recopilacion 2 bachillerato

GEOMETRA Y

TRIGONOMETRA

Nunca consideres el estudio como una obligacin, sino como una

oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del

saber.

Albert Einstein

SEGUNDOS DE BACHILLERATO

AREA DE MATEMATICA

Contenido

Parte I Anlisis Trigonomtrico

Parte II Geometra Plana

Captulo 1: Grficas de las Funciones Trigonomtricas

Captulo 2: Identidades Trigonomtricas

Captulo 3: Resolucin de Ecuaciones Trigonomtricas

Captulo 1: Conceptos Fundamentales

Captulo 2: Proporcionalidad

Captulo 3: ngulos

Captulo 4: Polgonos

Recopilado por: Diego Andrs Cuji

Aplicaciones de la Trigonometra

Grficas de Funciones

Trigonomtricas


Destrezas:

1.1 Graficar las seis funciones trigonomtricas utilizando el Crculo Trigonomtrico.

1.2 Graficar las seis funciones trigonomtricas utilizando tablas X-Y.

1.3 Calcular dominios y rangos de las funciones trigonomtricas.

1.4 Conocer las caractersticas de las funciones trigonomtricas.

1.5 Manejar software para graficar funciones trigonomtricas.


Identidades Trigonomtricas


Destrezas:

2.1 Demostrar identidades trigonomtricas con mtodos analticos y grficos.

2.3 Reconocer una identidad trigonomtrica en forma grfica.

2.2 Manejar identidades de suma y resta de ngulos para las funciones seno, coseno y tan-

gente.

2.3 Aplicar, graficar identidades de ngulo doble y ngulo medio.

2.4 Demostrar, aplicar y graficar identidades de ngulos mltiples.

2.5 Realizar conversiones de identidades de suma a productos y viceversa.

2.6 Utilizar software para demostrar identidades trigonomtricas de manera grfica.


Resolviendo Ecuaciones

Trigonomtricas


Destrezas:

3.1 Conocer y graficar las funciones inversas del seno, coseno y tangente.

3.2 Resolver ecuaciones trigonomtricas utilizando el crculo trigonomtrico.

3.3 Resolver ecuaciones trigonomtricas utilizando mtodos algebraicos.

3.4 Resolver ecuaciones trigonomtricas utilizando las funciones inversas.

3.5 Resolver ecuaciones trigonomtricas empleando identidades trigonomtricas.

IJMDAD 1

1. coNcepTOS FTJNDAMENTALES

Geometria, es la ciencia de las formas espaciales del mundo material, se basa en un conjunto de proposicionesque estudia la forma, propiedades y medida de las figuras y cuerpos geom6tricos; entendi6ndose porproposici6n el enunciado de una ley o un principio.

Es necesario considerar que las proposiciones no deben ser contradictorias y todos los resultados yconclusiones que se obtengan de ellas tampoco deben ser contradictorios entre si, ni con los conocimientos ya

existentes.

La geomehia es una ciencia y un arte, es decir, es al mismo tiempo matemirtica y filosofia. Forma uno

de los sistemas m6s perfectos de l6gica que se conocen. Proporciona una disciplina mental y conocimientosindispensables para seguir estudios superiores.

Aunque la geometria es una de las partes m6s antiguas de la matem6tica, en la actualidad ha encontrado

nuevas 6reas de aplicaci6n en campos tan diversos como la exploraci6n del espacio.

En geometria aprendemos a comprobar las proposiciones por razonamiento deductivo o inductivo,analizando un problema en t6rminos de los datos que se den, las leyes y principios que pueden aceptarse como

verdaderos y mediante una reflexi6n cuidadosa, l6gica y exacta, seleccionar una soluci6n para el problema.

Una causa comrin de desavenencias, no s6lo en geometria, sino en todas las actividades humanas, es elhecho de que la misma palabra puede tener distintos sigrrificados para diferentes personas; por tanto es necesario

que los t6rminos que usemos en las demostraciones tengan el mismo significado para cada uno de nosohos'

1.1. TERMINOS NO DEFIMDOS

Los objetos que rodean al hornbre, fortnan en su mente el concepto de rectas y de curvas, de figuras planas y de

cuerpos con formas y vohimenes diferentes.

Al observar varios cuerpos geomdhicos, algunos tienen la misma forma, ejemplo: el honco de un 6rbol,una lata de conservas, un tubo de oleoducto; tienen una forma comirn, sin tomar en cuenta su material, color,

peso, posici6n, etc., se produce en nuestra mente una idea abstracta a la cual se le da un nombre en este caso,cilindro.

Del mismo modo, en la construcci6n de una casa, las paredes (verticales) y pisos (horizontales), nos dala idea de perpendicularidad y paralelismo

Los conceptos geomdtricos brisicos son por lo tanto abstractos y existen s6lo en nuestra mente. Losconocimientos iniciales de las propiedades y de las formas espaciales se obtienen por inducci6n, es decir, pormedio de observaciones y experiencias reiteradas.

En el idioma existen palabras que son dificiles definir y se los describe en t6rminos de otras palabrasigualmente no definidas; tales definiciones se llaman "tautologias".

De esta manera, muchas palabras no se pueden definir sin caer en un circulo vicioso y siempreempezaremos con uno o mris t6rminos que no esf6n definidos.

Al usar un t6rmino no definido, se supone que la palabra es tan elemental que todos conocen susignificado, puesto que no hay palabras m6s sencillas para definir el t6rmino. La geometria usa los sigrientest6rminos no definidos: punto, recta, plano, espacio y medida.

En la primera parte del contenido de este trabajo presentaremos proposiciones que relacionen puntos y

rectas, los puntos ser6n los elementos de un plano y las rectas ser6n subconjuntos del mismo plano formadas por

puntos, de 6sta manera desarrollaremos la Geometrla Plana; posteriormente afladiremos otras proposiciones que

ielacionen planos, puntos y planos, rectas y planos para desarrollar la Geometrfu del espacio.

1.2. PLAI.IO

Una hoja de papel lo m6s extensa posible da la idea del concepto abstracto de plano.

G. Calvache, M. Yacelga CONCEPTOS FUNDAMENTALES

2

irepnBseNTacl6N cnArlca v onNovlNacr6n

NQPLANO n PLANO A PLANO B PLANO E

Por medio de una letra mayfscula ubicada en el interior de su representaci6n.

1.3. PI.JNTO

Para desarrollar muchos sistemas matemSticos, se empieza considerando un conjunto de elementos. Loselementos considerados en geometria son llamados puntos. Podemos representar el punto con una minrisculamarca en el pizarr6n, pero 6sta no es un punto; si podriamos subdividir la marca y cada parte subdividirlanuevamente en marcas m6s pequefras y asi indefinidamente, todavia no tendriamos un punto.

Euclides defini6 el punto como el elemento geomdtrico que tiene posici6n pero no dimensi6n, sinembargo la palabra "posici6n y dimensi6n" tampoco han sido definidas y no se estaria mejor que antes,tendriamos varias palabras que definir en vez de una; la soluci6n del dilema es sencilla: la palabra punto no sedefine. Lo esencial es que todos tenemos una noci6n intuitiva bastante buena de lo que es un punto.

REPRESENTACIoN CNATICA Y DENOMINACIoN

Pormediodeunamarca (' o x).

Por medio de una letra mayfscula escrita cerca de la representaci6n gr6fica, ejemplo:

'A o xA

1.4. POSICIoN NBT,AUVA PUNTO . PLANO

1) COPLANAR. Si el punto es elemento del plano.

2) EXTERNO. Si el punto no es elemento del plano.

1.5. FIGI.'RAS GEOMETRICAS

Al observar los diferentes cue{pos y figuras geom6tricas, encontraremos que todos tienen algo en comrin y sonlos puntos. De esto podriamos concluir que una figura geomdtrica es un conjunto no vacio de puntos.EOAI.6. RECTA

La huella dejada al doblar una hoja de papel nos da la idea abstracta de recta. En dicha recta pueden marcarseinfinitos puntos, por lo tanto, la recta es una figura geomdtrica, subconjunto de un plano, formada por unconjunto de puntos.

DETERMINACI6N

Dos puntos determinan una recta.

REPRESENTACIoN CNATICN Y DENOMINACI6N

3

Por medio de dos puntos cualesquiera de la recta, o por medio de un punto de la recta.

1.7. POSICIoN RELATIVA PT'NTO . RECTA

1) COLINEAL. Si el punto es elemento de la recta.

2) EXTERNO. Si el punto no es elemento de la recta.

1.8. POSICIoN NTIEUVA DE DOS RECTAS EN T.'N PLAI{O

l) PARALELAS. Si la intersecci6n es un conjunto vacio.

AL

4.L

AB

o{,EBY suplementariosC BA- bisectriz AXBE

BC bisectriz ZTEBY

x B Y r)BA.lED) 2mXl+2m/2:nrrld

m{l + m42: nlZradm:{ABC : n/2rad = BA L BC ///.

TEOREMA#4.

Las bisectrices de dos 6ngulos opuestos por el v6rtice, son colineales.

H ) 4AOB y ] COD Opuestos por el v6rticeG-bisectriz EAOBTF bisectriz { COD

T) X-O-Y Colineales

D) 2 mz(,l + 2 mA2 + m{3 + m44 = 2 x rad.m43: m44

2m{l+2m\z+2mA3:2nradm{l + m\2 +mz{3 =nrad.

X-O-Y colineales ///.

G. Calvache, M. Yacelga Aicur,os

31TEOREMA#5.

Si dos 5ngulos tienen sus lados respectivamenlsuplemeniarios. 'ouvo rsspeorlvamente paralelos, son congruentes ( paralelos en el mismo sentido ) oU r.

H)t ut; u ltT")XI:23

Tu) mX]+ mX s - z?d

si dos 6ngulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son congruentes o suplementarios.

T") X 1 =ZzTu)23 =44T") mX I + m 44 = n rad

Da) mXl : m44m{3 = mz+mal = mX3Zl = z3 ///.

TEOREMA#6.

Du) mXtamX4=nradm42 = mX5m44=mXt

mZ5 + mZl : nrad ///.

Db) mll + m43 = rc radm42 + mX4=nrad

mZ3 : mZ4=+ z3=24 ///.

D") m\2+mX5=n/2radm2{5+m{l=n/2radmZ5 + mXt =mZ2 + mA5mZl = mZ2Z I =22 ///.

Dc) mZI +mz3:

=) mzl

m{3 = nradmz41 mX 4 = nrad, ///.

G. Calvachg M. yacelga

Artcwos

32

EJERCICIOS

1.- Uno de los 6ngulos suplementarios, aumentado en nl6 rad. es igual al otro. 1,Cu6nto mide cada angulo?Resp.75o; l05o

2.- La diferencia de dos 6ngulos complementarios es n/3 rad. Hallar el complemento del iingulo menor.Resp. 75o

3.- Dos 5ngulos son suplementarios, y uno de ellos es n/10 rad. m6s, que el triple del otro. ;Cu6nto mide cada6ngulo? Resp. 40,5o ; 139,5o

4.- 6Cu6nto mide cada uno de los 6ngulos complementarios, si quitando al menor de ellos nl9 rad. y agreg6ndoseal mayor, 6ste resulta el kiple de lo que queda del menor. Resp. 47,5o;42,5'

5.- Dos 6ngulos son suplementarios; uno de ellos es disminuido en nll2 rad. para ser agregado al oto, de talmanera que 6ste nuevo iingulo, es igual a cuatro veces el resto del primero. ;Cu6nto mide cada Sngulo?

Resp. 51o; l29o

6.-Hallar la medida del dngulo que disminuido en su suplemento, es igual al triple de su complemento.Resp. 90o

7.- Uno de los 6ngulos complementarios es los 3/5 del otro Sngulo. iCu6nto mide cada 6ngulo?Resp. 33,75o ;56,25o

8.- De dos 6ngulos suplementarios, los 4/3 de uno de ellos m6s la sexta parte del otro forman un 6ngulo llano.lCu6nto mide cada 6ngulo? Resp.51,43o ;128,57o

9.- iCu6nto mide un 6ngulo que es igual a su complemento? Resp.45o

10.- Los 4/7 de un 6ngulo menos la cuarta parte de su complemento, da su complemento, aumentado en n/14 rad.;Cu.into mide el 6ngulo? Resp. 21,18o ; 68,82o

11.- Dos veces la medida de un 6ngulo es n/6 rad. menos, que los 317 la medida de su suplemento. 1,Cu6l es lamedida del6ngulo? Resp. 19,41o

12.- i,Cu6l es la diferencia entre el suplemento y el complemento de un 6ngulo que equivale a los 4/7 de un6ngulo llano? Resp. 90o

13.- El doble del suplemento de un 6ngulo menosringulo.

el triple de su complemento es 120o. Hallar la medida del

Resp.30o

14.- Los 6ngulos X,Y , Z son proporcionales a los nfmeros 4, 5 y 8. Hallar el 6ngulo Y

Resp. 52,94o

15.- Calcular el valor de dos 6ngulos complementarios, de modo que, si al quintuplo del menor se le disminuyela mitad del mayor, se obtiene el triple del menor, aumentado en n/18 rad. Resp. 68o;22o

16.- Dos 6ngulos complementarios est6n enlarazon5/4.Hallar sus medidas. Resp. 50o;40o

17.- Si al suplemento del suplemento de un dngulo se le aumenta el complemento del complemento del mismo6ngulo, resulta el triple del complemento del mismo 6ngulo. Hallar el angulo. Resp. 54o

18.- La medida de uno de los 6ngulos de un par de 6ngulos suplementarios, es el doble de la medida del otro,mas n/10 rad.. Encontrar la medida de cada 6ngulo. Resp.54o; 126o

I9.-La diferencia entre los 5/7 del suplemento de un 6ngulo y el complemento de la mitad del 6ngulo excede en5" al triple del complemento del ringulo. Calcular la medida del r{ngulo. Resp. 84,87o

Axcur,os G. Calvache, M. Yacelga

33

yel20.- El triple del suplemento de un 6ngulo es igual al suplemento de la diferencia entre el suplementocomplemento del r{ngulo. Calcular la medida del 6ngulo. Resp. 150o

2L,-La suma del complemento de un {c con el suplemento de su 6ngulo triple, es igual a 314 del complementode un ] p. Si: rr{oc - -}P = 3r/20 rdd. Calcular el suplemento del r{ngulo} a. Resp. 123,92o

22.- Dos 6ngulos adyacentes suplementarios est6n enlaraz6n de 2 a3. Hallar el valor del Sngulo formado por labisecfiz del 6ngulo menor con el lado no comrin. Resp. 36o

23.-La suma del suplemento de un 6ngulo con el complemento de su 6ngulo triple es mayor en 110", al dobledel ringulo. Hallar la medida del6ngulo. Resp.26,67o

24.- Si el suplemento del complemento de un 6ngulo m5s el complemento del suplemento de su 6ngulo triple esigual, al triple del complemento del angulo. Encontrar la medida del angulo. Resp. 38,57o

25.- La quinta parte del suplemento del complemento de un 6ngulo es igual a la mitad de las fes quintas partesdel suplemento del complemento de 40o. Hallar la medida del ringulo. Resp. I 15'

26.-Los 6ngulos] BAC agudo y 4 CAD recto, son adyacentes. Determinar la medida del ringulo formado porlas bisectrices de los 6ngulo{,BAC y},BAD.

27.-

Resp. 45"

..H) BD ll AE

T)BC IAC

A

28.- En un Sngulo llano {AOD se trazan los 6ngulos adyacentes 5+OB, aPOC y ZQOD. Si las bisectrices delos ringulos:{AoB yZ COD forman un 6ngulo de 140o, hallar la medida del6ngulo

^BOC. Resp. 100'

29.-+H) AE ll CD] A=]30'XB=5n/l8rad

T) }X=?

-+BD ll cE1A: l2o"-{ B: 13 nll8rud

Y C:? Resp. 110q

AB ll cD{o = 134'

xA=? Resp. 44o

Resp. 20o

30.-

H)

r)

31.

H)

G. Calvac.he, M. Yacelga

r)

Attcwos

34

H) BA' r -F+BC ll DE

\ s:t"nT) 1l=? Resp.45o

T) 1X=?Resp. 66o

zx:'lResp. 25o

x x:?

Resp.42o

T) }X:?Resp. 100"

T) Zcr+XB=Zl+X2+43

r) }coA: (49+|.a)t2

34.

35.

36.

37.

38.

Ar.IauLos G. Calvache, M. Yacelga

35

39.

r) 4 BOE : C4 AOD +ACOF) / 2

H)

r)

40.

H)

r)

4r.

H)

r)

xcoA: xcoB4DOC:24"{DoA: {EoF

\ rOe :f Resp.57o

\/"

Z EOB :5 n/9 rad.

1" :t Resp. 20"

X AOB - 4BOC : n/5 radzDoA=xDoc

4X:? Resp. l8o

H) X AoE: AEOBx AoD: 1 Doc1 AOC - 1 AoB : nlt0 rad

T)X X:? Resp. go

H)XAOC=5nll8radX BOD : nl2rad

r) 1 PoQ :?

43.

M.

Resp. 70o

45. H)XFOB: XAOF! BOD:75"Z BOC -ZAOB :2 n/9 rad

r)YEoF:? Resp.27,5"

disminuido en3A delcomplemento de un { es igual a 8o. Determinar el 5$ si la diferencia entre los iingulos21POT yXPOQ es igual a 24o. Resp. 84,67o

G. Calvache, M. Yacelga ANcur.os

36

47.

48.

H) X DoC =Y DoB? sop:x EoAz AoF: x FoDx EoL: x Loc

T) ZFOL:? Resp.45o

H) XDOA:)

37

3.17 EJERCICIOS RESUELTOS

I 5')D) 180"-Xl+15o=4C{l] l :51'

)i2- l29o

D)6.

D)

x I - (180" -1 rl:3 (e0'-4 1).'.a1:e0"

36.

41.

.'.\r:+s"

.'. x x: 100"

D) 2Xl+2(\X+222:180" (l)Z I +Z x+){2:100' (2)

(t)-2(2)

.'.2 x : zo"

D) 222+43:90. ( 1)2At +A3:50. (2)a1+22+23=xPoQ(3)(3)ent(1)+(2)l

POQ:79"

44.

48.

D) 2\1+]2:90o (1)2z\3 +Z 1:180' (2)2\4+12:180" (3)(l)ent(2)+ (3)l43 + 44 = l35o (4)Z: +7 4 +Z FOL: 180'( 5 )(a) en (s)

.'. X FOL:45'

G. Calvache, M. Yacelga ANcur-os

39

I.]MDAD 4

4. POLIGONOS

4.1. DEFINICIoN.

Pr,Pz, P3... ... Pnsonnpuntos coplanaresdistintos(n >3 )ysial formarconestospuntosnsegmentos, cumplen las siguientes condiciones :

1. Ningrin par de segmentos se intersecan excepto en los puntos extremos.2. Ningun par de segmentos con extremos comunes son colineales.

La figura geomdtrica formada es un poligono.

Pr

4.2. ELEMENTOS

l.-VERTICES. Sonlos n puntoscoplanares dados. Pr,Pz, P3,. . . ... ... ... Pn

2.- LADOS. Son los segmentos que unen los puntos coplanares dados.

-PrP2, EF3,

-P3P4, -P4Ps,

PERiMETRO. ( P ). Es igual a la suma de las longitudes de los lados del poligono.'

P =PrPz + P2P3 +P3Pa+ ....

3.- DIAGONALES. Son los segmentos que unen dos v6rtices no consecutivos del poligono.

PtPi, PtPt

4.- ANGULOS INTERNOS. Son los 6ngulos formados por dos lados del poligono.

P1P2P3 , P2P3Pa,P3P+Ps, .

5.- ANGULOS EXTERNOS. Son los 6ngulos formados por rm lado y la prolongaci6n de otro lado consecutivo.

4a,Xg,Xtrr,.

4.3. DENOMINACIoN

Por las letras de los n puntos siguiendo un mismo sentido: Poligono Pr P2 P3,.......... Pn

4.4. CLASIFICACIoN

l.- PORELNUMERO DE LADOS. Los poligonos pueden ser :

P2

TrianguloCuadril6teroPent6gonoHex6gonoHept6gono

( 3 lados )( 4 lados )( 5 lados )( 6 lados )( 7 lados )

G. Calvache, M. Yacelga TRIAI{GI,]LOS

40

2.- POR SUS ELEMENTOS. Los poligonos pueden:ser:

EQUIANGULAR. Es el poligono que tiene todos sus 6ngulos internos congruentes.

EQUILATERO. Es el poligono que tiene todos sus lados congruentes.

POLiGONO REGULAR. Es aquel quo a la vez es equil6tero y equi6ngular.

EQUIANGULAR EQUILATERO

^

tt\--4"culAR

3.- CONCAVOS Y COII/EXOS. Si todos los puntos de un poligono est6n a un mismo lado de una recta quecontienen a cualquiera de sus lados, el poligono es convexo, de lo contrario es c6ncavo.

4.5. TRIANGIJLO .. :].Es la figura geomdtrica formada por tres segmentos, que unen tres punJoq no colineales.

Todo triSngulo determina en su plano dos subconjuntos: la regi6n interna y la regi6n externa del triringulo.

EXTERNA

Cada lado se opone a un v6rtice. Los lados se representan con la letra minfscula de su vdrtice opuesto: AB : c,BC=a, AC=b

4.5.1. DENOMINACION

Por los v6rtices: A ABC

4.5.2. CLASIFICACIoN

l.- POR SUS LADOS. Los tri6ngulos pueden ser :

EQUILATERO. Si sus tres lados son congruent"r. ff =

6-C =

AO

ISOSCELES. Si dos de sus lados son congruenlss. AB- = ff

ESCALENO. Si sus tres lados no son congruentes.

CONTVEXO

B

,A.'Equil6tero

G, Calvache, M. Yacelga TB.IANGULOS

4t

2.- POR SUS ANGULOS. Los triangulos pueden ser:

EQUIANGULO. Si sus tres 6ngulos internos son congruent"r. f =6=tACUTANGULO. Si sus tres 6ngulos internos son agudos.

OBTUSANGULO. Si uno de sus 6ngulos internos es obtuso.

nl2 rad

42

TNCENTRO ( r )

Es el punto de intersecci6n de las tres bisectrices internas y es el centro del circulo inscrito en el triringulo(circulo tangente a sus tres lados).

El incentro siempre est6 ubicado en la parte interna de un tri6ngulo.

F: v"B-D:VbCE:Vc

I Incentro

.Oa Ex-centro relativo al lado aOb Ex-centro relativo al lado b.Oc Ex-centro relativo al lado c

4.5.3.3.2 EX-CENTRO ( Oa )

Es el punto de intersecci6n de dos bisectrices externas y una interna del tri6ngulo, y es el centro del circulo ex-inscrito del tri6ngulo (circulo tangente a un lado y a la prolongaci6n de los otros dos lados).

4.5.3.4. MEDIATRIZ

Es la recta perpendicula r frazadaen el punto medio de un lado del triringulo.

. O Circuncentro

4.s.3.4.r. CTRCUNCENTRO (O )

Es el punto de intersecci6n de las tres mediatrices, y es el centro del circulo circunscrito al triangulo (circulo quepasa por los tres v6rtices del tri6ngulo).

El circuncentro en un tri6ngulo acut6ngulo est6 ubicado en su parte interna; en un tri6ngulo rect6nguloen el punto medio de la hipotenusa; y en un ki6ngulo obtus6ngulo en su parte externa.

4.5.3.5. ALTURA

Es el segmento perpendicular trazado desde un v6rtice del tri/rngulo al lado opuesto o a su prolongaci6n.

B

AP:haEQ:tuB: nc

El ortocentro en un triSngulo acut6ngulo est6 ubicado en su parte interna; en un tri6ngulo rect6ngulo enel v6rtice del ringulo recto; y en un tridngulo obtusiingulo en su parte externa.

'At/r\"/l \-o

4.5.3.s.1. ORTOCENTRO (H )

Es el punto de intersecci6n de las tres alturas.

. H Ortocentro

G. Calvechg M. Yacelga TRIANGIJLOS

43

4.5.4. ANGI]LOS ENI]NTRIAI{GI]LO

TEOREMA # 1

En un tri6ngulo, la suma de las medidas de los ringulos internos es igual a 180' o n rad.

H) A ABC escaleno

Ut+6+t=180o:nrad

D) ( contrucci6n)

B :/b

Y+ fts: B&=t+tYCB

/\/\BCX + C:180o:nrudz\r\z1A+ B+ C:180o:n13d ///.

COROLARIOS

1.- Un 6ngulo extemo de un tri6ngulo es igual a la suma de las medidas de los ringulos internos no adyacentes, ypor lo tanto mayor que cada uno de ellos.

2.- Un tri6ngulo no puede tener miis de un i{ngulo recto ni m6s de un 6ngulo obtuso.

3.- En un tri6ngulo rect6ngulo, los 6ngulos agudos son complementarios.

TEOREMA#2

La suma de los angulos internos de un cuadrilStero es igual a 360o o 2n rad../\/\z\z\

T) A+B+C+D=360"=2nrad.

/\./\/aD) A+l+3:180":nrad.

7\.?\/12+C-+4:180":nrad.

i*O*d*i::oo' =2nrad.

TEOREMA#3

u o:?+?+?z1 .4, .r\

D) ct:4 + 3t =l*it= ?*?*?

A

TEOREMA#4

rl d+?:t+? 0o) d+f+r6b: rso

/\/\ /\{+e+ECD:180'

a4rC+?

--)AB

=aCY

XCY

XC

G. Calvache, M. Yacelga TRId,NGTJLOS

M

TEOREMA# 5El 6ngulo formado por dos bisectrices internas de un hi6ngulo es igual a n/2 rad rni's la mitad de la medida del6ngulo interno no bisecado.

H) I Incentro del A ABCz\ ,\,

T) X: n/2+ Bl2,\/\,\D)X:n-N2-C/2Az* 6z+ ttz: ntz

z\ z\.'. X= n/2+ B/2

TEOREMA#6El 6ngulo formado por dos bisectrices externas de un tri6ngulo, es igual a n/2 rad disminuido en la mitad delSngulo interno en el tercer v6rtice.

H) O". ex-centro del A ABC

r) *. : nrz - AzD) i: "-l-tz\z\/\

2 = N2+ B/2z\zrz\| :'N2 + C/2fuz*lz+6n:ntz

*: n/2 - hzTEOREMA# 7

El 6ngulo formado por las bisectrices interna y externa de dos vdrtices diterentes de un tri6ngulo, es igual a lamitad de la medida del 6ngulo interno en el tercer v6rtice.

Ou. ex-centro A ABC

TEOREMA# 8

El 6ngulo formado por la bisectriz intema y la altura del mismo v6rtice de un tri6ngulo, es igual a lasemidiferencia de las medidas de los 6ngulos internos en los otros dos vdrtices.

H) -_Bi Bisectriz del A ABCBH Altura del A ABC,\za

tt ?= A-c'2D)f-3+A=ntz

z\.7\/\1+X+ C=n/2

^ f-t..I=- aL

x: B/2z\ z\z\x: 2- |z\ z\z\2 : l+B/2z\ z\.'.X: Bl2

H)

r)

D)

G. Calvache, M. Yacelga TRIANGI.]LOS

45

TEOREMA#9

4.5.s. EJERCTCTOS

l.B

"ra::,;,,"^N^--.'DcT) B :? Resp.100"

3.B4. A\/\\H/\A--./V-

.^.H) HDC:50'/\A:60'

T) BDA:? Resp.8O'B

H)Xe:l6n/45tad

?{8:21 n I 90rad

T)XAPC =? Resp. 127"

T) Ao+ZB= Zt+42+43

H){C:40'

T)XBDE =?

esp.25o

C

H)

r)

A=50o

C=70"

BE D: 80o

x:?

Resp.40o

A

H) XC:50o

2\ EAB :70"

r)zE:?

Z BDC: 60'

A BAC = 30'

Resp. 80o

G. Calvache, M. Yacelga TRIA}.IGI.]IOS

46

7. H)1 A: 600

ABCA:40'

T) X HCD= ?

Resp.2,5o

A

H) :15" E

:40"

r) :'t Resp. I l0o

DCE

BCD

BAF

ABC : 100'

T) A= ? Resp.60"

H; 66t:zo'

6t: ao.r) ?:rResp.60'

A

H)

r)

EC./\ 21,EDF = 81,25" y A: 70"

C: ? Resp. 40o

T) X:?

Resp. la+lB

12.

H) 1:70o ,BDA:50",

T) BCA: ?

CDB:30"

CAD:60"

Resp. 40o

A

r) ?:z vResp. 22o \

/iH

TRIANGIJLOS G. Calvache, M. Yacelgo

47

15. H) A=20'/\

T) X=l

Resp. 160"

41 +X 2+43 + 44: 280"

En un tri6ngulo ABC escaleno, G : 46" y su bisectriz forma con el lado E-C dos 6ngulos quedifieren en 22". Calcular los 6ngulos A y C. Resp.56o,78o

En un tri6ngulo ABC :ZA : 45" y 7R : 55'. Calcular el 6ngulo formado por la altura delv6rtice A y la bisectriz del v6rtice C.

AResp.130o

H ) ae -z\c:28"

T) BDC: ?

Resp.104'

T) Xx:? Resp. 115'

24.H).I IncentroAABC

r)zx:?Resp. 40"

26. H ) I Incentror)4x:?Resp. 108'

16.H)

r)

17.

18.

T)A x=?

Resp. 52o

G. Calvache, M. Yaoelga TRIA}.IGT]LOS

48

T}{Y:(4s0-Z a-22il/2 r)Xa:G 4o+X0-t8o)/2

T)AF= 3Za-XF H ) .I incentro del A ABC

T)ZO=Z\ o+X B-9031. En un tri6ngulo ABC: Z B >90o y Ortocenho H. Encontrar la medida del 6ngulo formado

por las bisectrices de los 6ngulos Z qCH y Z BAH. Resp. 90'

H).I IncentroAABC

r)xx:.?Resp. 180-X o

32. T)6 F:?

TRIANGULOS G. Calvache, M. Yacolga

36.

49

39.38.

H ) .I IncentroA ABC

T )X n: r Resp. 90o

H).I IncentroAABC

T )XX: ? Resp. 22,5o

H)ABE:ZEBC

T)21X: 180-Up -%,o.

42.

BCA HECDD

40. En un tri6ngulo obtusringulo SC (aC t 90o), si P es el pie de la altura hu, Q pie de la altura dehu y H es el ortocentro, demostrar que el ringulo PHQ es igual a la suma de los 6ngulos A y B.

41. En un tri6ngulo AEIC, obtus6ngulo (AA > 90'), H es el ortocentro. Demostrar que lasbisectrices de los 6ngulos IIBA y HCA son perpendiculares entre sf.

43.

H ) BE Bisectriz externa A ABC

BD Bisectriz intema A ABC

T)Za : ?Resp. 52o

4.

H).I IncentroAABC

T )4 X : 90'-Y cr-X p

)l.A=(2 9+24a-180)/3

G. Calvache, M. Yacelga TRIANGTJLOS

50

45.

rri= s0"-g'2T)XE=? Resp.34o

Er)zc:?Resp. 42o

50. H ) .I IncentroA ABC

T)Zo:4F

A HD

T) Z A: ? Resp. 102'

49. T)AX=?Resp. 117o

52.

B

T )Aa: r51.

Resp. 40"

s + (\u /2)

TRI,{NGI]LOS G. Calvache, M. Yacelga

5t

53. T)z\x=? Resp.62'

T)AA:2Aa+ ft$-360

T )XF: ? Resp. 84o

T)AE:? Resp. 45oB

58.

A

57.

B

T)Ax:4 a-24p

H)XB:zznlqsradzc= 4nls rud

T)2\X:? Resp. 144o

60 r; Z'x:l Resp.A a/2

G. Calvache, M. Yacelga TRIA}.IGIJLOS

5:2

T )4 p : ? Resp.l80'- 2] cr &.

IEC

r)ax:180-249-24u

AAOB :ABoc y QS lloET )ZX:90o + 49 12 -2Za

66.

A+BT)Ax:T

H ) EBll cH

T)4X:? HE

H)4AOE : AEOD- L

T){a: ? Resp.35o

TRIANGIJLOS G. Calvache, M. Yacolga

rxx:24a-40

53

f ;) o: ? Resp.56"

72.


AX +Z z :Zg

T )ZI: ? Resp. 60+Y B /3

r )Z x: ? Resp.(l a-/P) t 2

T)Zo:? Resp.29o


r)ZA:.r48 =.?Ac=.t

C

Resp. 60'Resp. 80"Resp. 40o

T)ZX:?

o

T )! ct : ? Resp.82o

G. Calvache, M. Yacelga TRIANGI]LOS

54

75. 76.

H ) .D IncentroA ABH.E IncentroA AHC

r )zx:z B

< X: ? Resp. 86.67"

4.5.5.1 EJERCICIOS RESI.JELTOS

5.B

H ) .I incentroA ABC

H)

55

D) 70":2(cr*(B80": ( u+2

56

4.5.6. CONGRI.JENCIADE TRIANGIJLOS

Si dos tri6ngulos son congruentes tienen todos sus elementos respectivamente congruentes.

Se denota este hecho escribiendo A ABC = A FED

Para todo par de tri6ngulos congruentes, la relaci6n entre sus elementos congnrentes es una correspondenciabiunlvoca. Entonces, en dos tri6ngulos congruentes, a cada lado (o 6ngulo) del uno corresponde un lado (o6ngulo ) congruente en el otro, llamados correspondientes congruentes.

Se demuestra que dos tri6ngulos son congruentes para concluir que todos los dem6s elementos correspondientesson congruentes.

4.5.6,1. POSTI.JLADOS DE CONGRUENCIA

l

t

i"i lr"*)::H:J,::,:,-nectivamente congruente s do s lados y er 6nguro comprendido.AABC=ADEFEs una correspondencia ( L.A.L.)

AABC=ADEFEs una correspondencia ( A.L.A.)

2. Dos tri6ngulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes un lado y dos 6ngulos.

3. Dos tri6ngulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados.

AABC=ADEFEs una correspondencia ( L.L.L.)

4.5.6.1.2. TRIANGIJLOS RECTAI{GULOS

l. Dos tri6ngulos rect6ngulos son congruentes si tienen los catetos respectivamente congruentes.

tl\ rl\ ^rf*:;"^""".t:ndencia (c.c.)

oL ,,\. oL -\o2. Dos tri6ngulos rectdngulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un 6ngulo agudo respectivamente

congruentes.

G. Calvache, M. Yacelga TRI.ANGIJLOS

57

3. Dos tri6ngulos rectiingulos son congruentes si tienen un catetocongruentes.

y un 6ngulo agudo respectivamente

AABC:ADEFEs una correspondencia ( C.A.):\"">*,

4. Dos triringulos rect6ngulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente congruentes.

D ) Tf I ln ( construcci6n ).'.BM: MA: EF

AMBEnAFEC

B:FEC (A)BM:EF (L)

. A: BME:EFC (A)

.'. AMBE=ACFE (A.L.A.) = BE:EC l//.

4.5.6.2. PROPIEDADES DE PARALELAS

TEOREMA # 1

Los segmentos de rectas paralelas y limitados por otro par de rectas paralelas son congruentes.

H)49/PAC // BD

rlE=QAC=BD

D) AACDnAABD c=4pB (A)[p=[f (L)

i

CDAEBAD (A)

.'. AACD=AABD (A.L.A.)

= ,ffi=coet = ED l/.COROLARIO

Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su extensi6n.

TEOREMA#2

Larccta que biseca a un lado de un tri5ngulo y es paralela a otro lado, biseca tambi6n al tercer lado-

H ) B]1:U4ME // AC

T) BE:EC

G. Calvache, M. Yacelga TRIA.IGT]LOS

58

COROLARIO

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tri6ngulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

4.s.6.3. TRTANGTJLO TS6SCELES y EQLnLATenO

TEOREMA # 1

Si dos lados de un mismo tri6ngulo son congruentes entre si, los rlngulos opuestos a dichos lados tambidn soncongruentes.

H ) A ABC is6sceles ( AB : BC ). .

T)A=C

D ) BD Bisectriz 3 ( construcci6n )AABDnADBC

AB: BC (L)l

ABD:DBC (A)C BD:BD (L)

.'. AABDSADBC (L.A.L) = A=C ///.

COROLARIOS.

l. Si dos 6ngulos de un triiingulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos 6ngulos son tambidncongruentes.

2. La bisectriz del 6ngulo relativa a la base de un tri6ngulo is6sceles, es tambi6n mediana, altura y mediatriz dedicho triSngulo; y reciprocamente, un tri6ngulo en el cual una linea fundamental es tambi6n otra lineafundamental, el trirlngulo es is6sceles.

3. En un tri6ngulo is6sceles todos sus puntos fundamentales pertenecen a la mediatriz relativa a la base.

4. Todo tri6ngulo equilStero es equiringulo; y reciprocamente, todo tri6ngulo equidngulo es tambi6n equil6tero.

5. En un tri6ngulo equil6tero las bisectrices, medianas, alturas y mediatrices de los tres v6rtices son congruentes.El incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro son el mismo punto.

4.5.6.4. TRIANGT]LO RECTANGT.'LO

TEOREMA # 1

El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres v6rtices del tri6ngulo rect6ngulo.

COROLARIO

Si una mediana derect6ngulo.

H) BM=MC

T) BM:AM: MC

D ) I\4-E // AB ( construcci6n )... AE: EC.'. UJ ettura A AMC

ME Mediana A AMCC .'. A AMC es Is6sceles

= AM:MC //1.

segmentos que forma en el lado del tri6ngulo, el tri5ngulo es

TRIANGIJLOS

un tri6ngulo es igual a los dos

G. Calvache, M. Yacelga

59

TEOREMA#2

El Sngulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un tri6ngulo rect5ngulo es igual a ladiferencia de los 6ngulos agudos.

AH Altura A ABCffi M"diuoaAABC

t^X=B-C

AM: BM: MC

BAH: CBAM: B

. X= B- C l/1.

4.5.7. DESIGUALDADES

TEOREMA # I

Si dos lados de un triSngulo. no son congruentes, los 5ngulos opuestos a ellos tampoco lo son y el 6ngulo demayor medida se opone al lado mayor; y reciprocamente.

H) AB >BC T) C>A

D ) AB : BD ( construcci6n ).'. A ABD is6sceles

! .

D= DAC+ A + D> AC= DAC+ D

= C> D .'. C> A ///.D

TBOREMA#2

En cualquier tri6ngulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercerlado.

H)AABC Escaleno T)AB+BC >AC

D ) AB = BD ( construcci6n )... D = BAD

+ DAC> D+ DC >AC

BD+BC>AC .'. AB+BC>AC ///.

4.s.8. EJERCICIOS

1. Indique que paxde triringulos son congruentes

Resp. I =

III

H)

r)D)

G. Calvache, M. Yacelga TRIANGIJLOS

60

2.Indique que par de

AE: BD

EC: CD

H) AM:MCPM: MQ

T)BM:MDH) AC:BQ

AF= BF

T)AE:BE

tri6ngulos son congruentes

A/ \rs

/ r \

Resp. I = IVC

H)41 4 2AD: EC

r)4 DAC :21 pca5.

8.

C

7.

H)

r)H)

r)

AB:ACBD= DC4r: 42

IBF: EC

9. H)AP= PBAQ: QCBR:RCBS:SDTe- ttcDAB: CD

D r)AAPe=ABRS10. Sobre los lados de un A ABC se construyen los tri6ngulos equil6teros BPC, CQA y AI{B. Demostrar que:

AP:BQ : CR.

1 1 . En un tri6ngulo obtus6ngulo ABC, los 6ngulos AA y ZT est6n en la raz6n 2/5, el ingalo 4FHQ : 54o, Pes pie la altura de A, Q es el pie de la altura de B y H es el ortocentro. Hallar los 6ngulos -64, AB y X C.(x c > 90")

Resp. 15,42o; 38,58'; 126'.

A

a

H) BF:FC

T)AB:AC

R

G. Calvaohe, M. Yacelga TRIANGI.]LOS

6l

T2,

13.

En el tri6ngulo escaleno ABC, el angulo {B mide B ( p> 90") y O es el circuncentro. iCu.into mide el6ngulo{AOC. Resp. 2(180-p)

Enuntri6nguloABC: AB:AC; z1A=120"; Isuincentro; OsuCircuncentroy EsuExcentrorelativo a la bisectriz interna del 6ngulo B. Hallar la medida del 6ngulo 4IEO.

Resp.30o

14.

20.

H ) AABC n APQS Equil6teros

T ) AAPS =ABPQ =ACSQ

AH)APQS Equil6tero

T) PA:QB

t7.H )A ABC Equil6tero B

pq ttAc

T)AQ:CP

H ) BD: BC: CA

T ) EC Bisectriz

62

2a

T)

63

30. H) BD:DC:EC

T)AX:?

Resp. l0o

T)2(X:?

Resp.36o

32.

A

33.

H) AB:AC:An

T)21X=? Resp.40"

H) DC:DE:DH

T)XX:? Resp. 180-2XP

H) CA:CD:CET)11:?Resp.40"

H) BH=HD E

&

cH) CD:BC:AB

T)XX =.? Respl80-4XBResp.40o

y xc:ss"

Resp. 55"

H) AD:DE

T)XX:? RespXP42.

H )Z BAC:70"

T)XX =?

H).I IncentroAABC

T ) lX = ? Resp.(225+4(I)/2A4.

T)ZX =? Resp.180-Yo

H ) AB:AC

T) DE: a-b

T ) XX :Z){ABC - 180'

TRIANGIJLOS G. Calvache, M. Yacelga

65

49.

H ) DE Medialriz A ABCffi'ltAT

r)x1:?Resp.2.{ p-{ 0

E

H ) .O CircuncentroA ABC

T )Z X: 90" -24a

H) PS:PFQT: QF

50. 51. H ) AP Bisectriz]AD: AB

EAB

T ) X SFT:.?Resp (180-Z p) / 2

H) AB:BC

r)xx:.?Resp.2X B - 90

55.54.

A

H) AB--BC

T)4X =?

H ) .O CircuncentroA ABC

Resp. 20o

F

H)H)

r)

NQ ll BC

CN: 14 u

MN: ?

y BM:8u

Resp.6u

. O CircuncentroA ABC

iE Bisectriz Z mc

T)XABC=3XC

r)xx : 2 ABC

r)21:x2

G. Calvache, M. Yacelga TRIA}.IGI.]LOS

66

58' H) AB:BC:BD

T)4X:?Resp. l0'

60.r)zx:? Resp. 120'D

62. r) 4x :? Resp. 15o

H) AB:BC

r)zx:(Z.t+Z'2)/2

61.H ) .O CircuncentroA ABC

H

H) BH:BEAn=DC=DH

r )z B =2zc

B

H ) MN ll-AC

T) MN:AM+NC

T) ZX =.?Resp .{o + 4B - 90_

H) AB:BC

r)xx=?

TRIANGT]LOS G. Calvache, M. Yacelga

67

66.

69.68.

T) DE=BC-AB

9A +3 aT)XX: -----=-,t

r )zx: 6agc -75C) t 2

T )XBME: 180' -ZZ C

A

72. H ) .H OrtocenfroA ABC

T)zx:?Resp.30o

74. 75'r ) z x:?A

Resp.3l oH) AB:AC

r)>p: ?Resp.64o

H) MNIIAC

T ) 'AN: NB

: 45" -(4a12)

G. Calvache, M. Yaoelga TRIAI{GI.JLOS

68

76.

H) AB:BC

r )xx: ?,Resp.90-({o/2)

H) AB:BC

r)ZX:.2D Resp.{o/2

H)AM: MB

r)xl=?Resp.26o

H) AB=BC=DB:DE

r)zx-?Resp. 105o

E

H) AB: BC: CD

Resp.90-2X B

T)OFTAC

H) BE:EC

Resp. 3Z B -

T)XX:?

Resp.30+(2/3)Z p

TRIANGT'LOS G. Calvache, M. Yacelga

86' H) AB: BCAM: MB

69

H) AE: EC:CDFB: FE

T)ZX= ? Resp. 18o

.89. H) AM:MB

T )XCBH : 4ABC I2

91.

93.92.

H)H) AABD nABEC Equil6teros

T) DE:AC

H) AP =AQ

PS: SQ

T) BS=SC

T)X X= ?Resp.(SX p -180)t4

r)4 x:.?Resp.180-2.{ a

H) BF: FC H

T)XG: T

Resp. (630-54D /6

H) CM:MA:MB:AD

T )4X =?M

G. Calwche, M. Yaoelga TRIAT.IGI.'LOS

70

95.94. H) AB:BDBE: BCEBD: l0'

T)XX:?

Resp.30o

97.96. HNr =X2PB:QC

T) AP:AQ

L02. H) . H OrtocentroA ABCC

T )A ACH =A

98. En un tri6nguloobtus6ngulo ABC el 6ngulo{A mide 45o y se trazan la alturas AP y CQ cort6ndose en elortocentro H. Demostrar que los tri6ngulos AQH y CQB son congruentes.

99. En un tri6ngulo ABC (AB > 90' ) los puntos medios de los lados BC, C-A y AB- son L, M y Nrespectivamente. Si D es el pie de la altura de A demostrar que los tri6ngulos LMN y DMN son congruentes.

100. H )A ABC Equil6tero 101.H) .I IncentroAABCAB:AE

B

H) BD=BABE: BC

TXX:?

Resp.90o

103. H )A ABC Equil6teroAD: DC: E C

T > DAE:

Resp. o / 2

H ) AABP n ABCQ Equil6teros

T) AQ:CP:

T) AC:AD+ECT )4X:.?

Resp. 45o

TRIANGTJLOS G. Calveche, M. Yacetga

7t

T) AC=T2)A ABD

=A ACH

H)MB:MD

108. En un tri6ngulo is6sceles, la suma de las perpendiculares trazadas desde un punto cualquiera de la base alos lados congruentes, es igual a una altura lateral.

109. Si el tri6ngulo ABC es equil6tero y P un punto interior del tri6ngulo; desde P se trazan pQ, pn V pSperpendiculares a los lados. Demostrar que: PQ + PR + PS es una linea fundamental.

110. Demostrar que la diferencia de las perpendiculares trazadas a los lados de un tri6ngulo is6sceles y a suprolongaci6n desde la prolongaci6n de su base, es una altura lateral.

111. Si desde un punto exterior a un tri6ngulo equil6tero, se hazan perpendiculares a los tres lados, el exceso dela suma de dos de dichas perpendiculares sobre la tercera es una linea fundamental.

104.

lL2. H ) AB:zBDBC=2BE

T )A DEB =A BPQ

tt4. DC

FE:

H ) AF BbisectrizAHAD.H OrtocenfoA ABC

Tr )A ABF =A CFH

105' H ) . G BaricentroA ABCAG:BG C

r 13.

I 15. HE:4

CD: ?

A

:l

?

H)

r) Resp. 6 uH)

r) Resp. 8

H) AB:AE

T )A ABF =A AEC

G. Calvache, M. Yacelga TRIA}.IGT]LOS

72

lr7.116.

118. H) pM: 3.

T)AE=?

Resp. 13.

H) AM:MBMN=NCMD ll AN

T) MD: 2/3 AN

rr)PQ ll AC

T) FD: ?

Resp. 6 u

A

121. H) AB: BC

r)zx: ?

119.

D

120.

t23.

H) DQ:6

T) QB: ?

Resp. 18

T) DF+EF:2.BHD

Tz) PQ:(a+c-b)/2

TRIANGULOS G. Calvache, M. Yacelga

73

125.124. T) DF: ?

Resp. 7,07.

4.5.8.1 EJERCICIOS RESI.]ELTOS

15. D) AAQS =

APBS ( A.L.A.).'. AS: BS

PS-AS: QS-BS+ PA: QB

23.D ) AABE = AADC ( L.A.L.)ADBP=AEPC (A.L.A.)

A ABP =

AACP ( L.A.L.)

D)

H) EH: BF

T) AP:AC+BC

19. AEFC=A EGC(A.L.A.)... {0 =X 0

:+ EC Bisectriz de FEG

EG

57. D)ACBH y AHBA Reckingulos\r +12+%,o;4s 4p4e+ ({ I +{2+{B)

24a:2X'F

B .'.4t:42

HE F

73.D) MA:MC:MDx 1:ls"

.'.xx :30' B

SA

... B:C.'. BP: CP

.'.4 BAP:4CAPB

69.D)Xt +\2:90"A ANM y A BNM Is6sceles

MN: AN: BM

G. Calvache, M. Yacelga TRIA}.iGI.]LOS

74

80 D) A BEC y AABD Is6scelesz&.+ *.:go"

&+z*.+75o: l8oo

d+ f:os" A

tA84. D)^ii +n 0 + l3o = 9oo

u + B:77o Y enel AAMCAAA

180o- 2 (p+13') + I:2 (cr + l3')

88.

92.

93.

D)

D ) .M punto medio de C51 Construcci6n )

AM:CM:MD=AS:^AABM Equil6tero.'. 2 a^:6tr

AACBH:AB}V3

A ABC Rect6ngulo

A BDA Rect6ngulo is6sceles

BDA = 45"

x: 45o f 30o : 75o

95.

D ) a=cr(r)-(D

2=2

.'.4 PSB =A QSC

( A.L.A.)

> BS=SC

D) AABQ:A PBC ( L.A.L.)

eq=Cr

AC

B

I

I

P

a

TRIANGI,]LOS G. Calvache, M. Yacelga

75

100.

1M.

tt2.

116.

118.

D) AABE: A ADC (A.L.A.)

... BE: AD

BD: EC

AC = AB:eb +os:> AC: AD + EC

D ) .F Circuncentro del A ADHHF: FD: AF

d =t corplementarios

A {PF =A CFH (rlngulo, cateto )AB: CHAD_: AH45'+d =45"+&"

.'.AABD =AACH (L.A.L.)

-l rr -

n nD ) P! ll AII .'.0.=gr

PQ: AB/2 PQ: BDBQ : BC/2 BQ : BENAAAF = Fr(suplementos de a y ar)

.'.ADEB [email protected].)

D) ry:(AN*NE)/lMD: AN/2 + %(j||fDI2)l,rO = Zlg (AN )

CF:2 PM:6A AED:ACDF ( A.L.A.)

CF: AE:6

D)

G. Calvache, M. Yacelga TRJA}.IGIJLOS

76

r23.

D )A ABE y A CBD Is6sceles

.P punto medio de BD

.Q punto medio de BE .'. PQ I leCPQ: Y,( DE ) : Y,(b -b+ a - b + c )Pq:U(a+c-b)

D) AD:DC.'.AABD =A CBD ( L.A.L.)

AAABD = DBC:40'

+ {- 120"

TRIANG{JLOS G. Calvache, M. Yacelga

PortadaCapitulo 1. Graficas de Funciones TrigonometricasContenido Graficas de Funciones TrigonometricasCapitulo 2. Identidades TrigonometricasContenido Identidades TrigonometricasCapitulo 3. Resolucion de Ecuaciones TrigonometricasContenido Resolucion de Ecuaciones TrigonometricasCapitulo 1. Conceptos FundamentalesCapitulo 2. ProporcionalidadCapitulo 3. AngulosCapitulo 4. Poligonos

recopilacion 2 bachillerato

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