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Engenharia Econômica e Análise de Investimentos

IntroduçãoMatemática Financeira

2.005 2.006

$1.000 $1.000

Conceito fundamental: A diferença de valor do dinheiro no tempo

≠

A disponibilidade de um recurso financeiro hoje proporciona uma OPORTUNIDADE DE USO que representa um VALOR para o proprietário desse

recurso.

Se alguém abre mão desse recurso por um certo período de tempo deve receber ALGO EM TROCA

pela perda desta OPORTUNIDADE DE USO.

2.005 2.006

$1.000 ?

Juros = Taxa de Juros x Valor

J = i x P

JURO = Remuneração pelo uso do dinheirodurante um certo período de tempo

TAXA DE JUROS = é um coeficiente (percentual)que, multiplicado por um certo valor , produz

o valor dos juros (J)

(i)(P)

Diagrama de Fluxo de Caixa

Entradas ouRecebimentos

Saídas ouPagamentos

Tempo

Por exemplo, digamos que determinado investimento pressuponha umdesembolso inicial (na data zero) de $ 5.000,00 que virão seguidos denovas saídas de caixa de $5.000,00 nos 1°, 2°, 3° e 4° períodos. UmaNova saída de $ 6.000,00 estaria prevista para o 5° período, visandoum retorno de $40.000,00 no 6° período, isto sujeito a uma taxa dejuros 10% ao período. O diagrama, ou representação gráfica do fluxode caixa deste investimento assumiria a seguinte forma :

0 1 2 3 4 5 6

$5.000,00 $5.000,00 $6.000,00

$40.000,00

i = 10%

MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA A teoria e a prática da análise de projetos de investimentos

Nivaldo E. Pilão & Paulo V. Hummel – Pioneira/Thomson

MATEMMATEMÁÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA TICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA A teoria e a prática da análise de projetos de investimentos


Juros ReaisJuros Efetivos

Juros NominaisJuros AntecipadosJuros Postecipados

Juros SimplesJuros Compostos

Tipos de Juros

Juros Reais e Nominais

Portanto o empréstimo que deveria ser de 1 mês (30 dias) é de fato de apenas 22 ou 23 dias

5% é uma Taxa Nominal

a Taxa Real é de aprox. 6,88%

Para a obtenção de um empréstimo de $1000,00 o gerente

do banco informa que a taxa de juros praticada é de 5% a m.

Porém ele lhe pede que o empréstimo fique 1 semana

depositado em sua conta corrente para fazer “saldo médio”

Juros Nominais e Efetivos

A Caderneta de Poupança paga juros de 6% a a Esse valor é

dividido linearmente por 12 meses, resultando em uma taxa mensal de

0,5%. Como será visto adiante, juros de 0,5% capitalizados

mensalmente equivalem a uma taxa de 6,17% a a

6% é a Taxa Nominal

6,17% é a Taxa Efetiva(capitalização

utilizando juros compostos)

Juros Antecipados e Postecipados

Juros Antecipados -Cobrados no início do

período

Juros Postecipados -Cobrados no final do

período

Ex. Desconto de duplicatasFactoring

Forma mais comum de juros

Ex. Cartão de crédito e cheque

especial

Juros Simples

Os juros ao final de cada período sãocalculados somente sobre o principal (o valor

inicial)

P S1

S2 = P + J1 + J2S2 = P + (i . P) + (i . P)

S2

JUROS SIMPLES

S2 = P . (1 + i . 2)

10 21J1 J2

S1 = P . (1 + i)

P S1 S2 S3

10 2 31J1 J3

S1 = P . (1 + i)S2 = P . (1 + i x 2)

JUROS SIMPLES

S3 = P + J1 + J2 + J3S3 = P + (i . P) + (i . P) + (i . P)

S3 = P . (1 + i . 3)

J2

Jn3

Sn = P + J1 + J2 + J3 + ... + JnSn = P + (i . P) + (i . P) +...+ (i . P)

P S1 S2 S3

Sn = P . (1 + i . n)

Sn

10 nn-12 31 J2 J3J1

Juros Simples

Exemplo (juros simples)

• Determinar quanto um investidor terá direito de receber no final do ano 2005 se aplicou em 10 de janeiro de 2005 a importância de $100 000,00. Considerar que o negócio foi feito a juros simples de 5% ao mês. Definir também, com base na mesma taxa, de quanto será a parcela de juros de 31/08/2005 para este investimento.

• Jk = P (i) ⇒ J (agosto) = $100 000,00 * (0,05)• J(9)=$ 5 000,00• Σ de juros = P*i*n ⇒ Σ de juros = (100 000,00)*0,05*12• Σ de juros = $ 60 000,00

Juros Compostos

Os juros de cada período são calculados sobrea soma do principal (o valor inicial), mais osjuros devidos

Popularmente, “Juros sobre juros”

S2 = P . (1 + i)2

S2 = P + J1 + J2S2 = P + (i . P) + (i . S1)S2 = P + (i . P) + [i . P . (1+i)]

1

P S1 S2

JUROS COMPOSTOS

0 21J1 J2

S1 = P . (1 + i)

J2 J3

P S1 S2

0 1 2 3

S3

S1 = P . (1 + i)S2 = P . (1 + i)2

JUROS COMPOSTOS

J1

S3 = P + J1 + J2 + J3S3 = P + (i . P) + (i x S1) + (i x S2)

S3 = C . (1 + i)3

Jn

P S1 S2 S3

Sn = P + J1 + J2 + J3 + ... + JnSn = P + i . P + i . S1 +...+ i . Sn-1

Sn = P. (1 + i)n

Sn

J3J20 nn-11 2 3J1

Juros Compostos

Sn = P . (1 + i)n

Equivalência de Valores

Sn = P . (1 + i . n)

• Regime de JUROS SIMPLES

• Regime de JUROS COMPOSTOS

Exemplo (juros compostos)

• Determinar quanto um investidor terá direito de receber no final do ano 2005 se aplicou em 10 de janeiro de 2005 a importância de $100 000,00. Considerar que o negócio foi feito a juros compostos de 5% ao mês. Definir também, com base na mesma taxa, de quanto será a parcela de juros de 31/08/2005 para este investimento.

• Jk = Pi (1+i)k-1

• J (agosto) = $100 000,00 * (0,05)*(1,05) 7

• J(8)=$ 7 035,50


• Determinar quanto um investidor terá direito de receber no final do ano 2005 se aplicou em 10 de janeiro de 2005 a importância de $100 000,00. Considerar que o negócio foi feito a juros compostos de 5% ao mês.

• S = P (1+i)n

• S (dezembro) = $100 000,00 * (1,05)12

• S(dezembro)=$ 179 585,63


• Determinar quanto deverá um investidor depositar 10 de janeiro de 2006 para ter direito de receber no final do ano de 2006 a importância de $ 300 000,00. Considerar que o negócio foi feito a juros compostos de 10% ao mês.

• S = P (1+i)n

• 300 000 = P * (1+0,10)12

• P = $ 95 589,25

Características Básicas

• Parcelas de mesmo Valor Nominal• Intervalo constante entre as parcelas

Classificação

• Postecipada (ou postergada)• Antecipada• Diferida (com carência)

Séries Uniformes

Estrutura geral - Série Postecipada

P

1 2 3 n

R...

Os recebimentos devem serequivalentes ao valor financiado à

taxa de juros (i)


( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+++

++

++

+.=

niiiiRP

11.....

11

11

11

321

( ) ( ) ( ) ( )niR

iR

iR

iRP

+++

++

++

+=

1.....

111 321


n = Número de parcelasR = Valor de cada parcelai = Taxa de jurosP = Valor presente

( )( )n

n

iiiRP+.−+

.=1

11

Estrutura geral - Série Antecipada

P

1 2

R...

Conceito: Os recebimentos devem serequivalentes ao valor financiado à

taxa de juros (i)

nn-13


( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

++

++

++×= −1321 1

1.....1

11

11

11 niiiiRP

( ) ( ) ( ) ( )n-1321 1.....

111 +++

++

++

++=

iR

iR

iR

iRRP


n = Número de parcelasR = Valor de cada parcelai = Taxa de jurosP = Valor presente

( )( ) 11

11−+.

−+.=

n

n

iiiRP

Estrutura geral - Série Diferida

C

1 2 3 n

P...

Os recebimentos devem serequivalentes ao valor financiado à

taxa de juros (i)

x x+1

Período de carência

As variáveis i e n devem estar na mesma unidade de tempo

Exemplos:

Parcelas mensais Taxa em % ao mêsParcelas trimestrais Taxa em % ao trimestreParcelas semestrais Taxa em % ao semestre

Amortização e Juros

Amortização: pagamento do valor contratado

Juros: pagamento do “aluguel” do valor contratado (pode ser simples ou composto)

Alternativas para amortização

Tabela Price (Sistema Francês)

Sistema de amortização constante - SAC

Sistema Americano

As prestações sãocalculadas como

uma série uniforme

Amortização e Juros nas Séries Uniformes (Tabela Price)

Empréstimo de $100.000,00 a ser pago em 5 meses, com uma taxa de juros de 10% a m → Valor Uniforme (prestação)

= $26379,25Final do Saldo da dívida Juros Valor uniforme

(prestação) Amortização

10 mês 100.0000,00 10.000,00 26.379,25 16.379,25 20 mês 83.620,25 8.362,03 26.379,25 18.017,72 30 mês 65.602,53 6.560,25 26.379,25 19819,50 40 mês 45.783,03 4.578,30 26.379,25 21.801,45 50 mês 23.981,58 2.398,16 26.379,25 23.981,59

Amortização = pagamento do Principal (valor do empréstimo)

Amortização e Juros nas Séries Uniformes

0,00

5.000,00

10.000,00

15.000,00

20.000,00

25.000,00

30.000,00

1 2 3 4 5

AmortizaçãoJuros

Sistema de Amortização Constante (SAC)

• As amortizações são constantes e calculadasdividindo-se o valor financiado pelo númerode prestações

Amortização e Juros no SAC

Empréstimo de $100.000,00 a ser pago em 5 meses, com uma taxa de juros de 10% a m

Final do Saldo da dívida Juros Amortização Valor da prestação

10 mês 100.0000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00 20 mês 80.000,00 8.000,00 20.000,00 28.000,00 30 mês 60.000,00 6.000,00 20.000,00 26.000,00 40 mês 40.000,00 4.000,00 20.000,00 24.000,00 50 mês 20.000,00 2.000,00 20.000,00 22.000,00

Amortização = pagamento do Principal (valor do empréstimo)

Amortização e Juros no SAC

0,005.000,00

10.000,0015.000,0020.000,0025.000,0030.000,0035.000,00

1 2 3 4 5

Amortização

Juros

Amortização e juros no SistemaAmericano

• Os juros são pagos ao longo do período do empréstimo. O valor contratado é pago de uma vez no final do período


Empréstimo de $100.000,00 a ser pago em 5 meses, com uma taxa de juros de 10% a m

Final do Saldo da dívida

Juros Amortização Valor da prestação

10 mês 100.000,00 10.000,00 0,00 10.000,0020 mês 100.000,00 10.000,00 0,00 10.000,0030 mês 100.000,00 10.000,00 0,00 10.000,0040 mês 100.000,00 10.000,00 0,00 10.000,0050 mês 100.000,00 10.000,00 100.000,00 110.000,00


0,00

20.000,00

40.000,00

60.000,00

80.000,00

100.000,00

120.000,00

1 2 3 4 5

AmortizaçãoJuros

Converão de valores

P: Valor Presente, Principal

S: Valor Futuro, Montante

R: Valor de Série Uniforme

A partir das fórmulas de valor futuro e série uniforme, tendoa taxa de juros e o período, épossível calcular os outrosvalores

Sn = P . (1 + i)n

( )

( )1

11

+.

-+.= n

n

ii

iRP

Fatores

(P→S)ni

(P→R)ni

S = P ( 1 + i ) n

R = P i

( 1 + i ) n1 - 1

Fatores

R = S i

( 1 + i ) n - 1(S→R)n

i

(S→P)ni P = S

1

( 1 + i ) n

Fatores

(R→P)ni P = R

i

( 1 + i ) n1 - 1

S = R i

( 1 + i ) n - 1(R→S)n

i

P

R

(S→P)

FATORES DO QUE(TENHO QUERO)i%i%

S

(P→S)

(R→S)

(P→R)

(R→P)

(S→R)

TRIÂNGULO DEEQUIVALÊNCIA

Triângulo de Equivalência



Série Gradiente

Série cujos valores nominais crescem linearmente ao longo do tempo, configurando-

se como uma PA

0 1 2 3 4 n-1 n0 G1 G

2 G3 G

( n-2) G ( n-1) G

i = %

MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA A teoria e a prática da análise de projetos de investimentos




Taxas Equivalentesde Juros

Taxas Equivalentes de Juros

Sejam duas taxas de juros:• i1 válida para um intervalo de tempo n1• i2 válida para um intervalo de tempo n2

Seja o Capital (P) aplicado por um certo prazo:

Prazo

P

S


Se a aplicação for à taxa de juros i1 obteremos:S1= P . (1+i1)Prazo

Se a aplicação for à taxa de juros i2 obteremos:S2= P . (1+i2) Prazo

Se S1= S2 i1 é EQUIVALENTE a i2


Definição: duas taxas de juros (i1 válida para o intervalo de tempo n1 e i2 válida para o intervalo de tempo n2) são EQUIVALENTES entre si se, aplicadas sobre um Valor Presente (Capital) por um determinado prazo, gerarem o mesmo Valor Futuro (Montante)

Conversão entre Taxas Equivalentes

21 )1()1( 21nn ii +=+

A relação matemática entre duas taxas de juros EQUIVALENTES é a seguinte:

Com n1 e n2 expressas na mesma unidade de tempo

Conversão entre Taxas Equivalentes

Exemplo:Converter uma taxa mensal de 2,5% em taxa anual

i1 = 2,5% n1 = 1i2 = ? n2 = 1/12

i1 = 2,5% n1 = 12i2 = ? n2 = 1

i2 = 34,49%

Engenharia Econômica

Princípios da Engenharia Econômica

• Não existe decisão a ser tomada se existe uma única alternativa

• Só podem ser comparadas alternativas homogêneas

• Apenas a diferenças entre alternativas são relevantes

• Os critérios para tomada de decisão devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo

• Devem ser considerados os problemas relativos ao racionamento de capital

Princípios da Engenharia Econômica

• Devem ser separadas as decisões que possam ser tomadas separadamente

• Devem ser consideradas as incertezas associadas às previsões efetuadas

• Devem ser consideradas os eventos qualitativos não quantificáveis monetariamente

• Manter a realimentação de informações• Utilizar dados econômicos e financeiros

Limitações da Engenharia Econômica

• É impossível transformar em dados todas as considerações variáveis encontradas

• A taxa de retorno e a taxa de juros, na realidade, não são as mesmas

• O modelo pressupõe que as taxas de juros não variam durante o período de análise

• O modelo pressupõe que o fluxo de caixa real é sempre viável

• A complexidade do modelo deve ser compatível com a confiabilidade dos dados assumidos

Pré-condições do estudo

• Só analisar alternativas tecnicamente viáveis• Só analisar alternativas para as quais se

tenha capacidade financeira

Métodos Clássicos de Análise de Investimentos

• Método do Custo Anual Uniforme (CAU) – Valor Presente Líquido Anualizado ou Valor Anual

Uniforme Equivalente

• Método do Valor Atual (VA)– Valor Presente Líquido (VPL)

• Método da Taxa de Retorno (TIR/TRI)– Taxa Interna de Retorno (TIR)– Taxa Incremental de Retorno (TRI)

Métodos “Alternativos”

• Pay Back (Tempo de Retorno)

• Dividir a somatória dos investimentos, custos e despesas pela somatória das receitas auferidas e calcular o tempo para retorno do capital investido

• Método simples e rápido, porém não considera a variação do dinheiro no tempo

Exemplo

Investimento em novo equipamento (compra do equipamento, instalação, equipamentos auxiliares, etc): R$ 8 milhões

Economias provenientes do uso do novo equipamento (aumento de produção, redução de MO, redução em custos de manutenção): R$ 2,5 milhões/ano

Pay Back = 8 / 2,5 = 3,2 anos

A Taxa Mínima de Atratividade (TMA)

TMARisco do Negócio

Custo de Oportunidade

Liquidez do Negócio

Custo de Oportunidade

Remuneração que poderia ser obtida se nenhuma das alternativas de investimento fosse adotada

É o ganho “mínimo garantido”

Risco do negócio

O ganho de uma alternativa tem que remunerar o risco inerente à sua adoção

Via de regra: “quanto maior o risco, maior a remuneração”

Liquidez

Facilidade ou velocidade com que se consegue sair de uma posição no mercado e se assumir outra

Facilidade em converter um ativo em “dinheiro vivo”

Método do Custo Anual Uniforme

Distribuir ao longo da vida útil todos os valores existentes no fluxo de caixa, transformando-os em uma única série uniforme de pagamentos ou recebimentos

Para distribuir os valores uniformemente ao longo da vida útil, utiliza-se a TMA (taxa mínima de atratividade). CAU maiores que zero são interessantes, e quanto maior o CAU, mais interessante é a alternativa (mais receitas são geradas para cobrir as despesas com aquela taxa de juros)

Método do Custo Anual Uniforme

No caso de investimentos, o CAU será sempre negativo, e nesse caso a escolha recairá na alternativa de CAU mais baixo

Diferenças de vidas úteis ficam implicitamente solucionadas, pois assume-se que os custos anuais se repetirão

Método do Valor Atual ou Valor Presente Líquido

• Calcular o valor atual (VA ou VPL) pela somatória de todos os valores existentes no fluxo de caixa, utilizando para isso a TMA

• Para a análise de um projeto, VA > 0 indica projeto interessante

• Para a comparação de dois ou mais projetos, o de maior VA é o mais interessante

Método do Valor Atual ou Valor Presente Líquido

• Só é possível comparar projetos equivalentes, com a mesma vida útil

• Quando há diferenças de vidas úteis, utilizar:

• Técnica da Capitalização Infinita• Técnica do Mínimo Múltiplo Comum

Técnica da Capitalização Infinita

Considerar que as vidas úteis das alternativas se repetem infinitamente, ou seja, as alternativas são perpétuas

Encontrar o CAU de cada alternativaConsiderar que o CAU se repetirá

indefinidamenteAchar o Valor Atual considerando uma vida

infinita

Técnica da Capitalização Infinita

P = R1 - 1

(1 + i)n

i

P = RPara n →∞ 1i

Técnica do Mínimo Múltiplo Comum

Técnica do Mínimo Múltiplo Comum

Utilizar o MMC entre as vidas úteis das alternativas e considerar a repetição do investimento integralmente, de forma idêntica, ao longo do tempo referente ao MMC

Método da Taxa Interna de Retorno

Permite encontrar a remuneração do investimento em termos percentuais

Determinar a taxa de juros que permite igualar receitas e despesas na data 0, transformando o valor atual do investimento em 0 (zero). A taxa encontrada é chamada de Taxa Interna de Retorno, e deve ser comparada à TMA

Método da Taxa Interna de Retorno

A TIR permite avaliar a atratividade de um investimento. Para comparar investimentos diferentes, com desembolsos diferentes, deve-se utilizar a Taxa Incremental de Retorno

Método da Taxa de Retorno Incremental

É uma variante do método da Taxa de Retorno, e deve ser utilizada sempre que estivermos comparando alternativas de ação que possuam investimentos iniciais diferentes

Nota: sempre parte-se do pressuposto de que há disponibilidade financeira para executar qualquer uma das alternativas, i.e., existem recursos para realizar a alternativa mais cara


Seqüência de cálculo

Ordenar de maneira crescente (quanto ao investimento inicial) todas as alternativas

Calcular a TIR da alternativa de menor investimento inicial


Se a TIR for menor que a TMA, rejeitar a alternativa e analisar a seguinte, até que uma seja aceita

Se a TIR for maior que a TMA, aceitar a alternativa e analisar a viabilidade de adotar a alternativa seguinte, calculando a TRI

O Efeito do Imposto de Renda

Duas formas de análise:O efeito do IR já está considerado na TMA

O efeito do IR não está considerado na TMA:Os valores do fluxo de caixa, tanto entradas como

saídas, modificam o relacionamento com o Fisco


• Um equipamento que aumente a produção gerará mais receita:– Aumentos de renda geram mais IR a pagar

• A depreciação desse equipamento écontabilizada no custo dos produtos vendidos:– Valores maiores de depreciação diminuem a

receita líquida e portanto o IR a pagar

O IR é calculado, simplificadamenteatravés de

Receitas(-) Custo dos produtos vendidos

(matérias-primas, MO, custos indiretos e depreciações)

(-) Despesas Financeiras(-) Despesas Comerciais(-) Despesas AdministrativasLucro antes do IRIRLucros após IR


Montar dois fluxos de caixa:Fluxo Econômico - entradas e saídas decorrentes

da alternativaFluxo Contábil - economias e “deseconomias” de IR,

decorrentes da alternativaSomar os dois fluxos de caixa e montar o Fluxo

completoComparar as alternativas pelo fluxo completo

Leasing

Cessão de uso de um bem móvel ou imóvel, mediante a cobrança de um valor como compensação

Leasing

Fabricante ou Fornecedor

Fabricante ou Fornecedor

Arrendadora ArrendatáriaArrendatária

1 2

1A empresa arrendadora compra o bem do fabricante ou fornecedor com todas as características técnicas solicitadas pelo arrendador

2

A empresa arrendadora entrega o bem à arrendatária e passa a receber uma série de pagamentos periódicos conforme estipulado no contrato de leasing. Ao término do contrato a arrendatária poderá exercer uma opção de compra, adquirindo o bem por um valor residual definido em contrato (normalmente simbólico), ou devolvê-lo à arrendadora

Tipos de Leasing

Leasing Financeiro: As parcelas pagam o custo do bem arrendado e remuneram o investimento da empresa arrendadora. Nesse caso em geral o bem arrendado não pode ser devolvido

Leasing Operacional: As parcelas cobrem o custo do bem arrendado e pagam os serviços prestados pela arrendadora, como manutenção e assistência técnica. Nesse caso a opção de compra é pactuada no contrato

Algumas vantagens do Leasing

Não há necessidade de imobilização de capital próprio nem de financiamento para compra de equipamento. O capital fica disponível para o giro da operação

Maior liberdade para renovação de equipamentos e processos. As despesas com leasing são integramente dedutíveis do IR

Algumas vantagens do Leasing

Os bens arrendados não são contabilizados como ativo permanente (Melhor relação patrimônio líquido / ativo permanente)

No caso de uma compra, o valor de compra não pode ser atualizado, e a depreciação écalculada em valores nominais, aumentando ficticiamente os lucros

Algumas desvantagens do Leasing

Não possibilidade de rescisão do contrato

Não-flexibilidade para alterar condições de contrato (forma de correção monetária do bem, prazo de pagamento, etc)

Práticas que trazem desvantagens para o arrendatário (ex. pagamento antecipado do valor residual)

Efeito da Inflação

Inflação é a alta generalizada nos preços em uma economia

Os valores de entradas e saídas a longo prazo em um fluxo de caixa sofrem o efeito da inflaçãoAutomóvel Corsa 1996Preço de aquisição em 1996: R$ 12500,00Preço atual do mesmo carro: ~R$10000,00Preço atual do carro novo: ~R$25000,00

Efeito da Inflação

• “Limpar” o efeito da inflação do fluxo de caixa, adotando uma data de referência e convertendo os valores para aquela data

M = C ( 1 + d ) n

• M = valor inflacionado/desinflacionado• C = Capital• D = taxa de inflação no período

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