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EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB P. Reyes / Abril 2009

EJERCICIOS:

CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS

1. De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se

estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente:

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

a) Determinar la desviación estándar del proceso

σ= Rd2 con d2 = 2.326

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias – 3*sigma

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones

Zi = (LIE – Media) / Sigma Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma

P(Zi) = P(-Zs) =

Ptotal = P(Zi) + P(-Zs)

d) Determinar el Cp

Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma

e) Determinar el Cpk

Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 =

f) Determinar el Cpm

T es el centro de las especificaciones

C pm=Cp

√1+V 2= LSE−LIE6√σ2+(μ−T )2

g) Determinar el Cpkm

C pkm=Cpk

√1+( μ−Tσ )

2

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores

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2. Determinar los índices de capacidad y de desempeño del proceso siguiente:

FlashRecov

4.49 6.594.89 6.074.69 6.365.14 6.404.80 6.424.12 4.943.70 5.114.00 5.173.80 5.073.99 5.315.68 6.885.88 6.695.73 7.015.83 7.085.95 7.164.81 5.344.56 5.464.78 5.614.97 5.364.85 5.30

Los límites de especificación son LSE = 8 , LIE = 3.5

Hacer una carta de control I – MR

a) Determinar la desviación estándar del proceso (Within)

σ= Rd2 con d2 = 1.128

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias – 3*sigma

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones

Zi = (LIE – Media) / Sigma Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma

P(Zi) = P(-Zs) =


d) Determinar el Cp

Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma

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e) Determinar el Cpk

Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 =

f) Determinar el Cpm

T es el centro de las especificaciones

C pm=Cp

√1+V 2= LSE−LIE6√σ2+(μ−T )2

g) Determinar el Cpkm

C pkm=Cpk

√1+( μ−Tσ )

2

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores (ref. 1.33)

i. Determinar el valor de la desviación estándar de largo plazo (Overall)

S=√∑i=1

n

(X i− X̄ )2

n−1

C4=4 (n−1 )4 n−3

σ LT = SC4

j. Determinar el índice de desempeño potencial

Pp=(LSE−LIE )6σ LT

k. Determinar la fracción defectiva equivalente

Zs= LSE− X̄σ LT

Z I=LIE− X̄σ LT

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P(Zi) = P(-Zs) =


l. Determinar el índice de desempeño potencial

Pp=(LSE−LIE )6σ LT

m. determinar el índice de desempeño real

Ppk=menor|Z I , ZS|

3

n. Establecer conclusiones (ref. 1.33)

CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS EN MINITAB

3. Realizar un estudio:

a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02

con

1. Calc > Random data > Normal

2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estándar deviation 32.02 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330

b. Prueba de normalidad

1. Stat > Basic statistics > Normality Test

2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

c. Prueba de normalidad con intervalo de confianza

1. Graph > Probability plot > Normal

2. Graph Variable C1

3. Distribution Normal OK

d. Capacidad y desempeño del proceso

1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal

2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330

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3. Estimate R-bar OK

e. Opción Six Pack

1. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal

2. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330

3. Estimate R-bar OK

4. Un panadero cree que existe una gran variabilidad en el peso de sus productos: Hay dos

operadores A y B que usan las máquinas 1 y 2 no en forma simultánea. Durante 20 días se

tomaron muestras de 4 piezas de pan de cada máquina con los siguientes resultados:

DíaOperario

Máq1_p1

Máq_p2

Máq1_p3

Máq1_p4

Máq2_p1

Máq2_p2

Máq2_p3

Máq2_p4

1 A 209.2 209.5 210.2 212 214.3 221.8 214.6 214.42 B 208.5 208.7 206.2 207.8 215.3 216.7 212.3 2123 B 204.2 210.2 210.5 205.9 215.7 213.8 215.2 202.74 B 204 203.3 198.2 199.9 212.5 210.2 211.3 210.45 A 209.6 203.7 213.2 209.6 208.4 214.9 212.8 214.86 A 208.1 207.9 211 206.2 212.3 216.2 208.4 210.87 A 205.2 204.8 198.7 205.8 208.1 211.9 212.9 2098 B 199 197.7 202 213.1 207.5 209.9 210.6 212.39 B 197.2 210.6 199.5 215.3 206.9 207.1 213.6 212.2

10 A 199.1 207.2 200.8 201.2 209.6 209.5 206.8 214.211 B 204.6 207 200.8 204.6 212.2 209.8 207.6 212.612 B 214.7 207.5 205.8 200.9 211.4 211.2 214.4 212.613 B 204.1 196.6 204.6 199.4 209.6 209.2 206.1 207.114 A 200.2 205.5 208 202.7 203.5 206.9 210.6 212.315 A 201.1 209.2 205.5 200 209.1 206.3 209.8 211.416 B 201.3 203.1 196.3 205.5 208 207.9 205.3 203.617 B 202.2 204.4 202.1 206.6 210 209.4 209.1 20718 A 194.1 211 208.4 202.6 215.6 211.8 205.4 20919 A 204.8 201.3 208.4 212.3 214.5 207.5 212.9 204.320 A 200.6 202.3 204.3 201.4 209.1 205.8 212 204.2

a) Apilar todas las columnas

Data > Stack > Columns

Stack the following columns todas

Column of current worksheet seleccionar una vacía Total

b) Hacer un histograma con la columna total

Graph > Histogram: Simple

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c) Agrupar las columnas de la máquina 1

Data > Stack > Columns C3-C6 Máquina1

d) Agrupar las columnas de la máquina 2

Data > Stack > Columns C7-C10 Máquina2

e) Hacer histogramas similares al realizado con la columna de total

f) Comparar y sacar conclusiones

g) ¿qué se puede concluir si se acepta como normal un peso de 210 +- 10 gramos?

Stat > Quality tools > Capability analysis (normal)

Variable Total

Sample size 1

LSL 200 USL 220

OK

5. Se representa la humedad de 20 paquetes de un producto tomado durante varios días a la

semana:

lunes martes mierc jueves viernes8.2 8.61 9.43 8.97 8.46

8.36 9.14 8.85 9.02 88.37 8.52 8.66 9.61 8.328.52 9.2 8.89 9.15 8.918.05 9.3 9.28 9.21 8.178.76 9.58 9.14 9.53 8.68.51 8.81 9.41 9.28 8.488.18 8.68 9.34 9.28 8.658.52 8.59 9.59 8.86 8.978.64 8.66 9.15 8.75 8.28.83 8.7 9.75 9.64 8.338.35 9.08 9.18 9.05 8.268.48 8.32 8.86 8.76 8.648.34 8.33 9.28 9.21 8.818.51 8.41 8.5 8.76 8.738.08 9.07 9.19 9.4 8.738.15 9.08 9.19 9.55 8.48.15 9.13 9.12 9.5 8.68.68 8.69 9.2 9.48 8.478.79 8.46 8.8 9.58 8.1

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a) Apilar todas las columnas agregando una columna de índices

Data > Stack > Columns

Stack the following columns lunes-viernes

Column of current worksheet semana

Store subscripts in Dia

seleccionar Use variable names in subscript column

OK

b) Hacer un diagrama de datos de la semana ver si el proceso es estable

Graph > Time Series Plot: Simple

Series semana

OK

c) Distinguir el día de la semana en que ocurrieron los resultados

Graph > Time Series plot: With Groups

Series Semana

Categorical variables for grouping Dia

OK

¿Qué conclusiones se obtienen?

6. Obtener las estadísticas básicas de Peso (Weight) para dos máquinas de llenado:

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a. Estadísticas básicas

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Weight Llenadora905 2930 1865 2895 1905 1885 2890 1930 2915 2910 1920 1915 1925 2860 2905 2925 2925 2905 2915 1930 1890 1940 1860 2875 1985 2970 1940 1975 1

1000 21035 21020 2985 2960 2945 1965 1940 2900 2920 2980 2950 2955 2970 2970 1

1035 1


Mediana Moda Media

Desviación estándar

Varianza

Coeficiente de variación

Rango

Primer cuartil

Tercer cuartil

Rango intercuartílico

Esquematiza el diagrama de caja

b) Hacer una prueba de normalidad en los datos. Con los datos completos y considerando cada llenadora:

c) Obtener un histograma para la llenadora 2

d) Obtener un diagrama de caja para la llenadora 2

e) Obtener un diagrama de tallo y hojas para ambas

Con los datos completos

f) Encontrar la proporción de pesos que se encuentran entre 900 y 1000 grs.

g) Encontrar la proporción de pesos menores a 850 grs.

h) Encontrar la proporción de pesos mayores a 1,050 grs.

i) Encontrar la proporción de pesos menores a 880 grs. Y mayores a 1020 grs.

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j) Con Excel, si los límites de especificación son LIE = 850 y LSE = 1,050 determinar la capacidad

del proceso total y para cada una de las máquinas: determinar la fracción

defectiva, Cp y Cpk utilizando la desviación estándar estimada de corto plazo (Within)

cuando no hay cambios y el proceso en control.

Fracción defectiva =

INDICES DE DESEMPEÑOk) Determinar la fracción defectiva, Pp y Ppk utilizando la fórmula de la desviación estándar de

largo plazo (Overall) siguiente para datos históricos, cuando ya ocurrieron todos los cambios,

no importa que el proceso no esté en control:


4CS

Overalllt 1)( 2

n

XXiS 34)1(4

4

nnC

ltLIE

XLIEZ

ltLSE

XLSEZ

)()( LSELIE ZZ

LTp

LIELSEP6

3, LSELIE

pk

ZZMenorP


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stp

LIELSEC6

ZLIE=LIE− X̄

σ stZLSE=

LSE−X̄σst

σ st=σWithin=R̄d2

Φ (Z LIE)+Φ ( −Z LSE)

C pk=Menor|Z LIE , Z LSE|

3

C pm=LSE−LIE

√σ ST+( X̄−M )2CR= 1C p


CAPACIDAD DE PROCESOS NO NORMALES

7. Realizar el estudio:

a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con

1. Calc > Random data > Weibull

2. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2 Scale parameter 1

Threshold parameter 0 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5

b. Determinar la capacidad con:

1. Stat > Quality tools > Capability análisis > NonNormal

2. Single column C1 Distribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5

3. OK

c. Establecer conclusiones

8. Transformación de Box Cox para normalizar los datos

Por ejemplo para el archivo Tiles.mtw:

1. File > Open worksheet Tiles.mtw

2. Stat > Control Charts > Box Cox transformation

3. Data are arranged as Single column Torcedura (Warping) Subgroup size 1

4. Store transformed data in: TorceduraTransf

5. Options: P value to select best fit 0.10

OK

Anotar el Ppk obtenido:

9. Transformación de Johnson para normalizar los datos

1. File > Open worksheet Tiles.mtw

2. Stat > Quality Tools > Johnson Transformation

3. All observations in a column Torcedura (Warping) Subgroup size 1

4. Options: Store transformed data in: TorceduraTransf

5. OK

10. Ajuste con otras distribuciones de probabilidad

Otra opción es identificar una función a la que se ajusten los datos, para que con esta se determine la capacidad del proceso:

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1. File > Open worksheet Tiles.mtw2. Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification3. Data are arranged as single column Warping 4. Subgroup size 1Seleccionar Use all distributions 5. OK

11. Capacidad de proceso utilizando otras distribuciones de probabilidad

Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification3. Data are arranged as single column Warping 4. Subgroup size 1DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS12. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:Usando la distribución binomial y la distribución de Poissona) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?

13. Se tienen 60 ejecutivos de cuenta en un call center, están ocupados en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes llaman ¿la probabilidad de que estén ocupadas es mayor al 50%? Usar Poisson o binomial

14. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad hipergeométrica de que:a) Los 5 estén calificadosb) 4 estén calificadosc) Por lo menos 3 estén calificados

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS15. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene una distribución exponencial con media = 10, calcular:a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas.b) P(X<=15)c) P(8<=X<=14)

16. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, con desviación estándar de 3,000 horas ¿cuál es la probabilidad de quea) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas?

b) A lo sumo 30,000 horas?

c) Entre 20,000 y 30,000 horas?

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17. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la distribución exponencial (X en años):

F(x) =1- exp(-0.125*x)

a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía?

b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de la garantía por reemplazo sobre la ganancia en 100 equipos?

SERIES DE TIEMPO

18. Se colectan datos de empleo en un sector de negocios durante 60 meses y se desea predecir la tasa de empleo para los siguientes 12 meses, EMPLOY.MTW.

Las instrucciones de Minitab son las siguientes:

Modelos de tendencias lineal y cuadráticoa) Para un modelo lineal:

1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis.3 En Variable, poner Trade.4 En Model Type, seleccionar Linear5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts.6 Seleccionar Storage .7 Seleccionar Fits (Trend Line), Residuals (detrended data), y Forecasts. Seleccionar OK en cada diálogo.

b) Para un modelo cuadrático

1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis.3 En Variable, poner Trade.4 En Model Type, seleccionar Quadratic.5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts.6 Seleccionar Storage .7 Seleccionar Fits (Trend Line) , Residuals (detrended data), y Forecasts. Seleccionar OK en cada diálogo.

Interpretar los resultados (ver página 11 de series de tiempo)

Predecir con un modelo de media móvil

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19. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con los datos de los últimos 60 meses. Se usa el método de promedio móvil si no se tienen patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.2 Seleccionar Stat > Time Series > Moving Average.3 En Variable, seleccionar Metals. En MA length, poner 3. 4 Seleccionar Center the moving averages. 5 Seleccionar Generate forecasts, y poner 6 en Number of forecasts. Click OK.

Interpretar los resultados

MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL

Suavizamiento exponencial simple

20. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con los datos de los últimos 60 meses. Se usa el método de promedio móvil si no se tienen patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.2 Seleccionar Stat > Time Series > Single Exp Smoothing.3 En Variable, poner Metals.4 Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK.Interpretar los resultados:

Suavizamiento exponencial doble

21. El suavizamiento exponencial doble emplea un componente de nivel y un componente de tendencia en cada uno de los periodos. Usa dos pesos, o parámetros de suavización, actualiza los componentes cada periodo.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.2 Seleccionar Stat > Time Series > Double Exp Smoothing.3 En Variable, poner Metals.4 Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK.

Interpretar los resultados :Promedio móvil 0.2553 Es mejorExponencial simple 0.4296Exponencial doble 0.4679

Método de Winters22. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis meses en la industria alimenticia usando datos colectados sobre los últimos 60 meses, usando el método de Winters con el

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modelo multiplicativo, dado que hay componente estacional y de tendencia aparente en los datos.

Instrucciones de Minitab

1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Winters' Method.3 En Variable, poner Food. In Seasonal length, 12 .4 En Model Type, seleccionar Multiplicative.5 Seleccionar Generate forecasts poner 6 en Number of forecasts. Seleccionar OK.

Probar con opción método aditivo:

Interpretar los resultados

Método de ARIMAPrueba de autocorrelación de los datos

23. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis meses en la industria alimenticia usando datos colectados sobre los últimos 60 meses, se utiliza el modelo de autocorrelación para identificar el modelo ARIMA adecuado.

1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences.3 En Series, poner Food.4 En Store differences in, poner Food2.5 En Lag, poner 12 . OK.

6 Ejecutar Stat > Time Series > Autocorrelation.7 En Series, poner Food2. OK.

24. Se obtiene una función de autocorrelación parcial (PACF) de los datos de empleo anteriores, después de tomar una diferencia del valor anterior 12 para determinar el modelo ARIMA más adecuado.

Las instrucciones de Minitab son las siguientes:

1 Worksheet EMPLOY.MTW2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences.3 En Series, poner Food.4 En Store differences in, poner Food2.5 En Lag, poner 12 . OK.6 Ejecutar Stat > Time Series > Partial Autocorrelation .7 En Series, poner Food2. OK.

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Ejemplo de ARIMA25. Las gráficas de autocorrelación (ACF) y de autocorrelación parcial (PACF) sugieren un modelo de autoregresivo de orden 1 o AR(1), después de tomar una diferencia de 12.

Ahora se corre el modelo, analizando las gráficas y la bondad de ajuste.

Para tomar una diferencia estacional de orden 12, se especificó el periodo estacional de 12 y el orden de la diferencia 1, con esto se realiza el pronóstico.

Instrucciones de Minitab1 Worksheet EMPLOY.MTW.2 Stat > Time Series > ARIMA.3 En Series, poner Food.4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference .5 Seleccionar Graphs. Seleccionar ACF of residuals y PACF of residuals .6 OK en cada cuadro de diálogo.

Corrida de pronósticosCorrer el modelo ARIMA sin gráficas de ACF y PACF de los residuos

Instrucciones de Minitab1 Worksheet EMPLOY.MTW.2 Stat > Time Series > ARIMA.3 En Series, poner Food.4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference .5 Graphs. Seleccionar Time series plot. OK.6 Seleccionar Forecast. en Lead, poner 12 . OK en cada cuadro de diálogo.

CONFIABILIDAD Distribución de Weibull (toma diferentes formas variando sus parámetros como el de forma) – vista en Minitab

Graph > Probability distribution plot > Vary parametersSeleccionar Weibull Scale 100 (media) Shapes 0.2 1 3OK

26. Se registran 20 equipos en prueba de funcionamiento y las horas (x1,000) transcurridas hasta la falla fueron las siguientes:

Unidad Horas1 3.70

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2 3.753 12.184 28.555 29.376 31.617 36.788 51.149 108.7110 125.2111 125.3512 131.7613 158.6114 172.9615 177.1216 185.3717 212.9818 280.4019 351.2820 441.79

Si las horas de falla siguen la distribución exponencial, estimar las funciones de densidad de probabilidad, función de distribución acumulada, función de confiabilidad y función de riesgo.

La función de densidad es:

f ( t )= 1133 .43

e−

1133.43

t

La función de distribución acumulada es la siguiente:

F ( t )=1−e−

1133.43

t

La probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20 (x1,000) horas es:

F(20) = 0.139

La función de confiabilidad es la siguiente:

R( t )=e−

1133 .43

t

Y la función de riesgo es:

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h( t )= 1133. 43

27. Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales presentaron fallas como sigue:

Tiempo de falla (Hrs.) t

Orden de fallas, i

16 134 253 375 493 5

120 6

Utilizando Minitab con las siguientes instrucciones:1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis2. Variables t; Assumed distribution Weibull 3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot, hazard plotEstimate: estimate probabilities for this times 15 seleccionar Survival probabilitiesOK

a) Comprobar el ajuste de la distribución de Weibull

b) Determinar el MTBF

c) Determinar las funciones de sobrevivencia, de falla y de tasa de riesgo

d) Determinar la probabilidad de supervivencia a las 15 horas

Caso de unidades censuradas (Método de Kaplan Meier)

28. Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales presentaron fallas con algunas unidades censuradas como sigue como sigue:

Tiempo de falla (Hrs.) t

Censurado

16 034 040 140 1

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53 075 085 190 193 0

120 0

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis 2. Variables Tiempo; Assumed distribution Weibull 3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 14. Estimate: Seleccionar Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this time 15 5. Graphs: Seleccionar Prob. Plot, Survival Plot, Cumulative failure plot, Hazard plot, Confidence intervals for above plots Show in separate panels on the same graphOK

Análisis no paramétrico29. Cuando no se conoce la forma de la distribución que ajusta los datos de vida de los equipos o componentes, se pueden utilizar pruebas no paramétricas como sigue:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Nonparametric distribution analysis 2. Variables Tiempo; 3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 14. Estimate: Seleccionar Estimation Method Kaplan Meier 15 5. Graphs: Seleccionar Survival Plot, Cumulative failure plot, OK

Varios tipos de falla30. Los datos de la tabla siguiente son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de cable, con un extremo sujeto sobre un borne y el otro al poste Terminal. Cada falla consiste en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) o de la sujeción (modo de falla 2 = S). En este caso el esfuerzo hace las veces de tiempo de falla:

Esfuerzo Modo de falla

550 S750 A950 S950 A

1150 A1150 S

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1150 S1150 A1150 A1250 S1250 S1350 A1450 S1450 S1450 A1550 S1550 A1550 A1850 A2050 S

Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando que se requiere que menos del 1% debe tener un esfuerzo menor a 500 g. O sea que al menos el 99% de las conexiones resista un esfuerzo de mayor a 500 g. Se desea estimar el esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los modos de falla.

a) Primero se hace un análisis sin distinguir los modos de falla, identificando la distribución que ajuste a los datos:

Con Minitab:1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Distribution ID Plot2. En Variables Esfuerzo Use all distributions (Weibull, Lognormal, Exponential, Normal) 3. Options > Estimation Maximum likelihood4. OK

b) Determinación de la confiabilidadHaciendo un análisis de confiabilidad considerando los dos tipos de falla se tiene:Instrucciones de Minitab:;

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric Distribution Analysis2. En Variables Esfuerzo Assumed distribution - Weibull 3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this values 5004. Graphs: Probability plot y Survival plotOK

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c) Obteniendo el análisis separado por modo de falla se tiene:Instrucciones de Minitab:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric Distribution Analysis2. En Variables Esfuerzo By Variable Modo de falla Assumed distribution - Weibull 3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this values 5004. Graphs: Probability plot y Survival plotOK

Confiabilidad de sistemas

31. Un equipo tiene 40 componentes en serie. La confiabilidad de cada uno es de 0.999, por tanto la confiabilidad del equipo completo es de:

Si el producto se rediseñara para tener solo 20 componentes, la confiabilidad sería de Rs =

Sistema con componentes en serie

32. Considere 4 componentes A, B, C y D de un producto conectados en paralelo, con confiabilidades de 0.93, 0.88, 0.88 y 0.92 respectivamente, la confiabilidad total es:

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A B C Z

.

},X,...,min{)(

1

n1

n

iiX

XX


Sistema con 4 componentes en paralelo

33. Se tienen los siguientes 7 componentes conectados en serie y en paralelo, sus confiabilidades son: RA=0.96; RB=0.92; RC=0.94; RD=0.89; RE=0.95; RF=0.88; RG=0.90.

Sistema con 7 componentes en serie y en paralelo

Mantenabilidad

34. ¿Cuál es la probabilidad de completar una acción en las siguientes 5 horas si el MTTR es de 7 horas?

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B

A

B

C DG

F

E

)Re(1 pairtoTimeMeanMTTR

A

C

D

φ (X )=max {X1 ,. . .,Xn},

¿1−∏i=1

n

(1−X i ).


35. El número de fallas que no pueden ser reparadas dentro del tiempo permitido es:

T e−t /MTTR

Por ejemplo:

a) Hay 7 unidades que requieren reparación. La tasa de falla actual es de 0.03 / hora, el tiempo disponible es de 10 horas, con un MTTR de 18 horas. El tiempo de misión es de 200 horas. ¿Cuántas fallas no pueden ser reparadas dentro de las 200 horas?

b) Al contrario el número de fallas que pueden ser reparadas dentro de un espacio de tiempo son:

T (1−e−t /MTTR)

36. El MTTR de un sistema se determina con la ecuación:

MTTR=∑i=1

n

❑i t i

∑i=1

n

❑i

Donde: n = Número de subsistemasi = Tasa de falla del subsistema iTi = Tiempo para reparar el subsistema i

Por ejemplo:

En un equipo con 4 secciones de calentamiento reparables con las siguientes tasas de falla. Determinar el MTTR del sistema:

Sección de calor Tasa de falla / horas i

Tiempo de reparación en horas

ti

ti

1 0.06 4 0.24

2 0.04 8 0.32

3 0.12 12 1.44

4 0.18 20 3.6

Suma = 0.40 Suma = 5.60

MTTR = horas

37. Considerar la probabilidad de restauración si el tiempo de reparación del sistema sigue una distribución exponencial con una tasa de reparación Mu y MTTR = 1/ Mu.

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Si se tienen t = 10 horas para reparar el sistema:

M(t) = 1 – exp(-t/MTTR) =

38. Abajo se listan los datos de la bitácora de reparación de cierta máquina. Determinar si se apegan a una distribución lognormal:

Rep1.23.21.71.50.56

0.31.10.41.61.71.87.2

10.20.20.83.13.62.51.3

En Minitab:

1. Stat > Reliability / Survival > Distribution Analysis (Right sensoring)> Distribution ID Plot

2. Variables Rep

3. Seleccionar Use All distributions

4. Options seleccionar Maximum Likelihood

5. OK

ANALISIS DE CONFIABILIDAD1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution analysis2. Variables Rep; Assumed distribution Lognormal3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot, hazard plot

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Estimate: Estimation Method seleccionar Maximum LikelihoodEstimate probabilities for this times 10 seleccionar Cumulative Failure probabilities

OK

CONCLUSIÓN: La mantenabilidad (F(t)) para 10 horas es de 96.67%, es la probabilidad de que el equipo se restaure

En 10 horas

El MTTR = 2.61 (indicado como MTTF en el listado) es el tiempo medio para restablecer el equipo

Calcular la probabilidad de restablecerlo en 4 horas -- 82%

O

1. Graph > Probability Plot > Single

2. Graph variable Rep

3. Distribution seleccionar Lognormal

4. OK

En la gráfica como el P value es a 0.05

El histograma de los MTTR es:

Con Minitab:

1. Graph > Histogram > Simple

2. Variable Rep

3. OK

DISPONIBILIDAD INHERENTE39. Esto es muy similar a la función de la confiabilidad en que da una probabilidad que un sistema funcione en el tiempo dado, t. es la disponibilidad en estado estático.

A I=μ

μ+¿= MTBFMTBF+MTTR

¿

1/MTBF = Tasa de falla1/MTTR = Tasa de reparación

Ejemplo:

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Un sistema tiene un MTBF de 2080 horas y un MTTR de 10 horas. ¿Cuál es la disponibilidad inherente del sistema?

40. La disponibilidad lograble promedio es la proporción de tiempo durante una misión o un período de tiempo en que el sistema está disponible para el uso.

Es más realista ya que toma en cuenta el mantenimiento preventivo y correctivo. Como en la anterior considera que la reparación inicia inmediatamente después de ocurrir la falla sin tiempos de espera.

AA=MTBMA

MTBMA+MMT

Donde: MTBMA es el tiempo promedio entre acciones de mantenimiento ya sean preventivos o correctivos

MMT es el tiempo promedio de acción de mantenimiento, compuesto por los efectos del mantenimiento preventivo y correctivo.

MMT=FcMct+FpMptFc+Fp

Donde: Fc es el número de acciones de mantenimiento correctivo por cada 1000 horasFp es el número de acciones de mantenimiento preventivo por cada 1000 horasMct es el tiempo activo promedio para mantenimiento correctivo (MTTR)Mpt es el tiempo activo promedio para mantenimiento preventivo

Por ejemplo:

Un sistema tiene un MTBMA de 110 horas, Fc de 0.5, Fp de 1, Mct de 2 horas y Mpt de 1 hora. ¿Cuál es el valor de Aa?

41. La disponibilidad operacional es una medida de la disponibilidad media durante el tiempo e incluye todas las fuentes experimentadas del tiempo muerto, tales como tiempo muerto administrativo, tiempo muerto logístico, etc.

AO=MTBMA

MTBMA+MDT

Donde: MDT es el tiempo muerto promedio

Ejemplo:

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Un sistema tiene un MTBMA de 168 horas y un MDT de 4 horas. ¿Cuál es la Ao?

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42.Mediciones para Seis Sigma

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