PROYECTO DE CÁLCULO INTEGRAL

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

Proyecto de Cálculo Integral

TEMA

Aplicaciones del Cálculo Integral

Integrantes

Byron CalderónMaría Claudia Orozco

Pedro SolísCarolina Trujillo

Profesora

Ing. María Nela Pastuizaca Fernández

Paralelo8

Año2011-2012

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ÍNDICE

Objetivo……………………………………………………………………………………………………………4

Problema………………………………………………………………………………………………………….5

Justificación……………………………………………………………………………………………………..6

Marco Teórico……………………………………………………………………………..……………….…7

Resolución del Problema………………………………………………………………………..………13

Resultados………………………………………………………………………………………………………16

Conclusión…………………………………………………………………………………………..………17

Bibliografía………………………………………………………………………………………………….…18

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OBJETIVO

Calcular la longitud de arco del cable de un puente suspendido, aplicando los conocimientos del cálculo integral. Para mejorar las condiciones apropiadas para la construcción de dicho puente, calcularemos la resistencia de las vigas y el área que se genera bajo la curva.

PROBLEMA

El puente suspendido

Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una parábola con la ecuación y=k x ². Sea h para representar la altura del cable de su punto más bajo a su punto más alto y sea 2w para representar la anchura total del puente. Calcular la longitud del cable está dada por

C=2∫0

w

√1+( 4h2

w4)x ²dx

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*Resistencia

En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.

El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.

*Material:

1.-Acero

2.-Obtención: Fundición de Hierro (99%) y Carbono (1%). Si se añade Cromo o Niquel es inoxidable.

3.-Tipos: Acero al carbono, acero inoxidable, Hierro fundido, etc.

4.-Propiedades: Dureza alta, no frágil, flexible, moldeable a altas temperaturas.

5.-Aplicaciones: Industrias, edificios, llaveros, relojes, etc.

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JUSTIFICACIÓN

Este proyecto se lo realizo con la finalidad de aplicar el conocimiento del cálculo integral en un problema de la vida real para encontrar soluciones más eficaces.

Que nos lleve a la elaboración de puentes mas seguros en el mundo teniendo en cuenta el entorno que nos rodea.

MARCO TEÓRICO

Puente

Es una estructura que proporciona una vía de paso sobre el agua, una carretera o un valle. Los puentes suelen sustentar un camino, una Carretera o una vía férrea, pero también pueden transportar tuberías y líneas de distribución de energía.

Tipos de Puentes

Puentes móvilesEste tipo de construcciones se sitúan sobre vías de navegación, desplazándose por elevación, giro o deslizamiento para que pasen las embarcaciones.

Se utilizan puentes móviles donde la instalación de un puente tradicional no permitiría el paso de embarcaciones por un determinado canal navegable. Existen diferentes tipos y variedades de puentes móviles entre los cuales están:

Puentes de Elevación Vertical

Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos para levantar una sola sección del puente en forma vertical como si fuera un elevador. Cuando el puente esta arriba pueden pasar por debajo barcos con la altura máxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en los extremos construidas generalmente con piezas de acero.

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Puentes de Tipo Báscula

Los puentes de báscula tienen dos secciones que giran hacia arriba utilizando engranajes, motores y contrapesos. La diferencia con los puentes de elevación verticales es que cuando su brazos están abiertos, no hay obstáculos verticales al tráfico en el río. Generalmente la maquinaria para elevar las dos grandes partes del puente estan situadas en los extremos protegidas del medioambiente.

Puentes de Oscilación

Los puentes de oscilación rotan sus secciones sobre un eje o pedestal, permitiendo así la circulación de los barcos por el río. En los casos donde el pedestal no se puede situar en el centro del canal, el puente puede ser situado sobre o de los lados del canal. Los puentes del oscilación son más lentos en su funcionamiento que otros tipos de puentes movibles y muchos de ellos han sido substituidos por puentes de báscula.

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Puentes Fijos

Puentes en Arco

Están constituidos básicamente por una sección curvada hacia arriba que se apoya en unos soportes o estribos y que abarca una luz o espacio vacío. En ciertas ocasiones el arco es el que soporta el tablero del puente sobre el que se circula, mediante una serie de soportes auxiliares, mientras que en otras de él es del que pende el tablero mediante la utilización de tirantes. La sección curvada del puente está siempre sometida a esfuerzos de compresión, igual que los soportes, tanto del arco como los auxiliares que sustentan el tablero. Los tirantes soportan esfuerzos de tracción.

Puente de la Vicaria (España)

Cantilever

El peso de este tipo de construcciones (de acero u hormigón) se divide en dos partes simétricas y se sostiene desde el centro, como sucede en muchos puentes levadizos

Puente de Quebec (Canadá)

De tirantes

Se caracterizan porque los tramos no se sujetan por sus extremos, sino cerca del centro de sus vigas.

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Dos de las características de estos puentes es el número de pilones, hay puentes con uno solo, o con varios, lo más típico es estar construidos con un par de torres cerca de los extremos.

Puente de Normandía

De Armadura

Los puentes de este tipo constan de dos vigas laterales, permiten abarcar grandes distancias y admiten la zona de tránsito entre las sujeciones o por encima de ellas.

Atirantado (En arpa)

Es aquel cuyo tablero está suspendido de uno o varios pilones centrales mediante obenques. Se distingue de los puentes colgantes porque en éstos los cables principales se disponen de pila a pila, sosteniendo el tablero mediante cables secundarios verticales, y porque los puentes colgantes trabajan principalmente a tracción, y los atirantados tienen partes que trabajan a tracción y otras a compresión.

Puentes Colgantes o suspendidos

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En esta clase de construcciones de gran altura, el peso del puente se sostiene sobre los soportes verticales que se apoyan en el suelo y en los anclajes de las cuerdas. Las torres se fijan a los pilares de sujeción, que pueden estar muy separados entre sí, y sirven de apoyo para los distintos cables.

Golden Gate Bridge (San Francisco, California)

Puente De Arcos

En época romana y medieval, los puentes sobre arcos se construían con piedra y ladrillo. A partir del siglo XIX, se empezó a utilizar el hierro, lo que permitió edificar construcciones más largas. En 1874, el ingeniero estadounidense James Buchanan Eads edificó el primer puente de acero, en Saint Louis (Estados Unidos). A comienzos del siglo XX, se desarrolla la fabricación con hormigón armado, como en el puente del Esla (España), del año 1940.

Hell Gate Bridge (New York)

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

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y=k x2 , k= 4h ²w ⁴

C=2∫0

w

√1+kx ² dx

√kx √1+kx ²

1

√k x=Tanθ

x=Tanθ√k

dx= Sec ²θ

√k

C=2∫0

w

√1+ kTan ²θk

1√kSec ²θ

C=2∫0

w

√1+ tan ²θ1√kSec ²θdθ

C=2∫0

w1√k √Sec ²θSec ²θdθ

C=2∫0

w1√kSec ³θdθ

Utilizamos la integración por partes donde:

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u=Secθdθ

du=SecθTanθdθ

dv=Sec ²θdθ

v=Tanθ

2√k∫0

w

Sec ³θ dθ= 2√k [SecθTanθ−∫

0

w

tan ²θSecθdθ]2√k∫0

w

Sec ³θ dθ= 2√k [SecθTanθ−∫

0

w

(Sec ²θ−1 )Secθdθ ]2√k∫0

w

Sec ³θ dθ= 2√k [SecθTanθ−∫

0

w

(Sec ³θ−Secθ )dθ ]2√k∫0

w

Sec ³θ dθ= 2√k [SecθTanθ−∫

0

w

Sec ³θdθ+∫0

w

Secθdθ ]2√k∫0

w

Sec ³θ dθ+ 2√k∫0

w

Sec ³θdθ= 2√kSecθTanθ+ 2

√k∫0w

Secθdθ

2√k

(2∫0

w

Sec3θdθ)= 2√kSecθTanθ+ 2

√kln|Secθ+Tanθ|

2√k∫0

w

Sec3θdθ= 1√kSecθTanθ+ 1

√kln|Secθ+Tanθ|

2√k∫0

w

Sec3θdθ= 1√k √1+kx ²√k x+ 1

√kln|√1+kx ²+√k x|

2√k∫0

w

Sec3θdθ=w ²2h √1+ 4h ²

w ⁴x ²( 2h

w2 ) x+w ²2h

ln|√1+ 4 h ²w ⁴

x ²+ 2hxw |

Simplificando:

2√k∫0

w

Sec3θdθ=√1+ 4h ²w ⁴

x ² x+w ²2h

ln|√1+ 4h ²w ⁴

x ²+ 2hxw |

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*Luego, calculamos el valor de la integral y obtenemos la longitud de arco del puente suspendido.

Sabiendo que (Valores aproximados):

W: 1110m

H: 155,5m

*Obtenemos

C= 23,905.49833 m

*Resistencia:

W=?

Por propiedad del puente:

39,00+8,00=47,000 libras

W= 4700\2= 23,500 libras\pies

d= 1110m 3641,7 pies

h= 155,5m 510,17 pies

Td=wd❑√¿¿

Td=(23,500)(3641,7)❑√¿¿

Td=317206,28 libras

Td=(2)317206.28 libras

Td=63442.57 libras

RESULTADOS

La longitud del cable del puente suspendido está dada por:

C= 23,905.49833m

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Calculo de la resistencia Td= 63442.57 libras

CONCLUSIÓN

Pudimos calcular la longitud de arco de un puente suspendido utilizando los conocimientos del cálculo integral.

Se logró el objetivo esperado de aproximar el valor de la longitud de arco de un puente suspendido.

BIBLIOGRAFIA

http://www.galeon.com/puentes/tipos/tiposdeponts.htm

http://www.hispago.com/arquitectura/puentes-de-chicago/puentes-moviles

http://aula2.elmundo.es/aula/laminas/lamina1078308155.pdf

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