3. Cinematica

3.1. Profondità di un pozzo ??

Per determinare la profondità di un pozzo si lancia un sasso al suo interno, e si misuradopo quanto tempo si sente il suono dell’urto sul fondo. Detta vs = 340 m/s la velo-cità del suono e τ = 2 s il tempo misurato determinare tale profondità. Che errore sicommette trascurando l’effetto della velocità finita del suono?

Soluzione

Il tempo τ è dato dalla somma del tempo di caduta τc per il sasso e del tempo impiegatodal suono τs per tornare all’osservatore. La caduta avviene, trascurando gli attriti, conmoto uniformemente accelerato quindi

h =12

gτ2c

cioè

τc =

√2hg

Il suono si muove con velocità costante, quindi

τs =hvs

Il tempo misurato sarà dunque

τ = τc + τs =

√2hg

+hvs

Questa è un’equazione di secondo grado nell’incognita√

h

h +

√2v2

sg

√h− vsτ = 0

che ammette come unica soluzione accettabile (perché positiva)

√h = −

√v2

s2g

+

√v2

s2g

+ vsτ =τ√

g/212 +

12

√1 + 2gτ

vs

(3.1.1)

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3.1. PROFONDITÀ DI UN POZZO ??

Sostituendo i valori numerici abbiamo

τ√

g/2 ' 4.43 m1/2

12+

12

√1 +

2gτ

vs' 1.03

e quindi h = 18.5 m. Trascurare la velocità finita del suono equivale a porre uguale a 1 ildenominatore della Eq. (3.1.1), e quindi ad una correzione del 6%.

34 versione del 13 marzo 2015