B.A. Ferrif

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152

4-Rseaux de files dattente

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153

Prrequis et ObjectifsCe que vous devez au minimum matriser pour aborder ce chapitre :

Probabilits : Concepts despace probabilisable et despace probabilis, de

variable alatoire, de moments dune variable alatoire, de dpendance et

dindpendance (en thorie des probabilits); la formule de Bayes. Les lois deBernoulli, exponentielle, de Poisson, ainsi que leurs principales

caractristiques. Les fonctions gnratrices.

Ce que vous devez matriser pour tirer pleinement profit de ce chapitre :

En plus des lments prcdents :

Informatique: des lments d'algorithmique et des lments de

programmation sous Mathematica ou sous un autre langage pour raliser les

simulations.

Analyse : Transformation de Fourier , en Z.

Probabilits : Les fonctions gnratrices.

Systmes stochastiques : Les processus de naissance et de disparition.

Ce que vous devez savoir faire la fin de cette leon :

Savoir reconnatre et utiliser les concepts de files d'attente et de rseaux de

files d'attente dans des cas simples.

Savoir modliser et simuler des problmes qui relvent de ces concepts.

B.A. Ferrif

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154

Ce qui vous est propos dans ce chapitre :

Aborder les concepts gnraux,

Se familiariser avec la modlisation de files d'attente ou de rseaux de files

d'attente dans des cas simples

Sexercer sur des applications immdiates,

Rflchir sur des problmes concrets et de synthse,

Svaluer par tests de connaissance et de savoir-faire.

B.A. Ferrif

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155

1-Systme files d'attente

1-1- Schma gnral

Un systme files d'attente est constitu :

d'un ensemble de clients pris dans une population donne (client est un motgnrique pour dsigner aussi bien un individu qu'une requte un systme

informatique ...),

d'un ensemble d'quipements de service (quipement de service = serveurdestin rpondre la demande du client).

d'un ensemble de files d'attente (si tous les serveurs sont occups lorsquunclient arrive, celui-ci doit rejoindre la ou les files d'attente).

1-2- Description des caractristiques d'un systme files d'attente (SAFA).Parmi les lments qui permettent de caractriser un SAFA on trouve :

B.A. Ferrif

24/07/01

156

La population ou source : celle-ci peut tre finie ou infinie. Il est clair qu'une

population infinie est plus simple dcrire qu'une population finie en ce sens

que le nombre de clients dans le systme n'affecte pas le modle d'arrive

des clients dans ce dernier.

Le modle des arrives : La capacit d'un SAFA fournir un service un flot

de clients dpend non seulement du taux moyen des arrives mais galement

du modle de ces arrives. Ainsi supposons que les clients arrivent aux

instants 0 0 1 2< < < < <

B.A. Ferrif

24/07/01

157

Supposons le systme plusieurs serveurs identiques, chacun possdant

une distribution exponentielle de dure de service gale , et supposons de

plus qu' l'instant prsent, n serveurs soient occups. Dsignons alors par Ti

le temps pendant lequel le serveur i (i=1,..,n) va demeurer occup par leservice en cours. Il rsulte de la proprit de Markov que chaque variable

alatoire Ti a pour loi une loi exponentielle de paramtre . Si T dsigne la

dure s'coulant jusqu' l'achvement de la premire tche en cours, cette

dure est gale Min T T Tn1 2, ,...,( ) ; il s'ensuit que la distribution de T est unedistribution exponentielle de paramtre n.m .

Fonction de rpartition du service alatoire :

Dans toute la thorie des files d'attente, la distribution de la dure des services

s'appelle le service alatoire et la fonction de rpartition est donne par :

W t P s t e est

t

Ws( ) =

B.A. Ferrif

24/07/01

158

Nombre de serveurs

Le systme le plus simple a un seul serveur, il ne peut servir qu'un seul client

la fois.

Un systme multiserveur a c serveurs habituellement indentiques , un tel

systme peut servir c clients simultanment.

Un systme est dit un nombre infini de serveurs si tout client pntrant dans

le systme est immdiatement trait.

Discipline de file d'attente ( ou discipline de service) :Plusieurs rgles de slection existent pour slectionner le client traiter; les

plus courantes sont :

FIFO (first-in, first-out) encore dite FCFS (first-come, first-served),

LCFS (last-come, first-served), encore dite LIFO (last-in, first-out),

RSS (random-selection-for-service), encore dite SIRO (service-in-random- order).

1-3- Notation de Kendall.

Cette notation est souvent utilise pour dcrire un systme files d'attente; elle

se prsente sous la forme suivante :

A/B/c/K/m/Z o :

A dsigne la distribution des temps entre deux arrives,

B dsigne la distribution des dures de service,

B.A. Ferrif

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159

c le nombre de serveurs,

K la capacit du systme,

m la taille de la population,

Z la discipline de service.

Les symboles habituellement utiliss pour A et B sont :

GI (general independent interarrival time), G (general service time), Hk (k-stage hyperexponential interarrival or service time distribution), Ek (Erlang-k interarrival or service time distribution), M (exponential interarrival or service time distribution), D (deterministic (constant) interarrival or service time distribution), U (uniform interarrival or service time distribution).

La notation abrge A/B/c est d'usage frquent; elle suppose: qu'il n'y a pas de

limite la longueur de la file d'attente, que l'ensemble des clients est infini et que

la discipline de file est FCFS.

Ainsi par file d'attente de type M/G/1 nous entendrons que les quations du

modle sont valables en gnral, donc par exemple pour un systme M/M/1.

1-4- Notations et dfinitions de base pour les systmes files d'attente.

Les notations suivantes sont courantes :

B.A. Ferrif

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160

c Nombre de serveurs identiques.

L Nombre moyen de clients dans le systme l'quilibre L E N= ( ).Lq Nombre moyen de clients dans la file d'attente l'quilibre,

L E Nq q= ( ).Ls Nombre moyen de clients recevant un service dans le systme

l'quilibre, L E Ns s= ( ).l Taux moyen des arrives dans le systme.

m Taux moyen de service par serveur.

N t( ) Variable alatoire dcrivant le nombre de clients dans le systme l'instant t.

N Variable alatoire dcrivant le nombre de clients dans le systme

l'quilibre.

N tq ( ) Variable alatoire dcrivant le nombre de clients dans la file d'attente l'instant t.

Nq Variable alatoire dcrivant le nombre de clients dans la file

l'quilibre.

N ts( ) Variable alatoire dcrivant le nombre de clients recevant un service l'instant t.

Ns Variable alatoire dcrivant le nombre de clients recevant un

service dans le systme l'quilibre.

p tn ( ) Probabilit de la prsence de n clients dans le systme l'instantt.

pn Probabilit de la prsence de n clients dans le systme l'tat

d'quilibre.

B.A. Ferrif

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161

q Variable alatoire dcrivant le temps pass par un client dans la file

d'attente (avant de recevoir un service).

r Utilisation de serveurs r lm

= =

c

E Nc

s( ).

s Variable alatoire dcrivant le temps de service E s( ) = 1m

.

t Variable alatoire dcrivant le temps d'inter-arrive E( )tl

=

1.

w Variable alatoire dcrivant le temps total qu'un client passe dans

le systme w q s= + .

W Temps moyen pass par un client dans le systme l'quilibre

W E w W Wq s= ( ) = + .Wq Temps moyen pass par un client dans la file d'attente l'quilibre

W E q W Wq s= ( ) = - .Ws Temps moyen pass en traitement par un client dans le systme

l'quilibre W E ss = ( ) .

1-5- Loi de Little

Dsignons par :

L le nombre moyen de consommateurs dans le systme,

W le temps moyen pass par un consommateur dans le systme,

l le taux moyen d'arrive dans le systme.

La loi de Little dit que , dans un systme en quilibre, L W= l .

B.A. Ferrif

24/07/01

162

Une autre version de ce rsultat est le :

Thorme de Little : Soit L(x) le nombre de consommateurs prsents dans lesystme l'instant x. Dfinissons :

L par L Limt

L x dxtt

= +

10

( ) ,

l par l = +Lim

N ttt( )

o N t( ) est le nombre de consommateurs arrivant

dans le systme dans l'intervalle de temps 0,t[ ],dsignons par Wi le temps pass dans le systme pour le i-me consommateur

et dfinissons le temps moyen pass dans le systme par W Limn

Wn ii

n

= +

=

11

.

Si l et W existent et sont finis, il en est de mme de L et on a : L W= l .

2- Processus de naissance et de disparition considrs

comme systmes files d'attente.

Un grand nombre de systmes files d'attente se modlisent comme des

processus de naissance et de disparition. Dans ce cas l'interprtation est la

suivante : le systme sera dans l'tat n l'instant t si et seulement si le nombre

de consommateurs dans le systme est n, c'est--dire N t n( ) = . Une naissanceest l'arrive d'un consommateur, une disparition correspond au dpart d'un

consommateur aprs que celui-ci ait reu un traitement complet. Nous ne

considrerons que les SAFA l'tat d'quilibre.

B.A. Ferrif

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163

Ainsi, tant donns lensemble ln{ } des taux de naissances et lensemble mn{ }des taux de disparition, on sait que si on pose P t P X nn t( ) = =( ) et si pour tout n,P t pn n( ) = (cest--dire si P tn ( ) ne dpend pas de t) on a :

p p nnn

n

n++

=

11

0lm

. , soit p p1 01

0=

l

m

. , p p21

21=

l

m

. ,

p p nnn

n

=

-l l l

m m m

0 1 1

1 20 1

. ...

. ...

. .

La probabilit que le systme soit dans l'tat eo est donne par pnn N

= 1 .

On a donc p p Snn

00

1

0 1 1

1 201 1. ...

. ...

. ...

.... . ,+

+ +

+

= =-

l

m

l l l

m m m

et l'quilibre statistique existe si S < + .

3- Etude dune file dattente de type M/M/1

3-1- Rappel de quelques notations et dfinitions de base pour les systmes

files d'attente.

L Nombre moyen de clients dans le systme l'quilibre L E N= ( ).Lq Nombre moyen de clients dans la file d'attente l'quilibre,

L E Nq q= ( ).Ls Nombre moyen de clients recevant un service dans le systme

l'quilibre, L E Ns s= ( ).l Taux moyen des arrives dans le systme.

B.A. Ferrif

24/07/01

164

m Taux moyen de service par serveur.

N Variable alatoire dcrivant le nombre de clients dans le systme

l'quilibre.

Nq Variable alatoire dcrivant le nombre de clients dans la file

l'quilibre.

Ns Variable alatoire dcrivant le nombre de clients recevant un

service dans le systme l'quilibre.

pn Probabilit de la prsence de n clients dans le systme l'tat

d'quilibre.

r Utilisation de serveurs r lm

= =

c

E Nc

s( ).

(c reprsente le nombre de serveurs identiques).W Temps moyen pass par un client dans le systme l'quilibre

W E w W Wq s= ( ) = + .Wq Temps moyen pass par un client dans la file d'attente l'quilibre

W E q W Wq s= ( ) = - .Ws Temps moyen pass en traitement par un client dans le systme

l'quilibre W E ss = ( ) .

3-2- Caractristiques des systmes files d'attente de type M/M/1

Dans un systme de type M/M/1 :

le modle des arrives est poissonien; si nous dsignons par l le taux des

arrives , il est indpendant du nombre de consommateurs dans le systme,

B.A. Ferrif

24/07/01

165

le temps de service est exponentiel de moyenne m ; cette moyenne est

indpendante du nombre de consommateurs dans le systme.

le nombre de serveurs est gal 1.

Les caractristiques les plus utilises des systmes files d'attente de type

M/M/1 sont donnes par le thorme suivant :

Thorme : Un systme files d'attente de type M/M/1 possde les

caractristiques suivantes:

r l= Ws ;

p P N nnn

= = = -( ) ( )1 r r , n=0,1,2, ... ;

P N n n Nn( ) , = r ;

L E N W= = =-

( ) l rr1

;

E Nq( ) =-

r

r

2

1;

s

r

r

N2

21=

-( ) ;

L Wq q= =-

l

r

r

2

1 ;

s

r r r

r

Nq2

2 2

211

=

+ -

-

( )( ) ;

W E w Ws= =-

( )1 r

;

W Wq s=-

r

r1.

B.A. Ferrif

24/07/01

166

On sait, par dfinition dun processus de Poisson, que la probabilit pour quun

unique vnement se produise dans un intervalle de longueur h est donne par

l.h o h+ ( ) .Nous avons donc ici " =n N n* ,l l .

Quand un client reoit un service, la probabilit que ce dernier soit termin dans

un intervalle de temps de longueur h est donne par m.h o h+ ( ) et on a

" =n N n*,m m . Comme r l

m

= , on a :

1 1 1 11

0

1

0 1 1

1 2

2+

+ +

+ = +

+ +

+ = + + + + + =-

-

l

m

l l l

m m m

l

m

l

m

r r r

r

...

. ...

. ...

... ... ... ... ...

n

n

n

n

n

Il en rsulte :

" = =( ) = -( )n N p P N nn n, .1 r r .

De plus P N n n Ni n

i( ) , = -( ) =

+

1 r r ; il s'ensuit :

P N ni n

i in

i

n( ) = -( ) = = -( )-( ) =

=

+

=

+

11

10r r r

r r

r

r

La loi PN de N est donc une loi gomtrique de paramtres p q= - =1 r r, , donc

de moyenne : E N qp

( ) = =-( )r

r1 et de variance s r

r

Nqp

22 21

= =

-( ) .

Il en rsulte que L E N= ( ) =-( )r

r1.

Comme Ws =l

r

, la loi de Little permet dcrire W E w L Ws= ( ) = =-l r1

.

W E q W W Wq s s= ( ) = - =-

r

r

.

1 .

B.A. Ferrif

24/07/01

167

En appliquant la loi de Little on obtient :

L E N Wq q q= ( ) = =-

l

r

r

.

2

1.

La probabilit que le serveur soit occup est : 1 0 1 1- =( ) = - -( ) =P N r r .Loi de Nq :

On a :

P N P N P Nq =( ) = =( ) + =( ) = -( ) + -( )0 0 1 1 1r r r.et

" =( ) = = +( ) = -( ) +n N P N n P N nq n* , .1 1 1r rLa fonction gnratrice (transforme en Z) de Nq est donc

G z E z P N i z z

zz

Nx

qi

i i i

i

i i

i

q( ) = ( ) = =( ) = -( ) + -( ) + -( )

= - + -( ) = - + -( )-

=

++

=

+

=

+

0

1

0

2

0

2

1 1 1

1 1 111

. . . .

. .

.

.

r r r r r

r r r r r

r r

r

Il s'ensuit que

ddz

G z ddz z zNq

( ) = - + -( )-

=

-( )-( )1

11

11

22

2rr r

r

r r

r

.

.

.

.

et comme E N Lim ddz

G zqz

Nq( ) = ( )1

, on a :

E N Lim ddz

G z Limz

qz

Nzq

( ) = ( ) = -( )-( ) = - 1 1

2

2

211 1

r r

r

r

r

.

.

Comme on sait que s N N N Nq q q qddz

G ddz

G ddz

G22

2

2

1 1 1= ( ) + ( ) - ( )

, on obtient :

s

r r r

r

Nq2

2 2

211

=

+ -

-

( )( )

B.A. Ferrif

24/07/01

168

On montre galement que :

Thorme - Un systme files d'attente de type M/M/1 possde les

caractristiques suivantes:

E N Nq q >( ) =-

01

r

r

Var N Nq q >( ) =-

01 2

r

r( )

W t P w t tW

( ) ( ) exp= = - -

1

P w tt

W( ) exp .> = -

s w W2 2

=

W t P q t tWq

( ) ( ) exp= = - -

1 r

P q tt

W( ) exp .> = -

r

s

r r

r

qsW22

22

1=

-( )-( )

La dmonstration est laisse au lecteur amateur d'analyse

4 - Rseaux de files dattente

4-1- Rseaux commutation de paquets

Un rseau commutation de paquets Internet par exemple transporte des

blocs de symboles binaires. Pour transporter les paquets mis par un utilisateur,

B.A. Ferrif

24/07/01

169

le rseau utilise une route constitue dune suite de canaux de transmission

reliant la source la destination. Entre deux canaux successifs sont situs des

commutateurs munis de mmoires, les nuds du rseau. Un canal donn

apparat dans plusieurs routes. Le commutateur en amont dun canal sert

mettre en attente les paquets qui ne peuvent pas tre mis immdiatement. Un

tel rseau peut donc tre vu comme un rseau de files dattente.

4-2- Systmes informatiques

Les systmes informatiques peuvent frquemment simaginer comme des

rseaux de files dattente. Ainsi par exemple dans un Personal Computer on

trouve la mmoire principale, la mmoire virtuelle et aussi les mmoires et

caches dentre sortie, de priphriques dentre sortie, l'unit centrale, ; il

peut y avoir une file dattente associe chacune de ces ressources. Nous

supposerons dans la suite que les ressources sont interconnectes. Ainsi la sortie

dune file dattente peut tre considre comme lentre dune autre file dattente.

Trs peu de rsultats sont accessibles directement de manire analytique.

Heureusement ,il existe quelques modles de rseaux de files dattente qui

permettent de modliser les systmes informatiques.

Un rseau de files dattentes est ouvert si les clients arrivent de lextrieur,

sont traits par le systme et en repartent.

Dans un rseau de files dattentes ferm un nombre fini de clients circulent

indfiniment dans le systme. (Ce modle convient bien aux systmes demaintenance).Il existe bien entendu des rseaux de files dattente mixtes.

B.A. Ferrif

24/07/01

170

Nous dsignerons par :

- K le nombre de nuds (centres de service) du rseau ;

- Sk le temps moyen de service par visite au centre k ;

- Vk le nombre moyen de visites dun client au centre k ,

- Dk = Vk * Sk la demande de service totale au centre k pour un client (en units detemps de service).Si le systme a une capacit de traitement moyenne (on dit galement un dbit

moyen) l alors on a la relation Vk k= ll

qui porte souvent le nom de loi du flux

forc.

Un des concepts fondamentaux quand on tudie un systme informatique est le

concept de saturation. Par systme satur on entend un systme dont lune au

moins des ressources est sature. Ressource ou serveur sont dit saturs

lorsquils fonctionnent 100%. Il est clair que la saturation est dpendante de la

demande. Il faut noter que suivant la nature de la charge de travail, la nature de la

saturation est modifie. Ainsi pour les traitements en calcul scientifique la

saturation provient gnralement du CPU et pour les traitements de gestion elle

se situe en gnral au niveau des entres sorties.

4-3- Les Rseaux de Jackson.

Les rseaux de Jackson sont dcrits dans le thorme suivant :

Thorme de Jackson :

Soit un rseau de files dattente form de k nuds satisfaisant les conditions

suivantes:

B.A. Ferrif

4/07/02

171

1) Chaque nud k consiste en ck serveurs ou ressources identiques de loiexponentielle, de taux moyen de service mk pour chacun deux;

2) Le modle des arrives des clients qui viennent de lextrieur au nud k dusystme est poissonnien avec un taux moyen des arrives lk . Les clients

arrivent galement au nud k partir des autres nuds travers le rseau.

3) Une fois servi au nud k, un client va instantanment au nud j (j=1, 2, ,m)

avec la probabilit pkj ; ou quitte le rseau avec la probabilit 11

-

=

pkjj

K

.

Alors pour chaque nud k, le taux moyen Lk des arrives au nud k est donn par

L Lk k jkj

K

jp= +=

l

1

. .

De plus, si nous posons p n n nK1 2, ,..,( ) pour dsigner le fait qu lquilibre laprobabilit pour quil y ait nk clients au kme nud pour k = 1, 2, .K , et si de plus

Lk k kc< .m pour k = 1, 2, .K alors p n n n p n p n p nK K K1 2 1 1 2 2, ,.., ...( ) = ( ) ( ) ( ) o p nk k( ) estla probabilit pour qu lquilibre il y ait nk clients au kme nud sil est trait comme

une M/M/ ck file dattente de taux moyen darrive Lk et de temps moyen de service

1 /mk pour chacun des ck serveurs.

De plus chaque nud k se comporte comme sil tait un systme files dattente

indpendant de type M/M/ ck de taux moyen darrive Lk.

4-4- Test

On considre le systme boucl de type M/M/1 (dans la notation de Kendall abrge)suivant :

B.A. Ferrif

24/07/01

172

File d'attenteServeur

1/ m

Entre

q=1-p

l

l L

Sort iep

Bouclage

Ce systme reprsente, par exemple, une installation qui reoit des messages

(entre) et les oriente vers une destination approprie (sortie). Lorsque lemessage arrive destination, un accus de rception parvient au systme et lui

indique si la transmission est correcte (en utilisant un code dtecteur d'erreur). Sila transmission n'a pas t correcte, ce qui arrive avec une probabilit q=1-p, il

est ncessaire de retransmettre le message donc de le renvoyer au serveur

(bouclage) ; le message est transmis correctement avec la probabilit p.L'intensit des arrives sur le serveur par l'entre est note l , l'intensit des

arrives sur le serveur (entre + bouclage) est note L.Le temps moyen de service du serveur est 1 / m

Application numrique :

- On pose l = 4 messages par seconde,

- Le temps moyen pass dans le serveur est Ws = 0 22, seconde,

- La probabilit qu'un message soit transmis correctement est p=0,99.

1- Trouver l'intensit L.

B.A. Ferrif

24/07/01

173

2- Trouver le niveau d'utilisation r du serveur.

3- Trouver le nombre moyen L de messages dans le systme.

4- Trouver le temps moyen W pass par un message dans le systme.

4-5- Modle du serveur central

Ce rseau de files dattente est utilis pour modliser certains systmes

informatiques multiprogrammation. Il apporte, en particulier, des rponses

certaines questions concernant lutilisation de la mmoire centrale du calculateur.

Un systme informatique multiprogramm est caractris par un ensemble de K

ressources interconnectes (units centrales, disques, units dentre sortieetc..) et par un ensemble de programmes qui doivent recevoir certains servicesde ces ressources lors de leur excution. Ainsi, par exemple, un programme peut

avoir besoin dun service de lunit centrale (excution de lignes de code sansaccs mmoire), puis dun service de lun des disques, puis nouveau de lunitcentraleChaque ressource doit traiter un flux de demandes de services

manant des divers programmes en cours de traitement. Si plusieurs

programmes demandent la mme ressource un instant donn, un mcanisme

de file dattente est activ.

Nous allons nous intresser un rseau ferm (cf. schma). Le serveur centralest lunit centrale (le CPU). On dispose de K-1 ressources dentre-sortie detaux moyen de service mk (k = 2, .K) et de discipline de file dattente FCFS. Le

nombre de programmes en circulation sera fix gal N. Un programme sera

considr comme tant une entit (certains disent un jeton) circulant interminablement dans le systme. lissue dun traitement complet dans le

B.A. Ferrif

24/07/01

174

serveur central (CPU) un programme peut retourner dans la file dattente duserveur central avec une probabilit p1 ou dans la file dattente de lune des E/S

avec la probabilit pk (k = 2, .K). Aprs passage dans la ressource, il retournedans le serveur central pour un nouveau traitement

Les algorithmes ci-dessous permettent danalyser en valeur moyenne lvolution

du systme.

Algorithme 1.

On considre le systme serveur central schmatis ci-dessous. On suppose

donne la valeur Dk pour chaque nud k ainsi que le niveau de

multiprogrammation N. Nous pouvons mesurer les performances du systme

par :

1re tape (Initialisation) : Lk 0 0[ ] = , k = 1, 2, .K .

2me tape (Calcul) : Pour n = 1, 2, .N calculer :

W n D L nk k k[ ] = + -[ ]( )1 1 , k = 1, 2, .K ;

W n W nkk

K

[ ] = [ ]=

1 ;

l nn

W n[ ] = [ ] ;

L n n W nk k[ ] = [ ] [ ]l , k = 1, 2, .K .

3me tape (Mesure de performance) :Temps de rponseW W N= [ ] ,

Dbit

B.A. Ferrif

24/07/01

175

l l= [ ]NUtilisation des serveurs

r lk kD= , k = 1, 2, .K .

Algorithme 2.

On considre le systme serveur central schmatis ci-dessous. Lalgorithme 2

permet de construire les paramtres ncessaires lutilisation de lalgorithme 1.

1re tape (Initialisation) : Fixons le taux de visite V1 pour lunit CPU :

Vp1 1

1=

2me tape (Calcul) : Pour k = 2, .K calculer :V p Vk k= 1,

3me tape (Calcul de Dk) :

D V Sk k k= , k = 1, 2, .K .

4-6- Schma dun modle du serveur central

B.A. Ferrif

24/07/01

176

CPU

2

3

K - 1

K

N programmes en circulation

Organes d'entre-sortie

pK

p2

p3

p1

pk-1Nouveau programme

4-7- Test

Un ingnieur de la socit NetSouris est charg de raliser ltude de

performance dun systme informatique architectur autour dune unit centrale

(nud 1), dune unit dentre-sortie (nud 2) et dun niveau demultiprogrammation N=2. La demande D1 est estime 0,4 s ; la demande D2 est

estime 0,4 s et les modles de chacun des deux temps de service sont des

modles exponentiels.

Le cahier des charges prvoit la fourniture de :

1) Lk[n] pour k=1,2 et n= 0, 1, 2 ;

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2) Lk pour k=1,2 ;3) Wk[n] pour k=1,2 et n= 1, 2 ;4) W[n] , pour n= 1, 2 ;5) rk = rk 2[ ] pour k=1,..,2 ;6) l l= [ ]2 ,

performances quil est demand de chercher.

4-8- Etude et simulation

Il est demand dtudier le modle de Jackson, puis de concevoir et

dimplmenter un simulateur crit en Mathematica permettant de mesurer les

performances dun systme serveur central.

Donnes qui seront fournies :

1) Le niveau de multiprogrammation N,2) La demande de service total Dk (unit de mesure : la seconde).Le simulateur MVA doit retourner :

1) Le temps de rponse moyen du systme W=W[N],2) La capacit de traitement l l= [ ]N ,3) Les rk pour k=1,..,K ,

4) Les Lk pour k=1,..,K .

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4-9- Exercice : Un systme file d'attente

Des clients se prsentent un guichet tenu par un seul serveur. On fait, sur le

systme, les hypothses suivantes:

H1) Arrive des clients : les clients peuvent se prsenter au guichet auxseuls instants t n= 0 1, , ..., , ...

A chaque valeur entire du temps, la probabilit pour quun client se

prsente au guichet est a a0 1<

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Quelle est la loi de probabilit de la dure dun service et quelle est son

esprance mathmatique?

Quelle est la loi de probabilit de lintervalle de temps sparant deux arrives

conscutives et quelle est son esprance mathmatique?

Le systme risque-t-il de sengorger (en dautres termes la file dattente peut-elle devenir infinie)?

A chaque instant t , ltat du systme constitu par les clients en attente , ou se

faisant servir, est caractris par leur nombre Q t( ) .Les changements dtat du systme ne peuvent se produire quaux valeurs

entires du temps ; par consquent, ltat du systme reste le mme sur tout

intervalle ouvert n n-] [1, ; on le note Q n _( ) et on parlera abusivement de linstant n _( ) .

Dterminer la matrice de transition T du systme, cest--dire la matrice des

probabilits conditionnelles des tats linstant n +( )1_ connaissant ltat linstant n _( ). On pose p n P Q n j Q n ii j, ( _) ( _)( ) = + = =( )1 .

Quelle est la distribution stationnaire p p p p p= ( )0 1 2, , ,...., ,....i ?

Quel est, en rgime stationnaire, le nombre moyen de clients se trouvant dans

le systme ?

Quel est, en rgime stationnaire, le nombre moyen de clients se trouvant dans

la file dattente ?

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Quel est, en rgime stationnaire, le temps moyen pass dans la file dattente

par un client ?

5- ETUDE ASSISTEE PAR ORDINATEUR

On se trouve confront au problme suivant :

Dans une station-service o les automobilistes arrivent suivant un processus de

Poisson non-homogne dintensit l lt( ) , 0 , il y a un seul pompiste. Lorsquunautomobiliste arrive, il est servi immdiatement par celui-ci sil est libre, dans le

cas contraire, il gagne la file dattente. Lorsque le pompiste a termin un service

en cours, il traite le client qui a attendu le plus longtemps dans la file, sil y a un

client ; sil ny a pas de client, le pompiste devient libre jusqu larrive du

prochain vhicule. La dure du service dun client est une variable alatoire de loi

G. De plus, en fin de journe aprs lheure T aucun automobiliste nest admis

dans la station ; les clients se trouvant dj dans le systme seront servis. Nous

souhaitons matriser deux lments :

-Le temps moyen pass par un client dans le systme (afin de savoir sil y a unintrt avoir un second pompiste) ;-Lheure moyenne de dpart du dernier client, en dautres termes lheure de

dpart du pompiste.

Lobjet du travail est dtudier ce problme, den dcrire un modle, de spcifier le

logiciel permettant de le simuler et dobtenir la rponse aux questions poses et

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ventuellement dautres qui nont pas t explicites. Le test de validation sera

fait en prenant pour loi G une loi exponentielle.

4- Rseaux de files dattentePrrequis et Objectifs1-Systme files d'attente1-1- Schma gnral1-2- Description des caractristiques d'un systme files d'attente (SAFA).1-3- Notation de Kendall.1-4- Notations et dfinitions de base pour les systmes files d'attente.1-5- Loi de Little

2- Processus de naissance et de disparition considrs comme systmes files d'attente.3- Etude dune file dattente de type M/M/13-1- Rappel de quelques notations et dfinitions de base pour les systmes files d'attente.3-2- Caractristiques des systmes files d'attente de type M/M/1

4- Rseaux de files dattente4-1- Rseaux commutation de paquets4-2- Systmes informatiques4-3- Les Rseaux de Jackson.4-4- Test4-5- Modle du serveur centralAlgorithme 1.Algorithme 2.

4-6- Schma dun modle du serveur central4-7- Test4-8- Etude et simulation4-9- Exercice : Un systme file d'attente

5- ETUDE ASSISTEE PAR ORDINATEUR

Serveur Central: