Primeri - zadaci

Primer - inkjet štampač Odrediti napon neophodan

za izbacivanje jedne kapi boje iz glave inkjet štampača koji koristi piezoelektrične osobine PZT kristala kao mehanizam ispumpavanja

Štampač ima rezoluciju od 300dpi a na papiru se kap boje razliva u tačku debljine t=1µm

Pretpostavka je da kap ima oblik sfere i da se rezervoar cilindričnog oblika čija je osnova prečnika Dr=2mm stalno dopunjuje bojom

Dovođenjem napona na piezoelektrični pokretač on se deformiše u pravcu normalnom na elektrode, potiskuje boju u rezervoaru i time se kroz diznu istiskuje kap boje. Istisnuta kap je sfernog oblika sa prečnikom jednakim prečniku dizne. Zapremina kapi odgovara promeni zapremine boje u rezervoaru usled deformacije pokretača. Prečnik tačke na papiru je: Zapremina istisnute kapi jednaka je zapremini tačke na papiru i zapremini istisnute boje iz rezervoara: Odakle se za pomeraj odnosno mehaničku deformaciju PZT pokretača dobija

in . mmD . mm . mµ= = = =

1 25 40 08467 84 67

300 300

π π π = =

s rd D Dt w

3 2 243 2 2 2

r

Dw t . m

D−

= = ⋅

2

91 792 10

Indukovano naprezanje je

Piezoelektrični koeficijent PZT kristala je d=480·10-12 m/V, na osnovu kojeg se za primenjeni napon na pokretač dobija -12

. m/ mV K l l m . V

d 480 10 m/ Vε −

−⋅= ⋅ = = =

⋅

451 79 10

10 3 73

w . m. m/ m

l mε

−−

−

⋅= = = ⋅

94

5

1 79 101 79 10

10

Izbor geometrije membrana Odrediti maksimalno ugibanje i maksimalno

naprezanje u membranama debljine 13. 9 µm, izrađenim od silicijuma, fiksiranim po svom obodu i na koje je primenjen pritisak od 20MPa, ako su njihove geometrije: ◦ Kružna prečnika 2a=600 µm ◦ Pravougaona dimenzija a=752 µm, b=376 µm ◦ Kvadratna dimenzija a=532 µm

Mehanički parametri silicijuma su: E=190 GPa i ν=0.25

Maksimalna naprezanja i ugibanja membrana ◦ Kružna membrana

◦ Pravougaona membrana

◦ Kvadratna membrana

Izbor geometrije membrane zavisi od načina pretvaranja pritiska u električnu veličinu ◦ Piezootporno pretvaranje - potrebno maksimalno

naprezanje → kvadratna membrana ◦ Kapacitivno pretvaranje - potrebno maksimalno

ugibanje → kružna membrana

( )rr max

Ph

MPa

aσ = =2

2

34

7000max 3

Pm

a ( )w

Ehν µ−

= =4 23 1

5616

( )yy maxMPa

Pbh

σ β= =2

2 7294 max

Pbw

E. m

hα µ= =

4

3 21 8

( )yy max

Pa.

hMPaσ = =

2

2 9043 00 08 max

Paw .

Eh. mµ= =

4

30 1 430 438

Inercioni senzori kod vazdušnih jastuka Dva automobila mase m1 i m2 kreću se jedan drugom u susret

brzinama v1 i v2. Svaki automobil je opremljen inercionim senzorom (akcelerometrom) sa pokretnom masom na gredici.

Odrediti savijanje gredice u automobilu mase m1 kao i maksimalno naprezanje indukovano u gredicama oba akcelerometra nakon sudara automobila

v1=v2=50 km/h m1=12000 kg m2=8000 kg Dimenzije akcelerometra su

Parametri akcelerometra ◦ Momenat inercije poprečnog preseka gredice

◦ Ekvivalentna konstanta elastičnosti gredice

◦ Frekvenca sopstvenih oscilacija

−= = ⋅bh

I . m3

19 41 04 1012

EIk . N / m

L= =3

359 37

k .s

mω −

−= = = 15

59 372437

10

Pretpostavke sudara ◦ Nakon sudara automobili će se spojiti i nastaviti kretanje

brzinom v ◦ Na osnovu zakona održanja impulsa

brzina spojenih automobila nakon sudara je

◦ Pretpostavka da se usporenje automobila dešava u

vremenskom intervalu ∆t=0.5s čime se za usporenje automobila dobija

(m m )v mv m v+ = −1 2 1 1 2 2

mv m vv km/ h

m m−

= =+

1 1 2 2

1 2

10

v va . m/ s

t−

= = −∆

211 22 22

v va . m/ s

t−

= = −∆

222 22 22

Oscilovanje akcelerometra ◦ Maksimalno savijanje gredice akcelerometra u automobilu m1

◦ Ekvivalentna sila koja deluje na slobodan kraj gredice je

a maksimalni moment savijanja gredice ◦ Odgovarajuće maksimalno naprezanje u gredici je

dok je maksimalna deformacija gredice

µω

= − = − =a a

Z . mk

m

1 12

3 74

−= = = ⋅F kZ ma . N41 2 22 10

maxM FL . Nm−= = ⋅ 72 22 10

σ = = ⋅max

max

hM

PaI

52 533 10

maxmax . . %

Eσε −= = ⋅ =42 8 10 0 028

Deformisanje gredica pri različitim načinima učvršćivanja i opterećenjima

• Jedan kraj fiksiran drugi slobodan, dejstvo sile na slobodnom kraju

• Jedan kraj fiksiran drugi delimično slobodan (vezana masa sa drugim gredicama), dejstvo sile na slobodnom kraju

• Oba kraja fiksirana, dejstvo sile na sredini

= =F EI

kZ L3

3 =FL

ZEI

3

3

= =F EI

kZ L3

12 =FL

ZEI

3

12

= =F EI

kZ L3

192=

FLZ

EI

3

192

E – Jungov modul elastičnosti, I – moment inercije poprečnog preseka gredice =bh

I3

12

Primer - Akcelerometar sa pločom okačenom o 4 gredice

Ploča ravnog pločastog kondenzatora površine A=100x100 µm2 je okačena o 4 gredice. Ploča je izradjena od polisilicijuma (E=160GPa, ρ=2330 kg/m3) debljine t=2µm. Rastojanje izmedju ploče i provodne podloge je d=1µm. Dimenzije gredice su: dužina L=200 µm, širina b=20 µm i debljina h=0,1 µm. Odrediti relativnu promenu kapacitivnosti ovakvog akcelerometra pri ubrzanju od 1g normalno na površinu ploče.

Kapacitivnost ovog kondenzatora u stanju mirovanja je

Pod dejstvom ubrzanja sila reakcije savija gredice i pomera pločicu u odnosu na ravnotežni položaj za x tako da je nova kapacitivnost

Pomeraj x zavisi od vrednosti ubrzanja i koeficijenta elastičnosti gredica koje drže ploču Masa ploče je

a sila

ε −= = ⋅A

C , Fd

150 88 5 10

ε=−A

Cd x

= =F ma

xk k

ρ −= = ⋅m At , kg1246 6 10

−= = ⋅F ma , N104 57 10

Konstanta elastičnosti gredice za slučaj kada je jedan kraj fiksiran a drugi delimično slobodan je

Pošto ploču drže 4 gredice ekvivalentna konstanta elastičnosti je

Pomeraj x je

Kapacitivnost pod dejstvom ubrzanja je

Relativna promena kapacitivnosti je

−= = ⋅e

Fx , m

k72 85 10

−= = ⇒ = = ⋅EI bh Ebh

k I k N / mL L

3 34

3 3

124 10

12

−= = ⋅ek k N / m44 16 10

δ−∆

= = = =C CC

C , , %C C

0

0 0

0 401 40 1

ε −= = ⋅−A

C Fd x

15124 10

Primer - Akcelerometar sa masom okačenom o 4 gredice

Akcelerometar sa slike izradjen od silicijuma (E=170GPa, ρ=2330 kg/m3) koristi piezootporni efekat u sprezi sa rezonantnim kolom za detekciju ubrzanja. Koeficijent srazmernosti izmedju relativne promene otpornosti i longitudinalne deformacije gredice je G=120. Odrediti relativnu promenu otpornosti implementiranih piezootpornika pri ubrzanju od 5g duž z ose.

Dimenzije akcelerometra su: w=2550µm, t=423µm, L=550µm, b=440µm, h=23µm

Pod dejstvom ubrzanja sila reakcije zbog inertnosti mase savija i izdužuje gredice i u njima izaziva naprezanje koje se prenosi i na piezootpornike. Piezootpornici su smešteni u tačkama maksimalnog naprezanja i njihova relativna promena otpornosti je

Maksimalno naprezanje je

Masa pokretne mase (uz pretpostavku da ima oblik kvadra) je

a sila reakcije pri dejstvu ubrzanja ρ −= = ⋅m w t , kg2 66 4 10

−= = ⋅aF ma , N43 14 10

σε∆

= ⋅ = maxmax

RG G

R E

σ σ= = = ⇒ = =max

max max

h h hM FL FLbh FL

II I bh bh

3

3 2

62 2 212

12

Pošto postoje 4 gredice koje drže masu, sila reakcije se raspodeljuje i na svaku od gredica deluje

Maksimalno naprezanje je

Relativna promena otpornosti je σ −∆

= = ⋅ =maxRG , , %

R E47 85 10 0 0785

σ = = ⋅max

FL, N / m

bh6 2

2

6111 10

−= = ⋅aFF , N57 85 104

Primer - mikropokretač Mikropokretač je realizovan kao dvoslojna traka od

slojeva Si i SiO2 preko koje je nanet sloj otpornog filma koji služi za zagrevanje. Odrediti pomeraj slobodnog kraja trake pri zagrevanju za ∆T=10°C.

E1=ESiO2=385 GPa E2=ESi=190 Gpa α1= αSiO2= 0.5∙10-6 1/°C α2= αSi=2.33∙10-6 1/°C

( ) T

h nn

α αρ

− ∆=

+ +

2 12411

14

t t mm

En .

E

µ= ==

= =

1 2

1

2

51

2 026

ρ = mm376

[ ] [ ]θρ πρ

δ ρ ρ θ µ

= = ° = °

= − =

L Lrad .

cos . m

3600 1524

21 33

Na ovaj način se u mikrosistemima realizuju releji

Napon uvlačenja kod elektrostatičkih pokretača

• Donja elektroda je fiksirana a gornja pokretna. Bez prisustva polarizacije elektrode su na rastojanju d. Pri dejstvu napona elektrostatička sila privlači gornju elektrodu za pomeraj x tako da je rastojanje izmedju elektroda d-x. Privlačna elektrostatička sila je uravnotežena mehaničkom silom elastičnosti gredice.

Za svaku vrednost napona V postoji odgovarajuća vrednost pomeraja x, odnosno rastojanja izmedju elektroda d-x za koje je sistem u ravnoteži.

ε

=

=−

=−

el mehF F

CVkx

(d x )

wLVkx

(d x )

2

2

2

2

2

• Za vrednost napona iznad Vp (napon uvlačenja – pull in) elastična sila nije dovoljna da uravnoteži elektrostatičku silu i pokretna elektroda se prilepljuje za fiksiranu.

• Maksimalna vrednost pomeraja x za koju postoji uravnoteženost sistema (neposredno pre pojave uvlačenja) je

ε=p

kdV

S

3827

=p

dx

3

Primer – Ravnotežni položaj pločaste elektrode elektrostatičkog pokretača

Ploča ravnog pločastog kondenzatora površine S=400x400 µm2 je okačena o 2 gredice čije su dimenzije: dužina L=400 µm, širina b=10 µm i debljina h=1 µm. Ploča je izradjena od polisilicijuma (E=120GPa, ρ=2330 kg/m3). Rastojanje izmedju ploče i provodne podloge je d=2µm. Odrediti pomeraje pokretne ploče pri polarizaciji od 0,4V i 0,2V.

Konstanta elastičnosti gredice za slučaj kada je jedan kraj fiksiran a drugi delimično slobodan je

Pošto ploču drže 2 gredice ekvivalentna konstanta elastičnosti je

Napon uvlačenja je

Za napon od 0,4 V efekat uvlačenja je nastupio i elektrode su slepljene.

Za napon od 0,2V nije nastupilo uvlačenje i ravnotežni položaj se određuje iz jednakosti električne i mehaničke sile:

= = ⇒ = =EI bh Ebh

k I k , N / mL L

3 3

3 3

120 01875

12

= =ek k , N / m2 0 0375

ε= =e

p

k dV , V

S

380 25

27

Rešenja ove jednačine su: x3>d - rešenje je nemoguće x2>d/3 – neprihvatljivo jer je prekoračen uslov uvlačenja x1 – prihvatljivo rešenje

ε

εε

− − −

=

=−= −

− + − =

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

el mehF F

SVkx

(d x )

SV kx(d x )

SVx dx d x

kx x x ,

2

2

2 2

23 2 2

3 6 2 12 19

2

2

2 02

4 10 4 10 7 552 10 0

− − −= ⋅ = ⋅ = ⋅x , m; x , m; x , m7 6 61 2 32 45 10 1 2 10 2 5 10