑆𝐴 od broja stepeni slobode za 𝑆𝑆𝑇:

𝑑. 𝑓. (𝑆𝑆𝐸) = 𝑑. 𝑓. (𝑆𝑆𝑇) − 𝑑. 𝑓. (𝑆𝑆𝐴) = (∑ 𝑛𝑖

𝑎

𝑖=1

− 1) − (𝑎 − 1) = 𝑁 − 𝑎

Deljenjem suma kvadrata odgovarajućim stepenima slobode, dobijaju se tzv. prosečne

vrednosti suma kvadrata (𝑀𝑆).

Prosečna suma kvadrata tretmana ili faktora 𝑀𝑆𝐴 =𝑆𝑆𝐴

(𝑎−1)

Prosečna suma kvadrata greške 𝑀𝑆𝐸 =𝑆𝑆𝐸

𝑁−𝑎

Može se pokazati da ako je nulta hipoteza 𝐻0 ∶ (𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑎 = 0) tačna, tada

𝑆𝑆𝐸 𝜎2⁄ i 𝑆𝑆𝐴 𝜎2⁄ imaju 𝒳2 raspodelu sa odgovarajućim stepenima slobode,

𝑆𝑆𝐸 𝜎2⁄ : 𝒳(𝑁−𝑎)2 𝑆𝑆𝐴 𝜎2⁄ ∶ 𝒳(𝑎−1)

2

14

Na osnovu toga sledi da statistika 𝑆𝑆𝐴/(𝑎−1)

𝑆𝑆𝐸/(𝑁−𝑎)=

𝑀𝑆𝐴

𝑀𝑆𝐸

ima Fišerovu raspodelu sa (𝑎 − 1) i

(𝑁 − 𝑎) stepeni slobode.

𝑆𝑆𝐴/(𝑎 − 1)

𝑆𝑆𝐸/(𝑁 − 𝑎)=

𝑀𝑆𝐴

𝑀𝑆𝐸∶ 𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎.

Hipotezu 𝐻0 odbacujemo, ako su vrednosti statistike 𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎 veće od kritične vrednosti

𝑐 za koju je:

𝑃{𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎 ≥ 𝑐} = 𝛼

gde je 𝑐 = 𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎,𝛼 kvantil reda 1 − 𝛼 za slučajnu promenljivu sa Fišerovom

raspodelom 𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎.

Označimo sa 𝑓𝑎−1,𝑁−𝑎 realizovanu vrednost statistike 𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎. Verovatnoća

𝑃{𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎 ≥ 𝑓𝑎−1,𝑁−𝑎} = 𝑝

se naziva 𝑝 vrednost ili značajnost testa.

Nultu hipotezu 𝐻0 odbacujemo ako je:

𝑓𝑎−1,𝑁−𝑎 ≥ 𝐹𝑎−1,𝑁−𝑎 odnosno ako je 𝑝 ≤ 𝛼

Za prikaz rezultata analize varijanse se obično koristi sledeća tabela u kojoj su prikazane

sve relevantne vrednosti za postupak testiranja ovih hipoteza.

Izvori Suma

kvadrata Stepeni slobode

Prosečna suma kvadrata

𝑭

Tretman 𝑆𝑆𝐴 𝑎 − 1 𝑀𝑆𝐴 =𝑆𝑆𝐴

𝑎 − 1

𝑀𝑆𝐴

𝑀𝑆𝐸

Greška 𝑆𝑆𝐸 𝑁 − 𝑎 𝑀𝑆𝐸 =𝑆𝑆𝐸

𝑁 − 𝑎

Ukupno 𝑆𝑆𝑇 𝑁 − 1

Tabela 2: Rezultati analize varijanse

Primer 1: Inženjer procesa želi da testira efekat temperature žarenja na čvrstoću

komponente. Izabrano je tri nivoa temperature: 600℉, 650 ℉ i 700℉ . Odabrano je

ukupno devet identičnih komponenti za eksperiment i po tri komponente su testirane na

15

svakoj od tri temperature. Raspored komponenti po temperaturama je generisan na

slučajan način. Izmerene vrednosti čvrstoća devet komponenti su date u tabeli 3.

Temperatura Ponavljanje 1 Ponavljanje 2 Ponavljanje 3

𝟔𝟎𝟎℉ 5 (𝑦11) 6 (𝑦12) 7 (𝑦13)

𝟔𝟓𝟎℉ 3 (𝑦21) 4 (𝑦22) 5 (𝑦23)

𝟕𝟎𝟎℉ 7 (𝑦31) 8 (𝑦32) 9 (𝑦33)

Tabela 3: Čvrstoće komponenti nakon žarenja na tri različite temperature

𝑆𝑆𝑇 = 52 + 62 + 72 + 32 + 42 + 52 + 72 + 82 + 92 −542

3 ∙ 3= 30,0

𝑆𝑆𝐴 =182 + 122 + 242

3−

542

9= 24,0

𝑆𝑆𝐸 = 30 − 24 = 6,0.

Tabela 4: Rezultati jednofaktorske analize varijansi za primer žarenja komponenti

Pretpostavimo da je nivo značajnosti 𝛼 = 0,05. Kako je 12,0 > 5,14, zaključujemo da

temperatura utiče na zateznu čvrstoću za nivo značajnosti 𝛼 = 0,05.

Izvori varijanse Suma

kvadrata Stepeni slobode

Prosečna suma kvadrata

𝑭 𝑭 vrednost

(𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟓)

Temperatura 24 3 − 1 = 2 24

2= 12

12

1= 12,0 5,24

Greška 6 8 − 2 = 6 6

6= 1

Ukupno 30 9 − 1 = 8

16

3.2 DVOFAKTORSKA ANALIZA VARIJANSE

Posmatraćemo faktorski model sa dva faktora i opisaćemo postupak statističke

analize na tom modelu. Neka je 𝑎 broj nivoa faktora 𝐴 i 𝑏 broj nivoa faktora 𝐵. Ako se

eksperiment za svaku kombinaciju nivoa faktora 𝐴 i 𝐵 ponavlja 𝑛 puta, imaćemo

raspored podataka kao u tabeli 5:

𝐴 𝐵⁄ 1 2 ⋯ 𝑏

1 𝑦111, 𝑦112, . . , 𝑦11𝑛 𝑦121, 𝑦122, … , 𝑦12𝑛 ⋯ 𝑦1𝑏1, 𝑦1𝑏2, … , 𝑦1𝑏𝑛

2 𝑦211, 𝑦212, … , 𝑦21𝑛 𝑦221, 𝑦222, … , 𝑦22𝑛 ⋯ 𝑦2𝑏1, 𝑦2𝑏2, … , 𝑦2𝑏𝑛

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎 𝑦𝑎11, 𝑦𝑎12, … , 𝑦𝑎1𝑛 𝑦𝑎21, 𝑦𝑎22, … , 𝑦𝑎2𝑛 ⋯ 𝑦𝑎𝑏1, 𝑦𝑎𝑏2, … , 𝑦𝑎𝑏𝑛

Tabela 5: Podaci za dvofaktorski eksperiment

Pošto za svaku kombinaciju nivoa faktora 𝐴 i 𝐵 imamo 𝑛 ponavljanja eksperimenta, biće

ukupno 𝑎𝑏𝑛 vrednosti obeležja 𝑌.

Matematički model dvofaktorskog eksperimenta se može predstaviti na sledeći način :

𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + (𝜏𝛽)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑎, 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑏, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛

gde je 𝜇 matematičko očekivanje obeležja 𝑦 , 𝜏𝑖 je efekat 𝑖 -tog nivoa faktora 𝐴 , 𝛽𝑗 je

efekat 𝑗-tog nivoa faktora 𝐵, (𝜏𝛽)𝑖𝑗 je efekat interakcije faktora 𝐴 i 𝐵 i 𝜀𝑖𝑗𝑘 je greška koja

ima 𝒩(0, 𝜎2). Efekat ili uticaj nivoa faktora se definiše kao srednje vrednosti obeležja na

tom nivou faktora od ukupnog očekivanja obeležja, pa je:

∑ 𝜏𝑖𝑎𝑖=1 = 0 i ∑ 𝛽𝑗

𝑏𝑗=1 = 0

Slično, važi i za efekat interakcije:

∑ ∑(𝜏𝛽)𝑖𝑗

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

= 0

Testiraćemo sledeće parove hipoteza:

nultu hipotezu da je efekat bilo kog nivoa faktora 𝐴 jednak nuli, odnosno faktor 𝐴 nema

nikakav uticaj na vrednost zavisne promenljive, protiv alternativne hipoteze da postoji bar

17

jedan nivo faktora 𝐴 čiji je efekat različit od nule, tj.faktor 𝐴 ipak utiče na vrednosti zavisne

promenljive:

𝐻0 ∶ (𝜏1 = 𝜏2 = ⋯ = 𝜏𝑎 = 0)

𝐻1 ∶ (∃𝑖 ∶ 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑎}, 𝜏𝑖 ≠ 0),

nultu hipotezu da je efekat bilo kog nivoa faktora 𝐵 jednak nuli, odnosno faktor 𝐵 nema

nikakav uticaj na vrednost zavisne promenljive, protiv alternativne hipoteze da postoji bar

jedan nivo faktora 𝐵 čiji je efekat različit od nule, tj.faktor 𝐵 ipak utiče na vrednosti zavisne

promenljive:

𝐻0 ∶ (𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑏 = 0)

𝐻1 ∶ (∃𝑗 ∶ 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑏}, 𝛽𝑗 ≠ 0),

nultu hipotezu da je efekat interakcije bilo kojih nivoa faktora 𝐴 i 𝐵 jednak nuli, odnosno

ne postoji interakcija faktora 𝐴 i 𝐵, protiv alternativne hipoteze da je efekat nekog nivoa

faktora 𝐴 i 𝐵 različit od nule, tj. postoji efekat interakcije faktora 𝐴 i 𝐵 na zavisnu

promenljivu:

𝐻0 ∶ ((𝜏𝛽)𝑖𝑗 = 0, ∀(𝑖, 𝑗) ∶ 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑎}, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑏})

𝐻1 ∶ (∃(𝑖, 𝑗) ∶ 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑎}, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑏}, (𝜏𝛽)𝑖𝑗 ≠ 0).

Za testiranje ovih hipoteza ćemo koristiti dvofatkorsku analizu varijanse.

Neka je 𝑦𝑖.. suma svih vrednosti obeležja 𝑦 u uzorku na 𝑖-tom nivou faktora 𝐴, 𝑦.𝑗. suma

svih vrednosti obeležja 𝑦 u uzorku na 𝑗-tom nivou faktora 𝐵 , 𝑦𝑖𝑗. suma svih vrednosti

obeležja 𝑦 u uzorku pri dejstvu 𝑖-tog nivoa faktora 𝐴 i 𝑗-tog nivoa faktora 𝐵, 𝑦... suma svih

vrednosti obeležja 𝑦, a �̅�𝑖.., �̅�.𝑗., �̅�... i �̅�𝑖𝑗. odgovarajuće uzoračke sredine:

𝑦𝑖.. = ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

�̅�𝑖.. =𝑦𝑖..

𝑏𝑛

𝑦.𝑗. = ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑎

𝑖=1

�̅�.𝑗. =𝑦.𝑗.

𝑎𝑏𝑛

𝑦𝑖𝑗. = ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑛

𝑘=1

�̅�𝑖𝑗. =𝑦𝑖𝑗.

𝑛

𝑦... = ∑ ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

�̅�... =𝑦...

𝑎𝑏𝑛

18

Ukupna suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti je:

𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗𝑘 − �̅�…)2

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

= 𝑏𝑛 ∑(�̅�𝑖.. − �̅�…)2 + 𝑎𝑛 ∑(�̅�.𝑗. − �̅�…)2

+ 𝑛 ∑ ∑(�̅�𝑖𝑗. − �̅�𝑖.. − �̅�.𝑗. + �̅�…)2

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

+ ∑ ∑ ∑(𝑦𝑖𝑗𝑘 − �̅�𝑖𝑗.)2

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

Možemo i simbolički zapisati kao:

𝑆𝑆𝑇 = 𝑆𝑆𝐴 + 𝑆𝑆𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝐵 + 𝑆𝑆𝐸

gde su:

𝑆𝑆𝐴 = ∑ ∑ ∑(�̅�𝑖..

− �̅�…

)2

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

= 𝑏𝑛 ∑(�̅�𝑖..

− �̅�…

)2

𝑎

𝑖=1

𝑆𝑆𝐵 = ∑ ∑ ∑ (�̅�.𝑗.

− �̅�…

)2

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

= 𝑎𝑛 ∑ (�̅�.𝑗.

− �̅�…

)2

𝑏

𝑗=1

𝑆𝑆𝐴𝐵 = ∑ ∑ ∑ (�̅�𝑖𝑗.

− �̅�𝑖..

− �̅�.𝑗.

+ �̅�…

)2

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

= 𝑛 ∑ ∑ (�̅�𝑖𝑗.

− �̅�𝑖..

− �̅�.𝑗.

+ �̅�…

)2

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝑆𝑆𝐸 = ∑ ∑ ∑ (𝑦𝑖𝑗𝑘

− �̅�𝑖𝑗.

)2

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

sume kvadrata odstupanja od odgovarajućih srednjih vrednosti sa vrednostima stepena

slobode: 𝑎 − 1, 𝑏 − 1, (𝑎 − 1)(𝑏 − 1), 𝑎𝑏(𝑛 − 1), respektivno.

Deljenjem zbira kvadrata odstupanja odgovarajućim stepenom slobode dobijaju se

prosečne ili srednje sume kvadrata:

𝑀𝑆𝐴 =𝑆𝑆𝐴

𝑎−1, 𝑀𝑆𝐵 =

𝑆𝑆𝐵

𝑏−1, 𝑀𝑆𝐴𝐵 =

𝑆𝑆𝐴𝐵

(𝑎−1)(𝑏−1) i 𝑀𝑆𝐸 =

𝑆𝑆𝐸

𝑎𝑏(𝑛−1)

To su prosečne sume kvadrata faktora 𝐴, fakora 𝐵, interakcije faktora 𝐴 i 𝐵 i greške. Ove

prosečne sume kvadrata imaju 𝒳2 raspodelu sa odgovarajućim stepenima slobode.

Njihova očekivanja su:

𝐸(𝑀𝑆𝐴) = 𝐸 (𝑆𝑆𝐴

𝑎−1) = 𝜎2 +

𝑏𝑛

𝑎−1∑ 𝜏𝑖

2𝑎𝑖=1

19

𝐸(𝑀𝑆𝐵) = 𝐸 (𝑆𝑆𝐵

𝑏 − 1) = 𝜎2 +

𝑎𝑛

𝑏 − 1∑ 𝛽𝑗

2

𝑏

𝑗=1

𝐸(𝑀𝑆𝐴𝐵) = 𝐸 (𝑆𝑆𝐴𝐵

(𝑎 − 1)(𝑏 − 1)) = 𝜎2 +

𝑛

(𝑎 − 1)(𝑏 − 1)∑ ∑(𝜏𝛽)𝑖𝑗

2

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

𝐸(𝑀𝑆𝐸) = 𝐸 (𝑆𝑆𝐸

𝑎𝑏(𝑛 − 1)) = 𝜎2.

Ako su nulte hipoteze tačne, onda će sva nabrojana očekivanja biti jednaka i iznosiće 𝜎2.

Međutim, ako je tačna alternativna hipoteza, odnosno ako između srednjih vrednosti

zavisne promenljive na različitim novoima faktora postoje razlike, onda će prosečne sume

kvadrata odgovarajućih faktora biti veće od prosečne sume kvadrata. Da bismo testirali

značajnost efekata faktora, kao i njihove interakcije, potrebno je podeliti odgovarajuće

prosečne sume kvadrata prosečnom sumom kvadrata greške. Ako se pretpostavi da je

naš linearan model adekvatan, onda 𝑀𝑆𝐴/𝑀𝑆𝐸 , 𝑀𝑆𝐵/𝑀𝑆𝐸 i 𝑀𝑆𝐴𝐵/𝑀𝑆𝐸 imaju Fišerovu

raspodelu sa odgovarajućim brojem stepeni slobode:

𝐹𝑎−1,𝑎𝑏(𝑛−1) =𝑀𝑆𝐴

𝑀𝑆𝐸

𝐹𝑏−1,𝑎𝑏(𝑛−1) =𝑀𝑆𝐵

𝑀𝑆𝐸

𝐹(𝑎−1)(𝑏−1),𝑎𝑏(𝑛−1) =𝑀𝑆𝐴𝐵

𝑀𝑆𝐸.

Izvori varijanse

Suma kvadrata

Stepeni slobode

Prosečna suma kvadrata 𝑭

Faktor 𝑨 𝑆𝑆𝐴 𝑎 − 1 𝑀𝑆𝐴 =𝑆𝑆𝐴

𝑎 − 1

𝐹0 = 𝑀𝑆𝐴/𝑀𝑆𝐸

Faktor 𝑩 𝑆𝑆𝐵 𝑏 − 1 𝑀𝑆𝐵 =𝑆𝑆𝐵

𝑏 − 1

𝐹0 = 𝑀𝑆𝐵/𝑀𝑆𝐸

Interakcija 𝑨𝑩 𝑆𝑆𝐴𝐵 (𝑎 − 1)(𝑏 − 1) 𝑀𝑆𝐴𝐵 =𝑆𝑆𝐴𝐵

(𝑎 − 1)(𝑏 − 1)

𝐹0 = 𝑀𝑆𝐴𝐵/𝑀𝑆𝐸

Greška 𝑆𝑆𝐸 𝑎𝑏(𝑛 − 1) 𝑀𝑆𝐸 =𝑆𝑆𝐸

𝑎𝑏(𝑛 − 1)

Ukupno 𝑆𝑆𝑇 𝑎𝑏𝑛 − 1

Tabela 6: Tabela za prikaz rezultata dvofaktorske analize varijanse

20

Jednostavnije formule za izračunavanje suma kvadrata su:

­ suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti

𝑆𝑆𝑇 = ∑ ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗𝑘2

𝑛

𝑘=1

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

−𝑦…

2

𝑎𝑏𝑛

­ suma kvadrata odstupanja za faktor 𝐴

𝑆𝑆𝐴 = ∑𝑦𝑖..

2

𝑏𝑛

𝑎

𝑖=1

−𝑦…

2

𝑎𝑏𝑛

­ suma kvadrata odstupanja za faktor 𝐵

𝑆𝑆𝐵 = ∑𝑦.𝑗.

2

𝑎𝑛

𝑏

𝑗=1

−𝑦…

2

𝑎𝑏𝑛

­ suma kvadrata interaktivnog dejstva faktora 𝐴 i 𝐵

𝑆𝑆𝐴𝐵 = ∑ ∑𝑦𝑖𝑗.

2

𝑛

𝑏

𝑗=1

𝑎

𝑖=1

−𝑦…

2

𝑎𝑏𝑛− 𝑆𝑆𝐴 − 𝑆𝑆𝐵

­ suma kvadrata greške

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐴 − 𝑆𝑆𝐵 − 𝑆𝑆𝐴𝐵

Primer 2: Inženjer dizajnira bateriju koja se koristi unutar uređaja, a koji će biti izložen

ekstremnim temperaturnim varijacijama. Jedini parametar dizajna koji inženjer može da

odabere u tom trenutku je materijal od kojeg je ploča baterije napravljena i on ima tri

moguća izbora. Kada je uređaj napravljen, inženjer nema kontrolu nad temperaturnim

ekstremima koje će zadesiti uređaj. On zna iz iskustva da će temperature imati uticaj na

trajanje baterije. Međutim, temperatura može da se kontroliše tokom laboratorijskog

razvoja proizvoda, a zarad testiranja. Inženjer odlučuje da testira sva tri materijala na tri

različite temperature - 15℉, 70℉ i 125℉ - zbog toga što su ove temperature konzistentne

sa trajanjem proizvoda. Testirane su četiri baterije u svakoj kombinaciji materijala i

temperature, redosled svih 36 pokušaja je određen nasumično. Eksperiment i rezultati

trajanja baterije su prikazeni u tabeli 7.

21

Temperatura (𝐵)

Materijal (𝐴) 15℉ 70℉ 125℉ 𝑦𝑖..

1 130 155

74 180

34 40

80 75

20 70

82 58 998

2 150 188

159 126

136 122

106 115

25 70

58 45 1300

3 138 110

168 160

174 120

150 139

96 104

82 60 1501

𝑦.𝑗. 1738 1291 770 3799 = 𝑦…

Tabela 7: Trajanje baterije u zavisnosti od temperature i vrste materijala

𝑆𝑆𝑇 = 1302 + 1552 + ⋯ + 602 −(3799)2

36= 77 646,97

𝑆𝑆𝐴 =9982 + 13002 + 15012

12−

(3799)2

36= 10 683,72

𝑆𝑆𝐵 =17382 + 12912 + 7702

12−

(3799)2

36= 39 118,72

𝑆𝑆𝐴𝐵 =1

4[5392 + 2292 + ⋯ + 3422] −

(3799)2

36− 10 683,72 − 39 118,72 = 9 613,78

𝑆𝑆𝐸 = 77 646,97 − (10 683,72 + 39 118,72 + 9 613,78) = 18 230,75

Izvori Suma

kvadrata Stepeni slobode

Prosečna suma

kvadrat 𝑭

𝑷 vrednost

Materijal 𝐴 10 683,72 2 5 341,86 7,91 0,002

Temperatura 𝐵 39 118,72 2 19 559,36 28,97 0,000

Interakcija 𝐴𝐵 9 613,78 4 2 403,44 3,56 0,018

Greška 18 230,75 27 675,21

Ukupno 77 646,97 35

Tabela 8: Rezultati analize varijanse u eksperimentu sa trajanjem baterija

Na osnovu 𝑃 vrednost, zaključujemo da vrsta materijala, temperatura i interakcija između

njih imaju značajan uticaj na trajanje baterije.

22

4. 2𝑘 FAKTORSKI PLAN

Neke specijalne vrste faktorskih planova su veoma korisne u procesu razvoja i

poboljšanja kvaliteta. Jedan od njih je faktorskii plan sa 𝑘 faktora, pri čemu svaki faktor

ima dva nivoa. Zbog toga što sva moguća ponavljanja ovog plana zahtevaju 2𝑘

posmatranja, plan nazivamo 2𝑘 faktorskii plan. Ovaj plan ima jednostavnu analizu. Pored

toga, čini i osnovu mnogih drugih korisnih planova.

U nastavku će biti reči o najjednostavnijim slučajevima 22, 23 planovima, a zatim i o

delimičnom faktorskom 2𝑘 planu.

4.1 22 FAKTORSKI PLAN

Najpre posmatramo najjednostavniji slučaj: plan sa dva faktora 𝐴 i 𝐵, svaki sa po

dva nivoa, tj.plan 22. Geometrijska šema plana 22 je prikazana na slici 5. Plan možemo

predstaviti geometrijski kao kvadrat čije svako teme predstavlja po jedan eksperiment.

Matrica plana prikazuje četiri eksperimenta u tabličnom formatu, što je ilustrovano u tabeli

9.

Slika 5: Geometrijski šema 22 faktorskog plana

23

𝐴 𝐵

(1) − −

𝑎 + −

𝑏 − +

𝑎𝑏 + +

Tabela 9: Matrica 22 faktorskog plana

Neka oznake (1), 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑏 predstavljaju zbir vrednosti zavisne promenljive u 𝑛

eksperimenata na odgovarajućim nivoima faktora 𝐴 i 𝐵. Cilj analize je da se utvrdi da li

postoje efekti faktora 𝐴 i 𝐵 i eventualno njihove interakcije. Da bismo ocenili glavni efekat

faktora 𝐴, treba od prosečne vrednosti 𝑛 opservacija na desnoj strani kvadrata, kada je

faktor 𝐴 na višem nivou, oduzeti od prosečne vrednosti 𝑛 opservacija na levoj strani

kvadrata, gde je faktor 𝐴 na nižem nivou, tj.

𝐴 = �̅�𝐴+ − �̅�𝐴− =𝑎 + 𝑎𝑏

2𝑛−

𝑏 + (1)

2𝑛=

1

2𝑛[𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑏 − (1)]

Analogno, glavni efekat faktora 𝐵 dobijamo tako što se od prosečne vrednosti 𝑛

opservacija na vrhu kvadrata, gde je faktor 𝐵 na višem nivou, oduzima prosečna vrednost

𝑛 opservacija na dnu kvadrata, gde je 𝐵 na nižem nivou, tj.

𝐵 = �̅�𝐵+ − �̅�𝐵− =𝑏 + 𝑎𝑏

2𝑛−

𝑎 + (1)

2𝑛=

1

2𝑛[𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑎 − (1)]

Interakciju 𝐴𝐵 ocenjujemo tako što se uzima razlika u prosečnim vrednostima

kombinacija na dijagonalama kvadrata (slika 5), tj.

𝐴𝐵 =𝑎𝑏 + (1)

2𝑛−

𝑎 + 𝑏

2𝑛=

1

2𝑛[𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏].

Vrednost u zagradama prethodnih izraza se naziva kontrast. Kontrast se koristi pri

izračunavanju efekata faktora 𝐴, 𝐵 i interakcije 𝐴𝐵 i predstavlja njihove totalne efekte.

Dakle, kontrasti za 𝐴, 𝐵 i 𝐴𝐵 su:

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝐴 = 𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑏 − (1)

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝐵 = 𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑎 − (1)

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝐴𝐵 = 𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏.

U ovim izrazima, koeficijenti linearne kombinacije kontrasta su uvek +1 ili −1.

24

Fakorski efekti

𝐼 𝐴 𝐵 𝐴𝐵

𝟏 (1) + − − +

𝟐 𝑎 + + − −

𝟑 𝑏 + − + −

𝟒 𝑎𝑏 + + + +

Tabela 10: Tabelarni prikaz znakova koeficijenata odgovarajućih kontrasta

Za računanje suma kvadrata odstupanja od srednjih vrednosti može se koristiti i sledeća

formula:

𝑆𝑆 =(𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡)2

𝑛 ∑(𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑗𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝑎)2

Na taj način sume kvadrata odstupanja će biti:

𝑆𝑆𝐴 =[𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑏 − (1)]2

4𝑛

𝑆𝑆𝐵 =[𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑎 − (1)]2

4𝑛

𝑆𝑆𝐴𝐵 =[𝑎𝑏 + (1) − 𝑎 − 𝑏]2

4𝑛.

Ukupna suma kvadrata 𝑆𝑆𝑇 ima 4𝑛 − 1 stepen slobode, a suma kvadrata greške 𝑆𝑆𝐸 ima

4(𝑛 − 1) stepen slobode i računa se preko ostalih suma kvadrata

𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐴 − 𝑆𝑆𝐵 − 𝑆𝑆𝐴𝐵.

4.2 23 FAKTORSKI PLAN

Primer 3: Izveden je eksperiment da se ispita završna obrada metalne površine.

Eksperiment je 23 faktorski plan sa brzinom rezača (𝐴), dubinom reza (𝐵) i uglom alata

(𝐶), sa 𝑛 = 2 pokušaja. U tabeli 11 su prikazani podaci koji predstavljaju ocenu kvaliteta

završne obrade, a plan je grafički prikazan na slici 6.

25

Faktori Kvalitet

površine Ukupno

𝐴 𝐵 𝐶

1 (1) −1 −1 −1 9, 7 16

2 𝑎 1 −1 −1 10, 12 22

3 𝑏 −1 1 −1 9, 11 20

4 𝑎𝑏 1 1 −1 12, 15 27

5 𝑐 −1 −1 1 11, 10 21

6 𝑎𝑐 1 −1 1 10, 13 23

7 𝑏𝑐 −1 1 1 10, 8 18

8 𝑎𝑏𝑐 1 1 1 16, 14 30

Tabela 11: Podaci koji predstavljaju ocenu kvaliteta završne obrade

Slika 6: 23 Plan završne obrade

Glavni efekat faktora 𝐴 je:

𝐴 =1

4𝑛[𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑏𝑐 − (1)]

=1

4(2)[22 + 27 + 23 + 30 − 20 − 21 − 18 − 16] =

1

8[27] = 3.375

zbir kvadrata za 𝐴 se dobija korišćenjem jednačine:

26

𝑆𝑆𝐴 =(𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡𝐴)2

𝑛2𝑘= 45.5625.

Ocene efekata i sume kvadrata za 𝐵, 𝐶, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 dobijaju se na analogan način i

iznose:

𝐵 = 1,625

𝐶 = 0,875

𝐴𝐵 = 1,375

𝐴𝐶 = 0,125

𝐵𝐶 = −0,625

𝐴𝐵𝐶 = 1,125

𝑆𝑆𝐵 = 10,5625

𝑆𝑆𝐶 = 3,0625

𝑆𝑆𝐴𝐵 = 7,5625

𝑆𝑆𝐴𝐶 = 0,0625

𝑆𝑆𝐵𝐶 = 1,5625

𝑆𝑆𝐴𝐵𝐶 = 5,0625

Izvori Suma

kvadrata Stepeni slobode

Prosečna suma kvadrata

𝑭 𝑷 vrednost

𝑨 45,5625 1 45,5625 18,69 0,003

𝑩 10,5625 1 10,5625 4,33 0,07

𝑪 3,0625 1 3,0625 1,26 0,29

𝑨𝑩 7,5625 1 7,5625 3,10 0,12

𝑨𝑪 0,0625 1 0,0625 0,03 0,88

𝑩𝑪 1,5625 1 1,5625 0,64 0,45

𝑨𝑩𝑪 5,0625 1 5,0625 2,08 0,19

Greška 19,5000 8 2,4375

Ukupno 92,9375 15

Tabela 12: Rezultati analize varijanse u eksperimentu sa tri faktora

U tabeli 12 su prikazani detaljni rezultati analize varijansi za prethodni trofaktorski

eksperiment sa ponavljanjem. Na osnovu dobijenih značajnosti se može reći da, uz prag

značajnosti 0,05, jedino faktor 𝐴 ima statistički značajan efekat na zavisnu promenljivu.

U opštem slučaju ako imamo 𝑘 = 3 faktora, svaki na dva nivoa, dobijamo faktorski plan

23 . Ovaj faktorski plan ima 23 = 8 eksperimenata. Geometrijska šema plana 23 je

prikazana na slici 7. Plan možemo predstaviti geometrijski kao kocku čije svako teme

predstavlja po jedan eksperiment, koji formiraju uglove kocke. Matrica plana prikazuje

osam eksperimenata u tabličnom formatu, što je ilustrovano u tabeli 13.

27

Slika 7: Geometrijska šema 23 faktorskog plana

𝑨 𝑩 𝑪

(1) − − −

𝑎 + − −

𝑏 − + −

𝑎𝑏 + + −

𝑐 − − +

𝑎𝑐 + − +

𝑏𝑐 − + +

𝑎𝑏𝑐 + + +

Tabela 13: Matrica plana eksperimenta sa tri faktora

Faktorski model možemo zapisati simbolički kao:

𝑦 = 𝜇 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝜀

gde je 𝜇 ukupna sredina, 𝐴, 𝐵 i 𝐶 efekti pojedinačnih faktora, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 interakcije dva

faktora, 𝐴𝐵𝐶 interakcija sva tri faktora i 𝜀 je greška sa 𝒩(0, 𝜎2) raspodelom. Mala slova (1), 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑏, 𝑐, 𝑎𝑐, 𝑏𝑐 i 𝑎𝑏𝑐 predstavljaju zbirove svih 𝑛 opservacija na svakom od osam pokušaja.

Ocena glavnog efekta faktora 𝐴 se dobija tako što se od srednje vrednosti zavisne

promenljive dobijene za četiri kombinacije nivoa faktora u kojima faktor 𝐴 učestvuje na

višem nivou, a koje se na geometrijskom prikazu na desnoj strani kocke, oduzme

odgovarajuća srednja vrednost kombinacija na levoj strani kocke slika 7, odnosno

𝐴 = �̅�𝐴+ − �̅�𝐴− = 1

4𝑛[𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑏𝑐 − (1)]

28

Na sličan način se dobijaju ocene glavnih efekata faktora 𝐵 i 𝐶.

𝐵 = �̅�𝐵+ − �̅�𝐵− =1

4𝑛[𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑐 − (1)]

𝐶 = �̅�𝐶+ − �̅�𝐶− =1

4𝑛[𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑎𝑏 − (1)].

(𝑎) 𝑔𝑙𝑎𝑣𝑛𝑖 𝑒𝑓𝑒𝑘𝑡𝑖

(𝑏) 𝑑𝑣𝑜𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑠𝑘𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑐𝑖𝑗𝑎

(𝑐) 𝑡𝑟𝑜𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑠𝑘𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑐𝑖𝑗𝑎

Slika 8: Geometrijska prezentacija kontrasta koja odgovara glavnim efektima i

interakcijama u 23 planu

Razmotrimo sada dvofaktorsku interakciju 𝐴𝐵. Interakcija 𝐴𝐵 se računa posebno za svaki

od dva nivoa faktora:

𝐴𝐵(𝐶 𝑗𝑒 𝑛𝑎 𝑛𝑖ž𝑒𝑚 𝑛𝑖𝑣𝑜𝑢) =1

2𝑛[𝑎𝑏 − 𝑏] −

1

2𝑛[𝑎 − (1)]

29

𝐴𝐵(𝐶 𝑗𝑒 𝑛𝑎 𝑣𝑖š𝑒𝑚 𝑛𝑖𝑣𝑜𝑢) =1

2𝑛[𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐] −

1

2𝑛[𝑎𝑐 − 𝑐]

Interakcija 𝐴𝐵 je sredina ova dva efekta ili

𝐴𝐵 =1

4𝑛[𝑎𝑏 + (1) + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐 − 𝑏 − 𝑎 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐]

Koristeći sličan postupak, ocene efekata 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 su:

𝐴𝐶 =1

4𝑛[𝑎𝑐 + (1) + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑐 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐]

𝐵𝐶 =1

4𝑛[𝑏𝑐 + (1) + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐]

Može se pokazati da se isti izraz dobija za interakciju 𝐴𝐶 sa 𝐵 i interakciju 𝐵𝐶 sa 𝐴, ta se

veličina naziva 𝐴𝐵𝐶 interakcija. To je interakcija drugog reda ili trofaktorska interakcija.

𝐴𝐵𝐶 =1

4𝑛[𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 + 𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑏 + 𝑎 − (1)]

Ovu trofaktorsku interakciju možemo videti na slici 8.

Vrednosti u zagradama predstavljaju kontraste osam eksperimenata nivoa faktora.

Raspored znakova u linearnoj kombinaciji kontrasta za plan 23 je prikazan u tabeli 14.

Kombinacije pokušaja

Faktorski efekti

𝐼 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶

(𝟏) + − − + − + + −

𝒂 + + − − − − + +

𝒃 + − + − − + − +

𝒂𝒃 + + + + − − − −

𝒄 + − − + + − − +

𝒂𝒄 + + − − + + − −

𝒃𝒄 + − + − + − + −

𝒂𝒃𝒄 + + + + + + + +

Tabela 14: Tabelarni prikaz 23 faktorskog plana

30

Iz tabele možemo uočiti sledeće:

­ osim kolone identiteta 𝐼, sve ostale kolona imaju isti broj plus i minus znakova.

­ zbir proizvoda znakova za svake dve kolone je nula, tj. kolone u tabeli su

ortogonalne.

­ množenjem znakova iz bilo koje kolone sa znakovima iz kolone identiteta 𝐼 ,

ostavlja kolonu nepromenjenu, tj. 𝐼 je neutralni element za množenje.

­ proizvod bilo koje dve kolone daje već postojeću kolonu. Na primer, 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 i

𝐴𝐵 × 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴2𝐵2𝐶 = 𝐶.

Ocena bilo kog glavnog efekta ili interakcije se dobija na osnovu formule:

𝑒𝑓𝑒𝑘𝑎𝑡 =𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡

𝑛2𝑘−1

Suma kvadrata za bilo koji efekat je:

𝑆𝑆 =(𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠𝑡)2

𝑛2𝑘.

31

5. DELIMIČNI 2𝑘 FAKTORSKI PLAN

Ako se povećava broj faktora, povećaće se i broj eksperimenata koje treba

provesti. Na primer, za 5 faktora na dva nivoa, u slučaju potpunog faktorskog plana

trebalo bi sprovesti 32 eksperimenta. U takvim slučajevima, uglavnom se sprovodi samo

deo eksperimenata, npr. polovina, četvrtina ili osmina. Ovakvi planovi nazivaju se

delimični faktorski planovi. Na osnovu toga što se samo jedan deo eksperimenta

sprovodi, neminovno je da će se izgubiti informacije o nekim efektima i interakcijama

faktora.

Kod delimičnog faktorskog plana ukupan broj eksperimenata je:

𝑁 = 2𝑘−𝑞

gde je 𝑘 broj faktora, a 𝑞 pozitivna vrednost koja se uzima zavisno od željenog smanjenja

broja eksperimenata.

U sedećoj tabeli možemo videti neke generatorne kontraste za odabrane delimične

faktorske planove i odgovarajuće rezolucije.

Broj faktora

(𝒌)

Delimični plan

𝟐𝒌−𝒒

Rezolucija Broj

pokušaja Generatorni

kontrast

𝟑 23−1(1 2⁄ ) 𝐼𝐼𝐼 4 𝐴𝐵𝐶

𝟒 24−1(1 2⁄ ) 𝐼𝑉 8 𝐴𝐵𝐶𝐷

𝟓 25−2(1 4⁄ )

25−1(1 2⁄ )

𝐼𝐼𝐼

𝑉

8

16

𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐶𝐸

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸

𝟔 26−3(1 8⁄ )

26−2(1 4⁄ )

𝐼𝐼𝐼 𝐼𝑉

8 16

𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐶𝐸, 𝐵𝐶𝐹 𝐴𝐵𝐶𝐸, 𝐵𝐶𝐷𝐹

𝟕

27−4(1 16⁄ )

27−3(1 8⁄ )

27−2(1 4⁄ )

𝐼𝐼𝐼

𝐼𝑉 𝐼𝑉

8

16 32

𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐶𝐸, 𝐵𝐶𝐹, 𝐴𝐵𝐶𝐺

𝐴𝐵𝐶𝐸, 𝐵𝐶𝐷𝐹, 𝐴𝐶𝐷𝐺 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹, 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐺

𝟖 28−4(1 16⁄ )

28−3(1 8⁄ )

𝐼𝑉

𝐼𝑉

16

32

𝐵𝐶𝐷𝐸, 𝐴𝐶𝐷𝐹, 𝐴𝐵𝐶𝐺, 𝐴𝐵𝐷𝐻

𝐴𝐵𝐶𝐹, 𝐴𝐵𝐷𝐺, 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐻

𝟗 29−5(1 32⁄ )

29−4(1 16⁄ )

29−3(1 8⁄ )

𝐼𝐼𝐼

𝐼𝑉

𝐼𝑉

16

32

64

𝐴𝐵𝐶𝐸, 𝐵𝐶𝐷𝐹, 𝐴𝐶𝐷𝐺, 𝐴𝐵𝐷𝐻, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐽

𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, 𝐴𝐶𝐷𝐸𝐺, 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐻, 𝐴𝐵𝐶𝐸𝐽

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐺, 𝐴𝐶𝐸𝐹𝐻, 𝐶𝐷𝐸𝐹𝐽

Tabela 15: Izabrani 𝟐𝒌−𝒑 delimični faktorski plan.

Pre konstrukcije delimičnog plana definisaćemo neke pojmove.

Pojam rezolucija se odnosi na dužinu najkraće oznake faktorskog efekta (kontrasta) u

smislu broja slova. Što je niža rezolucija, manja je količina informacija koja se dobija u

32

analizi. Na primer, u planu sa rezolucijom IV postoji bar jedna oznaka kontrasta dužine 4

slova.

Maskiranje je situacija u kojoj više izvora varijacije (faktora ili interakcije) u

eksperimentalnom planu imaju identičan raspored nivoa, odnosno znakovni niz nivoa (+

i −) im se podudaruju. Izvori varijacije koji su međusobno maskirani zovu se dvojnici.

Generatorni kontrast je faktor ili interakcija više faktora koja se koristi za generisanje

kombinacija faktora i interakcija koje će biti uključene u eksperimentalni plan. Na osnovu

njih se može odrediti koji efekti će biti maskirani. Broj generatorkih kontrasta je uvek

jednak faktoru rezolucije (𝑞).

Definisani kontrast predstavlja kombinaciju faktora koja je u svim eksperimentima

delimičnog plana prisutna samo na nivou koji je označen znakom +.

U eksperimentalnim planovima sa Rezolucijom III efekti glavnih faktora nisu maskirani

nekim drugim glavnim faktorom. Glavni faktori su maskirani sa nekom dvofaktorskom

interakcijom. Jedan drugom su dvojnici. Dvofaktorske interakcije su maskirane drugim

dvofaktorskim interakcijama.

Primeri su: 23−1 i 25−2.

U eksperimentalnim planovima sa Rezolucijom IV efekti glavnih faktora nisu maskirani

nekim drugim glavnim faktorom ili dvofaktorskom interakcijom. Dvofaktorske interakcije

su maskirane drugim dvofaktorskim interakcijama.

Primeri su: 24−1 i 26−2.

U eksperimentalnim planovima sa Rezolucijom V efekti glavnih faktora nisu maskirani

nekim drugim glavnim faktorom ili dvofaktorskom interakcijom. Efekti dvofaktorskih

interakcija nisu maskirani nekim drugim dvofaktorskim interakcijama. Dvofaktorske

interakcije su maskirane trofaktorskim interakcijama.

Primeri su: 25−1 i 26−1.

33

5.1 DELIMIČNI „JEDNA POLOVINA“ 2𝑘 FAKTORSKI PLAN

Delimični „jedna polovina“ 2𝑘 faktorski plan sadrži 2𝑘−1 pokušaja i često se zove

2𝑘−1delimični faktorski plan. Uzećemo za primer 23−1 delimični faktorski plan, tj. delimični

„jedna polovina“ 23 faktorski plan.

Neka su 𝑎, 𝑏, 𝑐 i 𝑎𝑏𝑐 četiri pokušaja delimičnog „jedna polovina“ 23 faktorskog plana. Ove

pokušaje možemo videti u tabeli 16 kao i plus i minus znakove za plan 23. Plan 23−1 se

formira izborom samo onih pokušaja koji su označeni znakom + u kombinaciji faktora

𝐴𝐵𝐶 . Prema tome, kontrast 𝐴𝐵𝐶 je generator ovog delimičnog plana. Pored toga i

jedinična kombinacija 𝐼 sadrži samo znak + u posmatrana četiri pokušaja, tako da je 𝐼 =

𝐴𝐵𝐶 definisući kontrast za ovakav eksperimentalni plan.

(a) Glavna polovina, I = +ABC (b) Alternativna polovina, I = −ABC

Slika 9: Delimični „jedna polovina“ 23 faktorski plan

Pokušaj Faktorski efekat

𝐼 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶

𝒂 + + − − − − + +

𝒃 + − + − − + − +

𝒄 + − − + + − − +

𝒂𝒃𝒄 + + + + + + + +

𝒂𝒃 + + + − + − − −

𝒂𝒄 + + − + − + − −

𝒃𝒄 + − + + − − + −

(𝟏) + − − − + + + −

Tabela 16: Plus i minus znaci za 23 faktorski plan

34

Iz tabele 16 dobijamo ocene glavnih efekata i ocene dvofaktorskih interakcija, tj.

𝐴 =1

2[𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐]

𝐵 =1

2[−𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐]

𝐶 =1

2[−𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐]

𝐵𝐶 =1

2[𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐]

𝐴𝐶 =1

2[−𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐]

𝐴𝐵 =1

2[−𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐]

Na osnovu linearnih kombinacija opservacija u kolonama možemo zaključiti da su parovi

dvojnika sledeći: faktor 𝐴 i interakcija 𝐵𝐶, faktor 𝐵 i interakcija 𝐴𝐶, faktor 𝐶 i interakcija

𝐴𝐵. Dvojnici se mogu pronaći koristeći definisući kontrast 𝐴𝐵𝐶.

Dvojnik faktora 𝐴 je:

𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴2 ∙ 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶

jer je 𝐴 ∙ 𝐼 = 𝐴 i 𝐴2 = 𝐼. Dvojnik faktora 𝐵 i faktora 𝐶 su:

𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵2𝐶 = 𝐴𝐶 i 𝐶 = 𝐶 ∙ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵

Pretpostavimo da smo u planu 23−1 koristili polovinu određenu kontrastom 𝐴𝐵𝐶, onda

imamo sledeće ocene efekata:

[𝐴] = 𝐴 + 𝐵𝐶

[𝐵] = 𝐵 + 𝐴𝐶

[𝐶] = 𝐶 + 𝐴𝐵

Pretpostavimo da nas u ovoj fazi eksperimenta ne zanimaju dvofaktorske interakcije, tj.

da se one mogu zanemariti, onda je plan 23−1 proizveo ocene tri glavna efekta 𝐴, 𝐵 i 𝐶.

Međutim, ako posle ovakvog niza eksperimenata glavne nismo sigurni da li interakcije

možda imaju efekat, možemo ih oceniti pomoću eksperimenata iz druge, izostavljene,

polovine potpunog faktorskog plana. Na osnovu alternativne polovine ocene efekata su:

[𝐴]′ = 𝐴 − 𝐵𝐶

[𝐵]′ = 𝐵 − 𝐴𝐶

[𝐶]′ = 𝐶 − 𝐴𝐵

35

Ako kombinujemo ocene iz ove dve polovine, dobijamo sledeće:

𝑬𝒇𝒆𝒌𝒂𝒕, 𝒊 𝟏

𝟐([𝒊] + [𝒊]′)

𝟏

𝟐([𝒊] − [𝒊]′)

𝒊 = 𝑨 1

2(𝐴 + 𝐵𝐶 + 𝐴 − 𝐵𝐶) = 𝐴

1

2[𝐴 + 𝐵𝐶 − (𝐴 − 𝐵𝐶)] = 𝐵𝐶

𝒊 = 𝑩 1

2(𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵 − 𝐴𝐶) = 𝐵

1

2[𝐵 + 𝐴𝐶 − (𝐵 − 𝐴𝐶)] = 𝐴𝐶

𝒊 = 𝑪 1

2(𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐶 − 𝐴𝐵) = 𝐶

1

2[𝐶 + 𝐴𝐵 − (𝐶 − 𝐴𝐵)] = 𝐴𝐵

Tabela 17: Kombinacije ocena iz obe polovine

Na osnovu ovih kombinovanja možemo izolovati glavne efekte i dvofaktorske interakcije.

Ova osobina čini delimični faktorijelni plan veoma korisnim u eksperimentalnim

problemima.

Delimični „jedna polovina“ 2𝑘 faktorski plan se može objasniti i na osnovu blokova. Kao

primer, razmotrimo 24 faktorski eksperiment u kome želimo da iskoristimo delimični

„jedna polovina“ faktorski plan. Odabran je 𝐴𝐵𝐶𝐷 definisani kontrast i dva bloka su

sledeća:

Blok1"+"𝒛𝒂 𝑨𝑩𝑪𝑫 Blok2"-"𝒛𝒂 𝑨𝑩𝑪𝑫

𝑨 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

− − − − − − − +

− − + + − − + −

− + − + − + − −

− + + − − + + +

+ − − + + − − −

+ − + − + − + +

+ + − − + + − +

+ + + + + + + −

Tabela 18: 24 plan u dva bloka

Bila koja od ova dva bloka mogu biti izabrana. Pretpostavimo da istraživač bira blok 1 i

prikuplja podatke za osam kombinacija iz tog bloka. Tabela 19 sadrži osam kombinacija

u eksperimentu iz bloka 1, sa svim mogućim pojedinačnim efektima i interakcijama iz 24

potpunog faktorskog plana. Broj različitih suma kvadrata koja može biti izračunata,

koristeći ovakav plan je 8 − 1 = 7. Ukupan broj mogućih efekata, kao što se vidi u tabeli

19 u 24 eksperimentu je 15, od kojih odbacujemo interakciju 4 faktora 𝐴𝐵𝐶𝐷 , jer sve

kombinacije u ovom bloku imaju isti znak " + " . Dakle, 14 efekata je “prisutno” u

eksperimentu, što znači da se svaka od 7 suma kvadrata odgovara dvama efektima. Iz

tabele 19 se može videti da postoji 7 parova dvojnika (glavni efekti ili interakcije) tako da

efekti u svakom paru imaju isti znak " + " i " − " i istu sumu kvadrata. Primeri takvih

parova su 𝐴 i 𝐵𝐶𝐷, 𝐵 i 𝐴𝐶𝐷 i tako dalje.

36

𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑨𝑩 𝑨𝑪 𝑨𝑫 𝑩𝑪 𝑩𝑫 𝑪𝑫 𝑨𝑩𝑪 𝑨𝑩𝑫 𝑨𝑪𝑫 𝑩𝑪𝑫 𝑨𝑩𝑪𝑫

− − − − + + + + + + − − − − +

− − + + + − − − − + + + − − +

− + − + − + − − + − + − + − +

− + + − − − + + − − − + + − +

+ − − + − − + + − − + − − + +

+ − + − − + − − + − − + − + +

+ + − − + − − − − + − − + + +

+ + + + + + + + + + + + + + +

Tabela 19: Kombinacije pokušaja iz bloka

Dvojnik faktora 𝐴 je:

𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴2 ∙ 𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐶𝐷

Ostali dvojnici u delimičnom faktorskom planu su:

𝐵 + 𝐴𝐶𝐷

𝐶 + 𝐴𝐵𝐷

𝐷 + 𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐵 + 𝐶𝐷

𝐴𝐶 + 𝐵𝐷

𝐴𝐷 + 𝐵

U delimičnom „jedna polovina“ faktorskom planu, suma kvadrata kontrasta kojim je

generisan blok se ne može izračunati. Pored toga, postoje tačno po dva dvojnika. Ako je

test statistika dobijena iz sume kvadrata nekog para dvojnika statistički značajna, ne

može se odrediti koji od dva dvojnika je uzrok statističke značajnosti, tj. koji od dva

dvojnika ima statistički značajan efekat na zavisnu promenljivu. Međutim, delimični

faktorski plan ima najveću upotrebu kada je 𝑘 dovoljno veliko i postoji prethodno znanje

o interakcijama.

37

5.2 DELIMIČNI „JEDNA ČETVRTINA“ 2𝑘 FAKTORSKI PLAN

Da bismo pokazali delimični 1/4 plan, posmatraćemo eksperiment sa šest faktora

i pretpostaviti da je inženjer zainteresovan prvenstveno za glavne efekte faktora, ali bi

takođe želeo dobiti neke informacije o dvofaktorskim interakcijama. Plan 26−1 bi zahtevao

32 pokušaja i imao bi 31 stepen slobode za ocenu greške. Pošto postoji 6 glavnih faktora

i 15 dvofaktorskih interakcija, delimični 1/2 plan ne bi bio dovoljno efikasan, jer bi to

uključivalo previše eksperimenata. Pretpostavimo da razmatramo delimični 1/4 plan ili

26−2 faktorski plan. Ovaj plan sadrži 16 pokušaja sa 15 stepeni slobode i omogućuje

ocenu svih šest glavnih efekata, sa mogućnošću ocenjivanja dvofaktorskih interakcija. Da

bismo generisali ovaj plan, najpre ćemo zapisati plan 24 sa faktorima 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷, a zatim

dodati dve kolone za 𝐸 i 𝐹. Raspored nivoa je prikazan u tabeli 20.

Da bismo dobili nove kolone, uzmimo kao generatore 𝐸 = 𝐴𝐵𝐶 i 𝐹 = 𝐵𝐶𝐷. Dakle, kolonu

𝐸 nalazimo iz 𝐸 = 𝐴𝐵𝐶, a kolonu 𝐹 iz 𝐹 = 𝐵𝐶𝐷.

Kolone 𝐴𝐵𝐶𝐸 i 𝐵𝐶𝐷𝐹 će biti jednake koloni identiteta. Međutim, znamo da je proizvod bilo

koje dve kolone u tabeli plus i minus znakova za 2𝑘 samo još jedna kolona u tabeli. Tada

je proizvod 𝐴𝐵𝐶𝐸 i 𝐵𝐶𝐷𝐹 ili 𝐴𝐵𝐶𝐸(𝐵𝐶𝐷𝐹) = 𝐴𝐵2𝐶2𝐷𝐸𝐹 = 𝐴𝐷𝐸𝐹 takođe kolona

identiteta.

Na osnovu toga potpun skup definisućih kontrasta za 26−2 je:

𝐼 = 𝐴𝐵𝐶𝐸 = 𝐵𝐶𝐷𝐸 = 𝐴𝐷𝐸𝐹

38

Pokušaj 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 = 𝑨𝑩𝑪 𝑭 = 𝑩𝑪𝑫

𝟏 − − − − − −

𝟐 + − − − + −

𝟑 − + − − + +

𝟒 + + − − − +

𝟓 − − + − + +

𝟔 + − + − − +

𝟕 − + + − − −

𝟖 + + + − + −

𝟗 − − − + − +

𝟏𝟎 + − − + + +

𝟏𝟏 − + − + + −

𝟏𝟐 + + − + − −

𝟏𝟑 − − + + + −

𝟏𝟒 + − + + − −

𝟏𝟓 − + + + − +

𝟏𝟔 + + + + + +

Tabela 20: 26−2 delimični faktorski plan sa generatorima 𝐸 = 𝐴𝐵𝐶, 𝐹 = 𝐵𝐶𝐷

Ovde je prikazana potpuna struktura dvojnika.

𝐴 = 𝐵𝐶𝐸 = 𝐷𝐸𝐹 = 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹

𝐵 = 𝐴𝐶𝐸 = 𝐶𝐷𝐹 = 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹

𝐶 = 𝐴𝐵𝐸 = 𝐵𝐷𝐹 = 𝐴𝐶𝐷𝐸𝐹

𝐷 = 𝐵𝐶𝐹 = 𝐴𝐸𝐹 = 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸

𝐸 = 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐷𝐹 = 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹

𝐹 = 𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐷𝐸 = 𝐴𝐵𝐶𝐸𝐹

𝐴𝐵𝐷 = 𝐶𝐷𝐸 = 𝐴𝐶𝐹 = 𝐵𝐸𝐹

𝐴𝐶𝐷 = 𝐵𝐷𝐸 = 𝐴𝐵𝐹 = 𝐶𝐸𝐹

𝐴𝐵 = 𝐶𝐸 = 𝐴𝐶𝐷𝐹 = 𝐵𝐷𝐸𝐹

𝐴𝐶 = 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵𝐷𝐹 = 𝐶𝐷𝐸𝐹

𝐴𝐷 = 𝐸𝐹 = 𝐵𝐶𝐷𝐸 = 𝐴𝐵𝐶𝐹

𝐴𝐸 = 𝐵𝐶 = 𝐷𝐹 = 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹

𝐴𝐹 = 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶𝐸𝐹 = 𝐴𝐵𝐶𝐷

𝐵𝐷 = 𝐶𝐹 = 𝐴𝐶𝐷𝐸 = 𝐴𝐵𝐸𝐹

𝐵𝐹 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶𝐸𝐹 = 𝐴𝐵𝐷𝐸

Ovo je plan rezolucije IV. Glavni efekti su dvojnici sa trofaktorskim ili interakcijama višeg

reda, a dvofaktorske interakcije su dvojnici jedna sa drugom. Ovaj plan će pružiti dobre

informacije o glavnim efektima i dati određenu sliku o dvofaktorskim interakcijama.

U prethodnom primeru odabrali smo 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐶𝐷 kao generatorne kontraste za izradu 26−2

delimičnog faktorskog plana. Ovaj izbor nije strogo određen. Neki generatori će formirati

39

plan sa boljim dvojnim strukturama od drugih generatora. Za dati broj faktora i željeni broj

pokušaja, želimo da odaberemo generatore tako da plan ima najveću moguću rezoluciju.

Tabela 21: Preporučeni delimični planovi

Broj faktora,k

Frakcija i rezolucija

Broj pokušaja

Generatori Broj

faktora,k Frakcija i rezolucija

Broj pokušaja

Generatori

3 2III3−1 4 C = ±AB

9

2VI9−2 128

H = ±ACDFG

J = ±BCEFG

4 2IV4−1 8 D = ±ABC

2IV9−3 64

G = ±ABCD

H = ±ACEF

J = ±CDEF 5

2V5−1 16 E = ±ABCD

2III5−2 8

D = ±AB

E = ±AC

2IV9−4 32

F = ±BCDE

G = ±ACDE

H = ±ABDE

J = ±ABCE 6

2VI6−1 32 F = ±ABCDE

2IV6−2 16

E = ±ABC

F = ±BCD

2III6−3 8

D = ±AB

E = ±AC

F = ±BC

7

2VIII7−1 64 G = ±ABCDEF

2III9−5 16

E = ±ABC

F = ±BCD

G = ±ACD

H = ±ABD

J = ±ABCD

2IV7−2 32

F = ±ABCD

G = ±ABDE

10

2V10−3 128

H = ±ABCG

J = ±BCDE

K = ±ACDF

2IV7−3 16

E = ±ABC

F = ±BCD

G = ±ACD

2IV10−4 64

G = ±BCDF

H = ±ACDF

J = ±ABDE

K = ±ABDE

2III7−4 8

D = ±AB

E = ±AC

F = ±BC

G = ±ABC

2IV10−5 32

F = ±ABCD

G = ±ABCE

H = ±ABDE

J = ±ACDE

K = ±BCDE

8

2V8−2 64

G = ±ABCD

H = ±ABEF

2III10−6 16

E = ±ABC

F = ±BCD

G = ±ACD

H = ±ABD

J = ±ABCD

K = ±AB

2IV8−3 32

F = ±ABC

G = ±ABD

H = ±BCDE

2IV8−4 16

E = ±BCD

F = ±ACD

G = ±ABC

H = ±ABD

40

6. BLOK PLAN U 2K EKSPERIMENTALNOM PLANU

Često je nemoguće sva posmatranja u faktorskom planu 2k sprovesti pod

konstantnim ili homogenim uslovima. Na primer, izvor neželjene varijabilnosti faktora

mogu biti različiti uslovi od smene do smene, od jednog radnog dana do drugog ili od

mašine do mašine. Kada dođe do ovog problema, blok plan je odlična tehnika za

uklanjanje neželjenih varijacija koje mogu biti uzrokovane nehomogenim uslovima.

Blok plan podrazumeva izvođenje eksperimenata po blokovima da bi se povećala

homogenost unutar svakog bloka, tj. da bi se eksperimentalni pokušaji odvijali pod što

homogenijim uslovima.

Uz pomoć blok plana može se objasniti delimični eksperimentalni plan. Kao primer,

uzećemo delimični „jedna četvrtina“ 2𝑘 faktorski plan i objasniti ga na osnovu blokova.

Konstrukcija delimičnog „jedna četvrtina“ 2𝑘 faktorskog plana je identična podeli 2𝑘

faktorskog eksperimenta na četiri bloka. Dva generatorna kontrasta su određena da dele

eksperimente iz 2𝑘 faktorskog plana u četiri bloka. Bilo koji od četiri bloka može biti

izabran za izvođenje eksperimenta i analize. U ovom planu, efekat generatornog

kontrasta neće biti prisutan, jer će imati samo jedan od znakova " − " ili " + " u bilo kom

odabranom bloku. Razmotrimo 1/4 25 faktorskog plana, konstruisan koristeći 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐶𝐸

kao generatorne kontraste. Definisući kontrast je 𝐵𝐶𝐷𝐸. U ovom planu se ne može otkriti

efekat interakcija 𝐴𝐵𝐷, 𝐴𝐶𝐸 i 𝐵𝐶𝐷𝐸 jer će svaka od njih imati isti znak (" − " ili " + ") u

bilo kom od četiri bloka. Odavde sledi da će biti moguće registrovati 25 − 1 − 3 = 28

efekata u ovakvom planu. Kako je ukupan broj kombinacija pokušaja u ovom planu

1 4⁄ (25) = 8, može se izračunati samo sedam (8 − 1) suma kvadrata. To znači da je

svaka suma kvadrata zajednička za 28 7⁄ = 4 efekta. To znači da u svakom bloku postoje

četvorke dvojnika. Dvojnici u svakom bloku mogu biti dobijeni brisanjem slova sa parnim

eksponentama iz proizvoda bilo kog efekta i svakog definisućeg kontrasta. Na primer

dvojnici faktora A su:

𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴𝐵𝐷 = 𝐴2 ∙ 𝐵𝐷 = 𝐵𝐷

𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴𝐶𝐸 = 𝐴2 ∙ 𝐶𝐸 = 𝐶𝐸

𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐵𝐶𝐷𝐸 = 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸

To znači da 𝐴, 𝐵𝐷, 𝐶𝐸 i 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 dele istu sumu kvadrata, test statistiku i značajnost.

41

6.1 FAKTORSKI EKSPERIMENT U NEPOTPUNIM BLOKOVIMA

Blok plan je tehnika za pokretanje faktorskog eksperimenta u blokovima, pri čemu

je veličina bloka manja od broja pokušaja u jednom kompletnom ponavljanju. Ova tehnika

uzrokuje da se određeni efekti ne mogu identifikovati usled podele na blokove ili usled

maskiranja. Pokazaćemo maskiranje u 2k faktorskom plana u 2p blokovima, gde je p <

k. Pretpostavimo da je četiri sata analize potrebno za svaki od 22 = 4 pokušaja. Zbog

toga je potrebno dva dana za izvođenje eksperimenta. Ako dani predstavljaju blokove,

onda moramo dodeliti dva od četiri pokušaja za svaki dan.

Posmatramo plan sa slike 10, gde blok 1 sadrži pokušaje (1) i ab , a blok 2 sadrži

pokušaje a i b.

(a) Geometrijski prikaz

Blok 1 Blok 2

(1)

(𝑎𝑏)

(1)

(𝑎𝑏)

(b) Raspored četiri pokušaja u dva bloka

Slika 10: 22 plan u dva bloka

Kontrasti za ocenu glavnih efekata A i B su:

KontrastA = ab + a − b − (1)

KontrastB = ab + b − a − (1)

Ovi kontrasti ne utiču na blok plan, jer u svakom kontrastu postoji jedan plus i jedan minus

pokušaj iz svakog bloka. To znači da će se razlika između bloka 1 i bloka 2 poništiti.

42

Kontrast za interakciju AB je:

KontrastAB = ab + (1) − a − b

Blok efekat i interakcija faktora A i B su identični, jer se u bloku 1 nalaze dva pokušaja sa

znakom plus, ab i (1), a u bloku 2 dva sa znakom minus, 𝑎 i b. Dakle, interakcija faktora

A i B je maskirana podelom eksperimentalnih pokušaja u blokove. To možemo videtu u

tabeli 10 u kojoj su prikazani plus i minus znakovi za plan 22. Takođe u tabeli 10 možemo

videti da svi pokušaji u kojima interakcija faktora A i B učestvuje sa znakom + se nalaze

u bloku 1, a oni u kojima interakcija faktora A i B učestvuje sa znakom – su u bloku 2.

6.2 EKSPERIMENTI SA DVA NEPOTPUNA BLOKA

Jedna od mana blok plana je što podela pokušaja u blokove može da maskira

efekte nekim faktorima ili interakcija. Na primer, u eksperimentalnom blok planu koji je

prikazan u tabeli 22 efekata interakcija 𝐴, 𝐵 i 𝐶 je maskiran podelom na dva bloka. U

ovakvoj konstelaciji se može identifikovati samo efekat faktora i dvofaktorskih interakcija.

Kontrast kojim je definisana podela u blokove će ostati maskiran. U našem primeru, ako

je generatorni kontrast interakcija 𝐴𝐵𝐶, u jednom bloku će se naći kombinacije u kojima

je 𝐴𝐵𝐶 označeno znakom +, a u drugom bloku kombinacije u kojima je 𝐴𝐵𝐶 označeno

znakom −. Na taj način se unutar blokova mogu identifikovati samo uticaji pojedinačnih

faktora i dvofaktorskih interakcija.

𝐀 𝐁 𝐂 𝐀𝐁𝐂

− − − −

− − + +

− + − +

− + + −

+ − − +

+ − + −

+ + − −

+ + + +

Tabela 22: Plus i minus znaci za 23 faktorski plan

43

U tabeli 23 dat je raspored pokušaja po blokovima koji su definisani interakcijom 𝐴𝐵𝐶.

Blok 1 " + "

Blok 2 " − "

A B C A B C

− − + − − −

− + − − + −

+ − − + − +

+ + + + + +

Tabela 23: Raspored pokušaja po blokovima

6.3 EKSPERIMENT SA ČETIRI NEPOTPUNA BLOKA

Ako se kombinacije pokušaja 2k faktorskog eksperimenta podele na četiri

nepotpuna bloka, tada istraživač bira bilo koja dva generatorna kontrasta. Efekat ova dva

kontrasta je unapred osuđen da bude maskiran podelom na blokove. Takođe postoji i

treći efekat koji će ostati maskiran. Ovaj efekat se naziva generalizovana interakcija dva

generatorna kontrasta. Dakle, ukupno tri efekta će biti maskirana blokovima u

eksperimentu sa četiri nepotpuna bloka.

Neka su dva generatorna kontrasta koja će generisati podelu na blokove interakcije AB i

CD . Treći maskirani efekat, generalizovanu interakciju dobijamo množenjem dva

generatorna kontrasta. To će u našem primeru biti AB × CD = ABCD.

Interakcije AB i CD definišu podelu na blokove na sledeći način. Kombinacije u kojima su

AB i CD označene oznakom – će generisati pokušaje za prvi blok. Kombinacije u kojima

je AB označena znakom − , a CD znakom + će generisati pokušaje za drugi blok.

Kombinacije u kojima je AB označena znakom +, a CD znakom – odrediće pokušaje za

treći blok. I na kraju, kombinacije u kojima su interakcija 𝐴𝐵 i interakcija CD označene

znakom + odrediće pokušaje za četvrti blok. Ovo je prikazano u tabeli 24.

44

𝐀 𝐁 𝐂 𝐃 𝐀𝐁 𝐂𝐃 Blok 1 Blok 2 Blok 3 Blok 4

− − − − + + *

− − − + + − *

− − + − + − *

− − + + + + *

− + − − − + *

− + − + − − *

− + + − − − ∗

− + + + − + *

+ − − − − + *

+ − − + − − ∗

+ − + − − − ∗

+ − + + − + *

+ + − − + + *

+ + − + + − *

+ + + − + − *

+ + + + + + *

Tabela 24: Kombinacije pokušaja po blokovima

45

7. PRIMER

Uzećemo za primer proces proizvodnje osovine točka automobila. Posmatra se

dejstvo sedam faktora: vrsta materijala (mekan, tvrd), brzina rotacije (175 rpm, 225 rpm),

brzina levog punjenja (0,25 ips, 0,35 ips), brzina desnog punjenja (0,35 ips, 0,45 ips),

veličina zazora (6%, 12%), dužina ciklusa (5,5 sec., 8,5 sec.) i intenzitet zagrevanja

(75%, 85%).

Faktori Nivoi

Vrsta materijala mekan, tvrd

Brzina rotacije 175 rpm, 225 rpm

Brzina levog punjenja 0,25 ips, 0,35 ips

Brzina desnog punjenja 0,35 ips, 0,45 ips

Veličina zazora 6%, 12%

Dužina ciklusa 5,5 sec., 8,5 sec.

Intenzitet zagrevanja 75%, 85%

Tabela 25: Faktori koji utiču na kvalitet osovine točka automobila

U ovakvom eksperimentu ukupno ima 7 efekata glavnih faktora i 21 efekat interakcije što

je previše za ispitivanje. Zato su izdvojeni samo faktori i interakcije koji se smatraju bitnim

za proces. To su 7 efekata glavnih faktora i 7 dvofaktorskih interakcija: interakcija vrste

materijala i brzine rotacije, interakcija vrste materijala i brzine levog i desnog punjenja,

interakcija brzine rotacije i veličine zazora, interakcija vrste materijala i dužine ciklusa,

interakcija vrste materijala i intenziteta zagrevanja, interakcija brzine rotacije i brzine

desnog punjenja kao i interakcija dužine ciklusa i intenziteta zagrevanja. To je ukupno 14

efekata i najmanji stepen broja dva koji dostiže 14 je 24 = 16 . Dakle, treba izvesti

delimični plan koji će broj pokušaja smanjiti na osminu. U skladu sa tim izabrani su

generatorni kontrasti (𝐸 = 𝐴𝐵𝐶, 𝐹 = 𝐵𝐶𝐷 i 𝐺 = 𝐴𝐶𝐷) koji će redukovati broj pokušaja u

eksperimentu sa 27 na 27−3.

Šema maskiranja je sledeća:

𝐴 = 𝐵𝐶𝐸, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹, 𝐶𝐷𝐺, 𝐷𝐸𝐹, 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐺, 𝐵𝐹𝐺, 𝐴𝐶𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐵 = 𝐶𝐸, 𝐹𝐺

𝐵 = 𝐴𝐶𝐸, 𝐶𝐷𝐹, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐺, 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹, 𝐷𝐸𝐺, 𝐴𝐹𝐺, 𝐵𝐶𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐶 = 𝐵𝐸, 𝐷𝐺

𝐶 = 𝐴𝐵𝐸, 𝐵𝐷𝐹, 𝐴𝐷𝐺, 𝐴𝐶𝐷𝐸𝐹, 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐺, 𝐴𝐵𝐶𝐹𝐺, 𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐷 = 𝐸𝐹, 𝐶𝐺

𝐷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, 𝐵𝐶𝐹, 𝐴𝐶𝐺, 𝐴𝐸𝐹, 𝐵𝐸𝐺, 𝐴𝐵𝐷𝐹𝐺, 𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺 𝐴𝐸 = 𝐷𝐹, 𝐵𝐶

𝐸 = 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, 𝐴𝐶𝐷𝐸𝐺, 𝐴𝐷𝐹, 𝐵𝐷𝐺, 𝐴𝐵𝐸𝐹𝐺, 𝐶𝐸𝐹 𝐴𝐹 = 𝐷𝐸, 𝐵𝐺

𝐹 = 𝐴𝐵𝐶𝐸𝐹, 𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐶𝐷𝐹𝐺, 𝐴𝐷𝐸, 𝐵𝐷𝐸𝐹𝐺, 𝐴𝐵𝐺, 𝐶𝐸𝐺 𝐴𝐺 = 𝐵𝐹, 𝐶𝐷

𝐺 = 𝐴𝐵𝐶𝐸𝐺, 𝐵𝐶𝐷𝐹𝐺, 𝐴𝐶𝐷, 𝐴𝐷𝐸𝐹𝐺, 𝐵𝐷𝐸, 𝐴𝐵𝐹, 𝐶𝐸𝐹 𝐵𝐷 = 𝐶𝐹, 𝐸𝐺

Tabela 26: Šema maskiranja efekata

46

Interakcije dva faktora koje zanimaju proizvođača su: 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐵𝐶, 𝐴𝐹, 𝐵𝐷 i 𝐸𝐺.

Na kraju je randomizacijom određen redosled izvođenja eksperimentalnih pokušaja.

Raspored izvođenja i kombinacije nivoa faktora su prikazani u tabeli 27.

Pokušaji 𝐴

Vrsta materijala

𝐵 Brzina rotacije

𝐶 Brzina levog

punjenja

𝐷 Brzina desnog punjenja

𝐸 Veličina zazora

𝐹 Dužina ciklusa

𝐺 Intenzitet

zagrevanja

6 (−) mekan (−) 175 (−) 0,25 (−) 0,35 (−) 5,5 (−) 6% (−) 75%

2 (+) tvrd (−) 175 (−) 0,25 (−) 0,35 (+) 8,5 (−) 6% (+) 85%

18 (−) mekan (+) 225 (−) 0,25 (−) 0,35 (+) 8,5 (+) 12% (−) 75%

17 (+) tvrd (+) 225 (−) 0,25 (−) 0,35 (−) 5,5 (+) 12% (+) 85%

13 (−) mekan (−) 175 (+) 0,35 (−) 0,35 (+) 8,5 (+) 12% (+) 85%

15 (+) tvrd (−) 175 (+) 0,35 (−) 0,35 (−) 5,5 (+) 12% (−) 75%

5 (−) mekan (+) 225 (+) 0,35 (−) 0,35 (−) 5,5 (−) 6% (+) 85%

8 (+) tvrd (+) 225 (+) 0,35 (−) 0,35 (+) 8,5 (−) 6% (−) 75%

16 (−) mekan (−) 175 (−) 0,25 (+) 0,45 (−) 5,5 (+) 12% (+) 85%

3 (+) tvrd (−) 175 (−) 0,25 (+) 0,45 (+) 8,5 (+) 12% (−) 75%

9 (−) mekan (+) 225 (−) 0,25 (+) 0,45 (+) 8,5 (−) 6% (+) 85%

1 (+) tvrd (+) 225 (−) 0,25 (+) 0,45 (−) 5,5 (−) 6% (−) 75%

14 (−) mekan (−) 175 (+) 0,35 (+) 0,45 (+) 8,5 (−) 6% (−) 75%

11 (+) tvrd (−) 175 (+) 0,35 (+) 0,45 (+) 8,5 (−) 6% (+) 85%

10 (−) mekan (+) 225 (+) 0,35 (+) 0,45 (−) 5,5 (+) 12% (−) 75%

7 (+) tvrd (+) 225 (+) 0,35 (+) 0,45 (+) 8,5 (+) 12% (+) 85%

4 (0) mekan (0) 200 (0)0,30 (0)0,40 (0)7,0 (0) 9% (0) 80%

12 (0) tvrd (0) 200 (0)0,30 (0)0,40 (0)7,0 (0) 9% (0) 80%

Tabela 27: Receptura za redosled pokušaja u eksperimentu

47

8. DODACI

8.1 POPIS SLIKA

Slika 1: Faktorski eksperiment sa dva faktora ................................................................. 7

Slika 2: Faktorski eksperiment sa interakcijom ................................................................ 7

Slika 3: Faktorski eksperiment, bez interakcije ................................................................ 9

Slika 4: Faktorski eksperiment sa interakcijom ................................................................ 9

Slika 5: Geometrijski šema 22 faktorskog plana ............................................................ 22

Slika 6: 23 Plan završne obrade .................................................................................... 25

Slika 7: Geometrijska šema 23 faktorskog plana ........................................................... 27

Slika 8: Geometrijska prezentacija kontrasta koja odgovara glavnim efektima i

interakcijama u 23 planu ................................................................................................ 28

Slika 9: Delimični „jedna polovina“ 23 faktorski plan ...................................................... 33

Slika 10: 22 plan u dva bloka ......................................................................................... 41

8.2 POPIS TABELA

Tabela 1: Podaci za jednofaktorski eksperiment ........................................................... 10

Tabela 2: Rezultati analize varijanse ............................................................................. 14

Tabela 3: Čvrstoće komponenti nakon žarenja na tri različite temperature ................... 15

Tabela 4: Rezultati jednofaktorske analize varijansi za primer žarenja komponenti ...... 15

Tabela 5: Podaci za dvofaktorski eksperiment .............................................................. 16

Tabela 6: Tabela za prikaz rezultata dvofaktorske analize varijanse ............................ 19

Tabela 7: Trajanje baterije u zavisnosti od temperature i vrste materijala ..................... 21

Tabela 8: Rezultati analize varijanse u eksperimentu sa trajanjem baterija .................. 21

Tabela 9: Matrica 22 faktorskog plana ........................................................................... 23

Tabela 10: Tabelarni prikaz znakova koeficijenata odgovarajućih kontrasta ................. 24

Tabela 11: Podaci koji predstavljaju ocenu kvaliteta završne obrade ........................... 25

Tabela 12: Rezultati analize varijanse u eksperimentu sa tri faktora ............................. 26

Tabela 13: Matrica plana eksperimenta sa tri faktora .................................................... 27

Tabela 14: Tabelarni prikaz 23 faktorskog plana ........................................................... 29

Tabela 15: Izabrani 2𝑘−𝑝 delimični faktorski plan. ......................................................... 31

Tabela 16: Plus i minus znaci za 23 faktorski plan ........................................................ 33

Tabela 17: Kombinacije ocena iz obe polovine ............................................................. 35

Tabela 18: 24 plan u dva bloka ...................................................................................... 35

Tabela 19: Kombinacije pokušaja iz bloka .................................................................... 36

Tabela 20: 26−2 delimični faktorski plan sa generatorima 𝐸 = 𝐴𝐵𝐶, 𝐹 = 𝐵𝐶𝐷 .............. 38

Tabela 21: Preporučeni delimični planovi ...................................................................... 39

Tabela 22: Plus i minus znaci za 23 faktorski plan ........................................................ 42

48

Tabela 23: Raspored pokušaja po blokovima ............................................................... 43

Tabela 24: Kombinacije pokušaja po blokovima ........................................................... 44

Tabela 25: Faktori koji utiču na kvalitet osovine točka automobila ................................ 45

Tabela 26: Šema maskiranja efekata ............................................................................ 45

Tabela 27: Receptura za redosled pokušaja u eksperimentu ........................................ 46

49

LITERATURA

[1] M. Jeya Chandra – Statistical Quality Control, CRC Press LLC, 2011.

[2] Douglas C Montgomery- Statistical quality control – 7th edition, John Wiley & Sons,

New York, 2013.

[3] Thomas B.Barker – Quality by Experimental Design, CRC Press LLC, 2005.

50

BIOGRAFIJA

Valentina Ilić rođena 01. novembra 1990. godine u Majdanpeku. Osnovnu školu

„Miladin Bučanović“ u Vlaolu završila je 2005. godine. Te godine upisuje Gimnaziju „Mile

Arsenijević Bandera“ u Majdanpeku, opšti smer, koju je završila 2009. godine.

Osnovne akademske studije matematike upisuje na Prirodno-matematičkom fakultetu u

Nišu 2009. godine, a završila ih 2016. godine. Iste godine upisuje master akademske

studije na istom fakultetu, smer Verovatnoća, statistika i finansijska matematika. Poslednji

ispit polaže oktobra 2018. godine i time stiče pravo na odbranu master rada.