progetto & implementazione di filtri analogici alla …bernardi/didattica/sis/lucidi/...8...

Progetto & Implementazionedi Filtri Analogicialla mia maniera

Riccardo Bernardini

16 aprile 2013

Indice

1 Introduzione 51.1 Che e ’sta roba? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 AVVERTENZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Nozioni preliminari 72.1 Filtri a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Ordine di un filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Filtri a fase lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Generalita sul progetto di filtri 93.1 Il problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Classi di filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Parametrizzazione dei filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Frequenza di taglio convenzionale fc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Invarianza di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.1 Normalizzazione delle specifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Decadimento in banda di transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4.1 Derivata in fc = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Classi di filtri 154.1 Filtri di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Filtri di Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.2 Procedura di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.3 Diagramma poli-zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Filtri di Chebyshev-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.1 Procedura di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2 Posizione dei poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 Filtri di Chebyshev-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4.2 Procedura di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4.3 Posizione di poli e zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5 Filtri Ellittici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5.2 Procedura di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5.3 Disposizione di zeri a poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Implementazione 295.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Blocchi del second’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.2 Fattore di qualita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

4 INDICE

5.2 Filtri a soli poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.1 Struttura di Sallen-Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.2 Struttura a feedback multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Filtri con poli e zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3.1 Implementazione a variabili di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A Prove 37A.1 Esempio bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

B Soluzioni 39B.1 Sallen-Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39B.2 Feedback multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Che e ’sta roba?

La teoria dei filtri analogici assume una certa importanza anche in alcuni aspetti dell’elaborazione nume-rica dei segnali quali la progettazione di filtri IIR, l’uso del sovracampionamento nella conversione A/De D/A e le varie forme implementative. Poiche il libro di testo da me adottato tratta solo superficialmenteil progetto e l’implementazione dei filtri analogici, ho deciso di scrivere questi appunti.

1.2 AVVERTENZA

NOTA:

Questo documento e solo la prima bozza del documento finale, non avendo avuto ancora iltempo di rileggerlo con calma. Nonostante cio, il documento viene messo a disposizionedegli studenti, nella speranza che possa essere un utile riferimento per lo studio. Poiche ildocumento e ancora allo stato di bozza, non e escluso che siano presenti errori di battitura olievi incongruenze nella notazione. Si consiglia quindi allo studente di prestare attenzionee, in caso di dubbio, rivolgersi al docente.

Versioni aggiornate del documento saranno messe sul sito non appena pronte.

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6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Capitolo 2

Nozioni preliminari

2.1 Filtri a tempo continuo

Ogni filtro a tempo continuo praticamente realizzabile e caratterizzato da avere, nel dominio di Laplace,una funzione di trasferimento razionale

H(s) =∑

Nn=0 bnsn

∑Kk=0 aksk

(2.1)

La corrispondente risposta in frequenza H : R→ C la si ottiene “andando a leggere” la (2.1) sull’asseimmaginario, ossia

H( f ) = H( j2π f ) (2.2)

Considerazioni fisiche implicano, inoltre, che la funzione razionale (2.1) sia propria, ossia il grado Ndel numeratore sara sempre strettamente minore del grado del denominatore K. Se cosı non fosse, larisposta in frequenza H( f ) del filtro diventerebbe arbitrariamente grande al tendere di f ad infinito, unrisultato fisicamente impossibile.

2.1.1 Ordine di un filtro

Dato un filtro a tempo continuo con funzione di trasferimento (2.1), definiremo il suo ordine come ilgrado K del denominatore, o, equivalentemente, come il numero dei poli della funzione di trasferimento.Vedremo piu avanti che l’ordine di un filtro e una misura della complessita implementativa del filtrostesso.

2.2 Filtri a fase lineare

Un filtro con funzione di trasferimento H(s) si dice a fase lineare se la fase della sua risposta in frequenzaH( jω) e funzione lineare di ω , ossia

H( jω) = Kω, ∃K (2.3)

Per capire perche la (2.3) sia interessante, si supponge la (2.3) verificata e si supponga di alimentare ilfiltro con l’ esponenziale complesso exp( jωt). L’uscita risulta essere

H( jω)exp( jωt) = |H( jω)|exp( j H( jω))exp( jωt)

= |H( jω)|exp[

jω(

t +H( jω)

ω

)](2.4)

Dalla (2.4) si vede che l’esponenziale complesso exp( jω) viene traslato dal filtro di una quantita pari a

τφ (ω) =− H( jω)

ω(2.5)

7

8 CAPITOLO 2. NOZIONI PRELIMINARI

0 10 20 30 40 50 60−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Confronto tra risposte impulsive

Fase lineare

Fase minima

0 20 40 60 80 100 120 140−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Azione su un rect

Input

Fase lineare

Fase minima

(a) (b)

Figura 2.1:

Tale quantita e nota come ritardo di fase del filtro alla frequenza ω .Se il filtro e a fase lineare, il ritardo di fase (2.5) non dipende dalla frequenza e tutte le componenti

del segnale vengono traslate della stessa quantita. Se il filtro non e a fase lineare, il valore (2.5) dipendeda ω e componenti a frequenze diverse vengono traslate di quantita diverse, causando uno “slittamento”tra le componenti e, tipicamente, una distorsione della “forma” del segnale.

Esempio 2.2.1La Fig. 2.1a mostra le risposte impulsive di due filtri FIR aventi uguale modulo della trasformata di Fourier,ma diverse fasi. In particolare, la risposta impulsiva mostrata con linea continua e un filtro a fase lineare,mentre la risposta impulsiva mostrata con linea a tratti e a fase minima, ossia ha tutti i suoi zeri all’internodella circonferenza di raggio unitario. (Il filtro a fase minima e stato ottenuto a partire dal filtro a fase linearesostuendo ogni zero in modulo maggiore di uno con il suo inverso).

La Fig. 2.1b confronta l’effetto dei due filtri su un “rect.” Si osservi come il filtro a fase lineare distorcameno l’impulso rettangolare di suo “cugino” a fase minima; per contro, il filtro a fase minima e piu “pronto”a rispondere.

Si osservi che un filtro e a fase lineare se e solo se il ritardo di gruppo

τg(ω)def= −dφ(ω)

dω(2.6)

non dipende da ω .

Capitolo 3

Generalita sul progetto di filtri

3.1 Il problema

In questi appunti ci concetreremo principalmente sul progetto di filtri passa-basso. Le specifiche delfiltro saranno supposte date attraverso le equazioni

|H( f )| ∈ [1−δP,1] f ∈ [0,FP] (3.1a)

|H( f )| ≤ δA f ≥ FA (3.1b)

Nella (3.1) H : R→ C e la risposta in frequenza del filtro da progettare, δP rappresenta la tolleranzain banda passante, δA rappresenta la tolleranza in banda attenuata, FP rappresenta la fine della bandapassante, FA > FP rappresenta l’inizio della banda attenuata, l’intervallo di frequenze [FP,FA] e notocome banda di transizione.

Il problema di progettarre un filtro analogico puo essere riassunto come segue:

Problema 1. Dati i vincoli (3.1) trovare la funzione di trasferimento razionale H : C→ C di ordineminimo tale che la corrispondente risposta in frequenza H( f ) = H( j2π f ) soddisfi le (3.1).

3.2 Classi di filtri

Poiche una funzione razionale e univocamente indentificata dai suoi coefficienti, al giorno d’oggi ilproblema 1 potrebbe essere risolto per via numerica.

L’elettronica analogica pero predata di molto l’avvento del calcolatore e fino a non moltissimi an-ni fa gli unici strumenti a disposizione di un ingegnere erano carta, penna e. . . regolo. Poiche contali strumenti l’implementazione di procedure iterative di ottimizzazione non e molto comoda, si sonosviluppate tecniche di progetto basate su “classi” di filtri (Bessel, Butterworth, Chebyshev ed Ellittici)parameterizzate da un numero limitato di valori.

Tutte le classi godono della proprieta che le risposte in frequenza dei filtri appartenti ad una certaclasse possono essere espresse nella forma

|H( f )|2 = 1QN( f/ fc)

(3.2)

dove QN e una funzione razionale di grado N e fc puo essere interpretata come una “frequenza ditaglio” convenzionale del filtro. La forma precisa della funzione QN dipende dalla classe del filtro e, in

9

10 CAPITOLO 3. GENERALITA SUL PROGETTO DI FILTRI

particolare, si ha

QN(x) =(

θN(x)θN(0)

)2

Filtri di Bessel (3.3a)

QN(x) = 1+ x2N Filtri di Butterworth (3.3b)

QN(x) = 1+ ε2T 2

N (x) Filtri di Chebyshev (tipo 1) (3.3c)

QN(x) = 1+1

ε2T 2N (1/x)

Filtri di Chebyshev (tipo 2) (3.3d)

QN(x) = 1+ ε2R2

N(ξ ,x) Filtri Ellittici,ξ ≥ 1 (3.3e)

doveTN(x) = cos(N arccosx) (3.4)

e il polinomio di Chebyshev di grado N,

θN(x) =N

∑k=0

(2N− k)!2N−k k!(N− k)!

xk (3.5)

e il polinomio di Bessel di grado N e RN e la funzione razionale ellittica definita da

RN(ξ ,x) = cd(N B(ξ ) cd−1(x,1/ξ ),1/LN(ξ )

)(3.6a)

B(ξ ) =K(1/LN(ξ ))

K(1/ξ )(3.6b)

LN(ξ ) = min|x|≥1|RN(ξ ,x)|= RN(ξ ,ξ ) (3.6c)

dove cd e una funzione ellittica di Jacobi e K e un integrale ellittico di prima specie.

Commento 3.2.1La funzione TN in (3.4) puo a prima vista non somigliare molto ad un polinomio. In realta puo essere scrittain forma polinomiale sfruttando le formule di duplicazione del coseno. Un modo per dimostrare che TN e unpolinomio e ricavare dalla (3.4) la relazione ricorrente

T0(x) = 1 (3.7a)T1(x) = x (3.7b)TN(x) = 2xTN−1(x)−TN−2(x) N ≥ 2 (3.7c)

Commento 3.2.2Nonostante l’aspetto particolarmente complesso, si osservi che la definizione di RN ricorda quella del poli-nomio di Chebyshev TN , ma con la funzione cd nel ruolo del coseno.

Ogni classe di filtri ha caratteristiche particolari che la rende adatta in certi contesti applicativi piut-tosto che in altri. In questi appunti ci concentreremo principalmente sui filtri di Bessel, Butterworth eChebyshev.

3.2.1 Parametrizzazione dei filtri

Si osservi che

• I filtri di Butterworth e Bessel hanno come parametri solo l’ordine N del filtro e la frequenzaconvenzionale di taglio fc

• I filtri di Chebyshev hanno l’ulteriore parametro ε che, vedremo in seguito, e legato alla massimaattenuazione in banda passante (per i filtri di tipo 1)

• I filtri ellittici hanno due parametri aggiuntivi: ε (che gioca un ruolo analogo al parametro ε deifiltri di Chebyshev) e ξ ≥ 1.

3.3. INVARIANZA DI SCALA 11

3.2.2 Frequenza di taglio convenzionale fc

Tutte le classi, con l’unica eccezione dei filtri di Bessel, godono della proprieta che QN(1) = 1 per ogniN. Dalla definizione (3.2) deduciamo quindi che |H( fc)| non dipende da N ed, in particolare,

|H( fc)|2 =12

Butterworth (3.8a)

|H( fc)|2 =1

1+ ε2 Chebyshev-I (3.8b)

|H( fc)|2 =ε2

ε2 +1Chebyshev-II (3.8c)

|H( fc)|2 =1

1+ ε2 Ellittici (3.8d)

Si osservi come nei filtri di Butterworth alla frequenza fc il filtro attenui 3 dB, mentre per i filtri diChebyshev-I e i filtri ellittici il filtro attenui 1/

√1+ ε2. Poiche per ε piccolo 1/

√1+ ε2 e vicino ad 1,

fc nei filtri di Chebyshev-I ed ellittici puo essere interpretata come frequenza di fine banda passante. Perquanto riguarda i filtri Chebyshev-II si ha invece che ε/

√1+ ε2 e vicino a zero quando ε e piccolo e per

questo motivo possiamo interpretare fc come inizio della banda attenuata.

3.3 Invarianza di scala

Il fatto che la frequenza di taglio convenzionale fc agisca come un fattore di scala nella (3.2) implicache le classi di filtri sono invarianti alla scala nel senso che se G( f ) appartiene ad una certa classedi filtri (ossia, e la risposta in frequenza di un filtro appartenente ad una certa classe) allora ancheGα( f ) def

= G(α f ) appartiene alla stessa classe. Una conseguenza importante di tale invarianza di scala ela seguente proprieta la cui prova e riportata in Appendice A

Proprieta 1.

Hypothesis: Siano S = [FP,FA,δP,δA] e Sρ = [ρFP,ρFA,δP,δA] due insiemi di specifiche con le stessetolleranze (δP e δA) e con uguale rapporto tra frequenza di inizio banda attenuata e fine banda passante.Si fissi una qualsiasi classe C di filtri e sia H(s) la funzione di trasferimento del filtro di ordine minimoappartenente alla classe C e che soddisfa le specifiche S .

Thesis: La funzione di trasferimento del filtro di ordine minimo appartanente alla classe C e chesoddisfa le specifiche scalate Sρ e

Hρ(s) = H(s/ρ) (3.9)

Dal fatto che Hρ e H hanno lo stesso ordine, segue immediatamente un interessante corollario.

Corollario 1. Il costo implementativo di un filtro appartenente ad una classe C dipende dalle fre-quenze FP e FA solo attraverso il loro rapporto FA/FP o, equivalentemente, dall’ampiezza logaritmicalog(FA/FP) = logFP− logFA della banda di transizione.

Esempio 3.3.1A parita di tolleranze, il costo di implementare un filtro con FP = 100 Hz e FA = 200 Hz e pari al costo diimplementare un filtro con FP = 100 kHz e FA = 200 kHz.

3.3.1 Normalizzazione delle specifiche

La proprieta di invarianza di scala e interessante perche permette di “normalizzare” ogni problema diprogetto di filtro riscalando le specifiche in modo da avere una particolare frequenza (es. la frequenza difine banda passante) pari ad 1.


Commento 3.3.1Tale osservazione e particolarmente interessante per i filtri di Bessel e Butterworth i cui unici parametri sonol’ordine e la frequenza di taglio convenzionale fC. Se, grazie alla normalizzazione, ci riconduciamo al casofc = 1, e possibile tabulare i filtri per ogni ordine N di interesse pratico.

Una volta ottenuta la soluzione H(s) al problema di progetto normalizzato, e possibile ottenere lasoluzione al problema originale applicando il riscalamento (3.9). Come il riscalamento venga effettuatodipende dalla forma in cui si presenta H(s), piu precisamente

• Se H(s) e data come rapporto di polinomi

H(s) =∑

Nn=0 bnsn

∑Kk=0 aksk

(3.10)

usando la (3.9) nella (3.10) otteniamo

Hρ(s) = H(s/ρ) =∑

Nn=0 bn(s/ρ)n

∑Kk=0 ak(s/ρ)k

=∑

Nn=0(bn/ρn)sn

∑Kk=0(ak/ρk)sk

(3.11)

Ossia, se ak e bn sono i coefficienti di H, i coefficienti di Hρ possono essere ottenuti dividendo ake bk per ρk.

• Se H e data in forma di poli e zeri

H(s) = K∏n(s− zn)

∏k(s− pk)(3.12)

usando la (3.9) nella (3.12) si ottiene

Hρ(s) = H(s/ρ) = K∏

N−1n=0 (s/ρ− zn)

∏K−1k=0 (s/ρ− pk)

= KρK−N ∏

N−1n=0 (s−ρzn)

∏K−1k=0 (s−ρ pk)

(3.13)

Si osservi che il diagramma di poli-zeri di Hρ e una versione scalata di ρ del diagramma di H.

• Infine, se H e data come prodotto di termini del second’ordine

H(s) = ∏m

bm,2s2 +bm,1s+bm,0

am,2s2 +am,1s+am,0(3.14)

si ricava immediatamente la corrispondente forma per Hρ

Hρ(s) = H(s/ρ) = ∏m

(bm,2/ρ2)s2 +(bm,1/ρ)s+bm,0

(am,2/ρ2)s2 +(am,1/ρ)s+am,0(3.15)

Per motivi che saranno chiari piu avanti, le tabelle di filtri normalizzati a fc = 1 riportano lefunzioni di trasferimento nella forma (3.14).

3.4 Decadimento in banda di transizione

E interessante analizzare la velocita di decadimento della risposta in frequenza all’interno della bandadi transizione in un generico filtro a N poli. Richiamiamo a tale scopo le regole per il tracciamento deldiagramma di Bode approssimato per un sistema con funzione di trasferimento razionale: il diagramma edisegnato come una funzione lineare a tratti in cui ogni polo pi introduce un “ginocchio” alla pulsazione|pi|, in corrispondenza del “ginocchio” la pendenza diminuisce di 20 dB/decade e ogni zero zi introduceun “ginocchio” alla pulsazione |zi|, in corrispondenza del quale la pendenza aumenta di 20 dB/decade.

3.4. DECADIMENTO IN BANDA DI TRANSIZIONE 13

Un “tipico” filtro passa basso ha tutti i poli all’interno della banda passante (ossia, |pi|< fp per ognipolo pi) e tutti gli zeri all’interno della banda attenuata. Ne deduciamo che all’interno delle frequenzedella banda di transizione il diagramma di Bode approssimato avra una pendenza di −20N dB/decade,dove N e il numero di poli. Definendo Rp =−20log10(1−δP) e RA =−20log10 δA la massima/minimaattenuazione in banda passante/attenuata espressa in dB, possiamo scrivere la pendenza (in dB/decade)richiesta al filtro in banda di transizione come

RA−RP

log10( fA/ fP)(3.16)

il numero minimo di poli e quindi

N ≥ 120

RA−RP

log10( fA/ fP)(3.17)

Si osservi che

• Il secondo termine di (3.17) dipende da fA e fP solo attraverso il loro rapporto fA/ fP, concorde-mente con quanto osservato in § 3.3.

• La stima (3.17) e approssimata in quanto suppone che il filtro passi da pendenza nulla a−20N dB/decadealla frequenza fA. In realta i filtri usati in pratica hanno un “transitorio” in cui passano da una pen-denza quasi nulla in banda passante alla pendenza “di regime”−20N dB/decade. La durata di taletransitorio puo avere un effetto importante sul numero di poli necessario.

3.4.1 Derivata in fc = 1

Per avere un’idea della “velocita di decadimento” durante il transitorio e utile considerare la pendenza indB/decade del modulo della risposta in frequenza del filtro “prototipo” alla sua frequenza di riferimentofc = 1.

Sia λ = log10( f ). Vogliamo calcolare la derivata in λ = 0 della funzione

20log10 H(10λ ) =−10log10 QN(10λ ) (3.18)

Poiche noi saremo interessati unicamente a come varia la pendenza in λ = 0 al variare di N, possiamoignorare il fattore costante −10 in (3.18) e considerare solo il logaritmo di QN(10λ ). Si ha

ddλ

log10 QN(10λ ) =1

log(10)QN(10λ )Q′N(10λ )

[log(10)10λ

]=

Q′N(10λ )10λ

QN(10λ )

(3.19)

Calcolando la (3.19) in λ = 0 si ottiene

ddλ

log10 QN(10λ ) =Q′N(1)QN(1)

(3.20)

Poiche nei filtri di Butterworth e Chebyshev QN(1) non cambia con N, e poiche siamo interessati uni-camente a come varia la (3.20) con N, possiamo ignorare il fattore QN(1) e considerare unicamente iltermine Q′N(1).

Capitolo 4

Classi di filtri

In questo capitolo trattiamo brevemente ogni classe di filtri, descrivendone brevemente le caratteristicheprincipali e dando indicazioni circa la corrispondente procedura di progetto.

4.1 Filtri di Bessel

I filtri di Bessel sono filtri a soli poli caratterizzati da avere fase massimamente lineare. Piu precisamente,il filtro prototipo di Bessel di ordine N e definito come il filtro che ha ritardo di gruppo unitario nell’o-rigine τg(0) = 1 e ritardo di gruppo massimimamente piatto nell’origine nel senso che ha il maggiornumero di derivate dnτg/d f n che si annullano nell’origine.

Commento 4.1.1Si osservi che poiche la fase e una fuzione dispari di ω , il ritardo di gruppo e una funzione pari e quindile derivate di ordine dispari del ritardo di gruppo si annullano automaticamente. Dobbiamo quindi imporrednτg/d f n(0) = 0 solo per n pari.

Si supponga di voler calcolare il filtro di Bessel di ordine N con ritardo unitario in ω = 0 (ossia,τg(0) = 1).1. A tal fine si scriva la generica funzione di trasferimento di un filtro di ordine N a soli poli

H(s) =1

sN +aN−1sN−1 + · · ·+a1s+a0=

1

∑Nn=0 snan

(4.1)

dove abbiamo supposto (senza perdita di generalita) aN = 1. Per calcolare la fase di H( jω) si osserviche

H( jω) =1

∑Nn=0 jnωnan

=1

∑k(−1)kω2ka2k + j [∑`(−1)`ω2`+1a2`+1](4.2)

La fase di H( jω) e chiaramente l’opposto della fase del denominatore di (4.2) che, per nostra comodita,e gia diviso in parte reale ed immaginaria. Ne segue

H( jω) =−arctan(

∑`(−1)`ω2`+1a2`+1

∑k(−1)kω2ka2k

)=−arctan

(B(ω)

A(ω)

)(4.3)

dove, per comodita di notazione, abbiamo chiamato B e A i polinomi a numeratore e denominatorenell’argomento dell’arcotangente. Il ritardo di gruppo lo si ottiene differenziando (4.3) rispetto ad ω

τg(ω) =1

1+ B2(ω)A2(ω)

B′(ω)A(ω)−B(ω)A′(ω)

A2(ω)

=A2(ω)

A2(ω)+B2(ω)

B′(ω)A(ω)−B(ω)A′(ω)

A2(ω)

=B′(ω)A(ω)−B(ω)A′(ω)

A2(ω)+B2(ω)

(4.4)

1Il filtro con ritardo non unitario lo si ottiene semplicemente riscalando il filtro con τg(0) = 1

15

16 CAPITOLO 4. CLASSI DI FILTRI

10−2

10−1

100

101

102

103

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

10−2

10−1

100

10−2

10−1

100

(a) (b)

Figura 4.1: (a) Modulo della risposta in frequenza di filtri di Bessel di ordine 3, 5, 7 e 9. (b) Ingradimentodi (a) in corrispondenza della banda di transizione.

Si osservi come τg(ω) sia una funzione razionale in ω . Il nostro scopo e di annullare il maggior numeropossibile di derivate di τg nell’origine. Si osservi che poiche la fase e una funzione dispari di ω , il ritardodi gruppo e una funzione pari e quindi tutte le sue derivate dispari sono necessariamente nulle.

Ponendo le successive derivate (di ordine pari) di τg pari a zero otteniamo il sistema di equazioni

τg(0) = 1 (4.5a)

d2τg

dω2 (0) = 0 (4.5b)

d4τg

dω4 (0) = 0 (4.5c)

...

dove la prima equazione deriva dalla condizione di ritardo unitario. Intuitivamente, poiche abbiamo adisposizione N variabili (i coefficienti a0, . . . , aN−1), ci aspettiamo di poter imporre N vincoli, di cuiuno su τg(0) e gli altri N−1 sulle prime N−1 derivate i ordine pari. Poiche le derivate di ordine disparisono automaticamente nulle, un filtro di Bessel di ordine N ha le prime 2N − 1 derivate nell’originenulle, risultando in ritardo di gruppo particolarmente “piatto.”

Il difetto principale dei filtri di Bessel e che hanno un decadimento molto lento in frequenza. Intuiti-vamente, tale lento decadimento e una conseguenza di essersi “giocati” tutti i gradi di liberta nell’annul-lare le derivate nell’origine del ritardo di gruppo. Tale fenomeno e evidente nella Fig. 4.1a che mostrail modulo della risposta in frequenza dei filtri di Bessel di ordine 3, 5, 7 e 9. La linea orizzontale corri-sponde a 3 dB di attenuazione e tutti i filtri sono stati riscalati in modo da attenuare tutti 3 dB alla stessapulsazione ω = 0.1. Si osservi che nonostante il decadimento asintotico aumenti con l’ordine del filtro(come predetto dalla teoria), tutti i filtri presentano un “transitorio” nel passare dalla banda passanteal decadimento asintotico; si osservi inoltre che il transitorio non diminuisce all’aumentare dell’ordinedel filtro, rendendo quasi impossibile ridurre la banda di transizione oltre un certo limite con i filtri diBessel. Tale fenomeno e particolarmente evidente in Fig. 4.1b che mostra un ingrandimento nella zonadel “ginocchio” della risposta in frequenza. Si osservi come le risposte in frequenza siano praticamentecoincidenti prima della pulsazione ω ≈ 0.2 (indicata dalla linea nera verticale in Fig. 4.1b).

4.2. FILTRI DI BUTTERWORTH 17

10−1

100

101

10−3

10−2

10−1

100

|H(f

)|

f

Butterworth filters N=3, 5, 7, 9

100

10−1

100

|H(f

)|

f

Butterworth filters N=3, 5, 7, 9

(a) (b)

Figura 4.2: (a) Modulo della risposta in frequenza di filtri di Butterworth di ordine 3, 5, 7 e 9 confc = 1. (b) Ingradimento di (a) in corrispondenza della banda di transizione. In entrambe le figure lalinea tratteggiata corrisponde a 1/

√2, ossia un’attenuazione di 3 dB.

4.2 Filtri di Butterworth

4.2.1 Risposta in frequenza

Il filtro di Butterworth di ordine N con frequenza di taglio ωC ha come risposta in frequenza

|H( jω)|2 = 1

1+(

ω

ωc

)2N (4.6)

E immediato osservare che

• La risposta in frequenza decade monotonicamente con la frequenza

• Si ha |H(0)|2 = 1 e |H( jωc)|2 = 1/2, qualunque sia N. ωc e quindi la frequenza a cui il filtroattenua a 3 dB.

• Si ha dn|H(ω)|2/dωn(0) = 0 per n = 1, . . . ,2N− 1. I filtri di Butterworth hanno quindi modulodella risposta in frequenza massimente piatto nell’origine.

• All’aumentare di N si ha la risposta in frequenza si mantiene molto vicina ad 1 per ω <ωc (poiche(ω/ωc)

2N e molto piccolo) e va rapidamente a zero per ω > ωc (poiche (ω/ωc)2N diverge come

un polinomio di grado 2N). Intuitivamente, la banda di transizione diventa sempre piu strettaall’aumentare di N. Si veda anche la Fig. 4.2

• Il filtro di Butterworth e un filtro a soli poli.

Velocita di “attacco”

Calcolando la derivata di QN(x) = 1+ x2N in x = 1 si ottiene

Q′N(1) = 2N (4.7)

Vediamo quindi che nei filtri di Butterworth la velocita di attacco aumenta linearmente con N. Talerisultato concorda col fatto che la banda di transizione nei filtri di Butterworth diminuisce all’aumentaredi N.


4.2.2 Procedura di progetto

Progettare un filtro di Butterworth e molto semplice e sfrutta la monotonicita della risposta in frequenza.Si ricordi che il filtro di Butterworth e univocamente determinato una volta che siano noti l’ordine N ela frequenza di taglio convenzionale ωc.

Poiche i filtri di Butterworth hanno risposta in frequenza monotona, un filtro soddisfa le specifichese e solo se le soddisfa sui “bordi” delle bande passante ed attenuata, ossia vogliamo che

|H( jωP)|2 =1

1+(

ωPωc

)2N ≥ (1−δP)2 (4.8a)

|H( jωA)|2 =1

1+(

ωAωc

)2N ≤ δ2P (4.8b)

Dalle (4.8) si ottiene facilmente (ωP

ωc

)2N

≤ 1r2

P−1 (4.9a)(

ωA

ωc

)2N

≥ 1r2

A−1 (4.9b)

Possiamo cancellare ωc dalle equazioni (4.9) dividendo la (4.9b) per la (4.9a), ottenendo(ωA

ωP

)2N

≥ 1/r2A−1

1/r2P−1

(4.10)

Possiamo ora ricavare N prendendo il logaritmo di entrambi i membri di (4.10) ottenendo

2N log(

ωA

ωP

)≥ log

1/r2A−1

1/r2P−1

. (4.11)

E conveniente introdurre, per comodita notazionale, la funzione

K(rA,rP)def=

√1/r2

A−11/r2

P−1(4.12)

(il motivo della radice quadrata sara chiaro piu avanti).

Commento 4.2.1Si osservi che K(rA,rP) puo essere interpretata come una misura della qualita dell’approssimazione richiesta:se rA si avvicina a zero (buona attenuazione in banda attenuata) e/o rP si avvicina ad 1 (poca attenuazione inbanda passante), il valore di K(rA,rP) aumenta.

Usando la (4.12) nella (4.11) si ottiene

N ≥ logK2(rP,rA)

2log(ωA/ωP)=

logK(rP,rA)

log(ωA/ωP)(4.13)

Si osservi che poiche ωA > ωP, il logaritmo del loro rapporto e positivo e quindi il verso della disugua-glianza si conserva. Si osservi inoltre che poiche rA < rp, la differenza a numeratore e positiva.

Ovviamente, poiche N deve per forza essere intero, si sceglie l’ordine pari all’intero immediatamentesuperiore al valore (4.13). Una volta scelto l’ordine N possiamo determinare ωC a partire dalle (4.9)

ωP

ωC≤ N√

1/r2p−1 (4.14a)

ωA

ωC≥ N√

1/r2A−1 (4.14b)

(4.14c)

4.3. FILTRI DI CHEBYSHEV-I 19

da cui

ωc ≥ωp

N√

1/r2p−1

(4.15a)

ωc ≤ωA

N√

1/r2A−1

(4.15b)

Dalle (4.15) si deduce che c’e un intervallo di pulsazioni possibili per ωc, il fatto che tale intervallo nonsia vuoto (ossia, che il secondo termine di (4.15a) sia minore del secondo termine di (4.15b)) e garantitodalla scelta di N. Se scegliamo ωc in modo da soddisfare la (4.15a) col segno di uguaglianza, i vincoliin banda passante sono soddisfatti esattamente, mentre quelli in banda attenuata sono sovra-soddisfatti;viceversa, scegliendo ωc in modo da soddisfare la (4.15b) col segno di uguaglianza, i vincoli in bandaattenuata vengono soddisfatti esattamente, mentre quelli in banda passante sono sovra-soddisfatti.

4.2.3 Diagramma poli-zeri

Dalla forma della risposta in frequenza otteniamo

H(s)H(−s) =1

1+(

sjωc

)2N (4.16)

I poli del filtro H(s) sono quindi gli zeri a parte reale negativa del polinomio 1+(s/ jωc)2N . Ogni zero

zk di tale polinomio soddisfa (zk

jωc

)2N

=−1 = exp( jπ) (4.17)

da cuizk

jωc= exp

(jπ2N

)exp(

j2πk2N

)= exp

(j2π

4N(2k+1)

)(4.18)

da cui

zk =−ωc j exp(

j2π

4N(2k+1)

)(4.19)

Dalla (4.19) si vede che i poli del filtro di Butterworth stanno tutti su una circonferenza di raggio ωc eche sono equidistanti tra loro con una differenza di fase tra un polo e il successivo pari a π/N. E facileverificare che ci sono due poli reali (uno positivo, l’altro negativo) solo se N e dispari. Si osservi comeil luogo dei poli venga scalato al variare di ωc, come gia osservato in § 3.3.

4.3 Filtri di Chebyshev-I

Un’obiezione che potrebbe essere sollevata contro i filtri di Butterworth e che sono “troppo buoni.” Acausa della monotinicita della loro risposta in frequenza rimangono “incollati” a 1 su tutta la bandapassante, massimizzando l’errore di approssimazione solo sul bordo della banda stessa. Anche se avolte tale caratteristica puo essere utile, in molti casi e sufficiente che il discostamento tra la risposta infrequenza desiderata e quella effettiva si mantenga inferiore a δP. In tali casi, intuitivamente, la rispostain frequenza piatta del filtro di Butterworth e fin troppo buona e si potrebbe pensare che “spalmando”uniformemente l’errore su tutta la banda passante si possano soddisfare le specifica con un filtro di ordineinferiore.

Tale idea si concretizza nei filtri di Chebyshev che hanno modulo quadro della risposta in frequenzapari a

|H(ω)|2 = 11+ ε2T 2

N (ω/ωc)(4.20)


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−3

−2

−1

0

1

2

3

x

TN

(x)

Polinomi di Chebyshev N=4, 5, 6

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1

0

1

2

3

4

5

TN2

(x)

x

Quadrato dei polinomi di Chebyshev N=4, 5, 6

(a) (b)

Figura 4.3: (a) Andamento dei polinomi di Chebyshev TN(x) di grado N = 4, 5 e 6. (b) Andamento delquadrato degli stessi polinomi mostrati in (a)

dove TN e il polinomio i Chebyshev di grado N definito da

TN(x) = cos(N arccos(x)) (4.21)

La definizione (4.21) sembra valere solo per |x| ≤ 1, a causa della presenza dell’arcocoseno. In realta puoessere estesa anche a |x|> 1 interpretando le funzioni coseno ed arcocoseno come funzioni complesse.Con tale interpretazione l’arcocoseno |x|> 1 restituisce un valore immaginario e il coseno di un valoreimmaginario diventa il coseno iperbolico.

Osservando che per |x| < 1 l’argomento del coseno in (4.21) e un numero reale, deduciamo che sex ∈ [−1,1], allora

• TN(x) ha un andamento oscillatorio

• TN(x) assume valori compresi in [−1,1]

• Si ha TN(1) = 1 per ogni N

Per |x| > 1 il coseno diventa un coseno iperbolico e TN(x) diverge monotonicamente ad infinito comexN . La Fig. 4.3 mostra l’andamento di TN(x) e di T 2

N (x) per N = 4, 5 e 6.A partire dalle proprieta appena descritte dei polinomi di Chebyshev e facile vedere che la risposta

in frequenza di un filtro di Chebyshev

• Ha andamento oscillatorio in [−ωc,ωc] dove assume valori compresi tra 1 e 1/(1+ ε2).

• Vale H(ωc) = 1/(1+ ε2) per ogni N

• Decade monotonicamente (come ω−N) per |ω|> ωc.

A causa dell’andamento oscillatorio in banda passante con valori compresi tra 1 e 1/(1+ ε2), i filtri diChebyshev sono detti essere equiripple in banda passante. La Fig. 4.4 mostra l’andamento della rispostain frequenza per i filtri di Chebyshev di ordine N = 4, 5 e 6, ε = 1 e ωc = 1. La linea orizzontale e a|HN(1)| = 1/

√2, ossia 3 dB di attenuazione. Si osservi come tutte le risposte in frequenza passino per

(ωc,1/√

1+ ε2) = (1,1/√

2) e come diventino piu oscillatorie in banda passante e piu ripide in bandadi transizione all’aumentare di N.

4.3. FILTRI DI CHEBYSHEV-I 21

10−1

100

10−3

10−2

10−1

100

|HN

(f)|

f

Modulo dei filtri di Chebyshev−I per fc=1, ε=1

10−0.4

10−0.3

10−0.2

10−0.1

100

100.1

100.2

10−1

100

|HN

(f)|

f

Modulo dei filtri di Chebyshev−I per fc=1, ε=1

(a) (b)

Figura 4.4: (a) Andamento del modulo della risposta in frequenza eei filtri di Chebyshev di ordine N = 4,5 e 6 con ε = 1 e ωc = 1. (b) Ingrandimento di (a) attorno alla banda di transizione. La linea orizzontalee a |HN(1)|= 1/

√2, ossia 3 dB di attenuazione.

Velocita di “attacco”

Per calcolare la derivata di QN(x) = 1+ ε2T 2N (x) useremo la seguente proprieta dei polinomi di Cheby-

shevT ′N(x) = NUN(x) (4.22)

dove UN(x) e un polinomio di Chebyshev di seconda specie e soddisfa

UN(cos(u)) =sin((N +1)u)

sinu(4.23)

Si ottieneQ′N(x) = 2ε

2TN(x)T ′N(x) = 2Nε2TN(x)UN(x) (4.24)

Per calcolare Q′N(1) ricordiamo che TN(1) = 1 per ogni N ed usiamo la (4.23) con u = 0

Q′N(1) = 2ε2N(N +1) (4.25)

Dalla (4.25) deduciamo che la velocita di attacco nei filtri di Chebyshev cresce in maniera quadraticacon l’ordine del filtro, da confrontarsi con la crescita lineare dei filtri di Butterworth (vedi (4.7)). Talerisultato suggerisce che a parita di specifiche l’ordine richiesto da un filtro di Chebyshev sara minoredell’ordine richiesto da un filtro di Butterworth.


Per progettare un filtro di Chebyshev e necessario determinare i tre parametri ε , N e ωc. Poiche larisposta in frequenza in banda passante di un filtro di Chebyshev e compresa tra 1 e 1/

√1+ ε2, deve

essere1√

1+ ε2≥ rP (4.26)

da cui si deduce

ε ≤

√1r2

P−1 (4.27)

Intuitivamente, la scelta ottima e verificare la (4.27) col segno di uguaglianza.


Il valore di ωc puo essere scelto osservando che il valore HN(ωc) = 1/√

1+ ε2 = rP e accettabilecome risposta in frequenza nella banda passante e che per ω > ωc si ha HN(ω)< rP. Se ne deduce chedeve essere ωc ≥ ωP. Scegliamo quindi ωc = ωP.

L’ultimo vincolo che rimane da soddisfare e quello sulla banda attenuata. Poiche i filtri i Chebyshevsono monotoni in banda attenuata, e sufficiente soddisfare il vincolo sul bordo della banda attenuata,ossia per ω = ωA. Deve quindi essere

|HN(ωA)|2 =1

1+ ε2T 2N (ωA/ωP)

≤ r2A (4.28)

La (4.28) e equivalente a

TN(ωA/ωP)≥

√1/r2

A−1ε2 =

√1/r2

A−11/r2

P−1= K(rA,rP) (4.29)

dove abbiamo introdotto la funzione K(rA,rP) per comodita notazionale. Osservando che ωA/ωP > 1,TN(x) puo essere scritto come cosh(N arccosh(x)) e poiche il coseno iperbolico e monotono crescente,la (4.29) diventa

N arccosh(ωA/ωP)≥ arccosK(rA,rP) (4.30)

da cui

N ≥ arccoshK(rA,rP)

arccosh(ωA/ωP)(4.31)

Si osservi la somiglianza di (4.31) con la (4.13): in entrambi i casi il valore minimo dell’ordine e inter-pretabile come una “pendenza” richiesta alla banda di transizione, ma dove nel filtro di Butterworth siusano i logaritmi, nel filtro di Chebyshev si usa l’arco-coseno iperbolico. Poiche per x grande cosh(x)≈ex/2, per valori relativamente grandi di K(rA,rP) e ωA/ωP possiamo approssimare arccosh(x)≈ log(2x)=log2+ logx. Usando tale approssimazione in (4.31) otteniamo

N &log2+ logK(rA,rP)

log2+ log(ωA/ωP)≈ logK(rA,rP)

log2+ log(ωA/ωP)(4.32)

Dove l’ultima approssimazione segue dal fatto che per valori tipici di K(rA,rP) (≥ 103) si ha log2 ≈0.1logK(rA,rP). Dalla (4.32) deduciamo che, nell’ambito della validita delle approssimazioni fatte, ilfiltro di Chebyshev richiede ordini piu bassi a causa del termine log2 a denominatore. Si noti che il pesodi tale termine diventa piu importante per bande di transizione strette con ωA ≈ ωP.

Si osservi inoltre come (4.31) dipenda da ωA e ωP solo tramite il loro rapporto.

4.3.2 Posizione dei poli

Non e troppo difficile2 dimostrare che il k-simo polo pk, k = 1, . . . ,N, di un filtro di Chebyshev e

pk = ωc [−S sin(θk)+ jC cos(θk)] (4.33)

con

S = sinh(

1N

arcsinh1ε

)(4.34a)

C = cosh(

1N

arcsinh1ε

)(4.34b)

θk =2π

4N(2k−1) (4.34c)

Dalla (4.33) possiamo dedurre che i poli di un filtro di Chebyshev stanno su un’ellisse avente gli assiprincipali paralleli agli assi reale ed immaginario e di lunghezza pari a ωcS e ωcC. Anche in questo caso,ovviamente, il diagramma poli e zeri scala con ωc.

Si osservi infine come anche i filtri Chebyshev-I siano filtri a soli poli.2. . . ma un po’ palloccoloso sı. . .

4.4. FILTRI DI CHEBYSHEV-II 23

10−1

100

101

102

10−2

10−1

100

|HN

(f)|

f

Modulo dei filtri di Chebyshev−II per fc=1, ε=1

100

10−0.4

10−0.3

10−0.2

10−0.1

100

100.1

|HN

(f)|

f

Modulo dei filtri di Chebyshev−II per fc=1, ε=1

(a) (b)

Figura 4.5: (a) Andamento del modulo della risposta in frequenza dei filtri di Chebyshev-II di ordineN = 4, 5 e 6 con ε = 1 e ωc = 1. (b) Ingrandimento di (a) attorno alla banda di transizione. La lineaorizzontale e a |H(II)

N (1)|= 1/√

2, ossia 3 dB di attenuazione.

4.4 Filtri di Chebyshev-II

4.4.1 Definizione

I filtri Chebyshev-II sono in certo senso “duali” ai filtri di Chebyshev-I poiche hanno andamento mo-notono in banda passante ed equiripple in banda attenuata. Per raggiungere tale risultato, e sufficienteribaltare il modulo quadro attorno ad 1/2 (in modo che i valori vicini ad 1 diventino vicini a zero eviceversa) e l’asse delle frequenze sostituendo ω con 1/ω (in modo che le basse frequenze diventinoalte e viceversa). Applicando tali trasformazioni al prototipo di Chebyshev-I H(I)

N con ωc = 1 si ottieneil prototipo di Chebyshev-II

|H(II)N (ω)|2 = 1−|H(I)

N (1/ω)|2

= 1− 11+ ε2T 2

N (1/ω)

=ε2T 2

N (1/ω)

1+ ε2T 2N (1/ω)

=1

1+ 1ε2T 2

N (1/ω)

(4.35)

Si osservi anche la (3.3d).Dalle proprieta dei filtri Chebyshev-I e (4.35) e facile dedurre che il modulo della risposta in fre-

quenza di H(II)N (ω) e monotono decrescente per ω < 1 ed oscilla tra 0 e√

1− 11+ ε2 =

√ε2

1+ ε2 (4.36)

per ω > 1.


Forse il modo piu semplice di determinare i parametri ε , ωc e N di un filtro Chebyshev-II e di convertireil problema nel progetto di un filtro Chebyshev-I. In particolare, e facile vedere che se

|H(II)N (ω)|2 = 1−|H(I)

N (1/ω)|2 (4.37)


allora H(II)N soddisfa le specifiche

|H(II)N (ω)| ∈ [1−δP,1] ω ∈ [0,ωP] (4.38a)

|H(II)N (ω)| ∈ [0,δA] ω ∈ [ωA,∞) (4.38b)

se e solo se H(I)N soddisfa

|H(I)N (ω)| ∈ [1−δA,1] ω ∈ [0,1/ωA] (4.39a)

|H(I)N (ω)| ∈ [0,1−δP] ω ∈ [1/ωP,∞) (4.39b)

In altre parole, per trovare i parametri di un filtro di Chebyshev-II corrispondente alle specifiche (ωP,ωA,δP,δA)e sufficiente trovare i parametri di un filtro di Chebyshev-II corrispondente alle specifiche (1/ωA,1/ωP,1−δA,1−δP).

4.4.3 Posizione di poli e zeri

Posizione degli zeri

I filtri di Chebyshev-II non sono a soli poli, ma hanno anche degli zeri sull’asse immaginario. Dalla(4.35) e immediato dedurre che H(II)

N (ω) = 0 se e solo se TN(1/ω) = 0. Il k-simo zero zk di H(II)N ha

quini la formazk = jωc/tk (4.40)

dove tk e il k-zero di TN . Si osservi che poiche gli zeri di TN sono in [−1,1] (TN(x)> 1 se |x|> 1), dalla(4.40) segue che |zk|> ωc, ossia gli zeri cadono tutti nella banda attenuata (come era giusto aspettarsi).La presenza di zeri nei filtri di Chebyshev-II causa la comparsa nel grafico della risposta in frequenzadel filtro “picchi” che vanno verso −∞ (si veda la Fig. 4.5).

Commento 4.4.1Come vedremo nel Capitolo 5 dedicato all’implementazione dei filtri, il fatto che i filtri di Chebyshev-IIabbiano sia poli che zeri puo implicare una maggior complessita implementativa.

Posizione dei poli

Dalla (4.35) e immediato dedurre che H(II)N ha un polo in pk se e solo se H(I)

N ha un polo in 1/pk.

4.5 Filtri Ellittici

L’idea nei filtri ellittici e di estendere l’approssimazione equiripple ad entrambe le bande di interesse(passante ed attenuata).

4.5.1 Definizione

Il modulo quadro della risposta in frequenza di un filtro ellittico di ordine N si scrive

|H(ω)|2 = 11+ ε2R2

N(ξ ,ω/ωc)(4.41)

dove RN e la funzione razionale ellittica di ordine N definita in (3.6). RN e troppo complessa per esse-re studiata in maniera qualitativa; ci accontenteremo di sfruttare le seguenti proprieta che daremo peracquisite

La complessita dell’espressione di RN rende difficile fare considerazioni intuitive sull’andamento diRN e, conseguentemente, dei filtri ellittici. Nel seguito useremo le seguenti proprieta che daremo peracquisite

4.5. FILTRI ELLITTICI 25

Figura 4.6: Andamento delle funzioni razionali ellittiche RN(ξ ,x) in |x|< 1.

1. RN(ξ ,x) ha un andamento oscillatorio per |x|< 1 ed e limitata in [−1,+1]. Si veda la Fig. 4.6

2. RN(ξ ,1) = 1 per ogni N e ogni ξ ≥ 1.

3. LN(ξ ) = RN(ξ ,ξ )

4. Vale la regola di inversione

RN

(ξ ,

ξ

x

)=

RN(ξ ,ξ )

RN(ξ ,x)(4.42)

Si osservi che dalla (4.42) segue che se RN(ξ ,x) ha uno zero in x = xz, allora deve avere un poloin x = ξ/x.

Si osservi che le funzioni RN(x) condiviono con i polinomi di Chebyshev il fatto di oscillare tra −1e 1 per x ∈ [−1,1]. Ne segue che i filtri ellittici condividono con i filtri di Chebyshev il fatto di oscillaretra 1 e 1/(1+ ε2) per ω < ωc e che

|H(ωc)|=√

11+ ε2 (4.43)

Dalla regola di inversione (4.42) segue che

x > ξ ⇒ RN(ξ ,x)> RN(ξ ,ξ ) = LN(ξ ) (4.44)

da cui segue che per ω > ξ ωc

|H(ω)|2 = 11+ ε2R2

N(ξ ,ω/ωc)Definizione (4.45a)

≤ 11+ ε2L2

N(ξ )Poiche ω/ωc > ξ (4.45b)

Dalla (4.45b) si vede che l’errore massimo in banda attenuata e pari a√

1/(1+ ε2L2N(ξ )).


A causa della complessita della definizione di RN non esiste dare una procedura semplice per il progettodei filtri ellittici. La soluzione migliore e l’uso di programmi appositi. Alcune considerazioni di caratteregenerale possono pero essere fatte.

Con specifico riferimento al filtro prototipo (ωc = 1) e facile vedere che


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

G(x)

log(x)

acosh(x)

Figura 4.7: Confronto tra la funzione G(x) = K(√

1− x2)/K(1/x), legata al progetto dei filtri ellittici, lafunzione arccosh(x), usata per i filtri di Chebyshev e la funzione log(x) usata per i filtri i Butterworth.

1. |H(ω)| ∈ [1/√

1+ ε2,1] per |ω| < ωc = 1. Possiamo quindi dire che nel filtro prototipo ha finebanda passante unitaria ωP = 1 che il la massima attenuazione in banda passante rp = 1− δP eunicamente individuata da ε , rP = 1/

√1+ ε2, come con i filtri i Chebyshev.

2. Dalla regola di inversione (4.42) segue che |H(ω)| ≤√

1/(1+ ε2L2N(ξ )) per |ω|> ξ . Possiamo

quindi considerare ξ l’inizio della banda attenuata. La minima attenuazione in banda attenuata e

pari a√

1/(1+ ε2L2N(ξ )) ed e quindi determinata dai tre parametri ε , ξ e N.

3. Si puo dimostrare che l’ordine del filtro N e pari a

N ≥ G(K(rA,rP))

G(ωA/ωP)(4.46)

con

G(x) def=

K(√

1−1/x2)

K(1/x); x≥ 1 (4.47)

dove

K(u) def=∫

π/2

0

dθ√1−u2 sin2

θ

; 0≤ u≤ 1 (4.48)

e l’integrale ellittico completo di prima specie.

Al di la della definizione precisa di G, e interessante confrontare gli andamenti di G(x), arccosh(x)e di log(x) mostrati in Fig. 4.7. Come si puo vedere, G(x) ha un andamento qualitativamente simileal logaritmo, ma e piu ripida nell’origine (ha la stessa pendenza dell’arco-coseno iperbolico) ecresce piu lentamente per x→∞. Vediamo quindi che le tre espressioni (4.13), (4.31) e (4.46) peril calcolo dell’ordine del filtro sono qualitativamente simili tra loro.

4.5.3 Disposizione di zeri a poli

Sempre a causa della complessita di RN non e facile fare una discussione qualitativa della posizione dizeri e poli. Si puo pero osservare che dalla formula di inversione (4.42) segue che se RN(ξ ,zk) = 0 (che

4.5. FILTRI ELLITTICI 27

10−1

100

101

10−3

10−2

10−1

100

f

|H(f

)|

Risposta in frequenza di filtri ellittici

N=4

N=6

N=8

10−0.09

10−0.07

10−0.05

10−0.03

10−0.01

100.01

100.03

100.05

100.07

10−1

100

f

|H(f

)|

Risposta in frequenza di filtri ellittici

N=4

N=6

N=8

(a) (b)

Figura 4.8: (a) Andamento del modulo della risposta in frequenza dei prototipi ellittici di ordine N = 4,6 e 8. (b) Ingrandimento di (a) attorno alla banda di transizione.

implica |zk|< 1), allora RN(ξ ,ξ/zk) = ∞ da cui segue

|H(ωcξ/zk)|2 =1

1+ ε2R2N(ξ ,ξ/zk)

= 0 (4.49)

ossia, i filtri ellittici non sono a soli poli. Si osservi nella Fig. 4.8 i picchi che vanno verso −∞,conseguenza della presenza di zeri.

Capitolo 5

Implementazione

Esistono molti possibili approcci per implementare filtri a tempo continuo. A seconda dell’intervallo difrequenze di interesse un filtro puo richiedere l’uso di componenti attivi quali amplificatori operazionali(≈ frequenze inferiori a 1 MHz), puo essere implementato tramite soli componenti passivi (≈ frequenzesuperiori a 1 MHz), fino ad arrivare a filtri che consistono di una semplice striscia di materiale condutto-re1 (frequenze nella fascia delle microonde). Visto il carattere introduttivo i questi appunti, ci limiteremoad analizzare alcune strutture implementative basate su operazionali.

5.1 Considerazioni generali

5.1.1 Blocchi del second’ordine

In linea di principio, per implementare un filtro con N poli uno potrebbe inventarsi una rete con Nelementi reattivi, determinare la funzione di trasferimento della rete e scegliere i valori degli elementireattivi in modo da ottenere la funzione di trasferimento desiderata.

Tale approccio e ovviamente abbastanza complicato. Un approccio piu semplice richiede di imple-mentare il filtro come cascata di blocchetti di ordine 1 (per i poli reali) o 2 (per coppie di poli complessiconiugati). Tale approccio, oltre a semplificare notevolmente le procedure di progetto, ha anche il van-taggio di una migliore stabilita numerica, dovuta al fatto che l’implementazione in cascata evita che ipoli si influenzino reciprocamente.

Una distinzione importante dal punto di vista implementativo e tra filtri a soli poli (Bessel, Butter-worth, Chebyshev-I) e filtri con poli e zeri (Chebyshev-II ed Ellittici). Per il primo gruppo di filtri sipossono usare semplici strutture a soli poli (descritte in § 5.2), mentre per il secondo gruppo bisognausare le strutture un po’ piu complesse descritte in § 5.3.

5.1.2 Fattore di qualita

Un parametro importante nelle coppie di poli complessi coniugati e il fattore di qualita, spesso indicatocon Q. Ci sono due modi equivalenti per definire il valore di Q. Sia H(s) una funzione di trasferimentocon due poli complessi coniugati p, p∗, ossia

H(s) =a0

s2 +a1s+a0=

a0

(s− p)(s− p∗)=

1α2s2 +α1s+1

(5.1)

con α2 = 1/a0 e α1 = a1/a0. Si noti che il guadagno in (5.1) e stato scelto in modo da avere H(0) =H(0) = 1.

1Si veda, per esempio, http://www.hparchive.com/Bench Briefs/HP-Bench-Briefs-1989-01-03.pdf

29

30 CAPITOLO 5. IMPLEMENTAZIONE

Abbiamo bisogno di trovare la frequenza di massima ampiezza di |H( jω)|. Si noti che |H( jω)|raggiunge il valore massimo quando il denominatore di (5.1) raggiunge il valore minimo. Si ha

|H( jω)|2 =a2

0|−ω2 + ja1ω +a0|

=a2

0

(a0−ω2)2 +a21ω2

=a2

0

ω4−2a0ω2 +a20 +a2

1ω2

=a2

0

ω4− (2a0−a21)ω

2 +a20

(5.2)

Ponendo a zero la derivata del denominatore di (5.2) rispetto ad omega si ottiena

4ω3−2(2a0−a2

1)ω = 0 (5.3)

le cui tre soluzioni sono ω = 0 e

ω =±√

12(2a0−a2

1) =±√

a0−12

a21 (5.4)

Usando a0 = |p|2 e a1 =−2cos p|p| in (5.4) si ottiene

ω =√|p|2−2cos2 p|p|2 = |p|

√1−2cos2 p≈ |p| (5.5)

dove l’approssimazione vale quando i poli sono vicini all’asse immaginario, ossia quando p≈ π/2. Ilvalore assunto dalla risposta in frequenza alla pulsazione ω0 = |p| e pari a

|H( jω0)|2 =a2

0

|−ω20 + jω0a1 +a0|2

=|p|4

|−|p|2 + j2cos p|p|2 + |p|2|2

=1

| j2cos p|2

=1

4cos2 p

(5.6)

• Se i poli di H(s) sono vicini all’asse immaginario, il filtro H(s) si comporta come un passa-banda“grezzotto” con la banda passanta centrata attorno a ω0 = |p|. Dette ω− e ω+ le pulsazioni acorrispondenti ad un’attenuazione di 3 dB rispetto alla frequenza centrale (ossia, |H( jω−)| =|H( jω+)|= |H( jω0)|/

√2), il fattore di qualita si definisce come

Q =ω0

ω+−ω−(5.7)

Per quanto visto prima ω0 = |p|. Per trovare il punto a 3 dB possiamo procedere per via grafi-ca. Piu precisamente, la distanza tra jω+ (o jω−) e p deve essere

√2 piu grande della distan-

za tra jω0 = j|p| e p. Se p e vicino all’asse immaginario, | jω0− p| ≈ ℜp. E facile vederegeometricamente che deve essere ω± = |p|±ℜp da cui

Q =|p|

2ℜp=

|p|2|p|cos p

=1

2cos p=

12sinη

(5.8)

dove η e l’angolo che la retta che congiunge l’origine con p forma con l’asse immaginario. Siosservi che per i poli vicini all’asse immaginario, Q dipende unicamente dalla fase del polo.

5.2. FILTRI A SOLI POLI 31

Figura 5.1:

• Osservando che a0 = |p|2 e a1 =−2ℜp =−2|p|cos p dalla (5.8) possiamo ricavare la seguenteespressione di Q come funzione dei coefficienti del denominatore di H(s) come

Q =

√a0

a1=

√α2

α1(5.9)

5.2 Filtri a soli poli

Come visto nel Capitolo 4, i filtri di Bessel, Butterworth e Chebyshev-I sono filtri a soli poli. Le cel-le del second’ordine usate nell’implementazione di questi filtri avranno, in generale, una funzione ditrasferimento a soli poli

H(s) =A

s2 +a1s+a0(5.10)

Il fatto che la cella del second’ordine non debba implementare anche gli zeri porta una certa semplifica-zione. Vedremo due strutture implementative per celle a soli poli: la struttura di Sallen-Key e la strutturaa feedback multiplo.

5.2.1 Struttura di Sallen-Key

La Fig. 5.1 mostra la versione piu generale della struttura di Sallen-Key, con impedenze Zi generiche. Aseconda del tipo di componente usato per i vari Zi si ottengono strutture di tipo passa-basso, passa-altoo passa-banda.

In Appendice B si mostra come usare Matlab per dimostrare che la funzione di trasferimento delcircuito in Fig. 5.1 e

1

−Z1Z3+K

(Z1Z4+1+ Z2

Z4+ Z1

Z3+ Z1Z2

Z3Z4

) (5.11)

Se si pone K = 1 si ottiene1

Z1Z4+1+ Z2

Z4+ Z1Z2

Z3Z4

(5.12)

Per ottenere la funzione di trasferimento del filtro Fig. 5.2 facciamo le seguenti sostituzioni

Z1 = R1 (5.13a)

Z2 = R2 (5.13b)

Z3 = 1sCfeed

(5.13c)

Z4 = 1sC1

(5.13d)


Figura 5.2:

(a) (b)

Figura 5.3: Struttura a feedback multiplo. (a) Con impedenze generiche (b) Implementazione di unpassa-basso

e si ottiene1

sR1C1 +1+ sR2Cfeed + s2R1R2C1Cfeed=

11+ sC1(R1 +R2)+ s2R1R2C1Cfeed

=1/(R1R2C1Cfeed)

s2 + C1(R1+R2)R1R2C1Cfeed

+ 1R1R2C1Cfeed

(5.14)

Il fattore di qualita e quindi

Q =

√a0

a1

=1/√

R1R2C1Cfeed

[C1(R1 +R2)]/[R1R2C1Cfeed]

=

√R1R2C1Cfeed

C1(R1 +R2)

=

√τ1τ2

τ1 +βτ2

=

√γ

1+βγ

(5.15)

dove β =C1/Cfeed e γ = τ2/τ1.

5.2.2 Struttura a feedback multiplo

La struttura a feedback multiplo con impedenze generiche e visibile in Fig. 5.3a, la cella del second’or-dine passa-basso implementata con la struttura a feedback multiplo e mostrata in Fig. 5.3b.

5.3. FILTRI CON POLI E ZERI 33

La funzione di trasferimento della rete di Fig. 5.3a e

H(s) =− Z5Z4Z2

Z3Z4Z2−Z1Z2Z5−Z1Z4Z2−Z1Z4Z3−Z1Z2Z3(5.16)

Eseguendo le sostituzioni

Z1 = R1 (5.17a)

Z2 = 1/sC1 (5.17b)

Z3 = R2 (5.17c)

Z4 = Rfeed (5.17d)

Zc = 1/sCfeed (5.17e)

si ottieneH(s) =

Rfeed

R1R f R2C1C f s2 +(−R2R fC f +R1R fC f +R1R2C f )s+R1(5.18)

Si osservi come il guadagno nell’origine sia pari a G = Rfeed/R1. Si ottiene

H(s) =G

GR1R2C1C f s2 +[(1−G)R2C f +GR1C f ]s+1(5.19)

Nel caso di guadagno unitario la (5.19) si semplifica ulteriormente in

H(s) =1

R1R2C1C f s2 +R1C f s+1(5.20)

5.3 Filtri con poli e zeri

5.3.1 Implementazione a variabili di stato

Le struttura di Sallen-Key e a feedback multiplo avendo funzioni di trasferimento a soli poli sono adattead implementare filtri di Bessel, di Butterworth e Chebyshev-I (che sono a soli poli), ma non filtriChebyshev-II ed ellittici (che hanno anche zeri). Una possibile soluzione per implementare filtri conpoli e zeri e data dall’implementazione a varibili di stato. Si parte dal generico sistema a tempo continuodel second’ordine espresso in forma canonica di controllo[

x1x2

]=

[0 1−a0 −a1

][x1x2

]+

[01

]u (5.21a)

y =[

b0 b1][ x1

x2

](5.21b)

dove u e l’ingresso e y l’uscita. Come noto, tale sistema ha funzione di trasferimento

b0 +b1ss2 +a1s+a0

(5.22)

Espandendo i prodotti matriciali in (5.21) si ottiene

x1 = x2 (5.23a)

x2 = −a0x1−a1x2 +u (5.23b)

y = b0x1 +b1x2 (5.23c)

Tali equazioni sono realizzabili con lo schema astratto di Fig. 5.4. Lo schema di Fig. 5.4 puo essereimplementato con amplificatori operazionali, come mostrato in Fig. 5.5.


Figura 5.4:

Figura 5.5:

5.3. FILTRI CON POLI E ZERI 35

Si osservi che a causa della natura invertente degli integratori con operazionali, lo schema in Fig. 5.5e un po’ diverso da quello in Fig. 5.4. Per ricavare la funzione di trasferimento del circuito di Fig. 5.5,definiamo le seguenti costanti

G =R2

R1Guadagno in ingresso (5.24a)

τ = R2C Costante di tempo degli integratori (5.24b)

K =R3

R3 +R4(1+G) Guadagno in retroazione (5.24c)

Si osservi che valgono le seguenti relazioni

Vb = −τVc (5.25a)

Va = −τVb = τ2Vc (5.25b)

Va = −Gu+KVb−Vc (5.25c)

Dall’ultima equazione ricaviamoτVb = (Gu−KVb +Vc) (5.26)

usando Vc e Vb come variabili di stato otteniamo[Vc

Vb

]=

[0 −1/τ

1/τ −K/τ

][Vc

Vb

]+

[0

G/τ

]u (5.27)

Per portare la (5.27) nella forma canonica facciamo il cambio di variabile rb =−Vb/τ ed otteniamo[Vc

rb

]=

[1−τ

]−1[ 0 −1/τ

1/τ −K/τ

][1−τ

][Vc

rb

]+

[1−τ

]−1[ 0G/τ

]u

=

[0 1

−1/τ2 −K/τ

][Vc

rb

]+

[0

−G/τ2

]u

(5.28)

Confrontando la (5.28) con la (5.21a) si vede che a0 = 1/τ2, a1 = K/τ , x1 = Vc e x2 = rb = −Vb/τ .Si osservi inoltre che il segnale di ingresso e moltiplicato per −G/τ2, dove il segno meno discende dalfatto che l’ingresso u entra dall’ingresso invertente.

Si osservi inoltre che poiche a0 = |p| = ω0, la frequenza di risonanza del circuito e pari a 1/τ edipende solo da R2 e C, mentre il fattore di qualita e pari a

Q =

√a0

a1=

1/τ

K/τ= 1/K (5.29)

e dipende solo da R3, R4 e G. Volendo svincolare il fattore di qualita dal guadagno complessivo, si puousare lo schema di Fig. 5.6 che usa un operazionale in piu per controllare il coefficiente per cui vienemoltiplicato Vb.

Ricordando che Vb = −τVc e Va = τ2Vc e facile vedere che Usando come uscita Va, Vb o Vc siottengono le funzioni di trasferimento

Hc(s) =−G

s2 +(K/τ)s+1/τ2 Uscita LP “passa basso” (5.30a)

Hb(s) =Gτs

s2 +(K/τ)s+1/τ2 Uscita BP “passa banda” (5.30b)

Ha(s) =−Gτ2s2

s2 +(K/τ)s+1/τ2 Uscita HP “passa alto” (5.30c)


Figura 5.6:

Commento 5.3.1Si osservi che l’uscita Vc ha due poli e nessuno zero. Ne segue che il modulo della risposta in frequenzarestera costante fino a ω0 = 1/τ e poi comincera a scendere a 40 dB/decade. L’uscita Vc ha quindi uncomportamenteo passa basso.

La funzione di trasferimento associata all’uscita Vb ha uno zero e due poli. Il modulo della risposta in fre-quenza cresce quindi a 20 dB/decade fino a ω0 = 1/τ , a tale frequenza la pendenza diminuira di 40 dB/decade,per una pendenza totale di −20 dB/decade. L’uscita Vb ha quindi un comportamenteo passa banda.

Infine, la funzione di trasferimento associata all’uscita Va ha due zeri e due poli. Il modulo della rispostain frequenza cresce quindi a 40 dB/decade fino a ω0 = 1/τ , a tale frequenza la pendenza diminuisce di40 dB/decade, per una pendenza totale di 0 dB/decade. A partire da ω0 il modulo della risposta in frequenzarestera costante e l’uscita Va ha quindi un comportamenteo passa alto.

Appendice A

Prove

Prova di Proprieta 1. Per provare la Proprieta 1 dobbiamo dimostrare due cose: (i) Hρ soddisfa le spe-cifiche Sρ , (ii) Hρ ha ordine minimo, ossia, nessuna funzione di trasferimento della classe C di ordineinferiore a Hρ soddisfa le specifiche Sρ .Step 1: Hρ soddisfa le specifiche Sρ

La risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento H(s) e

H( f ) = H( j2π f ) (A.1)

e per ipotesi sappiamo che H( f ) soddisfa le specifiche S , ossia

f ∈ [0,FP]⇒ |H( f )| ∈ [1,1−δP] (A.2a)

f > FA⇒ |H( f )| ≤ δA (A.2b)

La risposta in frequenza di Hρ e legata alla risposta in frequenza di H dall’equazione

Hρ( f ) = Hρ( j2π f ) = H( j2π f/ρ) = H( f/ρ) (A.3)

Per dimostrare che Hρ( f ) soddisfa le specifiche Sρ , cominciamo col mostrare che

f ∈ [0,ρFP]⇒ |Hρ( f )|= |H( f/ρ)| ∈ [1−δP,1] (A.4)

La (A.4) segue immediatamente dalla (A.2a) osservando che se f ∈ [0,ρFP], allora f/ρ ∈ [0,FP] che asua volta implica |H( f/ρ)| ∈ [1−δP,1] attraverso la (A.2a). In maniera analoga si dimostra che f > ρFA

implica |Hρ( f )| ≤ δA.Step 2: Hρ e di ordine minimoSupponiamo per assurdo che nella classe C esista una funzione di trasferimento Kρ che soddisfa lespecifiche e il cui ordine sia minore dell’ordine di Hρ . Per un ragionamento analogo a quello usato al

passo 1, la funzione di trasferimento K(s) def= Kρ(ρs) soddisfa le specifiche S ed ha ordine inferiore

all’ordine di H, contraddicendo l’ipotesi che H sia di ordine minimo. Ne segue che Kρ non puo esisteree Hρ e di ordine minimo.

A.1 Esempio bessel

Esempio A.1.1Proviamo a ricavare il filtro massimamente piatto di ordine 4 con τg(0) = 1. Supponiamo quindi che lafunzione di trasferimento del filtro sia

H(s) =1

s4 +a3s3 +a2s2 +a1s+a0(A.5)

37

38 APPENDICE A. PROVE

e determiniamo i valori di ak in modo da massimizzare il numero di derivate dnτg/d f n nulle nell’origine.A tal scopo ricaviamo per prima cosa la risposta in frequenza corrispondente alla funzione di trasferimento(A.5)

H(ω) = H( jω) =1

( jω)4 +a3( jω)3 +a2( jω)2 +a1 jω +a0

=1

ω4− ja3ω3−a2ω2 +a1 jω +a0

=1

(ω4−a2ω2 +a0)+ j(a1ω−a3ω3)

(A.6)

Nell’ultimo termine di (A.6) abbiamo separato la parte reale ed immaginaria del denominatore. La fase di(A.6) e

φ(ω) = H(ω) =−arctan(

a1ω−a3ω3

ω4−a2ω2 +a0

)=−arctan

(ωB(ω2)

A(ω2)

)(A.7)

dove, per comodita notazionale, abbiamo introdotto

B(ω) = a1−a3ω (A.8a)

A(ω) = ω2−a2ω +a0 (A.8b)

Il ritardo di gruppo associato alla fase (A.7) e

τg(ω) =dφ(ω)

dω

=− 1

1+ ω2B2(ω2)A2(ω2)

2ω2B′(ω2)A(ω2)−ωB(ω2)[2ωA′(ω2)]

A2(ω2)

=− A2(ω2)

A2(ω2)+ω2B2(ω2)2ω

2 B′(ω2)A(ω2)−B(ω2)A′(ω2)

A2(ω2)

=−2ω2 B′(ω2)A(ω2)−B(ω2)A′(ω2)

A2(ω2)+ω2B2(ω2)

(A.9)

Appendice B

Soluzioni

B.1 Sallen-Key

Le equazioni della strutura mostrata in Fig. 5.1 sono

V1 =Vin− I1Z1 (B.1a)

V2 =VoutK (B.1b)

V2 =V1− I2Z2 (B.1c)

V2 = I2Z4 (B.1d)

I1 = I2 + I3 (B.1e)

Vout =V1− I3Z3 (B.1f)

dove K = Z5/(Z5 +Z6). Per risolvere tale sistema di equazioni con Matlab, riscriviamo le equazioni informa omogenea

0 =−V1 +Vin− I1Z1 (B.2a)

0 =−V2 +VoutK (B.2b)

0 =−V2 +V1− I2Z2 (B.2c)

0 =−V2 + I2Z4 (B.2d)

0 =−I1 + I2 + I3 (B.2e)

0 =−Vout +V1− I3Z3 (B.2f)

Le (B.2) possono essere riscritte in forma matriciale come segue

000000

=

1 −1 0 0 −Z1 0 00 0 −1 K 0 0 00 1 −1 0 0 −Z2 00 0 −1 0 0 Z4 00 0 0 0 −1 1 10 1 0 −1 0 0 −Z3

︸︷︷︸

M

Vin

V1V2Vout

I1I2I3

︸︷︷︸

v

(B.3)

Dalla (B.3) si vede che il vettore v delle grandezze del circuito deve appartenere allo spazio nullo dellamatrice M. Poiche la matrice M ha 6 righe e 7 colonne ha uno spazio nullo non banale di dimensione 1.Cio e ragionevole poiche i valori delle grandezze nel circuito dipendono ovviamente (in maniera lineare)dal valore della tensione di ingresso Vin.

Per trovare le relazioni tra le grandezze possiamo usare il motore simbolico di Matlab. Dichiariamoquindi le grandezze simboliche che entrano nella definizione della matrice M

39

40 APPENDICE B. SOLUZIONI

>>> syms Z1 Z2 Z3 Z4 K

creiamo la matrice M

>>> M=[1, -1, 0, 0, -Z1, 0, 00, 0, -1, K, 0, 0, 00, 1, -1, 0, 0, -Z2, 00, 0, -1, 0, 0, Z4, 00, 0, 0, 0, -1, 1, 10, 1, 0, -1, 0, 0, -Z3];

e calcoliamo il vettore dello spazio nullo

>>> v0 = null(M);

Poiche noi siamo interessati al legame ingresso-uscita, calcoliamo il rapporto tra v0(4) (che corrispon-de a Vout) v0(1) (che corrisponde a Vin).

>>> pretty(v0(4)/v0(1))

Z4 Z3---------------------------------------------------------Z4 Z1 + Z3 Z1 K + Z3 Z4 K + Z3 Z2 K + Z1 Z4 K + Z1 Z2 K

Dividendo numeratore e denominatore del risultato per Z3Z4 si ottiene

1

−Z1Z3+K

(Z1Z4+1+ Z2

Z4+ Z1

Z3+ Z1Z2

Z3Z4

) (B.4)

B.2 Feedback multiplo

Per prima cosa scriviamo le equazioni

V1 =Vin− I1Z1 (B.5a)

0 =V1− I3Z3 (B.5b)

Vout =−Z5I3 (B.5c)

Vout =V1− I4Z4 (B.5d)

V1 = I2Z2 (B.5e)

I1 = I2 + I3 + I4 (B.5f)

Le stesse equazioni messe in forma omogenea

0 =Vin−V1− I1Z1 (B.6a)

0 =V1− I3Z3 (B.6b)

0 =−Vout +−Z5I3 (B.6c)

0 =V1−Vout − I4Z4 (B.6d)

0 =−V1 + I2Z2 (B.6e)

0 =−I1 + I2 + I3 + I4 (B.6f)

B.2. FEEDBACK MULTIPLO 41

Le stesse equazioni in forma matriciale

000000

=

1 −1 0 Z1 0 0 00 1 0 0 0 −Z3 00 0 −1 0 0 −Z5 00 1 −1 0 0 0 −Z40 −1 0 0 Z2 0 00 0 0 −1 1 1 1

Vin

V1Vout

I1I2I3I4

(B.7)

M =

[ 1, -1, 0, Z1, 0, 0, 0][ 0, 1, 0, 0, 0, -Z3, 0][ 0, 0, -1, 0, 0, -Z5, 0][ 0, 1, -1, 0, 0, 0, -Z4][ 0, -1, 0, 0, Z2, 0, 0][ 0, 0, 0, -1, 1, 1, 1]

>> v = null(M)

v =

(Z3*Z4*Z2-Z1*Z2*Z5-Z1*Z4*Z2-Z1*Z4*Z3-Z1*Z2*Z3)/Z4/Z2Z3

-Z5(Z2*Z5+Z4*Z2+Z4*Z3+Z2*Z3)/Z4/Z2

1/Z2*Z31

1/Z4*(Z3+Z5)

>> pretty(v(3)/v(1))

Z5 Z4 Z2- ----------------------------------------------------

Z3 Z4 Z2 - Z1 Z2 Z5 - Z1 Z4 Z2 - Z1 Z4 Z3 - Z1 Z2 Z3>>

Dividendo sopra e sotto per Z5Z4Z2 si ottiene

H(s) =− 1(Z3/Z5)−Z1/Z4−Z1/Z5− (Z1Z3)/(Z2Z5)− (Z1Z3)/(Z4Z5)

(B.8)

sostituendo

Z1 = 1/sC1 (B.9a)

Z2 = R1 (B.9b)

Z3 = 1/sC3 (B.9c)

Z4 = 1/sC2 (B.9d)

Z5 = R2 (B.9e)

42 APPENDICE B. SOLUZIONI

>> old=[Z1 Z2 Z3 Z4 Z5]

old =

[ Z1, Z2, Z3, Z4, Z5]

>> new=[1/(s*C1), R1, 1/(s*C3), 1/(s*C2), R2]

new =

[ 1/s/C1, R1, 1/s/C3, 1/s/C2, R2]

>> H_lp=subs(H, old, new)

H_lp =

R2*sˆ2*C1*C3*R1/(-R1*s*C1+R2*R1*sˆ2*C2*C3+R1*s*C3+1+R1*s*C2)

>> pretty(H_lp)

2R2 s C1 C3 R1

-------------------------------------------------2

-R1 s C1 + R2 R1 s C2 C3 + R1 s C3 + 1 + R1 s C2

progetto & implementazione di filtri analogici alla …bernardi/didattica/sis/lucidi/...8...

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