ΣΜΗΜΑ ΕΠΙΣΗΜΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ

ΑΝΑΦΟΡΑ ΕΡΓΑΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟΤ

«ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΚΡΤΠΣΟΓΡΑΦΗΗ»

ΜΑΡΙΑ ΝΑΣΑΚΟΤ

Α.Μ.: 2010020

Εαπινό εξάμηνο 2010-2011

Περιεχόμενα

Περιεχόμενα 2

Ειςαγωγι 3

1. Καλϊσ ιρκατε ςτο περίεργο κβαντικό κόςμο 4

1.1 Κβάντωςθ 5

1.2 Κυματοςωματιδιακόσ δυϊςμόσ 7

1.3 Κβαντικι ςφμπλεξθ 10

1.4 Φαινόμενο ςιραγγασ 11

1.5 Κβαντικι τθλεμεταφορά 12

2. Πεδία τα οποία βαςίηονται ςτθ κβαντικι μθχανικι 13

2.1 Κβαντικόσ υπολογιςτισ 13

2.2 Κβαντικι κρυπτογραφία 13

2.2.1 Κβαντικι πλθροφορία 14

2.2.2 Μζκοδοι κβαντικισ κρυπτογράφθςθσ 17

Πρωτόκολλο ΒΒ84 17

Πρωτόκολλο Athur Ekert 1991 20

2.3 Εφαρμογζσ 20

Κακϊσ τα κομπιοφτερ γίνονται όλο και πιο γριγορα και πιο ιςχυρά και οι χάκερσ γίνονται όλο και πιο ζξυπνοι και πιο εξελιγμζνοι θ προςταςία ευαίςκθτθσ πλθροφορίασ που διαβιβάηεται μζςω internet γίνεται ολοζνα και δυςκολότερθ.

Το ρόλο τθσ ανάπτυξθσ μθχανιςμϊν για τθν αςφαλι επικοινωνία αναλαμβάνει θ κρυπτογραφία ζτςι ϊςτε να μθν είναι ικανόσ κάποιοσ να διαβάςει τθ πλθροφορία εκτόσ από τα επικοινωνοφντα μζλθ.

Τα τελευταία χρόνια ζχει γίνει ζνα μεγάλο άλμα ςτο τομζα τθσ αςφάλειασ διακίνθςθσ πλθροφορίασ μζςω διαδικτφου που βαςίηεται ςτθ κβαντικι κρυπτογράφθςθ. Και ενϊ το κλαςςικό ςφςτθμα κρυπτογραφίασ υιοκετεί διάφορεσ μακθματικζσ τεχνικζσ για να περιοριςτοφν οι πικανοί ωτακουςτζσ, θ κβαντικι κρυπτογραφία ςτθρίηεται ςτισ βαςικζσ αρχζσ τθσ κβαντομθχανικισ.

Στθ παροφςα ζκκεςθ αρχικά αναλφονται αυτζσ οι αρχζσ όπωσ θ κβάντωςθ, θ κβαντικι ςφμπλεξθ και τθλεμεταφορά , θ δυαδικότθτα του φωτόσ , θ αρχι του Heisenberg και θ διαπιδθςθ θλεκτρονίων μζςα από μεγαλφτερα ενεργειακά φράγματα .

Οι φορείσ τθσ κβαντικισ πλθροφορίασ είναι τα qbits (φωτόνια ι θλεκτρόνια). Γίνεται λοιπόν αναφορά των εννοιϊν τθσ κυματοςυνάρτθςθσ, τθσ ςτροφορμισ και πόλωςθσ του φωτόσ απαραίτθτων για τθ κατανόθςθ των μθχανιςμϊν τθσ κβαντικισ κρυπτογραφθςθσ.

Ακολουκεί περιγραφι πρωτοκόλλων που ζχουν εφευρεκεί για τθν ανταλλαγι κβαντικϊν κλειδιϊν. Το πρωτόκολλο ΒΒ84 μζκοδοσ που ςτθρίηεται ςτθ

χρθςιμοποίθςθ πολωμζνων φωτονίων και το πρωτόκολλο Athur Ekert 1991 το

οποίο χρθςιμοποιεί ηεφγθ διαπλεγμζνων φωτονίων. Αξιοποίθςθ τθσ πλζον αςφαλζςτερθσ μεκόδου κρυπτογράφθςθσ, είναι θ

κβαντικι κρυπτογράφθςθ ςε διάφορουσ τομείσ.

Η Κβαντικι φυςικι (Κβαντομθχανικι) είναι ζνασ κλάδοσ τθσ φυςικισ που

αναπτφχκθκε με ςκοπό να ερμθνεφςει φαινόμενα που θ Νευτϊνεια μθχανικι

αδυνατοφςε.

Η κβαντομθχανικι ςαν κεωρία ιρκε να διαψεφςει κεμελιϊδεισ ιδζεσ τθσ

ςφγχρονθσ ςκζψθσ .

ότι δθλαδι τα πράγματα ζχουν εκ των προτζρων κάποιεσ ιδιότθτεσ τισ

οποίεσ και επαλθκεφουμε με τθν παρατιρθςθ.

ότι ζνα γεγονόσ που ςυμβαίνει εδϊ δεν μπορεί να επθρεάςει ακαριαία ζνα

άλλο γεγονόσ που ςυμβαίνει κάπου αλλοφ

Τθ κεωρία του φανταςτικοφ αυτοφ κόςμου ζρχεται να ενιςχφςει θ κεωρία των

παράλλθλων ςυμπάντων του Δ. Νανόπουλου ςφμφωνα με τθν οποία δεν υπάρχει

μόνο ζνα ςφμπαν, το δικό μασ, αλλά και πολλά άλλα και πικανότατα να ηοφμε

ταυτόχρονα ςε όλα αυτά. Δεν αποκλείεται μάλιςτα να μποροφμε να

τθλεμεταφερκοφμε από το ζνα ςφμπαν ςτο άλλο.

Η Κβαντικι φυςικι κεωρείται κεμελιϊδθσ

Αναπτφχκθκε με ςκοπό να περιγράψει τθ ςυμπεριφορά τθσ φλθσ ςε μοριακό, ατομικό και υποατομικό επίπεδο. Να ερμθνεφςει φαινόμενα που θ Νευτϊνεια μθχανικι αδυνατοφςε. Η λζξθ κβαντικι προζρχεται από τον όρο κβάντο. Ο όροσ κβάντο αναφζρεται ςε μια αδιάςτατθ μονάδα ποςότθτασ, ζνα "ποςό από κάτι". Διαφορετικά κα λζγαμε ότι το κβάντο είναι μια ςυγκεκριμζνθ χαρακτθριςτικι διάςταςθ που ζχουν ποςότθτεσ οι οποίεσ μποροφν να παρατθρθκοφν πειραματικά. Επινοικθκε αρχικά για να περιγράψει τα "πακζτα" ενζργειασ που λζγονται φωτόνια και από τα οποία αποτελείται το φωσ . Ζτςι θ κεωρία πιρε το όνομα, κβαντομθχανικι.

Βαςικζσ αρχζσ τθσ κβαντομθχανικισ

Τα πζντε κφρια ςθμεία που επεξθγεί θ κβαντικι κεωρία, υπερβαίνοντασ τισ

δυνατότθτεσ τθσ κλαςςικισ, είναι:

Κβάντωςθ (διακριτοποίθςθ)

Κυματοςωματιδιακόσ δυϊςμόσ

κβαντικι ςφμπλεξθ

φαινόμενο ςιραγγασ

κβαντικι τθλεμεταφορά

Το φαινόμενο αυτό αναφζρεται ςτο γεγονόσ

ότι κάποια φυςικά μεγζκθ φυςικϊν

ςυςτθμάτων, όπωσ θ ενζργεια και θ

ςτροφορμι, δεν μποροφν να πάρουν μια

οποιαδιποτε τιμι αλλά μόνο ςυγκεκριμζνεσ

τιμζσ (διακριτζσ: ζχουν διακριτό φάςμα

ιδιοτιμϊν και όχι ςυνεχζσ).

Ο Δανόσ φυςικόσ Nils Bohr ιταν ο πρϊτοσ που ιςχυρίςτθκε ότι ζνα φυςικό μζγεκοσ είναι κβαντωμζνο . Στο ατομικό του μοντζλο αναφζρει ότι το περιφερόμενο γφρω από τον πυρινα θλεκτρόνιο μπορεί να "καταλάβει" μόνο κάποιεσ "επιτρεπόμενεσ τροχιζσ", ςτισ

οποίεσ θ ςτροφορμι παίρνει ςυγκεκριμζνεσ τιμζσ, είναι δθλαδι κβαντιςμζνθ. … τα θλεκτρόνια κατά τθν αποδιζγερςι τουσ από

μια υψθλι ενεργειακι ςτάκμθ προσ μια

χαμθλότερθ εκπζμπουν φωτόνιο που ζχει

ενζργεια ίςθ με τθ διαφορά των δφο ενεργειακϊν

ςτακμϊν

Κάκε θλεκτρόνιο μζςα ςε ζνα τροχιακό εκτόσ από τθν περιφορά του γφρω από τον

πυρινα περιφζρεται και γφρω από τον εαυτό του. Επομζνωσ τα θλεκτρόνια ζχουν

ιδιοςτροφορμι (spin). Επειδι τα θλεκτρόνια είναι θλεκτρικά φορτιςμζνα, θ

ιδιοςτροφορμι τα αναγκάηει να ςυμπεριφζρονται ςαν μικροςκοπικοί μαγνιτεσ,

αποκτϊντασ μαγνθτικι ροπι. Η περιφορά των θλεκτρονίων γφρω από τον εαυτό

τουσ μπορεί να ζχει δφο προςανατολιςμοφσ και ςυνεπϊσ ο κβαντικόσ αρικμόσ του

spin ms παίρνει δφο τιμζσ τισ –1/2 και +1/2 που εκφράηουν τισ δφο αντίκετεσ

κατευκφνςεισ τθσ μαγνθτικισ τουσ ροπισ.

Ο κβαντικόσ αρικμόσ του spin ms κακορίηει τον αρικμό των θλεκτρονίων που

καταλαμβάνουν κάκε τροχιακό. Ζτςι ςε κάκε τροχιακό μπορεί να ςυνυπάρξουν

μόνο δφο θλεκτρόνια τα οποία κα ζχουν αντιπαράλλθλθ ιδιοςτροφορμι δθλαδι

αντίκετεσ κατευκφνςεισ ςτθ μαγνθτικισ τουσ ροπι.

Μζχρι τισ αρχζσ του 20ου αιϊνα και ςφμφωνα με τθ κλαςςικι φυςικι υπιρχε ζνασ ςαφισ διαχωριςμόσ των φυςικϊν οντοτιτων ςε δφο κατθγορίεσ , τα ςωμάτια και τα θλεκτρομαγνθτικά κφματα. Η βαςικι διαφορά των οντοτιτων αυτϊν είναι ότι ενϊ μεταφζρουν και οι δφο ενζργεια και ζχουν ορμι: Τα μεν ςωμάτια κινοφνται ςε καλά κακοριςμζνεσ τροχιζσ και μποροφμε να

μετριςουμε τθν ενζργεια και τθν ορμι τουσ ςε κάκε χρονικι ςτιγμι και για κάκε κζςθ.

Στα θλεκτρομαγνθτικά κφματα , τα οποία διαδίδονται ςφμφωνα με τουσ νόμουσ τθσ Κυματικισ, θ ενζργεια και θ ορμι είναι κατανεμθμζνεσ ςυνεχϊσ ςε όλο τον όγκο του κφματοσ.

Η κατθγοριοποίθςθ αυτι κατζρρευςε κακότι υπιρχαν φαινόμενα-γεγονότα τα οποία δεν μποροφςαν να εξθγθκοφν με βάςθ τουσ μζχρι τότε ιςχφοντεσ νόμουσ.

Όςον αφορά ςτθ φφςθ του φωτόσ , υπιρχε ζνα μεγάλο χάςμα ερμθνειϊν

μεταξφ των επιςτθμόνων. Ο Newton , κεωροφςε ότι το φωσ αποτελοφνταν από ςωματίδια, ενϊ ο Ολλανδόσ φυςικόσ Huygens κεωροφςε τθ φφςθ του φωτόσ κυματικι.

…Δθλαδι θ ακτινοβολία και θ φλθ αποτελείται μεν από ςωματίδια αλλά θ πικανότθτα να βρεκεί ςε διάφορεσ κζςεισ διακζτει κυματικι ςυμπεριφορά … Μποροφμε να κεωροφμε ότι το φωσ είναι ζνα κφμα όςο δεν ανιχνεφεται ενϊ όταν ανιχνεφεται παφει να είναι κφμα και ςυμπεριφζρεται ςαν ςωματίδιο. Σϋ αυτό το ςθμείο είναι απαραίτθτο νϋ αναφερκοφμε ςτθν αρχι τθσ αβεβαιότθτασ του Heisenberg. Αυτι θ αρχι δθλϊνει τθν αδυναμία ταυτόχρονθσ μζτρθςθσ τθσ κζςθσ και τθσ ορμισ ενόσ ςωματιδίου (κβαντικοφ ςυςτιματοσ) ςε μια δεδομζνθ ςτιγμι. Είναι βζβαια δυνατόν να γνωρίηουμε το ζνα από τα δφο μεγζκθ (δθλ. τθν ορμι ι τθ κζςθ) αλλά όχι και τα δφο.

Μακθματικά εκφράηεται με τθ ςχζςθ: όπου Δx= θ αβεβαιότθτα (το ςφάλμα) ωσ προσ τθ κζςθ του ςωματιδίου και Δp= θ αβεβαιότθτα ωσ προσ τθν ορμι του. Παρατθριςεισ: Σφμφωνα με τθν αρχι τθσ αβεβαιότθτασ καταρρίπτεται το ατομικό πρότυπο

του Βοhr. Δεν μποροφμε να μιλάμε για κζςθ του θλεκτρονίου ςε ζνα άτομο, αλλά για

τθν πικανότθτα να βρίςκεται ςε μια οριςμζνθ κζςθ το θλεκτρόνιο. Σφμφωνα με τθν αρχι του κυματοςωματιδιακοφ δυϊςμοφ τθσ φλθσ όλα τα φυςικά ςωματίδια ζχουν κυματικι ςυμπεριφορά παράλλθλα με τθ ςωματιδιακι.

Ο γερμανόσ φυςικόσ Άλμπερτ Άινςταϊν κεωροφςε ότι το φωσ δεν είναι μια ςυνεχισ ροι ενζργειασ αλλά ζνα ςφνολο από κβάντα ι «πακζτα» ςυγκεκριμζνθσ ενζργειασ και ςυχνότθτασ , τα φωτόνια. Όταν θ ςυχνότθτα των φωτονίων είναι τζτοια ϊςτε τα θλεκτρόνια να κατορκϊςουν να υπερπθδιςουν το φράγμα δυναμικισ ενζργειασ που τα «εγκλωβίηει» ςτον αγωγό, τότε απελευκερϊνονται και μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν για τθ παραγωγι θλεκτρικοφ ρεφματοσ

ο Άγγλοσ Thomas Young ςε μια προςπάκεια να ανακαλφψει αν το φωσ είναι τελικά κφμα ι ςωματίδιο πραγματοποίθςε για πρϊτθ φορά το πείραμα τθσ διπλισ ςχιςμισ. Χρθςιμοποίθςε μια ακτίνα φωτόσ θ οποία διζρχονταν από ζνα φράγμα με μια ςχιςμι και ςτθ ςυνζχεια περνοφςε από ζνα φράγμα με δυο ςχιςμζσ για να καταλιξει ςτο τζλοσ ςε ζνα πζταςμα (οκόνθ) .

Όταν θ απόςταςθ των ςχιςμϊν ιταν μικρότερθ και το εφροσ τουσ μικρότερο, το φωσ ςχθμάτιηε ςτο πζταςμα φωτεινοφσ και ςκοτεινοφσ κροςςοφσ (εικόνα ςυμβολισ)

Ο Luis De Broglie το 1923 απζδειξε μακθματικά πωσ ζνα υλικό ςωματίδιο κα μποροφςε να ςυμπεριφερκεί ωσ κφμα ενϊ …

…ο Schrodinger διατφπωςε μια μακθματικι εξίςωςθ θ οποία περιγράφει τθ

ςωματιδιακι και κυματικι ςυμπεριφορά του θλεκτρονίου. Από τθν επίλυςθ τθσ

εξίςωςθσ Schrodinger προκφπτουν κυματοςυναρτιςεισ ψn που ονομάηονται

ατομικά τροχιακά. Οι κυματοςυναρτιςεισ περιγράφουν τθ κατάςταςθ ςτθν οποία

βρίςκεται το θλεκτρόνιο και μπορεί να προςδιοριςτεί:

1) Η ενζργεια του θλεκτρονίου (En)

2) Η πικανότθτα να βρεκεί το θλεκτρόνιο ςε οριςμζνθ περιοχι του χϊρου

γφρω από τον πυρινα.

Ο κυματοςωματιδιακόσ δυϊςμόσ μπορεί να εξθγιςει και τθν ατομικι δομι. Τα

θλεκτρόνια δεν κινοφνται ςε τυχαίεσ τροχιζσ γφρω από το πυρινα αλλά ιςχφουν τα

εξισ:

1. Οι επιτρεπόμενεσ τροχιζσ κα πρζπει να είναι ακζραια πολλαπλάςια του

μικουσ κφματοσ υπολογιηόμενου για το θλεκτρόνιο

2. Τα θλεκτρόνια δεν ταξιδεφουν γφρω από το πυρινα ςε κφκλο. Η ακριβισ

κζςθ και ορμι του θλεκτρονίου ςε δεδομζνθ ςτιγμι δεν κα μποροφςε να

προςδιοριςτεί ,αλλά υπάρχει πικανότθτα να βρεκεί ςε διάφορεσ κζςεισ που

είναι αποτζλεςμα τθσ κυματικισ ςυμπεριφοράσ του.

Στοιχειωμζνο κβαντικό φαινόμενο είχε χαρακτθριςτεί από τον Αϊνςτάιν θ κβαντικι ςφμπλεξθ κακϊσ οι ιδιότθτεσ (πχ το ςπιν) δφο ςωματιδίων ςυνδζονται βακιά , αλλθλοεπθρεάηονται μυςτθριωδϊσ, ακόμα και όταν αυτά απζχουν μεταξφ τουσ μεγάλεσ αποςτάςεισ. Είναι αδφνατον να περιγράψουμε το ζνα χωρίσ το άλλο . Είναι ςαν να είναι ζνα ςωματίδιο το οποίο βρίςκεται ταυτόχρονα ςε δφο ςθμεία,δεν ζχουν ανεξάρτθτθ φπαρξθ. Οι φυςικοί ακόμα αγνοοφν με ποιο τρόπο τα ςωματίδια ςτζλνουν, και μάλιςτα με μια ταχφτθτα μεγαλφτερθ του φωτόσ, μθνφματα το ζνα ςτο άλλο. Το φαινόμενο αυτό ςτθρίηεται ςτισ παρακάτω παράξενεσ ιδζεσ:

ζνα κβαντικό ςωματίδιο (πχ ιόν) , μπορεί ταυτόχρονα να ζχει δφο αντίκετεσ

κατευκφνςεισ πάνω και κάτω (υπζρκεςθ )και διαρκεί μζχρι κάποιοσ

ερευνθτισ να μετριςει το ςπιν του ιόντοσ, οπότε αυτό αμζςωσ «καταρρζει».

δφο κβαντικά ςωματίδια μπορεί να τεκοφν ςϋ αυτζσ τισ αβζβαιεσ

καταςτάςεισ ι υπερκζςεισ και ςτθ ςυνζχεια με ςυγκεκριμζνο τρόπο τα ςπιν

τουσ να ςυνδεκοφν βακιά μεταξφ τουσ . Αν μετρθκεί το ςπιν του πρϊτου

(οπότε θ υπζρκεςθ καταρρζει) και βρεκεί πάνω τότε και θ υπζρκεςθ του

δεφτερου κα καταρρεφςει αμζςωσ και το ςπιν του κα βρεκεί προσ τα κάτω

(ακόμα και αν βρίςκεται ζτθ φωτόσ μακριά από το πρϊτο ιόν)

Στο παρακάτω παράδειγμα μια πθγι εκπζμπει θλεκτρόνια ςε ηεφγθ. Το ζνα

θλεκτρόνιο φεφγει προσ τα αριςτερά (Alice) και το άλλο προσ τα δεξιά (Bob).

Τα θλεκτρόνια είναι ςυηευγμζνα δθλαδι αν το θλεκτρόνιο που μετράει θ Α είναι

προσ τα πάνω το άλλο κα ζχει υποχρεωτικά spin προσ τα κάτω…

Σφμφωνα όμωσ με τθ κβαντομθχανικι πριν γίνει θ μζτρθςθ από τον ζνα

παρατθρθτι ι τον άλλο τα δφο θλεκτρόνια βρίςκονται ςε μια κατάςταςθ

υπζρκεςθσ («χορεφουν» ςαν τρελά ζτςι ϊςτε να μθν μπορεί κάποιοσ να

προςδιορίςει το spin τουσ) και μόνο τθ ςτιγμι τθσ μζτρθςθσ το ςφςτθμα

«αιχμαλωτίηεται» και αποκαλφπτει τθ φφςθ και τθ ταυτότθτά του όταν θ

κυματοςυνάρτθςθ καταρρζει.

Φράγμα δυναμικοφ είναι μια ςυνάρτθςθ

δυναμικισ ενζργειασ με ζνα μζγιςτο . Στθ

Νευτϊνεια μθχανικι θ κίνθςθ ενόσ ςωματίου με

ολικι ενζργεια Ε1 που βρίςκεται αρχικά αριςτερά

του φράγματοσ περιορίηεται ςτθ περιοχι αριςτερά

του ςθμείου χ=α. Αν επρόκειτο να κινθκεί προσ τα

δεξιά του ςθμείου αυτοφ θ δυναμικι του ενζργεια

U κα ιταν μεγαλφτερθ από τθν ολικι ενζργεια Ε.

Επειδι Κ=Ε-U θ κινθτικι ενζργεια κα ιταν αρνθτικι και αυτό είναι αδφνατο.

Σαν παράδειγμα μποροφμε να αναφζρουμε το τρενάκι του Λοφνα Πάρκ μπορεί να

υπερπθδιςει ζνα λόφο αν ζχει αρκετι κινθτικι ενζργεια (Ε2) ςτο χαμθλότερο

ςθμείο. Αν δεν τθν διακζτει, ςταματά κάπου ςτον ανιφορο και κυλιζται πάλι προσ

τα πίςω.

Η κβαντομθχανικι μασ προςφζρει ζνα περίεργο και πολφ ενδιαφζρον φαινόμενο

που ςχετίηεται με τα φράγματα δυναμικοφ. Ζνα ςωμάτιο που αντιμετωπίηει ζνα

τζτοιο φράγμα, δεν οπιςκοχωρεί, αναγκαςτικά υπάρχει κάποια πικανότθτα να

εμφανιςτεί από τθν άλλθ πλευρά ακόμθ και αν δεν ζχει αρκετι κινθτικι ενζργεια

για να υπερπθδιςει το φράγμα. Αυτι θ διείςδυςθ μζςα από το φράγμα καλείται

φαινόμενο ςιραγγασ.

Είναι ζνασ όροσ εμπνευςμζνοσ από το γνωςτό

φυςικό φαινόμενο όπου αν υπάρχει ςιραγγα

που διατρυπά ζνα λόφο δεν χρειάηεται τόςθ

αρχικι κινθτικι ενζργεια για να βρεκεί κάποιοσ

ςτθν άλλθ πλευρά του λόφου, όςθ κα ιταν

αναγκαία για να υπερπθδιςει τον λόφο .

Η κβαντικι τθλεμεταφορά δεν ζχει ςχζςθ (όχι άμεςθ τουλάχιςτον) με τθν

τθλεμεταφορά που οι περιςςότεροι γνωρίηουμε από τα ζργα επιςτθμονικισ

φανταςίασ, όπου ζνα άτομο ι ζνα αντικείμενο «διακτινίηεται» και επανεμφανίηεται

ςε ζνα άλλο μζροσ.

τθν πραγματικι κβαντικι τθλεμεταφορά, που ζχει καταςτεί εφικτι μζχρι ςιμερα

μζςω του μυςτθριϊδουσ φαινομζνου τθσ «κβαντικισ ςφμπλεξθσ», δφο φωτόνια ι

ιόντα «εμπλζκονται» (αλλθλοεπθρεάηονται) με τζτοιο τρόπο, που θ κβαντικι

κατάςταςθ του ενόσ, αλλάηει ταυτόχρονα (ςαν να τθλεμεταφζρεται ακαριαία ζνα

«μινυμα») και τθν κατάςταςθ του άλλου, ςαν τα δφο να ιταν ςυνδεδεμζνα μεταξφ

τουσ, παρόλο που βρίςκονται ςε απόςταςθ το ζνα από το άλλο, ακόμα και πολλϊν

χιλιομζτρων.

Η δθμιουργία ενόσ κβαντικοφ υπολογιςτι ιταν αποτζλεςμα τθσ ανάγκθσ για γριγορθ επεξεργαςία και διακίνθςθ πλθροφοριϊν .

Δεδομζνου ότι τα θλεκτρόνια και οι πυρινεσ των ατόμων ςυμπεριφζρονται ςαν μικροςκοπικοί μαγνιτεσ, οι κβαντικοί υπολογιςτζσ μποροφν να αποκθκεφουν qubits αλλάηοντασ τον προςανατολιςμό του μαγνθτικοφ πεδίου ςτθν κατάςταςθ «πάνω ι «κάτω».

Το qubit είναι ζνα ςτοιχειϊδεσ ςφςτθμα όπωσ το spin του θλεκτρονίου και μπορεί να βρίςκεται ταυτόχρονα ςε περιςςότερεσ από δφο καταςτάςεισ (υπζρκεςθ) τθν ίδια ςτιγμι ,Σϋαυτζσ τισ διαφορετικζσ καταςτάςεισ κα μποροφςε ο κβαντικόσ υπολογιςτισ να αποκθκεφςει ταυτόχρονα πολλζσ πλθροφορίεσ που ςθμαίνει ότι κα ζκανε πολλοφσ και περίπλοκουσ υπολογιςμοφσ ταυτόχρονα.

Κρυπτογράφθςθ ονομάηεται θ διαδικαςία μετατροπισ τθσ αρχικισ πλθροφορίασ ςε ακατανόθτθ από τον άνκρωπο μορφι. Η αντίςτροφθ διαδικαςία δθλαδι θ ανάκτθςθ τθσ αρχικισ πλθροφορίασ ονομάηεται αποκρυπτογράφθςθ.

Το κλαςςικό ςφςτθμα κρυπτογραφίασ υιοκετεί διάφορεσ μακθματικζσ τεχνικζσ για να περιοριςτοφν οι πικανοί ωτακουςτζσ που παρακολουκοφν τθν επικοινωνία από τθν εκμάκθςθ του περιεχομζνου των κρυπτογραφθμζνων μθνυμάτων.

Η Κβαντικι Κρυπτογραφία χρθςιμοποιεί ιδιότθτεσ τθσ κβαντομθχανικισ για να εξαςφαλίςει αςφαλι επικοινωνία και χρθςιμοποιείται μόνο για τθν παραγωγι κλειδιοφ και όχι για τθ μετάδοςθ δεδομζνων .

Το κλειδί είναι ζνα bit string που είναι γνωςτό μόνο ςτουσ δφο που επικοινωνοφν.

Αυτό το κλειδί ςτθ ςυνζχεια χρθςιμοποιείται για να κωδικοποιιςει /αποκωδικοποιιςει το μινυμα .

R. Feynman

Η ίδια θ μεταφορά τθσ πλθροφορίασ γίνεται με το κλαςςικό τρόπο και για τθν κρυπτογράφθςθ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί οποιοςδιποτε από τουσ γνωςτοφσ αλγόρικμουσ π.χ. (OTP)

Μοναδικι ιδιότθτα τθσ κβαντικισ κρυπτογραφίασ είναι θ δυνατότθτα των δφο

επικοινωνοφντων νϋ ανακαλφψουν τθ παρουςία κάποιου τρίτου προςϊπου που προςπακεί να υποκλζψει το κλειδί. Κανείσ δεν μπορεί να μετριςει τισ κβαντικζσ καταςτάςεισ των φωτονίων χωρίσ ταυτόχρονα να τισ διαταράξει. Αυτό κα ςιμαινε ότι ζνασ ωτακουςτισ που προςπακεί να υποκλζψει το κλειδί κρυπτογράφθςθσ κα επθρζαηε το ςιμα και κα γινόταν αμζςωσ αντιλθπτόσ από τον αποςτολζα και τον λιπτθ του μθνφματοσ (το κλειδί υφίςταται αλλοιϊςεισ).

Σθμαντικι ζννοια τθσ κβαντικισ κρυπτογραφίασ είναι θ κβαντικι

πλθροφορία .

Φορείσ τθσ κβαντικισ πλθροφορίασ είναι τα φωτόνια (ι qubits) (ςτοιχειϊδθσ

μονάδα κβαντικισ πλθροφορίασ) ι τα θλεκτρόνια.

Συγκεκριμζνα θ πλθροφορία αποκθκεφεται ςε μια κβαντικι ιδιότθτα του

φωτονίου τθν πόλωςθ.

Το φωσ κατά τθ κεωρία του Μaxwell είναι θλεκτρομαγνθτικό κφμα,

περιγράφεται από θλεκτρικό και μαγνθτικό πεδίο. Το επίπεδο ταλάντωςθσ τθσ

ζνταςθσ του θλεκτρικοφ πεδίου Ε και το επίπεδο ταλάντωςθσ του μαγνθτικοφ

πεδίου Β είναι κάκετα μεταξφ τουσ και κάκετα ςτθ διεφκυνςθ διάδοςθσ του

κφματοσ.

Πόλωςθ του φωτόσ ονομάηεται το φαινόμενο κατά το οποίο το επίπεδο ταλάντωςθσ του θλεκτρικοφ πεδίου του φωτόσ είναι ςυγκεκριμζνο. Αυτό το φωσ ονομάηεται πολωμζνο. Το φυςικό φωσ όπωσ πχ το φωσ του ιλιου εμφανίηεται ωσ επαλλθλία κυμάτων (το διάνυςμα τθσ ζνταςθσ του θλεκτρικοφ πεδίου είναι πάντοτε κάκετο ςτθ διεφκυνςθ διάδοςθσ ) με τυχαία πόλωςθ.

Με τθ χριςθ κρυςταλλικϊν φίλτρων τα οποία επιτρζπουν μόνο φωσ ςυγκεκριμζνθσ πόλωςθσ να τα διαπεράςει είναι δυνατόν από το φυςικό φωσ να παράγουμε πολωμζνο φωσ μειωμζνθσ ζνταςθσ .

Κβαντικι πλθροφορία

Το bit μπορεί να πάρει μόνο δφο από τισ δυνατζσ τιμζσ (0 ι 1) . Γνωρίηουμε κάκε ςτιγμι εάν το κακζνα από τα 8 bit που ςυνιςτοφν 1 byte (1byte = 8 bit) ζχει τθ τιμι 0 ι 1 .

Το qubit είναι μια υπζρκεςθ (άκροιςμα) και των δφο καταςτάςεων

ταυτόχρονα. Αν ςυμβολίςουμε τισ δφο βαςικζσ καταςτάςεισ με |0> και 1>

Τότε κάκε δυνατι κατάςταςθ εκφράηεται ςαν γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ αυτϊν: (1qubit περιγράφεται από τθν κυματοςυνάρτθςθ ψn=α|0>+β|1>, όπου

Τα τετράγωνα των ςυντελεςτϊν ορίηουν τθ

πικανότθτα κάκε κατάςταςθσ.

Η διαφορά είναι θ εξισ: Η κβαντικι υπζρκεςθ του qubit κωδικοποιεί εκτόσ από τισ πικανότθτεσ και

μια ςχετικι φάςθ μεταξφ των δφο καταςτάςεων επιτρζποντασ τθν εμφάνιςθ φαινομζνων ςυμβολισ των δφο καταςτάςεων. Για να γίνει κατανοθτό αυτό κα το δοφμε ςε αντιπαράκεςθ με το αποτζλεςμα τθσ άκροιςθσ (ςυμβολισ ) κυμάτων θ οποία δεν εξαρτάται μόνο από το πλάτοσ αλλά και από τθ φάςθ ςτθν οποία βρίςκονται τα δφο κφματα .

Με τον ίδιο τρόπο αλλθλεπιδροφν ςε ζναν κβαντικό υπολογιςμό δφο ι

περιςςότερα qubits.

Οι δφο καταςτάςεισ που αποτελοφν τθ βάςθ του qubit μποροφν να αντιςτοιχιςτοφν

με τισ προβολζσ του ςπιν ενόσ ςωματιδίου (πχ του θλεκτρονίου).

Ορίηουμε ωσ:

|1> τθν κατάςταςθ όπου το ςπιν του θλεκτρονίου είναι «πάνω» και ωσ κατάςταςθ

|0> τθν κατάςταςθ όπου το ςπιν του θλεκτρονίου είναι «κάτω»

Όμωσ θ δυαδικι αυτι βάςθ δεν είναι ςυνθκιςμζνθ. Η τιμι τθσ περιςτροφισ

μπορεί να περιγραφεί μόνο με ςτατιςτικζσ μεκόδουσ. Δθλαδι ζνα θλεκτρόνιο ζχει

πικανότθτα p να είναι ςτθ πάνω κατάςταςθ και 1-p να είναι ςτθ κάτω κατάςταςθ.

(το p παίρνει τιμζσ μεταξφ του 0 και του 1) Όταν παρατθριςουμε πειραματικά

ζνα θλεκτρόνιο ςε μια χρονικι ςτιγμι δεν είμαςτε ςίγουροι ςε ποια κατάςταςθ

βρίςκεται. Η κεωρθτικι εξιγθςθ είναι ότι υπάρχει ςε μια ςφνκετθ κατάςταςθ των

δφο άκρων. (superposition)

Αυτό γίνεται με τθ βοικεια πολωτικϊν διαχωριςτϊν (οπτικισ) δζςμθσ οι οποίοι επιτρζπουν ςϋ ζνα διερχόμενο δι αυτϊν φωτόνιο να εξζλκει ζχοντασ μια εκ των δφο ςυγκεκριμζνων ορκογϊνιων μεταξφ τουσ πολϊςεων

Το κάκε φωτόνιο ςχετίηεται με μια κυματοςυνάρτηςη πικανότθτασ, ζτςι

βρίςκεται κάκε χρονικι ςτιγμι ςε όλεσ τισ πικανζσ καταςτάςεισ. Οποιαδιποτε μζτρθςθ αναγκάηει το φωτόνιο να ¨πζςει¨ ςε μια από όλεσ τισ πικανζσ καταςτάςεισ και ζτςι, προκαλεί κατάρρευςη τησ υπέρθεςησ.

Αναπαράςταςθ των qbits

Υπάρχουν δφο τρόποι αναπαράςταςθσ των bits πλθροφορίασ.

Χριςθ ορκοφ φίλτρου πολϊςεωσ (Συμβολιςμόσ: +)

Χριςθ πλάγιου φίλτρου πολϊςεωσ (Συμβολιςμόσ: x)

Για να μοιραςτεί ςτισ δφο ορκογϊνιεσ καταςτάςεισ ςωςτά ζνα q-bit πρζπει να ζχει

χρθςιμοποιθκεί ο ίδιοσ τφποσ φίλτρου και κατά τθν αποςτολι και κατά τθ λιψθ.

Αλλιϊσ κα παραχκεί κατά τυχαίο τρόπο είτε «0» είτε «1» με ίςθ πικανότθτα.

Ζεφγοσ από διαπλεγμζνα qubits

Μια άλλθ περίπτωςθ είναι θ χρθςιμοποίθςθ ηεφγουσ από διαπλεγμζνα qubits θ

οποία χρθςιμοποιείται ςτουσ κβαντικοφσ υπολογιςτζσ όπου θ πλθροφορία

κρατείται ςε πολλά αντίγραφα χάριν τθσ ςφμπλεξθσ και δεν καταςτρζφεται με μία

μόνο μζτρθςθ.

Ζςτω ότι ηεφγουσ από διαπλεγμζνα qubits βρίςκονται ςτθ κατάςταςθ

τότε ζχουμε ζνα ςφςτθμα όπου τα δφο qbit ζχουν τθν ίδια

πικανότθτα να πάρουν τθ τιμι 0 ι 1 .

Αν με κάποιο τρόπο μοιράςουμε τα δφο qbits ςε δφο διαφορετικοφσ

παρατθρθτζσ ςτθν Alice και το Bob τότε αν θ Alice μετριςει τθ τιμι «0» τότε και ο

Bob με πικανότθτα 1 κα μετριςει τθν ίδια τιμι λόγω κβαντικισ ςφμπλεξθσ.

Οι διάφορεσ μζκοδοι κβαντικισ κρυπτογράφθςθσ

βαςίηονται

ςτο φαινόμενο τθσ κβαντικισ ςφμπεξθσ

ςτθν αρχι τθσ απροςδιοριςτίασ του

Heisenberg

Πρωτόκολλο BB84 (Bennett και Brassard) – πολωμζνα

φωτόνια

Περιγραφι πρωτοκόλλων που ζχουν εφευρεκεί για τθν ανταλλαγι κβαντικϊν

κλειδιϊν

Στθ μζκοδο αυτι χρθςιμοποιείται ζνα κλαςςικό κανάλι για τθν ανταλλαγι

πραγματικισ πλθροφορίασ και ζνα κβαντικό κανάλι για τθν ανταλλαγι του κλειδιοφ

To πρωτόκολλο BB84

ορίηει δφο ηεφγθ καταςτάςεων ,

ςυηυγζσ το ζνα με το άλλο και

με τθ μια κατάςταςθ ορκογϊνια τθσ άλλθσ .

Τα ηεφγθ των ορκογωνίων καταςτάςεων αναφζρονται ωσ Βάςθ.

Κάκε μια βάςθ είναι ςυηυγισ με τθν άλλθ και επομζνωσ οποιεςδιποτε δφο από αυτζσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν ςτο πρωτόκολλο. Στα παρακάτω παραδείγματα κα αςχολθκοφμε με τθν κάκετθ και τθν διαγϊνια βάςθ.

Μεκοδολογία: Αρχικά, θ Alice αποςτζλλει ςτον Bob μζςω του κβαντικοφ καναλιοφ μία αλλθλουχία από qbit, τα οποία είναι κωδικοποιθμζνα με τυχαία επιλογι βάςθσ κάκε φορά.

Κάκε φωτόνιο που λαμβάνει ο Bob το μετράει βάςει τυχαίασ επιλογισ βάςθσ μεταξφ των e1 και e2 (τισ μιςζσ με τθ μία βάςθ και τισ άλλεσ μιςζσ με τθν άλλθ) και κρατάιί τα αποτελζςματα των μετριςεων κρυφά. Μετά το πζρασ των μετριςεων επικοινωνεί με τθν Alice για να τθν ενθμερϊςει για τισ βάςεισ που χρθςιμοποίθςε για να κάνει τθ μζτρθςθ μζςω του κλαςςικοφ καναλιοφ.

Σωςτι επιλογι βάςθσ Λάκοσ επιλογι βάςθσ Από το ίδιο κανάλι θ Alice του απαντά ποιεσ από αυτζσ τισ βάςεισ ιταν

επιλεγμζνεσ ςωςτά και κρατοφν μόνο αυτά τα qbit για να ςχθματίςουν το κλειδί. Ζτςι και οι δφο ζχουν μια αλλθλουχία από ιςάρικμα qbit που ςυμφωνοφν ζνα προσ ζνα ςτισ τιμζσ τουσ . Βάςει πικανοτιτων περίπου τα μιςά qbit κα είναι ίςα δθλαδι οι μιςζσ μετριςεισ κα ζχουν γίνει με τθν ςωςτι βάςθ.

Ζςτω ότι θ Eve κρυφακοφει ςτο κβαντικό κανάλι. τότε το πλικοσ των ςωςτϊν qbit που κα βρει ο Bob είναι

μικρότερο. Η πικανότθτα θ Eve να επιλζξει λάκοσ βάςθ για να κάνει τθ

μζτρθςθ είναι ½ και αν ο Bob μετριςει αυτό το αλλαγμζνο

φωτόνιο ςτθν ίδια βάςθ με αυτι που χρθςιμοποίθςε και θ Alice κα πάρει ζνα τυχαίο αποτζλεςμα με πικανότθτα ½ να είναι λανκαςμζνο.

Άρα θ πικανότθτα ζνα αλλαγμζνο φωτόνιο να προκαλζςει λάκοσ ςτθν ακολουκία του κλειδιοφ είναι ½ * ½ = ¼

Απόδειξθ: Από τθ κατανομι των ςωςτϊν τιμϊν θ Alice και ο Bob μποροφν να καταλάβουν αν κάποιοσ τουσ παρακολουκοφςε αλλά ακόμθ και το ποςοςτό τθσ πλθροφορίασ που υπζκλεψε.

Πικανότατα θ Alice χρθςιμοποιεί ηεφγθ πεπλεγμζνων φωτονίων. Ζτςι θ Alice κρατεί αντίγραφα των qbits που ςτζλνει ςτο Bob. Κάκε φορά που θ Eve επιλζγει λάκοσ βάςθ για να μετριςει ζνα qbit θ πόλωςθ του φωτονίου αλλάηει και αυτό μπορεί να το διαπιςτϊςει θ Alice γιατί λόγω κβαντικισ ςφμπλεξθσ κα αλλάξει και θ κατάςταςθ των «αντιγράφων» που κρατεί θ Αlice.

Κάποια λάκθ οφείλονται ςτθν αλλθλεπίδραςθ του ςυςτιματοσ κωδικοποίθςθσ

με το περιβάλλον Πχ όταν τα φωτόνια μεταφζρονται με οπτικζσ ίνεσ τότε κάποιο ποςοςτό των λακϊν κα οφείλεται ςτθν αλλθλεπίδραςθ των φωτονίων με ατζλειεσ ςτθν επίςτρωςθ των ινϊν και με τον ίδιο τον αζρα. Επειδι είναι αδφνατον να διαχωριςτεί αυτόσ ο κόρυβοσ από τθ πραγματικι υποκλοπι θ μόνθ αςφαλισ λφςθ είναι να υποτεκεί ότι όλα τα λάκθ οφείλονται ςτθν Eve.

Πρωτόκολλο Athur Ekert 1991

Το φυςικό ςφςτθμα που κωδικοποιεί τα qbit αποτελείται από ηεφγθ διαπλεγμζνων φωτονίων και κακζνασ από τουσ τουσ Alice και Bob λαμβάνουν ζνα ςωμάτιο από κάκε ηεφγοσ.

Τελικά ο κακζνασ τουσ ζχει μια ακολουκία από bits, που θ μία είναι ςυμπλθρωματικι τθσ άλλθσ, και ςυμφωνοφν μζςω του κλαςςικοφ καναλιοφ ποια από τισ δφο ακολουκίεσ κα είναι το κλειδί, χωρίσ να τθν ανακοινϊςουν άμεςα.

Εξαιτίασ κορφβου και υποκλοπϊν (αλλοιϊνουν τισ μετριςεισ) θ ςχζςθ μεταξφ των δφο ακολουκιϊν μπορεί να μθν είναι ακριβισ ςχζςθ ΝΟΤ . Λόγω κβαντικισ ςφμπλεξθσ θ Alice κα ζχει πικανότθτα μεγαλφτερθ του 50% να ςυνάγει ςωςτά τθν ακολουκία του Bob και αντιςτρόφωσ .

Κινζηοι επιςτιμονεσ πζτυχαν να μεταφζρουν κβαντικζσ πλθροφορίεσ μεταξφ φωτονίων ςε απόςταςθ μεγαλφτερθ από ποτζ, ςυγκεκριμζνα άνω των 16 χιλιομζτρων. Το επίτευγμα φζρνει ζνα βιμα πιο κοντά τθν μετάδοςθ πλθροφοριϊν ςε μεγάλεσ αποςτάςεισ, χωρίσ τθν ανάγκθ φπαρξθσ ςυμβατικοφ τθλεπικοινωνιακοφ ςιματοσ μετάδοςθσ, χάρθ ςτθν αξιοποίθςθ των παράξενων ιδιοτιτων τθσ κβαντομθχανικισ.

Εφαρμογζσ:

Α) Δορυφορικζσ επικοινωνίεσ Ανοίγει ο δρόμοσ ςτισ δορυφορικζσ επικοινωνίεσ με αξιοποίθςθ τθσ

απαραβίαςτθσ κβαντικισ κρυπτογράφθςθσ. Με κβαντικι κρυπτογράφθςθ κωδικοποιθμζνα μθνφματα μεταδόκθκαν από τα Κανάρια ςτισ Βελεαρίδεσ, Όπωσ αναφζρει το Γαλλικό Πρακτορείο Ειδιςεων, ερευνθτζσ του αυςτριακοφ Ινςτιτοφτου Κβαντικισ Οπτικισ και Κβαντικισ Πλθροφορίασ (IQOQI) μετζδωςαν «πεπλεγμζνα φωτόνια» ςε μια απόςταςθ 140 χιλιομζτρων, από τθν πόλθ Λασ Πάλμασ των Κανάριων ςτο αρχιπζλαγοσ των Βελεαρίδων ςτθ δυτικι Μεςόγειο. Η επιτυχία τθσ δοκιμισ ανοίγει το δρόμο για τθν μετάδοςθ απόλυτα αςφαλϊν κρυπτογραφθμζνων μθνυμάτων μζςω τθλεπικοινωνιακϊν δορυφόρων, αναφζρουν οι ερευνθτζσ ςτο περιοδικό Nature.

Β) Σραπεηικζσ ςυναλλαγζσ Κρυπτογράφθςθ βαςιςμζνθ ςε «πεπλεγμζνα φωτόνια» χρθςιμοποιικθκε και ςε

τραπεηικι ςυναλλαγι. Αυςτριακοί επιςτιμονεσ μετζφεραν 3000€ από το κατάςτθμα τθσ Τράπεηασ τθσ Αυςτρίασ ςτθ Βιζννθ ςτο εργαςτιριό τουσ.

Το κλειδί για τθν ανάγνωςθ τθσ πλθροφορίασ μεταδίδεται από τον αποςτολζα ςτο παραλιπτθ μζςω μεμονωμζνων φωτονίων. Δθμιουργείται με μια τεχνικι που χρθςιμοποιεί ηεφγθ πεπλεγμζνων φωτονίων. Αν οι ιδιότθτεσ του ενόσ φωτονίου αλλάξουν τότε κα αλλάξουν και του άλλου ανεξάρτθτα τθσ μεταξφ τουσ απόςταςθσ.

Είναι όμωσ απαραβίαςτο ςφςτθμα και απόλυτα αςφαλζσ;

Νορβθγοί ερευνθτζσ κατάφεραν να παραβιάςουν δφο ςυςτιματα «απόλυτα αςφαλοφσ» κβαντικισ κρυπτογράφθςθσ που χρθςιμοποιοφνται ςε εμπορικι κλίμακα. Οι ακαδθμαϊκοί χάκερ «τφφλωςαν» τα ςυςτιματα με λζιηερ και κατάφεραν να υποκλζψουν το κρυπτογραφικό κλειδί χωρίσ να γίνουν αντιλθπτοί.

Βιβλιογραφία:

1. Quantum Communications and Cryptography - A. Sergienko (CRC, 2006) WW

2. [MONOVA.ORG] Hugh_D.__Young_- niversity_Physics_Phiupsilonsigmaiotakappaeta

Πθγζσ από το διαδίκτυο:

3. http://www.youtube.com/watch?v=1RVVy7ENh1w

4. http://www.youtube.com/watch?v=UVzRbU6y7Ks&feature=player_embedded

5. http://www.ecst.csuchico.edu/~atman/Crypto/quantum/quantum-index.html

6. http://goo.gl/GjXnp

7. http://goo.gl/OyTGH

8. http://goo.gl/G1n11

9. http://news.in.gr/science-technology/article/?aid=534162

10. http://www.enet.gr/?i=news.el.episthmh-texnologia&id=258317

11. http://www.secnews.gr/archives/2046

12. http://www.slideshare.net/m.vavalis/quantum-cryptography

13. http://selidesphysikis.blogspot.com/2011/04/blog-post_15.html

14. http://www.youtube.com/user/marynasta?feature=mhee#p/a/u/0/fPRhZUU5ubw

15. http://www.youtube.com/watch?v=3DGlEvC78iE&feature=player_embedded