RBCM - J. of the Braz. Soe. Mechanical SciencesVai. XX - NO.3 - 1998 - pp. 340-352

ISSN 0100·7386P"nted in Brazll

Avaliação de Algumas Funções deInterpolação para Escoamentos de FluidosUsando Volumes Finitos

Evaluation of Some Interpolation Schemes for Fluid FlowCalculations Using Finite VolumesCarlos Henrique MarchiUniversidade Federal do ParanaDepartamento de Engenharia Mecânica81531-990 Curitiba. PR Brazilmarchi@cce.ufpr.br

Clovis Raimundo MaliskaUniversidade Federal de Santa CatarinaDepartamento de Engenharia Mecânicamaliska@sinmec.ufsc.br

Selene Maria de Arruda Guelli Ulson de SouzaUniversidade Federal de Santa CatarinaDepartamento de Engenharia Quimica88040-902 Flonanópolis. SC Brazllenq3sel@enq.ufsc.br

Abstract

The ('\'c1lrlllt;wI ol some interpu/aliou JehellJc'J frc'lfllt'1l1/Y uscd iu lhe Jolll1iwl ol COIl\'(,í't;n'-dolllillllll{ Jlmr Üpt·rJiJrmed. The Jchemc's ar(' lIJ.\"esJed .wl/\·;'rg I[) alld 2D lillt'ar llJltllllJII·fim'ur prohlt·ltls ill s/nu/.\' lllllllrwuielll

.fitare.'", The jillile "o/limes IIlt'I/Wc/ Ü nnl'lo.n'd tlII" IIH' rcr (rllLr-Corrt.'(,{l'l1 TrlllJ.\porlJ ,\"(rafl'gy is used ill

('Olljll"cfimr \\,;1" S01lW higllt'r urde'r Je"('Ines llimillg to ll\'o;d IIlImc'rica! OJcilllltiOlH. Ir Ü propoJc'd Cl /1ll'lhodology

for dcur/.\' c'o"'pariug lhe f't>rf(}f-UltlIll't' ol.\t·\'t~ra/ illft'r/)o/afiol/ Sc/U·Ult'S.

l\eYk'ords: Nlll1Jerica/ Aln/wds, NlIml'ricallJijjÚsioll, \rigg/cJ, NltJ1wrical Sc/u·"U'J.

Resumo

St;O n'Jolddo.\' prob/nllla ulli t~ bidimclIJiOlwÜ, lill('tln'J l' mlo-lincart'J, dt' t'.H·OtllnCllfOJ dl' fluidOJ 11tH rt'.fÚmt·J

pt'rlllllllt'llfl' t' frtllHit'llft' para {u'aliar o de,\'('IIlJPl'lIllO de dh'('fJ{H /illl(iit'J de illlt'r/w/lI(tio di.'iIJOIIÚ't';S IJiI lil('nlfuro. Oméfodo dos \'Olllllll'J jillifOJ (; l'mpn'gw/o para dÜcri'li:ar (H modc/o.\' lIlaft'lIltÍliCiJ.\' t' o proct'dilllt'lllO FCl' (FI".\"·Corrt'cli'd Trllll.\'port) é ll.\"odo ('111algllllS (',\'(/llt'lIltlJ de allll ordoll parti ('dlar ti ocorrhrc;ll de (Hcilll((k.\' IlIflllt;rina

IWJ rt'.Hlltat!os. f..; illtrOt.lll:ido UIIl proccdillll'lllil para comparar ohjel;\'WlIt'lllt' (1 de.H'lIlpt'll/w dcl.\' di\'c'r.\'C1JJitll(,j('J dl'

illtc'rpolartio It'.uadoJ.

Palal'ras •.chal'e: AlétodoJ NuméricoJ, DUil.\tio Numérica, lJJcilariio NlIIll,;riccl, Frmp1t'J dl' IlIlt·rp(1lartio.

Introdução

No processo de discrelização de equações diferenciais que modelam escoamentos de fluidos. e queutilizam o método dos volumes tinitos. surge a necessidade de se avaliar nas interfaces dos volumes decontrole o valor da propriedade conservada e de sua deri vada normal. Com este fi m. são usadas aschamadas funções ou esquemas de interpolação.

Adotam-se no presente Irabalho as definiçõcs dadas por Sharif e Busnaina ( 1993) para os termosdifusão e oscilaçóio numéricas. embora existam na literatura outras interprelações semelhantes ou não(Roache. 1972: Patankar. 1980: Silva. 1991: :Vlaliska. 1995: Ferziger e Peric. 1996). Por "difusãonumérica" será entendido qualquer efeito que tenda a suavizar ou amoMecer gradientes oudescontinuidades presentes na solução exata de um problema IFig. Ia). Os efeilos que resultam emoscilações na solução (Fig. Ib) serão denominados de "oscilaçóio numérica". Tanto a difusóio numéricaquanto a oscilação numérica são erros introduzidos na solução de um problema via funçóio deinterpolação. Estes dois erros de lruncamento estão associados à aplicação de uma funçóio deinterpolação inexata aos lermos advectivos. Para um dado problema. a função de interpola"'ão exata é asua própria solução. Por exemplo. num problema de conduçóio de calor unidimensional. em estadopermanente. sem termos fOlHes e com condulividade térmica conSlalHe. a função de interpola.,·ão e.xata é

Manuscflpt rece/ved: November 1996: revis/on rece/ved: March 1998. Technical Ed/tor: Angela Ourivio Nieckele.

C. H. Marchi et aI.: Evaluation of Some Interpolation Schemes for Fluid Flow.. 341

uma reta. Portanto. como em geral não se conhece a solução exata do problema. a função deinterpo]ação empregada gera erros de difusão e/ou oscilação numéricas.

00

-e­0.5

com difusa

sem difusã\\"

1.0 ~-.....c'-.'-c"\

\\

\-- exato \

numéri

o numéri

-0.5 0.0 x 0.5

Fig.1a Exemplo de difusão numérica

Como se sabe. esquemas de 2a ordem como oCOS (Centra] Oifferencing Scheme) (Maliska. 1995)e de 3a ordem como o QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics) (Leonard.]979) apresentam menos difusão numérica que esquemas de Ia ordem. No entanto. muitas vezes. assoluções obtidas com esquemas como o COS e QUICK. em problemas que têm gradientes espaciaisfortes. resultam em soluções com oscilações numéricas. Fig. ]b.

1.0 1.".".

-e­

0.5

00

-0.5 0.0 x 0.5

Fig. 1b Exemplo de oscilação numérica

Já esquemas de Ia ordem como o UOS (Upstream Oifferencing Scheme) (Courant et aI., ]952) sãolivres de oscilação numérica. O inconveniente nestes esquemas é a quantidade de difusão numéricapresente nas soluções obtidas (Fig. Ia).

Tanto os esquemas de Ia ordem quanto os de alta ordem possuem vantagens e desvantagens nasolução de problemas. Portanto. o que se deve buscar é a união das vantagens dos esquemas de altaordem (menos difusão numérica) com os de baixa ordem (sem oscilação numérica). Com este objetivo.o procedimento FCT (Flux-Corrected Transport) de Zalesak (1979) é empregado neste trabalho.

São resolvidos problemas uni e bidimensionais. lineares e não-lineares. nos regimes permanente etransiente para avaliar o desempenho de diversas funções de interpo]ação disponíveis na literatura:UOS. COSo Skew Upstream Oifferencing Scheme (SUOS). Função de Interpolação Completa (FI C).Tota] Variation Oiminishing (limitador TVO do tipo Superbee de Roe.1983). QUICK e Adaptable

342 J. of the Braz. Soe. Mechanical Sciences· Vol. 20. September 1998

Difference Scheme (ADS). Auxiliar o analista numérico na escolha das funções de interpolação maisadequadas é também um objetivo deste trabalho.

Procedimento FCT

o procedimento FCT permite empregar esquemas de alta ordem na solução de escoamentos defluidos sem que. no entanto. os resultados apresentem oscilação numérica. Foi inicialmentedesenvolvido por Boris e Book (1973). Sua versão aprimorada (Zalesak. 1979) é empregada nestetrabalho.

A seguir. descreve-se em linhas gerais o procedimento FCT para escoamentos unidimensionais.Maiores detalhes sobre a interpretação dos diversos parãmetros envolvidos bem como a expansão paraproblemas multidimensionais podem ser encontrados em Zalesak (1979).

Para cada iteração no processo de obtenção da solução de um problema. o procedimento FCT podeser resumido a:

Obter a solução <»' usando um esquema de baixa ordem que não apresente oscilação numérica:neste trabalho emprega-se o UDS com formulação totalmente implícita:

2 Calcular os fluxos antidifusivos:

3 Limitar os fluxos antidifusivos: e.

4 Corrigir a solução de baixa ordem <»' com os fluxos antidifusivos limitados obtendo-se a soluçãode alta ordem <»": neste trabalho. esta correção é feita explicitamente.

Cálculo do Fluxo Antidifusivo (A)

Segundo o esquema UDS. o fluxo da incógnita <» do problema na interface leste (e) do volume decontrole elementar P. Fig. 2. para velocidade u > O é dado por

II

wIw

.E __ ~x

p

!e-I

f-i\X

Fig. 2 Discretização do domínio de cálculo 1 D

-- NomenclaturaA

=fluxo antidifusivo U,v=velocidades E, W= volumes de controle a leste eC

=coeficiente de limitação x,y=coordenadas espaciais a oeste de Pdo fluxo antidifusivo Letras Gregas

G= global

E

=erro médio da solução L= contorno direito do domínionumérica

a=coeficiente do termo de cálculo

E,W

=volumes de controle aadvectivo da função de

M= memórialeste e a oeste de P

interpolaçãoo= contorno esquerdo do

F=fluxo advectivo da

ilt=intervalo de tempo domínio de cálculo

incógnitailx,ily =comprimento e altura doP= volume de controle elementar

H

=altura volume de controlet= tempo

L=comprimento do domínio =

massa específicade cálculo

pSuperscritos

M=massa 'i'=

incó~nita genérica do"

prob emaC= limitado

M=fluxo de massa '1=rendimento

L= baixa ordemn

=número de volumes de Subscritos H = alta ordemcontrole do domínio

max= máximoP,Q,R =

parãmetros do métodoe, W = faces leste e oeste do volumemin = mínimoFCT

Ptempo

C. H. Marchi et aI.: Evaluation 01 Some Interpolation Schemes for Fluid Flow ..

o

F"L = M " rp I'

e de acordo com o esquema COS por

(I)

343

o

onde F"L. F,!f eM" são os fluxos dos esquemas de baixa e de alta ordens e o fluxo de massa na

interface leste (e). respectivamente. e <I> é a incógnita do problema.O fluxo antidifusivo é a diferença entre os fluxos de alta e de baixa ordens. ou seja

(3)

No caso das Eqs. (I) e (2) obtem-se

o

(4)

Da mesma forma. luí um fluxo antidifusivo para a interface oeste (w). No caso de u < O. tem-se parao esquema UOS

(5)

Para li < O. a Eq. (2) continua válida já que <l>e independe do sinal de u no esquema COSo Assim.introduzindo as Eqs. (2) e (5) na Eq. (3). tem-se para li < O

o

(6)

Fluxo Antidifusivo Limitado (A c)

O fluxo antidifusivo limitado A; é obtido através de

(7)

onde o valor de C varia entre O e I. ou seja. a correção que será feita sobre a solução de baixa ordemresultará:

• Na própria solução de baixa ordem se Cw = Cc = O:

• Na própria solução de alta ordem se Cw = Cc = I: ou

• Em uma solução intermediária se Cw ou Cc forem diferentes de O e I.

O valor do coeficiente C é obtido através do procedimento FCT de Zalesak (1979). Para um

problema unidimensional são calculados inicialmente os parâmetros p/; e PI~ que representam a soma

344 J. 01 the Braz. Soe, Meehanieal Seienees - Vol 20, September 1998

soma de todos os fluxos antidifusivos entrando e saindo do volume de controle elementar (P).

respectivamente. através dc

Pi; = 11/(/.\( O. Ali' ) - II/il/( O. A" )

p/-; = 11/(/.\( O. AI' ) - II/il/( O. Ali' )

(8)

(9)

onde max e min representam os valores máximo e mínimo, rcspcctivamente. dos parãmetros entreparênteses.

Em seguida. calculam-se os parãmetros Qj; e Qp que evitam ocorrer oscilação numérica com base

na solução de baixa ordem c/J:; e nos valores máximo e mínimo estimados para a incógnita (rp;:1Il.1 e

rp'P,ill ). com as seguintes expressões:

( 10)

(11)

onde M" e L'itsão a massa do volume de controle (M" = p. L'ix)e o intervalo de tempo.A forma de se avaliar <1>""" e <1>"';" é um ponto-chave no procedimento FCT. Se estes parãmetros

forem inadequadamente estimados poderá haver oscilação numérica na solução. Zalesak (1979)recomenda

( 12)

(13)

onde <1>0 representa o valor da incógnita no instante de tempo t e <1>L o valor da incógnita no instantede tempo atual t+L'it.

Em seguida. calculam-se as variações máxima ( Rj!;) e mínima ( Rp ) que podem ser admitidas sobreo volumc P. da seguinte forma:

Rp

(14)

(15)

Finalmente. calculam-se os coeficientes C através de

C. H. Marchi et aI.: Evaluation of Some Interpolation Schemes for Fluid Flow.

{II/il/( R~. R~ ) .lI' /\,. ;:::o}1/111/( RI'.RE ).11' A,. <O

Solução de Alta Ordem (<j>H)

( 16)

345

Calculados os coeficientes C para todas as faces dos volumes de controle. pode-se obter a soluçãode alta ordem. limitada. por

,"li ,"L C C dt'1'1' = '1'1' -( fi' -fi . )--I' 11' Mp

o procedimento para problemas bidimensionais é dado no trabalho de Zalesak (1979).

Esquemas Testados

( 17)

o procedimento FCT é usado nos seguintes esquemas neste trabalho:I CDS-Z = UDS com COS:

2 QUICK-Z = UDS com QUICK (Leonard. 1979): e

3 ADS-Z = UDS com AOS (Marchi. 1993).

Estes três esquemas serão comparados aos esquemas UOS (Courant et aI.. 1952). COSo SkewUpstream Oifferencing Scheme. SUDS (Raithby. 1976). Função de Interpolação Completa. FIC (Souzae Maliska. 1990). limitador TVD do tipo Superbee (Roe. 1983) e ALFA. O Superbee é um esquema de23 ordem autolimitado.

O valor da incógnita <1> na interface leste (e) para alguns esquemas pode ser genericamente escritocomo (Raithby e Torrance. 1974)

( 18)

onde a é o coeficiente advectivo da fun~'ão de interpolação. Para o esquema CDS. a = O. No esquemaUDS. com u > O. tem-se a = 1/2. ]Ü no esquema ALFA. simplesmente prescreve-se o valor de a.

Nos esquemas SUDS e FIC não se emprega neste trabalho o procedimento FCT devido aos mesmosjÜ serem razoavelmente mais elaborados que os demais. As funções de interpolação do SUDS e FIC sãobidimensionais em problemas bidimensionais. e não unidimensionais como nos outros esquemas jÜcitados.

Na Tabela I é indicado o número de vetores (com dimensão igual ao número total de volumes damalha) necessÜrio para resolver cada um dos três problemas abaixo e para cada um dos nove esquemasempregados neste trabalho. A memória computacional usada é diretamente proporcional ao número devetores de cada esquema e ao tamanho da malha.

Tabela 1 Número de vetores com dimensão da malha.

Esquema Problema 1Problema 2Problema 3

UDS

8818

CDS

8818

ALFA

8818

SUDS

18

TVD

9920

FIC

91020

CDS-Z

111122

QUICK-Z

111122

ADS-Z

111122

346

Resultados

Problema 1

J. of the Braz. Soe. Meehanieal Seienees - VaI. 20, September 1998

A equação governante do primeiro problema é

d

J,f P1> )

d+ -( pu1> )

doio (19)

Este problema consiste na emissão de três pulsos de onda retangular em x = O. ou seja. a condiçãode contorno é <110= O entre os tempos. dados em segundos. 10 e 0.2). [0.3 e 0.5). [0.6 e 0.8) e 10.9 e1.0J. e <110= I entre os tempos 10.2 e 0.3). [0.5 e 0.6) e 10.8 e 0.9). A condição inicial é <11= O nodomínio inteiro. Os demais dados são: p = I kg/m '. u = I m/s e L = I m. O comprimento dos volumes(.6.x) é constante e dado por .6.x = Un. onde n é o nÚmero de volumes usado na discretização dodomínio.

As soluções são obtidas para o tempo t = I s. com .6.t = 10' s. O sistema linear oriundo dadiscretização da Eq. (19) é resolvido diretamente com o método TDMA (Thomas. 1949). Nos esquemasem que os coeficientes do sistema linear são dependentes da própria solução do problema. eles sãocalculados utilizando a solução do instante de tempo anterior. O processo de integração da Eq. (19)

pode ser visto. por exemplo. em Marchi (1993) ou Maliska (1995). Basicamente. este processo consisteem efetuar a integração da Eq.( 19) sobre o volume de controle elementar (P). da Fig. 2. usando umaformulação totalmente implícita (no tempo) e a função de interpolação desejada.

Visando comparar o desempenho dos diversos esquemas. calcula-se o erro médio (E) percentual decada esquema através de

E/00

11

li

Ij1>!,"1II -1>/"[;=1 (20)

onde <I1nume <11'"representam as soluções numérica e exata do problema. e <PI~';:I\ e <Pt~;~n os valores

máximo e mínimo. respectivamente. da solução exata.Por tentativas. obteve-se o menor nÚmero de volumes (n) para cada esquema de tal forma que E ~

5%. Os resultados obtidos são mostrados na Tabela 2. Os parâmetros 11M. 11, e 11,; representam osrendimentos de memória. de tempo de computação e global. definidos como

'],11II/clI/(írill lI/íllill/lI CIITrc Todos os C.H/UCllIlIS

II/clI/(Írill do CSi/UOl/lI CII/ COII//)lI rll~'17o

TCII/flo dc CPU II/íllill/o CIITrl' Todos os CSi/UClI/lIS

TCII/flo dc CPU do l'Si/Ul'1/1lI CII/ cOII//)lIra~'17o

(21 )

(22)

(23)

Verificou-se que o esquema que precisou da menor memória para resolver o problema foi o ADS-Z(lhl = 1.0). e o esquema que necessitou do menor tempo de computação foi o TVD (11, = 1.0).

C. H. Marchi et aI.: Evaluation 01 Some Interpolation Schemes for Fluid Flow ... 347

Globalmente. o melhor desempenho foi obtido pclo TVO. seguido pelo ADS-Z. Em um nível maisbaixo de rendimento global encontram-se os csqucmas FIC e QUICK-Z.

Dos esquemas mencionados na Tabela 2. apenas os esquemas FIC e CDS apresentaram oscilaçõesnos resultados. Entre eles. apenas o FIC é um esquema previamcntc projetado para problemas 20.

O esquema SUDS se reduz ao UDS para problemas unidimensionais. Devido a isto não sãoapresentados resultados daquele esquema para os problemas I e 2.

Os resultados obtidos com os esquemas que apresentaram o melhor (TVD. 118 volumes) e o pior(UOS. 6000 volumes) desempenho. bem como a solução exata. são mostrados na Fig. 3.

0.6

1.0

0.8

0.6

-e­0.4

0.2

0.0

0.0 0,2 0.4

X (m)

Problema 2

Fig. 3 Sloução do problema 1 para t=1.0s

Tabela 2 Resultados do problema 1.

Esquema n11M11,I1G

UDS

60000,0200,0350,00070

CDS

6600,180,340,061

CDS-Z

3800,230,170,039

FIC

3460,310,530,16

QUICK-Z

2360,370,270,10

TVD

1180,911,00,91

ADS-Z

881,00,610,61

A equação governante do problema 2 também é a Eq. (19). Mas. agora. <p = u. Portanto. o problemaé não-linear. As condições iniciais são u = I para O< x ~ 0.5 meu = -I para -0.5 ~ x < Om. A condiçãode contorno é u = O para x = O. Quanto aos dcmais dados têm-se: p = I kg/m3• L = I m. L'>xconstante eL'>t= 10-1 s. As soluções serão apresentadas para o tempo t = 0.3 s. Os coeficientes do sistema deequações são calculados utilizando a solução do instante de tempo anterior.

Determinou-se o menor nÚ'mero de volumes de cada esquema para satisfazer a condição E ~ 0.5%.onde E é dado pela Eq, (20). Os rendimentos de cada esquema podem ser vistos na Tabela 3. Oesquema que necessitou da menor memória foi o QUICK-Z. e o menor tempo de computação. oCOS.Globalmente. o QUICK-Z foi o melhor esquema seguido pelo AOS-Z e CDS. As soluções obtidas comos csquemas QUICK-Z 01 volumes) e UDS (511 volumes) são mostradas na Fig. 4. assim como asolução exata.

348

1.0

0.5

-e­0.0

-0.5

-1.0

J. of the Braz. Soe. Meehanieal Seienees - VaI. 20, September 1998

-- -- exato ~-'

QUICK-Z /

UDS ////J

-0.50 -0,25 0.00

x (m)

0.25 0.50

Fig. 4 Solução do problema 2 para t=0.3s

Tabela 3 Resultados do problema 2.

Esquema n11M 11<I1G

UDS

5110,0830,0970,0081

TVD

4110,0920,0970,0089

CDS

890,48 1,00,48

CDS-Z

890,350,240,084

ADS-Z

330,940,560,53

QUICK-Z

311,00,720,72

Deve-se destacar que o esquema CDS não apresentou oscilações para qualquer tamanho de volume.E. o esquema CDS-Z reproduz o resultado do CDS em termos de número de volumes de controle. comomostrado na Tabela 3. Os rendimentos do esquema CDS-Z. frente ao CDS. são menores devido ao usodo proccdimcnto FCT quc cxigc mais memória computacional e tempo dc computação para um mcsmonúmero de volumes.

Não se conseguiu obter uma solução estável para o esquema FIe. nem determinar o motivo disso.Surpreendentemente. o esquema TVD apresentou péssimos resultados. Só não foi pior que o

esquema UDS. A diferença básica entre o problema atual e o anterior. onde o esquema TVD teve omelhor desempenho. é que agora os gradientes espaciais são mais suaves.

Embora novos testes. especialmente para problemas não-lineares. devam ser realizados para melhorcompreender o desempenho do esquema TVD. uma possível explicação é a seguinte:

O esquema TVD é uma mistura dos esquemas UDS. CDS e DDS: em determinadas situações oesquema TVD resulta no esquema DDS: assim como o TVD. o ADS envolve os esquemasUDS. CDS e DDS: maiores detalhes podem ser vistos em Marchi (1993):

2 Com o esquema DDS (Marchi. 1993). que consiste em usar a. = -0.5. obtêm-se os mesmos

rcsultados do esquema UpS e scm osci laçõcs:

3 O esquema CDS (a. = O) fornece resultados também sem oscilações para o problema 2. como jámencionado acima:

4 Sabidamente. o esquema CDS é melhor que o TVD. já que o CDS é de 2" ordem e o TVD é umesquema cuja ordem varia entre I" e 2": a dificuldade é que. em geral. o esquema CDS produzresultados com oscilações: e.

c. H. Marchi et aI.: Evaluation 01 Some Interpolation Schemes for Fluid Flow .. 349

5 portanto. para problcmas em que o esquema COS niio produz oscilações (problema 2). seudesempenho será melhor que o TVO: e o esquema TVO ted desempenho intermediário entre osesqucmas VOS c COSo como constatado na Tabela 3.

Problema 3

o último problema (Fig.5) se traduz na advecção bidimensional em regime permanente de um perfiluniforme de <1>. mas com uma descontinuidade (Raithby. 1976). A equação governante do problema é

Norte

H

y

Sul

xL

Fig. 5 Definição do problema 3

u

u/ pcp)

U

+ -( pllcp) +U.\

o (24)

o tempo é usado apenas para controlar o processo iterativo do qual obtém-se a solução doproblema. Somente a solução de regime permanente é obtida. O sistema linear originado dadiscretização da Eq. (24) é resolvido com o método Modijied STrlmg/y III/II/icit. MSI (Schneider eZedan. 1981). O regimc permanente é considerado atingido quando a variação máxima da soluçãoocorrida num volume de controle entre dois instantes de tempo consecutivos for inferior a 10-5.

As condições de contorno na fronteira oeste siio <1> = 2 para y > ys c <1> = I para y < Ys. onde Ys éfunção do ângulo 6 do escoamento em relação ao eixo x. Já na fronteira sul tem-se <1> = I. Admitiu-sep = I kg/m', V = I m/s e L = H = I m. Além disso. usou-se llx = lly.

Inicialmente foram obtidos os erros médios das soluções dos diversos esquemas para a malha II x IIvolumes em função do ângulo 6. Estes resultados são apresentados nas Figs. 6a e 6b. Os erros sãocalculados com a Eq. (20) ao longo de y para x = L/2.

20

-<>- UDS

- c- CDS

- "- AlFA

- <>- SUDS / /__ FICc/

//

15

t.210

ti 5

oO 10 20 30

9 (graus)

Fig. 6a Maiores erros médios do problema 3 para malha 11 x11

350 J. 01 the Braz. Soe. Meehanieal Scienees· Vol. 20. September 1998

J Io/1

Ia" ~//\

/ .•.•. ~/ / \

/ " •....r::/ \

7-.~"-?.i_-:.---O'" './'" --a' ~~~ '.

11. <:I" ••• \I " 1

, i"

CDS-Z

QUICK·ZADS-Z

403020

O (graus)

10

--<>- TVD

o

3

o

~2o~E

g 1Q)

Fig 6b Menores erros médios do problema 3 para malha 11x11

Todos os esquemas resultaram na solução exata para e = 00• Os esquemas CDS. SUDS. CDS-Z eADS-Z também reproduzem a solução exata para e = 45".

O erro médio máximo de cada esquema é: UDS = 18% para e = 45". CDS = 14% para e = 32.50•

SUDS = 13% para e = 32.5". FIC = 1I % para e = 45". ALFA = 8.2% para e = 45". QUICK-Z = 3.2%para e = 45". TVD = 3.0% para e = 45". CDS-Z = 2.5% para e = 40" e ADS-Z = 1.2% para e =32.5".

Obteve-se para cada esquema uma solução em x = L/2 que satisfizesse a condição E ~ 2% para e =32.5". onde E é dado pela Eq. (20). Os rendimentos de cada esquema são mostrados na Tabela 4. Para oesquema ALFA usou-se a. = 0.1. Não são ap;esentados dados dos esquemas CDS e SUDS na Tabela 4devido às grandes oscilações que ocorrem ~em seus resultados. A título de comparação. para a malha81 x81. os erros médios dos esquemas UDS. CDS. SUDS e ALF A foram 5.8%. 7.5%. 5.5% e 2.4%.respecti vamente.

É importante mencionar que são obtidas soluções convergidas com o esquema CDS para qualquerângulo e. embora os resultados apresentem oscilações. Mas. conforme mencionado acima. a soluçãoexata do problema é obtida para os ângulos e de O" e 45" sem qualquer oscilação ou difusão numéricas.o que já foi verificado também por Silva (1991). A solução do problema 3 empregando o esquema CDSsó é possível porque o termo transiente é usado (Eq. 24).

O esquema que precisou da menor memória foi o TVD. A solução foi obtida com o menor tempo decomputação pelo esquema QUICK-Z. OS outros métodos são todos consideravelmente mais lentos.Globalmente. o melhor esquema foi o TVD seguido pelo esquema QUICK-Z.

As soluções do problema 3. para x = L/2 e e = 32.5". dadas pelos esquemas ALFA (121 x 121). TVD(1Ixll) e UDS (801x801) e pela solução exata são apresentadas na Fig. 7. Todas estas soluçõesnuméricas satisfazem o critério adotado neste problema. ou seja. o erro médio como definido pela Eq.(20) é E ~ 2%. embora possa parecer visualmente que o esquema TVD apresente um erro muito maiorou que os esquema ALFA e UDS apresentem um erro muito menor.

2.0

.• o.. exatoo TVD

-- - UDS

--AlFA1.5

1.0 . ó

0.0 0.5 1.0

y (m)

Fig. 7 Solução do problema 3

C. H. Marchi et aI.: Evaluation 01 Some Interpolation Schemes for Fluid Flow. 351

Verificou-sc que as soluções de regime permanente obtidas com os esquemas que empregaram oprocedimento FCT são dependentes do intervalo de tempo usado. como pode ser visto na Fig. 8 para amalha 11x 11 e e = 32.5°. Apesar disso. os erros médios ainda são muito mcnores que aquele doesqucma UDS (E = 12.8%). O resultado do esquema TVD é apresentado na Fig. 8 como referência.Apesar do erro do esquema TVD ser independente do intervalo dc tempo. o valor máximo que se podeusar é Ôt = 4x 10.2 s enquanto que nos esquemas UDS. ADS-Z. QUICK-Z e CDS-Z é Ôt = 100 s. Éimportante ressaltar que a dependência do intervalo de tempo deve-se ao uso do procedimento FCT.Sem empreg;í-Io. os esquemas não apresentam esta depcndência do intervalo de tempo.

10

_ j ~CDS·Z

~~ - D- QUICK-Z'6 ~ ADS-Z.(1)E 5 - o- TVDg - - - UDS(I)

o I0.001 0.01 0.1 10 100

Conclusões

t1t (s)

Fig.8

Erros médios do problema 3 em função do dt

Tabela 4

Resultados do problema 3

Esquema

n11M111'lG

UDS

801x8010,000210,0122,5x10·

ALFA

121x1210,00920,0110,00010

FIC

81x810,0180,870,016

CDS-Z

11x110,910,400,36

QUICK-Z

11x110,911,00,91

ADS-Z

11x110,910,380,35

TVD

11x111,00,940,94

Das comparações quantitativas verificou-se que o esquema UDS apresenta desempenhoextremamente inferior aos esquemas dc alta ordem. principalmente com relação à memóriacomputacional.

O uso do procedimento FCT. na forma apresentada neste trabalho. conseguiu evitar a ocorrência deoscilações numéricas nos resultados obtidos com esquemas dc alta ordem como o CDS. QUICK e ADS.

Para os três problcmas testados e empregando apenas algumas das inúmeras funções deinterpolação disponíveis na literatura. o melhor desempenho global foi obtido pelo esquema QUICK-Zseguido pclos esquemas TVD (limitador Superbee de Roe) e ADS-Z.

Aparentemente. uma recomendação importante parece ser o uso de funções de interpolaçãounidimensionais associadas a limitadores de fluxo. Isto pode ser visto pelos resultados do problema 3com o FIC que. apesar de apresentar um tempo de computação pequeno. tem seu rendimento globaldiminuído pelo rendimento de memória.

352

Agradecimentos

J. 01 the Braz. Soe. Meehanieal Seienees - VaI. 20, September 1998

o primeiro autor agradece ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico(CNPq) e ao Laboratório de Simulação Numérica em Mecânica dos f-Iuidos e Transferência de Calor(SINMEC) pelo financiamento deste trabalho. e ao ex-bolsista de iniciação científica. atualmentedoutorando. Luciano Amaury dos Santos. pela colaboraçâo prestada.

Os autores agradecem aos três revisores deste trabalho pelas valiosas contribui~'ões prestadas.

Referências

. Roris . .I.r. and Book. D.L.. 1973. "Flu:\ Corrcclcd Transpor!: I. SI/ASTA. a Fluid Transpor! Algorilhm That Works" ..I. Compulational Physics. Vol. 11. pp. JX-69.

Couram. R.. Isaacson. E. and Rccs. S.M .. 1952. "On Ihc Solulion 01'Nonlincar Hypcrholic Dilkrcnlial Equalions hyFinitc Dif1àcnccs". Comm. I'urc and Applicd Malhcmalics. Vol. 5. pp. 2·00-255.

Fcrzigcr . .I.H. c Pcric. M .. 1996. "Compulalional MClhods ror Fluid Dynamics". Springcr. Rcrlin.Lconard. B.I' .. 1979. "A Stahle and Accuralc Con\'ccti\'c I\10ddling I'roccdurc Bascd on Quadratic Upslrcam

Inlcrpolation". Comp. Mcthods Appl. I\kch. Eng .. Vol. 19. pp. 59-9X.Maliska. C.R .. 1995. "Transferência dc Calor c Mcdnica dos Fluidos Computacional". LTC. Rio dc .Ianciro.

I\larchi. C.H .. 199J. "Esqucmas dc Alta Ordcm para a Solução dc Escoamcntos dc Fluidos scm Oscilação Numérica".Rc\'ista Brasileira dc Ciências I\kdnicas. Vol. XV. n. J. pp. 2JI-249.

I'atankar. S.V .. 19XO."Numcrical Hcat Transrcr and Fluid Fio,,"". Hcmisphcrc. Nc,," York.

Raithhy. G.D .. 1976. "Ske,," Upstream Dirrcrencing Schemes ror Prohlems Il1\ohing Fluid Fio,,"". Comp. Melh.Appl. Mech. Eng .. Vol. 9. pp. 15J-164.

Raithhy. G.D. c Torrance. K.E .. 1974. "Upstream-Weighted Dirrcrencing Schemcs and Their Application to EllipticI'rohlems In\'ol\'ing Fluid 1'10\\'''. Comp. Fluids. V. 2. pp. 191-206.

Roache. P ..r.. 1972. "On Artitlcial Viscosity" . .Iournal 01'Compulational Physics. Vol. 10. pp. 169-1 X4.RoL'. P.L.. 19XJ. "Some Conlrihutions 10 the Moddling 01' Discontinuous Flo,,"s". I'roc. 19XJ A MS-SIAI\1. Leclures

in Applied I\lathematics, Vol. 22. pp. 16J-19J. Philaddphia.Sil\'a. A.F.C .. 1991. "Um Procedimento em Volumes Finitos para a Solução de Escoamentos dc Qualquer

Vdocidade". Tese de Doutorado. Uni\'(~rsidade Federal dc Santa Catarina. FlorianlÍpolis. Se. Brasil.Schneider. G.E. and Zcdan. M .. I9XI. "A Modified Strongly Implicil Procedure ror the Numerical Solution 01' Fidd

Proh1cms". NumL'rical Heat Transrcr. Vol. 4. pp. 1-19.Sharif. M.A.R. and Busnaina. A.A .. 199J. "E\'aluation and Comparison 01' Rounding Techniques ror Con\'eclion­

Diffusion I'rohlems" . .Iournal 01' Fluids Engineering. Vol. 115. pp. J.~-40.Sou/a. S.M.A.G.U e Maliska. C.R .. 1990. "Arranjo de Variá\'cis Co-Locali/adas no Método de Volumes Finitos".

Anais do XI CILAMCE. Rio de Janeiro. pp. 177-191.Thomas. 1..1/.. 1949. "Elliptic I'rohlems in Linear Dilkrencc Equation O\'er a Net,,"ork". Walson Sci. Compu!. Lah.

RL'por!. Cnlumhia Uni\'ersity. Ne,," York.Zalesak. S.T .. 1979. "Fully MultidimL'nsional Flux-Correctcd Transport Algorithms ror Fluids" . .I. Computational

I'hysics. Vol. JI. pp. JJ5-J62.