regras para esboço do lugar das raízes 1.o número de ramos do lugar das raízes é igual ao...
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Regras para esboço do Lugar das Raízes
1. O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;
2. O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;
3. O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de malha aberta faz parte do lugar das raízes;
Regras para esboço do Lugar das Raízes
4. O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos de malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos de malha aberta;
5. Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas fornecidas pelas equações:
,.....2,1,0
..
12
..
kondefinitoszerosNumfinitospólosNúm
k
finitoszerosNumfinitospólosNúm
finitoszerosfinitospólos
a
a
Exemplo: Esboce o Lugar das raízes
Lugar das raízes e
assíntotas para o
sistema:Assíntota
Plano sAssíntota
Assíntota
421
3
ssss
sKsF
33,1
Refinando o Lugar das Raízes
1. Pontos de saída e pontos de chegada no eixo real:
2. Cruzamento com o eixo imaginário é feito através do critério de Routh obtendo o valor do ganho que esta na transição de estabilidade;
3. Ângulo de partida e chegada em pólos ou zeros complexos conjugados
n
i
m
i pz 11
11
Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário
• Utilização do critério de Routh;
• Caso especial de linha que só possuem zeros implicam na existência de polinômios estritamente pares ou ímpares como fator do polinômio original;
• Os polinômios pares possuem somente raízes simétricas nas seguintes situações:
Localização das raízes para a geração de polinômios
pares: A, B, C ou qualquer
das combinações
A: Reais e simétricas em relação à origemB: Imaginárias e simétricas em relação à origemC:Quadrantais e simétricas em relação à origem
Plano s
Pontos de Interseção com o Eixo Imaginário
• Portanto só teremos raízes no eixo imaginário se tivermos uma linha contendo todos os termos iguais a zero na tabela de Routh;
• Estas raízes são as raízes do “polinômio par” que é o polinômio da linha acima da linha de zeros;
• Tudo o que acontece na tabela de Routh abaixo da linha do “polinômio par” se refere a ele.
Tabela de Routh para:
5684267
102345
sssss
sT
0 + 2.0000i 0 - 2.0000i 0 + 1.4142i 0 - 1.4142i
Raízes de
864 sssP
Linha Toda de Zeros
20384859392212
202345678
ssssssss
sT
Linha Toda de Zeros
0 + 1.4142i 0 - 1.4142i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i
0.5000 + 3.1225i 0.5000 - 3.1225i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i
Para o Exemplo Anterior temos:
• Ponto de Partida:
4349,0
6097,1
6812,0311,3
: valemRaízes Cujas
0248477263
4
1
2
1
1
1
0
1
3
1
234
j
Ponto de Partida, pois é a única raíz que esta entre “0” e “-1”
Para o Exemplo Anterior temos:
• Cruzamento com Eixo Imaginário
0021
0090
7206502190
087
3141
Routh de Critério
38147
3 F.T.M.F.
2
0
1
2
3
4
234
KK
KKKK
K
K
s
s
s
s
s
KsKsss
sK
Linha de Zeros
Para o Exemplo Anterior temos:
65,9
65,74
: valemRaízes cujas 072065
ou 072065
2
1
2
2
K
K
KK
KK
Valor a ser Escolhido
js
s
KKK
587,1
07,20235,80
:por dado fica 21s90par Polinômio o 65,9 Para
2,1
2
2
Cruzamento com o Eixo Imaginário
Pontos de Chegada e de Saídado eixo real
• Exemplo: Esboce o lugar das raízes para
21
53
ss
ssksHsKG
n
i
m
i pz 11
11
Pontos de Saída e Chegada
0612611
21
12
53
35
2
1
1
1
5
1
3
1
2
82,3;45,1 21
Exemplo de lugar das raízes mostrando os
pontos de saída(–1) e entrada (2) no eixo real
Plano s
82,32
45,11
Exemplo de lugar das raízes mostrando os
pontos de cruzamento com o eixo imaginário
Plano s
82,32
45,11
375,0
355,2
K
j
j355,2
Exemplo: Trace o Lugar das Raízes para as duas Funções de Transferência mostradas abaixo e
observe que uma pequena mudança na posição do zero altera consideravelmente a forma do
Lugar das Raízes:
105,0
1
105,0
5,1
2
1
sss
sKsG
sss
sKsG
Pólos e zeros a malha aberta e
cálculos de:a. ângulo de
saída;b. ângulo de
chegada
Exemplo: calcule os ângulos de partida para o
sistema
-1.0000 +1.0000i -1.0000 - 1.0000i
Lugar das raízes para o sistema da
Fig. 8.16 mostrando ângulo
de saída
o
o
o
o
565,26
45
90
4,108
4
3
2
1
o1804213
Determinando e calibrando os pontos exatos no lugar das raízes para cruzamento com linha de
%UP=20%
RaioÂngulo
(graus)
Plano s–158,4–180,0–199,9–230,4–251,5
0,50,7471,01,52,0
1,5
,5
0,45
421
3
ssss
sKsG
j655,0333,0