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PARTE II

Projeto AIUTAMecancia Classica II

C A P I T U L O– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

6ALGUNS METODOS EM CALCULO DE

VARIACOES

6.1 INTRODUCAO

Muitos problemas na Mecanica Newtoniana sao mais facilmente analisados por meio de enunciadosalternativos das leis, incluindo as equacoes de Lagrange e o princıpio de Hamilton.∗ Comouma introducao destas tecnicas, estudaremos neste capıtulo alguns princıpios gerais das tecnicasdo calculo de variacoes.

Sera dado mais enfase aqueles aspectos da teoria de variacoes que tem uma influencia direta emsistemas classicos, omitindo algumas provas de existencia. Nosso interesse inicial e na determinacaode caminhos que fornecem uma solucao extremada, por exemplo, a menor distancia (ou tempo)entre dois pontos. Um exemplo bem conhecido do uso da teoria de variacoes e o princıpio deFermat: a luz viaja pelo caminho que leva o menor tempo (veja Problema 6-7).

6.2 ENUNCIADO DO PROBLEMA

O problema basico do calculo de variacoes e determinar a funcao y(x) tal que a integral

J =∫ x2

x1

f{y(x), y′(x);x} dx (6.1)

seja um extremo (i.e., um maximo ou um mınimo). Na Equacao 6.1, y′(x) ≡ dy/dx, e o ponto evırgula em f separa a variavel independente x da variavel dependente y(x) e sua derivada y′(x).O funcional† f e fornecido, e seus limites de integracao sao fixos.‡ Entao varia-se a funcao y(x) ateque um valor extremo de J seja encontrado. Desta forma isto significa que se uma funcao y = y(x)fornece um valor mınimo para a integral de J , entao alguma funcao vizinha§, nao importando

∗O desenvolvimento do calculo de variacoes (ou simplesmente calculo variacional) comecou com Newton (1686) efoi extendido por Johann e Jakob Bernoulli (1696) e por Euler (1744). Tambem fizeram importantes contribuicoesAdrien Legendre (1786), Joseph Lagrange (1788), Hamilton (1833), e Jacobi (1837). Os nomes de Peter Dirichlet(1805–1859) e Karl Weierstrass (1815–1879) sao particularmente associados com o estabelecimento de uma rigorosafundamentacao matematica neste assunto.

†A grandeza f depende da forma funcional da variavel dependente y(x) e e chamado um funcional.‡Nao e necessario que os limites de integracao sejam fixos. Se sao permitidos variar, o problema aumenta, pois

sera necessario encontrar alem de y(x) tambem x1 e x2 para que J seja um extremo.§N.T.: aqui vizinha significa uma funcao proxima da funcao em questao.

1

2 - - - 6 / ALGUNS METODOS EM CALCULO DE VARIACOES

como ela se aproxima de y(x), deve fazer J aumentar. A definicao de uma funcao vizinha pode serobtida como segue. Fornecemos para todas as funcoes possıveis y uma representacao parametricay = y(α, x) tal que, para α = 0, y = y(0, x) = y(x) e uma funcao que produz um extremo para J .Entao podemos escrever

y(α, x) = y(0, x) + αη(x) (6.2)

onde η(x) e alguma funcao de x que tem a primeira derivada contınua e que se anula em x1

e x2, porque a funcao que varia y(α, x) deve ser identica a y(x) nos pontos finais do caminho:η(x1) = η(x2) = 0. A situacao e descrita esquematicamente na Figura 6-1.

FIGURA 6-1

Se funcoes do tipo dadas pela Equacao 6.2 sao consideradas, a integral J torna-se uma funcaodo parametro α:

J(α) =∫ x2

x1

f{y(α, x), y′(α, x);x} dx (6.3)

A condicao para que a integral tenha um valor estacionario (i.e., que resulta num extremo) e queJ seja independente de α em primeira ordem ao longo do caminho que forneca o extremo (α = 0),ou, de maneira equivalente, que

∂J

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0 (6.4)

para todas as funcoes η(x). Isto e somente uma condicao necessaria; mas nao suficiente.

EXEMPLO 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Considere a funcao f = (dy/dx)2, onde y(x) = x. Adicione em y(x) a funcao η(x) =sin x, e encontre J(α) entre os limites x = 0 e x = 2π. Mostre que o valor estacionariode J(α) ocorre para α = 0.

Solucao: podemos construir a funcao (vizinha) de caminhos variaveis adicionando a y(x),

y(x) = x (6.5)

a variacao senoidal α sinx,y(α, x) = x + α sinx (6.6)

Projeto AIUTA – Mecanica Classica II (UNIFRA–2003)

6.3. A EQUACAO DE EULER - - - 3

Estes caminhos estao ilustrados na Figura 6-2 para α = 0 e para dois valores diferentes nao nulosde α. Evidentemente, a funcao η(x) = sin x obedece as condicoes dos pontos extremos (finais), istoe, η(0) = 0 = η(2π). Para determinar f(y, y′;x) primeiro determinamos

dy(α, x)dx

= 1 + α cos x (6.7)

entao

f =(

dy(α, x)dx

)2

= 1 + 2α cos x + α2 cos2 x (6.8)

A Equacao 6.3 agora fica

J(α) =∫ 2π

0

(1 + 2α cos x + α2 cos2 x) dx (6.9)

= 2π + α2π (6.10)

Assim vemos que o valor de J(α) e sempre maior do que J(0), nao interessando qual o valor(positivo ou negativo) escolhido para α. A condicao da Equacao 6.4 e tambem satisfeita.

FIGURA 6-2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIM DO EXEMPLO 6.1

6.3 A EQUACAO DE EULER

Para determinar o resultado da condicao expressa pela Equacao 6.4, executaremos a diferenciacaoindicada na Equacao 6.3:

∂J

∂α=

∂

∂α

∫ x2

x1

f{y, y′;x} dx (6.11)



Como os limites de integracao sao fixos, a operacao diferencial afeta somente o integrando. Por-tanto,

∂J

∂α=

∫ x2

x1

(∂f

∂y

∂y

∂α+

∂f

∂y′∂y′

∂α

)dx (6.12)

Da Equacao 6.2, temos∂y

∂α= η(x);

∂y′

∂α=

dη

dx(6.13)

Assim a Equacao 6.12 fica∂J

∂α=

∫ x2

x1

(∂f

∂yη(x) +

∂f

∂y′dη

dx

)dx (6.14)

O segundo termo no integrando pode ser integrado por partes:∫u dv = uv −

∫v du (6.15)

∫ x2

x1

∂f

∂α

dη

dxdx =

∂f

∂y′η(x)

∣∣∣∣∣x2

x1

−∫ x2

x1

d

dx

(∂f

∂y′

)η(x) dx (6.16)

O termo integrado (primeiro termo do lado direito da igualdade) e nulo porque η(x1) = η(x2) = 0.Portanto, a Equacao 6.12 fica

∂J

∂α=

∫ x2

x1

[∂f

∂yη(x) − d

dx

(∂f

∂y′

)η(x)

]dx

=∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)η(x) dx (6.17)

A integral na Equacao 6.17 parece ser independente de α. Mas as derivadas de f em relacaoas funcoes y e y′, sao ainda funcoes de α. Como (∂J/∂α)|α=0 deve ser nula nos extremos e η(x)e uma funcao arbitraria (sujeita as condicoes ja declaradas), o integrando na Equacao 6.17 devenulo para α = 0:

∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′= 0 equacao de Euler (6.18)

onde, agora, y e y′ sao as funcoes originais, independentes de α. Este resultado e conhecido comoequacao de Euler,¶ a qual e uma condicao necessaria para J ter um valor extremo (ou umextremal).

EXEMPLO 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Podemos usar o calculo variacional para resolver um problema classico na historia dafısica: a braquistocrona‖ (brachistochrone).∗∗ Considere uma partıcula movendo-senum campo cuja forca seja constante, partindo do repouso em algum ponto (x1, y1)e deslocando-se para algum ponto mais abaixo (x2, y2). Encontre o caminho quepermite a partıcula completar o percurso no menor tempo possıvel..

Solucao: O sistema de coordenadas pode ser escolhido tal que o ponto (x1, y1) esteja na origem.Alem disto, a forca esta dirigida ao longo da parte positiva do eixo dos x, como mostra a Figura 6-3.Como a forca atuando na partıcula e constante — e se ignorarmos a possibilidade de atrito — o

¶Derivado primeiramente por Euler em 1744. Quando aplicada a sistemas mecanicos, esta e conhecida comoequacao de Euler-Lagrange.

‖O termo braquistocrona vem do grego brachys - breve; brachisto - o mais breve; chronos - tempo.∗∗Resolvido pela primeira por Johann Bernoulli (1667–1748) na Acta Eruditorum em Leipzig em Junho de 1696.



campo e conservativo, e a energia total da partıcula e T +U = constante. Se medirmos o potenciala partir do ponto x = 0 [i.e., U(x = 0) = 0], entao, como a partıcula parte do repouso, T + U = 0.A energia cinetica e T = 1

2mv2, e a energia potencial e U = −Fx = −mgx, onde g e a aceleracaotransmitida pela forca. Assim

v =√

2gx (6.19)

O tempo necessario para a partıcula transitar desde a origem ate (x2, y2) e

t =∫ (x2,y2)

(x1,y1)

ds

v=

∫(dx2 + dy2)1/2

(2gx)1/2

=∫ x2

x1=0

(1 + y′2

2gx

)1/2

dx (6.20)

O tempo de transito e a quantidade para a qual se deseja um mınimo. Como a constante (2g)−1/2

nao afeta a equacao final, o funcional f pode ser identificado como

f =(

1 + y′2

2gx

)1/2

(6.21)

E, como ∂f/∂y = 0, a equacao de Euler (Equacao 6.18) fica

d

dx

∂f

∂y′= 0

ou∂f

∂y′= constante ≡ (2a)−1/2

onde a e uma nova constante.

FIGURA 6-3

Realizando a diferenciacao ∂f/∂y′ na Equacao 6.21 e elevando ao quadrado o resultado, temos

(y′2)x(1 + y′2)

=12a

(6.22)

Isto pode ser colocado na forma

y =∫

x dx

(2ax − x2)1/2=

12a

(6.23)



Agora, fazendo a seguinte troca de variavel:

x = a(1 − cos θ)dx = a sin θ dθ (6.24)

A integral na Equacao 6.23 entao fica

y =∫

a(1 − cos θ) dθ

ey = a(θ − sin θ) + constante (6.25)

As equacoes parametricas para uma cicloide†† passando pela origem sao

x = a(1 − cos θ)y = a(θ − sin θ)

}(6.26)

a qual e apenas a solucao obtida, com um conjunto de constantes de integracao iguais a zero parase adequar com a necessidade que (0, 0) e o ponto de partida do movimento. O caminho e entaocomo mostra a Figura 6-4, e a constante a deve ser ajustada para permitir que a cicloide passepelos pontos especificados (x2, y2). Resolvendo o problema da braquistrocona realmente produziraum caminho para um tempo mınimo. Mas os procedimentos de calculo variacional sao projetadossomente para produzir um extremo‡‡ — um mınimo ou um maximo. Este e quase sempre o casoem dinamica que desejamos (e encontrar) um mınimo para o problema.

FIGURA 6-4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIM DO EXEMPLO 6.2

EXEMPLO 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Considere a superfıcie gerada pelo giro de uma linha que conecta dois pontos fixos(x1, y1) e (x2, y2) em trono de um eixo coplanar com os dois pontos. Encontre aqeuacao da linha que conecta os pontos tal a area da superfıcie gerada pela revolucao(i.e., a area da superfıcie de revolucao) seja um mınimo.

††Uma cicloide e uma curva tracada por um ponto sobre um cırculo que gira (rola) sobre um plano ao longo deuma linha no plano. Veja a esfera tracejada rolando ao longo de x = 0 na Figura 6-4.

‡‡N.T.: ou um extremal.



Solucao: Assumimos que a curva passando pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) e girada em torno doeixo-y, coplanar com os dois pontos. Para calcular a area total da superfıcie de revolucao, primeiroencontramos a area dA de uma faixa (hachurada na Figura 6-5). Referindo-se a esta figura, temos

dA = 2πx ds = 2πx(dx2 + dy2)1/2 (6.27)

A = 2π

∫ x2

x1

x(1 + y′2)1/2dx (6.28)

onde y′ = dy/dx. Para encontrar o valor extremo fazemos

f = x(1 + y′2)1/2 (6.29)

e inserimos na Equacao 6.18:

∂f

∂y= 0

∂f

∂y′=

xy′

(1 + y′2)1/2

portanto,

d

dx

[xy′

(1 + y′2)1/2

]= 0

xy′

(1 + y′2)1/2= constante ≡ a (6.30)

Da Equacao 6.30, determinamos

y′ =a

(x2 − a2)1/2(6.31)

y =∫

a dx

(x2 − a2)1/2(6.32)

FIGURA 6-5



A solucao desta integracao e

y = a cosh−1(x

a

)+ b (6.33)

onde a e b sao constantes de integracao que sao determinadas requerendo que a curva passe pelospontos (x1, y1) e (x2, y2). A Equacao 6.33 pode tambem ser escrita como

x = a cosh(

y − b

a

)(6.34)

a qual e mais facilmente identificada como a equacao de uma catenaria, a curva de uma cordaflexıvel suspensa livremente entre dois pontos que a suportam.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIM DO EXEMPLO 6.3

Escolha dois pontos localizados em (x1, y1) e (x2, y2) unidos por uma curva y(x). Procuramosencontrar y(x) tal que se girarmos a curva em trono do eixo-x, a area da superfıcie de revolucaoseja um mınimo. Este e o problema de uma “pelıcula de bolha de sabao”, porque uma pelıculade bolha de sabao suspensa entre dois aros circulares toma esta forma (Figura 6-6). Procuramosminimizar a integral de area dA = 2πy ds onde ds =

√1 + y′2 dx e y′ = dy/dx.

A = 2π

∫ x2

x1

y√

1 + y′2 dx (6.35)

Encontramos o extremo fazendo y√

1 + y′2 e inserindo na Equacao 6.18. As derivadas necessariassao

∂f

∂y=

√1 + y′2

∂f

∂y′=

yy′√1 + y′2

A Equacao 6.18 fica

FIGURA 6-6

√1 + y′2 =

d

dx

[yy′√1 + y′2

](6.36)

A Equacao 6.36 nao parece ser uma equacao de simples solucao para y(x). Vamos parar e pensar arespeito, se existe um metodo mais facil de solucao. Voce deve ter observado que este problema e


6.4. A “SEGUNDA FORMA” DA EQUACAO DE EULER - - - 9

como o Exemplo 6.3, mas nesse caso foi minimizada uma superfıcie de revolucao em torno tanto doeixo-y como em torno do eixo-x. A solucao para o problema da pelıcula de bolha de sabao deve seridentico a Equacao 6.34 se trocarmos x por y. Mas como finalizamos com uma equacao complicadacomo a Equacao 6.36? Escolhemos cegamente x como variavel independente e decidimos encontrary(x). De fato, em geral, podemos escolher a variavel independente como sendo alguma coisa queprocuramos: x, θ, t ou ate mesmo y. Se escolhemos y como variavel independente, precisaremostrocar x por y em varias equacoes anteriores que conduziram a equacao de Euler (Equacao 6.18).No princıpio poderia ser mais facil trocar as variaveis com as quais comecamos (i.e., chamandoo eixo horizontal y na Figura 6-6 e tomar como variavel independente a x). (No sistema decoordenadas a direcao-x deve ser para baixo, mas iste nao apresenta dificuldades neste caso porcausa da simetria.) Nao importa o que fazemos, a solucao do nosso presente problema apenascomparativo ao Exemplo 6.3. Infelizmente, nem sempre e possıvel olharmos a frente para fazermosa melhor escolha da variavel independente. Algumas vezes procedemos somente pelo metodo datentativa e erro.

6.4 A “SEGUNDA FORMA” DA EQUACAO DE EULER

Uma segunda forma pode ser obtida da equacao de Euler que e conveniente para funcoes que naosao explicitamente dependentes de x: ∂f/∂x = 0. Primeiro observamos que para cada funcaof(y, y′;x) a derivada e uma soma de termos

df

dx=

d

dxf{y, y′;x} =

∂f

∂y

dy

dx+

∂f

∂y′dy′

dx+

∂f

∂x

= y′∂f

∂y+ y′′

∂f

∂y′+

∂f

∂x(6.37)

E tambem qued

dx

(y′

∂f

∂y′

)= y′′

∂f

∂y′+ y′

d

dx

∂f

∂y′

ou, substituindo da Equacao 6.37 para y′′(∂f/∂y′),

d

dx

(y′

∂f

∂y′

)=

df

dx− ∂f

∂x− y′

∂f

∂y+ y′

d

dx

∂f

∂y′(6.38)

Os dois ultimos termos na Equacao 6.38 podem ser escritos como

y′(

d

dx

∂f

∂y′− ∂f

∂y

)a qual se anula em vista da equacao de Euler (Equacao 6.18). Portanto,

∂f

∂x− d

dx

(f − y′

∂f

∂y′

)= 0 (6.39)

Podemos usar a chamada “segunda forma” da equacao de Euler nos casos em que f nao dependaexplicitamente de x, e ∂f/∂x = 0. Entao,

f − y′∂f

∂y′= constante

(para

∂f

∂x= 0

)(6.40)



EXEMPLO 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uma geodesica e uma linha que representa o caminho mais curto entre quaisquerdois pontos quando este caminho e restrito a uma superfıcie particular. Encontre ageodesica sobre uma esfera.

Solucao: O elemento de comprimento sobre a superfıcie de uma esfera de raio ρ e dado (veja aEquacao F.15 com dr = 0) por

ds = ρ(dθ2 + sin2 θdφ2)1/2 (6.41)

A distancia s entre os pontos 1 e 2 e portanto

s = ρ

∫ 2

1

[(dθ

dφ

)2

+ sin2 θ

]1/2

dφ (6.42)

e, se s for um mınimo, f e identificado como

f = (θ′2 + sin2 θ)1/2 (6.43)

onde θ′ ≡ dθ/dφ. Como ∂f/∂φ = 0, podemos usar a segunda forma da equacao de Euler(Equacao 6.40), a qual fornece

(θ′2 + sin2 θ)1/2 − θ′ · ∂

∂θ′(θ′2 + sin2 θ)1/2 = constante ≡ a (6.44)

Diferenciando e multiplicando por f , temos

sin2 θ = a(θ′2 + sin2 θ)1/2 (6.45)

Esta pode ser resolvida para dφ/dθ = θ′−1, com o resultado

dφ

dθ=

a cosec2θ

(1 − a2cosec2θ)

1/2

(6.46)

Resolvendo para φ, obtemos

φ = sin−1

(cotag θ

β

)+ α (6.47)

onde alpha e a constante de integracao e β2 ≡ (1 − a2)/a2. Reescrevendo a Equacao 6.47 produz

cotag θ = β sin(φ − α) (6.48)

Para interpretar este resultado, converteremos a equacao para coordenadas retangulares por meioda multiplicacao por ρ sin θ para obter, com a expansao de sin(φ − α),

(β cos α)ρ sin θ sinφ − (β sinα)ρ sin θ cos φ = ρ cos θ (6.49)

Como α e β sao constantes, entao podemos escrever como

β cos α ≡ A, β sinα ≡ B (6.50)

Entao a Equacao 6.49 fica

A(ρ sin θ sinφ) − B(ρ sin θ cos φ) = (ρ cos θ) (6.51)

As quantidades entre parenteses sao apenas as expressoes para y, x e z, respectivamente, emcoordenadas esfericas (veja Figura F-3, Apendice F); entao a Equacao 6.51 pode ser escrito como

Ay − Bx = z (6.52)


6.5. FUNCOES COM VARIAS VARIAVEIS DEPENDENTES - - - 11

a qual e a equacao de um plano passando pelo centro da esfera. Consequentemente, a geodesicasobre uma esfera e o caminho (linha) formado pela interseccao de um plano com a superfıcie daesfera—um grande cırculo. Observe que o grande cırculo e a maxima como tambem a mınimadistancia em “linha reta” entre dois pontos sobre a superfıcie de uma esfera.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIM DO EXEMPLO 6.4

6.5 FUNCOES COM VARIAS VARIAVEIS DEPENDENTES

A equacao de Euler derivada na secao anterior e a solucao do problema variacional no qual oobjetivo era encontrar uma unica funcao y(x) tal que a integral da funcao f era um extremo. Maso mais comum de se encontrar na mecanica e que a funcao f seja um funcional de varias variaveisdependentes:

f = f{y1(x), y′1(x), y2(x), y′2(x), · · · ;x} (6.53)

ou simplesmentef = f{yi(x), y′i(x);x} , i = 1, 2, · · · , n (6.54)

Em analogia com a Equacao 6.2, escrevemos

yi(α, x) = yi(0, x) + αηi(x) (6.55)

O desenvolvimento procede analogamente (conforme a Equacao 6.17), resultando em

∂J

∂α=

∫ x2

x1

∑i

(∂f

∂yi− d

dx

∂f

∂y′i

)ηi(x) dx (6.56)

Como as variacoes individuais – o ηi(x) – sao todas independentes, a Equacao 6.56 se anula quandocalculado em α = 0 requer separadamente a anulacao de cada expressao entre parenteses:

∂f

∂yi− d

dx

∂f

∂y′1= 0 , i = 1, 2, · · · , n (6.57)

6.6 EQUACOES DE EULER QUANDO CONDICOES AUXILIARES SAO IMPOSTAS

Suponha que queremos encontrar, por exemplo, o caminho mais curto entre dois pontos sobreuma superfıcie. Entao, em adicao as condicoes ja discutidas, ha a condicao que o caminho devesatisfazer a equacao de superfıcie, digamos, g{yi, x} = 0. Tal equacao estava implıcita na solucaodo Exemplo 6.4 para a geodesia em uma esfera onde a condicao era

g =∑

i

x2i − ρ2 = 0 (6.58)

isto er = ρ = constante (6.59)

Mas no caso geral, devemos fazer uso explıcito da equacao auxiliar ou equacoes auxiliares. Estascondicoes sao tambem chamadas de equacoes de vınculo. Considere o caso em que

f = f{yi, y′i;x} = f{yi, y

′i, zi, z

′i;x} (6.60)

A equacao correspondente a equacao 6.17 para o caso de duas variaveis e

∂J

∂α=

∫ x2

x1

[(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)∂y

∂α+

(∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′

)∂z

∂α

]dx (6.61)



Mas agora tambem existe uma equacao de vınculo da forma

g{yi;x} = g{y, z;x} = 0 (6.62)

e as variacoes ∂y/∂α e ∂z/∂α nao sao mais independentes, entao as expressoes entre parentesesna Equacao 6.61 nao se anulam separadamente para α = 0.

Diferenciando g da Equacao 6.62, temos

dg =(

∂g

∂y

∂y

∂α+

∂g

∂z

∂z

∂α

)dα = 0 (6.63)

onde nem um termo em x aparece, visto que ∂x/∂α = 0. Agora

y(α, x) = y(x) + αη1(x)

z(α, x) = z(x) + αη2(x)

}(6.64)

Entao, determinando ∂y/∂α e ∂z/∂α da Equacao 6.64 e inserindo no termo entre parenteses naEquacao 6.63, o que em geral, deve ser zero, obtemos

∂g

∂yη1(x) = −∂g

∂zη2(x) (6.65)

A Equacao 6.61 fica

∂J

∂α=

∫ x2

x1

[(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)η1(x) +

(∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′

)η2(x)

]dx

Fatorando η1(x) fora dos parenteses e escrevendo a Equacao 6.65 como

η2(x)η1(x)

= −∂g/∂y

∂g/∂z

temos∂J

∂α=

∫ x2

x1

[(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)−

(∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′

) (∂g/∂y

∂g/∂z

)]η1(x)dx (6.66)

Esta ultima equacao agora contem a unica funcao arbitaria η1(x), que nao e de nenhuma formarestringida pela Equacao 6.64, e requerendo a condicao da Equacao 6.4, a expressao entre perentesesdeve anular-se. Desta forma temos(

∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

) (∂g

∂y

)−1

=(

∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′

) (∂g

∂z

)−1

(6.67)

O lado esquerdo desta equacao envolve apenas derivadas em relacao a f e g com respeito a y e y′,e o lado direito envolve somente derivadas em relacao a z e z′. Como y e z sao ambos funcoes dex, os dois lados da Equacao 6.67 pode ser igual a uma funcao de x, que escrevemos como −λ(x):

∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′+ λ(x)

∂g

∂y= 0

∂f

∂z− d

dx

∂f

∂z′+ λ(x)

∂g

∂z= 0

(6.68)

A solucao completa para o problema agora esta em achar tres funcoes: y(x), z(x) e λ(x). Existemporem, tres relacoes que podem ser usadas: as duas equacoes (Equacao 6.68) e a equacao de vınculo(Equacao 6.62). Assim, ha um numero suficiente de equacoes para permitir uma solucao completa.


6.6. EQUACOES DE EULER QUANDO CONDICOES AUXILIARES SAO IMPOSTAS - - - 13

Note que aqui λ(x) e considerado como indeterminado e e obtida como parte da solucao. A funcaoλ(x) e conhecida como um multiplicador indeterminado de Lagrange.

Para o caso geral de muitas variaveis dependentes e muitas condicoes auxiliares, temos oseguinte grupo de equacoes:

∂f

∂yi− d

dx

∂f

∂y′i+

∑j

λj(x)∂gi

∂yi= 0 (6.69)

gj{yi;x} = 0 (6.70)

Se i = 1, 2, · · · ,m e j = 1, 2, · · · , n, a Equacao 6.69 representa m equacoes em m+n incognitas,mas tambem ha as n equacoes de vınculo (Equacao 6.70). Deste modo, ha m + n equacoes emm + n incognitas, e o sistema e soluvel.

A Equacao 6.70 e equivalente ao conjunto de n equacoes diferenciais

∑i

∂gj

∂yidyi = 0,

{i = 1, 2, · · · ,m

j = 1, 2, · · · , n(6.71)

Em problemas de mecanica, as equacoes de vınculo sao frequentemente equacoes diferenciais doque equacoes algebricas. Contudo, equacoes como a Equacao 6.71 sao muitas vezes mais uteis doque equacoes representadas pela Equacao 6.70. (Veja Secao 7.5 para um aprofundamento sobreeste assunto.)

EXEMPLO 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Considere um disco girando sem escorregar em um plano inclinado (Veja Figura 6-5).Determine a equacao de vınculo em termos das coordenadas y e θ.

Solucao: A relacao entre as coodenadas (que nao sao independentes) e

y = Rθ (6.72)

onde R e o raio do disco. Portanto a equacao de vınculo e

FIGURA 6-7

g(y, θ) = y − Rθ = 0 (6.73)

A funcao λ(x) foi introduzida em Mecanique analytique de Lagrange (Paris, 1788).Estas sao na verdade as coordenadas generalizadas discutidas na Secao 7.3; veja tambem o Exemplo 7.9.



e∂g

∂y= 1,

∂g

∂θ= −R (6.74)

sao as quantidades associadas com λ, o multiplicador indeterminado para este caso.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FIM DO EXEMPLO 6.5

6.7 A NOTACAO δ

Em analises que utilizam o calculo de variacoes, como de costume usamos uma notacao es-tenografica para representar a variacao. Assim, a Equacao 6.17, que pode ser escrita da forma

∂J

∂αdα =

∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)∂y

∂y′dαdx (6.75)

pode ser expressa como

δJ =∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)δydx (6.76)

onde∂J

∂αdα ≡ δJ

∂y

∂αdα ≡ δy

(6.77)

A condicao de extremo entao se torna

δJ = δ

∫ x2

x1

f{y, y′;x}dx = 0 (6.78)

Tomando o sımbolo variacional δ dentro da integral (porque, por hipotese, os limites de integracaonao sao afetados pela variacao), temos

δJ =∫ x2

x1

δfdx

=∫ x2

x1

(∂f

∂yδy +

∂f

∂y′δy′

)dx

(6.79)

Mas

δy′ = δ

(dy

dx

)=

d

dx(δy) (6.80)

entao

δJ =∫ x2

x1

(∂f

∂yδy +

∂f

∂y′d

dxδy

)dx (6.81)

Integrando o segundo termo por partes, como antes, encontramos

δJ =∫ x2

x1

(∂f

∂y− d

dx

∂f

∂y′

)δydx (6.82)

Como a variacao δy e arbitraria, a condicao de extremo δJ = 0 requer que o integrando desapareca,fornecendo atraves disso a equacao de Euler (Equacao 6.18).

N.T.: estenografica e relativo a estenografia, ou seja, a escrita abreviada e simplificada, na qual se empregamsinais que permitem escrever com amesma rapidez com que se fala; taquigrafia, logografia.


6.7. A NOTACAO δ - - - 15

FIGURA 6-8

Embora a notacao δ seja frequentemente usada, e importante perceber que e apenas umaexpressao estenografica (abreviada) de quantidades diferenciais mais precisas. O caminho variadoδy pode ser pensado fisicamente como um deslocamento virtual do caminho atual consistente comtodas as forcas e vınculos (veja Figura 6-8). Esta variacao δ e diferenciada de um diferencial decamnho real dy pela condicao dt = 0 –ou seja, o tempo e fixo. O caminho variado δ, na verdade,nao necessita nem mesmo corresponder a um possıvel caminho de movimento. A variacao deve sernula nos extermos.

PROBLEMAS

6-1. Considere a linha conectando (x1, y1) = (0, 0) e (x2, y2) = (1, 1). Mostre explicitamenteque a funcao y(x) = x produz um comprimento de caminho mınimo usando uma funcao variavely(α, x) = x+α sin(π(1−x)). Use os primeiros termos na expansao do resultado da integral elıpticapara mostrar o equivalente da Equacao 6.4.

6-2. Mostre que a menor distancia entre dois pontos num plano e uma linha reta.

6-3. Mostre que a menor distancia entre dois pontos no espaco (tridimensional) e uma linha reta.

6-4. Mostre que a geodesica sobre uma superfıcie de um cilindro circular reto e um segmento deuma helice.

6-5. Considere a superfıcie gerada pela revolucao de uma linha que conecta dois pontos fixos(x1, y1) e (x2, y2) em torno de um eixo coplanar com os dois pontos. Encontre a equacao da linhaque conecta os pontos tal que a area da superfıcie gerada pela revolucao (i.e., a area da superfıciede revolucao) seja um mınimo. Obtenha a solucao usando a Equacao 6.39.

6-6. Reexamine o problema da braquistocrona (Exemplo 6.2) e mostre que o tempo requerido paraa partıcula se mover (sem atrito) ate o ponto de mınimo da cicloide e π

√a/g, independente do

ponto de partida.

6-7. Considere a luz passando de um meio, com ındice de refracao n1 para outro meio com ındicede refracao n2 (Figura 6-A). Use o princıpio de Fermat para minimizar o tempo, e derive a lei darefracao: n1 sin θ1 = n2 sin θ2.

6-8. Encontre as dimensoes do paralelepıpedo de volume maximo circunscrito por (a) uma esferade raio R; (b) um elipsoide com semi-eixos a, b, c.

6-9. Encontre uma expressao envolvendo a funcao φ(x1, x2, x3) que tem um valor medio mınimodo quadrado de seu gradiente dentro de um certo volume V do espaco.



FIGURA 6-A

6-10. Encontre a relacao do raio R com a altura H de um cilindro circular reto de volume fixo Vque minimiza a area da superfıcie A.

6-11. Um disco de raio R rola sem deslizar em uma superfıcie em forma de uma parabola y = x2.Encontre a equacao de vınculo. Expresse a condicao que permite o disco rolar tal que ele entre emcontato (toque) a curva parabolica em um e somente um ponto, independente de sua posicao.

6-12. Repita o Exemplo 6.4, encontrando o caminho mais curto entre cada dois pontos sobrea superfıcie de uma esfera, mas use o metodo da equacao de Euler com uma condicao auxiliarimposta.


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