Razonamiento Lógico Matemático

Gonzales Caicedo

Walter Orlando

www.goncaiwo.wordpress.com Pimentel, Febrero de 2010

Contenido

1. Lógica Proposicional

2. Simbolización y valoración de proposiciones

3. Ejercicios aplicativos

Objetivo

• Presentar los conceptos básicos de la lógica proposicional.

• Analiza y resuelve problemas matemáticos de su entorno aplicando reglas, principios e inferencias relacionados a la Lógica Proposicional .

Capacidad

Lógica Proposicional La lógica es la rama del conocimiento que trata los modelos de razonamiento, mediante reglas y técnicas, con el fin de determinar si un argumento dado es válido. El tema que nos ocupa es el de la lógica usada en matemáticas. Aquí trabajamos con elementos básicos llamados Proposiciones. Enunciado: Es toda expresión lingüística, que constituye una frase u oración. Proposición: Enunciado que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad.

Ejemplos Son proposiciones lógicas: Orlando y Ana van a estudiar en la USS. Orlando llamó a Ana para salir. El autobús pasa a las siete. Mañana lloverá. Chimbote está entre Trujillo y Casma. El IFB forma profesionales para desempeñarse en las entidades

bancarias.

No son proposiciones lógicas: ¡Siéntate! ¿Cuándo sale el autobús? ¿Fueron a pescar Orlando y Ana finalmente? Las creencias, mitos o leyendas. Así como:“Dios es un ser

misericordioso” “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”

Las metáforas o refranes. Así como: “El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro”. “Has el bien, sin mirar a quién”

Las supersticiones. Así como: “Hoy día me irá muy mal por ser Martes 13” “Pase por debajo de una escalera”

SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES

Según los datos históricos, Aristóteles introdujo las letras como:

p, q, r, etc., con la finalidad de representar a cada proposicióndeclarativa. Las variables proposicionales sólo pueden asumir losvalores de verdad (V) o falsedad (F).Así tenemos: Para dos proposiciones: p, q se tiene la siguiente tabla de

verdad:p q .. p q ..

V V 1 1

V F ó 1 0

F V 0 1

F F 0 0

SIMBOLIZACIÓN

Se denominan conectivos lógicos a aquellas palabras o términos funcionales que ligan, juntan, unen o enlazan las proposiciones simples formando proposiciones compuestas. Los operadores o conectores básicos son: CONECTIVO SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN

No ~ Negación

Y ^ Conjunción

o Disyuntiva inclusiva

o. . . o. . . Disyuntiva exclusiva

Si… entonces... Condicional

…si y sólo si … Bicondicional

Es un conectivo singular. Se denomina proposición negativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Se denota por: ~p, -p, p y se lee: “no p”. La negación, puede traducirse como: Es falso que... No es el caso que ... Jamás ...Ejemplo: p = La luna es un satélite. ~p = No es cierto que la luna es un satélite.

Conectivos Lógicos:

Negación (~):

Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado de unir estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota con el símbolo: “”, “”, se escribe “p q”, “p q” y se lee: “p y q”. La proposición conjuntiva es verdadera. Cuando las dos proposiciones son verdaderas. En nuestro lenguaje podemos emplear: Sin embargo… Aún cuando… No obstante… Pero, etc.Ejemplo: Consideremos las siguientes proposiciones:p: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque” q: “Tiene corriente la batería”Entonces:p q: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Conjunción:

Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q” relacionadas por el conectivo lógico “o”. Según el sentido del conectivo “o”, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva.Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por “p q”, “p + q” y se lee: “p o q”. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso que ambas proporciones sean falsas. Se conoce como la suma lógica. Otras formas de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son:A menos que, Excepto que, O en todo caso, A no ser que, etc.

Ejemplo: Consideremos: p : “La USS es privada” q : “La USS es estatal”Entonces: p q: “La USS es privada o en todo caso la USS es estatal”

Disyunción:

Disyunción Exclusiva o Fuerte: Se denota por: “p q”, “p V q”, “p q”, “p q”, “p q” y se lee: “p o q” pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo cuando una de las proposiciones es verdadera. Alguna formas de conectivos a emplear son: O ... o ... O bien ... o bien ... ... no equivale a ...No es cierto que...equivale a... O solo .... o solo ....

Ejemplo: Consideremos:

p : “viajo a España” q : “viajo a Brasil”

Entonces: p q : “O viajo a España o viajo a Brasil”

Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos proposiciones simples, a través del conectivo: “Si ..., entonces ...” y su símbolo es : “”, “”. La notación “p q”, “p q” se lee “Si p , entonces q” ; proposición “p” se llama antecedente o hipótesis y la proposición “q” se llama consecuente o conclusión.

La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente (“p q” Implicación directa), son las siguientes:

Si p, entonces q p implica q p por ende q

Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente (“q p” Implicación inversa), son:

q siempre que p Sólo cuando p, q q cada vez que p

Condicional:

Ejemplo: consideremos: p : “Llueva” q : “Mejorarán las cosechas” De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p q : “Siempre que llueva entonces mejoraran las cosechas” q p : “Mejoraran las cosechas siempre que llueva”

Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “... si y sólo si ...”, cuyo símbolo es: “”, “”, “”. La proposición compuesta se denota por: “p q”, “p q”, “p q” y se lee: “p si y sólo si q”. La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.También se suele emplear expresiones como:

…siempre y cuando… …por lo cual y según lo cual… Si y sólo si p, q …es lo mismo que…

Bicondicional:

Ejemplo: Consideremos: p : “Los bancos dan crédito” q : “Mirta labora en el IFB”De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica queda indicado por: p q : “Los bancos dan crédito siempre y cuando Mirta labora en el IFB”.

RESUMEN DE TABLAS DE VERDAD

p q ~p p q p q p q p q p q

V V F V F V

V F F F

F V V

F F V F F V

VALORACIÓN DE PROPOSICIONESHasta el momento hemos conocido la simbolización de las proposiciones tanto atómicas como las proposiciones moleculares. Para determinar los valores de verdad a las segundas, es necesario tener en cuenta las tablas de verdad de las proposiciones atómicas ya que, sólo ellas pueden recibir directamente los valores de verdad. Considere los siguientes ejemplos: Si los alumnos aprueban todos los cursos, entonces obtienen su bachillerato o su titulo. Tenemos las proposiciones: p : “Los alumnos aprueban todos los cursos” q : “Obtienen su bachillerato” r : “Su titulo”Se simboliza: p (q r)

La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:

p q r p (q r)

V V V V V V

V V F V V V

V F V V V V

V F F V F F

F V V F V V

F V F F V V

F F V F V V

F F F F V F

Contingencia: Aquella expresión, que en su conectivo principal resulten valores verdaderos y falsos a la vez, para todas las posibles asignaciones de la tabla de verdad.

La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:

p q (p q) p q

V V V V V V V

V F F F V V F

F V V F F V V

F F V F F V F

Tautología: Una expresión es tautológica, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser verdaderos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad.

Siempre que salga el sol entonces iremos a la playa, sin embargo sale el sol. Por tanto iremos a la playa.Tenemos las proposiciones: p : “Sale el sol”

q : “Iremos a la playa”Se simboliza: (p q) p q

La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos.

Tenemos las proposiciones:

p : “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos”

q : “Los analistas en economía buscan soluciones” p : “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos económicos”

(p q) pSe simboliza:

La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:

p q (p q) p

V V V F F

V F F F F

F V F F V

F F F F V

Contradicción: La expresión resulta ser una contradicción, cuando los valores de su conectivo principal resultan ser falsos, para todas las asignaciones posibles de la tabla de verdad.

Ejercicios Aplicativos

1. No es cierto que no me guste estudiar2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.3. Si los gatos de mi hermana no soltaran pelo, me

gustaría acariciarlos.4. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos,

creería que hay vida extraterrestre.5. Cajamarca es una ciudad minera por excelencia de

modo que invertir en minería es la mejor opción.6. Cuando la producción de una empresa aumenta, en

consecuencia aumenta la productividad y en algunos casos la demanda.

7. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar al banco.

Formaliza las siguientes proposiciones:

SoluciónSolución (1): p = Me gusta estudiar Se simboliza: ¬(¬p)Solución (2): q = Me gusta bailar r = Me gusta leer libros de ciencia ficciónse Se simboliza: q ∧ rSolución (3): u = Los gatos de mi hermana sueltan pelo t = Me gusta acariciar los gatos Se simboliza: ¬ u tSolución (4):

p = Ver un marciano con mis propios ojos q = Creer en los extraterrestres

Se simboliza: p ⇔ q

Solución (5): q = Cajamarca es una ciudad minera por

excelencia p = Invertir en minería es la mejor opción Se simboliza: q pSolución (6): p = Cuando la producción de una empresa aumenta q = Aumenta la productividad r = En algunos casos la demanda Se simboliza: p (q ∧ r)Solución (7): s = Prefiero ir de vacaciones t = Sin hacer nada p = Tener tiempo para ello q = Ir a trabajar al banco Se simboliza: (p ∧ ¬ q ) (s v t )

THANKS