L-Algebras, lógicas multivalentes y redes biónicas

por

Darío Maravall Casesnoves

PRESENTADO POR KL ACADÉMICO D. KICARDO SAN JUAN LLOSA

La Lógica preposicional multivalente y la Biònica del sistema ner-vioso, me ha sugerido una estructura algebraica que he denominadoL-Algebra, que engloba como un caso particular al Algebra de Boo-le, cuando la Lògica es bivalente. Puede ser desarrollada como unateoría abstracta, de la que la Lògica multivalente es una realizaciónconcreta, pero no la única, porque existen otros conjuntos matemá-ticos y naturales que son'realizaciones concretas de la misma, comoson las redes eléctricas provistas de interruptores y diodos, y las quehe denominado redes biónicas.

Así como en L2 y su isomorfa el Algebra de Boole juega un papelmuy importante, la función característica (f. c.) de un conjunto A, enla L3 y su L-Algebra isomorfa, lo juega la que he denominado fun-ción unidad de un conjunto: U (A) definida como:

f. c. (A°) + f. c. (A-)U ( A ) = g" —

siendo A° y A~ el interior y la adherencia de A. Función que he utili-zado en el caso de conjuntos lineales en mi memoria : «G-Topologíasy Teoría de las Distribuciones» (Rcv. Matem. Hispano-Americana,1964), ejemplo de lo que allí denominamos función semicontinua er>media, siendo precisamente la G-derivada de U (A) en los puntos fron-tera de A, la G-función o distribución delta de Dirac.

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Mientras que en la teoría ordinaria de la integración, los conjun-tos de medida nula (las fronteras) no intervienen, está construida so-bre la base de una L2 de puntos pertenecientes o no a un conjunto,por el contrario en la teoría de las Distribuciones las fronteras jueganun papel importante, está construida sobre la base de una L3 de pun-tos interiores, frontera y exteriores, lo que establece un nexo entreG-Topologías y L-Algebras. Asimismo, mientras que en L, no haydefinidas operaciones que transforman conjuntos en otros de menos•dimensiones, por el contrario en L3 se pueden definir operaciones quepermitan dichas transformaciones, y emplear diagramas modiñcadosde Venn, utilizando los cerrados de la Topología, con las operacionesde unión, intersección y clausura del complementario.

Definir un conjunto C es dar un criterio por el que se sabe si unelemento pertenece o no a él. Definidas unas operaciones (leyes decomposición interna o externa, aplicaciones sobre otros conjuntos, et-cétera) se crea un nuevo elemento, cuando se da nombre a un objetoque no pertenece a C, de modo que para C, completado con ios nue-vos elementos, siguen estando definidas las anteriores operaciones. Eneste aspecto las G-Topologías y las L-Algebras se comportan comogeneradores de nuevos objetos matemáticos.

1. L-RETÍCULOS Y L-ALGEBRAS

Sean a, b, c, ..., un conjunto C de funciones de no importa qué na-turaleza, que pueden tomar valores reales de — oo a + oo. LlamamosM (a, b, c, ...) a la función cuyo valor es igual al máximo dea, b, c, ..., y m (a, b, c, ...) a la función, cuyo valor es igual al mí-nimo de a, b, c, ...

El conjunto C está parcialmente ordenado por la relación <, di-remos a < b cuando los valores que tome a sean siempre menores oiguales que los de b.

Las operaciones M y w gozan de las siguientes propiedades :

M (a, b) = M (b, a) ; w (a, fr) = m (b, a) [1]

(axioma de conmutabilidad)

M [o, M (b, c)] = M [M Ca, &), c] = M (o, 6, c} ;

m [o. m {b, c)] = m [m (a, b), r] = m (a, b, c)

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i(axiomas de asociatividad)

M [a, m (a, &)] = a ; m [a, M (a, &)] = o [3]

(axiomas de absorción)Axiomas que muestran que las operaciones M y m dotan a C de

estructura de retículo, siendo la relación de orden < porque :

a <£. b <—> m (a. 6) = o ; o <; b ^—> M (a, b) = b [4]

Se cumplen también las dos leyes distributivas :

»¡ [a, U (b, c)] = M [IH (a, b), m (a, c)]

M [o, m {b, e)] = m [M (a, i>), M (o, e)] 15]

Demostraremos la primera ; supongamos c < b, en lo que no hay pér-•dida de generalidad debido a la simetría de las fórmulas [5] respecto•a b y c, entonces si b < a, el primer miembro vale b, y el segundomiembro también vale b ; si por el contrario es a < b, entonces el pri-:mer miembro vale a, y el segundo miembro también. Análogamente:se demuestra la segunda [5].

Los axiomas [5] muestran que C con las operaciones M y m es-un retículo distributivo.

Sea ahora — la operación que, antepuesta a una función a, consis-te en cambiar de signo su valor, se cumple que :

— (— o ) = o [6]

(propiedad involutiva) y que:

a < b <—> — * < — ° t?3

•que muestra que la operación — es un antiautomorfismo del retículo C.Se cumple también que :

M (— o, — b) = — m (o, 6) ; m {— o, — &) = — M (o, &) [8]

que coinciden con las fórmulas de Morgan.Decimos que C con las operaciones M, m, — y la relación de or-

den < (consecuencia de las dos operaciones primeras) es un L-retícu-

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Io, y a la estructura algebraica de que está dotado la llamaremos unaL-Algebra.

La anterior es una L-Algebra concreta, que nos sugiere la estruc-tura de una L-Algebra abstracta, que la definimos así : dado un con-junto abstracto C (a, b, c, ...) en el que hay definido: l.°, dos leyes,de composición interna U y O, de modo que cualquiera que sean a, b, ccumplen los tres pares de axiomas de conmutabilidad, asociatividad yabsorción :

a n * = & n « ; a \ J b = b\)a; a f| (& fl f) = O» fl &) fUía U (* U <0 = (" U fr) U c ; » R O U b) = a ; a [] (a ft b) = a [9J

que dotan a C de estructura de retículo, con la relación de orden cr

definida por:

a c b <—> a f) * = a ; a c & <—> a\J b - b [10J

y las dos leyes distributivas:

a n (b u o = (« n 6) u <« n o[UI« U ( & n o = («u*)íi(<»ue)

2.°, una ley de composición externa : ~ que cumple los dos axiomas :

a = a ; a c & <—> bea [12];

(que le dan carácter de antiautomorfismo involutîvo) decimos que Ces un L-reticulo, sobre el cual hay definida una L-Algebra. A C lellamamos también soporte del L-Algebra.

Desde luego un L-retículo es siempre distributivo, y en él se cum-plen las fórmulas de Morgan:

« n * = olO'; o U & = « n & tl3]

porque como es sabido por la teoría general de retículos a U b es la-,c. i. m. (cota inferior máxima) de o y b, y a fi b es la c. s. m. (cotasuperior mínima) de a y b. Por tanto, como :

a R b C a ; a f| b c b [14];

— 2IQ —

es:

<Tfn>:3~õ; o n i r>"& [15]

y si:

a D * * a U 6 es a(}b^>a\Jb [16]

y de esta ùltima volviendo a aplicar ~ se obtiene :

o O * c a U & [17]

pero como :

^U&^o"; ^U&=>^ [18]

a U & <= a ; a U & <= i [19]

y de aquí :

a U & C o O & f20]

que está en contradicción con la [17], lo que demuestra la primera-

fòrmula [13], sustituyendo a y b por a y b. Las fórmulas de Morganse cumplen también para retículos no distributivos (no L-retículos) enlos que hay definido un antiautomorfismo involutivo. Análogamente,se demuestra la segunda [13].

Se establece un isomorfismo entre la L-Algebra considerada al prin-cipio y la L-Algebra abstracta, haciendo corresponder a M, m, ̂ , —>los U, n, c, -.

Suponemos ahora que, en el ejemplo considerado al principio, los-valores de a, b, c, ..., están comprendidos entre —1 y 1, entonces-M, m, <^, —, con el mismo significado que allí, definen sobre el L-re-tículo C, una L-Algebra, pero ahora existen los elementos —1 y 1,.

que llamaremos cotas universales, que gozan de la propiedad de quecualquiera que sea a, es :

m 1(0, 1) = a ; M (a, 1) = 1 ; m {a, — 1) = — 1 ;M(a,_l) = a [21]

Diremos que C es un L-reticulo cerrado, y al L-Algebra correspon-diente la llamaremos L-Algebra cerrada.

Decimos entonces que una L-Algebra abstracta es cerrada, cuandoen su L-retículo soporte (que llamaremos cerrado) se pueden definirdos cotas universales <í> y I, que satisfacen a los axiomas :

a ( J I = I; o D I = o ; a U $ = "l a D * = <I> [22]

en caso contrario diremos que se trata de una L-Algebra abierta y asu L-reticulo soporte le llamaremos abierto.

Vamos a demostrar que si existe una de las dos cotas universales,existe la otra, y que I = $. En efecto, si existe la I en virtud de [13]y [22] se cumple:

« U I = I = « n i ; o n I = a = <* U T [23]

que muestran que <I> = I, en virtud de las dos [22]. Análogamente, sedemostraría que si existe <I>, existe también I y que * = I.

Un L-retículo cerrado se llama complementario cuando se cum-ple que -.

a n ^ = < I > ; o U ~ ï = I [24]

una consecuencia de la otra, porque :

a n o = 0 U a = a U < I = * = I C25!

que deduce la segunda de la primera, y análogamente se puede dedu-

cir la primera de la segunda.

Una L-Algebra cerrada de L-retículo soporte complementario esevidentemente un Algebra de Boole, porque se cumplen todos los axio-mas que definen a esta Algebra.

Resulta, pues, que los L-retículos o son cerrados o abiertos, lo que-no pueden ser es cerrado por un solo extremo, es decir, tener una sola«cota universal Por tanto, cuando en el conjunto C soporte de un L-•retículo, está definida una sola cota universal, se puede crear un nuevo•objeto matemático (no perteneciente a C) que es la otra cota universal• complementaria, de modo que sobre C completado con este nuevo ele-mento, queda definida una L-Algebra.

En la axiomática clásica de los números naturales, no tiene cabidael oc, ni tampoco en la de los números racionales. El conjunto de losnúmeros racionales positivos es un L-retículo respecto a las operacio-nes abstractas U, D, c, ~, concretadas en M, m, <, 1/ (máximo, mí-nimo, menor o igual que, e inverso de un número racional), la última

•es un antiautomorfismo involutivo. Ahora bien, dicho L-retículo tieneuna cota universal $> que es el O, luego por el teorema que acabamos

•de demostrar, tiene también la cota universal complementaria I, quedenominamos co, que surve así como un L-número racional (obsérve-se que oc no es un L-número natural).

Obsérvese también que en mi memoria «G-Topologías y Teoría de"las Distribuciones» (Rev. Matem. Hispano-Amcrìcana, 1964) he defi-nido la forma de crear nuevos objetos matemáticos (G-elementos) ;pues bien, si consideramos la aplicación biyectiva / del conjunto de losnúmeros racionales mayores o iguales que 1, sobre el conjunto de losnúmeros racionales comprendidos entre O y 1, definida por el inversodel número racional, a las sucesiones divergentes del primer conjunto

-corresponden sucesiones convergentes a O ; en el segundo conjunto,por tanto, tinen G-limite, que es / (0) •= 1/0, que designamos por so,el cual aparece así también como un G-número racional, pero no un:G-número natural.

Como consecuencia de uno cualquiera de los dos párrafos anterio-•res, existe un ente mayor que todo número racional, por tanto mayor•que todo número real, porque dado un número real cualquiera, existeun número racional mayor que él. A este ente le llamamos oc y a suopuesto — co. Respecto a los números naturales, oo goza de la pro-piedad de no tener antecedente ni siguiente, y a partir del mismo se,puede construir la axiomática completa de los números transfmitos,•como caso particular de L-retículo, ya que la mayor dificultad estribaen introducir el primer transfinito. Será el objeto de una segunda me-moria titulada : «Teoría reticular de los números reales y de los nú--meros transfinitos».

— 222 —

2. L-POLINOMIOS

Al igual que en Topología los espacios métricos son un caso par-ticular de los pseudométricos, en Algebra el Algebra de Boole es urrcaso particular de L-Algebra, y al igual que en Topología existe»teoremas comunes a los espacios métricos y pseudométricos y otros-específicos de los métricos, en Algebra existen leyes comunes a todas-las L-Algebras y otras específicas del Algebra de Boole.

Vamos a desarrollar las leyes del Cálculo no booleano de las L-Algebras. Llamaremos L-polinomios a las funciones construidas con-elementos del L-retículo soporte, enlazados por las operaciones U,f!, ~, así que en una variable a serán los cuatro polinomios: o, fl,o U ã, a H ã.

Un L-polinomio con n variables puede llevarse a dos formas ca-nónicas, aplicando sistemáticamente los axiomas del L-Algebra. Sea,por ejemplo, el L-polinomio :

K" n &) u-o n c n <o [203

Primeramente la operación ~ fuera de un paréntesis puede llevar-se al interior por aplicación de [13], así es:

an í> = o U ^ = Q U & ; c U a = c f i a = c n a [271

y [26] es:

(«u »u o n (f'n«) [28]

Cuando hay un O fuera de un paréntesis que encierra un U, puedeintroducirse dentro, aplicando la ley distributiva, [28] es :

fon"?n«)u (b run «o u í?n ̂ n <o [201

por ser :

afta = a; a\) a - a [30]i

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cuando una letra se repite en un paréntesis, puede reducirse a unasola vez, [29] es :

(a n c n o) u (fr n "̂n <*) u (< n a) csi]

•que es una de las formas canónicas que llamaremos disyuntiva, la•cual consiste en una serie de paréntesis en cuyo interior solamentehay H (L-polinomios mínimos) enlazados por U.

Podemos hacer uso de las simplificaciones propias de los axiomas•de absorción, que transforman [31] en :

(«rUíl") U(^na) [32]

pero no de añadir factores como :

a\Ja = l

propios del Algebra de Boole, que aplicados a un polinomio P, laprimera por ejemplo lo convertiría en :

p = P n i = P n (o u «o = t? n «o u t? n «)

que aplicado a [32] lo transforma en :

(*rün«)u (f"n»n*j i&i

Mientras que [2G] y [32] son equivalentes en cualquier L-Alge-bra, el paso de [2G] a [33] es exclusivo del Algebra de Boole.

Análogamente, puede llevarse todo L-polinomio a una forma ca-nónica conjuntiva formada por paréntesis en cuyo interior únicamen-te hay U (L-polinomios máximos) enlazados por (~1.

Como consecuencia de las fórmulas de Morgan [13] se sigue quetoda forma canónica conjuntiva mediante la aplicación de la opera-ción ~ se transforma en una forma canónica disyuntiva, y viceversa.

3. L-RETÍCULOS ABSORBENTES

Llamamos L-retículo absorbente al que goza de la propiedad deque dados dos elementos cualesquiera a y b, se verifica que :

o U b = n : a Q & = * 1.34]

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la segunda consecuencia de la primera, y viceversa, debido a los axio-mas de absorción, porque de la primera se sigue que :

( a \ J b ) ( ] b = b = br\a [35]

y de la Sekunda que :

( a Ç } b ) \ J a = a = b\Ja [30]

Un L-retículo absorbente es totalmente ordenado, y viceversatodo conjunto totalmente ordenado con U y O, como M (máximo)y m (mínimo), y dotado de un antiautomorfismo involutivo es un L-retículo absorbente.

Llamamos punto fijo en un L-retículo a un elemento a, tal quea = ã, siendo :

a = b<—>o r> ba c b

[3T]

Vamos a demostrar que en un L-retículo absorbente solamentehay un punto fijo a lo sumo. Supongamos que hubiera dos, a y b,como es totalmente ordenado sea a c ó , entonces è c a, pero como

b = b, a = a, se llega a un absurdo.Supongamos que no exista ningún punto fijo, sean A y A' los dos

conjuntos del L-retículo absorbente, tal que a € A significa que o c o,

y b € A' significa que b c. b, desde luego si a € A, es a € A', y todoelemento pertenece a A o a A', porque no hay punto fijo. Sean enton-

ces a 6 A y a € A', si b c a es tal que b € A será b € A', pero a C. bdebido al antiautomorfismo. Si a es tal que no hay ningún b que cum-pla la anterior condición, es el mínimo de A, y entonces ã es el má-ximo de A', entre a y ã no hay ningún elemento. Tanto en este casocomo en el anterior todos los elementos de A son D que los de A'.

En caso contrario, hay un b que cumple la anterior condición, y si

no hay ningún c, tal que b c c c c c. b, se sigue que b y b son elmáximo y el mínimo de A' y A, y si no, se repite indefinidamente elproceso( caso de no existir ningún máximo de A' y mínimo de A),obteniéndose dos sucesiones indefinidas, creciente una y decreciente

la otra : ... c b a c c ... c c cr b c ..., sin límite común, porque en--tonces habría un punto fijo.

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Si existe el máximo de A' (el mínimo de A) existe el mínimo de A-(el máximo de A'), que es el resultado de aplicar la operación ~ a ã (a).Incluso podemos hacer a = o, y llamamos a a punto fijo doble, aun--que sean distintos aya, porque reticularmente son iguales. También,cuando no existe el máximo de A y el mínimo de A' (punto doble ima-ginario) podemos crearlos, y hacerlos iguales reticularmente, aunque-para otras propiedades no lo sean, le llamaremos punto fijo imagina-rio al resultado de igualar el máximo y el mínimo imaginariosde A y A'.

Se sigue que en un L-retículo absorbente hay a lo sumo un punto-fijo real, y existe siempre un punto fijo real, doble realo imaginario,,o lo que es lo mismo en los tres últimos casos es isomorfo a un L-retículo de punto fijo real. Llamaremos L-retículo contraído al absor-bente con punto fijo real, y contracción de un L-retículo absorbente -al isomorfismo con uno contraído.

Ejemplo de L-retículo absorbente con punto fijo real, es el de los-números racionales positivos, siendo U, D y ~, M (máximo), m (míni-mo) y 1/ (inverso del número racional) en el que el punto fijo reales 1. Ejemplo de L-retículo absorbente con punto fijo doble, es el for-mado por un número par de los primeros números naturales O, 1, ...,2 n — 1, siendo U, H y ~ : M, m, 2 n — 1 — (complemento a 2 w — 1)el punto fijo doble es el que resulta de igualar n a. n — 1. Ejemplode L-retículo absorbente con punto fijo imaginario, es el de los nú-meros racionales positivos con U, fl y ~ : M, m, 2/, cuyo punto fijo-imaginario es el número real : 2/.r = A; o sea x — »J 2. Ejemplo deL-retículo absorbente con un punto fijo imaginario, que resulta deigualar reticularmente dos elementos imaginarios no iguales, es elformado por dos sucesiones de funciones continuas, creciente la unay decreciente la otra, que tienen como límites respectivos dos funcio-nes semicontinuas inferior y superiormente, que son las funciones ca-racterísticas de un intervalo abierto y cerrado, tales como las consi-deradas en la nota 1.* de mi memoria «G-Topologías y Teoría de lasDistribuciones».

Los dos conjuntos A y A' tienen la misma potencia, porque se pue-de establecer entre ambos una aplicación biyectiva, que consiste enconsiderar como homólogos los elementos de A y A' relacionados en-tre sí por la operación ~.

Hemos llegado a la siguiente clasificación de L-retículos absorben-tes : 1.° con punto fijo real, 2.° con punto doble real, 3.° con punto fijo

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Imaginario, 4.° con punto doble imaginario. Los tres últimos isomor-fos mediante contracción al primero.

Llamaremos denso a un L-reticulo absorbente, que goza de lapropiedad de que entre dos elementos cualesquiera bea, existe otro

. c, tal que b c c c a. En un retículo de esta naturaleza no existepunto doble real, porque si lo hubiese, sea a, se tendría que ã c. a,y existiría un b, tal que õ ci & c a, luego ã c. b c b c. a, Io que

-es absurdo ya que ã es el máximo de A'. Por tanto, si un L-retículoabsorbente denso se completa con sus puntos imaginarios, para que

• conserve el carácter de denso, los puntos imaginarios han de ser fijos•(no dobles).

Si un conjunto totalmente ordenado, C, se parte en dos subcon-juntos A' y A, lo que significa que:

A' (J A = C ; A' fi A = $ [38]

indicando para los conjuntos U y fi, unión e intersección, de-modo que:

A'c A

lo que significa que :

a' ca, (V o € A, V a' € A') [39]

y se puede establecer una aplicación biyectiva / entre A' y A, que in-vierta el orden, C es un L-retículo absorbente. En efecto, ya que

, a = f (o') es un antiautomorfismo involutivo, definido en C, y ser éstetotalmente ordenado.

Dos puntos fijos imaginarios, x, y, respecto a dos antiautomorfis-mos involutivos ~ y *, se dice que son iguales si A' •= B', A = B,siendo A, A' y B, B', los pares de subconjuntos en que queda partidoC por x, y. Por tanto, a cada aplicación biunívoca de A' sobre A, queinvierta el orden, corresponde un antiautomorfismo involutivo diferen-te, pero todos ellos tienen el mismo punto fijo.

Un punto fijo imaginario x es tal que x cr b, si b € A, y x ^> b, sib Ç. A'. Dos puntos fijos imaginarios, x, y, están ordenados en la for-ma x c: y, si A' cr B' y B c A, indicando C para los conjuntos :

•-«contenido en». Un L-retículo absorbente completado con los puntos

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fijos imaginarios de todos sus antiautomorfismos involutivos lo lla-maremos completo, y es también un L-retículo absorbente.

La importancia de la creación de los puntos fijos imaginariosx, y, 2, ..., y su novedad matemática estriba en que se puede extendera los mismos algunas de las operaciones definidas con los elementos delL-retículo C.

En efecto, sea F una ley de composición externa que conserva elorden, y que sea una aplicación biunívoca de C sobre C (automorfis-mo), entonces si a c. b, es T (a) c r (b). Llamamos F (x) al punto fijodel antiautomorfismo involutivo definido por F (a) homólogo de F (ã),en el que los dos subconjuntos en que T (x) parte a C son F (A') yT (A), ya que:

F(A-)c:r(A); r {AO n r (A) = $ ; r ( A ' ) U F ( A ) = c [ao]

la primera por conservar T el orden, la segunda por ser ambos con-juntos disjuntos ya que los antecedentes de F (A) y F (A') son los con-juntos disjuntos A y A'. La tercera por ser F una aplicación de Csobre C.

Pero si Y es una ley de composición externa que invierte el ordeny es una aplicación biunívoca de C sobre C, de modo que si a c b, esY (a) r> Y (b) (antiautomorfismo), entonces se define Y (#), como el pun-to fijo del antiautomorfismo involutivo definido por Y (o) homólogode Y (5) i porque es :

Y(A)CY'(A'); Y W H Y(A') =*: Y (A) U Y (A/) = c t41!

que se demuestran de la misma manera que en el caso anterior.

Como consecuencia de lo anterior, el homólogo de un punto fijoimaginario x, en un antiautomorfismo involutivo *, de punto fijo dis-tinto, es otro punto fijo imaginario x*, porque * es un caso particularde ley Y-

Si L es una ley de composición interna, que conserva el orden, enel sentido de que :

a C e

6 c<í-> a L b c c L d t42]

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y-es una aplicación del producto cartesiano del conjunto C por si mis-mo, sobre el mismo, tal que goza de la propiedad de que :

A' U B' U A L B = C [431

como es :

A' L B' c A U B ; A' L B' fi A L B = 4> [44Î

la primera consecuencia de [42], y la segunda por ser disjuntos losconjuntos A' L B' y A L B, como consecuencia de la primera, se de-fine x L y como el punto fijo del antiautomorfismo involutivo definidocomo ã L b* homólogo de a L b, siendo a y b homólogos de a y fr-en los dos antiautomorfismos involutivos de puntos fijos imagina-rios x e y.

Obsérvese que la condición [43] ha de cumplirse para que el últi-mo antiautomorfismo involutivo (el que define x L y) exista, es ne-cesario que sea vacio el complementario respecto a C, del primermiembro de [43], o lo que es lo mismo que todo a' L 6 ó a L 6' per-tenezca a A' L B' o a A L B.

Se define ya sin dificultad la multiplicación a la izquierda o a laderecha, de leyes y, F, L, pudiéndose obtener leyes de composicióninterna en que en la llave de [42] se sustituya o vino o los dos c. por :D.

Obsérvese que las leyes r forman grupo porque existe la unidady la inversa, y el producto de dos leyes F es otra ley T. Las leyes Yno forman grupo porque el producto de dos leyes •/ no es otra ley Y>sino una ley F, y en general el producto de leyes f y T es otra leyY o F, según que el número de factores f que entre en el producto-sea impar o par. El conjunto de leyes y y F si forma grupo.

La propiedad uniforme de estas leyes u operaciones es consecuen-cia de que F (x), Y (•#), x L 3» son independientes del antiautomorfis-mo involutivo particular que define a x o y, depende únicamente dé-los subconjuntos A', A y B', B.

Las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de que pue-den gozar las leyes anteriores para los elementos de C, se extiendenautomáticamente a los puntos fijos imaginarios, por ser consecuenciade su validez para los elementos de los subconjuntos de C, en quetodo punto fijo imaginario parte a C.

El conjunto de los números reales positivos (negativos) puede de-

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finirse como el L-retículo absorbente y denso formado por el L-re-tículo, de la misma naturaleza, de los números racionales positivos(negativos) completado con los puntos fijos imaginarios de todos losantiautomorfismos involutivos definidos sobre el mismo, que son losnúmeros irracionales.

Lo mismo puede decirse del conjunto de los números reales, res-pecto al de los números racionales, es decir que la anterior definiciónsubsiste si se suprime en ella el adjetivo positivos (negativos).

Las operaciones con números racionales (adición, multiplicación,,etcétera) se extienden de esta manera a los números reales, porquees fácil demostrar que se cumple la [43], porque cumpliéndose la [44]la distancia entre A y A', o entre A' L B' y A L B es cero. Se puedeconstruir una teoría reticular de los números reales, lo que será ob-jeto de una segunda memoria con este título.

4. L-RETÍCULOS Y L-ALGEBRAS VECTORIALES

Dados n conjuntos Q (o„ b,, ...), C2 (a2, bz, ...), •• - , C» (an> bn, ...},sea C el producto cartesiano de los n conjuntos Q ... Cn, o seaC [(alt ..., <in), (&!, ..., bn), ...] ; si d (i — 1, ..., «) son L-retículosrespecto a las operaciones Ui, f i ï , ~!, que eventualmente pueden al-gunas ser la misma, llamamos L-retículo vectorial al conjunto Cr

dotado de las operaciones U, fl, ~, siendo:

« u b =.(«, u, v •••• "n un *„) ; » n b = (^ n, ¿v.... «„ n„ u ;â=i(ã ii,...,õ t t«) [451

de modo que :

a C b <—^ at c \ «„ C *„ [46J

y llamamos L-Algebra vectorial a la estructura algebraica de un L--retículo vectorial. A los Ci les llamamos L-retículos escalares y a C,producto de los n L-retículos escalares Q.

Obsérvese que el producto de n L-retículos absorbentes escalaresno es un L-retículo absorbente vectorial.

Como es sabido, los subespacios vectoriales de un espacio vecto-rial forman un retículo modular atómico y complementario. En la ma-

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yor parte de las Geometrías definidas sobre un subespacio vectorialE contenido en otro espacio vectorial F, es indistinto suponer à Eaislado de F, que contenido en F, pero en mi memoria «Ensayo deTeoría unitaria de la Gravitación y del Electromagnetismo» (Revis-ta Matem. Hispano-Americana, 1955) hemos desarrollado una Geo-metría intrínseca de E, aislado de F, y otra distinta, inducida en Epor F. Pues bien, si ronsideramos los 2n espacios vectoriales de O an dimensiones, como entes independientes, forman un retículo distri-butivo atómico y complementario, o sea un Algebra de Boole, iso-morfa al Algebra de los subconjuntos en número de 2n que se puedenformar con los n + 1 primeros números naturales: 0,1, ..., n.

En efecto, estos espacios están integrados por vectores de una a ndimensiones, que podemos representar por n componentes, que to-man dos valores que son $ y a, significando í> el conjunto vacío, yo una variable real que puede tomar cualquier valor de —oo a ,4- oo,incluido el cero, pero consideramos como distintas la componente1

vacía $ de la nula 0. Estos espacios los podemos disponer como losnúmeros combinatorios :

(<I>, «ï» <I>)(a, < i> , . . . , <i>), (»J>, (i, <í>,. . . , $), ... (<I>, í>, ..., o)

[47](a, o, ..., <i>) ($, a, .,., a)

'(a, a o)

La primera fila es el espacio de O dimensiones ; la segunda los nespacios de una dimensión ; la tercera los n (n — l)/2 espacios de dosdimensiones; ...; la penúltima fila los n espacios de n — 1 dimen-sión, y la última fila el de n dimensiones. Dos vectores los conside-ramos iguales cuando tienen las mismas componentes, por ejemplolos vectores nulos de dos espacios cualesquiera distintos de [47] sondistintos, por no ser iguales O y «I1.

Los símbolos <I> y a, sujetos a las leyes :

* U * = *; * n < & = < & ; $ U a = a; $ n < i = 'í>; o u ° = a;o f| o = o ; ã = <$>

[48]

forman un Algebra de Boole escalar. El producto de n Algebras deBoole escalares de la forma anterior, constituye un Algebra de Boole

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vectorial, sobre la cual están definidas las operaciones U, D y ", demodo que para cada componente se cumplen las [48]. Esta Algebrade Boole vectorial es isomorfa al Algebra de Boole escalar formadapor los 2" elementos de [47], isomorfa a su vez al Algebra dé Boolede los 2" subconjuntos de los n + 1 primeros números naturales :0,1, ..., n, porque a cada subconjunto de éstos podemos hacer co-rresponder un elemento de [47], sustituyendo los números que for-man parte del subconjunto por a, y los que no forman parte del sub-conjunto por $.

De forma que el complementario de un espacio de n dimensioneses otro de n — m dimensiones, que resulta de sustituir en los vec-tores del primero las componentes vacías por no vacías y las no va-cias por vacías.

La intersección de dos espacios vectoriales es otro espacio vecto-rial, formado por los vectores que tienen vacías las componentes queson vacías en uno cualquiera de los dos primeros.

La unión de dos espacios vectoriales es otro espacio vectorial for-mado por los vectores que tienen vacías las componentes que sonvacías en los dos primeros a la vez. Pero hay que tener en cuenta quelos vectores nulos de dos espacios distintos los consideramos dis-tintos.

5. L-ALGEBRAS Y LÓGICAS MULTIVALENTES

En la Lógica bivalente de proposiciones, éstas (a, b, c, ...) única-mente pueden tomar dos valores : verdadero (1) y falso (0), mien-tras que en la Lógica multivalente pueden tomar varios valores quevan del O al 1. La suma y producto lógico de dos proposiciones a yb, representadas por O y U, definidas como M (máximo) y m (míni-mo) de a y b, dotan al conjunto C de las proposiciones de estructurade retículo distributivo. La negación de a: a, cuyo valor numéri-co es :

V (o) = 1 — V (a) [49]

dota a C de estructura de L-retículo, porque :

1 — M (o, b) = m (1 — o, 1 — 6) ; 1 — m (a, &) = M (1 — a, 1 — b) [60]

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que coinciden con (8). Por otra parte, O y I se comportan como co-tas universales <f y I.

Por tanto, la Lògica proposicional multivalente tiene estructurade L-Algebra cerrada, y las proposiciones forman un L-retículo ce-rrado. En el caso particular de la Lógica bivalente, entonces la L-Algebra cerrada es una Algebra de Boole, y las proposiciones for-man un retículo distributivo y complementario.

Por ejemplo, si nos fijamos en la Lógica trivalente (L3) se verifi-can las dos matrices de verdad :

a

0

1/2

1

ã

1

1/20

a(J a

1

1/2

1

a O a.

01/20

Luego a partir de proposiciones simples con los tres valores de•verdad, se pueden construir proposiciones compuestas bivalentes uti-lizando la forma disyuntiva de un L-polinomio (& 2) con los valoresO y 1/2, si dentro de cada paréntesis interviene un x fi x, o la formaconjuntiva de un L-polinomio con los valores 1 y 1/2, si dentro decada paréntesis interviene un x U x. Por ejemplo, con proposicionesverdaderas, sin sentido y falsas, se pueden construir proposicionesbivalentes. Más adelante veremos la aplicación a la Electricidad.

Las operaciones de la Lógica bivalente : implicación y equivalen-cia, se definen en función de la suma y del producto lógico, y puedende esta manera generalizarse a Ln, pero ésta es más rica que L2, ypermite nuevas operaciones. Por ejemplo, definimos la equivalencia<—> siendo su valor :

V (o <—> 6) = 1 — | V (o) — V (fe) [51]

o sea, tanto mayor cuanto menor es la diferencia de valores entrea y b. Para la matriz de verdad encontramos :

a

b

a<__>&

1 1 1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 0 0

1 1 / 2 0 1 1 / 2 O 1 1 / 2 01 1/: O 1/2 1 1/2 O 1/2 1

[52]

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mientras que definida la equivalencia como :

a ^-H> 6 = (¿ U fr) fi (" U fr)

al igual que en L2, la matriz de verdad es distinta :

(" U *) H C" U fr)

l 1 1 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 0 01 1 / 2 0 l 1 / 2 0 1 1 / 2 0l 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 l

que difiere de la anterior en la quinta columna. Nos parece más útilnuestra primera definición de equivalencia que la segunda.

Como es sabido, L2 es isomorfa con el Algebra de los subcon-juntos de un conjunto respecto a las operaciones de unión intersec-ción y complementación. Los puntos son clasificados como pertene-ciente o no a un conjunto, y toda proposición es asimilable a un con-junto, siendo su valor de verdad (valencia) su función característica.Pues bien, L3 es isomorfa al Algebra de los cerrados de la Topolo-gía respecto a la unión, intersección y clausura de la complementa-ción, clasificándose los puntos en tres clases : interiores, frontera yexteriores. La última operación consiste en permutar entre sí los pun-tos interiores y exteriores, dejando invariantes los puntos fronteras,y el valor de verdad es la función unidad de un conjunto A : U (A)que defino :

f. c. (A°) + f. c. (A-)U í A) = [53]

siendo f. c. la función característica, A° y A~ el interior y la adheren-cia de A. En el caso de conjuntos de números reales, la [53] es unafunción que he denominado semicontinua en media, de la que he dadosucesiones de funciones continuas y derivables de la que es límite,siendo su 0-derivada en el interior y en el exterior nula, y en los pun-tos frontera su G-derivada es la delta de Dirac en dicho punto (véa-se mi memoria «G-Topologías y Teoría de las Distribuciones»).

Se pueden utilizar diagramas de Venn modificados en L3, utili-zando conjuntos cerrados, su unión, intersección y la clausura delcomplementario, como operaciones U, H y ~. Se pueden obtener con-juntos lineales como, por ejemplo, a D ã, cuya función unidad vale

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1/2 sobre la frontera de a, y O en el resto, o recortar un conjuntolineal de otro superficial, como a U ã, cuya función unidad vale 1/2sobre la frontera de o, y 1 en el resto. E incluso se pueden obtenerpuntos, como o fi a fi b fi b, cuya función unidad vale 1/2 en los pun-tos de intersección de las fronteras de a y b, y cero en el resto. Ana-*lugamente se pueden practicar «agujeros» (cuya aplicación física exis-te) utilizando a U a U b U b, cuya función unidad vale 1/2 en las in-tersecciones de las fronteras de o y b, y cero en el resto.

6. LA LÓGICA TRIVALENTE DE LAS REDES ELÉCTRICAS CON DIODOS

La asociación en serie y en paralelo de conductores eléctricos,como es sabido, son equivalentes a las operaciones U y fi, pero si enuna red eléctrica únicamente hay interruptores, que abren o cierranel circuito, es isomorfa a un Algebra de Boole con las dos alternati-vas de «todo o nada», pero si hay también diodos, los cuales permiten

B

Fig. l

el paso de la corriente eléctrica en un sentido, pero no en el otro, en-tonces hay cuatro posibilidades, que son : paso de la corriente de Aa B y de B a A ; paso de A a B, pero no de B a A ; paso de B a A,pero no de A a B ; y ningún paso de corriente, y entonces son lasmatrices de verdad de L4 las que son equivalentes al problema físico.

En el caso de no existencia de diodos, como es sabido, se utilizanlas leyes del Cálculo booleano, pero en el último caso considerado(existencia de diodos) no se puede utilizar el cálculo booleano, perosí el de los L-polinomios (& 2), y toda red eléctrica es equivalente auna de las dos formas canónicas representadas en las figuras 1 y 2,isomorfas a las dos formas canónicas disyuntiva y conjuntiva de losL-polinomios.

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Hay que destacar que si solamente hay interruptores y diodos,que permiten el paso de la corriente de A a B, pero no de B a A,entonces es L3 la lógica de las redes eléctricas, y se pueden construirredes que cualquiera que sea el funcionamiento de interruptores ydiodos permitan siempre el paso de la corriente de A a B, o siempreel no paso de la corriente, lo que equivale a la posibilidad de cons-trucción de proposiciones compuestas bivalentes en L3 (& 5).

B

Fig. 2

Veamos cómo podemos hacer funcionar eléctricamente una pro-posición a (fig. 3) ; i, j son interruptores y d un diodo. Si i está ce-rrado, cualquiera que sea la posición de ;', pasa corriente en los dossentidos. Si ¿ está abierto y ; cerrado, pasa la corriente en el sentido

•

JFig. 3

de la flecha pero no en el contrario. Si i y j están abiertos no pasala corriente en ningún sentido.

La negación de a equivale a sustituir i cerrado por ¿ y ; abiertos,J y j abierto por i cerrado y dejar las cosas como están cuando i estáabierto y / cerrado.

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7. REDES BIÓNICAS

Llamo circuito bionico a un objeto compuesto de otros simples,llamados : puntos de emisión, absorción, divergencia, convergencia,selectivos y conductores.

Punto de emisión es aquel que emite señales de no importa quénaturaleza, pero susceptibles de medida. Todo circuito bionico tieneun solo punto de emisión, que es el principio del circuito.

Punto de absorción es aquel que absorbe las señales que recibe.Todo circuito bionico tiene un solo punto de absorción, que es elfinal del circuito.

Conductor es el objeto que enlaza dos puntos y transmite señalesde uno a otro.

Punto de divergencia es aquel en que un conductor se ramificaen dos o más, de modo que cada rama transmite la misma medida deseñales que llegan al punto.

Punto de convergencia es aquel en que convergen dos o más con-ductores en uno solo, de modo que éste transmite señales, cuya me-dida es igual a la máxima de las transmitidas por los conductores con-vergentes.

Punto selectivo es un objeto situado sobre un conductor, que dejapasar señales en medida igual o inferior a las de las señales recibidaspor el punto.

Dos o más puntos selectivos no separados por puntos de diver-gencia o convergencia se dice que están asociados en serie. Dos omás conductores que enlazan un punto de divergencia y uno de con-vergencia se dice que están asociados en paralelo.

Un circuito bionico es, pues, isomorfo a un retículo distributivo,siendo los elementos del retículo los homólogos de los puntos selec-tivos, y las operaciones U y D las homologas de las asociaciones enparalelo y en serie. Las matrices de verdad de la Lógica multivalenteisomorfa, calculan la medida de las señales absorbidas en el punto deabsorción. Es aplicable el cálculo no booleano de los L-polinomios, ytodo circuito bionico es equivalente a una forma canónica disyuntivay a otra conjuntiva, al igual que los circuitos eléctricos (figs. 1 y 2).

Dos o más circuitos biónicos finalizando en el mismo punto de

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absorción, y sin ningún punto de emisión común, forman una redbiònica.

La diferencia esencial entre circuitos eléctricos y biónicos estribaen que los primeros son sistemas de dos alternativas («todo o nada»),mientras que los últimos ofrecen más posibilidades y son más aptospara ensayarlos en la explicación del funcionamiento del sistema ner-vioso.

Con circuitos y con redes biónicas se pueden explicar fenómenosde umbral, de existencia de un umbral de funcionamiento y otro deruptura, de modo que si la medida de las señales absorbidas es infe-rior a un cierto límite no funciona el órgano, y si es superior a unsegundo límite se rompe el órgano.

Por otra parte, si las medidas de las señales emitidas por los pun-tos de emisión son variables aleatorias, y el funcionamiento de lospuntos selectivos también lo es, la medida de las señales absorbidases otra variable aleatoria. Incluso con la reunión de n circuitos boo-leanos de dos medidas de señales: a¡, O, con probabilidades p¡, 1 — p¡,para el ísimo circuito, se puede formar una red biònica, en la que lasmedidas de las señales absorbidas es una variable aleatoria binomial,y si n es grande es prácticamente una variable normal.

Junio de 1964.