pulso de onda v x,t f(x vt) movimiento sentido positivo de x v x,t f(x vt) movimiento sentido...
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Pulso de onda v
x,tf(xvt)
Movimiento sentido positivo de x
v
x,tf(xvt)
Movimiento sentido negativo de x
2
2
22
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
Ecuación de ondas
Sin disipación
1
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¿Qué sucede frente a un cambio en las condiciones de propagación?Sea una cuerda compuesta por dos sectores de distinta densidad lineal
vi = v1
1 2
2 > 1Pulso incidente
vt = v2
(v2 < v1)
vr = v1
1 2
Pulso transmitidoPulso reflejado
vi = v1
1 2
2 < 1Pulso incidente
vt = v2
(v2 > v1)
vr = v1
1 2
Pulso reflejado Pulso transmitido
Nunca se invierteCambia la amplitud
Se invierteCambia la amplitud
No se invierte Cambia la amplitud
Potinc= Pottrans+Potref
¿Vínculo entre
amplitudes?
2
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Pulso de onda viajando hacia la izquierda en un resorte liviano y que es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido al encontrarse con un resorte más denso
Pulso de onda que viaja hacia la derecha en un resorte denso y que es parcialmente reflejado y parcialmente
transmitido al encontrarse con un resorte menos denso
Las fotos están tomadas a intervalos regulares, se puede apreciar la diferencia de velocidad del pulso para distinta densidad 3
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Onda circular reflejada en una frontera fija
Pulso de onda viajando, a la izquierda inicialmente, en un resorte
y reflejado en una frontera fija
Ejemplos con frontera fija
4
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Casos extremos. vi = v1
vr = v1
1 2
1
2
Pulso incidente
Pulso reflejado
1
21
vi = v1
Pulso incidente
Se invierte
No se invierte
Barrera
Extremo fijo=0
El pulso ejerce una fuerza ascendente sobre el soporte
Tercera Ley de Newton
El soporte ejerce una fuerza descendente sobre el pulso
Cambia la fase en
2 0
Extremo librex=0vr = v1
Pulso reflejado
Anillo muy ligerosin fricción
Ejerce una fuerzasobre el elemento
de cuerda,éste se acelera,
como un péndulo,va mas allá del eq.,
“dispara” con demasiadapotencia y ejerce
una fuerza de reacciónen la cuerda.
El pulso regresaNo hay cambio de fase 5
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¿Qué pasa si en vez de un pulso de onda es una onda
propagante arbitraria la que llega a la frontera?
¿Qué sucede cuando coincidan en el tiempo y el espacio la
onda incidente y la onda reflejada?
O, en general, ¿qué sucede cuando coinciden dos o más
ondas en el tiempo y el espacio?
Superposición de ondas
6
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SistemaE1
S1Sistema
E2S2
Sistema
E1
E2
E=E1+E2
S1
S2
S=S1+S2+ +
E=c1E1+c2E2S=c1S1+c2S2
SISTEMALINEAL
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN LINEAL7
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¿Qué pasa con las ondas?
21
2
221
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
22
2
222
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
),(),(),( 2211 txctxctx
2
2
22
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
)(
22
2
221
2
1
)(
22211
2
2
2 ),(),(),(),(),( III
x
txc
x
txc
x
txctxc
x
tx
)(
22
2
221
2
1222
2
2221
2
21
),(),(1),(1),(1 I
t
txc
t
txc
vt
tx
vc
t
tx
vc
2
2
222211
2
2
),(1),(),(1
t
tx
vt
txctxc
v
),(1 tx ),(2 tx
(I) Linealidad de la derivación; (II) Por satisfacer la ecuación de ondas
Vale el Principio de Superposición Lineal para las ondas
8
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Caso de superposición de dos pulsos de onda que viajan en un mismo eje con distintos sentidos y a la misma rapidez. Observación inicial.
x 1(x, t0) 2(x, t0)
(x, t0)
+
x 1(x, t1) 2(x, t1)
(x, t1)
+
x 1(x, t2) 2(x, t2)
(x, t2)
+
x 1(x, t3) 2(x, t3)
(x, t3)
+
x 2(x, t4) 1(x, t4)
(x, t4)
+
x 2(x, t5) 1(x, t5)
(x, t5)
+
)()(),( 21 vtxfvtxftx
),(),(),( 21 txtxtx
9
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Caso de superposición de dos ondas armónicas de igual frecuencia e igual amplitud que se propagan en el mismo eje x pero en distintos sentidos
)(sen),( 11 tkxAtx )(sen),( 22 tkxAtx
)(sen)(sen),(),(),( 2121 tkxAtkxAtxtxtx
)(sen)(sen),( 21 tkxtkxAtx
Principio de Superposición Lineal
sencoscossen)(sen
sencoscossen)(sen
cossen2)(sen)(sen
21 sensen)(sen)(sen
2
1
21
21
2
2
)(
2
1cos)(
2
1sen2sensen 212121
1 2
)(2
1)(
2
12121 kx
)(2
1)(
2
11221 t
)2/cos(sen2),( tkxAtx
2,1),(),();,(),(;2
;)(sen),(
iTtxtxtxtxv
kvtxkAtx iiiii
10
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)2/cos(sen2),( tkxAtx=
)cos(sen2),( tkxAtx )(sen),(1 tkxAtx
)(sen),(2 tkxAtx +
Superposición lineal de dos ondas armónicas viajeras
No es un onda viajera ¿ x vt ? ¿ x + vt ?
ONDA ESTACIONARIA
Para cada x, el movimiento es armónico simple con frecuencia angular pero diferente amplitud |2Asen(kx)|
Amplitud mínima nula
sen(kx)=0
kx=0, , 2, 3,...
Znnkx
k=2/
Znnx
2
Número entero de medias longitudes de onda
n/2,t)=0 t
NODOS
Amplitud máxima 2A
kx=/2, 3/2, 5/2,...
k=2/
Número semientero de medias longitudes de onda
ANTINODOS
|sen(kx)|=1
Znnkx
2
1
Znnx
22
1
11
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t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T
)cos()(sen2)(sen)(sen),(),( 21 tkxAtkxAtkxAtxtx
Nodos12
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t = 0
t = (1/3)T/4
t = (2/3)T/4
t = T/4
t = (4/3)T/4
t = (5/3)T/4
t = T/2
)cos()(sen2),( tkxAtx
13
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22222
)()(sen-)(sen)2(
2
1),(
2
1),( tkxAdx
t
txdxtxE
dxCINÉTICA
)cos()(sen2),( tkxAtx
222222
)( )cos()cos()2(2
1),(
2
1),( tkxAkdxvdx
x
txFtxE dxPOTENCIAL
2vFF
v
kfv
222222)( )cos()cos()(sen)(sen)2(
2
1),( tkxtkxAdxtxE dx
Energía mecánica para un dx en una onda estacionaria
2222)( )(sen)(sen)2(
2
1),( tkxAdxtxK dx 2222
)( )cos()cos()2(2
1),( tkxAdxtxU dx
K(dx) = U(dx)Para un dx en un x fijo… ?
¿Se conserva la energía mecánica para dx?
En el tiempo en que K(dx) tiene su máximo, U(dx) tiene su mínimo y viceversa
Sólo se conserva si 22 )cos()(sen PP kxkx 222)( )(sen)2(
2
1),( Pdx kxAdxtxE
4824
nxnkx pP A mitad de camino entre un nodo y un antinodo
14
donde vale
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222222)( )cos()cos()(sen)(sen)2(
2
1),( tkxtkxAdxtxE dx
ttnAdxtxK dx 0)(sen)(sen)2(2
1),( 2222
)(
2222222)( )cos()2(
2
1)cos()cos()2(
2
1),( tAdxtnAdxtxU dx
Para los nodos: ZnnkxZnnx
2
La energía cinética es siempre nula
La energía potencial varía de 0 a su valor máximo
Para los antinodos: ZnnkxZnnx
2
1
22
1
2222222)( )(sen)2(
2
1)(sen5.0sen)2(
2
1),( tAdxtnAdxtxK dx
0)cos()5.0cos)2(2
1),( 2222
)( tnAdxtxU dx
La energía cinética varía de 0 a su valor máximo
La energía potencial es siempre nula
(el dx sobre un antinodo está siempre estirado)15
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Onda Propagante Armónica Onda Estacionaria
Movimiento armónico simple
Frecuencia angular de vibración
Idéntica amplitud A(todos los puntos pasan por las mismas posiciones a distintos tiempos)
x fijo
Movimiento armónico simple (excepto nodos)
Frecuencia angular de vibración
Amplitud dependiente de la posición 2A|sen(kx+)|
x fijo
La energía no se transporta(no puede fluir más allá de los nodos)
Transporta energía
Para cada elemento dxEnergía cinética=energía potencial(Máximo de una es máximo de la otra,mínimo de una es mínimo de la otra)
Para cada elemento dxAlternancia entre energía cinética y potencial(Máx. desplazamiento, mín. energía cinética; mín. desplazamiento, Máx. energía cinética)
)(sen),( tkxAtx )2/cos(sen2),( tkxAtx
16
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)2/cos(sen2),( tkxAtx
ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS
Onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos
x = 0 x = L
ZmmttAtx 0sen0)2/cos(sen2),0(
0sen0)2/cos(sen2),( kLttkLAtLx
0sen)cos()cos(sensen kLkLkL
01
ZsskLkL 0sen
k=2/>0, L>0 sN L=n/k ...3,2,12
nnL
,...3,2,12
nn
Ln
Nnn
LLLL n
1
4321 ;;4
2;
3
2;
2
2;2
,...3,2,12
nnL
vvf
nn Nnnfffffff
L
vf
L
vf nn 1113121 ;;4;3;2
22;
2
f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia 17
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)cos(sen2)cos(/2sen2),(0
tL
xnAtxAtx
n
nnn
x = 0 x = L
L
vf
Lt
L
xAtx
21;
1
2);cos(sen2),( 111
L
vf
Lt
L
xAtx
22;
2
2);cos(2sen2),( 222
L
vf
Lt
L
xAtx
23;
3
2);cos(3sen2),( 333
L
vf
Lt
L
xAtx
24;
4
2);cos(4sen2),( 444
L
vf
Lt
L
xAtx
25;
5
2);cos(5sen2),( 555
t = 0 t1 t2 t3t4 t5
n-ésimo armónico(modo de vibración)
18
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)2/cos(sen2),( tkxAtx
ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS
Onda estacionaria en una cuerda fija por un extremo y libre por el otro
x = 0 x = L
ZmmttAtx 0sen0)2/cos(sen2),0(
0cos0)2/cos(cos2),(
kLttkLAkx
tLx
0sen)(sen)cos(coscos kLkLkL
01
ZsskLkL
2
)12(0cos
k=2/>0, L>0 sN ,...5,3,14
nnL
,...5,3,14
nn
Ln
,...5,3,1;;7
4;
5
4;
3
4;4 1
7531
nn
LLLL n
,...5,3,14
nnL
vvf
nn ,...5,3,1;...;5;3
43;
4 115131 nnfffffL
vf
L
vf n
f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia
,...5,3,12
nk
nL
19
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,...5,3,1)cos(2
sen2)cos(/2sen2),(0
ntL
xnAtxAtx
n
nnn
x = 0 x = L
L
vf
Lt
L
xAtx
41;
1
4);cos(
2sen2),( 111
L
vf
Lt
L
xAtx
43;
3
4);cos(
23sen2),( 333
L
vf
Lt
L
xAtx
45;
5
4);cos(
25sen2),( 555
t = 0 t1 t2 t3t4 t5 20
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)2/cos(sen2),( tkxAtx
ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS
Onda estacionaria en un tubo de aire
0),(),( ptxptx p(x,t): presión del aire dentro del tubo; p0: presión de referencia
Extremo abierto
Extremo abierto
p0=Patm p0=Patm
x = 0 x = L
0),0( tx 0),( tLx
Nodo Nodo
Extremo cerrado
Extremo abierto
p0=Patm
x = 0 x = L
0),0( tx0
),(
x
tLx
Nodo Antinodo
Nnn
L n
11 ;2
NnnffL
vf n 11 ;
2
,...5,3,1;4 11
n
nL n
,...5,3,1;4 11 nnff
L
vf n
(ondas longitudinales)
21
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¿Cómo resulta la superpoción lineal de …?)(sen),( 11 tkxAtx )(sen),( 22 tkxAtx
)(sen)( 11 tAtf )(sen)( 22 tAtf cercanas pero,21
¿Cómo resulta la superpoción lineal de …?
Batidos
Interferencia
)2/cos(sen2),( tkxAtx
)(
2
1cos)(
2
1sen2sensen 212121
22