prof. carlos ruberto fragoso jr. prof. marllus gustavo f. p. das neves moedelagem e simulaÇÃo...
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PROF. CARLOS RUBERTO FRAGOSO JR.PROF. MARLLUS GUSTAVO F. P. DAS NEVES
MOEDELAGEM E SIMULAÇÃO HIDROLÓGICA ESCOAMENTO
Tópicos• Importância do Escoamento• Tipos de Escoamento• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas– Equação da continuidade– Equação da quantidade de movimento ou equação
dinâmica• Simplificações das Equações de Saint Venant
– Onda cinemática– Propagação de cheias em rios
• O método Muskingum• O metodo de Pulz - reservatórios
Precipitação que não infiltra pode se acumular sobre a superfície e pode se movimentar sobre a superfície escoamento superficial
Outras formas de escoamento = subsuperficial, subterrâneo
Escoamento superficial é muito importante na hidrologia porque admite-se que é o responsável pelos picos dos hidrogramas (cheias)
Escoamento está relacionado à disponibilidade da água para usos múltiplos
Escoamento transporta sedimentos, matéria orgânica, nutrientes e organismos
Importância do Escoamento
• Escoamento superficial• Escoamento sub-superficial• Escoamento subterrâneo
Tipos de Escoamento na baciaTipos e características do Escoamento
Fase terrestre no ciclo hidrológico
Esc. superficial
Esc. sub-superficial
Esc. subterrâneo
Tipos e características do Escoamento
Para onde vai o escoamento superficial?
Escoamento até a rede de drenagem rios e canais Reservatórios
Fase terrestre no ciclo hidrológicoTipos e características do Escoamento
• Sub-superficial ?
• Superficial
• Subterrâneo
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
• Chuva, infiltração, escoamento superficial
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
• Chuva, infiltração, escoamento superficial, escoamento subterrâneo
Camada saturada
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
• Escoamento sub-superficial
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
Camada saturada
• Depois da chuva: Escoamento sub-superficial e escoamento subterrâneo
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
• Estiagem: apenas escoamento subterrâneo
Camada saturada
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
Camada saturada
• Estiagem: apenas escoamento subterrâneo
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
Camada saturada
• Estiagem: apenas escoamento subterrâneo
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
• Estiagem muito longa = rio secoRios intermitentes
Camada saturada
Tipos de escoamento baciaTipos e características do Escoamento
• Precipitação que atinge áreas impermeáveis, áreas com capacidade de infiltração limitadas, áreas de alta declividade,...
• Processo hortoniano escoamento superficial hortoniano– Intensidade de precipitação excede a
capacidade de infiltração• Escoamento superficial em áreas saturadas
– Saturação do horizonte superficial do solo• Fluxo direto (preferencial)
– Infiltração e percolação rápidas em macroporos (fendas, buracos de raízes, ...)
Geração de escoamento superficialTipos e características do Escoamento
Telhados Ruas Passeios
• Geração de escoamento superficial é quase imediata• Infiltração é quase nula
Áreas Impermeáveis
Tipos e características do Escoamento
• Capacidade de infiltração é baixa
Gramados Solos Compactados Solos muito argilosos
Áreas de capacidade de infiltração limitadas
Tipos e características do Escoamento
Infiltração
Escoamento
Precipitação
tempo
Infiltração
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Tipos e características do Escoamento
tempo
Infil
traç
ão
Pre
cipi
taçã
o
início do escoamento
Intensidade da chuva
Capacidade de infiltração
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
• Considere chuva com intensidade constante• Infiltra completamente no início • Gera escoamento no fim
Tipos e características do Escoamento
tempo
Infil
traç
ão
Pre
cipi
taçã
o
início do escoamento
volume infiltrado
Intensidade da chuva
Capacidade de infiltração
• Considere chuva com intensidade constante• Infiltra completamente no início • Gera escoamento no fim
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
• Considere chuva com intensidade constante• Infiltra completamente no início • Gera escoamento no fim
tempo
Infil
traç
ão
Pre
cipi
taçã
o
início do escoamento
volume escoadoIntensidade da chuva
Capacidade de infiltração
volume infiltrado
Tipos e características do Escoamento
Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Precipitação
Infiltração
Escoamento em áreas de solo saturado
Tipos e características do Escoamento
Precipitação
Solo saturado
Escoamento em áreas de solo saturado
Tipos e características do Escoamento
Precipitação
Solo saturado
Escoamento
E mesmo que as características do solo propiciem alta,a capacidade de infiltração a taxa de I é baixa
Escoamento em áreas de solo saturado
Tipos e características do Escoamento
I (mm/h)
F (mm/h)
Q (mm/h)
Q = I – F
• Intensidade da precipitação é maior do que a capacidade de infiltração do solo
• Processo hortoniano (Horton, 1934)
Geração de escoamento superficialTipos e características do Escoamento
Q (mm/h)
•Precipitação atinge áreas saturadas•Processo duniano (Dunne)
Geração de escoamento superficialTipos e características do Escoamento
Fonte: Rampelloto et al. 2001
E isto tudo pode ocorrer na mesma bacia e no mesmo instante!
Resultado da interação de todos os componentes do ciclo hidrológico
HidrogramaRepresentação gráfica da vazão ao longo do tempo
Hidrograma
Hidrograma 1
Hidrograma 2
Hidrograma 3
Hidrograma 4
Hidrograma 5
Hidrograma 6
Hidrograma 7
Hidrograma 8
Hidrograma 9
Hidrograma 10
Hidrograma 11
Hidrograma 12
Hidrograma 13
Hidrograma 14
Hidrograma 15
Hidrograma 16
Formação do Hidrograma
Superficiale
Escoamento subterrâneo
Sub-superficial
1 – Início do escoamento superficial2 – Ascensão do hidrograma3 – Pico do hidrograma4 – Recessão do hidrograma5 – Fim do escoamento superficial6 – Recessão do escoamento subterrâneo
1
2
5
3
4
6
Tipos e características do Escoamento
• Difuso x concentrado– Escoamento difuso ocorre na bacia, sobre
superfícies ou em pequenos canais efêmeros tem profundidade pequena e largura indefinida
– Escoamento concentrado ocorre em canais num rio, por exemplo, tem profundidade maior e largura definida
– Até onde o escoamento é considerado difuso vai depender da escala em que o fenômeno vai ser representado
Tipos e características do Escoamento
• Outros– Escoamento num conduto pode estar sob pressão, mas
tem seção constante– Escoamento num lago sofre atuação de forças como a
do vento e de Coriolis (grandes lagos)
Tipos e características do Escoamento
• Fundamentos dos escoamentos Mecânica dos fluidos e hidráulica (equações da continuidade, Euler, Navier-Stokes)– Retratam-se os processo nas 3 dimensões e no tempo
(caso geral)– Rios direção predominante longitudinal
equações unidimensionais de Saint Venant
ESCOAMENTO: MODELOS DE RIOS E RESERVATÓRIOS
Comportamento em rios e reservatórios
Tipos e características do Escoamento
rios
• Ocorre atenuação:– Armazenamento– Atrito (efeitos dinâmicos)
Hidrograma de entrada
Hidrograma de saída
Volume armazenado acumulado
Igual a este (sem Qlateral)
QIdt
dS
0dt
dSQI
maxSS
Comportamento em rios e reservatórios
Tipos e características do Escoamento
Z1
Z2
Pode haver o mesmo S para cotas Z diferentes
I Q
S
Comportamento em rios e reservatórios
Tipos e características do Escoamento
rios
Z1 S1
Z2S2
I Q
Comportamento em rios e reservatórios
Tipos e características do Escoamento
reservatórios
Relação biunívoca Z x S• Velocidade pequena• Linha d’água horizontal
Comportamento em rios e reservatórios
Tipos e características do Escoamento
reservatórios
f(S)h
f(Q)h
S
h
Q
h
Q
S0
dt
dS 0
dt
dQ
Comportamento em rios e reservatórios
Tipos e características do Escoamento
reservatórios
0dt
dS 0
dt
dQ
Equações hidrodinâmicas• Hipóteses (Escoamento não permanente em
canais)– Escoamento unidimensional– Distribuição de pressão hidrostática
declividade menor que 10% (Baptista e Lara, 2010)
– Canal de baixa declividade menor que 15% (Fread, 1993 – handbook of hydrology)
– Fluido incompressível e homogêneo com vazão dada por Q (x,t) = V(x,t).A(x,t)
– Perda de carga no regime variado computada por uma equação de resistência do regime permanente e uniforme
– Funções contínuas em relação ao tempo t e ao espaço x
• Equação da continuidade• Volume de controle elementar de comprimento
dx escoamento entre as seções 1 e 2 x medida ao longo do canal, A a área molhada, y altura, profundidade ou tirante de água, B a largura da superfície livre, V a velocidade média na seção 1
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade• Equação integral
• Fluido incompressível
• Obs.: sem aporte lateral
SCVC
dAnVρρdt
0
SCVC
dAnVdt
0
tdAnV
SC
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade• A variação de volume é resultado de
uma modificação na superfície livrety
tBdx
t
y
dxtA
t
dy
A (x,y)
B (x,y)
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade• O fluxo na superfície de controle é
resolvido expandindo-se Vx.A na série de
Taylor
Equações hidrodinâmicas
• Equação da continuidade• A equação resultante
• Canais com declividade fraca Vx pode ser considerada igual à V = Q/A (vel. média na seção)
q vazão lateral (Q por unidade de comprimento) negativa (influxo) e positiva (efluxo ou saída)
0tA
xA
VxV
A xx
0tA
xA
VxV
A
0q
tA
xQ
Equações hidrodinâmicas
• Equação dinâmica• Forças
– Devido à pressão hidrostática nas seções 1 e 2
– Força gravitacional no sentido do escoamento
– Força de atrito nas paredes e no fundo do canal
Equações hidrodinâmicas
• Equação dinâmica
SC
xVC
xxap2p1 dAnVρVρdVt
WFFF
Equações hidrodinâmicas
• Equação dinâmica• Um processo semelhante ao da equação
da continuidade leva a:
• Ver Hidráulica básica de Rodrigo de Melo Porto, capítulo 14
dxtV
xV
VρAdxxy
SSA f0
γ
f0 SSgxy
gtV
xV
V
Equações hidrodinâmicas
• As equações foram estabelecidas pela primeira vez por Adémas Jean-Claude Barré, conde de Saint Venant, engenheiro francês (1797-1886)
• Constituem um sistema de equações com duas incógnitas, em derivadas parcias de x e de t
0
ty
BxA
VxV
A
f0 SSgxy
gtV
xV
V
Equações hidrodinâmicas
• Também são escritas como abaixo (continuidade e quantidade de movimento)
0qtA
xQ
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
Equações hidrodinâmicas
• Equação dinâmica significado dos termos
f0 SSgxy
gtV
xV
V
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
Termos de inércia
Termo de pressão
Termo de gravidade
Termo de atrito
Equações hidrodinâmicas
• Importância dos termos da equação dinâmica em rios– Determinada pela situação hidráulica do
curso d’água (declividade, largura da seção, ...)
– Henderson (1966) para rios com I0 > 0,02 m/m termos de inércia, em geral, muito pequenos, podendo ser desprezados força da gravidade preponderante
– Cunge (1980) ordem de grandeza dos termos de inércia = 10-5, enquanto dos termos de atrito e gravidade = 10-3
Simplificações das Equações de Saint Venant
0gASxy
gAA
Qxt
Q
qxQ
tA
f
2
Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2)
Máximo 1,5% Normal <1%
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Importância dos termos da equação dinâmica em rios
3
00
2
0
0
f
101,7gS
tV
gStV
102Sxy
0,9S
S
Termo de advecção e termode variação temporal da quantidade de movimento são muito pequenos frenteaos outros termos
Termo de pressão é pequeno
Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2)
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Importância dos termos da equação dinâmica em rios
• O que queremos representar com os modelos?
– Efeitos que ocorrem com a onda de cheia quando se propaga ao longo de um rio ou canal
– Que efeitos são esses? Ocorre atenuação e deslocamento devido ao:(a)Armazenamento tanto na calha normal
como nas áreas de inundação(b)Atrito com as superfícies do canal e difusão
devido ao gradiente de pressão
Simplificações das Equações de Saint Venant
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
• Translação (deslocamento)
Simplificações das Equações de Saint Venant
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
• Amortecimento
Simplificações das Equações de Saint Venant
A
B
Q
t
Hidrograma em AHidrograma em B
h em B (maré)
• Efeito de jusante
Simplificações das Equações de Saint Venant
Onda cinemática e modelos de armazenamento
Tópicos• Importância do Escoamento• Tipos de Escoamento• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas– Equação da continuidade– Equação da quantidade de movimento ou equação
dinâmica• Simplificações das Equações de Saint Venant
– Onda cinemática– Propagação de cheias em rios
• O método Muskingum• O metodo de Pulz - reservatórios
Permanente e não uniforme
• Voltando aos termos da equação dinâmica– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
tV
g1
-xV
gV
-xy
-SS 0f
Não permanente e não uniforme
Permanente e uniforme
Simplificações das Equações de Saint Venant
Permanente e não uniforme
• Voltando aos termos da equação dinâmica– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
tV
g1
-xV
gV
-xy
-SS 0f
Não permanente e não uniforme
Permanente e uniforme
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Voltando aos termos da equação dinâmica– Desprezando todos os termos de inércia
– Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade base do modelo de difusão ou não inercial
– Aplicado quando não há grande variação temporal e espacial de V
xy
-SS 0f
f0 S-Sxy
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Voltando aos termos da equação dinâmica– Desprezando também o termo de pressão
– Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade base do modelo de onda cinemática
– se não há variação da linha d’água movimento uniforme (UM)
0f SS xy
-SS 0f
Simplificações das Equações de Saint Venant
Simplificações das Equações de Saint Venant
0qtA
xQ
Não utilizam a equação dinâmica
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
• Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology)– Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q
biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno
• Onda cinemática (Erro em relação aos modelos com equações completas)
(dinâm.) energia de linha da Decliv.(cinem.) energia de linha da Decliv.
ST
qnE(%) 1,6
0r
p1,2
φμ'
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology)– Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q
biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno
• Difusão (Erro em relação aos modelos com equações completas)
(dinâm.) energia de linha da Decliv.(cinem.) energia de linha da Decliv.
nST
qE(%) 0,60,7
0r
0,4p
φ'μ"
Simplificações das Equações de Saint Venant
0,60,70r
0,4p
nST
qE(%)
φ'μ"
Simplificações das Equações de Saint Venant
1,60r
p1,2
ST
qnE(%)
φμ'
Parâmetros importantes: grande variedades de valores possíveis
Canais de declividades suaves e ondas de cheia que sobem rapidamente TrS0 pequeno
modelos com equações completas de Saint Venant
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Partindo de uma expressão do escoamento uniforme como a de Chézy
fhSRCV
tV
g1
-xV
gV
-xy
-SRCV 0h
0hSRCVDesprezam-se Onda cinemática
• As duas equações juntas da Onda cinemática
– Como é possível MU (geralmente associado ao escoamento permanente) e uma variações de Q com x e de A com t?
0tA
xQ
0f SS
0hSRCV
OU
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• A onda passa ...
• Durante e após sua passagem sem mudança na declividade da linha d’água (escoamento principal) não há desequilíbrio por causa de forças de pressão as forças de resistência se equilibram com a gravidade
Q1
Q2
y1
y2
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
0hSRCV (a)Relação
biunívoca entre Q e V e y
(b)Não biunívoca nas equações completas largura do laço indica importância relativa dos termos de inércia e pressão
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
0hSRCV
Relação Q = f(y) cota-descarga ou curva chave
(a)Esc. Não perman. Q para 2 para duas prof. Y onde de cheia em ascenção ou depleção influência do termo de aceleração local (1/g)(∂V/ ∂t)
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
0hSRCV
Relação Q = f(y) cota-descarga ou curva chave
(b)Nível máximo da água atingido não corresponde à máxima vazão, que ocorre antes dele
(c) Linha tracejada escoamento uniforme onda cinemática
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Q = f(y) A = f(y) A = f(Q) e Q = f(A)
A
y
A
Q
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Conceito de onda cinemática introduzido por Lighthill e Whitham (1955)
• Na equação da continuidade
• Por outro lado
0tA
xQ
0ty
BxQ
0
ty
Bxy
dydQ
0ty
dtdx
xy
dAdQ
dydQ
B1
Cdtdx
K
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
dAdQ
dydQ
B1
Cdtdx
K
Celeridade da onda cinemática
Só admite valores positivos (sentido da corrente)
Espaço percorrido em t
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Outras formas de escrever a equação
0xQ
CtQ
ou 0xQ
dAdQ
tQ
K
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Propriedades da onda cinemática
0xQ
CtQ
K
(a) Propaga-se somente pra jusante
(b) O aspecto não muda ao longo do percurso, não havendo atenuação da altura da onda
Percurso em t
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Onda cinemática não tem dispersão nem difusão (sem amortecimento)
• A onda é transladada sem sofrer alterações na forma
AB
Q
t
Hidrograma em AHidrograma em B
• Propriedades da onda cinemática
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Propriedades da onda cinemática
• Demonstração que o termo ∂V/∂A é sempre positivo a celeridade é superior à velocidade média do regime uniforme
(c) velocidade de propagação
AV
AVdA
d(VA)dAdQ
dydQ
B1
CK
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Quando usar o modelo de onda cinemática?
–∂y/∂x desprezado não usar onde há efeito de jusante (canais próximos a lagos, barragens, estuários, estrangulamentos, oceanos ou rios maiores) força da gravidade preponderante escoamento unidirecional (montante para jusante)
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Quando usar o modelo de onda cinemática?
–Usados em modelos chuva-vazão (escoamento superficial) não são recomendados para canais, exceto quando o hidrograma ascende devagar, a declividade é moderada para íngreme e a atenuação do hidrograma é bastante pequena.
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Simplificações das Equações de Saint Venant
0qtA
xQ
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
verifiquem
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
dAdQ
dydQ
B1
Cdtdx
K
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Q
t
Qp
Q0
1) Montar o hidrograma de entrada no trecho
2) Propagá-lo2.1. Calcular y para cada Q (Manning)2.2. Calcular CK para cada y2.3. Calcular o tempo de viagem t =
L/CK
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
1) Montagem o hidrograma de entrada no trecho
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
2) Propagação
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
2) Propagação
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
2) Propagação
Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
• Propagação de cheias em rios
– Para escapar do trabalho com as equações completas (Saint Venant) modelos menos complexos para se propagar cheias em rios
– chamados modelos hidrológicos ou de armazenamento não levam em consideração e equação da QM
– Os modelos com equações completas modelos hidráulicos ou hidrodinâmicos
Simplificações das Equações de Saint Venant
• Equação da QM substituída por uma do tipo:
S = f (I, Q, I’, Q’)
S = kQ S = K [xI +(1- x) Q]
S = /Q
Reservatório linear simples
Muskingum SSARR
Propagação de cheias em riosmétodos hidrológicos (armazenamento)
0qtA
xQ
Não utilizam a equação dinâmica
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
Propagação de cheias em riosmétodos hidrológicos (armazenamento)
• Baseiam-se nos conceitos de prisma de armazenamento e cunha de armazenamento
Declividade da linha d’água
I ≠ O
Propagação de cheias em riosmétodos hidrológicos (armazenamento)
Continuidade
Relação
QIdtdS
Propagação de cheias em riosmétodos hidrológicos (armazenamento)
m
n
byS
ayO
m/n
1/n Qx1xIab
S
Se Qx1xIO
Muskingum
1nm e 1/na
bK
O modelo Muskingum
• Desenvolvido por McCarthy em 1938 trabalhos e controle de cheias na bacia do rio Muskingum, EUA
• Baseia-se na equação da continuidade e relações aproximadas entre o armazenamento na calha e as vazões de entrada I e saída Q
• É do tipo concentrado no espaço
Continuidade
Relação
QIdtdS
S = K[xI +(1- x)Q]
IQ
QI
Ascenção I > Q
II
IQ
I Q
Depleção Q > I
K = tempo de viagem da vazão de pico ao longo do trecho
X = fator de ponderação das vazões de entrada e saída(0 ≤ X ≤ 0,5)
Canais naturais 0 ≤ X ≤ 0,3
O modelo Muskingum
S = K[xI +(1- x)Q]
Sprisma = KQ
Scunha = Kx(I-Q)
• Tanto I quanto Q variam com o tempo para um intervalo de tempo Dt aproximados pela média aritmética dos valores do início e do fim do intervalo
• Rearranjando os termos
C1 + C2 + C3 = 1
t3t21t11t QCICICQ
2Δt
X)K(1
2Δt
X)K(1C ;
2Δt
X)K(1
2Δt
KXC ;
2Δt
X)K(1
2Δt
KXC 321
ΔtSS
2QQ
2II t1t1tt1tt
O modelo Muskingum
• K tempo médio de deslocamento da onda no trecho
• X ponderador entre as vazões de entrada e saída varia entre 0 e 0,5, com valor típico para muitas correntes naturais igual a 0,2
• K, X, It, It+1 e Qt são conhecidos
• K e t devem estar na mesma unidade, horas ou dias
O modelo Muskingum
• Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros
– C1 negativo quando t/K é menor que 2X distância entre as seções é muito grande (valor alto de K) ou intervalo de tempo é muito pequeno evitar vazões negativas subdivide-se o trecho reduz o K de cada um ou se aumenta t
O modelo Muskingum
2Δt
X)K(1
2Δt
KXC1
KΔt
X)2(1
2XKΔt
C1
• Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros
– C3 negativo t/K é maior que 2(1-X) intervalo de tempo é muito grande evitar vazões negativas diminui-se o intervalo de tempo t
O modelo Muskingum
2Δt
X)K(1
2Δt
X)K(1C3
KΔt
X)2(1
KΔt
X)2(1C3
Para que os coeficientes da equação sejam positivos
t 2KX e 0
2t
)X1(K
2t
KXC1
t X)-2K(1 e 0
2t
)X1(K
2t
)X1(KC3
5,0X0
0
0,5 X
2
K/t
1
0
Região válida
)X1(2K
tX2
Condições de estabilidade numérica
O modelo Muskingum
Faixa de validade dos parâmetros
X)2(1KΔt
2X
Romper este limite t alto reduzir
Q(t)
I(t)
Romper este limite K alto e a distância entre as seções alta criar subtrechos
O modelo Muskingum
t
I e Q
K
K Diferença entre os centros de gravidade dos hidrogramas
I
Q
I
I.t
Q
Q.tK
• Determinação dos parâmetros K e X
X escolhido, geralmente, entre 0,1 e 0,3
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
Se houver dados Tradicional Método da Laçada o volume acumulado ∑S é grafado contra a vazão ponderada xI + (1-x)Q para vários valores de X
O gráfico que mais se aproximar de uma função linear é o que prever melhor o valor de X
o coeficiente angular da reta é então o valor de K
O modelo Muskingum
S/Δt
xI+(1-x)Q
X=X1 X= Xn
tg = K
Quando a inclinação mostra várias tendências K varia com a vazão sistema é não-linear
t
SQQII
21
tS t
t1tt1t1t
S = K [xI +(1-x) Q]
Se houver dados Tradicional Método da Laçada
• Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum
• Determinação dos parâmetros K e X
o gráfico armazenamento
versus vazão
ponderada
visualização do que
ocorre na cunha
o Início da enchente aumento do armazenamento segundo um gradiente íngreme
o Após o pico diminuição do armazenamento com gradiente menor e em sentido contrário
O modelo Muskingum
Se houver dados Tradicional Método da Laçada
• Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum
Se houver dados Tradicional Método da Laçada
• Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum
Se houver dados Tradicional Método da Laçada
• Determinação dos parâmetros K e X
O melhor
KO modelo Muskingum
•Mínimos quadrados minimização quadrática da função de armazenamento
•Tende a dar maior peso aos maiores valores (vizinhança do pico)
Sc
So
Di
2ii )SO(SCD
])QI(QI[K
IQQSoISoQX
)IQ(QI
QSoISoQ)ISoQSo(QIK
222
2
222
22
• Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum
• Otimização de parâmetros Utilizar um dos métodos de otimização com restrições
• condições iniciais
I
t.I
Q
t.QK
Nash (do modelo Nash) do primeiro momento de uma função linear diferença entre os CGs
)I2mI2mQ1mQ2m(K
15,0X
2
I
I.t=m1I ;
I
I.t=m2I ;
Q
Q.t=m1Q ;
Q
t.QQ2m
22
Do segundo momento
• Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum
• Relação de momentos das funções Dooge (1982) Método considera o modelo linear e estima os parâmetros por características físicas
xSo
yo)
9
F41(3,05,0X
vo
x6,0K
2
profundidade
Declividade do fundo Distância entre montante e jusante
Número de Froude
velocidade
• Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum
Tópicos• Importância do Escoamento• Tipos de Escoamento• Equações do escoamento não permanente ou
equações hidrodinâmicas…
• Simplificações das Equações de Saint Venant…
• O método Muskingum• O método Muskingum-Cunge• O método Muskingum-Cunge-Todini
Permanente e não uniforme
• Voltando aos termos da equação dinâmica– Eles podem ser considerados como uma
representação de um gradiente ou declividade
tV
g1
-xV
gV
-xy
-SS 0f
Não permanente e não uniforme
Permanente e uniforme
O modelo de difusão
• despreza os termos de inércia do escoamento dinâmico pode ser usado onde não há grandes gradientes de velocidade
• considera os efeitos de jusante no escoamento de montante, como o próximo ao mar e confluência dos rios
• relação entre nível, vazão e declividade da linha d’água para uma seção de rio
Equação da continuidade
qx
Q
t
A
Equação dinâmica
O modelo de difusão
fo SSdxdy
O modelo de difusão
0qtA
xQ
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
)SgA(Sxy
gAx/A)(Q
tQ
fo
2
• A partir da equação dinâmica e usando Sf a partir da equação de Manning
Zy
datum
fo SSdxdy
fSdxdZ
2/3h
f AR
QnQS
Qo = vazão de escoamento sem efeito de jusanteoo /S
dxdZ
O modelo de difusão
• Positivo quando dZ/dx < 0
• Se dZ/dx = S0 (dy/dx = 0) escoamento uniforme S0 = Sf condição de onda cinemática
• Permite corrigir uma curva de descarga sujeita a efeito de jusante, função da declividade da linha d’água
• Aplicabilidade (PONCE et al., 1978) 30
yg
TSo
O modelo de difusão
oo /SdxdZ
A
B
AB
Afluente a um rio maior
Afluente ao mar ou lago
• Exemplos
O modelo de difusão
Reservatório 1Reservatório 2
Canal de ligação
Afluência da bacia 1Afluência da bacia 2
• Exemplos
O modelo de difusão
Funções da seção de um rio
h
Q
Armazenamento ou Onda Cinemática h1
Q
Para valores de h2
h1
h2
dQ
Sem remanso
Com remanso
O modelo de difusão
500000004,0 xSo
O modelo de difusão
A
B
Sem efeito de jusante
ZA – ZB > 0,2 m
Com efeito de jusante
Q0
O modelo de difusão
Q2BK
D
dydK
BKQ
c
xQ
DxQ
ctQ
2
2
2
Obtida da forma seguinte:
1)Derivando a eq. da continuidade em relação a x e a eq. Dinâmica (modelo de difusão) em relação a t
2)Trabalhando em cima da derivada e K em relação a t
20 K
QQS
xy
• Equação de convecção-difusão
O modelo de difusão
Conhecida também como equação do calor
• Equação de convecção-difusão
Os coeficientes dependem da vazão e da profundidade modelo não-linear
É necessário fornecer condições de contorno de montante e de jusante (regime subcrítico), além das condições iniciais
Pode-se utilizar diferenças finitas
O modelo de difusão
Q2BK
D
dydK
BKQ
c
xQ
DxQ
ctQ
2
2
2
Há uma forma de resolvê-la como modelo linear difusão linear•Celeridade = c•Difusividade = D•Translação e difusão•Não representa efeitos de jusante 0
0
2
2
2BSQ
D
AQ
c
xQ
DxQ
ctQ
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
AB
Q
t
Hidrograma em AHidrograma em B
• Equação de convecção-difusão
O modelo de difusão
O modelo Muskingum-Cunge
• Cunge (1980) o método Muskingum é equivalente à solução da onda cinemática com um esquema numérico de diferenças finitas
– Podemos aplicar um esquema de diferenças finitas no modelo de onda cinemática atingiremos um modelo semelhante ao Muskingum
O modelo Muskingum-Cunge
• Assim fazendo, o que descobrimos?
– Difusão da onda de cheia resultante do uso do modelo Muskingum resultado de um erro numérico dependente dos intervalos de discretização utilizados nas derivadas do tempo e do espaço
O modelo Muskingum-Cunge
• Cunge então propôs uma forma de estimar os valores de K e X para que a difusão causada pelo erro numérico se iguale à difusão real da onda de cheia
• O modelo de Muskingum passou a ser chamado modelo Muskingum-Cunge
A
B
Q
t
Hidrograma em A
Hidrograma em B
• Para uma seção em um ponto específico xo
• Derivada total da vazão
• Para uma vazão constante
• Da equação da continuidade sem vazão lateral
tQ
dQdA
tA
xo
dxQ
dtQ
dQxt
dxQ
dtQ
0xt
tQ
c1
tA
0xQ
ctQ
O modelo Muskingum-Cunge
Equação da continuidade, sem vazão lateral, transformada com base no conceito de que existe uma relação
biunívoca entre vazão e área (modelo de onda cinemática e armazenamento)
0xQ
ctQ
O modelo Muskingum-Cunge
011
1111
x
QQc
t
QQ nj
nj
nj
nj
Esquema de segunda ordem
02222
11111
111
x
QQQQ
ct
QQQQ nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
Esquema de primeira ordem
• Esquemas numéricos para a onda cinemática
O modelo Muskingum-Cunge
nj
nj
nj QCQCQ 12
10
11
CC
C
CC
1
11
2
0
x
tVC Número de Courant
011
1111
x
QQc
t
QQ nj
nj
nj
nj
• Esquema de primeira ordem
O modelo Muskingum-Cunge
nj
nj
nj
nj QCQCQCQ 121
10
11
02222
11111
111
x
QQQQ
ct
QQQQ nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
C
CC
CC
CC
1
1
11
1
2
1
0
• Esquema de segunda ordem
x
tVC Número de Courant
O modelo Muskingum-Cunge
• Arquivo Excel onda cinemática
• Ocorre difusão porque o esquema numérico não representa perfeitamente a equação
• Difusão numérica
• Exemplo onda cinemática
O modelo Muskingum-Cunge
• Onda cinemática versus equação de difusão
0x
Qc
t
Q
QB
KD
dy
dK
BK
Qc
x
QD
x
Qc
t
Q
2
2
2
2
Diferença
Cunge utilizou um esquema numérico de 4 pontos para discretizar esta equação
chegou numa equação semelhante à do modelo
Muskingum
O modelo Muskingum-Cunge
0x
Qc
t
Q
2
2
x
QD
x
Qc
t
Q
tttt QCICICQ 32111
tjt
tjt
tjt
tjt
qI
qI
1
111
11
c
xK
Modelo Muskingum equivalente a uma solução numérica da equação hiperbólica da onda cinemática
• Onda cinemática versus equação de difusão
• Onda cinemática versus equação de difusão
Diferença
O modelo Muskingum-Cunge
Δt
Δx
X X-1
j j+1
t
t+1
tjQ 1
11tjQ
tjQ
1tjQ
t
x
0x
Qc
t
Q
O modelo Muskingum-Cunge
Derivada no tempo
tt
tttt
Δ
QQX1
Δ
QQX
tQ 1j
11jj
1j
Ponderação entre duas diferenças adiantadas no tempo
0x
Qc
t
Q
O modelo Muskingum-Cunge
Derivada no espaço
Δx
ff
Δx
ff
21
xQ j1j
1j
11j
tttt
Média entre duas diferenças adiantadas no espaço
0x
Qc
t
Q
O modelo Muskingum-Cunge
0x
Qc
t
Q
2
2
x
QD
x
Qc
t
Q
Como já dito solução por métodos numéricos gera um amortecimento
artificial devido à discretização
Cunge (1969) expandiu por série Taylor os termos
numéricos
• Onda cinemática versus equação de difusão
Diferença
O modelo Muskingum-Cunge
0x
Qc
t
Q
2
2
x
QD
x
Qc
t
Q
Resultado
2
2
)5,0(x
QxcX
x
Qc
t
Q
• Onda cinemática versus equação de difusão
Diferença
O modelo Muskingum-Cunge
2
2
x
QD
x
Qc
t
Q
• Para que D seja nulo (onda cinemática) X = 0,5. Caso contrário é introduzida um amortecimento numérico
• Cunge (1980) sugeriu uma equação para o parâmetro X, onde a difusão numérica seria equivalente à difusão real:
xc)X5,0(D
ΔxcSbQ
10,5Xooo
o
ocΔx
K
• Dispersão numérica
O modelo Muskingum-Cunge
• Estas equações permitem a estimativa dos parâmetros do modelo Muskingum para que ele funcione como um modelo de difusão
ΔxcSbQ
10,5Xooo
o
ocΔx
K
As estimativas são baseadas em dados físicos do trecho
É necessária uma vazão de referência
• Dispersão numérica
O modelo Muskingum-Cunge
• Muskingum Cunge Linear (MCL) essa vazão de referência Q0 é fixa para todo o período de cálculo Tucci (2005) sugere que Q0 seja cerca 70% da vazão máxima do hidrograma de entrada no trecho
• Muskingum-Cunge Não Linear (MCNL) Q0 é calculada em cada passo de tempo de simulação. Desta forma, os parâmetros K e X também variam em cada passo de tempo várias formas esquema de 3 pontos e esquema de 4 pontos (método iterativo)
O modelo Muskingum-Cunge
• c0 pode ser obtida com base na equação de Manning por
• O uso dela está em contradição com o modelo de difusão: equação de Manning onda cinemática
• Jones (1981) analisou a precisão numérica do esquema numérico do modelo Muskingum para resolver a equação de difusão
• Apresentou relações entre K/t e X
0,60,4
0,40
0,302/3
1/3
1/20
0 nBQS
35
ynBS
35
dydQ
B1
dAdQ
c
• MCLO modelo Muskingum-Cunge
• Intervalo ajuste de uma curva que atenda as duas funções dentro de uma margem de erro de 2,5%
4,0X2,0
4,0X2,0
25,1X125,3K
t
25,132,0
Xt
K
1K/t 5,0X4,0
• MCLO modelo Muskingum-Cunge
• MCLO modelo Muskingum-Cunge
• Ajuste
A seguir roteiros para uso do modelo para os casos sem dados e com dados
• MCLO modelo Muskingum-Cunge
• Sem dados: roteiro 1 Se x é determinado em função dos dados e das características dos trechos t determinado visando à faixa de precisão das curvas e t ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada Fixe t = tp/5
Determine x com a equação
Chute inicial, adotando X = 0,3 (melhor precisão)
Adote Qo = 2/3 Imax ou ajuste
Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%) se não estiver, reavalie x
• MCL roteiros
25,1000
0
)/(1
761,0
xcSBQ
tcx
oo
o
cbS2,5Q
Δx
O modelo Muskingum-Cunge
• MCL roteiros • Sem dados: roteiro 2 Se x é determinado em função dos
dados e das características dos trechos t determinado visando à faixa de precisão das curvas e t ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada
Fixe t = tp/5 e determine x com a equação
Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%) se não estiver, reavalie x
O modelo Muskingum-Cunge
oo
o
cbS2,5Q
Δx
• Com dados x pode ser fixado em função das características físicas
ou ajustado com outros parâmetros
Utilizando a equação parâmetros de ajuste Q0 e n
Outras etapas iguais aos casos anteriores
• MCL roteiros
0,60,4
0,40
0,30
0 nBQS
35
c
O modelo Muskingum-Cunge
2
200
00 5,1115,0
cStB
Qtcx
Jones 2,08,00
00
0 8,0 xtccSB
Qx
Fread
• MCL x ideal Muskingum Cunge
O modelo Muskingum-Cunge
0,60,4
0,40
0,30
0 nBQS
35
c
Tempo(40min)
vazão de entrada
m s3 /vazão de saída
m s3 /1 20 202 30 203 60 204 90 205 100 21,16 130 27,07 115 42,28 95 63,99 80 85,910 60 103,011 40 102,412 20 92,413 20 77,214 20 59,415 20 41,9
O modelo Muskingum-Cunge
oo
o
cbS2,5Q
Δx
m568.586,1x0007,0x30
87.5,2x
s/m86,1bn
QoSo
3
5co
4,06,0
4,03,0
O modelo Muskingum-Cunge
ΔxcSbQ
10,5Xooo
o
ocΔx
K
O modelo Muskingum-Cunge
• A celeridade não é constante• Os parâmetros do método de Muskingum Cunge
deveriam variar• Celeridade varia com o nível da água ou com a
vazão
Celeridade aumenta
Celeridade diminui
• MCNL
O modelo Muskingum-Cunge
Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water Resources Research
• MCNL Evidências experimentais
O modelo Muskingum-Cunge
• Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis
• A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)
• Só o que não muda é o x
• MCNL
O modelo Muskingum-Cunge
• MCNL Qual vazão usar como referência?
3
)Q(c)Q(c)Q(c)j,t(ce
3
QQQ)j,t(Qo
t1j
1tj
tj
t1j
1tj
tj
))j,t(Qo(c)j,t(ce3
QQQ)j,t(Qo
t1j
1tj
tj
4
)Q(c)Q(c)Q(c)Q(c))j,t((ce
4
QQQQ)j,t(Qo
1t1j
t1j
1tj
tj
1t1j
t1j
1tj
tj
))j,t(Qo(c))j,t((ce4
QQQQ)j,t(Qo
1t1j
t1j
1tj
tj
iterativos
O modelo Muskingum-Cunge
O modelo Muskingum-Cunge-Todini• MCT fazer resumo do artigo
PONTES, P. R. M. ; COLLISCHONN, W. . Conservação de volume em modelos simplificados de propagação de vazão. Revista Brasileira de Recursos Hídricos, v. 17, n.4. p. 83-96, 2012.
Contribuição lateral
O tratamento do escoamento em rios pelos modelos anteriores resolve somente o fluxo na calha
Mas o hidrograma de jusante recebe um volume correspondente à vazão lateral (Qlat)
Tem que ser avaliada a importância da contribuição lateral
J
M
Contribuiçãolateral
Propagação
Contribuição lateral
• Avaliação da influência (ajuste e verificação)
tomar eventos na seções de montante e de jusante do trecho calcular os volumes: hidrograma de montante (Vm) e de jusante (Vj)
t
ttt
n
1j QΔV
t
ttt
n
1m IΔV
nt número de intervalos de tempo
Vi = Vj – Vm
Contribuição lateral
100
VV
100V
VV(%)P
j
i
j
mji
• Avaliação da influência (ajuste e verificação)
Dados os hidrogramas (entrada e saída) observados influência da Qlat no hidrograma de saída pode ser verificada por:
Para valores de Pi < 15% influência da Qlat tende a ser pequena deslocamento da onda do rio é o processo principal
Caso contrário (há Qlat significativa) procedimento a seguir
Contribuição lateral
100PQ
Q iJusanteLateral
hidrograma do períodoV
Q iLateral
• Avaliação da influência (ajuste e verificação)
Qlat significativa pode-se adotar uma distribuição uniforme para a contribuição lateral (vazão lateral constante ao longo do evento):
Obtida na verificação
anterior
Contribuição lateral
estimadaLateral
dadosJusante
*Jusante QQQ
100
PQQQ idados
JusantedadosJusante
*Jusante
100
P1QQ idados
Jusante*Jusante
• Avaliação da influência (ajuste e verificação) Vazão de jusante sem contribuição num tempo t
qualquer
Contribuição lateral
• Prognóstico Quando não é conhecido o hidrograma de jusante contribuição lateral: estimada com base nos valores de Pi (de eventos anteriores registrados) e do hidrograma de montante:
estimadaLateral
dadosJusante
*Jusante QQQ
100
PQ idados
Jusante
100
P1QQ idados
Jusante*Jusante
Contribuição lateral
• Prognóstico E quando não se tem eventos a jusante e sabemos
que a contribuição lateral é importante?
J
M
Contribuiçãolateral
Propagação
Pode-se utilizar proporção de área com dados de contribuintes, que tenham dados, julgados representativos
Contribuição lateral
Determine o valor do parâmetro K do método de Muskingun, considerando o seguinte evento observado
Tempo I Qdia m³/s m³/s1 101 1042 123 1093 408 3564 627 6045 563 6506 393 5167 163 2468 127 1449 116 12310 107 11411 106 107
• Exercício
Planilha - Exemplo 12.3 Tucci
Contribuição lateral
Modelos de reservatórios
Tópicos• Importância do Escoamento• Tipos de Escoamento• Equações do escoamento não permanente ou equações
hidrodinâmicas– Equação da continuidade– Equação da quantidade de movimento ou equação
dinâmica• Simplificações das Equações de Saint Venant
– Onda cinemática– Propagação de cheias em rios
• O método Muskingum• O metodo de Pulz - reservatórios
• Linha d’água horizontal, grande profundidade e velocidade baixa
• velocidade baixa termos dinâmicos são desprezíveis perto da grande variação de armazenamento
• Simula-se a propagação de vazão com a equação da continuidade concentrada
Escoamento em reservatórios
QIdt
dS
QIdt
dS
0dt
dSQI
maxSS
Escoamento em reservatórios
Já vimos
Simula a propagação na bacia de detenção com três equações: Equação da continuidade: dS/dt = I - Q Função de armazenamento: S = f(Q) Equação do controle hidráulico: Q = f(H)
Necessário o emprego de métodos numéricos O hidrograma de entrada I pode assumir diferentes formas a equação dinâmica de propagação S = f(Q) é quase sempre não linear
Método de Pulz
Equação da continuidade
QIdt
dS
2
2
II
Δt
SS 1tt1ttt1t
Δt
2SQII
Δt
2SQ t
t1tt1t
1t
Variáveis conhecidasIncógnitas
1 equação e 2 Incógnitas equação adicional:Q = f(S/t)
Método de Pulz
Relação volume x vazão
Q
Função auxiliar
Construídas a partir da curva cota x S e cota x Q saída pelas estruturas hidráulicas
Q = f(S/t)
S/t
Q = f1(Q + 2.S/t)
Δt
2SQII
Δt
2SQ t
t1tt1t
1t
Método de Pulz
1. Estabeleça as condições iniciais So (volume inicial) calcular Q0 = f(S0/t) no gráfico Q = f(S/t);2. Calcule o valor G = lado direito da equação acima 3. Este valor é igual a f1t+1 = lado esquerdo da equação
acima4. No gráfico Q = f1(Q + 2S/t) determinar Qt+1 e St+1
5. Repete-se os itens 2 a 4 até o último intervalo de tempo
Δt
2SQII
Δt
2SQ t
t1tt1t
1t
Gf1
Método de Pulz
Metodologia
Δt
2SQII
Δt
2SQ t
t1tt1t
1t
Gf1Tempo It
1 I0
2 I1
3 I2
... ...
Δt
2SQIIG 0
0101 1f1 11 S e Q
Δt
2SQIIG 1
1212 2f1 22 S e Q
Δt
2SQf1 1
11 Da curva Q = f(S/t)111 Qf1
Δt
2S
Método de Pulz
Metodologia
Q=f(S/T) Q=f1(Q+2S/T)
S/t
Δt
2SQII
Δt
2SQ t
t1tt1t
1t
Cálculo de G com o hidrograma de entrada
G = f1
Q
Metodologia
f e f1 f1
Método de Pulz
Curva Q = f(S)Curva cota x volume (armazenamento)
Batimetria do reservatório ou projeto (reservatório de geometria regular)
Método de Pulz
Sistema WGS 84Diferença +/- 5 m
Método de Pulz
Cota: 6,5 mÁrea inundada: 32 haVolume: 0,1 Hm3
Vazão regularizada: ?
Método de Pulz
Cota: 7 mÁrea inundada: 200 haVolume: 0,7 Hm3
Vazão regularizada: ?
Método de Pulz
Cota: 8 mÁrea inundada: 815 haVolume: 5,7 Hm3
Vazão regularizada: 1,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 9 mÁrea inundada: 1.569 haVolume: 17,6 Hm3
Vazão regularizada: 1,5 m3/s
Método de Pulz
Cota: 10 mÁrea inundada: 3.614 haVolume: 43,6 Hm3
Vazão regularizada: 3,5 m3/s
Método de Pulz
Cota: 11 mÁrea inundada: 7.841Volume: 101 Hm3
Vazão regularizada: 5,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 12 mÁrea inundada: 10.198 haVolume: 191 Hm3
Vazão regularizada: 7,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 13 mÁrea inundada: 12.569 haVolume: 305 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 14 mÁrea inundada: 14.434 haVolume: 440 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
Método de Pulz
Cota: 15 mÁrea inundada: 16.353 haVolume: 594 Hm3
Vazão regularizada: 8,5 m3/s
Método de Pulz
2gΔgAC'Q3/2w )ZCL(ZQ
Curva cota x vazão de saída função do tipo de dispositivo hidráulico usado na saída (orifício, vertedor, etc.)
Método de Pulz
Curva Q = f(S)
z z
S Q
z1
z1
S1 Q1
S
QQ1
S1
Método de Pulz
Curva Q = f(S)
Estruturas de saída
Método de Pulz
Método de Pulz
Estruturas de saída
Método de Pulz
Estruturas de saída
• Qual a relação cota x vazão de saída da estrutura abaixo?
Equação de orifício
hg2acQ
Equação de vertedor
2
3
HLcQ
Método de Pulz
Estruturas de saída
Para a cota 561’ h = 0,83’
cfs 0,390,8332,220,0870,62hg2acQ
Método de Pulz
Estruturas de saída
Método de Pulz
Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 25 m de comprimento de soleira, esta na cota 120 m, considerando tabela cota-volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentados abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m.
Cota (m) Volume (104 m3)
115 1900
120 2000
121 2008
122 2038
123 2102
124 2208
125 2362
126 2569
127 2834
128 3163
129 3560
130 4029
Método de Pulz - exemplo
Hidrograma de entrada no reservatório
Tempo (h) Vazão (m3.s-1)
0 0
1 350
2 720
3 940
4 1090
5 1060
6 930
7 750
8 580
9 470
10 380
11 310
12 270
13 220
14 200
15 180
16 150
17 120
18 100
19 80
20 70
Método de Pulz - exemplo
O primeiro passo criar uma tabela relacionando a vazão de saída com a cota. Considerando um vertedor livre, com coeficiente C = 1,5 e soleira na cota 120 m, a relação é dada por:
ver tabela
23
HLCQ
H (m) Q (m3/s)
120 0.0
121 37.5
122 106.1
123 194.9
124 300.0
125 419.3
126 551.1
127 694.5
128 848.5
129 1012.5
130 1185.9
Método de Pulz - exemplo
Esta tabela pode ser combinada à tabela cota – volume, acrescentando uma coluna com o valor do termo 2.S/t+Q, considerando o intervalo de tempo igual a 1 hora:
Método de Pulz - exemplo
No primeiro intervalo de tempo o nível da água no reservatório é de 120 m, e a vazão é zero. O volume acumulado (S) no reservatório é 2000.104 m3. O valor 2.S/t+Q para o primeiro intervalo de tempo é 11111 m3.s-1. Para cada intervalo de tempo seguinte a vazão de saída pode ser calculada pelos passos do método.
Ver planilha PulsExemploSlides.xls
Método de Pulz - exemplo
Q=f(S/T) Q=f1(Q+2S/T)
S/t
Δt
2SQII
Δt
2SQ t
t1tt1t
1t
Cálculo de G com o hidrograma de entrada
G = f1
Q
Metodologia
f e f1 f1
Método de Pulz - exemplo
Δt
2SQII
Δt
2SQ t
t1tt1t
1t
Gf1Tempo It
1 I0
2 I1
3 I2
... ...
Δt
2SQIIG 0
0101 1f1 11 S e Q
Δt
2SQIIG 1
1212 2f1 22 S e Q
Δt
2SQf1 1
11 Da curva Q = f(S/t)111 Qf1
Δt
2S
Metodologia
Método de Pulz - exemplo
• O cálculo de propagação de vazões em reservatórios, como apresentado neste exemplo, pode ser utilizado para dimensionamento de reservatórios de controle de cheias, e para análise de operação de reservatórios em geral. Mediante algumas adaptações, pode ser aplicado para reservatórios com vertedores controlados por comportas e para outras estruturas de saída
• Limitações: métodos como este (level-pool routing) são menos exatos quando o comprimento do reservatório aumenta, a profundidade média do reservatório decresce e o tempo de ascenção do hidrograma decresce.
Método de Pulz - exemplo
Determine a capacidade de um reservatório amortecer uma cheia, considerando que o volume inicial do reservatório deve garantir uma demanda de irrigação de 0,1 m3/s e 60 dias a demanda de abastecimento (0,2 m3/s). Considere também as seguintes relações:
Cota Volume Vertedor D. Fundom 10^6 (m³) m³/s m³/s
319 0.01 0 0320 0.5 0 0321 0.8 0 2322 2 0 4323 2.5 5 13324 4 18 32325 7 32 60326 10 50 70
Tempo Vazão de entrada(12 hrs) (m³/s)
1 102 153 304 705 506 357 258 189 1010 10
Método de Pulz – exemplo 2
Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 10 m de comprimento de soleira, com a soleira na cota 120 m, considerando a seguinte tabela cota–volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentado na tabela abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m
Exercícios PulsCota (m) Volume (104 m3)
115 0
120 100
121 118
122 168
123 262
124 408
125 562
126 869
127 1234
128 2263
129 3000
130 4000
Método de Pulz – exemplo 3
Hidrograma de entrada no reservatório.
Tempo (h) Vazão (m3.s-1)
0 0
1 350
2 720
3 940
4 1090
5 1060
6 930
7 750
8 580
9 470
10 380
11 310
12 270
13 220
14 200
15 180
16 150
17 120
18 100
19 80
20 70
Qual deveria ser o comprimento do vertedor para que a vazão de saída não superasse 600 m3/s?
Método de Pulz – exemplo 3